Chapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction

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1 2e semestre 2/ UE 4 U : Abrégé de cours Anlyse 3: fonctions nlytiques Les notes suivntes, disponibles à l dresse bertrm/, contiennent les définitions et les résultts principux du cours. Elles ne remplcent ni un polycopié complet, ni le cours lui-même. Un polycopié du cours de F. Géndier donné en 29/2 se trouve à l dresse : gendier/ Chpitre : Fonctions nlytiques - introduction Les fonctions dites nlytiques sont des fonctions qui ont des propriétés encore meilleures que celles des fonctions différentibles. Rppelons que les fonctions différentibles dmettent une pproximtion, en un point x donné, pr une fonction polynomile : c est l fmeuse formule de Tylor f(x + h) = f(x ) + f (x )h + 2 f (x )h k! f (k) (x )h k + R k (x, h). Le point essentiel du théorème de Tylor est de fournir un bon contrôle du terme reste R k (x, h) (que l on peut écrire sous forme d une intégrle, ou sous d utres formes). En clcul différentiel, on s intéresse principlement u comportement de ce terme qund h tend vers : s contribution (pour k fixé) est négligeble envers les utres termes qui sont polynomiles en h, insi f est pprochée, u voisinge de x, pr le polynôme p(h) = + h + 2 h k h k, vec i = i! f (i) (x ). Une utre question importnte concerne le comportement du terme reste qund k tend vers l infini (et h et x restent fixés). Les fonctions nlytiques sont précisément celles pour lesquelles le terme reste tend vers :.. Définition. Une fonction f : I R définie sur un intervlle I est dite nlytique si elle est de clsse C et si, pour tout x I, et pour tout h dns un voisinge de, on lim R k(x, h) =. k On écrit lors f(x) = i= i(x x ) i (vec i = i! f (i) (x )), pour x u voisinge de x. Cette dernière écriture suggère un utre point de vue :.2. Définition. Une série entière convergente est l donnée d une suite,,... telle que, pour tout x dns un voisinge de, l limite suivnte existe j= j x j := lim k k j x j. j=

2 Un vntge de cette définition est qu elle un sens tout ussi bien pour les nombres complexes que réelles. On peut lors démontrer l équivlence suivnte :.3. Théorème. Pour une fonction f : I R sont équivlents : () f est nlytique ; (2) pour tout x I, il existe une série entière convergente telle que, u voisinge de x, f(x) = j (x x ) j. j= Comme dit ci-dessus, l vntge de l formultion (2) est qu elle un sens ussi bien pour une fonction f : U C définie sur un ouvert U de C. On dit lors que f est (complexe) nlytique. Un objectif principl du cours ser l étude des séries entières et des fonctions nlytiques. On montrer que prtiquement toutes les fonctions élémentires sont en effet nlytiques, ce qui permettr de les définir et étudier de fçon rigoureuse, non seulement sur les domines réelles, mis ussi sur des domines complexes..4.exemple. Supposons qu il existe une fonction nlytique telle que f = f et f() =. Alors, pr récurrence, on f (k) = f pour tout k, et donc les coefficients de Tylor de f u point x = sont k = f (k) () =, et insi f est donnée pr l série entière k! k! f(x) = j= j! xj. Nous llons montrer que cette formule définit en effet une fonction nlytique, l fonction exponentielle c est l fonction l plus importnte en mthémtiques. De fçon similire on étudier d utres fonctions élémentires. Voici une liste de telles fonctions et de leurs séries entières : exp(x) = sin(x) = cos(x) = sh(x) = ch(x) = log( + x) = ( + x) α = j= j= j= j= j! xj ( ) j (2j + )! x2j+ ( ) j (2j)! x2j (2j + )! x2j+ j= (2j)! x2j j= ( ) j j + xj+ = x x2 2 + x j= ( ) ( ) α α x j α(α ) (α j + ) où = j j j! 2

3 Pour toutes ces formules, il fut bien vérifier pour quels x R, resp. pour quels x C, elles sont vlbles. Afin de définir des fonctions nlytiques un peu moins élémentires, nous urons besoin d intégrles générlisées (qui portent sur des intervlles quelconques), comme pr exemple Γ(z) := qui définit l importnte fonction Gmm. t z e t dt Il ne fut ps croire que toute fonction différentible est nlytique : les exemples suivnts donnent des contre-exemples (cf. TD)..5. Exemple. L fonction f : R R, f(x) := { x si x > si x est de clsse C (= continue), mis non de clsse C. L fonction f : R R, f(x) := { x 2 si x > si x est de clsse C, mis non de clsse C 2, etc. Exercice : l fonction f : R R, f(x) := { e x si x > si x est de clsse C, mis non C ω (on écrit C ω pour l clsse des fonctions nlytiques). Ainsi l chine d inclusions de clsses C C C 2... C C ω est stricte. Un utre point de vue sur les fonctions nlytiques consiste à remplcer les monômes f n (x) = x n, qui pprissent dns le développement n nx n, pr d utres fonctions f n, pr exemple pr d utres polynômes, ou pr des fonctions trigonométriques comme f n (x) = sin(nx). Ce dernier choix est prticulièrement dpté us fonctions périodiques, et il mène à l notion de séries de Fourier que nous llons étudier à l fin du cours. Chpitre 2 : Séries notions de bse 2.. Définition. Une série numérique (réelle ou complexe), de terme générl u n, est une suite (S n ) n N, de l forme n S n = u k. k= On dit qu elle est convergente si l suite (S n ) converge u sens usuel, et dns ce cs on écrit u k := lim S n. n k= 2.2. Exemple : l série géométrique. Soit h C et u n = h n. On sit qu lors S n = + h h n = hn+ h, 3

4 et cette suite converge ssi h <, et dns ce cs s limite est k= hk = lim S n = h Exemple : l série hrmonique. Soit u =, u n = n. Alors l série n u n ne converge ps (elle diverge). En effet, les sommes } {{ 4} } {{ 8} } {{ 6} 2/4 4/8 8/6 ne sont ps bornées, donc ne définissent ps une suite convergente (nous encourgeons le lecteur de fire une similtion numérique du tbleu (n, S n )) Exemple : l série hrmonique lternée. Soit u =, u n = ( ) n+. Alors l série n n u n converge (exercice ; pproche systémtique plus trd) Exemple : les sommes télescopiques. Soit b n une suite quelconque et u := b et u n := b n b n si n. Alors S n = b + (b b ) + (b 2 b ) (b n b n ) = b n, et insi l suite b n converge ssi l série k u k converge. Plus générlement, cet exemple montre que toute suite numérique peut être vue comme une série, et réciproquement : il s git u fond du même objet. Ainsi, les preuves des résultts suivnts sont simplement des ré-interpréttions de resultts connus pour les suites : 2.6. Théorème (Critère de Cuchy pour les séries). Une série (réelle ou complexe) un converge si, et seulement si, pour tout ε >, il existe N N tel que pour tout m n N, m u k < ε. k=n Rppelons que l impliction non-trivile de ce théorème repose sur l complétude des nombres réels. Remrquons ussi que, si l série converge, pour m = n, il s ensuit que u n < ε, insi u n converge nécessirement vers. L exemple de l série hrmonique montre que l réciproque est fusse : n converge vers, mis n= diverge. n 2.7. Théorème (Somme et multiples). L somme n (u n + v n ) de deux séries convergentes n u n et n v n est convergente, et un multiple sclire n cu n d une série convergente est convergente. Pour les limites on (u k + v k ) = k= u k + v k, k= k= cu k = c u k. k= k= Ainsi V := {(u n ) n N n u n converge} est un espce vectoriel sur R, resp. sur C Théorème (Monotonie) Soit u n pour tout n. Alors l série n u n converge si, et seulement si, l suite des sommes prtielles S n = n k= u n est bornée Définition. Une série réelle ou complexe n u n est dite bsolument convergente si l série des vleurs bsolues u n converge. Exemple. L série hrmonique lternée converge, mis elle ne converge ps bsolument. 4

5 2.. Théorème (Convergence bsolue). Toute série bsolument convergente est convergente, et de plus on u n u n. 2.. Théorème (Comprison de séries). Soit c n une suite telle que c n converge. Si (u n ) n N est une suite réelle ou complexe telle que u n c n pour (presque) tout n N, lors n u n converge bsolument. Remrque. Le mot presque veut dire ici : à un nombre fini d exceptions près (on peut toujours modifier, rjouter ou enlever un nombre fini de termes dns une série sns chnger l nture convergente ou non de cette série!) Théorème ( Règle de Cuchy ). Soit (u n ) n N une suite réelle ou complexe. S il existe q R vec q < et C > tels que u n Cq n pour (presque) tout n N, lors l série n u n converge bsolument Théorème ( Règle de D Alembert ). Soit (u n ) n N une suite réelle ou complexe. S il existe q R vec q < tel que u n+ q u n pour (presque) tout n N, lors l série n u n converge bsolument Exemple. Soit u n =. Alors u n+ n! u n = n! = < q = /2 pour tout n > 2, (n+)! n+ donc l série n converge bsolument. L limite s ppelle le nombre d Euler, noté e. n! Clculer les sommes prtielles S, S 2, S 3,... à l ide d une clcultrice! Chpitre 3 : L fonction exponentielle Le lecteur oublier temporirement ses connissnces éventuelles sur l fonction exponentielle : motivé pr l exemple.4, nous llons l (re-)définir et étudier de fçon rigoureuse. 3.. Théorème (L série exponentielle). Pour tout x R et tout x C, l série n! xn converge bsolument. S limite est notée exp(x) ou e x. Remrque. À l pge on trouve une belle illustrtion montrnt comment les sommes prtielles S,..., S 8 pprochent e x Théorème (Éqution fonctionelle). Pour tout z, w C, e z+w = e z e w Corollire (Homomorphisme de groupes). Pour tout z C, e z e z =, insi e z. Les pplictions suivntes sont donc bien définies: exp C : C C, z e z, exp R : R R, t e t, et ce sont des homomorphismes de groupes (de (K, +) vers (K, ), où K = R ou C). Le théorème 3.2 est le résultt clé de ce chpitre. Pour le prouver, il fut multiplier les deux séries n n! zn et n n! wn, puis comprer le résultt vec n (z + n! w)n. Cette comprison repose sur des propriétés générles des séries bsolument convergentes que nous llons triter plus en détil dns le chpitre suivnt Théorème (Positivité de l exponentielle). Pour tout t R et z C, on exp(t) >, exp z = exp(z). 5

6 Exercice. Montrer que e x = lim n ( + x n )n Théorème (Dérivée de l exponentielle réelle). () L fonction exp R : R R est continue. (b) L fonction exp R : R R est différentible, et exp = exp. (c) L fonction exp R : R R est de clsse C et exp (k) = exp. L preuve repose de fçon essentielle sur l éqution fonctionelle, et elle donne une excellente occsion de revoir les définitions d une fonction continue et d une fonction différentible. De plus, les mêmes rguments montrent: 3.6. Théorème (Dérivée de l exponentielle complexe). () L fonction exp C : C C est continue. (b) L fonction f := exp C : C C est C-différentible (on dit ussi : holomorphe) u sens suivnt : pour tout z C, l limite f (z) := f(z + w) f(z) lim C w,w w existe, et vec cette définition, on (exp C ) (z) = exp C (z) Corollire. L fonction exp R : R R + est monotone et bijective. Attention : on verr plus trd que exp C : C C est surjective, mis non injective Théorème (Solution d éqution différentielle). Soient, c R. Alors il existe une unique fonction différentible f : R R telle que f = f et f() = c, à svoir f(x) = ce x. L exponentielle mtricielle. L exponentielle réelle ou complexe dmet plusieures générlistions importntes, souvent liées à des équtions différentielles ordinires Théorème (Exponentielle d une mtrice). Soit A M(m, m; R) une mtrice crrée. Alors chque coefficient (S n ) ij de l suite de mtrices S n := n k= k! Ak est une série bsolument convergente, et insi l limite e A := A k k= existe dns k! M(m, m; R). Si AB = BA (i.e., A et B commutent), lors e A+B = e A e B. En prticulier, e A e A = m (mtrice unité), et insi l mtrice e A est inversible vec mtrice inverse e A. L ppliction exp : M(m, m; R) GL(m, R), A e A est donc bien définie. Pour comprendre l exponentielle mtricielle, il est indispensble de clculer e A pour quelques exmples de mtrices prticulières (pr exemple, digonles, tringulires, etc. cf. TD). 6

7 Chpitre 4 : Séries bsolument convergentes En générl, il fut être prudent en effectunt une opértion qui consiste à intervertir deux limites. Heureusement, pour les séries bsolument convergentes, prtiquement toutes ces opértions sont licites : 4.. Théorème (Permuttion d indices). Soit u n une série (réelle ou complexe) bsolument convergente, et soit σ : N N une permuttion (i.e., une bijection). Alors l série u σ(n) est, elle ussi, bsolument convergente, et les deux limites coïncident Remrque. Si l série est convergente, mis ps bsolument convergente (i.e., semi-convergente), le résultt devient fux (cf. TD). On peut même montrer que, dns ce cs, et si K = R, n importe quel nombre réel r peut être tteint comme limite u σ(n) pour une permuttion convenble Définition. Rppelons qu un ensemble I est dit dénombrble s il existe un dénombrement, i.e., une bijection φ : N I. Si φ : N I est un utre dénombrement, lors σ := φ φ est une permuttion de N. Ainsi, si (u i ) i I est une fmille de nombres réels ou complexes indexée pr I, l série i= u φ(i) converge bsolument si, et seulement si, c est le cs de i= u φ (i). Nous écrivons lors i I u i pour s limite, et nous dirons que l série i I u i converge bsolument. Rppelons ussi que N N (l ensemble des points à coordonnées entières non-négtives dns le pln) est dénombrble. Essentiellement, choisir un dénombrement revient à choisir une fmille A A A 2... de prties finies de N N qui est exhustive (i.e., pour tout (i, j) N N, il existe k N tel que (i, j) A k ; représenter plusieurs tel choix grphiquement!). Une fmille de nombres réels ou complexes (u n,m ) (n,m) N N indexée pr N N s ppelle une suite double Théorème (Théorème de Fubini pour les séries doubles). Soit (u n,m ) (n,m) N N une suite double. Alors sont équivlentes : () L série double (m,n) N N u n,m converge bsolument vers une limite L; (2) pour tout n N fixé, l série m= u n,m converge vers une limite notée A n, et l série A n converge (lors les limites n = m= u n,m et S := n existent); (3) pour tout m N fixé, l série u n,m converge vers une limite notée B m, et l série m= B m converge (lors les limites m = u n,m et S := m= b m existent). Si ces propriétés sont vérifiées, lors les trois limites coïncident : L = S = S, i.e., (m,n) N N u n,m = ( u n,m ) = m= ( u n,m ). Ce résultt est à voir en nlogie vec l importnt théorème de Fubini en théorie d intégrtion, qui dit que (sous une hypothèse de convergence) ( f(, b) ddb = f(, b) db ) ( d = f(, b) d ) db. m= A B A B B A 7

8 Attention : pour une série double semi-convergente, comme pr exemple de terme générl u n,m =, les limites dns (2) et (3) peuvent exister sns être égles (ou encore, l une m 2 n 2 existe, mis non l utre) Théorème (Produit de séries bsolument convergentes). Soient n u n et n v n deux séries bsolument convergentes, et posons w n := n k= u kv n k. Alors l série n w n converge bsolument, et s limite est w n = ( u n ) ( v n ). Pour l preuve, il suffit d ppliquer le théorème de Fubini à l suite double u n,m := u n v m, en utilisnt un dénombrement φ : N N N, n (φ (n), φ 2 (n)) ynt l propriété que n n implique φ (n) + φ 2 (n) φ (n ) + φ 2 (n ). Finlement, dns le cs prticulier u n = x n!, v m = y m!, ce théorème ensemble vec l formule du binôme pour (x + y)n nous donne l éqution fonctionelle e x+y = e x e y. Chpitre 5 : Les fonctions hyperboliques et trigonométriques A. Fonctions hyperboliques. Heuristique. Ces fonctions sont des solutions de l éqution différentielle f = f. Si on pose g := f, l condition f = f est équivlente ux deux conditions f = g } g. = f 5.. Théorème (Solution de f = f). Soient, b R. Alors il existe une unique fonction f : R R de clsse C 2 telle que f = f et f() =, f () = b, à svoir f(x) = + b 2 ex + b 2 e x. Preuve. Unicité : étnt donnée f, poser φ := f + f et ψ = f f. Alors φ = f + f = f + f = φ, φ() = + b, et ψ = ψ, ψ() = b. Le théorème 3.8 implique que φ(x) = ( + b)e x et ψ(x) = ( b)e x, ce qui donne f comme dns l énoncé. Existence : vérifiction immédite! 5.2. Définition. Les fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique sont définies pr sh : C C, sh(x) := ex e x, ch : C C, ch(x) := ex + e x Théorème. Les fonctions sh et ch sont données pr les séries sh(x) = j= (2j + )! x2j+, ch(x) = j= (2j)! x2j qui convergent bsolument pour tout x C, elles sont C-différentibles et elles stisfont le système d équtions différentielles ch = sh, sh = ch vec condition initile ch() =, sh() =. Remrque : les règles bsiques du clcul différentiel sur C sont les mêmes que sur R, pr exemple, (f + g) = f + g, (f g) (x) = f (g(x))g (x), etc., de sorte que les équtions ch = sh et ch = sh sont bien vérifiées sur C. 8

9 Étude des fonctions ch et sh sur R : sh est impire, monotone, et bijective R R ; ch est pire, et s restriction à R + (resp. à R ) est monotone et bijective R ± [, [. B. Fonctions trigonométriques. Heuristique. L éqution différentielle f = f joue un rôle fondmentl en physique cr elle décrit l oscillteur hrmonique. Elle équivut u système f = g } g. = f Mlheureusement, ucune des fonctions f(x) = e cx vec c R n en est une solution, insi on ne peut ps recopier l preuve donnée ci-dessus Théorème (Solution de f = f). Soient, b R. Alors il existe une unique fonction f : R R de clsse C 2 telle que f = f et f() =, f () = b. Preuve. Unicité. Si f et f 2 sont deux solutions, posons u := f f 2 et v := u. Alors v = u, u() =, v() =. On définit le wronskien de u, v pr w(t) := u (t)v(t) v (t)u(t) = v 2 (t) + u 2 (t). Alors w = 2vv + 2uu = 2uv 2uv =, insi w est constnte sur R. L constnte est = w() = v 2 () + u 2 () =, donc v 2 (t) + u 2 (t) = pour tout t, donc v(t) = = u(t), donc f = f 2. Existence. Le plus simple est d utiliser l exponentielle complexe : pour x R, l prtie réelle de e ix est cos(x) := eix +e ix = eix +e ix, et s prtie imginire 2 2 sin(x) := eix e ix. En utilisnt le théorème 3.6 (b), on trouve que sin = cos et cos = sin, 2i d où cos = cos, et comme cos() =, sin() =, f := cos +b sin est une solution Définition. Les fonctions sinus et cosinus sont définies pr sin : C C, x eix e ix 2i = i sh(ix), cos : C C, x eix + e ix 5.6. Théorème. Les fonctions sin et cos sont données pr les séries sin(x) = j= ( ) j (2j + )! x2j+, cos(x) = j= ( ) j (2j)! x2j 2 = ch(ix). qui convergent bsolument pour tout x C, et elles stisfont le système d équtions différentielles cos = sin, sin = cos vec condition initile cos() =, sin() =. Elles vérifient, pour tout x C, les reltions cos x + i sin x = e ix, cos 2 x + sin 2 x = Théorème. Pour tout t R, cos t et sin t sont réelles, et on R(e it ) = cos(t), I(e it ) = sin(t) et e it =. L ppliction Φ : R S := {z C z = }, t e it est un homomorphisme de groupes : Φ(t + s) = Φ(t) Φ(s), Φ() =. Nous llons déterminer le noyu de l homomorphisme Φ, ker Φ = {t R Φ(t) = } = {t R e it = } = {t R cos t =, sin t = }, 9

10 et en déduire l périodicité des fonctions sin et cos. Le lecteur est prié d oublier temporirement ses connissnces sur l décomposition polire des nombres complexes : celle-ci ser rigoureusement étblie en même temps. On n dmetter que les fits bsiques sur C (écriture R ir, vleur bsolue donnée pr z = z z). Avnt tout, nous devons donner une définition rigoureuse du nombre π! Nous suivons ici l définition l plus cournte en nlyse (voir pour plus d informtion : ou encore, plus encyclopédique, le livre Autour du nombre pi pr Pierre Eymrd (un éminent mthémticien nncéin) et Jen-Pierre Lfon, éd. Hermnn, Pris 999, ISBN : ) Lemme. Il existe un unique nombre ρ ], 2[ tel que cos(ρ) =. On peut donner plusieurs preuves différentes : l une consiste en une mnipultion directe des séries de sin et de cos pour montrer que sin(t) > pour tout t ], 2] et que cos(2) < ; on conclut lors en utilisnt le théorème des vleurs intermédiires et un rgument de monotonie. De plus, l reltion cos 2 ρ + sin 2 ρ = implique lors que sin(ρ) =, et donc e iρ = i Définition. On pose π := 2ρ vec ρ comme dns le lemme. 5.. Définition. Une fonction f : R C est dite périodique (de période T ) si, pour tout t R, on f(t + T ) = f(t), et T est le plus petit nombre réel strictement positif vec cette propriété. 5.. Théorème. On e iπ = et e 2πi =. Le noyu de Φ est ker φ = {2πn n Z}, et les fonctions Φ, sin et cos sont périodiques de période 2π Théorème. Les pplictions suivntes sont bijectives : [, 2π[ S, t e it [, 2π[ R C, (t, r) e it e r {z C Iz < 2π} C, z e z. L homomorphisme exp C : C C est surjectif, et son noyu est 2πiZ. Il est mintennt fcile de déduire de ces résultts d utres propriétés élémentires, comme pr exemple les formules pour sin(z + w), cos(z + w), l formule cos(z + π 2 ) = sin( z), etc. On peut ussi montrer que l circonférence du cercle S, définie comme l longueur d rc de l rc [, 2π[ S, t e it, vut 2π. Ainsi les résultts bsiques de l géométrie élémentire sont mintennt étblies sur une bse nlytique rigoureuse. Chpitre 6 : Remrques sur les fonctions logrithme, puissnce, tngente Ces fonctions sont en lien étroit vec l exponentielle complexe, mis leur théorie est plus compliquée, dû u fit qu elles ne peuvent ps être définies sur C tout entier. Elles peuvent être étudiées à l ide de séries, mis ces séries ne convergent plus pour tout z C. Nous llons donc compléter l étude de ces fonctions plus trd, près voir développé l théorie générle des fonctions nlytiques. A. Le logrithme. Rppelons l définition connue dns le cs réel : 6.. Définition. L fonction réciproque de l fonction bijective exp R : R R + s ppelle le logrithme réel, notée log := log R : R + R.

11 Qu en est-il sur C? Comme exp C : C C n est ps une bijection, l définition d une fonction réciproque pose un problème. Nous pouvons élborer le théorème 5.2 pour définir un logrithme sur une prtie de C, mis le choix de cette prtie reste rbitrire : 6.2. Définition. Soit φ [, 2π[. Le pln coupé (selon l ngle φ) est l prtie C φ := {w C w = re it, r >, t [, 2π[, t φ} Théorème et Définition. Pr restriction, l exponentielle définit une bijection {z C φ < Iz < φ + 2π} C φ, z e z. L ppliction réciproque, définie sur C φ, s ppelle un logrithme complexe. Elle ssocie à z C φ le nombre complexe log(z) = log R ( z ) + i rg(z), rg(z) ]φ, φ + 2π[. Comme le choix de φ est rbitrire (même si souvent on choisit φ = π : vleur principle ), nous n utilisons ps l rticle défini ( le logrithme). L question se pose lors si un logrithme complexe peut être décrit pr une série convergente. Revenons d bord u logrithme réel : un résultt connu de clcul différentiel dit que, comme exp R est différentible, lors l fonction réciproque log : R + R l est elle ussi, et que s dérivée est log (x) = exp (log(x) = exp(log(x)) = x. Pr récurrence on trouve (log) (k) (x) = ( ) k+ (k+)!. Ainsi le développement de Tylor x k u point x = est : log(x) = n k= ( ) k (k )! (x ) k + R n (x) = k! n ( ) k (x ) k + R n (x). k k= En utilisnt le règle de Cuchy, on voit que l série S(x) := ( ) k (x ) k ( x) k = k k k= k= converge si x <, mis pour x =, c est le négtif de l série hrmonique, qui diverge! Ceci indique encore une foix qu il n est ps possible de définir un logrithme sur C entier. B. L fonction puissnce. Rppelons, là ussi, l définition connue dns le cs réel : 6.4. Définition. Pour α R, l fonction puissnce est définie pr f α : R + R, x x α := e α log(x). Elle est différentible et vérifie f α = αf α,..., f (k) α f (k) α () k! = α(α ) (α k + ) k! = α(α )... (α k + )f α k, et = ( ) α k

12 est le coefficient binomil α sur k, et on ppelle série binomile (d exposnt α) l série k= ( ) α (x ) k. k Si x <, l série converge. Soit mintennt K = C et distinguons quelques cs : ) si α = n N, l série s rrète u rng n, et elle définit insi une fonction polynomile sur C tout entier, à svoir f n (z) = z n = ( + (z )) n ; b) si α =, l série binomile devient l série géométrique = x xn qui donne une série pour f α ( x), mis elle ne converge ps pour x = ; c) si α =, on sit qu il existe toujours deux rcines complexes de z C si z, et en 2 générl il n y ucun choix préféré de rcine. Un tel choix est toujours plus u moins rbitrire pr exemple, nous pouvons définir l vleur principle pour z C π : z α := exp C (α log(z)). Si α = n, on prend insi l rcine n-ième dont l rgument est compris entre π n et π n. C. L fonction tngente. Elle est définie pr tn(z) := sin(z) cos(z) pour tout z C tel que cos(z). Remrquons que cos(z) = ssi e iz = e iz, ssi e 2iz = = e πi, insi le théorème 5.2 implique que pour z C: cos(z) = z π 2 + Zπ. Ainsi l fonction tngente ne peut ps être définie sur C entier, et s il existe un développement en série, ce développement ne peut ps converger sur C tout entier. Motivé pr ces exemples, nous llons étudier l théorie générle de fonctions définies pr des séries qui convergent sur une prtie de C seulement. Chpitre 7 : Séries entières 7.. Définition. Une série entière (réelle ou complexe) est une série de l forme S(x) = k= k(x c) k, vec k K, où K = R, resp. K = C. On ppelle le point c K le centre de développement. Noter que les sommes prtielles S n (x) = n k= k(x c) k sont des polynômes Théorème (Ryon de convergence). Soit k= k(x c) k une série entière, et ρ := sup{t [, [: l suite ( k t k ) k N est bornée } [, ]. (i) Si x c < ρ, lors l série converge bsolument. (ii) si x c > ρ, lors l série diverge Définition. L quntité ρ := ρ S [, ] s ppelle le ryon de convergence de l série entière S, et l ensemble D S := {z C z c < ρ} 2

13 son disque de convergence (si K = R on prle d intervlle de convergence). Remrque : le théorème ne dit rien sur le comportement de l série sur le bord du disque de convergence (i.e., si z c = ρ). Voir le chpitre 9 à ce sujet Théorème (Formule de Hdmrd). Soit k= k(x c) k une série entière, et posons n σ := lim sup n [, ]. n Alors le ryon de convergence est donnée pr : ρ = si σ = ; ρ = si σ = ; ρ = σ sinon. Rppel. L limite supérieure d une suite réelle (c n ) n N est définie pr lim c ( n := lim sup c n := lim sup{ck : k n} ). n n n De fçon nlogue, on définit l limite inférieure ; lors on un encdrement de tous les points d ccumultion de l suite entre ces deux limites. Exemples. En prtique, on utilise souvent le critère suivnt : si l := lim n n+ n existe, lors σ = l. Ainsi, on trouve fcilement : le ryon de convergence de l série ( ) k k= (x ) k et celui de l série binomile est, celui des séries exp, sin, cos est k, celui de n n!xn est. Nous llons montrer que, sur son disque ou intervlle de convergence, une série entière toujours d excellentes propriétés : continuité, différentibilité, etc. Les preuves sont essentiellement les mêmes que celles déj utilisées dns le cs de l exponentielle ; techniquement, elles sont un peu plus compliquées, dû u fit qu on ne dispose plus d éqution fonctionnelle, et qu il fut préciser sous quelles conditions les séries convergent. Pour simplifier les énoncés suivnts, nous llons supposer que c = ; le cs générl s en déduit lors pr trnsltion. Voici l idée pour montrer que l fonction S(x) = n nx n est différentible dns son disque de convergence : on développe le quotient de différences S(x + h) S(x) h = n n(x + h) n n nx n, h on simplifie le nominteur, on le fctorise pr h, on simplifie vec le dénominteur ; près, on peut psser sns problème à l limite. L étpe crucile ici est le développement de S(x + h), qui fit l objet du résultt suivnt : 7.5. Théorème (Chngement du centre de développement). Soit S = n nx n une série entière de ryon de convergence ρ > et soit D S son disque de convergence. Alors, pour x D S fixé, l fonction h S(x + h) = b n h n est donnée pr une série S(h) = n b nh n dont le ryon de convergence est supérieur ou égl à ρ x (qui est positif). Les coefficients b n sont obtenus pr le développement de S(x + h) en puissnces de h ; en prticulier, on trouve que b = S(x) et b = n= n nx n. 3

14 L preuve utilise le théorème de Fubini (thm. 4.4) pour justifier le développement S(x + h) = n (x + h) n = k= n ( ) n n h k x n k = k k= h k n=k n ( n k ) x n k Théorème ( Dérivbilitée terme à terme ). Soit S = n nx n une série entière et D S son disque de convergence. Alors l fonction S : D S C est de clsse C (u sens usuel, si K = R, et u sens commplexe-différentible, si K = C). L dérivée k-ième est donnée, pour tout x D S, pr l série bsolument convergente S (k) (x) := n(n )... (n k + ) n x n k. n=k L preuve est simple en utilisnt le théorème 7.5. : pour h, S(x + h) S(x) h = S(h) S() h = b h + b 2 h h = b + b 2 h + b 3 h et on montre fcilement que lim h n= b nh n existe et vut b. Ainsi S est différentible vec dérivée S = S () ; l série de (S ) = S (2) s en déduit, etc. (récurrence) Corollire. Avec les nottions du théorème, nous vons S (k) () = k! k, et insi k = S(k) (). Ainsi, si K = R, l série k! k kx k coïncide donc vec l série de Tylor usuelle de S (i.e., pour n, le terme reste R n (x) du développement de Tylor converge vers, pour tout x D S ) Corollire. Les coefficients k d une série entière convergente sont uniquement déterminés pr l fonction S : D S C : si n nx n = n c nx n pour x u voisinge de, lors n = c n pour tout n N. Exercice. L conclusion du corollire reste vrie si on suppose seulement n nx n k = n c nx n k pour une suite x k vec x k et lim k x k =. Ainsi, comme pour les fonctions polynomiles, on peut déduire pr comprison des fonctions que les coefficients sont les mêmes. Ceci donne lieu à des reltions intéressntes (pr exemple, en ppliqunt à l fonction puissnce (ci-dessous), le théorème de Vndermonde : pour tout, b C, n k= ( ) ( ) b = k n k ( ) + b n ou des reltions concernnt l célèbre suite de Fiboncci) Corollire. Soit S = n nx n une série entière et D S son disque de convergence. Alors l fonction S : D S C dmet une primitive, i.e., une fonction f : D S C telle que f = S. Pr exemple, une primitive est donnée pr l série convergente f(x) = n n + xn+. On sit que, sur un intervlle réel, une primitive est unique à une constnte près. Il en est de même sur un disque complexe : 4

15 7.. Lemme. Soit B r (x ) = {z C z x < r} le disque de centre x et de ryon r >, et f : B r (x ) C une fonction holomorphe (C-différentible) telle que f (z) = pour tout z B r (x ). Alors f est constnte. L preuve consiste à se rmener u cs réel : d bord, en déclnt, on se rmène u cs x =. Ensuite, soit w B r (x ), et on pose γ(t) := f(tw) et u(t) := Rγ(t), v(t) := Iγ(t) pour t [, ]. Alors, pour h, l limite γ(t + h) γ(t) h = f(tw + hw) f(tw) h = w f(tw + hw) f(tw) hw existe cr f est C-différentible, et elle vut w f (tw) =. Il s ensuit que u (t) = et v (t) =, donc γ(t) est constnte = γ(), donc f(w) = f(), et f est constnte. Le lemme implique clirement que deux primitives de S sur D S se distinguent seulement pr une constnte. Ces résultts donnent une méthode simple pour développer des fonctions élémentires en une série, dès qu on connit l série de l dérivée, ou une éqution différentielle en lien vec l fonction en question : A. Le logrithme. L série géométrique S(z) := ( z)n converge pour tout z D = {z C z < }, et lors S(z) =. Ainsi f(z) := ( ) n +z n+ zn+ est une primitive de S. Or, l vleur principle du logrithme log : C π C donne une utre primitive : z log( + z), et comme f() = = log(), l unicité de l primitive sur D entrine que f(z) = log( + z), d où : 7.. Théorème. Pour tout x D = B (), on log( + x) = ( ) n n+ xn+ (série bsolument convergente), où log est l vleur principle définie sur le pln coupé C π. B. L ( fonction ) puissnce. Le procédé suit de près l exemple précédent : soit S α (x) := α x n n l série binomile. Elle converge bsolument pour x D. En clculnt S α(x) et en utilisnt des propriétés des coefficients binomiux, on trouve que ( + x)s α(x) = αs α (x). Or, l fonction f α (x) = x α stisfit l même éqution différentielle : ( + x)f α( + x) = αf α ( + x). Ainsi, si on pose F (x) := Sα(x), on trouve que F f α(+x) (x) = sur D, insi F est constnte ; cette constnte vut, d où finlement 7.2. Théorème. Pour tout x D = B (), on ( + x) α = ( ) α x n n (série bsolument convergente), où x α est l vleur principle définie sur C π. C. Les fonctions rctngente et rcsin. Soit K = R. On montre comme clssiquement que les fonctions tn :] π/2, π/2[ R et sin :] π/2, π/2[ ], [ sont bijectives, et que les fonctions réciproques, rctn et rcsin, fournissent des primitives de ( + x 2 ), 5

16 resp. de ( x 2 ) /2. En développnt ces dernières fonctions en séries (sur ], [ l série géométrique donne ( + x 2 ) = ( x2 ) n, et dns l utre cs on utilise l série binomile vec α = /2), et en intégrnt terme à terme, on trouve rctn(x) = ( ) n 2n + x2n+ = x 3 x3 + 5 x et similirement pour le développement de rcsin (sur ], [) ; cf. TD. On noter que, bien que l fonction rctn puisse être définie sur R entier, l série ne converge ps sur R tout entier. Pour K = C, ces séries convergent sur D, et on peut fire une étude plus fine pour montrer que, là ussi, elles définissent des fonctions réciproques à l tngente, resp. u sinus. Chpitre 8 : Fonctions nlytiques Une fonction nlytique est une function qui, loclement (i.e., u voisinge de chque point où elle est définie), est donnée pr une série entière convergente. Dns l suite, soit K = C ou R et f : U K une fonction définie sur une prtie ouverte U K. (Rppel : une prtie U K est dite ouverte si, pour tout x U, il existe ε > tel que le disque (resp. l intervlle) B ε (x ) = {x K x x < ε} pprtient à U. Exemples de prties ouvertes : U = B r (c) ; le pln coupé ; C.) 8.. Définition. Une fonction f : U K est dite K-nlytique (ou : de clsse C ω ) si, pour tout x U, il existe une série entière et r > tel que B r (x ) U et pour tout x B r (x ), cette série converge vers f(x) : f(x) = n (x x ) n. Les propriétés locles d une fonction nlytique f sont donc les mêmes que celles d une série entière convergente; pr exemple : 8.2. Théorème ( C ω C ). Toute fonction nlytique est de clsse C sur K. Nous vons vu (exemple.5) que l réciproque est fusse si K = R. Il se pose donc l question de svoir comment on peut reconnitre les fonctions C ω prmi les fonctions C voir remrques à l fin du chpitre Exemples. () L prtie C := C \ {} est ouverte dns C, et l fonction C C, x x est nlytique. En effet, soit x = c C. Alors on (vec ryon de convergence égl à c > ) : x = c + (x c) = c + x c c = c (x c c ) n = ( ) n c n+ ( x x ) n (2) L fonction exponentielle exp C est nlytique. En effet, pour obtenir le son développement pr rpport u centre c, on écrit exp C (x) = exp C (c + (x c)) = exp C (c) exp C (x c) = e c 6 n! (x c)n.

17 Exercice : procéder de fçon nloge pour sin, cos, sh, ch (en utilisnt leurs équtions fonctionnelles). (3) Le logrithme log π : C π C est nlytique. Remrquons d bord que le pln coupé C φ est ouvert dns C, insi pour tout x = c C φ il existe ε > (forcément ε < c ), tel que B ε (c) C φ. Ainsi on peut intégrer terme à terme le développement, centré en c, de donné ci-dessus. L constnte d intégrtion est déterminée en prennt l vleur de x l série u point x = c. Pr unicité de l primitive sur le disque B ε (c) (Lemme 7.), il s ensuit que log(x) = log R ( c ) + i rg(c) (x c) n+, rg(c) ]φ, φ + 2π[. n + c Le point crucil est, dns tous les cs, le chngement du centre du développement. En générl, c est une question délicte. Mis si U est un disque de convergence, le théorème 7.5 implique directement : 8.4. Théorème. Soit S(x) := n n(x c) n une série entière de ryon de convergence ρ >. Alors l fonction S : D S K est nlytique Exemples. () On retrouve le fit que exp, cos, sin sont nlytiques sur C (cr ρ = ). (2) Tout polynôme (= série entière finie) est nlytique sur C (cr ρ = ). (3) Le ryon de convergence de f(x) := n nlytique sur C. Pour x, elle vut ex. x (4) De même, on constte que l série f(x) := n (n+)! xn est ègl à. Cette fonction est donc ( ) n (2n+)! x2n définit une fonction nlytique sur C. Pour x, elle vut sin(x) x. (5) L fonction puissnce f α (z) = z α est nlytique dns le disque B (). Pour montrer qu elle est même nlytique dns le pln coupé C π, il fut trviller un peu plus. Commençons pr montrer que les produits, sommes, composées de fonctions nlytiques sont encore nlytiques : A. Sommes et multiples. Soient f, g : U K deux fonctions K-nlytiques et λ K. Alors les fonctions f + g : U K et λf : U K le sont ussi, et si f(x) = n n(x c) n, g(x) = n b b(x c) n, on (f + g)(x) = n ( n + b n )(x c) n et λf(x) = n λ n(x c) n. Ainsi les fonctions nlytiques forment un espce vectoriel sur K, noté C ω (U, K). B. Produits. Soient f, g comme ci-dessus. D près le théorème 4.5, le produit (prfois ppelé produit de Cuchy) (f g)(x) = n (x c) n b n (x c) n = c n (x c) n, c n = n k b n k, k= converge bsolument si c est le cs de chque fcteur. Ainsi le produit f g est nlytique. On dit ussi que l espce C ω (U, K) des fonctions K-nlytiques est une K-lgèbre. (Exercice : montrer que si f g =, lors f = et g = ; on dit que l lgèbre C ω (U) est intègre. Montrer ussi que ceci est en défut pour les fonctions C (R, R).) 7

18 C. Crrées, cubes,... Du point B on déduit que les fonctions f 2 = f f et f 3 = f 2 f, etc., sont nlytiques, et on le développement en série f k (x) = (k) n (x c) n, vec (k) n = (m,...,m k ): P k i= m i=k m mk. Remrquons que, si f(c) =, i.e., =, lors le plus bs terme de f k est d ordre k, et lors l somme porte en rélité sur n = k,...,. D. Composée (substitution). 8.6 Théorème (Composée de fonctions nlytiques). Soient f : U K et g : U K deux fonctions K-nlytiques telles que f(u) U. Alors l fonction g f : U K est K-nlytique. En effet, soit c U, f(x) = n n(x c) n, donc f(c) = =: d, et g(y) = n b n(y d) n, lors on développe, en utilisnt le théorème de Fubini (4.4), g(f(x)) = = = = = b k (f(x) d) k k= b k ( n (x c) n d) k k= b k ( n (x c) n ) k k= k= b k n= m=k (k) m (x c) m c m (x c) m vec c m = m= m j= b j (j) m Exemple : L fonction x α = e α log(x) est une composée des fonctions nlytiques f(x) = α log(x) et g(y) = e y, et elle est donc nlytique sur C π. E. Quotients Théorème (Quotient de fonctions nlytiques). Soient f, g : U K nlytiques et f(x) pour tout x U. Alors et sont nlytiques sur U. g(x) f(x) f(x) En effet, on vu que h(x) := est nlytique sur x K, et d près le théorème 8.6, h f(x) = est nlytique sur U, et donc g (x) = g(x) l est ussi. De plus, l f(x) f f(x) preuve donne le développement (nottions cf. point D, où h(x) = n ( x)n et c = d = ) f(x) = c l (x ) l, c l = l= l j= ( ) j (j) l. Cependnt, en prtique, on détermine souvent les coefficients de g f (x) = n c n(x c) n à prtir de f(x) = n n(x c) n et g(x) = n b n(x c) n pr comprison : b n (x c) n = n n c n (x c) n n (x c) n, 8 n

19 donc b n = n k= c k n k. Ceci donne un système tringulire d équtions c = b, c + c = b, c 2 + c + c 2 = b 2,... qu on peut résoudre de proche en proche pour trouver c, c, Exemples. () Toute frction rtionnelle p(x) (p, q polynômes) est nlytique (sur le domine de q(x) définition U = {z C q(z) }). On développer, pr exemple (exercice : TD), f(x) := x x = c 2 n x n en une série utour de x = : on trouve une reltion de récurrence remrquble pour les coefficients c n (suite de Fiboncci). En fctorisnt le polynôme q(x) = x x 2 = (x )(x b), on peut écrire f ussi sous l forme f(x) = c( ) vec une constnte x x b c, et en développnt ceci, on trouve une formule explicite pour c n, à svoir c n = ( ( + 5) n ( 5) ) n (2) L fonction tngente tn(x) = sin(x) cos(x) : elle est nlytique sur U = {z C z / π 2 + Zπ}. En écrivnt cos(x) tn(x) = sin(x), pr comprison on trouve les premiers coefficients (exercice : clculer les 2 coefficients suivnts) tn(x) = sin(x) cos(x) = x + 3 x x (3) Nous vons vu que l fonction f(x) = (n+)! xn = ex est nlytique sur C. Il x s ensuit que l fonction = x est nlytique sur C \ f(x) e x 2πiZ x. Soit = e x n c nx n son développement u voisinge de. On pose B n := n! c n (nombre de Bernoulli). Ainsi les coefficients B n sont déterminés pr (n + )! xn B n n! xn =. En fisnt le produit de Cuchy, et en multiplint pr n!, on obtient l formule de récurrence n ( ) n B n = B k k. k= On obtient insi B =, B = 2, B 2 = 6, B 3 =, B 4 = 3, B 5 =. On remrque que x e x + 2 = x ch(x/2) 2 sh(x/2), et pr un rgument de prité on déduit que B 2n+ = pour n. De plus, on obtient insi une formule explicite pour les coefficients du développement des fonctions x coth(x) et x cotn(x). Finlement, en utilisnt que tn(x) = cotn(x) 2cotn(2x), on en déduit que tn(x) = ( ) n 22n (2 2n )B 2n (2n)! 9 x 2n.

20 8.9. Compléments. Le sujet des fonctions nlytiques est riche et donne lieu à des développements mthémtiques plus vncés et qu on ne pourr ps triter dns ce cours pour en donner une idée, indiquons simplement quelques grndes lignes de ces théories. () Le rôle prticulier de l théorie complexe. L théorie complexe se distingue profondement de l théorie réelle pr le résultt suivnt : Toute fonction C-différentible de clsse C est nlytique. L preuve ser donnée dns le cours d nlyse complexe en L3. L nlogue de ce résultt pour K = R est fux puisqu il existent des fonctions différentibles, mis non R-nlytiques (exemple.5). Ainsi, pour K = C, il est très fcile de reconnitre des fonctions nlytiques : il suffit de démontrer qu une fonction est différentible. Pour K = R, c est plus difficile. On peut énoncer une condition suffisnte, qui découle directement de l formule de Tylor vec terme reste de Lgrnge : si f :] r, r[ R est une fonction de clsse C telle que les dérivées sont mjorées u sens suivnt : C, M R + : x ] r, r[, n N : f (n) (x) CM n, n! lors f est nlytique sur ] r, r[. On peut montrer que cette condition est ussi nécessire, cf. [AF]: Arnudières-Frysse, Cours de Mths 3, Thm. III.4.2. Il existe d utres critères, plus fciles à vérifier, pour ssurer qu une fonction est R-nlytique (Théorème de Bernstein sur les séries entières: cf. exercices dns [AF].). Une utre différence entre les cs réels et complexes concerne les domines de définition U : dns le cs réel il n y ps de vri lien entre le ryon de convergence et le domine de définition mximl de f (exemple : f(x) = = +x 2 n ( )n x 2n ). Dns le cs complexe, un tel lien existe : le disque de convergence est toujours le plus grnd disque sur lequel l fonction est encore nlytique (pour l exemple : il y des singulrités pour x = ±i, l fonction n est ps nlytique sur un disque de ryon > ). (2) Cs de plusieurs vribles. On peut définir des fonctions nlytiques de plusieurs vribles (réelles ou complexes). Pr exemple, l fonction exponentielle mtricielle exp : M(n, n; K) M(n, n; K) est lors nlytique, et de même l inversion mtricielle J : GL(n, K) M(n, n; K), X X = (E (E X)) = (E X) n. Plus générlement, on peut remplcer dns n importe quelle série entière n nx n l rgument x pr une mtrice crrée X, et étudier l convergence de l série insi obtenue. Cel donne lieu à un clcul fonctionnel ynt beucoup d pplictions. (3) Groupes d pplictions ; inversion locle. On peut montrer que, si U et U sont deux ouverts de K et si f : U U est bijective et nlytique, lors son ppliction inverse f : U U est églement nlytique (cf. [AF], Thm. III..5). Ainsi les pplictions bijectives et nlytiques f : U U forment un groupe pr rpport à l composition. En dmettnt ce résultt, il n est ps difficile de clculer les coefficients de f à prtir de ceux de f pr un lgorithme tringulire. Une forme explicite de cet lgorithme est connue sous le nom de théorème de Lgrnge-Bürmnn. De plus, il existe un critère simple pour décider si f est, loclement, u voisinge de x, une bijection : une condition nécessire est que f (x ), i.e.,. C est condition est ussi suffisnte : ceci est une version nlytique du théorème d inversion locle (cf. cours Clcul Différentiel en L3). 2

21 (4) Séries formelles. En lgèbre, on distingue l notion de polynôme P (X) de celle de s fonction polynomile ssociée K K, t P (t). De l même fçon, une série entière n nx n définit un objet purement lgébrique, ppelé série formelle, notée n nx n, qui se comporte un peu comme un polynôme de degré infini. Cel permet de définir des opértions comme somme, produit, composée de séries, sns se soucier de questions de convergence (questions qui relèvent de l nlyse). Voir [AF], cf. ussi formelle. (5) Surfces de Riemnn ; vriétés complexes. Le point de déprt de cette belle théorie est l question : quel est le domine de définition nturel mximl d une ppliction C-nlytique? Pr exemple, pour f(z) = log(z), il n est ps nturel de couper le pln complexe rbitrirement selon un ngle φ. C étit une idée profonde de B. Riemnn de construire un tel domine non comme prtie du pln complexe, mis comme un nouvel objet mthémtique, ppelé ujourd hui surfce de Riemnn. Pour l exemple de log(z), on peut penser à cet objet comme une infinité de plns coupés, indexée pr Z, où l on recolle l copie n + vec l copie n en collnt selon l demi-droite de l coupe l objet insi obtenu ressemble à une rmpe colimçon infinie (pour une illustrtion voir Fläche, ou sur google imges). L nlogue d une surfce de Riemnn en plusieurs vribles s ppelle une vriété complexe. C est un sujet de recherche ctive, poursuivie, entres utres, à Nncy. Chpitre 9 : Séries semi-convergentes Soit S(x) = n n(x c) n une série entière de ryon de convergence ρ > et de disque de convergence D S. Le bord du disque D S est le l ensemble D S := {x C x c = ρ} (cercle de centre c et ryon ρ). Alors deux problèmes se posent : () Quelle est l nture de l série n n(x c) n si x pprtient à D S? (2) Si l série converge pour un x D S, quel est le lien entre s limite et l fonction nlytique D S C, x S(x)? 9.. Exemple ( séries de Riemnn ). Soit s C et S(x) := n= x n. Noter que pour n s s = u + iv, on n u+iv = n u. Puisque (n u ) /n = e u log n/n e = (n ) pour tout u R, il s ensuit que le ryon de convergence de S(x) est égl à, quel que soit s. Or, le comportement sur le bord du disque B () dépend de s : si u = Rs > : pr comprison vec une intégrle on montre que n= converge n s en effet, l fonction f(t) := t u est décrossnte sur R +, et on l mjortion N n u n=2 N t u dt = N u u u. Ainsi cette série à termes positives est bornée, donc bsolument convergente pour x pprtennt u bord du disque ; si u = Rs : le terme générl de l série n= série est divergente sur le bord du disque ; n s ne converge ps vers, insi l si < u = Rs : pour x =, l série diverge (cr elle est minorée pr l série hrmonique). Pour x =, elle converge, grâce u résultt suivnt : 2

22 9.2. Théorème (Critère de Leibniz). Soit (u n ) n N une suite réelle, décroissnte de limite. Alors l série ( )n u n converge. Ainsi n= ( )n n u pour < u est semi-convergente. Qunt u problème (2) : 9.3. Remrque (continuité). L fonction S : D S C est différentible, donc continue. Cel veut dire que, pour tout x D, lim x x S(x) = S(x ), i.e., x D : lim lim N x x N n (x c) n = lim N N n (x c) n = lim N lim x x N n (x c) n. On peut donc intervertir deux limites. L question (2) se précise comme suit : si l série converge pour un certin x D S, est-ce qu une telle reltion reste vlble? 9.4 Théorème de convergence rdile d Abel. Soit S(x) = n n(x c) n une série entière réelle ou complexe, et soit x K tel que n n(x c) n converge. Alors lim ],[ t n (t(x c)) n = n (x c) n. Après réduction sns perte de générlité u cs c =, x =, ρ = et n nx n =, l preuve repose sur l sommtion prtielle d Abel : soit S N := N n et S :=, lors t ], [: N N N N n t n = (S n S n )t n = S n (t n t n+ )+S N t N+ = ( t) S n t n +S N t N+ (c est une version discrète de l intégrtion pr prties f g = fg + [fg]). Comme lim N S N =, on en déduit que S(t) = ( t) S nt n, puis que, pour tout ε >, il existe δ > tel que S(t) < ε si t < δ Exemples. () On sit que, pour x <, log( + x) = ( ) n n n+ xn. Pour x = l série converge d près le critère de Leibniz. Ainsi le théorème d Abel implique que ( ) n n + = lim log( + t) = log(2). t (On églement log( + x) = ( ) n n+ xn pour tout utre x tel que x = et x, mis l preuve de l convergence est plus difficile.) (2 ) De l même fçon, on utilise l série de l fonction rctg pour montrer que ( ) n 2n + = lim t rctg(t) = rctg() = π 4. (3) Si n nt n et n b nt n et n c nt vec c n = n k= kb n k convergent pour t =, lors pr pssge à l limite t (vec t <, donc convergence bsolue) dns le produit de Cuchy, le théorème implique que n n n b n = n c n Remrques. Le problème de bien définir et de clculer les limites de séries semiconvergentes occupé les nlystes depuis Euler et Leibniz : l problémtique provient du fit que le résultt dépend en effet de l ordre de sommtion (cf. l remrque 4.2), insi on 22

23 perd des propriétés connues du cs des sommes finies, comme l commuttivité. On peut définir et clculer ces sommes infinies de plusieures mnières différentes. Pr exemple : Définition. On dit qu une série n u n est A-sommble, vec A-limite A n u n, si pour tout t <, l série n tn u n converge u sens usuel et si l limite suivnte existe : A n u n := lim ],[ t t n u n Le théorème d Abel dit lors que, si une série est convergente u sens usuel, lors elle est A-sommble, vec mème limite. L réciproque est fusse : l série n ( )n est A-sommble, vec A n ( )n = lim t =, mis elle n est ps convergente u +t 2 sens usuel. En revnche, une réciproque prtielle du théorème d Abel est donnée pr le théorème de Tuber : Si l série est A-sommble et si lim n nu n =, lors l série converge u sens usuel vec même limite. Ces théorèmes se générlisent en une clsse de théorèmes ( théorèmes béliens et tuberiens ) donnnt des liens entre de divers procédés de sommtion. Ces résultts ont des pplictions en l théorie nlytique des nombres (c est un utre domine de recherche ctive poursuivie à Nncy). n Chpitre : Espces de fonctions et convergence uniforme Dns ce chpitre, nous chngeons de point de vue sur les fonctions : u lieu de les regrder une pr une, nous les considérons comme éléments d un espce de fonctions :.. Lemme. Soit M un ensemble et K un corps. Alors l ensemble V := F(M, K) de toutes les fonctions f : M K est un espce vectoriel sur K pr rpport ux opértions (f + g)(x) = f(x) + f(x), (λf)(x) = λ f(x). Exercice. Si M est de crdinlité finie n, lors F(M, K) est cnoniquement isomorphe à K n ; sinon, cet espce est de dimension infinie..2. Lemme. Soit M = U une prtie ouverte non-vide de K = R ou C. Alors les espces suivnts W sont des sous-espces vectoriels de V = F(U, K) : () C(U, K) (espce des fonctions continues) ; (2) C k (U, K) (espces des fonctions k fois continument K-dérivbles) ; (3) C (U, K) (fonctions C ) ; (4) C ω (U, K) (fonctions nlytiques) ; (5) K[X] (fonctions polynomiles, en restreignnt p : K K, x p(x) à U) ; (6) B(U, K) := {f F(U, K) C < : x U : f(x) < C} (fonctions bornées). Ces espces sont des exemples stndrd d espces de fonctions. Remrque : Pour les exemples () (6), il est vri de plus que, si f, g W, lors le produit usuel f g est toujours dns W. Une lgèbre (ssocitive) est un espce vectoriel W muni d un produit bilinéire (ssocitif) W W W. Ainsi () (6) sont des exemples d espces d lgèbres de fonctions. Voici un espce un peu plus compliqué : 23

24 .3. Lemme ( espce des fonctions test ). Il existe une fonction h : R R de clsse C telle que h(x) = si x, x ], [: h(x) >. Ainsi le sous-espce suivnt de C (R, R) est non-nul : C c (R, R) = {f C (R, R) N N : f(x) = si x > N}. En effet, soit f l troisième fonction de l exemple.5, on pose : h(x) = f( + x) f( x). Exercice : construire une fonction plteu C (i.e., qui vut sur un intervlle et hors d un intervlle plus grnd). Montrer que Cc est de dimension infinie, mis si l on remplce pr ω, cet espce serit reduit à. Les fonctions f Cc (R, R) jouent, dns l théorie des distributions, le rôle des fonctions test. Nous bordons mintennt des notions de convergence de suites et de séries de fonctions. Il existe beucoup de telles notions, mis dns ce cours, nous nous intéresserons principlement à deux d entre elles :.4. Définition. Soit M un ensemble et f n F(M, K) (n N) une suite de fonctions, où K = R ou C. On dit que l suite (f n ) n N converge simplement vers une fonction f : M K, si, pour tout x M, l suite numérique (f n (x)) n N tend vers f(x) : x M : ε > : N N : n N : f n (x) f(x) < ε. Dns cette formule, N dépend en générl de ε et de x!.5. Exemple. Soit I = [, ] et f n : I R, x x n. Alors l suite (f n ) n N converge simplement vers l fonction f : I R, f() =, f(x) = si x [, [. On observe que chcune des fonctions f n est continue (même : polynomile), mis l limite f ne l est ps. Autrement dit, en générl on n ps églité de limites : lim lim f n(y) lim lim f n (y). y x n n y x Ainsi, l convergence simple n est ps comptible vec de bonnes propriétés d une fonction. On cherche lors à définir d utres notions de convergence qui préservent mieux ces propriétés..6. Proposition. Pour une fonction f : M K (où K = R ou C), soit f := sup f(x). x M Alors f C ssi x M: f(x) C, insi f < ssi f B(M, K). De plus, (N) pour tout f F(M, K), f, et f = ssi f = ; (N2) pour tout f F(M, K) et λ K, λf = λ f ; (N3) pour tout f, g F(M, K), f + g f + g. 24

25 Ainsi f f est une norme sur l espce B(M, K) des fonctions bornées. Rppel : un espce vectoriel normé (e.v.n.) sur K = R ou C est un espce V muni d une ppliction V R, v v vérifint (N), (N2), (N3)..7. Définition. On dit qu une suite (f n ) n N de fonctions converge uniformément vers f si lim n f n f =, utrement dit, si sup x M f n (x) f(x) pour n, ou encore ε > : N N : n N, x M : f n (x) f(x) < ε. L convergence uniforme implique l convergence simple (le N convient pour tout les x à l fois) ; l réciproque est fusse (exemple.5!)..8. Théorème (Continuité d une limite uniforme). Soit M une prtie de R, C ou de R n et f n : M K une suite de fonctions qui converge uniformément vers une fonction f. Si f n est continue [en un point x M] pour tout n N, lors f est continue [u point x ]. L preuve est un grnd clssique d nlyse : soit ε > ; on écrit f(x) f(x ) = ( f(x) f n (x) ) + ( f n (x) f n (x ) ) + ( f n (x ) f(x ) ), puis on fixe n ssez grnd pour mjorer l vleur bsolue du premier et du troisième terme pr ε/3, et enfin on choisit x suffismment proche de x pour mjorer l vleur bsolue du terme u milieu pr ε/3..9. Exemples. () Soit S(x) = n(x c) n une série entière, S n s somme prtielle et D S = {x C x c < ρ} son disque de convergence. Supposons ρ >, et soit < R < ρ et M = B R (c) un disque strictement inclus dns D S. Alors, sur M, S S n k R k = k=n k=n k ρ k ( R ρ )k C ( R) n (n ), d où : ρ Théorème. L suite des sommes prtielles d une série entière converge uniformément sur tout disque strictement inclus dns son disque de convergence. Combiné vec le théorème.7, ceci donne une nouvelle preuve du fit que S est continue sur D S. (2) Soit f n :], [ R telle que f n (x) = si /n < x, f n (x) = 2nx si < x < /(2n) et f n (x) = 2 2nx si /(2n) x /n. Alors f n est continue (fire un dessin!), et f n converge simplement vers f =. L convergence n est ps uniforme. Ainsi il est fux que l continuité de l limite implique l uniformité de l convergence. (3) Soit f n : R R, f n (x) = x 2 +. Exercice : L suite f n 2 n converge uniformément vers f(x) = x. On remrque que chque f n est différentible, mis l limite ne l est ps. Ainsi l convergence uniforme préserve l continuité, mis ps l différentibilité. Voici un critère suffisnt (mis non nécessire) pour ssurer qu une limite de fonctions différentibles est encore différentible : 25

26 .. Théorème (Convergence u sens C ). Soit I =], b[ un intervlle vec < b, et supposons que f n : I R est une suite de fonctions de clsse C sur I telle que ) l suite (f n ) converge uniformément sur I vers une fonction g : I R, et 2) il existe un point x I tel que l suite numérique f n (x ) converge. Alors l suite f n converge uniformément sur tout intervlle fermé contenu dns I vers une fonction f, et lors f est de clsse C vec dérivée ( lim f n ) = f = g = lim ( (f n ) ). L preuve de ce résultt repose sur l reltion fondmentle f(b) f() = b f (t) dt entre clcul différentiel et clcul intégrl. On peut l utiliser pour donner une nouvelle preuve du théorème 7.6 dns le cs réel. Complétude ; espces de Bnch Une suite de fonctions (f n ) n N peut être vue comme une suite d éléments de l espce vectoriel F (M, K). Ainsi le point de vue de suites à vleurs dns un espce vectoriel générlise l notion de suite de fonctions. Il s vère que ce point de vue est très utile, et il permet de mettre en relief une propriété qui est fondmentle pour l nlyse : il s git de l complétude. Définition.. Soit (V, ) un e.v.n. Une suite (v n ) n N d éléments v n V est dite convergente (en norme) s il existe v V tel que lim n v n v =. Cet élément est lors forcément unique, et on le note v = lim n v n. Une série à vleurs dns V, de terme générl u n V, est l suite de ses sommes prtielles S n = n k= u k. Elle est dite convergente si l suite (S n ) n N converge, et on note lors u n := lim n S n s limite. Lemme.2. Toute suite convergente (v n ) n N dns V est une suite de Cuchy, i.e., ε > : N N : m, n > N : v n v m < ε. Définition.3. Un e.v.n. (V, ) est dit complet ou : un espce de Bnch, si toute suite de Cuchy converge dns V. Exemples.4. () L espce R est complet : c est un fit fondmentl d nlyse (cours L-L2). (2) Les espces R n muni de l norme x := mx i=,...,n x i sont complets (c est une conséquence de () : exercice). (3) Soit I =], [ et V = C (I, R) B(I, R) l espce des fonctions bornées et lisses sur I, muni de l norme. C est un e.v.n., mis il n est ps complet : l suite f n (x) = x 2 + (cf..9 (3)) est bien une suite de Cuchy (exercice!), mis s limite n 2 f(x) = x n est ps lisse, donc n est ps dns V. Ainsi l suite n ps de limite dns V! Théorème.5. Soit K = R ou C et U une prtie de K. () B(U, K), muni de l norme, est un espce de Bnch ; (2) V = B(U, K) C(U, K), muni de l norme, est un espce de Bnch. L théorie des suites et séries à vleurs dns un espce de Bnch ressemble en grnde prtie celle des suites et séries numériques complexes. Une rison en est que l reltion entre convergence et convergence bsolue est l même qu vnt (vec même preuve) : 26

27 Définition.6. Une série de terme générl u n dns un e.v.n. V est dite bsolument convergente si l série réelle u n converge. Théorème.7. (Convergence bsolue) Si une série de terme générl u n dns un espce de Bnch (V, ) est bsolument convergente, lors elle est convergente. En prticulier, pour l espce de Bnch V = B(U, K), cel implique : si f n : M K est une suite de fonctions bornées, et si f n converge, lors l série de fonctions n f n converge uniformément vers une fonction limite f. On dit qu lors l série de fonctions n f n converge normlement. Nous revenons u sujet des séries de fonctions plus trd en étudint les séries de Fourier. Chpitre : Intégrles impropres L théorie de l intégrtion est un vste sujet que nous ne pourrons ps trîter de fçon exhustive dns ce cours. En un certin sens, cette théorie est l extension de l théorie des sommes finies et infinies (=séries) u cs des fonctions : l intégrle f() d d une A fonction f sur un domine A correspond à l sommtion n u n d une suite u n sur un certin ensemble (fini ou infini) d indices n. Ainsi on retrouve les mêmes thémtiques et problèmes : (A) L théorie des séries bsolument convergentes (qui peuvent être des séries doubles, triples, etc, i.e., l ensemble d indices peut être N 2, N 3,....: cf. le chpitre 4!) se générlise en l théorie de l mesure théorie lrgement due à Henri Lebesgue, et qui fit l objet d un cours à prt en L3. (B) L théorie des séries usuelles, convergentes ou semi-convergentes, se générlise en l théorie des intégrles impropres. L pluprt des exemples intéressnts se situe dns l intersection de (A) et de (B), et s étudie donc mieux en utilisnt l théorie de Lebesgue, mis il existe ussi d intégrles impropres, nlogues de séries semi-convergentes, qui ne rentrent ps dns l théorie de Lebesgue. (C) Signlons, enfin, qu on peut remplcer, comme on l fit pour les séries u chpitre précédent, les fonctions à vleurs sclires (f : M K, où K = R ou C) pr des fonctions à vleurs dns un espce de Bnch f : M V. Lorsque l dimension de V est finie, l théorie se rmène fcilement u cs sclire (cours de L3); le cs de dimension infinie est plus compliqué (cours de Mster). Nous commençons pr rppeler l notion élémentire d intégrle, connue du cours de L/L2, que nous ppelons intégrle simple. Ensuite, nous llons étendre cette notion, de l même mnière que l notion d une série étend l notion simple de somme finie... Définition. Nous ppelons intégrle simple l intégrle b f(t) dt d une fonction f : [, b] R continue ou régulière (cel veut dire : pour tout x [, b], les deux limites lim x x,x<x f(x) et lim x x,x>x f(x) existent) sur un intervlle fermé borné (= intervlle compct). Les propriétés les plus importntes de cette intégrle simple sont : ) l règle de Chsles : si < c < b, b f(t)dt = c f(t)dt + b c f(t)dt, 2) l linérité : b (f + g)(t)dt = b f(t)dt + b g(t)dt et b λf(t)dt = λ b f(t)dt, 3) l croissnce : si f g (i.e.: t [, b]: f(t) g(t)), lors b f(t)dt b g(t)dt, 27

28 4) l normlistion : b dt = b. Rppelons enfin que, si f est à vleurs complexes, lors on b f(t)dt = b R(f(t))dt + i b I(f(t))dt. Nous ne svons ps encore intégrer des fonctions sur un intervlle ouvert ou non-borné. Pr exemple, l intégrle de l fonction f(t) = / t sur l intervlle semi-ouvert ], ] n est ps définie. Mis, l intégrle sur l intervlle fermé [ε, ] est définie pour tout < ε <, et elle vut 2 2ε. On fer lors tendre ε, et l vleur de l intégrle tend lors vers 2, et on définir lors dt t := 2. Voici l définition générle :.2. Définition. Soit < < b et f : [, b[ R une fonction telle que, pour tout c ], b[, l intégrle simple c f(t) dt existe. Si l limite b f(t) dt := lim c b c f(t) dt existe, on l ppelle l intégrle impropre de f sur [, b[. De l même fçon, on définit l intégrle impropre si < b <. Finlement, si f est définie sur un intervlle ouvert ], b[, on choisit x ], b[, et on définit b f(t) dt := si les deux intégrles impropres x x f(t) dt + b x f(t) dt, f(t) dt et b x f(t) dt existent..3. Lemme. Les nottions de l définition précédente sont bien définies : (i) si f est une fonction qui est continue ou régulière sur l intervlle fermé [, b], lors l intégrle simple b f(t) dt coïncide vec l nouvelle définition de l intégrle impropre, i.e., b f(t) dt = im c c b f(t)dt ; (ii) l vleur de l intégrle ne dépend ps du choix du point x ], b[. En effet, (ii) découle de l règle de Chsles, et (i) du fit qu une fonction continue ou régulière sur un intervlle compct est bornée..4. Quelques exemples pour lesquels un clcul direct montre l existence d une intégrle impropre. On clcule d bord l intégrle sur un intervlle compct, et on psse à l limite: () tα dt = si α > α+ (2) t α dt = si α < α+ (3) (4) e αt dt = si α > α dt = π +t 2 (5) Supposons que f(x) dx existe. Pr un chngement de vribles, on pour les intégrles simples b f(x + λ) dx = b+λ f(x) dx, et en pssnt à l limite des deux cotés, +λ on obtient l invrince pr trnsltion λ R : f(x + λ) dx = f(x) dx. 28

29 De l même fçon, on montre que, pour λ R, f(λx) dx = λ f(x) dx, f(λx) dx x = f(x) dx x, f(x ) dx x = f(x) dx x. Il est utile de retenir l méthode utilisée pour l exemple précédent il ne fut ps ppliquer à l veugle les règles de clcul usuelles (intégrtion pr prties, chngement de vrible, linérité de l intégrle,...) : ces règles sont vlbles pour les intégrles simples (usuelles) ; on les pplique vnt de psser à l limite; puis il fut exminer cs pr cs si, oui ou non, on peut psser à l limite. Les règles de clcul usuelles ne sont ps toujours directement ppliqubles ux intégrles impropres! Pour d utres exemples, on utilise souvent le critère suivnt :.5. Théorème. Soit f : [, b[ R une fonction telle que, pour tout c [, b[, l intégrle simple c f(t)dt existe, et soit g : [, b[ R une fonction positive telle que l intégrle impropre b g(t) dt existe, et soit f(t) g(t) pour tout t [, b[. Alors l intégrle impropre b f(t)dt existe ussi..6. Quelques exemples où on pplique ce résultt. () Soit f(t) = e t2. Posons g(t) := e t. Pour t on f(t) g(t), et insi e t2 dt existe. On en déduit fcilement que e t2 dt existe ussi (intégrle de Guss). Cette méthode ne donne ps l vleur de l intégrle (qui est π). (2) L intégrle sin(t) dt existe (intégrle de Dirichlet). En effet, remrquons d bord t que l fonction h(t) := sin(t) se prolonge de fçon continue u point (exemple 8.5 t (4)). Ainsi l intégrle h(t) dt ne pose ps de problème. Il suffit donc de montrer que h(t) dt existe. Soit c > et effectuons une intégrtion pr prties : c sin(t) t dt = cos() cos(c) c c cos(t) t 2 dt. Sur [, [, l fonction f(t) := cos(t) t 2 psser à l limite c +, insi sin(t) dt = sin(t) dt + cos() t t ci-dessus, l méthode ne donne ps l vleur de l intégrle (qui est π). 2 est mjorée pr g(t) :=, et le théorème permet de t 2 dt. Comme cos(t) t 2 (3) Soit x >. Alors l intégrle impropre suivnte existe (fonction Gmm): Γ(x) := e t t x dt. Pr une intégrtion pr prties sur l intervlle [, b], puis en pssnt à l limite, b, on obtient que, pour x >, Γ(x + ) = x Γ(x). Comme Γ() = e t dt =, il s ensuit que Γ(n + ) = n! pour tout n N. Ainsi Γ(x) est une interpoltion de l fctorielle. Remrque : l même intégrle existe ussi pour tout x C vec Rx > cr t u+iv = t u pour t R +. (4) Soient x, y C tel que Rx > et Ry >. Alors l intégrle impropre suivnt existe (fonction Bêt): β(x, y) := t x ( t) y dt. 29

30 Un chngement de vribles montre que β(x, y) = β(y, x). En écrivnt Γ(x)Γ(y) comme une intégrle sur (R + ) 2 et en y fisnt un chngement de vribles, on montre que Γ(x)Γ(y) = β(x, y)γ(x + y). (5) De mnière générle, si b f(t) dt est bsolument convergente (i.e., l intégrle impropre b f(t) dt existe), lors l intégrle impropre b f(t) dt existe. L intégrle sin(t) dt est t un exemple d une intégrle semi-convergente (elle existe, mis ne converge ps bsolument exercice). Un certin nombre de remrques du chpitre 9 sur les séries semi-convergentes s pplique églement ux intégrles semi-convergentes..7. Théorème. (Comprison série intégrle.) Soit f : [, [ R + une fonction monotone décroissnte. Alors sont équivlents : () l intégrle impropre f(t) dt existe ; (2) l série n= f(n) converge. Dns ce cs, on f(t) dt f(n) f() + n= f(t) dt..8. Exemple. Soit s R tel que s >. Aors f(t) := t s est décroissnte. On vu (exemple.4 (2)) que f(t)dt existe. Le théorème implique lors l convergence de ζ(s) := On en déduit l convergence de l série définie pr l même formule pour un nombre complexe s tel que Rs >. L fonction s ζ(s) insi définie est l fmeuse fonction zêt de Riemnn. n= n s. Chpitre 2 : Intégrles dépendnt d un prmètre Nous vons étudié des séries qui dépendent d un prmètre : une série de fonctions n f n(x) n est rien d utre qu une série dépendnt d un prmètre x ; insi, pr exemple, n nx n est une série qui dépend de x. Sous certines conditions, l dépendence du prmètre x est continue ou même différentible (chpitres 7 et ). Pour les intégrles, l sitution est exctement l même : soient, dns toute l suite, I et J deux intervlles et f : I J R, (x, t) f(x, t) une fonction. Nous écrivons ussi f x (t) := f(x, t) ; insi, pour tout x I fixé, f x : J R est une fonction dépendnt du prmètre x. Supposons que, pour tout x I, l intégrle (simple ou impropre) f J x(t) dt existe. Que peut-on dire lors de l fonction F : I R, x F (x) := f x (t) dt? J 3

31 Sous quelles conditions est-elle continue? Sous quelles conditions est-elle différentible? Les réponses à ces deux questions sont légèrement différentes selon les deux cs J compct (intégrle simple) ou J non-compct (intégrle impropre), elles donnent donc lieu à 2 2 théorèmes. Nous énonçons d bord ces 4 résultts (dns tous les cs, il s git encore de résultts qui permettent d échnger deux procédés de limite), puis nous discutons quelques exemples et expliquons finlement les méthodes des preuves : 2.. Théorème. Soit J = [, b] un intervlle compct et f : I J R une fonction continue. Alors F : I R, x J f x(t) dt est continue. Autrement dit, pour tout x I, lim y x b b f(y, t) dt = lim F (y) = F (x) = y x lim y x f(y, t) dt Théorème. Soit J un intervlle quelconque et f : I J R une fonction continue. Supposons de plus qu il existe g : J R telle que, pour tout x I, f(x, t) g(t), et telle que l intégrle (simple ou impropre) J g(t) dt existe. Alors F : I R, x J f x(t) dt est continue Théorème. Soit J = [, b] un intervlle compct et f : I J R, (x, t) f(x, t) une fonction continue et telle que l dérivée prtielle f existe et est continue. Alors x F : I R, x f J x(t) dt est de clsse C, et on peut dériver sous le signe somme : F (x) = d ( b ) b f f(x, t) dt = (x, t) dt. dx x 2.4. Théorème. Soit J un intervlle quelconque et f : I J R une fonction continue telle que l dérivée prtielle f existe et est continue. Supposons de plus qu il x existe g : J R telle que, pour tout x I, f (x, t) g(t), et telle que l intégrle (simple x ou impropre) g(t) dt existe. Alors F : I R, x f J J x(t) dt est de clsse C, et on peut dériver sous le signe somme Exemples. () I = J = [, [, f(x, t) = e xt sin t si t, et f(x, ) =. On peut ppliquer le t théorème 2.4 pour x [, [ vec >, et on trouve F (x) =. On en déduit que x 2 + f(x, t) dt = rctg x + C. Or, lim x F (x) =, d où C = π et F (x) = π rctg x = 2 2 rctg. x (2) Proposition : L fonction Gmm Γ : R + R, x Γ(x) = e t t x dt est différentible, vec dérivée Γ (x) = (log t)e t t x dt. Remrque : de même, il est vri que l fonction Γ : {x C Rx > } C est C- différentible, et insi cette fonction est nlytique. De l même mnière, on montre que l fonction bêt et un grnd nombre d utres fonctions définies pr des intégrles sont nlytiques. En effet, on vérifie les hypothèses de 2.4 : soit J =], [, I = [α, [ vec α > et f(x, t) = e t t x. Il fut mjorer f (x, t) = x e t log(t)t x. Pour cel, on sépre = +. Sur le deuxième intervlle, l mjortion ne pose ps de problème, grâce à l décroissnce rpide de e t. Sur ], ], l fonction g(t) := log(t)t α est une fonction 3

32 mjornte de f (x, t), et g(t)dt existe : cel peut être vérifié pr une intégrtion pr x prties, ou en utilisnt le résultt plus générl suivnt : 2.6. Théorème ( Intégrles de Bertrnd ). L intégrle 2 t α log t β dt existe si, et seulement si, on est dns un des deux cs suivnts : (i) α >, ou (ii) α =, et β <. L intégrle 2 t α log t β dt existe si, et seulement si, on est dns un des deux cs suivnts : (i) α <, ou (ii) α =, et β <. Les deux ffirmtions sont équivlentes entre elles, pr un chngement de vrible. L preuve de 2.6 repose sur le critère suivnt : 2.7. Théorème (Équivlence). Soit f et g deux fonctions continues sur [, b [, telles que, u voisinge de b, l fonction g soit de signe constnt et f(x) b g(x) i.e., lim x b f(x) g(x) =. Alors les intégrles b g(x) dx et b f(x) dx sont de même nture. (3) Une ppliction du théorème 2. : soit f : I R de clsse C. Alors on pose P : I I R, P (x, y) := f (x + t(y x)) dt. Comme I I [, ] R, (y, x, t) f (x + t(y x)) est continue, le théorème 2., implique que P : I I R est continue. De plus, si x y, près chngemenet de vribles v = t(y x), l reltion fondmentle entre clcul différentiel et intégrl implique que P (x, y) = f(x) f(y). Si x = y, on trouve que P (x, x) = f (x)dt = f (x). x y Cel donne une direction de preuve du résultt suivnt: 2.8. Théorème. Soit f : I R une fonction. Alors sont équivlents : () f est de clsse C ; (2) il existe une fonction continue (dite l pente de f) P : I I R telle que, pour tout x, y I, x y: P (x, y) = f(x) f(y) x y. Pour l preuve de l réciproque : si P existe, lors lim y x f(x) f(y) x y = lim y x P (x, y) = P (x, x) existe et est continue en fonction de x, insi f est bien de clsse C. Continuité et continuité uniforme Soient M R n et N R m et f : M N une ppliction. Soit d(x, y) = x y (distnce entre x et y ; comme norme on peut prendre v = mx i=,...,n v i ). Rppel. f continue si : x M, ε > : δ > : d(x, y) < δ d(f(x), f(y)) < ε ; f uniformément continue si : ε > : δ > : x M: d(x, y) < δ d(f(x), f(y)) < ε. 32

33 Rppel 2. Soit M R n compct (fermé et borné) et f : M N. Alors : f continue f uniformément continue. Preuve de 2.. Soit f : J I R continue et x I. On choisit un intervlle compct I I tel que x I. Alors f : J I est uniformément continue (rppel 2), donc δ > F (x) F (x ) = b b f(x, t) f(x, t) dt f(x, t) f(x, t) dt b ε si x I est tel que x x < δ. Il s ensuit que F est continue u point x. Preuve de 2.3. Nous utilisons le théorème 2.8 : l hypothèse sur F équivut à dire qu il existe une ppliction continue Q : I I J R, (x, y, t) Q(x, y, t) telle que, pour x y, Q(x, y, t) = f(x,t) f(y,t). Alors, si x y, x y F (x) F (y) x y = = b b f(x, t) f(y, t) dt x y Q(x, y, t) dt ; mis cette dernière expression existe ussi pour x = y, et d près 2., elle definit une fonction continue P (x, y) de (x, y) I I. En utilisnt encore une fois 2.8, il s ensuit que F est de clsse C. Preuve de 2.2. On considère le cs J = [, b[. On choisit une suite monotone J b n b, vec b =. L intégrle b f(x, t) dt existe et est égl à b bn n bk n F (x) = f(x, t) dt = lim f(x, t) dt = lim f(x, t) dt =: lim F k (x). n n b n k Or, d près 2., les fonctions F k sont continues ; comme F k C k := b k b k g(t) dt et k= C k converge, cette série de fonctions converge normlement, donc uniformément, et k= donc l limite F est une fonction continue (théorème.8). Preuve de 2.4. On utilise exctement l même strtégie, en invoqunt cette fois-ci le théorème.. k= Chpitre 3 : Séries de Fourier notions de bse Origine historique. Les deux questions suivntes sont à l origine de l théorie. Rppelons d bord qu une fonction f : R C est dite périodique, de période L >, si x R : f(x + L) = f(x). Des exemples importnts sont les fonctions trigonométriques (chpitre 5!) f(x) = cos( 2πnx L ), f(x) = sin(2πnx), f(x) = exp(2πnx L L i) 33

34 vec n Z. Ce sont des tonlités pures, ou ondes monochromtiques, i.e., des ondes d une seule fréquence n (ou : de longueur d onde L ). Les questions suivntes sont motivées L n pr l physique : () [Euler, Bernoulli, 75] Peut-on développer une fonction f : R R, périodique de période L, en une superposition (somme ou série) de tonlités pures f(x) = n cos( 2πnx L ) + n= b n sin( 2πnx L )? Puisque e it = cos(t) + i sin(t), on peut reformuler l question : peut-on développer une fonction f : R C, de période L, en une superposition f(x) = n= c n e 2πinx L? (b) [Fourier, 87] Peut-on développer une fonction f : R C quelconque en une superposition continue (une intégrle) de tonlités pures f(x) = e 2πitx g(t) dt? Dns les deux cs, l réponse est positive, sous des hypothèses ssez générles sur f. De plus, il existe des formules reltivement simples pour trouver les coefficients n, b n, c n (coefficients de Fourier), resp. l fonction g (trnsformée de Fourier). C est le début d une théorie très riche et féconde, l nlyse hrmonique (un utre domine de recherche présent à Nncy). L trnsformée de Fourier fer l objet d un utre cours. Ici, nous n bordons que des notions élémentires concernnt l question (). Remrquons qu on peut se rmener, pr un simple chngement de vrible, u cs L = : nous supposons dns toute l suite que L =. 3.. Lemme. Les ensembles de fonctions suivnts sont des sous-espces vectoriels de F(R; K) (où K = R ou C) : () F(R/Z, K) := {f : R K x R : f(x) = f(x + )} (fonctions périodiques) ; (2) C(R/Z, K) := F(R/Z, K) C(R, K) (fonctions périodiques continues) ; (3) C k (R/Z, K) := F(R/Z, K) C k (R, K) (fonctions périodiques de clsse C k ) ; (4) C ω (R/Z, K) := F(R/Z, K) C ω (R, K) (fonctions périodiques nlytiques) ; (5) R(R/Z, K) fonctions Riemnn-intégrbles périodiques. Pour t R, n Z et k N on définit les fonctions c k (t) := cos(2πkt), s k (t) := sin(2πkt), e n (t) := exp(2πint). Alors c n et s n pprtiennent ux cinq espces décrits dns le lemme ci-dessus pour K = R, et idem e n pour K = C Lemme. Si f : R K est périodique, lors l fonction f : S K, e 2πit f(t) 34

35 est bien définie. Réciproquement, si F : S K est une fonction, lors l fonction R K définie pr F (t) := F e (t) = F (e 2πit ) est périodique. Ainsi f f définit une bijection entre F(R/Z, K) et F(S, K). On résume l sitution pr le digrmme commuttif : R e S f F K 3.3. Lemme. L formule suivnte définit un produit sclire sur les espces C(R/Z, K), C k (R/Z, K) et C ω (R/Z, K) : f, g := f(t)g(t) dt Théorème (Reltions d orthogonlité). Pour les fonctions s n, c n, e n définies ci-dessus, on (vec δ i,j = si i = j, δ i,j = si i j, le symbôle de Kronecker) : n, m Z : e n, e m = δ n,m, n, m N : s n, s m = 2 δ n,m, s n, c m =, c n, c m = 2 δ n,m, c, c = Corollire. Dns l espce vectoriel F(R/Z, C), l fmille (e n ) n Z est libre, et dns l espce F(R/Z, R), l fmille (c n, s m ) n N,m N est libre. Rppelons qu une bse est une fmille libre et génértrice. Les fmilles du corollire précédent, sont-elles génértrices? On verr, dns le chpitre suivnt, qu elles le sont presque. Pour comprendre ce fit, notons d bord, si f = k S c ke k est un polynôme trigonométrique, i.e., une combinison linéire finie d exponentielles ( S < ), lors f, e n = c k e k, e n = c n. k A Idem, si f = n S nc n + n S b n s n, lors n = 2 f, c n, b n = 2 f, s n et = f,. Ceci motive l définition suivnte pour une fonction quelconque : 3.6. Définition. Soit f R(R/Z, C). Ses coefficients de Fourier sont, pour n Z, c n (f) := f, e n = f(t)e 2πint dt. Si f R(R/Z, R), on définit les coefficients de Fourier réels, pour n N, pr (f) := f, c = f(t)dt, n (f) := 2 f, c n = 2 f(t) cos(2πnt) dt, b n (f) := 2 f, s n = 2 f(t) sin(2πnt) dt. Noter que c (f) = (f) est l moyenne de f sur une période. l ensemble {n N c n (f) } des fréquences intervennt dns f. Le spectre de f est 35

36 Pr exemple, le spectre de e n est un seul point, et celui de s n et de c n (n ) deux points. Dns l suite, nous utiliserons souvent l remrque suivnte : si f est périodique, lors l reltion de Chsles implique que, pour tout y R, f(t) dt = +y y f(t) dt = f(t y) dt, insi c n = /2 /2 f(t)e 2πint dt, n = /2 f(t) cos(2πnt) dt et b /2 n = /2 f(t) sin(2πnt) dt. /2 Pr conséquent, si f est pire, lors b n = et 2c n = n, si f est impire, n = et 2c n = ib n Théorème (Règles de clcul). Soient f, g R(R/Z, C). Alors : () c k (f + g) = c k (f) + c k (g), c k (λf) = λc k (f) ; (2) si f est de clsse C : c k (f ) = 2πik c k (f) ; (3) soit τ y f(t) = f(t + y) l trnsltée de f pr y ; lors c k (τ y f) = e 2πiyk c k (f) ; (4) soit (f g)(x) := f(x y)g(y)dy (convolution), lors c k(f g) = c k (f) c k (g) ; (5) si f est réelle (i.e., f = f), lors c n (f) = c n (f) ; (6) si f est pire, lors c n (f) = c n (f) = 2 n(f), si f est impire, lors c n (f) = c n (f) = i 2 b n(f) Exemples. Dns l suite, on définit f pour t [, [, et on prolonge pr périodicité. On demnde u lecteur de dessiner le grphe de f pour chque exemple! () L scie. f(t) = π( t). L fonction est réelle et impire ; elle n est ps continue. 2 Coefficients de Fourier : b k (f) = 2ic k (f) = pour k > (intégrtion pr prties). k (2) L chîne prbolique. g(x) = π 2 (x 2 x + ) sur [, [. L fonction est réelle et 6 pire ; elle est continue, et de clsse C sur ], [. S moyenne sur [, ] est. Coefficients de Fourier : c (g) = (g) =, k (g) = 2c k (g) = pour k >. k 2 (3) L bosse rectngulire. Soit [, ] fixé et h(x) = si < x, h(x) = si < x < (fonction indictrice de [, [). L fonction est réelle et non-continue. Coefficients de Fourier : c (h) =, c k (h) = i e 2πik pour k Z 2πk (4) L bosse rectngulire trnsltée. h 2 (x) = τ /2 h (indictrice de [ /2, /2[). L fonction est réelle et pire. Coefficients de Fourier : c (h 2 ) =, c k (h 2 ) = sin(πk) pour k Z. πk Chpitre 4 : Séries de Fourier Théorie L 2 Nous llons mintennt ttquer le problème fondmentl de l théorie de Fourier : sous quelles conditions peut-on écrire une fonction périodique f comme somme ou série n S λ ne n de fonctions trigonométriques? Nous svons déjà comment déterminer les 36

37 coefficients λ n si f est un polynôme trigonométrique ( S < ) : dns ce cs, λ n = f, e n = c n (f). Ceci nous mène à définir pour f quelconque : 4.. Définition. Soit f R(R/Z; C). L série de Fourier de f est l série de fonctions k= c k(f)e k. Autrement dit, c est l suite de ses sommes prtielles S n (f) := n k= n c k (f)e k. Le problème fondmentl s énonce lors : pour quelles f, l série de Fourier converget-elle? et si oui, converge-t-elle vers f, et dns quel sens l convergence -t-elle lieu? Avnt d border l théorie générle, il ser utile d étudier à l min ces questions pour les exemples Exemples. () Le noyu de Dirichlet. Pour n N fixé, soit f(t) := D n (t) := sin((2n+)πt) si t / Z sin(πt) et f(t) = 2n + si t Z. En utilisnt l somme géométrique, on montre que f(t) = n k= n e k(t). Puisque l somme est finie, elle est convergente (D n est donc un polynôme trigonométrique), et le spectre est fini : S = { n,..., n}. Pour voir un dessin des grphes de D,..., D 4 : kernel () L scie. Soit /2 > δ >. Alors, on convergence uniforme pour tout x [δ, δ]: k= sin(2πkx) k = π( 2 x). Pour l preuve, on regroupe, dns l exemple précédent, les termes e k + e k : D n (t) = 2 n cos(2πkt) +, k= et on intégre les deux membres entre et x. On montre que le membre de guche, 2 F n (x) := x D n (t)dt, tend uniformément, pour x [δ, δ], vers si n : en effet, 2 F n (x) = x 2 h(t) sin(π(2n+)t) dt = x 2 h cos(π(2n + )t) [ cos(π(2n + )t) ] x (t) dt h(t) (2n + )π (2n + )π 2 vec l fonction h(t) = sin(πt) qui est C sur ], [. Ainsi h et h sont bornées sur [δ, δ], et il s ensuit que F n (x) pour n, uniformément en x [δ, δ], et = lim n n k= x /2 2 cos(2πkt) dt + x /2 dt = k= sin(2πkx) πk + x 2. Remrque. Pour x = et x =, sin(2πkx) k= =. On donc convergence simple sur k [, ], mis l convergence n y est ps uniforme sinon l limite serit continue, ce qui n est ps le cs. De plus, si n devient grnd, S n f présente de plus en plus nettement un sursut près des points de discontinuité de f : c est le phénomène de Gibbs, voir pour une illustrtion de Gibbs 37

38 (2) L chîne prbolique. Pour tout x [, ], on convergence simple k= cos(2πkx) k 2 = π 2 (x 2 x + 6 ). Pour l preuve, on pose G(t) := cos(2πkt) k=. Comme k 2 k <, cette série est normlement convergente. De plus, d près l exemple précédent, sur [δ, δ], k 2 k= ( cos(2πkt) ) k 2 converge uniformément. Le théorème. implique que G est de clsse C et qu on peut dériver terme à terme. Ainsi l exemple précédent implique que G (t) = π 2 (2t ) sur [δ, δ], donc G(t) = π 2 (t 2 t) + C. L constnte C est déterminée en observnt que G(t)dt = k= cos(2πkt) k 2 dt =. Ainsi on trouve que C = π2 6. Remrque. Puisque G est continue, il fut que G() = C. Cel démontre l reltion k= k 2 = π2 6. (3) L bosse rectngulire. Soit h l bosse rectngulire (exemple 3.8 (3)). Alors l série de Fourier de h converge simplement vers h en tout point où h est continue, et l convergence est uniforme sur tout intervlle fermé qui ne contient ps de point de discontinuité. En effet, soit f l scie et f 2 (t) = f ( t) ( scie opposée ), puis f 3 (t) = f 2 (t + ) s trnsltée. Des résultts nlogues de () restent vries pour f 2 et f 3, et ussi pour f + f 3. Or, à des constntes près, f + f 3 est une bosse rectngulire. L ffirmtion est donc une conséquence de (). (Remrque. Le phénomène de Gibbs se présente églement pour cet exemple.) Outre l convergence uniforme (i.e., pr rpport à l norme f ), l convergence en moyenne qudrtique nous intéresse : 4.3. Définition. Rppelons que C(R/Z, C) est muni d un produit sclire, on donc une norme euclidienne f 2 = f, f = f(t) 2 dt. On dit que f n converge vers f u sens L 2 si f n f 2 (n ). On utilise ces mêmes notions églement pour des fonctions f R(R/Z, K) Théorème (Inéglité de Bessel). Pour tout f R(R/Z, K), on f S n (f) 2 2 = f 2 2 et donc n k= n c k(f) 2 f 2 2. Il s ensuit que k= n k= n c k (f) 2 f 2 2, c k (f) 2, et qu on ici églité si et seulement si S n (f) f u sens L 2. L preuve vient d un clcul direct de f g, f g vec g = n k= n c k(f)e k. De plus, si f est Riemnn-intégrble, elle est bornée, donc f 2 2 <, d où 38

39 Corollire ( Lemme de Riemnn-Lebesgue ). lim k ± c k (f) =. Pour tout f R(R/Z, K), on 4.5. Exemples. Reprenons les exemples : () L bosse rectngulire. Soit h = [,] l fonction définie dns l exemple 3.8. Alors S n (h) h (n ) u sens L 2. En effet, on vérifie l condition k= c k(h) 2 = h 2 2 : d une prt, h 2 2 = dt =. D utre prt, c (h) 2 = 2, k Z : c k (h) 2 = e 2πik 2 = cos(2πik). 2πk 2π 2 k 2 Donc, en utilisnt l exemple 4.2 (2), k= c k (h) 2 = k= cos(2πk) 2π 2 k 2 = (2 + 6 ) = = h 2 2. Le résultt est donc vérifié pour h, mis pr trnsltion ussi pour toute bosse trnsltée (cr τ y h 2 2 = h 2 2 et c k (τ y f) 2 = c k (f) 2 pour tout y R). (2) Fonctions escliers. Rppelons qu une fonction esclier est une combinison linéire finie f = j α j Ij où I j [, ] est un intervlle. Du () on déduit que là ussi, S n (f) f u sens L Théorème (Convergence L 2 ). Si f R(R/Z, C), lors S n (f) f (n ) u sens L 2. Il s ensuit que que l inéglité de Bessel devient une églité (églité de Prsevl) k= c k (f) 2 = f(x) 2 dx. L preuve utilise l exemple précédent : comme f est R-intégrble, elle est bornée. On peut supposer que f est bornée pr. Soit ε > donné ; lors, pr définition de l R-intégrbilité, il existe des fonctions en esclier h + et h telles que h f h +, (h + h )(t) dt < ε2 8. Alors g := f h, et f S n (f) 2 = f h S n (f h ) + h S n (h ) 2 g S n (g) 2 + h S n (h ) 2 D près 4.5 (2), il existe N tel que pour n > N le deuxième terme devient plus petit que ε. Le premier terme est mjoré, d près 4.4, pr g 2 2 = g(t) 2 dt ε. Ensemble, 2 cel implique que S n (f) f u sens L 2. Ce théorème est un des résultts les plus importnts de l théorie. Il dmet beucoup de générlistions et de corollires. Voici quelques-uns : 4.7. Théorème (Convergence uniforme). Soit f continue et périodique telle que k= c k <. Alors l série de Fourier de f converge uniformément vers f : lim f S n(f) =. n 39

40 En effet, S n f converge normlement (cr S n f(t) k= c k < ), donc uniformément, vers une fonction continue g. Or, d près 4.6, S n f converge u sens L 2 vers f, et donc g f 2 =. Mis g et f sont continues, et il s ensuit que g = f. Voici sns preuve d utres résultts : 4.8. Théorème d pproximtion de Weierstrss. Soit f : R C continue et périodique et soit ε >. Alors il existe un polynôme trigonométrique P tel que f P < ε. (On dit : les polynômes trigonométriques sont uniformément dense dns C(R/Z, C).) 4.9. Théorème (Dirichlet). Soit f périodique et dérivble pr morceux sur [, ]; en prticulier, pour tout x [, ], les limites à guche et à droite f (x) et f + (x) existent. Alors lim (S nf)(x) = f (x) + f + (x). n 2 En prticulier, (S n f)(x) converge vers x en tout point où f est continue. Finlement, quelques remrques et références pour conclure. () Il n est ps vri que, si f est continue (mis non C pr morceux), S n f converge toujours simplement vers f : un contre-exemple été donné en 873 pr du Bois Rymond. L question de décrire l ensemble des x pour lesquels S n f(x) converge est difficile : des résultts profonds dns cette direction ont été obtenus pr L. Crlsson, J.-P. Khne et utres, dns les nnées 6. Voir, pour un survol, de Fourier L théorie de l intégrle de Lebesgue est un outil indispensble pour étudier ce genre de questions, et pour l théorie L 2 en générl. (2) Une générlistion importnte de l théorie de Fourier est l nlyse hrmonique noncommuttive. L observtion bsique est ici le fit que S est un groupe. Les fonctions périodiques f : S C se générlisent insi pr des fonctions f : G C, où G est un groupe. Si le groupe G est commuttif (exemple : G = R), l théorie est reltivement proche à l nlyse de Fourier ; si G est non-commuttif (pr exemple, G = GL(n, R), G = SL(nR), G = O(n), G = U(n),...), l théorie fit ppel à de nouveux outils : les fonctions trigonométriques e n : S C se générlisent lors pr des représenttions de G. Voici deux introductions élémentires à ce cercle d idées A. Deitmr, A First Course in Hrmonic Anlysis, Springer, New York 25, J. Frut, Anlyse sur les groupes de Lie, Clvge et Mounet, Pris 23. 4