TD 1 : Représentation et encodage de l'information

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Cyril Pageau
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1 ARCHITECTURE DES ORDINATEURS IG TD 1 : Représentation et encodage de l'information Clément Jonquet {jonquet@lirmm.fr} Représentation des entiers Question 1 Quelles valeurs numériques décimales faites-vous correspondre à la valeur binaire contenue dans un mot mémoire de 8 bits, en : (a) représentation normale = = 255 (b) valeur absolue signée Le bit de poids fort indique le signe (signe + = 0, signe - = 1) = = 127 (c) complément à 1 Le bit de poids fort indique le signe (signe + = 0, signe - = 1) Complément à 1 de = 0 (d) complément à 2 Le bit de poids fort indique le signe (signe + = 0, signe - = 1) On ajoute 1 au complément à = 1 Question 2 Une manière plus pratique de représenter les nombres binaires est d'utiliser des bases qui sont des puissances de 2. Ainsi, on utilise souvent la base 16 (hexadécimal) qui comporte les chires 0, 1,2,3,4, 5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. (a) Combien de chires en hexadécimal faut-il pour coder un octet? 1 octet = 8 bits 2 8 = 256 possibilités. log 16 (256) = log 16 (16 2 ) = 2 Il faut donc 2 chires hexadécimaux pour représenter 256 possibilités. (b) Quels nombres décimal et binaire le nombre hexadécimal 7FFF FFFA représente-t-il? Décimal : = = =

normale 1 2 7 +1 2 6 +1 2 5 +1 2 4 +1 2 3 +1 2 2 +1 2 1 +1 2 0 = 128+64+32+16+8+4+2+1 = 255 (b) valeur absolue signée Le bit de poids fort indique le signe (signe + = 0, signe - = 1) 1 1 2 6 +1 2 5

2 Binaire : 7 F F F F F F A (c) Quel nombre hexadécimal représente le nombre binaire suivant? C A F E F A C E Question 3 Donner sur 8 bits les représentations des nombres -32, -127 et -128 dans les systèmes de représentation suivants : valeur absolue signée, complément à 1, complément à valeur absolue signée (-127 max!) complément à (-127 max!) complément à Question 4 Représenter les nombres décimaux 512, et en binaire en utilisant la représentation en complément à 2 sur 16 bits. Le complément à 2 d'un nombre binaire positif est ce nombre. 512 = eme bit à 1 et on complète avec des 0 jusqu'a 32 bits. = Le complément à 2 d'un nombre binaire négatif est le complément à 1 de la valeur absolue de ce nombre, plus = (1024 1) et 1024 = premiers bits sont à 1. = = C 1 (1023) + 1 = = = Par divisions successives de = C 1 (25000) + 1 = = Question 5 Quels nombres décimaux représentent les nombres binaires en complément à 2 suivants? (a) Lorsque le bit de poids fort est un 1 cela indique un nombre négatif, il faut donc faire l'opération de conversion inverse pour obtenir le nombre d'origine : soustraire 1 complément à 1 conversion décimale = ( ) = 500 (b) = (c)

représentation suivants : valeur absolue signée, complément à 1, complément à 2. -32-127 -128 valeur absolue signée 1010 0000 1111 1111 (-127 max!) complément à 1 1101 1111 1000 0000 (-127 max!

3 Lorsque le bit de poids fort est un 0 cela indique un nombre positif, le nombre est donc équivalent à sa valeur décimale = 4095 Représentation des nombres réels Question 6 Donner en binaire et en hexadécimal la représentation en virgule xe (8 bits de partie entière + 4 bits de partie décimale "binaire") des nombres décimaux suivants : (a) Les bits à droite de la virgule représentent la partie décimale "binaire" du nombre et correspondent à l'inverse des puissances de 2. La conversion de la partie décimale "binaire" se fait par des multiplications successives par = = = = 1.0 Binaire : = Hexadécimal : = 00.5 (b) Binaire : = Hexadécimal : = 20.A (c) = = Binaire : = bits n'ore qu'une très petite précision. Hexadécimal : = 80.3 Question 7 Quel nombre décimal est représenté par la chaîne de bits suivante, codée en représentation ottante IEEE 754 en simple précision (i.e., 1 bit de signe, 8 bits d'exposant, 23 bits de mantisse) : Représentation IEEE 754 : x = ( 1) S (1, M) 2 E (2n 1 1) ( 1) 1 (1, ) (28 1 1) = 1 1, ( ) = 1, = 1, = 22, 125 3

"binaire") des nombres décimaux suivants : (a) 0.3125 Les bits à droite de la virgule représentent la partie décimale "binaire" du nombre et correspondent à l'inverse des puissances de 2.

4 Question 8 Donnez la représentation ottante IEEE 754 en simple précision des nombres rationnels suivants : 10, 10.5 et = S = 0 (le nombre est positif) M = 010, soit sur 23 bits. E = = 130 = sur 8 bits Soit = S = 0 (le nombre est positif) M = 0101, soit sur 23 bits. E = = 130 = sur 8 bits Soit = 0, = 0, = 0, = 1, = 1, = 0, = 0, 8... On boucle, il n'y a donc pas de représentation exacte du nombre 0.1. On doit donc tronquer en fonction de la taille de la mantisse (i.e., 23 bits) S = 0 (le nombre est positif) M = E = = 123 = sur 8 bits Soit Opérations arithmétiques en binaire Question 9 Eectuer les opérations arithmétiques suivantes en supposant que les nombres sont représentés en codage normal (entier positif) : (a) (128) (15) (143) (b) (234) (65) (299) Cet exemple illustre un dépassement de capacité si la taille de représentation des nombres était limitée à 8 bits. Il illustre également le report de la retenue. (c)

0101 2 3 S = 0 (le nombre est positif) M = 0101, soit 010 1000 0000 0000 0000 0000 sur 23 bits. E = 3+127 = 130 = 1000 0010 sur 8 bits Soit 0100 0001 0010 1000 0000 0000 0000 0000 0.1 2 = 0, 2 0.

5 (d) (70) (20) (50) (13) * (5) (65) Cet exemple illustre également un dépassement de capacité si la taille de représentation des nombres était limitée à 4 bits. (e) 356/ / A dérouler! (f) 234/ (234) / (13) (18) A dérouler! Question 10 Eectuer les opérations arithmétiques suivantes en supposant que les nombres sont représentés en complément à 2 sur 8 bits : (a) (70) (-20) (50) Le nombre positif est plus grand que le nombre négatif : addition binaire classique et on 'oublie' la dernière retenue (à gauche). La somme est positive. (b) (20) (-70) (-50) Le nombre négatif est plus grand que le nombre positif : addition binaire classique, la somme est négative et représentée directement dans le système complément à 2. (c) (-20) (-70) (-90) Les deux nombres sont négatifs : addition binaire classique et on oublie la dernière retenue (à gauche). La somme est négative. 5

(f) 234/13 1 1 1 0 1 0 1 0 (234) / 1 1 0 1 (13) 1 0 0 1 0 (18) A dérouler!

6 Encodage Question 11 Compléter en utilisant le contrôle de parité paire les octets suivants : En parité paire, le nombre de bits à 1 doit être pair Question 12 Nous utilisons le codage suivant pour transférer des messages formés de caractères : Codage ASCII sur 7 bits pour les caractères. Contrôle de double parité paire avec 1 bit contrôle transversal sur le bit de poids fort. Contrôle longitudinal après 6 mots (y compris bit de poids fort). Vous venez de recevoir le message suivant : A B C D E F G H Détecter et corriger, si nécessaire, les erreurs de transferts et décoder le message. Indication : l'espace se représente en ASCII. La détection des erreurs avec le double contrôle de parité nous indique des erreurs en : C4, F13, A19. La correction des erreurs est possible sans retransmission car il y à qu'une seule erreur par bloc de 7 mots. Le message décodé (en ignorant les lignes 7, 14 et 21 qui servent au contrôle longitudinal) donne : "Le prof est super!" Question 13 Proposer un codage de Human pour la phrase décodée de l'exercice précédent. Encoder 6

Contrôle de double parité paire avec 1 bit contrôle transversal sur le bit de poids fort. Contrôle longitudinal après 6 mots (y compris bit de poids fort).

7 le message en utilisant ce codage et le même contrôle de double parité que précédemment. Comparer la taille du nouveau message à précédemment. Commentez. Le calcul de la fréquence des caractères du message nous donne : L e p r o f s t u! Construire un arbre binaire et en tirer un codage. Notez que ce codage dépend de l'étape de construction de l'arbre binaire (i.e., des sommes réalisées) : L e p r o f s t u ! Il s'agit maintenant de coder le message "Le prof est super!" avec ce nouveau codage : Pour garantir l'auto-correction du message, on divise le message précèdent par mot de 7 bits (en complétant avec 1 espace "111") et on rajoute 1 bit de contrôle de parité transversal sur le bit de poids fort. Tous les 6 octets (ou moins), on rajoute un octet de contrôle longitudinal. Ce qui nous donne : La taille du nouveau message est donc bien plus courte 11 octets au lieu de 21. Notez cependant qu'il aurait fallu spécier 1 caractère de n de message (au lieu d'utiliser espace) et qu'il faudrait aussi considérer l'envoi du codage de Human utilisé pour coder le message. 7

Notez que ce codage dépend de l'étape de construction de l'arbre binaire (i.e., des sommes réalisées) : L 0 0 1 0 e 1 1 0 1 1 1 p 1 0 0 r 1 0 1 o 0 0 1 1 f 0 1 0 0 s 0 0 0 t 0 1 0 1 u 0 1 1 0!

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