Tests non paramétriques de spécification pour densité conditionnelle : application à des modèles de choix discret

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1 Tests o paramétriques de spécificatio pour desité coditioelle : applicatio à des modèles de choix discret Mémoire Koami Dzigbodi AMEGBLE Maîtrise e écoomique Maître ès arts (M.A.) Québec, Caada Koami Dzigbodi AMEGBLE, 2015

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3 Résumé Das ce travail, ous étudios la performace statistique (taille et puissace) e échatillo fii de deux tests o paramétriques de spécificatio pour desité coditioelle proposés par Fa et al. (2006) et Li et Racie (2013). Ces tests permettet de vérifier si les probabilités coditioelles postulées das les modèles de choix discret (logit/probit multiomial à effets fixes ou aléatoires, estimateur de Klei et Spady (1993), etc) représetet correctemet les choix observés. Par rapport aux tests existats, cette approche a l avatage d offrir ue forme foctioelle flexible alterative au modèle paramétrique lorsque ce derier se révèle mal spécifié. Ce modèle alteratif est directemet issu de la procédure de test et il correspod au modèle o cotrait obteu par des produits de oyaux cotius et discrets. Les deux tests explorés ot ue puissace e échatillo fii supérieure aux tests existats. Cette performace accrue s obtiet e combiat ue procédure bootstrap et l utilisatio de paramètres de lissage des foctios oyaux par validatio croisée par les moidres carrés. Das otre applicatio, ous parallélisos les calculs de taille et de puissace, aisi que l estimatio des feêtres de lissage, sur u serveur multi-processeurs (Colosse, de Calcul Québec). Nous utilisos des routies "Ope MPI" pré-implémetées das R. Par rapport aux simulatios effectuées das les articles origiaux, ous postulos des modèles plus proches de ceux habituellemet utilisés das la recherche appliquée (logit et probit à variace uitaire otammet). Les résultats des simulatios cofirmet les boes taille et puissace des tests e échatillo fii. Par cotre, les gais additioels de puissace de la statistique lissée proposée par Li et Racie (2013) se révèlet égligeables das os simulatios. Mots clés : Bootstrap, choix discret, desité coditioelle, Mote Carlo, produit de oyaux, puissace, taille. iii

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5 Table des matières Résumé Table des matières Liste des tableaux Avat-propos iii v vii ix Itroductio 1 1 Revue de littérature Tests de spécificatio pour desités coditioelles sas oyaux cotius et discrets Tests de spécificatio pour les desités coditioelles avec oyaux cotius et discrets Méthodologie d estimatio Démarche méthodologique Processus de géératio des doées sous les hypothèses ulle et alterative Estimatio paramétrique de la desité coditioelle Estimatio o paramétrique Simulatios Applicatio Calcul de la taille et la puissace des tests sur R Résultats et iterprétatio Coclusio 29 A Aexes 31 A.1 Lemme et théorèmes utilisés Bibliographie 33 v

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7 Liste des tableaux 3.1 Taille basée sur le modele H 0 : y i = 1 + x i z i + u i avec M=1000, B=399 et σ u = Puissace basée sur le modele DGP H1a : y i = 1 + x i z i + si(0,5πx i ) + u i avec M=1000, B=399 et σ u = Puissace basée sur le modele DGP H1b : y i = 1 + x i z i + xi 2 + u i avec M=1000, B=399 et σ u = Puissace basée sur le modele DGP H1c : y i = 1+x i z i +x i u i avec M=1000, B=399 et σ u = Feêtres de lissage coditioelles, DGP H1a : y i = 1+x i z i +si(0,5πx i )+u i avec M=1000, u i N(0,1) vii

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9 Avat-propos Ce travail aurait pu être réalisé sas l aide de mo directeur de recherche, le Professeur Carlos Ordás Criado, et de mo co-directeur, le Professeur Guy Lacroix. Je leur suis profodémet recoaissat pour leur assistace et leurs coseils. Je remercie le troisième lecteur de ce mémoire, Charles Bellemare, pour sa lecture et ses remarques. Je voudrais exprimer plus particulièremet ma gratitude au Professeur Carlos Ordás Criado pour so apport sur les méthodes o paramétriques, aisi que pour so gééreux support fiacier. Je suis recoaissat au corps professoral du départemet d écoomique pour l eseigemet de qualité qu il m a apporté. Pour fiir, je ties à remercier mes camarades de maîtrise, mes collègues de la Chaire de Recherche Aéroportuaire, mes amis, mes parets, ma femme aisi que ma fille pour leurs souties moral et psychologique, et efi au Créateur de l uivers pour m avoir accordé la vie et la saté. ix

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11 Itroductio Les écoomistes utiliset différets types de modèles pour aalyser les choix de cosommatio des idividus. Lorsque ces choix sot de ature discrète (décisios liées aux modes de trasports, choix etre différetes politiques publiques, etrée ou o sur le marché du travail), le modèle le plus courammet utilisé est celui de l utilité aléatoire. Cette approche impose u certai ombre de restrictios qui permettet aux écoomistes de relier les choix observés à des mécaismes de décisio. À titre d exemple, les modèles classiques de choix discrets de McFadde (1974) ou Maddala (1983) postulet que les variables explicatives costituet u idice liéaire et que la probabilité coditioelle est logistique ou ormale (logit ou probit). Or, rie e garatit que cette formulatio e décrit adéquatemet les choix observés, coditioellemet aux variables explicatives qui sot pertietes du poit de vue de la théorie écoomique. U mécaisme comportemetal compatible avec la réalité observée est pourtat crucial pour valider les recommadatios de politiques écoomiques et les aalyses de bie-être issues des modèles d utilité aléatoire. De ombreux modèles de choix discret ot été proposés afi de permettre ue plus grade flexibilité das la foctio de probabilité et de réduire différetes sources de biais das l estimatio. Les formulatios flexibles les plus populaires sot l estimateur semi-paramétrique de Klei et Spady (1993), celui du score maximum de Maski (1975) ou la versio lissée proposée par Horowitz (1992), les algorithmes de Matzki (1992, 1993) ou ecore l estimateur de Blevis et Kha (2013). Plusieurs tests statistiques permettet de comparer des modèles paramétriques et semi-paramétriques das ce cotexte. O trouve égalemet das la littérature écoométrique des tests gééraux de spécificatio pour desités coditioelles. Par exemple, Adrews (1988a,b, 1997) propose différetes extesios du test de Khi-deux de Pearso et du test de Kolmogorov-Smirov. Ces tests sot éamois o costructifs, car ils offret pas d alterative satisfaisate e cas de rejet de la probabilité coditioelle postulée. De plus, ils obliget souvet le chercheur à utiliser des estimatios locales basées sur u faible ombre d observatios, sas exploiter de maière optimale l iformatio se trouvat das le voisiage des régios peu deses du support. De récets développemets sur l estimatio o paramétrique de desités par oyau ot permis de remédier à ces déficieces. Le premier pas a été doé par le travail pioier de Li et Racie (2003), qui propose d utiliser la méthode o paramétrique du oyau pour estimer de maière lisse les desités joites d u mélage de variables aléatoires discrètes et cotiues. La pricipale iovatio de cette 1

12 recherche est d itroduire des oyaux discrets lissés, qui permettet d estimer la probabilité joite sas réduire e sous-échatillos le support de la distributio. Cette méthode ajoute du biais das l estimatio de la desité mais elle réduit sa variace. Das des travaux ultérieurs, Hall et al. (2004), Racie et al. (2004) et Li et Racie (2008) étedet leurs estimateurs aux desités/probabilités coditioelles, à la régressio par oyaux et aux quatiles coditioels. Hall et al. (2004) motret que le choix du paramètre de lissage de la foctio oyau par validatio croisée par les moidre carrés permet d exclure asymptotiquemet les variables explicatives o pertietes das le cadre de l estimatio coditioelle. Ils motret égalemet que cette validatio croisée géère des gais de performace prévisioel hors-échatillo, même e échatillo fii. Des tests formels d adéquatio pour les desités coditioelles sot proposés par Fa et al. (2006), et par Li et Racie (2013), où les résultats mis e lumière par Hall et al. (2004) sot exploités. L objectif pricipal du préset travail de maîtrise est de répliquer les deux tests proposés par Fa et al. (2006) et Li et Racie (2013), afi de vérifier si les résultats publiés sur leur taille et leur puissace restet valides e échatillo fii das le cadre de l hypothèse stadard de variace uitaire des modèles probit et logit (polytomique ordoé et o ordoé). Fa et al. (2006) proposet u test qui omet de lisser le variable répose discrète de la desité coditioelle mais qui lisse les variables explicatives discrètes. Li et Racie (2013) proposet de lisser toutes les variables discrètes présetet das la desité coditioelle, la variable répose discrète icluse. L implémetatio de ces tests état pas dispoible sur R, ous décrivos les grades étapes de cette implémetatio. Les résultats de os simulatios e échatillo fii idiquet que les deux tests présetet ue boe taille et qu ils sot puissats cotre des alteratives o liéaires et hétéroscédastiques. Cepedat, ous obteos des différeces de puissace très faibles quad ous comparos la performace des deux tests. Ceci cotraste avec les résultats de Li et Racie (2013), qui obtieet systématiquemet des puissaces supérieures par rapport à la versio semi-lissée de la statistique de Fa et al. (2006), et ceci pour tous les seuils critiques. Ce travail est structuré e trois chapitres. Au chapitre 1, ous passos e revue les procédures mises e place pour tester l adéquatio des probabilités coditioelles des pricipaux modèles de choix discrets. Le chapitre 2 décrit les procédures d estimatios et de tests. Notos que les simulatios requièret l estimatio de paramètres de lissages par validatio croisée par les moidres carrés. Par coséquet, ue parallélisatio de la procédure est souhaitable, pour obteir des résultats das u délai raisoable. Le chapitre 3 commete les résultats et ous termios ce mémoire e récapitulat os résultats et e offrat quelques recommadatios pour l implémetatio du test sur R. 2

13 Chapitre 1 Revue de littérature La littérature écoométrique propose de ombreuses approches pour tester la spécificatio ou l adéquatio des desités coditioelles postulées par les chercheurs. O peut distiguer etre les approches qui se baset sur des foctios paramétriques sous l hypothèse alterative (Hausma, 1978; Hausma et McFadde, 1984; Horowitz et Louviere, 1993) et celles qui utiliset des formes foctioelles o paramétriques. Ces derières approches ayat l avatage d être plus robustes à des erreurs de spécificatio sous l hypothèse alterative, ous ous cocetros sur ces derières. Das cette classe de méthodes, ous distiguos ecore deux grades catégories : celles qui utiliset ue discrétisatio du support sas référece explicite à l estimatio par oyau et celles qui emploiet des oyaux (avec détermiatio d ue feêtre optimale de lissage). Sas être exhaustif, ce chapitre propose ue revue des pricipaux tests gééralemet discutés lorsque l o s itéresse aux tests o paramétriques de desités coditioelles. Nous mettos l accet sur l aspect le plus pratique de cette discussio : leur performace e échatillo fii. 1.1 Tests de spécificatio pour desités coditioelles sas oyaux cotius et discrets Das cette sectio, ous ous cocetros sur deux tests qui utiliset pas la méthode des oyaux, ceux proposés par Adrews das ses travaux de 1988 et Cet auteur dérive des tests qui utiliset des approches o paramétriques basées sur l idée géérale des tests de Khi-deux de Pearso et de Kolmogorov. Ils ot l avatage d être puissats cotre toute alterative locale à l hypothèse Test de Adrews (1988, 1997) Adrews (1988a,b) propose u test de Khi-deux coditioel pour vérifier la spécificatio de la desité coditioelle des modèles paramétriques (voir égalemet Heckma (1984)). Il s agit d ue extesio du test de Khi-deux de Pearso, applicable aux différets modèles (trasversaux) de réposes discrètes (logit et probit polytomiques, régressio SUR, équatios simultaées, etc). 3

14 Sous l hypothèse ulle, la desité coditioelle de Y i (variable dépedate pour l observatio i) sachat X i (vecteur de variables explicatives pour cette observatio) appartiet à la famille de desité coditioelle ( f (y x,θ) : θ Θ) qui respecte ue mesure σ-fiie. Le terme Θ représete l espace des paramètres. L hypothèse alterative est que la distributio coditioelle est mal spécifiée. Le test est basé sur le partitioemet du support de la desité coditioelle e cellules disjoites et la comparaiso etre les probabilités empiriques issues de l échatillo et les probabilités prédites par le modèle postulé pour ces cellules. Il ote par Γ u élémet aléatoire de la classe des partitios Y X, dot ˆΓ est l estimateur. La mesure de divergece utilisée est basée sur l écart etre les effectifs observés et les effectifs coditioels prédits. Plus précisémet, cette distace est doée par l expressio : v ( ˆΓ, ˆθ) = [ P ( ˆΓ) F ( ˆΓ, ˆθ) ], (1.1) où P représete la distributio coditioelle empirique du couple {(Y i,x i ),i = 1,...,}, F est la distributio coditioelle paramétrique estimée de Y i sachat X i. Soit Ŵ u estimateur coverget de l iverse gééralisé de Σ 0 (la vraie matrice de dispersio sous H 0 ). Sous l hypothèse ulle, la distributio asymptotique de l expressio (1.1) est ormale, de moyee ulle et de matrice de dispersio Σ 0. E utilisat la distace quadratique est e divisat par l écart-type, ous obteos la statistique de test : X 2 ( ˆΓ, ˆθ) = v ( ˆΓ, ˆθ)Ŵv ( ˆΓ, ˆθ) (1.2) Sous H 0, l expressio (1.2) est distribuée asymptotiquemet selo u Khi-deux dot les degrés de liberté sot doés par le rag de Σ 0. Adrews (1988b) vérifie la performace du test e échatillo fii à l aide d u modèle de régressio cesurée 1. Il teste le DGP sous H 0 cotre deux alteratives symétriques (à queues mice puis épaisse), ue versio asymétrique de ce même DGP, aisi que cotre le modèle cesuré proposé par Cragg (1971). Il calcule la taille du test avec 5000 réplicatios Mote Carlo sur des échatillos fiis de taille 100 et 250. Ses résultats révèlet que le test est de boe taille et puissat cotre toute alterative. Ce test o paramétrique se révèle plus puissat que les tests paramétriques développés par Hausma (1978), Hausma et McFadde (1984). Das la cotiuité de ses travaux, Adrews (1997) propose u test de spécificatio pour desités coditioelles de type Kolmogorov (appelé Kolmogorov Coditioel, KC). Ce test est ue extesio du test traditioel d adéquatio de Kolmogorov pour les distributios o coditioelles. L hypothèse ulle (de boe spécificatio du modèle paramétrique) s écrit : H 0 : H(y x) = F(y x,θ) pour u certai θ Θ, (1.3) où F(y x,θ) est la foctio de répartitio de Y i coditioellemet aux vecteurs de variables explicatives X i = x, et au vecteur de paramètres θ, Θ est l espace des paramètres, H(y x) est la vraie foctio de répartitio coditioelle, et f (y x,θ) est la foctio de desité respectat ue mesure σ-fiie (pas 1. Plus précisémet, le processus de géératio de doées est Y i = c + X i β +U i > 0 et 0 sio, avec (U i X i ) N(0,1) sous H 0. 4

15 écessairemet la mesure de Lebesgue). L auteur estime θ par u estimateur ˆθ qui coverge vers θ 0. La statistique de test est ue distace maximisée (Max), différete de l habituel supremum (Sup) utilisé das le test stadard de Kolmogorov : où ˆF (z, ˆθ) = 1 i=1 CK = max Hˆ (Z j ) ˆF (Z j, ˆθ) (1.4) j F(y X i,θ)i (Xi x) avec z = (y,x). Sous H 0 la distributio asymptotique de la statistique déped des paramètres de uisaces ˆθ (ou θ 0 quad il est cou) et de G, la foctio de répartitio empirique de X. La performace du test e échatillo fii s obtiet par ue procédure de bootstrap paramétrique. Das l article, l auteur utilise u modèle logit multiomial sous H 0. La taille du test est calculée avec 4000 réplicatios de Mote Carlo pour les échatillos de petite taille et 2000 réplicatios pour les échatillos de grade taille. Il utilise des bootstrap de taille 299 das les deux cas. Il motre que le test est puissat cotre les alteratives locales à 1 -coverget et cotre toutes alteratives fixes à l hypothèse ulle Tests de spécificatio pour les desités coditioelles avec oyaux cotius et discrets L u des défauts du test d Adrews (1997) est qu il e propose pas directemet d alterative à la desité coditioelle paramétrique rejetée. Les tests basés sur l estimateur du oyau offret directemet cette spécificatio alterative, mais leur performace déped du choix d u paramètre de lissage optimal. Ces derières aées, certaies méthodes de sélectio du paramètre de lissage ot révélé des propriétés itéressates : (i) elles permettet de combier de maière optimale de l iformatio sur des supports discrets et peu deses, (ii) elles détectet automatiquemet les variables pertietes das le coditioemet. Nous abordos à préset das cette sectio les tests proposés par Zheg (2000), Fa et al. (2006), et Li et Racie (2013). Tous ces tests utiliset ue approche o paramétrique basée sur l estimatio par oyau et ils se complètet das leur démarche méthodologique. Das cette sectio, ous utilisos les otatios origiales des auteurs, pour faciliter la comparaiso avec les articles origiaux Test proposé par Zheg (2000) Zheg (2000) est le précurseur de la série de tests o paramétriques qui utiliset l approche par la méthode du oyau pour tester l adéquatio de la desité coditioelle postulée par le chercheur. Soit {y i,x i } i=1,.., ue observatio d u échatillo aléatoire idépedate et idetiquemet distribuée proveat d ue famille de loi de desité joite p(y,x), où y i u vecteur de l variables dépedates, tel que y i R l et x i u vecteur de m variables explicatives, tel que x i R m. 2. C est ue séquece d alteratives de desité coditioelle q (y x) = f (y x,θ 0 ) + d(z), qui sot des perturbatios au voisiage de l hypothèse ulle. 5

16 Soit p(y x) la desité coditioelle de y sachat x. Comme aocé plus haut, Zheg s itéresse à tester p(y x) à l itérieur d ue famille de desité coditioelle paramétrique. Soit Θ l espace des paramètres 3, u sous-esemble compact et covexe de R k. La desité coditioelle paramétrique de y sachat x état doé θ 0 est défiie par f (y x,θ 0 ). Zheg cherche ue procédure de test qui permet de départager les deux hypothèses suivates : H 0 : P(p(y x) = f (y x,θ 0 )) = 1, pour u θ 0 Θ doé, cotre H 1 : P(p(y x) = f (y x,θ)) < 1 θ Θ Pour mesurer la différece etre p(y x) et f (y x,θ 0 ) sous l hypothèse ulle, Zheg (2000) choisit le critère d iformatio de divergece de Kullback et Leibler (1951) e ecore la mesure d etropie relative. Ce critère est ue mesure de la dissimilarité etre deux distributios de probabilités, l ue théorique et l autre empirique. Il est défii das le cas préset par : { [ ]} p(yi x i ) I(p, f ) = E log f (y i x i,θ 0 ) (1.5) Il motre de faço géérale que I(p, f ) 0 et] ulle sous l hypothèse H 0. Par ailleurs, par le développemet de Taylor 4 d ordre 1 du log o a [ p(yi x i ) f (y i x i,θ 0 ) { } { } p(yi x i ) I(p, f ) = E f (y i x i,θ 0 ) 1 p(yi x i ) f (y i x i,θ 0 ) = E f (y i x i,θ 0 ) (1.6) Zheg (2000) prouve qu e podérat la desité coditioelle paramétrique par la desité margiale de x que l expressio (1.6) coserve les mêmes propriétés que I(p, f ) sous H 0 comme sous H 1. L expressio (1.6) deviet doc sous H 0 : { } p(yi,x i ) p 1 (x i ) f (y i x i,θ 0 ) I 1 (p, f ) = E (1.7) f (y i x i,θ 0 ) où p 1 (x) la desité margiale de x. Zheg propose d estimer les feêtres de lissage des estimateurs respectifs des desités p(y i,x i ) et p 1 (x i ) par l approche de Silverma (1986). De même, la desité joite p(y i,x i ) est estimée par le produit des oyaux. E effet, c est ue méthode qui permet de résoudre des problèmes o liéaires à l aide des méthodes liéaires e trasformat les espaces de doées e u espace de dimesio plus grade. Aisi, les estimateurs de desité ˆp(y i,x i ) et ˆp 1 (x i ) 3. L espace de paramètre e gééral différet de l espace des variables. Ils sot égaux si le ombre de variables pour l estimatio o paramétrique est exactemet égale à celui de l estimatio paramétrique. Voir les hypothèses alteratives pour le calcul de la puissace, chapitre log(x) x 1. 6

17 sot respectivemet défiis par les expressios suivates : ˆp(y i,x i ) = 1 ( ) ( ) 1 j=1 h l+m K yi y j xi x j 2 K 1 h h ˆp 1 (x i ) = 1 ( ) 1 h m K xi x j 1 h j=1 (1.8) (1.9) E outre, e estimat le paramètre θ 0 par la méthode de quasi maximum de vraisemblace, Zheg (2000) dérive l estimateur lissé de la desité p(y,x) de f (y i x i,θ)p 1 (x i ) qui est défii par : p(y i,x i ) = 1 1 j=1 h l+m ( ) ( ) yi y xi x j K 2 K 1 f (y x j, ˆθ)dy (1.10) h h où ˆθ est l estimateur quasi maximum de vraisemblace de θ, et h correspod au paramètre de lissage de x et y. Il déduit la statistique W du test et sa versio ormalisée T qui preet la forme : 1 1 W = ( 1) K ( yi y) ( ) xi x j 2 h K1 h ( K yi y) ( ) xi x j 2 h K1 h f (y x j, ˆθ)dy h l+m (1.11) f (y i x i, ˆθ) i=1 j=1 j i et l+m h 2 W T = (1.12) ˆσ Zheg (2000) motre sous certaies hypothèses de régularité que la statistique T coverge e loi vers ue loi ormale cetrée réduite sous l hypothèse ulle et que la statistique o stadardisée W coverge e probabilité vers I(p, f ) > 0 sous l hypothèse alterative. Zheg a abordé la puissace e se basat sur ue séquece d alteratives locales, c est-à-dire, H 1 : p(y x) = f (y x,θ 0 ) + d l(y,x), où l(.,.) est ue foctio cotiumet différetiable et uiformémet borée, avec l(x,y)dy = 0. Cet auteur vérifie la performace du test e échatillo fii sur les modèles de régressio liéaire et les modèles de régressio cesurée par ue simulatio Mote Carlo de 1000 réplicatios avec des échatillos de taille 50, 100, 200 et 300. La taille du test est calculée sous H 0 e spécifiat u modèle liéaire homoscédastique avec ue erreur ormale cetrée réduite, et la puissace avec quatre hypothèses alteratives, dot les deux premières sot liéaires avec des erreurs suivat respectivemet ue loi logistique et ue Studet à 5 degrés de liberté (à queues plus mices). Les deux derières sot respectivemet quadratique et hétéroscédastique avec des erreurs ormales stadards. Par ailleurs, Zheg soulige que le test de Adrews (1997) est localemet plus puissat que so test Test proposé par Fa et al. (2006) Le défaut du test de Zheg (2000) est qu il e cosidère que des variables cotiues das ses produits de oyaux. E outre, il e fourit pas de directives pour l estimatio des feêtres de lissage. Ces maquemets sot pris e compte par le test de Fa et al. (2006). Ils proposet d exploiter les produits de oyaux mixtes développés par Li et Racie (2003). 7

18 Soit x u vecteur de variables explicatives cotiues et discrètes (x c,x d ), tel que x c pour ue observatio doée est ue matrice q 1 et x d ue matrice r 1. Soit D k le support de x d ik de logueur c k allat de 0 à c k 1. Les valeurs prises par la k-ième composate de la i-ième observatio de x d sot otées xik d. Pour estimer la desité par la méthode de oyau, Fa et al. (2006) utiliset l estimateur de Aitchiso et Aitke (1976) pour la k-ième variable discrète défii par : l(x d ik,xd jk,λ k) = { 1 λk si x d ik = xd jk λ k c k 1 si xd ik xd jk La desité joite de l esemble de variables discrètes est doée par le produit de oyaux : L(x d i,x d j,λ) = r k=1 l(x d ik,xd jk,λ k) = r k=1 ( ) Nik (x) λk (1 λ k ) 1 N ik(x) c k 1 (1.13) (1.14) où N ik (x) est la foctio idicatrice doat 1 si xik d xd jk et 0 sio, λ k est le paramètre de lissage de la k-ième variable discrète, dot les valeurs sot comprises etre 0 et c k 1 c k. Pour les variables cotiues, la foctio oyau utilisée est le oyau d ordre 2 d Epaechikov défii par : w(u) = 3 4 (1 u2 )1 { u 1}. Aisi, l estimateur par oyau de la desité joite des variables cotiues est : W(x c i,x c j,h) = q k=1 ( 1 x c ik x c ) jk w h k h k (1.15) où h k est le paramètre de lissage de la k-ième variable cotiue x c. Par la suite, l estimateur par oyau de la desité joite des variables explicatives est le produit des desités margiales cotiues et discrètes (Fa et al., 2006) : K γ (x i,x j ) = W(x c i,x c j,h) L(x d i,x d j,λ) (1.16) Pour estimer les desités p(y i,x i ) et p 1 (x i ) au poit i, Fa et al. (2006) suggèret d omettre le poit i das l estimatio (estimateur "leave-oe-out"), coduisat à l estimateur : ˆp i (y i,x i ) = 1 1 j=1 j i ˆp 1, i (x i ) = 1 1 I(y i = y j )K γ (x i,x j ) (1.17) j=1 j i K γ (x i,x j ) (1.18) Aisi, l estimateur de lissage du produit de desité f (y i x i,θ)p 1 (x i ), p(y i,x i ) proposé par Fa et al. (2006) est défii par : p(y i,x i ) = 1 1 j=1 j i y D y I(y i = y)k γ (x i,x j ) f (y x j, ˆθ) (1.19) 8

19 où D y est le support de la variable dépedate y. Lorsque y i = y, l expressio (1.19) deviet doc : p(y i,x i ) = 1 1 K γ (x i,x j ) f (y i x j, ˆθ) (1.20) j=1 j i E remplaçat, les expressios de ˆp(y i,x i ), ˆp(x i ) et p(y i,x i ) das l expressio de I 1 (p, f ), Fa et al. (2006) déduiset l estimateur o lissé de la statistique W,γ : W s,γ = 1 ( 1) i=1 { Kγ (x i,x j ) [ I(yi = y j ) f (y i x j, ˆθ) ]} (1.21) j=1 f (y i x i, ˆθ) j i Ils proposet d estimer les paramètres de lissage par la méthode de validatio croisée par moidres carrés qui a la propriété asymptotique d élimier les variables o pertietes das le modèle. Aisi, sous les coditios de régularité de Hall et al. (2004) liées à la covergece des feêtres de lissage, Fa et al. (2006) motret sous H 0 que la statistique de l expressio (1.21) coverge e loi vers ue loi ormale cetrée réduite :, ˆγ = (ĥ 1 ĥ 2...ĥ q ) 1/2 W, s ˆγ d N(0,1) (1.22) ˆV, ˆγ T s où ˆV, ˆγ = 2 ( 1) i=1 j i { Kˆγ (x i,x j ) [ I(yi = y ˆf (y i x i, ˆθ) j ) f (y i x j, ˆθ) ]} 2 est u estimateur coverget de la variace asymptotique de (ĥ 1 ĥ 2...ĥ q ) 1/2 W s, ˆγ. Pour examier la performace du test e échatillo fii, Fa et al. (2006) utilise la statistique o stadardisée W, s ˆγ pour la simulatio Mote Carlo avec 5000 réplicatios pour le calcul de la taille et 2000 réplicatios pour le calcul de la puissace e 1000 bootstraps pour déduire la distributio asymptotique de W s sous H 0. Ils utiliset sous H 0 u PGD biaire caractérisé par ue variable latete qui suit ue loi ormale stadard (probit), qui est testé cotre deux alteratifs, dot les variables latetes sot respectivemet quadratique et hétéroscédastique. Ils obtieet de boes tailles et motret aussi que leur test est plus puissat que le test de Zheg (2000). De même, le test est plus puissat que celui de Adrews (1997) quad il s agit de tester l adéquatio de desités coditioelles paramétriques Test proposé par Li et Racie (2013) E échatillo fii, le lissage des variables discrètes apporte u gai d efficacité das l estimatio. Aisi, Li et Racie (2013) profite de cette propriété pour améliorer la performace e échatillo fii de la statistique proposée par Fa et al. (2006). Ils proposet de remplacer l idicatrice de la variable répose par u estimateur lissé selo la méthode de Aitchiso et Aitke (1976). Aisi, pour 9

20 ue variable dépedate discrète omiale, ils utiliset l estimateur suivat : l(y i,y j,λ 0 ) = (1 λ 0 )I(y i = y j ) + λ 0 c 0 1 I(y i y j ) (1.23) avec λ 0 compris etre 0 et c 0 1 c 0. Ils étedet la procédure du test égalemet aux variables réposes discrètes ordoées e utilisat l estimateur de Wag et va Ryzi (1981) : avec λ 0 compris etre 0 et 1. l(y i,y j,λ 0 ) = (1 λ 0 )I(y i = y j ) + λ y i y j 0 I(y i y j ) (1.24) 2 E itégrat l estimateur lissé de la foctio idicatrice, Li et Racie (2013) dérivet les estimateurs "leave-oe-out" des desités p(y i,x i ), p 1 (x i ), et p(y i,x i ) : ˆp i (y i,x i ) = 1 1 ˆp 1, i (x i ) = 1 1 p i (y i,x i ) = 1 1 j=1 j i j=1 j i j=1 j i l(y i,y j,λ 0 )K γ (x i,x j ) (1.25) K γ (x i,x j ) (1.26) y D y l(y i,y,λ 0 )K γ (x i,x j ) f (y i x j, ˆθ) (1.27) E utilisat les expressios (1.25), (1.26), (1.27), Li et Racie (2013) déduiset les statistiques lissées W,γ s et T,γ s (cotrepartie des équatios (1.21) et (1.22) ) : { [ W,γ s 1 K γ (x i,x j ) = ( 1) f (y i x i, ˆθ) i=1 j=1 j i l(y i,y j,λ 0 ) y D y l(y i,y,λ 0 ) f (y x j, ˆθ) ]} (1.28) T s, ˆγ = (ĥ 1 ĥ 2...ĥ q ) 1/2 W s, ˆγ ˆV, ˆγ (1.29) Ils motret que la statistique stadardisée T, s ˆγ coverge e loi vers ue loi ormale cetrée et réduite sous l hypothèse ulle (Li et Racie (2013), Théorème 2.1, voir aussi l aexe)). De plus, sous l hypothèse alterative, T, s ˆγ coverge e probabilité vers ue valeur strictemet positive (Li et Racie (2013), Théorème 2.2, voir aussi l aexe). Par ailleurs, pour obteir la performace du test e échatillo fii, ils utiliset ue procédure bootstrap paramétrique de 1000 réplicatios et 399 bootstraps, sur u modèle probit ordoé dot la variable latete est liéaire sous H 0 et u alteratif siusoïdal. Les résultats de la simulatio réalisée avec des tailles d échatillo 200, 300, 400 révèlet que le test possède ue boe taille qui e varie pas selo le type de statistique utilisée, et que la statistique lissée apporte u gai de puissace par rapport à la statistique de Fa et al. (2006). 10

21 Chapitre 2 Méthodologie d estimatio Lorsque des tests statistiques sot proposés, il est parfois possible d établir des règles de rejet et d acceptatio de l hypothèse ulle à la fois e grad échatillo et e échatillo de taille fixe. Fa et al. (2006) et Li et Racie (2013) établisset que leurs statistiques de test sot asymptotiquemet ormales sous l hypothèse ulle (sous-sectio 1.2.2, et sous-sectio 1.2.3), mais ils ajoutet que la ormalité de la distributio est aucuemet garatie e échatillo fii. Pour pallier cette déficiece, ils proposet ue procédure bootstrap qui possède de très boes propriétés e échatillo fii : (i) elle idetifie le vrai modèle au même seuil d erreur qu e grad échatillo lorsque le chercheur postule le vrai modèle, (ii) elle rejette avec ue probabilité suffisammet élevée le modèle utilisé par le chercheur lorsque le modèle postulé e correspod pas au vrai processus de géératio de doées (boe puissace du test). Das ce chapitre, ous décrivos e détail les différetes étapes qui permettet de démotrer ces résultats. 2.1 Démarche méthodologique Pour aalyser la taille du test e échatillo fii, ous commeços par choisir le vrai processus de géératio de doées (PGD) sous l hypothèse ulle et ous créos des échatillos de différetes tailles. Comme das les articles origiaux de Fa et al. (2006) et Li et Racie (2013), ous retiedros = {200, 300, 400, 500}. Pour ue taille fixe d échatillo, ous obteos ue première estimatio du vrai PGD à l aide des deux estimateurs paramétrique et o paramétrique par oyau. Nous calculos l écart d ajustemet des valeurs prédites par les deux estimateurs à l aide des statistiques W (voir les équatios (1.21) et (1.28)). De toute évidece, cette statistique est pas utile car il ous maque sa distributio e échatillo fii. Nous tiros doc 399 échatillos bootstrap de l échatillo origial et ous réestimos avec ces échatillos bootstrap les statistiques des deux tests (lissé et o lissé). Ceci ous doe 399 valeurs bootstrap des statistiques des tests, qui permettet de défiir ue desité empirique des statistiques(lissée et o lissée) pour l échatillo iitialemet gééré. Nous comparos fialemet les statistiques (lissée et o lissée) de otre échatillo origial à leurs distributios bootstrap. Si les statistiques échatilloales dépasset les quatiles 90%, 95% ou 99% des distributios 11