Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé

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1 Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps coliéires u vecteur u. L représettio prmétrique doée e c. est ue droite qui cotiet le poit A pour l vleur t =. Questio 2 - c. x = + t y = 3 t Le plus efficce pour répodre à cette questio est de résoudre le système z = 2 2t 2x+y z+ 5= qui doe 2 comme vleur à t et qui coduit u poit E. 3 Questio 3 - d. O ppelle (2; ; ) u vecteur orml u pl P. O motre successivemet que. AB = et. AC = ce qui prouve que les pls P et (ABC) sot prllèles. Or A P doc les pls sot strictemet prllèles. Questio 4 -. O utilise l expressio du produit sclire AB. AC = AB AC cos BAC 2= 8 2 cos BAC doc cos BAC,9258 ce qui correspod à 22,2. Exercice 2 6 poits Commu à tous les cdidts O ote X l vrible létoire dot le tux d hémtocrite d u dulte choisi u hsrd ds l popultio frçise ; cette vrible suit l loi ormle de moyee µ=45,5 et d écrt type σ. Prtie A O ote Z l vrible létoire Z = X µ σ = X 45,5. σ.. D près le cours, l vrible létoire Z = X µ suit l loi ormle cetrée réduite, d espérce et d écrt type σ. b. D près le cours, si l vrible létoire X suit l loi ormle d espérce µ, P(X µ)=,5. Cel résulte de l symétrie de l courbe de Guss utour de l droite d équtio x = µ. 2. E pret σ=3,8, µ 2σ= 45,5 2 3,8= 37,9 et µ+2σ=45,5+2 3,8= 53,. Prtie B Or o sit que si l vrible létoire X suit l loi ormle de prmètres µ et σ : P(µ 2σ X µ+2σ),95 doc P(37,9 X 53,),95. O défiit les évéemets : M : «l idividu est porteur de l mldie V» ; S : «l idividu plus de 5 s» ; H : «l idividu u tux d hémtocrite supérieur à α».

2 .. O sit que 9 % des porteurs de l mldie V ot plus de 5 s doc P M (S)=,9. P(M S)= P(M) P M (S)=,,9=,9. b. L probbilité qu u idividu yt plus de 5 s soit porteur de l mldie V est P(M S) P S (M)=. P(S) O sit que 3 % de l popultio plus de 5 s, doc P(S)=,3. P(M S) O déduit : P S (M)= =,9 P(S),3 =, P(H)=P(X > α)= P(X α)=,995=,5 b. L idividu choisi u hsrd u tux d hémtocrite iférieur ou égl à α (évéemet H ) ; l probbilité qu il soit porteur de l mldie V est P H (M). P(M H) P H (M)= P(H ) O sit que 6 % des idividus yt u tux d hémtocrite supérieur à α sot porteurs de l mldie V, doc P H (M)=,6. O e déduit que P(H M)=P(H) P H (M)=,5,6=,3. D près l formule des probbilités totles, P(M) = P(M H) + P(M H ) doc P(M H )= P(M) P(M H)=,,3=,7. P(M H) P H (M)= =,7 P(H ),995,7. L probbilité qu u idividu soir porteur de l mldie scht qu il u tux d hémtocrite iférieur ou égle à α est de,7. Prtie C. L itervlle de fluctutio symptotique [ u seuil de 95% de l fréquece ] p de l mldie V ds p( p) p( p) u échtillo de tille est : I = p,96 ; p+,96 p = P(M)=, et = doc : [ I =,,96,,99 ;,+,96,,99 ] [,3;,7] 2. Ds u échtillo létoire de persoes possédt le gèe, o trouvé 4 persoes porteuses de l mldie V doc f = 4 =,4. Cette fréquece pprtiet à l itervlle de fluctutio symptotique u seuil de 95 % doc l échtillo étudié peut être cosidéré comme «orml» ; o peut coclure que le gèe e semble ps voir d ifluece sur l mldie. Exercice 3 Commu à tous les cdidts 5 poits Soit g l foctio défiie sur [ ; ] pr g (x)= 2 (ex + e x ) où est u réel strictemet positif. O défiit sur [ ; + [ l foctio f pr f (x)=(x )e 2x x.. L foctio f est dérivble sur [; + [ comme somme, produit et composée de foctios dérivbles : f (x)= e 2x + (x ) 2e 2x =(2x )e 2x f ()= e = 2 lim (2x ) =+ x + lim e x =+ = lim e 2x =+ x + x + 2. f (x)=2 e 2x + (2x ) 2e 2x = (2+4x 2)e 2x = 4x e 2x } pr produit = lim x + (2x )e 2x =+ = lim x + f (x)=+ 3. Pour tout x, e 2x > doc l foctio f est strictemet positive sur ];+ [, et doc l foctio f est strictemet croisste sur [;+ [. L foctio f est cotiue [;+ [. Asie 2 9 jui 24

3 f ()= 2< lim x + f (x)=+ doc, d près le corollire du théorème des vleurs itermédiires, o peut dire que l équtio f (x)= dmet ue solutio uique ds l itervlle [;+ [ ; o ppelle x cette solutio. O urit pu églemet étblir le tbleu de vritios de l foctio f. 4.. D près l questio précédete : f (x)< sur [; x [ doc f est strictemet décroisste sur [; x ] ; f (x)> sur ]x ;+ [ doc f est strictemet croisste sur [x ;+ [. f ()= e } = 2< = f (x)< pour tout x [; x f est décroisste sur [; x ] ]= f (x )< b. f (2)= e 4 2= e 4 3 5,6> L foctio f est strictemet croisste sur [x ;+ [. L foctio f est cotiue sur [x ;+ [. f (x )< f (2)= e 4 3> doc, d près le corollire du théorème des vleurs itermédiires, o peut dire que l équtio f (x)= dmet ue solutio uique ds l itervlle [x ; 2]. f (2)> et f est strictemet croisste sur [2;+ [ doc l équtio f (x)= ps de solutio ds l itervlle [2;+ [. Comme f (x)< sur [; x ], l équtio f (x)= ps de solutio ds [; x ]. O peut doc dire que l équtio f (x)= dmet ue uique solutio ds l itervlle [;+ [ et que cette solutio pprtiet à l itervlle [x ; 2] ; o l ppelle. E utilist l clcultrice,o trouve,2. Pour détermier ue vleur pprochée de x à l clcultrice, o peut progrmmer l foctio f et utiliser le tbleu de vleurs, ou utiliser le solveur si l clcultrice e possède u. 5. O dmet que l logueur L de l chîe est doée pr l expressio L= ( e x + e x) dx. L foctio x e αx où α pour primitive x e αx α doc l foctio x e x + e x pour primitive l foctio x e x + e x soit x (e x e x ). ( L= e x + e x) [ ( dx = e x e x)] [ ( = e e )] ( [ e e )] = ( e e ) = ( e,2 e,2) 2,52,2 Exercice 4 Cdidts yt ps choisi l spécilité mthémtique 5 poits Pour de N, o ote f l foctio défiie pour tout réel x de l itervlle [ ; ] pr f (x)= + x. Pour tout de N, o défiit le ombre I pr I = f (x)dx = + x dx.. Pour tout de N et tout x de [; ], + x > doc f (x)>. Doc I = f (x)dx est égle à l ire du domie délimité pr l courbe représett l foctio f, l xe des bscisses et les droites d équtios x = et x=. D près le grphique, cette ire ted à se rpprocher de qud ted vers+. [ ] 2. I = + x dx= l(+ x) = l 2 l =l 2 Asie 3 9 jui 24

4 3.. Pour tout de N et tout x de [; ] : x + x 2 + x 2 doc + x. b. Pour tout x de [; ], doc, d près l positivité de l itégrtio : + x + x dx dx I [ x ] I 4. Pour tout de N et pour tout x, (x ) 2 doc (x ) 2 ce qui équivut à ( x )(+ x ) et comme + x > pour x [; ] : x + x. ( 5. x ) ] [ dx = [x x+ = ] = O vu que, pour tout de N et tout réel x de [; ], x l itégrtio, o peut e déduire que ( x )dx. D près l positivité de + x + x dx c est-à-dire + I. O vu ussi que pour tout, I. Doc, pour tout, + I. O sit que lim = doc lim + + = ce qui équivut à lim + + lim =, lim = et, pour tout de N, gedrmes, l suite (I ) est covergete et pour limite. 7.. O fit tourer l lgorithme proposé vec = 2 et p = 5 : + + = + I ; doc, d près le théorème des k x I,2,2,392 2,4,565 3,6,72 4,8,834 L vleur de I rrodie u cetième qui ser ffichée est,83. b. Il fut recoitre ds l lgorithme proposé l méthode des rectgles permettt de clculer des vleurs pprochées d ire sous ue courbe ; plus précisémet, comme l foctio f est décroisste sur [; ], o obtiet l somme de rectgles mjort l itégrle I cherchée.,,8 y f 2,6,4,2,2,4,6,8, x Asie 4 9 jui 24

5 Exercice 4 5 poits Cdidts yt choisi l spécilité mthémtique Prtie A. O suppose qu il existe u ombre fii de ombres premiers otés p, p 2,..., p. O cosidère le ombre E produit de tous les ombres premiers ugmeté de : E = p p 2 p +. Le ombre 2 est premier doc il est ds l liste {p, p 2,...,p } doc le produit de ces ombres premiers est supérieur ou égl à 2 et doc E est supérieur ou égl à 2. Soit i u etier de l itervlle [; ]. Le reste de l divisio de E pr p i est ; doc E est ps divisible pr p i. Comme p i est u ombre premier, et que E est ps divisible pr p i, lors E et p i sot premiers etre eux. Doc E est premier vec chcu des ombres p, p 2,...,p. 2. Tout ombre supérieur à dmet u mois u diviseur premier, doc E dmet u diviseur premier. Ce diviseur premier e peut être i p, i p 2, i..., i p ; doc il existe u utre ombre premier qui est i p, i p 2, i..., i p, ce qui cotredit l hypothèse fite u déprt. Il existe doc ue ifiité de ombres premiers. Prtie B Pour tout etier turel k 2, o pose M k = 2 k. O dit que M k est le k-ième ombre de Mersee... O clcule M k pour quelques vleurs de k : k M k b. Pour k = 2 premier, M 2 = 3 est premier. Pour k = 3 premier, M 3 = 7 est premier. Pour k = 5 premier, M 5 = 3 est premier. Pour k = 7 premier, M 7 = 27 est premier. D près ce tbleu, o peut cojecturer que si k est premier, lors M k est premier. 2. Soiet p et q deux etiers turels o uls.. +2 p ++(2 p ) 2 +(2 p ) 3 + (2 p ) q est l somme des q premiers termes de l suite géométrique de premier terme et de riso 2 P ; cette somme est égle à : de termes risoombre premier terme = (2p ) q riso 2 p = (2p ) q 2 p b. Le ombre +2 p ++(2 p ) 2 + (2 p ) 3 + (2 p ) q est etier et, d près l questio précédete, ( +2 p ++(2 p ) 2 + (2 p ) 3 + (2 p ) q ) (2 p )=2 pq doc 2 pq est divisible pr 2 p. c. Soit k u ombre o premier ; lors il existe deux etiers strictemet plus grds que tels que k = pq. M k = 2 k =2 pq est divisible pr 2 p qui est strictemet plus grd que : doc M k est ps premier. 3.. M = 2 =247=23 89 doc M est ps premier. b. L cojecture de l questio.b. est doc fusse : et premier et M e l est ps. Prtie C { Soit (u ) l suite défiie sur N pr : u = 4 u + = u 2 2 pour tout etier turel. D près le test de Lucs-Lehmer, M 5 est premier si et seulemet si u 3 modulo M 5. M 5 = 3 ; u = 4 ; u = u 2 2=4 ; u 2 = u 2 2=94 ; u 3= u2 2 2=37634= 3 24 Doc u 3 est divisible pr M 5 doc le test de Lucs-Lehmer est vérifié pour k = L lgorithme suivt permet de vérifier si le ombre de Mersee M est premier, e utilist le test de Lucs-Lehmer : Asie 5 9 jui 24

6 Vribles : u, M, et i sot des etiers turels Iitilistio : u pred l vleur 4 Tritemet : Demder u etier 3 M pred l vleur 2 Pour i llt de à 2 fire u pred l vleur u 2 2 Fi Pour Si M divise u lors fficher «M est premier» sio fficher «M est ps premier» Asie 6 9 jui 24