Contents. 1 Introduction Objectifs des systèmes bonus-malus Système bonus-malus à classes Système bonus-malus : Principes

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1 Université Claude Bernard Lyon 1 Institut de Science Financière et d Assurances Système Bonus-Malus Introduction & Applications SCILAB Julien Tomas Institut de Science Financière et d Assurances Laboratoire de recherche de Sciences Actuarielle et Financière 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris Slide 1/33

2 Contents 1 Introduction Objectifs des systèmes bonus-malus Système bonus-malus à classes Système bonus-malus : Principes 2 Exemple introductif Application SCILAB 3 Echelles et chaines de Markov Généralisation à l aide des chaines de Markov Lois transitoires Loi stationnaire Prime relative & Méthode de Norberg 4 Exemple Le modèle brésilien & Application SCILAB 5 Raffinements Slide 2/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris

7 Content 1 Introduction Objectifs des systèmes bonus-malus Système bonus-malus à classes Système bonus-malus : Principes 2 Exemple introductif Application SCILAB 3 Echelles et chaines de Markov Généralisation à l aide des chaines de Markov Lois transitoires Loi stationnaire Prime relative & Méthode de Norberg 4 Exemple Le modèle brésilien & Application SCILAB 5 Raffinements Slide 3/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris

8 Objectifs des systèmes bonus-malus L instauration d un système bonus-malus poursuit essentiellement : La responsabilisation des assurés et les inciter à plus de prudence au volant : les assurés qui ont causé un sinistre pour lequel la compagnie a du intervenir voient leur prime augmenter l année suivante. Ainsi, il y a un intérêt objectif à prendre autant de précautions que possible au volant. Ajuster le montant de la prime au cours du temps afin qui celui-ci reflète le risque réel que représente l assuré. Slide 4/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris

9 Système bonus-malus à classes Un système à classes se présente comme suit : Niveau s... `... Prime bs... b` = r` BP... b Prime relative rs... r`... r Le niveau est celui auquel est associée la plus grande ristourne, alors que le niveau s correspond à la pénalité maximale. A chaque échelon est associé un pourcentage. Si l assuré occupe le niveau `, la prime qu il devra payer s obtient en appliquant le pourcentage r` à la prime de base BP librement fixée par l assureur. Slide 5/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris

10 Système bonus-malus : Principes Un degré de l échelle est prévu pour le nouvel assuré. Ensuite, un réajustement de la position est effectué annuellement en fonction de la sinistralité de cet assuré et conformément aux règles du système. Ce système a pour effet de pénaliser par une augmentation de prime le responsable d un ou de plusieurs accidents, tandis que dans la situation inverse, l assuré bénéficiera d une réduction de prime. Slide 6/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris

12 On considère que le portefeuille est constitué de deux types de risques : les bons, pour lesquels le nombre de sinistres obéit à la loi de P(λθ1 ), et les mauvais pour lesquels le nombre de sinistre obéit à la loi P(λθ2 ), avec θ2 > 1 > θ1. Si la proportion de bons risques est ρ, cela revient à écrire ( Θ= θ1 avec une probabilité ρ, θ2 avec une probabilité 1 ρ, où les paramètres θ1, θ2 et ρ sont contraints par E Θ = ρ θ1 + (1 ρ)θ2 = 1. Slide 8/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris

13 Un assuré pris au hasard dans le portefeuille génère une suite de sinistres N1, N2, N3... au cours de ses années de conduite. Les variables N1, N2, N3... sont supposées iid. L assureur utilise une échelle bonus-malus à trois niveaux, numérotés, 1 et 2. Les nouveaux assurés font leur entrée dans le système au niveau 1. Chaque année sans sinistre est récompensée par une descente d un degré dans l échelle. Chaque sinistre est pénalisé par une remontée d un niveau. Slide 9/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris

14 On note Lt le niveau occupé par l assuré au cours de la période (t, t + 1), t =, 1, 2,.... L hypothèse d indépendance des nombres annuels de sinistre permet d écrire pour les bons conducteurs Pr Lt+1 = ` Lt =, Θ = θ1 = exp( λθ1 ) pour ` =, λθ1 exp( λθ1 ) pour ` = 1, 1 exp( λθ )(1 + λθ ) pour ` = 2, 1 1 Slide 1/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris

15 et de la même manière Pr Lt+1 = ` Lt = 1, Θ = θ1 exp( λθ1 ) pour ` =, pour ` = 1, = 1 exp( λθ ) pour ` = 2, 1 et Pr Lt+1 = ` Lt = 2, Θ = θ1 pour ` =, exp( λθ1 ) pour ` = 1, = 1 exp( λθ ) pour ` = 2, 1 avec des expressions similaires pour les mauvais conducteurs. Slide 11/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris

16 On peut ranger les probabilités de passer du niveau `1 au niveau `2 d une année sur l autre, Pr Lt+1 = `2 Lt = `1, Θ = θ1 : exp( λθ1 ) λθ1 exp( λθ1 ) 1 exp( λθ1 )(1 + λθ1 ) 1 exp( λθ1 ) P(θ1 ) = exp( λθ1 ) exp( λθ1 ) 1 exp( λθ1 ) qui a la propriété que la somme des lignes donne 1. Cette matrice est appelée matrice de transition, car elle décrit les transitions opérées par les assurés entre les différents niveaux du système bonus-malus. De la même manière pour les mauvais conducteurs. Slide 12/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris

17 L évolution dans le système est gouvernée pour un bon conducteur par la relation 2 X Pr Lt = `2 Θ = θ1 = Pr Lt = `2 Lt 1 = `1, Θ = θ1 Pr Lt 1 = `1 Θ = θ1. `1 = Si on note p (t) (θ1 ) le vecteur colonne dont la composante ` est Pr Lt = ` Θ = θ1, on s aperçoit que (1) p (t) (θ1 ) = P T (θ1 )p (t 1) (θ1 ). et en itérant, on a p (t) (θ1 ) = P T (θ1 )P T (θ1 )... P T (θ1 ) 1 puisque Pr[L = 1 = 1 d où p () (θ1 ) = (, 1, )T. Slide 13/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris

18 Il suffit de calculer les différentes puissances de la transposée P T (θ1 ) pour obtenir la loi de probabilité des niveaux L1, L2, L3,... qu ils occuperont dans l échelle au cours du temps. On peut s interroger quant à la stabilisation éventuelle des proportions de bons conducteurs dans les différents niveaux de l échelle. Cela revient à étudier le comportement asymptotique de p (t) (θ1 ) lorsque t +, i.e. à chercher l existence d une limite π` (θ1 ) = lim Pr Lt = ` Θ = θ1 = lim p (t) (θ1 ). t + Slide 14/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris t +

19 Application SCILAB λ = 1% θ1 =.5 et θ2 = 1.5 ρ = 5% Slide 15/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris

20 Le régime stationnaire fournit rapidement une bonne approximation des lois p (t) (θ1 ) et p (t) (θ2 ). On note L le niveau occupé par un conducteur dans l échelle. On a donc Pr L = ` Θ = θ1 = π(θ1 ) et Pr L = ` Θ = θ2 = π(θ2 ), pour ` =, 1, 2. On cherche à présent la probabilité qu un assuré occupant le niveau ` une fois le système stabilisé soit un bon conducteur : Pr Θ = θ1 L = ` = Pr L = ` Θ = θ1 Pr[Θ = θ1 Pr L = ` Θ = θ1 Pr Θ = θ1 Slide 16/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris + Pr L = ` Θ = θ2 Pr Θ = θ2

21 En supposant les coûts moyens des sinistres unitaires, la prime a priori vaut Pr Θ = θ1 λθ1 + Pr Θ = θ2 λθ2 A posteriori la prime passe à Pr Θ = θ1 L = ` λθ1 + Pr Θ = θ2 L = ` λθ2 pour les assurés occupant le niveau ` de l échelle. On peut aussi la réécrire comme : λ Pr Θ = θ1 L = ` θ1 + Pr Θ = θ2 L = ` θ2 = λe Θ L = ` Le niveau ` occupé par le conducteur renseigne quand à la loi de Θ et précise donc la qualité du risque. La réévaluation des fréquences annuelles de sinistre passe par le calcul des E Θ L = `, pour ` =, 1, 2. Slide 17/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris

23 Généralisation à l aide des chaines de Markov Soit λ la fréquence annuelle moyenne de sinistre au niveau du portefeuille. On considère que le nombre annuel de sinistres causés par un assuré pris au hasard dans le portefeuille est de loi MP(λΘ) où Θ est une variable aléatoire positive de moyenne 1, souvent supposée de loi G(a, a), i.e. le niveau de risque relatif. Chaque assuré occupe un degré dans l échelle bonus-malus, qui en compte s + 1 numérotés de à s. On note dorénavant Lt le degré occupé par l assuré entre les instants t et t + 1. La trajectoire de l assuré est ainsi représentée par le processus stochastique à temps discret {Lt, t N}. Slide 19/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris

24 Généralisation à l aide des chaines de Markov Le degré d un assuré pour une période d assurance donnée est déterminé par le degré de la période précédente et le nombre de sinistres relatifs à cette période. Si l assuré descend d un niveau par an dans l échelle et que chaque sinistre est pénalisé par une remontée de ω degrés, le niveau Lt+1 où sera versé l assuré à l instant t + 1 est donné par Lt+1 = max{min{lt + ωnt+1 1, s}, }. De manière générale, Lt+1 = Φ(Lt, Nt+1 ), où Φ(, ) est une fonction non décroissante, dès lors Pr Lt+1 = `t+1 Lt = `t,..., L = `, Θ = Pr Lt+1 = `t+1 Lt = `t, Θ. L état occupé par l assuré dans l échelle résume toute l information utile pour connaître son évolution future. Slide 2/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris

25 Généralisation à l aide des chaines de Markov Cette propriété nous permet de modéliser l assuré à l aide d un processus de Markov. Rappel : Une chaine de Markov est un processus stochastique dans lequel le développement futur dépend uniquement du présent et non de l histoire du processus. C est un processus sans mémoire tels que les différents états de la chaine représentent les différents échelons du système. Pour rappel, le niveau occupé à l instant présent et le nombre de sinistres occasionnés par l assuré durant l année suffisent pour déterminer le niveau que l assuré occupera l année suivante. Il n est donc pas nécessaire de savoir comment a été atteint le niveau qu occupe l assuré actuellement. Le système Bonus-Malus en vigueur en France peut se représenter à l aide d une chaine de Markov, en associant à chaque niveau un pourcentage entre 5 et 35, voir Kelle (2). Slide 21/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris

26 Lois transitoires (ν) Si on note p` ` (ϑ) la probabilité qu un assuré dont la fréquence 1 2 annuelle de sinistre ϑ soit envoyé du niveau `1 au niveau `2 en ν années, i.e. (ν) p`1 `2 (ϑ) = Pr Lt+ν = `2 Lt = `1, λθ = ϑ. Clairement, (ν) p`1 `2 (ϑ) = s X Pr Lt+ν = `2 Lt+ν 1 = k, Lt = `1, λθ = ϑ k= Pr Lt+ν 1 = k Lt = `1, λθ = ϑ = s X (ν 1) pk`2 (ϑ)p`1 k (ϑ). k= On reconnait la formule correspondant à la multiplication matricielle. Ainsi, la νème puissance de la transposée P T (ϑ) de la matrice P(ϑ) fournit la matrice de transition en ν pas dont (ν) l élément (`1 `2 ), p`1 `2 (ϑ). Slide 22/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris

27 Lois transitoires Si on note (ν) p` (ϑ) = Pr Lν = ` λθ = ϑ. et si on désigne par p (ν) (ϑ) le vecteur dont la `ème composante (ν) est p` (ϑ), on a p (ν) (ϑ) = P T (ϑ)p (ν 1) (ϑ). En général, p () (ϑ) est fixé par l assureur, de sorte qu une application successive de la dernière relation permet de calculer p (ν) (ϑ), lequel donne les pourcentages d assurés occupant les différents niveaux de l échelle après ν années. Slide 23/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris

28 Lois stationnaire Il existe un entier ξ 1 tel que tous les éléments de la matrice {P(ϑ)}ξ sont strictement positifs. Dans ce cas la chaine de Markov est dite ergodique, et possède de ce fait une loi stationnaire représentée par le vecteur de probabilités π(ϑ), dont la `ème composante π` (ϑ) est la probabilité qu un assuré depuis suffisamment longtemps dans le portefeuille et dont la fréquence de sinistre est ϑ occupe le niveau `, i.e. π(ϑ) = lim p (ν) (ϑ). ν + Il est intéressant de noter que π(ϑ) ne dépend pas du niveau dans lequel sont versés les nouveaux assurés, conséquence du caractère markovien du système, qui oublie donc son passé. Slide 24/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris

29 Lois stationnaire Les probabilités stationnaires π` (ϑ) s obtiennent selon lim p (ν) (ϑ) = P T (ϑ) lim p (ν 1) (ϑ) ν + ν + T π(ϑ) = P (ϑ)π(ϑ) Dès lors, le vecteur π(ϑ) est solution du système ( π T (ϑ) = π T (ϑ)p(ϑ), π T (ϑ)e = 1. Rolski et al. (1999) donnent le résultat suivant : Soit E la matrice de dimension (s + 1) (s + 1) dont tous les éléments valent 1, On a : π T (ϑ) = e T I P(θ) + E Slide 25/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris 1.

30 Prime relative & Méthode de Norberg Norberg (1976) suggère l idée de déterminer les r` de façon à 2 minimiser Q = E (Θ r` ). L idée est donc de choisir les r` qui approximent le mieux Θ au sens des moindres carrées. En développant l expression de Q, on a Q= s X E (Θ r` )2 L = ` Pr[L = ` `= = s Z X `= θ> (Θ r` )2 u(θ `)dθ Pr[L = ` où u( `) désigne la densité de Θ sachant L = `. Ainsi, Pr[L = ` Θ = θ u(θ) u(θ `) =. Pr[L = ` Slide 26/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris

31 Prime relative & Méthode de Norberg On obtient Q= s X Z θ> `= Il suffit à présent d imposer = Z θ (θ r` )2 π` (λθ)u(θ)dθ. Q = pour obtenir r` (θ r` )π` (λθ)u(θ)dθ d où l on trouve que R θπ` (λθ)u(θ)dθ. θ π` (λθ)u(θ)dθ θ r` = R Slide 27/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris

33 Le modèle brésilien Application SCILAB ϑ = 1% Degré 7 (départ) Slide 29/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris Classe d arrivée si sinistre(s)

34 Le modèle brésilien La matrice de transition P(ϑ) s écrit P(ϑ) = p (ϑ) p1 (ϑ) p2 (ϑ) p3 (ϑ) p4 (ϑ) p5 (ϑ) p (ϑ) p1 (ϑ) p2 (ϑ) p3 (ϑ) p4 (ϑ) p (ϑ) p1 (ϑ) p2 (ϑ) p3 (ϑ) p (ϑ) p1 (ϑ) p2 (ϑ) p (ϑ) p (ϑ) p1 (ϑ) p (ϑ) où pk (ϑ) = Slide 3/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris ϑk exp( ϑ). k! P5 pk (ϑ) Pk= 4 pk (ϑ) 1 Pk= 3 pk (ϑ) 1 Pk= 2 pk (ϑ) 1 Pk= pk (ϑ) k= 1 p (ϑ) 1 p (ϑ)

36 Raffinements Univers segmenté : Les classes tarifaires sont déterminés sur base des caractéristiques observables des assurés. Pour chacune des classes, une fréquence annuelle de sinistre λk est déterminée par régression de Poisson et un poids wk est affecté à la classe en faisant le rapport entre l exposition au risque de la classe et l exposition au risque totale du portefeuille. La variance de l effet aléatoire Θ est estimée par la méthode des moments. Soif de bonus : Les pénalités induites par les SBM dépendent exclusivement du nombres de sinistres en tort déclarés par l assuré. Leur coût n est pas pris en compte. Une conséquence est l apparition du phénomène bonus hunger, la soif de bonus. Comme les pénalités du système sont indépendantes du montant des sinistres, les assurés ont tout intérêt à dédommager eux-mêmes les petits sinistres. Performance des échelles bonus-malus : Degré moyen relatif à l état stable (degré qu occupera un assuré moyen au moment où le système bonus-malus atteint l état stationnaire). Le coefficient de variation des primes des assurés (Plus les primes payées par les assurés sont variables, moins il y a de solidarité et plus le système est sévère). Slide 32/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris

37 References Denuit, M. and Charpentier, A. (25). Mathématiques de l assurance non-vie Tome II : Tarification et provisionnement. Economie et Statistiques Avancées. Economica. Kelle, M. (2). Modélisation du système de bonus-malus fançais. Bulletin Français d Actuariat, 4(7), Norberg, R. (1976). A credibility theory for automobile bonus system. Scandinavian Actuarial Journal, pages Rolski, T., Schmidli, H., Schmidt, V., and Teugels, J. (1999). Stochastic process for insurance and finance. Wiley, New-York. Slide 33/33 Julien Tomas Système Bonus-Malus 2/12/213 - ISFA - Journée ISFA-APHEC - Paris