3. Caractéristiques et fonctions d une v.a.

3. Caractéristiques et fonctions d une v.a. MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v2) MTH2302D: fonctions d une v.a. 1/32

Plan 1. Caractéristiques d une distribution 2. Fonctions d une variable aléatoire 3. Distribution d une fonction d une variable aléatoire 4. Espérance et variance de fonctions de v.a. MTH2302D: fonctions d une v.a. 2/32

1. Caractéristiques d une distribution 2. Fonctions d une variable aléatoire 3. Distribution d une fonction d une variable aléatoire 4. Espérance et variance de fonctions de v.a. MTH2302D: fonctions d une v.a. 3/32

Espérance mathématique Soit X une variable aléatoire. L espérance mathématique (ou moyenne) de X est µ = x i p X (x i ) si X est discrète. x i R X µ = + xf X (x)dx si X est continue. Autres notations : µ = E(X) = E[X]. MTH2302D: fonctions d une v.a. 4/32

Exemple 1 Une boîte contient 5 DVDs parmi lesquels 2 sont défectueux. Un échantillon de 2 disques est prélevé (sans remise) de la boîte. Soit X : le nombre de DVDs défectueux dans l échantillon. Calculer l espérance de la v.a. discrète X. MTH2302D: fonctions d une v.a. 5/32

Exemple 2 L erreur commise lors de la mesure du diamètre d une pièce produite en série est approximée par une v.a. X (en mm) dont la fonction de densité est { 3 f(x) = 4 (1 x2 ) si 1 < x < 1, 0 sinon. Calculer l espérance de la v.a. continue X. MTH2302D: fonctions d une v.a. 6/32

Variance et écart-type Soit X une variable aléatoire. La variance de X est σ 2 = (x i µ) 2 p X (x i ) si X est discrète. x i R X σ 2 = + (x µ) 2 f X (x)dx si X est continue. L écart-type de X est σ = σ 2. Autres notations : σ 2 = Var(X) = V(X) = V(X). MTH2302D: fonctions d une v.a. 7/32

Variance (suite) V(X) = E[(X E[X]) 2 ] = E[X 2 ] (E[X]) 2. Si X est discrète, V(X) = ( ) (x i µ) 2 p X (x i ) = x 2 i p X(x i ) µ 2. x i R X x i R X Si X est continue, + V(X) = (x µ) 2 f X (x)dx = ( + x 2 f X (x)dx ) µ 2. MTH2302D: fonctions d une v.a. 8/32

Exemple 3 Montrer que dans l exemple 1, σ 2 = 0.36, et que dans l exemple 2, σ 2 = 0.2. MTH2302D: fonctions d une v.a. 9/32

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Théorème Si E(X) = µ et V(X) = σ 2, alors, pour tout a > 0, on a P (µ aσ X µ + aσ) > 1 1/a 2. MTH2302D: fonctions d une v.a. 10/32

Moments d ordre supérieur Soit X une variable aléatoire et k 0 un entier. 1. Le k e moment de X par rapport à l origine est µ k = x k i p X (x i ) si X est discrète. x i R X µ k = + x k f X (x)dx si X est continue. 2. Le k e moment de X par rapport à la moyenne µ est µ k = (x i µ) k p X (x i ) si X est discrète. x i R X + µk = (x µ) k f X (x)dx si X est continue. MTH2302D: fonctions d une v.a. 11/32

Moments d ordre supérieur (suite) 3. Moyenne : µ = µ 1. 4. Variance : σ 2 = µ 2. 5. Relation entre µ k et µ k : µ k = k ( ( 1) j k j j=0 ) µ j µ k j. Exemple 4 Utiliser ces relations pour montrer que σ 2 = µ 2 µ2. MTH2302D: fonctions d une v.a. 12/32

Coefficients de forme Coefficient d asymétrie (skewness) : γ 1 = µ 3 /σ 3. Si γ 1 > 0, la distribution est étalée vers la droite. Si γ 1 < 0, c est vers la gauche. Si la distribution est symétrique, alors γ 1 = 0. L inverse n est pas vrai. Coefficient d aplatissement (kurtosis) : β 2 = µ 4 /σ 4 MTH2302D: fonctions d une v.a. 13/32

Médiane La médiane de la v.a. X est une valeur x telle que P (X x) 1/2 et P (X x) 1/2 ou bien P (X x) 1/2 et P (X < x) 1/2. Utile si on a de grandes valeurs dans R X car cette valeur est moins influencée que la moyenne par les valeurs extrêmes. On n a pas forcément x R X. Si X est discrète, alors x peut ne pas être unique. Si X est continue, x est unique et peut être trouvée avec P (X x) = P (X x) = 1/2. Dans le cas continu, la médiane est un cas particulier de la notion de quantile. MTH2302D: fonctions d une v.a. 14/32

Les centiles (quantiles ou percentiles) On considère une v.a. X continue et p un nombre réel avec 0 p 1. On appelle le 100p-ième quantile (ou quantile d ordre p, ou centile, ou percentile) de X le nombre x p tel que P (X x p ) = p et P (X x p ) = 1 p. Le 50-ième centile est la médiane : x = x 0.5. Quartiles : Q 1 = x 0.25, Q 2 = x = x 0.5, Q 3 = x 0.75. Écart interquartile : IQR = Q 3 Q 1. Mesure la dispersion de la moitié de la distribution car P (Q 1 X Q 3 ) = 50%. Parfois, x p est noté le 100(1 p)-ième quantile. MTH2302D: fonctions d une v.a. 15/32

Autres caractéristiques Mode de X : c est la (ou les) valeur x telle que p X (x ) p X (x) pour tout x R X (cas discret). Dans le cas continu, remplacer p X par f X. Étendue de X : c est max{r X } min{r X }. Peut être +. MTH2302D: fonctions d une v.a. 16/32

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Événements équivalents Soit X une variable aléatoire et H une fonction. Alors Y = H(X) est une autre variable aléatoire. On calcule la probabilité d un événement C de R Y en considérant l événement équivalent B de R X : B = {x R X H(x) C}. La probabilité est donnée par P (Y C) = P (X B). MTH2302D: fonctions d une v.a. 18/32

Exemple 5 Le diamètre d un fil est une v.a. de densité { 200 si 1 x 1.005, f X (x) = 0 sinon. Quelle est la probabilité que l aire de la section de ce fil soit inférieure à 1.01π/4? MTH2302D: fonctions d une v.a. 19/32

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Cas 1 : X et Y sont discrètes Si X est une v.a. discrète et Y = H(X) est discrète, alors la fonction de masse de Y est donnée par p Y (y) = P (Y = y) = P (X = x). {x R X H(x)=y} Exemple 6 Soit X une v.a. dont la fonction de masse est donnée par la tableau suivant : x -2-1 0 1 2 p X (x) 1 8 Déterminer la fonction de masse de Y = X 2. 1 4 1 8 1 4 1 4 MTH2302D: fonctions d une v.a. 21/32

Cas 2 : X est continue et Y est discrète Si X est une v.a. continue et Y = H(X) est discrète alors la fonction de masse de Y est donnée par p Y (y) = P (Y = y) = f X (x)dx. {x R X H(x)=y} MTH2302D: fonctions d une v.a. 22/32

Exemple 7 Pour 1 kg d un certain alliage la teneur en magnésium est une v.a. X de densité x si 0 x 4, f X (x) = 8 0 sinon. Chaque kg de cet alliage génère une perte de 100$ si la teneur est inférieure à 2, aucun profit si la teneur est supérieure à 2 mais inférieure à 3, et un profit de 400$ si la teneur est supérieure à 3. On considère 1 kg de cet alliage. Déterminer la fonction de masse du profit Y et le profit moyen E(Y ). MTH2302D: fonctions d une v.a. 23/32

Cas 3 : X et Y sont continues Si X est une v.a. continue et Y = H(X) est continue alors il y a deux façons de déterminer la fonction de densité de Y, dépendamment de la fonction H. Première façon, qui s applique toujours. 1. Déterminer la fonction de répartition de Y : F Y (y) = P (Y y) = P (H(X) y). 2. Obtenir la densité f y en dérivant F Y : f Y (y) = d dy F Y (y). MTH2302D: fonctions d une v.a. 24/32

Cas 3 : X et Y sont continues (suite) Deuxième façon, si H est strictement croissante ou décroissante. Dans ce cas, la densité de Y est donnée par f Y (y) = f X (x) dx dy où x = H 1 (y) et f X (x) est exprimée en fonction de y. MTH2302D: fonctions d une v.a. 25/32

Cas 3 : X et Y sont continues (suite) Exemple 8 Première façon. Un courant électrique d intensité aléatoire X traverse un appareil de résistance constante r. La puissance obtenue est alors donnée par la v.a. Y = rx 2 (loi d Ohm). Supposons que la fonction de densité de X soit { 2xe x 2 si x 0, f X (x) = 0 sinon. Déterminer la fonction de densité de Y. MTH2302D: fonctions d une v.a. 26/32

Cas 3 : X et Y sont continues (suite) Exemple 9 Deuxième façon. Soit X une v.a. de densité et Y = 3X 2. f X (x) = { e x si x > 0, 0 sinon Déterminer la fonction de densité de Y. MTH2302D: fonctions d une v.a. 27/32

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Définition Soit X et Y = H(X) des v.a. L espérance mathématique de Y est E[H(X)] = H(x i )p X (x i ) si X est discrète. x i R X E[H(X)] = H(x)f X (x)dx si X est continue. MTH2302D: fonctions d une v.a. 29/32

Cas particuliers 1. Si H(x) = x, alors E[H(X)] = µ (moyenne de X). 2. Si H(x) = (x µ) 2, alors E[H(X)] = σ 2 (variance de X). 3. Si H(x) = (x µ) k, alors E[H(X)] = µ k (moments par rapport à la moyenne). 4. Si H(x) = x k, alors E[H(X)] = µ k l origine). { 1 si x A 5. Si H(x) = 1 A (x) = 0 sinon E[H(X)] = P (X A). (moments par rapport à, alors MTH2302D: fonctions d une v.a. 30/32

Variance Soit X une variable aléatoire et Y = H(X). La variance de Y est V[H(X)] = E [(H(X) E[H(X)]) 2] [ = E (H(X)) 2] (E[H(X)]) 2. Cas particulier important Si H(x) = ax + b (H est linéaire) alors E(aX + b) = ae(x) + b. V(aX + b) = a 2 V(X). MTH2302D: fonctions d une v.a. 31/32

Exemple 10 Soit X une variable aléatoire de densité 1 si 1 x 1, f X (x) = 2 0 sinon. Si Y = X 2, calculer E[Y ] et V[Y ]. MTH2302D: fonctions d une v.a. 32/32