FSAB 1203 : PHYSIQUE QUANTIQUE APE 12 : BARRIÈRE DE POTENTIEL, STRUCTURE

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1 Physique Quantique FSAB 123 APE 12 Auteur(s) : VB, XG, ON, BN, JPR FSAB 123 : PHYSIQUE QUANTIQUE APE 12 : BARRIÈRE DE POTENTIEL, STRUCTURE PÉRIODIQUE, ATOME D HYDROGÈNE, SEMICONDUCTEURS BARRIERE DE POTENTIEL EXERCICE 1 lorsque celle-ci est en présence d une marche de potentiel. EXERCICE 2 lorsque celle-ci est en présence d une simple barrière de potentiel, et lorsque la largeur de cette barrière augmente. EXERCICE 3 lorsque celle-ci est en présence d une simple barrière de potentiel, et lorsque le rapport entre son énergie et celle de la hauteur de barrière augmente. EXERCICE 4 lorsque celle-ci est en présence d une double barrière de potentiel. EXERCICE 5 L effet tunnel n est pas une simple curiosité de la physique quantique mais possède des applications pratiques. Par exemple : la microscopie à effet tunnel (STM) dont un schéma est présenté ci-dessous et dont le principe de fonctionnement est expliqué dans le Young & Freedman, pp En deux mots, une pointe ultra-fine est placée à faible distance de la surface de l échantillon (de l ordre du nanomètre) et peut être déplacée parallèlement à la surface. Un potentiel de polarisation est appliqué entre la pointe et l échantillon et on mesure les variations du courant «tunnel» passant entre la pointe et l échantillon. FSAC163 : APE32 - Enoncé - 1 / 5 -

2 Schéma de principe d un microscope à effet tunnel (STM). On peut ainsi visualiser la topographie de la surface jusqu à l échelle atomique comme montré dans l exemple ci-dessous. Ce type de microscope basé sur la mesure d un courant «tunnel» permet donc d obtenir une résolution inégalable par rapport à d autres microscopes. Image de la surface d une tranche de silicium obtenue par microscope à effet tunnel montrant les atomes de surface. Pour une particule d énergie E =.3 V, tracez un graphique montrant l évolution du coefficient de transmission T en fonction de la largeur de barrière pour.3 < a < 2 nm. Quel est l ordre de grandeur de la variation de T lorsque a augmente de.2 nm? Discutez la capacité de haute résolution du STM à la lumière de vos observations. Le coefficient de transmission, T, pour un électron dont l énergie est inférieure à la hauteur de la barrière de potentiel est donnée par la relation suivante : FSAC163 : APE3 - Enoncé - 2 / 5 -

3 T = 4E V ( E) 4E V a h 2 2 ( E) + V sinh 2m( V E) PUIT DE POTENTIEL HARMONIQUE EXERCICE 6 Imaginons un électron soumis à une force de rappel (F = -Kx où x est la coordonnée spatiale - nous considérons le problème unidimensionnel (F = F x )). Il s agit bien sûr du problème de l oscillateur harmonique vu en mécanique classique. L outil de simulation va maintenant vous permettre de comprendre le comportement de l oscillateur harmonique «quantique». Que peut-on dire de la densité de probabilité de la particule dans le puits? Pour ce faire calculez la densité de probabilité en fonction de x pour un électron soumis à une force de rappel F = - Kx (K = 1 N/m) pour les premiers niveaux d énergie permis. Comparez votre résultat à la prédiction classique, en particulier en considérant l évolution vers les niveaux énergétiques élevés. ATOME D HYDROGÈNE EXERCICE 7 Supposez que l on forme un nouvel atome en remplaçant l électron de l atome d hydrogène par une particule de même charge, et de masse dix fois plus petite, M. A. Quelle sera l énergie nécessaire minimale pour ioniser ce nouvel atome, à partir de son état fondamental? Dans l état fondamental, à quelle distance du noyau la probabilité de trouver la particule sera-t-elle la plus grande? (On travaille dans l hypothèse que le noyau d hydrogène est une particule classique immobile). B. On observe les raies spectrales d absorption d un atome d hydrogène, placé dans divers états initiaux (état fondamental ou excité). Pourriez-vous retrouver les nombres quantiques principaux des niveaux entre lesquels la transition quantique a lieu, lorsque l énergie absorbée vaut : 24/25 Ry; 2/9 Ry ; 1/12 Ry? STRUCTURE PÉRIODIQUE EXERCICE 8 Pour l électron, un atome n est rien d autre qu un puits de potentiel qui reflète l attraction coulombienne du noyau. Etudiez le comportement de l électron dans un cristal d atomes et observez la différence entre un atome isolé et un cristal d atomes. A. Décrivez graphiquement et qualitativement la forme du potentiel ressenti par un électron situé sur l axe d une chaîne uni-dimensionelle d atomes. B. Que pouvez vous dire du positionnement en énergie des niveaux successifs? Est-il homogène? Observez-vous des regroupements (bandes d énergie), et si oui, combien de niveaux énergétiques trouve-t-on par bande? Pourquoi? FSAC163 : APE3 - Enoncé - 3 / 5 -

4 SEMICONDUCTEURS EXERCICE 9 Nous avons à notre disposition un monocristal de semi-conducteur ultra-pur dont nous ne connaissons pas la nature. A. Nous le confions à un physicien qui nous annonce que le seuil d absorption de la lumière correspondant à la transition bande de valence bande de conduction se produit dans la gamme de longueurs d onde comprises entre 18 et 19 nm (les photons de plus faible énergie ne sont pratiquement pas adsorbés, alors que ceux qui ont une énergie plus importante le sont fortement). Sachant que la largeur de la bande d'énergie interdite vaut : E g = 1.42 ev pour le GaAs (colonnes III-V) ; E g = 1.12 ev pour le Si (colonne IV) ; E g =.67 ev pour le Ge (colonne IV), quelle est la nature de ce semi-conducteur? B. Quelle est, dès lors, la probabilité qu un électron occupe le niveau d énergie le plus bas de la bande de conduction de chacun de ces semi-conducteurs à T = 3 K. Pour rappel : q = C, k B = J/K, h = J.s, c = m/s. C. Que pouvons-nous faire pour augmenter le nombre d'électrons dans la bande de conduction à T = 3 K? Pour chacune des propositions, déterminer si elle a un effet et, dans l affirmative, si elle a l effet désiré? Augmenter la température du cristal pendant un bref instant avant de la ramener à 3 K. Introduire des atomes de bore, B, dans le cristal (colonne III). Illuminer le cristal avec de la lumière ultra-violette. D. Répondez aux mêmes questions (A, B et C) pour des échantillons ayant des seuils d absorption situés respectivement entre 83 et 91 nm, et entre 15 et 115 nm. EXERCICE 1 La statistique de Maxwell-Boltzmann est intrinsèquement incorrecte mais, dans certaines circonstances, elle constitue une bonne approximation de la statistique de Fermi-Dirac pour les électrons. Pour fixer les idées, nous allons considérer dans ce qui suit qu une erreur inférieure à 1% est acceptable et que dans ce cas on peut utiliser la statistique classique. Les matériaux dont nous parlons ci-dessous sont considérés comme ultra-purs. A. Pour les isolants et à température ambiante, la statistique de Fermi-Dirac peut-elle être approchée par la statistique de Maxwell-Boltzmann? Oui / non / parfois. B. Pour les métaux et à température ambiante, la statistique de Fermi-Dirac peut-elle être approchée par la statistique de Maxwell-Boltzmann? Oui / non / parfois. C. Pour quels semi-conducteurs suivants la statistique de Fermi-Dirac peut-elle être approchée par la statistique de Maxwell-Boltzmann aux deux températures indiquées : T = 1 K E g (ev) T = 6 K E g (ev) InSb.24 InSb.24 InAs.45 InAs.45 GaSb.81 GaSb.81 Si 1.12 Si 1.12 EXERCICE 11 Vrai ou faux? A. Dans un cristal contenant n atomes, chaque bande d énergie peut contenir 2n électrons au maximum. B. Dans un cristal contenant n atomes, chaque bande d énergie contient 2 x n niveaux distincts. C. Deux fermions ne peuvent pas avoir la même énergie. FSAC163 : APE3 - Enoncé - 4 / 5 -

5 D. Deux bosons peuvent occuper le même état quantique. E. La statistique de Maxwell-Boltzmann est une bonne approximation pour les Fermions lorsque : E µ >> k BT. F. La statistique de Maxwell-Boltzmann est une bonne approximation pour les Bosons lorsque : E µ >> kbt. G. Pour ce qui est de leur statistique, les particules quantiques tendent à se comporter de plus en plus comme des particules classiques à suffisamment haute énergie. H. Pour les métaux et à température ambiante, la statistique de Fermi-Dirac peut être approximée (erreur inférieure au %) par la statistique de Maxwell-Boltzmann I. L hélium-3 (dont le noyau contient un neutron) est un boson. J. L hélium-4 (dont le noyau contient deux neutrons) est un fermion. K. L indiscernabilité des particules impose que lors de la permutation des particules 1 et 2, ψ 1, 2 = ψ 21,. ( ) ( ) L. L énergie de Fermi est l énergie maximale que peuvent acquérir les Fermions. M. À température nulle, les bosons sont tous dans l état de plus basse énergie. N. Le dopage du silicium avec des impuretés d As abaisse l énergie de Fermi. FSAC163 : APE3 - Enoncé - 5 / 5 -