UV SQ 20. Automne Responsable d Rémy Garandel ( m.-el. [email protected] ) page 1

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1 UV SQ 0 Probabilités Statistiques UV SQ 0 Autome 006 Resposable d Rémy Garadel ( m.-el. [email protected] ) page

2 SQ-0 Probabilités - Statistiques Bibliographie: Titre Auteur(s) Editios Localisatio Niveau Itroductio à la statistique Amzallag, Piccioli, Bry Herma Bib. ENI Probabilités et statistiques Coll FLASH U A. Coli B.M. Belfort REA + Iitiatio pratique à la statistique A. Liorzou Gauthier Villars Bibl ENI Probabilités et Statistiques appliquées Lacaze, Mailhes, Cépaduès Bibl Utbm Sév. QA 73 Pro + puis ++ Statistiques et probabilités J. P. Lecoutre Duod Bibl Utbm Séveas + Niveaux des livres : - très (trop) facile, + iveau de SQ 0, ++ pour des prologemets, +++ : compétitio Quelques livres itéressats, istructifs ou réjouissats (propriétés e s excluat pas) : Etiee Klei : L atome au pied du mur Ed. Le Pommier Des ouvelles à caractère historique et scietifique écrites avec humour. De quoi esoleiller les jourées moroses J. Paul Delahaye Jeux mathématiques et mathématiques des jeux Bibliothèque Pour la Sciece Etude probabiliste des jeux de hasard à partir de situatios plus ou mois simples Ch. Ruhla La physique du hasard Ed. Hachette Bibl. Muicipale Belfort RUH Survol chroologique des phéomèes aléatoires e physique, difficulté croissate au cours des chapitres J. Merlio Les jargoautes B. M. Belfort Petite étude humoristique sur le lagage actuel Simo Sigh Histoire des codes secrets Itéressera tous les mathématicies Ce cours a été eseigé à l UTBM, Uiversité de Techologie de Belfort-Motbéliard depuis la créatio de cette uiversité de Techologie, c est-à-dire septembre 999. Il correspod à l Uité de Valeur SQ 0 Probabilités et Statistiques, das laquelle le volume horaire était de 3 heures de cours et 8 heures de Travaux Dirigés. Remarques prélimiaires : Ce documet compred plus d exercices qu il est possible d e faire pedat les séaces de TD. Le but e est multiple. D abord d avoir ue certaie variété das les différets groupes et esuite de permettre aux étudiats qui le souhaitet de faire les exercices qui aurot pas été traités das leurs séaces de TD. O peut toujours demader des élémets de solutio aux eseigats, ou à des étudiats des autres groupes qui les ot peut-être résolus. Certais exercices sot otés *, ** ou ***. Ils correspodet à des exercices demadat ue certaie recherche das le raisoemet, ou à ceux qui dépasset le programme de l UV, mais pas les capacités itellectuelles des étudiats brillats. Mais e le sot-ils pas tous? page

3 UV SQ 0 Chap. Espaces Probabilisés -I- Itroductio: ) Le hasard Le calcul des probabilités est l étude des phéomèes aléatoires, du mot lati alea = hasard. Cette otio est d ailleurs pas très facile à cerer. Ce qu o omme hasard peut être dû simplemet à u phéomèe qu o maîtrise mal, ou dot o e coaît pas les causes. Il y a quelques milléaires, l apparitio d ue éclipse pouvait être cosidérée comme u phéomèe relevat du hasard alors qu après la découverte des lois de la gravité et de l orbite des objets célestes du système solaire, il deviet u phéomèe etièremet détermié. De même le lacer d ue pièce de moaie, exemple même du phéomèe aléatoire, a rie de hasardeux à coditio de coaître avec précisio tous les paramètres du mouvemet. Dès que la pièce est lacée, so trajet est etièremet détermié, aisi que le résultat du lacer. Alors, le hasard? Existe-t-il vraimet, ou est-il simplemet ue mesure de otre icompétece? O peut cosidérer le mode comme u eviroemet totalemet détermié, tedace Laplace, ou au cotraire, cosidérer qu il existe ue part icompressible de hasard, (Cf. le pricipe d icertitude de Heiseberg) das laquelle o peut loger u espace de liberté. ) Probabilités objectives et subjectives : Avat de défiir la probabilité, il est écessaire de cosidérer la otio de fréquece. Soit ue expériece à deux issues, succès et échec, qui est répétée fois das les mêmes coditios. ombre de succès La fréquece de succès s écrit f =. O peut aisi défiir la probabilité de succès d ue expériece aléatoire par p= lim f p 0,, le problème état que cette probabilité e peut être coue qu après ue ifiité d expérieces. Das certais cas, il est possible de cotourer cette difficulté par des cosidératios géométriques. Par exemple, pour le lacer d u dé cubique parfaitemet équilibré (mais l est-il parfaitemet?), à chaque face o peut attribuer la probabilité /6. La défiitio de la probabilité d u évéemet aisi doée peut être appelée probabilité objective. Ue autre défiitio, beaucoup plus floue, celle de la probabilité subjective, serait «combie u joueur serait prêt à parier sur u résultat?» Par exemple, o demade à u étudiat d évaluer ses chaces de succès à u exame, c est-à-dire sa probabilité de réussite p [0, +]. Puis o lui propose l expériece suivate : faire tourer ue aiguille sur u axe situé au dessus d u disque dot u secteur d agle θ est blac, le reste état coloré. Après rotatio de l aiguille, si elle s arrête sur le secteur blac, o lui doe so exame, sio Puis o lui doe le choix, passer effectivemet l exame ou laisser l aiguille, doc laisser le hasard décider. E foctio de l agle θ l étudiat choisira l ue ou l autre solutio, ce qui permettra d évaluer sa probabilité subjective p. Pour termier cette itroductio, il faudrait préciser que le Calcul des Probabilités est pas qu u amusemet de mathématicie. Il est utilisé das des domaies aussi divers que la fiabilité, les assuraces, la gestio des stocs ou des sièges mis à la vete par les compagies aériees, la vitesse des coducteurs (y a-t-il u radar sur ma route?) et bie sûr les jeux de hasard (Cf. les bééfices de la Fraçaise des Jeux). Sas le calcul des probabilités les compagies d assuraces seraiet igérables, ou avec des primes dissuasives, et les compagies aériees e pratiqueraiet pas la surréservatio, qui peut avoir ses avatages pour certais passagers. Il est itéressat, par exemple e séace de TD, de pratiquer des expérieces pour vérifier l adéquatio etre la théorie (calculs effectifs) et la pratique (observatio). page 3

4 SQ-0 Probabilités - Statistiques -II- Algèbre d évéemets Das ce cours, ous allos utiliser des probabilités sur R ou des sous-esembles de R. E foctio de la ature de ces sous-esembles, esembles discrets, itervalles, etc., les méthodes de calcul serot différetes. U peu plus loi, ous prologeros l étude sur des parties de R. ) Sous-esembles de R : a) Esemble fiis: Défiitio : O dira que Ω R est u esemble fii s il existe u etier N, qu o ote Card(Ω), cardial de Ω, et ue bijectio de Ω das {,,..., }. Quelques exemples d esembles fiis : les esembles de la forme {,,..., } N* bie sûr, mais aussi l esemble vide L esemble des étudiats de première aée das ue Uiversité Sur les esembles fiis s applique toute l aalyse combiatoire, c est à dire les déombremets. b) Esembles déombrables: Défiitio : O dira que Ω R est u esemble déombrable s il existe ue bijectio de Ω das N. Par prologemet, o a les esembles déombrables au ses strict, qui correspodet à la défiitio ci-dessus, ou les esembles déombrables au ses large qui sot fiis ou déombrables. (O peut aussi défiir u esemble déombrable au ses large e disat qu il existe ue applicatio ijective de Ω das N, mais cette défiitio e fait pas la différece etre les esembles fiis et les esembles ifiis, différece qui sera utilisée pour certaies otios, momets d ue variable aléatoire par exemple, page 6) Quelques exemples d esemble déombrables, e dehors de N : Z (esemble des etiers relatifs), Q (esemble des fractios ratioelles), tout esemble de poits isolés das R. Par cotre u itervalle ouvert de R est pas déombrable (démostratio par le procédé diagoal de Cator). De plus, tout sous-esemble d u esemble déombrable est déombrable (au ses large). U esemble de poits isolés sera appelé u esemble discret. c) Les autres: Parmi les autres esembles, qui e fot doc pas partie des esembles ci-dessus, ue place prépodérete sera accordée à des esembles dits cotius, c est à dire costitués d itervalles o réduits à u poit de R ou d ue réuio de ce type d itervalles. Ces esembles e costituet pas l itégralité des esembles utilisés das la théorie des probabilités, loi delà, mais, pour la plupart des autres, il est écessaire d utiliser la théorie de la mesure, ce qui dépasse largemet le cadre de ce cours. ) Déombremets : L aalyse combiatoire est l étude des déombremets sur les esembles fiis. Il est des méthodes qu il est bo de coaître pour résoudre certais problèmes de probabilités. L étude des bases de l aalyse combiatoire ayat été faite das le secodaire, ous e feros que de brefs rappels, pour les démostratios, voir le cours de termiale. a) Nombre de parties d u esemble Soit u esemble fii Ω de cardial, o motre par récurrece que le ombre de sous-esembles (parties) de Ω est Card(P(Ω)) =. Cette relatio est aussi vérifiée pour = 0. b) Permutatios : Ue permutatio sur u esemble fii Ω de cardial, est ue bijectio de Ω sur lui-même. O peut, moyeat ue bijectio sur E ={,,...,} pour etier aturel o ul, compter le ombre de permutatios sur E. U poit x d u sous-esemble E de R est dit isolé das E s il existe u voisiage de x e coteat aucu autre élémet de E. page 4

5 UV SQ 0 O motre par récurrece que le ombre de permutatios sur E est! =.... Par covetio o attribue la valeur à 0!. c) Arragemets U arragemet est ue applicatio ijective de E p ={,,...,p} das E ={,,...,}. C est aussi u tirage successif et sas remise de p élémets ordoés das u esemble de élémets. Ue telle applicatio existe que si p, et d ailleurs si p = o est rameé au cas précédet. p p! p Le ombre d arragemets est oté A et o motre que A = si p et A = 0 sio ( p)! (o le ote aussi P(, p), cette otatio, plus simple pour les typographes, est souvet utilisée sur les calculatrices). d) Combiaisos Ue combiaiso est u tirage simultaé de p élémets das u esemble de élémets. Cotrairemet aux permutatios, o e tiet pas compte de l ordre das lequel ces élémets sot tirés. A chaque combiaiso de p élémets, o peut doc associer F p! permutatios différetes, ce qui ous doe p p A l expressio du ombre de combiaisos : C = H G I pk J! = =. Suivat les sources o trouvera p! p!( p)! les deux otatios. Historiquemet, la première a été utilisée par les fraçais, pour bie oter le C de combiaiso, alors que la secode se trouve das la littérature aglo-saxoe. O peut, à titre d exercice e déduire la formule du biôme de Newto : N, ( a, b) R a+ b = C a b b g aisi que le cas particulier où a + b =, bie utile = 0 pour les probabilités discrètes. p p O coviedra que C = 0 et A = 0 das le cas p >. 3 ) Exemples de déombremets : a) Plache de Galto : Soit ue plache icliée muie de clous suivat la dispositio ci-cotre, + liges umérotées de 0 à. O lace ue bille sur le premier clou, et elle se dirige à droite ou à gauche pour arriver à u autre clou et aisi de suite jusqu aux uméros de bas de grille. Pour u uméro {0,, }, la trajectoire peut se coder suivat ue suite (x,, x ) où x =0 ou suivat que la bille va à droite ou à gauche, avec fois et ( ) fois 0. O choisit doc rags de la suite parmi les auxquels o associe le résultat. O a doc C chemis différets pour se redre à la case. Cet exemple est assez riche pour qu o puisse recostruire les formules sur les combiaisos, e particulier le triagle de Pascal. 4 ) Tribus d évéemets : O cosidère ue expériece aléatoire dot l esemble Ω est l esemble de tous les résultats ω possibles. Ue partie A de Ω est appelée u évéemet. Si le résultat ω est das A, o dira que l évéemet A est réalisé. L objectif du calcul des probabilités est d évaluer les chaces de réalisatio d u évéemet. Il s agit doc, si possible, d attribuer ue probabilité à u sous-esemble de Ω, comme o attribue ue aire à ue surface. Ue partie A de P(Ω) = esemble de toutes les parties de Ω, est ue algèbre d évéemets si A est stable par les opératios booléees usuelles, itersectio fiie, complémetarité et si elle cotiet Ω. Du fait que A est stable par itersectio et complémetarité, elle est écessairemet stable par réuio, et de plus, coteat Ω, elle cotiet aussi. page 5

6 SQ-0 Probabilités - Statistiques O peut prologer cette défiitio avec la stabilité par itersectio déombrable pour obteir ue structure de tribu d évéemets qu o trouve aussi sous la déomiatio σ algèbre, le préfixe σ symbolisat gééralemet le passage du fii au déombrable. Das tous les cas, Ω est fii ou ifii, déombrable ou o déombrable, l algèbre (ou la tribu das le cas ifii) miimale est l esemble {Ω, } et la maximale est P(Ω). Das ce cours ous étudieros essetiellemet trois types d esembles Ω : fiis, ifiis déombrables et itervalles (a, b), ouverts ou fermés, de R avec a < b. Les algèbres ou les tribus que ous étudieros, sauf metio cotraire, serot les esembles P(Ω) si Ω est u esemble discret l esemble des borélies (tribu egedrée par les itervalles de R) si Ω =R. Certais évéemets sot utilisés fréquemmet, c est le cas de l évéemet certai Ω, des évéemets élémetaires, c est à dire ayat qu u seul élémet, et de l évéemet impossible -III- Espaces probabilisés : La otio ituitive de probabilité objective itroduite à l aide de fréqueces, aisi que celle de probabilité subjective, sot isuffisates pour bâtir ue théorie cohérete et éviter certaies erreurs grossières. Il est doc écessaire de mettre e forme ue axiomatique du calcul des probabilités. ) Probabilité sur u esemble : Soit u esemble Ω et ue tribu d évéemets A défiie sur E. Défiitio : L applicatio p est ue probabilité sur Ω si. p est ue applicatio de A sur l itervalle [0, ]. p(ω) = 3. si A A et B A avec A B= (évéemets icompatibles) alors p(a B) = p(a) + p(b). 4. Pour toute suite d évéemets A, N, deux à deux disjoits ( i j Ai A j = ) o a F I p U A p( A) (σ additivité) HG N KJ = N O défiit aisi u espace probabilisé qui est le triplet (Ω, A, p). Il est d ailleurs possible, à partir du même esemble Ω de défiir plusieurs espaces probabilisés différets. Plusieurs tribus d évéemets peuvet être défiies sur le même Ω, et pour ue même tribu, o peut costruire des probabilités différetes. Nous e verros u exemple avec le paradoxe de Bertrad (Cf. page 9). ) Propriétés : De la défiitio d ue probabilité, o déduit (facilemet) les propriétés : P( ) = 0, l évéemet est appelé évéemet impossible, par exemple «obteir u 7 e laçat u dé cubique ormal». A A, B A p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) pa ( ) = pa ( ) aveca= Ω \ A -IV- Idépedace et probabilités coditioelles Soit das u espace probabilisé (Ω, A, p) deux évéemets A, de probabilité o ulle, et B. Les évéemets peuvet être réalisés simultaémet si leur itersectio est pas vide, mais o peut se po- L évéemet impossible est d ailleurs pas le seul évéemet de probabilité ulle. Par exemple, u tirage au hasard d u ombre etre 0 et fourit des probabilités ulles pour tous les évéemets de la forme {x, x [0, ]}, mais u tel résultat, quoique très improbable, est pas impossible. page 6

7 UV SQ 0 ser la questio : la réalisatio de A a-t-elle ue ifluece sur celle de B? E d autres termes, la probabilité de B est-elle la même quad o sait que A est réalisé? Par exemple le doeur de cartes au poer qui a pris soi de regarder la derière carte du paquet (par exemple l As de ) avat de commecer sa distributio. Il a doc ue iformatio supplémetaire évéemet A = «l As de e sera pas distribué» dot il sait qu il est réalisé. ) Probabilités coditioelles Ceci ous amèe à la défiitio de la probabilité coditioelle p A, c est-à-dire la probabilité d u évéemet B sachat que A est réalisé. O costruit aisi u ouvel espace probabilisé (Ω =A, A, p A ) où A ={B A, B A } et la probabilité : B, p A pa ( B) ( B) = p( BA ) =. pa ( ) O vérifie que (Ω =A, A, p A ) est bie u ouvel espace probabilisé qui vérifie les propriétés à 4. ) Idépedace E repreat otre poit de départ, o peut défiir l idépedace de deux évéemets, c est-à-dire la propriété que la réalisatio de l u d eux a pas d ifluece sur celle de l autre. O dira, par défiitio, que B est idépedat de A (tel que p(a) 0) si p A (B) = p(b). pa ( B) Das ce cas, p A ( B) = = pb ( ) ce qui implique p ( A B) = pa ( ). pb ( ) (règle de multiplicatio). O peut remarquer que cette derière relatio est symétrique e A et B, et, si la probabilité de B pa ( ) est o ulle : B idépedat de A A idépedat de B. Les deux défiitios p A ( B) = p( B) et p ( A B) = p( A). p( B) qu o pourrait doer de l idépedace e sot équivaletes que si les probabilités de A et B e sot pas ulles. Pour la suite ous predros la défiitio suivate, ce qui permettra de l utiliser aussi das le cas où la probabilité d u évéemet est ulle: A et B sot idépedats si et seulemet si p (A B) = p(a) p(b) 3 ) Propriétés immédiates : Les évéemets Ω et sot idépedats de tous les autres. Si p(a) 0, p(b) 0 et A B= alors A et B e sot pas idépedats. E effet la réalisatio de l u red l autre impossible. A ce propos il coviet de bie faire la différece etre des évéemets icompatibles A B= et des évéemets idépedats p( A B) = p( A). p( B). pa ( B) De la relatio p A ( B) = o déduit p (A B) = p(a) p(b A), qu o utilise e particulier pour pa ( ) des études de fiabilité. 4 ) Exemples Les cas d idépedace sot (heureusemet) très fréquets, et l hypothèse d idépedace sera abodammet utilisée quad ous aborderos la partie Statistiques. Das l immédiat doos quelques exemples : Tirages aléatoires successifs avec remise d élémets das ue boîte Réposes à ue questio doée par des sodés e se cocertat pas Résultats de lacers successifs d u dé (dot o suppose qu il e s use pas!) Das d autres situatios, o itroduit l hypothèse d idépedace pour simplifier les calculs, e espérat que la différece etre les résultats est égligeable, e fait iférieure à la précisio dot o a besoi pour les calculs. C est le cas par exemple de : Tirages aléatoires successifs sas remise d u petit ombre élémets das ue boîte e coteat u grad ombre page 7

8 SQ-0 Probabilités - Statistiques Le sexe des efats d u même couple de parets Le ombre de crevaisos pedat u a de deux coducteurs (s ils emprutet pas systématiquemet les mêmes itiéraires, devat ue usie de recyclage de verre otammet) Paes des composats motés e parallèle d u dispositif électroique Tailles des étudiats d ue Uiversité Das tous les cas il est bo de vérifier l idépedace des évéemets dot o veut calculer la probabilité Exemple : Das ue salle se trouvet persoes,. Calculer e foctio de la probabilité qu ils aiet tous des mois de aissace différets. Das cet exemple, et c est souvet le cas das les études de phéomèes aléatoires, l éocé est très icomplet et il est écessaire d itroduire des hypothèses supplémetaires, pour préciser certais poits ou opérer des simplificatios. La première est de supposer que toutes ces persoes ot des jours de aissace idépedats, ce qui paraît assez réaliste, sauf s il y a des jumeaux das l assemblée. Esuite, pour simplifier le problème, o peut supposer que les 365 jours de l aée, ou les mois, sot équiprobables quat à la aissace. C est beaucoup mois rigoureux, pour e pas dire pas du tout, que le premier poit. E effet les aissaces e se répartisset pas uiformémet sur l aée (coveaces persoelles, réveil du pritemps ou pae géérale de télévisio pedat quelques jours,. ), et de plus les mois ot pas tous le même ombre de jours. Et que faire des aées bissextiles? Pour modéliser le problème, o peut le représeter par ue applicatio f de E = {,,, } das F = {,,, }, toutes les applicatios état équiprobables, c est à dire de probabilité p =. L évéemet A = «tous les mois de aissace sot différets» est associé à l évéemet B = «l applicatio f est ijective». Si > le problème est résolu immédiatemet, la probabilité de A est ulle. Si, o a ombre d applicatios ijectives = b d' applicatios ijectives E F A A et doc p( A) = = b d' applicatios E F exemple, pour = 6 o a p(a) = 0,3 ± 0,00. O peut parier sas risque excessif devat ue assemblée de 6 persoes que deux d etre elles sot ées le même mois. O pred successivemet = 0, = 5 et = 30. Quelle est la probabilité que deux d etre elles aiet des dates de aissace idetiques? Le problèmes est le même, avec les mêmes approximatios, mais il y a 365 jours au lieu de mois et o cosidère l évéemet C = «tous les jours aiversaires sot différets». Das le cas gééral compris etre et 365, o a la A 365 probabilité p( C) =, ce qui doe les probabilités 0,59 pour = 0 (0,43 pour 5 et 0,9 pour 30). Là ecore o 365 peut predre les paris sur u groupe de 30 persoes.. Par 5 ) Système complet d évéemets Das u espace probabilisé (Ω, A, p) o appelle système complet d évéemets S ={A, D} avec D = N ou D = {,,, } ue partitio fiie ou déombrable de Ω. Les esembles A état disjoits deux à deux, o peut écrire la formule des probabilités totales : B, B = B A ( B ) = p B A = p BA p ( A ) U et doc p b g b g D D D Formule de Bayes : Si S ={A, {,,, }} u système complet fii d évéemets A sot tels que p(a ) 0, o a, pba ( ) pa ( ) pour tout B tel que p(b) 0 : pa ( B) = pba ( ) pa ( ) = O peut traiter à titre d exercice l exemple suivat : Das u atelier quatre machies A, B, C et D fabriquet la même pièce à la même cadece. La productio est etreposée sas souci de proveace. O s'aperçoit à posteriori que la machie A a été mal réglée et que sa productio est iacceptable. Par ailleurs les proportios de pièces iacceptables sot, pour B, C et D de %, 3% et 5%. a) O pred au hasard ue pièce das le stoc. Probabilité qu'elle soit défectueuse? b) Ue pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité pour qu'elle viee de A, de B? page 8

9 UV SQ 0 -V- Hypothèse d équiprobabilité : ) Cas où Ω est fii : État doé u esemble fii Ω, par exemple {,,, } N*, u cas très fréquet est celui où tous les évéemets élémetaires {} ot la même probabilité. O a doc : b g b g U b g = = F p {} = = p {} et p ( ) = p {} p {} H G I K Ω K J = les évéemets état disjoits deux à deux, et doc Ω, p({}) = O dira das ce cas que l espace probabilisé vérifie l hypothèse d équiprobabilité. O trouve cette situatio das les cas où o peut évoquer ue symétrie physique (dé cubique ou pièce de moaie parfaitemet équilibrés) ou l absece d iformatios sur u phéomèe aléatoire, où aucu résultat e semble plus prévisible que les autres. U jeu de cartes bie battu e fourit aucue iformatio quat au classemet des cartes, et par coséquet toutes les cartes ot la même probabilité de sortie à l occasio d u tirage. Bie sûr il faut être très prudet das l utilisatio de cette hypothèse. L absece d iformatios implique pas écessairemet l équiprobabilité. ) Cas où Ω est ifii déombrable Ce cas est traité rapidemet. E effet, il est impossible d itroduire ue hypothèse d équiprobabilité das ce cas pour des raisos évidetes. Le cardial de Ω état ifii o aurait pb{} g = et doc = serait la somme d ue série à termes costats, qui diverge si la costate est o ulle, et qui est ulle si tous les termes sot uls. 3 ) Cas où Ω est u itervalle boré (o réduit à u poit) de R Das le cas où Ω = (a, b), a < b, itervalle (semi-)ouvert ou (semi-)fermé boré de R, o dira que l espace probabilisé (Ω, A, p) vérifie l hypothèse d équiprobabilité si la probabilité d u itervalle (c, d) (a, b) est proportioelle à la logueur d c de l itervalle. p (, c d) d O a doc a c d b = c. pb( a, b) g b a O peut remarquer que si l hypothèse d équiprobabilité est vérifiée, la probabilité d u poit est ulle, et doc que le fait que l itervalle (c, d) soit ouvert ou fermé a aucue ifluece sur sa probabilité. E effet pc c, dh = pb{ c} g + pc c, dh + pb{ c} g = pc c, dh. O utilisera, avec les précautios d usage, cette hypothèse das le cas où o effectue u tirage «au hasard» d u ombre réel das u itervalle de logueur o ulle. 4 ) Étude de cas : paradoxe de Bertrad Cosidéros la situatio suivate : o trace ue corde [A, B] sur u cercle (C), e supposat A et B choisis au hasard sur le cercle. O cherche à évaluer la probabilité de l évéemet E = la logueur de la corde est supérieure à celle du côté du triagle équilatéral iscrit das le cercle. Par homothétie, o peut supposer que le cercle a pour rayo R =. Le problème est de savoir ce qu o eted par au hasard. a) Première situatio : O peut, moyeat ue simplificatio, évetuellemet abusive, que A est fixé et que B est choisi au hasard sur le cercle. O a doc l espace probabilisé (Ω, A, p ) où Ω est le cercle, la tribu est la tribu maximale P(Ω ) et p est la probabilité uiforme sur le cercle, qu o peut associer page 9

10 SQ-0 Probabilités - Statistiques par bijectio à la probabilité uiforme sur l itervalle [0, π[. Das ce cas, l évéemet E est réalisé si B se trouve sur l arc CD, et, la probabilité état uiforme logueur de CD sur le cercle p( E) = =. circoférece du cercle 3 b) Deuxième situatio : O cosidère maiteat que le segmet [A,B] est etièremet détermié si o e coaît le milieu I. Le ouvel espace probabilisé est défii par (Ω, A, p ) où Ω est le disque, la tribu est P(Ω ) et p est la probabilité uiforme sur le disque, la probabilité d u domaie du disque état proportioelle à so aire. Das ce cas E est réalisé si I se trouve à l itérieur du disque (C ) de cetre O et de rayo moitié. O a doc : aire de ( C') p( E) = =. aire de ( C) 4 c) Troisième situatio : Pour des raisos de symétrie, ecore, o peut cosidérer que I est uiformémet distribué sur u rayo [O,F]. Das ce cas l évéemet est réalisé si I se trouve sur la première moitié du rayo. O a doc l espace probabilisé (Ω 3, A 3, p 3 ) où Ω 3 est le rayo, la tribu est la tribu maximale P(Ω 3 ) et p 3 est la probabilité uiforme sur le rayo. O a doc p3( E) =. E résumé, e foctio de la défiitio du terme au hasard et de l espace probabilisé, o a des résultats différets. O aurait pu cosidérer ue quatrième situatio e cosidérat que A est pas fixé et que les deux poits A et B sot choisis uiformémet sur le cercle. page 0 -VI- Exercices et Problèmes: b g *., ( ), 3 4 = 0 = 0 = 0 = 0 ) Ecrire le développemet de + x N E déduire S = C S = C S = C et S = C ) Pour ue UV das laquelle sot iscrits 40 étudiats et 0 étudiates, combie de cours doit o faire pour épuiser toutes les possibilités das les cas suivats : O cosidère l esemble des étudiats présets (la dispositio das la salle importe peu) Aucue fille est absete Ils preet place das ue salle de 60 places et tous les iscrits sot présets 50 iscrits sot présets et les 0 places de devat sot vides 3 ) Soit deux esembles E = {,,, p} et F = {,,, }. a) Combie peut-o costruire d applicatios de E das F? b) ijectives de E das F? c) strictemet croissates de E das F? d) ** surjectives de E das F 4 ) Neuf touristes embarquet das trois bateaux pouvat chacu recevoir de 0 à 9 passagers. Quelles sot les probabilités des évéemets suivats : Chaque bateau embarque trois persoes Aucu bateau est vide Das chaque bateau il y a au mois persoes et au plus 4.

11 UV SQ 0 5 ) ** Prologemet et applicatio à la Physique de l'exercice précédet: (corrigé page 69) E Physique, o est ameé à étudier la répartitio de particules, chacue pouvat predre N états différets (u état = poit das l'espace des phases). Le problème est doc d'étudier la répartitio de particules das N boîtes. a) Statistique de Maxwell-Boltzma (applicable à des molécules de gaz): o suppose que toutes les répartitios sot équiprobables. Détermier l'esemble Ω des répartitios possibles, aisi que la probabilité que la première boîte cotiee particules, avec {0,,, }. b) Statistique de Bose-Eistei (applicable à des photos): o suppose que les particules sot maiteat idiscerables. Détermier l'esemble Ω des répartitios possibles, aisi que la probabilité que la première boîte cotiee particules, avec {0,,, }. c) Statistique de Fermi-Dirac (applicable à des électros): o suppose que les particules sot idiscerables et que chaque boîte cotiet au plus ue particule, et par coséquet N. Détermier l'esemble Ω 3 des répartitios possibles, aisi que la probabilité que la première boîte cotiee ue particule. 6 ) Défiir l esemble Ω et détermier Card(Ω) das les situatios suivates : O lace trois fois u même dé cubique. O distribue ciq cartes à u joueur extraites d u u jeu de 3 O tire au hasard la grille de départ d u Grad Prix de Formule (0 cocurrets) le podium d ue course automobile (5 cocurrets) 7 ) O cosidère l'esemble N* ou N, l'algèbre A =P(N*) et ue probabilité p sur A. Das chacu des cas suivat, calculer, si possible, la costate α pour que p soit effectivemet ue probabilité sur A. a) N * α p b) N * α α clqh= p = c) N p = 3 clqh clqh ) Peut-o défiir ue probabilité p sur Ω, coteat les parties A, B et C, avec C = A B, satisfaisat aux coditios suivates: a) p(a) = 0,8 p(b) = 0, p(c) = 0,. b) p(a) = 0,8 p(b) = 0,4 p(c) = 0,. c) p(a) = 0,8 p(b) = 0,4 p(c) = 0,3 p(a B)= 0,9 9 ) Soit (Ω, P(Ω), p) u espace probabilisé et trois parties A, B et C de Ω, telles que: pa ( ) = 03, pb ( ) = 05, pa ( C) = 0, pa ( B C) = 0, pb ( C) = 05, pa ( B C) = 005, a) Das quel itervalle doit-o choisir p(c) pour que p soit effectivemet ue probabilité? b) O choisit pec ( A B) j= 0., Détermier les probabilités de évéemets suivats: C, A B C, A B C, A B C, A B C, B A, A B 0 ) Le programme d'u exame comporte: 0 chapitres sur les séries, 4 chapitres sur les itégrales multiples, 6 chapitres de probabilités et 0 chapitres d'algèbre liéaire. Les modalités sot les suivates: Le cadidat tire au sort trois questios parmi les 30 qui sot proposées, chacue des questios portat sur u chapitre et u seul, et choisit de traiter ue des questios. a) Combie de chapitres doit-il travailler pour être certai de réussir so exame? b) Détermier les probabilités des évéemets suivats: Il e tire aucue questio de probabilités Il tire trois questios sur des domaies différets page

12 SQ-0 Probabilités - Statistiques Il tire trois questios sur le même sujet. c) U cadidat e révise que l'algèbre liéaire. Quelle est la probabilité qu'il soit reçu? d) U autre cadidat est complètemet ul e algèbre liéaire (toute ressemblace avec des persoes...), quelle est la probabilité qu'il soit reçu? e) Das quelle mesure l'impasse sur certaies parties de programme est-elle itéressate? ) O pese savoir que, avec la probabilité 0,8, A est coupable du crime pour lequel il va être jugé. B et C, chacu d eux sachat si A est coupable ou o, sot appelés à la barre. B est u ami de A et dira la vérité si A est iocet et metira avec ue probabilité 0, si A est coupable. C déteste tout le mode sauf le juge et dira la vérité si A est coupable et metira avec la probabilité 0,3 si A est iocet. Ces coditios état posées : a) Détermier la probabilité d avoir des témoigages cotradictoires. b) Quel témoi a le plus de chaces de commettre u parjure? c) B et C ayat doé des témoigages cotradictoires, quelle est la probabilité que A soit iocet? d) Les évéemets (B met) et (C met) sot-ils idépedats? ) La différece essetielle etre les avios Airbus A 330 et A 340 est que le premier a deux moteurs et le secod quatre. La probabilité qu u moteur tombe e pae état p ]0, [, ces avios peuvet cotiuer leur route si au mois la moitié des moteurs est e état. Étudier suivat p lequel des deux avios est le plus fiable. Faire la même étude e supposat qu u avio peut voler sas problème avec u seul moteur. 3 ) Das u bassi se trouvet 36 poissos dot x blacs (x etier compris etre et 7), autat de oirs, les autres état rouges. O tire simultaémet 3 poissos du bassi et o appelle A l évéemet «les trois poissos sot de couleurs différetes». a) Défiir l espace probabilisé, e itroduisat évetuellemet des hypothèses supplémetaires. b) Das le cas x = 6, calculer la probabilité de A. Rx, + 7 c) Etudier sommairemet les variatios de la foctio f défiie par : S. 3 T f( x) = 36x x d) Si p(x) est la probabilité d obteir trois poissos de couleurs différetes, détermier la valeur de x pour laquelle p(x) est maximale. e) Das le cas x =, o ote X le ombre de poissos rouges parmi les trois. Détermier la loi de X. Calculer les probabilités p(a X = ) et p(x= A) (corrigé page 69 ) 4 ) Ue loterie aoce : «U billet sur trois est gagat, achetez trois billets!». Alors? 5 ) U dé pipé est (mal) équilibré de telle maière que la probabilité de chaque face est proportioelle au uméro. Calculer les probabilités de chaque face. O lace deux dés et o ote X la somme des deux résultats. Quelle est la valeur de X la plus probable? 6 ) U appareil est costitué de 50 composats e série dot la probabilité de défaillace est p. a) Quelle doit être la valeur de p pour que le risque de pae du système soit iférieur à %? b) O 'a pas pu obteir mieux que p = Calculer la probabilité de foctioemet de l'appareil. c) Pour atteidre 0,99 o a l'idée de mettre e parallèle deux appareils avec commutatio automatique e cas de pae du premier. Quelle sera la probabilité de foctioemet du dispositif? 7 ) Das le diagramme ci-cotre, chaque représete u lie de commuicatio. Sous la politique de maiteace, les défaillaces des lies sot des évéemets idépedats, et o suppose qu à chaque page

13 UV SQ 0 istat, la probabilité qu u lie foctioe est p. a) Si o pred u istat au hasard, quelle est la probabilité que : exactemet deux lies foctioet le lie g et u autre lie foctioet b) Sachat que six lies sot e pae, quelle est la probabilité que A soit ecore e commuicatio avec B? 8 ) O tire simultaémet ciq cartes das u jeu de 3 (4 couleurs,,,, et 8 valeurs, As, R, D, V, 0,..., 7). Calculer les probabilités des évéemets suivats: o a au mois u As o a au plus u, o a ue dame et u toutes les cartes sot de même couleur toutes les cartes sot de valeurs différetes o a ue seule paire U joueur de poer a reçu 5 cartes dot deux as, met de côté les trois autres cartes, puis repred trois cartes das le jeu. Calculer les probabilités des évéemets: il a trois as il a au mois trois as il a u seul as il retire trois cartes de même valeur. 9 ) U pâtissier cofectioe des pais aux raisis de 50 g. Combie de raisis secs doit-il mettre das 0 ilos de pâte pour qu e moyee 95% des pais aux raisis cotieet au mois deux raisis? 0 ) U chariot est partagé etre 3 machies A, B et C. Au départ la machie est e A, et à chaque étape de la productio le chariot passe de maière aléatoire à ue autre des deux autres machies. A la ème étape o ote a, b et c ( a0 =, b0 = 0 et c0 = 0) les probabilités que le chariot se trouve e A, B et C. a) Calculer a, b et c pour et les relatios etre a +, b+ et c+ et a, b et c. a) E déduire a, b et c e foctio de et les limites quad ted vers l ifii. (corrigé page 69) ) ) O cosidère ue boîte coteat 0 boules blaches umérotées de 0 à 9, aisi que 5 oires umérotées de à 5 et 5 rouges umérotées de à 5. a) O tire successivemet trois boules de la boîte, sas les remettre das la boîte après tirage. Calculer les probabilités des évéemets suivats: A = «les trois boules sot de même couleur» B = «les trois boules sot de couleurs différetes» C = «les trois boules ot le même uméro» D = «le ombre formé par les trois résultats est pair» b) O tire simultaémet trois boules de la boîte. Calculer les probabilité des évéemets suivats: A = «les trois boules sot de même couleur» B = «les trois boules sot de couleurs différetes» C = «les trois boules ot le même uméro» D = «il y a plus de boules oires que de blaches» c) O tire successivemet des boules de la boîte, e les remettat das la boîte après tirage. Calculer les probabilités des évéemets suivats: A = «les trois boules sot de même couleur» ( = 3) B = «les trois boules ( = 3) sot de couleurs différetes» C = «les trois boules ( = 3) ot le même uméro» D = «o a tiré 4 boules avat d'e avoir ue oire» page 3

14 SQ-0 Probabilités - Statistiques -VII- Pour les liguistes: ) Está dispuestos tres «desperados» A, B y C e triágulo equilátero, e ua plaza de toros, quizás co u carilló e el cetro, firmemete decididos a disparar uos a otros. A es el meos diestro y alcaza la meta ua de cada dos veces. B lo hace u poco mejor y la probabilidad que tiee de acertar es de 0,7. E lo que respecta a C, uca falla. Dispara uo después de otro siguiedo el orde A, B, C, A, B hasta que o quede más que uo. Qué tiee que hacer A para empezar? page 4

15 UV SQ 0 Chap. Variables aléatoires discrètes -I- Variables aléatoires: Le résultat d ue expériece aléatoire peut souvet se représeter par u ombre réel, le lacer d u dé, la taille d u étudiat ou la température le mati à 8 heures e u lieu doé. Il est doc plus simple de cosidérer le résultat umérique au lieu d étudier l expériece e etier, quad c est possible. Preos le lacer d ue pièce, équilibrée ou o. O peut e cosidérer que la face visible de la pièce ue fois que celle-ci s est immobilisée. Mais o peut aussi étudier sa positio au momet du lacer, l impulsio doée, sa trajectoire, so temps de mouvemet et bie d autres variables, ce qui ous doe u uivers d ue complexité telle qu il deviet impossible de se livrer à des calculs sur tous les paramètres das u temps raisoable. De cette expériece o e retiedra que le résultat fial par exemple pour Pile et 0 pour face. Suivat la forme du résultat umérique, o pourra faire des études différetes. L esemble des résultats X(Ω) pourra être u esemble discret, fii ou o, ce qui sera l objet de ce chapitre, ou cotiu, itervalle ou réuio d itervalles (d itérieurs o vides) que ous étudieros au prochai chapitre. Quelques exemples pour bie faire la différece etre les deux cas : Nombre de «Pile» pour (>0) lacers d ue pièce X(Ω) = {0,,, } Nombre d essais jusqu à obtetio d u succès das ue expériece aléatoire X(Ω) = N* Taille d u étudiat e cm X(Ω) = [50, 50] Temps d attete avat pae d u système X(Ω) = [0, [ ) Mise e place Soit u espace probabilisé (Ω, A, p) et ue applicatio X de Ω das R. O dira par défiitio que X est ue variable aléatoire si : A R, X ( A) A. E défiissat la probabilité p X(Ω) sur X(Ω) par A R, px( Ω) ( A) = pcx ( A) h o effectue u trasfert de probabilité de Ω sur l esemble image X(Ω). Pour des raisos de commodité, o idetifie typographiquemet les deux probabilités p et p X(Ω). C est u abus de lagage car les deux espaces sot différets, mais il e pose pas de problème das la pratique. Cette déomiatio de variable aléatoire est pas des plus judicieuses, e effet X est pas ue variable mais ue applicatio, et elle a rie d aléatoire. O trouve aussi das la littérature le syoyme alea umérique. ) Variables discrètes Das le cas où X(Ω) est u esemble discret, X est, par défiitio, ue variable aléatoire discrète. L esemble X(Ω) peut être das ce cas être représeté par ue suite x, x, fiie ou o. Les évéemets élémetaires, disjoits deux à deux, {x, N*} ot doc la probabilité p, défiie par p = pclω Ω / X ( ω ) = xqh et o a p =, d après la propriété de σ-additivité. N* La probabilité totale est doc distribuée, pas écessairemet uiformémet, etre les valeurs de X(Ω). O appelle distributio (ou loi) de probabilité de la variable X l esemble mbx, pg, N * r. Ue variable aléatoire état doée, o défiit aussi sa foctio de répartitio F, qui représete les probabilités cumulées. E Frace, o défiit F par x R, F( x) = p( X< x), alors que pour les pays aglo-saxos l iégalité est large. Pour ue variable discrète, F est ue foctio e escalier pour laquelle apparaît ue discotiuité à page 5

16 SQ-0 Probabilités - Statistiques droite à chaque poit chargé de probabilité. Cette foctio F est caractérisée par les propriétés suivates (pour ue variable discrète) : F. F est défiie cotiue presque partout (= sauf sur u esemble discret) de R das [0, ] F. F est croissate au ses large, c est à dire ( xy, ) R avecx< y, Fx ( ) Fy ( ) F 3. lim F= 0 et lim F= page 6 x x A toute variable aléatoire, o peut doc associer ue distributio, puis ue foctio de répartitio, et iversemet, ue foctio F remplissat les coditios F à F 3 ci-dessus o peut associer ue distributio de variable aléatoire avec la probabilité x R, p( X= x) = lim F( x) lim F( x) t x t x + 3 ) Représetatios graphiques Pour avoir ue représetatio visuelle d ue distributio de probabilité, ou pour faire des comparaisos de lois, il peut être itéressat d effectuer ue représetatio graphique de la distributio ou de la foctio de répartitio. Pour la première o représetera la distributio par u diagramme e bâtos, alors que pour la secode o a ue foctio e escalier. Étude d u exemple : O cosidère u jeu de 3 cartes das lequel o prélève simultaémet 5 cartes (ue mai), et la variable aléatoire X = ombre d As parmi les ciq cartes. Le tirage des ciq cartes état simultaé, il s effectue sas remise, et l ordre de tirage est idifféret. Ue mai est u sous-esemble de ciq élémets das les 3 possibles. Moyeat ue bijectio, o peut travailler sur l esemble E = {,,, 3}. L espace probabilisé, si o suppose que les cartes sot toutes équiprobables, 5 s écrit Ω= x, K, x, x, K, 3 et i j x x, P ( Ω), p, aveccard( Ω) = C. e o s l q 5 i j 3 O a doc, d après l hypothèse d équiprobabilité, les calculs suivats : 5 C4 C8 l0, K, 4q p( X= ) =, avec les résultats umériques ci-cotre : 5 C3 Das le calcul de cette probabilité, o tire As parmi 4, puis 5- cartes (différetes des As) parmi 8. Les tirages des As et des autres cartes état idépedats, o peut utiliser la règle de multiplicatio, les tirages pouvat être représetés par u arbre. -II- Momets d ue variable aléatoire Plusieurs variables discrètes état défiies sur le même espace, ou sur des espaces de même ature, il peut être pratique de disposer de moyes permettat de les comparer. Par exemple, si o cosidère deux populatios vivat das deux pays différets, la comparaiso des tailles est difficile si o e regarde que les doées brutes ou même les distributios. Il faudrait défiir e quelque sorte u résumé simple de ces distributios à des fis de comparaiso rapide. Par aalogie avec la mécaique, pour ue variable discrète, o peut défiir les momets d ue variable. La défiitio sera u peu différete pour les variables cotiues que ous étudieros au prochai chapitre. ) Défiitio géérale : Ue variable X état défiie sur u espace probabilisé (Ω, A, p), o appelle momet d ordre ( N*) l expressio M ( X) = x p( X= x ) si cette expressio existe. x X( Ω) O défiit de même les momets par rapport à u réel α, par M ( X) = ( x α) p( X= x ) t, α j x X( Ω) Das le cas d ue variable discrète à support fii (X(Ω) est u esemble fii) l existece des momets est automatiquemet assurée, comme somme fiie de ombres réels. Par cotre si le support est ifii déombrable, le momet d ordre est la somme d ue série, qui est pas écessairemet covergete. Das ce derier cas, il est possible que certais momets existet alors que pour d autres les séries = p(x=)= 0 0,488 0,407 0, , ,000

17 sot divergetes. UV SQ 0 * α Par exemple, soit la variable X défiie par sa distributio : N p( X = ) =. La série état cover- 3 gete, o peut détermier α > 0 tel que la somme des probabilités soit égale à. Si o calcule les momets : M ( X ) α απ existe mais M X 6 ( ) α = = = ' existe pas * * N N x X( Ω) ) Espérace mathématique : Soit u espace probabilisé (Ω, A, p) et X ue variable aléatoire discrète, o défiit l espérace mathématique E(X) par : E( X) = xpx ( = x), si cette somme existe. L espérace est doc le momet d ordre (par rapport à 0). Das la mesure où px ( = x ) =, l espérace est le barycetre x X( Ω) des poits x, affectés des coefficiets p(x = x ). Pour expliquer cette défiitio, cosidéros ue variable X à valeurs das X( Ω ) = x, x, p K et N u etier très grad. L expériece état faite N fois, le résultat x sera obteu eviro =Np(X=x ) fois, et N la moyee des résultats sera x( N) = x ( N) avec p( X = x ) = lim ( ), de plus, quad N N N x X N ( Ω) ted vers +, o a EX ( ) = lim xn ( ). N Ceci doe doc ue iterprétatio pratique, et ue justificatio, de l espérace, moyee des résultats quad le ombre d expérieces ted vers l ifii. E statistique, o appelle souvet l espérace moyee, ce qui est ue cofusio etre u résultat théorique, l espérace, et u résultat calculé à partir d ue observatio. Jusqu à maiteat les statisticies (et les étudiats) ot sas scrupules mélagé les deux otios, mais sas dommage majeur. Pour avoir ue représetatio plus cocrète de l espérace, o peut faire ue comparaiso avec la mécaique, e cosidérat u système de poits matériels aligés d abscisses x, et de masses p(x = x ). L espérace est alors le cetre de gravité du système. 3 ) Variace Gééralemet l espérace, si elle existe, est pas suffisate pour comparer deux distributios. L espérace doe e quelque sorte u cetre d iertie, mais e doe aucue idicatio de la dispersio de la distributio autour de ce cetre. Imagios par exemple que deux cetres d exames otet des copies. Il est possible que la distributio des otes aiet la même espérace mais que les répartitios des otes autour de cette même moyee soiet très différetes. O défiit la variace d ue variable aléatoire X,discrète sur u espace probabilisé (Ω, A, p) et dot l espérace existe, par Var( X) = x E( X) p( X = x ) = E ( X E( X)), si cette somme existe, b g c h x Ω c est à dire le momet cetré d ordre. Cette défiitio motre l aalogie avec la mécaique, la variace correspod à u momet d iertie, et elle permet de costater qu ue variace est toujours positive, comme barycetre de carrés affectés de coefficiets positifs, mais elle peut se mettre sous ue autre forme, souvet plus pratique pour les calculs. b g a f VarX ( ) = x xex ( ) + EX ( ) px ( = x) = xpx ( = x) xex ( ) px ( = x) + EX ( ) px ( = x) x Ω x Ω x Ω x Ω ( ) ( ) x Ω x Ω x Ω x Ω = x p( X = x ) E( X) x p( X = x ) + E( X) p( X = x ) = x p( X = x ) E( X) + E( X) xpx ( x) EX ( ) EX b g EX ( ) x Ω = = = ( ) page 7

18 SQ-0 Probabilités - Statistiques c h c h b g e O predra, au choix et suivat les circostaces, VarX ( ) = E( X EX ( )) = EX EX ( ) faisat bie attetio à la place des parethèses. Pour des raisos pratiques, o utilise aussi l écart type σ (écart quadratique moye) défii par la relatio σ X = Var( X). La variace état positive l existece de l écart type est assurée dès que Var(X) existe. 4 ) Relatios sur l espérace et la variace O motre facilemet, à partir des défiitios, que, α et β état des ombres réels quelcoques : E( αx+ β) = αe( X) + β, Var( αx+ β) = α Var( X) et que σα X+ β = α σx. Si Var(X) 0, il est doc possible, moyeat la trasformatio affie Y X E ( = X ), de costruire, σ x à partir de X, ue variable aléatoire Y cetrée (d espérace ulle) et réduite (de variace égale à ). Par cotre, et c est u erreur fréquete chez les étudiats distraits et fougueux, il est pas questio d utiliser ue relatio similaire si la relatio etre X et Y est pas affie. E particulier, et il est possible à titre d exercice de trouver des cotre-exemples, E I F et EX EX HG XK J ( ) E ( X b ( ) g, sio toutes ) les variaces seraiet ulles! 5 ) Exemples Si o repred l exemple de la page 6, le calcul direct doe E(X) = 0,65 et Var(X) 0,48, ce qui sigifie que sur u très grad ombre de tirages de 5 cartes, la moyee du ombre d As est de 0,65, eviro. Exemple de variable à support déombrable, qu o peut faire à titre d exercice : Das ue fourée de biscuits le ombre X de oisettes présetes das chaque biscuit est ue variable aléatoire de distributio : p( X= ) = N H I F. O suppose de plus que la valeur d u biscuit est proportioelle au cube du ombre de oisettes présetes (pourquoi pas?). 3 3K Les biscuits sot triés par des chimpazés qui maget tous ceux qui cotieet 0, ou oisettes. a) Calculer l espérace et la variace de X. b) Quelle est la probabilité qu u biscuit pris au hasard soit magée par u chimpazé? c) Quelle est la part du chiffre d affaires que les chimpazés cosommet? d) Quelle est la probabilité qu ue oisette prise au hasard aille das u biscuit e coteat? e) soit magée par u chimpazé? xbx + 4x+ g 3 O peut utiliser x, + x = ou démotrer cette relatio. 4 = 0 ( x) -III- Lois usuelles Il est pas questio d étudier e détail toutes les variables aléatoires discrètes, il y e a ue ifiité, mais certaies d etre elles revieet fréquemmet das la pratique, et il est itéressat d e coaître les coditios d applicatio. O peut aussi e mémoriser les caractéristiques, distributio, espérace, variace quad elles existet. ) Loi uiforme U() Soit l esemble E ={,,, }, N* et la variable aléatoire X uiforme sur E, c est-à-dire qu o suppose l équiprobabilité sur E. O a doc E p( X= ) = tirage au hasard das le lagage commu.. Il s agit de ce qu o omme page 8

19 ( + ) Calcul de l espérace et de la variace : EX ( ) = = = + = ( + ) ( + )( + ) ( + ) Var( X) = = = = O remarque que si =, la probabilité est cocetrée sur la valeur et que la variace est ulle. UV SQ 0 ) Loi biomiale B(, p) Ue situatio fréquete cosiste à répéter la même expériece meat à u succès (probabilité p) ou à u échec (probabilité p) fois et à compter le ombre X de succès. Il peut s agir par exemple de lacer 0 fois u dé équilibré et de compter le ombre de 6, de tirer 5 fléchettes sur ue cible et de compter le ombre de flèches das le rod cetral. O peut aussi se référer à la plache de Galto itroduite à la page 5, e preat succès = droite et échec = gauche. Das la pratique, o cosidère, pour ce gere d expérieces, que tous les lacers se fot de maière idépedate, c est à dire que les coditios de l expériece sot idetiques d ue fois à l autre, il y a pas d usure, de progrès das la dextérité, etc. Ue situatio similaire (mais équivalete uiquemet das le cas où Np est etier) est le tirage avec remise de jetos das u esemble de N, Np jetos blacs et N( p) oirs, avec N N* et p [0, +]. X est alors le ombre de jetos blacs tirés. O a l esemble X(Ω)={0,,, }, et pour toute valeur de das X(Ω) le résultat s écrit sous la forme d ue suite (x, x ) de élémets parmi lesquels il y a fois le résultat (succès) et fois 0 (échec). La probabilité d u tel résultat est doc p ( p) -. Pour costruire ue telle suite, il faut choisir rags où placer les 0 das {,,, }, c est-à-dire C possibilités. O a doc l0, K, q p( X= ) = C p ( p) Les calculs de l espérace E(X) = p s obtiet à partir de la formule du biôme. E effet :! ( ) EX ( ) = C p( p) = p p ( p) = p C p ( p) = p( p+ ( p)) = p!( )! = 0 De même pour la variace : =! Var( X) = C p ( p) ( p) = ( ) p ( p) + C p ( p) p!( )! = 0 = ( ) p C p ( p) + E( X) p = p p + p p = p( p) = 0 = = = 3 ) Loi hypergéométrique H(N,, p) a) Défiitio Pour la loi biomiale, o cosidère des tirages idépedats (avec remise), mais cette fois o tire les jetos simultaémet, c est-à-dire qu o e remet pas les jetos das la boîte après tirage et que l ordre de tirage a pas d importace. Pour modéliser ce problème, o peut cosidérer ue boîte séparée e deux cases coteat respectivemet N p jetos blacs et N( p) oirs. Le ombre de tirages possibles, qu o suppose équiprobables est alors C N. Pour toute valeur de das {0,,,, }, o extrait simultaémet jetos das la première case, et esuite (de maière idépedate) jetos das la secode. O a alors : b de tirages des jetos blacs = C C C - Np Np N(-p) doc p X - l0 b de tirages des jetos oirs = C,, K, q ( = ) =. N(-p) CN Cette relatio caractérise la loi hypergéométrique H(N,, p). Ne pas oublier la covetio sur les combiaisos itroduite à la page 5. Le cas = 0 e présete pas d itérêt, car o e tire pas de jeto et doc p(x = 0) =. b) Propriétés Par des calculs (fastidieux) sur les combiaisos, o vérifie que la somme des probabilités est bie page 9

20 SQ-0 Probabilités - Statistiques égale à, et o motre que E(X) = p (résultat idépedat de N) et Var X p p N ( ) = ( ) N. O remarque que l espérace est la même que pour les tirages avec remise (variable biomiale), mais que la variace est iférieure, avec toutefois lim p( p) N p( p) N =. Nous allos faire le premier calcul à titre d exemple, les autres ferot (évetuellemet) l objet d u exercice qui pourra remplir ue soirée pluvieuse. Cosidéros et N etiers tels que 0 < N. i j x R, + x = + x + x C = C C. i j C = C C = C C, ce qui motre que p(x = ) = N page 0 N Np N( p) N Np N( p) a f a f a f N Np N( p) Cosidéros le terme e x = 0 i= 0 j= 0 Np N( p) Np N( p) i+ j= = 0 =0 F I HG K J F H G I K J c) Exemples Soit u jeu de 3 cartes (4 couleurs,,,, et 8 valeurs, As, R, D, V, 0,..., 7), duquel o extrait simultaémet 5 cartes, ce qu o appelle ue mai. O s itéresse au ombre de reçus das les ciq cartes. Toutes les coditios serot remplies pour utiliser la loi hypergéométrique quad ous auros supposé que les ciq cartes sot tirées au hasard, c est-à-dire que toutes les mais possibles sot équiprobables. O a doc les paramètres N = 3, = 5, et p = 0,5. (Cf. aussi l exemple -I- 3 ) page 3) 4 ) Loi géométrique G(p) O cosidère la situatio suivate : u évéemet a ue probabilité de succès de p ]0, [. O répète la même expériece jusqu à obtetio d u succès, et o ote X le ombre d expérieces effectuées. Par exemple les shados (feuilleto TV des aées 960) avaiet ue chace sur 00 de réussir leur expériece, alors ils essayaiet jusqu au succès. N ayat aucue coaissace de probabilités, ils se dépêchaiet de rater les 99 premières afi de réussir à coup sûr la 00 ème. Exercice : avaiet-ils raiso? Plus sérieusemet, cette loi est utilisée das le domaie de la sécurité. Pour tester la solidité d u matériel, o le soumet à des chocs, ou à des surtesios si c est u matériel électroique, et o compte le ombre de chocs avat rupture. La variable X (variable géométrique de paramètre p est défiie N * p( X= ) = p( p) où p ]0, [. E effet, pour avoir le premier succès (probabilité p) à la ème expériece, il faut avoir raté les précédetes (chacue de probabilité p). Toutes les probabilités sot positives, mais o doit quad même vérifier que la somme des probabilités est égale à. O peut faire la remarque que si ue somme de réels positifs est égale à, tous ces réels sot compris etre 0 et. p px ( = ) = p( p) = p ( p) = = (somme d ue série géométrique). * * * N N N ( p) Calculos maiteat l espérace, si elle existe. E utilisat le cours sur les séries etières, o peut motrer les résultats suivats : + = = = = = x ], [ f( x) x, f'( x) x et f"( x) ( ) x = N 3 x N ( x) * N ( x). O a doc, avec x = p, EX ( ) = p( p) = p ( p) = p = * * N N a ( p) f p p( p) p Var( X) = p( p) = p ( )( p) + p ( p) = + = 3 * p * * p p p p p N N 5 ) Loi de Poisso P(λ) a) Défiitio Soit ue variable biomiale B(,p) avec p = λ > 0, et étudios le cas où ted vers l ifii, ce qui implique, avec λ costat, que p tede vers 0. Il s agit doc, pour assez grad, de répéter u grad N

21 UV SQ 0 ombre de fois ue même expériece de probabilité faible. Pour N o a :! lim ( ) lim!( )!! lim ( ) ( ) λ λ λ K + λ λ λ e px= = = =! F H I K F H I K F H λ lim, lim ( ) ( ) λ K + λ car = e = et lim = I K λ λ e O défiit aisi la loi de Poisso P(λ) par so support X(Ω) = N et sa distributio px ( = ) =.! C est ue des maières de défiir la loi de Poisso, mais elle est pas etièremet satisfaisate car c est ue limite quad ted vers l ifii. E fait il y e a d autres, sas limites, que ous étudieros ultérieuremet. Les impatiets pourrot cosulter la partie relative aux relatios etre variables aléatoires à la page 67. b) Propriétés Comme pour toutes les lois, il est recommadé de vérifier que la probabilité totale est égale à. Pour ce faire, o utilise les résultats sur les séries etières : λ x x λ e λ λ O sait que x R, = e, doc p( X = ) = = e e = N! N N! A partir de ce même résultat sur les séries, o peut aisémet calculer l espérace et la variace : λ λ λ λ λ e λ e λ e λ e EX ( ) = = λ = λ et Var( X) = ( ) + λ N! N( )!! N! λ λ e = λ + EX ( ) λ = λ λ λ = λ ( )! O remarque que cette loi est caractérisée par l égalité de l espérace et de la variace, qu o retrouve e faisat tedre vers l ifii, p restat costat, das la loi biomiale. c) Exemples Das la pratique, il est pas questio d attedre ue situatio où est ifii pour approcher la loi biomiale par la loi de Poisso. E preat les cas où 30, p < 0, et p 5, les résultats sot assez proches avec les deux lois pour que l approximatio soit coveable. O peut comparer les résultats e traitat l exercice suivat : Ue expériece a ue probabilité 0,08 de réussir. O la répète fois et o ote X le ombre de succès. Etudier la loi de X, et détermier so espérace et sa variace. O décide maiteat d'effectuer 50 fois l'expériece. Détermier la loi de X, et la probabilité d'avoir succès pour etier etre 0 et 5. Refaire les calculs avec ue approximatio biomiale et comparer les résultats. Réposes : X suit ue loi biomiale, l expériece état répétée fois das les mêmes coditios E comparat, pour =50, les résultats avec la loi biomiale et la loi de Poisso, o obtiet le tableau suivat Et o se red compte que les résultats sot assez proches pour pouvoir, das la pratique, utiliser cette approximatio. F H I K F H I K F H = biomiale 0,055 0,067 0,433 0,993 0,037 0,69 Poisso 0,083 0,0733 0,465 0,954 0,954 0,563 6 ) Relatios etre les lois : Pour des raisos pratiques, o approche assez souvet ue loi par ue autre, das le but, les mathématicies sot paresseux, de simplifier les calculs. Il est d ailleurs plus facile de maipuler les lois ayat peu de paramètres. Les approximatios doivet répodre à certais critères pour être acceptables. Tout d abord, o approche ue loi par ue autre de même espérace, ou au mois ayat ue espérace proche. Esuite, pour le calcul des probabilités, il est iutile e gééral d avoir plus de deux ou trois chiffres sigificatifs. O compare doc les probabilités des deux distributios, pour costruire des règles d approximatio, comme das le paragraphe précédet. C est aisi que si N est grad par rapport à (à partir de N 00 ) das H(N,, p) remettre ou o I K λ page

22 SQ-0 Probabilités - Statistiques les objets après chaque tirage a pas vraimet d importace et o peut remplacer la loi hypergéométrique par ue loi biomiale. Par exemple, u prélèvemet etre Audiere et la poite de la Torche (5 ilomètres de plage) de vigt grais de sable pour compter ceux de diamètre iférieur à u millimètre sera fait idifféremmet avec ou sas remise. Par cotre, compter le ombre d objets défectueux parmi dix prélevés simultaémet das ue productio de 30 uités, fourira des résultats sesiblemet différets avec les lois biomiale et hypergéométrique. Das la pratique, o utilise les approximatios suivates : N 0 30, p 0, et p 5 Loi H(N,, p) Loi B(, p) Loi de Poisso P(λ =p) -IV- Couples de v.a. a) Défiitio Cosidéros maiteat deux variables aléatoires X et Y défiies sur le même espace probabilisé (Ω, A, p). A tout élémet ω Ω o associe le couple (X(ω),Y(ω)) R². Das ce chapitre ous étudieros que le cas où les deux variables sot discrètes, et par coséquet l esemble X(Ω) Y(Ω) est discret, fii ou déombrable. La distributio du couple (X, Y) est défiie aturellemet par p((x, Y)=(x, y)) = p((x=x) (Y=y)). O peut représeter cette distributio de probabilité sous la forme d u tableau, comme ci-cotre, ou l y y p p(x = ) X / Y y. das u repère cartésie, où o affecte au poit de x p p coordoées (x, y p ) la probabilité p p. x p Il est possible de coaître les distributios de X et de Y coaissat la distributio du couple (X, Y) x p p avec les distributios margiales par : px ( = x) = p( XY, ) = ( x y b, ) g et de même p(y = ) d i. pour Y py ( = y) = p( XY, ) = ( x, y) p p Cette termiologie viet du vocabulaire des comptables, qui, e vérifiat les tableaux de chiffres, effectuaiet les totaux e liges, qu ils iscrivaiet das la marge droite, puis e coloes, et efi le total de la derière coloe qui devait correspodre avec le total de la derière lige. Das le cas du tableau ci-dessus, le total de la derière coloe (marge droite) est la probabilité totale, c est-à-dire. b) Idépedace : Comme ot été défiies les lois margiales o peut défiir les lois coditioelles. État doé N * tel que p(y = y ) 0, o défiit la loi de X sachat (Y = y ) par les probabilités b g et de même pour Y. p ( X, y) = ( x, y) coditioelles px ( = x Y= y) = py ( = y ) E utilisat l idépedace itroduite page 7 o a la défiitio : X et Y sot idépedates si et seulemet si (, p) N p( X= x Y= yp) = p( X= x) p( Y= yp). * Il a été remarqué plus haut qu à partir de la distributio du couple, o peut recostruire les distributios de X et de Y. L iverse est gééralemet pas possible, sauf si o coaît ue relatio etre X et Y, par exemple l idépedace. Das ce cas, o remarque que les coloes du tableau sot proportioelles, aisi que les liges, ce qui permet de voir rapidemet si les variables sot idépedates ou o. -V- Sommes de variables aléatoires page

23 UV SQ 0 a) Défiitio Avec les mêmes hypothèses que pour les paragraphes précédetes o défiit la variable aléatoire Z, somme de X et de Y par Z = X + Y, avec la distributio z R, p( Z= z) = pd( X, Y) = ( x, yp) i. x+ yp= z * * Les variables état discrètes, le support de Z est l esemble E Z = x + yp, N, p N s. Si o représete le couple (X, Y) das u repère cartésie, à toute valeur de z, o associe la droite s équatio x + y = z, et o somme les probabilités des poits situés sur cette droite. b) Exemples Le lacer de deux dés fourit deux résultats X et Y compris etre et 6, et la somme Z est ue variable à valeurs das {,, }. Si les distributios de X et de Y sot uiformes (et idépedates) avec des dés équilibrés, celle de Z e l est pas. Il est facile de voir que p( Z = ) = alors que p( Z = 7) = Le ombre 36 de paes das u système 6. pedat u itervalle doé suit souvet ue loi de Poisso. Si o cosidère deux types de paes, par exemple X le ombre de paes électriques et Y le ombre de paes mécaiques, o peut étudier le ombre total Z = X + Y. Si X et Y sot des variables de Poisso idépedates de paramètres respectifs λ et μ, o a Z qui suit aussi ue loi de Poisso, mais de paramètre λ + μ. E effet : z N, pz ( = z) = p( XY, ) = ( xy, ) = px ( = xpy ) ( = z x) = + e = z! z! λμ x!( z x)! ( ) x+ y= z x= 0 x= 0 e = ( λ μ) z ( λ+ μ) x z x x= 0 ( λ + μ) z! λ e z z x λ z x μ z μ e x! ( z x)! c) Stabilité : A la lumière des deux exemples précédets, o peut se poser la questio de la ature de la loi de Z coaissat celles de X et de Y. O dira qu ue loi est stable par additio si X, Y et Z sot de même ature, évetuellemet avec des paramètres différets. O motre, et ce sera étudié das les exercices à la fi de ce chapitre que les lois uiformes, géométriques e sot pas stables alors que les lois biomiales idépedates de même paramètre p, les lois de Poisso idépedates (voir ci-dessus) sot stables. E particulier, si X est B(,p) et Y B(m,p) idépedates, alors Z = X + Y est B(+m, p). d) Espéraces et variaces Au cours de la partie statistique, les sommes de deux ou plusieurs variables serot utilisées abodammet, et il est utile de coaître les relatios etre les espéraces et variaces et celles de la somme, pour éviter de refaire tous les calculs. Avec les mêmes otatios, e supposat que les espéraces existet o a : EX ( + Y) = ( x + y) p( XY, ) = ( x, y) = x p( XY, ) = ( x, y) + y p( XY, ) = ( x, y) N p N p p = x p( X = x ) + y p( Y = y ) = E( X) + E( Y) N * * p N p b g b g b g p N p p N * * * * * * p N p p N E utilisat aussi le paragraphe -II- 4 ) page 8, o e déduit que l espérace est u opérateur liéaire sur les variables aléatoires. Cette relatio est valable das tous les cas, même si les variables e sot pas idépedates. E ce qui cocere la variace, o a pas toujours ue relatio aalogue. Par cotre, si X et Y sot idépedates, o a Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y). -VI- Exercices page 3

24 SQ-0 Probabilités - Statistiques ) Soit ue variable aléatoire X qui pred les valeurs etières etre 0 et 0 avec les probabilités : px ( = ) = p = a( 0 ). Détermier a pour que p soit ue probabilité. Calculer E(X) et Var(X). ) Das ue ure il y a boules umérotées de 0 à. O tire l ue après l autre, avec remise, 3 boules et o ote X le plus petit uméro et Y le plus grad uméro. a) Défiir l espace probabilisé. Quelles sot les valeurs possibles de X et de Y. b) Pour x etier coveable, calculer les probabilité p(x < x) et p(y < y). c) E déduire les probabilités p(x = x) et p(y = y). d) Calculer E(X) et Var(X) das le cas où =0. (corrigé page 70) 3 ) Soit X, X,..., X des v. a. idépedates de même loi telle que E(X) = 5 et Var(X)=. a) Détermier les espéraces et les variaces des lois suivates : Y = 0X, Y = X, Y3 = αx+ βx avec ( α, β ) R, Y4 = X = = b) Peut-o trouver ue loi biomiale correspodat à ces doées (espérace = 5, variace = )? 4 ) U objet vedu sur le marché peut coteir, avec la même probabilité de 0 à 3 défauts. La valeur marchade de l objet (e ) est égale à Y = 0 X², où X est le ombre de défauts. Des étiquettes d u Euro sot collées sur chaque objet pour e idiquer la valeur. a) Quel est le prix moye des objets? b) Quelle est la probabilité qu ue étiquette prise au hasard soit collée sur u objet ayat défauts? 5 ) U téléصcripteur trasmet 000 caractères par miute. O estime à / 000 la proba 笔 lité d erreur sur u quelcoque de ces caractères. a) O appelle X le ombre d erreurs commises pedat ue miute. Etudier la loi de X. b) Détermier la probabilité d avoir mois de 5 erreurs das u message de trois miutes. 6 ) U représetat R fait du porte à porte pour distribuer des échatillos de ourriture pour chies. Il laisse u échatillo (ue boîte) si o répod à la porte (probabilité 0,75) et si il y a u chie das la maiso (probabilité 0,4). O suppose que les évéemets «la porte s ouvre» et «il y a u chie» sot idépedats. a) Calculer la probabilité qu il doe so premier échatillo à la troisième porte. b) deuxième échatillo à la ciquième porte. c) Sachat qu il a doé deux échatillos à ses huit premiers essais, quelle est la probabilité qu il doe so ciquième échatillo à la ozième porte? d) Sachat qu il a pas ecore doé so deuxième échatillo à la deuxième porte, calculer la probabilité qu il le doe à la ciquième porte. e) Le représetat doit rechercher d autres boîtes après avoir épuisé so stoc. S il part avec deux boîtes, quelle est la probabilité qu il assure au mois ciq portes avat de refaire so stoc? 7 ) Ue etreprise pharmaceutique produit e grade série des tubes de comprimés d acide acétylsalicylique das trois usies A, B et C qui se partaget la productio à raiso de 30% pour A et 0% pour B. La productio, pour chacue des usies se répartit e deux catégories : le marché itérieur (60% pour A, 0% pour B et 40% pour C) et le marché iteratioal. a) O pred u tube au hasard das la productio, détermier les probabilités des évéemets : E : Il est destié au marché itérieur, E : Il viet de A sachat qu il est destié à l iteratioal. b) O cotrôle 5 tubes das A et o ote X le ombre de ceux destiés à la Frace. Etudier la loi de X, et calculer p(x > 3). c) Le tubes produits e A ot ue probabilité de défaut (tube mal fermé, traces de chocs,..) de 0,0 et sot empaquetés par caisses de 00 uités. Si Y est le ombre de tubes défectueux par caisse, étudier page 4

25 UV SQ 0 la loi de Y et calculer la probabilité d avoir au maximum 5 tubes défectueux das ue caisse. 8 ) U chef d'etreprise, pour éviter l'attete des camios devat livrer, evisage, si écessaire, de costruire de ouveaux postes de déchargemet. Il y e a actuellemet 5. O cosidère pour simplifier l'étude qu'il faut ue demi-jourée pour décharger u camio. Ue equête préalable sur 60 jours a motré les résultats suivats: x i = ombre de camios i = b de demi-jourées a) Détermier ue loi de probabilité X représetat cette equête. E calculer l'espérace et la variace. Comparer les probabilités à celles doées par ue loi de Poisso de même espérace. b) Quelle est la probabilité de 'avoir aucu camio e attete? c) Combie faudrait-il de postes pour que cette probabilité soit supérieure à 0,95? d) O prévoit à l'aveir u doublemet de la fréquece des livraisos. Combie faudrait-il de postes pour que la probabilité de 'avoir aucu camio e attete reste supérieure à 0,95? 9 ) Ue variable aléatoire X peut predre les valeurs, 0 et + avec les probabilités 3,, 6. a) Calculer E(X) et Var(X). b) Soit la v.a. Y liée à X par les relatios : py b = 0 X= g= 3, py b = X= g= 3, py b = X= 0g= py= X= 0 =, py= X= =, py= 0 X= = b g b g 4 b g Détermier, sous forme de tableau, la loi du couple (X, Y), puis la loi de Y. Calculer les espéraces de X et de Y. Les variables X et Y sot-elles idépedates? 0 ) Soit deux variables aléatoires X et Y, idépedates et de même loi géométrique de paramètre p. Pour 0 < p <, o ote U = if ( X, Y). a) Calculer, pour etier, p(u > ). b) E déduire p(u = ) et recoaître la loi de U. Calculer E(U) et Var(U). ) Soit X et Y deux lois idépedates uiformes sur E = {,,,}, et leur somme Z = X + Y. a) Détermier l esemble F des valeurs possibles de Z, puis, pour z F, p( Z < z ). b) E déduire la distributio de probabilité de Z, aisi que E(Z) et Var(Z). 3 4 ) Deux v. a. X et Y état défiies, le tableau ci-dessous doe la loi de probabilité du couple (X, Y): a) Détermier les lois coditioelles b) Calculer E(X), E(Y), et comparer E(X)+E(Y) et E(X+Y) c) Calculer Var(X) et Var(Y) aisi que la covariace de X et Y d) Les variables aléatoires X et Y sot-elles idépedates? Y \ X ,05 0,5 0,5 0,05 7 0, 0,5 0,05 0, 9 0,5 0 0,03 0,0 3 ) Le DRH d ue etreprise doit embaucher ue persoe pour u poste d igéieur. Il covoque les cadidats pour u etretie, et il s arrête quad il a trouvé ue persoe qui lui coviet. Les cadidats ot chacu ue probabilité 0, de coveir. a) O ote X le ombre de cadidats ayat subi u etretie. Étudier la loi de X. b) U cadidat est le 5 ème sur la liste, quelle est sa probabilité d avoir le poste? c) U etretie dure ue demi-heure et la séace commece à 8 heures. Quelle est la probabilité qu elle soit termiée avat midi? d) O cosidère maiteat que l etreprise doit embaucher deux igéieurs. La séace d etreties se déroule comme précédemmet, mais s arrête après le secod cadidat choisi. Si o ote Y le ombre d etreties, détermier E(Y) et calculer p(y = 0). page 5

26 SQ-0 Probabilités - Statistiques 4 ) U fabricat de cordes de motage soumet des cordes de ylo de mm à des essais du rupture (ue charge de 80 g est lâchée depuis ue hauteur de 5 mètres). Le test cosiste à répéter cet essai jusqu à rupture de la corde et o suppose (ce qui das la réalité est pas tout à fait exact) que la corde e subit aucue modificatio si elle e rompt pas. La probabilité que la corde casse au cours d u essai est p = 0,09. Soit X la variable aléatoire : ombre d essais avat rupture. a) Détermier la loi de X, doer so espérace et sa variace. b) Calculer les probabilités p(x > 4 ), p(x est pair) et p(x > 6 X > 4 ). Pour quelles valeurs de a-to p(x ) 0,99? c) Après rupture de la corde o cotiue le test avec ue deuxième corde idetique à la première et o défiit aisi ue secode variable aléatoire Y de même loi. Si o pose Z = X + Y (Nombre d essais avat la secode rupture). Détermier la distributio de probabilité de Z, aisi que so espérace et sa variace. Calculer p(z = 0) d) O cosidère u lot de 50 cordes de mm et o défiit la variable aléatoire N = ombre de cordes ayat rompu au cours du premier essai. Détermier la loi de N et calculer p(n < 5). NB: Des essais pratiqués sur d'aciees cordes de chavre ot motré qu'elles casset toutes au premier essai! 5 ) ** Soit X et Y deux v.a. à valeurs das N. X suit ue loi de Poisso de paramètre λ. Si (X = ) est réalisé, Y suit ue loi B(, p). Étudier la loi de Y. (O remarquera que Y déped de X, doc les lois e sot pas idépedates, et o pourra calculer les probabilités p(y=0), p(y=) et évetuellemet p(y=3) et gééraliser). O peut iterpréter ce problème de la maière suivate: Parmi les cliets qui attedet à u guichet, dot le ombre suit ue loi de Poisso, certais, avec ue probabilité p sot des gros cliets (dot le temps de traitemet est plus log que la ormale), et dot le ombre suit ue loi biomiale. (corrigé page 7) 6 ) Deux systèmes de cotrôle I et II sot soumis à des paes idépedates. Les lois de probabilités du ombre de paes (X pour I et Y pour II) sot doées das le tableau ci-dessous. Système I x = p(x = x) Système II y = p(y = y) 0 0,07 0 0,0 0,35 0,0 0,34 0,50 3 0,8 3 0,7 4 0,06 4 0,03 a) Calculer les probabilités suivates : Le système II a au mois deux paes par jour Il y a plus de paes das le système I que das le système II Il y trois paes das la jourée. b) L équipe de techicies e peut réparer qu u maximum de 5 paes par jour. Au cours d ue période d u mois (de 30 jours) o ote N le ombre de jours où l équipe de techicies sera débordée. Etudier la loi de N, so espérace et sa variace et calculer p(n = 3 ). 7 ) U atome radioactif émet des particules α e ombre aléatoire. Soit X ce ombre pedat u itervalle de temps doé. U observateur e peut pas voir toutes les particules émises mais détecte chaque particule émise avec ue probabilité p ]0, +[. Soit Y le ombre de particules observées pedat le temps cosidéré. O suppose que X suit ue loi de Poisso de paramètre λ. a) Quelle est la loi coditioelle de Y sachat X =. b) E déduire la loi du couple (X, Y). c) Motrer que Y suit ue loi de Poisso de paramètre μ = λp. d) Soit Z = X Y. Que représete Z, et quelle est sa loi? e) Les variables Z et Y sot-elles idépedates? Et e ce qui cocere X et Y? page 6

27 UV SQ 0 Chap.3 Lois cotiues -I- Défiitio Das le chapitre précédet, ous avos étudié les variables aléatoires à valeurs discrètes, et ous allos cosidérer das celui-ci des variables réelles pouvat predre toutes les valeurs das u itervalle d itérieur o vide, ou ue réuio de tels itervalles. Les cas les plus fréquets sot les variables telles que X(Ω) = R + ou [a, b] avec a < b. C est le cas par exemple du temps d attete avat u évéemet (pae, gai au loto, ) ou d ue mesure (taille, masse, distace, itesité électrique, ). ) Loi absolumet cotiue -II- Lois usuelles -III- Loi ormale Cette loi a ue importace telle qu elle mérite qu o lui accorde u paragraphe spécial. Pour les étudiats ayat ue mémoire très limitée, ou qui ot ue cocetratio poitillée e cours : Si o e doit reteir qu ue seule variable aléatoire das toutes celles qui sot étudiées, c est la variable ormale. Alors pour ceux qui ot chroiquemet du sommeil e retard, ce est pas le bo momet pour faire ue petite sieste das l amphi! -IV- Couples de v.a. -V- Foctio d'ue loi: ) Exemple, loi de Cauchy Soit X ue variable uiforme sur u demi cercle de cetre O, de rayo et (D) la tagete verticale à ce demi cercle. Ue demi droite d origie O et d agle X coupe D e u poit M. O cosidère la va- page 7

28 SQ-0 Probabilités - Statistiques riable Y = ordoée de M. O cherche à détermier la loi de Y. Soit f et O g les desités de X et Y, F et G leurs foctios de répartitio. O a alors : π πl X( Ω ) =, et doc f( x) = ( x) QP NM O π π π L, QP NM F π I y R G( y) = p( Y < y) = p < X < Arc ta( y) Arc ta( y) et doc g( y) G'( y) HG K J F π = + π Cette desité défiit la loi de Cauchy. Cette loi, qu o retrouve das quelques situatios, a la particularité de e pas avoir d espérace (et évidemmet pas de variace) e effet so calcul mèe à l itégrale gééralisée qui est pas X ydy ZY π( + y ) covergete. HG I K J = = π( + y ) ) Loi d ue foctio d ue v.a. : Soit X ue v.a. réelle cotiue de desité f et de f.r. F. Exprimer à l aide de f et F la desité g et la f.r. F des Y défiies par : Y = ax+ b ( a> 0, b R) Y = X Y = X Y = l X 3 4 page 8 -VI- Exercices α ) Soit X la variable aléatoire de desité: f( x) = si x 0 et f( x) = 0 si x < 0 ( x + ) a) Détermier α pour que f soit effectivemet ue desité de probabilité. b) Calculer E(X) et p(x E(X)) aisi que la variace, si ces élémets existet. 3. ) Soit u poit choisi au hasard das u triagle de base l et de hauteur h. O défiit la variable X comme la distace du poit à la base du triagle. Etudier la f. r. et la desité de X. 3 ) Lois des extrêmes : Soit X,..., X des v.a. idépedates de desité f et de f.r. F. O cosidère les v. a. S = sup bxi, i g et I = if bxi, i g de desités g et h et de f.r. G et H. a) Exprimer les évéemets (I y) et (S < z) au moye des X i. E déduire g, h G et H. b) Calculer les desités et les espéraces des lois I et S das les cas : ( C) Xi de desité f( x) = x sur [ 0, ] 0 sio ( C) Xi de desité uiforme sur [ 0, ] c) Si les X i sot des v.a. uiformes sur [0, +], calculer les limites de E(S ) et de E(I ) e +. at 4 ) Soit la variable X défiie par la desité f() t = + () t. R + t c a) Pour quelle valeur de a f est-elle ue distributio de probabilité. Calculer E(X) et Var(X). b) O appelle médiae (ou deuxième quartile) le ombre m e tel que p(x < m e ) = 0,5. E calculer ue valeur approchée (e utilisat au besoi la calculatrice). h

29 UV SQ 0 c) O appelle mode (il 'est pas écessairemet uique) le ombre m m tel qu'e m m la desité de probabilité est maximale. A-t-o E(X) = m e = m m? a 5 ) (*) Soit la variable X dot la foctio de répartitio est doée par: F( x) = e si x 0, a 0 si x < 0 état ue costate positive. X suit alors ue loi de Rayleigh. a) Détermier sa desité de probabilité aisi que so espérace. b) Calculer sa médiae M e (défiie par p(x < M e ) = 0,5) et so mode (valeur pour laquelle la desité est maximale). c) Applicatio (avec icursio das le programme de MT 5) : Ue cible est cetrée sur l origie r r d u repère do, i, ji orthoormé. Ue fléchette est lacée sur cette cible, et o suppose que les coordoées d impact X et Y suivet des lois ormales cetrées réduites idépedates. Détermier la foctio de répartitio H(d) et la desité h(d), de la variable aléatoire Z = distace du poit d impact au cetre. 6 ) O pred au hasard u poit M à l itérieur d'u quart de cercle trigoométrique, et o ote Z=(X,Y), où X et Y sot les coordoées de M. a) E supposat la distributio uiforme, détermier la desité h(x,y) de Z. b) Détermier les foctios de répartitios F et G et les desités f(x) et g(y) des lois margiales. c) Etudier les lois coditioelles Y X=x, pour x [0,+] et X Y=y pour y [0,+]. d) X et Y sot-elles idépedates? 7 ) Soit X ue variable expoetielle de paramètre λ. Détermier la loi de probabilité de la variable Y = Et(X+) c est-à-dire la partie etière de X+. a) Détermier, pour N*, p(y = ). E déduire la ature de la loi de X b) E calculer l espérace. 8 ) La durée de vie, e semaies, d'u composat électroique défiit ue variable aléatoire expoetielle X. O a costaté que 95, % des composats étaiet ecore e état de marche au bout de 5 semaies. a) Motrer que cette costatatio permet de fixer à 0,00 le paramètre λ de cette loi. b) Calculer l'espérace de cette loi. (Remarque: e fiabilité cette espérace est appelée M.T.B.F. ou Moyee des Temps de Bo Foctioemet, ou Mea Time Before Failure) c) Quelle est la probabilité, pour u de ces composats d'être e état de marche au bout de 00 semaies. d) Sachat qu'u composat a bie foctioé pedat 00 semaies, quelle est la probabilité qu'il soit ecore e foctioemet au bout de 00 semaies. e) O costruit u appareil avec 0 de ces composats motés e série. Le temps de bo foctioemet, e semaies, de l'appareil est ue ouvelle v.a. Y. Détermier p(y 50). 9 ) U test de productio ormalisé utilise ue variable N(50,σ=36) a) Dresser la représetatio graphique de la desité. b) Dessier chacue des probabilités par ue surface sous la courbe de desité, et calculer les probabilités que les résultats Soiet plus petits que 40 Soiet plus grads que 75 Soiet plus petits que 00 et plus grads que 30. Soiet compris etre 4 et 90. c) Détermier le premier décile et expliquer ce qu il sigifie. R S T x page 9

30 SQ-0 Probabilités - Statistiques d) Le test de productio est appliqué à 49 persoes idépedates. Quelle est la probabilité d observer ue valeur moyee iférieure à 40. Comparer ce résultat avec celui du b). Commet expliquer la différece? 0 ) U laboratoire fabrique des pilules se composat de deux substaces A et B. Pour chaque pilule o cosidère les masses X et Y des substaces A et B. O suppose que X et Y sot des variables ormales idépedates N(M x = 8,55, σ X = 0,05) et N(M Y = 5,0, σ Y = 0,05). a) O impose ue ormes de fabricatio 8,45 < x < 8,70 et 5,07< y < 5,33. Détermier le pourcetage de pilules qui sot hors orme. b) Peut-o reteir ce procédé de fabricatio, sachat que le pourcetage de pilules défectueuses e peut dépasser %? ) Ue machie fabrique des letilles pour systèmes optiques dot le diamètre est ue variable aléatoire D ormale d'espérace 3 et d'écart type 0,8 (uité mm). a) Les letilles sot refusées si leur diamètre est iférieur à 30,5 ou si il est supérieur à 33 mm. Détermier le pourcetage de rebut das la fabricatio. b) Les meilleurs letilles, c'est à dire les 0% les plus proches de la moyee sot réservées à l'idustrie photographique. Das quel itervalle leur diamètres est-il situé c)? La machie est déclarée bie réglée si la probabilité d'avoir des pièces de diamètre supérieur à 34,3 mm est iférieure à 0,04. La machie est-elle bie réglée? La recette du plat de letilles d) Ue pièce état prélevée au hasard parmi celles qui e sot pas refusées, avec quelle probabilité so diamètre est-il compris etre 3,5 et 3,5 mm? ) Soit X ue variable ormale d'espérace 00 et de variace σ² = 6. a) Détermier les quartiles de cette loi, c'est à dire les ombres a, b et c tels que: p(x<a) = 0,5, p(x<b) = 0,5, p(x<c) = 0,75. b) O défiit de la même maière les déciles, c'est à dire les ombres a, {,,, 9} vérifiat p(x<a ) = 0,. Calculer les euf déciles de la loi X. 3 ) Soit X ue variable ormale d espérace m=,8 et de variace σ² = 0,0. O défiit les variables 40 aléatoires Y= 40X, S= X et X S = avecbx, X, K, X40g état ue suite de variables aléatoires 40 = idépedates de même loi que X. a) Détermier les espéraces de Y, S et X. Il est possible de représeter les résultats sous forme de tableau. b) Calculer p(,7 < X <,9), et détermier α > 0 tel que p(,8-α<x<,8+α)=0,95. c) Calculer p(68 < Y < 76), et détermier β> 0 tel que p(7-β<x<7+β) = 0,95. d) Calculer les probabilités p( 68 < S < 76) e) Détermier γ>0 et δ tels que p( 7 γ < S < 7 + γ) = 0, 95 et p(, 8 δ< X< 8, + δ ) = 095,. f) Calculer les rapports β γ α, et. Existe-t-il α α δ des relatios etre α, β, γ et δ? 4 ) Le prix quotidie du logemet das des terrais page 30

31 UV SQ 0 de campig suit ue loi ormale d espérace M =,5 et de variace σ² =,8. U vacacier part camper 30 jours avec u budget de 360 Calculer la probabilité de l évéemet «le budget est suffisat» das les cas suivats : a) a) Il passe toutes ses vacaces das le même terrai b) b) Il chage de terrai de campig tous les jours. 5 ) Soit le domaie (D) = itérieur du triagle OAB où O est l origie d u repère orthoormé, A et B de coordoées (, 0) et (, ). O défiit sur (D) u couple de variables aléatoires (X, Y) par sa desité : ϕ( xy, ) = si ( x, y) ( D) et 0 sio. xy a) Détermier la costate pour que ϕ soit effectivemet ue desité de probabilité. b) Détermier les lois margiales, de X et de Y. Les variables X et Y sot-elles idépedates? c) Calculer p(y<0,5 X<0,75). 6 ) U système électroique est piloté par u circuit itégré dot le temps de foctioemet exprimé e semaies suit ue loi expoetielle de paramètre λ = 0,005. Pour des raisos de maiteace, ce circuit est doublé par u secod idetique au premier, qui se met e marche dès que le premier tombe e pae. O ote X la durée avat arrêt du système. a) Détermier la loi de X. b) Détermier la probabilité de foctioemet du système pedat u a. 7 ) Deux équipemets techiques A et B foctioet idépedammet l'u de l'autre. Ils ot des durées de vie X et Y expoetielles de paramètres λ = et μ =. a) Détermier la desité h(x,y) du couple (X,Y). b) Détermier la probabilité que A tombe e pae avat B. 8 ) U équipemet est formé de élémets idetiques motés e série. Les durées de vie de ces élémets suivet ue loi expoetielle de paramètre λ. a) Etudier la loi T = durée de vie du système, foctio de répartitio, desité. b) Calculer e foctio de et de λ la durée de vie moyee E(T). Calculer esuite la variace de T. c) Applicatio umérique : λ = 0, et = 0. 9 ) U problème de recotre. Deux étudiats A et B doivet se recotrer à la cafétéria etre midi et 3 h. Chacu d eux a idiqué qu il attedrait pas plus de 0 miutes. O suppose qu ils arrivet idépedammet l u de l autre à des istats au hasard (loi uiforme) etre midi et 3 h. a) Quelle est la probabilité de la recotre? b) A arrive à l istat x (x [0,+]), détermier e foctio de x la probabilité de la recotre. c) A arrive à l istat x, et B est pas là. Détermier e foctio de x la probabilité de la recotre. 0 ) Chaque jour, quad il quitte la maiso pour aller au casio, Oscar fait tourer ue roue de la fortue pour détermier la somme qu il emporte avec lui. Il emporte X cetaies d, où X est ue v. a. cotiue de desité f, défiie x f( x) = [, + ]( x) Pour des raisos pratiques, o supposera que la moaie est idéfiimet divisible (arrodir au cetime le plus proche e ferait pas ue grosse différece). Oscar sait, après des aées de pratique, qu il e gage jamais. E fait, page 3

32 SQ-0 Probabilités - Statistiques la somme qu il rapporte chez lui à la fi de la jourée, qu o ote Y, est ue variable uiforme sur [0, x], x état la somme de départ. a) Détermier la desité ϕ(x,y) du couple (X, Y) b) Détermier la probabilité margiale g(y) = desité de la somme qu il rapporte chez lui. c) Calculer l espérace de gai d oscar pour ue jourée. d) U jour doé, o appred qu Oscar est retré chez lui avec mois de 00. Détermier les probabilités des évéemets suivats : Il est etré das le casio avec mois de 00. Il a eu mois de 00 de pertes. Ses pertes s élèvet à exactemet 75. ) Soit ue variable aléatoire X ormale N(0,). Détermier la loi de Y = e X. Remarque: Cette loi, appelée loi de Galto ou loi log-ormale, a des applicatios das l'étude du morcellemet. La répartitio des tailles des grais d'u même produit, particulièremet préparé par broyage (graviers, poudres de métaux ou de cristaux) suit, sous des coditios très géérales, ue loi de Galto. -VII- Problèmes Problème : Lie etre la loi expoetielle et la loi de Poisso: Le temps de foctioemet X avat pae d'ue machie suit ue loi expoetielle de paramètre λ. O suppose que les paes successives sot idépedates. O ote X, X,K et X les temps de foctioemet avat pae de la machie et Z = X+ X+ K + X le temps de foctioemet avat la ème pae. Z est ue loi (absolumet cotiue) de desité f et de foctio de répartitio F. a) Détermier la desité et la foctio de répartitio de Z. λt λ t e b) Motrer par récurrece que: f() t = t 0, + ( )! z x u c) E déduire F() t = Γ( λt) avec Γ( x) = u e du. ( )! 0 d) O cosidère le ombre de paes Y pedat ue durée T>0. Détermier la loi de Y. e) Applicatio umérique: Ue voiture a ue crevaiso e moyee tous les ilomètres. O prévoit u voyage de ilomètres. Quelle est la probabilité de pouvoir faire le voyage avec la seule roue de secours? Combie doit-o emporter de roues de rechage (e plus de la roue de secours) pour pouvoir termier le voyage avec ue probabilité supérieure à 0,95? page 3

33 UV SQ 0 Chap.4 Covergeces -I- Foctios caractéristiques usuelles: ) La variable aléatoire discrète X pred les valeurs 0, et avec les probabilités 0,5, 0,5 et 0,5. Calculer la foctio caractéristique ϕ X (t), puis les valeurs ϕ X( 0), ϕ' X( 0) et ϕ" X( 0 ). E déduire l espérace et la variace de X. ) O rappelle que la loi de Pascal (loi géométrique) de paramètre p est défiie de la maière suivate: o répète ue expériece meat à u succès (probabilité p) ou à u échec das les mêmes coditios jusqu à obtetio d u succès. O ote X le ombre d expérieces écessaires. a) Détermier la distributio de probabilité de X. b) Détermier sa foctio caractéristique et e déduire l espérace et la variace. 3 ) Soit X ue v.a. de Poisso P (λ) de paramètre λ >0. a) Ecrire la foctio caractéristique de X. b) E déduire la foctio caractéristique ϕ Y (t) de la v.a. Y défiie par: Y = X c) Etudier la limite de ϕ Y (t) quad λ ted vers l'ifii. λ λ. -II- Iégalités ) Au cours d'ue épreuve u évéemet a ue probabilité 0, de se réaliser. a) O effectue épreuves idépedates. Si X est le ombre de fois où l'évéemet se réalise, détermier la loi de X, so espérace et sa variace. b) Motrer que par la loi de X (pour =00) p(5 X 5) est égale à 0,83 à 0,00 près Calculer cette même probabilité:. par l'iégalité de Bieaymé-Tchebitcheff. e approchat la loi de X par ue variable ormale. c) Calculer, pour = 000, p(70 X 30) e utilisat les méthodes et du b). -III- Covergeces e probabilité, e loi: Les exercices de ce paragraphe état plus difficiles, o les réservera aux mathématicies de compétitio. Les esprits plus faibles pourrot les regarder d'u air méprisat et passer au paragraphe suivat. ) Soit la variable aléatoire X à valeurs das {, +,..., } défiie par sa distributio: px et X p X = 0 = b g ( Ω )\ lq 0, b = g=. a) Représeter graphiquemet cette distributio pour = 5 aisi que sa foctio de répartitio. b) Calculer E(X ) et Var(X ). c) Etudier la covergece e probabilité de la suite (X ). d) loi page 33

34 SQ-0 Probabilités - Statistiques ) Soit X ue v. a. expoetielle de paramètre λ>0. a) Détermier la foctio de répartitio G, puis la desité g de Y = X. b) Gééraliser à la variable aléatoire défiie par Y = X. O ote G et g les f.r. et desité de Y. c) Étude des covergeces e loi et e probabilité de Y. Soit ε ]0, [. Calculer ϕ() = py > ε et ϕ page 34 c h lim ( ). E déduire la covergece e probabili- té Calculer lim G ( y) pour y ] 0, + [. E déduire la covergece e loi. (corrigé page 7) Remarque: e cas de covergece vers ue variable certaie, o démotre qu'o a équivalece etre covergece e probabilité et covergece e loi. -IV- Théorème cetral limite: ) Soit (X ) ue suite de variables idépedates suivat ue loi de Poisso de paramètre λ =. a) Vers quoi coverge e loi la suite Y e b) E déduire lim! = = 0. X + + X =? K ) O cosidère 50 v. a. cotiues de même loi, idépedates, d'espérace 45 et d'écart type 5. a) A quelle loi peut-o assimiler la somme S de ces variables? S c) A l'aide de quelle loi peut-o approximer approcher la loi de la variable aléatoire S =. 50 Calculer les probabilités des évéemets: S S 47 et S ) O a mélagé roulemets d'ue marque A avec de la marque B. O prélève au hasard 50 roulemets. a) Quelle est la probabilité pour que la proportio de roulemets A soit comprise etre 30 et 35%? b) Quelle est la probabilité pour que le ombre de roulemets A soit compris etre 45 et 60? 4 ) Au cours d ue expériece, u évéemet a ue probabilité p de se produire. a) O ote X le ombre de fois où cet évéemet se produit sur expérieces idépedates. Détermier la loi de X et ses paramètres. Avec p = 0,5 pour quelles valeurs de N* a-t-o p(x = 0) 0,0? c) Pour = 500, e preat p = 0,6, calculer pb85 < X < 35g. Quel résultat obtiedrait-o avec l iégalité de Bieaymé-Tchebychev? r r 5 ) (*) Ue cible est cetrée sur l origie d u repère do, i, ji orthoormé. Ue fléchette est lacée sur cette cible, et o suppose que les coordoées d impact X et Y suivet des lois ormales cetrées réduites idépedates. Soit la variable aléatoire Z = distace du poit d impact au cetre. a) Motrer que, si H est la foctio de répartitio de Z, o a Hz ( ) = e si z 0. 0 si z < 0 b) E déduire la desité h de Z, puis calculer E(Z) et Var(Z). (Cf. exercice Chap.3 -VI- 5 ) page 9) c) O lace 50 flèches sur la cible (les lacers sot idépedats), et o ote M = distace moyee des impacts au cetre de la cible. Détermier la loi qui approche celle de M. R S T z

35 UV SQ 0 d) Calculer les probabilités des évéemets : (M < 0,7), (0. 8 < M < ). Pour quel itervalle I cetré sur l espérace aura-t-o p(m I ) = 0,9? Pour des complémets sur les jeux de fléchettes, cosulter le média de ovembre 003. De même, si vous avez pas trouvé l espérace et la variace de Z, vous pouvez utiliser les réposes π 4 π EZ ( ) = etvarz ( ) = -V- Covergeces usuelles: ) Ue usie fabrique des pièces e grade série e deux phases idépedates. La première phase est susceptible de doer u défaut A avec ue probabilité 0,0, et la deuxième u défaut B avec ue probabilité 0,08. a) Calculer les probabilités pour qu'ue même pièce tirée au hasard: présete les deux défauts e présete aucu des défauts présete u seul des deux défauts présete au mois u des défauts b) O prélève au hasard 00 pièces das la productio et o ote X le ombre de pièces présetat le défaut A. Calculer: p(x = 0), p(x = ), p(x = 0), p(x 3) Pour quelle valeur de la probabilité p(x = ) est-elle maximale? c) O prélève au hasard 300 pièces et o ote Y le ombre de pièces présetat le défaut B. Calculer: p(y < 4), p(0 < Y < 35), p(y < 30 Y > 4) ) Fabricatio de bouteilles: O fabrique deux types de bouteilles de masses 50 g et g destiées à recevoir des produits toxiques. La pâte de verre e fusio servat à mouler ces bouteilles cotiet des résidus solides appelés pierres dot la présece das ue bouteille la red iutilisable (plus fragile et d'étachéité approximative). O a remarqué que 00 g de pâte e fusio cotieet e moyee 30 pierres. Détermier le pourcetage de rebut de la fabricatio pour chacu des types de bouteille. 3 ) U fabricat de cordes de motage soumet des cordes de ylo de mm à des essais du rupture (ue charge de 80 g est lâchée depuis ue hauteur de 5 mètres). Le test cosiste à répéter cet essai jusqu à rupture de la corde et o suppose (ce qui das la réalité est pas tout à fait exact) que la corde e subit aucue modificatio si elle e rompt pas. La probabilité que la corde casse au cours d u essai est p = 0,09. Soit X la variable aléatoire : ombre d essais avat rupture. a) Détermier la loi de X, doer so espérace et sa variace. b) Après rupture de la corde o cotiue le test avec ue deuxième corde idetique à la première et o défiit aisi ue secode variable aléatoire Y de même loi. Si o pose Z = X + Y (Nombre d essais avat la secode rupture). Détermier la distributio de probabilité de Z, aisi que so espérace et sa variace. c) O cosidère u lot de 50 cordes de mm et o défiit la variable aléatoire N = ombre de cordes ayat rompu au cours du premier essai. Détermier la loi de N et calculer p(n < 5). NB: Des essais pratiqués sur d'aciees cordes de chavre ot motré qu'elles casset toutes au premier essai! 4 ) O cosidère ue variable aléatoire X de desité f( x) = x a) Motrer que N, o a I = Γ( + ) = x e dx =!. z 0 RST x α xe 3 six 0. 0 si x < 0 b) E déduire la valeur de α pour que f soit ue desité de probabilité. c) Calculer l espérace et la variace de X (si toutefois elles existet). page 35

36 SQ-0 Probabilités - Statistiques d) Calculer les probabilités de l évéemet : p(x<). e) O cosidère ue suite de v.a. bx, X, K, X400g idépedates et de même loi que X, et les variables aléatoires S= X et X=. Quelles sot approximativemet les lois de S et de X? 400 S = 400 f) Calculer les probabilités des évéemets 560 < S< 640 et 3, 8 < X< 4,. b g c h 5 ) O s itéresse au retard par rapport à la durée de voyage prévue pour u voyage de 500 m par le 0, 5t t e trai. Ce retard R (exprimé e miutes) suit ue loi de desité ht () = R () t. + 6 a) Motrer que h défiit effectivemet ue desité de probabilité. E calculer l espérace et la variace. b) La directio des Chemis de Fer rembourse le billet si le retard dépasse 5 miutes. Calculer la probabilité d être remboursé. c) Calculer la desité de la variable aléatoire R = durée totale de retard sur u aller retour. d) U voyageur effectue le trajet (aller ou retour) 50 fois das l aée. O ote R 50 la durée totale du retard, et N 50 le ombre de fois pour lesquelles le voyageur a été remboursé. c) Détermier les lois approximatives de R 50 et de N 50. Calculer p R > 950 et p N 5 6 ) L éergie d ue particule d u système est ue v. a. X de desité f( x)= b 50 g b 50 g. R S T x e si x> 0. L éergie 0 sio totale est la somme des éergies des particules, supposées idépedates. a) Si il y a 600 particules das le système, détermier la probabilité qu il y ait etre 780 et 840 uités d éergie das le système. b) Quel est le ombre maximum de particules que le système doit coteir pour que l éergie totale soit iférieure à 440 uités avec ue probabilité supérieure à 0,975? c) Ue particule s échappe du système si so éergie dépasse (l 50)/ uités. Si le système cotiet à l origie 00 particules, quelle est la probabilité qu au mois 8 particules s échappet? -VI- Pour les liguistes ) A certai tow has a Saturday ight picture audiece of 600 who must choose betwee two comparable ciemas. Assume that the pictures-goig public is composed of 300 couples, each of which idepedetly flips a fair coi to decide which ciema to patroize. a) Usig a cetral limit theorem approximatio, determie how may seats each ciema must have so that the probability of exactly oe ciema ruig out of seats is less tha 0,. b) Repeat, assumig that each of the 600 customers mae a idepedet decisio, istead of actig i pairs. ) Cosider the umber of 3s which result from 600 tosses of a fair six-sided die. a) Determie the probability that there are exactly 00 3s, usig a form of Stirlig's approximatio for! which is very accurate for these values,! e π. b) Use the Poisso approximatio to the biomial Probability Mass Fuctio (PMF) to obtai the probability that there are exactly 00 3s. c) Repeat part (b), usig the cetral limit theorem itelligetly. d) Use the Chebyshev iequality to fid a lower boud o the probability that the umber of 3s is: page 36

37 UV SQ 0 betwee 97 ad 03 iclusive, betwee 90 ad 0 iclusive, ad betwee 60 ad 40 iclusive. e) Repeat part (d), usig the cetral limit theorem ad employig the DeMoivre-Laplace result whe it appears relevat. Compare your aswers with those obtaied above, ad commet. page 37

38 SQ-0 Probabilités - Statistiques Chap.5 Echatilloage -I- Statistiques sur u échatillo: ) Positio du problème Jusqu à préset, ous avos cosidéré que les lois de probabilité utilisées étaiet coues, aisi que leurs paramètres. Das la réalité, u phéomèe aléatoire état étudié, o a gééralemet ue idée assez précise de la loi de probabilité sous-jacete, mais o e coaît pas les paramètres. Par exemple, das u sodage précédet des électios, l opiio d u électeur (qu o réduit à l alterative Oui / No) est régie par ue variable de Beroulli B(, p), où p est la probabilité de répodre Oui à la questio. Le problème est la détermiatio du paramètre icou p. S il était cou, il e serait pas écessaire de faire u sodage. Pour la détermiatio d u paramètre icou, o peut procéder par étude exhaustive, c est-à-dire mesurer toute la populatio, ou par sodage e e choisissat qu ue partie, u échatillo. L étude exhaustive a l avatage de fourir ue doée exacte das le cas d ue populatio fiie, mais l icovéiet d être trop logue, de coûter trop cher ou de détruire la populatio. Preos l exemple de l étude de la résistace à la surtesio d ue ampoule électrique. O soumet l ampoule à des tesios de plus e plus fortes jusqu à ce que le filamet fode, et rede aisi l ampoule défiitivemet iutilisable. Ue telle méthode sur la totalité de la productio aurait pour effet de la détruire complètemet, ce qui du poit de vue écoomique serait tout à fait désastreux. O peut trouver ombre d exemples de ce type, qu o appelle tests destructifs. Das le cas d u sodage, il faut, avat l étude, détermier la taille de l échatillo permettat d avoir la précisio souhaitée. Le bo ses laisse à peser que plus la taille est grade et meilleure sera la précisio de la mesure, ce qui est e gééral le cas. ) Échatillos Soit ue variable aléatoire X défiie sur u espace probabilisé (Ω, A, p). Pour u etier o ul, o appelle échatillo de taille, ou -échatillo, le -uplet E = (X, X,., X ), où les X sot des variables (idépedates ou o) de même loi que X. Ue mesure état faite sur ue populatio, o obtiet ue observatio e = (x,., x ), qui est u élémet de R. Il coviet de e pas cofodre l échatillo, variable aléatoire sur Ω, et so observatio, vecteur de R. Par exemple, lors d u sodage d opiio sur 000 persoes, les réposes possibles sot 0 ou (d accord, pas d accord) et la variable X est ue variable de Beroulli B(, p), où p est la proportio de persoes état d accord. O a alors l échatillo (X,, X 000 ) où tous les X sot B(,p) et l observatio (x,, x 000 ) où les x sot des 0 ou des. Das ce cas, la populatio globale état assez grade (celle d u pays gééralemet) les variables X sot idépedates. U deuxième exemple : o veut tester la coformité d ue petite productio par rapport au cahier des charges. Si o s itéresse à ue mesure, supposée ormale N(M, σ²), o étudie u échatillo E, de variables ormales. Si la taille de l échatillo est pas petite par rapport à la taille de la populatio, les variables e serot pas idépedates. Das la pratique, la variace σ² est coue, et o e teste que l espérace M. 3 ) Statistique Ue fois choisi l échatillo, il faut le traiter, par exemple pour détermier ue estimatio d u paramètre ou pour effectuer des tests. Soit u échatillo E = (X, X,., X ) défii sur (Ω, A, p), o défiit ue statistique sur E comme état ue foctio ϕ : (X, X,., X ) Y=ϕ(X, X,., X ). O défiit de même page 38

39 UV SQ 0 l observatio de la statistique y = ϕ(x, x,., x ). -II- Estimatio poctuelle: ) Défiitio Soit ue variable aléatoire X défiie sur u espace probabilisé (Ω, A, p), de paramètre θ, icou. O cherche à détermier ue valeur approchée de θ à l aide d u échatillo E et d ue statistique T sur cet échatillo. Après le prélèvemet de l échatillo, o aura doc ue observatio e. O a doc trois élémets : θ valeur réelle du paramètre, qui restera icoue T (X, K, X ) estimateur du paramètre θ θ$ = T(x, K, x ) estimatio poctuelle de θ Le problème est de costruire u estimateur qui doe ue boe (otio restat à défiir) valeur de θ et, si possible, la meilleure possible. Il faut doc défiir certaies propriétés d u estimateur. ) Exemples d estimateurs Les paramètres icous les plus courats sot l espérace et la variace, si ces paramètres existet. O trouve aussi leurs dérivés, paramètres d ue loi de Poisso, d ue loi géométrique et d ue loi expoetielle, qui s exprimet simplemet à partir de l espérace. Il est doc utile de trouver des estimateurs pour ces paramètres, et, si possible, des estimateurs simples à calculer. Pour l espérace, o utilise la plupart du temps la moyee T(X, K, X ) = X = X, alors que pour la variace o peut utiliser la variace empirique T(X, K, X) = X Xh. Il reste bie sûr = à vérifier que ce sot des bos estimateurs. c = -III- Propriétés des estimateurs ) Biais O dira que T est u estimateur sas biais de θ si E(T) existe et E(T) = θ. E d autres termes, l estimateur doe le bo résultat. Das la littérature statistique, friade d abréviatios, o trouvera souvet e.s.b. pour estimateur sas biais. Par exemple, o veut mesurer la logeur L d ue barre d acier, exprimée e cetimètres. E effectuat plusieurs mesures, o obtiedra des logeurs proches de la logeur réelle et la moyee T(x,..., x ) de toutes ces mesures doera ue estimatio coveable de L. C est du mois ce que dicte le bo ses. Si toutes les mesures sot doées e cetimètres, o pourra peser que l estimateur T est sas biais. Par cotre, si o se trompe d outil et qu o effectue les mesures avec u istrumet gradué e pouces, o aura aussi ue estimatio, mais elle sera fausse, et o aura u estimateur biaisé. Cet exemple est certes caricatural, mais il doe ue idée de la otio de biais. Sio T est u estimateur biaisé, et T θ est le biais de l estimateur T. Il est possible que le biais dépede de la taille de l échatillo, et souvet qu il dimiue quad la taille de l échatillo augmete, o aura alors u estimateur asymptotiquemet sas biais si o a lim bet) ( θg = 0. U exemple sera traité u peu plus loi. ) Covergece page 39

40 SQ-0 Probabilités - Statistiques Le problème a été évoqué e début de chapitre, est-o e droit de peser que la précisio de l estimatio croît avec la taille de l échatillo. Das la réalité ce est pas toujours le cas. proba O dira que l estimateur T est coverget si T θ quad ted vers l ifii, c est à dire que ε > 0 lim pt θ > ε = 0 c h. E utilisat l iégalité de Bieaymé-Tchebychev, o motre facilemet que si la variace de T ted vers 0 quad ted vers l ifii, alors l estimateur T est coverget. Cela e sigifie pas qu il soit sas biais, mais qu il est asymptotiquemet sas biais. Das le cas d u estimateur coverget, la précisio augmete avec, et, das la pratique, o choisira pour avoir la précisio souhaitée par la situatio. O augmete doc pas la taille de l échatillo sas avoir des cotreparties. A la lumière de ces paragraphes, o doit doc choisir des estimateurs sas biais et covergets, et si o a le choix etre plusieurs, o utilise celui qui a la variace la plus petite. = 3 ) Estimateurs usuels a) Espérace Le lagage courat e statistique mélage les otios de moyee et d espérace, ce qui est fâcheux du poit de vue de la rigueur mathématique, mais qui e pose pas de problème isurmotable das la pratique. Cet amalgame viet de l estimateur de l espérace qui est presque toujours utilisé, c est à dire la moyee arithmétique. Soit ue variable aléatoire X d espérace M et la statistique moyee arithmétique TX b, K, Xg= X= X. T est u estimateur sas biais de M et, si Var(X) existe et les X idépe- dates, c est u estimateur coverget. E effet : ET) ( = EX ( ) = M = M (liéarité de l'espérace), de plus, si Var(X) = σ et les X idépedates = = σ Var( T) = Var( X ) = σ = avec lim Var( T) = 0 = = b) Variace Soit ue variable X d espérace M et de variace σ² et u échatillo E de variables idépedates X de même loi que X. Si M est coue, o a u estimateur de σ² : Σ = bx Mg qui est u estimateur sas biais. E = ce qui cocere sa covergece, ous laisseros so étude de côté, il faudrait faire des hypothèses sur les momets d ordre 3 et 4, et ceci dépasserait le programme de cette U.V. Dem. E( Σ ) E ( X M) = c h= cex ( ) MEX ( ) + Mh= cex ( ) Mh= σ = = = Das le cas où M est icoue, o l estime par X, qui est plus ue costate comme das le cas précédet. Si o cosidère l estimateur précédet modifié, il est plus sas biais, et il faut doc le rectifier. O a alors : F E( Σ' ) = E X X HG c h I = KJ = σ Ce qui motre que cet estimateur est biaisé. O peut e costruire u autre, cette fois ci sas biais, e page 40

41 UV SQ 0 cosidérat S = Σ' = X X c h. = O utilisera doc Σ² quad l espérace est coue, et S² quad l espérace est icoue, estimée par la moyee. 4 ) Étude d u exemple Soit ue variable X uiforme cotiue sur l itervalle [0, b] où b est u paramètre positif icou et u échatillo E de variables X idépedates de même loi que X. b b O sait que EX ( ) = et que Var ( X ) = O peut cosidérer la situatio suivate : le réservoir d ue voiture utilisée par plusieurs persoes d ue etreprise, a ue coteace icoue de b (litres). Pour détermier ue estimatio de b, o fait le plei à chaque fois qu o emprute la voiture, sas coaître le coteu effectif (o vide) du réservoir d essece. O costitue aisi u échatillo idépedat de variables uiformes de même loi que X. O peut aussi traiter l exercice -VI- ) page 45. -IV- Vraisemblace d u échatillo La situatio de l estimatio est, relativemet, cofortable quad o coaît u estimateur pour u paramètre d ue loi. Das le cas cotraire il serait itéressat de coaître ue méthode permettat de détermier u estimateur, sas toutefois avoir la garatie que ce soit le meilleur possible. ) Vraisemblace d u échatillo Avec les mêmes otatios que précédemmet, o cosidère u paramètre icou θ, u échatillo E et so observatio e. a) Cas d ue variable discrète La probabilité d avoir effectivemet l observatio e déped gééralemet de θ, et o peut supposer que, θ état doé, cette probabilité sera très faible pour des observatios aberrates, et au cotraire plus élevés pour des observatios coformes à la réalité. Par exemple, o cosidère ue pièce équilibrée (mais o e le sait pas) et o la lace fois e comptat la moyee des «Pile (=)». U échatillo doat e moyee 5% de Pile est pas improbable, même si sa probabilité est très faible. Toujours est-il que l observateur, ayat aucue iformatio sur la pièce, coclura, à tort, qu elle est pas équilibrée. U deuxième échatillo doat e moyee eviro u Pile sur deux lacers aura ue probabilité plus élevée. Ceci ous amèe à la otio de vraisemblace d u échatillo. O défiit, pour u paramètre θ et u échatillo e, la foctio de vraisemblace de e par : + LR : 0, ( x, x, K, x, ) a L(x, x, K, x, ) = p ( X, K, X ) = ( x, K, x ) θ θ b g Cette vraisemblace est doc la probabilité de l échatillo observé. Elle déped de θ, et la valeur la plus vraisemblable du paramètre serait celle qui maximise cette probabilité, e admettat que la foctio de θ ait u maximum. O va doc chercher la valeur de ce maximum pour e déduire u estimateur. La foctio L état borée, elle a ue bore supérieure das tous les cas et u maximum absolu si L est cotiue par rapport à θ. Pour détermier θ, ue hypothèse supplémetaire sera écessaire, à savoir que L a des dérivées partielles d ordre par rapport à θ. O peut aussi étudier à part le cas où L est ulle pour ue valeur de θ. E ce poit la probabilité e sera pas maximale, et doc la valeur correspodate de θ e sera pas l estimatio cherchée. La foctio logarithme état croissate, les maxima de L et l (L) serot obteus pour la même va- page 4

42 SQ-0 Probabilités - Statistiques leur de θ, et il est gééralemet plus simple d utiliser la foctio l(l) plutôt que L, surtout das le cas où les variables de l échatillo sot idépedates. R L R ll = 0 = 0 Alors θ sera solutio des systèmes S θ S θ ou équatios de vraisemblace L ll 0 0 θ θ T La solutio de ces systèmes, e admettat qu elle soit uique, sera de la forme θ $ = ϕ( x, K, x ), ce qui permet de défiir l estimateur de maximum de vraisemblace T(E ) =ϕbx, K, Xg. Das le cas où o cherche à estimer plusieurs paramètres simultaémet, par exemple espérace et variace, o est ameé à détermier le maximum d ue foctio de plusieurs variables. La méthode a déjà été étudiée das des cours précédets et il est (peut-être) pas écessaire d y reveir. Exemple : Soit X ue variable aléatoire qui suit ue loi de Poisso de paramètre icou λ. O cosidère ue observatio d u échatillo idépedat e = (x,, x ). O a doc : λ x x e λ λ λ L(x, K, x, λ) = p ( X = x) K ( X = x) = = e et doc x! x! b g ll = λ+ x l( λ) x! b = = Les équatios de vraisemblace s écrivet doc : g T = = R S T ll = 0 θ ll 0 θ R S T x + = 0 λ λ = x = x x 0 λ O a doc l estimateur de maximum de vraisemblace de λ T(E ) = X. Il reste à détermier le biais et la covergece de l estimateur trouvé, ce qui das ce cas est facile. b) Cas d ue variable cotiue La situatio est différete, car la probabilité de l observatio est ulle. O remplace doc les probabilités par les desités. Pour le reste la méthode est idetique. Si l échatillo E a ue desité g la foctio de vraisemblace s écrit : L(x,..., x, θ) = g(x,..., x ) ou f(x )... f(x ) si f est la desité de X et les variables X sot idépedates. -V- Exercices ) O cosidère ue v. a. X de desité f( x) = α x x si x 0, + et f( x) = 0 sio. Questio prélimiaire : Représeter graphiquemet la foctio f (e preat α = ) Rappel de MT : itégratio des foctios de la forme f( x) = ax + bx+ c Mettre le polyôme sous forme caoique et poser x = si t, x = cht ou x = sht selo le résultat. a) Détermier α pour que f soit effectivemet ue desité de probabilité. b) Motrer que E(X) = et Var(X) = 0,5. page 4

43 b UV SQ 0 c) Soit X, X, K, X g, état u etier assez grad, ue suite de v.a. idépedates de même loi que X, et o défiit S et X pars X et X S = =. = Détermier les lois de S et de X, leur espérace et leur variace. d) Pour cette questio o pred = 50. Calculer : p( 45 S 60) et p X >, 05 Comparer ce derier résultat à px 000 > 05, c h. c098, 0, h = 095,? e) Pour quelle valeur de N aurait-o p X c h. ) Soit X ue variable ormale d espérace m=,8 et de variace σ² = 0,0. O défiit les variables 40 aléatoires Y= 40X, S= X et X S = avecbx, X, K, X40g état ue suite de variables aléatoires 40 = idépedates de même loi que X. a) Détermier les espéraces et les variaces de Y, S et X. Il est possible de représeter les résultats sous forme de tableau. b) Calculer p(,7 < X <,9), et détermier α > 0 tel que p(,8-α<x<,8+α)=0,95. c) Calculer p(68 < Y < 76), et détermier β> 0 tel que p(7-β<x<7+β) = 0,95. d) Calculer les probabilités p( 68 < S < 76) Détermier γ>0 vérifiat p( 7 γ < S < 7 + γ) = 0, 95 puis δ tel que p(, 8 δ< X< 8, + δ ) = 095,. e) Calculer les rapports β α γ α, et. Existe-t-il des relatios etre α, β, γ et δ? α δ 3 ) Ue machie automatique remplit des paquets. Les masses e grammes sur u échatillo de 0 paquets sot les suivates: Détermier la moyee observée, l'écart type observé et e déduire ue estimatio de la moyee et de l'écart type de la populatio. 4 ) U cotrôle portat sur u emballage automatique de café fourit les masses suivates: masse e g ombre de paquets a) Doer ue estimatio de la masse moyee d u paquet et celle de l écart type. b) E supposat la loi ormale, détermier, à l aide des estimatios, les pourcetages de paquets de masse supérieure à 50 g, de masse comprise etre 49 et 5. 5 ) Soit N ue variable biomiale B(0, p) où p est u paramètre icou qu o cherche à estimer. O prélève u échatillo (N,...,N ) de variables B(0, p) idépedates d observatio (,..., ). a) Détermier la foctio de vraisemblace L(,...,,p) de cet échatillo. b) Écrire les équatios de vraisemblace et e déduire l estimateur de max. de vraisemblace de p. c) O a obteu, pour les, les résultats suivats : Détermier ue estimatio poctuelle de p. 6 ) Das u étag se trouvet u ombre N poissos qu o cherche à estimer. Le mode opératoire est le suivat : o pêche 00 poissos qu o bague et qu o remet das l étag. O effectue ue deuxième pêche de 00 poissos et o compte le ombre X de poissos bagués. a) Soit u etier aturel. Calculer e foctio de N la probabilité p N (X=). page 43

44 SQ-0 Probabilités - Statistiques p b) Das le cas = 0, calculer f( N) = p N N ( X= 0) ( X= 0) c) Etudier et représeter graphiquemet la foctio f défiie sur R par f( x)= d) Pour quelle valeur de N la probabilité p(x=0) est-elle maximale? e) E déduire ue estimatio de N.. b g. x 00 x 90x 7 ) Estimatio du paramètre d ue loi géométrique : o cosidère u dé cubique dot o e sait pas s il est pipé ou équilibré, et o le lace jusqu'à obtetio d u six (succès, dot la probabilité est p). O ote alors X la variable aléatoire = ombre de lacers jusqu au succès. a) Détermier la loi de X, so espérace et sa variace. b) O répète fois l expériece précédete pour obteir u échatillo E = bx, K, Xg où X suit la même loi que X. Ue observatio de cet échatillo est otée e = bx, K, xg. Calculer e foctio de p l expressio L( x, K, x, p) = px ( = x) KpX ( = x). c) E déduire les équatios de vraisemblace de l échatillo e puis l estimateur de maximum de vraisemblace T de p. d) O a obteu, pour = 0 les résultats suivats pour e : Détermier ue estimatio poctuelle de p. Peut-o dire que ce dé est pipé? 8 ) Etude d ue loi expoetielle : Soit ue v. a. expoetielle X de paramètreλ = et u échatillo μ bx, K, X g de variables idépedates de même loi que X. a) Ecrire la desité, l espérace et la variace de X e foctio de μ (et o pas λ!). b) Détermier la foctio L(x,...,x, μ), puis les équatios de vraisemblace. c) E déduire u estimateur de μ. Est-il sas biais, coverget? d) Applicatio umérique : Dix dispositifs idépedats dot la durée de vie (exprimé e mois) est expoetielle ot foctioé pedat les temps suivats : Détermier ue estimatio de μ, puis ue estimatio du paramètre λ. 9 ) O s'itéresse à la proportio p de persoes possédat u lecteur DVD. O tire au sort u échatillo ( X, X, K, X ) de taille das ue populatio R très grade. À chaque persoe iterrogée o associe la variable aléatoire X défiie par: X = S T si possède u lecteur DVD. 0 sio a) Détermier u estimateur T(X, X, K, X ) de p. Etudier ses propriétés (biais, covergece). b) O pred maiteat deux échatillos ( X, X, K, X ) et ( X', X', K, X' ) (idépedats) de tailles et ( < ) et o ote f et f les proportios de possesseurs de lecteurs DVD pour les deux échatillos. Soit F = α F+ β F α > 0 et β > 0 u estimateur de p. Détermier α et β pour que F soit u estimateur sas biais de p. E détermier la variace. c) Détermier les coefficiets α et β pour que F soit u estimateur sas biais et de variace miimale. d) Applicatio umérique: = 500, = 000 f = 0, 3 et f = 0, 3. (corrigé page 7) 0 ) Ue variable a ue espérace μ et ue variace σ². Les variables X,..., X 5 état idépedates et de même loi que X, o cosidère les estimateurs de μ suivats: page 44

45 b g b g b g T = X + K+ X, T = X + X + X, T = X + X, T = X + K+ X + X et T = X a) Quels sot les estimateurs sas biais de μ? b) Quel estimateur est le plus itéressat? UV SQ 0 ( x m) ) Soit ue variable aléatoire X de desité fm( x) = e (loi ormale réduite décalée), où le π paramètre m est icou. a) O cosidère u échatillo de variables aléatoires idépedates de même loi que X, d observatio bx, x, K, x g. Détermier la foctio de vraisemblace de cet échatillo. b) Détermier l estimateur de maximum de vraisemblace de m. (Corrigé page 7 ) -VI- Problèmes: ) U évéemet peut se produire à tout istat X das u itervalle I = [ 0, b], b icou. a) Détermier la desité, l espérace et la variace de X (uiforme) e foctio de b. b) Pour estimer la valeur de b icoue, o cosidère u -échatillo bx, X, K, X g et la variable aléatoire X = X. Calculer E( X) et costruire u estimateur sas biais Y de b. E détermier i= i l espérace et la variace. a) U secod estimateur de b est défii par Z = sup bx, X, K, X g. Calculer, pour z [0, b], p(z < z), et e déduire la foctio de répartitio et la desité de Z. E détermier l espérace E(Z) et costruire à partir de Z u estimateur das biais Z de b. d) Comparer les variaces des estimateurs Y et Z, lequel est le meilleur? e) Applicatio : La procédure de départ d u Grad Prix de Formule est la suivate : Ciq feux rouges sot allumés successivemet, l extictio simultaée de ces ciq feux doe le sigal du départ. Le temps qui s écoule etre l allumage complet et l extictio est ue variable uiforme sur [0, b]. (Ce temps est choisi par le directeur de course das les limites du règlemet) Au cours des 6 G.P. d ue saiso les itervalles de temps, e secodes ot été : 0,3 0,9,,6,7 0,6,6 0,,, 0,8 0,6, 0,5,,7 Détermier ue estimatio de b. R S T b K g d'observatio b K g x θ ) Soit la variable aléatoire X dot la desité est doée par: f( x) = xe si x > 0 θ, où θ est u 0 sio paramètre icou dot o cherche ue estimatio poctuelle. O sait toutefois que θ est positif. Soit u échatillo ( E) = X, X,, X ( e) = x, x,, x de variables idépedates de même loi que X. a) Écrire la foctio de vraisemblace L(x,, x, θ) de l échatillo (e ). Ecrire les équatios de vraisemblace de l'échatillo et e déduire l'estimateur de maximum de vraisemblace T. b) Calculer E(X) e foctio de θ. E déduire que l estimateur calculé au a) est sas biais. c) L'observatio, pour = 0 a doé les valeurs:,7 6,5 0,5 8,8,3 3,6 4,5 3 5,3. Détermier ue estimatio poctuelle du paramètre θ. x d) O pourra utiliser libremet le résultat N, Γ( + ) = x e dx=! z 0 page 45

46 SQ-0 Probabilités - Statistiques Chap.6 Itervalles de cofiace -I- Itroductio Das le chapitre précédet, ous avos défii les estimateurs et l estimatio poctuelle d u paramètre. Le problème est que, u paramètre état estimé, o e dispose d aucue précisio quat à la mesure de ce paramètre. Il serait plus itéressat d avoir u résultat de la forme : «le paramètre θ se trouve avec la probabilité α das l itervalle I α = ]a, b[». Das ce cas o se doe a priori u risque α (de se tromper), la valeur de α dépedat de la précisio souhaitée. Sas aticiper sur les résultats qui vot suivre, o peut peser que plus le risque est faible et plus la logueur de l itervalle I α est grade. Das les cas extrêmes, si α =, I α est réduit à u poit et si α =0, I α = R. page 46 -II- Variable de cofiace ) Positio du problème Soit : X ue variable aléatoire de paramètre θ icou qu o cherche à estimer U échatillo E =(X,, X ) de variables (souvet idépedates), de même loi que X T(X,, X ) u estimateur sas biais de θ (rappel E(T) = θ). Ue observatio e =(x,, x ) fourissat ue estimatio t de θ Problème : à partir de t, détermier u itervalle d estimatio du paramètre au iveau α, c est-à-dire u itervalle de cofiace Iα, T = T ε, T+ ε tel que pbt ε < θ< T+ εg = α avec ε et ε réels positifs pouvat être égaux si la loi de T est cetrée sur θ. O obtiet esuite ue observatio de l itervalle de cofiace I α =]t ε, t+ ε [. O a doc u iveau de cofiace α, de valeur par défaut das la pratique 0,95 et u risque α (valeur usuelle 0,05). Pour des mesures plus sesibles ou dot les ejeux (humais ou fiaciers) sot très importats, il est d usage de cosidérer α = 0,0. Si das la réalité o e pred e compte que le derier résultat I α =]t ε, t+ ε [, il faut garder à l esprit que les valeurs t, ε, ε et θ ot rie d aléatoire, et que, par cotre, I α,t est u itervalle dot les bores sot des variables aléatoires T ε et T+ ε. Plusieurs observatios doerot des estimatios poctuelles, et doc des observatios d itervalles de cofiace différets, mais les mêmes itervalles de cofiace. D ailleurs, das la pratique du calcul, o détermie l itervalle I α,t, puis o effectue l observatio. ) Mise e place du calcul : Avec les mêmes hypothèses de départ, o détermie la loi de T, d espérace θ, et dot o suppose que l espérace existe, puis o cherche, directemet ou à l aide de tables de valeurs umériques, les valeurs ε et ε. E fait, il existe ue ifiité de tels itervalles ]T ε, T+ ε [, mais o choisit celui qui α vérifie pt ( ε < θ) = pt ( ε > θ) = avat de calculer I α =]t ε, t+ ε [. Si la loi de T est pas simple, e particulier das le cas où o e peut pas l approcher par ue loi ormale, o costruit ue autre variable de cofiace Y, déduite de T par des trasformatios, souvet affies, et dot o coaît la loi. Des exemples serot doés pour les études les plus fréquetes, espé-

47 UV SQ 0 race, variaces, paramètres d ue loi de Poisso ou expoetielle. Remarque : I α cotiet écessairemet l estimatio poctuelle t, mais pas toujours la valeur réelle du paramètre θ. 3 ) Iterprétatio : Das la pratique, o peut iterpréter pbt ε < θ < T + ε = α g par : E moyee, sur u grad ombre d échatillos (de même taille ) prélevés, la valeur réelle θ sera das I α das 00( α)% des cas et, à cause des fluctuatios aléatoires, sera e dehors das les cas restats. Pour s e covaicre, o peut faire ue simulatio sur ordiateur, avec ue loi simple et à l aide de la foctio radom implatée das tous les tableurs. O peut aussi iterpréter graphiquemet les itervalles de cofiace. Preos deux cas courats, celui où la loi de T est symétrique par rapport à θ, et le cas dissymétrique. Réalité : observatio 4 ) Propriétés La logueur de l itervalle de cofiace déped directemet de certais paramètres de la loi, aisi que des choix qui sot faits pour la taille de l échatillo. E fait, les cosidératios pratiques (précisio souhaitée, qualité des istrumets de mesure, ejeux évoqués plus haut, ) imposet ue taille pour l itervalle de cofiace, ceci ayat pour coséquece d obliger l expérimetateur ou la maître d ouvrage de jouer sur les autres paramètres. Ayat choisi u estimateur sas biais, l itervalle est costruit à partir de θ, mais cela e veut pas dire pour autat que sa logueur e déped. Toutefois, et quad c est possible, o choisit u estimateur coverget, de telle sorte que la taille de l échatillo iflue sur la précisio de la mesure, autremet dit sur la logueur de l itervalle. Das ce cas, cette logueur dimiue quad la taille augmete. Les autres paramètres état costats, c est la logueur souhaitée pour l itervalle qui ifluera sur la taille de l échatillo et o pas l iverse. E ce qui cocere α, tout déped du risque qu o est prêt à predre. Pour des mesures sur des vaccis, ou pour l implatatio d ue chaîe de productio coûteuse, le risque doit être faible, alors que pour le simple réglage d ue machie, o peut se laisser ue marge d erreur importate. Das ce cas, le risque et la taille de l itervalle évoluet e ses cotraire. Predre u échatillo trop grad augmete, sas utilité réelle, le coût de l étude, et, au cotraire, e predre u trop petit e doera pas la précisio escomptée. La variace de T est aussi à predre e compte. La précisio croît quad la variace dimiue, la logueur de l itervalle et la variace variat das le même ses. Ayat le choix etre plusieurs estimateurs, o aura itérêt à choisir celui dot la variace est la plus faible, pour miimiser la taille de l échatillo. -III- Itervalle d ue variace La plupart des variables utilisées e statistique sot des variables ormales, et quad elles e le sot pas, la taille et l idépedace des variables des l échatillos permettet souvet d utiliser le théo- page 47

48 SQ-0 Probabilités - Statistiques rème cetral limite. O étudiera doc pour la variace les cas où X est ormale N(M, σ²), M état coue (cas assez rares) ou icoue. Il est gééralemet pas très judicieux d utiliser des petits échatillos, sauf si les tests sot destructifs et très coûteux e temps ou e arget. ) Cas X ormale où M est coue : O suppose e outre que l échatillo est formé de variables idépedates. D après le chapitre précédet l estimateur sas biais de σ² est Σ = bx Mg dot la loi e fait = pas partie des lois usuelles, mais par cotre (trasformatio affie) Y Σ F X M I = = HG K J est la σ = σ somme des carrés de variables ormales cetrées réduites idépedates, et doc Y suit ue loi χ² à degrés de liberté. Sa desité et sa foctio de répartitio e sot pas particulièremet simples, mais l importace de cette loi das la pratique fait qu elle est tabulée, gééralemet pour des valeurs de allat jusqu à 00. Das le cas où l échatillo est de taille supérieure à 00, sachat que E(Y) = et Var(Y) =, le théorème cetral limite motre que Y suit approximativemet ue loi N(0; ) α Il est doc facile de trouver y et y tels que py ( < y) = py ( > y) = et d e déduire ε et ε. Il est rare das la pratique qu o puisse déplorer d avoir ue variace trop petite, puisque ce serait le sige d ue très grade régularité de productio. Alors o cherche surtout à avoir ue majoratio de la variace. O cherche alors u itervalle uilatéral de la forme [0, ε[ avec p(σ² > ε)=α. ) Cas X ormale où M est icoue : La différece avec le cas précédet est que l estimateur sas biais est S = X X c h mais = alors les variables à l itérieur des parethèses e sot plus idépedates puisque leur somme est ( ) S ulle. O motre que la variable de cofiace deviet Y = et suit ue loi χ -. Le reste de σ l étude de l itervalle de cofiace est idetique. 3 ) Exemple de calculs Ue etreprise utilise ue matière isolate das l assemblage de moteurs électriques. Il est importat que l épaisseur correspode aux ormes de motage, mais aussi que les variatios e soiet pas trop importates. U échatillo aléatoire, dot l épaisseur est ormale N(M, Var(X)=σ²), de 0 élémets a été prélevé das ue grade productio et les résultats e mm, ot été les suivats : 5,5 5,8 6, 6,5 5,8 5,8 5,5 6, 5,7 5,4 5,5 5,9 6, 6, 5,8 6, 5,9 6, 6, 6 a) Détermier des estimatios poctuelles de M et de σ². b) Calculer u itervalle de cofiace de σ² au iveau 0,95. Peut-o cosidérer que l écart type de la productio e dépasse pas 0,5 mm? a) D après la calculatrice : estimatio de la moyee = 5,9, estimatio de la variace : s² = 0,08 ( ) S 9S b) La moyee état estimée, o a la variable de cofiace de σ² : Y = = χ 9 σ σ F 9 S 9 S I D après la table du χ², o a : 095, = pb8907, < Y< 385, g = p < σ < 3, 85 8, 907 O S S O a doc l itervalle de cofiace de σ² à 0,95 : I = Q P 9 9 L, N M d'observatio I = 00475, ; 075, 3, 85 8, 907 O peut doc cosidérer que la variace e dépasse pas 0,5 et doc que σ e dépasse pas 0,5. HG KJ page 48

49 UV SQ 0 -IV- Itervalle d ue moyee Pour l estimatio de l espérace d ue variable aléatoire, o dispose de l estimateur X = X, dot o sait qu il est sas biais et, quad les variables de l échatillo sot idépedates, coverget. O se replace das les coditios du début de chapitre : o a ue variable aléatoire X qu o suppose gééralemet ormale N(M, σ²), d espérace M qu o cherche à estimer par u itervalle de cofiace au iveau α à l aide d u échatillo de taille N. O costruit la variable de cofiace à partir de X e la cetrat et e la réduisat. Le problème est d abord de savoir si o coaît σ² ou si ce paramètre doit être estimé (par S²). ) Cas où X est ormale de variace coue : Si o suppose que les variables X de l échatillo sot idépedates, o a alors le tableau ci-cotre : O utilise alors la variable de cofiace Y X = M σ dot o sait qu elle est ormale cetrée réduite. Variables Loi Espérace Variace X ormale M σ² X - id - M σ² X - id - M σ Y - id - 0 -V- Itervalle d ue proportio -VI- Exercices ) Ue machie fabrique des pièces e grade série. Des études atérieures ot permis de motrer que la masse, e g, de ces pièces est ue v.a. ormale N (m = 00; σ ² = 40). a) O prélève u échatillo de = 00 pièces. Quelle est la loi suivie par la moyee X = X des masses des échatillos? = Détermier u itervalle de cetre m das lequel se trouvet 95% des moyees d'échatillos. b) Quelle devrait être la valeur miimale de pour que la moyee d'échatillo se trouve das l'itervalle [ 96, + 04] avec la probabilité 0,95? ) O rappelle que si ue v. a. U est ormale cetrée réduite, alors U² suit ue loi χ. Soit la variable aléatoire X qui suit ue loi χ, d espérace et de variace, aisi que variables aléatoires X i idépedates de même loi que X et leur somme S. a) Quelle est la loi de S, e détermier l espérace et la variace. b) A quelle loi peut-o assimiler S das le cas où = 000? Calculer alors les valeurs t et t telles que p(s < t ) = 0,975 et p(s < t ) = 0,05. c) U tirage de 00 pièces das ue productio e grade série a doé ue variace observée de 0,7. Détermier ue estimatio poctuelle de la variace σ² de la populatio totale. d) Détermier u itervalle de cofiace à 0,95 de σ². page 49

50 SQ-0 Probabilités - Statistiques 3 ) Ue usie produit des petites pièces dot le diamètre est ormal. O mesure le diamètre x de 00 pièces prises au hasard das la productio et o obtiet les résultats suivats: x (e mm) 6 6, 6, 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 7 b de pièces a) Calculer la moyee et l écart type de cet échatillo. b) Estimer par u itervalle de cofiace à 95% le diamètre moye de la productio. 4 ) Le temps de façoage d u livre das ue etreprise spécialisée das les ouvrages d art e petite série est ue variable ormale d espérace et de variace icoues. Ue observatio sur 00 livres a doé u temps moye de 5 heures avec ue estimatio de la variace s² = 0,5. La productio état de 300 uités, détermier u itervalle de cofiace de M au iveau 0,95. 5 ) U costructeur automobile désire coaître les goûts de ses cliets potetiels e matière de taille de véhicule. O ote p la proportio de cliets préférat les petites voitures. Sur u échatillo de persoes ( assez grad), o ote X le ombre de persoes préférat les petites voitures. a) Détermier les lois de X et de X = X. Quelle est la taille miimale de l échatillo permettat d avoir sur p ue précisio de ± 0,0 au iveau 0,95? (O pourra majorer p(-p) par 0,5). = b) U échatillo de 500 persoes état prélevé das ue populatio très grade, 9 ot préféré les petites voitures. Détermier u itervalle de cofiace de p à 0,95. page 50 6 ) Les deux ciémas d'ue ville, le Lio et le Ballo ot ue clietèle globale de 600 persoes pour les séaces du samedi soir. Ces 600 persoes ot le choix etre les deux salles (le film importe peu). a) O suppose que les persoes sortet e couples et décidet de la salle e laçat ue pièce (o e sait pas si les pièces sot équilibrées). Si p est la probabilité de Pile (ciéma le Lio) o ote X le ombre de persoes qui se redet au ciéma Le Lio le décembre 00. Etudier la loi de X. b) Les 300 lacers ot doé 37 Pile et 63 Face. Détermier u itervalle de cofiace de la probabilité de Pile au iveau de cofiace 0,95. E déduire qu'o peut cosidérer que les pièces sot équilibrées c) Combie doit-il y avoir de places pour que la probabilité de refuser du mode das ue des deux salles soit iférieure à 0,05? d) Repredre la même questio (c) e supposat que les deux persoes de chaque couple lacet ue pièce, et, de ce fait, e choisisset pas écessairemet la même salle. 7 ) Los cotratos de ua empresa co sus clietes estipula que, e los evíos de piezas o debe haber más de u 8% de piezas defectuosas. U cliete recibe u lote de piezas y costata que, de 500 piezas probadas, 65 so defectuosas. Puede cosiderarse, co riesgo 0,0, que el evío resulta coforme al cotrato? Cuál es el umbral máximo que hace que quede coforme el evío? 8 ) O classe les pièces d ue grade productio e deux catégories A : «grade qualité» et B : «qualité courate», et o cherche à évaluer la proportio p de A das la productio. U échatillo de 400 pièces a doé 85 pièces de catégorie A. a) Détermier u itervalle de cofiace de p au iveau de cofiace 0,95. b) Quel est la valeur du risque α devrait-o predre pour que l itervalle de cofiace ait ue logueur de 0,04? (corrigé page 7) 9 ) Pour la mise e œuvre d u projet de développemet, u pays e voie de développemet doit coaître tout d abord la proportio p des persoes vivat e dessous du reveu miimum vital. Das ue étude pilote de 50 persoes, 30 sot cosidérées comme «pauvres», c'est-à-dire «e dessous du miimum vital». a) Estimer la proportio de pauvres das ce pays.

51 UV SQ 0 b) Calculer u itervalle de cofiace à 90% de la proportio de pauvres das ce pays. c) Calculer u itervalle de cofiace à 95% de la proportio de pauvres et comparer avec le résultat précédet. d) U ouvel échatillo de 00 persoes est prélevé, et o observe ue proportio de 0,6 de persoes e dessous du miimum vital. Calculer u itervalle de cofiace à 95% de la proportio de pauvres et expliquer la différece avec les résultats précédets. Calculer la taille d échatillo écessaire pour avoir ue précisio de ± 5% sur la proportio p avec u iveau de cofiace de 90%. -VII- Exercices d etraîemet ) La mesure de la puissace de 5 machies à laver, issues d'ue même chaîe de fabricatio a doé les résultats suivats (e watts): a) Détermier ue estimatio de la moyee et de l'écart type de la populatio complète. b) Calculer u itervalle de cofiace au risque 5% de la moyee de la productio. Rep: m=358, s=8,64 Loi de Studet M ]3 546,+3 68[ ) Ue étude sur les salaires mesuels de 50 ouvriers d'ue usie a doé ue moyee de avec u écart type de 500 (e FF). a) Quel risque pred-o e estimat la moyee des salaires des 300 ouvriers de l'usie à ± 00? b) Quel serait le risque das le cas d'ue très grade usie? Rep: a),4% b) 6,% 3 ) Ue collectivité a subi ue itoxicatio alimetaire, et o suppose que la maladie s'est déclarée de maière aléatoire. U exame, sur 00 persoes ayat magé ce jour là a révélé que 0 d'etre eux ot été affectés de troubles. a) Détermier ue estimatio de la probabilité d'être malade au seuil de 3%. b) Quel peut être le ombre de persoes malades parmi les 000 persoes ourries ce jour là (au risque de 3%)? Rep: a) p ]0,5 ; 0,85[ b) etre 30 et 569 persoes 4 ) Sur 0 pièces o a observé 0 pièces défectueuses. Détermier u itervalle de cofiace au seuil de 5% de la proportio de déchets. Rep: 0, < p < 0,3 page 5

52 SQ-0 Probabilités - Statistiques Chap.7 Tests d'hypothèses -I- Défiitios -II- Différets types de tests: -III- Comparaiso d'ue moyee à ue orme: -IV- Etude des proportios: -V- -VI- page 5 -VII- Exercices ) Soit ue épreuve de Beroulli B (,p). O effectue deux tirages et o teste: H0: p= cotre H: p= 3. O accepte H si et seulemet si o a deux succès. Calculer les valeurs des risques α et β. ) Soit X ue v.a. ormale d'écart type 4 et de moyee M icoue. A l'aide d'u -échatillo o veut tester H o : M = 30 cotre H : M = 3 au seuil 0,05. a) Pour quelles valeurs de le domaie d'acceptatio de H o cotiet 3? b) Etudier, pour > o la relatio etre et le risque de secode espèce β. Faire ue étude aalytique ou ue étude graphique. 3 ) Soit X ue variable N(M, σ² = ). O veut tester H o : E(X) = 0 cotre H : E(X) = au seuil 0,05. a) Défiir u test. b) A partir de quelle valeur de le test obteu aura-t-il ue puissace β 0,9? 4 ) Soit la variable X, qui suit ue loi de Poisso de paramètre λ = 0,4, u échatillo bx, K, X g de

53 UV SQ 0 variables idépedates de même loi que X et les variables S = X et X = X. = = a) Ecrire l espérace et la variace de X. Das le cas gééral etier quelcoque (o ul) détermier la loi de S aisi que ses paramètres. b) Soit = 5. Détermier deux etiers et tels que p( S ) 0,95. Das la cas où l observatio a doé ue moyee de 0,5, peut-o cosidérer que λ est effectivemet égal à 0,4? a) Soit = 500. Par quelle loi peut-o approcher celle de X 500. S i o suppose que λ = 0,4, détermier u itervalle x, x tel que pcx < X500 < xh = 095,. Ue observatio d u échatillo de 500 v.a. a doé ue moyee de 0,5. Ce résultat est-il coforme aux hypothèses? 5 ) Ue variable X est supposée ormale, soit N(M = 0, σ² = 6) ou N(M = 0, σ² = 6). O cosidère l hypothèse ulle H 0 : X N(M = 0, σ² = 6) et la variable de test T = somme de trois résultats. a) Quelle est la loi de T et calculer t tel que p(t < t ) = 0,95. E déduire le domaie D 0 de H 0. b) Calculer le risque β = p(accepter H 0 H vraie) 6 ) Ue machie automatique A permet de fabriquer des pièces cylidriques, dot le diamètre X suit ue loi ormale d'espérace M = 5 et d'écart type σ = 0,005. a) Détermier u itervalle ]M t, M + t[ qui cotiet le diamètre x d'ue pièce das 95% des cas. b) O dispose d'u échatillo de 50 pièces dot o igore la proveace. La mesure des diamètres est cosigée das le tableau suivat: diamètre 4,965 4,975 4,985 4,995 5,005 5,05 5,05 5,035 b de cylidres Calculer le diamètre moye et l'écart type de cet échatillo. Détermier u itervalle de cofiace à 95% du diamètre moye. c) Peut-o faire l'hypothèse, au risque de %, que ces pièces provieet de la machie A? 7 ) O cosidère ue variable ormale N(M, σ²=9) et u échatillo idépedat de 30 élémets. O veut tester les hypothèses : H o : M= 0 cotre H : M = M o au iveau 0,95. a) Détermier la zoe d'acceptatio de H o das le cas où M o > 0. b) Pour différetes valeurs de M o (par ex. écheloées de pas 0,5), détermier la puissace du test. c) Tracer les courbes de puissace et d'efficacité sur u même graphique. 8 ) Etude du risque β: soit ue variable aléatoire X ormale N(M, σ² = 5) et u échatillo (X,,X ) de variables idépedates de même loi que X, qui a doé ue moyee observée de. a) Das le cas =30, étudier le test H 0 : M = 0 cotre H : M > 0. E détermier le domaie d'acceptatio, aisi que la décisio. b) Toujours das le cas = 30, étudier le test H 0 : M = 0 cotre H : M =. E détermier la décisio et le risque β. c) Le risque β état jugé trop grad, o iterviet sur la taille de l'échatillo pour le dimiuer, les autres doées état ichagées. Pour quelle valeur de aurait-o β 0,? (Solutio page 73) 9 ) U detifrice doit coteir 5 mg ue substace chimique que ous appelleros aéthol. De ombreux échatillos de 00 doses choisies au hasard motret ue stabilité de fabricatio. O costate que la cocetratio est ormale d'espérace 5 et de variace coue σ² = 0,06 (mg²). O prélève u échatillo de 36 doses et o obtiet les résultats suivats (e mg): 4,96 4,9 4,80 5,05 4,86 5,0 4,8 4,86 4,99 4,96 5,0 4,9 page 53

54 SQ-0 Probabilités - Statistiques 5,0 5,04 4,85 4,97 4,84 4,74 5,03 5,0 4,95 5,6 4,98 4,96 5,05 4,98 5, 5,0 5,6 5,04 4,85 5,5 4,90 5,0 5,00 5,06 Cet échatillo est-il coforme aux ormes de productio? 0 ) Certaies modificatios techiques apportées au carburateur d ue motoeige permettraiet d obteir ue amélioratio de la cosommatio. Celle ci est ue variable X gaussiee d espérace M et de variace σ². Des essais ot doé les résultats suivats e miles/gallo d essece. 0,6 0,5 0,8 0,8 0,7 0,6,0 0,6 0,5 0,4 0,3 0,7 a) Quelle serait l ifluece sur la moyee et la variace de la traslatio X = X - 0? b) Calculer des itervalles de cofiace de M, puis de σ², au iveau 0,99. c) Si avat la modificatio techique la cosommatio était de 0,, peut-o coclure à ue amélioratio très sigificative ( au seuil 0,0). ) Les lectures photométriques suivates représetet l itesité lumieuse du filamet pricipal de deux marques de lampes miiatures utilisées pour des feux cligotats d automobiles : Fabricat A 8,64 9,8 9,0 8,9 9,5 Fabricat B 9,44 9, 8,96 9,8 9,4 9,44 9,75 O sait par expériece que var(a) = 0,6 et var(b) = 0, pour B, et que les itesités sot N. Peut-o coclure au iveau de cofiace 0,95, que les itesités sot les mêmes? ) There are 40 studets i a literature class (" Proust, Joyce, Kafa, ad Sa Atoio"). Our model states that X, the umerical grade for ay idividual studet, is a idepedet Gaussia radom variable with a stadard deviatio σ equal to 0. Assumig that our model is correct, we wish to perform a sigificace test o the hypothesis that E(x) is equal to 60. Determie the highest ad lowest class averages which will result i the acceptace of this hypothesis: At the 0,0 level of sigificace At the 0,5 level of sigificace 3 ) D après ue théorie sur le développemet de l itelligece das u groupe doé de persoes, o s atted à u QI (quotiet itellectuel) moye de 05. O s atted doc à l ivalidité de la théorie QI moye = 00. O obtiet doc le test statistique H 0 : M = 00 cotre H : M = 05. L écart type du QI, supposé ormal est σ = 5, le seuil de risque état fixé à 0,. a) Détermier, pour ue taille d échatillo de = 5 le domaie de refus pour ce test le domaie d acceptatio et le risque de deuxième espèce β. b) Quelles relatios y a-t-il etre les risques de première et deuxième espèce? c) Vous observez u QI moye de 04. Quelle décisio preez-vous? 4 ) Ue société reçoit régulièremet d'u fabricat des livraisos de boîtes de 00 composats. U accord fixe le iveau de qualité à défectueux par boîte. U cotrôle à la livraiso portat sur 000 composats doe 5 défectueux. L'accord est-il respecté au iveau de tolérace de 95%? 5 ) A la suite d'u chagemet d'heure de diffusio d'ue émissio de télévisio, o effectue u sodage auprès de 400 persoes. parmi ces persoes, 5 ot regardé l'émissio. a) Détermier u itervalle de cofiace à 95% de la proportio de persoes possédat u téléviseur qui ot effectivemet regardé l'émissio. b) L'audiece avec l'acie horaire de diffusio était e moyee de 30%. Peut-o dire au seuil de 5% que le chagemet a augmeté l'audiece? page 54

55 UV SQ 0 -VIII- Etude des petits échatillos: ) Neuf malades auxquels fut admiistrée ue potio accusèret des augmetatios de leur tesio artérielle: Motrer que ces doées 'idiquet pas que la potio soit resposable de ces augmetatios. ) Pour juger de l'efficacité d'u ouveau semoir par rapport à l'acie, o a partagé u terrai e bades qui ot été alterativemet attribuées au ouveau et à l'acie semoir. Pour 0 paires de ces bades, les valeurs de l'excès de grai e faveur du ouveau semoir sot:,4,0 0,7 0,0,,6, 0,4 0, 0,7 E supposat que ces augmetatios suivet des lois ormales idépedates, déduire la supériorité du ouveau semoir par rapport à l'acie. 3 ) U dosage de sucre das ue solutio effectué sur 8 prélèvemets, proveat d'ue même fabricatio, a doé les résultats suivats, exprimés e g/l: 9,5 9,7 9,8 0, 0, 0,3 0,4 0,8. a) Détermier ue estimatio de la moyee et de l'écart type de la fabricatio. b) L'échatillo est-il représetatif de la productio au seuil de 5%, si o admet que la cocetratio habituelle e sucre suit ue loi ormale de moyee 9,6 g/l? -IX- Problèmes: Problème Ue machie automatique A permet de fabriquer des pièces cylidriques. O admet que le diamètre de ces pièces suit ue loi ormale d'espérace M = 5 (cm) et d'écart type σ = 0,005. a) Détermier l'itervalle ]M α,m+α[ das lequel le x d'ue pièce se trouve das 95% des cas. b) O dispose d'u échatillo de 50 pièces. La mesure des diamètres est cosigée das le tableau suivat, où les valeurs x i représetet les cetres des classes [4,965;+4,975[;... x i 4,97 4,98 4,99 5 5,0 5,0 5,03 i Calculer ue estimatio de la moyee et de l'écart type de la productio totale. Détermier u itervalle de cofiace à 95% du diamètre moye d'ue pièce de la fabricatio. b) Peut-o faire l'hypothèse que les pièces de cet échatillo provieet de A? -X- Exercices avec solutios: ) U échatillo de 40 moteurs représetat ue fabricatio a doé u temps de foctioemet moye de 60 jours. Peut-o cosidérer cet échatillo comme apparteat à la fabricatio habituelle dot la loi de foctioemet, e jours, est ormale d'espérace 40 et d'écart type 50? Faire l'étude pour des seuils de 5% et %. corrigé page 73 ) Soit X ue variable aléatoire ormale de moyee m et de variace 5. Sur la base d'u échatillo de taille 9, o veut tester l'hypothèse H o : m = 0 cotre H : m = 3. a) Costruire ue régio critique au seuil 0,05. b) Calculer la probabilité d'erreur β. Rep: valeur maximale,74 b) β = 0,438 3 ) a) E jetat ue pièce de moaie 3 fois, o veut tester l'hypothèse H o : p(pile) = 0,5 cotre l'hypothèse cotraire H : p(pile) = 0,75. O coviet de rejeter H o si o obtiet trois fois pile. Calculer les probabilités d'erreur de première et de deuxième espèce. b) Détermier ue régio critique si o jette la pièce 5 fois et si α = 0,05. Calculer esuite β. page 55

56 SQ-0 Probabilités - Statistiques Rép: a) α=/8 β = 37/64 b) R = {X 7} β = 0,5 4 ) Lorsqu ue machie est bie réglée elle produit des pièces dot le diamètre moye est 5 mm. Deux heures après u réglage de la machie o a prélevé au hasard u échatillo de 9 pièces. Les diamètres ot pour mesures, e mm : Que peut-o coclure, au iveau de cofiace 95%, quat à la qualité du réglage de la machie après deux heures de foctioemet? Rep: v.a. ormale, moy = 3, s=,73, <30 Test de Studet T(8) D0=]3,7 ; 6,3( doc déréglée page 56

57 UV SQ 0 Chap.8 Tests paramétriques -I- Comparaiso de deux moyees: ) Deux filiales fabriquet des piles électriques de 4,5 V, dot les durées de vie sot ormales et de variace 64 pour A et 5 pour B. Deux échatillos ot doé les résultats suivats: filiale A: taille 00 durée de vie moyee: 84 heures filiale B: taille 50 durée de vie moyee: 80 heures a) La différece des moyees des durées de vie est-elle sigificative au seuil de 5%? b) Quelle serait la différece maximale, au seuil de %, permettat de coclure à ue absece de différece etre les deux productios? ) Ue etreprise fabrique des sacs e plastique pour déchets. Le poids maximum que peuvet supporter ces sacs est ue variable ormale d espérace 58 g et d écart type 3 g. a) L'etreprise propose le remplacemet des sacs défectueux (qui céderaiet à u poids iférieur à u poids aocé). Quelle est la valeur de ce poids si elle e veut pas remplacer plus de 6% des sacs? b) U cliet achète 00 sacs. Quelle est la probabilité pour qu'il y ait plus de 5 sacs défectueux? c) Deux tests sot faits à des dates différetes. premier test: 00 sacs moyee 58 écart type s = 3 secod test: 50 sacs moyee 55 écart type s = 5 E supposat l égalité des variaces, détermier ue estimatio de la variace commue. Peut-o cosidérer, au risque de 5% que la qualité des sacs a évolué etre les deux tests? 3 ) Désirat juger le travail d'u ouvrier ajusteur, u chef d'atelier prélève u échatillo de 50 pièces métalliques das sa productio. O associe le caractère X à l'épaisseur de ses pièces. O doit avoir E(X) = 5 (mm). Les résultats de la vérificatio sot portés das le tableau suivat: mesure 4,8 4,9 5,0 5, b de pièces Cette fabricatio est-elle coforme aux exigeces, au seuil de %? 4 ) U échatillo de 00 projecteurs de studio de qualité A a doé ue durée de vie moyee de 400 heures avec u écart type de 0. U échatillo de 00 projecteurs de qualité B a doé ue durée de vie moyee de 300 heures avec u écart type de 80. a) Détermier des itervalles de cofiace à 0,95 des durées de vie des deux types A et B. b) Peut-o dire, au seuil 0,05, puis au seuil 0,0, qu'il existe ue différece de logévité etre les deux types de projecteurs? 5 ) Deux techicies sot affectés à des tests de dureté sur des feuilles de métal avat expéditio. Le problème est de détermier s il existe des différeces etre les mesures des deux techicies. O supposera que la feuille de métal utilisée pour le test est homogèe et que la variable est ormale d espérace M et de variace σ². Les mesures sot cosigées das le tableau suivat : Techicie A Techicie B a) Calculer, pour chacue des deux séries, la moyee et ue estimatio de la variace. page 57

58 SQ-0 Probabilités - Statistiques b) E admettat l égalité des variaces, détermier ue estimatio de la variace réelle. c) Peut-o dire qu il existe ue différece etre les deux techicies? d) E e gardat que la première série (techicie A avec les valeurs obteues au a)) o veut tester M = 56 cotre M = 56,9 au seuil de risque 0,05. Quel est le résultat du test et sa puissace? 6 ) U grupo de plaificació urbaa pretede estudiar las diferecias e el igreso medio de los habitates de dos zoas e ua ciudad. Para ello se dispoe de dos muestras aleatorias simples de igresos por habitate para cada ua de las zoas. Zoa : Tamaño muestral : 8 media muestral : ptas desviació estadar muestral 700 Zoa : : ptas Supoiedo que el igreso por habitate es ue variable aleatoria ormal: a) Utilizado u ivel de sigificació del 5 %, determie si existe evidecia de que la variacia del igreso sea distita e las zoas. b) Obtega u iterval de cofiaza al 95 % para la differecia del igreso medio e las zoas. 7 ) Pour ue variable ormale N(M, σ²), o effectue le test H 0 : [ M = 0, σ = ] H : [ M =, σ = 4] avec u échatillo de taille = 36. a) Pour α et β, risques de première et deuxième espèce, représeter graphiquemet la relatio etre α et β, e preat des valeurs variées de α. b) Refaire le graphique das le cas où = ) Deux serpets C et R preet u verre das u sae bar. -C- «Sais-tu que das ce bar les verres sot plus remplis que das le bar d e face.» -R- «Ties doc!» -C- «U échatillo de 30 verres a ue moyee de 35 cl (et u écart type de 5) ici, alors qu e face la moyee sur 45 verres est de 30 avec le même écart type.» -R-«D accord, mais je e suis pas portée sur les statistiques. Qu est-ce que ça veut dire?» -II- Tests sur les proportios: ) Au cours de deux livraisos différetes o a relevé 48 articles défectueux parmi les 800 costituat la première livraiso, puis 3 articles défectueux parmi les 400 costituat la secode. Les deux pourcetages d'articles défectueux diffèret-ils sigificativemet (seuil 5%)? ) U sodage effectué auprès d employés de deux cetres de productio d ue même etreprise de costructio automobile porte sur la préférece etre ue participatio au capital de l etreprise ou ue augmetatio de salaire. Sur u échatillo aléatoire de 50 employés du cetre C, 75 favoriset l augmetatio du salaire alors que le résultat pour C est de 07 sur 00 employés iterrogés. a) Détermier ue estimatio de la proportio p d employés favorables à l augmetatio pour l esemble de l etreprise. b) Détermier u itervalle de cofiace de p au iveau 0,95. c) Existe-t-il, au iveau 0,99, ue différece etre les réposes des deux cetres. d) Le même sodage, effectué sur u échatillo de 350 employés parmi les 800 d ue etreprise de sous-traitace a doé 65 employés favorisat l augmetatio de salaire. Peut-o affirmer, au seuil de page 58

59 UV SQ 0 5%, que les opiios sot équitablemet partagées au sei de cette etreprise etre les deux propositios? 3 ) U quotidie publie tous les mois la cote d u certai ombre d hommes politiques. Au er mois de mars la cote du Premier Miistre était de 4% d opiios favorables. Au premier avril elle est de 39% et le joural de titrer «le Premier Miistre e baisse das les sodages!». Commetaire d u statisticie averti? 4 ) O veut tester l efficacité d u isecticide B par rapport à u autre A déjà préset sur le marché. O vaporise A sur 50 isectes et 80 redet l âme. D autre part 300 isectes (pas les mêmes que les premiers) ot eu la chace d être traités avec B et 80 ot survécu. a) Quelles sot les variables aléatoires qui itervieet das cette expériece et quelles sot les hypothèses à formuler avat de se livrer à u test sur les deux produits? b) Si p est la proportio de survivats après avoir reçu A, détermier u itervalle de cofiace de p. c) Tester au même seuil de 0,05 si la proportio d isectes élimiés par B est supérieure à celle de A. -III- Test sur ue variace: ) Le relevé des prix X d'u même article das 5 magasis a doé les résultats suivats: 4,7 4,6 43,0 43,5 4,8 43, 43,6 4,9 4,6 4,8 4,9 43, 4,6 43, 43, a) Détermier des estimatios de la moyee, de la variace et de l'écart type de la populatio. b) Le moyees et variaces habituelles sot de 43 et 0,. Peut-o dire au seuil de 0,05 que ces prix e sot pas coformes aux prix habituels? c) La tolérace d'ue associatio de cosommateurs admet ue variabilité, mesurée par le rapport de l'écart type au prix moye, qui e doit pas dépasser 0,7%. Doit-elle réagir? ) L'écart type de la dimesio d'ue pièce actuellemet utilisée das le motage d'u esemble métallique est assez petit (σ o =0,0) pour e pas poser de problèmes d'assemblage. Il a été proposé au service commercial des pièces aalogues (de même moyee coue) à u prix mois élevé. O evisage de chager de fourisseur, sous réserve que l'écart type des ouvelles pièces soit le même que das la situatio atérieure. Sur u échatillo de 00 pièces o mesure u l'écart type égal à 0,045.Quelle coclusio adopter au seuil 0,05? -IV- Comparaiso de deux variaces: ) Ue étude statistique sur deux populatios ormales a doé les résultats suivats: ère populatio: échatillo de 5 estimatio de la variace de 0 ème populatio: échatillo de Peut-o admettre au iveau de 95% que les deux échatillos provieet de deux populatios ayat la même variace? ) Ue usie produit des lots dot u caractère X est ormal N (m,σ=4). La fabricatio ayat dû être iterrompue pour travaux, le producteur veut s'assurer, lors de la reprise, que cet écart type reste égal à 4. Pour ce faire il prélève u échatillo de 5 lots et relève u écart type observé égal à 4,5. Peut-o cosidérer, au seuil de 5% que l'écart type se soit modifié? 3 ) Le maître d œuvre d'ue costructio a madaté u laboratoire pour évaluer la qualité d'u mélage bitumeux proveat de deux usies. O effectue ue vérificatio sur 5 m 3 de béto et o mesure la résistace à la compressio, après 3 jours, sur des cylidres. Les résultats de cette résistace sot cosi- page 59

60 SQ-0 Probabilités - Statistiques gés das le tableau: usie usie Nombre de cylidres 5 5 Résistace moyee 90,6 94,4 Variace (S ) 65,4 58,4 a) Peut-o, au iveau de cofiace de 95%, faire l'hypothèse que la variabilité de la résistace à la compressio du béto proveat des deux usies est idetique. b) Peut-o affirmer, à %, que l'usie a des performaces meilleures que celles de l'usie? 4 ) Deux échatillos sot prélevés au hasard et de maière idépedate das deux populatios ormales. Les résultats sot les suivats: Échatillo Échatillo a) Tester l'égalité des deux variaces au risque de 0,05. b) E déduire ue estimatio de la variace commue. c) Tester efi l'égalité des deux moyees. -V- Etude des petits échatillos: ) U échatillo de 6 élémets d'ue v.a. ormale a doé: x = 45, et ( x i 45, ) = 35. i= Motrer que l'hypothèse d'ue moyee de 43,5 pour cette populatio 'est pas raisoable et que l'itervalle de cofiace au iveau 95% pour la moyee est [39,9; 43,]. 0 U 0-échatillo tiré d'ue populatio icoue est tel que:y= 43 et ( y i 43) = 7. i= Motrer que les deux échatillos peuvet être cosidérés comme tirés d'ue même populatio. ) Pour u échatillo de 0 aimaux ourris suivat le régime A les augmetatios de poids ot été, pour ue certaie période de: (e g). Pour u autre échatillo de aimaux ourris suivat le régime B les augmetatios de poids ot été, pour la même période de: Motrer que les moyees ot augmeté de g pour A et de 5 g pour B, ce qui 'est pas sigificativemet différet. 3 ) O a étudié la cosommatio d'essece, e litres et sur 00 m, de voitures de même marque et de même cylidrée, choisies au hasard à la sortie de deux chaîes de fabricatio situées das deux cetres de productio A et B. Ces voitures sot coduites par me même coducteur sur le même circuit. Les résultats sot: Cosommatio Cosommatio b de voitures de A b de voitures de B O suppose que la cosommatio, pour les deux chaîes de fabricatio, suit ue loi ormale de même écart type σ. a) Calculer les moyees de cosommatio pour ces deux cetres. b) Détermier ue estimatio de σ à partir des doées ci-dessus. c) L'écart de moyee est-il dû à des fluctuatios d'échatilloage au risque de %? 6 page 60

61 UV SQ 0 -VI- Problèmes: Problème (durée approximative 35 mi) O a mesuré, sur u échatillo aléatoire de 0 observatios d'u caractère X das ue populatio P supposée ormale, ue moyee égale à 36 pour ue variace de 40. a) Détermier ue estimatio de la variace pour l'esemble de la populatio P. b) Tester, au risque 0,0, l'hypothèse selo laquelle la moyee M de P est supérieure à 30. c) Quelle valeur doit avoir cette moyee si o veut que la puissace du test soit 0,95? d) O effectue 5 mesures du même caractère X sur ue secode populatio ormale P. O trouve alors ue variace égale à 60. Peut-o dire, au seuil de 0,98, que les deux populatios ot ue même variace? e) Doer, au seuil de 0,98, u ecadremet du rapport de ces variaces. f) Au même risque, das quel itervalle doit se situer la moyee X sur les 5 mesures faites das P pour qu'o puisse cosidérer les moyees comme égales das les deux populatios? Problème ) a) Ue marque de piles assure u usage moye de plus de 50 heures pour sa productio. Sur u échatillo de 00 piles o mesure u temps moye de 5 heures avec u écart type de 4 heures. Cet échatillo est-il coforme aux ormes de fabricatio au seuil de %? b) Deux usies comparet leurs productios. Les piles sot cosidérées comme mauvaises si elles duret mois de 48 heures. la première fourit u échatillo de 00 piles dot 0 mauvaises la secode Existe-t-il, au seuil de 5% ue différece sigificative etre les deux productios? c) Doer u itervalle de cofiace au iveau 95% du pourcetage de mauvaises piles das l'esemble des deux productios. ) U fabricat de composats électriques fabrique des résistaces dot la valeur omiale est 000 Ω. Pour vérifier le procédé de fabricatio o prélève u échatillo aléatoire de 64 résistaces et les calculs de la moyee et de l écart type doet les résultats suivats: x = 990 et s= 00 ( e Ω ). a) Elaborer ue règle de décisio à 0,05 pour tester si le procédé est cetré à 000 Ω. Doit-o supposer la distributio des résistaces comme état ormale? b) Avec les mesures effectuées, doit-o accepter l hypothèse ulle? c) Quelle est la probabilité d accepter l hypothèse ulle si le procédé est e réalité cetré à 050 Ω? Idetifier ce risque. d) Quelle est la puissace du test à μ = 980 Ω? page 6

62 SQ-0 Probabilités - Statistiques Chap.9 Tests d'ajustemet page 6 -I- Ajustemet graphique ) O cosidère la série statistique: itervalles effectifs a) Détermier les fréqueces, les fréqueces cumulées croissates et motrer graphiquemet à l'aide du papier Gausso-arithmétique qu'o peut cosidérer cette série comme état ormale. b) Détermier graphiquemet la moyee et l'écart type. c) Vérifier ces estimatios par le calcul. ) Costruire à l'aide d'u papier gausso-arithmétique ue série statistique de 0 itervalles dot la loi sous-jacete est ue loi ormale X de paramètres m = 5 et σ(x) = 0,05. 3 ) U costructeur automobile désire vérifier que la cosommatio de so ouveau modèle correspod aux prévisios des igéieurs ayat mis au poit la voiture, c'est-à-dire d'eviro 7 litres aux 00 m. Les techicies effectuet les essais suivats: Pour les 000 premières voitures sorties de l'usie, o mesure le ombre de ilomètres parcourus avec 7 litres d'essece, et o obtiet les résultats suivats (o arrodit au ilomètre etier le plus proche): b de m b de voitures a) Vérifier graphiquemet que la cosommatio e ombre de m, suit ue loi ormale. b) Détermier graphiquemet les valeurs de m et de σ. f) E déduire la cosommatio moyee, e litres aux 00 ilomètres. La fabricatio est-elle coforme aux prévisios? 4 ) O effectue ue equête (aoyme) sur le temps de travail persoel hebdomadaire d u étudiat pour ue UV. Les résultats (e heures) sot les suivats. Temps e heures 0, 5, 5, 5 3 3, 5 4 4, 5 Nb d étudiats Étudier, à l aide du papier de Gauss, si o peut cosidérer cette série comme état ormale. -II- Test χ d'ajustemet: ) O cosidère u prisme costitué d'ue matière homogèe et dot les bases sot deux triagles équilatéraux. O ote A, A et A 3, les 3 faces latérales et B et B les bases triagulaires. O lace le prisme 500 fois et o costate que le prisme est tombé: fois sur A, 3 fois sur A, 8 fois sur A 3, 8 fois sur B et 77 fois sur B. Tester au seuils de 0,05 et 0,0 l'hypothèse selo laquelle les 5 faces sot équiprobables. ) Das u cetre de calcul, le ombre de paes eregistrées par semaie est cosidéré comme ue

63 UV SQ 0 variable aléatoire X. Pour ue période portat sur 00 semaies, o a observé les résultats suivats: paes / semaie ombre de semaies Vérifier au iveau 0,0, l'hypothèse H o : X obéit à ue loi de Poisso. 3 ) Tester aalytiquemet la ormalité de la série de l'exercice -I- ) page 6. 4 ) Quatre vols commerciaux décollet chaque jour d u petit aéroport régioal. Le directeur de l aéroport compte le ombre de vols qui partet à l heure chaque jour d ue période de 00 jours. Les résultats sot cosigés das le tableau suivat : Nombre de départs à l heure Nombre de jours observés Au seuil 5 %, tester l hypothèse que la distributio est biomiale. 5 ) Ue série de mesures portat sur les masses de paquets trasportés das u mote-charge a fouri le tableau ci-dessous: Masse e g b de paquets a) Calculer la moyee et l'écart type de cette série. b) O fait l'hypothèse selo laquelle la variable X doat la masse d'u paquet est ormale de moyee m = 75 et d'écart type σ = 0. Détermier les effectifs théoriques pour les différetes classes auxquelles o ajoutera les classes ]-, 60[ et [90, + [. c) Effectuer u test du χ au seuil de 5%. Peut-o accepter l'ajustemet par cette loi ormale? 6 ) Supposos que votre professeur de mathématiques vous doe, comme travail à la maiso, le problème du test d équilibre d u dé à 6 faces. O vous demade de lacer fois et de oter combie de fois les résultats,, et 6 sortet. Lacer le dé deviet rapidemet euyeux, alors vous décidez d iveter des doées réalistes. E faisat attetio pour avoir u total de vous écrivez:? Numéro observatios a) Effectuez le test: H 0 : le dé est équilibré cotre H : le dé o équilibré avec α = 0.0, α = 0. b) Le professeur est pas é de la derière pluie. Que dit-il e voyat les résultats? 7 ) O veut tester l'hypothèse H selo laquelle la v.a. X obéit à ue loi ormale N (,, σ =0,). Pour ue série de 000 épreuves idépedates o a obteu les résultats suivats: résultat 0,6 0,7 0,8 0,9,,,3,4 Nb de succès a) L'hypothèse H peut-elle être acceptée au iveau 0,95? b) A partir de quel seuil peut-o accepter H? c) Tester maiteat l hypothèse selo laquelle X suit ue distributio ormale, à 95%. 8 ) Les gaz d'échappemet d'u moteur cotieet des particules solides. O suppose (hypothèse H o ) que le ombre de ces particules coteues das u très petit volume suit ue loi de Poisso P(m). Pour tester H o o prélève 400 échatillos de même volume, et, grâce à ue aalyse ultra-microscopique o éumère 87 particules dot la répartitio est doée par le tableau: b de particules b de prélèvemets a) Calculer la moyee et la variace de cette série. d) Peut-o accepter l'hypothèse H o au seuil de 0,05? page 63

64 SQ-0 Probabilités - Statistiques 9 ) O veut tester l'hypothèse H 0 selo laquelle la v. a. X obéit à ue loi expoetielle E (λ). Pour ue série de 00 épreuves idépedates o a obteu les résultats suivats: résultat Nb de succès a) Calculer la moyee de cette série et e déduire ue estimatio de λ. b) L'hypothèse H 0 peut-elle être acceptée au iveau 0,95? 0 ) Das ue etreprise idustrielle l absetéisme semble être u problème auquel plusieurs cotremaîtres doivet faire face. Le Directeur des Ressources Humaies a effectué u relevé du ombre de persoes qui e se sot pas présetées au travail sur ue période de 00 jours, qui a doé le tableau suivat: Nombre de persoes absetes Nombre de jours a) Das ue lettre à la directio, il affirme que le ombre de persoes absetes e ue jourée se comporte selo ue loi de Poisso avec u taux moye de 3 persoes par jour. Cette affirmatio paraîtelle vraisemblable au iveau 95%? b) A la suite de cette étude, il a été décidé de prologer la statistique e observat les abseces das les bureaux de l etreprise, das les secteurs du secrétariat (S) et de la comptabilité (C) sur des échatillos de 350 persoes (S) et 50 persoes (C). Il a été relevé au cours d u mardi, das ue semaie e comportat pas de jour férié, 0 persoes absetes das (S) et 0 das (C). Existe-t-il ue différece sigificative das les taux d absetéismes des deux secteurs? ) U laboratoire reçoit, par groupes de 4 des souris grises et blaches destiées aux expérimetatios. Ue hypothèse géétique simple coduit à supposer que les couleurs sot égalemet réparties etre les souris. Soit X le ombre de souris blaches d'u lot de 4. a) Détermier la distributio de probabilité de X. b) Le laboratoire a reçu 00 lots de 4 souris et a observé les résultats suivats: X b de lots Les résultats sot-ils compatibles au seuil de 5% avec l'hypothèse géétique supposée? d) Les souris vieet d'u même élevage. Estimer la fréquece p des souris blaches de l'espèce à partir des 800 souris observées. Calculer u itervalle de cofiace de p au iveau 95%. -III- Tests d'idépedace: ) O veut examier si l'habileté mauelle d'ue persoe est idépedate de sa visio. Pour cela o défiit deux caractères X et Y. X pred les valeurs, ou 3 selo que l'idividu est plus habile de la mai droite, est ambidextre ou est plus habile de la mai gauche tadis que Y pred les valeurs, ou 3 selo que l'idividu a ue meilleure visio de l œil droit, égale des deux yeux ou a ue meilleure visio de l œil gauche. O veut tester l'hypothèse H o d'idépedace etre X et Y, au seuil 0,05. O ote das le tableau de gauche les résultats obteus e observat 43 persoes: X / Y 3 X / Y a) Calculer les effectifs margiaux et e déduire les effectifs théoriques sous l'hypothèse H o, qui serot placés das le tableau de droite. b) Les résultats permettet-ils d'accepter H o? page 64

65 UV SQ 0 ) Eat-Parade des compagies aériees: Des rapports récets idiquet que les repas servis pedat les vols das différetes compagies aériees sot otés sas teir compte des autres facteurs (cofort de la cabie, retards, ). Ue étude sur u échatillo aléatoire de passagers à qui o a demadé de oter le repas a doé les résultats suivats : A B C D mauvais acceptable bo Peut-o cosidérer qu il y a ue différece de qualité etre les différetes compagies aériees (au seuil α = 0,0)? -IV- Tests d'homogééité: ) O a costaté sur les téléviseurs d ue marque que 30% des paes proveaiet du tube cathodique, 55% des composats électroiques et 5% de problèmes divers. Sur u échatillo de 00 postes e pae d ue marque cocurrete, o a 4 paes du tube cathodique, 3 paes dues aux composats et 6 paes diverses. Les deux marques diffèret-elles (au risque 0,05)? ) La répartitio de la populatio fraçaise adulte selo 5 catégories professioelles est la suivate : 5% 0% 30% 4% % U échatillo de 800 persoes a doé la répartitio : Tester à l aide du χ² la représetativité de cet échatillo. 3 ) U gééticie préted que quatre espèces de drosophiles (mouches du viaigre) devraiet apparaître das les rapports :3:3:9. O suppose qu u échatillo de drosophiles cotiet 6, 764, 733 et 77 mouches des quatre espèces. Peut-o, au risque 0,, rejeter l affirmatio du gééticie? 4 ) O éprouve l'homogééité de résultats observés, e comparat aux résultats théoriques. Le tableau suivat doe des statistiques des cocours d'etrée à l'e.n.a pedat 3 aées: Professio des parets Nb cadidats Nb d'admis Distr. Th. - Professios libérales Commerce idustrie Foctioaires Baques assuraces Artisas P.M.E Agriculteurs Propriétaires retiers Professios icoues a) Calculer la distributio théorique e cas d'homogééité. b) Peut-o cosidérer, au iveau 95%, que la répartitio des admis est la même que celle des cadidats, ou que la professio des parets 'a rie aucue ifluece das la réussite? c) Ue aalyse plus fie des résultats de cette étude motre que la catégorie 8 ifluece ettemet le calcul et l'iterprétatio. La coclusio est-elle différete si o exclut cette catégorie de la statistique? -V- Problèmes: page 65

66 SQ-0 Probabilités - Statistiques Problème : La directio atioale d'u costructeur automobile A a meé ue equête sur la durée de vie, exprimée e milliers de m, sur u échatillo de 500 voitures du modèle 990 équipées de moteurs à essece. Les résultats de l'equête sot cosigés das le tableau: durée de vie b de véhicules a) Motrer graphiquemet qu'o peut cosidérer la durée de vie comme état ormale. b) Estimer, à l'aide du graphique, les paramètres de cette loi. c) Détermier ue estimatio de la proportio de véhicules de cette marque ayat ue durée de vie supérieure à m et u itervalle de cofiace de cette proportio au iveau 0,95. d) U cocurret B fait effectuer das les mêmes coditios la même equête, sur 300 véhicules et costate que 98 d'etre eux 'ot pas dépassé m. Peut-o cosidérer, au risque de 0,05 que les proportios pour ces deux costructeurs soiet idetiques? e) Ue equête de A sur 500 modèles de 980 avait doé ue moyee de m, l'écart type état le même. Peut-o dire au seuil de 5% que la logévité se soit modifiée au cours de ces 0 as? page 66

67 UV SQ 0 Chap.0 Problèmes d approfodissemet Ce chapitre comporte des problèmes plus difficiles que ceux qui correspodet au programme de l UV. Il existe parfois des étudiats assez curieux (ce qui est pas u vilai défaut das les études) pour e savoir u peu plus. Ils trouverot ici des prologemets au cours de Probabilités et Statistiques. -I- Lies etre différetes lois : z t ) La foctio Γ : O défiit la foctio Gamma par z ( D) domaie de C, Γ( z) = t e dt. a) Détermier les valeurs réelles de z pour lesquelles cette foctio est défiie. b) Détermier le domaie (D) du pla complexe sur lequel Γ(z) existe. c) Motrer la relatio z C/ z ( D), Γ( z) = ( z ) Γ ( z ). d) E déduire les valeurs de la foctio Γ pour les valeurs etières o ulles de z. ) Lies etre les lois expoetielles, les lois Gamma et la loi du χ². O rappelle que si X est ormale cetrée réduite, alors Y=X² suit ue loi χ² à u degré de liberté. a) Calculer la desité de Y, puis e déduire sa foctio caractéristique. b) E déduire la foctio caractéristique de la loi χ² à degrés de liberté, pour etier o ul. c) Soit la suite (T ) N* de variables expoetielles idépedates de paramètre λ>0. Ecrire la desité des T, puis leur foctio caractéristique. d) O cosidère les sommes S = T pour etier supérieur ou égal à. = Motrer par récurrece que S suit ue loi Γ(λ,) (loi Gamma) de desité λ t λ t e f() t = R (). t + Γ( ) Calculer la foctio caractéristique de T et e déduire celle de S. e) Comparer les foctios caractéristiques de χ F et de Γ, HG deux lois? Retrouver les valeurs de l espérace et de la variace du χ² à d de liberté. z 0 I K J. Que peut-o e déduire pour ces 3 ) Lie etre la loi de Poisso et les lois expoetielles : O cosidère u évéemet (par exemple pae d ue machie) qui peut se produire à u istat t>0 quelcoque, et la variable aléatoire T, temps d attete avat que cet évéemet se produise. O suppose que T suit ue loi E(λ). O ote Z l istat d arrivée du ème évéemet. a) Motrer que Z suit ue loi Γ(λ,). b) Pour z R +, calculer la probabilité que évéemets se produiset das l itervalle [0, z]. c) Si N est le ombre d évéemets surveat das [0, z], détermier la loi de N. λ λ t λ e te d) E déduire la relatio suivate : = p + > λ = X dt! bγ(, ) g Z Y.! = 0 0 page 67

68 SQ-0 Probabilités - Statistiques 4 ) Lie etre la loi de Poisso et la loi χ² : a) Soit la variable aléatoire U qui suit ue loi Γ(λ,). Détermier, pour a > 0, la desité et la ature de la variable V = a U. b) N état ue variable de Poisso P(λ), motrer à partir de 3 ), la relatio pbn g= pcχ+ > λh. (Cette relatio peut être utilisée quad o cherche les probabilités cumulées d ue loi de Poisso, pour u paramètre λ trop grad pour figurer das les tables). -II- Foctios géératrices ) O cosidère ue v. a. X à valeurs das N [0, ] et le polyôme P par P( x) = p( X = ) x. (La foctio polyôme aisi défiie est appelée foctio géératrice de X). a) Calculer P(), puis P () et P"(). E déduire E(X) et Var(X) e foctio de P. b) Das les cas suivats, détermier la foctio géératrice et retrouver l'espérace et la variace des variables aléatoires. X est ue variable uiforme sur {,,, } (o pourra poser p(x = 0) = 0). X est ue variable biomiale de paramètres et p. ) (Pour les étudiats ayat suivi MT 6) O veut motrer qu'o peut gééraliser ce procédé à N. a) Soit X ue variable aléatoire discrète à valeurs das N. Motrer que le domaie de covergece de la série etière S( x) = px ( = ) x cotiet [0, [. 0 b) E déduire que S est deux fois dérivable sur [0, [. c) Quad l espérace et la variace existet, les exprimer e foctio de f et de f. d) Das les cas suivats, détermier la foctio géératrice et retrouver l'espérace et la variace des variables aléatoires, si elles existet. X est ue loi de Poisso de paramètre λ X est ue loi géométrique de paramètre p. 4 X est ue variable défiie par N, p( X= ) = ( + )( + )( + 3) = 0 -III- Problèmes ) O s itéresse au retard par rapport à la durée de voyage prévue pour u voyage de 500 m par le 0, 5t t e trai. Ce retard R (exprimé e miutes) suit ue loi de desité ht () = R () t. + 6 a) Motrer que h défiit effectivemet ue desité de probabilité. E calculer l espérace et la variace. t t e b) Sachat que la desité de la loi χ² à degrés de liberté est f() t = R () t, motrer que R + Γb g suit ue loi χ² dot o détermiera le degré de liberté. page 68

69 UV SQ 0 Chap. Corrigés d'exercices -I- Corrigés des exercices ) Exercice Erreur! Source du revoi itrouvable. page Erreur! Siget o défii.: a) Das ce cas, o affecte u uméro de à N à chacue des particules, supposées umérotées et doc Ω = mbx, K, xg, x {, K, N} r et CardΩ = N. O choisit esuite particules pour la première boîte (o ordoées) et o répartit les autres das les N boîtes restates. O a doc: N p( particules das la boîte) = C ère b g F = C N H G I NK J F I HG NK J pour {0,, } b) Das ce cas, o e s'itéresse qu'aux ombres de particules das les boîtes. O peut représeter ue répartitio des particules par ue suite de la forme avec (particules) et N (cloisos)., ce qui doe (+N )! possibilités. Mais comme les cloisos et les particules sot idiscerables, o peut les N! permuter et o a fialemet: Card( Ω C b + g ) = = + N. De même que pour a), o a boules das la!( N )! - +N-- première boîte et o doit répartir les das N boîtes, ce qui doe p ( part. das la boîte) = C ère C+N- pour {0,, }. c) Ici, o répartit particules das N boîtes sas teir compte de l'ordre, et si la première boîte cotiet ue particule, o répartit les das les N boîtes et doc: p ( part. das la boîte) = C - ère N- =. C N ) Corrigé de l exercice Erreur! Source du revoi itrouvable. page Erreur! Siget o défii.. a) Le tirage état simultaé de 3 élémets / 36, o a: Ω= x, x, x3, x, x, x3 das, K, 36 et Card( Ω ) = C 3 36 = 740. O peut supposer l'équiprobabilité des tirages. ml q l qr N x x 36 - x 6 b) Pour x = 6, o a pa ( ) = pbnr ( ) = = 00, 3. C c) Etude de f: f( x) = 36x x 3 f'( x) = 6x( x) d) Par u calcul aalogue à celui de b), o a : x ( 36 x) f( x) px ( ) = pa ( ) = = maximale pour x =. (p 0,4) 3 3 C36 C36 e) Das le cas =, X suit ue loi hypergéométrique H(N=36, =5, p=0,4) (tirages simultaés). pa ( ( X= )) pa ( ) p( ) f) pax ( = ) = = = 0, 57. et doc p(a X=) 0,57. px ( = ) px ( = ) C4 3 C 36 Si A est réalisé, alors il y a u poisso de chaque couleur, et doc, écessairemet X =. Doc p(x= A) =. 3 ) Exercice Erreur! Source du revoi itrouvable. page Erreur! Siget o défii.. La situatio peut se représeter par le graphique suivat: page 69

70 SQ-0 Probabilités - Statistiques étape + 0,5 A (0,5 0,5 B 0,5 a ) a A 0,5 B 0,5 C 0,5 a A 0,5 C (0,5) b 0,5 A 0,5 b 0,5 A (0,5) B 0,5 C 0,5 b 0,5 C 0,5 A 0,5 c 0,5 B (0,5) c C 0,5 B 0,5 c O a doc etre les probabilités les relatios suivates, qu'o peut mettre sous forme matricielle. La matrice A état symétrique, elle est diagoalisable: Ra+ = b + c F a + I F I a S b+ = a + c et b+ b ou U+ A U G J = G J F 05, 05, 0 05, 05, c = b + a c H G I 05, 05, 05, 0 05, =. J 05, 05, 05, 05, 0 c T + H + K H K F HG 0 0 O a doc: U = A U = PD P U avec D= P= et U = KJ HG KJ HG I K J , 0, , 0 0 La situatio à la première étape est doc: probabilités 0 pour A, 0,5 pour B et pour C deuxième étape ,5 pour A, 0,5 pour B et pour C F + I ce qui doe U = + HG + KJ F H G I 05, 05, 05, K J F+ 05, I =,,, 0 05, HG. Doc quad ted vers l'ifii les 3 05, 05, 05, , KJ trois probabilités tedet vers /3. Logiquemet, à log terme, o e peut pas savoir où sera le chariot. 4 ) Exercice Chap. -VI- ) page 4. 3 a) Les tirages état idépedats, Ω= mb x, x, x3g / 0 x, x etierr et doc Card( Ω) =. Les valeurs possibles de X et Y sot les etiers de 0 à 9. x b) Pour x l F I 0, K, q o a pbx < xg= pbx xg = HG K J. E effet, si if(x, x, x 3 ) x, alors ils sot tous les trois das l'esemble {x, x+,, }, ils sot doc choisis parmi ( x) uméros. 3 y Pour Y o a, par u raisoemet aalogue y l0, K, q p( Y< y) =. 3 F x I x c) D'après b), p( X= x) = px ( < x+ ) px ( < x) = HG K J F I 3 + HG K J 3. F y + I y y y De même: py ( = y) = py ( < y+ ) py ( < y) = HG K J F 3 H G 3 I K J = 3 3( x) 3( x) + 3y + 3y+ O a doc : px ( = x) = et p( Y = y) = 3 3 d) Pour = 0, les calculs doet x Total p(x=x) 0,7 0,7 0,69 0,7 0,09 0,06 0,037 0,09 0,007 0,00 x p(x=x) 0 0,7 0,338 0,38 0,364 0,305 0, 0,33 0,056 0,009,050 (x-e(x))² p(x=x), 0,8 E-04 0, 0,355 0,54 0,585 0,47 0,5 0,049 3,7084 K I F I F page 70

71 UV SQ 0 y p(y=y) 0,00 0,007 0,09 0,037 0,06 0,09 0,7 0,69 0,7 0,7,0000 y p(y=y) 0 0,007 0,038 0, 0,44 0,455 0,76,83,736,439 6,9750 (y-e(y))² p(y=y) 0,049 0,5 0,47 0,585 0,54 0,355 0, E-04 0,8, 3,7084 doc E(X) =,05, E(Y) = 6,975 = 9 E(X) et Var(X) = Var(Y) = 3, ) Exercice Chap. -VI- 5 ) page 6. Pour étudier la loi de Y, o doit calculer, pour tout y N, p(y=y). Comme Y suit ue loi B(,p), il est écessaire que X Y, et doc : y+ λ y y λ e p( Y= y) = p( Y= y X= y+ ) = p( Y= y X= y+ ) p( X= y+ ) = Cy+ p ( p) ( y+ )! = 0 = 0 = 0 y λ y λ y ( λp) et, après simplificatio p( Y= y) = ( λp) ( λ( p)) e ( λp) e λ( p) λp e = = y!! y!! y! = 0 = 0 qui motre que Y suit ue loi de Poisso de paramètre μ = λp. b g b g ce 6 ) Exercice Chap.4 -III- ) page 34. a) O se place das [0, + [ pour les variables t et y. Coaissat la desité et la f. r. d'ue loi expoetielle, o a : y y G y p Y y p X y F(y e ( ) = < = < = ) = et doc g ( y) = λ ye λ λ b g d i b g d i c h b g et doc λy λ( ε) λ( ε) ( ) e + prob = + e et doc lim ϕ( ) = + 0 = 0 ce qui motre que Y Y= C() λy b) U calcul aalogue doe, pour G ( y) = p Y < y = p X< y = F(y ) = e et g ( y) = λ y e c) Si ε ], 0+ [ ϕ( ) = p Y > ε = p ε< Y < + ε = G ( + ε) + G ( ε) ϕ certaie C() défiie par p(y=) = et p(y ) = 0. λy Si G est la foctio de répartitio de Y, o a lim G ( y) = lim e = R S T, variable 0 si y < λ e si y=, ce qui motre si y > qu'e tout poit de cotiuité de H (défiie par H(y) = 0 si y et H(y) = si y > ) G (y) ted vers H quad ted vers. O a doc la covergece e loi de Y vers Y. O peut se redre compte de cette covergece e représetat graphiquemet les foctios g et G. desités foctios de répartitio d) Vous pouvez essayer de faire le reste sas aide. A chacu so tour de travailler!. 7 ) Exercice Chap.5 -V- 9 ) page 44. a) Estimateur de p : F= X = X où les X sot des B(,p) idépedates. Das ces coditios = S= est biomiale B(,p) avec E(S) = p et Var(S) = p(-p). D'après les propriétés de l'espérace et de la X Variace, o a: page 7

72 SQ-0 Probabilités - Statistiques p( p) EF ( ) = pet VarF ( ) = 0. F est doc u estimateur sas biais et coverget. p( p) p( p) D'après les doées: F = X, F = X', Var( F ) =, Var ( F ) =. = = α β Si F= αf+ βf oa E( F) = αp+ βp= ( α+ β) p et Var( F) = p( p) +. F est doc u estimateur sas biais ssi α + β = doc β = α. F α ( α) I R g) Pour β = α o a Var( F) = p( p) + = f( α) HG KJ ST f'( α)=0 miimale pour. La résolutio (facile) du système doe α = et β= = + f"( α)>0 + + et F + F + F. Tout se passe e réalité comme si o réuissait les deux échatillos pour 'e faire qu'u seul de ( + ) élémets. h) Estimatio poctuelle avec les doées fouries: f = estimatio de p = = 500, ,, 8 ) Exercice Chap.5 -V- ) page 45. Foctio de vraisemblace de cet échatillo : ( x m) ( x m) ( x m Lx x m e e avec L ) = (, K,, ) l = l π. π π = = F H G I K J = 0 O a doc les équatios de vraisemblace : R S T b g F HG I KJ = ll = = x m 0 m = = = ll x m m x = = < 0 m L estimateur de maximum de vraisemblace de m est doc T(X, K, X) = 9 ) Exercice Chap.6 -VI- 8 ) page 50. O a doc p estimé par f = 85/400 = 0,5. Variable de cofiace Y = F HG,, doc p( 96. < Y< 96. ) = p F 96, 0 67 < p< F+ 96, I KJ = X F p p( p)/ 400 N( 0, ), et et doc I = ] 0,74, +0,56[ 0, 67 b) Pour ue logueur 0,04 il faut x = 0, 0 et x= 0, 979 ce qui doe -α/=0,836 et α=0, ) Exercice Chap.7 -VII- 7 ) page 53. a) Das le cas où M o > 0, o est e présece d'u test uilatéral à droite. La variace état coue, la variable de test Y X 0 = = X 0 est N(0, ). O cherche doc a tel que 3 03, 30 F HG I px ( < a) = 095, py< a,, 0K J 03 = 095. O a doc a = 0,9, et le domaie d'acceptatio de H 0 est : D o = ]-, 0,9[ = I. page 7

73 UV SQ 0 c h F I HG b g. E refaisat b) Pour M o =, o a β= px < M = = p X 0, 9 0, 9 < = py< 0, 83 03, 03, KJ = 0, 476 le même calcul pour des valeurs différetes de M o, o a le tableau suivat, qu'o peut compléter par symétrie / 0 : M o 0 0,5 0,5 (9,5) 0,75 (9),5,5 (9,75) 0, 9 M 03, 0,645,87 0,730 0,74-0,83-0,639 -,095 - β 0,95 0,88 0,767 0,608 0,48 0,6 0,39 0,0 β 0,05 0,8 0,33 0,39 0,57 0,738 0,86 0,978 a) O a doc la représetatio graphique: Courbe de puissace (sommet = miimum),000,0000 0,8000 0,6000 0,4000 0,000 0, ,3 8,5 8,8 9 9,3 9,5 9,8 0 0,3 0,5 0,8,3,5,8 ) Exercice Chap.7 -VII- 8 ) page 53 a) Si X est ormale et les v. a. de l'échatillo idépedates, o a X N ( M, σ X = 5 ) et doc o a la variable de test: (uilatéral) Y X 0 F = = p X 0 I N ( 0, ) et doc pcx (D 0 ) h G < 645, J = 095, doù ' ( D0) = ; + 5,. L'observatio ayat 5 30 H 5 30 doé ue moyee de, o accepte l'hypothèse H o. b) Le test état uilatéral du même côté, le domaie et la décisio sot les mêmes. Mais l'hypothèse (H ) état simple, o peut défiir u risque β, avec F I β= px D M= = pg X, 5 c 0 h < J = pn b ( 0, ) < 0, 548g = 0, 708. H K c) Das cette questio, o impose β = 0, et o cherche. O doit doc avoir, avec u calcul idetique à celui du a), O L 5, ( D ),,, ( (, ), ) ( ) (, ) et doc p N p X D M p N = + + 0= 0 < 8 = 0 = = 0 < 5 QP NM O a doc la relatio: + 96, = 8, 5 5 K F I c h H G K J., ce qui ous doe u échatillo de taille = 63. ) Corrigé de l exercice Chap.7 -X- ) page 55 Échatillo de taille = 40 et test H 0 : M = 40 cotre H : M 40, variable de test X 40 Y = N( 0, ) (La loi est ormale car la variace est coue) O QP L NM = D 0 défii par 40, , 40 +, , ;, et 60 D 0., doc o rejette H 0. pour α = 0,05. Pour α = 0,0, o remplace,96 par,57, ce qui agradit D 0, et cette fois-ci o accepte H 0. page 73

74 SQ-0 Probabilités - Statistiques 3 ) Exercice Chap.9 -II- 3 ) page 63 avec les doées de l'exercice Chap.9 -I- ) page 6 O peut effectuer des estimatios par le calcul ou à l aide de la droite de Hery xi 4, 7 La réductio x' i = utilise la moyee et la variace calculées à partir du tableau. 44, Itervalles cetre i i c i i (c i -moy)² réductio loi N(0,) p i p i regr. chi 0 0,5 4 35,5 -,59 0,0048 0,0048,00, ,3 -,89 0,094 0,045 5,05 6,05 0,00 3,5 3 9,5 63,7 -,9 0,63 0,0870 7,9 7,9, , ,9-0,50 0,3096 0,933 39,8 39,8 0, , ,5 3,0 0,0 0,579 0,695 55,5 55,5, , , 0,90 0,849 0,358 48,58 48,58 0, , ,4,59 0,9444 0,95 6,67 6,67, , ,6,9 0,9890 0,0446 9,9,46 0, ( ) 8, ,0,0000 0,00,7 Total = ,6 6,06 moye e: x = 4,7 distace² 6,06 var =,06 d liberté 4,00 écart type,44 table chi 9,5 à 0,05 décisio Ho 3,3 à 0,0 O doit doc accepter l'hypothèse ulle, c'est à dire que la série est ormale d'espérace 4,7 et de variace,06, ce qui cofirme l'étude graphique. 4 ) Corrigé de l exercice Erreur! Source du revoi itrouvable.page Erreur! Siget o défii.: Tableau de gauche : résultats obteus tableau de droite : résultats théoriques : X / Y X / Y ,8 8,9 99, ,7 44,85 47, ,5 7,5 8,5 O a doc le test : H 0 : idépedace cotre H : dépedace Variable de test D² χ 4 d observatio d² = 5,58. D après la table, o trouve 0,95 9,49 et doc o rejette l idépedace. page 74

75 UV SQ 0 Chap. Exercices du cours ) O mesure la durée de vie, das des coditios ormales de 00 piles électriques et o obtiet les résultats suivats: durée de vie e h b de piles a) Calculer la moyee et l'écart type de cette série. b) Peut-o cosidérer au seuil de 0,05 que la durée de vie des piles suit ue loi ormale dot les paramètres sot à détermier. c) Vérifier graphiquemet l'ajustemet et retrouver les estimatios de la moyee et de σ. page 75

76 SQ-0 Probabilités - Statistiques Chap.3 Réserve d exos ) O orgaise u sodage e vue d'ue électio, e soumettat à u échatillo représetatif de 000 persoes le questioaire suivat: Si votre aée de aissace est bissextile répodez à () sio répodez à (). () Etes-vous é e mai? () Voterez-vous pour Mosieur Lajoie? Le sodage a doé 450 "OUI" et 550 "NON". Mosieur Lajoie a-t-il des chaces d'être élu? ) L'esemble des professeurs qui assuret la préparatio d'u exame peut-être, e première approximatio, partagé e bos professeurs, et mauvais professeurs. O cosidère les évéemets suivats: A = "le professeur est bo" et B = "le cadidat est reçu à so exame", aisi que les probabilités: p(a) = 0,3, p(a B) = 0,4 et pa ( B) = 035., a) Calculer les probabilités : pb ( ), pba ( ) et pba ( ). b) U cadidat a été reçu. Calculer la probabilité de l'évéemet: "le professeur était bo". c) O appred qu'u professeur a vu au cours des derières aées 70% de ses élèves reçus à l'exame, quel est le choix le plus judicieux: s'adresser à lui pour la préparatio à l'exame? laisser faire le hasard pour le choix du professeur? d) U bo professeur cosidère 4 de ses élèves. Calculer la probabilité qu'au mois trois soiet reçus. 3 ) Ue compagie de trasport evisage de s équiper avec u ouveau modèle de peus pour ses camios. Le propriétaire décide d effectuer u test sur ue petite partie de sa flotte de camios. S il y a pas plus de trois peus crevés sur ilomètres, le ouveau peu sera accepté. a) Quelle est la probabilité d acceptatio si la probabilité de crevaiso est de 0,0 pour 000 m? b) , - - -? page 76