Cas des intervalles disjoints. Si I = [ 0 ; 2 ] et J = ] 4 ; 5 [, alors I J = et I J = [ 0 ; 2 ] ] 4 ; 5 [ ne peut pas s écrire plus simplement.

Transcription

1 Seconde Généralités sur les fonctions I. Intervalles a) Différents types d intervalles. a et b sont deux réels tels que a < b. Le tableau ci-dessous résume les différents types d intervalles. L intervalle noté est l ensemble des réels x tel que a ; b a x b Représentation graphique sur une droite graduée a ; b a < x < b a ; b a < x b a ; b a x < b a ; a x a ; a < x ; b x b ; b x < b Remarque et vocabulaire. On pourrait aussi ajouter à cette liste l intervalle noté ; qui n est autre que R. Les intervalles du type Les intervalles du type L amplitude de l intervalle a ; b sont dits fermés, les intervalles du type a ; b sont dits ouverts. a ; b sont ouverts en a et fermés en b. a ; b est b a. Faire une figure pour illustrer. b) Union et intersection. Définition. Soient I et J des intervalles. On note I J l ensemble des x appartenant à la fois à I et à J. Autrement dit x I J x I et x J. On note I J l ensemble des x appartenant à I ou à J (l un, l autre ou les deux). Autrement dit x I J x I ou x J. Exemples. Si I = 2 ; 4 et J = 3 ; 5 alors I J = 2 ; 5 et I J = 3 ; 4 (illustrer avec une droite graduée). Cas des intervalles disjoints. Si I = [ 0 ; 2 ] et J = ] 4 ; 5 [, alors I J = et I J = [ 0 ; 2 ] ] 4 ; 5 [ ne peut pas s écrire plus simplement.

2 II. Notion de fonction Exemple. On fait l'expérience suivante : entre 6 h et 22 h, on relève la température extérieure. A chaque instant t on fait correspondre une température T, t T. On a ainsi la température en fonction de l'heure. En notant f cette fonction, on a f (t) = T et cette fonction est définie sur [ 6 ; 22 ]. Principe. I est un intervalle de R, à chaque réel x de I on associe un seul réel y ; on définit ainsi une fonction f sur l'intervalle I. Vocabulaire et notations. I est l'ensemble de définition (en général c est un intervalle). Pour dire que la fonction f fait correspondre x à y on écrira f : x y. Si f : x y alors y est l'image par f de x ce qui s'écrit y f(x) ( lire y égale f de x ). Si f : x y alors x est un antécédent de y.

3 III. Courbes représentatives f est une fonction définie sur I, sa courbe représentative est l ensemble de tous les points du plan de coordonnées (x ; y) avec x dans I et y f (x). x est l'abscisse du point et y l'ordonnée. Notation. On note généralement C f la courbe représentative de f. Cette courbe représente une fonction f définie sur I [ 6 ; 4 ], en effet pour chaque point de I, si on trace une 1 parallèle à l'axe des y elle coupe la courbe en un seul point. 1 Exercice 1. Recopier et compléter le tableau à l'aide du graphique (valeurs approchées à 0,1 près). x f(x) Exercice 2. Donner les valeurs des extremums (c'est à dire le maximum et le minimum) ainsi que les valeurs de x correspondantes. Exercice 3. Faire le tableau de variations de la fonction. Exercice 4. Faire le tableau de signes de la fonction. Les conventions graphiques suivantes sont à connaître :

4 IV. Fonctions croissantes, décroissantes On considère une fonction ayant le tableau de variations suivant. x De plus on sait que:. Exercice 5. Tracer une courbe correspondant au tableau de variations et aux autres renseignements donnés. Utiliser un repère avec 1 cm pour 1 unité. Le tableau de variation précédent dit que est décroissante sur [ 4 ; 1 ], cela signifie que pour deux nombres et de [ 4 ; 1 ] si alors. (Les nombres et leurs images sont dans l ordre contraire). Illustrer graphiquement On voit aussi que f est croissante sur [ 1 ; 1 ], cela signifie que pour deux nombres et de [ 1 ; 1 ] si alors. (Les nombres et leurs images sont dans le même ordre). Illustrer graphiquement

5 V. Utilisation de la calculatrice (Voir page de couverture du livre). x x On considère la fonction f définie sur [ 4 ; 2,5 ] par f(x) x 0, Faire un tableau de valeurs pour x allant de 4 à 2,5 par pas de 0,5 en utilisant la calculatrice (arrondir au dixième le plus proche). Il faut d abord saisir la fonction dans la calculatrice. Sur Casio, appuyer sur MENU et TABLE et sur la ligne Y1 taper : X ^ 3 d/c 6 + X ^ 2 d/c 4 X 0. 5 EXE. 3 2 Sur TI, appuyer sur Y= et saisir la fonction de la même manière mais utiliser au lieu de d/c. La touche EXE est à remplacer par ENTER. Ensuite, il faut régler la plus petite valeur de x (ici 4) et le pas (ici 0,5). Sur Casio, appuyer sur RANG et régler Strt : 4 End : 2,5 ptch : 0,5. Sur TI, appuyer sur TblSet et régler Tblmin = 4 Tbl = 0,5. Pour obtenir le tableau appuyer sur TABLE. x 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 f (x) 3,2 1,1 0,3 1 1,2 1 0,6 0 0,5 0,9 1,1 0,9 0,2 1,2 2. Repérer les extremums puis tracer (en entier) la courbe représentant f sur l écran de la calculatrice. Placer les points du tableau dans un repère orthonormé d unité 2 cm puis tracer la courbe. On constate que le maximum de f est 1 atteint pour x = 2 (en admettant que les extremums sont pour des valeurs entières de x) et le minimum de f est 3 atteint pour x = 4. Ces valeurs 1 et 3 servent dans le réglage de la fenêtre d affichage de la courbe. Sur Casio, appuyer sur V-WINDOW et sur TI appuyer sur WINDOW. Régler alors Xmin = 4 Xmax = 2,5 Xscl = 1 Ymax = 3,5 Ymax = 1,5 Yscl = 1 (Xres = 1). Remarque, sur Casio appuyer sur la flèche vers le bas pour accéder au deuxième écran. Pour afficher la courbe, sur Casio, appuyer sur DRAW (après être éventuellement sorti du menu précédent en faisant MENU GRAPH ). Sur TI, appuyer sur GRAPH. La courbe suivante doit alors s afficher. y 3. A l aide de la calculatrice, calculer la valeur exacte de f (0,5). Sur TI, taper Y1 ( 1 / 2 ) Frac ENTER. Pour obtenir Y1 taper Y-VARS ou VARS puis 1 : ENTER. Pour obtenir Frac aller dans MATH. o Sur Casio, taper 1 d/c 2 X puis Y 1 EXE. Pour obtenir Y taper Y-VARS ou VARS puis GRPH Y. Si le résultat n est pas sous forme de fraction, taper Shift ou Shift.

6 VI. Résoudre une équation ou une inéquation graphiquement a) Les équations. Équation du type f (x) = k où k R. Les solutions sont les abscisses des points de C f dont l ordonnée est k. On donne la courbe d une fonction f (voir ci-contre). Résoudre graphiquement f (x) = 4. Méthode : on repère 4 sur l axe des ordonnées, on trace la parallèle à l axe des abscisses. Cette droite coupe C f en deux points, les abscisses de ces deux points sont x = 2 et x = 2. Ainsi il y a deux solutions x = 2 et x = 2. S = { 2 ; 2}. Équation du type f (x) = 0. Les solutions sont les abscisses des points d intersection de la courbe de f avec l axe des abscisses. Avec la même fonction f, l équation f (x) = 0 a une solution, x = 0. S = {0}. o Équation du type f (x) = g (x). Les solutions sont les abscisses des points d intersection des courbes de f et g. y On considère les fonctions f et g dont les courbes sont données ci-contre. L équation f (x) = g (x) a deux solutions x = 1 et x = 2. S = { 1 ; 2}. b) Les inéquations. Inéquation du type f (x) > k où k R. Les solutions sont les abscisses des points de C f dont l ordonnée est supérieure à k. Toujours avec la même fonction f, résoudre l inéquation f (x) > 1. Méthode : on repère 1 sur l axe des ordonnées, on trace la droite parallèle à l axe des abscisses. Les solutions sont les abscisses de points de C f situés au dessus de cette droite. Ainsi l ensemble des solutions est S = ] ; 1 [ ] 1 ; + [. Inéquation du type f (x) > 0. Les solutions sont les abscisses des points de C f situés au dessus de l axe des abscisses. o Toujours avec la même fonction f, cette inéquation a pour solutions l ensemble S = ] ; 0 [ ] 0 ; + [ = R {0}. Résoudre aussi les inéquations f (x) < 0, f (x) 0, f (x) 0. Inéquation du type f (x) > g (x). Les solutions sont les abscisses des points de C f situés au dessus de C g. Toujours avec les mêmes fonctions f et g, l inéquation f (x) > g (x) a pour solutions l ensemble S = ] ; 1 [ ] 2 ; + [. Savoir faire un tableau de signe et les phrases correspondantes

7 Seconde Généralités sur les fonctions Correction des exercices du cours Cette courbe représente une fonction f définie sur I [ 6 ; 4 ]. En effet pour chaque nombre de I, on peut lire 1 son image sur la courbe. Mais pas pour les autres nombres. 1 Exercice 1. Complétons le tableau à l'aide du graphique (valeurs approchées à 0,1 près). x f(x) Exercice 2. Donnons les valeurs des extremums (c'est à dire le maximum et le minimum) ainsi que les valeurs de x correspondantes. Le maximum de est et il est atteint pour. Le minimum de est et il est atteint pour. Exercice 3. Faisons le tableau de variations de la fonction. Exercice 4. Faisons le tableau de signes de la fonction.

8 Exercice 5. On considère une fonction ayant le tableau de variations suivant. x De plus on sait que:. Traçons une courbe correspondant au tableau de variations et aux autres renseignements donnés. Utilisons un repère avec 1 cm pour 1 unité. y x -1-2