Module 2 : Déterminant d une matrice

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Rachel Meunier
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1 L Mth Stt Module les déterminnts M Module : Déterminnt d une mtrice Unité : Déterminnt d une mtrice x Soit une mtrice lignes et colonnes (,) c b d Pr définition, son déterminnt est le nombre réel noté det ou : det c b d d bc Ne ps confondre les nottions : - vec des prenthèses (ou des crochets) pour une mtrice, - vec des brres pour un déterminnt. Un déterminnt n est ps une mtrice. C est un nombre réel. Ex B det detb Le déterminnt concerne les mtrices crrées. Une mtrice dont le déterminnt est différent de zéro est une mtrice dite régulière. Elle est dite singulière dns le cs contrire.. Déterminnt d une mtrice nxn M n M n L L ij K n n M nn Considérons un élément une mtrice n- lignes et n- colonnes notée dns. On ppelle cofcteur du terme det ij de. Si on rye dns l ligne et l colonne contennt ij le produit ij. Son déterminnt ( ) i j n ( ) n n K Ex mtrice x ij ij, on obtient ij s ppelle le mineur de ij /

C est un nombre réel. Ex B det detb Le déterminnt concerne les mtrices crrées. Une mtrice dont le déterminnt est différent de zéro est une mtrice dite régulière.

2 L Mth Stt Module les déterminnts M ( ) ( ) ( ) Dns cet exemple, le mineur de est Pour le signe du cofcteur : ( ) i j ère ligne ère colonne () nombre pir ( ) donc signe positif ère ligne ème colonne () nombre impir ( ) donc signe négtif. Exemple : On peut développer selon les lignes ou les colonnes. Développons selon l ère ligne : ( ) ( ) On peut vérifier le résultt si on développe selon l ième ligne ou l ième ligne. Développons selon l ème ligne : () ( ) ( ) Développons selon l ème ligne : ( ) ( ) Développons selon l ère colonne : () ( ) /

Exemple : On peut développer selon les lignes ou les colonnes.

3 L Mth Stt Module les déterminnts M On peut vérifier le résultt si on développe selon l ième colonne ou l ième colonne Développons selon l ème colonne : ( ) ( ) Développons selon l ème colonne : ( ) ( ) ( ). Les propriétés des déterminnts. Déterminnt nul Le déterminnt d une mtrice est nul si et seulement si les vecteurs colonnes (respectivement les vecteurs lignes) sont liés., l deuxième colonne est le double de l première colonne. B B, l deuxième ligne est le double de l première ligne. Un déterminnt qui deux lignes identiques est nul. () () Un déterminnt qui deux colonnes identiques est ussi nul.. Symétrie Un déterminnt ne chnge ps si on échnge ses lignes et ses colonnes c'est-à-dire qu une mtrice et s trnsposée ont le même déterminnt /

Déterminnt nul Le déterminnt d une mtrice est nul si et seulement si les vecteurs colonnes (respectivement les vecteurs lignes) sont liés.

4 L Mth Stt Module les déterminnts M. lternnce Si l on échnge lignes d un déterminnt, celui-ci chnge de signe en grdnt l même vleur bsolue. ( ) () cuse de l deuxième propriété, si on échnge colonnes d un déterminnt, celui-ci chnge ussi de signe en grdnt l même vleur bsolue.. Linérité Si on multiplie une ligne (ou une colonne) d une mtrice pr un réel λ, le déterminnt de l nouvelle mtrice est multiplié pr ce réel. Ex : Multiplions l ème ligne pr ½ : ( ) ( ) Si un vecteur colonne se présente comme l somme de deux vecteurs colonnes, le déterminnt est l somme des deux déterminnts obtenus en prennt successivement chcun des termes de l somme. Ex : En joutnt à une ligne un multiple d une utre, on ne chnge ps un déterminnt. Ex : soit le déterminnt suivnt : /

. Linérité Si on multiplie une ligne (ou une colonne) d une mtrice pr un réel λ, le déterminnt de l nouvelle mtrice est multiplié pr ce réel.

5 L Mth Stt Module les déterminnts M / On utilise cette propriété pour obtenir des dns une ligne ou une colonne et insi simplifier le clcul du déterminnt. Si on retrnche à l deuxième ligne, l première multipliée pr, on obtient : x x x Si on joute à l troisième ligne, l première multipliée pr, on obtient : 9 ) x( ) x( ) x( Le clcul du déterminnt est lors simplifié : 9 9 utre exemple : Si on joute l première colonne à l troisième colonne et l première colonne multipliée pr - à qutrième colonne, on obtient : 9 9 Si on retrnche à l première ligne deux fois l deuxième ligne et à l troisième ligne trois fois l deuxième ligne, on obtient : ) ( ) ( 9 () () ) ( () ()

x( Le clcul du déterminnt est lors simplifié : 9 9 utre exemple : Si on joute l première colonne à l troisième colonne et l première colonne multipliée pr - à

6 L Mth Stt Module les déterminnts M. Déterminnt d un produit Si et B sont mtrices crrées d ordre n, lors B B Le déterminnt du produit.b est égl u produit des déterminnts de et de B. Rng d une mtrice On dit qu une mtrice [], de dimension quelconque différente de l mtrice nulle, est de rng r si u moins l un de ses mineurs crrés d ordre r est différent de, tndis que chque mineur crré d ordre r est nul. Ou encore : le rng d une mtrice de dimension quelconque est l ordre de l plus grnde sous-mtrice crrée régulière que l on peut extrire de. Une mtrice nulle est de rng. Ex : ( ) ( ) ( 9) l mtrice n est ps de rng. Si on prend l mtrice est de rng. Conséquence : Une mtrice crrée est régulière si son rngn c est-à-dire si. Elle est singulière sinon. utres propriétés sur les rngs des mtrices : Soient mtrices et B rng(b)rng rng B rng rng rng rng Si rng X (n,k) k vec k<n lors rng X X (k,k) k /

crré d ordre r est nul. Ou encore : le rng d une mtrice de dimension quelconque est l ordre de l plus grnde sous-mtrice crrée régulière que l on peut extrire de. Une mtrice nulle est de rng.

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