Table des matières. Résumé. Remerciements. Liste des figures Liste des tableaux Nomenclature

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1 GUILLAUME VIDALAIN MODÉLISATION DES PHÉNOMÈNES CONVECTIFS LORS DU CHANGEMENT DE PHASE SOLIDE-LIQUIDE PAR UTILISATION DE L'ÉQUATION DE DIFFUSION DE LA CHALEUR ET D'UNE FORME MODIFIÉE DE LA CONDUCTIVITÉ Mémoire présenté à la Faculté des études supérieures de l'université Laval dans le cadre du programme de maîtrise en génie mécanique pour l'obtention du grade de maître es sciences (M.Se.) DÉPARTEMENT DE GÉNIE MÉCANIQUE FACULTÉ DES SCIENCES ET DE GÉNIE UNIVERSITÉ LAVAL QUÉBEC 2007 GUILLAUME VIDALAIN, 2007

2 Résumé Dans ce mémoire on s'intéresse à la modélisation du changement de phase solideliquide en convection naturelle et en convection forcée en utilisant l'équation de diffusion de la chaleur et une forme modifiée de la conductivité. Comme on ne cherche pas à résoudre le champ des vitesses, on intègre à l'intérieur de la conductivité modifiée les effets thermiques des mouvements convectifs, puis on résout l'équation de conduction en utilisant ces conductivités modifiées. L'objectif du mémoire est de prédire la position de l'interface solide-liquide en fonction du temps dans un processus de fusion ou de solidification en présence de convection, et ce avec un modèle conductif. Dans les deux cas types que nous avons traités, la valeur de la conductivité modifiée à utiliser dans le modèle conductif simplifié est d'abord estimée par une étude d'ordre de grandeur. Le premier cas type étudié est celui du changement de phase en présence de convection forcée se déroulant dans une conduite à paroi froide. On a réussi à développer une relation permettant d'obtenir la valeur de la conductivité modifiée directionnelle à utiliser dans le modèle conductif en fonction du nombre de Reynolds de l'écoulement ainsi que du facteur de forme de la conduite. Cette relation a montré de bons résultats en comparaison avec ceux issus d'un modèle numérique complet plus classique (CFD). Le deuxième cas type étudié est celui de la fusion d'un matériau sous l'effet de la convection naturelle à l'intérieur d'une enceinte. Nous avons réussi à paramétrer l'évolution des valeurs de conductivité modifiée à utiliser par notre modèle conductif, celles-ci sont fonction de l'avancement du front de fusion et du nombre de Nusselt. Cette modélisation est comparée à la fois avec les résultats fournis par un modèle numérique complet (CFD) mais aussi avec des résultats expérimentaux issus de la littérature. Ces comparaisons ont montré une bonne concordance entre notre modélisation et la réalité. ii

3 Abstract In this work we hâve developed an enhanced conduction model for predicting solid-liquid interface positions in convection-dominated phase-change processus. The flow field is not calculated and the effects of convection are taken into account via the modification of the material conductivity. Our objective is to obtain a good approximation of the solid-liquid interface évolution. It is shown that the enhanced thermal conductivity of the melt may be formulated in terms of directional thermal conductivity components and that their value may be correlated in terms of dimensional numbers obtained from an order of magnitude analysis. The proposed approach is then tested for two différent cases. The first test case is devoted to forced convection dominated solidification in a duct while the second test case is concerned with buoyancy dominated melting in an enclosure. The results of the simulations using our conduction model are then compared with a full CFD model and in the case of melting in an enclosure expérimental data, they show good agreements. iii

4 Remerciements Je désire exprimer mes remerciements à mon directeur de recherche Louis Gosselin pour ses précieux conseils et son soutien tout au long de cette recherche. Je tiens aussi à exprimer ma gratitude envers mes parents pour m'avoir encouragé dans cette aventure. L'idée original de ce présent mémoire revient au professeur Marcel Lacroix que je remercie également. Je tiens aussi à remercier Mario (Bo 202), camarade de promo des Arts & Métiers avec lequel j'ai effectué l'ensemble de ma maitrise, pour l'aide qu'il m'a apporté au cours de ces deux années passé au Québec, et d'une manière générale l'ensemble de mes camarades du LTTE de l'université Laval: Charles (grand chasseur d'orignal devant l'éternel), Marc (Bo 202), Yannick, Phil, Sabar (Ch 201) et Picier (Ch 201). La présente étude a été réalisée grâce aux bourses octroyées par la Région Champagne-Ardenne, la Région Ile de France, et le Centre Régional des Oeuvres Universitaires et Sociales de Reims en France (CROUS). IV

5 Table des matières Résumé Abstract Remerciements Table des matières Liste des figures Liste des tableaux Nomenclature ii iii iv v viii xi xii Chapitre I Introduction Problématique Revue bibliographique Objectif et organisation du mémoire 5 Chapitre II Présentation de deux problèmes (cas types) considérés Introduction Présentations des deux cas types étudiés Cas type 1 : Changement de phase dans une conduite Cas type 2 : Changement de phase dans une enceinte rectangulaire Modèle mathématique complet Hypothèses simplificatrices Équations de conservations Modèle numérique pour le modèle mathématique complet (CFD) Présentation du modèle conductif simplifié Conclusion 18 Chapitre III Simulation du changement de phase dans une conduite (cas type 1) avec modèle CFD complet Introduction Géométrie du système considéré Modèle mathématique complet : équations sans dimension Description du maillage et des paramètres de calcul Estimation du temps d'atteinte du régime permanent Étude de maillage Effet du maillage sur l'évaluation de la fraction liquide lors du changement de phase dans la conduite Effet du maillage sur l'évaluation de la position l'interface solide-liquide Conclusion 29 v

6 Chapitre IV Résolution du problème de changement de phase dans la conduite par modification de c p et de \i Introduction Modélisation du changement de phase par modification de l'évolution de c p (T) Resolution du problème de Stefan Solution de Neumann Modélisation numérique du changement de phase Résultats issus de la modélisation numérique Paramétrage de la viscosité pour bloquer les vitesses dans la partie solide Variation simultanée de c p et de p Recherche du bon intervalle Ap Conclusion 40 Chapitre V Modélisation du changement de phase sous convection forcée pour le cas type 1 par modification de la conductivité Introduction Définition du modèle à conductivité modifiée Équation de conservation de l'énergie modifiée Ordre de grandeur du rapport des conductivités totales Calcul des valeurs des conductivités convectives x et y à l'aide du modèle CFD complet Résultat et analyse Recherche des valeurs de conductivités modifiées Méthodologie employée Résultat et analyse Influence du facteur de forme de la conduite, variation du paramètre H/L Description des conduites utilisées Étude de maillage sur les conduites de rapport H/L : 0.3 et Résultats et analyse de l'étude des deux nouvelles géométries via l'utilisation du modèle CFD complet Évaluation de la conductivité modifiée à utiliser en fonction de la géométrie de la conduite Développement de relations analytiques reliant m et ê max à Re H et H/L Définitions des lois de comportement Précision requises sur les coefficients des régressions linéaires Validation des modèles de prédiction, équations (5.10) et (5.11) Étude de maillage sur les conduites de rapport H/L = 0,45 et 0, Résultats et comparaison avec les prédictions des lois de comportement Réajustement des coefficients issus des lois de comportements Régime transitoire Conclusion 63 vi

7 Chapitre VI Modélisation du changement de phase en présence de convection naturelle par modification de la conductivité pour le cas type Introduction Modélisation de la fusion via la modification de la conductivité Modification de l'équation de conduction Modification de la conductivité Présentation des «User-defined Functions» Choix du maillage et du pas de temps Résultats Inclusion d'une conductivité modifiée dans la zone liquide conductive Ordre de grandeur de la conductivité modifiée dans la zone conductive Résultats issus des calculs faits avec le modèle conductif amélioré Modélisation de la fusion via l'utilisation d'un terme source de génération de chaleur Définition du terme source Mise en place du terme source Amélioration du modèle avec terme source par ajout d'un terme puits dans la zone liquide conductive Ordre de grandeur du terme «puits de chaleur» Résultats Conclusion 87 Conclusion 88 Bibliographie 91 Annexe I 93 Annexe II 94 Annexe III 95 Annexe IV 98 vu

8 Liste des figures Figure 1.1: Plan en coupe d'un moule vue de dessus et de face. 2 Figure 2.1 : Vue en coupe de l'écoulement dans la conduite 9 Figure 2.2 : Forme des couches limites de vitesse et de température 9 Figure 2.3 : Forme de l'interface liquide-solide 10 Figure 2.4 : Vue en coupe de l'enceinte remplie de gallium 10 Figure 2.5 : Évolution de l'interface solide-liquide lors du changement de phase à l'intérieur de l'enceinte, a) régime conductif, b) régime mixte, c) régime purement convectif 11 Figure 3.1 : Géométrie du conduit étudié 21 Figure 3.2 : Schéma du maillage utilisé pour la conduite 23 Figure 3.3 : Évolution du flux de chaleur à la paroi froide, avec H/L = 0.6 et 160 nœuds par unités de longueur. 25 Figure 3.4 : Évolution de la fraction liquide moyenne en fonction du maillage, Re L = 2000, H/L = Figure 3.5 : Position de l'interface vs Re L, 160x48, Re L = 2000, H/L = Figure 3.6 : Tracé de l'interface en fonction du maillage, ReL = 2000, H/L = Figure 4.1 : Schéma de l'enceinte 31 Figure 4.2 : Mise en équation du problème de Stefan par Neumann [7] 32 Figure 4.3 : Évolution de X(t) solution de Neumann 33 Figure 4.4 : Définition du c p (T) pour inclure la chaleur latente 34 Figure 4.5 : Comparaison de la position de l'interface solide-liquide X(t), modèle de Neumann et modèle à c p modifié. 36 Figure 4.6 : Modification de la chaleur spécifique et de la viscosité pour simuler le changement de phase et la couche solide à l'intérieur de la conduite. 38 Figure 4.7 : Positionnement de la couche solide vs Umoditïée / M-reeiie, H/L = Figure 5.1 : Définition des conductivités vs T 45 Figure 5.2 : Position de l'interface solide-liquide, modèle à conductivité modifiée paramétré avec le tableau 5.1 vs modèle CFD complet 46 Figure 5.3 : Paramètres mesurés sur le profil obtenu avec le modèle simplifiée 47 vin

9 Figure 5.4 : Évolution des valeurs de k m permettant d'approximer ê max, ê sorl j e, f, 49 Figure 5.5 : Profil des différentes conduites 50 Figure 5.6 : Évaluation de ê max, ê SO rtie et f en fonction de ReH et de H/L avec le modèle CFD complet. 52 Figure 5.7 : Valeur de k m à utiliser avec le modèle conductif en fonction de Ren et de H/L, selon trois critères. 53 Figure 5.8 : Comparaison des valeurs de m trouvées numériquement vs (5.10) 58 Figure 5.9 : Évolution de f, et de ê ma x en fonction du Re H 59 Figure 5.10: Définition de ao en fonction de H/L sur la base des 5 ratios de H/L 60 Figure 5.11: Définition de bo en fonction de H/L sur la base des 5 ratios de H/L 60 Figure 5.12: Définition de b_3 et de b4 en fonction de H/L 61 Figure 5.13 : Évolution de la fraction liquide moyenne modèle simplifié vs modèle CFD complet 63 Figure 6.1 : Bloc de gallium dans son enceinte 67 Figure 6.2 : Modification de la conductivité dans le modèle numérique 69 Figure 6.3 : Algorithme de résolution [13] 70 Figure 6.4 : Interfaces obtenue ave le modèle «k-modifiée - r i= 1.25» vs modèle CFD complet 72 Figure 6.5 : Évolution de la fraction liquide moyenne modèle à conductivité modifié vs CFD complet 73 Figure 6.6 : Évolution du taux de transfert de chaleur sur la paroi chaude modèle conductif simplifié vs modèle CFD complet 74 Figure 6.7 : Modélisation de la zone conductive de la phase liquide 75 Figure 6.8 : Évolution des fractions liquides, modèle simplifié (m) et modèle simplifié avec modification de la conductivité dans la zone liquide conductive (m et 112) vs [8]. 77 Figure 6.9 : Évolution du taux de transfert de chaleur à la paroi froide modèle simplifié amélioré avec modification de la conductivité dans la zone liquide conductive (ni et r 2) vs modèle CFD complet 77 IX

10 Figure 6.10 : Front de fusion du modèle conductif amélioré avec conductivité modifié dans la zone liquide conductive(r)i et 1^2) vs CFD complet 78 Figure 6.11 : Évolution interface modèle «S q '"-r 2 = 0.175» vs CFD complet 82 Figure 6.12 : Évolution des fractions liquides modèles sources vs [8] 83 Figure 6.13 : Représentation de la cavité carrée siège du terme «puits de chaleur» 84 Figure 6.14 : Interface modèle «S q - r 3 = r)4 = 0.175» vs CFD complet 85 Figure 6.15 : Évolution de la fraction liquide 86 Figure AIII.l : Définition des différents modèles de u(t) 96 Figure AIII.2 : Comparaison profils de couche solide vs Profil de référence 97 x

11 Liste des tableaux Tableau 3.1 : Conditions aux limites 21 Tableau 3.2 : Paramètres de calcul utilisés lors de l'étude de maillage 23 Tableau 3.3 : Valeur finale de la fraction liquide moyenne en fonction du maillage et de Re L (H/L = 0.6). 27 Tableau 4.1 : Valeurs des AT, c p, mo difié et Àt utilisées 35 Tableau 5.1 : Valeurs des conductivités totales et modifiées vs Re L, H/L=0.6, obtenu par utilisation de la CFF. 44 Tableau 5.2 : Conditions aux limites 46 Tableau 5.3 : Influence du maillage sur l'évolution de la fraction liquide en régime permanent, avec modèle CFD complet (Ren =1150). 51 Tableau 5.4 : Étude de maillage, évolution de la valeur finale de f,, Re H = Tableau 7.1 : Temps de calcul des différents modèles 89 Tableau AIL 1 : Propriété thermodynamique du gallium 94 Tableau AIII.l : Temps de calcul pour les différents modèles 97 Tableau AIV.l : Corrélation sur les valeurs de m 98 Tableau AIV.2 : Corrélations sur les valeurs de ê max, ê sort i e, et de f, 99 XI

12 Nomenclature Lettres D distance, m H hauteur, m fi fraction liquide k conductivité thermique, W m" 1 K~' L longueur, m Pe nombre de Peclet Re nombre de Reynolds Pr nombre de Prandtl Nu nombre de Nusselt s position de l'interface solide-liquide S terme source Ste nombre de Stefan g accélération gravitationnelle, m 2 s" 1 t temps, s T température, K T m température de fusion du matériau, K q taux de transfert de chaleur par unité de longueur, W m" 1 u,v composante de vitesse, m s" U vitesse d'entrée, m s" 1 x,y coordonnées cartésiennes, m c p chaleur spécifique, J kg -1 K -1 Lettres grecques a diffusivité thermique, m 2 s -1 P coefficient d'expansion thermique, K' 1 À. chaleur latente, J kg -1 v viscosité cinématique, m 2 s" 1 xii

13 9 1 u viscosité dynamique, kg m s" p density, kg m" il, Ç,s coefficient algébrique constante \ solution analytique du problème de Stefan Indice oo x,y O s,l entrée référence à la direction référence au changement de phase référence à la phase liquide ou solide Exposant quantité sans dimension valeur moyenne xin

14 Chapitre I Introduction 1.1 Problématique Le changement de phase d'un matériau est une réaction physique que l'on rencontre en premier lieu dans la nature. Par exemple lors de la formation du gel sur les vitres et les routes en hiver, et de façon plus impressionnante lors des irruptions volcaniques ou de la fonte des glaces dans l'antarctique. De manière plus commune c'est aussi un phénomène que l'homme utilise pour donner forme à la matière, pour se chauffer ou se refroidir. En effet, il existe plusieurs procédés industriels où intervient le changement de phase d'un matériau : la métallurgie, la plasturgie, mais également les systèmes de stockage d'énergie par changement de phase. Pour prendre conscience du poids économique que représentent les industries utilisant ce phénomène, penchons-nous sur l'une d'entre elles: la métallurgie. Il faut savoir que l'industrie métallurgique représente 1.5% du PIB du Canada soit 14.4 milliard de US$ 11]. Au Canada, on a fondu 16.3 millions de tonnes (Mt) d'acier en 2004 [2], et plus de 2.4 Mt d'aluminium ont été produites au Québec soit 10% de la production mondiale. On peut donc dire que l'industrie métallurgique est un secteur économique important de la province qui se place au 4 eme rang des producteurs d'aluminium [3]. En raison du développement des pays émergeants (Asie du sud-est, Chine), ce secteur est promis à un bel avenir car la demande en matière première de ces pays est grandissante, et ne va pas fléchir dans les prochaines années [4,5]. Les techniques utilisées dans l'industrie, que ce soit pour l'obtention de matière première, ou lors de la coulée de pièce (par gravité ou par injection), nécessitent une bonne connaissance de l'évolution temporelle de l'état du matériau. C'est aussi une nécessité lors du design des systèmes de stockage ou de diffusion d'énergie, utilisant le changement de phase. 1

15 En effet, si nous prenons le cas de la fonderie, on sait que lors du processus d'obtention d'un matériau, qu'il s'agisse d'un alliage ou non, on crée un bain liquide dans lequel vont se mélanger les différents constituants. Dans le cas d'un four à arc ouvert sur le dessus, il va se former plusieurs interfaces solide-liquide : sur le dessus à cause du refroidissement par convection avec l'air ambiant, et sur les cotés en raison des pertes thermiques dans les parois. L'existence de ces interfaces n'est pas forcément nuisible. Dans le cas de la métallurgie, la couche de scorie en surface empêche la détérioration de certains alliages par l'air et la couche de solide se déposant sur les côtés empêche l'érosion des parois. Cependant il faut veiller à ce que le développement de cette couche ne soit pas trop important. Car si l'on perd en volume de métal liquide disponible, on perd également en rentabilité. Mais on ne s'intéresse pas seulement au développement de cette interface solideliquide lors de la phase d'obtention d'un alliage métallique. Ainsi lors de la coulée d'une pièce, si le matériau se refroidit trop lentement, il risque de bloquer les canaux d'alimentation et la pièce sera inutilisable. Et de la même manière, lors de l'injection dans des moules, si le tube n'est pas bien dimensionné, le matériau vient l'obstruer entraînant au mieux un arrêt de la production et au pire une mise hors-service de la machine. Enfin, les propriétés mécaniques de la pièce moulée peuvent être altérée si le refroidissement à l'intérieur du moule est trop rapide (déchirures, retassures, criques, porosités, etc.). ^ = ^ Canaux d'alimentation 4 Figure 1.1 : Plan en coupe d'un moule vue de dessus et de face. 2

16 Les entreprises évoluant dans un contexte compétitif à échelle mondiale, on comprend facilement que toute avancée des connaissances susceptible de leur donner un avantage concurrentiel soit prise en considération. De plus, dans le contexte énergétique actuel, les gains dus à des économies d'énergies apportés par des modifications de design et d'utilisation sont appréciables. Nous avons uniquement parlé du secteur sidérurgique jusqu'à présent, mais les domaines de la thermique ou de la climatisation ont aussi une place importante dans l'économie. Pour toutes ces raisons, avoir une bonne connaissance de l'évolution des phases liquides et solides d'un constituant dans un processus donné, permet des gains de rentabilité et des économies d'énergies. L'enjeu est d'obtenir des modèles de calculs valides et rapides. En effet, les modèles disponibles sont typiquement trop lents pour une gestion en temps réel de ces processus. 1.2 Revue bibliographique Depuis une vingtaine d'années, l'étude du phénomène de changement de phase d'un matériau sous l'effet de la convection a été le sujet d'un grand nombre de travaux. L'engouement pour l'étude de ces problèmes vient des nombreuses applications pratiques où le changement de phase peut être ensuite utilisé, principalement dans la métallurgie, et dans les systèmes de stockage d'énergie par chaleur latente. Bien que l'utilisation d'un modèle conductif utilisant des conductivités modifiées pour prendre en compte les effets de la convection ait déjà été utilisée, il y a très peu d'articles qui s'intéressent à leurs choix et à leurs descriptions. Dans ces conditions, dresser une revue bibliographique pertinente s'est révélé une tâche ardue. Pour revenir au commencement de l'étude de la solidification ou de la fusion, il nous faut faire un petit retour dans l'histoire. L'étude de l'évolution de l'interface solideliquide d'un mélange est un sujet qui a commencé par les études menées par Lame et Clapeyron en 1831 [6J. Mais se sont les travaux de Stefan sur la fonte des glaces en

17 qui ont donné son nom à ce type de problème où les conditions aux limites du système évoluent [7]. Neumann a alors développé une première solution analytique dans le cadre du corps semi-infini. Il a considéré le transfert de chaleur à l'intérieur des phases liquide et solide comme étant purement conductif. De plus, il a intégré l'absorption d'énergie due au changement de phase en imposant une condition à la frontière entre les deux phases. Le modèle de Neumann ne s'appliquant qu'à des coordonnées rectangulaires, Paterson a par la suite développé une méthode adaptant la solution de Stefan aux coordonnées cylindriques [7]. On constate que ces modèles analytiques ne prennent pas en compte la convection naturelle. Or, les travaux de Gau et Viskanta, sur la fusion du gallium dans une enceinte rectangulaire chauffée sur une paroi verticale, ont mis en exergue le rôle important joué par la convection naturelle sur la forme de l'interface et son évolution, mais aussi sur l'accroissement du taux de fusion qu'entraine la prise en compte de la convection naturelle par rapport au modèle de Neumann. En effet, on constate de 40 à 75 % de phase liquide en plus pour un même temps d'observation [8], Cependant, la prise en compte des phénomènes convectifs s'avère coûteuse en termes de temps de calcul lorsque l'on modélise numériquement ces processus. En effet, même dans le cas où l'on ne s'intéresse qu'à l'évolution de la position de l'interface solide-liquide, il faut quand même résoudre toutes les équations (conservation de la masse, quantité de mouvement, énergie). Or, ces problèmes sont fortement non linéaires, car le champ des vitesses dans la partie liquide définit le transfert de chaleur, et à cela se rajoute le problème des conditions aux limites qui varient à cause de l'évolution de l'interface solide-liquide. Comme le coefficient de transfert à cette interface est en général inconnu, l'équation couplée de l'énergie dans la partie solide et la partie liquide, ainsi que l'équation de la conservation de masse et de la quantité de mouvement doivent être résolues simultanément. Ainsi, même des problèmes à géométrie simple se révèlent complexes et très lents à simuler numériquement. C'est le cas par exemple lorsque l'on envisage de contrôler la température d'un four à haute température sur un intervalle de temps très long [9] ou de prédire le comportement thermique d'un système de stockage d'énergie par chaleur latente fonctionnant cycliquement [10]. Or, on se rend compte que bien souvent la connaissance du champ des vitesses nous est utile pour la résolution mais 4

18 ne nous intéresse pas par la suite. Une des solutions imaginée, pour gagner du temps lors de la résolution numérique, est d'abandonner le calcul des vitesses, et consiste à résoudre uniquement l'équation d'énergie en intégrant les effets convectifs via une modification de la conductivité [11]. Cela a déjà été employé pour prédire le comportement thermique des fours et ceux de systèmes de stockage d'énergie [10], mais la valeur de conductivité équivalente à utiliser doit être, en partie, déterminée expérimentalement. Hirata et Nishida se sont intéressés à la fusion d'un matériau à changement de phase (PCM) à l'intérieur d'un cylindre horizontal chaud [12]. Ils ont résolu ce problème en utilisant une conductivité équivalente dans la phase liquide du PCM. La valeur de cette conductivité équivalente a été fixée en fonction des résultats de la convection naturelle entre des cylindres concentriques horizontaux. Cette méthode a fourni de très bon résultat comparé aux résultats expérimentaux. Cependant, aucun de ces articles ne s'intéresse réellement aux calculs de la valeur de la conductivité modifiée la plus appropriée à leur étude. En effet, la plupart du temps il n'est jamais question de la méthode à utiliser afin de modifier correctement la variation de la conductivité. Celle-ci est souvent fixée empiriquement de manière à faire coïncider les données numériques et expérimentales. Dans notre étude nous allons montrer qu'il existe plusieurs corrélations de nombres adimensionnels obtenus à partir d'analyses d'ordre de grandeur, qui permettent d'évaluer l'augmentation de la conductivité. Nous étudierons successivement le cas où la convection forcée est dominante et ensuite celui de la convection naturelle. 1.3 Objectif et organisation du mémoire L'objectif principal de ce mémoire sera de trouver un modèle numérique simplifié (basé sur l'équation de l'énergie) permettant la résolution de problème de convection naturelle ou forcée. Notre modèle aura pour but de permettre une diminution du temps de 5

19 calcul, tout en fournissant des résultats acceptables en termes de positionnement de l'interface solide-liquide et d'estimation de la fraction liquide. Dans notre deuxième chapitre, nous étudierons deux systèmes où se produit un changement de phase : l'écoulement dans une conduite dont les parois sont froides, et la fusion d'un métal à l'intérieur d'une enceinte. Nous présenterons les différents modes de transfert de chaleur qui sont les vecteurs de la transformation pour ces deux exemples. Puis, nous définirons les modèles mathématiques permettant de résoudre ce type de problèmes. Les données expérimentales sont relativement peu nombreuses en ce qui concerne le changement de phase à l'intérieur de la conduite. Si nous voulons comparer les résultats de notre modèle à conductivité modifiée avec ceux données par un modèle numérique complet, il nous faut sélectionner et valider un modèle numérique complet de référence. Ce sera le travail présenté dans le troisième chapitre. Pour valider ce modèle de référence, nous effectuerons une étude de maillage en portant une attention particulière aux différentes quantités géométriques telles que l'épaisseur de notre couche solide, ou bien l'évolution de la fraction liquide. Dans le chapitre IV, nous développerons un premier modèle de changement de phase simplifiée, en modifiant l'évolution des paramètres thermodynamiques du fluide. Cela permettra, premièrement, de mieux comprendre le processus de solidification à l'intérieur de la conduite. Et deuxièmement, on pourra obtenir ainsi un ordre de grandeur des temps de calculs nécessaire à la résolution d'un problème de changement de phase effectué sans utilisation de la méthode enthalpique. Cela nous sera utile par la suite pour comparer la rapidité des différents modèles présentés dans le mémoire. Au chapitre V, on travaillera sur la modification de l'équation de la chaleur dans le cas de la convection forcée. On étudiera dans un premier temps l'ordre de grandeur de la conductivité. Puis dans un deuxième temps nous validerons cette étude en comparant 6

20 les résultats fournis par le modèle numérique proposé avec ceux utilisant la méthode enthalpique et le modèle fluide complet. Le chapitre VI nous permettra de faire l'étude d'un cas où la convection naturelle est dominante dans le processus de fusion. De la même manière qu'au chapitre V, nous commencerons par faire une étude de l'ordre de grandeur de la conductivité modifiée. Nous comparerons ensuite les résultats fournis par notre modèle avec ceux issus des travaux de [8] et [13]. Nous conclurons au chapitre VII en résumant les principaux résultats obtenus et en émettant des recommandations quand à la suite à donner à cet étude. 7

21 Chapitre II Présentation de deux problèmes (cas types) considérés 2.1 Introduction Nous l'avons vu dans l'introduction, les problèmes de changement de phase en présence de convection peuvent se traiter aujourd'hui correctement à l'aide, par exemple, de la CFD. Cependant, la résolution de ces problèmes nécessite un temps de calcul élevés même dans des situations où la géométrie est relativement simple. En effet, si aucune simplification n'est faite lors de la mise en équation du problème, on doit prendre en compte au minimum: la conservation de la masse, les équations de quantité de mouvement et l'équation d'énergie. De plus, les phénomènes tels que la turbulence ou les phénomènes électromagnétiques rendent les calculs encore plus complexes et longs. Le développement d'un modèle conductif simplifié de changement de phase a pour but, en réduisant le nombre d'équations, de diminuer le temps de résolution de problèmes semblables à ceux présentés dans ce chapitre. Dans ce chapitre, nous présenterons deux systèmes pour lequel le modèle simplifié sera mis à l'épreuve. Afin de quantifier la performance de ce modèle simplifié nous avons besoin d'un modèle de référence. Les modèles mathématiques et numériques de référence sont étudiés et le modèle simplifié est présenté succinctement. 2.2 Présentations des deux cas types étudiés Nous allons dans cette section, présenter les deux cas types que nous allons étudier. Le premier est celui du changement de phase dans une conduite en convection forcée, le second concerne la fusion d'un bloc de gallium dans une enceinte en convection naturelle. X

22 2.2.1 Cas type 1 : Changement de phase dans une conduite Nous allons présenter de manière qualitative l'écoulement d'un fluide à l'intérieur d'une conduite de longueur L, dont les parois sont à une température inférieure à sa température de solidification. Comme on le représente sur la figure 2.1, une interface liquide-solide se développe autour des parois de la conduite. Dans ce cas, le transfert thermique sera dominé par la convection forcée au sein de la partie liquide. Figure 2.1 : Vue en coupe de l'écoulement dans la conduite En considérant l'écoulement comme étant pleinement développé, on a alors suffisamment de connaissance sur le profil des vitesses et des températures pour décrire l'évolution de l'interface solide-liquide [14]. Comme on le voit à la figure 2.2, dans la zone proche de la paroi, deux conditions sont réunies pour permettre la création d'une couche solide : une vitesse très faible et une température proche de Tf qui est, rappelonsle, inférieure à la température de solidification du fluide en mouvement. Figure 2.2 : Forme des couches limites de vitesse et de température 9

23 Il va donc rapidement se développer une mince couche solide sur le contour du conduit. On peut penser que le taux d'accroissement de cette couche solide va décroître à mesure de son épaississement, car la couche solide constitue une résistance thermique additionnelle. La forme de la couche solide, que l'on devrait observer, est représentée à la figure 2.3. L'épaisseur de cette couche sera aussi fonction de la viscosité du fluide et de sa vitesse. Le nombre de Reynolds, basé sur la longueur L (ReiJ, permettra certainement de prévoir la forme de la couche solide. Figure 2.3 : Forme de l'interface liquide-solide Cas type 2 : Changement de phase dans une enceinte rectangulaire Le deuxième cas type étudié est celui de la fusion d'un bloc de gallium dans une enceinte rectangulaire de longueur L et de hauteur H. Cet exemple est illustré à la figure 2.4. Le changement de phase sera dû à la paroi gauche de l'enceinte maintenue à une température T c, supérieure à la température de liquéfaction du matériau. La convection naturelle sera le principal moteur de l'avancement du front de fusion à l'intérieur de l'enceinte. Ce problème a servi à démontrer la place importante occupée par la convection naturelle dans le processus de fusion du matériau [8]. A 15 M T, î Y x D Figure 2.4 : Vue en coupe de l'enceinte remplie de gallium 10

24 Lors de la fusion du bloc de gallium, il y a 4 régimes successifs dans le mode de transmission de la chaleur à l'intérieur de la phase liquide. Dans les premiers instants, la zone occupée par la phase liquide a une largeur très faible, il n'y a donc quasiment pas de transfert de chaleur par convection. Par conséquent, l'interface solide-liquide se déplace parallèlement aux murs chauds sous l'unique action de la conduction, cette évolution est représentée à la figure 2.5-a. Ensuite, lorsque la largeur de la phase liquide permet la naissance de la convection, on entre dans une période de transition : le régime est dit mixte et correspond à une combinaison de convection naturelle dans la partie supérieure de l'enceinte et de conduction dans la partie inférieure. Cela ce traduit par un plus grand taux de fusion dans la partie supérieure de l'enceinte, la forme de l'interface est donc modifiée, comme nous le montre la figure 2.5-b. Enfin, lorsque la phase liquide est devenue suffisamment large pour permettre un plein développement des mouvements convectifs, on atteint alors le régime purement convectif, où la majorité du transfert de chaleur à l'intérieur de la phase liquide est due à la convection naturelle. L'interface prend alors une forme concave au niveau du mur supérieur et convexe au niveau du mur inférieur tel que décrit à la figure 2.5-c. Finalement, si on attend suffisamment longtemps, l'interface cesse d'évoluer et on parle alors de régime permanent. Ce régime n'est pas représenté sur la figure 2.5, l'interface a la même forme qu'en 2.5-c. (a) (b) (c) Figure 2.5 : Évolution de l'interface solide-liquide lors du changement de phase à l'intérieur de l'enceinte, a) régime conductif, b) régime mixte, c) régime purement convectif 11

25 Bejan a effectué une étude sur l'évolution temporelle des régimes : conductif mixte, permanent convectif. Il en conclut que la durée de ces régimes et leurs établissements est avant tout fonction du nombre de Rayleigh de l'écoulement [15], celuici est égal au rapport entre les forces motrices (ici l'accélération due à la pesanteur) et les forces de viscosité (qui freinent le déplacement). 2.3 Modèle mathématique complet Dans cette section, nous allons définir le modèle mathématique complet qui est utilisé pour résoudre le type de problèmes que nous venons de présenter. Par «complet» on veut dire un modèle où tous les champs sont déterminés (u, v, p, T). C'est sur ce modèle que repose le logiciel commercial que nous utiliserons [16]. Les résultats fournis par ce logiciel nous serviront de référence afin de valider les résultats obtenus par notre modèle simplifié. Ce modèle mathématique complet sera utilisé sur les deux cas que nous venons de présenter Hypothèses simplificatrices Nous considérerons que l'écoulement dans la phase liquide est laminaire, incompressible et newtonien [8]. Nous négligerons la dissipation visqueuse. Les propriétés physiques du matériau seront considérées constantes et identiques dans les deux phases. La variation de volume, résultant du changement de phase, est négligée. De plus, nous utiliserons l'approximation de Boussinesq. Celle-ci implique que la densité p est considérée constante hormis dans le terme source de gravité, qui déclenche la convection naturelle dans l'équation de quantité de mouvement. Cette dernière approximation ne sera utilisée que lors de la résolution du problème de l'enceinte (cas type 2), car dans le problème de la conduite, nous négligerons l'effet de la gravité. I 2

26 2.3.2 Equations de conservation En prenant en compte les hypothèses posées précédemment, nous pouvons écrire le système d'équation suivant, où l'équation (2.1) traduit la conservation de la masse, les équations (2.2) et (2.3) représentent la conservation de la quantité de mouvement selon x et y, et l'équation (2.4) la conservation de l'énergie. Par ailleurs, pour écrire (2.4) on admet que la conductivité est indépendante de la température : f du du du^ p h u h v \dt dx dy ( dv dv dv p - + u h v \dt dx dy d(ph) dx + u du dv + = 0 dx dy dp dx + p d2 u ctu 0-f,) dx 2 dy : + - ^ L L ~ A, (f, -Q dp +v (d 2 v dy 5(ph) dx vôx 2 dv 0-f,)2 -pgp(t-tj + dy 2, 9(ph), r d 2 T + v =k dx 2 dy d 2 T^ dy 'A 1Ilush v (2.1) (2.2) (2.3) (2.4) Les derniers termes des équations (2.2) et (2.3) servent à bloquer les vitesses dans l'approche «enthalpie-porosité» que l'on a choisi pour simuler le changement de phase [16]. La constante de la zone pâteuse (A mus h) quantifie la perte de vitesse dans la zone où a lieu le changement de phase. Plus celle-ci est grande, plus la transition de la vitesse de la zone en cours de solidification tend rapidement vers zéro. Dans la littérature, la valeur de Amush varie, selon les cas traités, entre 10 4 et Grâce à l'étude menée par Gosselin [17J sur un problème similaire, nous fixerons sa valeur à 1.6x10. Par ailleurs, il est à noter que de trop grandes valeurs de Amush peuvent faire osciller la solution et retarder la convergence des calculs. De plus, bien que son influence soit faible, il faut savoir qu'une valeur trop faible d'a mus h tend à augmenter le taux de solidification et donc à diminuer la valeur de la fraction liquide (de l'ordre de 10-2 ). Enfin ^ est un réel de faible valeur (~10 ^K ) permettant d'éviter la division par zéro, ce qui permet ainsi de faire évoluer le dernier terme des équations (2.2) et (2.3) dans un espace borné. 13

27 Comme l'indique la forme de l'équation d'énergie (2.4), nous utiliserons une méthode «enthalpique» pour prendre en compte le changement de phase du gallium [13]. C'est-à-dire que nous définirons l'enthalpie totale h comme la somme de Penthalpie sensible et de la chaleur latente ÀH: h = h s +AH = Jc p dt + AH (2.5) où AH fl X. La fraction liquide locale (f ) correspond au ratio de la chaleur latente (X) absorbée localement: 0 (T < T s ) T~T S T, -T. (T<T<T.) (2.6) v (T>T, ) On peut réécrire l'équation (2.4), en utilisant les équations (2.5) et (2.6), de la manière suivante : A far di r d 2 T d 2 T^ + pc p - fil +u dx ôy dx dy. (d\\ af, ao A.p L + U L + V \ ôt dx dy (2.7) Maintenant que nous avons décrit le modèle mathématique complet, nous allons passer à la présentation du modèle numérique complet (CFD) utilisé lors de la résolution des différents problèmes étudiés. 2.4 Modèle numérique pour le modèle mathématique complet (CFD) Comme nous l'avons dit précédemment, nous allons utiliser le logiciel FLUENT afin de créer une base de données qui nous permettra par la suite de pouvoir comparer les résultats fournis par le modèle simplifié proposé. Ce code commercial se base sur la 14

28 méthode des volumes finis. Celle-ci consiste à discrétiser le domaine de l'écoulement en une multitude de volumes de contrôle, puis à effectuer sur chacun d'entre eux les bilans de masse, de quantité de mouvement et d'énergie. Le résultat est un ensemble d'équations algébriques (matrices) que l'on résout de manière itérative. Après discrétisation, l'équation de la variable O pour la cellule p peut s'écrire [18] : a p O p =E a nb < I ) nb+b (2.8) nb Où : -a est le coefficient de la variable <t> au centre de la maille - a nb sont les coefficients des variables O aux centres des mailles voisines - b est un terme source Le principal atout de la méthode des volumes finis par rapport aux autres méthodes est qu'elle est conservative. Nous allons reprendre en partie les schémas d'interpolations, choisis dans les travaux de [17] pour paramétrer nos modèles. Le schéma d'interpolation loi de puissance : «Power Law», pour les termes convectifs des équations de conservation, sera utilisé. En effet, il semble que ce schéma permette de prédire les interfaces solideliquide les plus proches des résultats expérimentaux [17]. Le calcul de la pression se fera à l'aide du schéma PRESTO [16] qui est bien adapté au gradient de chute de pression due au mouvement de rotation de la phase liquide, ce qui se produit dans le cas type 2. Mais on l'utilisera aussi pour le cas type 1 en présence de convection forcée car la «zone pâteuse» est considérée par le modèle «enthalpie-porosité» (celui utilisé par Fluent et présenté plus haut) comme un milieu poreux, et il est fortement recommandé de l'utiliser dès que l'on travaille en milieu poreux 116]. Le couplage entre vitesse et pression se fera à l'aide de l'algorithme SIMPLE développé par Pantakar et Spalding [19]. Il utilise une relation entre les corrections de 15

29 pression et de vitesse pour réaliser la conservation de la masse et obtenir un champ de pression. Il convient aux géométries simples, donc aux maillages du type de ceux que nous avons choisis, car nous utiliserons des éléments rectangulaires pour discrétiser le domaine des 2 cas types présentés ci-haut [16]. L'ensemble de ces informations est résumé à l'annexe I, qui est une sauvegarde des types de schéma de résolution et de discrétisation choisis lors de la résolution du problème de la conduite. 1.ors de la résolution itérative des systèmes matriciels issus de la discrétisation, on utilise un critère de convergence car au bout d'un certain nombre d'itérations, l'algorithme ne produit plus de changement significatif dans les variables entre chaque itération. Le critère de convergence est utilisé afin de stopper le calcul qui pourrait s'étendre indéfiniment sans pour autant apporter d'avantage de finesse. On définit le résidu d'un calcul comme étant la somme, sur toutes les mailles, des erreurs effectuées sur l'équation discrétisée (2.8) en question lorsque les variables déterminées par le processus sont réintégrées dans l'équation discrétisé. On impose alors une valeur minimale au résidu, dès que celle-ci est atteinte, le calcul est arrêté. Le résidu normalisé de la quantité O s'écrit donc [18] : p O _ Pcellules X a nb nb+b-a p cd p ni, Zk F (2.9) Pcellules Toujours en nous référant aux travaux de Gosselin [17], nous prendrons les valeurs suivantes : les résidus de vitesse en x et y seront fixés à 10~, ceux du balancement d'énergie seront fixés à 10". Enfin sur la masse locale, on accepte une distorsion maximale de 10 par rapport à la masse totale de la conduite. 16

30 2.5 Présentation du modèle conductif simplifié Dans cette section nous allons présenter succinctement la modélisation simplifiée que l'on va mettre en place pour répondre à l'objectif de ce mémoire. Celle-ci aura pour but de simuler le changement de phase en convection forcée et en convection naturelle, seulement au moyen de l'équation de la conservation de l'énergie en utilisant une forme modifiée de la conductivité. L'idée de base est que le transport de chaleur se fait mieux dans la partie liquide que solide en raison des mouvements convectifs. Ainsi, on augmente la valeur de la conductivité dans la zone liquide et tout le problème consiste à trouver la bonne façon quantifier cette augmentation de conductivité. Si nous reprenons l'équation (2.7), on peut l'écrire de la façon suivante : ktot,x ktot,y pc»i at ) f f _d_ dt Sx ôx k- PSuT ST/ dx ^ J) dy \ ar dy ( pc.vt ^ ST/ ' ôy J) + S (2.10) k x ' où Sqj est une terme source pour prendre en considération l'absorption de la chaleur latente avec le modèle «enthalpie-porosité» et qui correspond au dernier terme de l'équation (2.7). Par ailleurs, on rappelle que l'on travaille dans l'hypothèse où le fluide est incompressible. L'équation (2.10) permet de mettre en avant les quantités que nous allons chercher à intégrer à l'intérieur de la conductivité pour obtenir une conductivité modifiée. Ainsi, k correspond à la conductivité réelle du matériau, k,' = pc p u, / (ôt/ôi) sera appelé conductivité convective selon i (i=x ou y) et k to t,i est nommé conductivité totale selon i. La conductivité convective est une conduction fictive associée aux mouvements convectifs. La conductivité totale est donc simplement la somme de la conductivité réelle et de la conductivité convective. Par la suite nous allons essayer de trouver l'ordre de grandeur des expressions : V, P c p u i T k ST/ _ ;, avec i = x ou y ai (2.11) 17

31 Une fois l'ordre de grandeur de ces quantités obtenu en convection forcée et en convection naturelle, si nous les utilisons dans l'équation (2.10), nous devrions être en mesure de simuler le changement de phase sans avoir à résoudre les équations (2.1), (2.2) et (2.3). L'équation (2.10) peut-être résolue numériquement à l'aide d'une méthode utilisant par exemple les volumes finis. Nous utiliserons donc aussi le code commercial Fluent et les mêmes méthodes numériques décrites précédemment pour résoudre l'équation (2.10). Cela devrait nous permettre d'obtenir une évaluation correcte de la position du front de fusion ainsi que de la valeur de la fraction liquide moyenne. Il est intéressant de faire un parallèle entre notre modélisation et celles qui sont utilisées pour résoudre les écoulements turbulents. En effet, à cause de la non-linéarité des équations de Navier-Stokes, des tensions de Reynolds faisant intervenir des moyennes des produits de fluctuation (ou tension turbulente apparente) apparaissent et rendent le problème ouvert car on ne dispose plus de suffisamment d'équations pour pouvoir calculer l'écoulement. On développe alors des modèles de turbulences permettant d'évaluer la valeur moyenne des produits de fluctuations en fonction de la géométrie de l'écoulement [19]. Ces modèles de turbulence permettent de «fermer» le problème et de calculer les quantités qui nous intéressent (forces, pression, etc...). De la même manière, nous allons dans ce mémoire introduire des conductivités modifiées directionnelles et à partir d'un modèle, nous essaierons de les quantifier sans résoudre les équations de Navier-Stokes. Cela dans le but de localiser correctement l'évolution de l'interface solide-liquide plus rapidement et plus simplement. En conclusion, le travail de ce mémoire sera de fermer le problème en quantifiant les conductivités convectives avec un modèle. 2.6 Conclusion Le but de ce chapitre était de présenter les deux cas types que nous étudierons dans la suite de ce mémoire ainsi que les modèles mathématiques et numériques qui nous serviront de modèle de référence pour comparer les résultats obtenus avec le modèle conductif simplifié (lui-même présenté à la fin). 18

32 Nous allons effectuer une première série de simulation de l'évolution de l'interface solide-liquide à l'intérieur de la conduite à l'aide du modèle numérique complet. Cela permettra par la suite d'évaluer les performances du modèle simplifié, que l'on développera dans le cadre de la convection forcée, en comparant nos résultats au niveau de l'interface solide-liquide et de la fraction liquide moyenne. En ce qui concerne la convection naturelle, il y a déjà des données disponibles dans la littérature à la fois expérimentale [8] et numérique [13-17] pour nous fournir une source de comparaison en plus des simulations faites l'aide du modèle numérique complet. 19

33 Chapitre III Simulation du changement de phase dans une conduite (cas type 1) avec modèle CFD complet 3.1 Introduction Le premier système que nous allons étudier est celui où la solidification d'un fluide a lieu en présence de la convection forcée. Dans ce chapitre, nous étudierons l'écoulement et la formation de la couche solide à l'intérieur d'une conduite à l'aide du modèle numérique complet. En effet, afin de pouvoir ultérieurement critiquer les résultats fournis par le modèle simplifié, nous avons besoin de données de référence. Nous allons donc utiliser le modèle numérique complet, pour comparer les résultats donnés par celuici sur la simulation de la convection forcée dans la conduite. Nous définirons en premier lieu la géométrie du système que nous étudierons, et nous l'utiliserons pour donner une forme adimensionnelle aux équations de conservation. Puis, nous présenterons les principaux paramètres de calculs utilisés dans la résolution numérique de ces équations. Enfin, nous effectuerons une étude portant sur le choix du maillage le mieux adapté à notre cas et nous conclurons sur son choix. 3.2 Géométrie du système considéré Nous allons étudier la formation d'une couche solide sur les parois de la conduite formée de deux plaques planes. La solidification du matériau sera causée par la température des parois maintenue à une température Tf, inférieure à la température de fusion (T m ). On va utiliser le schéma décrit à la figure 3.1 pour étudier ce problème. :>.o

34 Le système simulé s'étend sur une longueur de 2><L, car on ne veut pas que les effets de bouts, dus à la sortie, viennent polluer l'évolution de l'interface sur la longueur caractéristique du domaine d'intérêt qui lui ne s'étend que sur L. En effet, la présence de la sortie (CD) a tendance à stopper l'évolution de l'épaisseur de couche solide, on l'a donc éloigné du domaine d'étude avec une extension «virtuelle» [21]. On considère que la paroi BC est adiabatique afin qu'elle n'ait pas d'influence sur le développement de la couche solide à l'intérieure de la zone 1. A L B <_ > < L c H/2 Figure 3.1 : Géométrie du conduit étudié u Le tableau 3.1 permet de détailler les conditions aux limites du domaine de calcul. La paroi AB est maintenue à une température Tf inférieure à la température de solidification du matériau (T m ). La paroi BC est adiabatique pour les raisons mentionnées plus haut et le segment DE est l'axe de symétrie du système. L'entrée est située en AE, où le fluide entre à température (T c >T m ) et vitesse (UQ) constante. La sortie est en CD. Tableau 3.1 : Conditions aux limites Segment Nom Condition aux limites AB Mur froid T=T f,u = v = 0 BC Mur adiabatique = 0,u = v = 0 CD Sortie DE Axe de symétrie _ =0;v = 0; [dy] (du) = 0 EA Entrée T =T C ; u = U 0 21

35 3.3 Modèle mathématique complet : équations sans dimension Nous avons défini à la section le modèle mathématique complet que nous allons utiliser. Néanmoins, on peut limiter le nombre de variables dans les calculs si nous posons les changements de variables suivants : T = T -T 1 m l f pu c A mu s h L musli / pu 0 (3.1) ~ ~ x,y x,y = - u,v u,v = u, I : (3-2) vu oy et en utilisant les nombres sans dimensions ci-dessous Pe L = pc pu 0 L Ste = c p(t m -T t.) Re L = pu 0L (3.3) Nous sommes alors en mesure de réécrire le système d'équations (2.1), (2.2), (2.3) et (2.7), sous la forme adimensionnelle qui suit : ôïï ôv + = 0 ôx ôy (3.4) ôïï _ ou _ ôïï dp 1 f d 2 u ôv (1-f, ) _ + u + v = A,,,, u Ôt dx Ôy ôx Re L {chi 2 dy 2 ) (Ç 3 nmsh -f,) ôv _ ôv _ ôv ôp 1 + u + v = -f- + - ôt dx dy ôy Re L ( -i2~ -i2~\ ' Ô V Ô V N +^U., (ç 3 -f,) (3.5) (3.6) ÔT ^ÔT ^ÔT 1 -T^ + U - + V = ôt ôx ôy Pe L ( ô 2 f ô 2 T^ + W Ste ~d^ ôf. _ ôf. ^ Ôf, _J_ + U L +v L ôt ôx ôy (3.7) 22

36 3.4 Description du maillage et des paramètres de calcul Nous utiliserons un maillage de type structuré, en partie à cause de l'utilisation du schéma PRESTO [16] décrit à la section 2.4, mais aussi parce que cela facilitera l'étude d'indépendance de maillage. On va étudier une succession de maillage en multipliant par deux la densité de nœuds à chaque fois sur H et sur L. Les cellules conserveront le même rapport (H/L) que le domaine étudié, et nous utiliserons un maillage du type de celui présenté à la figure 3.2 (avec, bien évidemment, une densité de mailles plus importantes). mur froid mur adiabatique * ~ V \ entrée < > sortie ^-~ axe de symétrie Figure 3.2 : Schéma du maillage utilisé pour la conduite Le tableau 3.2 nous donne les valeurs des principaux paramètres que nous utiliserons tout au long de l'étude d'indépendance de maillage. Ceux-ci ont été définis aux équations (3.3) et sont calculés à partir des propriétés thermodynamiques du gallium (cf. Annexe II). Nous avons choisi de travailler avec ce métal car ces propriétés sont disponibles dans la littérature [8]. Tableau 3.2 : Paramètres de calcul utilisés lors de l'étude de maillage Température du fluide entrant T c = 2 Nombre de Stefan Température du mur froid T f = 0 Nombre de Prandtl Température de solidification T m = 1 Facteur de forme St e = xlo" 2 Pr = x10 2 vly =

37 On a effectué des simulations pour les nombres de Reynolds (basés sur la longueur L) suivants : 1000, 2000 et Nous avons pris ces valeurs en dessous du Reynolds critique donnant la transition laminaire-turbulent, qui dans les conduites cylindriques, vaut 2300, en utilisant la relation : Re H =(L/H)Re L (3.12) La conduite n'étant pas cylindrique, si l'on effectue le calcul du nombre de Reynolds critique en utilisant la formule donnant la valeur du diamètre hydraulique en fonction de la forme de la section perpendiculaire à l'écoulement (A c ) et de son périmètre (P), il vient [14]: Dh = 4A C /P = 2H. On a donc : ReH.critique = Vi ReDh.oïtique- Ainsi, les simulations se passent dans une plage de nombres de Reynolds où la transition laminaire-turbulent peut avoir eu lieu. Cependant nous continuerons à considérer l'écoulement comme laminaire car l'ordre de grandeur de Ren est proche de celui effectué avec le calcul du diamètre hydraulique. De plus, cela nous permet de conserver des modèles mathématiques et numériques relativement simple. 3.5 Estimation du temps d'atteinte du régime permanent Le critère d'atteinte du régime permanent sera l'absence d'évolution du taux de transfert de chaleur au mur froid en référence à l'étude menée par [21] sur un cas analogue. La figure 3.1, nous montre l'évolution du taux de transfert de chaleur sur la paroi maintenue à T c pour un ReL de 1000 et 2000 et un rapport H/L de 0.6. On a volontairement effectué une simulation sur un temps assez long, afin de voir à partir de quel moment le régime permanent était atteint. Nous avons utilisé pour les simulations les paramètres du tableau 3.1 qui sont calculés selon les propriétés thermodynamiques du gallium (cf. Annexe II). Comme on peut le constater, le régime permanent est atteint à partir de \ ~ 500 (et cela pour les deux valeurs de ReiJ. Nous pourrons donc effectuer les simulations sur un intervalle de t allant de 0 à 500. Cet intervalle de simulation correspond à l'ordre de grandeur de l'intervalle de temps choisi par Tehar sur un cas similaire [21]. Il déclarait le régime permanent atteint pour un temps t = 150h, et si nous reprenons notre adimensionalisation avec ses données on trouve que ÎRP= 500 correspond à un temps trp = 173h, ce qui n'est très éloigné de 150 h. 24

38 o - chaud -0, i. 1 '! 1 i l i i i i l i i i i., i i t ,2 - -0,3,- "" -0,4 - / 1-0,5-0,6 - ; i -0,7-0,8 Re L =1000-0,9 Re L =2000 i Figure 3.3 : Évolution du flux de chaleur à la paroi froide, avec H/L = 0.6 et 160 nœuds par unités de longueur. 3.6 Étude de maillage Nous cherchons à obtenir une estimation précise du front de solidification et de la fraction liquide moyenne. Pour cela, nous allons faire varier le maillage comme décrit précédemment (cf. 3.4) et nous intéresser à l'évaluation de la fraction liquide et à l'estimation de la position de l'interface solide-liquide donnée par l'utilisation de différentes tailles de maillage Effet du maillage sur l'évaluation de la fraction liquide lors du changement de phase dans la conduite Nous avons fait une série de simulations en faisant varier le nombre de Reynolds de l'écoulement et la taille des mailles. Nous sommes parti d'une taille de maillage de 20><6 et nous avons à chaque fois multiplié par 2 le nombre de nœuds sur chaque face entre 25

39 chaque maillage. En observant la figure 3.4, montrant l'évolution de la fraction liquide moyenne à l'intérieur de la conduite, on remarque la proximité des valeurs finales pour lestailles 160x48, 320x96 et 640x192. i 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3-0,2 0,1 20x6 40x12 80x24 160x48 320x x * Figure 3.4 : Évolution de la fraction liquide moyenne en fonction du maillage, Re L = 2000, H/L = 0.6 On a effectué le calcul de la variation de la valeur finale (une fois le régime permanent atteint) de la fraction liquide moyenne. Cette variation est exprimée en pourcentage dans le tableau 3.2, à l'aide de l'équation : Af, = f u- f i, Af, = f,. +i xloo (3.13) où (1+i) représente le cas raffiné une fois par rapport au maillage i. On constate que pour des valeurs de Re L > 1000 on trouve une différence très faible entre les valeurs finales de fraction liquide moyenne des maillages 160x48, 320x96 et 640x192. En fait, pour des écoulements trop lents ou trop visqueux, on se rapproche du blocage de la conduite ce qui n'a pas d'intérêts pratique. Le blocage physique provient du fait que la croissance de la couche solide sur chacune des parois est telle que celles-ci 26

40 se rejoignent et finissent par boucher la conduite. Ce blocage physique de la conduite entraine d'un point de vue numérique l'impossibilité de respecter l'équation de conservation de la masse puisqu'une certaine quantité de matière entre dans le système sans avoir la possibilité d'en sortir. Le résidu portant sur le calcul de la conservation de la masse s'accroit alors jusqu'à provoquer l'arrêt du calcul car il diverge trop. De plus, pour simuler les écoulements lents (Rei,<1000) il nous faut une densité de maillage importante pour obtenir la convergence du résultat final (cf. tableau 3.3), ce qui entraine une hausse des temps de calculs. Tableau 3.3 : Valeur finale de la fraction liquide moyenne en fonction du maillage et dere L (H/L = 0.6). i nr>n - oc\r\r\ : Rei. = - isnn î VKjyi Re L = ZUUu Re L maillage Af, Af, Af, ft ïi f, f. Â f, 20x6 0,595 0,731 0,799 40x12 0,533 11,50% 0,647 12,86% 0,736 8,58 % 80x24 0,503 6,04 % 0,617 4,89 % 0,693 6,25 % 160x48 0,476 5,73 % 0,601 2,72 % 0,681 1,72% 320x96 0,457 4,03 % 0,594 1,11% 0,677 0,51 % 640x92 0,449 1,81 % 0,593 0,26 % 0,679 0,32 % JoUU Ainsi, nous pouvons dire à la vue des résultats portant sur l'évaluation de la fraction liquide moyenne que les maillages de taille 160x48, 320x96 et 640x192 offrent une bonne estimation de cette valeur dans la plage des ReL que nous allons étudier. On va maintenant regarder s'ils donnent le même positionnement de l'interface solide-liquide, afin de sélectionner la taille de maillage qu'on utilisera comme modèle de référence. 27

41 3.6.2 Effet du maillage sur l'évaluation de la position l'interface solideliquide On s'intéresse dans cette section, au positionnement de l'interface solide-liquide fourni par le modèle numérique complet utilisant les tailles de maillage de 160x48, 320><96 et 640x192. Comme on le remarque de manière qualitative sur la figure 3.5, l'épaisseur de la couche solide est une fonction décroissante du Rei.. D'ailleurs, pour un Rei, de 1000, il y a très peu d'espace libre pour l'écoulement, c'est donc une valeur critique car il y a un risque de blocage (physique et numérique), comme nous l'avons vu auparavant (cf ). ^---- Re, = 1000 T Re, = 2000 ^-^ ; y' (a) Re L = :3800 ^^-^_ J (b) Figure 3. 5 : Position de l'interface vs Re L, 160x48, Re L = 2000, H/L = 0.6 (c) La figure 3.6 nous permet de constater que si l'on superpose les interfaces solideliquide obtenues pour les maillages de 160x48, 320x96 et de 640x192 (effectué pour Rei. = 2000), les figures se confondent entre elles. Cela revient donc à dire qu'en terme de localisation de l'interface solide-liquide les trois maillages sont équivalents. Donc nous utiliserons la taille 320x192 avec le modèle numérique complet (ou CFD complet) comme modèle de référence. 28

42 (a) 160x48- Re L =2000 (b) 320x96- Re L =2000 (c) 620x192 - Re L = 2000 (d) Superposition de a, b et c Figure 3.6 : Tracé de l'interface en fonction du maillage, Re L = 2000, H/L = Conclusion Cette étude nous aura permis de sélectionner un modèle de référence pour pouvoir étudier l'écoulement et la formation de la couche solide à l'intérieur de la conduite dans le cadre d'un changement de phase sous convection forcée. Cela nous sera d'une grande utilité pour pouvoir par la suite comparer les résultats fournis par notre modèle simplifié. Nous prendrons 320x96 comme taille de maillage dans la suite de nos simulations. En effet, ce maillage fournit une bonne estimation de fraction liquide moyenne et du positionnement de l'interface solide-liquide. De plus, dans le cas de la conduite de rapport H/L = 0.6 que nous allons étudier par la suite, c'est le meilleur compromis entre précision des résultats et temps de calculs. 29

43 Chapitre IV Résolution du problème de changement de phase dans la conduite par modification de c p et de \i 4.1 Introduction Nous l'avons vu au chapitre II, la convection naturelle ou forcée joue un rôle clé lors de la fusion ou de la solidification d'un matériau à l'intérieur de la conduite ou de l'enceinte. De plus, nous avons montré au chapitre III que le modèle fluide complet, via l'utilisation de la méthode «enthalpie-porosité», permettait de localiser avec une bonne précision le front de fusion. Pour développer le modèle conductif simplifié, on devra définir le domaine comme un solide dans le solveur utilisé par Fluent afin de pouvoir utiliser une formulation directionnelle de la conductivité. Or ce solveur ne permet pas d'activer simultanément l'approche «enthalpie-porosité» pour considérer l'absorption de la chaleur latente (k) avec un domaine solide. On doit donc trouver un autre moyen de considérer X. Nous allons donc passer par une modification de la chaleur spécifique afin de simuler le changement de phase. Ainsi, nous avons besoin de connaître le temps nécessaire au modèle CFD complet (mais utilisant la modification de c p au lieu de l'approche «enthalpie-porosité») pour résoudre le problème de la conduite, afin de pouvoir juger de la pertinence du modèle conductif simplifié, et c'est dans ce but que nous travaillerons tout au long du présent chapitre. Le changement de phase du matériau suppose, d'un point de vue énergétique l'absorption de la chaleur latente de solidification et d'un point de vue cinétique la création d'une zone où la vitesse du fluide est nulle : la couche solide. Dans ce chapitre, 10

44 nous nous proposons donc de modéliser le changement de phase en modifiant l'évolution de c p en fonction de la température pour prendre en compte la chaleur latente et de la viscosité (i(t) pour bloquer les vitesses dans la zone solide. 4.2 Modélisation du changement de phase par modification de l'évolution de c p (T). Dans un premier temps, nous nous concentrerons uniquement sur la modélisation du changement de phase sans écoulement. Dans ce but, nous allons essayer de retrouver les résultats du problème de Stephan que nous avons cités au chapitre I, et où seul le changement de phase en conduction intervient Résolution du problème de Stefan Dans cette section on va résoudre le problème de Stefan en utilisant la modification de c p pour simuler le changement de phase. L'exemple que nous allons étudier est celui de la cavité de gallium vue au chapitre II (cf. figure 4.1) : un bloc de gallium est disposé dans une enceinte rectangulaire dont les parois sont adiabatiques, exception faite d'une surface verticale maintenue à T c > T m et d'une autre T f < T m, où T m est égale à la température de fusion. u Liquide x(t) X ' /. Solide ' / Figure 4.1 : Schéma de l'enceinte 3 I

45 En ne considérant que les effets dus à la conduction et en supposant le problème comme étant unidimensionnel, cela revient à résoudre l'équation d'énergie : dt P c dt ôxl dx 'chgt.o (4.1) où S d, ( représente le terme source de changement de phase. C'est ce qu'on appelle le problème de Stefan Solution de Neumann Nous l'avons cité brièvement au chapitre d'introduction (cf. 1.2), Neumann a proposé une solution analytique au problème de Stefan. Il a étudié la fusion d'un bloc solide sous l'action de la conduction. Il a construit sa solution en imposant des conditions de température constantes aux frontières de son domaine et une condition de conservation d'énergie au niveau de l'interface solide-liquide. Le transfert de chaleur à l'intérieur des parties liquide et solide est unidimensionnel et purement conductif. La figure 4.2 expose la mise en équation de ce problème. T T.. ôt ÔT, SX T, et k - -k,- - = À,pdx Dx Ô\ Interface Liquide ô f. P,C, k. ' P dt dx ÔT A T = T f T = T.. > T Solide s^' p "st _ âx" X(t) 5T dx Hgure 4.2 : Mise en équation du problème de Stefan par Neumann [7] V2

46 La solution de Neumann, qui donne la position du front de fusion en fonction du temps, peut s'écrire [7] : X(t) = 2^^/o^t (4.2) où, est la solution de l'équation : Ste, s te s V a s = ^n (4.3) a, V as avec : Ste, = C P(T,-T m ) X et Ste, = C p(t m -T s ) /, (4.4) À l'aide du logiciel Maple et des valeurs du tableau donnant les propriétés thermodynamique du gallium (cf. Annexe II), nous avons tracé l'évolution de X(t), solution analytique de Neumann au problème de Stefan. L'évolution du front de fusion, est tracée à la figure 4.3, où X(t) représente l'abscisse de l'interface solide-liquide en fonction du temps. Dans la prochaine section, nous allons tenter d'obtenir la solution de Neumann numériquement en faisant varier c p (T) pour considérer la chaleur latente X(m) 0.04 o.on / / / 0.0 -f 1 1 r r ,000 1,500 2,000 t(s) Figure 4.3 : Évolution de X(t) solution de Neumann 33

47 4.2.3 Modélisation numérique du changement de phase Dans cette section nous tenterons de simuler numériquement le changement de phase du gallium à l'intérieur de l'enceinte en modifiant le coefficient c p. Comme nous l'avons vu, le changement de phase requiert de l'énergie : la chaleur latente (k). Nous allons reproduire cette absorption d'énergie en modifiant la valeur du c p, comme cela est décrit à la figure 4.4. On va centrer l'augmentation de c p sur la valeur de la température de fusion (T m ) et veiller à ce que l'aire du triangle ainsi obtenue soit égale à la chaleur latente. On doit donc respecter la relation suivante : Ac AT - = X (4.5) ' p.mod if'u p.réel T - T T +^ Figure 4.4 : Définition du c p (T) pour inclure la chaleur latente Résultats issus de la modélisation numérique Nous avons résolu numériquement l'équation de conduction (4.1) à l'intérieur de l'enceinte en faisant varier l'intervalle de température (ATcf. figure 4.4) et le pas de temps (At). Pour des valeurs d'intervalle AT trop petites (10 2 K et 10~ 3 K), le calcul ne prend pas en compte le changement de phase si le pas de temps At est trop grand. Mais, si 34

48 l'on prend un AT trop grand alors on ne simule pas vraiment la fusion d'un matériau pur, car celle-ci est supposée se dérouler à température constante. Il nous faut donc trouver le couple (AT; At) assurant le meilleur compromis entre temps de calcul et simulation correcte du changement de phase. Le tableau 4.2 résume cette problématique en mettant en parallèle des valeurs de AT, de Cpmodifié et de At qui ont été testées. Tableau 4.1 : Valeurs des AT, Cp, m0 difié et At utilisées AT(K) Valeur du c p, mo dif.é (J / kg K) At(s) ,5 0, ,5 0, ,5 0, ,5 0,01 Les couples (AT = 2K At = 0.1s) et (AT = 1K, At = 0.1s) ont donné des résultats satisfaisant en ce sens qu'ils collent bien à la solution analytique comme on le voit bien à la figure (4.5). Ainsi, comme le second couple a permis d'effectuer les calculs plus rapidement que le premier et qu'il représente mieux un changement de phase à température constante (sur un AT plus petit), c'est ce dernier que nous utiliserons par la suite. La comparaison entre la position de l'interface solide-liquide X(t) issue de la solution de Neumann et celle fournie par notre modèle numérique avec une valeurr de c p modifiée est présentée à la figure 4.5 pour les différentes combinaisons de AT et At du tableau 4.1. On constate qu'il y a divergence entre la solution de Neumann et notre modèle à partir du moment où l'influence des conditions aux limites (X max,enceinte = 8.89 xl0~ 2 m), à savoir le mur froid, rentre en compte. En effet lorsque le front de fusion est proche du mur froid, un équilibre thermique se met en place et le régime permanent est atteint, ce 35

49 qui stoppe l'évolution de l'interface. Cela n'est pas pris en compte par la solution de Neumann qui suppose un milieu semi-infini. Nous avons donc réussi à reproduire correctement l'évolution du front de fusion dans le cadre du problème de Stefan (conduction) en modifiant uniquement l'évolution du c p de notre matériau. À présent, si l'on veut modéliser numériquement un changement de phase en convection (comme dans la conduite), en calculant explicitement l'écoulement (u,v,p) mais sans l'approche «enthalpie-porosité» présentée à la section 2.3.2, il faut bloquer les vitesses dans la partie solide du domaine. L'approche retenue pour ce faire (augmenter la viscosité sous la température de fusion) est décrite à la prochaine section. 0,14-0,12 AT = 2 K et At = 0,1 s AT = 1 KetAt = 0,l s AT = 0,1 KetAt = 0,01 s 0,08 - AT = 0,01 KetAt = 0,01 s - Solution de Neumann, équation (4.2) 0,06 0,04 0, t(s) Figure 4.5 : Comparaison de la position de l'interface solide-liquide X(t), modèle de Neumann et modèle à c modifié. 36

50 4.3 Paramétrage de la viscosité pour bloquer les vitesses dans la partie solide. On a démontré qu'il était possible d'obtenir une bonne localisation du front de fusion en modifiant la chaleur spécifique dans un problème de changement de phase en conduction. Nous allons maintenant considérer le cas du changement de phase soumis à de la convection forcée et où l'on souhaite calculer explicitement la composante des vitesses avec les équations (2.2) et (2.3) tel que décrit au chapitre précédent, et voir de quelle façon nous devrions paramétrer la viscosité pour obtenir des résultats corrects. En effet, si nous augmentons la viscosité de manière importante pour T < Tf, nous devrions bloquer les vitesses dans la couche solide. Ainsi, cette variation de viscosité conduit à un modèle numérique CFD qui n'utilise pas l'approche «enthalpie-porosité». Nous utiliserons comme géométrie du problème la conduite décrite au chapitre III Variation simultanée de c p et de u Une manière de modéliser l'absorption de la chaleur latente et l'immobilité de la couche solide est de modifier en parallèle la valeur de u et de c p. Nous allons donc faire évoluer ces deux paramètres linéairement et simultanément en fonction de T, de manière à reproduire le changement de phase (par absorption de la chaleur latente de solidification) et la création de la couche solide (par la hausse de la viscosité), comme cela est décrit à la figure

51 i L p.mod ifié Ac p / I \ \ \ c D V \ i i AT T M-modifié A(i T M-réel T -*E T T + ^ 2 '" '" 2 Figure 4.6 : Modification de la chaleur spécifique et de la viscosité pour simuler le changement de phase et la couche solide à l'intérieur de la conduite. T Recherche du bon intervalle Au En ce qui concerne le paramétrage du c p, nous allons garder les paramètres utilisés en Mais, pour trouver une bonne évaluation de u(t), nous allons faire évoluer l'intervalle Au. Nous allons observer l'influence que cela a sur le développement de la couche solide au niveau des résultats fournis par le modèle numérique complet. Dans ce but, on a effectué une série de simulations pour différentes valeurs de [^modifiée Irréelle dans un écoulement dont le ReL est égal à 2000, valeur médiane de l'intervalle d'étude. La figure 4.7 nous expose le résultat de ces différents calculs. 38

52 On remarque que pour des rapports trop petits, la couche solide ne se développe pas ou très peu ; c'est le cas pour 2xl0 2 et 2x En revanche à partir d'un certain ordre de grandeur (~10 4 ), il ne semble pas y avoir de différences significatives entre les profils de couche solide. r 1 modifié -=2xl0 2 Mrée, r modifié ==2xl0 3 M-réel ' modifie M-réel = 2xl0 4 r modifié -2xl0 5 'réel ZJ Figure 4.7 : Positionnement de la couche solide vs ^modifiée / Hréeiie> H/L = 0.6 On constate que les profils de couche solide, issus des simulations effectuées avec les deux derniers rapports, donnent une estimation correcte de la forme de la couche solide. Nous choisirons la valeur Umodifiée/M-réeiie = 2x10 dans un souci d'économie de temps de calcul. En effet, l'utilisation du dernier rapport (2x10 ) implique un temps de calcul de 360 h contre 72 h pour le troisième (2xl0 4 ). On a aussi fait varier le paramétrage de la viscosité de manière à améliorer le positionnement de l'interface solide-liquide. Les résultats de ce travail sont disponibles à l'annexe III. Il ressort de cette étude qu'il est possible d'obtenir une bonne estimation de la position du front de fusion par modification du c p et de u. Cependant les temps de calculs sont trop importants pour que ce type de résolution soit utilisé (le calcul dure 50 h en moyenne). 39

53 4.4 Conclusion Ce travail était rendu nécessaire à cause de l'impossibilité pour Fluent de prendre en compte à la fois la modification directionnelle de la conductivité et le changement de phase par méthode «enthalpie-porosité». Le but de ce chapitre était de voir si nous pouvions obtenir une bonne évaluation de la position de l'interface solide-liquide dans le cadre de problème de changement de phase sous convection forcée, en utilisant un modèle fluide complet, sans avoir à passer par une méthode «enthalpie-porosité». Il s'agissait aussi d'obtenir les temps de calculs nécessaire à la résolution de ce genre de problème en utilisant ce type de modélisation. Ces deux objectifs ont été atteints aux vues des résultats obtenus en et La méthode basée sur la modification du c p et de u donne des résultats corrects. Mais, le temps de calcul nécessaire pour les obtenir est trop long comparer à ceux de la méthode «enthalpie-porosité» (~3 h). Néanmoins, ce chapitre nous permettra par la suite de pouvoir évaluer la pertinence de notre modèle (basé sur la modification de l'équation de conservation de l'énergie) en termes de temps de calcul. 40

54 Chapitre V Modélisation du changement de phase sous convection forcée pour le cas type 1 par modification de la conductivité 5.1 Introduction Nous avons vu dans le chapitre précédent que l'on pouvait, grâce à la modification de la viscosité et de la chaleur spécifique du fluide, obtenir un bon positionnement de l'interface solide-liquide. Malheureusement, le temps de calcul nécessaire à l'obtention des profils générés par cette méthode est supérieur à celui de la méthode «enthalpie-porosité». L'objectif principal de ce mémoire est de développer un modèle permettant de simuler des processus de changement de phase en présence de convection seulement à l'aide de l'équation de conduction et d'une forme modifiée de la conductivité. Dans ce chapitre nous allons mettre en œuvre cette modélisation (pour le cas type 1). Cela permettra d'effectuer des simulations en utilisant une seule équation au lieu de quatre pour les modèles classiques de changement de phase. On espère ainsi obtenir des résultats corrects dans des temps restreints. Nous utiliserons les résultats du chapitre III pour comparer les performances du modèle conductif simplifié. La prise en compte de la chaleur latente de solidification (k) décrite au chapitre IV sera utilisée. 41

55 5.2 Définition du modèle à conductivité modifiée Equation de conservation de l'énergie modifiée L'équation de conservation de l'énergie, lorsque l'on tient compte de la convection forcée (équation (3.7)), peut aussi être écrite de la manière suivante : dt d dt ôt dx dx f V f V Y \ f f 1 ÏÏT d ÔT + >e dt dy c'y dx ) ) V v Pe ÔT dy \A J) (5.1) En introduisant les quantités suivantes, que l'on nommera conductivités convectives selon l'axe x ou y : k. = ïït (5.2) vôx y v^y on est alors capable de réécrire l'équation (5.1) de la manière suivante : ÔT d_ f'/ 1 ~ '}dt ôt ~ dx k Vv Pe J dx d_ (r 1 3y \S Pe k'1-î \ + S, (5.3) la conductivité totale étant définie comme k to t,i = (1/PÊL - kj ) avec i = x ou y. Nous allons bâtir le modèle simplifié (ou modèle à conductivité modifiée) en utilisant l'équation (5.3). De plus, on modifiera l'évolution du c p tel que vu au chapitre IV afin de prendre en compte l'absorption d'énergie due au changement de phase. La valeur de c p se trouve à l'intérieur de l'expression du nombre de Peclet dans cette modélisation. Autrement dit, dans ce chapitre So = 0, car on ne considère pas la méthode enthalpique. L'intérêt de notre modélisation est qu'elle repose sur la résolution d'une seule équation ; elle est donc plus simple à mettre en œuvre et plus rapide à calculer. Il nous faut pour cela obtenir l'ordre de grandeurs des conductivités conductives afin de pouvoir «fermer» le problème. 42

56 5.2.2 Ordre de grandeur du rapport des conductivités totales Nous allons dans cette section définir la conductivité modifiée (k m ) comme étant le rapport des conductivités totales. La connaissance de son ordre de grandeur nous sera très utile pour résoudre l'équation (5.3) en régime permanent. Si nous considérons les ordres de grandeurs suivants : ïï «1, v ~ 0, T «1, x «1, d'où l'on tire df I dx = 1, alors il vient : K=~y± -«Pe L (^CL +l)*l + Pe L (5.4) / Pe L-k y ' Ainsi nous devrions trouver des ratios de conductivités totales k m proportionnels à l'ordre de grandeur des nombres de Peclet que nous allons utiliser dans les simulations Calcul des valeurs des conductivités convectives x et k y à l'aide du modèle CFD complet Dans cette section nous avons voulu vérifier si l'analyse d'ordre de grandeur réalisé en était valide. Nous avons réalisé des simulations avec le modèle CFD complet (cf. chapitre III) et calculer les valeurs de k x et k y avec les équations (5.2). En effet, Fluent permet de programmer le calcul d'une Custom Field Function (CFF) [16] qui est évaluée à la fin de chaque pas de temps. C'est cette fonctionnalité que nous avons utilisée afin de calculer les valeurs des conductivités modifiées. On suppose que la dépendance spatiale de k m est faible. On a effectué les simulations de l'état transitoire jusqu'au régime permanent, afin de trouver une valeur moyenne de x et k y. Nous avons rajouté une constante Ç au dénominateur de (5.2), afin de supprimer les cas de divisions par 0. Le calcul s'écrit : f 3^ rit " 6 +c avec Ç «10, n = x ou y (5.5) 43

57 Les résultats issus de ces simulations sont regroupés à l'intérieur du tableau 5.1, où l'on a effectué la moyenne spatiale des différentes quantités une fois le régime permanent atteint. Pour ce faire, on rappelle que (5.5) permet d'évaluer cette quantité pour chaque cellule, on a donc fait la moyenne sur toutes les cellules. On constate que c'est surtout la conductivité totale selon l'axe x (direction principale de l'écoulement) qui est sensible à la variation du nombre de Peclet comparativement à la conductivité totale selon l'axe y. Cela s'explique par le fait que la vitesse v est proche de zéro dans toute la partie liquide d'où des valeurs de y très faibles. La dernière ligne du tableau exprime le quotient des deux conductivités totales, cela va nous être utile car en régime permanent l'équation (5.3) s'écrit : ô 2 T r ô 2 T A -37^+ 5-= 0 dx oy (5.6) Tableau 5.1 : Valeurs des conductivités totales et modifiées vs ReL, H/L=0.6, obtenu par utilisation de la CFF. Re L k t ot,x : i" B - 4,815 3,878 4,521 8,237 20,467 55,124 99,158 = 1 k t«t,y -k' Pe L ' 0,1615 0,112 0,138 0,217 0,451 1,043 1,571 ^m = kfot.x k tôt, y 42,193 48,033 39,589 41,479 47,016 53,524 63,592 Nous allons vérifier si on peut utiliser directement les valeurs du tableau 5.1 dans le modèle conductif simplifié. On va utiliser ces valeurs pour paramétrer notre modèle conductif simplifié de la manière décrite à la figure 5.1. Dans la partie solide, les conductivités directionnelles totales selon les deux axes sont égales à la conductivité réelle du matériau. Par contre, dans la partie liquide, afin de prendre en compte l'écoulement, on prendra comme valeurs de conductivité R t ot,x et ïc t ot,y - L'interface 44

58 solide-liquide sera définie par les isothermes comprises entre (î m +AÎ/2)= (T m AT/2)=0.995 et ' réelle T ^tot.y irréelle m 2 J V T + AT T Figure 5.1 : Définition des conductivités vs T Résultat et analyse Nous avons effectué les simulations en utilisant notre modélisation simplifiée et les paramètres issus du tableau 5.1. La géométrie, le maillage et les paramètres de temps choisis pour la simulation sont décrits au chapitre III (cf. figure , et tableau 3.2). Les conditions aux limites sont résumées dans le tableau 5.2, les changements à ce niveau par rapport au modèle numérique complet sont l'absence des conditions de vitesse en entrée et en sortie puisqu'on ne résout plus les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement ; de plus à la sortie on impose dt/dy = 0. 45

59 Tableau 5.2 : Conditions aux limites Segment Nom Condition aux limites AB Mur froid f = f f BC Mur adiabatique = 0 CD Sortie r df^ = 0 DE Axe de symétrie [dx; = 0 EA Entrée T = T C Nous nous sommes aperçus qu'en utilisant directement les conductivités totales issues du tableau 5.1 dans le modèle à conductivité modifiée, on n'arrive pas à bien localiser l'interface solide-liquide. Les conductivités totales du tableau 5.1 sont trop élevées et ne permettent pas d'obtenir une couche solide suffisamment épaisse, comme on le voit à la figure 5.2, représentant la position de l'interface solide-liquide. Par conséquent le tableau 5.1 permet de valider notre analyse d'ordre de grandeur (car on a bien ( m ~ l+pe L ), mais ces valeurs ne peuvent être utilisées directement pour paramétrer notre modèle à conductivités modifiées. Prenez note que dans la suite de cette étude, le positionnement du front de fusion issu d'un calcul fait avec le modèle conductif simplifié sera repéré par une flèche en pointillé et celui issu du modèle fluide complet (CFD) avec une flèche pleine, comme à la figure 5.2. Modèle à conductivité modifiée CFD complet Figure 5.2 : Position de l'interface solide-liquide, modèle à conductivité modifiée paramétré avec le tableau 5.1 vs modèle CFD complet 46

60 La suite de notre étude va donc consister à déterminer plus précisément la valeur de k m (conductivité modifié) à utiliser dans le modèle conductif pour obtenir des interfaces plus semblables à celle du modèle CFD complet. 5.3 Recherche des valeurs de conductivités modifiées Méthodologie employée Nous venons de voir que le calcul direct de la conductivité modifiée ne fournit pas de profils suffisamment précis. Nous allons utiliser une autre stratégie. À l'aide des résultats trouvés en 5.2, nous allons faire évoluer le rapport des conductivités entre 0 et la valeur maximale issue du calcul direct. Nous ferons ces simulations en régime permanent pour des raisons d'économie de temps de calculs devant le grand nombre de cas à résoudre. À la fin de chaque simulation, on viendra chercher les quantités exposées sur la figure 5.2 : l'épaisseur maximale (e max ), l'épaisseur de sortie (e sor tic) et la fraction liquide moyenne. Celle-ci sera calculée à partir de l'aire se trouvant entre l'axe de symétrie et la courbe isotherme à T = 1. On utilisera le logiciel «Graph Digit 2.1» afin de discrétiser l'interface solide-liquide. Ensuite, on fera l'intégrale de la courbe ainsi digitalisée par la méthode des trapèzes. Les quantités ainsi obtenues avec le modèle conductif, seront comparées avec le modèle CFD complet. zone liquide couche solide Figure 5.3 : Paramètres mesurés sur le profil obtenu avec le modèle simplifié 47

61 Nous avons recherché le rapport k m qui permet d'obtenir la meilleure approximation des quantités définies en 5.3.1, à savoir : l'épaisseur maximale de couche solide, l'épaisseur en sortie, et la fraction liquide moyenne. Nous avons choisi d'adimensionaliser les épaisseurs e max et e sor tie en fonction de la hauteur H, d'où la notation ê max = e max /H et ê sor tie = Sortie/H. Les résultats issus des simulations faites avec le modèle fluide complet sont comparés avec celles faites avec le modèle à conductivité modifiée. Nous avons utilisé la méthode de la sécante pour évaluer la valeur de k m à donner à notre modèle simplifié. Nous avons considéré que ê max (k m ), ê SO rtie( m) et f, (k m ) étaient des fonctions continues, strictement décroissantes de k m. Ainsi, on a pu par récurrence grâce aux données obtenus après chaque simulation, estimer la valeur de conductivité modifiée à fournir au modèle, jusqu'à ce que nous obtenions une bonne approximation de êmax, ê S ortie et f, [22]. Cela nous a permis de trouver la valeur de la conductivité modifié qui permet à notre modélisation de donner le même résultat que le modèle fluide complet en fonction du critère recherché (avec un écart de 0,1% en moyenne entre résultats du modèle conductif simplifié et CFD complet) Résultat et analyse Les valeurs des conductivités modifiées à utiliser pour obtenir les bonnes valeurs de êmax, ê sor tie et f, sont regroupées dans la figure 5.4. On constate que les valeurs appropriées de k m à utiliser varient légèrement suivant le critère retenu. Il apparaît que k m est une fonction linéaire de ReL = Pei/ Pr (où Pr = u/a), comme le prouve le bon coefficient de corrélation de la régression linéaire appliqué à nos mesures. On constate aussi que la linéarité de la série de point donnant une bonne approximation de la fraction liquide a un coefficient de corrélation plus faible que les deux autres. Cela est dû au fait qu'en dessous d'une certaine valeur de conductivité 48

62 modifiée, il se forme une couche solide suffisamment épaisse pour boucher le conduit. Dans le cas étudié cette valeur minimale de m vaut : m,min = , et mène à une fraction liquide moyenne de Or, la fraction liquide étant une fonction croissante de k m, cela signifie que le modèle ne peut pas générer moins de de fraction liquide. Ainsi, il tend donc à surestimer la fraction liquide à bas Rej. C'est pour cette raison que le coefficient de corrélation de la série de point concernant f, est initialement moins performant que les deux autres (R 2 ~0.91). Cependant, si l'on effectue la régression linéaire sur l'intervalle de Reij [2000 ; 3800], celui-ci remonte à comme on le voit sur la figure On a vu que m était une fonction linéaire de ReL, et ceci quelle que soit la quantité sur laquelle on se base pour la déterminer. Il serait intéressant de regarder de quelle manière la forme de la conduite influe sur cette linéarité, dans le but de trouver une loi plus générale qui prendrait en compte le facteur de forme (H/L). C'est pour cela que nous allons effectuer deux autres séries de simulations en faisant varier le rapport H/L. On conservera les mêmes modèles de calcul, et la même méthode d'approximation de la valeur de fc m. - k m = 0,003 lre L + 10,632 ^ ^sortie R 2 = 0,994.--i-t 20 '» w max n 18 - ^ Tc m = 0,0027Re L + 11,105 R 2 = 0,9742.,. --- « k m = 0,0019Re L + 10,132 R 2 = 0, Re L Figure 5.4 : Évolution des valeurs de k m permettant d'approximer ê max, ê sort j C, f. 49

63 5.4 Influence du facteur de forme de la conduite, variation du paramètre H/L Description des conduites utilisées La conduite initiale a un rapport de forme de 0.6. Nous avons choisi d'étudier deux autres rapports de H/L: 0.3 et 0.9. Ils sont situés à égal distance du premier rapport (0.6) et nous permettront d'avoir une bonne répartition de données. La figure 5.5 permet de visualiser ces trois géométries dans l'ordre d'h/l croissant H/L = 0.3 Figure 5.5 : Profil des différentes conduites Etude de maillage sur les conduites de rapport H/L: 0.3 et 0.9 Afin de pouvoir comparer les résultats fournis par notre modèle à conductivités modifiées par rapport au modèle CFD complet, on va refaire le même type d'étude que celle menée au chapitre III sur les deux nouvelles géométries en utilisant le modèle numérique complet. Dans ce but, on a effectué une étude de maillage pour ces deux nouveaux domaines, en doublant le nombre de nœuds entre chaque nouveau maillage. L'évolution de la fraction liquide a été notre critère de convergence. Le tableau 5.3 présente la synthèse de cette étude en regroupant en fonction du rapport H/L et des tailles de maille, les valeurs finales de fraction liquide ainsi que le taux de variations d'un maillage à l'autre. Pour le rapport H/L de 0.9, on prendra 320x144 comme densité de maillage pour notre modèle de référence. En ce qui concerne le rapport H/L de 0.3, le maillage 640 ><96 semble être un bon compromis entre le temps de calcul et précision. En effet, les profils 50

64 d'interface solide-liquide issus de ces deux simulations (320x48 et 640 x 96) se superposent parfaitement. Et, comme on s'intéresse principalement au positionnement de l'interface solide-liquide, le maillage 640x96 suffit pour notre étude. Tableau 5.3 : Influence du maillage sur l'évolution de la fraction liquide en régime maillage permanent, avec modèle CFD complet (Re H =1150). fi H/L = 0,3 H/L = 0,9 Af, f, maillage 40x8 0,576 20x9 0,719 80x12 0,498 13,60 40 x 18 0,687 4,73 160x24 0,460 7,69 80x36 0,671 2,29 320x48 0,432 5, x 72 0,659 1,94 640x96 0,411 4, x 144 0,662 0, x192 0,4056 1, x 288 0,663 0,26 f7 Af, Résultats et analyse de l'étude des deux nouvelles géomé tries via l'utilisation du modèle CFD complet On a effectué ces simulations en utilisant le modèle numérique complet pour les conduites de rapport H/L de 0.3 et de 0.9. Nous avons regroupé ces résultats avec ceux du rapport de 0.6. Nous avons choisi de prendre le nombre de Reynolds basé sur la hauteur comme échelle de vitesse. La figure 5.6 donne l'évolution de ê max, ê SO rtie, ainsi que de la fraction liquide moyenne obtenue par l'utilisation du modèle CFD complet en fonction de Ren. On constate que les épaisseurs de couche solide sont des fonctions décroissantes de Ren, et qu'inversement la fraction liquide moyenne est une fonction croissante de Ren. 51

65 é e t max ' sortie ' 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 H 0,2 0,1 0 " -..,...- s a G o. 0,3 S Q Q R e v a - * _ 0,6.e----N*r.-=*-^: ^*- - ~ _<v - - " B_ e max-h/l=0,6 ~ * ~ e sortie - H/L=0,6 ~ I I,H/L=0.6 " " ê max- H/L=0,9 " " A " ' Sortie - H/L=0,9 ' " " f,. H /L-0.9 " e max = sortie - H/L=0,3 " " ' f H/L= ' 1 B A- ' x o---i0, Re,, Figure 5.6 : Évaluation de ê milx, ê sor tie et f, en fonction de Re ( i et de H/L avec le modèle CFD complet. 0,9 0,6 0, évaluation de la conductivité modifiée à utiliser en fonction de la géométrie de la conduite Nous allons nous intéresser dans cette section à l'évolution des valeurs que doit prendre la conductivité modifiée afin de donner une approximation correcte des différents critères géométriques et volumiques. On a effectué le même travail qu'en sur les deux nouvelles géométries de conduites. En utilisant le modèle à conductivité modifiée, nous avons cherché la valeur de conductivité k m qui permet de trouver la même valeur de ê max, ê sortie ou f, que celle donnée par le modèle CFD complet. Nous avons réalisé ces simulations en régime permanent. On a, comme auparavant, utilisé la méthode de la sécante pour pouvoir par récurrence nous approcher de la valeur de k m permettant d'approcher au mieux les 52

66 résultats obtenus par le modèle numérique complet. Cela a été fait pour chacun des critère soit : ê max, ê sorti e ou f,. L'ensemble des valeurs de k m à utiliser en fonction de la quantité que l'on cherche à obtenir (ê max, ê sor tie ou f, ) est résumé sur la figure 5.7. Celle-ci nous montre que quel soit le critère observé, la conductivité modifiée à choisir est une fonction croissante de Re H. De plus, il semble qu'elle soit dans tous les cas une fonction linéaire de Re H, comme prédit par l'analyse d'ordre de grandeur. On remarque aussi, que l'intervalle de définition des valeurs de k m : [8;45], correspond à l'ordre de grandeur des nombres de Peclet de notre plage de simulation, ce qui est en accord avec l'étude de l'ordre de grandeur du début (cf ). Enfin, on retrouve le phénomène de blocage de la conduite pour une valeur de conductivité modifiée minimale. Cela explique l'absence de résultat de k m pour certaines valeurs de Re H, au niveau de la fraction liquide du rapport H/L de Et ^max=sortie H/L=0,3 e L,H/L = e-^max - H/L= 0.6 _^ &- ^sortie - H/L = e-f =0.6 M, H/L - o - ^max - H/L= Û- - ^sortie H/L = o - f M.H/L =0.9 _ -a 0,6 15 ^ = E = = : -Q ^=8= = = ---. a ,9.. o 5 0 Re H Figure 5.7 : Valeur de k m à utiliser avec le modèle conductif en fonction de ReH et de H/L, selon trois critères. 53

67 Au vu de l'évolution des valeurs de conductivité modifiées en fonction de Re H, on va rechercher une relation analytique permettant de trouver les valeurs de k m, qui intègre directement le paramètre de forme H/L. Pour cela, nous effectuerons des régressions linéaires ou des approximations par loi puissance sur nos séries de points. 5.5 Développement de relations analytiques reliant K m et ê max à Re H et H/L Au début du chapitre nous avons fait une étude d'ordre de grandeur de k m, et nous avons vu que cette quantité était proportionnelle au nombre de Peclet, lui-même directement relié au nombre de Reynolds via la relation Peu == PrReH- Dans la section précédente nous avons vu qu'il y avait une relation de linéarité ente la valeur de k m et ReH, mais le facteur de forme (H/L) a un effet important sur la relation liant ces deux quantités. Dans cette section nous allons tenter de trouver une relation analytique permettant d'exprimer à la fois la relation de linéarité (et donc de proportionnalité) entre k m et Rc H, et qui prenne en compte de l'effet du facteur de forme H/L Définitions des lois de comportement Comme nous avons un maximum de données sur le critère ê max, c'est sur lui que nous effectuerons notre analyse. Dans un premier temps, nous avons effectué une régression linéaire sur les séries de points mettant en commun les valeurs de k m à utiliser pour avoir une bonne approximation de e max et cela en fonction de ReH- Cela nous a donné une loi du type : k m =a 0 Re H + b 0 (5.7) Les coefficients de corrélation R 2 se sont trouvés suffisamment bons (R 2 proche de 1) pour que nous poursuivions notre analyse. 54

68 Dans un deuxième temps, nous avons considéré le nombre ao comme une fonction de H/L. Nous avons donc effectué une régression linéaire de la série de point ao = f(h/l). Cela nous a donné un excellent coefficient de corrélation (RM) ). Nous pouvions alors écrire : a 0 - a. + b, (5.8) Pour finir, nous avons considéré que le nombre bo était lui aussi une fonction de H/L. Nous en avons fait une approximation par loi de puissance et cette démarche a été validée par le très bon coefficient de corrélation trouvé (R 2 ~ 0,9988..). Ainsi : (5.9) Au final nous pouvons approcher l'évolution de la conductivité modifiée comme étant une fonction de RQH et de H/L et s'écrivant : k, =a 2 Re H + b 2 Re H + c, où a , b 2 = , c 0 = et d 0 = Nd (5.10) Nous avons effectué le même travail sur les séries donnant ê max, ê sort i e, et f, en fonction de Ren- On a remarqué qu'en effectuant une régression linéaire sur ces séries, on obtenait la même famille de droite. En effet, seul l'ordonnée à l'origine varie d'un rapport de H/L à l'autre. Nous l'avons donc considéré comme une fonction linéaire de (H/L), et avons trouvé là encore de très bons coefficients de corrélation nous permettant de mettre ê max et f, sous la forme d'une fonction de H/L et de Re H, telle que : e max _ a 3 ^eh + bî(h/l) f, -a 4 Re H + b 4(H/L) (5.11) Les courbes issues des régressions linéaires ou des approximations par loi puissance se trouvent au complet dans les tableaux 5.3 et 5.4 situé en Annexe IV. On y trouvera en fonction de la série de données, la courbe d'approximation ainsi que le coefficient de corrélation associé. 55

69 5.5.2 Précision requises sur les coefficients des régressions linéaires Dans cette section, nous allons rechercher la précision que doivent avoir les paramètres de calculs issus des régressions linéaires pour ne pas générer d'erreur due aux arrondis. Si on approche la courbe idéale y, par la courbe expérimentale y c définies par : y,=are H + b et y e = (a -s)re H + b (5.12) et que l'on recherche une écart relatif de la courbe expérimentale par rapport à l'idéal de 10~ 2, il faut alors qu'e soit de l'ordre de : l Y- V rre b ^ UO.01, soit 1! <0.01, ainsi 8 < 0.01 a + on a e«kl 4 (5.13) are H + b ReHy Nous exprimerons donc les différents coefficients directeurs de nos droites avec une précision de 10~. 5.6 Validation des modèles de prédiction, équations (5.10) et (5.11) Dans cette section, nous allons calculer les équations (5.10) et (5.11) pour des conduites ayant un rapport H/L de 0,45 et 0,75, puis nous les comparerons avec nos données expérimentales Etude de maillage sur les conduites de rapport H/L = 0,45 et 0,75 Comme auparavant, on a effectué une étude de l'indépendance de maillage en utilisant le modèle fluide complet pour les deux nouveaux domaines ayant un rapport de H/L de 0,45 et de 0,75. Nous avons gardé les mêmes paramètres de simulation que dans les sections précédentes de ce chapitre. À la lecture du tableau 5.4, qui nous donne l'évaluation des valeurs finales de fractions liquides moyennes en fonction de la taille de maillage, on constate à nouveau 56

70 que plus le ratio H/L est faible, plus il faut de cellules pour arriver à l'indépendance de maillagc. On sélectionnera, pour créer nos modèles géométriques de référence, les tailles 368x160 pour le domaine de 0,45 et de 208x80 pour celui de 0,75. De plus, le temps d'atteinte du régime permanent n'a pas évolué en fonction du ratio H/L. On gardera donc un temps de simulation sur un intervalle de t allant de 0 à 500. Tableau 5.4 : Étude de maillage, évolution de la valeur finale de f,, Ren = 1150 maillage T t Af, K [/L = 0,45 H/L = 0,75 f. maillage 46x10 0,605 26x10 0,69 92x20 0,561 7,843 52x20 0,654 5, x40 0,529 6, x40 0,639 2, x160 0,516 2, x80 0,63 1 1, x160 0,51 1, x160 0,629 0,317 ï Af, f Résultats et comparaison avec les prédictions des lois de comportement Pour les deux nouveaux facteurs de forme, on a effectué les simulations en premier en utilisant le modèle fluide complet afin d'avoir des données de références. Puis, en travaillant sur le modèle à conductivité modifiée, on a cherché les valeurs de k m qui nous donnaient la meilleure approximation de l'épaisseur maximale obtenus lors de l'utilisation du modèle CFD complet. La figure 5.8, nous montre l'évolution des valeurs expérimentales de m et de la droite expérimentale issue de notre modélisation en fonction de Ren. On constate une approximation correcte puisque celle-ci donne un écart moyen de 7% pour le rapport de H/L de 0,75 et de 9% pour celui de 0,45. Il est à noter que si l'on inclut, en tant que données dans le calcul des régressions linéaire et loi d'approximation par loi puissance, 57

71 les résultats de ces simulations, l'erreur entre modèle complet et modèle simplifié diminue. De plus, en relevant la valeur de ê max et de f, en fonction du Ren, nous avons pu comparer la solidité des modèles de prédiction d'épaisseur maximale et de fraction liquide. Cette comparaison est réalisée à la figure 5.9, et elle nous donne une erreur de 3% en moyenne. On a donc réussi à trouver un modèle de calcul qui permet de prédire avec une erreur faible (moins de 5% en moyenne), l'épaisseur de couche solide ainsi que la valeur de la fraction liquide en fonction du nombre de Reynolds et du facteur de forme. Par ailleurs, nous sommes parvenus à créer un modèle nous donnant, avec une erreur raisonnable, la valeur de la conductivité modifiée à utiliser pour notre modèle simplifié en fonction, là aussi, du nombre de Reynolds et du facteur de forme donnée numérique pour H/L = 0,45 -- droite issue de (5.10) pour H/L = 0,45 * données numérique pour H/L = 0,75 droite issue de (5.10) pour H/L = 0, Re H Figure 5.8 : Comparaison des valeurs de k m trouvées numériquement vs (5.10) 58

72 0,9 0,8-0,7 ê max, f, 0 6-0,5 0,4-0,3-0,2 0,1 valeur de ê max, H/L = 0,45 droite ê max H/L = 0,45 «valeur de f,, H/L = droite f, H/L = Ren Figure 5.9 : Évolution de f, et de ê ma x en fonction du Re H Nous allons maintenant introduire les données expérimentales, issues de simulation effectuées sur les conduites de ratio 0,45 et 0,75 à l'intérieur du calcul de nos régressions linéaires et de notre loi puissance Réajustement des coefficients issus des lois de comportements Grâce aux simulations faites sur les conduites de rapport H/L de 0,45 et 0,75, nous avons amélioré les modèles de prédiction des différents paramètres géométriques de la conduite. Leur nature n'a pas été changée, ao est toujours une fonction linéaire du rapport H/L, et bo peut être approché par une loi de puissance ( voir section 5.5.1). La figure 5.10 nous donne l'évolution du coefficient directeur ainsi que celle de l'ordonnée à l'origine de l'équation (5.7), on constate que l'on obtient de très bons 59

73 coefficients de corrélation sur ces séries de données. Et la figure 5.11, nous montre l'approximation par loi de puissance de la valeur de bo 0,008 -r- 0,007 0,006 a 0 0,005 0,004 0,003 a 0 = -0, (H/L) + 0, R 2 = 0, ,002 valeur de a 0 0,001 Régression linéaire 0 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 H/L Figure 5.10 : Définition de ao en fonction de H/L sur la base des 5 ratios de H/L ' ' \ valeurs de b 0 approximation par loi puissance, ^"""""----^^^ b 0 = 5, (H/L)" R 2 = 0, "" 0 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 H/L Figure 5.11 : Définition de bo en fonction de H/L sur la base des 5 ratios de H/L 60

74 Cela permet d'écrire l'équation (5.10) telle que : k =-0, 'H} Re H + 0, Re H + 5, (5.14) Et, de la même manière, on peut tracer l'évolution de l'ordonnée à l'origine des droites représentant l'évolution de l'épaisseur maximale de la couche solide ainsi que de la fraction liquide en fonction de H/L, comme on le voit sur la figure Cela permet d'exprimer numériquement les équations (5.11) sous la forme : -0, Re H -0, , (5.15) f, = 0, Re H +0, , (5.16) 1,2 1 b 3, b 4 1^ b 3 = -0, (H/L) + 1, R 2 = 0, ,8 * valeurs de b 3 valeurs de b 4 0,6 Régression linéaire sur b 3 Régression linéaire sur b 4 8S 0,4 0,2 IL " " " " """ m b 4 = 0, (H/L) + 0, R 2 = 0, i I,... 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 H/L Figure 5.12 : Définition de b3 et de b 4 en fonction de H/L 61

75 On a réussi à trouver trois lois prédictives donnant des résultats raisonnables en faisant des calculs en régime permanent. De plus, nous avons vu que le choix d'un modèle à conductivités modifiées pour simuler l'écoulement nous donne de bons résultats. Nous allons maintenant tester celui-ci en régime transitoire, afin de voir s'il est capable de restituer une bonne évolution de la fraction liquide moyenne en fonction du temps. 5.7 Régime transitoire Dans cette section, nous allons regarder de quelle manière la fraction liquide moyenne évolue lors des premiers instants du changement de phase, afin de voir si notre modèle proposé restitue correctement l'évolution transitoire du processus étudié. On évaluera la fraction liquide moyenne de la même manière que précédemment, en calculant l'aire situé entre l'axe de symétrie et la courbe isotherme T = T m. La conduite testée a un rapport H/L de 0.9, et l'écoulement un ReH de On prendra la valeur de k m donnée en utilisant l'équation (5.14), soit La figure 5.13 permet de visualiser la différence entre l'évolution de la fraction liquide moyenne du modèle CFD complet par rapport à celle du modèle à conductivités modifiées. Comme on ne s'intéresse qu'au régime transitoire, on ne simule le changement de phase que sur un intervalle t allant de 0 à

76 1 A 0,9 - \ \ 0,8 - s ^. -^r^-- -. s ^. 0,7-0,6 0,5-0,4 - f, -modèle k m 0,3-0,2 - o,i - f,-modèle CFD complet 0 - " 1 1 i i Figure 5.13 : Evolution de la fraction liquide moyenne modèle simplifié vs modèle CFD complet Nous remarquons que la valeur de la fraction liquide moyenne à la fin du régime transitoire est différente d'environ 2% entre les deux modèles. Cela montre que la modélisation proposée est aussi valide en régime transitoire. Il faut noter que l'utilisation de l'équation (5.14) pour paramétrer la valeur de îc m lorsque l'on recherche une évaluation de la faction liquide moyenne fournira une valeur supérieure à celle du modèle CFD complet. En effet, l'utilisation de (5.14) est basée sur l'approximation de la valeur ê max et non sur celle de la fraction liquide moyenne. 5.8 Conclusion Ce chapitre a permis de montrer que notre modélisation, basée sur une modification de la conductivité intégrant les effets thermiques des mouvements convectifs, permet d'obtenir avec une bonne précision un certain nombres d'information sur l'état du système qu'il soit en régime permanent ou transitoire (ê max, ê sor tie> f ) 63

77 Nous avons pu développer une relation permettant de prédire les conductivités modifiées (équation (5.14)) à utiliser sur le modèle simplifié, en fonction du facteur de forme H/L et du nombre de Reynolds. Cette relation a été testée sur deux conduites et a fourni de bons résultats. Nous avons aussi développé une relation d'approximation de l'épaisseur maximale de couche solide et de la fraction liquide moyenne, en fonction là encore du facteur de forme et du nombre de Reynolds. On a testé avec succès ce modèle en régime transitoire, en cherchant l'évaluation de la valeur de la fraction liquide moyenne et en comparant nos résultats avec ceux du modèle CFD complet. Dans le prochain chapitre nous étudierons un problème de changement de phase en convection naturelle, en nous inspirant des résultats de ce chapitre pour bâtir un modèle simple. En effet, nous savons maintenant qu'il est possible de résoudre un problème de changement de phase en convection via l'utilisation d'un modèle simplifié basé sur la modification de la conductivité. 64

78 Chapitre VI Modélisation du changement de phase en présence de convection naturelle par modification de la conductivité pour le cas type Introduction Nous avons, au chapitre précédent, modélisé le changement de phase en présence de convection forcée à l'aide d'un modèle conductif équivalent. Cependant, on a vu au premier chapitre l'importance de la convection naturelle dans certains processus de fusion [8]. On va, dans ce chapitre, développer un modèle de calcul basé sur l'utilisation de l'équation d'énergie permettant de localiser la position des interfaces solide-liquide, lorsque la convection naturelle est le principal moteur de l'écoulement. Nous allons, comme précédemment, tenter de trouver une bonne évaluation de l'évolution du front de fusion et de la fraction liquide moyenne. Le problème considéré a été présenté au chapitre II. Il s'agit de la fusion d'un bloc de gallium à l'intérieur d'une enceinte rectangulaire. Celle-ci a été étudiée de manière approfondie par Viskanta [8], un collectif d'auteurs qui testaient différentes approches numériques [13] et de même que par Bejan [15]. Ce dernier a effectué une analyse des temps d'établissement des différents régimes de transmission de la chaleur. Dans ce chapitre nous ne nous intéresserons qu'aux deux premiers, à savoir le régime purement conductif et le régime mixte (conduction + convection). Le modèle CFD complet qui servira de référence, utilisera le modèle mathématique présenté au chapitre II (cf ). Il prend en compte la convection naturelle via l'hypothèse de Boussinesq (cf. équation (2.3)). Il a été utilisé par le collectif Bertrand et al. [13] sur un cas similaire a celui présentée dans ce mémoire. Par ailleurs, on utilisera les données expérimentales de [8] portant sur l'évaluation de la fraction liquide moyenne comme source de comparaison supplémentaire. 65

79 6.2 Modélisation de la fusion via la modification de la conductivité Modification de l'équation de conduction De la même manière qu'au chapitre précédent, nous utiliserons l'équation de la conduction afin de simuler la fusion du bloc de gallium (cf. chapitre II) en modifiant la valeur de la conductivité, ce qui revient à résoudre l'équation : (&T) d f, 3TÏ ô f = k x + dx V dx) dy\ UJ P C P -77 = k, W (6.1) Nous allons paramétrer l'évolution de la conductivité en utilisant les travaux de Bejan [15]. Il a divisé le processus de fusion en quatre étapes : (i) Régime purement conductif à l'intérieur de la partie liquide (ii) Régime mixte, la convection naturelle se développant à l'intérieur de la partie supérieure de la zone liquide, la partie inférieure restant soumise majoritairement à la conduction. (iii) Régime purement convectif, la convection naturelle est pleinement développée dans les parties supérieure et inférieure de la zone liquide. (iv) Régime permanent, l'interface liquide-solide cesse d'évoluer. La figure 6.1 représente la forme de l'interface solide-liquide une fois le régime mixte établi ; Sh et Sb représentent respectivement les largeurs supérieure et inférieure du front de fusion. Le régime purement conductif (i) se caractérise par une évolution du front de fusion parallèle au mur chaud (i.e. Sh = Sb =s ), jusqu'à ce que la convection naturelle s'enclenche (ii) en premier lieu dans la partie supérieure de la zone liquide, lorsque l'épaisseur de la couche limite ô z est du même ordre de grandeur que l'épaisseur de la zone liquide, c'est-à-dire ô z ~ s. Si l'on considère que z est la hauteur de la zone liquide où la convection naturelle a lieu, il vient dans le cas où Pr«l : ô z ~ z (Ra 2 Pr)" l/4 [15], De plus, comme ô z ~ s, on obtient au moment où la convection naturelle s'enclenche: 's ^H Ra H Pr (6.2) 66

80 L'équation (6.2) servira de critère afin de déclencher la modification de la conductivité à l'intérieur de la zone de dimension zxz localisée dans la partie supérieure de la zone liquide. La valeur de la conductivité modifiée sera établie pour simuler le flux de chaleur causé par la convection naturelle à l'intérieur d'une cavité de dimension zxz, soit: AT/z = hat (6.3) d'où l'on tire une conductivité de convection : k c conductivité totale dans la zone zxz valant : = knu. Ainsi on a une k^-k^nu^) (6.4) où t i est un coefficient d'ordre 1 à déterminer par la simulation. La valeur moyenne du nombre de Nusselt peut être déterminée en utilisant une corrélation appropriée à notre cas [14], telle que: h/ Ra Pr,0.29 Nu = = 0.18 (6.5) z k ^0.2 + Pr^ Lorsque la méthode enthalpique est utilisée pour modéliser le changement de phase, l'absorption de la chaleur latente est prise en compte dans l'équation (6.1) par le terme S*. Comme nous utiliserons plutôt la méthode basée sur l'évolution du c p vue au chapitre IV et qui a montré une bonne concordance avec le résultat fourni par le modèle de Neumann dans le cas que nous traitons ici (cf ), le terme source S$ de changement de phase sera nul dans la suite de cette étude. Matériau isolant T,- g T. H = m y u s Matériau isolant L = m Figure 6.1 : Bloc de gallium dans son enceinte 67

81 6.2.2 Modification de la conductivité La figure 6.2 illustre la mise en œuvre numérique de la modification de la conductivité grâce à l'utilisation des deux types d'udf («User Define Function») présentés dans la section suivante ; l'une pour évaluer la position du front de fusion en y = 0 et y = H, et l'autre pour modifier la conductivité dans la partie supérieure de la zone liquide quand celle-ci sera soumise à de la convection, i.e. lorsque le critère (éq. (6.2)) est validé. Nous avons choisi de fixer z = s h dans la suite de notre étude. Nous détaillerons ici la mise en place de la modification de la conductivité. On vient tout d'abord résoudre l'équation (6.1). Ensuite, on calcule la position du front de fusion dans la partie supérieure et inférieure de l'enceinte (Sb et Sh). Une fois cette position obtenue, on utilise l'équation (6.2) pour savoir si la convection naturelle existe dans la zone liquide. S'il n'y a pas de convection (le critère défini par l'équation (6.2) n'est pas validé), la conductivité n'est pas modifiée et on avance d'un pas de temps. S'il y a déclenchement de la convection (critère (6.2) validé), on modifie la conductivité dans la zone liquide supérieure dans un carré de dimension Sh x Sh. La conductivité est modifiée selon les équations (6.4) et (6.5), puis on avance d'un pas de temps. 68

82 J Avance d'un pas de temps ^ Résoudre l'équation (6.1) Ç/ Calcul de Sb et S], f \ z V S b J >1 ( Z^ V S b J <1 z= s, Pour les cellules respectant y<h-z T > T m La conductivité modifiée vaut alors : ( k _ ^ total ~ ^ réel T1, Ra zpr 0.2+ Pr \ 0.29 N J Figure 6.2 : Modification de la conductivité dans le modèle numérique Présentation des «User-defined Functions» Pour réaliser la modification de la conductivité en se basant sur des critères géométriques, nous utiliserons des «User-Defined Functions» (UDF) disponibles dans le logiciel que nous utilisons [16]. Il s'agit de programmes qui, via l'utilisation de macros existantes dans Fluent, permettent de calculer ou modifier des valeurs, des conditions aux limites ou des champs physiques à l'intérieur du domaine étudié. 69

83 Nous allons utiliser deux types d'udf, une de type «Define_Adjust» (DA) et une autre du type «DefineJPropriety» (DP). Ces deux fonctions n'ont ni la même nature, ni le même positionnement dans l'algorithme de résolution comme nous le montre la figure 6.3 qui représente le schéma de résolution du logiciel utilisé. Bien entendu, lors de l'utilisation du modèle simplifié nous n'effectuerons pas la résolution des équations de conservation de la quantité de mouvement. La fonction DA se place en aval de la résolution et va servir à calculer la position des paramètres Sb et Sh (cf. fig. 6.1) à partir du front de fusion obtenu à l'itération précédente. Ces valeurs de Sb et Sh seront utilisées par la suite pour venir modifier la valeur de la conductivité via l'utilisation de DP (pour le détail des programmes, cf. Annexe V). User-defined Profile User-defined Init Début de la boucle User-defined Adjust (DA): calcul de % et s b Résolution des équations de conservation de la quantité de mouvement Fin de la boucle Test de convergence Résolution de l'équation de continuité et mise à jour des vitesses Mise à jour des propriétés (User-defined Properties et User-defined Sources^ Calcul de la valeur de k tot ai Résolution de l'équation de conservation de l'énergie Figure 6.3 : Algorithme de résolution [13] Choix du maillage et du pas de temps On a utilisé le même maillage que celui de [17] sur un problème semblable, soit 32><42. Cependant la modélisation du changement de phase par modification du c p nous a obligé à choisir un pas de temps plus court que celui sélectionné dans [17], c'est à dire 70

84 Àt = 0.1 s pour le modèle conductif simplifié contre 5 s pour le modèle CFD complet utilisant la méthode enthalpique Résultats En utilisant le modèle conductif décrit ci-haut, nous avons observé l'évolution de la fraction liquide et de l'interface solide-liquide lors des 10 premières minutes. Au-delà on peut considérer que le régime mixte est fini car l'interface est alors pleinement déformée sous l'effet de la convection (régime purement convectif). Comme la figure 6.4 le montre, nous avons réussi à obtenir une bonne localisation du front de fusion sur l'intervalle de simulation, pour cela on a affiné notre modèle. Nous nous sommes tout d'abord rendu compte que pour r,= 1 dans l'estimation de la conductivité modifiée (éq. 6.4), le front de fusion avançait trop lentement, c'est-à-dire que nous sous-estimions la valeur de la conductivité convective. Pour obtenir une bonne localisation de l'interface solide-liquide, nous avons donc fait varier la valeur de r i afin de trouver la meilleure approximation du front de fusion ; cela nous a donné r i=1.25. On note au passage que r i est bien d'ordre 1. De plus, nous nous sommes rendus compte que la modification de la conductivité dans la direction y n'avait pas une très grande influence à cause du faible gradient de température en y, présent à l'intérieur de la phase liquide lors des régimes (i) et (ii). Nous avons donc, par la suite, modifié uniquement la conductivité selon x et maintenu la conductivité selon y à sa conductivité réelle. Ce sont les résultats issus de cette simulation qui sont présentés à la figure 6.4. L'écart entre les modèles conductif et CFD complet va croissant et vient du fait que plus la phase liquide croît plus la convection est dominante. Or, le modèle proposé est basé sur la représentation du régime mixte. Il est donc normal qu'il soit moins performant lorsque le régime purement convectif s'établit. Dans toute la suite de ce chapitre, le front de 71

85 fusion issu du modèle simplifié sera signalé sur nos figures par une flèche en pointillé et celui issu du modèle CFD complet le sera par une flèche pleine. T+TTT 1 min < 2 min t *\ 4 3 min 4 min ±M * K- 7 min!. L * min Figure 6.4 :Interfaces obtenue avec le modèle «k-modifiée - t]i= 1.25» vs modèle CFD complet La figure 6.5 l'illustre bien, on retrouve la même évolution des fractions liquides entre les résultats expérimentaux de [8] et ceux données par le modèle conductif. La 72

86 fraction liquide moyenne du modèle simplifié est obtenue en digitalisant l'interface solide-liquide puis en venant calculer l'aire de la zone liquide avec la méthode des trapèzes (cf ). On constate que l'utilisation d'un terme multiplicateur devant la valeur du nombre de Nusselt a permis de mieux localiser la position du front de fusion, mais cela a aussi eu un effet bénéfique sur la valeur de la fraction liquide, en rapprochant notre courbe des résultats obtenus par [8] (~ 4% de différence au maximum). 1 0,9 0,8 0,7 7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 Viskanta [8] k x = IK avec n, =1.375 k v = k m avec r, =1.375 l ' v JJ k x -IK avec n, =1.25 ^ y = k réelle y J-Î r-**^j ' 0, t (min) Figure 6.5 : Évolution de la fraction liquide moyenne modèle à conductivité modifié vs[8] La figure 6.6 nous donne l'évolution du taux de transfert de chaleur par unité de profondeur du mur chaud. On constate que les résultats issus du modèle conductif simplifié ont la même allure et le même ordre de grandeur que ceux issus du modèle CFD complet. Nous remarquons que le taux de transfert du mur chaud, lorsqu'il est évalué par le modèle conductif simplifié, passe par un minimum avant d'atteindre le régime permanent. C'est un phénomène que l'on retrouve dans l'étude de ce type de problème [8-13] ; la présence de ce minimum indique l'atteinte du régime mixte (conduction plus 73

87 convection), ensuite lorsque le régime convectif est atteint, le taux de transfert augmente légèrement puis reste constant une fois le régime permanent convectif pleinement établi T \ W/m modèle CFD complet f ( \\ k x = k m avec n, = 1.375J k = k m avec r, =1.375 V v V )) V ( ( ^ u k x = k m avec ri, =1.25 V v ; v - v / ^ y _ * réelle ! 1 1! I I 10 t (min) Figure 6.6 : Évolution du taux de transfert de chaleur sur la paroi chaude modèle conductif simplifié vs modèle CFD complet En somme, les résultats obtenus sont globalement satisfaisant. Mais on remarque une différence de positionnement dans la partie inférieure (partie liquide conductive) entre les deux interfaces, le modèle basé sur la conductivité modifiée avançant trop rapidement dans cette zone, ce qui explique aussi la surestimation de la fraction liquide. En fait, le modèle conductif simplifié ne prend pas en compte l'énergie puisée dans la partie basse et envoyée vers le haut. Dans la section suivante nous essayerons de formuler cette fuite d'énergie de la partie basse de la zone liquide vers la partie haute au moyen d'une modification de la conductivité de la partie basse, afin d'améliorer les résultats fournis par notre modèle. 74

88 6.3 Inclusion d'une conductivité modifiée dans la zone liquide conductive Ordre de grandeur de la conductivité modifiée dans la zone conductive Afin de modifier correctement la conductivité équivalente dans la partie basse de la zone liquide, nous devons connaître son ordre de grandeur. Dans ce but, nous allons supposer que la partie basse de la zone liquide peut être considérée comme une cavité de dimension (H -s h )xs b soumise à de la convection sur son coté supérieur et à de la conduction à l'intérieur, comme cela est illustré à la figure 6.7. liquide solide Il T c Figure 6.7 : Modélisation de la zone conductive de la phase liquide On va chercher à connaître la valeur de la conductivité modifiée que devrait avoir la cavité rectangulaire pour intégrer les effets dus aux pertes par convection à l'intérieur de l'équation d'énergie. Si l'on fait le bilan d'énergie sur la cavité à conductivité modifiée, il nous vient l'égalité suivante : k mod AT,(H-s h )/s b «k réel AT,(H-s h )/s b -hat 2 s b (6.6) ce qui nous donne pour expression de la conductivité modifiée dans la zone liquide conductive : 75

89 / 2 \ AT, * mod ~ K réel 1-Nu. (6.7),(H-s h ) AT, V Comme nous ne connaissons pas la valeur du rapport AT2/AT1, nous allons reformuler l'expression (6.6) en : k ~ k K mod ~ "réel / 2 \> l-^1 2 Nu s - é * (6-8),(H-s ) n où r)2 est un coefficient d'ordre 1 et la valeur de Nu s est calculée par la relation (6.5) Résultats issus des calculs faits avec le modèle conductif amélioré Nous avons fait plusieurs séries de simulation en faisant varier la valeur du paramètre r\ 2 et en utilisant les UDF que nous avions décrites au début de ce chapitre. La valeur de r\ 2 permettant d'obtenir le meilleur compromis entre positionnement de l'interface et estimation de la fraction liquide a été trouvée pour r\ 2 = 1.375, ce qui n'est pas très éloigné de la valeur de ri, trouvée lors de l'étude précédente. La figure 6.8 nous donne l'évolution de la fraction liquide moyenne obtenue avec les deux modèles (sans modification de la conductivité dans la zone liquide conductive et avec modification) par rapport aux résultats expérimentaux de [8]. On constate que l'amélioration du modèle a permis d'obtenir une bonne estimation de la fraction liquide (une erreur de 1% entre le modèle à conductivité modifiée dans la zone liquide conductive et [8]). La figure 6.9 donne la comparaison entre l'évolution du taux de transfert de chaleur à la paroi chaude issus des calculs faits avec le modèle conductif amélioré et ceux issus du modèle CFD complet. On se rend compte que le taux de transfert de chaleur est assez bien estimé par le modèle conductif simplifié, car l'erreur moyenne est de 3.6% sur les 10 premières minutes entre les deux modèles (conductif simplifié amélioré et CFD complet). 76

90 1 0,9 0,8 Viskanta [8] 0,7 - f" 0,6 k mod -îi,=1.25 0,5-0,4 - "k mod -Tl, ,3 0,2 0,1 i&j^ r!! 1 '1 1 ' ' 1 1 " t ( m j n ) Figure 6.8 : Évolution des fractions liquides, modèle simplifié (T ( ) et modèle simplifié \ W/m n avec modification de la conductivité dans la zone liquide conductive Oli etn 2 )vs [8] H V N t(min) Figure 6.9 : Évolution du taux de transfert de chaleur à la paroi froide modèle simplifié amélioré avec modification de la conductivité dans la zone liquide conductive (r\\ et TI2) vs modèle CFD complet 77

91 En termes de localisation de front de fusion l'utilisation du modèle conductif amélioré nous donne aussi un net progrès, comme on peut le voir sur la figure 6.10, nous donnant l'évolution de l'interface solide-liquide donné par le modèle CFD complet et celle du modèle conductif amélioré. 2 min b. I *tt 4 min 5 min bjl 7 6 min 1 *\u 1 i 7 min ~>r / H* 8 min Figure 6.10 : Front de fusion du modèle conductif amélioré avec conductivité modifié dans la zone liquide conductive (r\\ et TI2) vs CFD complet Le résultat fourni par le modèle conductif amélioré augmente la précision des calculs en termes d'estimation de la fraction liquide et de positionnement de l'interface 78

92 solide-liquide. On peut donc en conclure que l'utilisation d'une formulation modifiée de la conductivité, intégrant les effets dus à la convection, permet d'obtenir de bons résultats. Avant de conclure ce chapitre, nous avons voulu tester une dernière approche qui nous permettrait de simuler le changement de phase sous l'effet de la convection naturelle en utilisant seulement l'équation de conservation de l'énergie. Pour cela nous passerons par l'utilisation d'un terme source de génération de chaleur. 6.4 Modélisation de la fusion via l'utilisation d'un terme source de génération de chaleur Dans cette section nous allons essayer de localiser l'interface solide-liquide à l'intérieur de la cavité, en utilisant un terme source d'énergie dans la partie liquide, afin de simuler le fait que les mouvements convectifs extraient davantage de chaleur du mur chaud et déforme donc le front de fusion. La conductivité sera constante et fixée à sa valeur réelle Définition du terme source Si nous prenons en compte les mouvements convectifs ayant lieu dans la partie liquide du système, nous pouvons réécrire l'équation (6.1) de la manière suivante : P C P d f, dt^ d f ffl) / k + k ôx\ dx j dy v dy J V ÔT dx dt dy + S (6.9) Cette reformulation permet de mettre en relief le terme source S q ", car si l'on veut résoudre ce problème à l'aide de l'équation (6.5) modifiée, il nous faut trouver un moyen de mettre sous la forme d'un terme source l'énergie apportée par les mouvements convectifs, soit : S q - = pc p (uôt/5x + vôt/ôy). Prenez note qu'ici So = 0 puisque nous utiliserons le changement de phase via la modification du c p et non une méthode 79

93 enthalpique. On peut montrer que l'ordre de grandeur des deux termes convectifs inclus dans le terme S q - de l'équation (6.9) est le même [15] ; par conséquent, nous pouvons écrire : S q - ~ pc p u(3t/<9x). De plus, nous pouvons poser que : dt/dx ~ (T-T m )/Sh. Enfin, il existe une corrélation que l'on peut adapter à notre étude (carré de dimension zxz), nous donnant l'expression de la vitesse lors de l'écoulement sur une plaque plane verticale (où la gravité est selon y) sous l'effet de convection naturelle seulement, soit [15] : u ~-(Ra z Pr) l/2 (6.10) z À l'intérieur de la cavité le long des parois verticales on s'attend à ce que la vitesse soit légèrement inférieure à (6.10) en raison du fait que la couche limite n'est pas encore complètement établi dans les régimes étudiés (i) et (ii). Dans les simulations, nous multiplierons l'ordre de grandeur de la vitesse par un coefficient r 3 et nous fixerons la valeur de ce coefficient en recherchent celui qui nous donnera le meilleur positionnement de l'interface solide-liquide. Nous sommes donc maintenant en mesure de réécrire l'équation (6.9) sous la forme : (ÔT). Ô 2 T. d 2 T _... pc D = k - + k y + S a, (6.11) \dt) x Sx 2 y dy 2 q " avec Sq,., = ^k éel^~ Tm V a s Pr)' /2 ( 612 ) Mise en place du terme source Nous garderons le même maillage, le même pas de temps qu'à la section 6.2 et le critère de déclenchement de la convection naturelle sera celui défini plus haut (cf. équation 6.2). On utilisera à nouveau la macro DA pour calculer la position de Sb et S V En revanche, nous nous servirons d'un nouveau programme du type «DefineSource» (DS) afin de venir fixer la valeur du terme S q, ; le détail de cette macro est disponible en annexe (cf. Annexe IV). Elle est implantée au même niveau que la macro DP dans l'algorithme de résolution (cf. figure 6.3). Si nous avions à redessiner la figure 6.2 pour l'adapter à cette résolution, il suffirait de changer la dernière étape de l'algorithme, en SI)

94 spécifiant que le terme source est activé dans une zone de dimension s h x s h au niveau de la partie supérieure de la fraction liquide. Les résultats fournis par ces simulations sont commentés dans la section suivante Résultats Nous avons réussi à obtenir une bonne localisation de l'interface liquide-solide comme nous le montre la figure 6.11, en retraçant l'évolution de l'interface solide-liquide de notre modèle superposée à l'évolution du front de fusion issue des calculs du modèle fluide complet. Au niveau de la forme de l'interface liquide-solide, on constate que notre modèle tend, comme le modèle basé sur la modification de la conductivité, à augmenter le taux de fusion dans la partie inférieure de la zone liquide, comme on peut le voir sur la figure 6.12, nous donnant la position du front de fusion à intervalle de temps réguliers. Comme nous l'avions dit à la section 6.4.1, nous avons fait diminuer la valeur de la vitesse en la multipliant par un facteur r 3 qui a varié de 0.3 à 0.1. La meilleure localisation de front de fusion a été trouvée pour le facteur r]3 = Cependant, il est à noter que l'utilisation d'un coefficient de 0.2 nous donnait le positionnement précis du front de fusion en haut de la cavité, mais l'écart de forme était ensuite trop important dans le reste de la cavité. Cet écart de forme de l'interface trouvée par le calcul effectué avec une valeur de r 3 égale à 0.2 se traduit par une plus grande divergence au niveau de l'approximation de la valeur de la fraction liquide moyenne comme nous le montre la figure 6.12, nous donnant l'évolution de celle des différents modèles. On constate que le modèle utilisant r 3 = 0.2 est plus éloigné des résultats de [8] que celui ayant un rj3 de XI

95 1 min L r" 2 min "T- J 3 '. * r 3 min 4 min -W < 6 min «< 7 min Figure 6.11 : Évolution interface modèle «S q '"-n 2 = 0.175» vs CFD complet S2

96 1 0,9-0,8 - -S,.-Ti3=0.2 0,7 - Viskanta [8] 0,6-0,5 - S q... -r, 3 = ,4 -, ' - " " ' 0,3 - ^r.t'fl^:.'- :: 0,2-0, ! Figure 6.12 : Évolution des fractions liquides modèles sources vs [8] t (min) On a bien réussi dans les deux cas (méthode à conductivité modifiée et à terme source) à obtenir une évaluation correcte de la position du front de fusion lorsque notre système évolue. Cependant à nouveau, nous observons le même phénomène : une avance trop rapide de l'interface solide-liquide dans la partie inférieure de la zone liquide. Cela provient certainement du fait que pour alimenter les mouvements convectifs dans la partie supérieure de la zone liquide, une partie de l'énergie servant à créer la convection est puisée dans la partie inférieure de la zone liquide, ce qui se traduit alors par une baisse du taux de fusion dans cette zone. Dans la section suivante nous allons tenter de reformuler cette fuite d'énergie de la partie inférieure vers la partie supérieure en jouant à nouveau, sur la création d'un autre terme source (en réalité un puits), de manière à optimiser le résultat fourni par ces modèles. 83

97 6.5 Amélioration du modèle avec terme source par ajout d'un terme puits dans la zone liquide conductive Ordre de grandeur du terme «puits de chaleur» On va considérer que le retard constaté entre l'évolution du front de fusion en haut et en bas, est dû à une perte d'énergie dans la partie inférieure, celle où la zone liquide est conductive. Nous allons simuler cette perte d'énergie de la cavité de dimension Sb x Sb (située dans la partie basse de la couche solide telle que décrite à la figure 6.13) en lui appliquant un terme «puits de chaleur». En nous reportant à l'étude menée au paragraphe 6.4.1, celui-ci peut s'écrire sous la forme : ^14 k réel CT C T m J K *)" (6.13) où r 4 est un coefficient permettant de diminuer la valeur de la vitesse. Comme précédemment sa valeur se situera entre 0.1 et 0.3. Figure 6.13 : Représentation de la cavité carrée siège du terme «puits de chaleur» X4

98 6.5.2 Résultats Nous avions commencé ces simulations en faisant varier le couple (r 3 ; TI4) et nous avons trouvé une bonne approximation pour le couple (0.175 ; 0.175). La forme de l'interface solide-liquide est bien approchée par le modèle corrigé, néanmoins l'écart s'accentue à partir de la 7 eme minute ce qui est normal car l'on sort du régime mixte pour atteindre le régime purement convectif qui n'est pas modélisé par notre système. Ce phénomène est visible sur la figure 6.14 représentant l'évolution du front de fusion issu des calculs effectués par le modèle amélioré versus ceux issus des calculs faits avec le modèle fluide complet. 2 min -y J 4 _7 3 min Figure 6.14 : Interface modèle «S q >" - n.3 = n.4 = 0.175» vs CFD complet 85

99 De plus, on constate que cette modélisation a entrainé une amélioration de l'estimation de la fraction liquide moyenne comme le montre la figure 6.15, représentant son évolution pour le modèle amélioré utilisant des termes sources et les résultats fournis par le modèle non amélioré et ceux de Viskanta [8], En effet on observe un rapprochement de la courbe issu des calculs faits avec le modèle amélioré qui ramène l'écart maximum sur l'approximation de la fraction liquide de 4 à 2.5% Figure 6.15 : Évolution de la fraction liquide 9 10 t (min) Avant de conclure, il nous faut souligner le fait que l'approche par terme source de génération (ou de «puits») de chaleur, ne nous permet pas d'obtenir le profil de la température à l'intérieur de la zone liquide, contrairement à la méthode basé sur la modification de la conductivité. 86

100 6.6 Conclusion Nous avons obtenu pour chacun des deux modèles développés des résultats satisfaisants en termes d'approximation de la fraction liquide ainsi que de positionnement du front de fusion. Cela nous permet de penser que notre approche et nos hypothèses étaient bonnes car ce sont elles qui ont permis de trouver ces résultats globalement positifs (avec une erreur ~ 2%). La modèle conductif simplifié offre une meilleure précision dans l'évaluation de la fraction liquide moyenne par rapport au modèle utilisant des termes sources, cependant ce dernier est légèrement plus rapide (~ 40 min pour le modèle à terme source contre lh pour le modèle conductif). Il est à noter aussi que l'utilisation du modèle à terme source ne permet pas d'obtenir les isothermes à l'intérieure de la zone liquide, contrairement au modèle conductif. Enfin, il nous semble important de rappeler que ce modèle pourrait être rapidement implanté dans un code faisant de la conduction, ce qui représente un intérêt non négligeable vu le coup de développement ou d'achat d'un code de type CFD complet. 87

101 Chapitre VII Conclusion En utilisant l'équation de conservation de l'énergie et une formulation modifiée de la conductivité (calculée en utilisant la conductivité convective), nous avons réussi à reproduire le phénomène de changement de phase en convection forcée et en convection naturelle. À partir d'une analyse d'ordre de grandeur, on a réussi à évaluer la valeur de la conductivité modifiée la plus adaptée à chacun des cas étudiés. La partie portant sur le changement de phase en convection forcée nous aura permis de voir que la conductivité modifiée permettant de résoudre ces problèmes dépend fortement du nombre de Reynolds de l'écoulement ainsi que du facteur de forme H/L de la conduite, comme on peut le voir à la lecture de l'équation (5.14). L'utilisation du modèle conductif nous a permis d'évaluer correctement les paramètres importants du système que sont la valeur de la fraction liquide moyenne ainsi que l'épaisseur maximale de la couche solide. Le modèle conductif simplifié a aussi permis de résoudre efficacement un problème de changement de phase en convection naturelle. Nous avons d'ailleurs réussi à obtenir une évolution correcte de la conductivité modifiée à utiliser avec ce genre de systèmes pour les régimes conductif et mixte, grâce à une corrélation basée sur les nombres de Prandtl et de Rayleigh et sur la position du front de fusion (Sh et st,). De plus, avec des hypothèses assez simples nous avons amélioré ce modèle de manière conséquente au vu des résultats fournis à la fin du chapitre VI. Au niveau des temps de calcul nécessaire à l'atteinte du régime permanent dans le cas du changement de phase en convection forcée, ou de la fin du régime mixte en ce qui concerne le changement de phase en convection naturelle, ces modèles ont consommés des temps de calculs du même ordre que ceux du modèle CFD complet, à l'exception de 88

102 celui basé sur la modification de la chaleur spécifique et de la viscosité. La modélisation du changement de phase par l'utilisation d'un terme source offre même un temps de calcul sensiblement plus faible que celui du modèle CFD complet. 11 faut cependant rappeler que l'utilisation d'un terme source ne donne pas les bons profils de température à l'intérieur de la partie liquide. De plus, nous avons parfois dû passer par la modification du c p afin de prendre en compte l'absorption de la chaleur latente. Mais on peut espérer un gain de temps important (qui pourrait aller jusqu'à diviser le temps de calcul par un facteur 10) si on implantait un modèle enthalpique de changement de phase. L'ensemble des temps de calcul nécessaire à l'atteinte du régime permanent (ÎRP) OU de la fin du régime mixte (ÎRM) sont résumés au tableau 7.1. ""-- - J Tableau 7.1 : Temps de calcul des différents modèles Changement de phase en Modèle CFD avec Ac n et Au, Modèle kmnrlifi^ Modèle CFD complet convection forcée t RP = 50 h t R p = 1 h t RP = 4 h i / Modèle terme S n - Modèle kmnhifjft Modèle CFD complet Chan gement de phaî >e en cor îvection nature Ile ÎRM = 40 min t RM - 1 h 30 min trm = 1 h Avant de clore cette étude, nous devons rappeler les limites de notre modélisation, car nous avons fait plusieurs hypothèses permettant de travailler sur un modèle mathématique simple mais qui s'est néanmoins révélé efficace. Un modèle plus élaboré devrait prendre en compte la turbulence, les variations volumiques dues au changement de phase, et une méthode enthapique pour le changement de phase pourrait être 89

103 implantée. On pourrait aussi s'intéresser à des conduites d'autres formes (cylindrique), ou présentant des obstacles pour l'écoulement (coude, section non constantes, etc...). Pour terminer, et bien que cette modélisation puisse être améliorée, elle n'en reste pas moins une base permettant de montrer la possibilité de reproduire le phénomène complexe du changement de phase en convection (naturelle ou forcée) au moyen d'un modèle simplifié sans avoir à résoudre le champ des vitesses. Et bien que tous les systèmes physiques ne le permettent pas, il y a souvent un moyen d'abaisser la complexité de la résolution d'un problème, ce mémoire en est l'illustration. 90

104 Bibliographie 111 Gurmendi A. C: The minerai industry in Canada, US Geological Survey Minerais Yearbook, 2003, pp [2] World steel in figures, International Iron and Steel Institute, 2004, pp 2-3. [3] : site de donnée économique consulté en octobre [4] : site de l'organisation de coopération et de développement économiques, consulté en Octobre [5] ro.unctad.org : site de la Conférence des Nations Unies sur le Commerce et Développement, consulté en Octobre [6] Lame G., Clapeyron B. P. E.: Mémoire sur la solidification par refroidissement d'un bloc solide, Ann. Chen. Phys. 47, 1831, pp [7] Hu H., Argyropoulos S. A.: Mathematical modelling of solidification and melting : a review, Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. 4, 1996, pp [8] Gau C, Vistanka R.: Melting and solidification of a pure métal on a vertical wall, ASME 108, 1986, pp [9] Tadrari O., Lacroix M.: Prédiction of Protective Banks in High Température Smelting Furnaces by Inverse Heat Transfer, Int. J. of Heat and Mass Transfer 49, issues 13-14, 2006, pp [10] Laouadi A., Lacroix M.: Thermal Performance of a Latent Heat Energy Storage Ventilated Panel for Electric Load Management, Int. J. of Heat and Mass Transfer 42, 1999, pp [11] Farid M.M., Kanzawa A.: Thermal performance of a heat storage module using PCM's with différent melting températures : mathematical modelling, J. Solar EnerhyEng. 111, 1989, pp [12] Hirata T., Nishida K. : An analysis of heat-transfer using équivalent thermal conductivity of liquid-phase during melting inside an isothermally heated horizontal cylinder, Int. J. of Heat and Mass Transfer 32, 1989, pp [13] Bertrand O., Binet B., Combeau H., Couturier S., Delannoy Y., Gobin D., Lacroix M., Le Quéré P., Medale M., Mencinger J. and Vieira G.: Melting driven by 91

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106 Annexe I FLUENT Version: 2d, dp, segregated, lam, unsteady (2d, double précision, segregated, laminar, unsteady) Release: Modela Model Space Time Viscous Heat Transfer Solidification and Melting Radiation Species Transport Coupled Dispersed Phase Pollutants Soot Solver Controls Settings 2D Unsteady, Laminar Enabled Enabled None Disabled Disabled Disabled Disabled lst-order Implicit Equations Equation Solved Flow yes Energy yes Numerics Numeric Absolute Velocity Formulation Enabled yes Unsteady Calculation Parameters Time Step (s) 0.1 Max. Itérations Per Time Step 2000 Relaxation Variable Relaxation Factor Pressure Density Body Forces Momentum 0 5 Liquid Fract ion Update Energy Linear Solver Solver Termination Residual Réduction Variable Type Criterion Tolérance Pressure V-Cycle 0.1 Pull Velocit ies V-Cycle X Momentum Flexible Y Momentum Flexible Energy Flexible Discretization Scheme Variable Pressure Pressure-Velocit y Coupling Momentum Energy Scheme PRESTO! SIMPLE Power Law Power Law Solution Limits Quantity Limit Minimum Absc lute Pressure 1 Maximum Absolute Pressure Minimum Température 0 Maximum Temp erature

107 Annexe II Tableau AII.l : Propriété thermodynamique du gallium [17] Densité (p,) 6093 kg m" 3 Chaleur spécifique (c p ) 381,5 J kg~' KT 1 Chaleur latente (X) J kg" 1 Conductivité thermique (k s, k, ) 32 W m" 1 K"' Viscosité ((a) 1.81 x 10^3 kg s" 1 m" 1 Température de fusion (T m ) K Coefficient d'expansion thermique (p) 1.2x10 I Température de référence (T réf ) K Densité de référence (p s ) 6095 kg m 3

108 Annexe III Optimisation de l'évolution de ji(t) On a vu à la section 4.3 que pour les valeurs de l'intervalle Afi supérieures à 10 4, nous pouvions obtenir un profil de couche solide dont la forme est assez proche de la réalité. Nous allons voir si en modifiant le paramétrage de u(t), on peut avoir une amélioration du positionnement de l'interface solide liquide. La fonction u(t) conservera une évolution linéaire. Mais, nous allons modifier sa pente ainsi que les bornes de son paramétrage, tout en restant à l'intérieur de l'intervalle où se déroule le changement de phase. L'évolution de c p restera identique à celle définie au début de l'étude. La définition de ces différents modèles, en fonction de la température, est illustrée à la figure AIII.l. Chacun d'entre eux donne une représentation de l'influence de la solidification sur la viscosité. Au niveau de la particule de fluide, soit celle-ci est freinée dès le début du changement de phase (d'où une hausse de la viscosité dès le commencement: modèle 1, 2 et 3), soit il faut déjà qu'elle ait absorbée une partie de la chaleur latente pour commencer à devenir plus visqueuse et qu'elle se mette à ralentir (modèle 4 et 5). Nous avons effectué une série de cinq simulations, avec pour chacune d'entre elles un paramétrage de ix(t) différent, telle que définie sur la figure AIII.l. Le temps de calcul nécessaire pour effectuer ces simulations a été très variable, de quelques heures pour le modèle 2 à plusieurs jours pour le modèle 3. On a ensuite comparé les profils de couche solide avec le profil de référence de Fluent (résultat de l'étude menée au chapitre III), ces comparaisons sont regroupées à la figure AIII.2. Le tableau AIII.l recense les temps de calculs nécessaire pour atteindre le régime permanent de ces différentes simulations. On constate que celui-ci est très variable d'un 95

109 modèle à l'autre. Par ailleurs, nous remarquons que le modèle se rapprochant le plus de la réalité est le modèle 5. Nous savons maintenant que la particule absorbe une partie de la chaleur latente de solidification avant de commencer à devenir visqueuse, puis à ralentir pour ensuite se figer. M modifié (1 réel Figure AIII.l : Définition des différents modèles de n(t) 96

110 Profil de référence - Ch.III Modèle 1 Modèle 2 Modèle 3 Modèle 4 Modèle 5 ~ZJ Figure AIII.2 : Comparaison profils de couche solide vs Profil de référence Tableau AIII.l : Temps de calcul pour les différents modèles Modèle Temps de calcul Fluent 5h 1 51 h 2 1 h 3 77 h 4 58 h 5 56 h 97

111 Annexe IV Tableau AIV.l : Corrélation sur les valeurs de k. Série de données Equation de la courbe issue de la Coefficient de régression linéaire sur k m corrélation R k m, pour ê max, H/L = 0.3 m = Re H m, pour ê max, H/L = 0.6 m = Re H m, pour ê max, H/L = 0.9 fc m = Re H fc m, pour ê sortie, H/L = 0.3 k m = Re H m, pour ê sort ie, H/L = 0.6 m = Re H pour ê sort ie, H/L = 0.9 m = Re H k m, pour f,, H/L = 0.3 k m = Re H K m, pour f,, H/L = 0.6 k m = Re H k m, pour f~, H/L = 0.9 k m = Re H ao en fonction d'h/l y = bo en fonction d'h/l y = vly

112 Tableau AIV.2 : Corrélations sur les valeurs de e max, e sort j C, et de f, Série de données Équation de la courbe de corrélation Coefficient de corrélation R 2 e max) H/L = 0.3 e m ax = Re H +l e max, H/L = 0.6 emax = Re H e max, H/L = 0.9 emax = Re H e sor tie, H/L = 0.6 esortie = Re H esortie, H/L = 0.9 esortie = Re H f,, H/L = 0.3 f^=0.0001re H f,, H/L = 0.6 f, =0.000 lre H f,, H/L = 0.9 f^=0.0001re H b3(h/l) y = b4(h/l) y =

113 Annexe V AV.I UDF utilisée pour modifier la conductivité du matériau #includc "udf.h" #include "stdio.h" #include "stdlib.h" static real s_avg_b=0; static real s_avg_h=0; FILE *fid; DEFINE_ADJUST(calcul_s_avg, domain) { realfcl[2]; real FC2[2]; real colb[ 100]; real colh[ 100]; real suml; real sum2; real templ; real temp2; real temps; int i; intj = 0; int k; int I = 0; intidl =4;/* Zone ID pour murbas issu du Boundary Conditions panel */ intid2 = 3;/* Zone ID pour murhaut issu du Boundary Conditions panel */ face_t f; Thread *threadl = Lookup_Thread(domain, ID1); Thread *thread2 = Lookup Thread(domain, ID2); temps=currenïjflme; if (lemps==0) fid - fopencsauvegarde_s_avg.txt"," w"); else { fid = fopen("sauvegarde s_avg.txt","a "); } begin_f loop(f, thread 1) s F_CENTROID(FCl,f, thread 1); templ =F_T(f, thread 1); if (templ >= && templ <= ) { colbfj]=fcl[0]; j-j + i; } } end_f_loop(f, thread 1) begin_fjoop(f, thread2)! F CENTROID(FC2, f, thread2); temp2 = F_T(f,thread2); if(temp2>= && temp2 <= ) { colh[l]=fc2[0]; 1 = 1+ 1; } } end_f_loop(f, thread2) for( i = 0; i<=i; i++) i suml += colb[i]; } if(j>0) { savg _b = suml/j; } for(k = 0;k<=l;k++) { sum2 += colh[k]; } if(l>0) { s^avgji = sum2/l; } fprintf(fid,"\n x_moy_b=%f x_moy_h=%f \n",s_avg_b,s_avg_h); fclose(fid); } DEFINE_PROPERTY(k_modiff f, c, t) { real k_modif; real w; real s; real zl; real z2; real x[nd_nd]; real temp = CJT(c, t); C_CENTROID(x, c, t); w = pow(s_avg_b/0.0635,3) ; if(w>=l) { zl = s_avg_h; z2 = s avg b; } else { zl=0; z2=0; } if(temp>=302.78) { if(x[l]>= zl) k_modif=32*(l + ili*47.9()829926*pow(pow(zl,3),0.29)); i if(x[ll< zl && x[l]>z2)! kjnodif = 32; i < if(x l <z2&&zl>0) i k_modif=32*(lr) 2 * *pow(pow(zl,3),0.29)*(z2*z2/((zl )*( zl)))); } < else i \ kjnodif = 32; } return k_modif; \ 100

114 AV.II UDF utilisée pour créer un terme source dans la zone liquide conductive #include "udf.h" #includc "stdio.h" #include "stdlib.h" static real s avg_b=0; static real s_avg_h=0; FILE *fid; DEFINE ADJUST(calcul_s_ avg, domain) { realfcl[2]; real FC2[2]; real colbj100]; real colh 100]; real suml; real sum2; real temp I ; real temp2; real temps; int i; intj = 0; int k; int I = 0; intidl 4; /* Zone ID pour mur bas issu du Boundary Conditions panel */ int ID2 = 3; /* Zone ID pour murhaut issu du Boundary Conditions panel */ facet f; Thread *threadl Lookup Threadfdomain, 11)1); Thread *thread2 Lookup Thread(domain, ID2); temps=current TIME; if (temps= =0) { fid fopen("sau vegarde_s_avg.txt ","w"); } else { fid fopen("sauvegarde_s_avg.txt Va"); } beginf loop(f, thread 1) F_CENTR0ID(FC1, f, thread 1); templ =F_T(f,threadl); if (templ >= && templ <= ) { colb[j]=fcl[0]; j=j + i; } } end_fjoop(f, thread 1) begin f_loop(f, thread2) { F_CENTROID(FC2, f, thread2); temp2 = F_T(f,thread2); if (temp2 >= && temp2 <= ) { colh[l]=fc2[0]; 1 = 1+1; } } end_f_loop(f, thread2) for(i = 0;i<=j; i++) { suml += colbfi]; } if(j>0) { s_avg_b = suml/j; for( k = 0; k<=l; k++) { sum2 += colhfk]; } if(l>0) { s_avg_h = sum2/l; } fprintf(fid,"\n x_moy_b=%f x_moy_h=%f \n ", s _a vg_b, s_a vg_h) ; fclose(fid); } DEFINE SOURCE(cellx s ource, c, t, ds, eqn) { real source; real w; real s; real zl; real z2; real x[nd_nd]; real temp = C_T(c, t); C_CENTROID(x, c, t); w = pow(s_avg_b/ : 4) * ; if(w>=l) { zl = s_avg_h; z2 =s_avg_b; } else { zl=0; z2=0; } if(temp>=302.78) { if(x[l]>= zl) { source r] 3 * *pow(10,6)*p ow(zl,-0.5); ds[eqn] = 0; } if(x[l]<z2) { source n 4 *l *pow(10,6)*p ow(z2,-0.5); ds[eqn]-0; } } else } { source = ds[eqn] = 0.; } return source; 101