INFORMTIQUE INSTRUMENTLE (LOGIQUE) I) Préambule : L électronique numérique est présente dans la vie quotidienne : - Disque audio, MP3, DVD. - Téléphonie, internet. - De cet apprentissage, nous devrions pouvoir effectuer certaines opérations : - Programmation des automates. - ssemblage d une chaine de mesure. - Pour réaliser ces opérations, on doit maitriser : - Techniques de numération. - L algèbre de Boule. II) Représentation des nombres : Le besoin de représenter des quantités est apparu pour les échanges commerciaux : - La représentation en bâton : l ll lll llll. Représentation de grande quantité est impossible. - Les chiffres romains : I II III IV V VI X (10) L(50) C(100) D(500) M(1000) Peu adapté aux opérations arithmétiques. - Le système de numération arabe : chiffres et nombres communs. pparition du zéro. L emploi quotidien de ce système nous fait oublier les règles de fonctionnement. 1) Numération : a) Principes : Les nombres sont constitués de symboles appelés chiffres, placés les uns à la suite des autres. Le nombre de chiffre défini la base de numération. La base 10 comporte les chiffres (= entiers) de 0 à 9. Chaque chiffre représente une quantité. Pour représenter les quantités supérieures à 9, on combine plusieurs chiffres. La position des chiffres dans le nombre détermine leurs poids : milliers, centaines, dizaines, unités, dixièmes, centièmes La représentation classique des nombres utilise ces règles de façon implicite. Pour les faire apparaitre, il faut écrire le nombre sous sa forme polynomiale. Convention : Nous représenterons les nombres sous la forme avec N : nombre, et, b : base utilisée. - Exemple de forme polynomiale : 140 1. 10 4. 10 0. 10 ; 3891,24 3. 10 8. 10 9. 10 1. 10 2. 10 4. 10 10, 10, 10, 10, 10, 10 sont les poids affectés aux chiffres.
Généralisation à une base K quelconque. Soit le nombre :.... Si 10 : on utilise pour chiffre les mêmes symboles que ceux de la base 10. Si : on ajoute de nouveaux symboles à ceux de la base 10. b) Conversion base K base 10 : Il suffit d écrire le nombre sous sa forme polynomiale et d effectuer les calculs. 324 3. 7 2. 7 4. 7 165 12,35 1. 6 2. 6 3. 6 5. 6 8,63888 1234 1. 4 2. 4 3. 4 4. 4 112 N existe pas car base 4 : {0,1,2,3} Généralisation :, c) Conversion base 10 base K : Soit un nombre. Il faut trouver l ensemble des chiffres :, qui représentent la même quantité en base K. Soit avec :....... - La décomposition de la partie entière par K donne :.... On obtient pour :... Effectuons la division Euclidienne de par K :.... On obtient pour :... Par une suite de division Euclidienne par K, on obtient l ensemble de chiffre de la partie entière. Exemple : Convertir 102 en base 9 : 102 9 11 102 9 3 11 9 1 1 9 0 102 11 9 2 1 9 1 123 - La représentation de la partie fractionnaire [ ] en base K :... Multiplions par K :.... Donc est le seul chiffre à la partie entière.
Considérons :... Multiplions par K :... Donc est devenu le seul chiffre à la partie entière. Par une suite de multiplication par K, on trouve l ensemble des chiffres de la partie fractionnaire. Exemple : Convertir 0,43 en base 3 : 0,43 3 1,29 1 0,29 3 0,87 0 0,87 3 2,61 2 0,61 3 1,83 1 0,83 3 2,49 2 0,43 0,10212 ttention : La précision initiale du nombre est 10, il faut conserver cette précision lors de la conversion : 3 0,037 3 0,012 3 donne la précision la plus proche. Donc : 0,43 0,1021 3 0,004 2) Les bases utilisées en électronique numérique : a) La base 2 : Nous sommes habitués à compter en base 10. Pour que l électronique fonctionne en base 10, il faudrait disposer d un composant électronique ayant 10 états stables, chaque état stable représentant un chiffre. Or l élément de base en électronique numérique est le transistor. Il y a 2 états stables, l état saturé et l état bloqué. C est pourquoi l électronique numérique fonctionne en base 2. La base 2 comporte les chiffres {0,1} ; chaque transistor représentera un chiffre binaire. Un chiffre binaire est aussi appelé BIT qui est la contraction de BInary digit. - Exemple de conversion base 2 base 10 : 1111 2 2 2 2 15 10001 2 2 17 101110 2 2 2 2 46 - Exemple de conversion base 10 base 2 : 8 2 1000 9 2 2 1001 41 2 2 2 101001 b) La base 16 : Les nombres en base 2 sont peu commode à manipuler. Nous utilisons donc une base de rang plus élevé, qui permet d écrire les nombres sous une forme plus compacte. La base 16 est un multiple de la base 2, ce qui facilite les opérations de conversion entre ces 2 bases. La base 16 comporte les chiffres : {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,,B,C,D,E,F}
vec : 10 ; 11 ; ; 15 - Exemple de conversion base 10 base 16 : 8 8 32 2. 16 0.16 20 410 1.16 9.16 10.16 19 - Exemple de conversion inverse : 15 11 17 2 47 15.16 15.16 15.16 15.16 65 535 1 000 000 1. 16 16 777 216 c) Conversion base 2 base 16 : 4 chiffres binaires permette de représenter les nombres de 0 à 15 en base 10 soit 0 à F en base 16 : 0000 0 0 0001 1 1 1110 14 1111 15 On en déduit la règle pour convertir un nombre de la base 2 vers la base 16 : partir de la virgule, grouper les bits par bloc de 4 en allant vers la gauche pour la partie entière et vers la droite pour la partie fractionnaire. Convertir ensuite ces blocs en hexadécimal. 1 0000 10 101 1101 0111 57 1001 0111, 1011 1 97, 8 d) Conversion base 16 base 2 : Il suffit d appliquer la règle inverse : Convertir chaque chiffre hexadécimal en 4 chiffres binaires et écrire les blocs trouvés les uns à la suite des autres. 11 1 0001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 1, 1 1 1010, 0001 11 100 1 0000 0000 III) lgèbre de Boole : Donc, 4 chiffres binaires représenteront exactement un chiffre hexadécimal ( base 16). Cette propriété découle de 2 16. Cette algèbre s appelle : algèbre des propositions, algèbre de la logique, algèbre de Boole (du nom de son inventeur vers 1850).
1) Les variables logiques : L algèbre de Boole est basé sur des propositions, ou variables logiques qui ne peuvent prendre que 2 valeurs : vrai ou faux ( 1 ou 0) Soit la proposition «Il pleut» notée. Jeudi 2 vril 2009, = 1. Lundi 6 avril 2009, = 0. Soit un interrupteur électrique : 2 positions : Ouvert ou Fermé Nous choisirons arbitrairement la convention suivante : - Position fermé : état vrai (1) - Position ouvert : état faux (0) 2) Les opérateurs logiques de base : Il existe 3 opérateurs de base applicables aux variables logiques. La combinaison des variables booléennes et des opérateurs logiques donnent des fonctions booléennes. a) Opération NON : Elle s applique à une variable. Elle effectue le complément de la variable et sera notée : Notion de table de vérité : Une table de vérité donne en fonction des valeurs de la ou des variables en entrées, le résultat donné par l opération en sortie (car la sortie est l inverse de l entrée). Soit la proposition «Il pleut» notée et la proposition «Il ne pleut pas» notée B. et Symboles associés : Représentation US : Représentation CEI : Représentation CETOP : 1 1 b) Opération OU: