Simulation d un système d assurance automobile

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Sophie St-Louis
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1 Simulation d un système d assurance automobile DESSOUT / PLESEL / DACHI

2 Plan 1 Introduction... 2 Méthodes et outils utilisés Chaines de Markov Méthode de Monte Carlo Méthode de rejet... 3 Cadre et hypothèses... 4 Simulation de la sinistralité Simulation de la fréquence des sinistres Simulation des coûts individuels des sinistres... 5 Conclusion... p. 1

.. 4 Simulation de la sinistralité... 4.1 Simulation de la fréquence des sinistres.

3 1 Introduction Les assurés composant le portefeuille d une assurance automobile ne sont pas tous égaux devant le risque. Certains présentent un profil plus dangereux que d autres. Le but de la tarification a posteriori, est de mieux quantifier le risque d un assuré, afin que ce dernier paie une prime correspondant à sa fréquence de réclamation. Notre étude portera sur la simulation d un système bonus-malus allégé, à l aide du logiciel R. Nous avons choisi ce logiciel car c'est un logiciel dédié au traitement statistique. Donc la plus part des fonctions statistique sont déjà présentes dans le logiciel. De plus R est le seul langage de programmation que les 3 membres du groupe avaient déjà manipulé. En premier lieu, nous présenterons le cadre de notre étude. Ensuite nous simulerons la fréquence des sinistres ainsi que les coûts individuels des sinistres, tout cela sur une période de 5 ans. Enfin, à partir des résultats obtenus, nous conclurons sur la pertinence de nos primes de base. p. 2

Notre étude portera sur la simulation d un système bonus-malus allégé, à l aide du logiciel R. Nous avons choisi ce logiciel car c'est un logiciel dédié au traitement statistique.

4 2 Méthodes et outils utilisés 2.1 Chaines de Markov L outil mathématique utilisé pour l analyse technique des systèmes à classes repose sur la théorie des chaînes de Markov et nécessite donc que le système se présente sous forme Markovienne : la classe future d un assuré ne dépend que de sa classe antérieure et du nombre de sinistres déclarés durant l année. Définition : Soit l espace d états fini, E {1, 2, 3, 4}. (finie) si, pour,, on a est une chaîne de Markov La probabilité qu un individu soit impliqué dans k accidents durant une période donnée est égale à : λ étant le paramètre de la loi de Poisson à estimer. Il représente également la moyenne et la variance de la distribution. 2.2 Méthode de Monte Carlo En outres, nous introduirons dans notre simulation la méthode de Monte-Carlo. On appelle méthode de Monte-Carlo, les techniques permettant d évaluer une quantité déterministe à l aide de l utilisation de tirages aléatoires. En d'autre termes, la méthode de monté Carlo nous permet, après N simulations, d'approcher la valeur de E(X) ou X est une variable aléatoire. Cette méthode repose en grande partie sur l'utilisation de la loi forte des grand nombres selon laquelle si (Xi, i 1) est une suite de réalisations de la v.a.i.i.d de même loi que X, alors Pour notre projet, on a utilisé la méthode de Monté Carlo principalement pour simuler les couts des sinistres. La précision de la méthode de monté Carlo est donnée par le théorème centrale limite (TCL). = h () 1 (h ())= 1 GN où GN ~ N (0, Var (h (X))). p. 3

Markovienne : la classe future d un assuré ne dépend que de sa classe antérieure et du nombre de sinistres déclarés durant l année. Définition : Soit l espace d états fini, E {1, 2, 3, 4}.

5 On rappelle que le théorème central limite affirme que si est une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi et d espérance µ et de variance σ² finies, ( µ ) (où x désigne =1 h ( ) ) converge en loi vers une loi normale centrée réduite. Cette précision sera donnée sous forme d'intervalle de confiance. 2.3 Méthode de rejet On veut simuler une v.a de loi de densité f et on suppose qu il existe une loi de densité g facile à simuler telle que où C est une constante réelle. On suppose également sur l ensemble. Proposition : Soit (X1, U1) un couple de v.a indépendantes telles que X 1 suit la loi de densité g et U1 suit la loi uniforme sur [0, 1]. Si U1 α (X 1), on pose X = X1. Si on rejette X1 et on recommence en générant une suite (X n, Un)n 2 de v.a indépendantes de même loi que (X1, U1), jusqu au premier rang p où U p α(x p). On pose alors X = Xp. La v.a X ainsi simulée a pour densité f. 3 Cadre et hypothèses Notre échantillon, contient 2100 assurés, reparti en deux sous catégories : celle des jeunes conducteurs avec 700 assurés et celle des conducteurs expérimentés contenant 1400 assurés. Sont considérés comme jeunes conducteurs, les conducteurs titulaires d un permis de moins de cinq ans. Par conducteurs expérimentés, nous désignons les conducteurs qui ont plus de cinq ans d expérience de conduite. Par ailleurs, on a fixé la prime de base pour un jeune conducteur à 1500 euros par an et celle d un conducteur expérimenté à 1200 euros. 4 Simulation de la sinistralité 4.1 Simulation de la fréquence des sinistres La modélisation du nombre de réclamations à l assureur est un élément majeur en tarification en assurance non-vie. Le but de cette partie est d estimer la loi du nombre de sinistres d un contrat pendant une année. Le parcours d un assuré dans une échelle bonus-malus à classes se décrit à l aide de la modélisation en chaine de Markov. p. 4

a de loi de densité f et on suppose qu il existe une loi de densité g facile à simuler telle que où C est une constante réelle. On suppose également sur l ensemble.

6 Considérons une échelle à 4 classes ; la classe 1 étant celle où on paie la prime de base, sans majoration. On suppose de plus que tous les assurés sont initialement dans la première classe. Les règles de passage d une classe à l autre dépendent uniquement du nombre de sinistres causés dans l année : Une année sans sinistres fait descendre d une classe Une année avec un sinistre fait monter d une classe Une année avec deux sinistres fait monter de deux classes Une année avec 3 sinistres et plus fait monter de trois classes Niveau de départ Niveau après k accidents dans l année K=0 K=1 K=2 k Tableau 1 : règles de passage d une classe à l autre De plus, nous fixons 4 niveaux de primes : Pa : aucun accident pendant l année, les assurés paient la prime de base Pb : 1 accident pendant l année, les assurés paient la prime de base, majorée de 35% Pc : 2 accidents pendant l année, les assurés paient la prime de base, majorée de 65% Pd : au moins 3 accidents pendant l année, les assurés paient la prime de base, majorée 100% On supposera également que le nombre annuel d accidents de l assuré est une variable aléatoire suivant une loi de Poisson P(λ), où k représente le nombre d accidents et λ > 0: P(λ)= Par ailleurs, dans notre code, nous avons choisi λ = 0,9 pour les jeunes conducteurs et λ = 0,4 pour les autres. Nous réalisons N simulations de notre loi de Poisson pour les deux valeurs de λ énoncées précédemment. Obtient donc un nombre moyen d accidents de 1190 par an, à l aide de la fonction NombreAccidentsTotal.! p. 5

monter d une classe Une année avec deux sinistres fait monter de deux classes Une année avec 3 sinistres et plus fait monter de trois classes Niveau de départ Niveau après k accidents dans l année

7 La matrice de transition à pour expression : P = A noter que la somme de chaque ligne de la matrice est égale à 1. A l aide de la fonction RepIndivApres5ans nous obtenons la répartition des individus dans les différentes classes après 5 ans, pour n simulation. Figure 1 : proportion dans chacune des classes Au vu de ces premiers résultats, nous pouvons à l aide de la fonction CiffreAffaire, dire qu on aura un chiffre d affaire qui avoisinera les 3,9 Million d euros, à la 5ème année. Reste donc à déterminer qu elle sera le coût des sinistres à cette même période. p. 6

8 4.2 Simulation des coûts individuels des sinistres Les coûts des sinistres sont des variables positives. La loi des coûts des sinistres utilisée est la suivante : N.B : erf( ) est la fonction d erreur (aussi appelée fonction d erreur de Gauss) : A l aide de la fonction rejet, on essaie d attribuer un coût individuel à chacun des sinistres déclarés par nos assurés. On s assure de tirer aléatoirement, grâce à la méthode de rejet, le même nombre de coût que de sinistres. Ce qui donne le coût moyen d un accident pour une simulation. Ensuite, on réalise N simulations, où N représente le nombre de simulation. On obtient donc le coût moyen général. A l aide du Théorème Central Limite (noté par la suite TCL), on détermine un intervalle de confiance, pour un seuil α = 5%. Ainsi obtient, les résultats suivant : Nombre de simulation Moyenne Intervalle de Confiance ,0621 [1234,034 ; 1252,090] ,9133 [1245,391 ; 1256,435] ,765 [1232,092 ; 1267,406] Le temps d exécution est assez pour un nombre assez grand (par exemple 1000), car le programme invoque la fonction rejet 1000 fois et qui elle-même génère un peu plus de 600 simulations. Ce qui est un nombre assez important. p. 7

assurés. On s assure de tirer aléatoirement, grâce à la méthode de rejet, le même nombre de coût que de sinistres. Ce qui donne le coût moyen d un accident pour une simulation.

9 5 Conclusion Après avoir exécuté ce programme, nous constatons un chiffre d affaire proche des 3,9 Million d euros et un coût total de recouvrement égal à 1,15 Million d euros. Ce qui nous fait donc un bénéfice de 2,75 Million d euros La réalisation de ce projet, nous a permis de mettre en pratique les connaissances théoriques acquises en cours. Et de développer notre capacité de travail en groupe notamment lors des prises de décision. De plus nous avons su unir nos compétences individuelles, afin de mener à bien notre projet. p. 8

Ce qui nous fait donc un bénéfice de 2,75 Million d euros La réalisation de ce projet, nous a permis de mettre en pratique les

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