TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe 1. En utilisant les données et le graphique : a. Déterminer f (0) et f (0). Justifier. C f au point A(0 ; 3) passe par le point B(1 ; 5). b. Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de l aire, en unités d aire, de la partie du plan située entre la courbe des ordonnées et la droite d équation x = 1. C f, l axe des abscisses, l axe 2. On admet que la fonction f est définie, pour tout nombre réel x, par une expression de la forme -x f ( x) 1 (a x b)e où a et b sont des nombres réels. a. Déterminer l expression de f '( x) en fonction de a, de b et x. b. À l aide des résultats de la question 1.a., démontrer que l on a, pour tout réel x : f ( x) 1 (4 x 2) e 3. Soit F la fonction définie et dérivable sur R par F ( x) x (-4 x 6)e a. Vérifier que F est une primitive de f sur R. -x b. Déterminer la valeur exacte puis une valeur approchée à 10 2 près de l aire, en unités d aire, de la partie du plan située entre la courbe C f, l axe des abscisses, l axe des ordonnées et la droite d équation x = 1. Ce résultat est-il cohérent avec l encadrement obtenu à la question 1.b? x EXERCICE 2 : Un jardin est envahi par des chardons. Un dimanche, ceux-ci couvrent 300 m 2 de pelouse. Puis chaque semaine, la surface envahie augmente : de 4 % par prolifération des racines, de 13 m 2 dus aux graines envolées. Pour tout entier n, on note u n l'aire de la pelouse, en mètre carré, envahie par les chardons au bout de n semaines. Ainsi u o = 300. 1. Justifier que, pour tout entier n : u n+1 = 1,04 u n +13. Dans la suite, on cherche à savoir au bout de combien de semaines les chardons auront envahi plus de 600 m 2. 2. 1 re méthode à l'aide d'un algorithme : On veut utiliser l'algorithme incomplet suivant : Le compléter, le programmer et résoudre le problème. 3. 2 ème méthode à l'aide d'une suite auxiliaire : On définit la suite (v n ) sur par v n = u n + 325. a. Démontrer que la suite (v n ) est géométrique. Préciser le premier terme et la raison. b. Exprimer v n en fonction de n pour tout entier naturel n. c. En déduire que pour tout entier n, u n = 625x1,04 n 325. Résoudre le problème en tabulant la suite (u n ) à la calculatrice Variables : n est un entier naturel u est un réel Initialisation : Affecter à n la valeur 0 Affecter à u la valeur 300 Traitement : Tant que... Affecter à n la valeur... Affecter à u la valeur... Fin Tant que Sortie : Afficher n
CORRIGE DU DEVOIR A LA MAISON N 7 1. a. f (0) = 3 car A(0 ; 3) appartient à la courbe C f f (0) est le coefficient directeur de la tangente à C au point d abscisse 0, c'est-à- y dire le coefficient directeur de la droite T donc : f (0) = x f B B y x A A = 5 3 1 0 = 2 b. 3 Aire 4 car elle est comprise entre l aire de deux rectangles de largeur 1 et de longueur respective 3 et 4. 2. a. f ( x) 1 u( x) v( x) avec u( x) ax b donc u'( x) a f '( x) u'( x) v( x) u( x) v'( x) x f '( x) ae ( ax b) e f '( x) ( ax a b) e b. x x -x v( x) e x f ( x) 1 (a x b) e donc f ( 0) 1 b. donc v'( x) e Or d après la question 1.a f ( 0) 3 donc 1 + b = 3 d où b = 2 x f '( x) ( ax a b) e donc f '( 0 ) a b. Or d après la question 1a, f '( 0) 2 donc a b = 2 soit a 2 = 2 d où a = 4 Ainsi on a bien : f ( x) 1 (4 x 2)e 3. F( x) x u( x) v( x) avec u ( x) 4x 6 donc u'( x) 4 F'( x) 1 u'( x) v( x) u( x) v'( x) 1 4e 1 ( 4x 4 6) e 1 ( 4x 2) e f ( x) x ( 4x 6) e x x x -x v( x) e donc v'( x) e x x x Donc F est bien une primitive de f sur R. b. 1 f ( x) dx = F(1) F(0) = 1 10e -1 - (- 6) = 7 10 0 e 3,3 Donc Aire = 7 10 e 3,3 ua Ce qui est cohérent avec le résultat trouvé à la question 1.b puisque 3 7 10 e 4
EXERCICE 2 : 1. Chaque semaine, la surface envahie augmente de 4% par la prolifération des racines donc elle est multipliée par 1,04 et chaque semaine la surface envahie augmente de 13 m 2 donc on ajoute 13. Ainsi pour tout entier n : u n+1 = 1,04 u n +13. 2. L algorithme affiche n = 10 Au bout de 10 semaines, les chardons auront envahi plus de 600 m 2. Variables : n est un entier naturel u est un réel Initialisation : Affecter à n la valeur 0 Affecter à u la valeur 300 Traitement : Tant que u 600 Affecter à n la valeur n + 1 Affecter à u la valeur 1,04 x u + 13 Fin Tant que Sortie : Afficher n 3. a. Pour tout entier naturel n, v n+1 = u n+1 + 325 = 1,04u n + 13 + 325 = 1,04 u n + 338 = 1,04 (u n + 325) = 1,04v n Donc, la suite (v n ) est géométrique de raison 1,04 et de premier terme v 0= u 0+ 325 = 300 + 325 = 625. b. La suite (v n ) est une suite géométrique de raison 1,04 et de premier terme v 0= 625. Pour tout entier naturel n,v n = 625 x 1,04 n c. Pour tout entier naturel n, u n = v n 325 = 625 x 1,04 n 325. Avec le menu table de la calculatrice, on obtient : u 9 564,56 et u 10 600,15 Au bout de 10 semaines, les chardons auront envahi plus de 600 m 2.