THESE. en vue de l obtention du grade de. le 7 juillet 2008

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1 THESE en vue de l obtention du grade de DOCTEUR DE L UNIVERSITÉ DE TOULOUSE délivré par l INSA de Toulouse Spécialité : Génie des Procédés de l Environnement Présentée et soutenue par Angélique DELAFOSSE le 7 juillet 2008 ANALYSE ET ÉTUDE NUMÉRIQUE DES EFFETS DE MÉLANGE DANS UN BIORÉACTEUR JURY : Michael YIANNESKIS Professeur, King s College London Rapporteur Annie MARC Directeur de recherche CNRS, ENSAIA Nancy Rapporteur Nic LINDLEY Directeur de recherche CNRS, INSA Toulouse Examinateur Jéremy PRUVOST Maître de conférences, Université de Nantes Examinateur Olivier SIMONIN Professeur, ENSEEIHT Toulouse Examinateur Pascal GUIRAUD Professeur, INSA Toulouse Co-directeur Jérôme MORCHAIN Maître de conférences, INSA Toulouse Co-directeur École doctorale : Mécanique, Énergétique, Génie civil, Procédés Unité de recherche : Laboratoire d Ingénierie des Systèmes Biologiques et des Procédés

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3 RÉSUMÉ Ce travail de thèse part d un constat : lors de l augmentation de la taille des bioréacteurs, des baisses significatives de performances sont observées lors de certaines cultures industrielles. Dans ces cultures, la diminution de la qualité du mélange entre la solution d alimentation en substrat et le milieu de culture est considérée comme étant l une des causes principales de la diminution des performances lors de l extrapolation des bioréacteurs. L objectif de ce travail de thèse a alors été d étudier le mélange dans les bioréacteurs de type cuve agitée afin d analyser les interactions potentielles entre mélange et réaction biologique. L étude du mélange a été réalisée en utilisant la Mécanique des Fluides Numériques. Deux simulations ont été réalisées : une simulation basée sur les équations de Navier-Stokes en moyenne de Reynolds (RANS), et une simulation des grandes échelles ou Large Eddy Simulation. La première étape de ce travail a été de valider les résultats des deux simulations réalisées avec des données expérimentales disponibles dans le jet de l agitateur. La comparaison des données expérimentales et numériques montrent qu une simulation permet de résoudre l hydrodynamique avec une excellente précision, elle a donc été utilisée pour caractériser le mélange au sein de la cuve. Un traçage numérique a été réalisé afin notamment d étudier l influence de la position du point d injection sur le mélange. Simultanément à l injection des traceurs, un suivi lagrangien de particules a également été réalisé dans le but d étudier les variations de l environnement que peuvent expérimenter des microorganismes. Mots-clés : mélange, réaction biologique, cuve agitée, turbulence, hydrodynamique, Mécanique des Fluides Numérique, Large Eddy Simulation, simulation RANS, suivi lagrangien de particules. ABSTRACT This study is based on a observation : when the size of a bioreactor increases, the biological production performances tend to decrease for some industrial cultures. This decrease is due in part to the reduction of the mixing efficiency with the scale-up of the bioprocess. Thus, the aim of this thesis was to study the mixing process in a bioreactor and to analyse the interactions between mixing and biological reactions. The mixing study was performed using Computational Fluid Dynamics. Two kinds of simulation were used : a Reynolds-Averaged Navier-Stokes simulation and a Large Eddy Simulation. The first step was to assess the numerical hydrodynamics of the two simulations from results obtained by Particule Image Velocimetry experiments in the impeller discharge of the stirred tank used. These first results have shown that the Large Eddy Simulation solve with an excellent accuracy the hydrodynamics, so the LES was used to caracterize mixing in the tank. The mixing of an inert scalar was followed to study the influence of the injection location on the mixing process. At the same time, a Lagrangian particle tracking was performed to study the variation of their microenvironment that can be observed by microorganisms. Keywords : mixing, biological reaction, stirred tank, turbulence, hydrodynamics, CFD, Large Eddy Simulation, RANS simulation, lagrangian tracking.

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5 REMERCIEMENTS En premier lieu, je tiens à remercier mes directeurs de thèse, Pascal Guiraud et Jérôme Morchain, sans qui cette thèse n aurait jamais eu lieu. Merci pour la confiance et l autonomie qu ils m ont accordé au cours de ce travail. Une partie de ce travail n aurait pas été possible sans la contribution d Alain Liné. Un très grand merci pour l aide qu il m a apportée. Pendant longtemps, j ai été persuadée que la Mécanique des Fluides m était complètement inaccessible mais il m a démontré le contraire. Je tiens également à remercier l ensemble du jury pour avoir accepté de lire et de juger ce travail : Nic Lindley, Olivier Simonin, Jéremy Pruvost et plus particulièrement mes rapporteurs Annie Marc et Michael Yianneskis. Un merci particulier à Michael Yianneskis pour avoir accepté de lire une thèse dans une langue qui ne lui est pas familière. J ai débuté ma thèse au sein du Laboratoire d Ingénierie des Procédés de l Environnement, aujourd hui Laboratoire d Ingénierie des Systèmes Biologiques et des Procédés. Je souhaite remercier toutes les personnes que j y ai rencontrées, enseignants-chercheurs, doctorants, post-doctorants, stagiaires, personnel technique et administratif, qui ont fait, font et feront de ce laboratoire non seulement un lieu de travail mais également un lieu de convivialité et de rencontres. Un merci particulier à Danièle sans qui je me serais noyée sous la paperasse. Merci aussi pour tous les coups de main et les coups de pied aussi, dieu sait que j en ai besoin parfois... Tous mes remerciements également à l équipe enseignante du département de Génie des Procédés de l Environnement pour m avoir fait confiance et donné la chance d apprendre le métier d enseignant, d abord en temps que vacataire puis ATER. L enseignement fut pour moi une expérience très enrichissante. Un grand merci à Domi, Christelle, Stéphanie, Jean-Stéphane, Arnaud, Jérôme qui m ont formée et qui ont toujours été disponibles en cas de besoin. Merci également à Dominique (Téléphone!) pour tous les coups de main en cas de problèmes techniques (ou tout simplement quand je ne savais pas démarrer correctement une manip). Pendant ces 4 années passées dans le laboratoire, j ai rencontré de nombreuses personnes qui sont passées du statut de collègue au statut de pote et pour certains d ami. J aimerais pouvoir tous les remercier de manière individuelle mais la liste est longue entre les doctorants, post-doctorants et stagiaires partis et arrivés au cours de ma thèse... Donc un très GRAND MERCI à tous pour tous ces moments partagés (au labo ou ailleurs...), l entraide et le soutien qui ont fait que ma thèse s est déroulée dans un environnement convivial et agréable. Ces quatre années furent, grâce à vous tous, non seulement une expérience scientifique et professionnelle mais également une extraordinaire expérience personnelle.

6 Parmi toutes les personnes que j ai eu la chance de rencontrer au cours de mes 4 ans de thèse, je tiens tout de même à remercier individuellement ceux qui m ont accompagnée au quotidien, pendant toute la durée de ma thèse ou sur une période plus réduite. Cette période de ma vie ne fut pas de tout repos, autant pour moi que pour tous ceux qui ont eu à me subir au jour le jour... Pour commencer, un grand merci à ceux qui ont eu à côtoyer au bureau une espèce d autiste, sourde et muette, tous les jours de la semaine pendant près d un an. Merci à Mallory, Charlotte, Yanping, Mint et Seb d avoir réussi à me supporter. Une petite pensée également pour mes précédents colocataires de bureau. Je pense notamment à Carole, qui fut une petite maman pour tous les thésards qui ont débarqué au labo. Merci pour tous les services et les conseils d une vétérante. Une mention spéciale pour deux de mes (infortunés) colocataires de bureau qui ont eu à me supporter plus que les autres, à corriger ma thèse et, surtout, à subir mes ras-le-bol quotidiens lors de la rédaction de ma thèse. Galanterie oblige, commençons par Maelle. Veinarde qu elle est, elle débarque en thèse en octobre 2007, toute motivée, pour poursuivre la thématique engagée avec ma thèse et tombe sur une thésarde en fin de thèse et pas loin d être au fond du gouffre. Mais, Maelle toute crachée, même pas peur elle fonce et je l en remercie. Elle me fut d un grand secours pour : les corrections, ces petits repas du midi préparés avec amour, tous ces cafés bus et toutes ces clopes fumées (c est un miracle que j ai n ai pas fini avec un ulcère) à m écouter râler encore et toujours, les potins et autres ragots et les discussions chiffon (ça change agréablement des discussions boulot)... Dans cette thèse, il y a un peu de Florian au sens propre (trois petits points...) et beaucoup au sens figuré. Il fut bien plus qu un collègue et qu un ami pendant les deux années où nous avons partagé le bureau et où il a squatté le balcon de notre appart. Ce fut mon coach personnel sur la fin et ma thèse et moi-même lui devons beaucoup. J ai attrapé le virus de la Méca Flu grâce à (ou à cause de?) lui et nos discussions scientifiques généralement très animées (demandez à Maelle) que nous avons eu au boulot comme ailleurs (Je ne connais que lui pour parler de Méca Flotte jusqu à minuit dans un bar le jour de la Saint-Valentin) vont me manquer. Je ne saurai passer sur ceux qui ont partagé ma vie, week-end et jours fériés compris : mes colocataires. J ai partagé ma vie avec 2 colocotaires pendant 3 ans. En 3 ans, je n ai pas bougé de cette coloc mais mes colocs, eux, ont changé d une année sur l autre. Avant tout, je tiens déjà à leur tirer mon chapeau pour avoir réussi à supporter une ourse telle que moi! Commençons par l instigateur de ce projet de coloc : Monsieur Julien Reungoat. On a débarqué tous les 2 en thèse en octobre 2004, encore tout frais et tout jeunes, sans vraiment savoir ce qui allait nous attendre. On a vite trouvé des points communs : on est verseau, on est breton (si si je suis bretonne ne vous en déplaise! Il n y a pas que le Finistère Nord en Bretagne!) et on a tous les deux une descente qui ne fait pas honte à nos origines... De ça, et de bien d autres choses encore, est née l idée de cette coloc. Après 1 an de vie commune et 3

7 ans de thèse, je suis sure d une chose : Julien a l épaule la plus confortable que je connaisse... Aujourd hui, Julien est parti s exiler au pays des kangourous mais il y aura toujours une bière fraîche qui l attendra, quelque soit l endroit où je vais atterrir. L idée de la coloc a commencé avec Julien et moi-même, mais elle s est très vite étendu à Laurette, notre sosie officiel de Dalida et juke-box vivant (Ne faites jamais un blind test contre elle, vous n avez aucune chance). Jusqu ici, le destin ne semblait pas vouloir nous rapprocher. On a été voisines à deux reprises avant mon arrivée en thèse et on ne s est pour ainsi dire jamais adressé la parole. Et cela, malgré pas mal de connaissances, et certainement quelques soirées passées, en commun. Le destin a fini par nous rattraper avec mon arrivée en thèse dans la Liné Team. Un an, plusieurs apéros et squats sur son canapé plus tard, nous voilà en coloc et dans le même bureau, pour deux années de travail acharné, de shoppings, de soirées, de délires, et de quelques coups de gueule aussi... Mettez une cagole (avé l accent SVP) de Montpellier avec une Bretonne au caractère de cochon (que c est!) et le résultat peut être explosif, mais heureusement très passager. Au bout d un an, Julien nous quitte et voilà que débarque dans la coloc, et dans le même bureau aussi, un réunionnais, le petit Sam, tout frais arrivé d Afrique du Sud. Pendant un an, il nous a régalé de ses petits plats épicés (j en salive encore), de ses délires mais aussi de son caractère de cochon qui le rend si attachant. La valse des colocataires continue et nous en arrivons à la dernière coloc en date (aka la coloc des Crevards), celle qui a vécu ma rédaction de thèse de très très près, et qui a probablement vu le balcon occupé le plus souvent (Ah le bon vieux temps!). Je ne sais pas comment j aurai survécu sans cette coloc. Premier arrivé dans cette dernière fournée, le Ben qui a repris, avec brio, le rôle de cuisinier, et de râleur aussi, laissé vacant par le petit Sam. Il est l un des plus grands chieurs que j ai eu la malchance de rencontrer, mais il faut reconnaître que sans lui je serais morte de faim, de soif aussi probablement. Il fut aussi l un de ceux qui ont dû supporter mes ras-le-bol jour après jour. Étant passé par là lui-même très récemment, je pense qu il comprend maintenant. Une petite dédicace à Emeuh aussi qui a l immense courage de garder Ben de temps en temps. Les deux réunis m ont bien divertie avec leurs chamailleries quotidiennes. Dernier arrivé, Vincent aka Le Malien ou Le Fantôme ou Monsieur Météo, qui m a également empêcher de mourir de faim (et de soif) en me nourrissant de délicieuses pâtes et de quiches de temps en temps. Le pauvre, il a dû supporter deux thésards en rédaction en l espace d un an et, en nous voyant, je doute qu il ait regretté de ne pas aller jusqu au bout de sa thèse. A toutes ces personnes qui ont partagé mon bureau et mon appart pendant cette thèse, je dois beaucoup. Je dois également énormément à ma petite pouf Marlène. Elle est arrivée quelques mois après Julien et moi au labo, elle aussi en thèse, elle aussi Bretonne (Ce fut une invasion) et elle aussi Verseau. Il faut croire qu on était destiné à bien s entendre. A la fois coupine, grande soeur et maman, elle m a accompagnée tout au long de ces quatre ans de thèse et fut un soutien de tous les instants. Je ne pourrais jamais assez la remercier pour tout ce

8 qu elle a fait pour moi. Je tenais juste à dire : Da garout a ran ma poule. Voilà, je crois que j ai fait le tour des personnes qui m ont accompagné au quotidien sur ce petit bout de chemin. Il me reste à remercier maintenant les personnes qui m accompagnent depuis toujours. Tout ce que je suis aujourd hui et tout ce que j ai réalisé, je le dois avant tout à ma famille. Il n y a pas de mots assez forts pour exprimer toute ma reconnaissance pour leur soutien de tous les instants. Un grand merci du fond du coeur à mes parents qui m ont toujours soutenue dans les choix que j ai fait. Quant à mes deux géants de frérots, Régis et Fabrice, ils furent également d un grand soutien moral au cours de cette thèse. A eux aussi, je dois beaucoup. Une petite pensée enfin pour la dernière addition au clan Delafosse : Maïwenn. Du haut de ces presque 4 ans, elle fut, et reste, une vraie bouffée d oxygène pour moi.

9 TABLE DES MATIÈRES NOTATIONS 1 INTRODUCTION 5 CHAPITRE 1 : SYNTHÈSE BIBLIOGRAPHIQUE 9 1. Réactions biologiques et bioréacteurs : Quelques notions Métabolisme microbien Fonctionnement des bioréacteurs Modification de la composition de l environnement : réponse des microorganismes Modélisation des réactions biologiques Modèles non-structurés Modèles structurés Conclusion Interactions entre mélange et réaction biologique : Mise en évidence expérimentale De l échelle du laboratoire à l échelle industrielle Hétérogénéité de mélange dans les bioréacteurs de laboratoire Hétérogénéité de mélange dans les bioréacteurs industriels Existence de gradients de concentration en substrat carboné Conséquences sur les performances biologiques Conclusions : Mélange et fonctionnement biologique Mécanismes de mélange turbulent Caractérisation de l état de mélange

10 3.2 Mécanismes et échelles du mélange turbulent Macromélange ou Mélange convectif Mélange inertiel-convectif ou Mesomélange Mélange visqueux-convectif ou Micromélange par incorporation Mélange visqueux-diffusif ou Micromélange par diffusion Conclusions Modélisation du mélange turbulent Mécanique des fluides numérique Approche mécanistique Modélisation du macromélange Association de réacteurs idéaux Modèles de compartiments Modèles de micromélange Modèle de Zwietering Modèle Interaction par Échange avec la Moyenne Modèle Engulfment Couplage du mélange et de la réaction biologique : État de l art Conclusion CHAPITRE 2 : INTERACTIONS MÉLANGE RÉACTION : ANALYSE QUALITATIVE Retour sur les expériences de la littérature : Quels mécanismes de mélange? Influence du macromélange Influence du mesomélange et/ou du micromélange Conclusions Analyse des échelles caractéristiques du mélange et de la réaction biologique Échelles caractéristiques du mélange dans les bioréacteurs

11 2.2 Echelles caractéristiques des réactions biologiques Comparaison des temps caractéristiques Synthèse Conclusions : Que voit les microorganismes pendant leur parcours? CHAPITRE 3 : HYDRODYNAMIQUE D UNE CUVE AGITÉE Simulations numériques d une cuve agitée : Mise en oeuvre Paramètres des modèles de turbulence Simulation RANS Large Eddy Simulation Configuration et maillage de la cuve agitée Dimensions de la cuve et de l agitateur Maillage Conditions aux limites Méthode numérique Discrétisation Discrétisation spatiale Discrétisation temporelle Résolution Sous-relaxation Couplage vitesses-pression Critères de convergence Traitement des données numériques Principe du traitement : Décomposition triple Traitement statistique des données de simulations Simulation LES Simulation RANS Détermination du taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente. 98

12 3. Résultats des simulations et comparaisons à l expérience Vitesses moyennes et vitesses du mouvement organisé Vitesses en moyenne d ensemble Vitesses du mouvement organisé Boucles de circulation Énergie cinétique et tenseurs de Reynolds Énergie cinétique du mouvement organisé et turbulent Tenseur de Reynolds du mouvement turbulent Taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente Valeurs moyennes globales Simulation LES : Influence de la constante du modèle de sous-maille Valeurs locales du taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente Vortex traînants Trajectoire des vortex traînants Vortex traînants, énergie cinétique et taux de dissipation Énergie cinétique turbulente Taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente Bilan et conclusions CHAPITRE 4 : CARACTÉRISATION DU MÉLANGE EN CUVE AGITÉE Hétérogénéités spatiales et temporelles de la turbulence et du mélange Hétérogénéité spatiale de la turbulence Compartimentation spatiale basée sur l énergie cinétique turbulente et son taux de dissipation Répartition volumique de l énergie cinétique turbulente Taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente Conclusions Répartition volumique des échelles de mélange

13 1.2.1 Valeurs moyennes réelles des échelles de mélange Répartition volumique Hétérogénéité des échelles de mélange : Conclusions Hétérogénéité temporelle du taux de dissipation et des échelles de micromélange Hétérogénéités spatiales et temporelles : Conclusions Mélange d un traceur inerte : Influence du point d injection Traçage numérique : Mise en oeuvre Évolution des concentrations Temps de mélange macroscopique Évolution de l intensité de la ségrégation dans l ensemble de la cuve Mélange d un traceur : Conclusions Approche lagrangienne : Trajectoires de particules fluide Suivi de trajectoire de particules : Mise en oeuvre Distribution des temps de circulation et des temps de séjour Temps de circulation et temps de séjour : Méthode de détermination Temps de circulation à travers l agitateur : Validation des trajectoires Temps de circulation et temps de séjour par rapport à une zone d alimentation Conclusions Historiques des valeurs observées par les particules Historique des taux de dissipation Historique des concentrations Assimilation de substrat par les particules Conclusions CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES 191 REFERENCES 195

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15 NOTATIONS LETTRES GRECQUES ǫ Taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente m 2.s 3 ǫ V Taux de dissipation moyen dans l ensemble du volume m 2.s 3 η B Échelle de Batchelor m η K Échelle de Kolmogorov m λ Microéchelle de Taylor m Λ Échelle intégrale de la turbulence m Λ C Échelle intégrale des fluctuations de concentration m µ Viscosité dynamique du fluide kg.m 1.s 1 µ T Viscosité dynamique turbulente kg.m 1.s 1 µ X Vitesse spécifique de croissance s 1 ν Viscosité cinématique du fluide m 2.s 1 ν T Viscosité cinématique turbulente m 2.s 1 ρ Masse volumique du fluide kg.m 3 σ Nombre d ondes m 1 σ k σ ǫ Constante du modèle k ǫ dans l équation du transport de l énergie cinétique Constante du modèle k ǫ dans l équation du transport du taux de dissipation [-] [-] τ ij Tenseur des contraintes de Reynolds kg.m 1.s 2 1

16 Notations τ S Temps de séjour dans une zone de la cuve s LETTRES ROMAINES c α Concentration de l espèce α kg.m 3 C Distance entre le fond de la cuve et le mobile d agitation m C µ Constante du modèle k ǫ dans l équation de la viscosité turbulente [-] C ǫ1 C ǫ2 Constante du modèle k ǫ dans l équation de transport du taux de dissipation Constante du modèle k ǫ dans l équation de transport du taux de dissipation [-] [-] C S Constante du modèle de sous-maille en LES [-] D Diamètre du mobile d agitation m e D Epaisseur de la couche de diffusion m k Énergie cinétique turbulente m 2.s 2 H Hauteur de fluide dans la cuve m I S Intensité de la ségrégation [-] k MO Énergie cinétique du mouvement organisé m 2.s 2 k MT Énergie cinétique turbulente m 2.s 2 k TOT Énergie cinétique totale m 2.s 2 l B Largeur des chicanes de la cuve m l P Longueur des pâles du mobile d agitation m N Vitesse de rotation du mobile d agitation s 1 N P Nombre de puissance [-] 2

17 Notations N QC Nombre de circulation [-] N QP Nombre de pompage [-] p Pression de l écoulement Pa P Puissance consommée par le système d agitation W q S Vitesse spécifique d assimilation du substrat kgs.kgx 1.s 1 Q C Débit de circulation m 3.s 1 Q P Débit de pompage m 3.s 1 Re Nombre de Reynolds [-] S Concentration en substrat kgs.m 3 Sc Nombre de Schmidt [-] Sc T Nombre de Schmidt turbulent [-] S ij Tenseur des contraintes de cisaillement m.s 1 t C Temps de circulation s t Dm Temps caractéristique de la diffusion moléculaire s t Ds Temps de micromélange par diffusion s t E Temps de micromélange par incorporation s t m Temps de macromélange s t S Temps de mesomélange s t B Épaisseur des chicanes m t P Épaisseur des pales de l agitateur m T Diamètre de la cuve agitée m u i Vitesse instantanée de l écoulement dans la direction i m.s 1 3

18 Notations u i Moyenne temporelle de la vitesse de l écoulement dans la direction i m.s 1 u i Fluctuation périodique de la vitesse dans la direction i m.s 1 u i Fluctuation instantanée de la vitesse de l écoulement dans la direction i m.s 1 V Volume de la cuve agitée m w Hauteur d une pâle du mobile d agitation m X Concentration en biomasse kgx.m 3 Y XS Rendement de croissance de la biomasse sur le substrat utilisé kgx.kgs 1 4

19 INTRODUCTION Dans la pratique industrielle, l extrapolation d un procédé biologique passe par de multiples étapes intermédiaires au cours desquelles, à mesure que la taille du réacteur de culture augmente, les paramètres de conduite sont réajustés afin de conserver une performance acceptable. Une certaine dose d empirisme ou d expertise pratique est indispensable à cette phase d extrapolation. Mais il faut également reconnaître que cet état de fait résulte de notre capacité limitée à intégrer l ensemble des phénomènes dans un modèle prédictif global permettant l étude complète de l effet d échelle sur la performance des procédés biologiques. L étude présentée ici se situe dans le cadre général de l identification de critères pertinents pour l extrapolation des bioréacteurs. Elle entend contribuer à une meilleure identification des phénomènes et des échelles associées. Elle présente des outils autorisant le couplage entre les phénomènes d origine physique et biologique dans les bioréacteurs industriels. Les phénomènes principaux à l oeuvre dans un bioréacteur industriel sont : le mélange, le transfert de matière gaz-liquide (aération, absorption), le transfert de matière liquide-cellules, les réactions dans la phase biologique. Les couplages entre ces différents phénomènes sont importants : - Les champs de concentrations en phase liquide résultent de l interaction entre transport et réaction, c est-à-dire de l interaction entre l hydrodynamique interne du réacteur (généralement diphasique en régime turbulent) et les réactions en phase biologique ; - Le transfert gaz-liquide est lié, entre autres, à l intensité de la réaction biologique, à la rétention gazeuse et à l agitation de la phase liquide ; - Le transfert de masse phase liquide-phase biologique découle à la fois de la qualité du mélange en phase liquide à l échelle des cellules, et de la capacité des cellules à assimiler le flux apporté par l environnement liquide. Ainsi, on peut considérer que la nature et l intensité des réactions biologiques sont conditionnées par les flux de masse échangés avec la phase liquide. Ce dernier point est tout à fait spécifique par rapport aux réactions chimiques. De plus, il est avéré que l augmentation de la taille du réacteur de culture s accompagne d une hétérogénéité spatiale des champs de concentration. Ainsi, au cours de son transport dans le bioréacteur, une 5

20 Introduction cellule subit des fluctuations de concentrations et l on est amené à s interroger quant à l impact de ces fluctuations, sur d une part la performance globale, et, d autre part, sur la production d hétérogénéité au sein même de la phase biologique (au sens d une diversification du niveau ou du type de compétences réalisables par chaque organisme). Une deuxième caractéristique essentielle du problème abordé concerne la très large gamme d échelles pouvant jouer un rôle : les principaux microorganismes cultivés industriellement se situent dans la gamme 1 à 30 µm (bactéries, levures, cellules animales) tandis que la taille du réacteur de culture évolue entre quelques décilitres ou litres au laboratoire jusqu à plusieurs dizaines de mètres cubes à l échelle de la production industrielle. Ces deux caractéristiques, nombreux phénomènes couplés et large gamme d échelles, font de l extrapolation des bioréacteurs, une problématique industrielle actuelle et majeure, ainsi qu un challenge du point de vue académique. Précisons dès à présent que nous nous focaliserons sur les cultures de bactéries et de levures en réacteur semi-ouvert (fed-batch) qui représentent l essentiel des situations en production industrielle. Le champ d investigation est limité à l étude des interactions entre le mélange et les réactions biologiques. Les aspects diphasiques gaz-liquide en terme d hydrodynamique et de transfert ont été volontairement écartés (bien que l effet de l injection de gaz soit non négligeable). Le travail présenté se concentre ainsi sur l analyse des phénomènes, l expérimentation numérique et le développement d outils théoriques dans le but de relier les fluctuations de concentrations subies par les cellules à la performance observée à l échelle du réacteur. Pour cela, nous utiliserons des méthodologies empruntées pour certaines au génie des réacteurs, et pour d autres à la mécaniques des fluides. Enfin, dans un souci pédagogique, nous présentons les différents sujets en proposant des éclairages destinés aux lecteurs d affinités scientifiques diverses (biologie, procédé ou mécanique des fluides). Dans le chapitre bibliographique, après une brève partie destinée à fournir les notions biologiques nécessaires à la compréhension de la suite, nous présenterons une revue des expériences mettant en évidence les interactions entre mélange et réaction dans les bioréacteurs. Les mécanismes de mélange en régime turbulent et les outils de caractérisation de l état de mélange seront ensuite exposés. Nous terminerons par une synthèse des principaux modèles permettant de représenter le mélange à différentes échelles et l état de l art dans le cadre du couplage de ces modèles avec une réaction biologique. Dans le chapitre 2, destiné essentiellement à poser la problématique de cette étude, une analyse 6

21 Introduction basée sur les échelles caractéristiques spatiales et temporelles des phénomènes sera présentée. Il s agit d utiliser les outils du génie des réacteurs pour comparer les temps de mélange et les temps de réaction afin d identifier les interactions possibles et de mieux comprendre l origine des baisses de performances biologiques observées lors de l extrapolation des bioréacteurs. En particulier, cette partie est l occasion de discuter la question de l hétérogénéité spatiale de la phase liquide dans un bioréacteur. Dans le chapitre 3, nous présenterons l outil numérique utilisé afin d étudier les hétérogénéités physiques rencontrées par les microorganismes cultivés dans des bioréacteurs de type cuve agitée. Afin de nous placer au plus près des microorganismes et de réduire l impact de la modélisation du transport turbulent, la simulation aux grandes échelles (LES) a été choisie. Cependant, à titre de comparaison et par référence à ce qui constitue la norme industrielle en matière de simulation des écoulements en cuve agitée, des comparaisons avec les résultats d un modèle RANS (k-epsilon) sont proposées. Les résultats des simulations sont confrontés à la base de données expérimentales PIV issues des travaux de R. Escudié (Escudié, 2001; Escudié & Liné, 2003; Escudié et al., 2004; Escudié & Liné, 2006). Les validations portent sur les vitesses moyennes et les grandeurs turbulentes calculées ou issues de post-traitements. Enfin, le chapitre 4 propose sur la base des simulations validées dans le chapitre précédent, une caractérisation de l hétérogénéité spatiale de la turbulence d une part, et de la concentration d autre part. Ensuite, nous présenterons des expériences numériques de suivi lagrangien de particules, pouvant être assimilées à des microorganismes, en écoulement instationnaire inerte. L enregistrement des données le long des trajectoires permet l exploitation des résultats des simulations numériques sous des formes diverses : temps de circulation, temps de séjour interne, historique... La dernière partie résume les résultats essentiels et propose quelques perspectives à ce travail. 7

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23 CHAPITRE 1 SYNTHÈSE BIBLIOGRAPHIQUE Le fonctionnement des microorganismes cultivés dans un bioréacteur, et ainsi les performances d un procédé biologique, dépendent fortement de la composition de l environnement liquide des cellules microbiennes qui contient les éléments nutritifs essentiels à leur développement. Cet environnement dépend lui-même à la fois du fonctionnement des microorganismes qui vont consommer les composés présents et éventuellement produire et rejeter d autres composés, mais également des conditions hydrodynamiques au sein du bioréacteur dont va dépendre la répartition des composés au sein du volume. Les réactions biologiques sont mises en oeuvre dans des bioréacteurs de volumes très divers au sein desquels l hydrodynamique est relativement complexe, car l écoulement est le plus souvent turbulent. La composition de l environnement des cellules va dépendre de la capacité à apporter les éléments nutritifs essentiels jusqu aux cellules microbiennes. Si l on considère l oxygène dissous, la composition de l environnement est liée à l intensité du transfert de matière gaz-liquide et pour un substrat présent dans la phase liquide, elle va dépendre de l intensité du mélange. Dans ce travail, nous nous intéresserons essentiellement au mélange dans les bioréacteurs et à son influence éventuelle sur les performances biologiques. Dans ce premier chapitre consacré à une revue bibliographique, nous commencerons par poser les bases nécessaires, en terme de réactions biologiques et de leur mise en oeuvre dans les bioréacteurs, pour la compréhension de la suite aux personnes non familières avec le contexte de ce travail. Nous nous intéresserons ensuite aux travaux disponibles dans la littérature qui ont mis en évidence de manière expérimentale une influence du mélange sur les performances de procédés biologiques. La troisième partie sera consacrée à la description et la caractérisation du mélange dans un écoulement turbulent. Nous terminerons en présentant les moyens permettant de représenter le mélange dans l objectif de le coupler à une réaction. Les applications à la modélisation des bioréacteurs seront abordées de manière synthétique afin de dégager les problèmes rencontrés. 9

24 Introduction 1. RÉACTIONS BIOLOGIQUES ET BIORÉACTEURS : QUELQUES NOTIONS Un microorganisme peut être considéré comme une usine cellulaire dans laquelle plus de 1000 réactions indépendantes se déroulent (Bailey & Ollis, 1986). Le but de cette partie n est pas de détailler toute la complexité des réactions biologiques mais de poser quelques bases nécessaires pour la compréhension de ce qui va suivre. Les réactions intracellulaires qui régissent le fonctionnement d un microorganisme, ne constituant pas le sujet de ce travail, ne seront pas abordées. Nous nous contenterons de présenter le microorganisme comme une boîte noire avec des entrées correspondant à l assimilation des éléments présents dans le milieu de culture (phase abiotique) et des sorties correspondant à la production de métabolites rejetées dans le milieu extérieur (métabolites extracellulaires) et à la production de nouveaux microorganismes (croissance). La grande partie des informations présentées dans cette partie est issue d un ouvrage de référence dans le domaine de l ingénierie des bioprocédés : Biochemical Engineering Fundamentals de Bailey & Ollis (1986). Dans ce travail nous nous intéresserons principalement aux cultures aérobies en condition de substrat limitant de deux microorganismes : la bactérie Escherichia coli et la levure Saccharomyces cerevisiae. Ces cultures sont couramment rencontrées dans l industrie pour la fabrication de levures de boulangerie (S. cerevisiae) et la production de protéines dites recombinantes d intérêt alimentaire ou pharmaceutique (S. cerevisiae et E. coli). De plus, de par leur métabolisme et leur mode de culture, ces microorganismes peuvent être particulièrement sensibles à la composition de leur environnement et, par conséquent, aux conditions de mélange dans les bioréacteurs dans lesquels ils sont cultivés. 1.1 Métabolisme microbien Le fonctionnement d un microorganisme ou métabolisme microbien regroupe l ensemble des mécanismes de transformation moléculaire et de transfert d énergie se déroulant au sein d un microorganisme pour assurer sa croissance, sa maintenance (production des éléments constitutifs d une cellule) et la production éventuelle de métabolites extracellulaires. Dans le métabolisme, on distingue deux processus : le catabolisme, qui regroupe l ensemble des processus de dégradation de la matière consommée qui fournit notamment l énergie nécessaire au fonctionnement de la cellule, et l anabolisme qui regroupe les réactions de synthèse de macromolécules telles que des enzymes ou des molécules structurelles. 10

25 1.. Réactions biologiques et bioréacteurs : Quelques notions Pour assurer ce métabolisme, un microorganisme a besoin d un certain nombre de nutriments : sources des matériaux constitutifs des cellules et des métabolites produites (carbone, hydrogène, oxygène, azote, soufre, phosphore...). Pour produire l énergie nécessaire (réaction d oxydo-réduction), ils ont également besoin d un accepteur d électron, que l on peut assimiler à une source d énergie. Parmi tous les nutriments nécessaires à un microorganisme, les éléments les plus importants sont la source de carbone (ou substrat carboné) et l accepteur d électron (oxygène. Pour les microorganismes étudiés, la source de carbone est organique : le plus souvent du glucose, car il est directement assimilable par les microorganismes. Selon la nature de l accepteur d électron, on distingue le métabolisme aérobie lorsque la source d énergie utilisée est l oxygène et le métabolisme fermentaire lorsque une autre source d énergie est utilisée. En présence d oxygène (culture aérobie), les microorganismes (notés X) possédant un métabolisme oxydatif oxydent totalement le substrat carboné (noté S). Dans des conditions idéales, le métabolisme oxydatif ne produit pas de métabolites extracellulaires et résulte uniquement en production de nouvelles cellules microbiennes (croissance) et de CO 2. Les microorganismes fermentaires (ou anaérobies) n utilisant pas l oxygène comme accepteur d électron ne dégradent pas totalement le substrat et leur métabolisme conduit, en plus de la croissance et de la production de CO 2, à la production de métabolites (notées P) excrétées dans le milieu de culture. Le nombre et la nature de ces métabolites dépend du microorganisme et du type de fermentation réalisée. En fonction de la composition de l environnement des cellules microbiennes, notamment en terme de concentration en substrat et en oxygène, et du métabolisme du microorganisme utilisé (aérobie, anaérobie), les réactions biologiques peuvent être différentes. Lors d une culture biologique menée dans un bioréacteur, il est donc nécessaire de contrôler l environnement des microorganismes afin qu ils adoptent le fonctionnement désiré (production de métabolites ou croissance). Parmi les paramètres à contrôler, il y a bien évidemment l apport en substrat et en oxygène, mais également la température et le ph. 1.2 Fonctionnement des bioréacteurs Les bioréacteurs les plus courants sont des cuves agitées et aérées si les microorganismes cultivés sont aérobies. Selon le mode d apport du substrat carboné, on distingue les bioréacteurs batch (discontinu), continus et fed-batch (discontinu-alimenté). Ces modes de fonctionnement ont un impact sur la composition du milieu de culture, notamment en terme de concentration 11

26 Introduction en substrat et en biomasse. En fonctionnement batch, la concentration en microorganismes augmente tandis que la concentration en substrat diminue au cours de la culture. La concentration en substrat initiale est de l ordre de quelques dizaines de g/l et la concentration en microorganismes atteinte en fin de culture est environ également de quelques dizaines de g/l. L évolution de la concentration en substrat et en biomasse est présentée schématiquement sur la figure 1.1 (a). En réacteur continu, la concentration en biomasse et en substrat est maintenue constante dans le bioréacteur. La concentration en substrat de l alimentation est de l ordre de quelques dizaines de g/l. La concentration résiduelle en substrat et la concentration en biomasse dans le réacteur dépendent du taux de dilution (noté D), c est-à-dire le rapport débit d alimentation en substrat sur volume de réacteur. L évolution des concentrations en substrat et en biomasse en fonction du taux de dilution est représentée schématiquement sur la figure 1.1 (b). Généralement, les concentrations résiduelles en substrat sont de l ordre de quelques mg/l et les concentrations en biomasse dépassent rarement la dizaine de g/l. En fonctionnement fed-batch, la concentration en biomasse augmente progressivement au cours de la culture, cependant, la concentration résiduelle en substrat dans le réacteur est maintenue constante. Le débit d alimentation est alors adapté, à savoir augmenté progressivement, de manière à maintenir la concentration en substrat constante. Les évolutions de la concentration en biomasse et du débit d alimentation dans un bioréacteur fed-batch sont présentées sur la figure 1.1 (c). L alimentation en substrat est généralement séparée en deux phases : - une phase exponentielle, où le débit d alimentation F(t) augmente suivant une loi exponentielle décrite par l équation 1.1 et qui correspond à la phase de croissance exponentielle des microorganismes, F(t) = µ X X Y XS S a V exp (µ X (t t 0 )) (1.1) µ X : vitesse spécifique de croissance des microorganismes (h 1 ) X : concentration en microorganismes (gx.l 1 ) S a : concentration en substrat de l alimentation (gs.l 1 ) Y XS : rendement de croissance des microorganismes sur le substrat utilisé (gx.gs 1 ) 12

27 1.. Réactions biologiques et bioréacteurs : Quelques notions S (gs/l) X (gx/l) A B C D S, X F, S F F, S A : Phase de latence, B : Phase exponentielle, C: Phase stationnaire D : Phase de déclin X (gx/l) (a) Bioréacteur batch t(h) S (gs/l) S, X F, S F (b) Bioréacteur continu F A B 1 DC D (h ) Taux de dilution critique X (gx/l) C S, X t(h) A : Phase de latence, B : Phase exponentielle, C : Phase stationnaire (c) Bioréacteur fed-batch Figure 1.1 Représentation schématique de l évolution de la concentration en microorganismes et de la concentration en substrat dans un bioréacteur en fonction de son mode de fonctionnement. 13

28 Introduction V : volume de la culture t 0 : début de la phase exponentielle d alimentation - une phase constante, où le débit est maintenu constant et qui correspond à la phase de croissance stationnaire. Afin d éviter une augmentation trop importante du volume utile du bioréacteur au cours d une culture de plusieurs heures (de 10 à 100 h selon les procédés), la solution d alimentation en substrat carboné est très concentrée (jusqu à 500 g/l) alors que la concentration résiduelle dans le bioréacteur est de l ordre de quelques dizaines de mg/l. La majorité des cultures industrielles sont menées en fonctionnement fed-batch, car cette technique permet d atteindre des concentrations finales en biomasse plus importantes que pour un bioréacteur continu tout en maintenant la quantité de substrat apportée à un niveau faible contrairement à un bioréacteur batch. Ce dernier point peut être critique pour certains microorganismes (notamment Escherichia coli et Saccharomyces cerevisiae) qui sont sensibles à la concentration en substrat carboné et peuvent changer de métabolisme si la composition de leur environnement est modifiée. 1.3 Modification de la composition de l environnement : réponse des microorganismes Une modification de la composition de l environnement des microorganismes peut entraîner une modification du métabolisme et se répercuter sur les performances d un procédé biologique. Les réponses d un microorganisme à une modification de son environnement peuvent être variées en fonction du métabolisme propre au microorganisme et en fonction de la nature de la modification vécue par le microorganisme. S. cerevisiae et E. coli sont des microorganismes anaérobies facultatifs, c est-à-dire qu ils peuvent adopter soit un métabolisme oxydatif (aérobie) en présence d oxygène soit un métabolisme fermentaire (anaérobie) en absence d oxygène. Lors d une culture aérobie, dont l objectif est principalement la production de biomasse, si la concentration en oxygène dans leur environnement diminue fortement, ces microorganismes adaptent leur comportement et passent d un métabolisme oxydatif à un métabolisme fermentaire. Des produits non désirés vont alors être excrétés dans le milieu de culture. En absence d oxygène, on parle de fermentation alcoolique pour Saccharomyces cerevisiae et de fermentation acide-mixte pour Escherichia coli. Le principal produit de la fermentation alcoolique est l éthanol. Comme son nom l indique, la fermentation acide-mixte produit des 14

29 1.. Réactions biologiques et bioréacteurs : Quelques notions acides (acétique, lactique, formique et succinique) mais également de l éthanol. Ces microorganismes sont également sensibles à la concentration en substrat carboné. En condition aérobie, le substrat est normalement orienté vers la croissance et la respiration, cependant lorsque la quantité de substrat assimilé dépasse un seuil critique, des sous-produits, souvent non-désirés, sont excrétés dans le milieu de culture. Il s agit de l éthanol pour S. cerevisiae, et de l acétate pour E. coli. Bien que ces produits soient également formés lors de la fermentation alcoolique et/ou de la fermentation acide-mixte, on ne parle pas dans ce cas de métabolisme fermentaire. Cette production de sous-produit est généralement désignée sous le terme de métabolisme overflow. Le métabolisme overflow est relié à la capacité respiratoire maximale des microorganismes (Pham et al., 1998; Xu et al., 1999a; Lin et al., 2001). Lorsque la quantité d oxygène assimilée ne permet pas l oxydation de la totalité du substrat assimilé, l excès de substrat non entièrement dégradé conduit à la formation de ces sous-produits. Pour Saccharomyces cerevisiae et Escherichia coli, la concentration critique en glucose à partir de laquelle le métabolisme overflow apparait est de l ordre de 30 mg/l (Enfors et al., 2001). Un microorganisme est capable de répondre à une perturbation de son environnement de différente manière mais cette réponse n est pas instantanée. Elle fait appel à des mécanismes d adaptation dont les temps de relaxation sont compris entre 10 3 secondes pour les réponses de type loi d action de masse et plusieurs jours pour la sélection d une espèce ou l apparition d un Figure 1.2 Ordre de grandeur des temps de relaxation des microorganismes (Roels, 1982; Bailey & Ollis, 1986) 15

30 Introduction mutant (Roels, 1982). Les différents mécanismes d adaptation et leur temps caractéristique sont présentés sur la figure Modélisation des réactions biologiques Le métabolisme d une cellule microbienne se compose d un réseau complexe de plusieurs centaines de réactions et est sujet de plus à des mécanismes de régulation dépendant des conditions environnementales vécues par les microorganismes et de leur historique (Bailey & Ollis, 1986). Bien que le fonctionnement interne de nombreux microorganismes soit aujourd hui connu, les mécanismes de régulation sont encore peu quantifiés. Par conséquent, il est impossible de décrire mathématiquement les réactions biologiques de manière complète et précise (Esener & Roels, 1983; Nielsen & Villadsen, 1992; Gombert & Nielsen, 2000). Les modèles de réactions biologiques proposés dans la littérature sont donc basés sur des simplifications et sont applicables dans des conditions bien particulières (nature et intervalle de concentration des substrats, température, ph et parfois mode de culture...). De manière rigoureuse, le choix d un modèle plutôt que d un autre pour décrire le fonctionnement biologique d un bioréacteur doit se baser sur l analyse des constantes de temps des différents processus prenant place (Esener & Roels, 1983; Bailey & Ollis, 1986) : - dans l environnement des cellules (phase abiotique), à savoir les modifications environnementales liées au mode de fonctionnement du bioréacteur considéré et aux phénomènes de mélange et de transfert de matière et de chaleur, - dans les cellules microbiennes elles-même (phase biotique), c est-à-dire les phénomènes de régulation qui permettent aux microorganismes d adapter leur fonctionnement en fonction des modifications de leur environnement. Parmi le grand nombre de modèles proposés dans la littérature, on peut distinguer plusieurs types selon qu ils considèrent (Bailey & Ollis, 1986; Nielsen & Villadsen, 1992) : - la composition interne des cellules (modèles structurés) ou uniquement l environnement extérieur (modèles non-structurés), - une population homogène de cellules (modèle de cellule unique) ou une population hétérogène (bilan de populations). 16

31 1.. Réactions biologiques et bioréacteurs : Quelques notions Modèles non-structurés On parle de modèle non-structuré lorsque l évolution de la composition interne des cellules n est pas prise en compte. Dans ce type de modèles, la réponse des microorganismes à une modification de leur environnement est par conséquent considérée comme unique et instantanée. La composition interne des cellules n intervenant pas, celles-ci sont considérées en quelque sorte comme des boites noires. Les modèles non-structurés sont alors construits en se basant sur un bilan-matière aux bornes des cellules. Dans les modèles non-structurés les plus simples, la croissance de la biomasse, la consommation du substrat et la production d un métabolite sur substrat unique limitant sont décrites par les équations 1.2, 1.3 et 1.4 respectivement, où les vitesses spécifiques de consommation et de production sont généralement une fonction linéaire de la croissance. X : concentration en biomasse (gx.l 1 ) S : concentration en substrat (gs.l 1 ) P : concentration en produit (gp.l 1 ) dx dt = µ X X (1.2) ds dt = q S X = µ X 1 Y XS X (1.3) dp dt = q P X = µ X 1 Y XP X (1.4) µ X : vitesse spécifique ou taux de croissance (h 1 ) q S : vitesse spécifique de consommation du substrat (gs.gx 1.h 1 ) q P : vitesse spécifique de production d une métabolite (gp.gx 1.h 1 ) Y XS : rendement de croissance, quantité de biomasse formée par quantité de substrat consommé (gx/gs) Y XP : rendement de production, quantité de biomasse formée par quantité de métabolites produites (gx/gp) La vitesse spécifique de croissance µ est une fonction de la concentration en substrat S, dont la forme la plus connue a été proposée par Monod (Equation 1.5). µ X = µ Xmax S S + K S (1.5) µ Xmax : vitesse spécifique maximale de croissance (h 1 ) 17

32 Introduction K S : constante de saturation du substrat considéré (gs/l) De nombreuses variantes, plus ou moins complexes, du modèle de Monod existent dans la littérature afin de prendre en compte d autres phénomènes que la croissance, la consommation ou la production comme l inhibition de la croissance ou la maintenance des microorganismes. Ils sont utilisés avec succès dans de nombreuses applications et notamment pour décrire les performances des cultures continues en régime permanent où l environnement des cellules, leur taux de croissance et leur concentration sont stables (Nielsen & Villadsen, 1992). Cependant, dès qu une modification de l environnement entraîne une adaptation par un mécanisme dont le temps caractéristique est comparable au temps caractéristique de la modification, les modèles de type non-structuré échouent à prédire l évolution du fonctionnement des microorganismes. C est le cas par exemple lors d expériences transitoires en mode continu, comme une modification du débit volumique ou de la concentration d alimentation en substrat (Nielsen & Villadsen, 1992). Ils sont également inefficaces dans le cas de productions de métabolites secondaires et de protéines recombinantes qui ne sont pas directement liées à la croissance cellulaire (Nielsen & Villadsen, 1992) Modèles structurés Les modèles dits non structurés sont basés sur des mesures dans la phase liquide (substrats, métabolites extracellulaires). Avec le progrès des techniques d analyse, les mesures de concentrations dans les cellules (métabolites et enzymes intracellulaires) permettent la formulation de modèles dits structurés qui décrivent en partie le fonctionnement interne des cellules microbiennes et qui sont de ce fait plus adaptés à la représentation du fonctionnement dynamique des procédés biologiques. Dans ce type de modèle, la cellule peut être décomposée en plusieurs éléments correspondant à des voies métaboliques ou des fonctions données de la cellule. Les composés assimilés par les cellules sont alors dirigés selon leur nature, leur concentration ou autre vers une ou plusieurs voies. Il existe une variété importante de modèles structurés et un classement est difficile à réaliser. Par exemple, Bailey & Ollis (1986) distinguent les modèles compartimentaux et les modèles métaboliques. Dans les modèles compartimentaux, les cellules sont divisées entre un petit nombre de compartiments interconnectés qui permettent de représenter de manière simplifiée le 18

33 1.. Réactions biologiques et bioréacteurs : Quelques notions fonctionnement interne des microorganismes. Par exemple, un modèle compartimental parmi les plus simples considère la cellule comme composée de deux compartiments : un compartiment actif qui correspond à la conversion du substrat et un compartiment inactif représentant les constituants de la cellule. Le compartiment inactif évolue à partir du substrat à une vitesse qui dépend du compartiment actif (Bailey & Ollis, 1986; Nielsen & Villadsen, 1992). Les modèles métaboliques sont basés sur la connaissance des réactions intracellulaires responsables de l assimilation de substrat, de la synthèse de produits, de la maintenance et de la croissance. Au vu du très grand nombre de réactions intracellulaires, il est impossible de décrire toutes les voies possibles d utilisation d un substrat. Par conséquent, les modèles métaboliques disponibles dans la littérature sont dépendants d une part du microorganisme étudié et d autre part de son application (substrat(s) utilisé(s), condition aérobie ou anaérobie...). Dans le cas de notre étude, à savoir l influence du mélange du substrat carboné sur les performances biologiques, des modèles métaboliques permettent de prendre en compte l apparition du métabolisme overflow lorsque la concentration en substrat assimilée par les microorganismes dépasse un seuil critique (Pham et al., 1998; Xu et al., 1999a; Lin et al., 2001). On peut cependant constater que si les schémas réactionnels commencent à être connus, les cinétiques associées le sont beaucoup moins, ce qui est actuellement un frein majeur au développement de modèles dynamiques du fonctionnement des cellules. 1.5 Conclusion Les rendements d une réaction biologique dépendent fortement de la composition de l environnement des microorganismes et de leur réponse à des perturbations de cet environnement. Certains microorganismes sont notamment sensibles à la concentration de substrat présente dans leur environnement et il faut donc pouvoir contrôler la quantité apportée aux microorganismes. La technique fed-batch permet en théorie de maintenir la concentration en substrat à un niveau suffisamment faible pour éviter une dérive du métabolisme tout en permettant d atteindre des rendements de production économiquement intéressants. Cependant, cela nécessite d alimenter le substrat avec une concentration initiale très élevée. Mélanger une solution dont la concentration monte jusqu à 500 g/l pour atteindre une concentration dans le volume de bioréacteur de quelques mg/l n est pas une tâche aisée. En particulier, lorsque les volumes impliqués sont importants, des hétérogénéités de concentration sont susceptibles d exister dans 19

34 Introduction un bioréacteur, et des études expérimentales ont mis en évidence cet effet. C est l objet du paragraphe suivant. 20

35 2.. Interactions entre mélange et réaction biologique : Mise en évidence expérimentale 2. INTERACTIONS ENTRE MÉLANGE ET RÉACTION BIOLOGIQUE : MISE EN ÉVIDENCE EXPÉRIMENTALE Le mélange a un rôle important dans les procédés biologiques et peut influencer le rendement d une réaction biologique mise en oeuvre dans des bioréacteurs. Dans un bioréacteur, le mélange doit assurer plusieurs fonctions (Bryant, 1977) : (1) Dispersion et suspension uniforme des cellules microbiennes dans tout le volume utile du bioréacteur ; (2) Réduction des gradients de température à des valeurs faibles et augmentation du transfert de chaleur entre le milieu et les surfaces ; (3) Distribution homogène de tout composé (substrat carboné, oxygène dissous, nutriments...) essentiel au fonctionnement microbien et de tout autre composé ajouté au cours d une fermentation (acide ou base pour la régulation du ph,...). La première fonction du mélange, à savoir l homogénéisation de la suspension de cellules microbiennes, est la plus simple à réaliser. Dans les bioréacteurs, le mélange est assuré soit par agitation mécanique soit, par une aération importante, le plus souvent par le couplage des deux. Le régime d écoulement étant généralement turbulent et la densité de la suspension de cellules microbiennes approchant celle de leur environnement liquide, il est généralement admis que les cellules microbiennes suivent les mouvements du liquide de culture (Bryant, 1977; Moo-Young & Blanch, 1983). La multiplication des cellules étant un processus lent (le temps de doublement de la population est de l ordre de plusieurs minutes à quelques heures), l homogénéité de la suspension est assurée à chaque instant quelle que soit la taille du bioréacteur (Bailey & Ollis, 1986). La seconde fonction du mélange est nécessaire car les réactions biologiques sont exothermiques. La température évoluant considérablement au cours d une fermentation, il est nécessaire de la maintenir autour d une valeur optimale. Les microorganismes ont généralement un optimum de fonctionnement (croissance, consommation, production) pour un intervalle de température réduit. Au-delà de cette intervalle spécifique à chaque microorganisme cultivé, leur fonctionnement peut être fortement altéré, voire pour des températures extrêmes les cellules peuvent être détruites. Le fonctionnement des microorganismes étant dépendant de la composition de leur environnement, la dernière fonction précédemment citée du mélange est la plus critique pour les performances d un procédé biologique et fait l objet de notre étude. 21

36 Introduction De part leur métabolisme (facultatif anaérobie) et le mode de fonctionnement (fed-batch) des bioréacteurs dans lesquels ils sont cultivés (voir Section 1. ), les microorganismes S. cerevisiae et E. coli peuvent être particulièrement sensibles aux conditions de mélange. Ils ont donc fait l objet de plusieurs études. Dans ce qui suit, nous évoquerons brièvement le problème de scale-up sur les rendements des réactions biologiques avant de présenter les expériences qui ont permis de mettre en évidence une influence du mélange du substrat carboné sur les réactions biologiques. 2.1 De l échelle du laboratoire à l échelle industrielle Peu d études ont été consacrées à l influence du mélange sur les réactions biologiques dans les réacteurs de petite taille (quelques dizaines de litres). En effet, du fait de la forte puissance dissipée par unité de volume généralement mise en oeuvre dans les réacteurs de laboratoire, ils sont souvent considérés comme parfaitement mélangés (Bailey & Ollis, 1986) et n ont par conséquent été que très peu étudiés en terme de mélange et de son interaction éventuelle sur les réactions biologiques. C est avec le scale-up des procédés biologiques que le mélange devient un processus critique des performances biologiques. Dans de nombreuses cultures industrielles, une diminution des rendements de croissance et/ou de production a été observée par comparaison aux rendements obtenus en laboratoire dans des réacteurs de petite taille (Bailey & Ollis, 1986; George et al., 1998; Bylund et al., 1998; Hewitt et al., 2000). La diminution des performances des procédés biologiques avec l augmentation de la taille des réacteurs est en grande partie liée à la modification des conditions hydrodynamiques subies par le milieu de culture. A titre d exemples, dans le tableau 1.1 sont répertoriés quelques paramètres hydrodynamiques, à savoir le temps de mélange t m, la puissance dissipée par unité de volume liquide P/V L et le V (m 3 ) N I t m (s) P/V L (kw.m 3 ) k L a (h 1 ) 0, , 1 18, , , 2 6, , Tableau 1.1 Comparaison des paramètres physiques de fonctionnement des trois bioréacteurs (Junker, 2004). 22

37 2.. Interactions entre mélange et réaction biologique : Mise en évidence expérimentale coefficient de transfert d oxygène k L a, pour trois bioréacteurs de taille différente. Dans les trois bioréacteurs, les agitateurs utilisés sont des turbines de Rushton, cependant le nombre installé N I diffère en fonction de la taille des bioréacteurs. Toutes ces données ont été recueillies sur des bioréacteurs utilisés pour la production industrielle (Junker, 2004). L augmentation du volume des bioréacteurs se traduit donc par une diminution de la puissance dissipée par unité de volume de liquide. Cela est dû en partie à des limitations techniques telles que la taille des moteurs (Junker, 2004). De plus, le temps de mélange augmente de manière significative : de quelques secondes pour des volumes inférieurs à 50 L jusqu à quelques minutes pour des réacteurs de plus de 20 m 3 (Bailey & Ollis, 1986; Hewitt et al., 2000; Junker, 2004). La capacité de transfert d oxygène est également modifiée lors du scale-up d un bioréacteur, se traduisant par une diminution du coefficient de transfert d oxygène k L a. 2.2 Hétérogénéité de mélange dans les bioréacteurs de laboratoire Bien qu aucune hétérogénéité de concentration en substrat carboné n ait été mise en évidence dans des bioréacteurs dits de laboratoire (< 10 L), certaines études tendent à démontrer une influence de l hydrodynamique et donc du mélange sur les performances biologiques de ces bioréacteurs. Hansford et Humphrey (1966) ont démontré un impact du mélange sur le rendement de production de biomasse (ou rendement de croissance) d une culture continue de levures de boulangerie (Saccharomyces cerevisiae) en modifiant la localisation et le nombre de points d alimentation en substrat carboné (glucose). Ils ont notamment observé une rendement de croissance plus important lorsque l alimentation en glucose est effectuée dans le jet produit par la rotation de l agitateur plutôt que derrière une chicane où l intensité de la turbulence est plus faible. Ils ont également réalisé une culture en alimentant le glucose simultanément en quatre points différents du bioréacteur. Le meilleur rendement de production de biomasse a été observé dans ce cas. Cette étude a été ensuite reprise par Dunlop et Ye (1990). Ces auteurs ont conclu des travaux de Hansford et Humphrey (1966) que la différence de rendement de croissance observée en changeant la localisation de l alimentation était liée au micromélange. Ils supposent que lorsque la localisation du point d alimentation est modifiée, les échelles de micromélange et donc la qualité du micromélange sont modifiées au niveau du panache d alimentation. 23

38 Introduction Afin de confirmer cette hypothèse, ils ont mené des cultures continues de Saccharomyces cerevisiae dans un fermenteur de volume utile 3 L équipé de 5 points possibles d alimentation. Chaque point d injection du substrat a été caractérisé en terme de micromélange. Plus précisément, les auteurs ont déterminé la taille caractéristique des micro-échelles turbulentes (échelle de Kolmogorov) responsables du micromélange à l aide d un système réactionnel très sensible à la qualité du mélange mis au point par Bourne et al. (1981). Lors d une expérience réalisée par Dunlop et Ye (1990) sur une culture continue à faible taux de dilution, l alimentation en glucose a été basculée à deux reprises entre deux emplacements : le premier est situé dans le jet de l agitateur, et le second localisé au fond de la cuve, correspondant d après leurs mesures à une microéchelle locale de 50 et 160 µm respectivement. La concentration moyenne en biomasse, mesurée par densité optique, varie en fonction du point d injection. La concentration atteinte lorsque la microéchelle au point d injection est de 50 µm est significativement plus élevée que lorsque le point d alimentation utilisé correspond à une microéchelle plus importante. L évolution de la concentration en biomasse lors de cette expérience est présentée sur la figure 1.3. D autres paramètres biologiques sont également influencés par la qualité du micromélange au point d alimentation : le volume moyen des cellules, le rendement de conversion du substrat en biomasse, ainsi que la vitesse de synthèse de protéines. Dans la même publication, les auteurs présentent une seconde série d expériences qui permet d étudier l influence de la taille de la microéchelle sur le rendement de conversion du substrat en biomasse en fonction du taux de dilution et sur la valeur du taux de dilution critique D C. Le taux de dilution critique correspond au taux de dilution au-delà duquel un effet répressif du substrat est observé sur la biomasse (effet Crabtree). Figure 1.3 Évolution de la concentration en biomasse avec la modification de la position du point d alimentation (Dunlop & Ye, 1990). 24

39 2.. Interactions entre mélange et réaction biologique : Mise en évidence expérimentale Les résultats de ces expériences montrent que, lorsque D < D C, plus les microéchelles sont petites plus le rendement de conversion déterminé est élevé. De plus, des valeurs différentes du taux de dilution critique sont observées pour chaque point d injection : plus la microéchelle correspondante est petite, plus le taux de dilution critique est faible. Selon les auteurs, plus la microéchelle est petite au point d alimentation, plus l apport du substrat aux cellules est rapide, ce qui expliquerait que l effet répressif du glucose est observé à des taux de dilution plus faibles. 2.3 Hétérogénéité de mélange dans les bioréacteurs industriels Existence de gradients de concentration en substrat carboné L existence de gradients de concentration en substrat carboné a été mise en évidence dans des bioréacteurs industriels fed-batch de production de levure de boulangerie (S. cerevisiae) (Larsson et al., 1996; George et al., 1998) et de protéines recombinantes par E. coli (Bylund et al., 1998; Bylund et al., 1999; Enfors et al., 2001). Dans ces travaux, les auteurs ont étudié d une part les fluctuations de concentration en substrat, en terme d amplitude mais également de fréquence, en effectuant des prélèvements de milieu en différents points du réacteur avec différents intervalles de temps entre chaque prélèvement. D autre part, plusieurs cultures ont été réalisées, identiques en tout point en dehors de la position de l alimentation. Typiquement, deux positions de l alimentation ont été testées : l une au niveau du premier agitateur par rapport au fond de la cuve dans une zone considérée de forte intensité turbulente et donc favorable au mélange, l autre quelques centimètres en dessous de la surface où l intensité turbulente est considérée comme relativement faible. Certains résultats obtenus par Bylund et al. (1998, 1999) sont présentés sur la figure 1.4. Dans toutes les études citées, de fortes concentrations en glucose, dépassant nettement le seuil critique pour le métabolisme overflow, sont observées aux points de prélèvements situés aux alentours de l alimentation. A l inverse, des faibles concentrations de l ordre de quelques mg/l et inférieures à la concentration critique sont mesurées loin du point d injection de la solution d alimentation en glucose. Les fortes concentrations observées près de l alimentation dépendent fortement de la position de l injection de glucose. Des concentrations moins importantes sont mesurées lorsque l alimentation en glucose est effectuée dans une zone de forte intensité turbulente, c est-à-dire près du système d agitation. 25

40 Introduction (a) Emplacement des points d alimentation (i1,i2) et des points de prélèvements (p1 à p5) (b) Concentration en glucose mesurée aux points p1 à p3 (Fréquence de prélèvement : 1/45 mn 1 ) (c) Concentration en glucose mesurée pour l alimentation haute (i2) aux points p1, p3, p4 (3 cm sous le point d alimentration) et p5 (30 cm sous le point d alimentation) (Fréquence de prélèvement : 1/3 s 1 ) Figure 1.4 Hétérogénéité de concentration en substrat carboné mesurée à différentes hauteurs et pour deux positions de l alimentation dans un bioréacteur industriel de 8 m 3 (Bylund et al., 1998; Bylund et al., 1999). 26

41 2.. Interactions entre mélange et réaction biologique : Mise en évidence expérimentale Quelle que soit la position relative des points de prélèvements et du point d alimentation du glucose, des fluctuations de la concentration en glucose de période de l ordre de la seconde et inférieure ont été mesurées en chaque point de prélèvement. L amplitude des fluctuations est relativement faible lorsque les prélèvements sont réalisés en des points éloignés de l alimentation, mais devient importante au niveau de l alimentation en glucose, en particulier lorsque celle-ci a été effectuée dans une zone supposée de faible intensité turbulente, proche de la surface. Les microorganismes circulant dans des bioréacteurs fed-batch de gros volumes sont donc soumis à des concentrations fluctuantes en substrat carboné. Ces fluctuations sont liées d une part à l hydrodynamique et au mélange générés dans le bioréacteur, et d autre part aux réactions biologiques. Deux types de fluctuations de concentration en substrat limitant peuvent être distingués : - des fluctuations relativement rapides (de l ordre de la seconde ou inférieures) mais d amplitudes généralement faibles. Ces fluctuations sont liées à l intensité de la turbulence au point de mesure. - des fluctuations de fréquences moindres, associées à la circulation des microorganismes entre la zone d alimentation et le reste du réacteur mais d amplitudes importantes. Ces fluctuations sont liées à l écoulement moyen généré par le système d agitation et aux caractéristiques de l alimentation (position, débit, concentration). C est ce dernier type de fluctuations (passage périodique des cellules entre une zone fortement concentrée et une zone faiblement concentrée) qui est considéré comme en grande partie responsable de la baisse de performance observée dans les bioréacteurs de production de biomasse (George et al., 1998) et de production de protéines recombinantes (Bylund et al., 1998; Hewitt et al., 2000) Conséquences sur les performances biologiques Afin d étudier la réponse des microorganismes au passage périodique entre une zone fortement concentrée (zone d alimentation) et une zone de faible concentration en substrat limitant (zone bulk) supposées exister dans les bioréacteurs industriels, des expériences ont été mises en oeuvre à petite échelle dans des réacteurs modèles. Ces réacteurs dits scale-down sont généralement constitués de deux réacteurs interconnectés via une boucle de circulation. Le principe du scaledown est représenté schématiquement sur la figure 1.5. La configuration la plus utilisée pour étudier l impact de ces changements de concentration en 27

42 Introduction substrat carboné est la suivante (George et al., 1998; Xu et al., 1999b; Hewitt et al., 2000; Enfors et al., 2001) : - un réacteur agité et aéré, généralement considéré comme parfaitement mélangé, représentant la zone bulk où la concentration en substrat est relativement faible (de l ordre de quelques mg/l), - un réacteur de type piston, aéré ou non, où le substrat limitant est injecté, représentant ainsi la zone d alimentation fortement concentrée du bioréacteur industriel. La comparaison de cultures menées dans des bioréacteurs industriels, de laboratoire et scaledown a alors permis d identifier en partie les phénomènes responsables de la baisse des performances dans les bioréacteurs industriels. Les conséquences observées sur les deux microorganismes considérés ici sont données ci-dessous. Alimentation Alimentation Zone d alimentation S >> Scritique Zone bulk S < Scritique S t C t Figure 1.5 Schéma de principe des réacteurs scale-down pour modéliser les gradients de concentration observés dans les bioréacteurs de grande taille 28

43 2.. Interactions entre mélange et réaction biologique : Mise en évidence expérimentale Cultures de Saccharomyces cerevisiae Une diminution de production de biomasse d environ 7% a été observée lors d une culture de levures de boulangerie (Saccharomyces cerevisiae) menée dans une colonne à bulle de volume utile 200 m 3 par comparaison à la production obtenue dans des fermenteurs de laboratoire de 10 L (George et al., 1998). Dans la même étude (George et al., 1998), des baisses de production similaires ont été observées lors de cultures réalisées dans un réacteur scale-down composé d un réacteur agité et aéré interconnecté à un réacteur piston, également aéré. La concentration finale en biomasse dans le réacteur bi-compartimenté était environ 6% inférieure à celle mesurée dans le réacteur agité de 10 L. De plus, une accumulation d éthanol a été observée dans le compartiment piston. Aucune limitation en oxygène dissous n ayant été détectée dans les compartiments du réacteur scale-down, la production d éthanol était liée au métabolisme overflow provoqué par les fortes concentrations en glucose présentes dans le compartiment piston. L éthanol produit a ensuite été assimilé dans le compartiment agité où la concentration en substrat était inférieure au seuil critique du métabolisme overflow. La consommation d éthanol par les microorganismes résulte également en production de biomasse, cependant, le rendement de conversion de l éthanol en biomasse est plus faible que le rendement de conversion du glucose (0,39 ge/gx contre 0,5 gs/gx). Les auteurs en ont ainsi déduit que la baisse de production de biomasse dans les cultures industrielles de production de levures de boulangerie était en partie liée à la production d éthanol par le métabolisme overflow dans la zone proche de l alimentation en substrat où de fortes concentrations en glucose ont été mesurées (Bylund et al., 1998). L éthanol produit dans cette zone est ensuite assimilé par la biomasse lorsque la concentration en glucose diminue avec un rendement de conversion en biomasse plus faible que le rendement de conversion du glucose. Le passage périodique des cellules entre une zone fortement et une zone faiblement concentrée en substrat implique également des modifications physiologiques sur les levures cultivées dans des bioréacteurs de grande taille. George et al. (1998) ont observé, en plus des baisses de rendement, que le pouvoir gazeux (capacité des levures à produire du CO 2 ) des levures augmente lorsque les levures sont cultivées à échelle industrielle comparativement à celles cultivées dans de petits volumes. Cultures de Escherichia coli Les études menées sur des cultures industrielles de Escherichia coli reportent également des baisses de production de biomasse par rapport aux cultures menées en laboratoire. 29

44 Introduction Bylund et al. (1998) ont observé une chute de rendement entre 15 et 20 % dans un bioréacteur de 9 m 3 par rapport à un bioréacteur de 3 L. Les auteurs ont également observé une concentration finale en biomasse différente selon la position à laquelle a été injectée la solution d alimentation en glucose dans le bioréacteur de taille industrielle étudié. Lorsque l alimentation est réalisée sous l agitateur situé au fond de la cuve, le rendement de production est 5% plus élevé que lorsque le glucose est alimenté sous la surface. Hewitt et al. (2000) ont reporté une diminution de la production en biomasse encore plus importante (près de 40%) dans un bioréacteur de 20 m 3 par rapport à un bioréacteur de 4 L. Ces diminutions de rendement dans les cultures industrielles de Escherichia coli ont dans un premier temps été imputées au métabolisme overflow. Bylund et al. (1998) ont observé des accumulations d acétate à différentes périodes lors de cultures à échelle industrielle. La première accumulation a été mesurée au début de la culture pendant la phase exponentielle d alimentation, la seconde a été détectée en fin de culture lorque la concentration en microorganismes était importante. Aucune production significative d acétate n a été mesurée dans les cultures menées dans le bioréacteur de 3 L. L acétate est produit par le métabolisme overflow lorsque la concentration en glucose dépasse un seuil critique. Il est également un des produits de la fermentation acide-mixte par E. coli en absence d oxygène. Aucun autre produit n ayant été détecté en dehors de l acétate lors des cultures à l échelle industrielle, les auteurs ont conclu que le métabolisme overflow, induit par les fortes concentrations en glucose mesurées dans la zone d alimentation, était une des principales causes des diminutions de rendement de croissance. Dans un bioréacteur de 20 m 3, Xu et al. (1999b) ont également observé des accumulations d acétate similaire. Cependant, alors que lors de la première accumulation d acétate lors de la phase exponentielle d alimentation aucune concentration significative de produit autre que l acétate n a été mesurée, lors de la seconde accumulation en fin de culture, des concentrations croissantes en formate ont été mesurées (Figure 1.6). Le formate est avec l acétate un des produits principaux de la fermentation acide-mixte. Ainsi, Xu et al. (1999b) ont supposé que le métabolisme overflow a lieu pendant la phase exponentielle d alimentation en glucose. En fin de culture, lorsque la concentration en biomasse devient élevée, la présence de fortes concentrations en glucose aux environs de l alimentation induit une forte consommation en oxygène par les microorganismes provoquant localement des zones épuisées en oxygène et ainsi l apparition de la fermentation acide-mixte bien qu aucune limitation en oxygène dissous n ait été mesurée pendant toute la durée de la culture. 30

45 2.. Interactions entre mélange et réaction biologique : Mise en évidence expérimentale X (g.l 1) F (L.h 1) X (g.l 1) Acétate V = 20 m 3 Formate V = 20 m Alimentation 80 F (L.h 1) 10 0 Biomasse, V = 10 L Biomasse, V = 20 m 3 Alimentation t (h) (a) t (h) (b) 40 0 Figure 1.6 Evolution (a) de la concentration cellulaire entre un réacteur de 10 L et un réacteur de 20 m 3 et (b) des concentrations en acétate et formate dans un réacteur de 20 m 3 (Xu et al., 1999b). L acétate et le formate ne sont pas les seuls produits formés lors de la fermentation acide-mixte par E. coli. Cependant, ce sont les seuls qui ont été détectés lors des prélèvements réalisés pendant les cultures industrielles (Xu et al., 1999b). Des expériences ont été menées dans un réacteur scale-down où le compartiment piston représentant la zone d alimentation n était pas cette fois-ci aéré. Ces expériences ont montré que l acétate et le formate, ainsi que d autres produits de la fermentation acide-mixte, sont formés dans le réacteur piston où la concentration en glucose mesurée est forte et la concentration en oxygène faible. Ces produits ont été ensuite assimilés par les cellules dans le compartiment agité et aéré du réacteur scale-down, où la concentration en glucose est faible (de l ordre d une dizaine de mg.l 1 ). Les auteurs ont observé que l acétate et particulièrement le formate sont moins rapidement assimilés par la biomasse que les autres produits de la fermentation acide-mixte, ce qui explique leur accumulation à des concentrations mesurables lors des prélèvements de milieu dans le bioréacteur industriel. Les produits du métabolisme overflow et de la fermentation acide-mixte sont assimilés pour être convertis en biomasse simultanément à l assimilation du glucose. Cependant, de même que pour l éthanol produit par Saccharomyces cerevisiae, le rendement de conversion en cellules de ces produits est nettement plus faible que le rendement de conversion du glucose en biomasse. Pour exemple, le rendement de conversion de l acétate en biomasse est de 0,38 ga.gx 1, contre 0,5 gs.gx 1 pour le glucose (Xu et al., 1999a; Xu et al., 1999b). Les hétérogénéités de concentration observées dans les bioréacteurs de taille industrielle 31

46 Introduction ont également un impact sur la physiologie des cellules. Hewitt et al. (2000) ont observé une différence de viabilité des cellules lorsqu elles sont cultivées dans des bioréacteurs de petite taille ou des bioréacteurs industriels. Des mesures réalisées par cytométrie de flux ont permis d étudier l état de la membrane cytoplasmique des microorganismes et ainsi de mesurer leur viabilité. A la fin des cultures menées dans un bioréacteur de 4 L, seulement 84% des cellules de E. coli étaient viables, alors que dans un bioréacteur industriel de 20 m 3 plus de 99% étaient viables à la fin des cultures (Hewitt et al., 2000). Des cultures menées dans un réacteur scale-down composé d un réacteur agité et aéré et un réacteur piston non aéré ont montré que l augmentation de la viabilité des cellules microbiennes semblait liée au passage périodique entre une zone fortement concentrée en glucose mais limitée en oxygène et une zone où les concentrations en glucose sont relativement faibles et l oxygène non limitant. 2.4 Conclusions : Mélange et fonctionnement biologique A l échelle industrielle, une influence du mélange a clairement été mise en évidence, d une part, sur les performances biologiques en terme de rendement de croissance et, d autre part, sur la physiologie des cellules en terme notamment de viabilité (George et al., 1998; Bylund et al., 1999; Xu et al., 1999b; Hewitt et al., 2000). Ces modifications par rapport à des cultures menées en laboratoire dans de faibles volumes ont été reliées au passage périodique des cellules microbiennes entre une zone fortement concentrée et une zone beaucoup plus faiblement concentrée en substrat. Des expériences menées dans des bioréacteurs de petite taille suggèrent une influence du mélange à petite échelle. En l absence d hétérogénéité macroscopique de concentrations en substrat, une influence de la position du point d alimentation a été démontrée dans des cultures continues de Saccharomyces cerevisiae (Dunlop & Ye, 1990). Les auteurs de ces études concluent par une influence du micromélange sur la croissance des levures. Dans des bioréacteurs industriels, une influence de la position du point d injection de la solution d alimentation en susbtrat sur le rendement de croissance a également été montrée. Afin de pouvoir approndir les conséquences des différentes échelles de mélange, nous présentons dans la partie suivante une vision mécanistique du mélange empruntée à la mécanique des fluides. 32

47 3.. Mécanismes de mélange turbulent 3. MÉCANISMES DE MÉLANGE TURBULENT Le mélange est un ensemble de mécanismes physiques permettant d homogénéiser les composés d une solution. Il peut avoir une influence importante dans des procédés réactionnels, tel qu un bioréacteur, car c est lui qui va permettre la mise en contact des espèces réactives à l échelle où la réaction prend place. Lorsqu on parle de mélange, le point de vue classique est de distinguer deux mécanismes : - le macromélange, qui fait référence au mélange à l échelle macroscopique (échelle du réacteur), - le micromélange, qui fait référence à l homogénéisation à l échelle moléculaire. La notion de micromélange a été évoquée pour la première fois par Danckwerts (1958) puis reprise par Zwietering (1959). Leur approche permet de distinguer, pour un état de macromélange donné, deux états limites de micromélange : - l état de complète ségrégation, lorsque aucun échange de matière n existe entre deux volumes élémentaires d un fluide, - l état de mélange maximal, lorsque l échange de matière est instantané entre les volumes élémentaires. Depuis ces travaux, de nombreux auteurs ont travaillé sur le mélange et ont proposé différentes définitions pour décrire le mélange de l échelle macroscopique à l échelle microscopique (Villermaux, 1995; Baldyga & Bourne, 1999; Fox, 2003). Dans cette synthèse bibliographique, nous allons essentiellement évoquer l approche de Baldyga et Bourne (1999) qui ont proposé une description de mélange basée sur une analyse mécanistique de la turbulence. Dans un premier temps cependant nous allons aborder les méthodes de caractérisation de l état de mélange. 3.1 Caractérisation de l état de mélange La caractérisation de la qualité de mélange, ou état de mélange, dans un réacteur peut s avérer relativement complexe. D une part, l état de mélange défini dépend de l échelle d observation. A l échelle du réacteur (échelle macroscopique) le mélange peut être homogène, tandis qu à l échelle des composés de la solution (échelle microscopique) l état de mélange peut être hétérogène (Figure 1.7 (a)). Inversement, un milieu peut être homogène à l échelle microscopique mais hétérogène à l échelle macroscopique (Figure 1.7 (b)). En réalité, un réacteur ne se trouve jamais dans un de ces états, mais dans un état de mélange intermédiaire. 33

48 Introduction (a) (b) Figure 1.7 Représentation schématique d un sytème dans un état de mélange (a) macroscopiquement homogène et microscopiquement hétérogène et (b) macroscopiquement homogène et microscopiquement homogène D autre part, le mélange peut être décrit soit d un point de vue spatial, soit d un point de vue temporel. Dans les deux cas, l état de mélange d un système peut être décrit par deux paramètres : - l échelle de la ségrégation, qui représente la taille des domaines de fluide non mélangés avec leur environnement (domaines de ségrégation), - l intensité de la ségrégation, qui caractérise l écart entre la concentration mesurée et la concentration moyenne. La notion d intensité de ségrégation a été dans un premier temps introduite par Danckwerts (1958) puis corrigé par Zwietering (1959) en se basant sur le concept d âge de fluide. L intensité de ségrégation définie de cette manière permet de définir deux états limites dits de micromélange : l état de ségrégation complète et l état de mélange maximal. Cette caractérisation de l état de mélange à partir de l âge de fluide étant non mesurable et de plus limitée à des systèmes continus, ce concept a été ensuite repris en utilisant les fluctuations de concentration (Nagata, 1975; Villermaux, 1995). A partir d une information spatiale, à savoir un champ de concentration, l intensité de la ségrégation, notée I Sx, est définie à partir de la variance de concentration spatiale σcx 2 de la manière suivante (Nagata, 1975; Villermaux, 1995) : I Sx = 1 σ 2 Cmx 2 Cx (1.6) σ 2 Cx = 1 L L 0 (C(x) C mx ) 2 dx = 1 L C mx = 1 L L 0 L 0 c 2 (x)dx (1.7) C(x) dx (1.8) 34

49 3.. Mécanismes de mélange turbulent C(x) : concentration locale au point de coordonnée x C mx : concentration moyenne spatiale sur le domaine résolu L : taille du domaine résolu L échelle de ségrégation associée L Sx peut être déterminée en autocorrélant le signal spatial de concentration. L Sx = f(r) = 1 σ 2 Cx L 0 L 0 f(r)dr (1.9) c(x) c(x + r)dx (1.10) c(x) = C(x) C mx (1.11) f(r) : fonction de corrélation spatiale r : distance entre deux points Lorsque le mélange est homogène, la taille des domaines de ségrégation L Sx est égale à 0 et l intensité de la ségrégation I Sx tend vers 0. Un raisononement similaire peut être effectué à partir d un signal de concentration temporel. L intensité de la ségrégation I St peut être déterminée à partir de la variance temporelle σ 2 Ct du signal. σ 2 Ct = 1 T T 0 I St = 1 σ 2 Cmt 2 Ct (1.12) (C(t) C mt ) 2 dx = 1 T C mt = 1 T C(t) : concentration instantanée T 0 T C mt : concentration moyenne temporelle sur la durée du signal T : durée du signal 0 c 2 (t)dt (1.13) C(t) dt (1.14) Une échelle de temps de la ségrégation L St l autocorrélation du signal en temps. peut être également définie à partir de L St = T 0 f(τ)dτ (1.15) f(τ) = 1 T c(t)c(t + τ)dt (1.16) σct

50 Introduction c(t) = C(t) C mt (1.17) f(τ) : fonction de corrélation temporelle τ : pas de temps entre deux points Les fluctuations de concentration observées sur un signal temporel traduisent le passage de paquets de fluide plus ou moins concentrés et de taille plus ou moins importante en un point du système. En connaissant la vitesse u du fluide en ce point, il est possible de relier l échelle de ségrégation temporelle L St à une échelle spatiale L Sx en appliquant l hypothèse de Taylor de la manière suivante : L Sx = ulst (1.18) Cette méthode de détermination de l état de mélange, basée sur l intensité et l échelle de la ségrégation, est très difficile à mettre en pratique. La distribution spatiale des concentrations est expérimentalement difficile à obtenir. Certaines techniques expérimentales, telle que la Fluorescence par Induction Laser (LIF ou PLIF), permettent d obtenir des champ de concentrations spatiales, mais l information en 3D n est pas encore mesurable. L étude de mélange est ainsi généralement réalisée en mesurant un signal temporel de concentration en un ou plusieurs points du système. Cependant, la qualité de la définition de l état de mélange dépend de la précision du détecteur utilisé en terme de temps et de taille. Toutes les échelles de taille en dessous de la taille du détecteur sont filtrées, la mesure ne donne donc pas en toute rigueur une information en un point, mais intègre le signal sur la taille du détecteur. De même, toutes les variations de concentration dont la fréquence est supérieure à la fréquence d acquisition du détecteur ne sont pas mesurées. 3.2 Mécanismes et échelles du mélange turbulent A l échelle moléculaire, le seul mécanisme capable de mettre en contact deux réactifs est la diffusion moléculaire. Cependant, le temps caractéristique de ce mécanisme est d autant plus grand que le volume à homogénéiser est important. En effet, le temps caractéristique de la diffusion moléculaire dépend de l épaisseur de la couche de diffusion entre deux composés à homogénéiser (Équation 1.19). 36 t Dm e2 D D m (1.19)

51 3.. Mécanismes de mélange turbulent D m : coefficient de diffusion moléculaire e D : épaisseur de la couche de diffusion En considérant une diffusivité D m = 10 9 m 2.s 1 (ordre de grandeur pour la diffusion d une petite molécule dans de l eau), le temps de diffusion nécessaire pour homogénéiser une épaisseur e D = 10 2 m est de plus de 24 h. Pour atteindre un temps de diffusion de l ordre de la seconde, l épaisseur de diffusion doit être de l ordre de quelques dizaines de microns. Afin d atteindre des temps d homogénéisation raisonnables, il est donc nécessaire de réduire la taille des éléments de fluide non mélangés jusqu à une échelle de taille de l ordre de quelques microns afin de diminuer le temps nécessaire à la diffusion moléculaire pour amener en contact les molécules devant réagir. Dans ce but, le mélange est généralement réalisé en régime turbulent. Dans un écoulement turbulent, si l on mesure la concentration au cours du temps en un point on observe, de la même manière que pour la vitesse, des fluctuations de concentration. L homogénéisation d une solution va donc se traduire par l atténuation de ces fluctuations de concentration, jusqu à leur disparition totale. Afin d identifier les mécanismes responsables de l atténuation des fluctuations de concentration, Baldyga et al. (Baldyga & Bourne, 1984; Baldyga & Pohorecki, 1995) proposent d analyser les spectres de fluctuations de vitesse (ou spectre d énergie cinétique turbulente) et de fluctuations de concentration (Figure 1.8). Ces spectres représentent l amplitude des fluctuations de vitesses (ou quantité d énergie) et de concentrations en fonction du nombre d onde σ, proportionnel à l inverse de la taille des tourbillons contenus dans l écoulement considéré. Le spectre d énergie cinétique turbulente permet de distinguer deux types de tourbillons caractéristiques : les macrotourbillons de taille Λ (macroéchelle ou échelle intégrale de la turbulence) qui sont les plus gros tourbillons turbulents présents dans l écoulement, et les microtourbillons de taille η K (échelle de Kolmogorov) représentant les plus tourbillons turbulents. Si l on considère maintenant le spectre des fluctuations de concentration, on peut distinguer deux autres échelles de taille caractéristiques, non plus de la turbulence mais du mélange turbulent. Les paquets de fluide initialement non mélangés peuvent être de taille différente (inférieure ou supérieure) de celle des plus gros tourbillons tourbillons turbulents. Leur taille est caractérisée par Λ C (échelle intégrale des fluctuations de concentration). A partir de l échelle de Kolmogorov toute l énergie cinétique est dissipée, cependant ce n est pas le cas pour les fluctuations de concentration : elles sont dissipées à une échelle de taille plus petite appelée échelle de Batchelor η B. En se basant sur ces spectres, une distinction entre plusieurs mécanismes responsables du 37

52 Introduction E( σ) Intervalle inertiel convectif Intervalle visqueux convectif Intervalle visqueux diffusif G( σ) MICROMELANGE MESOMELANGE π/λ C π/λ π/η K π/η B σ (nombre d ondes) Figure 1.8 Spectres de l énergie cinétique E(σ) et des fluctuations de concentration G(σ) mélange à des échelles de taille et de temps différentes a été proposée par Baldyga et Pohorecki (1995). Ces auteurs distinguent : - le mélange par convection ou macromélange ; - le mélange inertiel-convectif ou mesomélange par désintégration des gros paquets de fluide non mélangés. Ce mécanisme est contrôlé par l hydrodynamique turbulente : sa vitesse est directement proportionnelle à la vitesse de désintégration (ou réduction de taille) des gros tourbillons turbulents présents dans l écoulement ; - le mélange visqueux-convectif ou micromélange par incorporation (engulfment). Ce mécanisme dépend de la viscosité du fluide ; - le mélange visqueux-diffusif ou micromélange par diffusion. Ce mécanisme est essentiellement contrôlé par la diffusivité des espèces chimiques considérées. Le macromélange est lié aux caractéristiques moyennes de l écoulement tandis que les mécanismes de mesomélange et de micromélange sont liés aux caractéristiques fluctuantes de l écoulement turbulent Macromélange ou Mélange convectif Dans un système en écoulement, les paquets de fluide non mélangés sont transportés à travers le système par l écoulement moyen. Ce mécanisme convectif, appelé également macromélange, est responsable de la distribution spatiale des paquets de fluide et ainsi de la distribution macroscopique des concentrations (cf. Figure 1.9 (a)). Ni la taille initiale Λ C, ni la composition des paquets de fluide non mélangés ne sont 38

53 3.. Mécanismes de mélange turbulent altérées par ce mécanisme. La taille caractéristique du macromélange étant de l ordre de quelques mm à quelques cm. Le temps nécessaire à la diffusion pour homogénéiser à l échelle moléculaire ces gros paquets de fluide est trop important, le macromélange n est donc pas responsable à lui seul du mélange. En terme d échelle de temps, le mélange convectif peut être caractérisé par : - un temps de mélange t m, déterminé expérimentalement après injection d un traceur, - un temps de circulation t C, correspondant au temps mis par un élément de fluide pour traverser le réacteur avant de repasser dans la même zone Mélange inertiel-convectif ou Mesomélange Les paquets de fluide distribués à travers le système par le macromélange subissent des contraintes de cisaillement turbulentes pendant leur parcours. Ils sont ainsi déformés et cassés (Figure 1.9 (b)) par le mouvement turbulent du fluide. Ce mécanisme, appelé mesomélange par désintégration des tourbillons, réduit l échelle de taille des fluctuations de concentration de leur taille initiale Λ C jusqu à l échelle de Kolmogorov (Equation 1.20). ( ν 3 η K = ǫ )1 4 (1.20) ν : viscosité cinématique du fluide considéré ǫ : taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente L échelle de taille Λ C est difficile à prédire. Elle dépend d une part des caractéristiques de l alimentation (position, diamètre du tube d injection, concentration et débit) et d autre part des propriétés de la turbulence et de l écoulement au point d injection. En première approximation, elle est souvent assimilée à l échelle intégrale de la turbulence Λ (Équation 1.21) au point d alimentation. Λ = C 1 k 3 2 ǫ (1.21) k : énergie cinétique turbulente L échelle de temps caractéristique de ce mécanisme t S (Équation 1.22) est définie comme le temps nécessaire pour que la taille des paquets de fluide soit réduite de Λ C à η K. Ce temps correspond également au temps de retournement d un tourbillon de taille Λ C (temps nécessaire 39

54 Introduction (b) (a) Macromélange (c) (b) Mesomélange (d) (c) Micromélange par incorporation (d) Micromélange par diffusion Figure 1.9 Représentation schématique des mécanismes de mélange turbulent (Baldyga & Bourne, 1999). 40

55 3.. Mécanismes de mélange turbulent à un élément de fluide pour traverser le tourbillon). t S = 1 C 2 k ǫ = C 3 ( Λ 2 C ǫ )1 3 (1.22) Plusieurs valeurs des constantes C 2 et C 3 sont répertoriées dans la littérature. La valeur C 2 = 2 est couramment utilisée notamment dans les codes de mécanique des fluides commerciaux. La valeur de la constante C 3 est généralement comprise entre 1 et 2. Pour les liquides dont le nombre de Schmidt est supérieur à 1000 comme l eau, la valeur C 3 = 2 est souvent rencontrée (Baldyga & Bourne, 1995; Villermaux, 1995) Mélange visqueux-convectif ou Micromélange par incorporation Baldyga et Bourne (1995, 1999) ont démontré que les tourbillons de taille 12η K sont relativement stables du fait de l équilibre entre l étirement provoqué par les contraintes turbulentes et la dissipation due aux contraintes visqueuses. Ils considèrent que ces tourbillons, du fait de leur stabilité, forment une grande partie de la structure fine de la turbulence. Sous l effet de leur forte vorticité, ces tourbillons ont la capacité d incorporer le fluide les environnant, formant alors des structures lamellaires (dans le cas où le fluide incorporé a une composition différente). Le principe du mécanisme de micromélange par incorporation (engulfment) est représenté sur la figure 1.9 (c). L échelle de temps caractéristique de ce mécanisme t E est assimilée à la durée de vie des tourbillons incorporants (Équation 1.23). t E = C 4 ( ν ǫ )1 2 (1.23) La valeur de la constante C 4 est de l ordre de 17 (Villermaux, 1995; Fournier et al., 1996; Baldyga & Bourne, 1999) Mélange visqueux-diffusif ou Micromélange par diffusion Contrairement aux fluctuations turbulentes de la vitesse, les fluctuations de concentration ne sont pas totalement dissipées à l échelle de Kolmogorov η K (voir. Figure 1.8). En dessous de cette échelle, les contraintes turbulentes deviennent négligeables devant les contraintes visqueuses. Sous l effet de ces dernières, les lamelles formées par le mécanisme d incorporation sont étirées et leur épaisseur est alors réduite jusqu à l échelle de Batchelor η B (Équation 1.24) 41

56 Introduction où la diffusion moléculaire atténue rapidement les fluctuations de concentration (1.9 (d)). ( )1 D 2 4 η B = m ν = ηk Sc 1 2 (1.24) ǫ On trouve dans la littérature plusieurs définitions du temps caractéristique du micromélange par diffusion. Par exemple, Baldyga et Bourne (1995) proposent une définition (Équation 1.25) qui prend en compte la décroissance de l épaisseur des lamelles de η K à η B et la diffusion moléculaire. t Ds = 2 ( ν ǫ )1 2 arcsinh(0.05 Sc) (1.25) En considérant uniquement la diminution de l épaisseur des lamelles sous l effet des contraintes visqueuses, le temps caractéristique t Ds peut s écrire (Baldyga & Bourne, 1995) : t Ds = ( ν ǫ )1 2 ln(sc) (1.26) Il est important de noter que l étirement et l enroulement des tourbillons responsables du micromélange en structure lamellaire accélère notablement l homogénéisation des paquets de fluide. Le temps nécessaire est moins important que si la diffusion agissait seule. 3.3 Conclusions Cette modélisation mécanistique du mélange à l avantage de proposer des échelles spatiales et temporelles que l on pourra utiliser par la suite pour évaluer l impact du mélange sur les processus biologiques (cf. Chapitre 2). Tous les mécanismes de mélange présentés précédemment ont lieu de manière simultanée au cours du processus de mélange. Les ordres de grandeurs des échelles de taille et de temps associés à ces mécanismes sont présentés dans le tableau 1.2. D après la définition des échelles de mélange, un des paramètres principal permettant de caractériser le mélange est le taux de dissipation de l énergie cinétique ǫ. La valeur volumique moyenne du taux de dissipation epsilon V ou du moins une approximation est généralement connue pour les systèmes liquides. Une estimation des échelles du mélange est donc 42

57 3.. Mécanismes de mélange turbulent Mécanismes Échelles de taille Échelles de temps Macromélange 10 3 < L C < 10 3 m 10 0 < t m ou t C < 10 2 Mesomélange inertiel-convectif 10 3 < L C < < η K < 10 4 m 10 2 < t S < 10 1 s Micromélange visqueux-convectif 10 5 < η K < 10 4 m 10 3 < t E < 10 2 s Micromélange visqueux-diffusif 10 5 < η K < 10 4 m 10 6 < η B < 10 5 m t Ds 10 6 s Tableau 1.2 Ordre de grandeurs des différentes échelles de mélange envisageable à partir d une valeur moyenne. Cependant, dans un grand nombre de réacteurs, le taux de dissipation est d une part réparti de manière inhomogène dans le système, et d autre part, sa valeur fluctue en un point du système. Par conséquent, les échelles de mélange peuvent varier d un point à l autre d un réacteur, et au cours du temps en un point. 43

58 Introduction 4. MODÉLISATION DU MÉLANGE TURBULENT La modélisation du mélange turbulent réactif a évolué sous la double impulsion des recherches en mécanique des fluides et en génie des réacteurs. Ce sujet est, de l aveu même des spécialistes, simple au premier abord mais extrêmement complexe dès que l on y réfléchit plus longuement car il requiert des notions dans les domaines de la turbulence, du mélange et de la réaction. Nous nous efforcerons dans cette partie de présenter les principaux aspects de la modélisation du mélange turbulent. Les applications à la modélisation des bioréacteurs seront citées lorsqu elles existent mais seront étudiées avec plus d attention dans le troisième paragraphe. La modélisation du mélange dans un écoulement turbulent peut être abordée de deux manières différentes : 1. Le mélange étant intimement lié aux caractéristiques de l hydrodynamique dans un réacteur, on peut modéliser le couplage entre réaction et mélange en utilisant la mécanique des fluides numériques qui permet de résoudre les équations régissant l hydrodynamique ainsi que celles décrivant le transport d espèces dissoutes. 2. Une autre méthode, se basant sur l analyse mécanistique du mélange, consiste à considérer un mécanisme de mélange particulier (macromélange ou micromélange) et à le modéliser de manière simplifiée, sans prendre en compte toute la complexité d un écoulement turbulent. 4.1 Mécanique des fluides numérique Cette approche consiste à résoudre les équations de Navier-Stokes gouvernant l écoulement et les équations de conservation d un scalaire (concentration, température) gouvernant le mélange et, éventuellement, la réaction. La résolution de ces équations peut être effectuée de manière directe en résolvant toutes les échelles de la turbulence et du mélange (DNS : Direct Numerical Simulation). Cependant, la simulation directe est encore aujourd hui restreinte à de très petits volumes car la discrétisation spatiale nécessaire conduit à découper le domaine à résoudre en volumes élémentaires dont la taille doit être de l ordre de grandeur des échelles de Kolmogorov η K, si seule l hydrodynamique est résolue, et de l ordre des échelles de Batchelor η B, si une réaction est prise en compte. Par conséquent, la simulation numérique d un écoulement turbulent est réalisée soit en résolvant les équations de Navier-Stokes en moyenne de Reynolds (RANS : Reynolds Averaged Navier-Stokes), soit en résolvant les équations filtrées de la simulation des grandes échelles (LES : Large Eddy Simulation). Une simulation RANS résout l écoulement moyen alors que toutes les échelles turbulentes sont modélisées. Une simulation LES résout les 44

59 4.. Modélisation du mélange turbulent grandes échelles turbulentes et modélisent uniquement les échelles les plus petites (inférieures à une échelle de coupure qui peut en première approche être assimilée à la taille du maillage). Ces deux types de simulation numérique d un écoulement nécessitent l utilisation de modèles de turbulence, dont l écriture est basée sur des hypothèses qui ne sont pas toujours vérifiées. Ce sujet sera abordé de manière plus détaillée dans le chapitre 3. Lorsqu un terme de réaction doit être résolu, une difficulté supplémentaire s ajoute au problème de la modélisation de la turbulence. En effet, le domaine à résoudre est découpé en un certain nombre de volumes élémentaires à l intérieur desquels la vitesse, les concentrations ou la température sont supposées homogènes. Or, la taille des volumes élémentaires est supérieure aux échelles microscopiques du mélange et par conséquent les simulations RANS ou LES ne prennent pas en compte tous les mécanismes de mélange. Si la réaction est rapide devant ces mécanismes, cela peut conduire à une mauvaise prédiction des rendements réactionnels. Une simulation LES résolvant directement les plus grandes échelles turbulentes, elle peut éventuellement considérer le mécanisme de mesomélange dont la taille caractéristique est l échelle intégrale de la turbulence qui correspond à la taille des plus gros tourbillons turbulents de l écoulement considéré. Cependant, les échelles de micromélange ne sont pas résolues. Une simulation RANS, quant à elle, ne prend en compte que le macromélange car seul l écoulement moyen est modélisé. Ainsi, la simulation numérique d un écoulement turbulent réactif peut s avérer complexe si la réaction est rapide devant le micromélange car elle nécessite d établir une modélisation en sous-maille pour rendre compte de l hétérogénéité de concentration à petite échelle et de son influence sur une réaction. L approche classique consiste à décrire l hétérogénéité de concentration sous l échelle résolue à l aide de fonction de densité de probabilité (PDF : Probability Density Function). Pour plus de détails à ce propos, le lecteur peut se référer à l ouvrage de référence : Computational models for turbulent reacting flows (Fox, 2003). La simulation numérique, de type RANS uniquement à notre connaissance, a été utilisée pour la modélisation des bioréacteurs. Ce point sera détaillé dans la troisième section. 4.2 Approche mécanistique La mécanique des fluides numérique est coûteuse en temps de calcul et peut être ainsi difficilement applicable à de gros volumes. De plus, la modélisation des mécanismes de mélange à petite échelle s avère complexe. Une alternative intéressante, en particulier en terme de temps de calcul, est de décrire les mécanismes de mélange (macromélange ou micromélange) de 45

60 Introduction manière simplifiée Modélisation du macromélange Le macromélange est responsable du transport des paquets de fluide frais injecté dans un réacteur à travers l ensemble de son volume. Dans le cas d un macromélange idéal, ces paquets de fluide sont répartis de manière homogène dans tout le réacteur. Dans le cas contraire, des zones de concentrations différentes peuvent apparaître. Le macromélange peut alors être représenté de manière simplifiée en découpant le réacteur en un certain nombre de volumes élémentaires Association de réacteurs idéaux Les premiers modèles de macromélange ont été développés pour les réacteurs continus à partir de la notion de Distribution des Temps de Séjour (DTS) développée par Danckwerts (1958). Le principe de ce type de modèle est simple : un réacteur continu quelconque peut être représenté par une association de réacteurs idéaux, réacteur parfaitement agité (RPA) et réacteur piston (RP), dont la DTS est connue et dont l agencement permet de reproduire la DTS du réacteur réel. Ces modèles permettent par exemple de reproduire les dysfonctionnements des réacteurs continus, tels que les zones mortes et les court-circuits. Ce type de modèle a été, à l origine, appliqué aux réacteurs continus mais peut être étendu aux réacteur semi-fermés (fed-batch) à partir de la connaissance de la Distribution des Temps de Circulation (Villermaux, 1995). Ils ont été utilisés pour la modélisation des procédés biologiques continus pour prédire le taux de dilution critique à partir duquel le réacteur est lessivé (Bailey & Ollis, 1986) Modèles de compartiments Une autre manière de représenter le macromélange est de découper un réacteur en un nombre fini de volumes élémentaires parfaitement macromélangés (concentration et/ou température homogènes dans chaque volume). Plusieurs modèles de compartiments, plus ou moins complexes, sont disponibles dans la littérature (Reuss & Jenne, 1993; Guillard & Tragardh, 1999) mais leur principe de fonctionnement est similaire. Chaque volume élémentaire est connecté avec ses voisins par un flux convectif et un flux diffusif. Ce principe est représenté schématiquement sur la figure

61 4.. Modélisation du mélange turbulent Figure 1.10 Représentation schématique de l échange entre les volumes élémentaires des modèles de compartiments. Les échanges de matière entre les volumes sont déterminés à partir de grandeurs globales caractéristiques du réacteur modélisé. Par exemple, dans le cas d une cuve agitée, les flux convectifs dépendent des caractéristiques de la cuve et de l agitateur : dimensions, vitesse d agitation et nombre de pompage de l agitateur (Reuss & Jenne, 1993; Guillard & Tragardh, 1999). Les flux diffusifs permettent de caractériser les échanges liés à la turbulence. Ces flux diffusifs sont la principale limitation des modèles de compartiments, car ils sont difficile à évaluer dans une cuve agitée du fait de la forte hétérogénéité de la turbulence (Guillard & Tragardh, 1999). Ils sont généralement évalués à partir du nombre de puissance des agitateurs utilisés. La plupart des modèles de compartiments sont conçus en deux dimensions et considèrent ainsi une symétrie de l écoulement selon l axe de la cuve. Ils sont appliquables à des écoulements diphasiques et permettent de modéliser de gros volumes. C est pourquoi ils sont couramment utilisés dans le cas des bioréacteurs. Quelques études ont été réalisées en couplant un modèle de compartiments à une réaction biologique (Nagy et al., 1995; Vlaev et al., 2000; Vrabel et al., 2001), cependant ces modèles sont principalement utilisés comme outil pour caractériser l hydrodynamique liquide et le transfert d oxygène dans les bioréacteurs de grande taille (Vrabel et al., 2000; Zahradnik et al., 2001). 47

62 Introduction Modèles de micromélange Modèle de Zwietering Le premier modèle de micromélange a été développé par Danckwerts (1958) puis corrigé par Zwietering (1959) à la suite du développement de la Distribution des Temps de Séjour (DTS) pour pallier l insuffisance des modèles de macromélange basés sur la connaissance de la DTS à décrire certains systèmes réactionnels. En effet, pour une même DTS, les rendements de certaines réactions peuvent être différents à cause d un état de micromélange différent. Ce modèle considère deux états de micromélange limite : le mélange maximal et le mélange minimal (ou état de ségrégation complète). Ce modèle ne se base pas sur une description physique de l état de mélange et permet seulement de déterminer les limites minimale et maximale des rendements réactionnels. Couplé à des modèles d association de réacteur, le modèle de Zwietering a été utilisé pour représenter l influence du macromélange et du micromélange sur la croissance microbienne dans des réacteurs continus (Tsai et al., 1969; Fan et al., 1971) Modèle Interaction par Échange avec la Moyenne Ce modèle a été développé par Villermaux et Devillon (1972). Le mélange est décrit comme un transfert de matière entre un volume de fluide non mélangé et son environnement. L évolution de la concentration liée au micromélange et à une réaction est ainsi définie par l équation suivante : dc α dt = k m ( c α c α ) + r α (1.27) c α : concentration locale de l espèce α c α : concentration moyenne de α dans l environnement r α : terme de réaction k m : coefficient d échange ou vitesse de mélange Le coefficient d échange k m est lié au temps caractéristique de la décroissance de la ségrégation par (Villermaux, 1995) : k m = 1 t m (1.28) Le temps caractéristique t m est généralement associé au temps caractéristique du micromélange, 48

63 4.. Modélisation du mélange turbulent mais il peut également être défini par le temps caractéristique du mécanisme de mélange (macromélange ou mesomélange) limitant (Villermaux, 1995; Baldyga & Bourne, 1999) Modèle Engulfment Le modèle E (Engulfment) est une simplification du modèle EDD (Engulfment Deformation Diffusion) qui prend en compte le mécanisme de micromélange par diffusion à l intérieur des tourbillons responsables de l incorporation (Baldyga & Bourne, 1984). Cependant pour les liquides dont le nombre de Schmidt est supérieur à 1000 (comme c est le cas pour l eau), le mécanisme d incorporation est beaucoup plus lent que la diffusion. La diffusion moléculaire étant négligeable, la concentration dans la zone de réaction peut être considérée comme homogène. Le modèle simplifié mis au point par les mêmes auteurs (Baldyga & Bourne, 1989) se base sur le mécanisme de micromélange par incorporation présenté précédemment (Section 3.2.3). Il suppose que la réaction a lieu uniquement dans une zone restreinte du système, à savoir au niveau de l injection. La zone de réaction croît en volume sous l effet de l incorporation du fluide environnant et l évolution de son volume V m est décrit dans le modèle par la relation suivante : dv m dt = E P V m (1.29) V m : volume de réaction E : paramètre d incoporation caractérisant la vitesse d incorporation de A dans B P : probabilité d auto-incorporation du fluide de la zone de réaction avec lui-même P = 1 V m V (1.30) V : volume total Le bilan-matière sur un composé α est alors donné par l équation suivante : d(v m c α ) dt = E P V m c α + r α V m (1.31) c α : concentration du composé α dans la zone de réaction c α : concentration moyenne de α dans l environnement de la zone de réaction 49

64 Introduction r α : terme de réaction La concentration moyenne utilisée dans le modèle E représente la concentration moyenne dans l environnement de la zone de réaction et ne prend donc pas en compte la concentration dans la zone de réaction. Le paramètre E est directement lié au temps de micromélange par incorporation t E (Equation 1.23, Section 3.2) selon l équation suivante : E = 1 t E = ( )1 ǫ 2 ν (1.32) Les modèles Engulfment et IEM ont une forme mathématique très similaire. Cependant, leur comportement diffère, car la réaction est limitée à une partie du volume total dans le modèle engulfment, alors que le modèle IEM considère que la réaction a lieu dans tout le volume du système. A notre connaissance, aucune application de ces modèles à une réaction biologique n est disponible dans la littérature. 4.3 Couplage du mélange et de la réaction biologique : État de l art Le mélange ayant un impact démontré sur les performances des bioréacteurs (cf. Section 2.), il est nécessaire, afin de prédire correctement ces performances, d intégrer dans la modélisation d un procédé biologique à la fois le mélange et les réactions biologiques. Cette tâche peut s avérer relativement difficile du fait de la complexité du mélange d une part et de celle du fonctionnement biologique d autre part. De plus, les modèles décrivant le fonctionnement biologique sont mis au point à partir d expériences réalisées à petite échelle en considérant une homogénéité parfaite de la composition du microenvironnement des cellules. Par conséquent, le mélange n est pas pris en compte lors de leur mise au point et les modèles biologiques sont alors parfois difficilement intégrables à d autres échelles (Tragardh, 1993). Aujourd hui encore, aucun modèle biologique n est complètement indépendant de l échelle à laquelle il est appliqué (Vrabel et al., 2001). Par conséquent, on trouve peu d études du couplage entre l hydrodynamique et la réaction biologique dans la littérature. La modélisation de l hydrodynamique est le plus souvent utilisée pour caractériser les bioréacteurs de taille industrielle en terme de temps de mélange, de 50

65 4.. Modélisation du mélange turbulent répartition de l oxygène dissous et du substrat mais est rarement couplée avec des cinétiques biologiques. Nous nous limiterons ici aux travaux qui ont modélisé les effets de gradients de concentration en substrat sur le fonctionnement biologique. L influence de la phase gazeuse (oxygène) et le transfert gaz-liquide ne sont pas abordés dans ce travail. Classiquement, le couplage entre mélange et réaction est basé sur une approche Euler- Euler, à savoir la phase liquide (milieu de culture et substrat carboné) et la phase biologique (microorganismes) sont considérées comme une seule et même phase continue (Larsson et al., 1996; Vrabel et al., 2001; Schmalzriedt et al., 2003). Dans le tableau 1.3 sont rapportées les caractéristiques des simulations réalisées, à savoir le modèle biologique utilisé, la technique de représentation de l hydrodynamique et du mélange ainsi que le microorganisme utilisé et le mode de fonctionnement du procédé considéré. Quelle que soit l étude considérée, les performances biologiques prédites par la simulation ne reproduisent pas le comportement observé expérimentalement. Dans l article très complet de Schmalzriedt et al. (2003), les auteurs soulignent la nécessité d une meilleure description de la réponse dynamique des systèmes microbiens et la prise en compte des phénomènes de micromélange couplés à des réactions biologiques dans les écoulements turbulents. Etude Modèle biologique Modèle hydro Microorganisme Fonctionnement Larsson et al. (1996) Modèle non-structuré (de type Monod) CFD (Simulation RANS) Sacchormyces cerevisiae Fed-batch Vrabel et al. (2001) Modèle métabolique (Xu et al., 1999a) Modèle de compartiments Escherischia coli Fed-batch Schmalzriedt et al. (2003) Modèle métabolique (?) CFD (Simulation RANS) Sacchormyces cerevisiae Continu Tableau 1.3 Caractéristiques des études numériques de couplage du mélange et de la réaction biologique en utilisant l approche Euler-Euler. 51

66 Introduction Récemment, quelques études (Delvigne et al., 2005; Delvigne et al., 2006; Lapin et al., 2006) se sont attachées à décrire la phase biologique non plus comme étant partie intégrante de la phase continue mais comme une population dispersée se déplaçant dans la phase liquide. Cette approche Euler-Lagrange présente l avantage de pouvoir représenter l hétérogénéité d une population de microorganismes, et, à terme, de permettre l intégration de l effet d histoire dans la modélisation du fonctionnement biologique (Lapin et al., 2006). Les résultats de ces différents travaux n ont pas été directement confrontés à des observations expérimentales, mais les auteurs précisent que de tels outils numériques peuvent aider à la mise au point d expériences scale-down (Delvigne et al., 2005; Delvigne et al., 2006) ou à l extrapolation des bioréacteurs (Lapin et al., 2006). En conclusion, le couplage du mélange et de la réaction biologique pour la modélisation du fonctionnement des bioréacteurs n est pas encore aujourd hui complètement atteint avec succès. Deux causes peuvent être évoquées : - aucun modèle biologique disponible dans la littérature ne permet de représenter complètement les réponses des microorganismes à des variations de la composition de leur environnement, en particulier la dynamique des réponses à des variations rapides de la composition de l environnement n est pas connue, - jusqu ici le mélange est décrit essentiellement en terme de macromélange, les mécanismes de mesomélange et de micromélange ne sont généralement pas représentés dans la modélisation des bioréacteurs. 52

67 5.. Conclusion 5. CONCLUSION Dans ce chapitre, nous avons recherché à mettre en évidence les interactions entre mélange et réactions biologiques observées expérimentalement, en nous limitant volontairement à deux microorganismes, parmi les plus étudiés dans la littérature et les plus utilisés en industrie. Les conclusions paraissent claires : les états de mélange ont un impact sur le fonctionnement de ces microorganismes. Cet impact se manifeste par des rendements différents et par la production de métabolites non recherchés, traduisant des changements de fonctionnement biologique. Approfondir cet impact d un point de vue biologique ne fait pas partie de nos compétences et de nos possibilités immédiates. Nous avons donc décidé d approfondir la partie mélange. En effet, l analyse des modèles et des mécanismes de mélange, tels qu ils ont été développés et utilisés pour la compréhension des interactions mélange-réactions chimiques, montre qu une analyse identique rigoureuse appliquée aux bioréacteurs peut aider à mieux comprendre ces interactions mélange - bioréaction. C est ce que nous nous proposons de mener dans le chapitre 2 de ce travail. Suite à cette analyse, nous nous sommes lancés dans la simulation de l hydrodynamique la plus précise possible d une cuve agitée. L idée était d aller jusqu au bout des possibilités offertes par la CFD pour obtenir des informations quantitatives pertinentes sur les conditions environnementales vécues par les microorganismes. Ces simulations sont présentées et comparées à des mesures PIV dans le chapitre 3. Dans le chapitre 4, nous utiliserons les résultats des simulations de l écoulement et du mélange d un constituant pour établir les conditions vues par les microorganismes le long de leur trajectoire. L idée est de pouvoir, dans l avenir, coupler cette information avec un modèle biologique dynamique, intégrant la réponse de ce microorganisme à la sollicitation environnementale. 53

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69 CHAPITRE 2 INTERACTIONS MÉLANGE RÉACTION : ANALYSE QUALITATIVE Plusieurs études expérimentales ont mis en évidence une influence du mélange sur les performances d un procédé biologique. Dans la majorité des travaux présentés au chapitre 1, l accent est généralement mis sur l analyse de la réponse biologique, mais les caractéristiques physiques du procédé (type d agitateur, vitesse d agitation, puissance dissipée) sont peu ou pas décrites. Par conséquent, l influence exacte du mélange sur un réaction biologique n est pas encore très claire et certaines questions restent posées. Nous avons vu dans la troisième partie du chapitre précédent que le mélange peut être décrit par un ensemble de mécanismes liés aux caractéristiques de la turbulence. Quel est ou quels sont les mécanismes responsables des modifications des performances biologiques? Le macromélange a une influence non négligeable sur les performances biologiques dans les bioréacteurs industriels, car une hétérogénéité macroscopique de concentration en substrat est créée du fait de l augmentation du temps de circulation, temps caractéristique du macromélange, lors du scale-up des bioréacteurs fed-batch. D après Dunlop & Ye (1990), le micromélange a également une influence sur la croissance de Saccharomyces cerevisiae. Des doutes peuvent être émis sur leurs conclusions, néanmoins, cette étude, ainsi que celle sur laquelle elle est basée (Hansford & Humphrey, 1966), tendent à montrer une influence de mécanismes de mélange autres que le macromélange. Les expériences réalisées dans des réacteurs scale-down ont montré que des variations de concentration en substrat de grande amplitude et de faible fréquence ont un impact sur le rendement des bioréacteurs de taille industrielle. Cependant, il a également été montré que des fluctuations de plus petite ampleur mais de fréquence beaucoup plus élevée existent en différents points d un bioréacteur. Quelles fluctuations sont subies par les microorganismes dans un bioréacteur? Quelle est l influence de ces fluctuations sur le fonctionnement des microorganismes? 55

70 Introduction Dans ce chapitre, nous tenterons dans un premier temps d analyser les expériences disponibles dans la littérature en tentant de dégager, d après les informations disponibles, le ou les mécanismes de mélange pouvant être responsables de la modification observée en terme de performance biologique dans les bioréacteurs étudiés. L analyse de ces expériences ne nous permettant pas de tirer des conclusions claires, nous allons ensuite comparer les échelles caractéristiques du mélange et de la réaction afin d évaluer l influence éventuelle de chaque mécanisme de mélange sur une réaction biologique. 56

71 1.. Retour sur les expériences de la littérature : Quels mécanismes de mélange? 1. RETOUR SUR LES EXPÉRIENCES DE LA LITTÉRATURE : QUELS MÉCANISMES DE MÉLANGE? Le mélange, en particulier en régime turbulent, est un processus complexe qui peut être décomposé en plusieurs mécanismes d échelles de taille et de temps caractéristiques divers. Un grand nombre d études expérimentales mettant en évidence une influence du mélange dans des bioréacteurs existe dans la littérature. Dans la grande majorité des cas, ces études se sont consacrées à l étude de la réponse biologique. L hydrodynamique, et par conséquent le mélange, ont rarement été caractérisés dans ces bioréacteurs. Par conséquent, les mécanismes responsables de la modification des performances biologiques ne sont pas clairement identifiés. Nous allons dans cette partie tenter d analyser les expériences de la littérature, à partir des informations disponibles, souvent incomplètes, afin de dégager l influence des différents mécanismes de mélange. La réponse biologique à une modification des paramètres de mélange ne sera pas abordée en détail. On rappelle que l on peut distinguer principalement trois mécanismes de mélange auxquels correspond une échelle de temps particulière (pour plus de détails se référer au Chapitre 1, Section 3.2) : - le macromélange, caractérisé en cuve agitée par le temps de circulation t C, - le mesomélange, dont le temps caractéristique t S dépend de la taille initiale des paquets de fluide non mélangé Λ C et du taux de dissipation ǫ, - le micromélange, dont le temps caractéristique (t E ou t Ds ) dépend du taux de dissipation ǫ et des propriétés du fluide (viscosité ν ou diffusivité D m si l on considère respectivement le micromélange par incorporation ou le micromélange par diffusion). 1.1 Influence du macromélange L influence du macromélange sur les performances biologiques est évidente dans les bioréacteurs de taille industrielle. Des baisses de rendement de production lors de l extrapolation des bioréacteurs ont été mises en évidence dans de nombreux travaux (Larsson et al., 1996; Bylund et al., 1998; Bylund et al., 1999). Avec l augmentation du volume des bioréacteurs, le temps de circulation, temps caractéristique du macromélange, augmente également. Pour exemple, des temps de circulation de l ordre de la minute sont rencontrés dans des bioréacteurs de plusieurs m 3. Par conséquent, des gradients macroscopiques de concentration apparaissent dans les bioréacteurs industriels. Cependant, l augmentation du volume s accompagne souvent d une diminution de la puissance 57

72 Introduction dissipée et donc du taux de dissipation. Le mesomélange ou le micromélange peuvent donc avoir également une influence. Malheureusement, dans les études qui ont comparé les rendements entre les bioréacteurs de laboratoire et les bioréacteurs industriels, ni la vitesse d agitation, ni la puissance dissipée ne sont précisées. Une influence du macromélange semble également être possible dans les bioréacteurs de petite taille utilisés en laboratoire. Wenger & Dunlop (1994) ont mis en évidence une influence de la vitesse d agitation sur la valeur du taux de dilution critique à laquelle apparaît une chute significative du rendement de croissance, c est-à-dire de quantité de biomasse formée par quantité de substrat assimilée. Cependant, la modification de la vitesse d agitation conduit à une modification du taux de dissipation et ainsi des échelles de mesomélange et de micromélange. 1.2 Influence du mesomélange et/ou du micromélange Bourne (2003) suggère que l influence du mesomélange sur une réaction dans un réacteur en fonctionnement fed-batch peut être mise en évidence, de manière expérimentale, en modifiant la position de l injection et le nombre de points d alimentation. D après lui, si la modification de la position de l alimentation entraîne une modification du rendement d une réaction alors le mesomélange a une influence sur la réaction considérée. Un certain nombre d expériences ont montré une influence de la position du point d alimentation en substrat sur les performances biologiques, tant dans des bioréacteurs en fonctionnement fed-batch (Larsson et al., 1996; Bylund et al., 1998; Bylund et al., 1999) que dans des bioréacteurs en fonctionnement continu (Dunlop & Ye, 1990; Wenger & Dunlop, 1994). En fonctionnement continu, Hansford & Humphrey (1966) ont montré que le rendement de conversion du substrat en biomasse est amélioré en utilisant plusieurs points d injection. Cependant, si l on définit le temps de circulation comme le temps mis par un élément de fluide pour parcourir le réacteur avant de revenir dans une zone de référence, une modification de la position du point d alimentation, ou du nombre de points, conduit également à une modification du temps de circulation et donc du macromélange. Une étude menée par Fowler & Dunlop (1988) montre une influence d un mécanisme autre que le macromélange. Les auteurs ont réalisé une culture continue de Saccharomyces cerevisiae dans un réacteur bi-compartimenté composé d un réacteur piston et d un réacteur agité. L alimentation en substrat était effectuée dans le réacteur piston et le soutirage du milieu de culture dans le réacteur agité. Deux cultures ont été réalisées, identiques en tout point en 58

73 1.. Retour sur les expériences de la littérature : Quels mécanismes de mélange? dehors de la présence de grilles dans le réacteur piston pour la seconde. Une concentration moyenne en biomasse différente a été mesurée selon la présence ou non de grilles dans le réacteur piston pour un taux de dilution donné. D une part, la présence de grilles augmente le taux de dissipation dans le réacteur piston, et d autre part, elle conduit à des tailles caractéristiques de mesomélange plus faibles. Le débit de circulation entre les deux réacteurs étant le même pour les deux cultures réalisées, le macromélange n est pas modifié et cette expérience indique donc l influence des mécanismes de mesomélange et/ou de micromélange. Expérimentalement, l influence du mesomélange peut être déterminée de manière claire en jouant sur le temps d alimentation t F défini de la manière suivante (Baldyga & Bourne, 1999; Bourne, 2003) : t F = V F Q F (2.1) V F : volume de la solution d alimentation injecté pendant le temps d alimentation t F Q F : débit d alimentation A débit constant, si le temps d alimentation varie, alors le volume injecté, et par conséquent l échelle de taille initiale du mesomélange Λ C, est également modifiée. Ainsi, si le temps caractéristique du macromélange est plus petit que t F (ce qui indique qu un volume de fluide frais est mélangé avant que le suivant ne soit injecté), une modification du rendement d une réaction lorsque le temps d alimentation est modifié indique une influence du mesomélange (Baldyga & Bourne, 1999). L effet du temps caractéristique de l alimentation sur les réactions biologiques a été étudié chez Escherichia coli par Lin et Neubauer (2000). Une culture fed-batch de bactéries recombinantes E. coli a été réalisée dans un réacteur de volume utile de 4 L. L alimentation en glucose est effectuée soit en mode continu, soit selon un cycle dit rapide d une minute (30 secondes avec alimentation, 30 secondes sans), soit selon un cycle dit lent (2 minutes avec, 2 minutes sans). Le débit d alimentation massique moyen est identique dans les trois cas. Les résultats montrent des différences significatives en fonction du mode d alimentation en terme, notamment, de rendement de croissance. Des résultats similaires ont également été observés par Namdev et al. (1992a) pour Saccharomyces cerevisiae. Une étude identique de Neubauer et al. (1995) a également montré l existence d une réponse métabolique mais sans avoir pour autant constater d effets sur le rendement de conversion du glucose en biomasse, la vitesse spécifique d assimilation ou la masse de cellules formées. Schématiquement, les sous produits formés lors des phases d exposition à des fortes 59

74 Introduction concentrations en glucose étaient reconsommés lorsque la concentration en glucose était faible. On peut ainsi conclure qu il existe un effet du mesomélange mais que la manifestation en terme de conséquences sur le procédé biologique dépend de la nature de la souche (bactérie ou levure) mais aussi de la nature de la molécule cible du procédé biologique. 1.3 Conclusions L analyse de quelques expériences disponibles dans la littérature montre qu il est très difficile de découpler expérimentalement les différents mécanismes de mélange dans un bioréacteur. Deux études ont, cependant, permis de mettre en évidence une influence de mécanismes de mélange autre que le macromélange (Fowler & Dunlop, 1989; Lin & Neubauer, 2000). Pour la première, il n est pas possible de déterminer si la modification des performances biologiques observées est liée au mesomélange, au micromélange ou à ces deux mécanismes. La deuxième montre clairement une influence du mesomélange, sans pour autant éliminer le micromélange. On peut conclure que la plus forte interaction entre mélange et réaction biologique se situe principalement au niveau du macromélange et du mesomélange et peut-être dans certains cas particuliers au niveau du micromélange. Pour autant, cette analyse ne permet pas de prédire les conditions qui vont conduire à une interaction préjudiciable à la performance du procédé. Pour cela, on peut s appuyer sur la comparaison des temps caractéristiques du mélange et de la réaction ce qui fera l objet de la prochaine partie de ce chapitre. 60

75 2.. Analyse des échelles caractéristiques du mélange et de la réaction biologique 2. ANALYSE DES ÉCHELLES CARACTÉRISTIQUES DU MÉLANGE ET DE LA RÉACTION BIOLOGIQUE Il s agit ici de fournir des éléments quantitatifs pour identifier les conditions expérimentales susceptibles de conduire à une interaction entre mélange et réaction biologique. Une méthode en apparence simple pour identifier les interactions éventuelles entre les différents mécanismes de mélange et une réaction consiste à comparer les temps caractéristiques associés à chaque phénomène. Si l on note t M le temps caractéristique associé à un mécanisme de mélange donné (macro-, meso- ou micromélange) et t R le temps caractéristique de la réaction, on peut distinguer trois situations : t M >> t R : la réaction est instantanée ou très rapide par rapport au mécanisme de mélange considéré. Dans cette situation, la vitesse apparente de consommation des réactifs est entièrement déterminée par la vitesse du mélange ; on se trouve en régime limité par le mélange. t M t R : les vitesses de la réaction et du mécanisme de mélange considéré sont du même ordre de grandeur, la vitesse apparente de consommation des réactifs résulte du couplage de ces deux phénomènes. t M << t R : la réaction est lente devant le mécanisme de mélange. Dans ce cas, la vitesse apparente de consommation des réactifs mesurée à l échelle du réacteur correspond précisément à la vitesse de la réaction. Le mécanisme de mélange considéré peut être limitant pour une réaction dans les deux premiers cas de figure, c est-à-dire lorsque la vitesse du mélange est lente ou du même ordre que la vitesse de la réaction. Dans de tels cas, la réaction ne peut avoir lieu qu une fois le mélange accompli. La vitesse apparente (macroscopique) de consommation des réactifs résulte alors d un équilibre entre les cinétiques du mélange et de la réaction. Le temps de micromélange par incorporation correspond à la durée de vie des tourbillons responsables du micromélange. Pendant cette durée de vie, la composition à l intérieur du tourbillon n évolue que sous l effet de la diffusion et de la réaction, aucun apport de concentration de l environnement extérieur ne peut se faire. Ainsi, si le temps de réaction est rapide devant le temps de micromélange par incorporation, les espèces présentes peuvent s épuiser. Si seul le mécanisme de micromélange a un effet direct sur une réaction du fait qu il contrôle la diffusion, les autres mécanismes de mélange, à savoir le macromélange et le mesomélange, peuvent également influencer de manière indirecte le rendement d une réaction. 61

76 Introduction Le macromélange transporte les réactifs à travers un système où les propriétés de la turbulence (notamment le taux de dissipation), et par conséquent la vitesse du micromélange, peuvent varier d une zone à l autre. De plus, si le macromélange est lent, des gradients de concentration peuvent apparaître dans le système et ainsi la composition de l environnement incorporé par les tourbillons responsables du micromélange peut fortement varier d une zone à l autre d un réacteur. Le mesomélange, quant à lui, détermine l environnement du micromélange, c est-à-dire la composition du fluide incorporé par les tourbillons responsables du micromélange. Il détermine également, en réduisant la taille initiale des domaines de ségrégation, la vitesse à laquelle le fluide frais alimentant le réacteur devient disponible pour le micromélange, et a fortiori pour la réaction biologique. 2.1 Échelles caractéristiques du mélange dans les bioréacteurs Les cultures biologiques sont généralement menées dans des réacteurs agités et aérés. Les réacteurs utilisés en laboratoire ont des volumes utiles de quelques litres et sont souvent équipés d un seul agitateur. A l échelle industrielle, les volumes utilisés sont compris entre quelques m 3 et plusieurs centaines de m 3. Du fait de ces gros volumes, les bioréacteurs industriels sont équipés d un mobile d agitation comprenant plusieurs agitateurs (2 à 4 selon le volume et le type d agitateur utilisé). Différents types d agitateurs peuvent être rencontrés, mais on considérera, dans la suite de ce travail, une turbine de Rushton (agitateur à disque et 6 pales droites). Cet agitateur à débit radial est couramment utilisé dans les procédés biologiques du fait de sa forte puissance dissipée, permettant un mélange et une dispersion de gaz efficaces. Les expressions des temps caractéristiques des mécanismes de mélange sont rappelées dans le tableau 2.1. Afin d estimer les différentes échelles de taille et de temps, il est nécessaire de faire plusieurs hypothèses : 1. Le temps caractéristique du macromélange peut être assimilé au temps de circulation. Il correspond au temps mis par un élément de fluide, ou dans notre cas d étude par un microorganisme, pour parcourir le réacteur avant de revenir dans une zone de référence. Il dépend donc de la zone de référence choisie (zone proche de l alimentation ou zone de l agitateur par exemple). Cependant, n ayant pas de données expérimentales 62

77 2.. Analyse des échelles caractéristiques du mélange et de la réaction biologique disponibles dans les bioréacteurs auxquels on s est intéressé, le temps de circulation a été déterminé à partir du volume utile V, du nombre de pompage N QP ou de circulation N QC, de la vitesse d agitation Net du diamètre de l agitateur D. Le temps de mélange macroscopique t m aurait pu être choisi, mais l ordre de grandeur est le même que celui du temps de circulation (t m 4t C ). 2. En toute rigueur, l échelle de taille caractéristique du mesomélange correspond à la taille des paquets de fluide non mélangés Λ C introduits lors de l alimentation. Sa détermination étant particulièrement difficile et les informations disponibles dans la littérature souvent insuffisantes, nous considérerons comme taille caractéristique du mesomélange la macroéchelle turbulente Λ. En cuve agitée, la taille de la macroéchelle est du même ordre de grandeur que la hauteur des pales de l agitateur w (Baldyga & Pohorecki, 1995; Bourne, 2003). Nous prendrons donc Λ = w. 3. Le mélange aux plus petites échelles dépend du coefficient de diffusion D m des espèces considérées. Si on considère le glucose, les coefficients de diffusion dans l eau peuvent varier de 0, à m 2.s 1 selon les sources. Le coefficient de l oxygène est quant à lui de 10 9 m 2.s 1. Afin de simplifier les calculs, tous les calculs seront effectués avec un coefficient de diffusion unique D m = 10 9 m 2.s 1, en assimilant le milieu de culture à de l eau (ν = 10 6 m 2.s 1 ), soit un nombre de Schmidt Sc = ν/d m = Le taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente est un des principaux paramètres Mécanismes Échelles de temps Équations V Macromélange t C N QC N D 3 ( )1 Mesomélange par 3 Λ 2 3 t S désintégration 4 ǫ Micromélange par ( ν )1 2 t E 17 ǫ incorporation Micromélange par diffusion t Ds 2 ( ν ǫ )1 2 arcsinh(0, 05Sc) Tableau 2.1 Expressions des échelles de taille et de temps caractéristiques des mécanismes de mélange turbulent 63

78 Introduction influençant le mélange. Une valeur peut être estimée à partir du nombre de puissance (Equation 2.2). Néanmoins, cette valeur est une moyenne dans l ensemble du volume, or, dans une cuve agitée, la répartition du taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente est loin d être homogène : il est très fort dans le jet créé par l agitateur, et significativement plus faible en-dehors. ǫ V = P ρv = N P N 3 D 5 V (2.2) De plus, l aération peut affecter la puissance dissipée par un mobile d agitation. Dans les bioréacteurs, l aération est relativement importante (jusqu à 20 % de rétention gazeuse) et diminue ainsi le taux de dissipation global du bioréacteur. Junker (2004) rapporte que la puissance dissipée en milieu aéré équivaut à environ 70 % de la puissance dissipée dans de l eau pour des réacteurs équipés de Rushton de volumes de 280 et 800 L. La réduction est d environ 50 % pour des volumes supérieurs à 1 m 3. Localement, l influence de l aération sur le taux de dissipation et ainsi sur les échelles de micromélange est contradictoire : selon la vitesse d agitation et le débit d air, le micromélange est soit accéléré soit ralenti par la présence de bulles de gaz (Dunlop & Ye, 1990). L objectif ici étant d avoir un ordre de grandeur, nous considérerons un milieu liquide monophasique sans prendre en compte l influence d une phase gazeuse sur les échelles de mélange. Nous avons choisi d étudier les échelles de mélange dans deux bioréacteurs de volume différents : - un bioréacteur industriel de volume utile de 20 m 3, utilisé pour des cultures fed-batch de Saccharomyces cerevisiae (Larsson et al., 1996) et de Escherichia coli (Xu et al., 1999b). Il a également été modélisé dans le cas d une culture de Escherichia coli par Vrabel et al. (2001) en couplant un modèle métabolique pour la réaction biologique et un modèle de compartiment pour la représentation de l hydrodynamique interne. A partir de ces trois publications, nous avons pu récolter les informations nécessaires pour le calcul des échelles de mélange. - un bioréacteur de laboratoire de volume utile de 3 L. On utilisera un taux de dissipation moyen identique au taux de dissipation du bioréacteur industriel. La vitesse d agitation correspondante est N = 12,5 s 1 (750 rpm), elle correspond à la gamme de vitesses que l on peut rencontrée dans la littérature. Les dimensions des bioréacteurs, ainsi que les paramètres nécessaires aux calculs des échelles 64

79 2.. Analyse des échelles caractéristiques du mélange et de la réaction biologique Bioréacteur de laboratoire Bioréacteur industriel V (m 3 ) 0, a T (m) 0,16 2,1 a H (m) 0,16 7,3 a D (m) 0,05 0,7 a W (m) 0,01 0,149 a N (m 1 ) 12,5 2,2 a ǫ V (m 2.s 3 ) 1,3 1,3 b a d après (Larsson et al., 1996), b d après (Vrabel et al., 2001) Tableau 2.2 Dimensions et paramètres de fonctionnement des bioréacteurs pour le calcul des échelles de mélange. de mélange sont répertoriés dans le tableau 2.2. Les informations marquées d une lettre en exposant correspondent à des données disponibles dans les différents articles précités. Les dimensions du bioréacteur industriel et la vitesse d agitation sont précisées dans l article de Larsson et al. (1996). Il est équipé de 4 turbines de Rushton espacées régulièrement sur la hauteur de la cuve. Le taux de dissipation a été calculé par Vrabel et al. (2001) à partir de la puissance électrique consommée et de la puissance liée à l injection de gaz dans le bioréacteur. Pour le bioréacteur de laboratoire, nous considérerons une cuve agitée avec une seule turbine de Rushton dont la configuration répond au standard de Rushton, à savoir la hauteur de liquide est égale au diamètre de la cuve (H = T = (4V/π) 1/3 ), le diamètre de l agitateur est égal au tiers du diamètre de la cuve (D = T/3) et la hauteur des pales est égale au cinquième du diamètre de l agitateur (w = D/5). Le taux de dissipation ǫ V étant fixé, on peut en déduire la vitesse d agitation N d après l équation 2.2. Afin de traduire l hétérogénéité de taux de dissipation existant dans une cuve agitée, les échelles de mesomélange et de micromélange ont été calculées pour trois taux de dissipation : (1) le taux de dissipation moyen ǫ V, (2) un taux de dissipation 10 fois supérieur 10ǫ V et (3) un taux de dissipation 10 fois inférieur ǫ V /10. Cette question de l hétérogénéité spatiale sera abordée en détail dans la première partie du chapitre 4. 65

80 Introduction 2.2 Echelles caractéristiques des réactions biologiques La détermination d un temps pour caractériser la réaction biologique s avère assez délicat. Une réaction biologique se compose en fait d un ensemble de réactions chimiques à l intérieur d une cellule microbienne. Il est donc en théorie possible de définir plusieurs temps de réactions, selon que l on s intéresse à la croissance des microorganismes, la consommation de substrat, la production de métabolites ou d enzymes... L existence d une large gamme d échelle de temps associée à la multitude des phénomène biologiques qui se produisent au sein d un microorganisme est largement reconnue depuis les travaux de Roels (1982). Cependant, aucune description précise et complète, au vu du nombre important de réactions mises en jeu, n étant disponible, la cinétique d une réaction biologique est souvent décrite à partir d un bilan-matière (sur la concentration en biomasse et en substrat le plus souvent) réalisé dans la phase liquide et sur l ensemble du réacteur. La cinétique de la croissance d une population de microorganismes est caractérisée par sa vitesse spécifique de croissance µ X (exprimée en h 1 ) de la manière suivante : dx dt = µ X X (2.3) En considérant une vitesse spécifique de croissance maximale, le temps caractéristique de la croissance peut alors être défini par : t R,X = 1 µ Xmax (2.4) La vitesse spécifique maximale de croissance de nombreux microorganismes est comprise entre 0,3 et 0,6 h 1. Les temps caractéristiques correspondants sont alors de l ordre de 3,3 et 1,6 h respectivement. Ces temps sont largement supérieurs aux temps de mélange, quelle que soit l échelle considérée. Un effet de mélange ayant été clairement démontré dans la littérature (voir Section 2. du Chapitre 1), ce temps de réaction n est donc pas pertinent pour étudier l interaction entre mélange et réaction biologique. Le mélange définissant la composition de l environnement des microorganismes, l effet du mélange sur une réaction biologique peut donc se traduire sur la consommation des 66

81 2.. Analyse des échelles caractéristiques du mélange et de la réaction biologique nutriments par les microorganismes, en particulier au niveau du substrat carboné car cet élément est généralement apporté dans le milieu au cours des cultures et son transport jusqu aux cellules dépend donc des mécanismes de mélange. La cinétique de consommation de substrat carboné est décrite par une loi de type Monod de la manière suivante : ds dt = q S S X = q Smax X (2.5) S + K S q S : vitesse spécifique d assimilation du substrat (gs.gx 1.h 1 ) q Smax : vitesse maximale d assimilation du substrat (gs.gx 1.h 1 ) X : concentration en biomasse (gx/l) S : concentration en substrat (gs/l) K S : constante d affinité pour le substrat (gs/l) Le temps caractéristique de consommation du substrat carboné peut donc être défini par l équation 2.6 en considérant une vitesse spécifique de consommation maximale. t R,S = S q Smax X (2.6) Le temps de réaction ainsi défini dépend à la fois de la concentration en substrat et de la concentration en microorganismes. Dans le cas de cultures fed-batch, la concentration en microorganismes augmente au cours du temps. Par conséquent, le temps caractéristique de la réaction diminue avec la concentration en microorganismes (la concentration en substrat carboné augmente en fin de culture mais de manière beaucoup moins significative que la concentration en cellules). Le mélange peut alors avoir une influence plus importante en fin de culture. La vitesse maximale de consommation du substrat que nous avons utilisé est q Smax = 2,4 gs.gx 1.h 1. Elle a été déterminée expérimentalement à partir d une culture fed-batch de Saccharomyces cerevisiae réalisée dans un bioréacteur de volume 10 L (Pham et al., 1998). Il est important de noter que les vitesses maximales d assimilation sont déterminées à partir d un bilan-matière réalisé sur l ensemble du réacteur. Ce sont donc des vitesses globales moyennées sur la population de microorganismes et non des vitesses locales de consommation. Les mesures étant réalisées dans des réacteurs de petite taille, il est généralement assumé que ces vitesses sont représentatives de toute la population. Cependant, des disparités de valeurs sont répertoriées dans la littérature. Elles peuvent venir éventuellement des souches utilisées, de la composition du milieu de culture, etc. mais également des conditions hydrodynamiques 67

82 Introduction dans lesquelles les microorganismes sont cultivées et de l effet d histoire des microorganismes. En effet, si la culture est limitée l affinité pour le substrat augmente (Ferenci, 1999). Selon le mode de culture des microorganismes (batch, fed-batch ou continu), les vitesses maximales de consommation du susbtrat carboné diffèrent. En effet, le mode fed-batch conserve les cellules au sein du réacteur tout au long de la culture, contrairement à un continu. De plus, contrairement à un batch, il peut exister des hétérogénéités de concentration entretenues du fait de l alimentation en continu du substrat carbone. Par conséquent, certains auteurs pointent à la fois des réponses biologiques quasi instantanées aux modifications des conditions de mélange mais aussi des réponses à plus long terme qui témoignent d une capacité d adaptation de la population aux conditions de mélange particulières auxquelles les microorganismes sont confrontées. Par exemple, Neubauer et al. (1995b) montrent que la vitesse maximale d assimilation du glucose est différente entre une culture batch et une culture fed-batch d Escherichia coli. Ils ont réalisé une culture fed-batch dans un réacteur compartimenté constitué d un réacteur agité (faiblement concentré en substrat) et d un réacteur piston où l alimentation en substrat est réalisé (et donc fortement concentré). Dans cette configuration, la vitesse maximale d assimilation mesurée varie de 3 à 13 gs.gx 1.h 1 alors que celle mesurée en batch n est que de 2 gs.gx 1.h 1. Les auteurs expliquent leur résultats par une augmentation de l activité des différents mécanismes de transport du glucose en relation avec les limitations subies dans le réacteur agité. Le temps de séjour dans le réacteur agité où les concentrations sont faibles était, cependant très long (27 mn) et non représentatif des temps de séjour dans des bioréacteurs industriels. Néanmoins, cette étude met en évidence la difficulté de définir des cinétiques biologiques et par conséquent des temps caractéristiques pour une réaction biologique qui sont applicables à toutes les situations, quel que soit le mode de fonctionnement ou quelle que soit la taille du bioréacteur. Lin et al. (2001) montrent, de plus, que la vitesse maximale d assimilation est non constante tout au long d une culture fed-batch d Escherichia coli limitée en substrat carboné. 2.3 Comparaison des temps caractéristiques Afin d évaluer l influence du mélange sur un procédé biologique, on peut appliquer l approche utilisée pour les réactions chimiques qui consiste à comparer les échelles de temps caractéristiques des phénomènes mis en jeu. Cependant, il faut noter que la réaction biologique présente certaines particularités par rapport à une réaction chimique. Les réactions chimiques sont généralement des réactions moléculaires. Elles se déroulent donc à des échelles de taille largement plus petites que les échelles caractéristiques des mécanismes de mélange. 68

83 2.. Analyse des échelles caractéristiques du mélange et de la réaction biologique A l inverse, la grande majorité des réactions impliquées dans le fonctionnement d un microorganisme ne se déroule pas dans le milieu de culture mais dans la cellule elle-même. Par conséquent, un des pré-requis pour que l approche présentée précédemment s applique est que la taille des microorganismes soit plus petite que la taille des échelles caractéristiques des mécanismes de mélange. Les échelles caractéristiques des mécanismes de mélange sont présentées dans le tableau 2.3 et les temps caractéristiques de l assimilation du substrat dans le tableau 2.4. Les microorganismes auxquels on s est intéressé, à savoir Escherichia coli et Saccharomyces cerevisiae, ont des diamètres moyens de l ordre de 5 et 10 microns respectivement. Si on compare ces diamètres moyens aux tailles caractéristiques des mécanismes de mélange (Tableau 2.3 (c)), on remarque que les microorganismes sont plus gros que les échelles de Batchelor qui caractérisent le micromélange par diffusion. Ils sont cependant plus petits que les échelles de Kolmogorov caractérisant le micromélange par incorporation. Le micromélange est donc le mécanisme responsable du transfert des réactifs jusqu aux cellules microbiennes. Si l on compare les temps caractéristiques des mécanismes de mélange (Tableau 2.3) aux temps caractéristiques de l assimilation du substrat par S. cerevisiae, on peut distinguer plusieurs situations : t C < t R,S : la réaction biologique est lente par rapport au macromélange. Les autres mécanismes de mélange étant plus rapides que le macromélange, le réacteur est parfaitement macromélangé et parfaitement micromélangé. Autrement dit, il n existe aucune hétérogénéité de concentration, quelle que soit l échelle. Cette situation survient en particulier lorsque la concentration en cellule est faible et la concentration en substrat importante. On peut remarquer que si cette situation est envisageable dans un petit biroéacteur, dans un bioréacteur industriel, la probabilité que le macromélange n ait aucune influence est très peu probable. t S < t R,S < t C : la réaction biologique est rapide par rapport au macromélange. Ceci implique que des gradients de concentration en substrat apparaissent à l échelle du réacteur. Le réacteur est mal macromélangé et il existe des régions de concentration différente, mais chaque région est bien micromélangée. Au cours de leur déplacement dans le réacteur, les cellules sont ainsi soumises à des variations de la concentration de leur environnement avec une fréquence de 69

84 Introduction (a) Macromélange et mesomélange - Bioréacteur industriel ǫ V ǫ 10 V 10ǫ V Λ (m) 0,14 0,14 0,14 t C (s) t S (s) 0,4 0,2 0,1 (b) Macromélange et mesomélange - Bioréacteur de laboratoire ǫ V ǫ 10 V 10ǫ V Λ (m) 0,01 0,01 0,01 t C (s) 0,8 0,8 0,8 t S (s) 0,07 0,03 0,02 (c) Micromélange ǫ V 10 ǫ V 10ǫ V η K (m) t E (s) 0,05 0,015 0,005 η B (m) 1, , , t Ds (s) 0,026 0,008 0,003 Tableau 2.3 Échelles de taille et de temps des mécanisme de mélange pour un bioréacteur de taille industrielle et un bioréacteur de laboratoire (ǫ V = 1,3 m 2.s 3 ). 70

85 2.. Analyse des échelles caractéristiques du mélange et de la réaction biologique X (gx.l 1 ) ,5 0,8 0,4 0,3 0,2 0,1 10 3,0 1,5 0,8 0,5 0,4 0,3 S (mgs.l 1 ) 20 6,0 3,0 1,5 1,0 0,8 0,6 30 9,0 4,5 2,3 1,5 1,1 0, ,0 6,0 3,0 2,0 1,5 1, ,0 7,5 3,8 2,5 1,9 1,5 Tableau 2.4 Temps caractéristique (s) de la réaction associé à la consommation du substrat carboné (glucose). l ordre de 1/t C. Dans certains cas, en particulier si la concentration cellulaire est élevée, il peut y avoir épuisement du substrat entre deux passage dans la zone d alimentation. Une telle situation est typique des bioréacteurs industriels en fonctionnement fed-batch. Du point de vue de la représentation du bioréacteur, cette situation conduit naturellement à définir une compartimentation du volume réactionnel en zones de concentrations différentes. t E < t R,S < t S : la réaction biologique est rapide face au temps nécessaire pour réduire l échelle intégrale de concentration. Schématiquement, au cours de leur mouvement dans le réacteur, l environnement des cellules va être rechargé en fluide frais à une fréquence de l ordre de 1/t S. On peut noter que la taille initiale des paquets de fluide injectés n est pas seule en cause. Les caractéristiques locales de la turbulence vue par les paquets de fluide frais le long de leur trajectoire déterminent également en grande partie la distribution de concentration (Fox, 2003). Une telle situation est probable dans les bioréacteurs de taille industrielle, car les échelles intégrales sont directement liées à la géométrie et au volume de la cuve. Dans les bioréacteurs de laboratoire, une interaction ne semble possible que pour des concentrations en biomasse élevées et des concentrations en substrat très faibles, bien que certaines expériences tendent à montrer que le mesomélange a un impact pour des concentrations en biomasse plus faibles (cf. Section

86 Introduction ). Cependant, si la vitesse d agitation utilisée, et par conséquent le taux de dissipation moyen, sont plus faibles, une influence du mesomélange est tout à fait possible dans des bioréacteurs de petit volume. t Ds < t R,S < t E : la réaction étant rapide par rapport à la vitesse de micromélange, l environnement direct des microorganismes peut s épuiser sur une durée correspondant à la durée de vie des tourbillons. Au vu des temps de réaction, cette situation ne semble pas envisageable avec les valeurs de la puissance dissipée généralement rencontrées dans les bioréacteurs, en dehors d une très faible concentration en substrat et une forte concentration en biomasse à la fin de culture. 2.4 Synthèse La comparaison des temps caractéristiques des processus de mélange et de réaction s avère délicate lorsqu on veut appliquer cette approche à la réaction biologique. En effet, à la complexité du mélange, s ajoute la complexité de la réaction biologique. Un microorganisme est capable d adapter son comportement à l environnement dans lequel il vit. Par conséquent, il est difficile de décrire la cinétique biologique de manière indépendante des conditions dans laquelle elle a été déterminée. Les valeurs des paramètres cinétiques calculées ne sont donc pas purement liées aux phénomènes biologiques mais représentent l effet combiné du mélange, conditionnant la composition du milieu, et de l adaptation des microorganismes à ce milieu. Cette constatation permet d expliquer en partie la grande variabilité observée en pratique sur certains paramètres biologiques globaux tels que les vitesses maximales d assimilation ou l affinité pour le substrat. Malgré ces difficultés, on peut dégager certaines conclusions en ce qui concerne l influence des mécanismes de mélange. L influence du macromélange est inévitable dans les bioréacteurs industriels du fait de leur grande taille. Il peut également avoir un effet à petite échelle, bien que, parmi les travaux cités, aucune hétérogénéité n ait été détectée. L effet du mesomélange est très probable à l échelle industrielle, mais ne semble pas prédominant dans de petits bioréacteurs où la vitesse d agitation est élevée. Par contre, à faible vitesse d agitation, il est probable que ce mécanisme ait un effet, ce qui explique qu il ait été mis en évidence de manière expérimentale dans certaines études. Enfin, le micromélange n a pas, à première vue, d influence significative sur une réaction biologique à part dans des situations extrêmes : concentration en substrat très limitante et très 72

87 2.. Analyse des échelles caractéristiques du mélange et de la réaction biologique forte concentration en cellules. Il faut, cependant, garder en mémoire que les échelles de mélange ont été calculées à partir de la moyenne volumique du taux de dissipation. Or, le taux de dissipation est hétérogène dans une cuve agitée. Les échelles de mélange n étant pas une fonction linéaire du taux de dissipation, rien n indique que l ordre de grandeur des échelles estimé à partir du taux de dissipation moyen soit réellement représentatif des valeurs locales. 73

88 Introduction 3. CONCLUSIONS : QUE VOIT LES MICROORGANISMES PENDANT LEUR PARCOURS? Il est maintenant possible de se formuler une image de ce qui se produit pour un paquet de fluide frais injecté dans le bioréacteur : au point d alimentation du bioréacteur, l écoulement présente certaines caractéristiques en terme de turbulence. Notamment, l échelle intégrale et le débit d alimentation contrôlent la taille initiale du paquet de substrat. Ce paquet de substrat frais est incorporé dans un élément fluide contenant des microorganismes. Pour l instant, ces deux volumes sont totalement distincts (la ségrégation est complète). L élément fluide ainsi formé est transporté par l écoulement et les tourbillons présents vont le fragmenter. L intensité de ce phénomène est liée à la valeur locale du taux de dissipation rencontré le long de sa trajectoire par l élément de fluide. Jusqu ici, les microorganismes qui voyagent avec l élément fluide en question n ont pas encore vu le substrat et le volume fluide reste complètement ségrégé. Progressivement cependant, les plus petits paquets formés vont être incorporés au milieu de culture dans des structures où dominent les effets de convection et de diffusion. Ces phénomènes vont rapidement conduire à l homogénéisation des substrat et des cellules. La consommation peut alors se produire. En d autres termes, l assimilation du substrat ne peut se faire que sous les plus petites échelles de la turbulence. L alimentation de ces petites structures est contrôlée par l apport de grandes structures de sorte qu en chaque point du réacteur existe dans un volume élémentaire à la fois des paquets de fluides frais de différentes tailles et des paquets de fluide où le mélange entre cellules et substrat est suffisamment intime pour que la consommation de ce dernier ait lieu. En chaque point du réacteur, l écoulement amène et emporte des paquets de fluide de toute taille et de toute composition ; la turbulence assure la fragmentation des plus gros et l homogénéisation des plus petits, les cellules puisent le substrat dans les paquets homogénéisés. Si la consommation est intense, elle peut épuiser très rapidement le substrat dans l environnement immédiat des cellules avant que ce dernier ne soit réalimenté. A l issu de cette analyse qualitative, il nous a semblé important de transformer ce scénario qualitatif en proposant une méthode susceptible d apporter des données quantitatives sur l environnement vu par les microorganismes le long de leur trajectoire. En effet, c est une information nécessaire à une modélisation dynamique du fonctionnement des microorganismes, modélisation qui restera, elle, hors du cadre de ce travail. Naturellement, nous nous sommes attachés à utiliser pour cet objectif la simulation numérique de l écoulement turbulent généré dans une cuve agitée. 74

89 3.. Conclusions : Que voit les microorganismes pendant leur parcours? Ce domaine n est pas vierge. On trouve dans la littérature de nombreux travaux, tant expérimentaux que numériques, qui se sont attachés à caractériser l hydrodynamique locale d une cuve agitée. Parmi les travaux numériques, on voit apparaître de plus en plus d articles traitant de la Simulation aux Grandes Échelles, ou Large Eddy Simulation (LES). Avec le développement de la puissance des ordinateurs, la LES, longtemps limitée à la simulation de petits volumes, devient applicable à une plus grande variété d installation. Les résultats présents dans la littérature étant très encourageants, nous avons donc mis en oeuvre cette technique, disponible dans le code de calcul FLUENT afin de caractériser, à l échelle la plus fine possible, l environnement de microorganismes cultivés dans une cuve agitée. Un des grands avantages de la LES par rapport aux simulations plus classiques du type k-epsilon, est que l écoulement résolu est instantané et prend en compte une partie des échelles turbulentes responsables du mélange. L objectif du chapitre suivant est de confronter, pour validation, les résultats de simulation à des mesures expérimentales préalablement acquises dans notre laboratoire. Les résultats seront ensuite exploités dans le chapitre 4 afin de caractériser l environnement local de microorganismes. 75

90

91 CHAPITRE 3 HYDRODYNAMIQUE D UNE CUVE AGITÉE : SIMULATIONS ET VALIDATION Ce chapitre est consacré à la mise au point et l analyse de la simulation aux grandes échelles (SGE) ou Large Eddy Simulation (LES) pour la caractérisation de l hydrodynamique et du mélange dans une cuve agitée. Une des particularités de la LES, qui fait qu elle est intéressante pour caractériser le mélange, est qu elle résout des champs de vitesse instantanés comprenant la contribution des plus grandes échelles de l écoulement. Afin de comparer la LES à ce qui se fait de plus classique dans le cadre de la simulation des cuves agitées, une simulation basée sur les équations de Navier-Stokes en moyenne de Reynolds (RANS) avec le modèle de fermeture k-epsilon a également été réalisée. La cuve considérée dans ce travail est une cuve de dimensions standardisées (standard de Rushton) équipée d une turbine de Rushton (turbine à 6 pales droites avec disque) et de quatre chicanes planes collées à la paroi et réparties à équidistance les unes des autres. Les bioréacteurs industriels ont généralement une géométrie qui s éloigne du standard de Rushton. Cependant, il existe peu de données expérimentales pour leur configuration, alors que la littérature contient de nombreuses références, tant expérimentales que numériques, dans le cas d une cuve standard. Une base de données expérimentale a été obtenue par Particule Image Vélocimétrie (PIV) au cours d une précédente thèse menée au laboratoire dans la même configuration de cuve (Escudié, 2001). Cette base de données a été obtenue dans le jet de l agitateur et est, entre autres, constituée de champs de vitesses et d énergie cinétique. Le taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente a été estimé à partir de bilans d énergie cinétique mais n a pas été mesuré directement dans ces travaux. Récemment, des travaux expérimentaux, également réalisés par PIV, mais avec une fréquence d acquisition plus élevée et une meilleure résolution, ont permis de déterminer directement le taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente dans le jet de l agitateur (Huchet, non publié). Ces nouvelles données en outre ont confirmé la validité des données de R. Escudié (2001) en terme de champs de vitesses moyens. 77

92 Introduction En terme de simulations, des études disponibles dans la littérature ont montré que la simulation RANS reproduit de manière correcte les champs de vitesses moyennes dans la décharge de l agitateur. Cependant, les résultats en terme d énergie cinétique turbulente et de son taux de dissipation sont peu satisfaisants (Jenne & Reuss, 1999; Essemiani, 2000; Ranade, 1997; Hartmann et al., 2004). Des références sont également disponibles sur l application de la LES pour les simulations d écoulement en cuves agitées par une turbine de Rushton, mais les résultats concernent principalement les champs de vitesses et l énergie cinétique (Revestedt et al., 1998; Hartmann et al., 2004; Derksen & van den Akker, 1999; Derksen, 2001; Yoon et al., 2003; Yeoh et al., 2004). Le taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente a été peu étudié, d une part parce que la détermination des valeurs locales est difficile expérimentalement, et d autre part parce que sa détermination par la simulation LES est sujette à caution. Dans un premier temps, nous présenterons la mise au point des simulations réalisées, des modèles de turbulence jusqu à la méthode numérique utilisés par FLUENT, en passant par la conception du maillage. Dans un second temps, nous évoquerons le traitement de données qu il est nécessaire d effectuer afin de valider nos données de simulations. Enfin, nous comparerons nos résultats de simulations aux données expérimentales disponibles en terme notamment de vitesse, d énergie cinétique et de taux de dissipation. Une partie des résultats de ce chapitre a fait l objet d un article publié dans un acte de congrès (Delafosse et al., 2007) et d un article accepté pour une conférence et, en cours de review pour un journal international. 78

93 1.. Simulations numériques d une cuve agitée : Mise en oeuvre 1. SIMULATIONS NUMÉRIQUES D UNE CUVE AGITÉE : MISE EN OEUVRE La résolution numérique de l écoulement dans une cuve agitée par une turbine de Rushton a été réalisée avec le code de calcul commercial FLUENT. Nous avons choisi de mettre en oeuvre deux modèles de turbulence disponibles dans ce logiciel. Le premier (modèle k-epsilon) propose une fermeture au point par une loi algébrique de viscosité turbulente des équations de Navier-Stokes en moyenne de Reynolds (RANS), et le second (LES, Large Eddy Simulation) repose sur la résolution directe des grandes échelles de la turbulence et sur la modélisation des petites échelles. Dans cette partie, nous évoquons dans un premier temps les modèles de turbulence utilisés. Dans un second temps, sont présentés la géométrie de la cuve et de l agitateur étudiés, ainsi que le maillage réalisé pour les simulations numériques. Pour finir, la méthode numérique ainsi que les paramètres associés sont abordés. 1.1 Paramètres des modèles de turbulence Un écoulement turbulent peut être décrit en résolvant les équations de conservation de la masse (Équation 3.1) et de quantité de mouvement de Navier-Stokes (Equations 3.2). Les équations présentées sont celles pour un fluide Newtonien incompressible. Afin d alléger les notations, les termes de sommation sur i ont été omis. u i x i = 0 (3.1) u i t + u j u i x j = 1 ρ p x i + ν 2 u i x 2 j (3.2) u i : composante dans la direction i de la vitesse instantanée locale p : pression ρ : masse volumique du fluide ν : viscosité cinématique La résolution directe de ces équations pour un écoulement turbulent est extrêmement coûteuse en terme de temps de calcul et n est aujourd hui réalisable que pour des volumes infimes. En effet, la discrétisation spatiale et temporelle doit être de l ordre des plus petites échelles 79

94 Introduction turbulentes à savoir les échelles de Kolmogorov, dont la taille caractéristique est de l ordre de quelques microns, et l échelle temporelle de l ordre de quelques millisecondes. Afin de réduire les temps de calcul et de permettre la simulation numérique dans de gros volumes, des modèles de turbulence sont utilisés. Les modèles de turbulence les plus courants sont basés sur les équations de Navier-Stokes en moyenne de Reynolds (ou équations RANS). Ce type de modèle résout l écoulement moyen tandis que toutes les échelles turbulentes sont modélisées. Avec l amélioration des moyens de calcul, la résolution directe d une partie des échelles turbulentes devient possible. La simulation des grandes échelles ou LES (Large Eddy Simulation) permet, comme son nom l indique, de résoudre les plus grosses échelles turbulentes et de ne modéliser que les plus petites Simulation RANS Les modèles de turbulence basés sur l approche statistique de Reynolds considèrent que la vitesse locale instantanée peut être décomposée en une composante locale moyenne et une composante turbulente fluctuante ou aléatoire (cf. Équation 3.3). u i (x,t) = u i (x) + u i(x,t) (3.3) En injectant cette décomposition dans les équations de Navier-Stokes (3.2) et après moyenne, on obtient les équations RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes Equations) décrivant l évolution de la vitesse locale moyenne (Equation 3.4). u i t + u j u i x j = 1 ρ p + ν 2 u i u i u j (3.4) x i x 2 j x j En l état, les équations 3.4 sont dites non-fermées (plus d inconnues que d équations) et ne peuvent être résolues. Il est alors nécessaire d utiliser un modèle de fermeture afin d équilibrer le nombre d équations et d inconnues. Le modèle de fermeture utilisé dans ce travail pour la simulation RANS est le modèle k- epsilon standard de FLUENT. Il est basé sur le concept de viscosité turbulente (hypothèse de Boussinesq). Cette hypothèse conduit à calculer les composantes du tenseur de Reynolds à partir des gradients de vitesse moyenne résolus. Le tenseur de Reynolds est alors modélisé par l équation 3.5 et la viscosité turbulente par l équation

95 1.. Simulations numériques d une cuve agitée : Mise en oeuvre τ ij = ρu i u j = ρν T ( ui + u ) j ρ x j x i 3 δ ij u j u j (3.5) ν T = C µ k 2 ǫ (3.6) Cette définition de la viscosité turbulente nécessite la résolution, en plus des équations de conservation de la quantité de mouvement (Équation 3.7), des équations de transport de l énergie cinétique turbulente k (Équation 3.8) et de son taux de dissipation ǫ (Équation 3.9). On parle ainsi de modèle de fermeture à deux équations, car le calcul de la viscosité turbulente fait appel à deux grandeurs supplémentaires : l énergie cinétique turbulente et son taux de dissipation. u i t + u j u i x j = 1 ρ p 2 k + x i 3 x i x j [ ( ui (ν + ν T ) + u )] j x j x i (3.7) k t + u j k = x j x j ( ν + ν ) T k + ν T σ k x } {{ j 2 } Diffusion de k ) 2 ( ui + u j x j x } {{ i } Production de k ǫ }{{} Dissipation de k (3.8) ǫ t + u j ǫ = x j x j ( ν + ν T σ } {{ ǫ } Diffusion de ǫ ( ui + u ) 2 j x j x } {{ i } Production de ǫ ) ǫ ǫ ν T +C ǫ1 x j k 2 ǫ 2 C ǫ2 } {{ k} Dissipation de ǫ (3.9) Les valeurs des constantes utilisées dans les équations du modèle sont répertoriées dans le tableau 3.1. Ce modèle et les constantes associées ont été initialement proposés par Launder et Spalding en 1974 et le modèle k-epsilon est aujourd hui largement utilisé pour la simulation d écoulements industriels variés. C ǫ1 C ǫ2 C µ σ k σ ǫ Tableau 3.1 Valeurs des constantes du modèle k-epsilon implémenté sous FLUENT. 81

96 Introduction Large Eddy Simulation La simulation des grandes échelles ou Large Eddy Simulation est une alternative intéressante entre la simulation directe et l utilisation de modèles de turbulence de type RANS. Contrairement aux simulations basées sur des modèles de fermeture, la LES permet de résoudre les champs instantanés jusqu à une certaine échelle de coupure sans faire appel à des modèles. En dessous de cette échelle de coupure, des modèles de sous-maille sont néanmoins nécessaires pour prendre en compte l influence des petites échelles sur les grandes échelles résolues directement. Chaque variable locale instantanée φ à résoudre doit donc être décomposée en une composante de grande échelle ou composante résolue φ et une composante de petite échelle ou composante de sous-maille φ (Équation 3.10). φ(x,t) = φ(x,t) + φ (x,t) (3.10) Il est important de noter que, ici, φ(x, t) ne représente pas une moyenne temporelle invariante dans le temps. Cette variable filtrée ou résolue contient les fluctuations liées à toutes les échelles turbulentes résolues directement. La LES implique l utilisation d une méthode de filtrage pour séparer les échelles résolues des échelles modélisées. Sous FLUENT, la méthode de résolution des volumes finis définit implicitement la fonction de filtrage. L écoulement est résolu directement pour les tourbillons d échelle l supérieure à la taille des mailles. Le champ filtré, c est-à-dire résolu, d une variable φ dans une cellule du maillage est alors défini par : Si l > x φ(x) = 1 φ(x )dx (3.11) V Si l < x φ(x) = 0 (3.12) V : volume d une maille x : taille d une maille φ(x) : composante résolue de la variable φ En appliquant, la décomposition 3.10 aux équations de Navier-Stokes on obtient les équations de Navier-Stokes filtrées (Equation 3.13). 82

97 1.. Simulations numériques d une cuve agitée : Mise en oeuvre u i t + u u i j = 1 p + ν 2 u i x j ρ x i x 2 j τ ij x j (3.13) Ces équations, en apparence identiques aux équations RANS, nécessitent également la modélisation du terme τ ij. Ce tenseur de contraintes de sous-maille est défini par : τ ij = u i u j u i u j 1 3 (u i u j u i ) (3.14) FLUENT propose trois modèles de sous-maille afin de résoudre l écoulement en dessous de l échelle de coupure. Celui utilisé dans nos simulations est le modèle de Smagorinski-Lilly. Ce modèle est basé, comme les modèles de fermeture des équations de Navier-Stokes, sur le concept de viscosité turbulente. Le terme de contrainte de sous-maille apparaissant dans les équations de Navier-Stokes filtrées et nécessitant une modélisation est défini comme suit : τ s ij = ν s T ( ui + u ) j + 1 x j x i 3 τ kkδ s ij = 2νTS s ij (3.15) ν s T : viscosité turbulente de sous-maille S ij : tenseur de contrainte de cisaillement du champ résolu défini par l équation 3.16 S ij = 1 2 ( ui + u ) j x j x i (3.16) Pour le modèle de Smagorinski-Lilly, la viscosité turbulente est définie par la relation suivante : ν s T = L 2 s S (3.17) S : 2S ij S ij L s : longueur de mélange associée aux échelles de sous-maille, définie par l équation suivante. L s = min(κd,c s V 1 3 ) (3.18) κ : constante de von Karman 83

98 Introduction d : distance entre la cellule considérée et la paroi la plus proche V : volume de la maille considérée C s : constante de Smagorinski Le modèle de Smagorinski est basé sur les échelles résolues : en dehors des mailles adjacentes aux parois du domaine résolu, la viscosité turbulente dépend de l échelle de coupure et du flux d énergie transféré à travers la coupure ǫ c. νt s = f(,ǫ c ) (3.19) Sous FLUENT, l échelle de coupure correspond à la racine cubique du volume d une maille ( = V 1 3 i ). Le problème est alors d évaluer le flux d énergie ǫ c. Sa détermination repose sur plusieurs hypothèses. La première est l hypothèse d équilibre local entre production ǫ P, flux à travers la coupure ǫ c et dissipation de l énergie cinétique turbulente ǫ. ǫ P = ǫ c = ǫ (3.20) On a alors : ǫ c = ǫ = τ s ij S ij } {{ } ǫ P ν s T = s = 2νT S ij S ij (3.21) ǫ 2S ij S ij (3.22) La deuxième hypothèse réalisée est de considérer une turbulence homogène et isotrope en sousmaille. Le taux de dissipation peut alors être déterminé à partir du spectre d énergie cinétique turbulente. En considérant le spectre de Kolmogorov décrit par l équation 3.23 et en l intégrant entre 0 et le nombre d onde correspondant au seuil de coupure σ c = π/, le taux de dissipation est alors défini par l équation E(σ) = K 0 ǫ 2/3 σ 5/3 (3.23) ǫ = 1 ( ) 3 3K0 2 2 (2S π 2 ij S ij ) 3 2 (3.24) 2 K 0 : constante du spectre de Kolmogorov (K 0 0,5) σ : nombre d onde, σ = π/l, où l est l échelle de taille caractéristique d un tourbillon dans un écoulement turbulent 84

99 1.. Simulations numériques d une cuve agitée : Mise en oeuvre La viscosité turbulente est ainsi définie par l équation suivante : ( νt s 1 3K0 = π 2 ) 3 4 } {{ } C S 2 (2S ij S ij ) 1 2 (3.25) Dans le cas d un spectre de Kolmogorov décrit par l équation 3.23, la valeur de la constante déduite est C S = 0,18. Cette valeur est celle proposée initialement par Smagorinski. Ainsi, de part son mode de calcul, la valeur de la constante de sous-maille dépend implicitement de la forme du spectre d énergie cinétique. La valeur de la constante de sous-maille n est donc pas universelle et peut varier en fonction des écoulements étudiés et du caractère hétérogène et anisotrope en sous-maille de l écoulement considéré. De ce fait, on trouve dans la littérature des valeurs comprises entre 0,1 et 0,2 (Galperin & Orszag, 1993; Sagaut, 1998; Piomelli, 1999). La valeur implémentée par défaut sous FLUENT est C S = 0,1. Cette valeur est généralement conseillée pour les écoulements cisaillés (Sagaut, 1998; Piomelli, 1999). Dans le cas des écoulements en cuve agitée, aucune étude de sensibilité à cette constante n a, jusque là, été réalisée. Deux simulations LES ont été donc réalisées avec deux valeurs différentes de la constante de sous-maille (C S = 0,1 et C S = 0,2) afin d étudier l influence de la constante du modèle de sous-maille sur les résultats de la LES en cuve agitée. Les résultats présentés par la suite montrent que la valeur de C S n a pas d influence sur les échelles résolues, mais affecte fortement la détermination du taux de dissipation. 1.2 Configuration et maillage de la cuve agitée La première étape de la mise en oeuvre des simulations consiste à discrétiser le volume physique sous forme de volumes élémentaires ou mailles. Cette étape a été réalisée à l aide du logiciel GAMBIT Dimensions de la cuve et de l agitateur Les dimensions de la cuve et de l agitateur sont identiques à celles utilisées dans les travaux expérimentaux de Escudié (2001) et correspondent au standard de Rushton (voir figure 3.1). Le diamètre de la cuve et la hauteur de liquide sont T = H = 0,45 m, ce qui correspond à un volume de liquide d environ 70 L. L agitateur de diamètre D = T/3 = 0,15 m est placé à C = D = 0,15 m par rapport au fond plat de la cuve. Il est composé d un disque et de six pales droites de longueur l P = D/4 = 0,0375 m, de hauteur w = D/3 = 0,03 m et d épaisseur t P = 85

100 Introduction ZF ZF w lb ZT Hz H ZT D B C D D T z Figure 3.1 Représentation schématique de la cuve agitée simulée. 0,002 m. La cuve est également équipée de quatre chicanes droites collées à la paroi et situées à 90 les unes des autres. Leur largeur est l B = T/10 = 0,045 m et leur épaisseur de t B = 0,005 m. Le fluide considéré est de l eau (masse volumique : ρ = 998,2 kg.m 3, viscosité dynamique : µ = 1, kg.m 1.s 1, viscosité cinématique ν = 1, m 2.s 1 ). La vitesse d agitation est fixée à 150 rpm (N = 2,5 s 1 ), ce qui correspond à un régime turbulent pleinement établi : Re = N D2 ν = (3.26) Le nombre de puissance de l agitateur est N P = 5 (Tatterson, 1991; Roustan et al., 1999), ce qui correspond à un taux de dissipation moyen global de ǫ V = 0,084 m 2.s 3 = 84 W.m 3 (Équation 3.27). ǫ V = P ρv = N P N 3 D 5 V (3.27) Maillage Le maillage du volume physique a été divisé en deux zones : une zone tournante (ZT ) et une zone fixe (ZF ) (Figure 3.1). La première zone ZT est cylindrique et est définie de manière à contenir l agitateur et une partie de l axe d agitation. La seconde zone ZF inclue le reste de la cuve, à savoir les chicanes, les parois, la surface et le reste de l axe. 86

101 1.. Simulations numériques d une cuve agitée : Mise en oeuvre Figure 3.2 Coupe horizontale centrée sur l agitateur du maillage de la cuve agitée Les dimensions de la zone tournante (D Z = 2D = 0,3 m de diamètre et H Z = 2w = 0,06m de hauteur) ont été définies de telle sorte qu elle contient la partie du jet la plus énergétique ainsi que les vortex traînants, en se basant sur les résultats expérimentaux de Renaud Escudié (Escudié & Liné, 2003; Escudié et al., 2004). De manière générale, la précision des calculs augmente avec le nombre de mailles. Parallèlement, le temps de calcul croît avec le nombre d équations à résoudre et celui-ci est directement lié au nombre de mailles. Il y a donc un compromis à trouver entre le nombre de mailles nécessaire pour atteindre une précision donnée et le temps de calcul. En LES, toutes les échelles plus grandes que la taille des mailles sont résolues de manière directe, et seule la contribution des échelles les plus petites est modélisée en formulant l hypothèse d une turbulence homogène isotrope en dessous de la taille des mailles. Il est donc 87

102 Introduction nécessaire d adapter a priori la taille du maillage afin que cette hypothèse soit satisfaite. Dans un écoulement turbulent, les plus grosses structures tourbillonnaires sont dépendantes de causes extérieures (géométrie, conditions limites), tandis que les plus petits tourbillons ont un comportement supposé universel déterminé uniquement par la viscosité du fluide et le taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente au point considéré. La micro-échelle de Taylor λ (Équation 3.28) permet de caractériser une échelle à partir de laquelle les effets visqueux deviennent prépondérants devant les effets inertiels, et ainsi de définir une échelle à partir de laquelle les tourbillons turbulents de taille inférieure ont un comportement universel et indépendant de causes extérieures. Le maillage a donc été réalisé de telle sorte que la taille des mailles autour des pales de l agitateur, où l intensité turbulente est la plus importante, soit de l ordre de la micro-échelle de Taylor afin de capter les échelles turbulentes les plus énergétiques. λ = 15ν u 2 ǫ (3.28) Escudié (2001) estime la micro-échelle de Taylor entre 0,5 et 1 mm dans le jet de l agitateur et de l ordre de quelques millimètres en dehors de la zone du jet. Cette échelle est plus de 10 fois supérieure à l échelle de Kolmogorov qui est est de l ordre de 40 µm dans le jet et de l ordre de 100 µm au-delà (Escudié, 2001)). En respectant ces contraintes, la zone de maillage ZT est constituée d environ mailles hexahédrales dont la taille est comprise entre 1 et 3 mm. La zone de maillage ZF comprend environ mailles hexahédrales dont la taille est comprise entre 4 et 6 mm. Le maillage ainsi obtenu est très régulier et structuré par blocs Conditions aux limites L axe, le disque et les pales de l agitateur, ainsi que les parois de la cuve et les chicanes sont considérés comme des parois imperméables avec une condition d adhérence (vitesse relative nulle). La surface libre est représentée par une condition de symétrie, les flux normaux à la surface sont supposés nuls. La condition de symétrie est applicable dans notre cas du fait de la présence de chicanes qui assurent une surface libre plane. Les deux zones de maillage sont séparées par une interface (grid interface), de manière à utiliser l option de maillage glissant (sliding mesh). Le maillage associé à l agitateur (ZT) glisse dans un mouvement de rotation par rapport au maillage fixe comprenant le reste de la cuve (ZF). La vitesse imposée à la zone de fluide en rotation correspond à la vitesse de rotation du mobile d agitation N = 2.5 s 1. Sur chaque parois (cuve, chicanes et agitateur), est imposée une vitesse relative nulle par rapport à la zone de fluide adjacente. 88

103 1.. Simulations numériques d une cuve agitée : Mise en oeuvre 1.3 Méthode numérique L utilisation de la technique de maillage glissant impose que la résolution de l écoulement soit mené en instationnaire. A chaque pas de temps, le maillage de la zone de l agitateur se déplace ainsi d un angle constant par rapport à la zone stationnaire. Le maillage à l interface des deux zones ne permettant par la superposition des mailles à chaque pas de temps, il est recalculé à partir de l intersection des faces adjacentes de chaque maillage. Le pas de temps utilisé pour les différentes simulations correspond à une déplacement angulaire de 0,5, à savoir t 0,56 ms. Au vu de la taille minimale des mailles (1 mm) et de la vitesse maximale en bout de pales (U tip = π N D = 1,2 m.s 1 ), cette valeur du pas de temps permet d avoir un nombre de Courant (CFL) inférieur à 1 dans tout le domaine. De manière imagée, cette condition implique qu un élément fluide se déplace au maximum d une maille à chaque pas de temps. D un point de vue numérique, cette condition assure la stabilité de la résolution numérique et limite la diffusion numérique. De plus, le pas de temps choisi est de l ordre de grandeur du temps caractéristique de la micro-échelle de Taylor. En effet, en appliquant l hypothèse de Taylor (Equation 3.29), on peut déterminer l échelle de temps caractéristique à partir de l échelle de taille des tourbillons de Taylor. λ x = λ t U tip = λ t π N D (3.29) λ x : échelle de taille des tourbillons de Taylor λ t : échelle de temps des tourbillons de Taylor U tip : vitesse maximale en bout de pale La microéchelle de Taylor est minimale en bout de pale, où l on a λ x = 0, 5 mm (Escudié, 2001). En considérant la vitesse en bout de pales U tip, on a alors le temps caractéristique minimal correspondant aux échelles de Taylor les plus petites. Le calcul conduit à λ t 0,45 ms. Au vu du grand nombre de pas de temps nécessaire pour l établissement de l écoulement et pour le traitement statistique, le pas de temps doit être fixé de manière très précise, de tel sorte que les positions relatives des pales par rapport aux chicanes soient identiques à chaque passage d une pale. A cette fin, les calculs ont été réalisés en double précision. L écoulement a été résolu avec le code de calcul FLUENT (version ). Ce code de calcul résout les équations de conservation gouvernant l écoulement (quantité de mouvement, masse, énergie, scalaires) par la méthode des volumes finis. Cette méthode consiste en trois étapes : 89

104 Introduction 1. Discrétisation du domaine physique en volumes de contrôle (mailles), 2. Intégration des équations dans chaque volume de contrôle afin de construire des équations algébriques pour les variables dépendantes discrètes (inconnues du problème), 3. Linéarisation des équations discrétisées et résolution du système d équations linéaires résultant. FLUENT propose deux approches pour résoudre les systèmes d équations : la méthode segregated et la méthode coupled. Dans les deux cas, les équations sont discrétisées de la même manière mais linéarisées et résolues différemment. Dans nos simulations seule la première approche (segregated solver) est utilisable compte tenu des limitations relatives à l espace mémoire de la machine de calcul utilisée Discrétisation Considérons l équation-bilan suivante pour une variable φ : (ρφ) t = F(φ) = (ρu iφ) x i + ( ) φ Γ φ + S φ (3.30) x i x i Γ φ : coefficient de diffusion de la quantité φ S φ : terme source pour la variable φ Cette équation doit être à la fois discrétisée dans l espace et dans le temps afin d obtenir une équation algébrique pour chaque volume de contrôle Discrétisation spatiale L intégration de l équation 3.30 sur le volume de contrôle V i conduit à l équation algébrique Dans cette équation, le terme instationnaire n est pas pris en compte, son intégration est traitée ultérieurement. 90 V i F(φ) = N : nombre de faces N ρ f v f φ f A f n f + f φ f : valeur de φ au centre de la face f ρ f v f φ f A f : flux à travers la face f A f : aire de la face f N f ( ) φ Γ φ A f n f + S φ V i (3.31) x i n

105 1.. Simulations numériques d une cuve agitée : Mise en oeuvre ( φ x i )n n f : vecteur unitaire normal à la face f (dirigé vers l extérieur du volume de contrôle) : gradient de φ normal à la face f V i : volume de la maille Dans cette équation apparaissent des flux (convection, diffusion) à travers les faces qui délimitent le volume de contrôle. Il est donc nécessaire de connaître la valeur des variables sur chaque face. Avec la méthode des volumes finis, ces valeurs sont stockées au centre de chaque cellule et non sur chaque face. Les valeurs sur chaque face sont alors déduites par interpolation des valeurs stockées au centre de la cellule. Par analogie avec les différences finies, cette interpolation est définie sous FLUENT sous le terme de schéma de discrétisation. FLUENT propose plusieurs schémas de discrétisation. Le schéma le plus simple, dit du premier ordre, considère que les valeurs des variables au niveau des faces sont égales aux valeurs au centre de chaque cellule de contrôle. Ce schéma de discrétisation est le moins coûteux en terme de temps de calcul. Cependant, ce schéma crée généralement de la diffusion numérique. Pour les simulations avec le modèle de fermeture k-epsilon, le schéma de discrétisation spatial utilisé est du second ordre upwind (décentré amont) pour toutes les quantités (continuité, quantité de mouvement, turbulence). Pour la LES, la schéma retenu est du 2nd ordre pour la pression et du 3ème ordre pour la quantité de mouvement (ordre le plus élevé disponible sous le logiciel) Discrétisation temporelle Avec l approche découplée (segregated) de résolution des équations de conservation, FLUENT impose l utilisation d un schéma implicite en temps. Le schéma utilisée dans nos simulations étant du second ordre, si l évolution temporelle de la variable φ est régie par l équation 3.32, la valeur de cette variable au pas de temps n + 1 est donnée par l équation (ρφ) t = F(φ) (3.32) φ n+1 = 4 3 φn 1 3 φn t F(φn+1 ) (3.33) φ n : valeur de φ au pas de temps n t : pas de temps de la simulation Il est à noter que la discrétisation spatiale présentée précédemment est prise en compte dans la fonction F(φ n+1 ). 91

106 Introduction Mises à jour des propriétés du fluide Résolution des équations de quantité de quantité de mouvement Résolution de l équation de continuité Mises à jour de la pression et des flux de matière aux faces Résolution des équations additionnelles (énergie, espèces, turbulence ou autre sclaire) NON Convergence? OUI ARRET ou Pas de temps suivant Figure 3.3 Principe du solveur segregated de FLUENT Résolution En instationnaire, la solution au pas de temps n + 1 est obtenue en résolvant les équations de conservation de la forme 3.33 à partir d une condition initiale connue : la solution au pas de temps précédent n ou les valeurs initiales fournies par l utilisateur pour le premier pas de temps n = 0. Les équations sont résolues par une méthode itérative de type substitution. Avec la méthode de résolution découplée (segregated solver), les équations du modèle sont résolues de manière séquentielle entre chaque itération. A chaque itération i, les propriétés du fluide sont mises à jour à partir de l itération précédente i 1 (ou à partir des valeurs initiales ou du pas de temps précédent). Les équations de conservation de la quantité de mouvement sont alors résolues en utilisant les valeurs à l itération i 1 de la pression et des flux aux faces des mailles. L équation de continuité est ensuite résolue et la valeur de la pression et des flux sont alors mises à jour pour l itération courante i. Si nécessaire, les équations des scalaires sont ensuite résolues. Tant que la solution n a pas convergé ou que le nombre maximal d itérations autorisé par pas de temps n est pas atteint, cette opération est répétée. Le principe de fonctionnement est représenté sur la figure

107 1.. Simulations numériques d une cuve agitée : Mise en oeuvre Équations k-epsilon LES Pression Quantité de mouvement Énergie cinétique turbulente Taux de dissipation de l ECT Tableau 3.2 Valeurs des coefficients de sous-relaxation utilisées pour les simulations Sous-relaxation A cause de la non-linéarité du système d équations, la valeur d une variable peut fortement varier entre deux itérations successives et provoquer la divergence de la solution calculée par le solveur. Pour prévenir ce problème, on introduit un coefficient dit de sous-relaxation dont le rôle est d accroître la stabilité numérique. Ainsi la nouvelle valeur de la variable φ à la fin d une itération dépend à la fois de l ancienne valeur φ old, de la différence de φ entre l itération courante et l itération précédente φ et du coefficient de sous-relaxation α selon : φ = φ old + α (φ φ old ) (3.34) Notons qu à la convergence, on a l égalité φ = φ old, donc la valeur des coefficients de sousrelaxation α ne modifie pas les champs de φ obtenus pour le pas de temps n. Dans nos simulations, nous avons laissé les coefficients de sous-relaxation à leur valeur par défaut implémentée dans FLUENT. Ces valeurs sont répertoriées dans le tableau Couplage vitesses-pression La pression est traitée de manière différente des autres variables du système d équations résolu. En effet, cette variable n est pas régi par une équation indépendante mais son gradient est cependant nécessaire pour résoudre les équations de quantité de mouvement. Avec le segregated solver, l équation de continuité est utilisée pour déterminer la pression. Cependant, la pression n apparaît pas explicitement dans l équation de continuité et on utilise donc un algorithme dit de couplage vitesses-pression pour introduire la pression dans cette équation. Sous FLUENT, plusieurs algorithmes de couplage sont disponibles. Celui utilisé pendant nos simulations est nommé SIMPLEC (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations Consistent). 93

108 Introduction Critères de convergence Pour vérifier la convergence de la solution, FLUENT propose d examiner l évolution du résidu d une équation à chaque itération. Les valeurs des variables obtenues à la fin de chaque itération ne satisfont pas exactement les équations de conservation correspondantes. Le résidu correspond à la somme sur toutes les mailles des erreurs effectuées sur l équation discrétisée considérée. Après discrétisation et intégration, l équation de conservation pour une variable φ peut s écrire dans une cellule P de la manière suivante : ( ) a P φ P = a nb φ nb + b + e P (3.35) nb nb : réfère aux cellules voisines à la cellule considéré a i : coefficients linéarisés b : contribution du terme source et des conditions aux limites e P : erreur sur la variable φ dans la cellule P Ainsi, le résidu de la variable à la fin de l itération sur l ensemble des cellules est déterminé par l équation suivante : R φ = e P = P P a nb φ nb + b a P φp nb (3.36) Cette définition du résidu est appelé sous FLUENT résidu unscaled. FLUENT permet également de calculer les résidus sous deux autres formes. Pour nos simulations, les résidus dits scaled ont été suivis pour s assurer de la convergence de la solution (Équation 3.37). R φ sc = R φ P a Pφ P (3.37) Dans certains cas, les résidus ne suffisent pas pour juger de la convergence d une solution, notamment en instationnaire et dans le cas d un système fermé où la conservation de la masse sur toutes les mailles est assurée. Il est alors préférable de juger la convergence à partir de l évolution d une grandeur caractéristique de l écoulement en régime établi. Pour les simulations présentées dans ce travail, le critère de convergence sur les résidus normés a été fixé à 10 4 pour toutes les équations résolues et quel que soit le type de simulation 94

109 1.. Simulations numériques d une cuve agitée : Mise en oeuvre (RANS ou LES). En parallèle, le caractère établi de l écoulement instationnaire a été apprécié en suivant le couple sur les parois mobiles (agitateur et arbre). Cette grandeur a été choisie, car elle intègre les effets de pression et les effets visqueux liés aux gradients de vitesse locaux. Les vitesses en quelques points ont également été enregistrées au cours du temps afin d effectuer des test de convergence des moyennes statistiques. 95

110 Introduction 2. TRAITEMENT DES DONNÉES NUMÉRIQUES 2.1 Principe du traitement : Décomposition triple Dans le cas d un écoulement turbulent généré par une turbine de Rushton, les fluctuations de vitesse observées au cours du temps à proximité de l agitateur ne sont pas uniquement liées au phénomène de la turbulence. Le passage périodique des pales de l agitateur induit également des fluctuations de vitesses qui ne sont pas aléatoires, contrairement aux fluctuations turbulentes. On désigne ce phénomène sous le terme de mouvement organisé. Il a notamment été mis en évidence dans les travaux de R. Escudié (Escudié, 2001; Escudié & Liné, 2003; Escudié et al., 2004; Escudié & Liné, 2006). Ainsi, la vitesse locale instantanée (u i ) dans une cuve agitée par une turbine de Rushton peut être décomposée en termes de vitesse moyenne (U i ), de vitesse fluctuante turbulente (u i) et de vitesse fluctuante du mouvement organisé (ũ i ). Cette décomposition proposée par Reynolds & Hussein (1972) et utilisée pour analyser nos données de simulation, est désignée sous le nom de décomposition triple (Équation 3.38). u i (x,t) = U i (x) + ũ i (x,t) + u i(x,t) (3.38) La fluctuation de vitesse liée au mouvement organisé dépend de la position relative des pales par rapport aux chicanes. Ainsi, pour extraire le mouvement organisé du champ instantané, il faut réaliser une moyenne de phase, c est-à-dire une moyenne temporelle des champs instantanés mesurés pour une position donnée p des pales par rapport aux chicanes. La vitesse en moyenne de phase peut être décomposée en une vitesse moyenne inconditionnelle (moyenne temporelle en un point) et une fluctuation périodique liée au mouvement organisé dont la valeur dépend de la position relative des pales. Techniquement, cette moyenne s obtient en réalisant une moyenne statistique des valeurs des vitesses enregistrées lorsque l agitateur se trouve dans une position p choisie (Équation 3.39). U p i = U i + ũ p i = 1 n a u lp i (3.39) n a l=1 l : indice du numéro de l acquisition pour la position p p : indice de la position des pales n a : nombre d acquisitions réalisées pour une position relative des pales u lk i : vitesse instantanée pour la position relative p des pales et l acquisition l 96

111 2.. Traitement des données numériques ũ p i : fluctuation du mouvement organisé pour la position p La vitesse moyenne inconditionnelle U i est ensuite obtenue en réalisant une moyenne d ensemble. Cette moyenne d ensemble peut être obtenue de deux manières : soit en réalisant une moyenne statistique sur tous les évènements enregistrés en un point quelle que soit la position des pales, soit en réalisant la moyenne des moyennes de phase obtenues pour chaque position relative des pales. U i = 1 n e u e i = 1 n p U p i n e n (3.40) p e p=1 n e : nombre total d acquisitions effectuées en un point (n e = n a n p ) n p : nombre de positions relatives entre 2 pales successives 2.2 Traitement statistique des données de simulations Simulation LES La LES résout un champ de vitesses instantané fluctuant u(t) et demande donc un traitement statistique identique à celui appliqué sur des champs obtenus expérimentalement par PIV. En appliquant la décomposition triple sur un grand nombre de ces champs instantanés, on peut alors déterminer : - les composantes de la vitesse moyenne U i (Équation 3.40) - les composantes des fluctuations périodiques pour chaque position relative ũ p i (Équation 3.41) ũ p i = Up i U i (3.41) - les composantes du tenseur de contraintes du mouvement organisé ũ i ũ j (Equation 3.42) ũ i ũ j = 1 n p n p p=1 ũ p i ũp j (3.42) - les composantes du tenseur de contraintes du mouvement turbulent u i u j (Equations 3.43 et 3.44) u p i u p 1 j = n a n a l=1 u lp i u lp i (3.43) 97

112 Introduction u i u j = 1 n p n p p=1 u p i u p j (3.44) - l énergie cinétique du mouvement organisé k MO (Équation 3.45), du mouvement turbulent k MT (Équation 3.46) et l énergie cinétique total k TOT (Équation 3.47) k MO = ũ i ũ i (3.45) i=1 k MT = 1 3 u i 2 u i (3.46) i=1 k TOT = k MO + k MT (3.47) Simulation RANS Les simulations avec le modèle k-epsilon ne produisent pas de champs instantanés mais des champs moyens de vitesses, d énergie cinétique turbulente et de taux de dissipation. La simulation étant réalisée en prenant en compte la rotation de l agitateur, les champs résolus correspondent à des moyennes de phase. On peut donc extraire les fluctuations de vitesses liées au mouvement organisé puisque la vitesse moyenne calculée par FLUENT pour une position p donnée des pales u p i correspond en fait à une moyenne de phase. Le champ de vitesse calculé par une simulation RANS se décompose ainsi en une vitesse moyenne globale U i et une fluctuation liée au mouvement organisé ũ p i (Équation 3.48). u p i = Up i = U i + ũ p i (3.48) De la même manière que précédemment on peut alors déterminer : - les composantes de la vitesse moyenne locale U i (Équation 3.40) - les composantes de la vitesse du mouvement organisé ũ p i (Équation??) - les composantes du tenseur de contrainte du mouvement organisé ũ i ũ j (Equation 3.42) - l énergie cinétique du mouvement organisé k MO (Équation 3.45) et l énergie cinétique total k TOT (Équation 3.47). L énergie cinétique turbulente k MT est calculée explicitement par ce type de simulation RANS Détermination du taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente En appliquant la décomposition triple, il est possible d écrire trois bilans d énergie cinétique correspondant au mouvement moyen, au mouvement organisé et au mouvement turbulent 98

113 2.. Traitement des données numériques (Escudié, 2001). Ainsi, on peut distinguer trois taux de dissipation : - le taux de dissipation de l énergie cinétique du mouvement moyen ǫ MM ǫ MM = ν ( Ui + U ) j Ui = ν ( Ui + U ) 2 j (3.49) x j x i x j 2 x j x i - le taux de dissipation de l énergie cinétique du mouvement organisé ǫ MO ( ũi ǫ MO = ν + ũ ) j ũi = ν ( ũi + ũ ) 2 j (3.50) x j x i x j 2 x j x i - le taux de dissipation de l énergie cinétique du mouvement turbulent ǫ MT ( ) u ǫ MT = ν i + u j u i = ν ( ) u 2 i + u j (3.51) x j x i x j 2 x j x i La simulation LES réalisée sous FLUENT permet d accéder aux gradients de vitesses des champs résolus ( u i / x j ). Il s agit cependant d un mouvement filtré par le maillage, de sorte que les gradients sont calculés à l échelle des mailles comprises entre 0,5 et 5 mm. Or, l énergie cinétique turbulente est principalement dissipée aux échelles de Kolmogorov dont les tailles caractéristiques η K sont de l ordre de quelques microns. Par conséquent, le calcul du taux de dissipation à partir des échelles résolues (Équation 3.52) sous-estime le taux réel et il convient donc d intégrer la dissipation en sous-maille pour déterminer le taux de dissipation local. ǫ R = ν 2 ( ui + u ) 2 j (3.52) x j x i Afin de prendre en compte les échelles de sous-maille dans l estimation du taux de dissipation de l énergie cinétique, on peut faire l hypothèse d un équilibre local entre production, transfert à l échelle de coupure du filtre et dissipation de l énergie cinétique turbulente. Cette hypothèse implique que la forme du spectre de l énergie cinétique est invariante dans le temps. Le taux de dissipation de l énergie cinétique de sous-maille ǫ SM est donné par la relation suivante (Galperin & Orszag, 1993; Sagaut, 1998) : ǫ SM = τ ij S ij = 2ν T S ij S ij (3.53) 99

114 Introduction τ ij : tenseur de Reynolds de sous-maille dans les équations de Navier-Stokes filtrées τ ij = 2ν T S ij (3.54) S ij : tenseur des contraintes de cisaillement S ij = 1 2 ( ui + u ) j x j x i (3.55) ν T : viscosité cinématique turbulente Le taux de dissipation de l énergie cinétique, prenant à la fois en compte les échelles résolues par la LES et les échelles de sous-maille, est alors défini par l équation suivante : ǫ = ǫ R + ǫ SM = 2 (ν T + ν) S ij S ij (3.56) Il faut noter que le taux de dissipation ainsi défini à partir de la vitesse instantanée résolue prend à la fois en compte la dissipation du mouvement moyen, du mouvement organisé et du mouvement turbulent. Cependant, il a été démontré que la dissipation liée aux mouvements moyen et organisé est négligeable devant celle liée au mouvement turbulent (Sharp & Adrian, 2001; Escudié & Liné, 2003). 100

115 3.. Résultats des simulations et comparaisons à l expérience 3. RÉSULTATS DES SIMULATIONS ET COMPARAISONS À L EXPÉRIENCE La base de données expérimentale (Escudié, 2001), à partir de laquelle nos résultats de simulation ont été validés, a été réalisée dans le jet de l agitateur à 45 entre deux pales. Les données sont disponibles pour un plan compris radialement entre 80 et 120 mm et axialement entre 120 et 180 mm, soit une fenêtre de mesure par la caméra de 60x60 mm 2. La résolution spatiale associée était de 1.1 mm, à savoir très proche de la taille du maillage utilisée dans nos simulations. La fréquence d acquisition était de 15 Hz. Cette base de données comprend : - la vitesse moyenne de l écoulement U i, - les vitesses moyennes du mouvement organisé ũ p i, - les composantes du tenseur de Reynolds du mouvement organisé ũ i ũ j, - les composantes du tenseur de Reynolds du mouvement turbulent u i u j, - l énergie cinétique du mouvement organisé k MO, du mouvement turbulent k MT et l énergie cinétique total k TOT, - le taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente ǫ estimé à partir d un bilan d énergie cinétique turbulente. Ces données expérimentales ont été comparées en terme de vitesses et d énergie cinétique avec différents travaux expérimentaux présents dans la littérature (Wu & Patterson, 1989; Rutherford et al., 1996). Un bon accord entre les différents travaux a été observé. En terme de taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente, peu de données expérimentales étaient disponibles à l époque et R. Escudié s est principalement attaché à caractériser les phénomènes de transfert d énergie cinétique entre les mouvements moyen, organisé et turbulent. Expérimentalement, afin de capter les fluctuations périodiques liées au passage des pales, les champs de vitesse ont été mesurés sur 60 plans correspondant à 60 positions relatives (n p = 60) des pales par rapport aux chicanes (1 mesure tous les degrés entre deux pales). Pour chaque plan, 1000 champs de vitesses instantanées ont été acquis (n a = 1000). Au total, acquisitions ont été réalisées correspondant à plus de 160 rotations complètes de l agitateur. Les données numériques ont également été acquises dans un plan situé à 45 entre deux chicanes et dans le jet de l agitateur (voir Figure 3.4). Bien que le pas de temps permette de récupérer 120 positions relatives des pales par rapport au plan de mesure, les acquisitions ont été effectuées pour 60 positions relatives (n p = 60) afin de réduire la quantité d informations à 101

116 Introduction p = 1 ϕ = 0 Plan de mesure p = 21 ϕ = 20 Plan de mesure (a) (b) Figure 3.4 Représentation schématique sur une coupe horizontale du plan de mesure et de deux positions relatives des pales par rapport à ce plan : (a) p = 1 et ϕ = 0, (b) p = 21 et ϕ = 20. stocker. La simulation RANS résout un champ moyen pour chaque position relative des pales. Ce champ étant reproductible à chaque passage de pale, seule 1 acquisition est nécessaire pour chaque position relative. Seulement 60 acquisitions au total sont donc nécessaires. A l inverse, la simulation LES résolvant un champ instantané, il est nécessaire d effectuer plusieurs acquisitions pour chaque position des pales par rapport au plan de mesure. Au vu du temps de calcul important, un nombre d acquisitions inférieur par rapport aux expériences PIV a été effectué. Pour exemple, 1 semaine de calcul est nécessaire pour effectuer 5000 acquisitions au total, soit environ 14 rotations complètes de l agitateur. Au final, 250 acquisitions (n a = 250) ont été réalisées pour chacune des 60 positions relatives des pales. Ainsi, acquisitions ont été effectuées au total, ce qui correspond à 42 rotations complètes de l agitateur. Ce nombre d acquisition est suffisant pour assurer la convergence statistique des composantes de la vitesse (Figure 3.5) et du tenseur de Reynolds turbulent (Figure 3.6) en moyenne d ensemble et en moyenne de phase. On peut cependant remarquer que la convergence est moins rapide pour les composantes moyennes du tenseur de Reynolds que pour les vitesses moyennes. 102

117 3.. Résultats des simulations et comparaisons à l expérience 1 U r U t U z 2 U p r U p t U p z Ui (m.s 1 ) U p i (m.s 1 ) n a n a (a) (b) Figure 3.5 Convergence statistique des composantes de la vitesse en moyenne d ensemble (a) et en moyenne de phase (b) en fonction du nombre d acquisitions par position relative u ru r u tu t u zu z 0.5 u p r u p r u p t u p t u p z u p z u i u i (m2.s 2 ) (m 2.s 2 ) u p i u p i n a n a (a) (b) Figure 3.6 Convergence statistique des composantes diagonales du tenseur de Reynolds en moyenne d ensemble (a) et en moyenne de phase (b) en fonction du nombre d acquisitions par position relative. 103

118 Introduction z (m) U i (m.s 1 ) U i (m.s 1 ) U i (m.s 1 ) (a) r = 80 mm (r/t = 0.178) (b) r = 100 mm (r/t = 0.222) (c) r = 120 mm (r/t = 0.267) U r U t U z Escudie (2001) U r U t U z RANS Figure 3.7 Profils verticaux expérimentaux et numériques (RANS) des trois composantes de la vitesse moyenne dans le jet de l agitateur z (m) U i (m.s 1 ) U i (m.s 1 ) U i (m.s 1 ) (a) r = 80 mm (b) r = 100 mm (c) r = 120 mm U r U t U z Escudie (2001) U r U t U z LES, C S = 0.1 Figure 3.8 Profils verticaux expérimentaux et numériques (LES) des trois composantes de la vitesse moyenne dans le jet de l agitateur 104

119 3.. Résultats des simulations et comparaisons à l expérience 3.1 Vitesses moyennes et vitesses du mouvement organisé Vitesses en moyenne d ensemble Les profils verticaux pour 3 positions radiales dans le jet de l agitateur des composantes de la vitesse moyenne U i sont présentés sur les figures 3.7 et 3.8 pour la simulation RANS et la simulation LES respectivement. L ordre de grandeur des trois composantes de la vitesse moyenne est correctement prédit par la simulation RANS, en particulier autour du plan médian du mobile d agitation situé à z = 150 mm. Cependant, on peut observer un décalage entre les profils verticaux expérimentaux et numériques en-dessous et au-dessus du centre des pales de l agitateur. Ce décalage s accentue en s éloignant radialement de l agitateur, ce qui peut avoir une influence non négligeable sur l écoulement en dehors de la zone du jet et plus particulièrement sur les boucles de circulation générées au-dessus et au-dessous du jet radial. De plus, la légère déviation du centre du jet vers le haut de la cuve observée expérimentalement en s éloignant de l agitateur n est pas prédite par la simulation RANS. Contrairement à la simulation RANS, la simulation LES prédit très bien la vitesse moyenne sur toute la hauteur du jet. L évolution du centre du jet vers la partie supérieure de la cuve en s éloignant des pales est également très bien représentée. Un léger décalage entre valeurs expérimentales et valeurs numériques de la composante radiale de la vitesse moyenne dans la partie supérieure du jet (z > 160 mm) est cependant observé pour une position radiale r > 100 mm. Ce décalage peut être lié à trois raisons. En s éloignant de l axe de l agitateur, le maillage est de plus en plus lâche et la LES peut filtrer ainsi plus d échelles turbulentes qu à proximité des pales où les mailles sont les plus fines. Cependant, il est peu probable que cela se ressente sur les vitesses moyennes. La largeur des chicanes que nous avons utilisée est en réalité plus grande dans la cuve réelle. Une influence peut éventuellement se faire ressentir sur la forme des vortex et ainsi sur les vitesses. La dernière raison du décalage observé est tout simplement liée aux erreurs expérimentales lors de l acquisition des champs de vitesse Vitesses du mouvement organisé Les composantes des vitesses périodiques ũ p i associées au mouvement organisé sont présentées sur les figures 3.9 (simulation RANS) et 3.10 (simulation LES). Les données sont présentées 105

120 Introduction z (m) ũ r (m.s 1 ) ũ r (m.s 1 ) ũ r (m.s 1 ) (a) r = 80 mm, p = 1 (b) r = 100 mm, p = 1 (c) r = 120 mm, p = z (m) ũ t (m.s 1 ) ũ t (m.s 1 ) ũ t (m.s 1 ) (d) r = 80 mm, p = 21 (e) r = 100 mm, p = 21 (f) r = 120 mm, p = z (m) ũ z (m.s 1 ) ũ z (m.s 1 ) ũ z (m.s 1 ) (g) r = 80 mm, p = 41 (h) r = 100 mm, p = 41 (i) r = 120 mm, p = 41 Escudie (2001) RANS Figure 3.9 Profils verticaux expérimentaux et numériques (RANS) des trois composantes de la vitesse en moyenne de phase dans le jet de l agitateur pour la position angulaire ϕ =

121 3.. Résultats des simulations et comparaisons à l expérience z (m) ũ r (m.s 1 ) ũ r (m.s 1 ) ũ r (m.s 1 ) (a) r = 80 mm, p = 1 (b) r = 100 mm, p = 1 (c) r = 120 mm, p = z (m) 0.15 z (m) 0.15 z (m) ũ t (m.s 1 ) ũ t (m.s 1 ) ũ t (m.s 1 ) (d) r = 80 mm, p = 21 (e) r = 100 mm, p = 21 (f) r = 120 mm, p = z (m) ũ z (m.s 1 ) ũ z (m.s 1 ) ũ z (m.s 1 ) (g) r = 80 mm, p = 41 (h) r = 100 mm, p = 41 (i) r = 120 mm, p = 41 Escudie (2001) LES, C S = 0.1 Figure 3.10 Profils verticaux expérimentaux et numériques (LES) des trois composantes de la vitesse en moyenne de phase dans le jet de l agitateur pour la position relative ϕ =

122 Introduction pour une position angulaire des pales par rapport au plan de mesure de 20 dans le sens de rotation de l agitateur (cf. Figure 3.4). Cet angle correspond aux vitesses périodiques maximales observées expérimentalement et numériquement dans le plan de mesure entre deux passages de pales. On peut observer que les vitesses du mouvement organisé sont très mal prédites par la simulation RANS, quelle que soit la distance à l agitateur et quelle que soit la position relative des pales par rapport au plan de mesure. Bien que sous-estimées, les évolutions des composantes radiale et tangentielle sont néanmoins représentées de manière correcte. Par contre, la simulation RANS échoue significativement à reproduire la composante axiale des vitesses du mouvement organisé. Contrairement à la simulation RANS, la simulation LES prédit globalement bien les vitesses périodiques liées au mouvement organisé, en particulier dans la zone du jet proche du bout des pales. Comme pour la vitesse moyenne U i, on remarque cependant que la simulation LES représente d autant moins bien les vitesse du mouvement organisé que l on s éloigne de l extrémité des pales Boucles de circulation La simulation LES reproduit avec une très bonne précision les vitesses moyennes dans le jet de l agitateur, alors que la simulation RANS donne des résultats corrects mais beaucoup moins précis. Les différences observées en terme de vitesse moyenne dans le jet se répercutent sur l allure des boucles de circulation. On observe sur la figure 3.11, où sont représentés les champs vectoriels de la vitesse moyenne dans un plan vertical coupant la cuve entre deux chicanes, que la simulation RANS et la simulation LES produisent des boucles de circulation relativement différentes. Le centre de la boucle inférieure est situé au même endroit quelle que soit la simulation. Cependant, une différence peut être notée au niveau de l axe de symétrie de la cuve. Il existe également une différence au niveau de la boucle de circulation au-dessus du jet de l agitateur. Les champs de vitesses sont différents dans cette boucle de circulation entre les deux simulations, en particulier au niveau de la surface libre. De plus, des vitesses non nulles sont obtenues avec la simulation RANS le long de l arbre de l agitateur. La simulation LES reproduisant avec une excellente précision les vitesses liées au mouvement moyen et au mouvement organisé dans la décharge de l agitateur, ainsi que la déviation du jet 108

123 3.. Résultats des simulations et comparaisons à l expérience (a) (b) Figure 3.11 Vitesses en moyenne d ensemble dans un plan vertical à 45 entre deux chicanes pour la pale dans le plan ((a) simulation RANS et (b) simulation LES) vers le haut par rapport au centre de l agitateur, une confiance plus grande est apportée aux boucles de circulation prédites par la simulation LES. 3.2 Énergie cinétique et tenseurs de Reynolds Énergie cinétique du mouvement organisé et turbulent On rappelle que, dans le cas de la simulation RANS, l énergie cinétique turbulente est une solution directe de la simulation alors que l énergie cinétique du mouvement organisé est obtenue après un traitement statistique (cf. section 2.2.2). Dans le cas de la simulation LES, les deux composantes de l énergie cinétique sont obtenues après traitement statistique. Les profils verticaux dans la zone du jet de l énergie cinétique totale et de ses deux composantes (mouvement organisé et mouvement turbulent) sont présentés sur la figure 3.12 pour la simulation RANS. Dans la zone située loin de l agitateur (r = 120 mm), on observe que les profils numériques de l énergie cinétique sont en bon accord avec les résultats expérimentaux. Dans cette zone, l essentiel de l énergie cinétique est liée au mouvement turbulent. Près de l extrémité des pales (r = 80 mm), on remarque que l énergie cinétique totale simulée est également en 109

124 Introduction z (m) k (m 2.s 2 ) k (m 2.s 2 ) k (m 2.s 2 ) (a) r = 80 mm (r/t = 0.178) (b) r = 100 mm (r/t = 0.222) (c) r = 120 mm (r/t = 0.267) k MO k MT k TOT Escudie (2001) k MO k MT k TOT RANS Figure 3.12 Profils verticaux expérimentaux et numériques (RANS) de l énergie cinétique du mouvement organisé, du mouvement turbulent et de l énergie cinétique totale z (m) k (m 2.s 2 ) k (m 2.s 2 ) k (m 2.s 2 ) (a) r = 80 mm (r/t = 0.178) (b) r = 100 mm (r/t = 0.222) (c) r = 120 mm (r/t = 0.267) k MO k MT k TOT Escudie (2001) k MO k MT k TOT LES, C S = 0.1 Figure 3.13 Profils verticaux expérimentaux et numériques (LES) de l énergie cinétique 110

125 3.. Résultats des simulations et comparaisons à l expérience bon accord avec les résultats expérimentaux. Cependant, les contributions des mouvements organisé et turbulent sont mal représentées par la simulation RANS. Dans la zone près du jet (r < 100 mm), l énergie cinétique liée au mouvement organisé est fortement sous-estimée par rapport aux valeurs expérimentales. A l inverse, l énergie cinétique turbulente calculée par le modèle k-epsilon est surestimée. La surestimation et la sous-estimation de l énergie cinétique respectivement associée au mouvement turbulent et au mouvement organisé par une simulation RANS aux alentours de l agitateur avait déjà été observée (Ranade, 1997; Hartmann et al., 2004). Au niveau de l agitateur, Escudié (2001) a montré que l énergie produite par le mouvement des pales est essentiellement transférée au mouvement organisé : l énergie cinétique liée au mouvement organisé représente jusqu à 80 % de l énergie cinétique totale de l écoulement. Cette énergie est ensuite progressivement transférée au mouvement turbulent en s éloignant de l agitateur et devient négligeable devant l énergie cinétique turbulente. Néanmoins, la simulation RANS ne reproduit pas ces transferts d énergie. L énergie produite par le mouvement des pales est directement transférée au mouvement turbulent. L énergie cinétique est en fait correctement prédite par la simulation RANS en bout du jet où la contribution du mouvement organisé à l énergie cinétique est faible et négligeable devant la contribution du mouvement purement turbulent. Sur la figure 3.13, sont représentés les profils verticaux de l énergie cinétique obtenu à partir des champs de vitesse de la simulation LES. Les résultats numériques sont en bon accord avec les résultats expérimentaux quelle que soit la position dans le jet. La simulation LES prédit correctement la répartition de l énergie cinétique entre le mouvement organisé et le mouvement turbulent bien que seuls les champs de vitesses résolues aient été pris en compte dans le calcul de l énergie cinétique turbulente. Ces résultats confirment que la simulation LES représente correctement le mouvement organisé, tant en terme de vitesses que d énergie cinétique. La répartition radiale et axiale de l énergie cinétique du mouvement organisé est globalement bien prédite. On remarque cependant qu à partir d un rayon r > 100 mm, la simulation sous-estime légèrement l énergie cinétique turbulente. Les mailles étant plus lâches dans cette zone, il est possible que la LES filtre des échelles contribuant à l énergie cinétique. Cependant, une sous-estimation identique est observée pour la simulation RANS qui, elle, est beaucoup moins sensible que la LES à la taille du maillage. La mauvaise représentation du mouvement organisé par la simulation RANS, à la fois 111

126 Introduction en terme de vitesses et en terme d énergie cinétique, est liée à la décomposition de Reynolds. En effet, lorsque la décomposition triple est appliquée aux équations de Navier-Stokes, les équations de conservation de la quantité de mouvement moyennées font apparaître un terme supplémentaire (tenseur de contraintes lié au mouvement organisé) par rapport aux équations de Reynolds utilisées pour la simulation RANS. De même, lorsque la décomposition triple est appliquée aux équations d énergie cinétique, un terme de transfert entre mouvement organisé et mouvement turbulent apparaît dans le bilan d énergie cinétique turbulente, ce qui n est pas le cas dans l équation de conservation de l énergie cinétique turbulente utilisée par la simulation RANS. Pour une simulation LES, les équations de Navier-Stokes étant directement résolues pour les échelles de l écoulement supérieure à la taille des mailles de calcul, le mouvement organisé est implicitement pris en compte à partir du moment où son échelle caractéristique n est pas filtrée par le maillage. Le diamètre des structures tourbillonnaires (vortex traînants) associées au mouvement organisé étant de l ordre de la moitié de la hauteur des pales w/2 = 0,015 m (Escudié et al., 2004), on peut raisonnablement affirmer que toutes les échelles associées au mouvement organisé sont effectivement résolues Tenseur de Reynolds du mouvement turbulent Les fluctuations turbulentes n étant pas accessibles avec la simulation RANS, seul le tenseur de Reynolds du mouvement turbulent obtenu par la simulation LES peut être étudié. Nous nous intéresserons ici uniquement aux composantes diagonales de ce tenseur, c est-à-dire au carré des fluctuations turbulentes (u 2 i ). Le décalage entre les valeurs numériques LES et les valeurs expérimentales de l énergie cinétique turbulente s observe principalement dans la partie basse du jet. Si l on s intéresse aux composantes diagonales du tenseur de Reynolds du mouvement turbulent qui forme l énergie cinétique turbulente (Figure 3.14), on remarque que la sous-estimation de l énergie cinétique turbulente observée provient en grande partie de la composante axiale u 2 z. Quelle que soit la position radiale dans le jet de l agitateur, la répartition des composantes radiale u 2 r et tangentielle u 2 t est, quant à elle, relativement bien prédite, particulièrement en bout de pales. On observe, néanmoins que la composante axiale numérique est nettement inférieure à la valeur trouvée expérimentalement. 112

127 3.. Résultats des simulations et comparaisons à l expérience z (m) u i u i (m2.s 2 ) u i u i (m2.s 2 ) u i u i (m2.s 2 ) (a) r = 80 mm (b) r = 100 mm (c) r = 120 mm u r u r u t u t u z u z Escudie (2001) u r u r u t u t u z u z LES, C S = 0.1 Figure 3.14 Profils verticaux expérimentaux et numériques (LES) des trois composantes diagonales du tenseur de Reynolds du mouvement turbulent 3.3 Taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente Valeurs moyennes globales La valeur globale du taux de dissipation (moyenne du taux de dissipation dans tout le volume de la cuve) est accessible expérimentalement à partir par exemple de la mesure du couple exercé sur l arbre d agitation. Numériquement, il est également possible de le déterminer à partir du couple sur l arbre d agitation et l agitateur qui caractérise le travail des forces de pression et de viscosité exercées. Une autre méthode consiste à intégrer la valeur du taux de dissipation calculée dans chaque maille de calcul sur l ensemble du volume. Dans les deux cas, le taux de dissipation varie temporellement autour de la valeur moyenne ǫ V. Dans le tableau 3.3 sont répertoriés les valeurs du taux de dissipation moyen dans la cuve déterminées à partir du nombre de puissance (équation 3.57) et numériquement, d une part à partir du couple sur l agitateur (équation 3.58), et d autre part à partir de la moyenne volumique des taux de dissipation résolus (RANS) ou calculés (LES) dans chaque maille 113

128 Introduction RANS LES, C S = 0.1 LES, C S = 0.2 ǫ V ǫ V num1 ǫ V num2 ǫ V num1 ǫ V num2 ǫ V num1 ǫ V num2 0,084 0,1 0,092 0,1 0,021 0,1 0,069 Tableau 3.3 Valeurs du taux de dissipation moyen volumique expérimentale et numériques (équation 3.59). (m 2.s 3 ) ǫ V = P ρv = N P N 3 D 5 V ǫ V num1 = C F ω ρv (3.57) (3.58) ǫ V num2 = 1 V N ǫ i V i (3.59) i P : puissance fournie par l agitateur, P = 5,9 W N P : nombre de puissance de l agitateur, N P = 5 N : vitesse d agitation, N = 2,5 s 1 D : dimaètre de l agitateur, D = 0,15 m V : volume utile de la cuve, V = 0,072 m 3 C F : couple sur l arbre de l agitateur déterminé numériquement ω : vitesse angulaire de l agitateur, ω = 5π rad.s 1 V i : volume d une cellule du maillage ǫ i : valeur du taux de dissipation dans une maille Les simulations RANS et LES prédisent le même taux de dissipation à partir du couple exercé sur l arbre de l agitateur. Cette valeur est du même ordre de grandeur mais sur-estimée par rapport au taux de dissipation moyen expérimental. Le taux de dissipation moyen dans la cuve obtenu à partir des valeurs moyennes locales numériques est légèrement sur-estimé (9 %) par la simulation RANS. Par contre, le taux de dissipation calculé à partir des données de la LES est sous-estimé quelle que soit la valeur de la constante C S utilisée. Lorque C S = 0,1, le taux de dissipation moyen dans la cuve est sous-estimée de 75 % par la simulation LES. Doubler la valeur de la constante permet de 114

129 3.. Résultats des simulations et comparaisons à l expérience réduire la sous-estimation du taux de dissipation à 18 %. Les valeurs très différentes obtenues en terme de taux de dissipation moyen ǫ V en fonction de la valeur de la constante du modèle de sous-maille utilisé dans nos simulations LES implique que cette constante à une forte influence sur les échelles modélisées en sous maille. Dans la section suivante, nous allons évaluer l influence de C S sur les échelles résolues (vitesse et énergie cinétique) d une part et, d autre part sur la prédiction du taux de dissipation local dans la décharge de l agitateur Simulation LES : Influence de la constante du modèle de sous-maille Dans ce travail, deux simulations LES ont été réalisées avec deux valeurs différentes de la constante de sous-maille : C S = 0,1 et C S = 0,2. Un terme de sous-maille étant compris dans les équations régissant les échelles résolues, les échelles de sous-maille peuvent potentiellement affecter les grandeurs calculées à partir des échelles résolues. De part la méthode utilisée pour estimer le taux de dissipation, celui-ci est directement dépendant de la valeur de la constante de sous-maille. On rappelle que le taux de dissipation de sous-maille a été déterminé à partir de l équation suivante (elle n est valable qu en dehors de mailles adjacentes aux parois) : ǫ SM = (C S ) 2 (2S ij S ij ) 3 2 (3.60) Les résultats obtenus avec les deux valeurs de la constante C S sont présentés sur la figure 3.15 en terme de vitesse moyenne et sur la figure 3.16 en terme d énergie cinétique. Aucune influence de la valeur de C S sur la vitesse moyenne n est observée : les profils verticaux de chaque composante de la vitesse moyenne se superposent de manière presque parfaite. En terme d énergie cinétique, un léger écart est observé entre les profils au centre du jet. Cependant, le nombre d acquisitions réalisé pour la simulation LES avec C S = 0,2 est deux fois moins important que pour la simulation avec C S = 0,1. La différence entre les profils est donc probablement liée à la convergence statistique des résultats plutôt qu à une influence de la constante de sous-maille. En effet, si l on revient sur les figures 3.5 et 3.6, qui présentent l évolution des moyennes cumulées des composantes de la vitesse moyenne et du tenseur de contraintes turbulentes en fonction du nombre d acquisitions, on remarque que le nombre d acquisitions requis pour atteindre la convergence statistique est plus important lorsque l on considère le tenseur des 115

130 Introduction z (m) U r (m.s 1 ) U t (m.s 1 ) U z (m.s 1 ) (a) (b) (c) LES, C S = 0.1 LES, C S = 0.2 Figure 3.15 Profils verticaux numériques (LES) des composantes de la vitesse moyenne en fonction de la valeur de la constante C S (r = 80 mm) z (m) k M O (m 2.s 2 ) k M T (m 2.s 2 ) k TOT (m 2.s 2 ) (a) (b) (c) LES, C S = 0.1 LES, C S = 0.2 Figure 3.16 Profils verticaux numériques (LES) de l énergie cinétique totale et de ses composantes périodique et turbulente en fonction de la valeur de la constante C S (r = 80 mm) 116

131 3.. Résultats des simulations et comparaisons à l expérience ǫ (m 2.s 3 ) ǫ/ǫv ( ) r (m) (a) LES, C S = 0.1 LES, C S = r (m) (b) Figure 3.17 Profils radiaux expérimental et numériques (LES) du taux de dissipation de l énergie cinétique pour une hauteur z = 150 mm ((a) valeurs locales, (b) valeurs locales normalisées par le taux de dissipation global) contraintes turbulentes dont dépend l énergie cinétique turbulente. En terme de taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente, les valeurs locales dans le jet obtenues pour les deux valeurs de C S sont présentées sur la figure La figure 3.17 (b) présente le taux de dissipation local normalisé par le taux de dissipation global ǫ V obtenu par chacune des simulations LES. La valeur de la constante C S a une très forte influence tant sur la valeur globale que sur les valeurs locales du taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente. Cependant, on remarque que le rapport entre valeur globale et valeur locale est identique dans le jet de l agitateur pour les deux valeurs de la constante utilisées, ce qui indique que le taux de dissipation n est affecté qu en terme d amplitude absolue. Ni sa distribution spatiale ni son amplitude relative par rapport au taux de dissipation global ne sont influencés par la valeur de la constante de sous-maille. En terme de gradients de vitesse, la constante de sous-maille a cependant une influence. En effet, la constante étant multiplié par 2 entre les deux simulations, le taux de dissipation aurait été multiplié par 4 dans le cas où les valeurs des gradients de vitesse n était pas modifiées puisque l échelle de coupure reste inchangée. Dans la suite, afin de les comparer à des valeurs expérimentales, les résultats du taux de dissipation seront présentés pour la simulation LES avec C S = 0, 2, la valeur globale du taux de dissipation correspondante étant la plus proche de la puissance dissipée par unité de masse 117

132 Introduction de l agitateur Valeurs locales du taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente Dans le but d étudier les valeurs numériques du taux de dissipation local, ces valeurs ont été comparées aux valeurs obtenues dans diverses études expérimentales (Escudié, 2001; Escudié & Liné, 2003; Ducci & Yianneskis, 2005). Renaud Escudié (2001, 2003) a utilisé la Vélocimétrie par Images de Particules ou PIV pour mesurer les champs de vitesses dans les trois directions. Cependant, la résolution spatiale de la caméra utilisée était de l ordre de 1 mm. Par conséquent, le taux de dissipation local n a pu être déterminé directement, car les échelles dissipatives sont filtrées. Le taux de dissipation a donc été estimé à partir des bilans d énergie cinétique des mouvements moyen, organisé et turbulent (Équation 3.61). Les taux de dissipation liés au mouvement moyen et au mouvement organisé sont négligeables devant le taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente (Sharp & Adrian, 2001; Escudié & Liné, 2003). Dissipation = Transferts Transport Diffusion (3.61) Dans la cas du bilan sur l énergie cinétique turbulente, le terme Transferts comprend à la fois le transfert entre le mouvement moyen et le mouvement turbulent et le transfert entre le mouvement organisé et le mouvement turbulent. Cette méthode d estimation permet de s affranchir de la contrainte forte liée à la résolution spatiale. Cependant, la pression n étant pas mesurable, le terme de diffusion des contraintes de pression dans les équations-bilan est négligé. De plus, les erreurs sur l estimation de chaque terme des équations-bilan se cumulent. Récemment, une campagne de mesures par PIV haute fréquence a été réalisée par F. Huchet (publication en cours) dans la même géométrie que celle simulée et utilisée par R. Escudié. La vitesse d agitation était cependant trois fois plus faible (N = 50 rpm, Re = 18750). Les mesures ont été réalisées dans les trois directions de l espace avec une résolution spatiale de 300 µm et une résolution temporelle de s, permettant cette fois-ci la détermination directe du taux de dissipation à partir des gradients de vitesses. Ducci et al. (2005) ont, quant à eux, utilisé l Anémométrie par Doppler Laser ou LDA pour estimer le taux de dissipation local. Ils ont mesuré de manière directe 7 des 12 termes de 118

133 3.. Résultats des simulations et comparaisons à l expérience l équation du taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente (Equation 3.62). ( ( u1 ) 2 ( ) 2 ( ) ) 2 u2 u x 1 x 2 x 3 ( ( u1 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ) 2 u2 u1 u3 u2 u3 ǫ = ν x 2 x 1 x 3 x 1 x 3 x ( 2 ( u1 ) ( ) ( ) ) u 2 u1 u 3 u2 u x 2 x 1 x 3 x 1 x 3 x 2 (3.62) Les termes ( u 3 / x 1 ) 2 et ( u 1 / x 3 ) 2 ont été mesurés à deux hauteurs seulement, au dessus et au dessous du centre de l agitateur. Leur valeur au centre du jet (z/t = 0,133) ont été obtenue à partir des gradients directement mesurés à cette position en utilisant une pondération à partir des valeurs obtenues aux points où ces deux termes ont été mesurés. Les produits croisés des gradients sont, quant à eux, estimés à partir de l hypothèse d isotropie statistique (Equation 3.63). ( ) 2 ( ) 2 ( u1 u2 u3 ( ) + + ui u j x 1 x 2 x 3 2 = x j x i 3 ) 2 (3.63) Les profils radiaux du taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente obtenus pour les simulations RANS et LES (C S = 0, 2) sont présentés sur la figure Afin de les comparer à des données de la littérature obtenues dans des cuves de géométrie différente, les résultats sont présentés sous forme adimensionnelle : le taux de dissipation local est pondéré par N 3 D 2, où N est la vitesse d agitation et D le diamètre de l agitateur, et la position radiale est donnée sous la forme r/t, où T est le diamètre de la cuve. On rappelle que, comme pour l énergie cinétique turbulente, le taux de dissipation est résolu directement par la simulation RANS. Bien que le taux de dissipation moyen dans la cuve soit correctement prédit par la simulation RANS, la distribution spatiale dans le jet est différente de celle déterminée expérimentalement, que ce soit à partir d un bilan sur l énergie cinétique turbulente (Escudié, 2001; Escudié & Liné, 2003) ou à partir de mesures LDA (Ducci & Yianneskis, 2005). D après les mesures PIV (Escudié, 2001; Escudié & Liné, 2003), le taux de dissipation en bout de pales augmente progressivement jusqu à une valeur maximale pour une position radiale de 90 mm (r/t = 0, 2), puis rediminue ensuite en s éloignant de l agitateur. Une évolution radiale similaire a été observée par Ducci et al. (2005), cependant le maximum de taux de dissipation est observé pour une position radiale plus élevée (r/t = 0, 22). 119

134 Introduction ǫ/(n 3 D 2 ) ( ) r/t ( ) PIV, Re = (Escudie, 2001) PIV, Re = (non publie) LDA, Re = (Ducci, 2005) LES, C S = 0.2, Re = RANS, Re = Figure 3.18 Profils radiaux expérimentaux et numériques (LES) du taux de dissipation de l énergie cinétique pondéré par N 3 D 2 pour une hauteur z = 150 mm (z/t = 0.133). Par contre pour la simulation RANS, la valeur maximale du taux de dissipation est observée derrière les pales, au niveau du disque. Le taux de dissipation diminue ensuite de manière quasi linéaire en s éloignant de l agitateur. Malgré la légère sous-estimation du taux de dissipation global pour la simulation LES avec C S = 0, 2, la distribution spatiale du taux de dissipation local est similaire à celle estimée à partir des données expérimentales de R. Escudié (2001). Un maximum est également observé à r = 90 mm (r/t = 0.2) pour un profil centré sur le jet (z = 150 mm, z/t = 0, 333). Les mesures plus récentes obtenues par PIV haute fréquence semble également confirmer un maximum du taux de dissipation situé à peu près à la même position radiale, bien qu aucune donnée ne soit disponible pour des positions radiales inférieures à r/t = 0, 2. Les valeurs numériques du taux de dissipation sont significativement plus élevées (environ 30 %) que celles obtenue par Escudié (2001, 2003). Cependant, le maximum observé avec la simulation LES est relativement proche de celui obervé par Ducci et al. (2005) et de celui obtenu par PIV haute fréquence (cf. Tableau 3.4). De plus, bien que le maximum observé ne soit pas localisé à la même position, les profils radiaux du taux de dissipation sont très 120

135 3.. Résultats des simulations et comparaisons à l expérience ǫ V ǫ max Re N 3 D 2 N 3 D 2 Simulation RANS , , 5 Simulation LES (C S = 0, 2) PIV - Bilan (Escudié, 2001) LDA (Ducci & Yianneskis, 2005) , , , 241 7, , 236 9, 3 PIV HF (Huchet) , , 1 Tableau 3.4 Valeurs moyenne et maximale du taux de dissipation pour les simulations RANS et LES et les données expérimentales similaires entre la simulation LES et les mesures par LDA. Les positions différentes de la valeur maximale du taux de dissipation observées entre les deux géométries peuvent s expliquer par des dimensions différentes, en particulier au niveau de l épaisseur du disque et des pales (Rutherford et al., 1996). La méthode d adimensionnalisation pour la position radiale est éventuellement à revoir. Les différences observées en terme de localisation du maximum de dissipation peuvent également être reliées aux vortex traînants. La trajectoire des vortex semble dépendre de l épaisseur des pales et de la position de l agitateur (Lee & Yiannekis, 1998). Or, les maxima d énergie cinétique turbulente étant reliés au centre des vortex, les maxima de taux de dissipation sont également observés à proximité du centre des vortex. La prochaine section est consacrée à la détermination de la trajectoire des vortex et de leur relation avec la localisation des maxima de l énergie cinétique turbulente et de son taux de dissipation. 3.4 Vortex traînants Trajectoire des vortex traînants Les grosses structures tourbillonnaires générées à l arrière de chaque pale et auxquelles sont associées les fluctuations périodiques sont appelées vortex traînants. Lorsque les pales sont en mouvement, le fluide contourne par le haut et le bas l obstacle rencontrée. A cause de la présence du disque, deux tourbillons de sens de rotation opposés se forment à l arrière de chaque pale (Figure 3.19). La trajectoire des vortex à l arrière des pales peut être déterminée en repérant le minimum de pression de l écoulement. En effet, la pression tend à présenter un minimum dans les 121

136 Introduction (a) (b) Figure 3.19 (a) Représentation schématique des vortex traînants et (b) trajectoire des vortex d après (Lee & Yiannekis, 1998). trois directions au centre d une structure tourbillonnaire. Cette méthode n est pas directement applicable à partir de mesures PIV, cependant le minimum de pression peut être déterminé indirectement à partir des valeurs propres du tenseur S 2 +Ω 2. Cette approche est la plus précise pour déterminer le centre des vortex traînants et a été utilisé dans les travaux de Escudié et al. (2004). Dans ces travaux, une autre méthode basée sur l intensité de la vorticité a été également appliquée. Les auteurs ont montré que cette méthode permet de repérer avec une précision correcte la trajectoire des vortex traînant et c est, par conséquent, cette méthode que nous allons utilisée pour déterminer la trajectoire des vortex à partir de nos simulations. La vorticité (rotationnel de la vitesse) permet de quantifier la circulation de liquide à l intérieur d un tourbillon. Plus la vorticité est importante, plus l écoulement à l intérieur du vortex est intense. Ainsi, la vorticité est maximale au centre d un tourbillon. La vorticité a été calculée à partir du plan de mesure vertical pour chaque position relative des pales. L intensité de la vorticité est définie sur ce plan de la manière suivante : ζ = u r z u z r (3.64) Les vortex traînants étant liés aux fluctuations de vitesse périodiques, la vorticité a été 122

137 3.. Résultats des simulations et comparaisons à l expérience déterminée à partir des gradients de vitesses en moyenne de phase (Équation 3.65). ζ = Up r z Up z r (3.65) Les deux vortex générés à l arrière de chaque pale étant de sens opposés, les vorticités observées sont positives pour un vortex et négatives pour l autre. En repérant, les valeurs minimales et maximales pour chaque position des pales par rapport au plan de mesure, il est alors possible de distinguer les deux vortex et de déterminer leur trajectoire respective. Le plan d acquisition étant fixe, la trajectoire déterminée est en toute rigueur une information temporelle, à savoir l évolution de la position du vortex sur le plan de mesure en fonction du déplacement angulaire des pales. Cependant, la zone d intérêt étant éloignée des parois de la cuve et donc des chicanes, on peut supposer que la trajectoire temporelle déterminée est identique à la trajectoire spatiale. La véracité de cette hypothèse peut être vérifiée, le logiciel FLUENT permettant de visualiser des isocontours de vorticité. Cependant, la vorticité sous FLUENT étant déterminée en valeur absolue, il est difficile de repérer le centre des vortex directement à partir des isocontours déterminés par le logiciel. La méthode temporelle de détermination de la trajectoire des vortex a donc été utilisée pour comparer les trajectoires numériques avec les trajectoires expérimentales déterminés par Escudié et al. (2004). Sur la figure 3.20 sont comparés les isocontours de vorticité projetés sur un plan horizontal et les trajectoires des vortex déterminées à partir de la vorticité calculée sur le plan de mesure vertical. Pour les deux simulations, peu de différences sont observées entre la trajectoire temporelle et la trajectoire spatiale. Une légère déviation entre les deux trajectoires est observée à partir d un angle de 45 pour la simulation LES. Néanmoins, les contours d isovorticité obtenus sous FLUENT pour la LES sont des contours instantanés et non des contours en moyenne de phase. La trajectoire numérique de chaque vortex est comparée à la trajectoire déterminée expérimentalement sur la figure Les trajectoires des vortex, en particulier du vortex supérieur sont reproduites de manière relativement précise par la simulation LES. Par contre, la simulation RANS échoue significativement à reproduire la trajectoire des vortex : les vortex sont significativement plus proches de l agitateur que les vortex réels. La forme des vortex est également différente entre les deux simulations. Les vortex obtenus avec 123

138 Introduction (a) LES, Vortex Supérieur (b) LES, Vortex Inférieur (c) RANS, Vortex Supérieur Trajectoire spatiale (d) RANS, Vortex Inférieur Trajectoire temporelle Figure 3.20 Comparaison des trajectoires spatiales et temporelles projetées sur un plan horizontal la simulation RANS sont notablement plus larges que ceux obtenus avec la simulation LES. De plus, les niveaux de vorticité calculés sont beaucoup plus faibles dans le cas de la simulation RANS Vortex traînants, énergie cinétique et taux de dissipation Les observations précédentes confirment ce qui avait été remarqué à partir des vitesses du mouvement organisé, à savoir que la simulation RANS échoue à reproduire de manière correcte les grandeurs associées au mouvement organisé (vitesses et énergie cinétique) lié au passage périodique des pales d une turbine de Rushton. A l inverse, la simulation LES prédit avec une remarquable précision à la fois la trajectoire des 124

139 3.. Résultats des simulations et comparaisons à l expérience y/t ( ) y (m) x/t ( ) (a) Vortex supérieur x (m) (b) Vortex inférieur Escudié et al. (2004) RANS LES Figure 3.21 Trajectoires expérimentales et numériques des vortex traînants projetées sur un plan horizontal vortex et les grandeurs associées au mouvement organisé Énergie cinétique turbulente L incapacité de la simulation RANS à reproduire les vortex traînants peut également expliquer en partie la mauvaise prédiction par la simulation RANS de l énergie cinétique turbulente. En effet, il a été montré que les valeurs maximales d énergie cinétique turbulente observées dans le jet d une turbine de Rushton sont fortement corrélées aux vortex traînants (Lee & Yiannekis, 1998; Sharp & Adrian, 2001; Escudié et al., 2004). Ceci s explique par le fait que le mouvement organisé transfère son énergie cinétique au mouvement turbulent essentiellement dans la zone des vortex traînants (Escudié & Liné, 2003). La trajectoire des vortex traînants superposée au champ d énergie cinétique turbulente en moyenne de phase sur un plan horizontal centré sur l agitateur est présentée sur la figure 3.22 (a) pour la simulation RANS et (b) pour la simulation LES. Les champs de vorticité et d énergie cinétique turbulente sur un plan vertical dans le jet de l agitateur sont présentés sur les figures (c) à (f) pour une position relative des pales par rapport au plan de 20. Pour la simulation LES, un lien évident existe entre les vortex traînants et les fortes valeurs de l énergie cinétique. Les valeurs maximales de l énergie cinétique turbulente suivent la trajectoire des vortex traînants (Figure 3.22 (b)). Sur le plan vertical, on observe deux zones de 125

140 Introduction y (m) y (m) x (m) x (m) (a) RANS, k MT (b) LES, k MT Vortex Superieur Vortex Inferieur z (m) r (m) (c) RANS, Vorticité z (m) r (m) (d) LES, Vorticité z (m) r (m) (e) RANS, k MT z (m) r (m) (f) LES, k MT Figure 3.22 (a) et (b) Comparaison des champs d énergie cinétique turbulent et des trajectoires des vortex projetées sur un plan horizontal à z = 150 mm. Comparaison des champs de vorticité (c) (d) et d énergie cinétique (e) (f) sur un plan vertical situé en bout de pales. 126

141 3.. Résultats des simulations et comparaisons à l expérience forte énergie cinétique au-dessus et au-dessous du centre de l agitateur (Figure 3.22 (f)). Ces zones de forte énergie cinétique correspondent aux zones de forte vorticité des vortex traînants (Figure 3.22 (d)). Le lien entre l énergie cinétique turbulente et les vortex traînants est moins flagrant avec la simulation RANS. Sur le plan horizontal (Figure 3.22 (a)), on remarque que l énergie cinétique turbulente est forte autour de la trajectoire des vortex traînants. Cependant, sur un plan vertical (Figure 3.22 (e)), on n observe pas nettement deux zones de forte énergie cinétique turbulente au-dessus et au-dessous du centre de l agitateur, contrairement à la simulation LES et aux résultats obtenus par R. Escudié (2001, 2004). Ceci peut s expliquer par le fait que la simulation RANS ne prend pas en compte le transfert entre le mouvement organisé et le mouvement turbulent, très important dans la zone des vortex traînants (Escudié et al., 2004) Taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente Le taux de dissipation de l énergie cinétique semble également fortement corrélé aux vortex traînants. Escudié (2001, 2003) a en effet montré que le terme de transfert d énergie cinétique entre le mouvement organisé et le mouvement turbulent a un poids important dans le bilan d énergie cinétique turbulente (Équation 3.61). Ainsi, le transfert organisé-turbulent se passant essentiellement dans les vortex traînants, le taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente a de fortes chances d être maximal dans une zone proche des vortex traînants. Le lien entre taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente et vortex traînants est représenté sur les figures 3.23 (a) à (f). De même que pour l énergie cinétique turbulente, les résultats sont présentés en moyenne de phase. Le plan horizontal est centré sur l agitateur et les champs présentés sur le plan vertical situé à 45 entre deux pales correspondent à une position angulaire des pales de 20 par rapport à ce plan. Le lien entre les vortex traînants et le taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente est moins prononcé que pour l énergie cinétique turbulente. Sur un plan horizontal, les valeurs maximales du taux de dissipation correspondent à la trajectoire des vortex traînants pour la simulation LES. Cependant, contrairement à l énergie cinétique turbulente, on n observe pas sur le plan vertical deux zones nettes de fort taux de dissipation. Alors qu entre les deux vortex traînants, l énergie cinétique turbulente est relativement faible, le taux de dissipation est non négligeable. Pour la simulation RANS, on observe que les champs d énergie cinétique turbulente et de taux de dissipation sont similaires. Le taux de dissipation est maximal lorsque l énergie cinétique turbulente est maximale. 127

142 Introduction y (m) y (m) x (m) (a) RANS, ǫ/ǫ V Vortex Superieur Vortex Inferieur x (m) (b) LES, ǫ/ǫ V z (m) r (m) (c) RANS, Vorticité z (m) r (m) (d) LES, Vorticité z (m) z (m) r (m) (e) RANS, ǫ/ǫ V r (m) (f) LES, ǫ/ǫ V Figure 3.23 (a) et (b) Comparaison des champs du taux de dissipation et des trajectoires des vortex projetées sur un plan horizontal à z = 150 mm. Comparaison des champs de vorticité (c) (d) et du taux de dissipation (e) (f) sur un plan vertical situé en bout de pales. 128

143 4.. Bilan et conclusions 4. BILAN ET CONCLUSIONS La simulation basée sur les équations de Navier-Stokes en moyenne de Reynolds est le moyen le moins coûteux en terme de temps de calcul, car elle résout des champs en moyenne de phase et demande très peu de post-traitement. A l inverse, la simulation LES, résolvant uniquement des champs instantanés de vitesses (comprenant à la fois le mouvement moyen, le mouvement organisé et une partie du mouvement turbulent), est très coûteuse en temps afin d obtenir une statistique convergée et demande, de plus, un post-traitement important pour accéder notamment à la distribution des taux de dissipation dans la cuve. Cependant, la simulation LES permet de gagner en précision, de manière notable par rapport à la simulation RANS, tant en terme de vitesses que de grandeurs turbulentes telles que l énergie cinétique turbulente et son taux de dissipation. Une difficulté néanmoins de la LES est le choix de la constante dans le modèle de sous-maille. Nous avons réalisé deux simulations LES avec deux valeurs de la constante : C S =0,1 et C S =0,2. L influence de la constante sur la vitesse et l énergie cinétique est quasi inexistante. Par contre, un fort effet de la valeur de la constante est observé sur le taux de dissipation. Cette effet se fait ressentir sur les valeurs locales et globales du taux de dissipation, mais le rapport des valeurs locales sur la valeur globale ne semble pas être modifiée par la valeur de la constante. Bien qu en termes de vitesses moyennes la simulation RANS donne des résultats corrects dans le jet de l agitateur, les vitesses fluctuantes liées au mouvement organisé créé par le passage périodique des pales de l agitateur sont globalement sous-estimées. La simulation LES, quant à elle, donne d excellents résultats, tant en termes de vitesses moyennes que de vitesses du mouvement organisé. La mauvaise représentation du mouvement organisé et l imprécision sur les vitesses moyennes obtenues par la simulation RANS a un impact sur les boucles de circulation générées en dessous et au-dessus de l agitateur. Une différence notable existe entre les deux simulations, particulièrement au niveau de la boucle de circulation au-dessus du jet de l agitateur. En terme d énergie cinétique, la simulation RANS échoue à représenter la répartition de l énergie cinétique totale entre l énergie cinétique du mouvement organisé et l énergie cinétique turbulente. L énergie cinétique du mouvement organisé est négligeable dans tout le jet de l agitateur, alors que d après la simulation LES et les résultats expérimentaux de R. Escudié (2001, 2003), l énergie cinétique du mouvement organisé est importante et supérieure à l énergie cinétique turbulente dans la zone proche des pales de l agitateur. La simulation RANS surestime l énergie cinétique turbulente aux alentours des pales. Cette surestimation de l énergie cinétique turbulente et la sous-estimation de l énergie cinétique lié au mouvement 129

144 Introduction organisé dans la zone proche de l agitateur s explique par le fait que la simulation RANS résout des équations d énergie cinétique où le transfert d énergie entre le mouvement moyen et le mouvement organisé, ainsi que le transfert entre le mouvement organisé et le mouvement turbulent ne sont pas pris en compte. Le taux de dissipation moyen dans la cuve est correctement prédit par la simulation RANS, alors que pour les deux simulations LES le taux de dissipation global est sous-estimé, particulièrement avec la valeur la plus faible de la constante de sous-maille C S =0,1. Néanmoins, la répartition du taux de dissipation de l énergie cinétique dans le jet de l agitateur est bien représentée par la simulation LES. La simulation RANS, à l inverse, ne prédit pas de manière correcte les zones de fort taux de dissipation. Le taux de dissipation est maximal derrière les pales de l agitateur et diminue en s éloignant de l agitateur, alors que les données expérimentales disponibles, ainsi que les simulations LES, montrent que le taux de dissipation augmente progressivement en s éloignant de l agitateur jusqu à atteindre un maximum puis diminue ensuite en se rapprochant des parois de la cuve. L incapacité de la simulation RANS à reproduire correctement le champ de taux de dissipation de l énergie cinétique est à relier à la mauvaise représentation de l énergie cinétique turbulente et de la sous-estimation des termes liés au mouvement organisé. Enfin, les vortex traînants générés à l arrière des pales sont remarquablement bien représentés par la simulation LES. A l inverse, la simulation RANS ne résout avec précision ni la taille ni la trajectoire des vortex traînants générés par le passage périodique des pales. Les vortex traînants ayant un impact important sur la distribution de bulles de gaz dans la cuve, la simulation RANS ne semble pas indiquée pour la simulation d une cuve agitée diphasique. A l issu de ce chapitre, les simulations LES paraissent adaptées pour décrire le mélange en cuve agitée, car elles sont capables de reproduire les détails les plus fins observés expérimentalement. Dans le chapitre suivant, nous allons entreprendre une caractérisation du mélange en cuve agitée par la simulation LES. Nous nous intéresserons en particulier aux conditions vécues par des microorganismes le long de leur trajectoire calculés sur la base des simulations LES. 130

145 CHAPITRE 4 CARACTÉRISATION DU MÉLANGE EN CUVE AGITÉE Ce chapitre exploite et complète la simulation LES présentée au chapitre précédent dans l objectif d apporter des élements quantitatifs sur la dynamique du mélange et l environnement qu il impose aux microorganismes. Dans un premier temps, nous allons étudier l hétérogénéité spatiale des grandeurs turbulentes et des échelles de mélange dans l ensemble de la cuve. L hétérogénéité temporelle de ces grandeurs sera également abordée. L idée générale est de proposer un découpage du réacteur en zones où les caractéristiques de mélange seraient suffisamment homogènes pour envisager d être utilisées dans un modèle de type compartimenté. Dans la deuxième partie, le mélange d un traceur inerte sera présenté. Ce traçage numérique a été réalisé en injectant un traceur en trois positions de la cuve sous la forme d une injection d une quantité identique de fluide. La concentration des traceurs passifs est suivie en plusieurs points de la cuve, ce qui nous permettra d étudier l influence du point d alimentation. La troisième et dernière partie de ce chapitre sera consacrée au suivi lagrangien de particules fluides représentant des microorganismes. A partir de l enregistrement de leur position, du taux de dissipation, et de la concentration le long de leur trajectoire de chaque particules, nous montrerons que l environnement immédiat vécu par les microorganismes est très hétérogène dans le temps (fluctuations) et d un microorganisme à l autre. Dans le chapitre précédent, nous avons mis en évidence les limites des simulations utilisant le modèle de fermeture k-epsilon standard pour le calcul de l énergie cinétique turbulente et de son taux de dissipation dans la zone proche de l agitateur (turbine de Rushton). Les simulations LES ont par contre donné d excellents résultats tant en terme de vitesses moyennes que d énergie cinétique turbulente et de son taux de dissipation. De plus, une simulation LES résolvant des champs instantanés comprenant les fluctuations turbulentes associées aux échelles résolues permet de représenter le mélange turbulent sans faire appel à des hypothèses supplémentaires comme la diffusivité turbulente, jusqu à l échelle 131

146 Introduction de coupure (taille du maillage). Afin de représenter le mélange en dessous de l échelles des mailles, une modélisation est néanmoins nécessaire, mais elle affecte peu ou pas le mélange aux échelles supérieures à la taille des mailles. Pour ces deux raisons, les exploitations présentées dans ce chapitre sont issues de la simulation LES, avec la valeur du coefficient de sous-maille C S = fixée à 0,1. 132

147 1.. Hétérogénéités spatiales et temporelles de la turbulence et du mélange 1. HÉTÉROGÉNÉITÉS SPATIALES ET TEMPORELLES DE LA TURBULENCE ET DU MÉLANGE En cuve agitée, les conditions d isotropie et d homogénéité ne sont généralement pas respectées. Cependant, la distribution volumique des caractéristiques de la turbulence telles que l énergie cinétique turbulente et son taux de dissipation n est généralement pas connue. Expérimentalement, la détermination dans tout le volume de l énergie cinétique ou du taux de dissipation s avère une lourde tâche, très complexe dans sa réalisation pratique. La Mécanique des Fluides Numérique est, par conséquent, un outil utile pour estimer ces distributions car les valeurs sont calculées en tout point, ou plus précisément dans chaque maille du domaine résolu. Nous allons donc déterminer dans un premier temps les répartitions volumiques des caractéristiques de la turbulence à partir des simulations LES et en déduire une compartimentation de la cuve. L intérêt de cette démarche est de fournir pour l avenir la base d une possible compartimentation du réacteur pour utiliser des modèles de couplage mélange - bioréaction tels que ceux décrites dans le chapitre 1. Les échelles caractéristiques des différents mécanismes de mélange dépendant du taux de dissipation et, dans le cas du mesomélange, de l énergie cinétique turbulente, nous présenterons également les répartitions volumiques des échelles de taille et de temps associées à chaque mécanisme de mélange. Ces résultats ont été obtenus à partir des champs en moyenne d ensemble, c est-à-dire à partir de moyennes temporelles qui ne prennent en compte ni les fluctuations liées au passage périodique des pales ni les fluctuations purement turbulentes. Dans un troisième point, nous aborderons brièvement l hétérogénéité temporelle du taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente. Le coefficient de sous-maille n affecte pas les grandeurs déterminées à partir des échelles résolues, telle que l énergie cinétique turbulente. Par contre, nous avons montré qu il a un impact sur l estimation du taux de dissipation : la valeur moyenne dans l ensemble de la cuve ǫ V est divisée par 4 par rapport au taux de dissipation moyen attendu calculé à partir du nombre de puissance N P. Cependant, nous avons remarqué que, quelle que soit la valeur de la constante C S, le rapport valeur locale sur valeur moyenne globale ǫ/ǫ V reste inchangé, du moins dans le jet de l agitateur. Par conséquent, dans la mesure du possible, tous les résultats seront présentés de manière adimensionnelle, c est-à-dire pondérés par la moyenne volumique correspondante. Dans le cas où cette adimensionnalisation n est pas possible, le taux de dissipation sera multiplié par 4, cette opération n affectant en rien les distributions spatiales. 133

148 Introduction Avant de commencer, il convient de faire un point sur les notations utilisées. Nous allons faire appel dans cette première partie à des : - valeurs locales instantanées, notées ϕ(x,t), - moyennes temporelles locales, notées ϕ(x), - moyennes spatiales instantanées, notées ϕ V (t) dans l ensemble du volume ou ϕ Z (t) si elles font référence à une zone particulière, - moyennes spatiales et temporelles, notées ϕ V ϕ Z. 1.1 Hétérogénéité spatiale de la turbulence Les valeurs maximales de l énergie cinétique turbulente k MT et de son taux de dissipation ǫ sont localisées dans la région de l agitateur et de sa décharge. L analyse effectuée dans le jet dans le chapitre précédent a montré que le taux de dissipation atteint dans le jet des valeurs locales supérieures à 60 fois la moyenne volumique ǫ V. En dehors de la région de l agitateur et de son jet, les valeurs locales du taux de dissipation sont donc probablement nettement inférieures à la moyenne volumique. Avant de présenter les distributions volumiques des grandeurs turbulentes, nous allons dans un premier temps proposer une compartimentation du volume de la cuve afin de faciliter l analyse de l hétérogénéité de la turbulence et d étudier la répartition de k MT et ǫ dans différentes régions de la cuve Compartimentation spatiale basée sur l énergie cinétique turbulente et son taux de dissipation On rappelle que dans une simulation LES, l énergie cinétique turbulente k MT et son taux de dissipation ǫ ne sont pas résolus par la simulation mais obtenus après un post-traitement. L énergie cinétique turbulente découle des champs de vitesses instantanées auxquels sont appliqués la décomposition triple. Le taux de dissipation est déterminé à partir des gradients de vitesses instantanés et prend en compte les échelles résolues et les échelles de sous-maille. Les champs de l énergie cinétique et du taux de dissipation sont présentés pour une coupe verticale entre deux chicanes sur les figures 4.1 (a) et (b) respectivement. Chaque grandeur est pondérée par sa moyenne volumique et temporelle (k MT,V et ǫ V ). Les valeurs locales de l énergie cinétique k MT sont comprises entre 0,05 et 12 fois la valeur moyenne k MT,V. Les valeurs les plus élevées sont localisées dans la décharge de l agitateur, tandis que les valeurs observées au-dessous et au-dessus du jet sont relativement faibles. 134

149 1.. Hétérogénéités spatiales et temporelles de la turbulence et du mélange z (m) r (m) z (m) r (m) (a) k MT /k MT,V (b) ǫ/ǫ V Figure 4.1 Contours de l énergie cinétique turbulente (k MT /k MT,V ) sur une coupe verticale comprise entre deux chicanes. En terme de taux de dissipation, l hétérogénéité spatiale est très importante : les valeurs locales sont comprises entre 0,01 et 100 fois la valeur moyenne ǫ V. De même que pour l énergie cinétique, les valeurs les plus importantes sont observées dans la zone comprenant l agitateur et le jet. Dans les boucles de circulation, le taux de dissipation est nettement inférieur au taux de dissipation moyen ǫ V. L hétérogénéité spatiale de l énergie cinétique turbulente et de son taux de dissipation étant principalement liée aux fortes valeurs observées dans la décharge de l agitateur, on peut découper spatialement la cuve afin d étudier avec plus de précision la répartition volumique. En se basant sur la visulisation des contours d énergie cinétique et de taux de dissipation, la cuve agitée a été découpée en cinq zones (voir figure 4.2) : - autour du centre du mobile d agitation, on peut distinguer la région comprenant l agitateur et le volume qui l entoure (Agitateur), la partie du jet la plus énergétique (Jet1) et le reste du jet d intensité turbulente plus faible (Jet2). - dans le reste de la cuve, deux zones bulk peuvent être distinguées correspondantes aux boucles de circulation supérieure (Bulk1) et inférieure (Bulk2). 135

150 Introduction z/t 1 BULK 1 JET 2 JET 1 AGITATEUR JET 1 JET 2 0,4 0,267 BULK 2 0 0,167 0,333 0,5 0 r/t Figure 4.2 Compartimentation de la cuve en 5 zones d intensité turbulente différente. Dans chaque zone définie, on peut déterminer, d une part, l énergie cinétique moyenne dans cette zone k MT,Z, et d autre part, sa contribution à l énergie cinétique turbulente globale δk MT,Z. La valeur moyenne de l énergie cinétique turbulente dans une zone est calculée de la manière suivante : k MT,Z = 1 V Z N Z i=1 k MT,i V i (4.1) N Z V Z = V i (4.2) La contribution de la zone à l énergie cinétique turbulente moyenne dans l ensemble de la cuve est déterminée suivant : δk MT,Z = i NZ i=1 k MT,i V i NT j=1 k = V Z MT,j V j V k MT,Z k MT,V (4.3) k MT,Z : valeur moyenne de l énergie cinétique turbulente dans la zone Z V Z : volume de la zone Z N Z : nombre de mailles dans la zone Z V i : volume d une cellule du maillage k MT,i : valeur locale (dans une maille) de l énergie cinétique turbulente 136

151 1.. Hétérogénéités spatiales et temporelles de la turbulence et du mélange Zones V Z /V T (-) δk MT,Z (-) k MT,Z /k MT,V (-) Agitateur 0,014 0,012 0,9 Jet1 0,041 0,165 3 Jet2 0,074 0,155 2,1 Bulk1 0,602 0,460 0,8 Bulk2 0,268 0,208 0,8 Tableau 4.1 Rapport des volumes, contribution à la moyenne volumique totale et moyenne volumique dans chaque zone pour l énergie cinétique turbulente. k MT,V : valeur moyenne de l énergie cinétique turbulente dans l ensemble de la cuve δk MT,Z : contribution de la zone Z à la moyenne globale de l énergie cinétique turbulente k MT,V N T : nombre total de mailles dans la cuve V : volume total de la cuve La même approche est appliquée au taux de dissipation de l énergie cinétique Répartition volumique de l énergie cinétique turbulente La contribution de chaque zone ainsi que la valeur moyenne de l énergie cinétique turbulente sont présentées dans le tableau 4.1. La valeur moyenne dans chaque zone k MT,Z est pondérée par la moyenne volumique totale k MT,V. La fraction du volume total occupée par chaque zone est également indiquée. La distribution volumique des valeurs locales de l énergie cinétique prenant en compte la contribution de chaque zone est tracée sur la figure 4.3. Elle représente le pourcentage du volume total de la cuve occupé par des valeurs locales de k MT, tel que 0 < k MT 0, 1 par exemple. Cette distribution a été séparée en deux intervalles : le premier comprend les valeurs locales de l énergie cinétique comprise entre 0 et 2 fois la moyenne (avec un incrément de 0,1) et le second comprend les valeurs locales supérieures à deux fois la moyenne (avec un incrément de 0,5). Indépendamment de la zone, près de 80 % du volume total de la cuve correspond à des valeurs locales de l énergie cinétique turbulente inférieures ou égales à la valeur moyenne k MT,V. 137

152 Introduction P ( ) (a) k M T /k M T,V ( ) k MT k MT,V = 0 :0,1 : (b) k M T /k M T,V ( ) k MT k MT,V = 2 :0,5 :12 Bulk1 Bulk2 Agitateur Jet1 Jet2 Figure 4.3 Distribution volumique de l énergie cinétique turbulente par rapport à la valeur moyenne. Parmi ces valeurs, moins de 9 % sont inférieures à 0,5k MT,V. En considérant la répartition par zone, on remarque que les zones centrées verticalement sur l agitateur (Agitateur + Jet1 + Jet2) contribuent à plus de 30 % de l énergie cinétique turbulente moyenne dans l ensemble de la cuve, alors qu elles ne représentent que 13 % du volume total. Les valeurs les plus importantes de l énergie cinétique turbulente sont localisées dans la décharge de l agitateur (Jet1 + Jet2). Dans ces zones, la valeur moyenne de l énergie cinétique k MT,Z est 3 fois et 2 fois supérieure à la moyenne volumique k MT,V pour la première partie (Jet1) et la seconde partie (Jet2) respectivement. Dans la zone centrale comprenant l agitateur la valeur moyenne k MT,Z est équivalente aux valeurs moyennes dans chaque boucle de circulation. Contrairement aux trois zones centrées sur l agitateur, la contribution de chaque boucle de circulation (Bulk1 et Bulk2) à l énergie cinétique globale est proportionnelle au rapport de leur volume respectif sur le volume total. De plus, les distributions volumiques dans chacune de ces zones sont, d une part, très similaires, et d autre part, centrées sur la valeur moyenne de l énergie cinétique dans ces zones k MT,Z = 0, 8k MT,V. 138

153 1.. Hétérogénéités spatiales et temporelles de la turbulence et du mélange Zones V/V T (-) δǫ Z (-) ǫ Z /δǫ V (-) Agitateur 0,014 0,204 14,3 Jet1 0,041 0, Jet2 0,074 0,125 1,7 Bulk1 0,602 0,120 0,2 Bulk2 0,268 0,054 0,2 Tableau 4.2 Rapport des volumes, contribution à la moyenne globale et moyenne volumique de chaque zone pour le taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente Taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente Les résultats sur les différents compartiments sont présentés dans le tableau 4.2. La distribution du taux de dissipation prenant en compte la contribution de chaque zone est tracée sur la figure 4.4. Au vu de la très forte disparité des valeurs locales du taux de dissipation (0 < ǫ < 100), la distribution volumique a été divisée en cinq intervalles : ǫ/ǫ V = [0 :0,05 :0,6] (a), [0,6 :0,2 :2] (b), [2 :1 :10] (c) et [10 :10 :100] (d) P ( ) ǫ/ǫ V ( ) ǫ/ǫ V ( ) ǫ/ǫ V ( ) ǫ/ǫ V ( ) (a) ǫ ǫ V = 0 :0,05 :0,6 (b) ǫ ǫ V = 0,6 :0,2 :2 (c) ǫ ǫ V = 2 :1 :10 (d) ǫ ǫ V = 10 :10 :100 Bulk1 Bulk2 Agitateur Jet1 Jet2 Figure 4.4 Distribution volumique du taux de dissipation par rapport à la valeur moyenne 139

154 Introduction La distribution volumique semble suivre une loi log-normale avec plus de 90 % du volume occupé par des valeurs locales inférieures à ǫ V. Si l on considère l ensemble du volume de la cuve, on observe que plus de 60 % de ce volume est occupé par des valeurs du taux de dissipation inférieures ou égales à 0,2 fois la moyenne globale ǫ V. Les valeurs supérieures à ǫ V ne représentent que 10 % du volume total. En s intéressant maintenant à chaque zone, on observe que près de 50 % de la dissipation a lieu dans la première partie du jet (Jet1) bien que le volume de cette zone ne représente que 4 % du volume total. Une partie non négligeable (20 %) est également dissipée dans le volume comprenant l agitateur. Les valeurs maximales du taux de dissipation sont d ailleurs observées dans cette zone (Agitateur). Ces fortes valeurs sont liées au frottement sur les arêtes des pales et dans une moindre mesure sur le disque. Dès qu on s éloigne de ces parois, le taux de dissipation chute fortement avant d augmenter à nouveau dans le jet aux alentours des vortex traînants. Au final plus de 80 % de l énergie cinétique turbulente est dissipée dans une zone centrée sur l agitateur (Agitateur + Jet1+ Jet2) représentant seulement 13 % du volume total de la cuve. Dans la littérature, les pourcentages rapportés dans les différentes zones autour de l agitateur varient selon des auteurs mais nos valeurs correspondent aux intervalles rapportés par Ng & Yianneskis (2000) qui ont comparé différents travaux numériques et expérimentaux. De même que pour l énergie cinétique turbulente, les taux de dissipation moyens déterminés dans chaque boucle de circulation ǫ Z sont égaux. Cependant, le taux de dissipation est encore relativement hétérogène dans les boucles de circulation. Les distributions dans ces zones suivent une loi log-normale (contrairement à l énergie cinétique dont les distributions étaient gaussiennes) mais le maximum de probabilité de ces distributions est proche de la valeur moyenne dans chaque zone ǫ Z = 0, 2ǫ V. On remarque également que plus de 98 % du volume des boucles est occupé par des valeurs locales du taux de dissipation inférieures à ǫ V Conclusions L intensité turbulente très importante dans le jet conduit à une répartition très hétérogène de l énergie cinétique et plus encore du taux de dissipation. La compartimentation de la cuve que nous avons définie à partir de l énergie cinétique turbulente et de son taux de dissipation a permis de localiser l hétérogénéité spatiale de la turbulence. La zone comprenant l agitateur et le jet (Agitateur + Jet1 + Jet2) ne représente qu à peine 13 % du volume total de la cuve, mais contribue à plus de 33 % de la valeur moyenne de l énergie 140

155 1.. Hétérogénéités spatiales et temporelles de la turbulence et du mélange cinétique turbulente k MT,V, et à plus de 80 % du taux de dissipation moyen ǫ V. Par conséquent, les valeurs dans les boucles de circulation sont beaucoup plus faibles que celles aux alentours de l agitateur et en grande partie inférieures à la valeur moyenne dans l ensemble de la cuve. De plus, dans ces zones, la répartition spatiale de l énergie cinétique turbulente est relativement homogène. Pour le taux de dissipation, la distribution dans les boucles de circulation est plus hétérogène mais le maximum de probabilité est proche de la valeur moyenne dans ces zones. La compartimentation définie dans cette section va permettre également d étudier les échelles de mélange. Les hétérogénéités de l énergie cinétique et du taux de dissipation vont évidemment avoir une conséquence sur la répartition spatiale des échelles caractéristiques du mélange. 1.2 Répartition volumique des échelles de mélange A partir des valeurs obtenues par la simulation LES du taux de dissipation et de l énergie cinétique turbulente, il est possible de calculer les échelles de taille et de temps caractéristiques des mécanismes de mesomélange, de micromélange par incorporation et de micromélange par diffusion (cf. Section 3.2 du Chapitre1). Les échelles de mélange vont également être déterminées dans chacun des compartiments définies dans la section A partir des valeurs locales du taux de dissipation, la détermination des échelles caractéristiques du micromélange ne présente aucune difficulté. Il n en est pas de même par contre pour les Mécanismes Taille caractéristique Temps caractéristique Mesomélange par désintégration Λ = 1 k 3 2 MT t S = 3 ( )1 Λ k MT = 2 ǫ 4 ǫ 2 ǫ ( )1 Micromélange par ν 3 4 ( ν )1 2 η incorporation K = t E = 17 ǫ ǫ Micromélange par ( η B = η K Sc 1 2 ν )1 2 t Ds = 2 arcsinh(0, 05 Sc) diffusion ǫ Tableau 4.3 Expressions des échelles de taille et de temps caractéristiques des mécanismes de mesomélange et de micromélange 141

156 Introduction échelles caractéristiques du mesomélange, plus particulièrement pour l échelle intégrale de la turbulence. En toute rigueur, l échelle intégrale de la turbulence Λ peut être déterminée par autocorrélation spatiale du signal de vitesse turbulente dans les trois directions de l espace de la manière suivante : R i (M,dx j ) = u i (M)u i (M + dx j) u i 2 (M)u i 2 (M + dx j ) Λ i = 0 (4.4) R i (M,dx j )dx j (4.5) Λ = Λ 1 + Λ 2 + Λ 3 (4.6) La LES peut permettre d appliquer cette méthode en quelques points de la cuve mais son application dans l ensemble de la cuve n est pas envisageable. La macroéchelle a donc été déterminée à partir des valeurs locales de l énergie cinétique et du taux de dissipation d après l équation suivante : Λ = A u 23 ǫ = B k 3 2 MT ǫ Cette expression fait appel à l hypothèse d isotropie de la turbulence, à savoir : (4.7) u 2 = u i 2 = 2 3 k MT (4.8) Les valeurs de la constante B varient dans la littérature entre 0,5 et 1. La valeur utilisée ici a été estimée en comparant la macroéchelle déterminée expérimentalement par Escudié (2001) par autocorrélation spatiale et l expression 4.7 calculée à partir des valeurs numériques de k MT et ǫ. Les valeurs expérimentales obtenues sont comprises entre 15 mm et 30 mm, soit 0, 5w < Λ < w, où w est la hauteur d une pale. On obtient ainsi des valeurs de la constante B comprises entre 0,3 et 0,5 aux points considérés localisés dans le jet. La valeur B = 1/2 étant en accord avec celle proposée par Baldyga & Bourne (1999), les valeurs de la macroéchelle dans l ensemble de la cuve ont été estimées en prenant cette valeur de B. Il faut néanmoins garder en mémoire que la macroéchelle ainsi calculée fait appel à l hypothèse d isotropie de la turbulence, même si cette hypothèse n est pas vérifiée en cuve agitée, particulièrement dans la décharge de l agitateur (Derksen & van den Akker, 1999; Galletti et al., 2004; Escudié & Liné, 2006). 142

157 1.. Hétérogénéités spatiales et temporelles de la turbulence et du mélange Valeurs moyennes réelles des échelles de mélange Lorsque l on veut analyser l influence du mélange sur une réaction, l approche classique est de comparer les temps caractéristiques de chaque phénomène. Dans une cuve agitée, une estimation des échelles caractéristiques des mécanismes de mélange peut être réalisée à partir de grandeurs globales telles que le nombre de pompage ou de circulation pour le temps caractéristique du macromélange et le nombre de puissance pour le taux de dissipation et ainsi les échelles caractéristiques du mésomélange et du micromélange. La valeur moyenne de l énergie cinétique n étant généralement pas connue a priori, on assimile l échelle intégrale de la turbulence à la hauteur des pales de l agitateur : Λ = w (Baldyga & Bourne, 1999; Bourne, 2003). Cependant une forte hétérogénéité de la turbulence, en terme d énergie cinétique turbulente et de taux de dissipation, a été mise en évidence dans la section précédente. Les échelles de mélange étant une fonction du taux de dissipation à la puissance 1 dans le cas du mesomélange et à la puissance 1/4 et 1/2 pour les échelles de taille et de temps respectivement des mécanismes de micromélange, la valeur moyenne réelle, à savoir calculée en intégrant les valeurs locales, va différer de la valeur moyenne estimée à partir de l énergie cinétique moyenne k MT,V et du taux de dissipation moyen ǫ V. ϕ(ǫ,k MT ) = 1 N ϕ i (ǫ i,k MT,i )V i V i=1 } {{ } Moyenne 1 ϕ(ǫ V,k MT,V ) } {{ } Moyenne 2 (4.9) Les valeurs moyennes estimées par les deux méthodes sont présentées dans le tableau 4.4 pour chaque échelle caractéristique des mécanismes de mélange turbulent. On remarque que l estimation à partir des valeurs moyennes du taux de dissipation et de l énergie cinétique turbulente sous-estime systématiquement les échelles caractéristiques du mélange : de 1,5 à 4 fois selon les échelles. Cette sous-estimation est particulièrement notable pour les échelles liées au mesomélange. Par la suite, nous utiliserons les valeurs moyennes volumiques déterminées par intégration des valeurs locales dans l ensemble du volume. 143

158 Introduction Répartition volumique Les échelles caractéristiques du mesomélange et, du micromélange par incorporation sont présentées sur un plan vertical coupant la cuve entre deux chicanes sur les figures 4.5 et 4.6 respectivement. Les valeurs présentées étant pondérées par la moyenne volumique correspondante, les contours des échelles du micromélange par diffusion sont identiques à ceux du micromélange par incorporation et ne sont donc pas présentés. Les échelles caractéristiques du micromélange ne dépendant que du taux de dissipation, les contours de ces échelles sont très similaires au contour du taux de dissipation (Figure 4.1 (b)) mais l intervalle entre valeurs minimales et valeurs maximales est plus resserré. Les échelles les plus petites, correspondant à un micromélange rapide, sont observées dans le jet de l agitateur et au niveau des pales où le taux de dissipation est le plus élevé. Les échelles caractéristiques du mesomélange dépendant à la fois de l énergie cinétique et de son taux de dissipation, les contours de ces échelles sont un peu différents mais les valeurs les plus petites, correspondant à un mesomélange rapide, sont également localisées aux alentours de l agitateur et dans le jet. Les distributions volumiques des échelles caractéristiques du mélange sont présentées sur les figures 4.7 et 4.8. La contribution des cinq zones définies précédemment (Figure 4.2) est également représentée. Échelles Moyenne1 ϕ(ǫ,k MT ) Moyenne2 ϕ(ǫ V,k MT,V ) Rapport Λ (mm) 53 t S (ms) ,5 a 4 30 b 2 97 a b 3 η K (µm) ,5 t E (ms) ,5 η B (µm) 2,8 1,9 1,5 t Ds (ms) ,5 a estimé à partir de ǫ V et k MT,V b estimé à partir de Λ = w Tableau 4.4 Valeurs moyennes des échelles de mélange calculées de deux manières (Équation 4.9). 144

159 1.. Hétérogénéités spatiales et temporelles de la turbulence et du mélange Zones Λ Z /Λ V t S,Z /t S,V η K,Z /η K,V t E,Z /t E,V (-) Agitateur 0,20 0,24 0,58 0,43 Jet 1 0,35 0,23 0,50 0,29 Jet2 0,52 0,33 0,63 0,39 Bulk 1 1,14 1,18 1,08 1,14 Bulk 2 0,97 0,95 1,01 0,99 Tableau 4.5 Valeurs moyennes des échelles caractéristiques des mécanismes de mesomélange et de micromélange par incorporation dans chaque zone. Les valeurs moyennes des échelles de mélange dans chacune des zones sont reportées dans le tableau 4.5. Les échelles caractéristiques sont fonction du taux de dissipation à la puissance 1, 1/2 ou 1/4 selon les mécanismes considérés. Par conséquent, bien qu une hétérogénéité spatiale existe en terme d échelles de mélange, elle est moins marquée que pour l énergie cinétique ou le taux de dissipation. Si l on considère l ensemble de la cuve, sans distinction de zone, environ 50 % de ce volume est occupé par des échelles supérieures à la valeur moyenne dans la cuve, quelle que soit l échelle considérée. Pour les échelles caractéristiques de mesomélange, où l hétérogénéité est plus importante que pour le micromélange, environ 5,5 % du volume est occupé par des valeurs supérieures à deux fois la moyenne volumique. Dans les zones autour de l agitateur (Agitateur, Jet 1 et Jet 2), les échelles de mélange sont en moyenne inférieures de 2 (micromélange) à 5 (mesomélange) fois la moyenne volumique. Toutes échelles confondues, les valeurs minimales, c est-à-dire les vitesses de mélange les plus rapides, sont situées dans la première partie du jet (Jet 1). Dans les boucles de circulation, les moyennes des échelles sont proches des moyennes volumiques dans l ensemble de la cuve. On peut remarquer que ces moyennes sont légèrement plus faibles dans la boucle de circulation inférieure. En effet, on note sur les distributions volumiques (Figures 4.7 et 4.8) que les valeurs les plus élevées, tous mécanismes confondus, sont localisées dans la boucle supérieure. Les valeurs maximales des échelles de mélange dans la boucle supérieure atteignent Λ = 4 Λ V et t S = 3, 5t S,V contre Λ = 3, 5 Λ V et t S = 2, 5t S,V 145

160 Introduction z (m) z (m) r (m) r (m) 0 (a) Λ/Λ V (b) t S /t S,V Figure 4.5 Contours des échelles (a) de taille et (b) de temps de mesomélange z (m) z (m) r (m) r (m) 0 (a) η K /η K,V (b) t E /t E,V Figure 4.6 Contours des échelles (a) de taille et (b) de temps du micromélange par incorporation 146

161 1.. Hétérogénéités spatiales et temporelles de la turbulence et du mélange P ( ) 0.04 P ( ) L/L V ( ) t S /t S,V ( ) Bulk1 Bulk2 Agitateur Jet1 Jet2 Figure 4.7 Distribution volumique des échelles de taille et de temps du mesomélange P ( ) P ( ) η K /η K,V ( ) t E /t E,V ( ) Bulk1 Bulk2 Agitateur Jet1 Jet2 Figure 4.8 Distribution volumique des échelles de taille et de temps du micromélange par incorporation 147

162 Introduction dans la boucle inférieure. Pour les échelles de micromélange, on atteint des valeurs maximales de η K = 1, 7η K,V et t E = 2, 6t E,V dans la boucle supérieure contre η K = 1, 4η K,V et t E = 1, 7t E,V dans la boucle inférieure Hétérogénéité des échelles de mélange : Conclusions Les hétérogénéités spatiales sont beaucoup moins marquées sur les échelles caractéristiques du mélange du fait qu elles sont fonction du taux de dissipation à la puissance -1 si on considère les échelles de taille et de temps du mésomélange et -1/4 ou -1/2 pour respectivement les échelles de taille et de temps du micromélange. Par conséquent les valeurs des échelles dans les boucles de circulation sont très proches de leur valeur moyenne dans l ensemble de la cuve (calculée en intégrant les valeurs locales). Dans les zones comprenant l agitateur et son jet, on observe cependant des valeurs locales inférieures à la valeur moyenne. Cependant, un point important à retenir est que la valeur moyenne calculée à partir de grandeurs connues tel que le taux de dissipation moyen et la hauteur des pales sous-estime fortement la valeur moyenne réelle obtenue par intégration des valeurs locales sur l ensemble du volume. On peut noter également que les échelles de taille du mesomélange ou échelles intégrales de la turbulence sont en tout point de la cuve supérieures à la taille du maillage (compris entre 1 mm près de l agitateur et 4 mm près des parois de la cuve). Ces échelles sont donc résolues directement par la simulation LES. En terme de temps, le pas de temps utilisé est également inférieur aux temps caractéristiques du meso- ou micromélange les plus courts. Par contre, les tailles caractéristiques du micromélange (échelle de Kolmogorov) sont significativement plus petites que la taille des mailles en tout point de la cuve. Ce type de résultat est d ores et déjà utile pour la conception d un bioréacteur, en particulier pour le choix du système et des points d alimentation. Au-delà des valeurs particulières obtenues sur cette géométrie, il est envisageable d utiliser cette méthode pour d autres géométries de bioréacteur. 148

163 1.. Hétérogénéités spatiales et temporelles de la turbulence et du mélange z 0,40 m P1 P1,P2,P3 45 0,15 m P2 0,05 m P3 0 0,15 m r Figure 4.9 Positions des points d enregistrement du taux de dissipation instantané. 1.3 Hétérogénéité temporelle du taux de dissipation et des échelles de micromélange Jusqu ici, nous avons présenté le taux de dissipation et les échelles de mélange qui y sont reliées en moyenne d ensemble, c est-à-dire moyennés dans le temps. Or, le taux de dissipation local varie fortement dans le temps, ce que nous allons nous attacher à décrire ici en quelques points. L évolution temporelle du taux de dissipation a été enregistrée en trois points de la cuve : 5 cm sous la surface (Point P1), dans la décharge de l agitateur (Point P2) et à 5 cm du fond de la cuve (Point P3). La localisation de ces points et leurs coordonnées sont présentées sur la figure 4.9. Les évolutions temporelles du taux de dissipation aux points P1, P3 et P2 sont représentées sur les figures 4.11 (a), (b) et (c) respectivement. Contrairement à une vitesse instantanée, le taux de dissipation ne fluctue pas autour d une valeur moyenne. De manière schématique, le taux de dissipation instantané semble suivre une ligne de base dont la valeur est inférieure à la moyenne temporelle locale à laquelle se superpose de manière aléatoire, du moins en apparence, des pics d amplitudes variées. Les amplitudes et les fréquences des pics observées aux deux points localisés dans les boucles de circulation sont similaires, l amplitude maximale atteint environ 10 fois la valeur locale moyenne. Les amplitudes ainsi que les fréquences du taux de dissipation instantané observées au point situé dans le jet sont plus importantes : l amplitude maximale atteint près de 50 fois la valeur locale moyenne. 149

164 Introduction ǫ(t)/ǫ (-) 6 4 ǫ(t)/ǫ (-) t (s) t (s) (a) Point P1 (Boucle haute) (b) Point P3 (Boucle basse) ǫ(t)/ǫ (-) t (s) (c) Point P2 (Jet) Figure 4.10 Évolution temporelle du taux de dissipation instantané pondéré par la moyenne locale pour 3 positions dans la cuve. P (-) ǫ(t)/ǫ (-) Point P1 Point P2 Point P3 Figure 4.11 Distribution temporelle des valeurs du taux de dissipation instantané pour les 3 points de mesure considérés. 150

165 1.. Hétérogénéités spatiales et temporelles de la turbulence et du mélange La distribution des valeurs locales instantanées du taux de dissipation est présentée sur la figure 4.11 pour chaque point considéré. Par souci de lisibilité, cette distribution temporelle est limitée aux valeurs du taux de dissipation instantané inférieures à 5 fois la moyenne temporelle (ǫ(t)/ǫ = [0 :0,2 :5]. Pour les trois points considérés, les distributions des taux de dissipation instantanés sont similaires, en particulier pour les deux points situés dans les boucles de circulation. On observe cependant que la proportion de valeurs instantanées inférieures à la valeur moyenne locale est plus importante pour le point situé dans le jet de l agitateur. En ce point, plus de 79 % des valeurs instantanées sont inférieures ou égales à la valeur moyenne locale, contre environ 69 % aux points localisées dans les boucles de circulation. Par contre le pourcentage de taux de dissipation ǫ(t) supérieur à 5 ǫ est plus important dans le jet de l agitateur que dans les boucles de circulation : au point P2, 4 % des valeurs instantanées dépassent 5 fois la moyenne contre 2,5 % pour les points P1 et P3. La forte hétérogénéité temporelle du taux de dissipation implique que le temps de micromélange moyen calculé à partir de la moyenne temporelle locale du taux de dissipation (t E (ǫ)) et celui calculé en intégrant les valeurs instantanés (t E (ǫ)) sont différents. 1 T [ T ( ] )1 ν = t E (ǫ) = 17 ǫ(t) t=1 ( ν 3 ǫ )1 2 te (ǫ) (4.10) Les valeurs moyennes du taux de dissipation local et du temps de micromélange calculé de ces deux manières sont reportées dans le tableau 4.6 pour chaque point. Le temps de micromélange moyen calculé à partir de la moyenne temporelle du taux de dissipation sous-estime la moyenne réelle. L ampleur de cette sous-estimation est identique pour les points situés dans les boucles de circulation (P1 et P3). La sous-estimation est encore plus importante dans le jet de l agitateur. Point ǫ (m 2.s 3 ) t E (ǫ) (ms) t E (ǫ) (ms) Rapport P1 0,008 (0,10ǫ V ) ,8 P2 2,49 (30ǫ V ) ,6 P3 0,009 (0,11ǫ V ) ,8 Tableau 4.6 Moyennes temporelles du taux de dissipation et du temps de micromélange aux trois points considérés. 151

166 Introduction Pour un pas de temps donné, les valeurs instantanées du taux de dissipation dans toute la cuve ont été enregistrées. La moyenne volumique de ces valeurs ǫ V est égale au taux de dissipation moyen volumique intégré dans le temps ǫ V. Cependant, la distribution volumique des valeurs instantanées est différente de celle des valeurs intégrées dans le temps. Par conséquent, le temps de micromélange instantané intégré dans le volume t E,V diffère du temps de micromélange intégré à la fois dans l espace et dans le temps t E,V : sa valeur est t E,V = 208 ms, soit environ 1,5 fois celle obtenue par intégration spatiale et temporelle (t E,V = 143 ms). 1.4 Hétérogénéités spatiales et temporelles : Conclusions L étude de la répartition volumique des caractéristiques de la turbulence et du mélange a permis de proposer une compartimentation de la cuve. Elle a permis de mettre en évidence que l hétérogénéité spatiale observée dans la cuve est principalement liée à la présence de l agitateur et du jet créé par le mouvement de celui-ci. Les trois zones définies au niveau du jet, qui représentent au total environ 13 % du volume de la cuve, contribuent à 33 % de l énergie cinétique moyenne k MT et surtout à plus de 80 % de la dissipation. Par conséquent, les échelles caractéristiques du mélange sont minimales dans cette zone. Dans le reste de la cuve, c est-à-dire dans les deux boucles de circulation au-dessus et au-dessous, nous avons montré une relative homogénéité de la turbulence caractérisée par des distributions volumiques centrées sur la moyenne dans la zone correspondante. En plus d une hétérogénéité spatiale, il existe une hétérogénéité temporelle que nous avons caractérisée en terme de taux de dissipation pour trois positions dans la cuve. Nous avons montré que le taux de dissipation local varie fortement mais, contrairement à des fluctuations de vitesse, il ne fluctue pas autour de sa moyenne locale : de forts pics sont observés atteignant jusqu à 50 fois la valeur moyenne locale dans le jet de l agitateur. Le taux de dissipation instantané étant déterminé à partir des échelles de sous-maille, on peut émettre des doutes sur la validité de l information temporelle. En effet, plusieurs auteurs soulignent que le modèle de sous-maille de Smagorinski n est valable qu en moyenne (Sagaut, 1998; Piomelli, 1999). Cependant, en terme d amplitude, le signal temporel du taux de dissipation obtenu par la simulation LES est très similaire aux résultats obtenus par Huchet (2008, article en soumission) avec la PIV haute fréquence. En terme de fréquence, le signal s avère très difficile à analyser et demande un post-traitement plus complexe que pour un signal de vitesse. La comparaison, plus approfondie, du signal temporel du taux de dissipation obtenu par LES et par PIV haute fréquence est une perspective de ce travail. 152

167 1.. Hétérogénéités spatiales et temporelles de la turbulence et du mélange Une des conséquences à retenir de ces hétérogénéités spatiales et temporelles est que les valeurs moyennes des échelles de mélange estimées à partir du taux de dissipation moyen ǫ V sous-estiment les moyennes réelles de ces échelles. Toutefois, les ordres de grandeur restent valables. L analyse des possibilités interactions mélange - réaction biologique proposée au chapitre 2 n est pas remise en cause. Au contraire, elle va dans le sens d un impact plus important des mécanismes de mesomélange et de micromélange. En effet, les temps caractéristiques moyens ayant été sous-estimés, ils se rapprochent des temps caractéristiques de la réaction biologique. L environnement direct des microorganismes cultivés dans un bioréacteur agité étant conditionné par l hydrodynamique au sein de ce bioréacteur, de telles hétérogénéités vont forcément avoir une influence sur le comportement des microorganismes. La question est de quelle manière? Dans la partie 3 de ce chapitre, nous essaierons d amener des éléments quantitatif en analysant les conditions physiques observées par ces microorganismes. Mais dans un premier temps, nous allons nous attacher à caractériser le mélange, de manière macroscopique cette fois-ci, au sein de la cuve en fonction de la position d injection. 153

168 Introduction 2. MÉLANGE D UN TRACEUR INERTE : INFLUENCE DU POINT D INJECTION Nous nous sommes intéressés ici au mélange, ou plus exactement au macromélange, d un traceur inerte après un ajout unique d un traceur. Trois injections de volume identique ont été réalisées au même instant en trois points différents de la cuve. L objectif principal de cette partie est ainsi d étudier l influence de la position du point d injection sur le macromélange afin d expliquer les différences observées sur les rendements de croissance microbienne observées dans certaines cultures lorsque la position de l injection de la solution d alimentation en substrat est modifiée. Le mélange a été caractérisé macroscopiquement de deux manières : - le temps de mélange à 95 % a été déterminé à partir de l enregistrement de la concentration à chaque pas de temps en 6 points définis dans la cuve, - l intensité de la ségrégation dans l ensemble de la cuve a été déterminée à chaque pas de temps. 2.1 Traçage numérique : Mise en oeuvre Les propriétés du traceur inerte injecté sont identiques à celles de l eau (ρ = 998,2 kg.m 3, µ = 1, kg.m 1.s 1 ). L évolution de la concentration d un composé inerte dans un volume de contrôle est résolue pour une simulation LES par l équation suivante : c α t + u c α 2 c α j = D m τ ci (4.11) x j x 2 j x j c α : concentration de l espèce α D m : coefficient de diffusion moléculaire de l espèce considéré τ ci : terme de diffusion par les contraintes turbulentes On rappelle que l écriture φ représente les échelles résolues directement par la LES et non une moyenne. De la même manière que pour les équations filtrées de conservation de la quantité de mouvement, le terme τ ci nécessite également d être modélisé en sous-maille. Par analogie avec 154

169 2.. Mélange d un traceur inerte : Influence du point d injection la diffusion moléculaire, on introduit un coefficient de diffusion turbulente D T. τ ci = u i c α u i c α = D T c α x j (4.12) D T : coefficient de diffusion turbulente ν T : viscosité turbulente Sc T : nombre de Schmidt turbulent La valeur du nombre de Schmidt turbulent utilisée est Sc T = 0,7. Pour rappel, la viscosité turbulente est déterminée à partir du coefficient C S du modèle de sous-maille et des gradients de vitesses résolus. Nous avons montré dans le chapitre précédent (Section 3.3.2) que la valeur de la constante C S dans le modèle de sous-maille a une influence importante sur la valeur locale du taux de dissipation. Cependant, son influence sur les grandeurs déterminées à partir des échelles résolues est négligeable. En terme de concentration, si l évolution de la concentration en un point diffère selon la valeur de C S (principalement liée au fait que les champs instantanés de vitesse au moment de l injection sont différents), aucun impact notable n est observé sur la décroissance de la ségrégation dans l ensemble de la cuve. De même, nous n avons pas observé d influence significative de la valeur du nombre de Schmidt turbulent Sc T. Un volume identique (V inj 65 ml) de traceur a été injecté à l instant t = 0 en trois positions différentes de la cuve. Chaque point d injection est situé sur un même rayon par rapport à l axe de l agitateur (r = 0, 15 m) mais localisé à différentes hauteurs par rapport au fond de la cuve (voir Figure 4.12) : - au-dessous de la surface (Traceur A, z = 0, 4 m), - dans le jet de l agitateur (Traceur B, z = 0, 15 m), - proche du fond de la cuve (Traceur C, z = 0, 05 m). La position de chaque injection correspond aux points où l évolution temporelle du taux de dissipation instantané a été enregistrée (voir Figure 4.10, Section 1.3 ). Dans le tableau 4.7 sont présentées les valeurs moyennes locales de l énergie cinétique k MT, du taux de dissipation ǫ, ainsi que des temps caractéristiques du mesomélange t S et de micromélange par incorporation t E. Ces temps caractéristiques moyens sont calculés à partir des moyennes temporelles de l énergie cinétique k MT et du taux de dissipation ǫ, car nous n avons pas accès aux valeurs instantanées de l énergie cinétique. Même si ces valeurs sont moins précises comme nous l avons montré dans la partie précédente, 155

170 Introduction Point k MT (m 2.s 2 ) ǫ (m 2.s 3 ) t S (ǫ,k MT ) (ms) t E (ǫ) (ms) P1 0,014 (0,9k MT,V ) 0,009 (0,1ǫ V ) 750 (1,6t S,V ) 195 (1,4t E,V ) P2 0,150 (9,4k MT,V ) 2,490 (30ǫ V ) 30 (0,06t S,V ) 11 (0,08t E,V ) P3 0,016 (1k MT,V ) 0,008 (0,4ǫ V ) 1000 (2,1t S,V ) 179 (1,3t E,V ) Tableau 4.7 Moyennes temporelles du taux de dissipation et des temps de meso- et micromélange aux trois points d injection considérés. elles traduisent correctement les écarts de conditions hydrodynamiques locales entre les trois points d injection. 2.2 Évolution des concentrations L évolution de la concentration en traceur a été suivie en 6 points du réacteur afin de déterminer le temps de mélange pour chaque position de l injection du traceur. Trois des points de mesure correspondent aux trois positions d injection, les trois autres sont diamétralement opposés aux trois premiers (cf. Figure 4.12). z z = 0,40 m P4 P1 Traceur A Traceurs A,B,C P1,P2,P3 45 z = 0,15 m P5 P2 Traceur B z = 0,05 m P6 P3 Traceur C P4,P5,P6 r = 0,15 m r = 0 r = 0,15 m r Figure 4.12 Représentation schématique de la position des trois points d injection du traceur inerte et des six points d enregistrement de la concentration. 156

171 2.. Mélange d un traceur inerte : Influence du point d injection c 1 α/cα ( ) c 4 α/cα ( ) t (s) 12 (a) Point P t (s) 4 (b) Point P4 c 2 α/cα ( ) c 5 α/cα ( ) t (s) 12 (c) Point P t (s) 4 (d) Point P5 c 3 α/cα ( ) c 6 α/cα ( ) t (s) (e) Point P t (s) (f) Point P6 traceur A traceur B traceur C Figure 4.13 Evolution des concentrations normées de chaque traceur aux 6 points de mesure. 157

172 Introduction c i α/cα ( ) traceur A, point P1 traceur B, point P2 traceur C, point P t (s) Figure 4.14 Évolution des concentrations normées de chaque traceur aux points d injection sur une durée de 0,5 seconde après l injection. L évolution de la concentration est représentée sur la figure 4.13 pour chacun des 6 points d enregistrement et pour chacune des 3 positions de l injection. Les concentrations sont pondérées par la concentration moyenne de chaque traceur dans la cuve. Ces évolutions sont en bon accord avec l étude expérimentale et numérique de Jahoda et al. (2006). Les auteurs ont réalisé un traçage numérique en utilisant une simulation RANS et une simulation LES et comparé l évolution numérique de la concentration en un point aux résultats obtenus par un traçage expérimental. La configuration de cuve et de la turbine de Rushton utilisée dans leurs travaux est similaire à celle utilisée ici. Ils ont montré que la simulation LES représente correctement l évolution de la concentration en un point après un pulse de traceur inerte. La simulation RANS, quant à elle, lisse significativement les fluctuations de concentration observées expérimentalement et, dans leur cas, sous-estime le temps de mélange. Quelle que soit la position de l injection considérée, on observe une très rapide diminution de la concentration au point d injection : en une centaine de millisecondes, la concentration en traceur au point d injection atteint une valeur quasi-nulle. Les concentrations adimensionnelles de chaque traceur au point d injection correspondant sont retracées sur la figure 4.14 sur une période de 0,5 s à partir de l injection. Pour les points d injection situés dans les boucles de circulation (traceurs A et C), aucune fluctuation de concentration n est observée au point d injection pendant au moins 0,2 s, ce qui semble indiquer que le volume de traceur initial s est déplacé mais n a pas encore été désagrégé par le mécanisme de mesomélange. Une nette différence est observée pour l injection B localisée dans le jet. D une part la 158

173 2.. Mélange d un traceur inerte : Influence du point d injection concentration diminue beaucoup plus rapidement, indiquant probablement un déplacement plus rapide du volume injecté lié aux vitesses importantes dans le jet. D autre part, avant que la concentration atteigne une valeur proche de 0, on observe deux pics de concentration indiquant le passage successif de deux paquets concentrés au niveau du point d injection. On peut noter que l intervalle entre les pics est d environ 50 ms qui est de l ordre de la valeur du temps de mesomélange t S = 30 ms en ce point (Tableau 4.7) En ce qui concerne l évolution des concentrations aux points diagonalement opposés aux points d injection, on oberve que les concentrations restent nulles ou négligeables pendant une période variant de 1 à 4 secondes selon les points de mesure et l injection considérée. Le retard observé aux points P4 à P6 est identique pour l injection dans le jet (traceur B) ou l injection au fond de la cuve (traceur C). Par contre, le retard observé lorsque le traceur est injecté sous la surface (traceur A) est systématiquement deux fois plus long. Enfin, quelle que soit l injection considérée, les fluctuations de concentration observées en un point de mesure sont très similaires (en dehors des premiers instants au point qui correspond à l injection considérée), en particulier en terme de fréquence qui est directement reliée à l échelle intégrale de la turbulence (non filtrée par le maillage) au point considéré. On observe d ailleurs que la concentration enregistrée aux deux points localisés dans la décharge de l agitateur (P2 et P5), où les échelles intégrales de la turbulence (mesomélange) sont relativement petites (Tableau 4.7), les fluctuations de concentration ont une fréquence beaucoup plus élevée que pour les points localisés dans les boucles de circulation. 2.3 Temps de mélange macroscopique Le critère utilisé pour caractériser le macromélange est le temps de mélange à 95 %. Ce temps de mélange t m,95 est défini comme le temps mis pour que la différence entre la concentration en traceur en un point et la concentration moyenne du même traceur dans la cuve devienne inférieure à 5 % de la concentration moyenne : t m,95 = t, tel que ci α(t) c α c α 0, 05 (4.13) t m,95 : temps de mélange à 95 % c i α(t) : concentration instantanée du traceur α au point de mesure i c α : concentration moyenne du traceur α dans la cuve 159

174 Introduction Traceur A Traceur B Traceur C Point P1 15, Point P2 13,9 12,4 12,4 Point P3 15,7 13,9 12 Point P4 14,1 13,9 14,4 Point P5 12,3 10,2 10,1 Point P6 13,6 12,2 11,1 t m,95 15,7 13,9 14,4 Tableau 4.8 Temps de mélange à 95 % (s) pour chaque traceur et chaque point de mesure. Les temps de mélange à 95 % de chaque traceur calculés pour les 6 points de mesure sont présentés dans le tableau 4.8. Les résultats obtenus sont en bon accord avec les corrélations de temps de mélange disponibles dans la littérature. A fort nombre de Reynolds (Re > 10 4 ), le temps de mélange dans une cuve standard (H = T, D = C = T/3) agitée par une turbine de Rushton est relié à la vitesse d agitation N par (Tatterson, 1991; Roustan et al., 1999) : t m = 4 N ( ) 2 T = 36 D N (4.14) Dans notre configuration (N = 2,5 s 1 ), cette corrélation conduit à t m = 14,4 s. Le mélange est plus rapide lorsque le traceur est injecté au niveau du jet de l agitateur. Un temps de mélange significativement plus élevé (13 %) est observé lorsque le traceur est injecté près de la surface, alors que lorsqu il est injecté au fond de la cuve il augmente d à peine 4 % par rapport au temps de mélange du traceur injecté dans le jet de l agitateur. 2.4 Évolution de l intensité de la ségrégation dans l ensemble de la cuve L intensité de la ségrégation dans l ensemble du volume a également été calculée au cours du temps. Elle est définie comme le rapport de la variance de la concentration dans la cuve à un instant t sur la variance initiale calculée au temps t 0 où les traceurs ont été injectés. 160 I S,α = σ C,α σ C0,α (4.15)

175 2.. Mélange d un traceur inerte : Influence du point d injection σ C,α = 1 V σ C0,α = 1 V C V,α = 1 V N T i=1 N T i=1 N T i=1 ( ci,α (t) C V,α ) 2 Vi (4.16) ( ci,α (0) C V,α ) 2 Vi (4.17) c i,α (0)V i = 1 V N c i,α (t)v i (4.18) i=1 I S,α : intensité de la ségrégation pour le traceur α σ C0,α : variance initiale de la concentration en traceur α σ C,α : variance de la concentration en traceur α à l instant t c i,α : concentration en traceur α dans la maille i V i : volume de la maille i N T : nombre de mailles dans le domaine de calcul V : volume total du domaine de calcul L évolution de l intensité de la ségrégation des traceurs est représentée sur la figure 4.15 pour les trois points d injection sur une période de 15 secondes. On observe une rapide décroissance de la ségrégation, relativement linéaire, pendant les tous premiers instants du mélange. Une forte différence de la vitesse de la décroissance existe dès le IS (-) t (s) t (s) x t (s) traceur A traceur B traceur C Figure 4.15 Évolution de l intensité de ségrégation pour les trois points d injection du traceur. 161

176 Introduction début du mélange entre les traceurs injectés dans les boucles de circulation supérieure (traceur A) et inférieure (traceur C) et le traceur injecté dans le jet de l agitateur (traceur B). Dans les tous premiers instants après le pulse de traceur, la vitesse de décroissance de la ségrégation est 5 fois plus rapide pour le traceur injecté dans le jet que pour les deux autres points d injection. Les vitesses de décroissance de la ségrégation du traceur A et du traceur C sont identiques pendant les 200 premières millisecondes. La décroissance du traceur C s accélère ensuite par rapport au traceur A injecté près de la surface et l intensité de la ségrégation diminue jusqu à des valeurs proches de celle du traceur B injecté dans le jet, ce qui permet d expliquer les valeurs proches du temps de mélange à 95 % entre ces deux injections. 2.5 Mélange d un traceur : Conclusions Les valeurs des échelles caractéristiques du mélange au point d injection permettent d expliquer les différences observées pendant les premiers instants du mélange en fonction de la position de l injection. En effet, aux points d injection situées dans les boucles de circulation, les valeurs des échelles caractéristiques sont proches et la vitesse de décroissance de la ségrégation est identique pendant environ 100 ms. Au point d injection situé dans le jet, où les échelles de temps du mesomélange et du micromélange sont environ 30 et 18 fois inférieures respectivement, la vitesse de décroissance de la ségrégation est beaucoup plus rapide (5 fois). Cependant, en dehors des premiers instants, les valeurs des échelles de mélange au point d injection ne permettent pas d expliquer la différence de comportement en terme de temps de mélange et d intensité de ségrégation lorsque l injection est réalisée sous la surface ou dans la partie basse de la cuve. Il est possible que le traceur A soit injecté dans une région de la cuve où les vitesses sont moins importantes par rapport au traceur C. Ainsi le volume de traceur A injecté peut stagner un certain temps dans la zone de l injection. Une autre cause peut être liée à la circulation du fluide. La boucle supérieure ayant un volume plus important que la boucle inférieure, un élément de fluide met plus de temps à parcourir la boucle supérieure avant d atteindre le jet de l agitateur où la forte intensité turbulente est le principal moteur du mélange. L effet observé pourrait alors être attribué au macromélange. Le suivi lagrangien de particules, présenté dans la section suivante, conforte cette explication. Pour conclure, entre une injection réalisée dans la boucle supérieure ou une injection dans la boucle inférieure, on observe à un instant donné une intensité de ségrégation, c est-àdire une hétérogénéité spatiale de concentration, différente. On peut supposer que dans le cas d une alimentation en continu cette différence d hétérogénéité existe également. Cela peut alors 162

177 2.. Mélange d un traceur inerte : Influence du point d injection expliquer en partie pourquoi des performances différentes, notamment en terme de production de biomasse, sont observées en fonction de la localisation du point d alimentation. A partir du suivi lagrangien de particules dans la cuve, nous allons tenter d éclaircir ce point. 163

178 Introduction 3. APPROCHE LAGRANGIENNE : TRAJECTOIRES DE PARTICULES FLUIDE Une cuve agitée est un environnement hétérogène tant en terme de turbulence que de concentration. Nous avons mis en évidence dans la première partie que l énergie cinétique turbulente et son taux de dissipation varient fortement à la fois dans l espace et dans le temps. Par conséquent, il en est de même pour les échelles de temps et de taille caractéristiques des mécanismes de mélange. La seconde partie, consacrée au mélange macroscopique, a montré, d une part, qu il existe pendant une période de quelques secondes après un pulse de traceur des gradients de concentration entre différents points de la cuve. D autre part, ces gradients et leur vitesse d homogénéisation dépendent de la position de l injection. Des microorganismes cultivés dans une cuve agitée vont donc expérimenter pendant leur parcours des hétérogénéités de concentration mais également des hétérogénéités en terme de taux de dissipation qui peuvent avoir une influence sur la vitesse de micromélange, c est-à-dire sur la vitesse d apport des nutriments jusqu aux cellules. Afin d étudier l impact de telles hétérogénéités sur des microorganismes, nous avons réalisé un suivi lagrangien de particules sphériques inertes qui peuvent être assimilées à des microorganismes de petite taille tels que S. cerevisiae ou E. coli. Dans un premier temps nous présentons la mise en oeuvre du suivi lagrangien. Connaissant la position des particules à chaque acquisition réalisée, nous avons ensuite déterminé les temps de circulation et les temps de séjour par rapport à une zone de référence afin notamment de valider les trajectoires résolues par la simulation LES. Enfin, le taux de dissipation et la concentration ayant été enregistrés le long de chaque trajectoire résolue, une étude des historiques de taux de dissipation et de concentrations observés par les particules pendant leur parcours a été réalisé. 3.1 Suivi de trajectoire de particules : Mise en oeuvre Simultanément à l injection des traceurs inertes, des particules inertes ont été lâchées dans la cuve. Ces particules sphériques ont un diamètre d p = 1 µm et des propriétés identiques au milieu continu, à savoir l eau (ρ p = 998,2 kg.m 3 ). Le pas de temps pour la résolution des équations de la phase discrète est le même que pour la résolution des équations gouvernant la phase continue. La nouvelle position des particules est ainsi mise à jour à chaque pas de temps. Les particules sont considérées comme des particules fluides qui suivent le mouvement 164

179 3.. Approche lagrangienne : Trajectoires de particules fluide de la phase continue sans interagir avec elle. Cette hypothèse est vérifiée lorsque le temps de relaxation des particules est plus petit que les temps caractéristiques associées aux échelles turbulentes. Le nombre de Reynolds des particules, défini par l équation 4.19, est en moyenne Re P = 0,03, correspondant à un régime de Stokes (Re P << 1). Dans ces conditions, le temps de relaxation associé aux particules est donné par l équation Re P = u P u d P ν τ P = ρ P + C A ρ ρ d 2 P 18ν (4.19) (4.20) d P : diamètre des particules u P u : vitesse relative des particules par rapport à la phase continue τ P : temps de relaxation des particules ν : viscosité cinématique de la phase continue (eau) ρ P : masse volumique de la phase discrète (particules) ρ : masse volumique de la phase continue (eau) C A : coefficient de masse ajoutée des particules (C A = 0,5 pour des sphères) Le temps de relaxation des particules est ainsi τ P s. Ce temps est largement inférieur aux temps caractéristiques associés aux échelles turbulentes de l écoulement. L échelle de temps de la macroéchelle (ou échelle intégrale) T L, définie par l équation 4.21, est en moyenne de 1,8 s et sa valeur minimale atteint s. Par conséquent, les particules ne possèdent pas d inertie par rapport à la phase continue et suivent les trajectoires fluides. De plus, elles n influencent donc pas l hydrodynamique de la phase continue. T L = k ǫ (4.21) Le temps caractéristique associé aux échelles de Kolmogorov t K est défini par l équation En moyenne dans la cuve, sa valeur est de s. Sa valeur minimale est, quant à elle, de s dans la zone de forte intensité turbulente créée par le jet radial de l agitateur. Le temps de relaxation étant plus petit que le temps des plus petites échelles turbulentes présentes dans l écoulement, les particules se comportent comme des points matériels et peuvent être assimilées à des éléments de fluide. t K = ( ν ǫ )1 2 (4.22) 165

180 Introduction (a) RANS (b) LES Figure 4.16 Trajectoires de 3 particules pendant 20 secondes résolues (a) par une simulation RANS et (b) par une simulation LES. Dans une simulation LES, la trajectoire des particules estimée à partir des champs résolus de vitesse de la phase liquide comprend une composante aléatoire liée aux fluctuations turbulentes des échelles résolues. Il n est donc pas nécessaire d utiliser un modèle dit stochastique pour résoudre la trajectoire des particules contrairement à une simulation RANS. Pour illustration, les trajectoires de trois particules sont représentées sur la figure 4.16 (a) pour une simulation RANS et (b) pour une simulation LES. Le temps physique simulé est de 15 s. Pour la simulation RANS, le modèle stochastique Eddy Life Time a été utilisé avec les paramètres par défaut de FLUENT. Il permet d ajouter une composante aléatoire au calcul de la trajectoire des particules déterminée à partir des lignes de courant moyennes résolues par la simulation RANS. On peut remarquer que la simulation lagrangienne sur base RANS semble plus déterministe que celle sur base LES. En fait, dans la simulation RANS, le modèle d agitation turbulente joue un rôle majeur. L utilisation de simulations LES est nettement plus coûteux en temps de calcul, mais permet de s affranchir de ce problème. Plus de 8000 particules, initialement réparties de manière aléatoire et relativement homogène 166

181 3.. Approche lagrangienne : Trajectoires de particules fluide dans la cuve, ont été suivies sur une période de 20 secondes (soit pas de temps). En plus de la position de chaque particule, le taux de dissipation ainsi que la concentration des trois traceurs observés par chaque particule ont été enregistrés tous les 10 pas de temps ( t = 5, s). A partir de ces données, il est possible d accéder à la distribution des temps de circulation en fonction de différentes zones de référence. Elles permettent également d analyser l historique des taux de dissipation observés par les particules ainsi que l historique des concentrations observées en fonction de la position du point d injection du traceur. 3.2 Distribution des temps de circulation et des temps de séjour Connaissant la position précise des particules dans la cuve à chaque pas de temps, il est possible de déterminer les temps de circulation (ou fréquence de passage) et les temps de séjour de ces particules par rapport à une zone particulière de la cuve (zone de référence). La détermination des temps de circulation va permettre dans un premier temps de valider les trajectoires des particules en comparant nos résultats aux corrélations de temps de circulation et aux distributions disponibles dans la littérature. Dans un second temps, les distributions de temps de circulation et de temps de séjour par rapport à une zone autour du point d injection permettront d analyser l influence de la position de l alimentation dans un bioréacteur sur la fréquence de passage et la durée d exposition de microorganismes à une zone fortement concentrée en substrat carboné qui est susceptible d apparaître avec l augmentation du volume de culture (et la diminution de la qualité de mélange qui l accompagne) Temps de circulation et temps de séjour : Méthode de détermination En considérant une zone de référence, le temps de circulation par rapport à cette zone correspond au temps mis par une particule à partir de sa sortie de la zone pour traverser le reste du réacteur avant d entrer de nouveau dans la zone. La méthode utilisée pour déterminer les temps de circulation et les temps de séjour est présentée schématiquement sur la figure Dans un premier temps, les temps d entrée t in et de sortie t out dans la zone de référence sont repérés pour les passages successifs dans la même zone. Le temps de circulation correspond donc à l intervalle de temps entre deux passages successifs dans la zone de référence. Pour le déterminer, on a considéré les temps au milieu de chaque période de présence t mid et le temps 167

182 Introduction t S Présences dans la zone de référence t C t in1 t out1 t in2 t out2 t t mid1 t mid2 Figure 4.17 Représentation schématique de la détermination du temps de circulation et du temps de séjour par rapport à une zone de référence. de circulation t C est alors défini de la manière suivante : t C = t mid2 t mid1 = t out2 + t in2 2 t out1 + t in1 2 (4.23) Le temps de séjour τ S des particules dans la zone de référence est défini par la relation suivante : τ S = t out t in (4.24) Avant de déterminer les temps de circulation et de séjour d une particule, un traitement est nécessaire afin d éliminer les évènements courts. En effet, la fréquence d acquisition de la position des particules étant élevée ( t = 5, s, f = 180 Hz), des temps de circulation ou de séjour de quelques millisecondes sont mesurés lorsqu une particule sort de la zone puis y revient après seulement quelques pas de temps. Ces évènements ont été éliminés en considérant que, lorsque le temps entre la sortie et l entrée de la zone est inférieur à 0,1 s, la particule n a pas quitté la zone de référence. Les temps de sortie et d entrée dans la zone de référence considérée sont alors recalculés de la manière suivante : t in2 t out1 < 0, 1s t out1 = t out2 (4.25) Temps de circulation à travers l agitateur : Validation des trajectoires La zone de référence définie pour valider les trajectoires à partir de la distribution des temps de circulation est représentée sur la figure Elle englobe l agitateur ainsi que le jet jusqu aux 168

183 3.. Approche lagrangienne : Trajectoires de particules fluide parois de la cuve. Les valeurs moyennes et la variance de la distribution du temps de circulation par rapport à la zone de référence, ainsi que des distributions des temps de séjour dans le jet et les deux boucles de circulation au-dessus et au-dessous de la zone définie, sont répertoriées dans le tableau 4.9. Le nombre d évènements N e réalisés pour chaque distribution présentée est également reporté. Il correspond au nombre de passages des particules dans les zones correspondantes. Ce nombre est supérieur dans tous les cas au nombre de particules suivies. La grande majorité des particules sont donc passées au moins une fois dans chaque zone considérée. On peut noter, néanmoins, que le nombre de passages dans les boucles de circulation supérieure et inférieure diffèrent. La probabilité de passage des particules dans la boucle basse est 1,5 fois plus grande que celle dans la boucle haute. Est-ce que cela indique une circulation préférentielle du fluide vers la boucle passage après passage dans la décharge de l agitateur? Ou est-ce tout simplement lié au fait que le temps de séjour moyen des particules est plus élevé dans la boucle haute? Cette dernière suggestion est la plus probable mais aucune relation de proportionnalité ne se dégage entre le nombre d évènements et le temps de séjour moyen. Cela peut être dû à une durée d acquisition insuffisante bien qu elle correspond à environ 8 fois le temps de circulation à travers l agitateur. En cuve agitée, le temps de circulation est généralement relié à la capacité de pompage de z 0,06 m Agitateur 0,18 m 0,12 m Figure 4.18 Représentation schématique de la zone autour de l agitateur définie comme référence pour la détermination des distributions de temps de circulation. 169

184 Introduction Jet Agitateur Boucle haute Boucle basse t C (s) 2,6 - - σt 2 C /t 2 C (-) 0,5 - - τ S (s 0,4 3,2 1,4 στ 2 S /τ 2 S (-) 0,3 0,5 0,3 N e Tableau 4.9 Temps de circulation et temps de séjours moyens par rapport au jet et dans les deux boucles de circulation et nombre d évenements réalisés dans chaque cas. l agitateur de la manière suivante (Nienow, 1996; Roustan et al., 1999) : t C = V 1, 8Q P = V Q C = V N QC N D 3 (4.26) V : volume du réacteur, V = 0,072 m. 3 Q P : débit de pompage de l agitateur Q C : débit de circulation de l agitateur N QC : nombre de circulation, N QC = 2,1 (Nienow, 1996) N : vitesse d agitation, N =2,5 s 1 D : diamètre de l agitateur, D = 0,15 m Le temps de circulation moyen obtenu de cette manière est de 4 secondes, soit significativement plus élevé que celui déterminé à partir des trajectoires. Cependant, le débit de circulation est défini, pour une turbine de Rushton, comme le débit radial traversant le plan défini par le passage des pales (Tatterson, 1991), alors que notre méthode de détermination considère le fluide traversant dans la direction axiale. Middelton (1979) propose une corrélation de temps de circulation basé uniquement sur la géométrie de la cuve et de l agitateur et la vitesse d agitation pour une turbine de Rushton : t C = 0, 5 V 0,3 N ( ) 3 T (4.27) D Cette corrélation a été déterminée à partir d un dispositif expérimental constitué d un émetteur radio, placé dans l écoulement et supposé suivre le mouvement du fluide, et d un détecteur 170

185 3.. Approche lagrangienne : Trajectoires de particules fluide P (-) t C (s) Figure 4.19 Distribution des temps de circulation en considérant comme référence de passage le jet de l agitateur. recevant un signal lorsque l émetteur passe dans son champ de détection. Dans ce travail, le détecteur était placé à hauteur de l agitateur, et le temps de circulation défini par l équation 4.27 correspond à la moyenne de la distribution obtenue par cette technique expérimentale. Cette méthode est de ce fait similaire à celle utilisée dans ce travail et par conséquent le temps de circulation moyen défini par l équation 4.27 est plus adapté. Le temps de circulation moyen obtenu ainsi (t C = 2,5 s) est très proche de celui déterminé à partir des trajectoires numériques. La distribution des temps de circulation par rapport au jet de l agitateur est représentée sur la figure L allure de la distribution estimée à partir des trajectoires de particules est similaire à celles déterminées dans les travaux expérimentaux de Middleton (1979) et Schmitz (1996). La distribution des temps de circulation a été déterminée à l aide d un dispositif identique à celui décrit plus haut et le détecteur était également situé à hauteur de l agitateur. La configuration des cuves et des agitateurs (turbines de Rushton) utilisés est identique à notre configuration (H = T, D = T/3 et C = T/3). Plusieurs auteurs souligent que la distribution des temps de circulation suit une loi lognormale dans une cuve agitée (cf. Tatterson, 1991). La distribution obtenue numériquement a effectivement une allure similaire à une distribution de type loi log-normale, cependant on peut remarquer un second pic plus tardif et nettement moins important que le premier. Une distribution bi-modale des temps de circulation a également été observée expérimentalement par Roberts et al. (1995). La technique utilisée est similaire aux travaux cités précédemment et le détecteur était également situé au niveau du jet. Cependant, l agitateur était situé à 171

186 Introduction P (-) τ S (s) (a) P (-) τ S (s) (b) P (-) τ S (s) (c) Figure 4.20 Distribution des temps de séjour dans (a) la boucle de circulation haute, (b) dans la boucle de circulation basse et (c) le jet de l agitateur. mi-hauteur dans la cuve (C = T/2) et la présence des deux pics de probabilité était beaucoup plus notable que dans notre cas. La distribution des temps de séjour dans le jet de l agitateur ainsi que celles dans la boucle de circulation supérieure et dans la boucle inférieure sont présentées sur les figures 4.20 (a), (b) et (c) respectivement. Ces distributions sont relativement centrées sur la valeur moyenne correspondante : le temps de séjour moyen dans chaque zone correspond approximativement au maximum de probabilité des distributions associées. Les temps de séjour moyens dans les boucles de circulation sont reliés à leur volume. Le rapport des volumes de la boucle haute et de la boucle basse est égal au rapport des temps de séjours correspondant : V bh V bb = 2, 28; τ S,bh τ S,bb = 2, 25 (4.28) 172

187 3.. Approche lagrangienne : Trajectoires de particules fluide P (-) t C (s) Boucle haute Boucle basse Boucle haute + Boucle basse Figure 4.21 Distribution des temps de circulation par rapport au jet de l agitateur et comparaison aux distribution des temps de séjour dans les boucles de circulation. V bh : volume de la boucle de circulation haute V bb : volume de la boucle de circulation basse τ S,bh : temps de séjour moyen dans la boucle haute τ S,bb : temps de séjour moyen dans la boucle basse Les temps de séjour dans la boucle supérieure et ceux dans la boucle inférieure sont équivalents, au temps de séjour dans la zone de l agitateur près, aux temps de circulation de la boucle supérieure et de la boucle inférieure. Ce point est illustré sur la figure 4.21 où les distributions des temps de séjour dans chaque boucle de circulation, ainsi que la somme de ces deux distributions ont été superposées à la distribution des temps de circulation par rapport à la zone de référence définie. Les distributions des temps de séjour ont été rapportées au nombre d événements pour la détermination de la distribution des temps de circulation et ont été décalées dans le temps de façon à prendre en compte le temps de séjour moyen dans la zone de l agitateur. Ainsi, le premier pic important observé sur la distribution des temps de circulation correspond aux temps de circulation dans la boucle inférieure et le second pic, beaucoup moins notable, correspond aux temps de circulation dans la boucle supérieure. Au vu de ces résultats, la LES permet de reproduire de manière réaliste le mouvement du fluide et des particules au sein de la cuve. Le suivi lagrangien de particules en LES est ainsi un outil intéressant pour l étude des bioréacteurs en terme de compartimentation. Il peut permettre notamment d étudier les 173

188 Introduction fréquences de passage des microorganismes ainsi que leur temps de séjour dans une zone particulière d un bioréacteur, où, par exemple, une forte concentration en substrat existe par rapport au reste du volume. Ce point est l objet de la section suivante Temps de circulation et temps de séjour par rapport à une zone d alimentation Dans un bioréacteur utilisé pour la croissance de microorganismes, tel que Escherichia coli ou Saccharomyces cerevisiae, le substrat carboné (glucose par exemple) est généralement alimenté en continu en un point du bioréacteur. En fonctionnement fed-batch, afin d éviter une augmentation trop importante du volume utile, la concentration de la solution d alimentation est largement supérieure à la concentration moyenne en substrat résiduel dans le volume du bioréacteur (jusqu à plus de 1000 fois). Une zone de forte concentration en substrat se forme alors aux alentours du point d injection. Il a été montré que les caractéristiques (volume, concentration) de cette zone de sur-concentration dépendent de la position du point d alimentation et influencent les rendements de production de biomasse (Larsson et al., 1996; Bylund et al., 1999). Dans notre travail, les zones définies pour chaque position de l injection de traceur peuvent être assimilées aux zones de fortes concentrations résultant de l alimentation continue en substrat dans les bioréacteurs fed-batch de production de biomasse (ou de produits intracellulaires dont le rendement dépend de la concentration en microorganismes). En assimilant les particules se déplaçant dans la cuve étudiée à des microorganismes, les distributions des temps de circulation et des temps de séjour pour chaque zone d injection définie vont permettre d étudier l influence de la position du point d alimentation en substrat sur la fréquence à laquelle les microorganismes vont subir de fortes concentrations et sur leur durée d exposition à ces fortes concentrations. Nous n avons pas réalisé de simulations avec une alimentation continue et il n y a pas, par conséquent, de zone de forte concentration entretenue dans la cuve. Cependant, pendant les premiers instants du mélange après les pulses de traceur réalisés (cf. Section 2.), des zones de concentrations plus élevées que dans le reste du réacteur se dégagent nettement autour de chaque point d injection défini précédemment (Figure 4.12). Entre le pulse de traceur réalisé sous la surface du liquide et celui réalisé près du fond, la géométrie des zones qui se dégagent est similaire. Ce n est pas le cas, par contre, pour le pulse réalisé dans le jet de l agitateur. Le volume injecté est rapidement divisé en deux : une partie entraînée vers le bas et l autre vers le haut. Il est par conséquent difficile de définir une 174

189 3.. Approche lagrangienne : Trajectoires de particules fluide z 0,45 m Zone A 0,1 m 0,35 m Zones A et C 0,1 m Zone C 0,1 m Figure 4.22 Représentation schématique des zones autour des points d injection définies comme référence pour la détermination des distributions de temps de circulation. zone pour l injection réalisée dans le jet. De plus, dans un bioréacteur, le débit d alimentation étant faible par rapport à l écoulement interne, en particulier dans la décharge de l agitateur, l alimentation en substrat n est jamais réalisée directement dans le jet pour éviter une remontée de liquide dans le tube d alimentation. Pour ces raisons, nous ne présenterons pas de résultats pour cette injection. Les deux zones d alimentation définies sont représentées sur la figure Les volumes de ces zones sont identiques et correspondent environ à 5 % du volume total. La moyenne et la variance des distributions des temps de circulation et des temps de séjour dans chaque zone d injection ainsi que le nombre d évènements correspondant sont présentés dans le tableau Zone A Zone C t C (s) 5 2,8 σ 2 t C /t 2 C (-) 0,7 1,8 τ S (s) 1,1 0,8 στ 2 S /τ 2 S (-) 0,7 0,3 N e Tableau 4.10 Moyenne et variance des distributions de temps de circulation et de séjour par rapport aux zones d alimentation et nombre d évènements réalisés dans chaque cas. 175

190 Introduction Les distributions sont présentées respectivement sur les figures 4.23 et 4.24 pour les temps de circulation et les temps de séjour. Le nombre d évènements réalisé pour déterminer les temps de circulation et de séjour dans chacune des zones définies est inférieur aux nombres de particules. Certaines particules ne passent donc pas dans ces zones pendant la durée d acquisition (20 s, soit environ 5 fois le temps de circulation moyen dans la zone A). Sur la durée d acquisition, seulement 30 % des particules présentes passent dans la zone d alimentation A, contre 42 % des particules pour la zone C. Cela indique que les résultats présentés ne sont pas tout à fait statistiquement convergés. Cependant, bien que le temps de circulation moyen augmente effectivement entre deux durées d acquisitions de 5 secondes d intervalle du fait de temps de circulation longs (équivalents à la durée d acquisition des trajectoires) pris en compte, le temps de séjour moyen n évolue plus quelle que soit la zone considérée. En dehors des valeurs élevées des temps de circulation et de séjour, les distributions sont également peu affectées. Dans la section précédente, concernant les temps de circulation et de séjour par rapport à l agitateur, le nombre de passages dans la boucle haute était inférieur à celui dans la boucle basse. Aucune relation n avait pu être établie avec les temps de séjour dans chaque boucle. De même ici, aucune relation n existe entre le temps de séjour dans une zone d injection et le nombre de passages dans cette zone. En ramenant le nombre de passages dans une zone d injection au nombre de passages dans la boucle de circulation correspondante, aucun lien ne peut non plus être mis en évidence. En terme de circulation, on observe un temps moyen 1,5 fois plus grand lorsque l alimentation est réalisée en surface plutôt qu au fond de la cuve. Il faut d ailleurs noter que ces temps de circulation moyens sont plus grands que le temps de circulation moyen défini par rapport à la zone de l agitateur (cf. Tableau 4.9). Par conséquent, il n est pas judicieux d utiliser le temps de circulation déterminé à partir de corrélation classique pour la mise au point d une expérience scale-down dans un réacteur bi-compartimenté dont l objectif est de reproduire les variations de concentration à l échelle macroscopique observées dans les bioréacteurs industriels. Le temps de séjour moyen des particules dans la zone A est également plus élevé que celui dans la zone C. Le rapport entre ces deux temps de séjour est équivalent au rapport des temps de circulation (τ S,A /τ S,C = 1,4). 176

191 3.. Approche lagrangienne : Trajectoires de particules fluide P (-) t C (s) (a) Zone d alimentation A P (-) t C (s) (b) Zone d alimentation C Figure 4.23 Distribution des temps de circulation en considérant comme référence de passage (a) la zone d injection haute (A) et (b) la zone d injection basse (C). P (-) τ S (s) (a) P (-) τ S (s) (b) Figure 4.24 Distribution des temps de séjour dans (a) la zone A et (b) la zone C. 177

192 Introduction Des microorganismes parcourant ce réacteur vont être sujets à des variations de concentration dans leur environnement différentes selon la localisation de l alimentation en substrat. Ils vont observer des fréquences de passage plus élevées dans une zone de forte concentration lorsque le substrat est alimenté au fond du bioréacteur. Par contre, la durée pendant laquelle ils vont subir les fortes concentrations est plus importante lorsque l alimentation se situe en surface. De plus, si l on s intéresse aux distributions des temps de circulation par rapport à chaque zone (Figure 4.23), on remarque que celle associée à l alimentation en surface est beaucoup plus étalée que celle associée à l alimentation basse. Cela peut conduire à une hétérogénéité plus importante de la population des microorganismes provoquée par des conditions enrionnementales observées différentes selon les microorganismes Conclusions La distribution des temps de circulation calculée à partir de la trajectoire des particules résolue par la LES sous FLUENT est en bon accord avec les données disponibles dans la littérature. A la fois, la moyenne et la forme de la distribution déterminée en prenant en comme référence une zone centrée sur l agitateur sont cohérents avec les travaux expérimentaux de Middleton (1979) et Schmitz (1996). Une proportionnalité entre le temps de séjour dans les boucles de circulation et le volume correspondant a été mise en évidence. La détermination des distributions des temps de circulation et des temps de séjour par rapport à une zone qui peut être assimilée aux zones de forte concentration en substrat carboné existant aux alentours du point d alimentation dans les bioréacteurs industriels (Larsson et al., 1996; Bylund et al., 1998; Bylund et al., 1999) a permis de mettre en évidence une influence de la position du point d alimentation sur la fréquence d exposition des microorganismes à de fortes concentrations. Bylund et al. (1998, 1999), notamment, ont étudié l influence de la position de l alimentation dans un bioréacteur de 9 m 3. Deux positions ont été étudiées : la première sous la surface et la seconde au fond de la cuve, sous un agitateur. Lorsque l alimentation a été réalisée en surface, ils ont observé, d une part, des gradients de concentration en substrat plus important, et d autre part, une production de biomasse finale inférieure de 5 % par rapport à la position d alimentation basse. Bien que la configuration de la cuve soit différente de la notre (3 agitateurs au lieu d un seul), on supposera un comportement similaire en terme de temps de circulation et de temps de séjour en fonction de la position de la zone d alimentation. Lorsque l alimentation est réalisée près de la surface, on observe des fréquences de passage plus faibles mais des durées d exposition à une forte concentration plus longues par rapport 178

193 3.. Approche lagrangienne : Trajectoires de particules fluide à l alimentation en fond de cuve sous un agitateur. De plus, si on revient aux résultats de la seconde partie de ce chapitre, une hétérogénéité de concentration (caractérisé par l intensité de la ségrégation) plus importante a été mise en évidence lorsque le traceur est injecté sous la surface (en dehors des 200 premières millisecondes après l injection des traceurs). Par conséquent, la diminution du rendement observé avec l alimentation haute peut être attribuée à une hétérogénéité de concentration plus marquée et des durées d exposition plus longues à de fortes concentrations en substrat, bien que la fréquence de passage des microorganismes dans cette zone fortement concentrée soit plus faible. En effet, selon la position de l alimentation les flux de substrat assimilés par les microorganismes (et par conséquent la croissance) vont être affectés. Ce dernier point fait, avec une brève exploitation des taux de dissipation enregistrés le long des trajectoires, l objet de ce qui suit. 3.3 Historiques des valeurs observées par les particules Cette partie est consacrée à l exploitation des grandeurs (taux de dissipation et concentration) enregistrées le long des trajectoires. Il faut noter que le taux de dissipation instantané et la concentration instantanée vus par chaque particule le long de sa trajectoire correspond à la valeur dans la maille où se trouve la particule à la fin de chaque pas de temps. Les mailles étant significativement plus grandes que les particules, les concentrations enregistrées ne correspondent pas exactement aux concentrations qu observeraient des microorganismes dans un réacteur réel. En effet, dans la simulation, la concentration sous la maille est considérée homogène mais, le maillage étant plus grand que les échelles de micromélange quelle que soit la position dans la cuve, les fluctuations de concentration ne sont pas, dans la réalité, complètement dissipées et des hétérogénéités de concentration peuvent donc encore exister à l échelle des particules Historique des taux de dissipation Dans la première partie de ce chapitre, nous avons présenté la répartition volumique du taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente. Cette répartition est fortement inhomogène : les valeurs locales du taux de dissipation sont comprises entre 0,1 fois la valeur moyenne ǫ V dans les boucles de circulation et jusqu à 80 ǫ V dans le jet. Nous avons également montré que, localement, le taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente varie au cours du temps de manière significative. Dans le jet de l agitateur, les fluctuations du taux de dissipation ont une amplitude et une fréquence élevées : le taux de dissipation instantanée atteint jusqu à 50 fois la valeur locale moyenne. Dans les boucles de 179

194 Introduction ǫp(t)/ǫv (-) t (s) (a) ǫp(t)/ǫv (-) t (s) (b) ǫp(t)/ǫv (-) t (s) (c) ǫp(t)/ǫv (-) t (s) (d) ǫp(t)/ǫv (-) t (s) (e) ǫp(t)/ǫv (-) t (s) (f) Figure 4.25 Historiques des taux de dissipation instantanés observés pour quelques particules. 180

195 3.. Approche lagrangienne : Trajectoires de particules fluide circulation, supérieure ou inférieure, l amplitude et la fréquence des fluctuations du taux de dissipation sont moins importantes mais la valeur instantanée peut atteindre jusqu à près de 10 fois la valeur locale moyenne. Ainsi, les particules se déplaçant dans la cuve vont subir des fluctuations de taux de dissipation, d une part liées au passage dans des zones d intensité turbulente différente et d autre part liées à l intermittence du taux de dissipation. En intégrant les taux de dissipation observés sur l ensemble des particules à chaque acquisition, on observe que ce taux de dissipation moyen des particules fluctue au cours du temps, de la même manière que le taux de dissipation volumique instantané ǫ V, autour d une valeur moyenne équivalente au taux de dissipation volumique moyen ǫ V. De plus, la distribution des valeurs instantanées ǫ P est identique à la distribution volumique des taux de dissipation instantanés présentés dans la première partie de ce chapitre. Cela indique que le nombre de particules et leur répartition sont représentatifs de l ensemble du volume de la cuve. Les taux de dissipation instantanés pondérés par la moyenne globale observés le long d une trajectoire sont présentés pour quelques particules sur la figure 4.25 sur une période de 15 secondes. Les passages dans la zone de l agitateur et du jet (120 < z < 180 mm), où l intensité de la turbulence est significativement plus importante, sont repérés par des échelons. Sur la période considérée, qui représente plusieurs circulations dans le réacteur, les particules subissent un historique de taux de dissipation très différent. Quelques particules, ne passant pas dans la zone de l agitateur, voient des taux de dissipation faibles inférieurs au taux de dissipation moyen dans la cuve. Il faut préciser que de tels comportements sont rares : 95 particules seulement sur les 8427 présentes (soit environ 1 %) ne traversent pas la zone définie autour de l agitateur et restent confinées dans les boucles de circulation. La grande majorité des particules subissent en passant par la décharge de l agitateur des forts taux de dissipation. Le taux de dissipation étant intermittent, l amplitude des pics varient fortement selon les particules considérées : des valeurs supérieures à 1000 fois le taux de dissipation global sont parfois rencontrées. La fréquence d observation de taux de dissipation élevé est directement reliée au temps de circulation par rapport à la zone de l agitateur déterminé plus tôt. Par contre, du fait de la forte hétérogénéité temporelle du taux de dissipation dans cette zone, la durée d observation des forts taux de dissipation est inférieure au temps de séjour des particules dans la zone. Du fait de la forte hétérogénéité temporelle du taux de dissipation instantané, les valeurs 181

196 Introduction du taux de dissipation enregistrées sont difficiles à exploiter et demandent un travail supplémentaire. Cependant, on peut dégager deux points qui méritent d être étudier dans le futur : - les faibles taux de dissipation observés dans les boucles de circulation menant à des temps de micromélange t E grands, peuvent amener à des épuisements locaux de substrat avant rechargement de l environnement des microorganismes par le micromélange si ils sont associés à de faibles concentrations en substrat et de fortes concentrations en biomasse, - à l inverse, les forts taux de dissipation observés périodiquement posent la question du cisaillement subi par des microorganismes, en particulier si l on considère que les bioréacteurs utilisés en laboratoire comme à l échelle industrielle ont généralement un taux de dissipation moyen ǫ V beaucoup plus élevé que dans notre cas (de l ordre de 1 m 2.s 3, soit 10 fois plus élevé). Sur ce dernier point, les microorganismes S. cerevisiae et E. coli ne sont pas considérés comme sensibles au cisaillement du fait de leur petite taille et de leur forme sphérique. Par conséquent, à notre connaissance, aucune étude sur l influence du cisaillement n est disponible dans la littérature pour ces microorganismes. Néanmoins, des mesures par cytométrie en flux réalisées sur des cultures menées dans des bioréacteurs de laboratoire et de taille industrielle ont montré que la viabilité diminuait de manière considérable au cours d une culture de laboratoire (V = 4 L) alors que dans un bioréacteur de 20 m 3 seulement 1 % de la population de microorganismes semblait atteinte à la fin de la culture (Hewitt et al., 2000). Les auteurs de ces travaux ont attribué l augmentation de la viabilité des cellules avec l extrapolation de la taille du bioréacteur au passage périodique des microorganismes entre une zone fortement concentrée près de l alimentation en substrat et une zone beaucoup moins concentrée dans le reste du volume. Cependant, il est envisageable d attribuer la faible viabilité dans un petit bioréacteur à des fréquences d exposition à un cisaillement important beaucoup plus élevées par rapport à un bioréacteur de grande taille où les temps de circulation sont significativement plus grands. De plus, le taux de dissipation moyen dans un bioréacteur de laboratoire est généralement plus élevé que ce qui peut être atteint dans des bioréacteurs de grande taille. Il est donc possible que les cisaillements subis par les particules soient, d une part plus fréquents, mais également plus importants dans un bioréacteur de laboratoire Historique des concentrations Dans un bioréacteur non idéal, c est-à-dire lorsque le mélange n est pas parfait, les concentrations observées par un microorganisme fluctuent d une part sous l action du mélange et d autre part sous l action de la réaction. Dans ce travail nous nous sommes 182

197 3.. Approche lagrangienne : Trajectoires de particules fluide uniquement intéressés au mélange. Les concentrations enregistrées le long d une trajectoire ne prennent donc pas en compte une réaction biologique. Cependant, dans le cas d un ajout unique de substrat, les fluctuations observées par les microorganismes vont être en grande partie liées à l hydrodynamique pendant la durée du mélange. En particulier, la fréquence des fluctuations de concentration ne dépend que de l hydrodynamique dans le réacteur. Seule l amplitude de ces fluctuations va être impactée par la réaction, d une part en atténuant les fortes concentrations, et d autre part en accentuant les valeurs de faibles concentrations. Le principal objectif ici est d étudier l influence de la position d injection sur les concentrations observées par les particules pendant leur parcours dans la cuve. La seconde partie de ce chapitre, consacrée à la caractérisation macroscopique du mélange en fonction de la position de l injection, a montré que l homogénéisation des concentrations est similaire, en dehors des premièrs dixièmes de seconde, lorsqu un traceur est injecté au fond de la cuve et dans le jet de l agitateur. En terme de concentration observée par les particules, aucune différence significative n ayant été remarquée entre ces deux positions d injection et pour faciliter l analyse des résultats, nous ne présenterons dans cette section que les résultats concernant l injection sous la surface et au fond de la cuve. Pour exemple, les concentrations de chaque traceur injecté le long d une trajectoire sont présentées sur la figure 4.26 pour quelques particules présentes dans le réacteur. Selon leur position au moment de l injection des traceurs et leur parcours par la suite, certaines particules observent des concentrations faibles (inférieures à la moyenne) pendant des durées allant jusqu à plusieurs secondes. A l inverse, d autres particules observent de fortes concentrations pendant des périodes variant de 1 à 3 secondes. Sur la figure 4.27 est tracée, pour chaque traceur considéré, l évolution au cours du temps du pourcentage de particules observant des concentrations (a) inférieures à 0,5 c α,v, (b) comprises entre 0,9 et 1,1 c α,v et (c) supérieures à 5 c α,v. L homogénéisation des concentrations vues par les particules est plus longue pour le traceur injecté près de la surface (Traceur A). Ce résultat est en accord avec les résultats présentés dans la seconde partie de ce chapitre en terme de temps de macromélange et de décroissance de la ségrégation en fonction de la position d injection. Bien que l homogénéisation soit plus rapide lorsque l injection est réalisée au fond de la cuve, les particules observent des concentrations plus élevées pendant les deux premières secondes après l injection des traceurs. Au bout de 1 seconde, plus de 8 % des particules observent une 183

198 Introduction c P α/cα,v (-) t (s) c P α/cα,v (-) t (s) c P α/cα,v (-) t (s) c P α/cα,v (-) t (s) c P α/cα,v (-) t (s) c P α/cα,v (-) t (s) Traceur A Traceur C Figure 4.26 Historiques des concentrations en traceur A et en traceur C observées pour quelques particules. 184

199 3.. Approche lagrangienne : Trajectoires de particules fluide P (c P α/cα,v 0.5) t (s) (a) P (0.9 < c P α/cα,v 1.1) t (s) (b) P (c P α/cα,v > 5) t (s) (c) Traceur A Traceur C Figure 4.27 Évolution du pourcentage de particules observant (a) une concentration inférieure ou égale à 0,5 fois la concentration moyenne, (b) la concentration moyenne à ± 10 % et (b) une concentration supérieure à 5 fois la moyenne. concentration en traceur C supérieure à 5 c α,v, contre à peine 6 % des particules à t 2 secondes pour le traceur A injecté sous la surface. La durée d exposition des particules à de fortes concentrations est cependant plus importante pour le traceur A : environ 4 secondes contre environ 2,5 secondes lorsque le traceur est injecté près du fond de la cuve. De même, lorsque le traceur est injecté sous la surface, les particules observent des concentrations faibles pendant plus longtemps que lorsque le traceur est injecté près du fond. Un écart d environ 1 seconde est observé selon la position de l injection. Par conséquent, l hétérogénéité des concentrations observées par les particules est plus importante lorsque l alimentation est réalisée en surface. Les flux assimilés par des microorganismes vont donc être affectés par la position de l alimentation Assimilation de substrat par les particules La vitesse d assimilation du substrat par les microorganismes n est pas proportionnelle à la concentration en substrat dans l environnement. Par conséquent, les hétérogénéités de concentration existantes dans un bioréacteur font que les microorganismes subissent des fluctuations de concentration qui vont, selon leur amplitude et leur fréquence, avoir un impact sur son fonctionnement et les performances du procédé en terme de rendement de croissance et/ou de production de métabolites. Dans ce travail, nous avons étudié l impact des fluctuations de concentration observées 185

200 Introduction par des microorganismes se déplaçant dans un milieu hétérogène en concentration sur la vitesse d assimilation du substrat en considérant les particules comme des microorganismes. Les temps de réponse des microorganismes à des fluctuations rapides de concentration n étant pas connus, aucun mécanisme d adaptation n a été pris en compte. Nous nous limiterons, en terme d analyse des résultats, aux conséquences des hétérogénéités de concentration sur la vitesse d assimilation du substrat par des microorganismes. Les effets sur la croissance ou la production éventuelle de métabolites extracellulaires ne seront pas abordés. De manière simple, en considérant une réponse instantanée à une modification de leur environnement, la vitesse d assimilation du substrat peut être décrite selon une cinétique de type Monod par : S q S = q Smax (4.29) S + K S q S : vitesse spécifique d assimilation du substrat (gs.gx 1.h 1 ) q Smax : vitesse spécifique (ou maximale) d assimilation (gs.gx 1.h 1 ) K S : constante d affinité du microorganisme par rapport au substrat (gs.l 1 ) S : concentration instantanée observée par un microorganisme (gs.l 1 ) Ainsi défini, la vitesse d assimilation dépend donc d une part de paramètres liés au microorganisme étudié (vitesse d assimilation maximale q Smax et affinité pour le substrat K S ) et d autre part de la composition de l environnement (concentration en substrat S). La constante K S représente l affinité du microorganisme pour le substrat et est définie comme la concentration en substrat pour laquelle le taux de croissance spécifique de la population µ X est égale à la moitié du taux de croissance spécifique maximal µ Xmax : K S = S, tel que µ X = 0, 5µ Xmax (4.30) Nous avions déjà évoqué que l affinité des microorganismes pour le substrat peut dépendre des conditions dans lesquelles ils sont cultivés, cependant, nous considérerons une valeur constante de K S. Afin de s affranchir des paramètres biologiques et de nous concentrer uniquement sur la composition de l environnement des microorganismes, nous avons étudié l impact des hétérogénéités de mélange sur la vitesse d assimilation de manière adimensionnelle. Dans ce qui suit, les résultats sont présentés sous la forme de rapports de vitesse d assimilation 186

201 3.. Approche lagrangienne : Trajectoires de particules fluide (q S /q Smax ) et de concentration (S/S V et K S /S V ) de la manière suivante : q S = q S q Smax = S S + K S = S/S V S/S V + K S /S V (4.31) q S : vitesse adimensionnelle d assimilation du substrat S V : concentration moyenne en substrat observée par l ensemble des microorganismes (gs.l 1 ) De cette manière, il est nécessaire de ne faire varier qu un paramètre, à savoir le rapport K S /S V, pour étudier différents cas de figure. Les valeurs de ce rapport utilisées sont 0,1, 1 et 10 pour rendre compte de différentes situations qui peuvent être rencontrées dans des cultures de microorganismes. Un rapport K S /S V de 0,1 correspond à une situation où la concentration moyenne en substrat dans un bioréacteur n est pas limitante, c est-à-dire que la vitesse d assimilation est équivalente à sa valeur maximale (qs = 1) si aucune hétérogénéité de concentration n existe. Dans les bioréacteurs fed-batch où sont cultivés S. cerevisiae et E. coli, une telle situation est généralement évitée afin de ne pas provoquer l apparition de bascule métabolique telle que le métabolisme dit overflow provoqué par un flux de substrat assimilé trop important par rapport à la capacité d oxydation de ce substrat par les microorganismes. Lorsque ce rapport est de 1, la vitesse d assimilation équivaut à la moitié de la valeur maximale (q S = 0, 5). Si la concentration est effectivement homogène dans un bioréacteur, cette situation permet d éviter l apparition de bascule métabolique tout en assurant une production de biomasse suffisante. Enfin, une valeur K S /S V = 10 correspond à une situation où la vitesse d assimilation du substrat serait très faible (qs < 0, 1) si aucune hétérogénéité n existe. La vitesse d assimilation moyenne sur l ensemble des particules peut être calculée de deux manières : - en intégrant les flux observés par chaque microorganisme : qs,v = 1 N Part qsi (4.32) N Part - en le calculant à partir de la concentration moyenne observée par l ensemble des i 187

202 Introduction microorganismes : q S,idéal = K S S V (4.33) Si le milieu est homogène en concentration, les particules observant la concentration moyenne à chaque instant, ces deux vitesses d assimilation sont équivalentes. Dès qu une hétérogénéité existe cependant dans un bioréacteur, la vitesse d assimilation n étant pas directement proportionnelle à la concentration en substrat ce rapport qs,v /q S,idéal va diminuer. L évolution du rapport qs,v /q S,idéal en fonction du temps est présentée sur la figure 4.28 pour différentes valeurs du rapport K S /S V et pour les trois points d injection. Quel que soit le rapport K S /S V, la vitesse d assimilation moyenne de la population est inférieure à la vitesse d assimilation idéale dans un milieu homogène pendant les premières secondes du mélange. On peut remarquer que ces deux vitesses s égalisent avant que le mélange ne soit achevé (aux alentours de 8 s contre un temps de mélange de 15 s). L existence d une hétérogénéité en terme d assimilation du substrat dépend donc de l intensité de l hétérogénéité de concentration observée par les microorganismes. On observe d ailleurs que l influence de la position de l alimentation sur l hétérogénéité de concentration au sein du réacteur se répercute sur les vitesses d assimilation q S,V /q S,ideal ( ) q S,V /q S,ideal ( ) t (s) (a) Traceur A t (s) (b) Traceur C K S /S V = 0,1 K S /S V = 1 K S /S V = 10 Figure 4.28 Comparaison de la vitesse d assimilation moyenne de l ensemble des particules (q S,V ) à la vitesse moyenne en condition homogène (q S,ideal) au cours du temps pour différentes valeurs du rapport K S /S V. 188

203 3.. Approche lagrangienne : Trajectoires de particules fluide L intensité des répercussions de l hétérogénéité de concentration sur l assimilation dépend de la valeur du rapport K S /S V, qui représente le niveau de saturation en substrat des microorganismes. A première vue, il est difficile de tirer une tendance. En effet, on observe que l hétérogénéité de concentration a un impact moins important sur l assimilation lorsque les micoorganismes se trouvent en conditions très limitantes (K S /S V = 0, 1) ou en conditions de forte saturation en substrat (K S /S V = 10) que lorsqu ils sont cultivées dans les conditions de limitation classique (K S /S V = 1). Si on s intéresse à un plus grand nombre de valeurs de (K S /S V ), on peut néanmoins oberver que, en dehors de (K S /S V = 0, 1), plus le rapport augmente, moins l hétérogénéité de concentration se répercute sur l assimilation du substrat. En effet, plus K S /S V est faible, plus les microorganismes vont observer des sur-concentrations en substrat. La capacité d assimilation des microorganismes étant limitée à une valeur maximale (q Smax ), ces surconcentrations ne sont pas assimilées. Cependant, bien qu en terme d assimilation l augmentation du rapport K S /S V permet de diminuer les effets d hétérogénéité de concentration, les sur-concentrations en substrat observées par les microorganismes peuvent avoir une conséquence non négligeable sur le fonctionnement des microorganismes en provoquant, par exemple, l apparition du métabolisme overflow ou du métabolisme anaérobie si l apport en oxygène n est pas suffisant pour compenser la forte consommation nécessitée pour oxyder le substrat. 189

204 Introduction 4. CONCLUSIONS Nous avons montré dans ce chapitre qu un bioréacteur agité mécaniquement est un environnement très hétérogène tant en terme de propriétés turbulentes qu en terme de concentration. Spatialement, l énergie cinétique turbulente et son taux de dissipation sont répartis de manière très inhomogènes, ce qui nous a amené à définir une compartimentation de la cuve. A chaque compartiment sont associées des valeurs moyennes d énergie cinétique et de taux de dissipation mais également des valeurs moyennes des échelles caractéristiques du mesomélange et du micromélange. Associée à la trajectographie des particules entre chaque zone, cette compartimentation peut permettre à terme de proposer une représentation, certes simplifiée, du mélange dans une cuve agitée en associant à chaque compartiment une vitesse de mélange particulière et en reliant les flux entre chaque compartiment à la trajectoire des particules. La simulation du mélange macroscopique d un traceur inerte nous a permis de mettre en évidence une influence importante de la position de l alimentation sur l hétérogénéité de concentration dans un bioréacteur. Cette influence est essentiellement liée au mécanisme de macromélange. En effet, l exploitation des trajectoires de particules assimilables à des microorganismes a montré que les temps de circulation par rapport à une zone de référence définie au niveau de l injection sont significativement différents. De manière schématique, plus on injecte loin de l agitateur plus l hétérogénéité de concentration observée par des microorganismes est importante. Une conséquence des hétérogénéités de concentration a été observée sur la population de microorganismes lorsqu on s intéresse à l assimilation du substrat. Un couplage avec un modèle biologique adapté, prenant en compte les bascules métaboliques liées à la quantité de substrat assimilée, pourrait permettre d analyser, et éventuellement de prédire, la modification des performances biologiques observées lorsque la taille des bioréacteurs change. La simulation de l hydrodynamique et du mélange couplée à un suivi lagrangien peut également permettre d aider au design de réacteurs scale-down, représentatifs de l écoulement dans un bioréacteur industriel, afin d étudier la réponse des microorganismes à des modifications de leur environnement. 190

205 CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES Ce travail a été consacré à l analyse et à l étude par simulation numérique du mélange dans une cuve agitée en vue d une clarification des relations entre mélange et réaction dans les bioréacteurs. Cette problématique est d un intérêt majeur sur le plan industriel, car l extrapolation des procédés biologiques s accompagne souvent d une baisse du rendement de production et d une augmentation de la quantité de sous-produits formés. L étude bibliographique montre que cette problématique est bien caractérisée expérimentalement en particulier sur le plan de la description de conséquences biologiques. En revanche, la mise en relation des effets purement physiques (notamment liés au mélange) avec les comportements biologiques observés n a pas bénéficié du même intérêt. Ainsi, l association de modèles d écoulements basés sur la résolution des équations de Navier-Stokes et de modèles métaboliques raffinés ne conduit pas à une représentation satisfaisante des interactions mélange - réaction biologique d un point de vue quantitatif. Les raisons peuvent en être imputées soit au modèle hydrodynamique, soit au modèle métabolique, soit au terme de couplage (la vitesse d assimilation du substrat). L analyse des interactions basée sur la comparaison des temps caractéristiques des différents mécanismes de mélange et de la réaction biologique montre que le macromélange et le mesomélange peuvent entrer en compétition avec l assimilation du substrat qui constitue le préalable à la réalisation des réactions intracellulaires. Le fait que le mesomélange ne soit pas pris en compte dans les modèles hydrodynamiques évoqués précédemment donne une piste d explication plausible pour les écarts observés entre expérience et simulation. Parallèlement, l analyse de plusieurs travaux de la littérature sous l angle des interactions mélange - réaction montre que l état de mélange conditionne l affinité des microorganismes pour le substrat carboné. Par analogie avec les réactions chimiques, nous pouvons formuler l idée que l assimilation du substrat pourrait être représentée par une loi cinétique dans laquelle la constante de vitesse serait dépendante de l état de mélange dans le réacteur. Une voie d amélioration possible est constituée par l établissement d une corrélation entre l état de mélange et les capacités d assimilation des microorganismes. Cependant, on peut également imaginer une solution plus prédictive qui consisterait à produire un modèle reliant la capacité d assimilation aux variations de concentrations vues par les microorganismes au cours de leur 191

206 Conclusions et perspectives déplacement. La simulation numérique des écoulements a été utilisée pour quantifier l hétérogénéité spatiale et temporelle de la turbulence dans une cuve agitée d une part et pour estimer les variations de concentrations vues par les microorganismes lors de l ajout ponctuel d un traceur inerte. Des simulations RANS et LES ont été pour cela réalisées à l aide du code commercial FLUENT. Les résultats des simulations ont été comparés avec les données expérimentales existantes au laboratoire (travaux de thèse de R. Escudié en PIV basse fréquence et travaux de F. Huchet en PIV haute fréquence) et dans la littérature. La comparaison des résultats de simulations RANS et LES met en évidence les limitations des modèles de turbulence de type k-epsilon. Les résultats des simulations LES sont remarquablement proches des données expérimentales tant sur le plan des vitesses moyennes que sur les valeurs moyennes des grandeurs turbulentes. Il a été montré que dans le cas d une cuve agitée, un coefficient de sous maille C S = 0, 2 dans le modèle de Smagorinsky était nécessaire pour calculer le bon niveau de dissipation de l énergie cinétique turbulente. Cependant, la répartition du rapport valeur locale sur valeur moyenne volumique n est pas influencée par la valeur de la constante C S. De plus, les résultats obtenus en terme de taux de dissipation sont très cohérents avec les résultats de divers travaux expérimentaux, contrairement à ceux de la simulation RANS. L exploitation des simulations de mélange réalisées avec suivi lagrangien de particules a été menée avec un double objectif : établir un modèle simplifié du réacteur et décrire dans le détail l histoire des variations vues par les microorganismes. Une compartimentation du réacteur basée sur les valeurs du taux de dissipation a été proposée. Une distribution des temps de séjour par zone a également été établie. La combinaison de ces deux informations permet d envisager la construction d un modèle de compartiment en s affranchissant de l hypothèse de type parfaitement agité à l échelle de chaque compartiment. L exploitation des trajectoires des particules a confirmée que les corrélations classiquement utilisées pour déterminer un temps de circulation en cuve agitée, valables quant on s intéresse à la région autour de l agitateur, ne sont pas applicables pour évaluer la circulation des microorganismes à travers des régions fortement concentrées localisées en dehors de la zone de l agitateur. Le suivi lagrangien en LES ayant été validé, la base de données constituée peut permettre de concevoir des expériences scale-down où les conditions hydrodynamiques sont représentatives d un bioréacteur afin d étudier le comportement des microorganismes à la modification de leur environnement. 192

207 Conclusions et perspectives Nous avons démontré que la position de l alimentation joue un rôle déterminant dans la structure du signal de concentration vu par les microorganismes. L hétérogénéité de concentration observée par ces microorganismes est significativement plus importante lorsque l injection est réalisée dans une zone éloignée de l agitateur. Enfin, en utilisant un modèle d assimilation du substrat nous avons montré que les hétérogénéités de concentration observées en fonction du point d alimentation se répercutent sur la vitesse d assimilation de la population de microorganismes. Ce travail ne constitue qu une première et modeste étape vers la simulation de bioréacteurs. De nombreuses perspectives sont ouvertes et envisagées. Certaines avaient été imaginées avant le démarrage de ce travail, mais n ont pas pu être réalisées. Citons par exemple le couplage d un modèle de réaction biologique avec une description du bioréacteur par un modèle de compartiments dont les paramètres seraient issus de la simulation numérique. D autres sont nées au cours du travail : il apparaît maintenant crucial d essayer de mieux comprendre localement comment se passe l apport de substrat (et d oxygène) à un microorganisme au sein d une population plus ou moins concentrée (modélisation de sous maille des mécanismes de transfert - bioréaction). Pour ce faire, nous imaginons des simulations numériques directes des effets convectifs et diffusionnels jusqu à l échelle du microorganisme. Mais pour que ce travail soit convainquant, nous avons besoin d une meilleure description des échanges de matière au niveau de la membrane cellulaire (mécanismes et cinétiques). La portée du travail à réaliser dans ce domaine dépasse largement la problématique de la simulation de bioréacteurs. En effet, il s agit également de se poser la question de la limite physique des cultures à haute concentration cellulaire. Notons qu un problème similaire se pose dans le cas des réacteurs chimiques diphasiques fonctionnant à haute fraction volumique, quand la réaction est rapide, et qu un des constituants doit être transféré d une phase à l autre. Si ce type d étude confirme l importance des étapes de micromélange en présence d échanges de matière avec des microorganismes, il est clair que, comme dans le cas des réactions chimiques rapides, les outils de simulation du bioréacteur devront évoluer vers des techniques de transport de densité de probabilité (PDF). Cette évolution permettrait de mieux gérer l interaction mélange-bioréaction, mais aussi de prendre en compte les hétérogénéités de population de microorganismes par des bilans de population. 193

208

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216

217 TABLE DES FIGURES 1.1 Représentation schématique de l évolution de la concentration en microorganismes et de la concentration en substrat dans un bioréacteur en fonction de son mode de fonctionnement Ordre de grandeur des temps de relaxation des microorganismes (Roels, 1982; Bailey & Ollis, 1986) Évolution de la concentration en biomasse avec la modification de la position du point d alimentation (Dunlop & Ye, 1990) Hétérogénéité de concentration en substrat carboné mesurée à différentes hauteurs et pour deux positions de l alimentation dans un bioréacteur industriel de 8 m 3 (Bylund et al., 1998; Bylund et al., 1999) Schéma de principe des réacteurs scale-down pour modéliser les gradients de concentration observés dans les bioréacteurs de grande taille Evolution (a) de la concentration cellulaire entre un réacteur de 10 L et un réacteur de 20 m 3 et (b) des concentrations en acétate et formate dans un réacteur de 20 m 3 (Xu et al., 1999b) Représentation schématique d un sytème dans un état de mélange (a) macroscopiquement homogène et microscopiquement hétérogène et (b) macroscopiquement homogène et microscopiquement homogène Spectres de l énergie cinétique E(σ) et des fluctuations de concentration G(σ) Représentation schématique des mécanismes de mélange turbulent (Baldyga & Bourne, 1999) Représentation schématique de l échange entre les volumes élémentaires des modèles de compartiments Représentation schématique de la cuve agitée simulée Coupe horizontale centrée sur l agitateur du maillage de la cuve agitée Principe du solveur segregated de FLUENT Représentation schématique sur une coupe horizontale du plan de mesure et de deux positions relatives des pales par rapport à ce plan : (a) p = 1 et ϕ = 0, (b) p = 21 et ϕ =

218 Table des figures 3.5 Convergence statistique des composantes de la vitesse en moyenne d ensemble (a) et en moyenne de phase (b) en fonction du nombre d acquisitions par position relative Convergence statistique des composantes diagonales du tenseur de Reynolds en moyenne d ensemble (a) et en moyenne de phase (b) en fonction du nombre d acquisitions par position relative Profils verticaux expérimentaux et numériques (RANS) des trois composantes de la vitesse moyenne dans le jet de l agitateur Profils verticaux expérimentaux et numériques (LES) des trois composantes de la vitesse moyenne dans le jet de l agitateur Profils verticaux expérimentaux et numériques (RANS) des trois composantes de la vitesse en moyenne de phase dans le jet de l agitateur pour la position angulaire ϕ = Profils verticaux expérimentaux et numériques (LES) des trois composantes de la vitesse en moyenne de phase dans le jet de l agitateur pour la position relative ϕ = Vitesses en moyenne d ensemble dans un plan vertical à 45 entre deux chicanes pour la pale dans le plan ((a) simulation RANS et (b) simulation LES) Profils verticaux expérimentaux et numériques (RANS) de l énergie cinétique du mouvement organisé, du mouvement turbulent et de l énergie cinétique totale Profils verticaux expérimentaux et numériques (LES) de l énergie cinétique Profils verticaux expérimentaux et numériques (LES) des trois composantes diagonales du tenseur de Reynolds du mouvement turbulent Profils verticaux numériques (LES) des composantes de la vitesse moyenne en fonction de la valeur de la constante C S (r = 80 mm) Profils verticaux numériques (LES) de l énergie cinétique totale et de ses composantes périodique et turbulente en fonction de la valeur de la constante C S (r = 80 mm) Profils radiaux expérimental et numériques (LES) du taux de dissipation de l énergie cinétique pour une hauteur z = 150 mm ((a) valeurs locales, (b) valeurs locales normalisées par le taux de dissipation global) Profils radiaux expérimentaux et numériques (LES) du taux de dissipation de l énergie cinétique pondéré par N 3 D 2 pour une hauteur z = 150 mm (z/t = 0.133) (a) Représentation schématique des vortex traînants et (b) trajectoire des vortex d après (Lee & Yiannekis, 1998)

219 Table des figures 3.20 Comparaison des trajectoires spatiales et temporelles projetées sur un plan horizontal Trajectoires expérimentales et numériques des vortex traînants projetées sur un plan horizontal (a) et (b) Comparaison des champs d énergie cinétique turbulent et des trajectoires des vortex projetées sur un plan horizontal à z = 150 mm. Comparaison des champs de vorticité (c) (d) et d énergie cinétique (e) (f) sur un plan vertical situé en bout de pales (a) et (b) Comparaison des champs du taux de dissipation et des trajectoires des vortex projetées sur un plan horizontal à z = 150 mm. Comparaison des champs de vorticité (c) (d) et du taux de dissipation (e) (f) sur un plan vertical situé en bout de pales Contours de l énergie cinétique turbulente (k MT /k MT,V ) sur une coupe verticale comprise entre deux chicanes Compartimentation de la cuve en 5 zones d intensité turbulente différente Distribution volumique de l énergie cinétique turbulente par rapport à la valeur moyenne Distribution volumique du taux de dissipation par rapport à la valeur moyenne Contours des échelles (a) de taille et (b) de temps de mesomélange Contours des échelles (a) de taille et (b) de temps du micromélange par incorporation Distribution volumique des échelles de taille et de temps du mesomélange Distribution volumique des échelles de taille et de temps du micromélange par incorporation Positions des points d enregistrement du taux de dissipation instantané Évolution temporelle du taux de dissipation instantané pondéré par la moyenne locale pour 3 positions dans la cuve Distribution temporelle des valeurs du taux de dissipation instantané pour les 3 points de mesure considérés Représentation schématique de la position des trois points d injection du traceur inerte et des six points d enregistrement de la concentration Evolution des concentrations normées de chaque traceur aux 6 points de mesure Évolution des concentrations normées de chaque traceur aux points d injection sur une durée de 0,5 seconde après l injection Évolution de l intensité de ségrégation pour les trois points d injection du traceur

220 Table des figures 4.16 Trajectoires de 3 particules pendant 20 secondes résolues (a) par une simulation RANS et (b) par une simulation LES Représentation schématique de la détermination du temps de circulation et du temps de séjour par rapport à une zone de référence Représentation schématique de la zone autour de l agitateur définie comme référence pour la détermination des distributions de temps de circulation Distribution des temps de circulation en considérant comme référence de passage le jet de l agitateur Distribution des temps de séjour dans (a) la boucle de circulation haute, (b) dans la boucle de circulation basse et (c) le jet de l agitateur Distribution des temps de circulation par rapport au jet de l agitateur et comparaison aux distribution des temps de séjour dans les boucles de circulation Représentation schématique des zones autour des points d injection définies comme référence pour la détermination des distributions de temps de circulation Distribution des temps de circulation en considérant comme référence de passage (a) la zone d injection haute (A) et (b) la zone d injection basse (C) Distribution des temps de séjour dans (a) la zone A et (b) la zone C Historiques des taux de dissipation instantanés observés pour quelques particules Historiques des concentrations en traceur A et en traceur C observées pour quelques particules Évolution du pourcentage de particules observant (a) une concentration inférieure ou égale à 0,5 fois la concentration moyenne, (b) la concentration moyenne à ± 10 % et (b) une concentration supérieure à 5 fois la moyenne Comparaison de la vitesse d assimilation moyenne de l ensemble des particules (qs,v ) à la vitesse moyenne en condition homogène (q S,ideal) au cours du temps pour différentes valeurs du rapport K S /S V

221 LISTE DES TABLEAUX 1.1 Comparaison des paramètres physiques de fonctionnement des trois bioréacteurs (Junker, 2004) Ordre de grandeurs des différentes échelles de mélange Caractéristiques des études numériques de couplage du mélange et de la réaction biologique en utilisant l approche Euler-Euler Expressions des échelles de taille et de temps caractéristiques des mécanismes de mélange turbulent Dimensions et paramètres de fonctionnement des bioréacteurs pour le calcul des échelles de mélange Échelles de taille et de temps des mécanisme de mélange pour un bioréacteur de taille industrielle et un bioréacteur de laboratoire (ǫ V = 1,3 m 2.s 3 ) Temps caractéristique (s) de la réaction associé à la consommation du substrat carboné (glucose) Valeurs des constantes du modèle k-epsilon implémenté sous FLUENT Valeurs des coefficients de sous-relaxation utilisées pour les simulations Valeurs du taux de dissipation moyen volumique expérimentale et numériques (m 2.s 3 ) Valeurs moyenne et maximale du taux de dissipation pour les simulations RANS et LES et les données expérimentales Rapport des volumes, contribution à la moyenne volumique totale et moyenne volumique dans chaque zone pour l énergie cinétique turbulente Rapport des volumes, contribution à la moyenne globale et moyenne volumique de chaque zone pour le taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente Expressions des échelles de taille et de temps caractéristiques des mécanismes de mesomélange et de micromélange Valeurs moyennes des échelles de mélange calculées de deux manières (Équation 4.9) Valeurs moyennes des échelles caractéristiques des mécanismes de mesomélange et de micromélange par incorporation dans chaque zone

222 Liste des tableaux 4.6 Moyennes temporelles du taux de dissipation et du temps de micromélange aux trois points considérés Moyennes temporelles du taux de dissipation et des temps de meso- et micromélange aux trois points d injection considérés Temps de mélange à 95 % (s) pour chaque traceur et chaque point de mesure Temps de circulation et temps de séjours moyens par rapport au jet et dans les deux boucles de circulation et nombre d évenements réalisés dans chaque cas Moyenne et variance des distributions de temps de circulation et de séjour par rapport aux zones d alimentation et nombre d évènements réalisés dans chaque cas