semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire

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1 MATHÉMATIQUES 3 semestre 3 des Licences MISM nnnée universitire Driss BOULARAS

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3 Tble des mtières Rppels 5. Ensembles et opértions sur les ensembles Prties d un ensemble Réunion Intersection Différence ensembliste Complémentire Produit crtésien Crdinl d un ensemble Applictions Définition et exemples Grphe d une ppliction Imge directe, imge réciproque Restriction et prolongement d une ppliction Injectivité, surjectivité et bijectivité Intégrles générlisées 3. Divers rppels Rppels sur l intégrle définie d une fonction continue Rppels sur les fonctions équivlentes Intégrle générlisée Position du problème Générlistion ux intervlles semi-ouverts Générlistion ux intervlles ouverts Propriétés des intégrles convergentes Intégrle générlisée de fonctions positives Critère de Cuchy Convergence bsolue Intégrbilité et équivlence de fonctions Cs d une fonction complexe de vrible réelle Exercices Séries numériques Rppels sur les suites numériques Position du problème, définitions, premières propriétés Prdoxe de Zénon Définitions, premières propriétés

4 4 TABLE DES MATIÈRES 2.3 Séries à termes positifs Séries à termes quelconques Séries bsolument convergentes D utres critères de convergence Produit de séries numériques Clcul pproché de l somme d une série lternée Note historique Exercices Suites et séries de fonctions Suites de fonctions Introduction Convergence simple d une suite de fonctions Convergence uniforme d une suite de fonctions Propriétés des suites uniformément convergentes Séries de fonctions Convergence simple, uniforme et bsolue Convergence normle Tbleu récpiltultif Autres propriétés Exercices Séries entières Disque et ryon de convergence Définitions et exemples Propriétés des séries entières Opértions sur les séries entières Série dérivée d une série entière Série intégrle d une série entière Propriétés de l fonction somme Dérivtion et intégrtion terme à terme Applictions Résolution d éqution différentielle Clcul d intégrles Séries trigonométriques Introduction et définitions Convergence des séries trigonométriques Propriétés de l fonction somme Coefficients et série de Fourier Cs des fonctions T -périodiques Interpréttion géométrique Produit sclire sur un espce vectoriel E Inéglité de Bessel, églité de Prsevl Note historique Exercices

5 Chpitre Rppels. Ensembles et opértions sur les ensembles L notion d ensemble est intuitive. S mnipultion est précisée pr les opértions définies ci-dessous. Les premiers exemples sont ceux des ensembles de nombres. Nottions usuelles des ensembles de nombres : N : ensemble des nombres entiers nturels, N : {x N; x }, Z : ensemble des nombres entiers reltifs, Q : ensemble des nombres rtionnels, R : ensemble des nombres réels, R : {x R; x }, C : ensemble des nombres complexes, C : {x C; x }, R : {x R; x }, R + : {x R; x }, R + : {x R; x>}, R : {x R; x<}. De mnière générle, les ensembles les plus cournts sont les ensembles de nombres, de points géométriques (du pln ou de l espce) ou de fonctions (dont l définition ser donnée plus trd). Exercice. Citer un élément de chcun des ensembles précédents.. Prties d un ensemble Soit E un ensemble quelconque. Une prtie de E est un ensemble dont les éléments pprtiennent à E. Exemples. On pose E = R 2. Les ensembles A = {(x, y) R 2 ; x < } et B = {(x, y) R 2 ; x = et y } sont bien des prties de E. 2. Si E désigne l ensemble des qudriltères du pln, l ensemble des rectngles en est une prtie. 3. Soit E l ensemble des fonctions définies dns R, à vleurs dns R et continues. L ensemble des fonctions polynomiles est une prtie de E. 5

6 6 CHAPITRE. RAPPELS Exercice.2 En représentnt R 2 pr un pln rpporté à un repère, dessiner les prties A et B de l exemple. Exercice.3 l ensemble des qudriltères est-il une prtie du pln? Exercice.4 L ensemble des fonctions rtionnelles n est ps une prtie de E de l exemple 3 ci-dessus. Pourquoi? On note P(E), l ensemble des prties de l ensemble E. Si A est une prtie de E, on note A E ou A P(E). Un cs prticulier de prtie de E est l ensemble vide. On le désigne pr...2 Réunion Soient A et B deux prties de E. On ppelle réunion de A et de B l prtie de E, notée A B, et définie pr A B = {x E; x A ou x B}. Exemple : E = R 2,A = {(x, y) R 2 ; x < }, B = {(x, y) R 2 ; x = et y }. Dessiner l prtie A B. Dns l suite l ensemble d indices I est une prtie de N ou Z, (en prticulier N ou Z tout entiers), tout en schnt que l on peut définir plus générlement cette notion. De fçon nlogue, on définit l réunion d une fmille de prties (A i ) i I de E, où I est un ensemble d indices donné. On ppelle réunion de l fmille (A i ) i I l prtie notée i I A i et égle à A i = {x E; i I vérifint x A i }. i I Exemple : Si E = R, I = N et A i =] i, i[, lors i I A i = R...3 Intersection Soient A et B deux prties de E. On ppelle intersection de A et de B, l prtie de E, notée A B, et égle à A B = {x E; x A et x B}. Exemple : E = R 2,A= {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 < }, B= {(, ), (, ), (, ), (, )}. A B =.

7 .. ENSEMBLES ET OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES 7 De fçon nlogue, on définit l intersection d une fmille de prties (A i ) i I de E, où I est un ensemble d indices donné. On ppelle intersection de l fmille (A i ) i I l prtie notée A i et égle à i I A i = {x E; i I, x A i }. i I Exemple : E = R, I = N,A i =] i, i [,..4 Différence ensembliste A i = {}. Soient A et B deux prties de E. On ppelle différence ensembliste de A et de B, l prtie de E, notée A \ B, et égle à i I A \ B = {x A; x / B}. Exemple : On pose E = R 2, A = {(x, y) R 2 ; x 2 <y}, B = {(x, y) R 2 ; x =}, C = {(x, y) R 2 ; y =}. Les prties A \ B et A \ C sont l prtie du pln située u dessus de l prbole privée respectivement du demi-xe positif des ordonnées et du sommet (, ). Exercice.5 décrire A \ (B C) et A \ (B C)...5 Complémentire Un cs prticulier de l différence ensembliste est le pssge u complémentire. On ppelle complémentire de l prtie A dns E, l prtie de E, notée E \ A, et égle à E \ A = {x E; x A}. Exemple : E = R 2, A = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 < }. E \ A = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 }...6 Produit crtésien Soit E et F deux ensembles. On ppelle produit crtésien de E pr F, l ensemble noté E F constitué des éléments de l forme (, b) vec E, b F et qui vérifient l propriété (, b) = (,b ) ( = ) et (b = b ). On déduit pr récurrence sur n l définition du produit crtésien de n ensembles (n 2). C est insi que l on définit les ensembles déjà connus des n-uplets de nombres réels R n ou de nombres complexes C n.

8 8 CHAPITRE. RAPPELS..7 Crdinl d un ensemble Le crdinl d un ensemble est le nombre de ses éléments. On le note crd(e). Il peut être fini ou infini. Exercice.6 Montrer (pr récurrence) que si crd(e) =n, lors crd(p(e)) = 2 n. Exercice.7 Soit A et B deux ensembles finis. Clculer le crdinl de A B..2 Applictions.2. Définition et exemples On ppelle ppliction l objet mthémtique noté f : E F où E et F sont des ensembles et f l correspondnce qui, à tout élément x de E ssocie un et un seul élément f(x) de F. Les ensembles E et F sont respectivement ppelés domine de déprt et domine d rrivée de l ppliction. Les éléments de E sont ppelés objets ou ntécédents de l ppliction. Remrque : L définition que l on vient de donner n est ps stisfisnte cr elle fit référence à l notion de correspondnce qui n ps été définie. Une définition rigoureuse vous ser proposée plus trd. On pose lors y = f(x) et l lettre f indique l loi de correspondnce qui lie les éléments de E et ceux de F. Il s ensuit lors une nottion très utilisée : f : E F pour désigner une ppliction. C est celle-là que nous dopterons dns ce cours. Ainsi, les pplictions f : R R g : R R x x 2, + x x 2 h : R + R x x 2, l : R + R + x x 2. sont différentes. En fit, on déjà vu plusieurs clsses d pplictions. Ainsi, u premier semestre de l première nnée, les fonctions réelles de vrible réelle (E R et F R) sont des pplictions prticulières dont on pprofondi l étude. De même, u second semestre toujours de l première nnée, pour les suites de nombres réels où E N et F R et les pplictions linéires (E R n et F R m ). Cette nnée et plus trd, nous étudierons des clsses d pplictions plus générles. On utiliser les nottions suivntes :

9 .2. APPLICATIONS 9 F(I) : ensemble des fonctions réelles définies sur l intervlle I de R, C(I) : ensemble des fonctions réelles continues sur l intervlle I de R, C n (I) : ensemble des fonctions réelles n fois continûment dérivbles sur l intervlle I de R, C (I) : ensemble des fonctions indéfiniment dérivbles sur l intervlle I de R, P n : ensemble des fonctions polynomiles de degré inférieur ou égl à n, P : ensemble des fonctions polynomiles. Au cours de ce semestre, nous verrons en détil le cs où E est égl à N (éventuellement privé d un nombre fini d éléments), et F égl à l ensemble F(I) où I est un intervlle ou une réunion d intervlles de R. Ces pplictions seront ppelées suites de fonctions. Autres exemples :. E = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 et y }, F = R et f(x) = x 2 y E = C([, ]) (ensemble des fonctions continues sur l intervlle [, ] et à vleurs dns R), F = R et f(x) = x(t) dt. 3. E = F = C et f(z) =zz, où z désigne le conjugué de z. Remrques :. Lorsqu il n y ps risque d mbiguïté sur les domines de déprt et d rrivée, on peut, pr bus de lngge, prler de l ppliction f u lieu de f : E F. 2. Pour nous, les mots ppliction et fonction sont des synonymes. Qund E est une prtie de R m ou de C m, on privilégie l terminologie de fonction. Eglité d pplictions : Deux pplictions f : E F et f 2 : E 2 F 2 sont égles si E = E 2, F = F 2 et x E, f (x) =f 2 (x). Lorsqu il n y ps risque d mbiguïté sur les domines de déprt et d rrivée, on écrit seulement f = f 2. Exercice.8 On définit les prties A = {f F([, ]); f soit bornée}, B = C([, ]) On remrque que B A (pourquoi?) et que l prtie A \ B est constituée de fonctions réelles bornées et non continues (donner un exemple d une telle fonction)..2.2 Grphe d une ppliction On ppelle grphe d une ppliction f : E F, l ensemble {(x, f(x)); x E}. Le grphe de l ppliction f : E F est donc une prtie du produit crtésien E F.

10 CHAPITRE. RAPPELS.2.3 Imge directe, imge réciproque Soit f : E F une ppliction. On ppelle imge directe d une prtie A de E pr l ppliction f, l prtie de F notée f(a) et égle à f(a) ={f(x); x A}. Soit f : E F une ppliction. On ppelle imge réciproque d une prtie B de F pr l ppliction f, l prtie de E notée f (B) et égle à f (B) ={x E; f(x) B}. Attention : cette nottion peut prêter à confusion. Elle git sur les prties de F et non sur les éléments de ce dernier. Exemples :. On reprend les exemples du début de ce prgrphe. f([, 2]) = [, 4], f ([, ]) = [, ], h ([, ]) = [, ], h ([, ]) = [, ]. 2. On considère l ppliction f : R 2 R définie pr f(x, y) = x 2 + y 2. On peut vérifier que f(r) =R + et f ([, ]) = {}..2.4 Restriction et prolongement d une ppliction Soit f : E F une ppliction et A une prtie de E. On ppelle restriction de l ppliction f à l prtie A, l ppliction notée f A : A F et définie pr x A, f A (x) =f(x). Ainsi, pr exemple, u début de ce prgrphe, l ppliction h est l restriction de f à R +. Soit f : E F une ppliction et A un ensemble qui inclut E : E A. On ppelle prolongement de l ppliction f à l ensemble A, toute ppliction f : A F qui vérifie : c est-à-dire, f E = f. x E, f(x) =f(x), Remrque : l restriction d une ppliction est définie de fçon unique tndis que le prolongement ne l est ps..2.5 Injectivité, surjectivité et bijectivité Une ppliction f : E F est injective si quels que soient deux éléments x et x de E, leurs imges f(x) et f(x ) sont différentes. En termes de logique élémentire, une ppliction f : E F est injective si quels que soient deux éléments x et x de E, l ssertion suivnte (qui dépend de x et de x ) est vrie : x x = f(x) f(x ).

11 .2. APPLICATIONS En pssnt à l contrposée, cel équivut à dire : f(x) =f(x )= x = x. Une ppliction f : E F est surjective si tout élément de F dmet un ntécédent dns E : y F, x E; y = f(x). Une ppliction f : E F est bijective si elle est à l fois injective et surjective. Exemples : si on revient ux exemples du début de ce prgrphe, on vérifie que :. h et l sont injectives et f et g ne le sont ps, 2. g et l sont surjectives et f et h ne le sont ps, 3. seule l ppliction l est bijective. Une ppliction f : E F bijective dmet une ppliction réciproque ou inverse notée f : F E définie pr y = f(x) x = f (y). Exemple : l ppliction l étnt bijective, s réciproque est définie pr : l : F E, où l (y) = y Remrque :. Lorsque f est bijective, f désigne une fonction. Elle s pplique ux éléments de F et de P(F ). Pr contre, si elle n est ps bijective, f ne s pplique qu ux éléments de P(F ). 2. pour exprimer l fonction l, on pouvit utiliser n importe quelle lettre et en prticulier x. Il n y ps risque de confusion cr dns l (x), x désigne un élément cournt de l ensemble de déprt de l. Autres exemples : nous connissons deux utres types d exemples d pplictions réciproques. Ce sont. les fonctions rc définies en M (comme rcsin, rccos,...), 2. et les isomorphismes d espces vectoriels, qui, rppelons le, sont des pplictions linéires bijectives. Dénombrbilité On dir qu un ensemble E est dénombrble s il existe une bijection entre une prtie de N et E. Cette notion est très importnte cr l distinction entre un ensemble fini (en bijection vec une prtie finie de N ), un ensemble dénombrble et un ensemble non dénombrble nous conduit à des types de démonstrtion très différents. Exemples : Z, Q, D sont des ensembles dénombrbles ; R, C ne le sont ps.

12 2 CHAPITRE. RAPPELS

13 Chpitre Intégrles générlisées. Divers rppels.. Rppels sur l intégrle définie d une fonction continue Soit [, b] un intervlle de R. On note E([, b]) l espce vectoriel des fonctions en esclier définies sur l intervlle [, b] et C([, b]) l espce vectoriel des fonctions réelles et continues sur l intervlle [, b]. Définitions Cs d une fonction en esclier Théorème (et définition) Soient ϕ une fonction en esclier sur [, b] et σ une subdivision : x = <x < <x n = b ssociée à ϕ telle que : Le nombre : ϕ(x) =c i pour x ]x i,x i+ [, i =,..., n. n c i (x i+ x i ), i= est indépendnt de l subdivision ssociée. Il est ppelé intégrle de ϕ sur l intervlle [, b] et est noté : b ϕ(x)dx. Cs d une fonction continue sur un intervlle [, b] Théorème 2 (et définition) Soient f une fonction continue sur [, b] et E f l ensemble des nombres défini pr : { b } E f = ϕ(x)dx ; ϕ E([, b]) et ϕ(x) f(x). L ensemble E f est mjoré. On ppelle intégrle de f sur le segment [, b] l borne supérieure de E f ; on l note b f(x)dx. 3

14 4 CHAPITRE. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES Exemples, dessins et commentires : en cours Exercices de révision Exercice. Soit f et g deux fonctions réelles et continues sur l intervlle [, b] (vec < b) et vérifint f g.. Étblir l inéglité : b f(x)dx b g(x)dx. () Montrer que f est bornée. On note m et M ses bornes inférieure et supérieure, respectivement. (b) En déduire l inéglité : (c) Montrer qu il existe c [, b] tel que : m b f(x)dx M b b f(x)dx =(b )f(c). Exercice.2 Soit f une fonction continue sur l intervlle [, b]. Montrer que b b f(x)dx f(x) dx. Dns quel cs l inéglité cesse-t-elle d être vrie? b b f(x)dx f(x) dx Lien vec les primitives Dns tout ce prgrphe I désigne un intervlle de R et un élément de I. Soit f : I R une fonction continue. Pour tout x I, l restriction de f à l intervlle [, x], si x, ou à [x, ], si x, est continue. Pr conséquent, à tout nombre x de I, on peut lui ssocier le nombre fonction F : I R pr x f(t) dt (qui est unique). On définit insi une nouvelle F (x) = x f(t) dt. Théorème 3 (et définition) L fonction F : I R définie pr F (x) = dérivble et F (x) =f(x). On l ppelle primitive de l fonction f : I R x f(t) dt est

15 .. DIVERS RAPPELS 5 Remrque usuelles. Exemple : x On ne pourr ps toujours expliciter les primitives à l ide des fonctions dt L primitive existe mis elle ne peut ps s exprimer à l ide des fonctions usuelles. 2 ln t L expression de l fonction F :], + [ R définie pr F (x) = x 2 dt ln t ne peut ps être dvntge simplifiée. Exercice.3 Démontrer le théorème 3. Exercice.4 L fonction F peut être définie à prtir d une fonction f en esclier et, dns ce cs, l définition de F reste vlble, mis ps le théorème. Donner un exemple. Exercice.5 Soit G : I R une fonction dérivble telle que G (x) = f(x). Montrer que les fonctions F et G ne différent que pr une constnte. Ainsi donc, les primitives d une fonction continue sur un intervlle I sont égles, à une constnte près. Exercice.6 Clculer les intégrles : t 2 e t dt, 2 ln t t dt, +x +x 2 dt...2 Rppels sur les fonctions équivlentes L équivlence de fonctions u voisisnge d un point est une procédure de simplifiction du problème d étude locle de fonction. Définition (et nottion) Deux fonctions f et g, définies u voisinge d un point sont équivlentes si ε>, δ> ; x ] δ, + δ[\{} f(x) g(x) <ε g(x). On écrit lors f g. Proposition (Crctéristion) Soient f et g deux fonctions définies u voisinge d un point. On suppose que g ne s nnule ps dns ce voisinge. Alors, elles sont équivlentes si, et seulement si, Preuve en cours. lim x f(x) g(x) =.

16 6 CHAPITRE. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES Exercices de révision Exercice.7 Écrire l définition de deux fonctions équivlentes u voisinge de ±. Exercice.8 Montrer que (équivlents remrqubles).2 Intégrle générlisée.2. Position du problème sin x x, ln( + x) x, e x +x. Jusqu à présent, pour nous, l intégrle (dite définie) est une notion qui ne concerne que les fonctions continues sur un intervlle fermé et borné. Ces fonctions sont en prticulier bornées (voir le cours de l première nnée). Exercice.9 Donner des exemples de fonctions bornées et non bornées sur des intervlles de type [, b[ et [, + [. Question En quoi consiste l générlistion de l intégrle définie? Réponse Elle consiste à ffiblir toutes les hypothèses qui ont servi à l définir. Dns le cdre de ce cours, nous grderons celle de l continuité et ssouplirons celles de l intervlle (fermé et borné). Autrement dit, nous voudrions donner un sens ux objets f(x) dx, b f(x) dx, + b f(x) dx, + f(x) dx où f est continue respectivement sur les intervlles ouverts ou semi-ouverts d extrémités les bornes correspondntes. Ces intégrles sont prfois ppelées intégrles impropres. Dns un premier temps, nous verrons le cs des intervlles semi-ouverts où nous distinguerons les cs des intervlles semi-ouverts bornés des intervlles semi-ouverts non bornés. Ensuite, nous étudierons les cs restnts comme des combinisons des premiers..2.2 Générlistion ux intervlles semi-ouverts Cs d un intervlle borné Les intervlles semi-ouverts bornés sont de l forme ], b] ou [, b[ où et b sont des nombres réels. Soit f :], b] R une fonction continue. Alors, pour tout c ], b], le nombre I(c) = b c f(x) dx est bien défini et cel, de fçon unique (pourquoi?). Définition 2 L fonction f :], b] R est intégrble (ou que b f(x) dx converge) si l limite de l fonction I existe lorsque c tend vers. Cette limite est lors ppelée intégrle de f sur l intervlle ], b] et on écrit b f(x) dx = lim c I(c).

17 .2. INTÉGRALE GÉNÉRALISÉE 7 Une intégrle qui ne converge ps diverge. Proposition 2 (fondmentle) Soit f :], ] R l fonction définie pr f(x) = x. α L intégrle x dx α converge si α< et diverge pour α. Preuve : elle es bsée sur le clcul I(c) = c x α dx = Exercice. Quelle est l nture de l intégrle c ln c si α =, α ( c α ) si α. x dx? Exercice. Trnsposer l définition (2) ux intervlles de l forme [, b[. Exercice.2 Donner un exemple de fonction continue, non bornée et intégrble sur un intervlle de type [, b[. Proposition 3 Soit f x. L intégrle Preuve : en cours. b Cs d un intervlle non borné :], b] R une fonction continue qui dmet une limite lorsque f(x) dx est convergente. Soit f :[, + [ R une fonction continue. Alors, pour tout c [, + [, le nombre I(c) = c f(x) dx est bien défini et cel, de fçon unique. Définition 3 L fonction f :[, + [ R est intégrble (ou que + f(x) dx converge) si l limite de l fonction I existe lorsque c tend vers +. Cette limite est lors ppelée intégrle de f sur l intervlle [, + [ et on écrit + f(x) dx = lim c I(c). Proposition 4 (fondmentle) Soit f : [, + ] R l fonction définie pr f(x) = x. L intégrle α x dx α converge si α> et diverge pour α. c

18 8 CHAPITRE. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES Preuve : voir l proposition (2). Exercice.3 Reprendre l définition précédente pour l intervlle de type ],]. Exercice.4 Trouver l nture de l intégrle x 2 ( x) dx..2.3 Générlistion ux intervlles ouverts Cs d un intervlle borné Un intervlle ouvert et borné est de l forme ], b[ où et b sont nombres réels. Définition 4 Soit f :], b[ R une fonction continue. Si pour un nombre c ], b[, les intégrles c f(x) dx et b c f(x) dx convergent, lors f est dite intégrble sur ], b[ et b f(x) dx = c f(x) dx + b c f(x) dx. Proposition 5 Cette définition ne dépend ps du choix du nombre c. Exemple L intégrle Cs d un intervlle non borné dx est convergente (pourquoi?). x 2 Un intervlle ouvert non borné est de l forme ],b[, ], + [ ou ], + [. Définition 5 Soit f :], + [ R une fonction continue. Si pour un nombre c ], + [, les intégrles ], + [ et c f(x) dx et + + c f(x) dx = f(x) dx convergent, lors f est dite intégrble sur c f(x) dx + + c f(x) dx. Proposition 6 Cette définition ne dépend ps du choix du nombre c. Exercice.5 Trnsposer cette définition ux cs des intervlles ],[ ou ], + [. Exemple L fonction f :], + [ R définie pr f(x) =e x est intégrble (cours). Exercice.6 Montrer que l intégrle l intégrle + e x dx? + dx converge. En est-il de même pour +x2 Terminologie Une fonction f : I R est dite intégrble sur l intervlle I (ouvert, fermé ou semi-ouvert) si son intégrle converge.

19 .3. PROPRIÉTÉS DES INTÉGRALES CONVERGENTES 9.3 Propriétés des intégrles convergentes.3. Intégrle générlisée de fonctions positives Rppelons qu une fonction continue et croissnte u :[, b[ R dmet une limite lorsque x tend vers b si, et seulement si, elle est mjorée (prouvez le). Ce rppel permet d étblir un critère de convergence des intégrles de fonctions positives. Lemme Soit f b :[, b[ R une fonction continue et positive. Pour que l intégrle f(x) dx converge, il fut et il suffit que l ensemble des nombres soit mjoré. Preuve en cours. t f(x) dx où t [, b[ Exercice.7 Trncrire le théorème précédent ux utres cs d intervlles semi-ouverts et ouverts. Théorème 4 Soient f, g f g. Alors,. Si l intégrle 2. Si l intégrle t t :[, b[ R deux fonctions continues et positives telles que g(x) dx converge, l intégrle f(x) dx diverge, l intégrle t t f(x) dx converge ussi. g(x) dx diverge ussi. Preuve : en cours Ce corollire est prfois ppelé critère de comprison. Exemples. On vérifie que pour tout x de l intervlle [, + [, e x2 e x. Donc, l intégrle + e x2 2. Pr illeurs, l intégrle dx où est un réel quelconque converge (à montrer rigoureusement)..3.2 Critère de Cuchy sin x dx diverge (pourquoi?). Ce prgrphe ne concerne que les étudints qui suivent en prllèle l unité d enseignement compléments de mthémtiques. Rppelons qu une fonction F : I R, définie sur l intervlle [, b[ dmet une limite l en b si quelle que soit l suite d éléments (x n ) [, b[ qui tend vers b, l suite imge (F (x n )) tend vers l. Ce critère de continuité (ppelé prfois continuité séquentielle) pour conséquence un utre critère (ppelé critère de Cuchy) qui présente un réel intérêt prtique. D bord, un complément sur les suites numériques.

20 2 CHAPITRE. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES Les suites de Cuchy Définition 6 Une suite de nombres réels (x n ) est de Cuchy si ε>, N N; p, q > N, on x p x q <ε Théorème 5 (dmis) Une suite de nombres réels converge dns R si, et seulement si, elle est de Cuchy. L importnce des suites de Cuchy réside dns deux fits :. L notion de convergence de suite de nombres est tributire de l ensemble uquel pprtient l limite (exemple de Q). 2. Dns R, les notions de convergence et de suite de Cuchy sont équivlentes (on dit que R est complet). Preuve du théorème en cours. Lemme 2 Une fonction F :[, b[ R, continue, dmet une limite en b si ε>, α> ; x, x ]b α, b[, on F (x) F (x ) < ε. Preuve en cours. Grâce à ce lemme, on peut étblir le théorème suivnt : Théorème 6 Soit f :[, b[ R une fonction continue. L intégrle si, et seulement si, b f(x) dx converge ε>, α> ; x, x ]b α, b[, on x x f(t) dt < ε. Exercice.8 Montrer que ce théorème reste vri si l on remplce l intervlle [, b[ pr l intervlle [, + [. Remrque Évidemment, on peut réecrire ce théorème pour les intervlles de type ], b] et ],b]. Corollire L intégrle de toute fonction continue et bornée sur un intervlle borné converge. est conver- Exemple L intégrle de l fonction f gente. :], ] R définie pr f(x) = sin x Exercice.9 Montrer que ce corollire cesse d être vri si l on remplce intervlle borné pr intervlle quelconque.

21 .4. CAS D UNE FONCTION COMPLEXE DE VARIABLE RÉELLE Convergence bsolue Définition 7 Soit I un intervlle ouvert ou semi-ouvert et f : I R une fonction continue. Son intégrle est dite bsolument convergente si l intégrle de l fonction f : I R est convergente. Dns cette définition, l intervlle I pourrit être borné ou non borné. Théorème 7 Soit f : I R une fonction continue sur l intervlle ouvert ou semi-ouvert I. Si son intégrle est bsolument convergente, lors elle est convergente. Preuve en cours. Exemple Ainsi, l intégrle sin x dx est bsolument convergente (à montrer). x 2 Exercice Montrer que l ensemble des fonctions continues et bsolument intégrbles sur un intervlle I est stble pr rpport à l ddition..3.4 Intégrbilité et équivlence de fonctions Théorème 8 Soit f, g : [, b[ R deux fonctions positives, continues. Si elles sont équivlentes équivlentes u voisinge du point b. Alors, les deux intégrles b f(x) dx, b g(x) dx sont de même nture (ou bien elles convergent toutes les deux, ou bien elles divergent toutes les deux). Preuve en cours Exemple l fonction f(x) = intégrle converge. 2x x5 + x + est équivlente à l infini à 2. Donc, son x3/2 Exercice.2 L intégrle + x cos dx est divergente (pourquoi?) x Remrque Le théorème précédent peut être étendu ux fonctions posistives f, g : [, b[ R telles que lim x x = f(x) g(x) = λ. Ceci se justifie pr le fit que l ensemble des fonctions intégrbles sur un intervlle (semi)- ouvert I est un espce vectoriel sur R..4 Cs d une fonction complexe de vrible réelle De telles fonctions sont définies sur une prtie I de R et prennent leurs vleurs dns C. Exemples. L imge de l fonction f : R C définie pr f(t) =e it est le cercle trigonométrique (ensemble des nombres complexes de module égl à.)

22 22 CHAPITRE. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 2. L imge de l fonction g : R C définie pr g(t) = t( + i) est l première bissectrice du pln rpporté u repère usuel. Remrque Soit I un intervlle. L donnée d une fonction f : I C équivut à l donnée de deux fonctions f,f 2 : I R qui correspondent ux prties réelle et imginire de l première. On écrit : f = f + if 2. Définition 8 Soit I un intervlle quelconque. L fonction f : I C est dite continue si les prties réelle et imginire f et f 2 sont continues. Il suffit que l une des deux fonctions f ou f 2 soit discontinue pour que l fonction f le soit. Définition 9 Soit I un intervlle quelconque. L fonction f : I C, continue, est intégrble si les prties réelle et imginire f et f 2 sont intégrbles sur I et lors, f(x) dx = f (x) dx + i f 2 (x) dx. I I Cette définition regroupe tous les cs d intervlle. Elle concerne donc les intégrles définies comme les intégrles générlisées. Attention : il s git bien ici de fonctions complexes de vrible réelle cr pour les fonctions complexes de vrible complexe, l définition d intégrle est toute utre. Elle ser vue en troisième nnée. Les règles d intégrtion vues précédemment s ppliquent ux fonctions ussi bien réelles que complexes, mis de vrible réelle. I

23 .5. EXERCICES 23.5 Exercices Exercice.2 Étudier l nture des intégrles générlisées suivntes : + + ) e αx ln(x) dx (α R) ; b) dx ; x 2 + dx + ( c) (α R) ; d) +xα 2 x Arcsin( ) x ) dx ; + ( e) 2 x + + ) + dx ; f) xe ix3 dx ; x + e itx g) ( + x) dx, (t α R,α R + ). Exercice.22 Étudier l nture des intégrles générlisées suivntes : dx ) ; b) ln(x) ln(x) dx ; c) x 2 x dx ; d) π/2 tn(x) dx ; e) sin ( x ) dx. Exercice.23 Étudier l convergence des intégrles générlisées suivntes et trouver leurs vleurs éventuelles : ) c) + π/2 Arctn(x) dx ; b) x 2 ln(sin(x))dx et π/2 x n dx x 2 ln(cos(x))dx. (n Z) ; Exercice.24 Trouver l nture des intégrles suivntes : 2 2 ( ) ln x dx ; b) ln(x) ) dx ; c) x Exercice.25 Montrer que si l intégrle A + I, lors on : lim f(x)dx = I. A + A Prouver sur un exemple que l réciproque est fusse. + + dx x3 +. f(x)dx est convergente et pour vleur Exercice.26 Soit f continue sur [, + [, décroissnte et à vleurs dns R +, telle que l intégrle + Montrer que l on : f(x)dx soit convergente. lim f(x) =. x +

24 24 CHAPITRE. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

25 Chpitre 2 Séries numériques Ce chpitre est bsé sur les suites numériques réelles ou complexes. On suppose cquis les définitions et les résultts essentiels vus en première nnée. 2. Rppels sur les suites numériques Définition Une suite numérique est une ppliction de N éventuellement privé d un nombre fini d éléments dns R ou C. Nottion : on note (u n ) (ne ps omettre les prenthèses) l suite qui à n ssocie u(n). L imge u(n) est notée u n et on l ppelle terme générl de l suite. Exemples fondmentux :. Les termes de l suite ( ) sont tous compris entre et. n 2. Les termes de l suite ( n ) où est un nombre réel sont tous positifs si est positif et de signes lternés si est strictement négtif. 3. Trouver le terme générl de l suite rithmétique de rison r et de premier terme ; 4. Trouver le terme générl de l suite géométrique de rison r et de premier terme. Définition L suite (u n ) est convergente s il existe un nombre l R (ou C) vérifint : ε>, N N, n > N, u n l < ε. Le nombre l est ppelé limite de l suite (u n ) et on écrit : l = lim n u n ou u n l. Premier retour ux exemples fondmentux : en cours. Définition 2 Une suite (u n ) est sttionnire si n N; n n,u n = C (constnte). Une suite constnte est sttionnire et ps le contrire. Définition 3 L suite réelle (u n ) est mjorée (resp. minorée) s il existe M (resp. m) pprtennt à R tel que : n N, u n M (resp. m u n ). Une suite réelle est dite bornée si elle est à l fois mjorée et minorée. 25

26 26 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES Proposition 7 Une suite (u n ) est bornée si, et seulement si, il existe une constnte positive C telle que : n N, u n C. Exemples : en cours. Proposition 8 Toute suite convergente est bornée. En d utres termes, une suite non bornée ne peut être convergente. Deuxième retour ux exemples fondmentux : en cours. Définition 4. L suite réelle (u n ) tend vers + si : A>, N N, n > N, u n >A; 2. L suite réelle (u n ) tend vers si : A>, N N, n > N, u n < A. On écrit respectivement : u n + ou u n. Troisième retour ux exemples fondmentux : en cours. Proposition 9 Si (u n ) et (v n ) sont des suites convergentes telles que u n v n pour tout n n (vec n N), lors on : lim u n lim v n. n n Remrque Le pssge à l limite trnsforme l inéglité stricte en inéglité lrge. Théorème 9 (théorème sndwich ou théorème des gendrmes) Soient (u n ), (v n ) et (w n ) trois suites numériques telles que : pour tout n : u n w n v n ; (u n ) et (v n ) convergent vers l même limite l. Alors, l suite (w n ) converge vers l. Définition 5 L suite (u n ) est croissnte (resp. décroissnte) si, pour tout n N, on u n+ u n (u n+ u n ). Une suite croissnte ou décroissnte est ppelée suite monotone. Exemples :. L suite ( ) est décroissnte (trivil). n 2. L suite ( 5n ) est croissnte (prouvez le). n Théorème Une suite croissnte et mjorée (ou décroissnte et minorée) est convergente. Définition 6 Deux suites (u n ) et (v n ) sont djcentes si : (u n ) est croissnte et (v n ) décroissnte ; pour tout n N, on : u n v n ; lim n + (u n v n ) =.

27 2.2. POSITION DU PROBLÈME, DÉFINITIONS, PREMIÈRES PROPRIÉTÉS 27 Théorème Si (u n ) et (v n ) sont des suites djcentes, lors elles convergent vers l même limite. Définition 7 L suite (v n ) est une suite extrite (ou sous-suite) de l suite (u n ) s il existe une ppliction φ : N N, strictement croissnte, telle que v n = u φ(n). Exemples : en cours. Proposition Toute suite extrite d une suite convergente vers l converge ussi vers l. Corollire 2 Si une suite (u n ) dmet deux suites extrites qui convergent vers deux limites distinctes, lors l suite (u n ) n est ps convergente. Exercice Montrer que l suite (( ) n ) ne converge ps. Définition 8 Deux suites numériques (u n ) et (v n ) sont équivlentes s il existe une suite numérique (ε n ) qui tend vers et vérifint : n N, u n = ( + ε n )v n. Remrque Si les termes de l suite (v n ) ne s nnulent ps, lors les suites (u n ) et (v n ) sont équivlentes si, et seulement si, lim u n v n =. Proposition Deux suites positives et équivlentes sont de même nture. 2.2 Position du problème, définitions, premières propriétés Dns ce qui suit, K désigne le corps des nombres réels ou complexes. Pour uniformiser l écriture et suf mention contrire, on suppose que les suites sont définies pour tous les entiers nturels n. Si exceptionnelement, une suite (u n ) est définie pour n > n, on conviendr de l prolonger à tout n n en posnt u n =. On sit que l somme lgébrique ne concerne qu un nombre fini de termes. Que se psse-t-il losrqu on psse à un nombre infini de termes? Il existe de nombreuses situtions qui illustrent cette problémtique. L plus connue est celle du prdoxe de Zénon Prdoxe de Zénon Zénon d Élée ( v. J.-C.) énoncé de nombreux prdoxes. Le plus célèbre est celui de l flèche (ou d Achille et l tortue). Pour tteindre une cible immobile, une flèche prcourt, dns un premier temps, l moitié de l distnce qui l en sépre, puis dns un second temps, l moitié de l distnce restnte, et insi de suite. L flèche ur donc toujours une moitié de distnce à prcourir ussi petite que soit cette distnce. Donc, roulement de tmbour et cymble : l flèche ne devrit jmis tteindre l cible. Et pourtnt, elle l tteint... Évidemment, derrière ce prdoxe se cche l notion de convergence des séries numériques.

28 28 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES Définitions, premières propriétés Une série numérique est une suite numérique prticulière. En effet, Définition 9 Soit (u n ) une suite numérique réelle ou complexe. L suite numérique n (s n ) définie pr s n = u i est ppelée série numérique de terme générl u n. On l note i= [u n ]. Les nombres u n sont les termes de l série. Exemples. L série de terme générl n où est un nombre réel ou complexe est ppelée série géométrique. 2. L série de terme générl où α est un nombre réel strictement supérieur à est nα ppelée série de Riemnn. [ 3. L série est ppelée série hrmonique. n] Définition 2 (et nottion) L série numérique [u n ] converge (resp. diverge) si l suite n de terme générl s n = u n, ppelée ussi suite des sommes prtielles de [u n ], converge i= (resp. diverge). Si l suite des sommes prtielles (s n ) converge, s limite est ppelée (bus de lngge) somme de l série [u n ]. On l note Remrque + n= u n.. Certins uteurs utilisent le symbole générl u n. On dit lors que l série converge ou ne converge ps. + n= u n (ou n + n= u n ) pour noter l série de terme u n (à ne ps confondre vec l somme) 2. Le mot somme est utilisé de fçon busive cr il s git, ici, d une limite et non d une somme. Une somme met toujours en jeu un nombre fini de termes. Exemples. Montrer (en cours) que l série géométrique [ n ], où est un nombre réel ou complexe, converge si, et seulement si, <. ( 2. L série [u n ] définie pr u = et pour n, u n = ln + ) diverge. n Définition 2 On ppelle reste d ordre N d une série numérique [u n ] qui converge vers S le nombre p R p = S u n = u p+ + u p+2 + n=

29 2.2. POSITION DU PROBLÈME, DÉFINITIONS, PREMIÈRES PROPRIÉTÉS 29 Il est clir que si une série [u n ] converge lors, son reste d ordre N définit une suite qui converge vers. Proposition 2 (Critère de Cuchy) Si l série numérique [u n ] converge, lors q ε>, n N; p, q > n (vec q p), u n < ε. Preuve. Admise. n=p Corollire 3 Si l série numérique [u n ] converge, lors Exemple de référence ε>, n N; p > n u n < ε. Montrons que l série [ n ] est divergente. On pose s n = n=p n u i. On remrque que s 2n s n = n + + n n > 2n + 2n + + 2n = 2. En prennt ε = 2, quel que soit le rng n, il existe deux entiers n et 2n supérieurs à n tels que 2n i=n+ u n ε. Corollire 4 Si l série numérique [u n ] converge, lors l suite (u n ) tend vers qund n tend vers l infini. Attention : L condition u n est nécessire mis ps suffisnte pour que l série [u n ] converge (voir l exemple précédent). Autres exemples. On vu que l série [u n ] définie pr u = et pour n, u n = ln diverge. Pourtnt, l suite (u n ) tend vers. 2. L série [( ) n ] est évidemment divergente. n= ( + ) n Définition 22 Deux séries [u n ] et [v n ] sont dites de même nture si elles convergent simultnément ou divergent simultnément. Proposition 3 On ne modifie ps l nture d une série en chngent un nombre fini de ses termes. L somme, pr contre, chnge (bien sûr). Preuve. (en cours) Proposition 4 Soit u n = v n +iw n le terme générl d une série à coefficients complexes. L série [u n ] converge vers l = l +il 2 si, et seulement si, les séries [v n ] et [w n ] convergent respectivement vers l et l 2. Preuve. en cours.

30 3 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES Structure d espce vectoriel Soit S l ensemble des séries à coefficients dns K (R ou C). On munit S des deux lois suivntes : [u n ], [v n ] S, on pose [u n ]+[v n ] = [u n + v n ], λ K, [u n ] S, on pose λ[u n ] = [λu n ] Muni de ces deux lois, S est un espce vectoriel sur K (à montrer). Proposition 5 L ensemble des séries convergentes est un sous-espce vectoriel de S. Preuve. en cours. Exercice 2. Trouver le vecteur nul de S. 2.3 Séries à termes positifs. Une série [u n ] est à termes positifs si n N, u n. Dns ce cs, l suite des sommes prtielles, (s n ), ssociée à l série [u n ], est croissnte. Donc, elle converge si, et seulement si, elle est mjorée. Pour étudier les séries à termes positifs, nous disposons de trois théorèmes (outils) importnts. Théorème 2 (comprison d une série vec une intégrle générlisée) Soit f une fonction continue, positive, décroissnte sur ], + [. L série de terme générl f(n) et l intégrle + f(t) dt sont de même nture. Preuve. en cours Exemple fondmentl On montre en cours que l série de Riemnn [ ] converge si α>. nα Exercice 2.2 Quelle est l nture de l série [ ] lorsque α? nα Théorème 3 (comprison de deux séries) Soient [u n ] et [v n ] deux séries à termes positifs telles que, à prtir d un certin rng n, u n v n.. Si l série [v n ] converge, lors [u n ] converge. 2. Si l série [u n ] diverge, lors [v n ] diverge. Preuve. en cours Exemples

31 2.4. SÉRIES À TERMES QUELCONQUES 3. L série n ci-dessus). (série de Riemnn vec α = 2) converge (voir l exemple fondmentl n2 Autre methode Pour n 2, on peut mjorer le terme générl n n et l série obtenue converge (pourquoi?). n diverge cr on peut minorer son terme générl pr n 2. L série n correspondnte diverge. Trouver un utre rgument pour étblir l divergence de cette série. n pr 2 n(n ) = et l série Théorème 4 Soient [u n ] et [v n ] deux séries à termes positifs. Si u n v n qund n tend vers l infini, lors [u n ] et [v n ] sont de même nture. Preuve. On reprend l définition de deux suites équivlentes : deux suites (u n ) et (v n ) sont équivlentes si ε>, n N; n>n, u n v n <ε v n. Poser ε = et utiliser ensuite le théorème précédent. 2 Exemples. L série de terme générl u n = n 2 + n + converge puisque u n n. ( 2 2. Revenons à l série [ln + ) ( ]. Cette dernière diverge cr ln + ) n n n série hrmonique diverge. Attention. Ces théorèmes s ppliquent seulement ux séries à termes positifs. et l 2.4 Séries à termes quelconques 2.4. Séries bsolument convergentes Définition 23 Une série [u n ] est bsolument convergente si l série des vleurs bsolues (ou des modules dns C) [ u n ] est convergente. Proposition 6 Si l série [u n ] converge bsolument, lors l série [u n ] converge. Preuve. en cours. Exemples. [e inθ /n 5/2 ] converge bsolument pour tout θ réel. 2. [ n /n!] converge bsolument pour tout (. Remrque L réciproque de l proposition précédente est fusse. Prendre pr exemple l série [ ( )n ] qui converge (voir, plus loin, le théorème d Abel) sns converger bsolument puisque l série des vleurs bsolues est l série n hrmonique. Définition 24 Une série numérique qui converge sns converger bsolument est dite semi-convergente.

32 32 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES D utres critères de convergence Théorème 5 (Règle de D Alembert) Soit [u n ] une série numérique, réelle ou complexe. On suppose que l limite de l suite ( u n+ u n ) existe. On l note.. Si <, l série [u n ] converge. 2. Si >, l série [u n ] diverge. 3. Si =, on ne peut rien dire. Preuve. en cours. Exemples. L série [ n ] est convergente pour tout. n! 2. L série [ n ] est convergente pour tout tel que < (montrer de deux n2 mnières différentes). Pour >, elle est divergente et pour =, c est une série de Riemnn, donc convergente. 3. L série [ n ] est convergente pour tout tel que <. Pour, elle est n divergente (pourquoi?). 4. Trouver un exemple d ppliction du troisième cs de l règle de D Alembert. Exercice 2.3 Montrer que si l suite ( u n+ u n ) diverge vers l infini, lors l série [u n] diverge. Théorème 6 (Règle de Cuchy) Soit [u n ] une série numérique, réelle ou complexe. On suppose que l limite de l suite n u n existe. On l note.. Si <, l série [u n ] converge. 2. Si >, l série [u n ] diverge. 3. Si =, on ne peut rien dire. Exemples. L série [ n ] converge pour tout. nn 2. L série [ n ] converge pour tout < cr n lim. (n n) = ; elle diverge pour n + 3. L série dont les sommes prtielles successives sont de l forme + b + 2 b + 2 b n b n + n+ b n est convergente si b < ; on, en effet u 2n = n+ b n ; u 2n+ = n+ b n+ donc lim (n u n )= b. L règle de d Alembert ne permet ps n + (directement) d étblir ce résultt cr u n+ u n n ps de limite. Exercice 2.4 Montrer que si l suite ( n u n ) tend vers l infini, l série [u n ] diverge.

33 2.4. SÉRIES À TERMES QUELCONQUES 33 Théorème 7 (Abel) Soit [ n v n ] une série qui vérifie les propriétés suivntes : n. L suite de terme générl V n = v k est bornée. 2. L suite ( n ) converge vers zéro. 3. L série [ n n+ ] converge. Alors l série [ n v n ] converge. Preuve. en cours. Ce théorème comprend un cs prticulier très importnt. Corollire 5 Soit [ n v n ] une série qui vérifie les propriétés suivntes : n. L suite de terme générl V n = v k est bornée. 2. l suite ( n ) est réelle, décroissnte et tend vers zéro. Alors l série [ n v n ] converge. k= k=

34 34 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES Exemples importnts.. Les séries trigonométriques suivntes convergent si θ 2kπ pour k Z et α>. [ einθ n α ], [e inθ n nθ nθ ], [cos ], [sin α nα n ]. α 2. Les séries lternées [( ) n+ v n ] convergent lorsque (v n ) est une suite de nombres réels décroissnte vers. 2.5 Produit de séries numériques Définition 25 On ppelle série produit de deux séries numériques [ n ] et [b n ] l série [c n ] définie pr c n = b n + b n + 2 b n n b. Exemple : trouver le terme générl de l série produit des séries géométriques [α n ] et [β n ]. On note (A n ), (B n ) et (C n ) les suites des sommes prtielles respectivement des séries [ n ], [b n ] et [c n ]. Exercice 2.5 A-t-on, pour tout n dns N, C n = A n B n? Théorème 8 On suppose que les séries [ n ] et [b n ] convergent bsolument. Alors l série produit [c n ] converge bsolument et c n = n= ( )( n b n ). n= n= Preuve : dmise. 2.6 Clcul pproché de l somme d une série lternée Position du problème Le clcul d une limite conduit, en générl, à un processus infini. L vleur numérique (hbituellement clculée dns Q ou en bse décimle) excte est souvent impossible à obtenir. Les clculs possibles, régis pr des procédures finies, ne peuvent être que des clculs pprochés. Pr conséquent, l objectif de tout clcul numérique concret est d pprocher une vleur (ou une expression) donnée vec une précision donnée. Prenons pour exemple le clcul de l somme + n= ( ) n+ n (vleur excte) vec l précision de 4. Pour cel, nous vons besoin de l reltion suivnte (à étblir pr récurrence) : n N, +x = x + x2 + ( ) n x n +( ) n+ xn+ +x.

35 2.7. NOTE HISTORIQUE 35 Après pssge à l intégrle, on obtient dx +x = ( )n x n+ n + +( )n+ +x dx. De l mjortion x n+ ( )n+ +x dx x n+ dx = on déduit que lorsque n n +2 + ( ) n+ tend vers l infini, le second membre tend vers l somme (qui existe, puisque n + ( ) n+ l série converge). Donc, on : = ln(2). n n= L reltion ci-dessus nous permet d pproximer l vleur de ln(2) à l ide des nombres rtionnels. Si l on rrête le développement de ln(2) à l ordre n, le reste ser mjoré pr n +2. Pr conséquent, pour que l erreur ne dépsse ps 4, il suffit de pousser le développement jusqu à n tel que n +2 4, c est-à-dire, n 998. L estimtion (ou l mjortion) du reste d une série numérique est en générl difficile. On sit le fire dns le cs des séries lternées. Théorème 9 Soit [( ) n n ] une série lternée où l suite à termes positifs ( n ) est décroissnte et converge vers. On note (s n ) l suite de ses sommes prtielles, R n, celle de ses restes d ordre n et S s somme. Alors,. n N, s 2n+ s s 2n, 2. n N, R n n+. Preuve. en cours n= 2.7 Note historique N. Oresme écrit vers 35 Questions sur l géométrie d Euclide, livre qui été publié seulement en 96. Son titre indique que l on vit encore à cette époque sur l héritge mthémtique euclidien. Ce mnuscrit montre quel étit loprrs l étt de l nlyse mthémtique, et il nous fit découvrir un sujet enyièrement nouveu, é svoir l théorie des séries. Oresme considère une série géométrique de terme générl q n - en utilisnt nos nottions d ujourd hui - et il conclut qu elle est convergentesuivnt que <q ou q : Si l ddition étit fite indéfiniment pr des prties proportionnelles selon un rpport d églité ou de mjortion, le tout deviendrit infini. Si pr contre on fisit l ddition selon un rpport de minortion, on n urit jmis l infini, bien que l ddition fût fite indéfiniment. Il donne l règle de sommtion d une série géométrique que nous pouvons écrire +q + q q n +, < q <.

36 36 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES Oresme montre, pr contre, qu on peut voir une série de terme générl tendnt vers zéro et dont pourtnt l somme est infinie, et cel dns un pssge qui porte l empreinte de l mthémtique grecque : Soit une quntité donnée, un pied, à qui on joute pendnt l première prtie proportionnelle à une heure l moitié d un pied, puis un tiers de pied. puis un qurt, puis un cinquième et insi de suite suivnt l suite des nombres ; je dis que le tout ser infini, ce qu on prouve insi : il existe une infinité de prties qui sont chcune plus grnde que l moitié d un pied, donc le tout ser infini. Ce qui précède est clir cr l qutrième prtie et l troisième prtie dépssent un demi, et de même, l cinquième à l huitième, puis jusqu à l seizième, et insi à l infini. Cette démonstrtion d Oresme montrnt que l série hrmonique de terme générl n est divergentepeut être précisée à l ide du critère de Cuchy.

37 2.8. EXERCICES Exercices Exercice 2.6 Étudier l suite (u n) n N définie pr u =, u n = e u n n, pour n. (En risonnnt pr récurrence, on pourr montrer que pour n u n ], n [). Exercice 2.7 Étudier l convergence et determiner l somme éventuelle des séries de terme générl ) n(n + 4), b) n + n c) e, n d) 9n 2, e) e xn dx, f) u n défini dns l exercice. Exercice 2.8 Montrer que, pour r ], [ et θ R, les séries de termes générux u n = r n sin(nθ) et v n = r n cos(nθ) sont bsolument convergentes et clculer leur somme.( On pourr considèrer l série de terme générl w n = v n + iu n.) Exercice 2.9 Étudier l convergence des séries de terme générl ( ) nn n 2, b) cos(π n n, c) n + e) n! n, ln n f) n n!, g) π n sin 3 x j) +x dx, k) ( ) n n ln(n) ) n 2, d) (n!)2 (2n)!, ( rcsin( n) n, h) l) ( )n cos(n) n m) n + i ( où i2 =, ln(n + ).. Exercice 2. Étudier l convergence de l série de terme générl où α est un nombre réel. u n = n k= (k(n k)) α, ( ) n Exercice 2. Montrer que l série lternée de terme générl est convergente. 3 n + Soit S s somme et R n son reste d ordre n. Déterminer n pour que l on it R n En déduire une vleur pprochée de S à 6 près. Exercice 2.2 Étudier l semi-convergence des séries suivntes : [ ( ) n ln n ] [, ( ) n tn ] n n. n

38 38 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES Exercices fculttifs Exercice 2.3 Soient α et β deux réels. Etudier l convergence de l série de terme générl u n = n α (ln n). β Exercice 2.4 ) Montrer que, à l infini, S n = b) Montrer que pour tout entier nturel n, n k= k est équivlente à ln(n). n ln tdt ln(n!) et en déduire un équivlent de ln(n!) [ à l infini. ] Sn c) Quelle est l nture de l série ln(n!)? n 2 n+ 2 ln tdt [ ] u n Exercice 2.5 Comprer l nture des séries [u n ] et où (u n ) n N est une suite +u n réelle positive.

39 Chpitre 3 Suites et séries de fonctions 3. Suites de fonctions 3.. Introduction Une suite d éléments d un ensemble E est une ppliction de N (éventuellement privé d un nombre fini d éléments) dns E. Dns cette définition, l ensemble E est quelconque. Il pourrit être un ensemble de nombres (suites numériques) et prmi elles, les séries numériques, un espce vectoriel (suites vectorielles) ou utre. Dns ce chpitre, nous nous interesserons u cs prticulier où E est un ensemble de fonctions définies sur une prtie X de R ou C et à vleurs dns R ou C. Cet ensemble est un espce vectoriel (de dimension infinie) sur R ou C. On le note F(X, R) ou F(X, C). Pour lléger l écriture, on désigner (dns ce chpitre) pr K l un des deux corps de nombres R ou C. Définition 26 (et nottion) Une suite de fonctions de F(X, K) est une ppliction de N (éventuellement privé d un nombre fini d éléments) dns F(X, K)). On l note (f n ). Exemples. On pose X = [, ] et f n (x) =x n. Cette suite n est ps polynomile (pourquoi?). 2. On définit sur ( R l suite de fonctions (g n ) pr g n (z) = + n) x n.,8 3. Dessiner les grphes des trois premiers éléments de l suite (w n ) n où,6 si x w n (x) = nx si x ],,4 n ] si x>,2 n.,2,4,6,8 39

40 4 CHAPITRE 3. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS Comme pour les suites numériques, l question principle qui se pose ux suites de fonctions est reltive à l convergence. S gissnt, justement, de suites de fonctions, il y deux types importnts de convergence, l convergence simple et l convergence uniforme Convergence simple d une suite de fonctions Définition 27 Une suite de fonctions (f n ) de F(X, K) converge simplement si les suites de nombres réels ou complexes (f n (x)) convergent pour tout x pris dns X. Autrement dit, il existe une fonction f F(X, K) telle que, pour tout x pris dns X, (f n (x)) converge vers f(x). S limite f, ppelée limite simple, est définie prtout sur X. Définition 28 On ppelle domine de convergence d une suite de fonctions (f n ) de F(X, K) définies sur un ensemble X K, l ensemble de tous les x de X tels que l suite (f n (x)) converge. Exemples. L suite de fonctions (f n ) définies pr f n (x) =x n sur [, ], converge simplement puisque, pour x [, [, l suite numérique (f n (x)) converge vers et l suite (f n ()) converge vers. S limite simple, notée f, est définie pr f(x) = si x [, [ et f() =. 2. L suite de fonctions (h n ) définies dns R pr h n (t) =e nit ne converge ps simplement (même si elle converge pour t =2kπ où k est un entier reltif). Son domine de convergence est 2πZ. 3. L suite de fonctions (f n ) définie sur [, ] pr f n (x) = xn + nx, converge simplement. S limite (à montrer) est égle à f(x) =x. n Question de terminologie On dit ussi qu une suite de fonctions qui converge simplement, converge ou converge ponctuellement. Cette dernière terminologie est plus précise cr elle indique bien que l suite de fonctions converge point pr point. L ensemble des suites de fonctions de F(X, K) est un espce vectoriel sur K. On le note S(F(X, K)). Suites de fonctions complexes de vrible réelle L donnée d une suite de fonctions complexes (f n ) équivut à celle de deux suites de fonctions réelles (g n ) = (Re(f n )) et (h n ) = (Im(f n )). Proposition 7 Une suite de fonctions (f n ) à vleurs complexes converge si, et seulement si, ses prties réelle et imginire convergent. Preuve. en exercice (voir l proposition nlogue pour les suites numériques) Convergence uniforme d une suite de fonctions Définition 29 Une suite de fonctions (f n ) de F(X, K) converge uniformément s il existe une fonction f F(X, K) telle que ε>, N(ε), n>n(ε), et x X, on f n (x) f(x) < ε.

41 3.2. PROPRIÉTÉS DES SUITES UNIFORMÉMENT CONVERGENTES 4 L fonction f est ppelée limite uniforme. Proposition 8 Si une suite de fonctions (f n ) converge uniformément vers f, lors elle converge simplement vers f. Remrquons que les limites simple et uniforme d une suite de fonctions, qund elles existent, sont identiques. 5 4 f + ε Proposition 9 Une suite de fonctions (f n ) converge uniformément vers f si, et seulement si, l suite numérique (sup f n (x) f(x) ), x X définie à prtir d un certin rng et notée (s n ), converge vers. 3 2 f n 2 f ε f x Exemple détillé Considérons l suite de fonctions (f n ) définies sur [,α] [, [ pr f n (x) = x n. Montrons qu elle converge uniformément vers l fonction nulle. L convergence simple est immédite (gir sur les équivlents). Pour étblir l convergence uniforme, on utilise l proposition précédente (exercice). Autre exemple L suite de fonctions (u n ) définies sur R pr n 2 x si x [, n ] u n (x) = n 2 ( 2 n x) si x [ n, 2 n ] illeurs n est ps uniformément convergente. 3.2 Propriétés des suites uniformément convergentes Théorème 2 Soit (f n ) une suite de fonctions continues sur X K et à vleurs dns K. Si elle converge uniformément vers f, lors l fonction f est continue. Preuve. en cours. De ce théorème, on déduit imméditement le corollire Corollire 6 Soit (f n ) une suite de fonctions continues sur X K et à vleurs dns K. Si elle converge simplement vers une fonction f non continue, lors l convergence n est ps uniforme.

42 42 CHAPITRE 3. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS Exemples. L suite définie pr f n (x) =x n sur [, ],ne converge ps uniformément vers f (où f(x) = si x [, [ et f() = ) cr l suite numérique ( sup f n (x) f(x) ) = x [,] () ne converge ps vers. 2. L suite de fonctions (f n ) définies sur [, ] pr f n (x) =n 2 x( x) n converge vers l fonction nulle qui est continue. Pourtnt, l convergence n est ps uniforme (à montrer) Théorème 2 Soit (f n ) une suite de fonctions continues sur l intervlle réel [, b]. Si elle converge uniformément vers f lors lim n b f n (x)dx = b lim f n(x)dx = n b f(x)dx Preuve. en cours. Exemples ( ) x n. L suite (f n ) où f n (x) = converge uniformément vers zéro sur [, ] vérifie n x n bien l églité lim n n dx = dx =. 2. L suite de terme générl f n où f n (x) =n 2 x( x) n est définie sur [, ] et converge vers l fonction nulle. D près le clcul lim n n 2 x( x) n dx = lim n l suite (f n ) ne converge donc ps uniformément vers. n 2 x n ( x)dx = lim n 2 ( n n + n +2 )=, 3. Comme pour le théorème, l condition de convergence uniforme n est ps nécessire comme le prouve l suite de terme générl f n où f n (x) =x n sur [, ] ; on déjà vu que (f n ) ne converge ps uniformément vers f ; cependnt lim lim n n + = et f(x)dx =. n f n (x)dx = Théorème 22 Soit (f n ) une suite de fonctions réelles ou complexes dérivbles sur un intervlle I de R. Si. Il existe un point x I tel que l suite numérique (f n (x )) converge, 2. l suite (f n) converge uniformément vers g sur I, lors l suite (f n ) converge uniformément sur I et s limite f est dérivble et de dérivée égle à g. Preuve. en cours Exemple L suite (f n ) où f n (x) = xn tend uniformément vers zéro sur [, ] et l suite dérivée n (f n) ne converge ps uniformément.

43 3.3. SÉRIES DE FONCTIONS Séries de fonctions 3.3. Convergence simple, uniforme et bsolue ( n ) Définition 3 Soit (u n ) une suite de fonctions définies sur X et (U n )= u k l suite des sommes prtielles ssociées. L série de fonctions [u n ] converge simplement ou ponctuellement (resp. uniformément) si l suite de fonctions (U n ) converge simplement (resp. uniformément). Exemples. L série [u n ] pour n, définie sur [ α, α] (vec α [, [ ) pr u n (x) = x n converge uniformément vers l fonction x. Pr contre, cette même série ne converge ps uniformément sur l intervlle ], [ (pourquoi?). Définition 3 L série de fonctions [u n ] converge bsolument si l série de fonctions de terme générl [ u n ] converge. On étblit (de fçon nlogue ux séries numériques) le théorème suivnt. Théorème 23 Si l série [u n ] converge bsolument, lors elle converge simplement. Exemple L série [u n ] définie sur R + pr u n (x) = cos nx Quelle est l nture de cette série si l on remplce R + pr R? Convergence normle e nx k= converge bsolument (à monter). Définition 32 L série de fonctions [u n ] définies sur X K et à bleurs dns K converge normlement si les fonctions u n sont bornées et si l série numérique de terme générl [sup u n (x) ] converge. x X De l définition, on déduit l proposition suivnte. Proposition 2 L série [u n ] converge normlement si, et seulement si, il existe une suite de réels (m n ) telle que. n N, x X, u n (x) m n, 2. l série numérique [ m n ] converge. Preuve. en cours. Théorème 24 Si l série [u n ] converge normlement, lors,. elle converge uniformément, donc ponctuellement, 2. l série [ u n ] converge uniformément donc simplement.

44 44 CHAPITRE 3. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS Preuve. en cours. Exemples. L série [u n ] définie sur R pr u n (x) = converge normlement (à montrer). n 2 + x2 2. L série [ ( )n+ ] converge bsolument pour x >, diverge pour x. Que se n x psse-t-il pour les utres vleurs réelles de x? Tbleu récpiltultif Nous venons de voir qutre types de convergence pour les séries de fonctions : convergence simple (CS), convergence uniforme (CU), convergence normle (CN) et convergence bsolue (CA). Il est importnt de les situer les unes pr rpport ux utres. Compléter à l ide des flèches d impliction le schém suivnt : CA CN CS Autres propriétés On reprend trois théorèmes vus dns le cdre des suites de fonctions. CU Théorème 25 Soit (u n ) une suite de fonctions continues sur X telle que [u n ] converge uniformément. Alors, l somme x u n (x) est une fonction continue sur X. n= Théorème 26 (Intégrtion terme à terme) Soit (u n ) une suite de fonctions continues sur X R telle que [u n ] converge uniformément. Alors, ( b ) b u n (x) dx = u n (x)dx. n= Théorème 27 (Dérivtion terme à terme) Soit [u n ] une suite de fonctions dérivbles sur un intervlle [, b] de R. On suppose qu il existe un point x I tel que l série numérique [u n (x )] converge. Si l série [u n] converge uniformément, lors l série [u n ] converge uniformément et pour somme l fonction S, dérivble sur [, b] et vérifint l églité : S (x) = u n(x). En d utres termes, si les hypothèses de ce dernier théorème sont stisfites, on : n= n= x X, ( u n (x)) = n= u n(x). n=

45 3.3. SÉRIES DE FONCTIONS 45 Il existe deux clsses importntes de séries de fonctions : les séries entières et les séries trigonométriques. Le prgrphe suivnt est conscré à l premiere clsse et le chpitre suivnt à l seconde.

46 46 CHAPITRE 3. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS 3.4 Exercices Exercice 3. Soit X = [, + [. Étudier l convergence simple de l suite de fonctions (f n ) telle que x X f n (x) = n 2 + nx. L convergence est-elle uniforme? Exercice 3.2 Soit X =], + [. Montrer l convergence simple de l série de fonctions [u n ] n N telle que nx x X u n (x) = n 4 x 2 +. L convergence est-elle normle? Montrer que l somme de cette série est une fonction continue sur X. Exercice 3.3 Soit X =], + [. Montrer l convergence simple de l série de fonctions [u n ] n N telle que x X u n (x) =( ) n n!(x + n). L convergence est-elle normle? Montrer que l somme de cette série est une fonction continue et dérivble sur X. Exercice 3.4 Déterminer le ryon de convergence et le disque de convergence des séries entières suivntes. () [sin n ] [ ] [ ] [ ] ln n zn (b) z n (c) z n n (d) n(n + n n 2 +3 zn [ ] (n!) 2 (e) (2n)! z2n Exercice 3.5 Donner le développement en série entière de x. Démontrer pour 2+x tout entier nturel k l formule En déduire l somme de l série x k 2+x dx = 2 + n= + n= ( ) n (n + k + )2 n. ( ) n (n + 4)2 n. Exercice 3.6 Soit [ n x n ] n N une série entière dont l somme f(x) est solution de l éqution différentielle xy + y =(x + 2)e x. ) Trouver l série entière [c n x n ] n N dont l somme est égle à (x + 2)e x. 2 ) Clculer n. 3 ) Déterminer le ryon de convergence de l série [ n x n ] n N. 4 ) Trouver le développement en série entière de l fonction x 5 ) En déduire f. x tf(t)dt.

47 Chpitre 4 Séries entières Les séries entières sont de l forme [ n (u u ) n ] où u et u sont des nombres réels ou complexes. Elles sont identifibles à l ide des suites numériques ( n ). Les nombres réels ou complexes n sont ppelés les coefficients de l série entière. Les séries entières sont importntes pour deux risons. - L première vient du fit que les fonctions les plus simples à étudier et surtout à évluer sont les fonctions polynomiles. - l deuxième concerne le pssge à l limite des pproximtions polynomiles d une fonction de clsse C (développement de Tylor - McLurin). Cette limite, existe-t-elle toujours et si oui, dns quel domine? Dns ce prgrphe, Nottion et convention Il est clir que grâce à l substitution z = u u, on peut limiter l étude des séries entières [f n ] u cs où f n (z) = n z n. Pr bus d écriture, cette série entière ser notée [ n z n ]. Le premier terme d une série entière [ n z n ]) est dit terme constnt. 4. Disque et ryon de convergence 4.. Définitions et exemples Rppelons que si, pour z fixé dns K, l série numérique [ n z n ] est convergente, lors, nécessirement lim n z n =. En prticulier, l suite ( n z n ) est bornée. n Le premier fit mrqunt des séries entières est justement lié u crctère borné ou non de cette suite. Théorème 28 Si, pour un certin z fixé dns K, l suite numérique ( n z n ) est bornée, lors, l série [ n z n ] converge bsolument dns tout le disque ouvert (, z ) de centre et de ryon z. Preuve Comme l suite ( n z n ) est bornée, il existe un réel A tel que, quel que soit l entier nturel n, n z n A. Cel implique, pour z, que n z n = n z n 47 z n z n A zn. z n

48 48 CHAPITRE 4. SÉRIES ENTIÈRES Pr conséquent, si z < z, l série entière [ n z n ] converge bsolument cr elle est mjorée pr une série géométrique de rison inférieure strictement à. Exemples. Une fonction polynomile est une série entière prticulière. l suite ( n z n ) correspondnte est évidemment bornée (pourquoi?). 2. L suite (z n ) est bornée en z =. Pr conséquent, l série entière [z n ] est bsolument convergente sur le disque unité ouvert centré en (fit déjà connu). 3. L suite ( zn ) est bornée quel que soit z pprtennt à C (à montrer). Pr conséquent n! l série entière [ zn ] est convergente sur C. n! On convient de considérer K comme un disque de ryon infini. Corollire 7 (et définition) Le domine de convergence d une série entière est un disque ouvert uquel s joutent éventuellemnt des points de s frontière. Ce disque ouvert est ppelé disque de convergence et son ryon, ryon de convergence. Le ryon de convergence d une série entière peut être fini (éventuellement nul) ou infini. Ainsi, il découle de ce corollire trois informtions prtiques :. pour tout z C, tel que z <r, l série [ n z n ] converge, 2. pour tout z C, tel que z >r, l série [ n z n ] diverge, 3. Si pour un certin z C, l série [ n z n ] converge, lors, nécessirement z <r. Corollire 8 Le ryon de convergence d une série entière est égl à l borne supérieure des modules z tels que l suite ( n z n ) soit bornée. Le ryon de convergence d une fonction polynomile (considéré comme série entière) est égl à l infini. Les ryons de convergences des séries entières [z n ] et [ zn ] sont respectivement égux à n! et +. Corollire 9 Soit r le ryon de convergence de l série entière [ n z n ]. Cette série converge normlement sur tout disque (,ρ) de ryon ρ < r. Ce corollire implique que l série entière converge uniformément sur tout disque (,ρ) où ρ < r. Exemples. Nous vons déjà vu que l série entière [z n ] ne converge ps uniformément sur ], [. En fit, elle converge uniformément sur tout intervlle de l forme [ α, α] où α [, [. 2. L série exponentielle [ zn ] est normlement convergente sur tout disque fermé n! (,R), mis n est ps uniformément convergente sur tout C. Réécrire cette phrse pour l exponentielle réelle. Remrque Le domine de convergence d une série entière n est jmis vide. puisqu il contient u moins le nombre nul. Pr contre, le disque de convergence (qui ne comprend ps s frontière) peut être vide (voir, pr exemple, l série entière [n!z n ]).

49 4.2. PROPRIÉTÉS DES SÉRIES ENTIÈRES Propriétés des séries entières 4.2. Opértions sur les séries entières Soient [ n z n ] et [b n z n ] deux séries entières de ryons de convergence r et r. Définition 33. On ppelle somme des séries entières [ n z n ] et b n z n ] l série entière [( n + b n )z n ]. 2. On ppelle produit des séries entières [ n z n ] et [b n z n ] l série entière [c n z n ] définie n pr c n = i b n i. i= Proposition 2 Soient [ n z n ] et b n z n ] deux séries entières de ryons de convergence r et r. Les ryons de convergence r s et r p des somme et produit de deux séries sont supérieurs ou égux u minimum des ryons r et r : r s min(r, r ) et r p min(r, r ). Preuve. L série somme converge bsolument pour tout z tel que z < min(r, r ), cr elle est mjorée pr l série numérique [( n + b n ) z n ] qui converge. Le cs de l série produit ser trité en cours. Remrque Pour l somme comme pour l produit, lorsque z min(r, r ), tout peut se produire. Ainsi, les séries [z n ] et [b n z n ] où b =,b =,b n = pour tout n 2 ont pour ryons de convergence respectivement et + ; le ryon de convergence de leur série produit est égl à l infini Série dérivée d une série entière Définition 34 On ppelle série dérivée de l série entière [ n z n ] l série [(n + ) n+ z n ]. De fçon générle, on ppelle série dérivée p-ième de l série entière [ n z n ] l série [(n + p)(n + p ) (n + ) n+p z n ]. Exemple L série dérivée de l série entière [z n ] est [(n + )z n ] Remrque L série dérivée peut ussi s écrire [n n z n ] Série intégrle d une série entière Définition 35 On ppelle série intégrle de l série entière [ n z n ] l série [ ] n z n On l écrit ussi. n Exemple [ ] z L série intégrle de l série entière [z n n+ ] est. n + [ n z n+ n + ].

50 5 CHAPITRE 4. SÉRIES ENTIÈRES 4.3 Propriétés de l fonction somme Désignons pr S(z) l somme de l série numérique [ n z n ], qund elle converge. Elle est définie sur le disque ouvert (,r) uquel s joutent éventuellement des points de s frontière. l question de dérivbilité ne se pose que pour les points intérieurs à (,r), c est-à-dire, les points z tels que z <r Dérivtion et intégrtion terme à terme Théorème 29 L fonction S est dérivble sur le disque (,R) et l série dérivée converge sur (,R) vers S. Preuve. Corollire L fonction S est continue dns le disque (,r). Preuve. Corollire Dns le cs d une série entière à coefficients réels, l fonction S est de clsse C sur ] r, r[ et l dérivée p-ième de S est égle à l somme de l série dérivée p-ième de l série [ n z n ] : S (p) (z) = ( ) (p) n z n n= = ( n z n ) (p) = n= n(n ) (n p + ) n z n p. n=p Preuve. Corollire 2 Pour tout p, S (p) () = p! p. Théorème 3 ( Théorème d intégrtion terme à terme) Dns le cs d une série entière à coefficients réels L fonction S est intégrble et son intégrle est égle à l somme de l série intégrle : t ] r, r[, t ( ) n x n dx = n= t n= n x n dx = n= n n + tn+. Exemples. Pour tout nombre z tel que z <, l série entière [n n z n ] (série dérivée de [ n z n ]) pour somme l dérivée de l somme x, c est-à-dire ( x) D près le théorème précédent, + n= x n n = ln( x) sur ], [.

51 4.4. APPLICATIONS Applictions 4.4. Résolution d éqution différentielle On considère l éqution différentielle linéire P (x)y + Q(x)y + R(x)y =, (4.) où P, Q, R sont trois fonctions polynomiles. On dmet le théorème d existence de solutions de l éqution différentielle linéire (4.) suivnt. Théorème 3 (de Cuchy) Pour tout point qui n nnule ps l fonction polynomile P, il existe une solution développble en série entière [ n (x ) n ] de ryon de convergence ρ >. Se mettnt dns le cdre de ce théorème, résoudre une éqution différentielle linéire (4.) revient à trouver les coefficients de son développement en série entière. Remrque Les coefficients de l série entière [ n (x ) n ], solution de l éqution différentielle linéire (4.), vérifient une (double) reltion de récurrence. Exemple : Résolvons l éqution (x 2 2x)y + 6(x )y +6y = dns R, schnt que y() = et y () =. Cherchons y sous forme d une série entière en (x ). Posons X = x. L éqution devient (X 2 )y +6Xy +6y = Après les substitutions l éqution devient y = X + 2 X n X n + y = X + + n n X n + y = X + + n(n ) n X n X( ) + X 2 ( )+ + X n (n(n ) n (n + 2)(n + ) n+2 +6n n +6 n )+ =. D où 2 = ; 3 = 2; ; n+2 = n +3 n + n, pour n 2. On en déduit 2n = et 2n = n, c est-à-dire y = n n(x ) 2n. Le ryon de convergence de cette série est égl à. L intervlle de convergence est ], 2[. On pouvit considérer cette éqution différentielle dns C. Les mêmes clculs nous conduiront u disque de convergence de centre et de ryon.

52 52 CHAPITRE 4. SÉRIES ENTIÈRES Clcul d intégrles Les primitives de certines fonctions sont difficiles à exprimer à l ide des fonctions élémentires. Pour les évluer, il existe de nombreuses méthodes et prmi elles, l méthode du develppement en série entière. On veut, pr exemple, clculer l intégrle I(x) = x e t2 dt ; on ne connit ps de primitive de e t2. Pr contre, on sit que pour tout nombre réel t e t2 = + n= ( ) n t 2n. n! D près le théorème de l intégrtion des séries entières (cette série converge uniformément sur tout intervlle fermé et borné), I(x) = + n= ( ) n x 2n+ (2n + )n! est l vleur cherchée. C est une série lternée dont il est fcile de clculer une vleur pprochée vec une précision donnée. Clculons les trois premières termes de I(). Si I N = N n= ( ) n (2n + )n!, on I 4 =, , I 5 =, , I 6 =, Comme I 5 < I < I 6, on peut écrire I,

53 Chpitre 5 Séries trigonométriques 5. Introduction et définitions Dns ce chpitre, nous verrons une utre clsse importnte de séries de fonctions, les séries trigonométriques. L propriété essentielle de ces séries est l prise en compte, dns l décomposition d une fonction périodique en somme infinie de fonctions simples, du crctère de périodicité. Prenons pr exemple l fonction x sin x. Son développement en série entière est ( ) n x 2n+ (2n + )! n= et ses pproximtions à n importe quel ordre n qui sont des fonctions polynômiles ne sont ps périodiques et encore moins 2π-périodiques. Dns un premier temps, nous étudierons le cs de fonctions 2π-périodiques. Prmi ces fonctions, les plus simples sont évidemment de l forme x cos nx et x sin nx où x R et n N. Les premières sont pires et les secondes, impires. Ensuite, nous psserons u cs des fonctions T -périodiques où T est un nombre réel positif quelconque. Définition 36 On ppelle série trigonométrique toute série dont le terme générl est de l forme n cos nx + b n sin nx (5.) où x est une vrible réelle et les coefficients n et b n sont des nombres complexes. Convention On conviendr d écrire les sommes prtielles d une série trigonométrique (5.) sous l forme n 2 + ( k cos kx + b k sin kx). Il en découle que b =. k= Définition 37 Une fonction f : R C, 2π-périodique, est développble en série trigonométrique si elle est limite simple (ou somme) d une série trigonométrique. 53

54 54 CHAPITRE 5. SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES Exemples. Les fonctions sin et cos sont développbles en séries trigonométriques (déterminer les coefficients n et b n correspondnts). cos nx 2. L série de terme générl est trigonométrique. n 2 3. Représenter les grphes des fonctions 2π-périodiques f, g : R R définies pr f(x) = { x si x [ π, [, x si x [,π[, g(x) = { x 2 si x [ π, [, si x [,π[, Autre écriture des séries trigonométriques Après substitution cos nx = enix + e nix, sin nx = enix e nix, 2 2i le terme générl (5.) devient α n e nix + β n e nix où α n = n ib n 2 et β n = n + ib n 2. Il en découle que l somme prtielle 2 + p n= s écrit ussi (écriture exponentielle complexe ) ( n cos nx + b n sin nx) p n= p c n e inx, où les coefficients c n sont égux à α n si n est positif, à β n si n est négtif. Il s ensuit que c = 2. Comme dns le cs générl des séries de fonctions, on rencontre souvent dns des mnuels l nottion (encore un bus) : 2 + n= ( n cos nx + b n sin nx), n= c n e inx pour désigner les séries trigonométriques. Exercices. Écrire les coefficients c n des séries trigonométriques [ cos nx sin nx ] et [ ] n 2 n 2 2. Inversement, écrire les coéfficients n et b n des séries trigonométriques : [ neinx n 2 + ] et e inx [ n + ].

55 5.2. CONVERGENCE DES SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES Convergence des séries trigonométriques L notion de convergence peut, bien-sûr, s ppliquer ux séries trigonométriques écrites selon l définition. Pour l retrouver sous l écriture exponentielle complexe, on besoin de l définition suivnte : Définition 38 Une série trigonométrique c n e inx est convergente sur une prtie D n= de R s il existe une fonction f : D C qui vérifie l ssertion : p x D,, ε>, N(ε, x) N; p > N(ε, x) = n= p c n e inx f(x) < ε. On poser f(x) = c n e inx Exercice. Écrire de fçon nlogue les définitions de convergence uniforme, bsolue et normle d une série trigonométrique c n e inx. n= Une série trigonométrique est une série de fonctions prticulières définies sur tout R. Pr conséquent, tous les théorèmes et propositions vus dns le chpitre des séries de fonctions restent vris. Il en résulte l proposition suivnte. Proposition 22 Si les séries numériques [ n ] et [ b n ] convergent, lors l série trigonométrique [ n cos nx + b n sin nx] converge normlement (donc uniformément) et s somme est une fonction continue. Preuve. En exercice. Exemple L somme de l série [ cos nx + sin nx ] existe et est continue. n 2 À ce stde du cours, une question se pose : dns le cs spécifique des séries trigonométriques, l réciproque de l proposition (??) est-elle vrie? L réponse est donnée pr le théorème suivnt. Théorème 32 Si les suites de nombres réelles positives ( n ) et (b n ) sont décroissntes et convergent vers, lors, l série trigonométrique de terme générl ( n cos nx + b n sin nx) converge sur l ensemble R \{2kπ ; k Z}. Preuve. ppliquer le théorème d Abel. En fit, le résultt est plus fort. Théorème 33 Si les suites de nombres réels positifs ( n ) et (b n ) sont décroissntes et convergent vers, lors, l série trigonométrique de terme générl ( n cos nx + b n sin nx) converge uniformément sur tout intervlle de type [2kπ + δ, 2(k + )π δ] où k Z. Preuve. (dmise)

56 56 CHAPITRE 5. SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES 5.2. Propriétés de l fonction somme De l convergence uniforme étblie dns le théorème précédent, on déduit le théorème suivnt. Théorème 34 L somme d une série trigonométrique est 2π- périodique et continue sur R \{2kπ ; k Z}. Preuve. (dmise) Théorème 35 Si l série [ n cos nx + b n sin nx] converge vers une fonction f sur un intervlle I et si l série dérivée [n n cos nx nb n sin nx] est uniformément convergente sur I, lors cette dernière converge vers une fonction g telle que g = f. Preuve. (dmise) Exercice n cos nx Trouver l somme de l série trigonométrique de terme générl (utiliser l écriture 2 n exponentielle complexe) 5.3 Coefficients et série de Fourier Jusqu à présent, nous nous sommes intéressés à l étude des séries trigonométriques dont on connit u déprt les coefficients n et b n, à leur convergence et ux propriétés de leurs sommes. Dns ce prgrphe, nous nous interesserons u problème inverse. On se donne une fonction f : R C, 2π- périodique. Sous quelles conditions supplémentires dmet-elle, dns un domine D de R (à préciser), un développement en série trigonométrique et dns le cs où un tel développement existe, comment déterminer D insi que les coefficients n et b n correspondnts? En fit l origine des séries trigonométriques residit dns l résolution de ce problème inverse (voir l note historique) et plus précisemment, dns l décomposition d une solution de l éqution des cordes vibrntes en somme infinie de fonctions périodiques. Plusieurs réponses ont été données. L plus complète (dns le cdre de notre unité d enseignement) est celle qui ets contenue dns le théorème de Dirichlet-Jordn. Avnt d énoncer ce théorème, nous vons besoin de quelques définitions et nottions. Définition 39 Une fonction f : R C est continûe pr morceux si sur tout intervlle borné, elle ne possède qu un nombre fini de points de discontinuité (et illeurs, elle est continue). Définition 4 Une fonction f : R C est continûment dérivble pr morceux si sur tout intervlle borné, à l exception d un nombre fini de points, elle est dérivble et s dérivée est continue. Exemple L fonction u : R R définie pr u(x) = x x est continûment dérivble pr morceux puisqu elle est continûment dérivble sur R \ Z et que l intersection de Z vec

57 5.3. COEFFICIENTS ET SÉRIE DE FOURIER 57 tout intervlle borné est fini. Nottions. On note E l espce vectoriel (à vérifier) des fonctions définies sur R, 2π-périodiques, continûment dérivbles pr morceux et possédnt en tout point de discontinuité, des limites à guche et à droite. Exemples. L fonction v, 2-périodique, définie sur [, [ pr v(x) = x est un élément de E. 2. L fonction w, 2π-périodique, définie sur [, 2π[ pr f() = et f(x) = sin x si x ], 2π[ est continûment dérivble pr morceux, mis n pprtient ps E. 2. On note f( + ) et f( ) les limites à droite et à guche de f en. Il est clir qu une fonction est continue si, et xseulement si, ses limites à guche et à droite en tout point sont égles. Exercice On reprend les fonctions u et v définies ci-dessus. Exprimer v à l ide de u. Définition 4 On ppelle coefficients de Fourier d une fonction f, élément de E, les nombres réels n et b n définis pr n = π 2π f(x) cos nx dx, b n = π 2π L série trigonométrique définie pr ses sommes prtielles 2 + p est ppelée série de Fourier de f. Exercices n= ( n cos nx + b n sin nx) f(x) sin nx dx.. Soit u un élément de E. Montrer que pour tout nombre réel α, on : et en prticulier, 2π 2π u(x) dx = u(x) dx = α +2π α π π u(x) dx u(x) dx. 2. Montrer que les coefficients c n de l série de Fourier (deuxième écriture) ssociée à l fonction 2π-périodique f ont pour expressions : c n = 2π 2π f(x)e inx dx Le lien entre l fonction f et s série de Fourier est étbli pr le théorème suivnt. Théorème 36 (théorème de Dirichlet-Jordn) Si f E. Alors l série de Fourier ssociée converge ponctuellement vers l fonction g, définie sur R pr g(x) = f(x+ )+f(x ). 2

58 58 CHAPITRE 5. SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES Preuve. (dmise) Corollire 3 Si l fonction f, élément de E, est continue en, s série de Fourier converge ponctuellement en vers f(). Grâce à ce théorème, on peut voir que si f est pire, tous les coefficients b n sont nuls et si f est impire, les coefficients n à prtir de n = sont nuls (le coefficient peut ne ps être nul). Exemples. L série de Fourier ssociée à l fonction 2π-périodique f définie pr f(x) = α si x [,π[ et f(x) =β si x [ π, [ est égle à α + β 2 +2 α β π n= sin(2n + )x. 2n + Que devient cette série lorsque α = β? 2. L série de Fourier ssociée à l fonction 2π-périodique g définie pr g(x) =αx si x [,π[ et g(x) =βx si x [ π, [ est égle à α β π +2 β α 4 π n= cos(2n + )x (2n + ) 2 +(α + β) 5.3. Cs des fonctions T -périodiques n= n sin nx ( ) n. Comme pour les fonctions 2π-périodiques, les fonctions T -périodiques de bse sont x cos( 2πx ). Elles sont indéfiniment dérivbles. L première est pire et l seconde, impire. T Tous les résultts et propriétés étblis jusqu ici peuvent s ppliquer ux fonctions T - périodiques. Ainsi, les coefficients de Fourier deviennent dns ce cs : n = 2 T T f(x) cos 2nπx T dx, b n = 2 T T f(x) sin 2nπx T dx, c n = T T f(x) e 2nπx T Exercice Clculer les coefficients de Fourier des fonctions définies sur R pr : dx. x x x ; x ( ) 2x. 5.4 Interpréttion géométrique 5.4. Produit sclire sur un espce vectoriel E On sit que dns l espce euclidien R 3, l notion de produit sclire sert à définir l orthogonlité de deux vecteurs et à étblir des reltions métriques dns l espce comme - le théorème de Pythgore, - et l expression des coordonnées d un vecteur v pr rpport à une bse (e,e 2,e 3 ) comme produits sclires de v et des éléments e i.

59 5.4. INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE 59 En fit, ces reltions métriques peuvent se retrouver dns n importe quel espce vectoriel (même de dimension infinie) pourvu que l on puisse y définir un produit sclire. Rppelons qu une ppliction ϕ : E E C définit un produit sclire dns le C- espce vectoriel E si c est est une forme bilinéire, symétrique et définie positive :. x,x 2,y E, λ, µ C, ϕ(λx + µx 2,y)=λϕ(x,y)+µϕ(x 2,y); x, y,y 2 E, x λ, µ C, ϕ(x, λy + µy 2 )=λϕ(x, y )+µϕ(x, y 2 ), 2. x, y E, ϕ(x, y) =ϕ(y, x), 3. x, E \{}, ϕ(x, x) >. On note souvent le produit sclire,. Le nombre x, x = x est l longueur (norme) de x. Exercice Montrer que si le produit sclire de deux vecteurs u et v est nul, lors u + v = u + v (théorème de Pythgore). Exemples. L forme bilinéire dns R 3, définie pr (x, y) x y + x 2 y 2 + x 3 y 3 définit le produit sclire euclidien clssique. 2. l forme bilinéire (f, g) espce vectoriel E. 2π Ce deuxième exemple est fondmentl pour l suite. f(x)g(x) dx définit un produit sclire sur le C Inéglité de Bessel, églité de Prsevl Posnt δp q = si p q et δp p =, montrer que quels que soient deux entiers nturels p et q, on : 2π cos px sin qx dx =, π 2π π cos px cos qx dx = δ q p, 2π π sin px sin qx dx = δ q p. Ces reltions montrent que l fmille de fonctions {sin px, cos px; p N} est orthonormle. Est-elle une bse de E? Nous détillerons l réponse en cours. Au sens du produit sclire défini sur E, l norme (ou longueur) d un élément f de E est égle à 2π f = f(x) f(x) dx. Notons S n f l somme prtielle d ordre n de l série de Fourier (en exponentielle), c està-dire c k e ikx n. k= n Dns les deux théorèmes qui suivent, c k exponentielle complexe). (k Z) est le coefficient de Fourier de f (écriture

60 6 CHAPITRE 5. SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES Théorème 37 (Inéglité de Bessel) Si f E, lors c k 2 2π f(t) 2 dt = f 2. 2π k= Théorème 38 (Églité de Prsevl) Soit f E Alors. L suite (S n f) converge en moyenne qudrtique vers f, c est à dire : 2. k= c k 2 = 2π 2π lim n f(t) 2 dt. 5.5 Note historique 2π f(t) S n f(t) 2 dt =. Au déprt fut l éqution ux cordes vibrntes (cs idél) 2 u t 2 = c2 2 u t 2 pour lquelle D Alembert (77-783) trouv des solutions (en 747) de l forme u(x, t) = f(ct + x) f(ct x) où f est une fonction quelconque périodique, de période 2l (l est l longueur de l corde et c, l vitesse de l l propgtion de l onde). L courbe ci-dessus représente grphiquement l position initile de l corde à l instnt t =. Pour un x donné, u(x,.) est une fonction périodique en temps t. En 753, Dniel Bernouilli (7-782) entreprit de considérer des fonctions f de l forme ( nπx ) ( nπct ) 2 sin cos l l ou encore ( nπ(ct + x) ) ( nπ(ct x) ) sin sin. l l Schnt que les fonctions sin et cos sont les fonctions périodiques les plus simples, il eut l idée d exprimer l fonction f de l solution de D Alembert sous forme d une série trigonométrique f(u) = 2 + [ ( nπu ) ( nπu )] n cos + b n sin = l l 2 + α n sin n= n= nπ(u β). l Les termes de cette denière série désignent les hrmoniques. En prennt cette fonction comme solution de D Alembert et ensuite en substitunt t =, on obtient l condition initile qui doit être une fonction périodique en x. Se pose lors l question : comment écrire une fonction quelconque comme somme infinie de fonctions sinus d rcs multiples? Cette question fut résolue pr J. Fourier ( ) en 87, en étudint l éqution de l chleur. Les séries trigonométriques sont ussi utilisées en stronomie, coustique, optique et bien d utres domines.

61 5.6. EXERCICES Exercices Exercice 5. Donner les domines et types de convergence des séries suivntes : u n (x) = sin n x n 2, v n (x) = einx n!, w n(x) = cos nx n (On pourr s intéresser à l convergence sur des intervlles du type [2kπ+δ, 2(k+)π δ]). Fculttif : même question pour les séries dérivées. Exercice 5.2 Clculer les coefficients des séries de Fourier des fonctions définies sur R pr : ) f(t) = sin t b) g(t) = sin 3 t. Expliquer les prticulrités consttées. (On donner l llure des grphes de f et g). Exercice 5.3 Soit f un élément de E, et t un réel fixé. On pose g(t) =f(t t ).. Montrer que g est un élément de E. 2. Clculer les coefficients de Fourier de g, en fonction de ceux de f. 3. En déduire les coefficients de Fourier de h(t) = cos t. Exercice 5.4 On définit sur R l fonction f de période 2π telle que : f(t) = π 4 si t ] π 2, π 2 [, f(t) = π 4 si t ]π 2, 3π 2 [ et f(π 2 )=f( π 2 ) =.. Trcer le grphe de f. 2. Appliquer en le justifint le théorème de Dirichlet-Jordn. ( ) k 3. En déduire l églité 2k + = π 4. Exercice 5.5 Soit f l fonction 2π périodique égle à x 2 sur [, 2π[. Déterminer s série de Fourier et clculer s somme pour x =. Que peut-on dire de l convergence de cette série? Exercice 5.6 Trouver toutes les solutions 2π périodiques de l éqution différentielle : y + y = sin x. On pourr utiliser l exercice 2, et l unicité du développement en série de Fourier. Exercice 5.7 Ecrire l églité de Prsevl pour les fonctions de l exercice 2. Exercice 5.8 Développer en série de Fourier l fonction f telle que f(t) =e ixt, où x est élément de R \ 2πZ. Déduire de l églité de Prsevl l reltion : π 2 sin 2 πx = + n= (x n) 2.

62 62 CHAPITRE 5. SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES Exercices supplémentires : Exercice 5.9 Soit f l élément de E défini sur [ π, π[ pr f(t) = cosh t ( > donné). ) Montrer que l série de Fourier de f converge uniformément vers f. b) Clculer les termes de cette série. c) En déduire : R, 2 + n = π (coth π 2 2 π ). d) Justifier l dérivtion terme à terme et en déduire : x ] π, π[, shx = 2sh(π) ( ) n+ n sin nx. π n Exercice 5. Soit f l élément de E définie sur ] π, π[ pr f(x) = si x et f(x) = si x>. ) Développer en série de Fourier l fonction f. b) Etudier s convergence et en déduire les sommes des séries suivntes : ( ) k 2k +, (2k + ), 2 ( ) k+ k 2. (On pourr utiliser les exercices précédents).