Chapitre 1-2 : Rappels de mathématiques

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1 Chapitre -2 : Rappels de mathématiques par François Bernot Document n DS3000 Les documents contenus dans cette encyclopédie se regroupent dans les catégories suivantes : cours avec leurs supports PPT lorsque présentés exercices, énoncés fournis séparément, et corrigés écrits avec le logiciel Mathcad fiches de calcul, ce sont des recueils de formules ayant servi à écrire les cours TP (travaux pratiques), ce sont des exercices supportés par du matériel (non-fourni) Malgré tout le soin que nous avons apporté à la rédaction de ce document, il se peut qu'il soit imparfait. Nous vous remercions de nous envoyer vos commentaires à contact@francecol.com, en mentionnant sa référence. Droits de Propriété liés à ce document Ce document fait partie d'une encyclopédie dont nous sommes les auteurs exclusifs. Ce fichier est l'entière propriété de FranceCol Technology. Son téléchargement ne confère qu'une licence d'utilisation et non un droit de reproduction sous quelque forme que ce soit. Par dérogation, les enseignants et formateurs, ont un droit de reproduction gratuit du contenu de ce document, sous les conditions limitatives suivantes : format PDF ou fichier source gratuit (usage gratuit, revente interdite) ==> distribution libre du fichier PDF ==> reproduction libre sous forme papier, réservée au seul auditoire dont l'enseignant a la charge format papier duplication papier limitée au seul auditoire dont l'enseignant a la charge fichier source payant ==> distribution libre du fichier source réservée au seul auditoire dont l'enseignant a la charge en cas d'usage sous forme de support de cours, quel que soit le format, obligation d'informer FranceCol Technology de la quantité de copies (papier et PDF) effectuées Les informations contenues dans ce fichier n'engagent en aucun cas FranceCol Technology, que ce soit pour des applications didactiques ou industrielles, elles ne sont qu'informatives, au titre de la diffusion de savoir-faire. - tous droits d édition & duplication réservés

2 La vitesse variable électrique - Rappels de mathématiques Introduction Ce chapitre propose de façon synthétique des rappels de mathématiques qui seront nécessaires à la compréhension des divers chapitres. Il présente les régimes alternatifs sinusoïdaux ou non, ainsi que les décompositions en séries de Fourier. 2 contact@francecol.com - FranceCol Technology - doc n DS3000

3 Table des matières Cours Fiche 2. : Régimes sinusoïdaux monophasés et triphasés, page 4 Fiche 2.2 : Régimes non sinusoïdaux, analyse de Fourier, page 8 Exercices Exercice 2. : Calcul de la série de Fourier d une fonction créneaux, page 4 Exercice 2.2 : Calcul de la série de Fourier d une fonction trapèze, page 6 Exercice 2.3 : Calcul de la série de Fourier d une onde MPI, page 8 Fiches de calcul Fiche 2.3 : Fiche de calcul, page tous droits d édition & duplication réservés

4 La vitesse variable électrique - Rappels de mathématiques Fiche 2. : Régimes sinusoïdaux monophasés et triphasés Le régime sinusoïdal est défini par la variation d une grandeur selon la loi : \MATH -\ En notation complexe, nous pouvons écrire : at () = A 2 cos( ω t ϕ) où A représente la valeur efficace. \MATH -2\ Régime sinusoïdal monophasé a( t).5 0 La loi de variation : \MATH -3\ at () = 2 cos( ω t π est représentée à la figure f=- 60 A Figure 2. : régime monophasé t Sa valeur efficace vaut l unité. Elle se représente dans le plan complexe comme ci-contre : 2 Régime sinusoïdal triphasé Les lois de variation : \MATH -4\ a() t = 2 cos( ω t π, a2() t = 2 cos( ω t π / 3 2 π et 4 contact@francecol.com - FranceCol Technology - doc n DS3000

5 Régimes sinusoïdaux monophasés et triphasés a3() t = 2 cos( ω t π / 3 4 π sont représentées à la figure 2.2. Elles forment un système sinusoïdal triphasé équilibré, représenté dans le plan complexe ci-dessous..5 j a( t) A3 20 a2( t) 0 a3( t) A2 20 f=-60 A Notation complexe des grandeurs sinusoïdales, diagramme spatio-temporel Figure 2.2 : régime triphasé t Une grandeur qui évolue de façon sinusoïdale dans le temps ou l espace peut être représentée par la notation complexe définie ci-dessous. Soit \MATH -5\ at () = A 2 cos( ω t ϕ), une grandeur temporelle ; elle a pour valeur crête \MATH -6\ Ac = A 2. Soit \MATH -7\ bt () = B 2 cos( p Ω t θ o), une grandeur d espace ; elle a pour valeur crête \MATH -8\ Bc = B 2. La représentation complexe de ces grandeurs peut être visualisée sur les cercles de la figure 2.4. Chaque variable est considérée comme étant le résultat de la projection Q(t)= W.t d un vecteur tournant sur l axe horizontal. Si les grandeurs d espace et de temps sont synchrones (ω.t=θ=θ/p), nous pouvons les représenter sur un même diagramme, dit spatio-temporel. Nous comprenons ici la relation entre le cercle et le plan complexe, ainsi que l analogie spatiotemporelle. Cette dernière sera utilisée, par exemple, avec les machines Q(t) e(t) tournantes pour relier la rotation d un aimant inducteur à la tension induite. e(t) w.t Nous pouvons écrire les grandeurs précédentes en notation complexe de la façon suivante : \MATH -9\ où A et B représentent les valeurs efficaces. et B B e j θ o = W=p. w (p=) Figure 2.3 : illustration de la correspondance spatiotemporelle avec la rotation d un aimant tous droits d édition & duplication réservés