Séries réelles ou complexes

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1 6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés cous de même que les foctios usuelles exp, l, si, 6. Gééralités sur les séries réelles ou complexes Soiet u etier aturel et u ue suite de ombres complexes. Étudier la série de terme gééral u reviet à étudier la suite S des sommes partielles défiie par :, S k u k. O peut remarquer que cette suite est aussi défiie par la relatio de récurrece : { S u, +, S S + u. O otera plus simplemet u ue telle série et o parlera de série umérique. Pour tout etier, o dit que u est le terme d idice et S la somme partielle d idice de cette série. O supposera, a priori, que. 6. Séries covergetes ou divergetes O se doe ue suite u N ou plus gééralemet u d élémets de C et o désige par S N la suite de ses sommes partielles. Défiitio 6. O dit que la série u est covergete si la suite de ses sommes partielles S N est covergete. Das le cas cotraire, o dit que la série est divergete. Das le cas où la série u est covergete, o otera + u la limite de la suite S N, soit : + u lim u k

2 Séries réelles ou complexes et o dit que + u est la somme de la série de terme gééral u. O peut alors défiir la suite R N des restes de cette série covergete par : N, R + u S + u k u k. O dit, pour tout etier N, que R est le reste d ordre de la série covergete u et o ote : R + k+ O peut remarquer que la suite R N coverge vers. Le reste d ordre, R ous doe ue idée de l erreur que l o commet e remplaçat la somme + u par la somme partielle d ordre, S. u k. La covergece de la série u se traduit doc par : ε >, N, + k+ u k < ε. L étude la suite géométrique a N exercice 3.8 ous permet d étudier la série correspodate. Exercice 6. Étudier la série géométrique a, où a C. Solutio 6. Pour a, o a : lim a k lim + + et la série diverge. Pour a, les sommes partielles sot doées par : N, S a k a+ a et la série géométrique coverge si, et seulemet si, la suite géométrique a + N coverge, ce qui équivaut à a <. E cas de covergece, o a alors : + a a + lim a Les restes d ordre, pour tout N, sot doés par : R + a a. a k a a+ a a+ a L exercice qui suit ous motre commet rameer l étude d ue suite à celle d ue série ou iversemet.

3 Séries covergetes ou divergetes 3 Exercice 6. État doée ue suite umérique a N, o lui associe la série umérique de terme gééral u défii par : { u C,, u a a. Motrer que la suite a N est de même ature que la série u, c est-à-dire qu elles coverget ou diverget simultaémet. Solutio 6. Les sommes partielles de la série u sot doées par S u et, pour : S u + a k a k u + k u + a k a k k k a k a k u + a a ce qui doe le résultat. E cas de covergece de la suite a N vers l, la série u coverge vers u + a l et les restes d ordre de la série u sot doées par : k R u + a l S a l. Les exercices qui suivet ous doe des exemples d applicatio de ce résultat. Exercice 6.3 Étudier les séries + + et Solutio 6.3 Ue décompositio e élémets simples ous doe : et : et e coséquece : v u a a b b + Exercice 6.4 Étudier les séries l + + u + a lim +, v + b lim +. + et l. Solutio 6.4 Avec :, u l + l + l a a

4 4 Séries réelles ou complexes o déduit que la série l + diverge vers l ifii. Pour, o a : l v l l + + l l l l + + l + a a et : + l v + a lim l l l 3 + l. Exercice 6.5 Étudier la suite u N, défiie par la relatio de récurrece : où a est u scalaire doé. { u C, N, u + u + a Solutio 6.5 La suite u N est de même ature que la série u + u a. Elle est doc covergete si, et seulemet si, a <. Pour a <, o a : u u + u k+ u k u + u + a a a k u + a. De maière plus géérale, ue suite u N, défiie par ue relatio de récurrece du type : { u C, N, u + u + v est covergete si, et seulemet si, la série v est covergete. Nous verros plus loi commet utiliser le résultat de l exercice 6. pour étudier la costate d Euler γ déjà recotré à l exercice L exercice suivat ous motre commet utiliser la décompositio e élémets simple des foctios ratioelles de pôles etiers relatifs et les chagemets d idices pour calculer la somme de certaies séries umériques. Exercice 6.6 Motrer que les séries de terme gééral u 4 3 et v sot covergetes et calculer leurs sommes. + +

5 Séries covergetes ou divergetes 5 Solutio 6.6 E utilisat la décompositio e élémets simples : avec : o a : et : E coséquece : f x x x x 4 a x + b x + c x + a lim x xf x 4, b lim x x f x 3 8, c lim x x + f x 5 8 8S 4 k3 u 8 k k + 3 k3 k3 4 k + 3 k + k k 5 k + 3 k k k3 k + + k 5 k5 + k 5 k k k De maière aalogue, la décompositio e élémets simples : avec : o a : et : E coséquece : g x x x + x + a x + b x + + c x + a lim xg x x, b lim x + g x, c lim x + g x x x S v k k k k k k k k k + + k + k3 k

6 6 Séries réelles ou complexes Les exercices 3.4 et 3.5 ous doet le résultat suivat sur les séries de Riema α. Théorème 6. Soit α u réel. La série de Riema est covergete si, et seulemet si α α >. Démostratio. Rappelos la démostratio de ce résultat. Pour α, o utilise le fait que si la suite S N coverge alors pour α >, o motre que la suite croissate S N est majorée. Pour α, o a x x α x α pour x et : S S k + k α k + k et la suite S diverge. Pour α >, la foctio t t α état décroissate sur R+, o a : et pour tout, o a : S + k, k + α k k k k k k dt k t dt α k k α k α lim S S et dt t + dt α t + α α α α α. La suite S N est doc croissate majorée et e coséquece covergete. Pour α, o a + π. Voir le problème pour plusieurs démostratios de ce 6 résultat. De maière plus géérale, o peut motrer que pour tout etier p o a : + b p π p p p+ où les b p sot les ombres de Beroulli voir le problème 3. O peut aussi motrer la covergece des séries de Riema pour α > e utilisat les séries géométriques comme suit. Exercice 6.7 O désige par S N la suite des sommes partielles de la série de Riema pour α >. α. Motrer que pour tout etier p, o a : p+ k p k α pα.

7 Séries covergetes ou divergetes 7. E déduire que pour tout réel α > et tout etier r, o a : S r+ < α α. 3. E déduire que la série de Riema est covergete pour α >. α Solutio 6.7. Pour k compris etre p et p+, o a k p, doc k pour α > et : α pα p+ k p+ p α p pα pα. pα k p. Pour tout etier r, o a la partitio : {,,, r+ } {} {, 3} {4, 5, 6, 7} { r,, r+ } et pour α >, o a : r { p,, p+ } p S r+ r p p+ k α k p r p p r+α α α < α α α 3. Pour tout etier, o peut trouver u etier r tel que r+ et o a : S S r+ < α α puisque la série cosidérée est à termes positives. La suite S N est doc croissate majoré et e coséquece covergete. Ue coditio écessaire de covergece, élémetaire mais souvet utile pour justifier la divergece d ue série, est doée par le résultat suivat. Théorème 6. Si la série u est covergete, alors la suite u N coverge vers. Démostratio. Résulte immédiatemet de u S S pour. Exemple 6. Pour a, la suite a N e coverge pas vers, e coséquece la série géométrique a diverge. Remarque 6. La réciproque est fausse comme le motre l exemple de la série l + ou ceux des séries de Riema divergetes.

8 8 Séries réelles ou complexes E fait, das le cas où la suite u N est réelle décroissate, o a le résultat plus précis suivat. Théorème 6.3 Soit u N ue suite décroissate de réels positifs. Si la série u est covergete, alors la suite u N coverge vers, c est-à-dire que u o. soit : Démostratio. Pour > m, o a : Comme + + lim u k km km u k ε et o a : u u k m + u km u k + m u km + km u k + mu., pour ε > doé, o peut trouver etier m tel que > m, u ε + m u. Pour m aisi fixé, teat compte de lim u, o peut trouver u etier > m tel que m u < ε pour. O a doc u < ε pour. Le réel ε état quelcoque, o a bie motré que lim u. Exercice 6.8 Soit u N ue suite de réels positifs décroissate telle que la série u soit covergete. Motrer que lim u et e déduire la ature de la série + u. u. Motrer que + u u + + u. Solutio 6.8. O a déjà vu avec le théorème précédet que lim u. O a alors u u > pour assez grad et u, ce qui etraîe la covergece de la u série + u. u. O a : avec u + k u k u k+ u k u +, + + u +, d où le résultat. O peut remarquer que les séries de Riema sot de la forme f où f est ue foctio défiie sur [, + [, à valeurs positives, cotiue et décroissate. De maière plus précise, o a le résultat suivat qui repred celui de l exercice 3.53.

9 Séries covergetes ou divergetes 9 Théorème 6.4 Soit f : [, + [ R + ue foctio cotiue décroissate et F la primitive de f ulle e. La suite u u N défiie par u f k F pour tout est covergete et la série f de même ature que la suite F N. E supposat f o idetiquemet ulle et e otat l la limite de la suite u N, o a : k k f k F + l. Démostratio. La foctio F est défiie par : Pour, o a : f + x, F x x f t dt. u + u f + F + F + f t dt + f + f t dt avec f cotiue et f + f t pour tout t ], + [. O a doc u + u et u N est décroissate. La foctio f est cotiue décroissate sur [, + [, doc : k, et pour tout, o a : f k k et u F + F k+ k k k + k+ f t dt f t dt k+ k + f k dt f k f t dt F +, f t dt puisque f est à valeurs positives. La suite u est doc décroissate miorée et e coséquece covergete vers u réel l. Comme f est à valeurs positives, la suite F N est croissate à valeurs positives et o a deux possibilités. Soit cette suite est majorée et elle coverge alors vers u réel l. Il e résulte alors que + f l + l. Das le cas cotraire, o a lim F + et + f +. Si f est pas la foctio ulle, o aura F F > pour avec assez grad puisque f est cotiue et : f k f k F l k F + l k F + l f k F l k F + l

10 Séries réelles ou complexes c est-à-dire que k f k Remarque 6. Das le cas où F. F + l. lim F +, o a F +l F et f k k Nous verros, après avoir étudié les itégrales gééralisées, que le résultat précédet se traduit e disat que la série f est de même ature que l itégrale gééralisée k + f t dt. E utilisat la foctio f t avec α > o retrouve, e les précisat, les résultats sur tα les séries de Riema. Pour α, o a F x l x, lim l γ la costate d Euler, k k + l et + lim k k + +, soit +. x. α α Pour α, o a F x α Pour α >, o a F α Pour α <, o a F α α α + et et doc + k k α α + l. k α + F + +. α Pour α, la série diverge puisque so terme gééral e ted pas vers. Exercice 6.9 O se propose de motrer de faço élémetaire que + O ote, pour tout etier et tout réel x :. Motrer que : pour tout x [, ]. f x k x k. f x + x + + x. E déduire que, pour tout etier, o a : k k + 3. E déduire le résultat aocé. l + x + + x dx. + l. α α, soit Solutio 6.9. Pour x [, ], o a x et : f x x k x+ + x + x +. + x

11 Séries covergetes ou divergetes. E itégrat sur [, ], o a : f x dx k x k dx dx + + x k k + + x + dx + x l + x + + x dx x + + x dx. 3. Avec : o déduit que lim k k + x + + x dx l, soit + x + dx + + l., Exercice 6. E s ispirat de la méthode utilisée à l exercice précédet, motrer que + π 4. Solutio 6.. Pour x [, ], o a : + f x x k + x + + x + x + + x.. E itégrat sur [, ], o a : f x dx k x k dx dx + + x k k + + x + dx + x π 4 + x + + x dx x + + x dx. 3. Avec : o déduit que lim x + + x dx k k + π +, soit 4 x + dx π 4., Pour ce qui est des opératios sur les séries umériques, o dispose des résultats suivats.

12 Séries réelles ou complexes Théorème 6.5 Soiet u et v deux séries umériques et λ, µ deux scalaires.. Si ces deux séries coverget, il e est alors de même de la série de terme gééral λu +µv et + λu + µv λ + u + µ + µv.. Si la série u coverge et la série v diverge, alors la série u + v diverge. 3. Si la série u coverge, il e est de même de la série u, où u est le complexe cojugué de u et u u. Démostratio. Se déduit immédiatemet des résultats relatifs aux opératios algébriques sur les suites umériques. Exercice 6. O se propose d étudier les séries de termes gééraux u a e iθ, s a si θ et c a cos θ où a et θ sot deux réels quelcoques.. Motrer que pour θ R et a <, les trois séries coverget et calculer la somme de chacue ces séries.. Que dire des séries c et s pour θ πz et a R? 3. O suppose que θ R \ πz et a. a Motrer que la suite si θ N est divergete. b Motrer la série s est divergete. c Motrer la série c est divergete. Solutio 6.. O a u λ avec λ ae iθ et la série u coverge si, et seulemet si, λ <, ce qui équivaut à a < et θ R. Pour a < et θ R, o a ; u a cos θ + ia si θ a cos θ + a si θ ae iθ a cos θ ia si θ a cos θ + ia si θ a cos θ + a et : puis : et : u a cos θ ia si θ a cos θ + a c u + u u + u a cos θ R u a cos θ + a s I u a si θ a cos θ + a.

13 Séries alterées 3. Si θ pπ avec p Z, o a s pour tout N et tout a R, de sorte que s. O a aussi c a p p a et c coverge si, et seulemet si, a <. 3. O remarque que la coditio θ / πz équivaut à siθ. a Supposos que lim si θ l. Avec : si + θ + si θ si θ cos θ, o déduit que l l cos θ, ce qui impose l puisque cos θ si siθ. Avec : si + θ cos θ si θ + si θ cos θ, o déduit que lim cos θ si θ, ce qui etraîe lim cos θ puisque si θ, mais ce derier résultat est icompatible avec cos θ+si θ. b Supposos que la série s soit covergete. O a alors si θ s s pour a, o e déduit que a faux. c Supposos que la série c soit covergete. O a alors cos θ c c pour a, o e déduit que a cos + θ cos θ cos θ si θ si θ lim s et comme lim si θ ce qui est lim c et comme lim cos θ et avec : o e déduit que lim si θ si θ et lim si θ puisque siθ ce qui est faux. 6.3 Séries alterées Défiitio 6. O dit qu ue série est alterée si so terme gééral est de la forme u α, où α N est ue suite réelle de sige costat. Si α est ue série alterée, o supposera, a priori, que les α sot positifs. Le théorème relatif aux suites adjacetes ous permet de motrer le résultat fodametal suivat. Théorème 6.6 Soit α est ue série alterée. Si la suite α N ted vers e décroissat, alors la série α est covergete et ue majoratio des restes est doée par : + N, R k α k α +. k+ Démostratio. O vérifie que si S N est la suite des sommes partielles de cette série, alors les suites S N et S + N sot adjacetes et e coséquece covergete vers la même limite, ce qui équivaut à la covergece de S N.

14 4 Séries réelles ou complexes E utilisat la décroissace de la suite α N, o déduit que pour tout etier, o a : { S+ S α + α +, S +3 S + a + a +3, ce qui sigifie que S N est décroissate et S + N croissate. De plus avec : S + S α +, o déduit que ces suites sot covergetes et la covergece de la série α e découle. E otat S la somme de cette séries, o a : N, S + S S + S, ce qui etraîe : ou ecore : N, { α+ R S S, R + S S + α + N, R α +. Remarque 6.3 Le fait que α N tede vers e décroissat implique que les α sot tous positifs. O e déduit le résultat suivat sur les séries de Riema alterée. Exercice 6. Soit α u réel. Motrer que la série de Riema alterée est covergete si, et seulemet si α >. α Solutio 6. Pour α la série diverge puisque so terme gééral e ted pas vers. Pour α >, la suite ted vers e décroissat et le théorème des séries alterées α ous dit que la série coverge. α Exercice 6.3 Étudier la série de terme gééral u 3 cosπ + 4. Solutio 6.3 Pour, o a u α avec α qui ted vers x 3 x + et f x x 3 4x 4 e décroissat α et α f avec f x < x + 5 pour x. Le théorème des séries alterées ous dit alors que u coverge. Exercice 6.4. Motrer que la suite I N défiie par : ted vers e décroissat. N, I π cos x dx

15 Séries absolumet covergetes 5. Motrer que la série de terme gééral : est covergete et calculer sa somme. Solutio 6.4. Pour, o a : I + π doc I N est décroissate. ] Pour et ε, π [, o a : I ε u π cos x cos x dx cos x dx + π ε cos x dx π cos x dx I, cos x dx ε + cos ε. Comme < cos ε <, o a lim cos ε et il existe u etier ε tel que cos ε < ε pour tout ε, ce qui doe I < ε pour tout ε. O a doc aisi motré π que la suite I N ted vers e fait, o peut motrer que I.. Le théorème des [ séries alterées ous dit que cette série coverge. Pour tout x, π ], o a : S x k cos k x + cos x + cos + x + cos x et : avec : ce qui doe : S u k π π π dx + cos x + cos + π x + cos x dx cos + x dx I + cos + x + cos x dx,, + u π dx + cos x e effectuat le chagemet de variable t ta dt + t + t +t x. 6.4 Séries absolumet covergetes Défiitio 6.3 O dit que la série u covergete. est absolumet covergete si la série u est

16 6 Séries réelles ou complexes Le critère de Cauchy pour les suites umériques ous permet de motrer qu ue série absolumet covergete est covergete. Nous verros au paragraphe suivat que l étude des séries à termes positifs est plus simple que celle des séries réelles de sige quelcoque ou que celle des séries complexes. Remarque 6.4 E réalité le critère de Cauchy pour les suites umériques est équivalet au fait qu ue série absolumet covergete est covergete. Précisémet, o peut motrer qu u espace vectoriel ormé E, est complet si, et seulemet si, toute série ormalemet covergete das E, est covergete. Théorème 6.7 Soit u N ue suite umérique. Si la série u est covergete, alors la série u est covergete et : + + u u. Démostratio. Soit u ue série umérique absolumet covergete. La suite des sommes partielles u k état covergete, elle vérifie le critère de N Cauchy et pour tout réel ε >, o peut trouver u etier tel que : m >, m k+ u k < ε, ce qui etraîe que : m m m >, u k u k < ε k+ k+ et sigifie que la suite des sommes partielles u k est de Cauchy et e coséquece N covergete, ecore équivalet à dire que la série u est covergete. E utilisat l iégalité triagulaire, pour tout etier : u k u k et faisat tedre vers l ifii, o déduit que + u + u. Avec l exercice 6., o motre le résultat précédet sas utiliser le critère de Cauchy, e utilisat uiquemet le fait qu ue suite réelle croissate majorée est covergete. Défiitio 6.4 Ue série umérique covergete, mais o absolumet covergete est dite semi-covergete. Exemple 6. Pour < α, la série de Riema alterée + est semi covergete. α

17 Séries absolumet covergetes 7 Exemple 6.3 Pour tout ombre complexe z x + iy tel que x R z >, la série z est absolumet covergete du fait que z o rappelle que x z e z l. La foctio ζ défiie sur l esemble des ombres complexes de partie réelle strictemet supérieur à par : est la foctio dzéta de Riema. ζ z Si o effectue ue permutatio de l ordre des termes d ue série semi-covergete il peut se produire les phéomèes suivat : la ature de cette série est ichagée, mais sa somme est modifiée ; la ature et la somme de cette série sot ichagées ; la série est trasformée e série divergete. Avec les exercices et le théorème qui suivet, o étudie ces phéomèes. Exercice 6.5 O s itéresse à la série de Riema alterée +. O sait que cette série + est semi covergete de somme l exercice 6.9. O désige par σ la permutatio de N qui ordoe N comme suit : σ N {} {, 3} {} {5, 7} {4} {k} {4k +, 4k + 3} Ue telle permutatio σ peut être défiie par : { k si 3k N, σ 4k + r si 3k + r avec r {, } ou ecore par : + z k si 3k N, σ 4k + si 3k + 4k + 3 si 3k +. Vérifier que σ est bie permutatio de N.. E otat u +, o désige par v la série umérique de terme gééral v u σ. O se doe u etier 3 et o écrit 3k + r sa divisio euclidiee par 3 avec k et r. a Écrire la somme partielle S v j sous la forme S T k ε k où T k S 3k+ et lim ε k. k + b Pour tout etier k, o ote H k k. Motrer que : i + j c E déduire que + u σ l. i T k H k+ H k+

18 8 Séries réelles ou complexes Solutio 6.5. C est la divisio euclidiee par 3 qui permet de défiir σ. Soiet, m deux etiers aturels et 3k + r, m 3k + r les divisios euclidiees de ces etiers par 3. Si σ σ m, les restes r et r sot soit tous les deux uls, soit tous les deux o uls, sio σ et σ m sot deux etiers de parités différetes. E supposat qu ils sot tous deux uls, l égalité σ σ m se traduit par k k, soit par k k et m. E supposat qu ils sot tous deux o uls, l égalité σ σ m se traduit par 4k + r 4k + r soit par k + r k + r avec r, r, ce qui équivaut à r r argumet de parité et k k, ce qui doe m. L applicatio σ est doc ijective. Si m est u etier pair, il s écrit m k σ où 3k. Si m est u etier impair, il s écrit m 4k + ou 4k + 3, soit m σ où 3k + ou 3k + L applicatio σ est doc surjective.. Soit 3k + r u etier avec k et r. a Pour r, o a S T k et ε k, pour r ou, o a : avec T k S 3k+ et : b O a : S 3k+ j v j 3k+ j3k+r+ v j T k ε k ε k v 3k+ + v 3k+ 4k + + 4k + 3 T k 3k+ j u σj k u σ3i + i k+ j k i k u σ3i+ + i k u i + i i + j + k i. k + k i k u 4i+ + i 4i + u σ3i+ k i k i k k i + i i k k i + 4 i i u 4i+3 4i + 4 4i + 4 i + soit : T k k+ j j + k i i + H k+ H k+

19 Séries absolumet covergetes 9 c O rappelle que l + δ avec lim k k l lim δ γ. O e déduit alors que : T k H k+ H k+ γ exercice 3.49, ce qui s écrit H k + l + δ k+ δ k+ k + et lim T k l. k + Les trois suites extraites S 3k+r k, pour r,, coverget alors vers la même limite, ce qui reviet à dire que S coverge vers cette limite, soit : + σ σ + l. Exercice 6.6 O s itéresse ecore à la série de Riema alterée + +. O se doe deux etiers aturels o uls p et q et o désige par σ la permutatio de N qui ordoe N comme suit : σ N {,,, p } {, 3,, q } {p,, p } {q +,, 4q } c est-à-dire qu o place les p premiers etiers pairs, puis les q premiers etiers impairs, puis les p etiers pairs suivats, q etiers impairs suivats, et aisi de suite. E effectuat la divisio euclidiee par p + q tout etier s écrit de maière uique p + q k + r avec k N et r p + q et ue telle permutatio σ peut être défiie par : { pk + r si r p N, σ qk + r p + si p r p + q. Motrer que σ est bie permutatio de N.. E otat u +, o désige par v la série umérique de terme gééral v u σ. O se doe u etier p + q et o écrit p + q k + r sa divisio euclidiee par p + q avec k et r p + q. a Écrire la somme partielle S v j sous la forme S T k ε k où T k S p+qk+p+q et lim ε k. k + b Pour tout etier k, o ote H k k. Motrer que : i + T k T k H pk+ Hpk+ + H qk+. c E déduire que + u σ l + p l. q Solutio 6.6 j i

20 3 Séries réelles ou complexes. Soiet, m deux etiers aturels et p + q k + r, m p + q k + r les divisios euclidiees de ces etiers par p + q. Si σ σ m, les restes r et r sot tous deux das {,,, p } ou {p,, p + q }, sio σ et σ m sot deux etiers de parités différete. E supposat qu ils sot tous deux das {,,, p } [resp. das {p,, p + q }] l égalité σ σ m se traduit par pk + r pk + r [resp. par qk + r p + qk + r p + ] soit par pk + r pk + r [resp. par qk + r p qk + r p] avec r, r p [resp. r p, r p q ] ce qui équivaut à k k et r r du fait de l uicité du quotiet et du reste das la divisio euclidiee par p [resp. par q]. O a doc m et σ est ijective. Si m est u etier pair, il s écrit m s pk + r avec r p e effectuat la divisio euclidiee de s par p, soit m σ où p + q k + r. Si m est u etier impair, il s écrit m s + qk + r + avec r q e effectuat la divisio euclidiee de s par q, soit m σ où p + q k + p + r. L applicatio σ est doc surjective.. Soit p + q k + r u etier avec k et r p + q divisio euclidiee. a Pour r p + q, o a S T k et ε k, pour r p + q, o a : S avec T k S p+qk+p+q et : b O a : p r p+qk+p+q j v j p+qk+p+q jp+qk+r+ v j T k ε k ε k vp+qk+ + + vp+qk+p+q k i T k p+qk+p+q p r j p + q k u σj k u pi+r + i p+q pi + r + p r k i rp p+q r p+q rp k i pi + r + q s E utilisat la divisio euclidiee par q, o a :. k + k i k i u σp+qi+r u qi+r p+ qi + r p + k i qi + s + {qi + s + i k et s q } {,,, qk + q} et : q s k i qk+ qi + s + j H qk+ j

21 Séries absolumet covergetes 3 E remarquat que les etiers de la forme pi + r+ où i k et s p sot les etiers impairs compris etre et pk + p divisio euclidiee par p, o a : p r k i p pi + r + k s i p s pk+ j k i p pi + s + r k i pi + s + p r pi + r + k i pi + r + j pk+ j H pk+ H pk+ j O a doc : T k H pk+ Hpk+ + H qk+. c O utilisat H l + δ avec lim δ γ, o a : T k H pk+ Hpk+ + H qk+ p l + δ pk+ δpk+ + δ qk+ q et lim T k l + p k + l. q Toutes les suites extraites S p+qk+r, pour r p + q coverget alors k vers la même limite, ce qui reviet à dire que S coverge vers cette limite, soit : + σ σ + l + p l. q Exercice 6.7 Soit σ ue permutatio de N telle que la suite σ N soit borée. Motrer que pour toute série covergete u, la série u σ est covergete et + u σ + u. Solutio 6.7 Si la suite σ N est borée, il existe u etier N tel que σ N, ou ecore N σ + N pour tout N. Comme σ est bijective, pour N et k il existe u etier j tel que k σ j et avec j N σ j k j + N, o déduit que cet etier j est compris etre et k + N. Il e résulte que la somme partielle u k est ue partie de la somme +N u σj et : +N j u σj u k De plus avec σ j j + N + N, o déduit que : +N j σj + j u σj {σ j j + N et σ j + } { +,, + N}

22 3 Séries réelles ou complexes et : +N u σj j u k +N j σj + +N uσj k+ u k ε Comme chacue des suites u +r N pour r compris etre et N ted vers, la suite ε N +N ted aussi vers somme fiie de suites qui tedet vers. Il e résulte que u σj lim lim u k, ce qui sigifie que la série u σ est covergete avec + u σ + u. Théorème 6.8 Soit u ue série semi-covergete. Pour tout réel S, il existe ue permutatio σ de N telle que la série u σ soit covergete de somme S. O peut aussi trouver des permutatio σ et σ de N telles que la série u σ soit divergete vers et la série u σ soit divergete vers +. Démostratio. Voir [7] pages 7 à 75 ou [9] volume 3, pages 37 à 43. La démostratio rigoureuse de ce théorème est délicate. 6.5 Séries à termes positifs Das le cas où la suite u N et à valeurs positives, la suite S N des sommes partielles associées est croissate o a S + S u + et deux cas de figure peuvet se produire : soit la suite S N est majorée et e coséquece elle coverge ; soit cette suite est pas majorée et lim S +, ce qui peut se oter + u +. O a doc le résultat suivat. Théorème 6.9 Ue série à termes positifs u est covergete si, et seulemet si, la suite de ses sommes partielles est majorée. E cas de divergece, o a lim S +. Das le cas des séries à termes positifs, o écrira u < + pour sigifier que cette derière coverge. Cette otatio état justifiée par les cosidératios précédetes. Du résultat précédet o déduit les critères de comparaisos suivats valables uiquemet pour les séries à termes réels positifs. Théorème 6. Soiet u et v deux séries à termes réels positifs.. S il existe u etier tel que :, u v j alors : { v < + u < + u + v +. S il existe u etier et des costates m et M strictemet positives tels que :, v > et m u v M alors les séries u et v sot de même ature.

23 Séries à termes positifs S il existe u etier tel que :, u >, v > et u + u v + v alors : { v < + u < + u + v + 4. S il existe u etier et ue costate λ ], [ tels que :, u > et u + u λ alors u coverge. 5. S il existe u etier et ue costate λ tels que :, u > et u + u λ alors u diverge. Démostratio.. E otat respectivemet S N et T N les suites des sommes partielles des séries u et v, o a :, S S T T. Le résultat aocé e découle alors immédiatemet.. De < u Mv o déduit que si v coverge il e est alors de même de u et de u mv >, o déduit que si v diverge il e est alors de même de u. 3. O a : et par récurrece : u + u v + v λv + +, u λv. E effet, c est vrai pour + et e supposat le résultat acquis au rag : O est doc rameé au premier cas. 4. O a u + v + u v coverge aussi. u + u v + v λv +. pour avec v λ et v puisque λ ], [, doc u 5. O peut là aussi utiliser v λ ou tout simplemet remarque la suite u est croissate, doc u u > pour tout et u e peut tedre vers, la série u est doc divergete. Remarque 6.5 Si u v pour tout N, et v coverge, alors + u + v. Plus gééralemet, o a pour les restes R + u k R + k+ k+ v k.

24 34 Séries réelles ou complexes Exercice 6.8 Motrer que la série l + est divergete. E déduire la divergece de la série harmoique. Solutio 6.8 Pour, o a : S l + k k doc l + diverge. Avec les iégalités valables pour : o e déduit la divergece de. l l k + l k k l >, Exercice 6.9 Motrer que si les séries à termes positifs u et v sot covergetes, il e est alors de même des séries u v et v. Solutio 6.9 Résulte de : u v u + v et v v avec covergete. Le théorème précédet permet de retrouver le fait qu ue série absolumet covergete est covergete sas recours au critère de Cauchy. Exercice 6. Motrer, sas utiliser le critère de Cauchy, qu ue série absolumet covergete est covergete. Solutio 6. O cosidère tout d abord le cas d ue série réelle u absolumet covergete. Pour tout etier, o a u u u, soit v u + u u. O déduit alors du théorème précédet que la série v est covergete et avec u v u, o e déduit que u est covergete. Das le cas d ue série complexe u absolumet covergete, o écrit que u x + iy, où x R u et y I u et avec x u, y u, o déduit que les séries réelles x et y sot absolumet covergetes, doc covergetes et la covergece de u suit. De ce corollaire, o déduit les critères de comparaiso aux séries de Riema suivat. Corollaire 6. Soit u ue série à termes réels positifs.. S il existe u réel α > tel que la suite α u N soit borée ecore équivalet à dire que u O, alors la série u α coverge.. S il existe u réel α tel que la suite lim α u +, alors la série u diverge.

25 Séries à termes positifs 35 Démostratio. Das le premier cas, o a u M α u à partir d u certai rag avec α. α avec α > et das le secod Remarque 6.6 Si o veut comparer la série à termes positifs à ue série de Riema, o étudie e pratique la covergece de la suite α u N vers u réel positif ou vers l ifii. est absolu- Exercice 6. Motrer que pour tout réel θ et tout réel α >, la série met covergete. Solutio 6. Résulte de cos θ α. α cos θ α Exercice 6. Étudier la série de terme gééral u cos + 4. Solutio 6. O a :, u, doc la série coverge absolumet. Exercice 6.3. Motrer que +.. E comparat et, e déduire la covergece de la série + avec. Solutio 6.3. Pour, o a : k k k k k k k k k k k k k k, ce qui sigifie que +.. Avec < pour tout, o déduit la série. est covergete et Exercice 6.4 O étudie à ouveau les séries de Riema α.. Motrer que diverge pour α. α. Motrer que diverge.

26 36 Séries réelles ou complexes 3. E déduire que la série diverge pour < α. α 4. O suppose que α >. a Motrer que + α. α b Motrer que pour tout réel β > et tout réel t ], [, o a : t β + βt. c Motrer que pour tout etier, o a : α α α. α d Coclure. Solutio 6.4. Pour α, le terme gééral de la série e ted pas vers, doc la série diverge. α. E désigat par S la somme partielle d idice de la série, o a pour tout : S S k + k doc la suite S S e ted pas vers et la série diverge. 3. Pour < α et, o a < et e coséquece α diverge. α 4. a Pour, o a : k α k α k k k α k k ce qui sigifie que + α. α k α k α α k k α, b O désige par f la foctio défiie sur ], [ par f t + βt t β. Cette foctio est dérivable sur [, ] avec : f t β t β t + βt β t β t + βt < Elle est doc décroissate et f t f, ce qui doe l iégalité souhaitée.

27 Séries à termes positifs 37 c Preat β α et t das l iégalité précédete, o a : ou ecore : + α α + α α α α ecore équivalet à : α α α α α α qui doe l iégalité souhaitée. d O a doc avec + α α < α α α α < +, ce qui etraîe la covergece de α. L étude des séries de Bertrad, décrites avec l exercice qui suit, peut se faire e α β l utilisat celles de Riema pour α. Das le cas où α, o utilise le théorème 6.4 pour β et o compare ecore à ue série de Riema pour β <. Exercice 6.5 O s itéresse à la série de Bertrad de terme gééral u et β sot deux réels doés.. Motrer que cette série coverge pour α > et β R.. Motrer que cette série diverge pour α < et β R. 3. O suppose que α. Motrer que u coverge si, et seulemet si, β >. Solutio 6.5. Si α >, o peut trouver u réel γ tel que < γ < α et avec : lim γ u lim α γ l β pour tout réel β, o déduit que u coverge puisque γ >.. Si α <, o peut trouver u réel γ tel que α < γ < et avec : lim γ u lim γ α l β + pour tout réel β, o déduit que u diverge puisque γ <. α l β, où α

28 38 Séries réelles ou complexes 3. Pour β, la foctio f défiie sur[, + [ par f x est cotiue et x l x β strictemet décroissate produit de deux foctios strictemet décroissates à valeurs strictemet positives, doc u est de même ature que la suite F, où F est la primitive de f ulle e, soit : théorème 6.4. Pour β, o a Pour β >, o a Pour β <, o a u { x dt lx F x t l t du β l u β l x β l β si β β l l x l l si β lim F + et u diverge. l β lim F β l β Exercice 6.6 Étudier la série l β et u coverge. Solutio 6.6 E utilisat la relatio arcta x + arcta x >, o a : u arcta l β π > pour tout et u diverge. arcta, où β est u réel positif ou ul. l β x π + arcta l β. l β valable pour tout réel Le théorème des séries alterées ous assure la covergece de la série l β ted vers e décroisat pour β et avec : l β arcta l β l β la suite o déduit que la série arcta est absolumet covergete, doc covergete. Il e résulte que Mais la série u arcta l β arcta l β est covergete comme somme de deux séries covergetes. est divergete, doc u est semi-covergete. Exercice 6.7 Soiet u et v des séries à termes positifs telles que v o u [resp. v O u ] O désige respectivemet par S N et T N les suites des sommes partielles de ces séries et, e cas de covergece, par R N et R N les suites des restes correspodats.

29 Séries à termes positifs 39. Motrer que si u coverge, il e est alors de même de v et R o R [resp. R O R ].. Motrer que si v diverge, il e est alors de même de u et T o S [resp. T O S ]. Solutio 6.7 La coditio v o u [resp. v O u ] sigifie qu il existe ue suite ε N qui ted vers [resp. borée] telle que v ε u. Comme les suites u N et v N sot à valeurs positives, o peut trouver ue telle suite ε N à valeurs positives. Das les deux cas de figure, la suite ε N est borée et il existe u costate réelle λ > telle que v λu pour tout N. Le corollaire précédet ous dit alors que v coverge si u coverge et u diverge si v diverge.. Si les u sot tous uls à partir d u rag, il e est alors de même des v et R R pour tout. Das ce cas, o a bie R o R [resp. R O R ]. Das le cas cotraire, les suites R N et R N sot à valeurs strictemet positives. Si lim ε, pour tout réel ε >, o peut trouver u etier ε tel que ε ε pour tout ε et : ε, < R εr. R O a doc lim, ce qui sigifie que R o R. R Das le as où v O u, la suite ε N est borée, soit ε λ où λ > et < R R λr pour tout. La suite est doc borée, ce qui sigifie que R O R. R N. Si v +, o a alors u + et les suites S N et T N sot croissates o majorées, doc strictemet positives à partir d u certai rag. Si lim ε, pour tout réel ε >, o peut trouver u etier ε tel que < ε ε pour tout ε et comme S N est croissate o majorée, il existe u etier ε tel que S ε v k, de sorte que : ε ε, T v k + k ε+ v k εs + ε k ε+ u k εs. T O a doc lim, ce qui sigifie que T o S. S Das le as où v O u, la suite ε N est borée, soit ε λ où λ > et < T T λs pour tout. La suite est doc borée, ce qui sigifie que T O S. S N Les résultats de l exercice précédet peuvet être utilisés e relatio avec des développemets limités. Exercice 6.8 Étudier la série de terme gééral u l +. + Solutio 6.8 U développemet limité à l ordre doe : u v, 3/

30 4 Séries réelles ou complexes où v o, ce qui etraîe + u + 3/ du fait de la covergece des séries +, + séries alterées, la deuxième état e fait absolumet covergete, + 3/ + + v v o et de + + 3/ + +. Exercice 6.9 Étudier la série de terme gééral u avec β >. Solutio 6.9 U développemet limité ous doe : l u α l cos β α l + o β β + o. β α β γ α cos β Pour α < β, o a lim l u, doc lim u et la série diverge. Pour α β, o a lim l u, doc lim u et la série diverge. e O suppose doc que α > β. Pour γ réel à préciser, o a : l γ u γ l + o β α β α α β l γ + o α β et α β lim γ u. Choisissat γ, o e déduit que la série u coverge. où α, β sot des réels Le théorème qui suit est très utile pour justifier la covergece de certaies séries positives. Théorème 6. Soiet u et v deux séries à termes réels positifs telles que u v.. Si u est covergete il e est alors de même de v et les restes de ces séries sot équivalets, soit : R + k+ u k R + k+. Si u est divergete il e est alors de même de v et les sommes partielles de ces séries sot équivalets, soit : v k. S u k T v k.

31 Séries à termes positifs 4 Démostratio. Dire que les suites à termes positifs u N et v N sot équivaletes sigifie qu il existe ue suite ϕ N qui ted vers telle que v ϕ u, ce qui équivaut ecore à dire que pour tout réel ε ], [ il existe u etier tel que :, ε u v + ε u. Das ce qui suit o se doe u tel couple ε,.. Si la série de terme gééral u est covergete, des iégalités v + ε u pour tout, o déduit qu il e est de même de la série de terme gééral v. O peut doc défiir les restes d ordre de ces séries, R + k+ u k et R, ε R R + ε R, ce qui traduit l équivalece de R et R quad ted vers l ifii. + k+ v k et o a :. Si la série de terme gééral u est divergete, des iégalités v ε u pour tout avec ε > et u, o déduit qu il e est de même de la série de terme gééral v. De plus, o a S > à partir d u certai rag > et : >, ε S S T T + ε S S ce qui etraîe que, pour tout >, o a : ε S + T S S Avec lim T S + ε S + T. S S S, o e déduit alors qu il existe tel que :, ε T S + ε, ce qui traduit l équivalece de S et T quad ted vers l ifii. Remarque 6.7 L hypothèse u et v de mêmes siges au mois à partir d u certai rag est essetielle das le théorème précédet. Cosidéros par exemple la série de terme gééral u +. U développemet limité ous doe : u + + O 3 + v avec v λ, ce qui implique que la série de terme gééral u 3 est divergete comme somme d ue série divergete la série avec des séries covergetes les séries et v. Et pourtat u est équivalet qui est le terme gééral d ue série alterée covergete.

32 4 Séries réelles ou complexes Remarque 6.8 Si u et v deux séries à termes réels positifs telles que u v et covergetes, o a seulemet l équivalece des restes, mais pas celle des sommes partielles. Par exemple + avec : et : S k k k + T k k e peut être équivalet à e fait T π 6. k k + + k > + 4 Exercice 6.3 Motrer que, pour, o a!, e déduire la ature de la série de! + 3 terme gééral u + l. Solutio 6.3 Pour, o a : doc <!! et < +. Avec < u o déduit que u coverge.!! k! l! k3 + 3! + l!, Exercice 6.3 Soit u N ue suite décroissate de réels positifs ou uls telle que la série réelle u soit covergete.. Motrer que lim u.. E déduire la ature de la série u u. 3. Motrer que + u u + + u. 4. La réciproque du. est valable? Solutio 6.3. E otat, pour tout etier, S la somme partielle d idice de la série u, o a : S S k+ u k u puisque u N est décroissate positive. O a doc : u S S

33 Séries à termes positifs 43 puisque u est covergete et lim u. Puis avec : + u + u + u et lim u, o déduit que lim + u + et lim u.. Comme lim u, il existe u etier tel que u < pour tout, ce qui permet de cosidérer la série u. u La coditio lim u u ous dit aussi que u, ce qui implique, puisque les u séries cosidérées sot à termes positifs, que + u < +. u 3. O a : k u k u k+ u k u +, avec u u +, d où le résultat. 4. La coditio u o assure pas la covergece de u, que u N soit décroissate ou o. Par exemple la série de Bertrad l est divergete et u o Les précisios sur les sommes partielles des séries divergetes ou les restes des séries covergetes das le théorème précédet peuvet être utilisées pour obteir des développemets asymptotiques de certaies suites. Cosidéros par exemple le cas de la série harmoique H défiie par :, H k. k Cette série est divergete et à termes positifs avec l +, ce qui etraîe que : H l + k + l l +, k k k ou ecore H l. La suite K défiie par K H l est de même ature que la série de terme gééral : K + K + + l O, + elle est doc covergete. Sa limite est la costate d Euler : γ lim k k l k O cosidère esuite la suite L défiie par L H l γ. Cette suite est covergete vers de même ature que la série de terme gééral : L + L K + K + + l +...

34 44 Séries réelles ou complexes Cette série est doc covergete à termes égatifs à partir d u certai rag, ce qui etraîe l équivalece des restes : + L k+ L k + k avec : O a doc : + k Efi avec : k L k+ L k lim m m + k k, o déduit que pour m >, o a : m k k+ k k L k+ L k lim m + L m+ L L. L k+ k + k k. dt t k k dt k t, dt m+ t dt t m k m k k dt t m + m et faisat tedre m vers l ifii à fixé, o déduit que : k k dt t m, + k, k ce qui implique que : L + k k. O a doc e défiitive le développemet asymptotique : H l + γ + + o. E itérat ce procédé o peut obteir des termes supplémetaires du développemet asymptotique. Toujours das le cadre des séries à termes positifs, o dispose égalemet des théorèmes de Cauchy et de d Alembert, souvet utilisés, pour prouver la covergece ou la divergece d ue série. La démostratio de ce théorème repose sur des comparaisos à des séries géométriques. Théorème 6. Cauchy Soit u N ue suite à valeurs réelles positives telle que λ. La série u est covergete pour λ < et divergete pour λ >. lim u Démostratio. Pour λ <, o peut trouver u réel µ tel que λ < µ < et u etier tel que :, u µ,

35 Séries à termes positifs 45 ce qui reviet à dire que :, u µ et le corollaire 6. ous dit que la série u est covergete comme la série géométrique µ. De même, pour λ >, o peut trouver u réel µ tel que < µ < λ et u etier tel que :, u µ et le corollaire 6. ous dit que la série u est divergete comme la série géométrique µ. Remarque 6.9 Das le cas où lim pour assez grad, doc aussi u > et u diverge. u λ >, o peut aussi dire qu o aura u > Remarque 6. Pour λ le théorème e permet pas de coclure e gééral comme le motre l exemple des séries de Riema. E effet, o a : α α l α exp α pour tout réel α, alors que la série u diverge pour α et coverge pour α >. Exercice 6.3 Soiet α R et a >. E utilisat la règle de Cauchy, étudier les sé- + a ; ; ; ; ;! ; ; ! ries de termes gééraux : si α. Solutio 6.3 Toutes les séries cosidérées sot à termes strictemet positifs. a + b Pour u, o a : c + d doc u coverge pour a c. Pour u, o a : 4 doc u coverge. + Pour u, o a : 3 + u a + b c + d u 4 u a c 6 < 3 < α α+

36 46 Séries réelles ou complexes doc u coverge. Pour u a, o a : α u a α { si α >, + si α < doc u coverge pour α > et diverge pour α <. Pour u, o a : u exp l l doc u coverge. Pour u!!, o a : u!!! k k doc u coverge pour 3, o a! puisque!. Pour u α+, o a : u doc u diverge. Pour u si α, o a : u α + si α exp α + l si α exp l > si α doc u diverge pour si α >, coverge pour si α <. Pour si α, o a u et u coverge. O dispose aussi de la versio suivate du théorème de Cauchy qui utilise la otio de limite supérieure d ue suite réelle borée v N défiie par : lim sup v lim sup v p if sup v p p N p la suite sup v p est décroissate. p N Cette otio est étudiée avec le problème du chapitre 6. Théorème 6.3 Cauchy Soit u N ue suite à valeurs réelles positives. Si la suite u N est pas majorée, alors la série u est divergete, sio elle est covergete pour lim sup u < et divergete pour lim sup u > pour lim sup u, o e peut rie dire a priori.

37 Séries à termes positifs 47 Démostratio. Voir le problème du chapitre 6. Cette versio du théorème de Cauchy sera utilisée pour détermier le rayo de covergece d ue série etière. Théorème 6.4 d Alembert Soit u N ue suite à valeurs réelles strictemet positives u + telle que lim λ. u La série u est covergete pour λ < et divergete pour λ >. Démostratio. Pour λ <, o peut trouver u réel µ tel que λ < µ < et u etier tel que :, < u + u µ µ+ µ et le corollaire 6. ous dit que la série u est covergete comme la série géométrique µ. De même, pour λ >, o peut trouver u réel µ tel que < µ < λ et u etier tel que :, u + u µ µ+ µ et le corollaire 6. ous dit que la série u est divergete comme la série géométrique µ. u + Remarque 6. Das le cas où lim λ >, o aura u + > pour assez grad et u u e coséquece il existe u etier tel que u u > pour la suite u est croissate et u diverge puisque so terme gééral e peut tedre vers. Remarque 6. Pour λ le théorème e permet pas de coclure e gééral comme le motre l exemple des séries de Riema α. Remarque 6.3 Le théorème de d Alembert peut se déduire de celui de Cauchy e utilisat u+ le théorème 3.6 Si lim λ, alors lim u λ qui est ue coséquece du u théorème de Césaro exercice Ce résultat peut s exprimer e disat que la règle de Cauchy est plus géérale que celle de d Alembert. Pratiquemet cela sigifie que le théorème de Cauchy pourra permettre de coclure mais pas toujours si celui de d Alembert e le peut pas, c est-à u+ dire si la suite e coverge pas. u N Exercice 6.33 O cosidère la suite u N défiie par u. Que doet les critères de d Alembert et de Cauchy pour la série u? Solutio 6.33 O a u > pour tout et : u + u { + 8 si est impair si est pair

38 48 Séries réelles ou complexes doc la suite u+ u Par cotre, o a : N diverge et le théorème de d Alembert e s applique pas. u et le théorème de Cauchy ous dit que u coverge. E fait, o a : et : S p doc u coverge et + u 3. Exercice 6.34 p k 9 4 k p j p j 4 + j p + p j 4 j j p + 9 S p S p + p+ p + 3. Motrer que pour tout réel x la série x! est covergete.. E déduire que pour tout ombre complexe z la série z! Solutio 6.34 est covergete.. Pour x c est clair et pour x >, e otat u x!, o a u > et u + u x x. O déduit alors du théorème de d Alembert que la série est covergete. +!. La questio précédete ous dit que z! est absolumet covergete, doc covergete. Exercice 6.35 Soiet α R et a >. E utilisat la règle de d Alembert, étudier les séries de a termes gééraux : α! ; a α ;! α α ;a! ; a! a e ; a a α! e ;!! ; 3 ; ; + a ; ; p p Z. a Solutio 6.35 Toutes les séries cosidérées sot à termes strictemet positifs. Pour u a α!, o a : u + a α u + + doc u coverge. Pour u a α, o a : u + u a + α + + e

39 Séries à termes positifs 49 o utilise lim + x e x doc u coverge. Pour u! α, o a : α u + u + + doc u coverge. Pour u a α! o a : u + u + a doc u coverge. Pour u a! avec a e, o a : u + u e < α + + a + doc u coverge pour < a < e, diverge pour a > e. Pour u a α! a, o a : e α u + + a u + ae doc u coverge pour < a < e, diverge pour a > e. Pour u!!, o a : u + u doc u coverge Pour u 3 3, o a : u + doc u coverge Pour u + a, o a : u u u a e 3 < + a + + a a 4 < doc u coverge pour < a <, diverge pour a >. Pour a, o a u et u diverge. Pour u k 3k 4k 3, o a : u + u <

40 5 Séries réelles ou complexes doc u coverge Pour u k k 4k 3, o a : u + u doc u diverge Pour u p p Z, o a : a u+ u a + p a doc u diverge pour < a <, coverge pour a >. Pour a, u p et u diverge pour p, coverge pour p <. Exercice 6.36 O cosidère les suites u et v défiies par u e! u+ l. u. Motrer que la série v coverge.. E déduire que la suite u coverge vers u réel α >. 3. Motrer que! λ avec λ e α 4. E admettat la formule de Wallis : et v 4 6 lim 3 5 π et e simplifiat u, motrer que λ π formule de Stirlig. u 5. Étudier les série de termes gééraux e!, et e α! cas a e et a e précédet. das l exercice Solutio O a : v l e l + et u développemet limité doe : v O O 3 doc la série v coverge absolumet puisqu o a aussi v O.. Comme v l u + l u, la série v est de même ature que la suite l u et cette derière coverge. E otat l sa limite, o a lim u α e l >.

41 Séries à termes positifs 5 3. Il e résulte que! λ. e 4. O a : avec : ce qui doe : u u! e e!!! 3 3 5!! u u ! 3 5 π e utilisat la formule de Wallis. Il e résulte que : soit : u lim u 5. Pour u e! o a : u + u α α α λ π! π e. e + et le théorème de d Alembert e permet pas de coclure. E utilisat la formule de Stirlig, o a : u λ e λ e et u diverge. Pour u e α!, o a : u+ u e + α + et le théorème de d Alembert e permet pas de coclure. E utilisat la formule de Stirlig, o a : u e λ e α λ et u diverge pour α, coverge pour α >. α+ u + Das le cas où lim avec u >, o peut utiliser les théorèmes de Raabe u Duhamel qui suivet. Ces résultats reposet sur la comparaiso de la série étudiée à ue série de Riema.

42 5 Séries réelles ou complexes Théorème 6.5 Raabe-Duhamel Soit u N ue suite à valeurs réelles strictemet positives telle que : u + α u + o u + où α est u réel o a doc e particulier lim. Si α <, la série u est alors u divergete et si α >, elle est covergete. Démostratio. L idée est de comparer otre série à ue série de Riema. Si v β où β est u réel à préciser, o a : et : v + v u + + β β + o v + u v β α + ε où ε est ue suite réelle qui ted vers. Pour α <, o choisit β tel que α < β <, de sorte que lim β α + ε β α > et il existe u etier tel que β α + ε > pour tout, ce qui doe u + pour u > v + tout et u diverge comme v. Pour α >, o choisit β tel que < β < α, de sorte que lim β α + ε β α < et il existe u etier tel que β α + ε < pour tout, ce qui doe u + < v + pour u v tout et u coverge comme v. Exercice 6.37 Étudier la série u, où u Solutio 6.37 O a : u + + u + et le théorème de d Alembert e permet pas de coclure. Avec : u + u o pour. et le théorème de Raabe-Duhamel, o déduit que u diverge α avec les otatios du théorème qui précède. Le cas où α peut être traité avec la versio suivate du théorème de Raabe-Duhamel. Théorème 6.6 Raabe-Duhamel Soit u N ue suite à valeurs réelles strictemet positives telle que : u + α u + O γ u + où α, γ sot des réels avec γ > o a doc e particulier lim. La série u u coverge si, et seulemet si, α >. v

43 Séries à termes positifs 53 Démostratio. Pour α < ou α >, o écrit que O γ o et o est rameé au théorème précédet. Pour α, o itroduit la suite v N défiie par v l u qui est de même ature que la série de terme gééral : + u+ v + v l + l u l + + l + O γ + O + + O 3 γ + O mi3,γ doc covergete puisque γ >. E otat l sigifie que u λ et u est divergete. lim v, o a Exercice 6.38 O désige par u N la suite réelle défiie par : { u N, u + si u. Motrer que la suite u N ted vers e décroissat.. Motrer que lim x si x x E utilisat le théorème de Césaro, motrer que la série u diverge. Solutio 6.38 lim u λ e l >, ce qui. O vérifie facilemet par récurrece que < u pour tout. E effet, c est vrai pour et supposat acquis le résultat au rag, o a : < u + si u <. Teat compte de l iégalité si x < x pour x ], ], o déduit que cette suite est décroissate et comme elle est miorée par, elle coverge vers u réel l [, ]. Avec la cotiuité de la foctio si, o déduit que si l l avec l [, ] et l. O a doc de coclure. lim u + u lim si u u. Le développemet limité de si e à l ordre 3 ous doe : si x x x si x x si x et le théorème de d Alembert e permet pas x x x3 + o 6 x4 x x x3 6 + o x4 x o x4 x 4 + o x 4 x 3.

44 54 Séries réelles ou complexes 3. Comme u > pour tout et lim u, o déduit de la questio précédete que : lim u + u et le théorème de Césaro ous dit que : lim lim u k+ u k et u 3 et la série u diverge. si u u 3 lim lim u u 3 u Comme pour le théorème de Cauchy, o dispose d u versio du théorème de d Alembert qui fait iterveir la otio de limite supérieure et aussi celle de limite iférieure. Précisémet, o a le résultat suivat. Théorème 6.7 d Alembert Soit u N ue suite à valeurs réelles strictemet positives. u + Si lim sup <, la série u + u est alors covergete et si lim if >, elle est divergete u u das les autres cas, o e peut rie dire a priori. Démostratio. Voir le problème du chapitre Produit de deux séries État doées deux séries umériques u et v, o peut défiir aïvemet leur produit comme la série produit u v, où o fait le produit terme à terme comme pour la somme. O dit que u v est le produit de Hadamard des séries u et v. Par exemple pour deux séries géométriques covergetes a et b, la série produit a b est ecore ue série géométrique covergete, mais e gééral : + a b + ab + a b a b. O préfère défiir le produit de deux séries par aalogie au produit de deux polyômes comme suit. Défiitio 6.5 État doées deux séries umériques u et v, le produit de Cauchy de ces deux séries est la série de terme gééral w u k v k. Ce produit de Cauchy est aussi appelé produit de covolutio. Pour l exemple des séries géométriques covergetes avec a b, o a : w a k b k b+ a + b a

45 Produit de deux séries 55 et : + w + + b + a + b b a b a b a a ab b a + a b. O s itéresse tout d abord au produit de Cauchy de deux séries à termes positifs. Théorème 6.8 Soiet u et v deux séries à termes positifs o idetiquemet ulles et w leur produit de Cauchy. Si u et v sot covergetes, il e est alors de même de w et : w u v. Si l ue des deux séries u ou v est divergete, il e est alors de même de w l égalité w u v est ecore vérifiée das ce cas avec + pour valeur commue. Démostratio. O ote respectivemet S, S et S les sommes partielles des séries u, v et w. Pour tout etier, o a : et : S S u i v j i j S k u i v k i i i+jk i,j u i v j. u i v j i+j les idices i, j figurat das ces sommes état positifs ou uls. Il e résulte que : S u i v j u i v j S S u i v j S i+j i,j i+j E coséquece si u et v coverget, les suites S N et S N sot majorées, doc aussi la suite S N, ce qui équivaut à dire que la série à termes positifs w coverge. Si l ue des deux séries u ou v diverge, l ue des suites S N et S N ted vers + et il e est de même de S N les u, v sot positifs o tous uls, doc S et S sot croissates et strictemet positives pour grad, la série est doc divergete. Le théorème précédet peut aussi s éocer e disat que, pour toutes séries u et v à termes positifs o tous uls, o a toujours l égalité das R + R + {+ } : u v où w u k v k. O e déduit alors le résultat suivat. w u i v j

46 56 Séries réelles ou complexes Théorème 6.9 Le produit de Cauchy w de deux séries umériques u et v absolumet covergetes est absolumet coverget et : w u v. Démostratio. Le théorème précédet ous dit que, si o ote w u k v k pour tout etier aturel, alors la série w est covergete et avec les iégalités : w u k v k w, o déduit que la série w est absolumet covergete. E otat respectivemet S, S, S les sommes partielles des séries u, v, w et T, T, T celles des séries u, v, w o a : S S S u i v j u i v j u i v j i,j i,j i,j i+j i+j + u i v j u i v j u i v j i,j i+j + i,j i,j i+j T T T avec lim T T T puisque w u v et : + + w lim S lim S + lim S u v.. Il e résulte que lim S S S Exemple 6.4 La série λ état absolumet covergete de somme complexe λ tel que λ <, o déduit que : + λ + λ w, pour tout ombre λ où : O a doc : w λ k λ k + λ. + + λ + λ λ.

47 Séries doubles 57 Exemple 6.5 La série λ état absolumet covergete pour tout ombre complexe λ exercice 6.34, e otat f λ sa somme, o a pour tous ombres complexes λ et µ! : où : w f λ f µ λ k µ k k! k!! + w Cλ k k µ k λ + µ.! O a doc f λ f µ f λ + µ avec f. O recoaît ici l équatio foctioelle qui caractérise la foctio expoetielle réelle avec l hypothèse de cotiuité e. Pour cette raiso, o ote e λ la somme de la série λ et o défiit aisi la foctio expoetielle! complexe qui prologe celle que l o coaît sur R. E réalité l absolue covergece de l u des deux séries suffit l autre série état bie etedu covergete. Précisémet o a le résultat suivat. Théorème 6. Mertes Le produit de Cauchy w de deux séries umériques u et v covergetes, l ue d etre elles état absolumet covergete, est coverget et : w u v. Exercice 6.39 Motrer que le produit de Cauchy de la série covergete + par elle même est diverget. Solutio 6.39 Le théorème des séries alterées ous dit que + est covergete. Le produit de Cauchy de cette série par elle est la série w défiie par : et avec : w pour k compris etre et, o déduit que : k + k + k + k + + w et w diverge puisque so terme gééral e ted pas vers. 6.7 Séries doubles De même que l o cosidère des itégrales doubles, o peut défiir la otio de série double. L idée état doer u ses à ue somme du type u,m.,m N O s itéresse tout d abord au cas des séries doubles à termes positifs.

48 58 Séries réelles ou complexes Théorème 6. Soit u,m,m N ue suite de réels positifs ou uls idexée par, m das N. Si, pour tout N, la série u,m est covergete de somme S et si la série S est covergete de somme S, alors pour tout m N, la série u,m est covergete de somme T et la série T est covergete de somme S. O a doc : u,m u,m m m Démostratio. Pour tout etier aturel m, o a : N, u,m S + u,k avec + S S < +, ce qui etraîe la covergece de la série somme de cette série, o a pour tout : u,m. E otat T m la m u j,k j m u j,k j + j u j,k S j + j S S. Il e résulte que : ce qui sigifie que la suite croissate m + j Tm est doc covergete et T + m m u j,k m T k S T k m N est majorée et doc covergete. La série T m S. E permutat les rôles de et m, o aboutit de maière aalogue à S T et T S. Remarque 6.4 Das le cas où l ue des sommes positives + + u,m ou + + u,m m m est ifiie, il e est de même de l autre, puisque si l ue est fiie l autre l est. L égalité + + u,m m + + u,m est doc valable pour toute suite double u,m,m N de réels positifs. m Das le cas où l ue des sommes + + u,m ou + + u,m u,m,m N état ue m m suite double de réels positifs est fiie, o dit que la série double u,m est covergete et o ote u,m la valeur commue de +,m N + u,m et + m m + u,m. Défiitio 6.6 État doée ue suite double u,m,m N de ombres complexes, o dit que la série double u,m est absolumet covergete si la série double u,m est covergete. O a le résultat suivat qui est l aalogue du théorème de Fubii que l o coaît das le cadre de la théorie de l itégratio.

49 Séries doubles 59 Théorème 6. Soit u,m,m N ue suite double telle que la série double u,m soit absolumet covergete. Das ces coditios, pour tout N [resp. pour tout m N], la série u,m [resp. u,m ] est absolumet covergete et e otat S [resp. T m ] la somme de cette m série, la série S [resp. T m ] est absolumet covergete et o a + S + T m, soit : + + u,m m + m + u,m Démostratio. La covergece de u,m etraîe par défiitio celle des séries u,m m pour tout etier, ce qui sigifie que toutes les séries u,m sot absolumet covergetes. m Avec : m S k u,m u,m u,m < + m m,m N o déduit que la série S est absolumet covergete. Les idices et m jouat des rôles symétriques, o motre de même que la série T m est absolumet covergete. Faisat tedre m vers l ifii das l égalité : m m u j,k o obtiet : soit : j + j + u j,k j u j,k j j u j,k + u j,k j De même, e faisat tedre vers l ifii, o aboutit à : m + + m u j,k soit : Preat m, o a : T k S j j + j j + j + j u j,k u j,k j+ + j+ u j,k S j m u j,k + j j + S j j u j,k m u j,k + k+ j + T k k+ T k u j,k u j,k + j+ u j,k + k+ j m u j,k

50 6 Séries réelles ou complexes puisque chacue des séries S et T m coverge. O a doc bie l égalité o a + S + T m. m Das le cas où la série double u,m est absolumet covergete o ote u,m la,m N valeur commue de + + u,m et + + u,m. m m Remarque 6.5 Le résultat précédet est pas valable a priori sas hypothèse de covergece absolue. Les sommes + + u,m et + + u,m peuvet être défiies et différetes et m m das ce cas il est pas possible de doer u ses à u,m.,m N Exercice 6.4 Soit u,m,m N N la suite double défiie par :, m N N, u,m Motrer, e les calculat, que les sommes + + différetes. { si m m si m u,m m et + Solutio 6.4 Pour k etier aturel o ul fixé et > k, o a avec : et doc : u j,k j < j j k j k k k k +k j k+ k, j k k j j k k j j k j k m j k j + k k j k j +k j +k j j +k j jk+ 3 k j k k + lim jk+ j k j + k j + k + k +k j k+ u j,k 3 4 k, j + u,m sot défiies et j j

51 La trasformatio d Abel 6 ce qui sigifie que : k, T k La série T m est doc covergete avec + De maière aalogue, o a : + m + T m 3 m 4 + u,m u,m m u,k 3 4 k. m + m, ce qui sigifie que : m m 3 π π 4 6 et + + u,m + + u,m. m m La série double u,m est doc pas absolumet covergete. 6.8 La trasformatio d Abel Cette trasformatio que l o peut cosidérer comme ue itégratio par parties discrète sera surtout utile lors de l étude des séries trigoométriques. Théorème 6.3 Soiet α N, u N deux suites umériques et A N la suite défiie par : N, A α k. Pour tous etiers q > p, o a : q q α k u k A q u q A p u p A k u k+ u k. kp Démostratio. E écrivat que α k A k A k, pour tout etier k, o a : q q q q α k u k A k A k u k A k u k A k u k kp q A k u k kp q kp kp kp kp kp q A k u k+ A q u q A p u p + A k u k u k+ kp q A q u q A p u p A k u k+ u k kp L aalogie avec la formule d itégratio par parties : b où F t f t g t dt a t a b F t g t dt F b g b F a g a b a a f t dt est la primitive de f ulle e a peut se faire comme suit : F t g t dt

52 6 Séries réelles ou complexes la suite α N est idetifiée à la foctio f ; la suite A N est idetifiée à la foctio F itégratio discrète ; la suite u N est idetifiée à la foctio g ; la suite u + u N est idetifiée à la foctio g dérivatio discrète ; la somme q b α k u k est idetifiée à l itégrale f t g t dt ; kp la somme q A k u k+ u k est idetifiée à l itégrale kp E utilisat cette trasformatio, o obtiet le résultat suivat. a b a F t g t dt. Théorème 6.4 Abel Soiet u N ue suite réelle qui ted vers e décroissat et α N ue suite de ombres complexes telle que la suite A N défiie par : N, A α k. soit borée. Das ces coditios la série u α est covergete et, e désigat par M > u majorat de la suite A N, o a les majoratio des restes : + N, R + α k u k Mu +. k+ Démostratio. Il s agit de motrer que la suite S N des sommes partielles de la série u α est covergete. E utilisat, pour, la trasformatio d Abel : S α k u k α u + α k u k α u + A u A u A k u k+ u k k k A u A k u k+ u k α A cela reviet à motrer que la série A u + u est covergete la suite A N est borée et u N ted vers, doc A u N ted aussi vers. Pour ce faire ous allos motrer qu elle est absolumet covergete, ce qui résulte de : N, A u + u M u u + la suite u N est décroissate la série u + u état covergete puisque de même ature que la suite u N. Pour ce qui est des restes, o utilise ecore la trasformatio d Abel qui ous permet d écrire pour m > + : m k+ α k u k A mu m A u + M A m u m A u + + u m + u + + m k+ m k+ k+ A k u k+ u k m A k u k u k+ u k u k+ Mu +

53 La trasformatio d Abel 63 puis, faisat tedre m vers l ifii, o obtiet : + R α k u k Mu +. k+ Remarque 6.6 E utilisat la suite α N défiie par α, o retrouve le théorème des séries alterées o a A. Ue utilisatio classique du théorème d Abel est l étude des séries trigoométriques. Théorème 6.5 Soit u N ue suite de réels positifs.. Si la série u est covergete, alors la série u e it est absolumet covergete pour tout réel t.. Si la suite u N ted vers e décroissat, alors la série u e it est covergete pour tout réel t R \ πz. Démostratio.. Résulte immédiatemet de u e it u pour tout réel t.. Pour tout réel t R πz, o a : A e ikt ei+t ei + t + i e t e i + e it e i t e i t e i t t e i si + t t si t et : A si t. t pour t R \ πz, o a si. Le résultat découle alors du théorème d Abel. Du théorème précédet, o déduit que si u N ted vers e décroissat, alors la série u e it est covergete pour tout réel t R\πZ remplacer t par t et e coséquece les séries u cos t et u si t sot égalemet covergetes. Pour t πz, o a cos t et si t pour tout et les séries u cos t u et u si t sot ecore covergetes la première par le théorème des séries alterées. Exercice 6.4 Motrer que pour tout réel t R\πZ, la série si t Solutio 6.4 Comme ted vers e décroissat, la série Avec si t si t pour tous, t et : si t cos t si t est semi-covergete. est covergete. si t o déduit que est divergete comme si t somme d ue divergete et d ue covergete avec t R \ πz.

54 64 Séries réelles ou complexes Ue petite modificatio de la trasformatio d Abel permet de motrer le résultat suivat. Théorème 6.6 Abel Soiet et α N et u N deux suite de ombres complexes telles que la série α soit covergete et la série u + u absolumet covergete. Das ces coditios la série u α est covergete. + k+ Démostratio. O utilise ue trasformatio d Abel qui fait iterveir les restes R α k de la série covergete α et o pas les sommes partielles A de cette série. Pour ce faire, o écrit que α k R k R k, pour tout etier k et : k α k u k R k u k+ R k R k u k k R k u k k R k u k k R k u k R u R u + R k u k+ u k k Comme u + u absolumet covergete, elle covergete et cette série état de même ature que la suite u N, cette derière est covergete. Il e résulte que la suite R u N coverge vers R N ted vers puisque α coverge. Efi avec R u + u M u + u où M est u majorat de R N, o déduit que la série R u + u est absolumet covergete comme u + u. E défiitive, u α est covergete. Exercice 6.4 Motrer que si la série réelle ou complexe α est covergete, alors pour tout ombre complexe z tel que z <, la série α z est covergete. Solutio 6.4 E posat u z, o a pour z < : + u + u + k z z z z. Le deuxième théorème d Abel ous dit alors que la série α z est covergete. 6.9 Exemples de séries approximat π Pour chacue des séries de somme égale à π, o ote S la somme partielle d idice et R π S l erreur d idice. O a déjà vu la série de Grégory : + π 4 + exercice 6.. Cette série coverge letemet : R 9.7 3, R , R Le théorème des séries alterées ous dit que cette erreur est majorée par Ue formule d Euler : π +! +!

55 Produits ifii 65 O a : R , R La série de Machi doe ue meilleure approximatio : O a : π R , R , R La formule suivate, de Plouffe coverge aussi rapidemet : π + voir le problème 7. O a : R , R , R La plus belle formule est celle de Ramauja : π ! ! Il l éoça e 9, mais e fut démotrée qu e 985 par les frères Borwei. O a : R , R Produits ifii E s ispirat de la otio de série umérique, o peut défiir la otio de produit ifii comme suit. État doés u etier aturel et ue suite u de ombres complexes, étudier le produit ifii de terme gééral u reviet à étudier la suite P des produits partiels défiie par :, P u k. k O peut remarquer que cette suite est aussi défiie par la relatio de récurrece : { P u, +, P P u. O otera plus simplemet u u tel produit et o parlera de produit ifii. Pour tout etier, o dit que u est le terme d idice et P le produit partiel d idice de ce produit ifii. O supposera, a priori, que. Défiitio 6.7 O dit que le produit ifii u est coverget si la suite de ses produits partiels P N est covergete. Das le cas cotraire, o dit que le produit ifii est diverget.

56 66 Séries réelles ou complexes Das le cas où le produit ifii u est coverget, o otera + u la limite de la suite P N, soit : + u lim u k Remarque 6.7 Si l u des u est ul, o aura P m pour tout m et le produit ifii coverge toujours. Si u est u produit ifii, o supposera que tous les u sot o uls. Exercice 6.43 Motrer que le produit ifii + + valeur. Solutio 6.43 O ote : N, P + k k + est coverget et calculer sa O a vu avec l exercice 6.8 que la série de terme gééral u l + est divergete + vers. La suite P N est à valeurs strictemet positives et o a l P Il e résulte que + coverge vers. + lim l P et lim P u k pour tout N., ce qui sigifie que le produit ifii L exercice précédet ous motre qu u produit ifii de termes o uls peut très bie coverger vers. Défiitio 6.8 O dit que le produit ifii u est strictemet coverget s il coverge vers u complexe o ul. Comme pour les séries umériques, o a la coditio écessaire de stricte covergece suivate. Théorème 6.7 Si le produit ifii u est strictemet coverget, alors la suite u N coverge vers. Démostratio. Résulte immédiatemet de u pour et de lim P P. Das ce qui suit, o écrira les u sous la forme u + v avec v pour tout et e cas de stricte covergece de u, o aura lim v. Das le cas où les v sot réels positifs, l utilisatio de la foctio logarithme ous doe le résultat suivat. Théorème 6.8 Soit v N ue suite de réels positifs ou uls. Le produit ifii + v est strictemet coverget si, et seulemet si, la série v est covergete. P

57 Produits ifii 67 Démostratio. E otat P N la suite des produits partiels de + v, o a : Cette suite est doc croissate. Si v coverge, o a : P + P + v P > l P l + v k v k S + v c est-à-dire que P N est croissate majorée à valeurs strictemet positives, elle coverge doc vers u réel P >. Supposos que v soit divergete. Si + l + v < +, o a alors lim l + v, doc lim v et l + v v qui etraîe + v < + e cotradictio avec k + l hypothèse de départ. O a doc + l + v + et il e résulte que et lim l P + lim P +, ce qui sigifie que le produit ifii + v est diverget. Pour les produits ifiis de la forme v avec v, la situatio est plus simple. Théorème 6.9 Si v N est ue suite de réels positifs qui ted vers, alors le produit ifii v est coverget. Das le cas où les v sot tous différets de, ce produit ifii coverge vers si la série v diverge et il est strictemet coverget si cette série coverge. Démostratio. O ote P N la suite des produits partiels de v. Si l u des v vaut, alors la suite P N est statioaire sur. O suppose doc tous les v différets de. Si lim v et il existe u etier tel que v > pour tout, ce qui permet d écrire pour +, P P Q, avec Q O a alors pour + : k + < Q + Q v P u k >. c est-à-dire que la suite Q N est décroissate miorée par, elle coverge doc vers u réel Q et lim P P Q P. Supposos que + + la série v est à termes positifs. Si P >, o a alors v lim l P l P, soit + l v l P, doc < et doe +, ce qui etraîe l v v l hypothèse de départ. O a doc P Si + v S < +, alors vers u réel S, doc lim l v et v lim P si + v +. lim v, l v lim l P S et lim P e S >. lim v < + e cotradictio avec v et l v coverge

58 68 Séries réelles ou complexes Par exemple, pour v +, o a et le produit ifii v coverge vers. Exercice 6.44 Motrer que le produit ifii coverge strictemet et calculer sa valeur ce produit est cosidéré à partir de. Solutio 6.44 La covergece de ous assure la stricte covergece du produit ifii. Pour tout, o a : P k k k + doc k lim P +, soit k. k + + Exercice Motrer que, pour tout réel x R \ πz, le produit ifii x coverge strictemet. π. Motrer que, pour tout etier aturel, il existe u polyôme P de degré tel que si + x si x P si x pour tout réel x. O vérifiera que le coefficiet domiat de P est α 4 et que P +. O peut utiliser la relatio : si + x I e i+x. 3. Détermier les racies du polyôme P, pour. ] 4. Motrer que, pour tout réel x π, π [ et tout etier, o a : si + x + si x si x si kπ k + + ta x cos + x ta x ta kπ + 5. Motrer que pour < x < y < π, o a : < ta x ta y < x y k < si x si y x 6. Motrer que lim cos pour tout réel x ], π[. 7. Motrer que, pour tout réel x [ π, π], o a : si x x + x π

59 Produits ifii 69 Solutio 6.45 x. Pour x R \ πz, la suite est formée de réels positifs tous différets de et π N cette suite ted vers, doc le produit ifii t est strictemet coverget. π. O a : e i+x cos x + i si x + + cos x + i si x C k + cos + k i k si k x C k + cos + k k si k x + i k C k + si x k si k x k C+ k+ si x k si k x C k+ + cos k k si k+ x ce qui doe : si + x I e i+x si x P si x où P t k C k+ + t k t k. Ce polyôme est de degré et so coefficiet domiat de P est : α cette derière égalités état déduite de : C k+ + C k C+ k C k + + C k+ + qui doe par additio : O a aussi : + + C+ k k + 4 C k + P C + +. C k + C k Pour k etier compris etre et, o a : kπ kπ kπ si + si P si + + +

60 7 Séries réelles ou complexes kπ avec si + kπ. Les x,k si + si est strictemet croissate sur 4. O a doc : et : avec : ce qui doe : pour k, o a < kπ + < π kπ, doc P si + ous fourisset doc racies distictes de P la foctio ], π [ et ot les a toutes. kπ P t 4 t si + si + x 4 si x 4 si x k kπ si x si + kπ si si x + si kπ + k k k k kπ + P 4 si + si + x + si x si x si kπ + pour tout réel x. E utilisat la relatio, cos x + si x, o a, pour k compris etre et : si x si cos x + si x kπ si kπ + + si kπ cos x + si x + si kπ + cos kπ cos x si + x si kπ + cos x si x ta kπ + ] ce qui doe pour x π, π [ : si x si cos x kπ + k ta x ta kπ +

61 Produits ifii 7 et : si + x + si x cos x ta x ta kπ k + + si x cos x ta x ta kπ k + + ta x cos + x ta x ta kπ + ] 5. Pour y fixé das, π [, o désige par f la foctio défiie sur [, y] par f x y si x x si y. Cette foctio est idéfiimet dérivable avec f x y cos x si y et f x y si x < pour x ], y], doc f est strictemet décroissate sur [, y]. Comme f f y, le théorème de Rolle ous dit qu il existe c ], y[ tel que f c et avec la stricte décroissace de f, o déduit que f x > f c sur ], c[ et f x < sur ]c, y[. La foctio f est doc strictemet croissate sur ], c[, strictemet décroissate sur ]c, y[ avec f f y et e coséquece f x > sur ], y[ f est strictemet cocave sur [, y], ce qui équivaut à x si x < y si y. ta x Ue étude aalogue doe ta y < x y. x 6. Si u cos, o a l u l x + o x + o doc lim l u et lim u. 7. Pour x ], π[ et, o a : x si x si + + x + si si x + + si kπ + avec : < x + < kπ + < π pour k compris etre et, ce qui doe : < x x kπ + < si x + kπ si < kπ + + et : k k < si x + si < x kπ k π +

62 7 Séries réelles ou complexes x Teat compte de si < x, il e résulte que : + + x si x < + si x + k π k < x x k π k et faisat tedre vers l ifii, o e déduit que : si x x + x π o sait que le produit ifii coverge. x Pour x ], π[ et, o a ], + π [ et : x si x si + + x x + ta cos + ta x ta kπ + avec : < ta x + ta < x kπ kπ < + pour k compris etre et et : x < x k π < ta + ta kπ + x Teat compte de ta > x, il e résulte que : + + x si x > x cos + x + k π et faisat tedre vers l ifii, o e déduit que : si x x + k x π + et si x x x pour x ], π[. π Ce résultat est valable pour x { π,, π} et par parité, cette idetité est ecore valable pour x [ π, π]. Remarque 6.8 E utilisat le développemet précédet e produit ifii de si x, Euler + démotre l égalité π 6 comme suit : le coefficiet de x3 das le développemet limité k

63 Exercices supplémetaires 73 + à l ordre 3 de ce produit ifii est égal π, mais c est aussi celui de x3 das la développemet de si x, soit, ce qui doe le résultat. Il faudrait e fait justifier u peu plus 6 sérieusemet la première affirmatio. De maière plus géérale la covergece absolue de v avec les v réels différets de ous assure la stricte covergece + v. Théorème 6.3 Si v N est ue suite de réels tous différets de telle que la série v soit absolumet covergete, alors le produit ifii + v est strictemet coverget. Démostratio. O ote toujours P N la suite des produits partiels de + v. Avec + v < +, o déduit que lim v et il existe u etier tel que +v > pour tout, ce qui permet d écrire pour +, P P Q, avec Q k + + u k >. Avec l Q l + v k et l + v k v k, o déduit que la série l + v k + k + est absolumet covergete. La suite l Q + est doc covergete et e otat S sa limite, o a lim P P e S. 6. Exercices supplémetaires Exercice 6.46 Le but de cet exercice est de calculer la somme de la série umérique : u où u k pour tout k. Motrer que, u Justifier la covergece de la série u. 3. a Motrer que la suite γ défiie par γ l pour tout est k k décroissate miorée. Sa limite est la costate d Euler, otée γ. + b Motrer que la suite est covergete et détermier sa limite. k k+ a Détermier des réels a, b, c tels que l o ait, pour tout : b Calculer la somme S + u a +. u b + + c +

64 74 Séries réelles ou complexes Solutio E effectuat le chagemet d idice k j +, o a : + v + k 3 k j + 3 j j j + 3 j + j j j j soit : où w j j + et : v + v + 3u + 3w + + 3u v + v 3w ce qui doe u. 6 O peut aussi procéder par récurrece sur.. O a < u, ce qui etraîe la covergece de la série u. 3. a Pour, o a : γ + γ + + l c est-à-dire que γ est décroissate. + + La foctio t t est décroissate sur R+, doc : + dt t t + dt <, + t et pour tout, o a : k k k, k soit γ l + l l b O a pour tout : + k+ + k k k+ k k+ k k k dt k+ t dt k k k dt + t dt t + >. l +, k γ + + l + γ + l + γ + γ + l

65 Exercices supplémetaires 75 et avec la covergece de la suite γ, o déduit que : lim + k+ k l. 4. O ote S la suite des sommes partielles de la série u. a O a la décompositio e élémets simples : x x + x + x + x + 4 x + et : b O a : soit : 6 u S 6 u k k k 6 k + + k k k 4 4 k k k + k 4 k + k k k S + k k + k + 4 k k k k k+ k k k + k 8 4 l, l. k Exercice 6.47 O s itéresse à la série alterée de Bertrad de terme gééral u α l, β où α et β sot deux réels doés. Les résultats sur les séries de Bertrad positives sot supposés cous.. Doer ue coditio écessaire et suffisate, portat sur α et β, pour que cette série soit absolumet covergete.. O suppose que α. Doer ue coditio écessaire et suffisate, portat sur β, pour que cette série soit covergete. 3. O suppose que α <. Quelle est la ature de cette série? 4. Motrer que cette série coverge pour α > et β R. Solutio 6.47

66 76 Séries réelles ou complexes. La série u est absolumet covergete si, et seulemet si, α > et β R ou α et β >.. O a u l. β a Si β, u l β e ted pas vers et la série diverge. b Si β >, le théorème des séries alterées ous dit que u coverge. 3. Pour α <, o a u α + et la série diverge. l β 4. Il reste à traiter les cas α et β ou < α < et β R. a Supposos α et β. La foctio f défiie sur[, + [ par f x x l x β est de classe C avec : f x l x β + β l x β l x β + β l x Pour β, o a f x >, doc f est croissate sur[, + [. Comme lim f x +, o e déduit que u x + ted vers e décroissat et le théorème des séries alterées ous dit que u coverge. Pour β <, avec lim x + β l x, o déduit que pour x grad f x > précisémet f x > pour x > e β et comme o a ecore lim f x lim x l x + x + xβ +, o déduit du théorème des séries alterées que u coverge. b Supposos < α < et β R.. La foctio f défiie sur[, + [ par f x x α l x β est de classe C avec : f x αx α l x β + βx α l x β x α l x β α + β l x Comme lim α + β α >, o déduit que pour x grad f x > précisémet f x > pour x > e β α et comme o a ecore lim f x lim x + l x x + x + xα l x β +, o déduit du théorème des séries alterées que u coverge.