Magister en : Génie Mécanique

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1 الجمهورية الجزاي رية الديمقراطية الشعبية République Algérienne Démocrtique et Populire وزارة التعليم العالي و البحث العلمي Ministère de l enseignement supérieur et de l recherche scientifique Université Mohmed Khider Biskr Fculté des Sciences et de l Technologie Déprtement : Génie Mécnique Ref : جامعة محمد خيضر بسكرة كلية العلوم و التكنولوجيا قسم : الهندسة الميكانيكية المرجع : Mémoire présenté en vue de l obtention du diplôme de Mgister en : Génie Mécnique Option : Construction Mécnique Anlse des structures pr l M.E.F bsée sur l pproche en déformtion Présenté pr : Lkhdr BESSAIS Soutenu publiquement le 8 Devnt le jur composé de : Dr. S. BENMEBAREK Professeur Président Université de Biskr Dr. M. BOUREZANE Mitre de Conférences A Rpporteur Université de Biskr Dr. M. HECINI Professeur Eminteur Université de Biskr Dr. L. BELOUNAR Mitre de Conférences A Eminteur Université de Biskr

2 RÉSUMÉ Dns l modélistion pr éléments finis des structures complees, divers éléments doivent être utilisés : poutres, membrnes, éléments de solide, plques et coques. Ces éléments, construits selon l formultion clssique, ne prtgent ps en générl les mêmes degrés de liberté nodu, ce qui complique l élbortion d un modèle comptible. Pour résoudre ce problème, nous proposons des éléments finis bsés sur l pproche en déformtion dns lquelle un degré de liberté de rottion est jouté. Combinée vec une méthode modifiée des modes incomptibles, cette pproche fournit une bse unifiée pour l construction d éléments finis vriés qui possèdent les mêmes degrés de liberté nodu et qui peuvent être ssemblés isément les uns vec les utres. Mots clés : Éléments finis, pproche en déformtion, pproche en déplcement, membrnes et solides, plques, coques, degré de liberté de rottion, ssemblges.. ABSTRACT In finite element models of comple structurl sstems, different need to be used such s: bems, membrnes, solids, pltes nd shells. Elements of different kind, bsed on clssicl formultions, generll do not shre the sme nodl degrees of freedom, which complictes construction of comptible model. To resolve this modelling problem, we propose fmil of finite elements bsed on the pproch in deformtion, in which degree of freedom of rottion is dded. Along with modified method of incomptible modes, this provides unified bsis for construction of vrious finite elements with the sme nodl degrees of freedom, witch cn be freel combined. Ke words: Finite elements, pproch in deformtion, pproch in displcement, membrnes nd solids, pltes, shells, rottionl degree of freedom, junctions. ملخص في نماذج العناصر المحدودة للنظم هيكلية معقدة مختلف العناصر يجب استخدامها مثل : الا عمدة والا غشية والعناصر الصلبة, الصفاي ح و القشور. هذه العناصر التي ا نشي ت وفقا للصيغة الكلاسيكية وبشكل عام لا تشترك في نفس درجات الحرية للعقد ومن الصعب ا عداد نموذج متوافق. لحل هذه المشكلة نقترح عناصر محدودة تعتمد ا ساسا على مبدا التقريب في التشوه والذي يتم ا ضافة درجة من الحرية مع تعديل طريقة من طرق الغير المتوافقة وهذا التقريب يوفر ا ساسا موحدا لا نشاء عناصر محدودة المختلفة التي لها نفس درجات الحرية في العقد ويمكن تجميعها بسهولة مع بعضها البعض الكلمات المفتاحية. العناصر المحدودة, التقريب في التشوه, التقريب في الانتقال, الا غشية والعناصر الصلبة, الصفاي ح و القشور, درجة الحرية,التجميع.

3 REMERCIEMENTS Tout d'bord, je remercie Allh, le tout grnd puissnt de m'voir donné l force, le courge, l ptience et l volonté de mener à bien ce modeste trvil. Tout d bord, j'dresse mes remerciements à mes précieu prents les plus chers u monde de leur ide et leur soutien pour leur encourgement durnt l rélistion de ce mémoire. Je tiens à remercier vivement et sincèrement mon encdreur Dr. M. BOUREZANE qui contribué et ssuré l direction de ce trvil, pour tout le soutient, les orienttions et l ptience qu'il mnifesté durnt son encdrement tout le long de l rélistion de ce mémoire. Je tiens à remercier Monsieur Dr. S. BENMEBAREK, président de jur, qui m fit le grnd honneur de présider ce jur. Je tiens à remercier ussi Messieurs Dr. L. BELOUNAR et Dr.M. HECINI qui m ont fit l honneur d eminer mon trvil. Je sisis ussi l occsion pour rendre hommge à tous mes enseignnts uprès desquels j i reçu m formtion. Mes remerciements vont ussi à toutes les personnes qui ont contribué de près ou de loin à l rélistion de ce mémoire.

4 Sommire Sommire Introduction générle Chpitre Générlité sur l M.E.F Introduction Historique... Modélistion et discrétistion Concept de l méthode des éléments finis Etpes de l méthode des éléments finis Les Avntges de l M.E.F Clssement d'élément fini les propriétés d'un élément fini Condition d'équilibre Condition de comptibilité 7 Loi de Hooke....8 Conditions u limites.8 Choi des fonctions de déplcements et conditions de convergence Modèles d'éléments finis.... modèle déplcement.... modèle en déformtion.. 4 Etude bibliogrphique sur l M.E.F. en déformtion Avntges du modèle en déformtion... 6 Conclusion

5 Sommire Chpitre Rppelle sur l théorie d'élsticité Introduction... Contrinte normle et contrinte tngentielle.. Les équtions d'équilibre pour un corps à l étt sttique.... Eqution d'équilibre des forces... 4 Reltion entre déformtions et déplcements Tpe de déformtion Reltion entre contrintes et déformtions Etude de l théorie d élsticité plne Ett pln de déformtion Ett pln de contrinte Conclusion..... Chpitre Formultion des éléments finis Introduction... Eléments membrnires..... Introduction.... Elément rectngulire bsé sur l pproche en déplcement (BR Elément fini rectngulire bsé sur l pproche en déformtion (SBRIE..8.4 Elément rectngulire bsé sur l pproche en déformtion (SBRIEIR.5 Elément tringle bsé sur l pproche en déformtion 'SBTIEIR''.... Eléments plques Introduction...4. Epression des déplcements et déformtions de l plque...4. Epression des contrintes et des efforts Détermintion de l mtrice de rigidité Les modèles clssiques Kirchhoff Les modèles Reissner Mindlin Eléments coques Introduction Discrétistion d une surfce courbée pr des éléments plns Construction d un élément de coque plne Elbortion de l mtrice de rigidité élémentire...4

6 Sommire 4.5 Problème prtique de l modélistion (rigidité fictif Eléments solides Elément brique bsé sur l pproche en déplcement Plque et coque ridie Progrmme de résolution sttique pr l MEF 49 8 Conclusion..5 Chpitre 4 Vlidtion numérique 4 Introduction Vlidtion numérique des éléments finis membrnire Fleion plne d une poutre console courte encstrée Poutre épisse en ppui simple chrgé uniformément Poutre console élncée de McNel Vlidtion numérique des éléments plques et solides Introduction Plque soumise à une chrge concentrée Plque crrée à deu bords encstrée et deu bords libres Vlidtion numérique des éléments coques Clindre pincé vec diphrgme Clindre pincé à bords libres Pnneu clindrique soumis à son poids propre Hémisphère sous chrges dimétrlement opposées Coque sphérique sous chrge concentrée Coque hélicoïdles sous chrges concentrées Conclusion..8

7 Sommire Chpitre 5 Applictions 5 Introduction Proi sur colonne 8 5 Refend plein Refend vec une file d'ouvertures Refend, Approche Membrne Membrne Refend, Approche Poutre Membrne Plques ridies Plque à une seule rideur Coque ridie Prboloïde hperbolique vec ridisseur Conclusion...95 Conclusion générle.96 Bibliogrphie...98 Annee Annee A Annee B...7 Annee C 9 Annee D Annee E. Annee F.....

8 Liste des Figures Chpitre : Figure (. : Étpe de l nlse d un problème u limites....4 Figure (. : Millge du domine en tringles à trois nœuds....4 Chpitre : Figure (. : Vecteurs contrintes T sur trois fcettes orthogonles Figure (. : Tenseur de contrinte... Figure ( : Déformtion d un élément dns le pln...5 Figure (.4 : Cs de l étt pln de déformtion...8 Figure (.5 : Cs de l'étt pln de contrinte... Chpitre : Figure (. : Élément rectngulire BR... Figure (. : Comportement d un élément à qutre nœuds lors de l fleion dns le pln. Étt déformé pour le modèle bsé sur le déplcement... b Ett déformé pour le modèle bsé sur l déformtion... Figure (. : Sstème de coordonnés de l élément SBTIEIR pour l élsticité plne Figure (.4 :Référence locle d une plque...4 Figure (.5 : Efforts élémentires pr unité de longueur...7 Figure (.6 : Cinémtique de Kirchooff....8 Figure (.7 : Cinémtique de Reissner Mindlin..4 Figure (.8 : Discrétistion des coques pr des éléments finis plns tringulires et rectngulires....4 Figure(.9 : Discrétistion d une surfce courbée pr des éléments plns Figure(. : Structure en plque pliée Figure (. : Elément de solide (Brique à 8 nœuds Figure (. : Plque ridie et coque vec un ecentré entre l'e d une poutre et surfce moenne d'une plque Figure (. : Orgnigrmme globl du progrmme...5

9 Chpitre 4 : Figure (4. : Poutre console sous chrge verticle...5 Figure (4.: Densité de millge (M,Met M...54 Figure (4. : Flèche verticle u point C Figure (4.4 : Poutre console : millge régulier b millge distordu...56 Figure (4.5 : Problème de contrintes plnes...57 Figure (4.6: Flèche verticle u point A...58 Figure (4.7 : Distribution des contrintes longitudinle u milieu de l poutre (millge 64 éléments Figure (4.8 : Poutre console élncée de McNel. Donnes et Millges...59 Forme rectngulire des éléments...59 b Forme trpézoïdle des éléments...59 c Forme d'un prllélogrmme des éléments...59 Figure (4.9 : Plque soumise à une chrge concentrée u point C Figure (4. : Flèche verticle w u point C des éléments ABAQUS Figures (4. : Plque crrée à deu bords encstrés et deu bords libres...64 Figure (4. : Convergence de l flèche mimle (w,chrge uniforme Figure (4. : Convergence de l flèche mimle (w,chrge uniforme Figure (4.4 : Convergence de l flèche mimle (w,chrge concentrée Figure (4.5 : Convergence de l flèche mimle (w,chrge concentrée Figure (4.6 : Clindre pincé vec diphrgmes, donné Figure (4.7 : Clindre pincé vec diphrgmes, Millge Figure (4.8 : Clindre pincé à bords libres :, donnés et millge Figure (4.9 : Clindre pincé à bords libres ( ére cs,convergence du déplcement w c...7 Figure (4. : Clindre pincé à bords libres ( éme cs,convergence du déplcement w c...7 Figure (4.: Toit clindrique soumis à son poids propre....7 Figure (4.: Toit clindrique à /4 (élément S4 ABAQUS Figure (4. : Coque hémisphère pincé Figure (4.4 : Coque hémisphère pincé. Convergence de U A.75 Figure (4.5 : Coque hémisphère pincé. Convergence de U A des éléments ABAQUS Figure (4.6 : Coque sphérique :géométrie, millge Figure (4.7 : Convergence de déplcement norml u centre 76 Figure (4.8 : Coque sphérique : Convergence de W des éléments ABAQUS...77 Figure (4.9 : Vrition W le long de ligne centrle Figure (4. : Coque hélicoïdle.78

10 Figure (4. : Coque hélicoïdle (h., flèche W des éléments ABAQUS.. 78 Chpitre 5 : Figure (5.: Proi sur deu colonnes...8 Figure (5 : Refend plein...84 Figure (5.: Convergence de l contrinte tngentielle u point B Figure (5.4: Convergence de l contrinte normle u point A Figure (5.5: Déplcement horizontl u point C...85 Figure (5.6: Refend à une file d'ouverture (6 ouvertures Figure (5.7: Refend, pproche Membrne Membrne (84 éléments Figure (5.9: Vrition du déplcement Approche Membrne Membrne Figure (5.8: Refend, pproche poutre Membrne (8 éléments Figure (5.: Vrition des déplcements pproche Poutre Membrne...88 Figure (5.: Plque ridie chrgée uniformément...89 Figure (5.: Modèle volumique (solide..89 Figure (5.: Modèle plque plque...9 Figure (5.4: Modèle poutre plque Figure (5.5: Modèle poutre...9 Figure (5.6: Prboloïde hperbolique (ph Figure (5.7: Prboloïde hperbolique, flèche normle... 9 Figure (5.8: Vrition de l flèche normle le long d'une poutre A B Figure (5.9: L'effet du ridisseur sur l flèche Annee : Figure (A : Les modules de logiciel ABAQUS.. Figure (C : Interpréttion phsique du degré de liberté de rottion (drilling degré of freedom Figure (E. : mtrice de rigidité (membrne fleion en es locu... Figure (F. : Coordonnées locles et globles..... Figure (F. : Une coque clindrique comme ensemble des éléments rectngulires : coordonnées locles et globles

11 Liste des Tbleu Chpitre 4 : Tbleu (4. : Flèche verticle u point C...54 Tbleu (4. : Contrintes longitudinles u point B...55 Tbleu (4. : Déplcement verticl normlisé u point C d une poutre courte d'almn...56 Tbleu (4.4 : Flèche verticle u point A...57 Tbleu (4.5 : Contrintes longitudinles u point C Tbleu (4.6 : L flèche d une Poutre console élncée de Mc Nel...6 Tbleu (4.7 : flèche verticle w u point C des déférents éléments Tbleu (4.8 : Les données pour le test d'un Clindre pincé vec diphrgmes...67 Tbleu (4.9 : Clindre pincé vec diphrgmes, convergence de W C et V D Tbleu (4. : Clindre pincé à bords libres, convergence du déplcement w c...7 Tbleu (4. : Les données pour le toit clindrique..7 Tbleu (4. : Convergence de W C et W B d'un Toit clindrique...7 Tbleu (4. : Les données pour le Hémisphère...74 Tbleu (4.4 : Coque hélicoïdle (h,, résultts pour différents éléments...79 Chpitre 5 : Tbleu (5.: Proi sur deu colonnes...8

12 Nottions M.E.F MCR Méthode des éléments finis. Mouvements du corps rigide Intégrle. [ ] Mtrice. Dérivée prtielle pr rpport à. {} Vecteur colonne. [ ] T Mtrice trnsposée. [ ] Mtrice inverse. DDL,,z u,v Degré de liberté. Coordonnés crtésiens. Déplcements suivnt les directions et et z respectivement. Rottion dns le pln. β Rottion du pln z uteur de. β Rottion du pln z uteur de. K Courbures de fleion M, M, M Moments de fleion et de torsion T, T t h ε, ε, ε z Forces de cisillement. Épisseur pour les membrnes. Épisseur pour le plque en fleion et le coque Déformtions directes suivnt et et z respectivement. γ, γ, γ Déformtions tngentielles. z z z γ, γ, γ Contrinte tngentielle. z z σ, σ, σ Contrinte normle suivnt les directions, et z. λ et ν µ Les constntes de lmé. Coefficient de poisson. E. Module de Young. I, L inertie. Prmètre des mouvements de corps rigide. Prmètres de l rottion dns le pln.

13 [ X ] [ N ] { q } [ A ] [ B ] { F } [ K ] Prmètres généru de l pproimtion. Mtrice des fonctions de bse de l interpoltion. Mtrice des fonctions de formes. Vecteur de déplcement. Mtrice des coordonnées. Mtrice de déformtion. Vecteur des forces. Mtrice de rigidité. [ H ] Mtrice de rigidité [ H ] qui reliée entre les contrintes et les déplcements.

14 Introduction générle

15 Introduction générle Introduction générle Introduction : L'nlse des structures complees pose pour l'ingénieur à fire des hpothèses simplifictrices, en tentnt prfois d'nlser d'un coup l structure entière, ussi complee qu'elle soit, grâce à l méthode des éléments finis (MEF; cette dernière découpe l structure en composnts élémentires dont l'ensemble est clculé en une fois. Les vntges sont nombreu : moins d'hpothèses simplifictrices, prise en compte des interctions entre les composnts, meilleure vue du comportement d'ensemble de l structure, détection de ces éventuelles fiblesses, conception plus économique, etc. L comptibilité des éléments les uns vec les utres est souvent un problème délict de l discrétistion d'une structure compliquée. Cette comptibilité est nécessire pour grntir l convergence, pr eemple : L discrétistion de refend peut comporter des éléments de membrnes dns les deu trnsltions u et v incomptibles vec les inconnues nodles des poutres qui, en outre u et v comportent en plus des degrés de rottion. Les problèmes peuvent être cusés pr l modélistion de l'interction plque poutre dns le cs des plques ridies. Objectif de trvil : L'objectif importnt visé pr cette étude est : L simplifiction des problèmes de discrétistion des structures complee, en prticulier u niveu de l incomptibilité entre éléments finis.

16 Introduction générle Pln de trvil : Pour boutir à ces objectifs, on structure notre trvil en cinq chpitres :. Le premier chpitre présente une générlité sur l M.E.F, qui tient compte de l spect historique de l méthode des éléments finis, les différents tpes des modèles d éléments finis et étude bibliogrphique sur les éléments bsée sur l pproche en déformtion.. Le deuième chpitre concerne un rppelle sur l théorie d élsticité et une brève nlse des équtions de bse qui définissent les reltions entre contrintes et déformtions dns le cs bidimensionnel.. Le troisième chpitre est consiste u formultions des différents tpes des éléments : membrnires, insi que des éléments plques bsée sur les deu théories (Kirchhoff ou Mindlin et formultion des éléments coques. 4. Le qutrième chpitre est conscré u tests de vlidtion numérique des éléments finis de tpes (membrnire, plque et coque. En outre, les résultts obtenus à prtir d'utilistion d'un logiciel de clcul numérique pr l méthode des éléments finis. Le Logiciel ABAQUS est très puissnt pour résoudre des problèmes sttiques à n'importe quelle forme de l structure. 5. Dns le cinquième chpitre, nous terminons notre trvil pr l'ppliction des éléments finis dns les structures complees à svoir : Jonction poutre membrne. Jonction poutre plque. Jonction poutre coque. Ce trvil est ppué sur des références bibliogrphiques dns le domine. Finlement, le trvil est chevé pr une conclusion générle.

17 Chpitre Générlité Sur l M.E.F

18 Chpitre Générlité sur l M.E. F Introduction : Les techniques de clcul des structures ont connu ces vingt dernières nnées un développement considérble, motivé pr les besoins des industries et soutenu pr les progrès effectués dns le domine des ordinteurs. Ainsi, l M.E.F est communément utilisée ujourd hui pour l nlse des structures dns de nombreu secteurs de l industrie. Historique : Les bses théoriques de l méthode des éléments finis (M.E.F repose d'une prt sur l formultion énergétique de l mécnique des structures et d'utre prt sur les méthodes d'pproimtions. L M.E.F (Méthode des éléments finis est mise u point en 95 chez Boeing (Settle, USA, clcul des structures d'iles d'vion ; on développe le premier élément fini, s mtrice de rigidité, l'ssemblge et l résolution pr l méthode des déplcements (publié pr Turner, Clough, Mrtin et Topp en 956 [TUR 56]. Qunt u bsses théoriques générles, llint l'nlse des structures en brres et poutres vec celle des solides, elles sont étudiées de 954 à96 (Argris, Kels [ARG 6].certines idées pprurent uprvnt, en prticulier chez les mthémticiens pour résoudre divers problèmes u limites pr eemple celui de l torsion de Sint Vennt en divisnt l section en tringles, mis elles restèrent sns suite. L'epression élément finie été inventée pr clough en 96. Années 6, l M.E.F s'ttque à tous les domines du clcul de structures. Des progrmmes on trouve, l M.E.F, principlement dns le domine de l mécnique des solides et des structures. Ont été conçus pour être eécutés sur de gros ordinteurs tels que : ABAQUS, SAP, CATIA. L crédibilité des résultts obtenus v permettre l'utilistion de l méthode des éléments finis pr des entreprises et des bureu d'études de tille réduite. C'est évidemment l'pprition d'ordinteurs puissnts qui permis le développement de l simultion numérique. Le rthme d évolution de l'informtique est ctuellement gigntesque et les possibilités d'ppliction ugmentent sns cesse.

19 Chpitre Générlité sur l M.E. F Modélistion et discrétistion L méthode des éléments finis est donc une procédure générle de discrétistion pour l résolution des problèmes des milieu continus. Donc pour voir une nlse numérique qui simuler u mieu un problème, il fut effectuer deu opértions essentielles l modélistion et l discrétistion, ces opértions se font en deu temps. L modélistion. L discrétistion ensuite et portent sur les deu spects principu du problème prtique. Représenttion de l géométrie, des chrges, des conditions u limites. Choi des éléments finis et du millge. Figure ( : Étpe de l nlse d un problème u limites 4 Concept de l méthode des éléments finis Le concept de bse de l méthode des éléments finis est l subdivision du modèle mthémtique à des composnts disjoints de géométrie simple ppelés (Éléments finis, le comportement de chque élément est eprimé en terme d un nombre fini de degrés de liberté, le comportement (réponse du modèle mthémtique est considéré, pproimtivement, celui du modèle discret obtenu pr conneion ou ssemblge des éléments. [ZIE 9] Figure ( : Millge du domine en tringles à trois nœuds 4

20 Chpitre Générlité sur l M.E. F 5 Étpes de l méthode des éléments finis Dns diverses pplictions précitées, les éléments finis perdent leur significtion phsique d éléments structuru : l méthode des éléments finis est considérée comme un outil de mthémtiques ppliquées destiné à résoudre les équtions différentielles. Nénmoins, les étpes de l étude d un problème u limites sont toujours les mêmes, on peut les résumer en sept étpes :. Découpge du domine en un millge d éléments finis figure ( ;. Interpoltion en respectnt les critères de convergence ;. Clcul des crctéristiques de chque élément ; 4. Assemblge ; 5. introduction des conditions u limites essentielles et résolution ; 6. Évlution, dns chque élément, des grndeurs utiles (contrintes, déplcements ; 7. Jugement de mnière critique les résultts obtenus. 6 Les Avntges de l M.E.F L puissnce de l méthode des éléments finis réside essentiellement dns s souplesse. Elle peut être pplicble à une vriété de problèmes mécniques ou bien phsiques. L géométrie du domine peut être quelconque, les forces et les conditions u limites peuvent être ussi de ntures quelconques. Le millge peut combiner utnt de tpes d'éléments que l'on souhite. Et toute cette générlité est contenue dns un progrmme unique qu'on peut fire tourner sur un ordinteur (sélection du de problème, de l géométrie, du tpe d'élément, des chrgements et des conditions u limites. L méthode des éléments finis réside dns le fit que le modèle qu'elle utilise est très proche de l structure réelle. 7 Clssement d'éléments fini Les différents tpes d éléments finis suivnt leur géométrie. Plusieurs clsses d éléments finis peuvent être distinguées : Les éléments D : brres, poutres rectilignes ou courbes. Les éléments D : élsticité plne (déformtion ou contrinte plne, plque en fleion, coques courbes. Les éléments D : éléments de volume ou coques épisses. 5

21 Chpitre Générlité sur l M.E. F 7. Les propriétés d'un élément fini Le découpge en éléments finis permet d'isoler un élément fini pour l'étudier tout en étblissnt les crctéristiques. 7.. Signlement d'un élément fini Le signlement d'un élément fini comprend les points suivnts : Géométrie : Un élément fini peut être d, d ou d s forme sont simples. segment d'une droite on de courbe (pln ou courbe tringle ou qudriltère tétrèdre, prisme ou heèdre Les frontières : Sont respectivement : les points (etrémités du segment des segments de droite ou de courbe. des fces plnent ou courbe Mtériu : Le mtériu de l'élément est défini pr une loi de comportement (loi de Hooke isotrope ce dernier les mêmes propriétés mécniques dns toutes les directions (métu Il est crctérisé pr constntes élstiques : E et ν 7.. les nœuds Les nœuds définissent l géométrie et ssurent l conneion des éléments les uns u utres, ils occupent des positions strtégiques comme les etrémités, les sommets, les milieu des rêtes et fces. 6

22 Chpitre Générlité sur l M.E. F 7.. Les forces nodles À trvers les nœuds trnsitent des forces ssociées u degrés de liberté, les unes sont les réctions internes, les utres les forces F dues u chrges ppliquées à l'élément (poids propre, chrge uniforme, tempérture 7..4 Degrés de liberté Pour tout élément fini, on doit fire le choi d'une ou plusieurs fonctions (en générl le chmp des déplcements, elles sont eprimées en fonction des vleurs prticulières qu'elles prennent u nœuds vleurs qui deviennent les inconnues nodles ; pr leurs degrés de liberté nodu communs des différents éléments djcents, permet de reconstituer, l solution complète (ASSEMBLAGE, tout en veillnt à respecter certines règles, dites critères de convergence Crctéristiques d'un élément fini Le signlement précédent permet de construire les deu crctéristiques d'un élément fini qui sont : s mtrice de rigidité K son vecteur force F Elles interviennent dns l'éqution d'équilibre de l'élément fini, en reltion forces déplcement. F K U ( 8 Condition d'équilibre Les forces gissnt sur toute l structure ou sur chcun des éléments considérés comme un corps libre doivent être en équilibre. 9 Condition de comptibilité Les déplcements de l'ensemble de l structure ou de chcun de ses éléments doivent être comptible, en d'outres terme les déplcements des etrémités des éléments qui son connectés à un même doivent être identiques. On peut encore dire que si on effectue une section sur un élément, les déplcements d élément à guche et à droite de cette section doivent être égu. Pour que cette cohésion soit respectée (c. à d. pour que les volumes élémentires ; uquels ont été ppliquées les déformtions ε ij, continuent de rester ccolés, il fut que le chmp de déformtion ε ij (M dérive d un chmp de déplcement u i (M, 7

23 Chpitre Générlité sur l M.E. F continûment dérivble, tel que ε ij peut s'écrire : ε i j u i ( i ε i j ( u i u j ( j i Donc, connissnt le chmp de déplcement u i (M, on en déduit pr éqution ( le chmp de déformtion ε i j (M. Réciproquement, si on connît le chmp des déformtions ε i j (M, peut on clculer le chmp de déplcements ui (M. Le premier problème est celui de l comptibilité des déformtions, le seconde celui de l intégrtion d un chmp de déplcement. j i ε ii u i ( 4 j i i ε jj u j ( 5 j j ε ii i ε jj ε i j ( 6 i j ε k ij l ε kl i j ε ik j l ε jl i k ( 7 Cette éqution ( 7 générle permet d'eprimer les équtions de comptibilité en élsticité tridimensionnelle. Lois de Hooke Le comportement de l structure doit stisfire à l loi de HOOKE qui décrit le rpport entre l chrge et l déformtion des mtériu. Dns toute l'étude qui suit, on considér que l déformtion est proportionnelle à l chrge, ce qui se trduit pr l'éqution (. Conditions u limites Les conditions u limites eigent que les conditions d'équilibre et de comptibilité en chcune des limites de l structure soient stisfites. Eemple : les déplcements d une etrémité encstrée doivent être nuls. 8

24 Chpitre Générlité sur l M.E. F Choi des fonctions de déplcements et conditions de convergence : Les différents chmps de déplcement nécessitent un nombre totl de constntes égles u nombre totl des degrés de liberté de l élément. Cependnt, il convient de choisir les constntes proportionnellement u différents chmps de déplcement suivnt l destintion de l élément et de l nture du problème à nlser. Le choi des fonctions de forme limite, le nombre de degrés de liberté de sstème qui est en rélité infini, donc le minimum réel de l énergie ne pourr jmis être tteint quelle que soit l finesse du millge. Pour ssurer l convergence de l solution vers l solution ecte, certines conditions doivent être vérifiées. Ces conditions sont les suivntes : Critère : représente les mouvements des modes rigides où l fonction de déplcement doit être telle qu il soit impossible qu un élément se déforme qund les déplcements de ses nœuds sont cusés pr un mouvement de corps rigide. Critère : représente l étt de déformtion constnte dont l fonction représenttive des déplcements doit être telle que, si les déplcements nodu correspondent à des déformtions constntes, on obtient effectivement ces déformtions constntes. Critère : condition de comptibilité où les fonctions de déplcements doivent être choisies de telle sorte que les déformtions u interfces des éléments soient infinies. Les critères et se trduisent pr le terme élément complet. Le critère trduit pr élément comptible, si les éléments finis stisfont les conditions de complétude et de comptibilité ; de tels éléments sont dits (éléments conformes, pour ce tpe d élément l solution converge de fçon monotone vers l solution ecte. Certins éléments ne stisfisnt ps toutes les conditions, de tels éléments sont dits (éléments non conformes, prmi ses éléments certins d entre eu ne convergent ps, mis les utres convergent. Comme il des éléments non conformes qui présentent un tu de convergence supérieur à d utres éléments conformes et qui sont très utilisés en prtique. 9

25 Chpitre Générlité sur l M.E. F Modèles d'éléments finis Le plus souvent, le chmp interpolé est celui des déplcements, et il est rrement celui des déformtions ou des contrintes. Ces interpoltions portent sur tout l'élément ou une prtie de celui ci, à l'intérieur ou à l frontière. On peut créer divers tpes, dits «modèles» d'éléments finis selon l combinison choisie comme :. modèle déplcement Ce modèle est le plus populire, le plus connu et le plus développé. Dns cette ctégorie, les éléments finis sont bsés sur une interpoltion du chmp des déplcements, étendu à tout l'élément. Alors, les déplcements sont déterminés de mnière détillée et unique dns l structure, donc les contrintes ne peuvent être connues que pr certines moennes et ne sont ps continues u frontières.. modèle en déformtion Ce modèle présente une pproimtion qui se fit sur le chmp de déformtion, puis on intègre pour retrouver le chmp de déplcement de telle sorte que les équtions d équilibres et de comptibilité soient stisfites à l intérieur de l élément. 4 Étude bibliogrphique sur l M.E.F. en déformtion L'pproche en déformtion été ppliquée pr Sbir et Ashwell [SAB 7], à développer, une nouvelle clsse des éléments pour les problèmes, d'élsticité plne dns des coordonnées crtésiennes. Un élément fini de coque clindrique été ensuite développé pr Ashwell (97. L efficcité de cet élément été testée en l utilisnt pour l nlse d un clindre pincé court à bords libres. Les résultts obtenus ont montré une convergence rpide ussi bien pour le déplcement que pour les contrintes. [ASH 7] Sbir (98 ppliquée L pproche en déformtion pour développer une nouvelle clsse d éléments pour les problèmes d élsticité générle en coordonnées crtésiennes. [SAB 8] L grnde innovtion l'époque, c'étit l'introduction de l rottion (drelin rottion dns le pln pr Sbir et Chow [SAB 8 b] pour l'nlse du flmbement des pnneu plns vec ouverture circulire et crrés. [SAB 84] Utilistion des mêmes éléments pour l'nlse des voiles vec des ouvertures. L ttention s'est foclisée ensuite sur le développement et l'méliortion [SAB 85] des