D.S. N o 8 DE PHYSIQUE

P.C.S.I. 1 et 2 D.S. N o 8 DE PHYSIQUE Les problèmes sont indépendants, vous les traiterez dans l ordre de votre choix. I. Moteur de Stirling On considère n = 40 mmol d helium, assimilable à un gaz parfait de coefficient isentropique constant γ = C P C V = 1,66, subissant un cycle modélisé par les évolutions suivantes à partir de l état A de volume V A = 1 L : - Compression isotherme réversible au contact de la source froide S F, de A jusqu à l état B, de volume V B = V A /4 - Echauffement isochore au contact thermique de la source chaude S C jusqu à l état C ; - Détente isotherme réversible au contact de la source chaude S C jusqu à l état D, de volume V A - Refroidissement isochore au contact thermique de la source froide S F jusqu à l état A. La sourcechaude S C est maintenue à températureconstantet c = 930 K par un bruleur alimentéen méthane et en air. La source froide S F est maintenue à température constante T f = 330 K, en régime permanent de fonctionnement, par le retour d eau froide des circuits de chauffage. 1. Calculer les valeurs numériques de pression et de volume dans chacun des états. On présentera les résultats dans un tableau. 2. Représenter l allure du cycle en coordonnées de Clapeyron (P, V ). Le cycle est-il moteur ou récepteur? Justifier. 3. Etablir la relation de Mayer : C p C v = nr où C p et C v sont les capacités thermiques du système (en J/K). Exprimer C p et C v en fonction de n, R et γ. 4. Déterminer pour la transformation A > B l expression du travail W AB et du transfert thermique Q AB reçus par le fluide en fonction de n, R et T f. Commenter le signe de W AB. 5. Determiner pour la transformation B > C l expression du travail W BC et du transfert thermique Q BC reçus par le fluide en fonction de n, R, γ, T f et T c. Commenter le signe de Q BC. 6. Déterminer pour la transformation C > D l expression du travail W CD et du transfert thermique Q CD reçus par le fluide. 7. Déterminer pour la transformation D > A l expression du travail W DA et du transfert thermique Q DA reçus par le fluide. 8. Exprimer le travail total W t reçu par le moteur au cours d un cycle, en fonction de n, R, T f et T c. 9. Définir le rendement r du moteur et calculer sa valeur. Le comparer au rendement du moteur de Carnot fonctionnant avec des sources chaude et froide de température T c et T f. 10. Combien de cycles par seconde doit effectuer le moteur pour fournir une puissance P de 2 kw? II. Calorimétrie On mélange dans un calorimètre, dont on néglige la capacité thermique, une masse m 1 = 1 kg d eau liquide à T 1 et une masse m 2 = 0,4 kg de glace à la température T 2 = 10 0 C. L expérience se produit à pression atmosphérique P = 1,013.10 5 Pa. On néglige les fuites thermiques dans le calorimètre. Données : Sous 1,013 bar, la température d équilibre liquide-solide de l eau est 0 0 C. Capacité thermique massique de l eau liquide C l = 4,180 kj.kg 1.K 1 et capacité thermique massique de la glace C g = 2,100 kj.kg 1.K 1 Chaleur latente de fusion de la glace à 273 K : l fus = 333 kj.kg 1. 1. On prend ici T 1 = 60 0 C. 1.a. Calculer l énergie nécessaire pour amener la glace jusqu à l état final suivant: glace fondu à T i = 0 0 C. 1

1.b. Calculer l énergie mise en jeu pour amener la masse m 1 d eau liquide de la température T 1 à la température T i = 0 0 C. final. 1.c. Déduire des questions précédentes, la température T f et la composition du système dans l état 1.d. Représenter le diagramme d état de l eau, l état initial de l eau et de la glace et l état final du système. 2. Calculer la température T 1 pour que l état final soit composé d un mélange liquide-glace à 0 0 C avec une masse m 2 de glace. 4 III. Etude d un réacteur à eau pressurisée REP 900 MW Un réacteur à eau sous pression (REP) est constitué de trois principaux éléments : le réacteur, le circuit primaire et le circuit secondaire. Il utilise de l uranium faiblement enrichi comme combustible et l eau ordinaire comme modérateur et caloporteur. Un REP de palier 900 M W produit une puissance thermique de 2785 MW. Le circuit d eau secondaire se décompose en deux parties: - entre le condenseur et le générateur de vapeur GV, l eau reste sous forme liquide: c est l alimentation du GV, des turbopompes alimentaires permettent d élever la pression de cette eau - cette eau se vaporise dans le GV et les tuyauteries de vapeur alimentent successivement les étages de la turbine disposés sur une meme ligne d arbre. La vapeur acquiert une grande vitesse lors de sa détente permettant ainsi d entrainer les roues à aubagesde la turbine. 1. Diagramme de Clapeyron On désigne par p la pression du système liquide-vapeur et par v son volume massique. L équilibre entre l eau liquide et sa vapeur est caractérisé, à différentes températures, par les données suivantes dont les valeurs numériques sont données dans le tableau: θ Température P pression de vapeur saturante v L, h L, s L volume massique, enthalpie massique et entropie massique du liquide saturant v V, h V, s V volume massique, enthalpie massique et entropie massique de la vapeur saturante θ P v L h L s L v V h V s V ( 0 C) (bar) (m 3.kg 1 ) (kj.kg 1 ) (J.K 1.kg 1 ) (m 3.kg 1 ) (kj.kg 1 ) (J.K 1.kg 1 ) 35 0,0562 1,0.10 3 146,3 0,505 25 2561 8,35 285 69,2 1,35.10 3 1261 3,11 0,028 2769 5,82 1.a. Représenter l allure du diagramme (p, v) de l eau. Indiquer le position du point critique et les domaines liquide L, vapeur sèche V et liquide-vapeur L + V. Donner l allure des isothermes de températures T C (critique), T 1 et T 2 avec T 1 < T 2 < T C. 1.b. On appelle x le titre en vapeur d un système diphasé liquide-vapeur. On note s m, l entropie massique du système liquide-vapeur correspondant à un point M du palier de saturation. Montrer que le titre massique en vapeur x est donné par la relation x = s m s l. s v s l 1.c. On désigne par l v (T) la chaleur latente massique de vaporisation à la température T (ou enthalpie de vaporisation). Rappeler la relation reliant l v (T) à h v (T) et h L (T) et calculer les chaleurs latentes pour T 2 = 285 0 C et T 1 = 35 0 C. 2. Premier principe industriel Les hypothèses suivantes seront adoptées dans la suite du problème : - le régime de fonctionnement de la machine est permanent, - les variations d énergie cinétique et potentielle de pesanteur du fluide traversant chaque partie du dispositif sont négligeables devant les autres formes d énergie. 2

Le volume de contrôle A BCD définit le système machine ouvert Σ 0. La masse de fluide gazeux contenue dans ce volume est notée m 0 (t) à la date t et m 0 (t+dt) à la date t + dt. Le fluide s écoule du réservoir de pression P e au réservoir de pression P s (P e > P s ) : pendant la durée dt, une masse δm e (contenue dans le volume AA D D) entre par l ouverture de section S e et une masse δm s (contenue dans le volume BB C C) sort par l ouverture de section S s. Le système fermé Σ considéré pour cette étude occupe à l instant t le volume ABCD et à l instant t + dt le volume A B C D. Pour les fluides entrant et sortant, u, h et v désignent respectivement l énergie interne massique, l enthalpie massique et le volume massique. Les grandeurs d échange massiques entre ce système et le milieu extérieur sont : - le transfert thermique massique q - le travail massique utile w u fourni à l intérieur de la machine par des pièces mobiles (ailettes ou pistons). 2.a. Établir un bilan de masse pour le système entre les instants t et t + dt. En déduire une relation simple entre δm s et δm e. 2.b. Déterminer en fonction de P e, P s, v e et v s le travail w p exercé par les forces de pression sur le système entre les instants t et t + dt. 2.c. En appliquant le premier principe de la thermodynamique au système entre les instants t et t + dt, montrer que h s h e = w u +q. Dans la suite du problème tous les calculs se rapporteront à une masse m = 1 kg de fluide. 3. Cycle de Rankine Le circuit secondaire d une centrale nucléaire comporte les éléments suivants : un générateur de vapeur, une turbine, un condenseur et une pompe d alimentation. Les transformations subies par l eau dans ce circuit sont modélisées par le cycle de Rankine décrit ci-dessous. Dans l état A, l eau est liquide sur la courbe de saturation à la pression p 1 = 0,0562 bar. A > B : compression adiabatique réversible de la pression p 1 = 0,0562 bar à la pression p 2 = 69,2 bar. On néglige ici la variation de température provoquée par cette compression du liquide soit T B = T A. B > D : échauffement isobare de l eau dans le générateur de vapeur qui amène le liquide de l état B à l état D (liquide sur la courbe de saturation à la pression p 2 ). D > E : vaporisation totale dans le générateur de vapeur, sous la pression p 2. L état E est vapeur sur la courbe de saturation. E > F : détente adiabatique réversible, dans la turbine, de p 2 à p 1 (dans l état F, l eau est sous forme liquide-vapeur) 3

F > A : liquéfaction totale, dans le condenseur, sous la pression p 1. 3.a. Représenter le cycle décrit par l eau dans le diagramme de Clapeyron (p, v). 3.b. Quelle fonction d état est conservée au cours de la détente adiabatique réversible E > F? En déduire le titre massique x F en vapeur dans l état F et l enthalpie massique h F du système liquide-vapeur sortant de la turbine. 3.c. Calculer les transferts thermiques q 1 = q FA et q 2 = q BD +q DE reçues par 1 kg d eau respectivement, dans le condenseur et dans le générateur de vapeur. Donnée : La capacité thermique massique C L du liquide est constante et vaut C L = 4,18 kj.k 1.kg 1. 3.d. En déduire le travail w cycle reçu, par 1 kg de fluide, au cours du cycle. 3.e. Calculer le rendement thermodynamique η du cycle. Comparer ce rendement à celui η c d un cycle de Carnot décrit entre les mêmes températures des sources froide et chaude T 1 et T 2. Conclure. 3.f. On cherche dans cette question à calculer la différence de température entre les états A et B, soit T = T B T A = T B T 1. Pour cela, on donne la différentielle de l entropie massique du liquide en fonction des variables T et p : ds = C LdT αv L dp où α est le coefficient de dilatation isobare de T l eau liquide, supposé constant. Que vaut s AB? Montrer que T = T 1 (1 exp( αv L(p 2 p 1 ) C L voisin de T 1 αv L (p 2 p 1 ) C L. On supposera, pour l application numérique, que le liquide est incompressible et que son volume massique est v L = 10 3 m 3.kg 1. On prend α = 1,5.10 4 K 1. IV. Climatisation La quasi-totalité des véhicules neufs sont aujourd hui équipés d une climatisation. Pour refroidir l air intérieur du véhicule, un fluide frigorigène, l hydrofluorocarbone HFC connu sous le code R134a, effectue en continu des transferts énergétiques entre l intérieur, l extérieur du véhicule et le compresseur. Sur le diagramme enthalpique (p, h) fourni en annexe de l hydrofluorocarbone HFC, de masse molaire M = 32 g/mol sont représentés : - la courbe de saturation de l équilibre liquide-vapeur de l hydrofluorocarbone HFC (en trait fort) - les isothermes pour des températures comprises entre 40 0 C et 160 0 C par pas de 10 0 C - les isentropiques pour des entropies massiques comprises entre 1,70 kj.k 1.kg 1 et 2,25 kj.k 1.kg 1 par pas de 0,05 kj.k 1.kg 1 - les isotitres en vapeur sous la courbe de saturation pour des titres massiques en vapeur x v variant de 0 à 1 par pas de 0,1. - P est en bar et h en kj.kg 1 Lors de l exploitation du diagramme, les mesures seront faites avec les incertitudes suivantes : 1. Identifier la source chaude et la source froide. Prévoir, en jusitifiant votre réponse, les signes de P e, P m, et P c. 2. Enoncer le deuxième loi de Joule. En déduire la variation d enthalpie pour un gaz parfait qui subit une transformation isotherme. Déduire de l allure des isothermes d un gaz, les valeurs de p et T pour lesquelles la vapeur sèche se comporte comme un gaz parfait. On étudie dans la suite l évolution du fluide au cours d un cycle en régime permanent. Le débit massique est D m = 0,1 kg.s 1. 4

On rappelle l expression du premier principe appliqué à un système ouvert (ex : le compresseur) en régime permanent : D m.(h s h e ) = P w +P th où : - D m le débit massique de fluide entrant, ou sortant du système ouvert, - P w la puissance mécanique algébriquement reçue de l extérieur par le fluide en mouvement au niveau des parties mobiles du système ouvert, - P th la puissance thermique algébriquement reçue de l extérieur par le fluide en mouvement à travers la paroi entourant le système ouvert, - h s et h e l enthalpie massique du fluide respectivement en entrée et en sortie du système ouvert. La puissance thermique P e reçue par le fluide dans l évaporateur permet la vaporisation isobare complète du fluide venant de (4) et conduit à de la vapeur à température T 1 = 5 0 C et pression P 1 = 3 bar: point (1). 3. Placer le point (1) sur le diagramme (document réponse). Relever la valeur de l enthalpie massique h 1 et de l entropie massique s 1 du fluide au point (1). Le compresseur aspire la vapeur (1) et la comprime de façon isentropique avec un taux de compression r = p 2 /p 1 = 6. 4. Déterminer p 2. Placer le point (2) sur le diagramme (document réponse). Relever la valeur de la température T 2 et celle de l enthalpie massique h 2 en sortie du compresseur. 5. Déterminer la valeur de la puissance P m du travail mécanique reçu par le fluide lors de son passage dans le compresseur. Commenter le signe de P m. Le fluide sortant du compresseur entre dans le condenseur dans lequel il est refroidi de manière isobare jusqu à la température T 3 = 60 0 C : point (3) sur la courbe d ébullition. 6. Placer le point (3) sur le diagramme (document réponse). Relever la valeur de l enthalpie masssique h 3 en sortie du condenseur. Le fluide sortant du condenseur est détendu dans le détendeur supposé adiabatique jusqu à la pression de l évaporateur p 1 : point (4). La détente 3 4 est isenthalpique. 7. Placer le point (4) sur le diagramme(document réponse) et tracer le cycle complet (la transformation 4-1 est isobare). Relever la valeur de la température T 4 et le titre massique en vapeur x 4 en sortie du détendeur. Retrouver la valeur de x 4 en utilisant le théorème des moments. 8. En déduire la puissance thermique échangée P e par le fluide lors de son passage à travers l évaporateur entre (4) et (1). 9. Définir l efficacité e, ou coefficient de performance, du climatiseur. Calculer sa valeur. 10. Comparer la valeur de l efficacité de Carnot fonctionnant entre la température de l évaporateur et la température de liquéfaction du fluide sous la pression p 2 à l efficacité du cycle étudié. Commenter le résultat obtenu. 5