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1 Histogrammes et courbes cumulatives Situation L'association de course à pieds VIVALURE a une équipe féminine bien représentée. Ci-dessous, le tableau donne les derniers temps aux 1 Km des participantes. Nom Temps (min) Nom Temps (min) Nom Temps (min) Adèle 51 Delphine 49 Hélène 49 Alexandra 49 Dorothée 58 Laura 55 Amandine 4 Elise 47 Marie Anne 1 Elodie 44 Maryline 48 Aurélie 57 Emilie 42 Monique 41 Céline 59 Emma 41 Morgane 45 Charlotte 4 Eurydice 5 Nia 4 Chloé 39 Fabienne 37 Pauline 54 Claire 45 Fanny 4 Sophie 49 Clara 44 Farima 51 Vanessa 59 Mme Spide prend la responsabilité de l'entraînement. Elle décide de créer cinq équipes de niveau équivalent et de même effectif. Constituer les équipes. (Faire un tableau donnant les temps minimums et maximums pour chacune des équipes). Pour exposer les raisons de son choix, elle décide de faire un affichage. Elle vous demande de faire une représentation graphique sous forme d un histogramme. En abscisse : le temps, en surface, l effectif. Chacune des sportives désire se situer par rapport aux autres et demande à ce que figure le classement. avec une mise en évidence du premier quart, de la moitié et du troisième quart et des temps correspondants. Faire le graphique approprié (courbe cumulée croissante). CUEEP Département Mathématiques T81 : Histogrammes et courbes cumulatives p1/8

2 Corrigé 1) Constitution des équipes On range par ordre croissant des temps : les sportives dont le temps est le plus petit (les meilleures) constitueront l équipe 1 équipe 1 équipe 2 équipe 3 équipe 4 équipe 5 Fabienne 37 Clara 43 Elise 47 Eurydice 5 Dorothée 58 Chloé 39 Elodie 44 Maryline 48 Adèle 51 Céline 59 Fanny 4 Claire 45 Alexandra 49 Farima 51 Vanessa 59 Emma 41 Morgane 45 Delphine 49 Pauline 54 Marie Monique 41 Charlotte 4 Hélène 49 Laura 55 Anne 1 Emilie 42 Nia 4 Sophie 49 Aurélie 57 Amandine 4 L effectif de chaque équipe est de sportives dont les temps sont les suivants : Equipe 1 : de 37 min à moins de 43 min Equipe 2 : de 43 min à moins de 47 min Equipe 3 : de 47 min à moins de 5 min Equipe 4 : de 5 min à moins de 57 min Equipe 5 : de 57 min à moins de 5 min On a créé ainsi des «classes». On les écrit sous forme d intervalle, par exemple l intervalle de temps de l équipe 1 est : [37 ; 43[ [37 Le temps de 37 min est inclus dans l intervalle 43[ Le temps de 43 min n est pas inclus dans l intervalle CUEEP Département Mathématiques T81 : Histogrammes et courbes cumulatives p2/8

3 On peut ainsi construire un nouveau tableau Temps en min [37 ; 43[ [43 ; 47[ [47 ; 5[ [5 ; 57[ [57 ; 5[ Effectif Chaque classe ou intervalle a une amplitude : Ainsi pour l équipe 1 l amplitude de classe est de min (43 37) pour l équipe 2 l amplitude de classe est de 4 min (47 43) Par contre l effectif est le même dans chaque classe C est ce tableau qui va permettre de construire l histogramme. 2) Construction de l histogramme L histogramme sert à visualiser des données chiffrées. La variable est le temps : on met le temps en abscisse et on va représenter l effectif par des rectangles qui auront comme base l amplitude de chaque classe. Chaque rectangle doit donc avoir une aire proportionnelle à. Tous les rectangles devront avoir la même aire. Comme les amplitudes de classe sont différentes, il faudra faire attention à la hauteur des rectangles. Exemple : Si on choisit de prendre comme échelle des temps 1 cm pour 1 min et que 1 personne sera représentée par 4cm², les rectangles devront avoir une aire de 24 cm² Comme les classes ne sont pas égales, la hauteur de chaque rectangle dépendra de la l amplitude de la classe. Ainsi pour l équipe 1 la classe est de min, la largeur du rectangle sera de cm et pour représenter un rectangle de 24 cm² il faudra que la hauteur du rectangle soit de 4cm (24/). Dans le cas où les classes sont égales (ce qui est fréquent en statistiques), le tracé de l histogramme est moins compliqué car les hauteurs sont alors proportionnelles aux surfaces, donc aux effectifs. CUEEP Département Mathématiques T81 : Histogrammes et courbes cumulatives p3/8

4 Histogramme temps en min ATTENTION : Si on veut ajouter un axe vertical il représente un effectif par min Pour l équipe 2 l effectif par min est de 1,5 (/4) : c est une unité composée. classes en min effectif largeur de classe effectif par min [37-43[ 1 [43-47[ 4 1,5 (47-5[ 3 2 [5-58[ 8,75 [58-5[ 7,8 Même dans le cas de tranches égales il ne faut pas oublier que l axe vertical représente un effectif par classe. effectif par min 2,5 2 1,5 1, temps en min CUEEP Département Mathématiques T81 : Histogrammes et courbes cumulatives p4/8

5 On aurait pu compléter le tableau des effectifs avec les fréquences, il y a personnes dans chaque classe, ce qui représente de l ensemble des sportives (fréquence = =,2 = ) : 3 Temps en min Effectif Fréquences [37 ; 43[ [43 ; 47[ [47 ; 5[ [5 ; 57[ [57 ; 5[ L histogramme aurait la même allure et si on y ajoute un axe vertical, ce serait des fréquences par classe 3) Courbe des fréquences cumulées Pour faire le graphique des effectifs ou fréquences cumulées croissants on a besoin de faire un nouveau tableau : On va calculer le nombre ou le pourcentage de sportives qui courent moins d un certain temps : Exemple : le nombre de sportives qui courent moins de 47 min est de 12, il est égal à la somme de celles qui courent de 37 à moins de 43 min et de celles qui courent de 43 à moins de 47 min. On pourra ainsi remplir le tableau des effectifs ou fréquences cumulées croissants suivant : Temps en min Effectifs cumulés croissants Fréquences cumulées croissantes % 4% % 8% 1% Il y a 18 sportives (ou % des sportives) qui courent moins de 5 min CUEEP Département Mathématiques T81 : Histogrammes et courbes cumulatives p5/8

6 On peut compléter ce tableau par les effectifs ou fréquences cumulés décroissants : Temps en min Effectifs cumulés croissants Effectifs cumulés décroissants Fréquences cumulées croissantes % 4% % 8% 1% Fréquences cumulées décroissantes 1% 8% % 4% % Il y a 12 sportives (ou 4% des sportives) qui courent plus de 5 min A noter que la somme des effectifs sur une ligne est de 3 et que la somme des fréquences est de 1%. courbe des fréquences cumulées 12 On peut faire le graphique associé, en portant en abscisse le temps et en ordonnée les fréquences cumulées 1 8 fréquences 4 croissantes décroissantes temps CUEEP Département Mathématiques T81 : Histogrammes et courbes cumulatives p/8

7 A partir de ces courbes on peut répondre à des questions de type : En moins de combien de temps courent 25% des sportives (1/4), 5% des sportives (1/2), 75% des sportives (3/4)? fréquences courbe des fréquences cumulées On lit sur la courbe des fréquences cumulées croissantes pour des fréquences données la valeur de la variable qui est ici le temps 25 % : Le premier quart correspond à des sportives courant moins de 44 min : Cette valeur correspond au premier quartile. 5% : La moitié correspond à des sportives courant moins de 48,5 min : Cette valeur correspond au deuxième quartile ou médiane 75% : Le troisième quart correspond à des sportives courant moins de 5 min : Cette valeur correspond au troisième quartile temps On peut de la même façon définir les déciles : 1er décile : temps tel que 1% des sportives courent moins de ce temps 2ème décile : temps tel que des sportives courent moins de ce temps et ainsi de suite CUEEP Département Mathématiques T81 : Histogrammes et courbes cumulatives p7/8

8 Application En prévision des compétitions, Mme Spide estime que tout le monde doit participer. Aussi, sélectionne-t-elle les coureuses en fonction du temps des courses de la région. Ceci permet à tout le monde de participer aux compétitions et chacune à la mesure de ses performances Courses Critère de sélection pour participer aux couleurs de VIVALURE Trophée de L'éclair d'or 4 et moins L'espoir des Alizées ] 4 ; 45 ] La Chaussure bondissante ] 45 ; 5 ] Le grand prix du coeur ] 5 ; 55 ] La médaille du mérite sportif Supérieur à 55 Combien y aura-t-il de participantes par course? (Faire un tableau) Représenter sur un histogramme et sur une courbe cumulée. Comparer cet histogramme et cette courbe cumulée aux graphiques conçus pour les deuxième et troisième questions. Contacter votre formateur pour la correction. CUEEP Département Mathématiques T81 : Histogrammes et courbes cumulatives p8/8