Chapitre 11 : L inductance

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1 Chpitre : inductnce Exercices E. On donne A πr 4π 4 metn N 8 spires/m. () Selon l exemple., µ n A 4π 7 (8) 4π 4 (,5) 5 µh (b) À prtir de l éqution.4, on trouve ξ ξ ,3 A/s E. On donne A πr,5π 4 m. () À prtir de l éqution.4, on trouve ξ ξ,6 3 8µH Selon l exemple., q q µ n A n µ A 8 6 (4π 7 )(,5π 4 )(,5) 9spires/m N n 9 (,5) 47,5 spires (b) On utilise l éqution 9.3 pour un long solénoïde : B µ ni 4π 7 (9) (3) 7,6 4 T E3. () À prtir de l éqution.3, on trouve NΦ B I Φ B I N (, 3 )() 5 4,8 µwb (b) À prtir de l éqution.4, on trouve ξ, 3 (35) 4, mv E4. Dns les trois cs on utilise l éqution.4 : () ξ d I e t τ I τ (b) ξ d t bt (bt ) (c) ξ d (I sin (ωt)) E5. À prtir de l éqution.3, on trouve τ e t τ I I ω cos (ωt) NΦ B I NΦ B I 5(5 6 ) 3,75 4 H À prtir de l éqution.4, on trouve ξ 3,75 4 (5) 9,38 mv E6. À prtir de l éqution.4, on trouve ξ ξ 7, 3 6 4,5 4 H v4 Électricité et mgnétisme, Chpitre : inductnce

2 À prtir de l éqution.3, on trouve NΦ B I Φ B I N (4,5 4 )(4,5) 6 33,8 µwb E7. À prtir de l éqution.4, on trouve ξ ξ 8 93,8 mh E8. À prtir du résultt de l exemple., on trouve µ π ln b (4π 7 )(8) π ln 4 3,3 3 9,3 µh E9. indice est ssocié à l bobine et l indice u solénoïde. Selon l éqution 9.3, le module du chmp mgnétique produit pr le solénoïde est B µ n I µ N I Il s git d une sitution similire à celle de l exemple.3. Toutefois, comme l bobine possède un ryon supérieur à celui du solénoïde, on utilise A, l ire du solénoïde, pour le clcul du flux mgnétique. Selon l éqution., le flux mgnétique trversnt l bobine est Φ BA cos θ µ N I A cos θ µ N I πr cos θ À prtir de l éqution.5, on trouve N Φ MI M N Φ I N I µ N I πr cos θ M µ N N πr cos θ (4π 7 )(5)(36)π(,7 ) cos( ),4 8,43 6 H E. À prtir de l éqution.6, on trouve ξ M 4 3 (5), V E. indice est ssocié à l bobine et l indice u solénoïde. Il s git d une sitution similire à celle de l exemple.3. Toutefois, comme l bobine possède un ryon supérieur à celui du solénoïde, on utilise l éqution obtenue à l exemple.3 vec A, l ire du solénoïde : () M µ n N A 4π 7 () (4) 8 4 8,4 µh (b) En dérivnt I,onobtient d 3t t 3 4t À t s, à prtir de l éqution.6, on trouve ξ M 8,4 6 (3 4()) 4, mv E. () e flux mgnétique qui trverse l bobine B et qui vient du chmp mgnétique de module B A que crée l bobine A est donné pr l éqution. pour θ : Électricité et mgnétisme, Chpitre : inductnce v4

3 Φ BA B A A B 6,5 4 5 Wb À prtir de l éqution.5, on trouve N B Φ BA MI A M N B Φ BA I A (6)(5 ),5 9 H (b) À prtir de l éqution.6, on trouve ξ AB M B,5 9 (4) 6, 8 V E3. indice est ssocié u tore et l indice à l bobine. e tore produit un chmp mgnétiquedontlemoduleb dépend, comme on l démontré dns l exemple 9.8, de l distnce r u centre du tore, B µ N I πr. Comme le chmp mgnétique est nul à l extérieur du tore, le flux mgnétique Φ quitrverselbobineestclculéàprtirdel ire A du tore. () e flux mgnétique à trvers un élément de lrgeur dr comme celui représenté à l figure.9 est dφ B da B hdr µ N I h πr dr e flux totl est donné pr Φ dφ Φ µ N I h π b µ N I h πr dr µ N I h π ln b (b) À prtir de l éqution.5, on trouve N Φ MI M Φ N I b dr r µ N N h π µ N I h π [ln (r) b ln b E4. indice est ssocié à l bobine et l indice u solénoïde. Selon l éqution 9.3, le module du chmp mgnétique produit pr le solénoïde est B µ n I Il s git d une sitution similire à celle de l exemple.3, mis l ngle entre l xe de l bobine et celui du solénoïde est θ 6. Selon l éqution., le flux mgnétique trversnt l bobine est Φ BA cos θ µ n I A cos θ À prtir de l éqution.5 et pour A πr 4π 4 m,ontrouve N Φ MI M N Φ I N I µ n I A cos θ M µ N n A cos θ 4π 7 () () 4π 4 cos (6 ) 8,9 µh E5. () À prtir de l éqution.3, on trouve N Φ I Φ I N ( 3 )(,4) 8,6 mwb v4 Électricité et mgnétisme, Chpitre : inductnce 3

4 (b) À prtir de l éqution.5, on trouve N Φ MI Φ MI N (7 3 )(4,5) 8,394 mwb (c) À prtir de l éqution.5, on trouve N Φ MI Φ MI N (7 3 )(,4),4 mwb (d) À prtir de l éqution.4, on trouve ξ 3 (4) 8, mv (e) À prtir de l éqution.6, on trouve ξ M 7 3 (,8),6 mv (f) À prtir de l éqution.6, on trouve ξ M 7 3 (4) 8, mv E6. () On reprend l éqution.7, mis en enlevnt le terme qui contient l résistnce : ξ ξ ξ I t ξ I ξ t (b) Selon l éqution.8, I ξ e t, mis comme, on peut remplcer l expontentielle pr s vleur pproximtive, e t I ξ I t ξ t ξ t ξ t E7. () À prtir de l éqution.8, on trouve I ξ e t Ã 6 e 6 (5 3 )! t, et l éqution.8 devient,79 A (b) On clcule d bord le tux de chngement du cournt vec l éqution.8 : d ξ e t ξ d e t ξ e t ξ t e Puis, à prtir de l éqution.4, on trouve, à t 5ms, ξ ξ t e ξe t e 6 3 (5 ),3 V (c) À prtir de l éqution.8, on trouve I,8I I e t,8 e t e t, t ln(,) t ln (,) 6 ln (,) 536 ms E8. () En combinnt l éqution 6. et l éqution., on trouve V I ξ e t V ξe t,5ξ ξe t,5 e t t ln(,5) t ln (,5) 6 ln (,5) 693 ms (b) On clcule d bord le tux de chngement du cournt vec l éqution. : 4 Électricité et mgnétisme, Chpitre : inductnce v4

5 d ξ t e ξ d e t ξ t e ξ t e Puis, à prtir de l éqution.4, on trouve, à t 693 ms, ξ ξ t e ξe t e 6 3 (693 ),5 V E9. () On clcule d bord le tux de chngement du cournt vec l éqution.8 : d ξ e t ξ d e t ξ e t ξ t e À t, (b)onveutque ξ t e t ξ 6, A/s,5 t ξ t e,5 ξ e t,5 t ln(,5) t ln (,5) 6 ln (,5) 3 ms (c) vleur finle du cournt est I ξ 6 A. Pour le clcul demndé, l éqution s écrit I t t t I ( ) t ξ ξ ms vleur trouvée correspond à l constnte de temps du circuit. E. () vleur initile du cournt est I ξ. À prtir de l éqution., on trouve I,5I I e t,5 e t t ln(,5) 6 3 t ln (,5),5 ln (,5),66 Ω (b) vleur finle du cournt est I ξ. À prtir de l éqution.8, on trouve I,4I I e t,4 e t e t,6 t ln(,6) t ln(,6) (,) ln(,6),39 H E. () chute de potentiel ux bornes de l bobine qui vient de s résistnce est donnée pr l éqution 6. : V I (6) V f.é.m. induite ux bornes de l bobine est donnée pr l éqution.4 : ξ 4 3 (5), V différence de potentiel totle ux bornes de l bobine est V V + ξ 3, V de sorte que V 3, V (b) Seule l f.é.m. induite chnge de signe : ξ 4 3 ( 5), V de sorte que v4 Électricité et mgnétisme, Chpitre : inductnce 5

6 V V + ξ +, V V, V Dns les deux cs, le potentiel chute à trvers l bobine. E. () À prtir de l éqution.8, schnt que I,4I à t 4ms, on clcule l constnte de temps : I,4I I e t τ,4 e t τ e t τ,6 t τ t ln(,6) τ ln(,6) 4 3 ln(,6) 78,3 ms On reprend l éqution.8 et on cherche t pour que I,8I : I,8I I e t τ,8 e t τ e t τ, t τ ln(,) t τ ln (,) 78,3 3 ln (,) 6 ms (b) À prtir de l éqution.9, on trouve τ τ 78,3 3,94 H E3. () vleur finle du cournt est I ξ. À prtir de l éqution.8, on trouve I,5I I e t,5 e t e t,5 t ln(,5) t 3 ln (,5) 5 ln (,5) 5,55 ms (b) À prtir de l éqution.8 et à t 5τ, ontrouve I I e 5τ τ I e 5,993 I I 99,3 % E4. () À l instnt initil, lorsqu on ferme l interrupteur, I 3 et le circuit se comporte comme si l brnche qui contient l bobine étit bsente. es deux résistnces sont en série et I I ξ + (b) Après un temps très long, l brnche qui contient l bobine se comporte comme un courtcircuit et I. e cournt dns les utres brnches prend l vleur finle donnée pr le risonnement qui conduit à l éqution., I I 3 ξ (c) Il n y plus de cournt dns l brnche qui contient l f.é.m., I,etlecournt dns le reste du circuit prend l vleur initile donnée pr le risonnement qui conduit à l éqution.8, I I 3 ξ (d) Directement, à prtir de l éqution 6., on trouve V I ξ E5. Chque spire mesure, mm de lrge. Sur,8 m, il y N,8 8spires 3 et insi n N,8 8 spires/m. Avec A πr 4π 4 m et le résultt de l exemple., on clcule 6 Électricité et mgnétisme, Chpitre : inductnce v4

7 µ n A 4π 7 () 4π 4 (,8),84 4 H longueur totle de fil du solénoïde est fil N (πr),6 m. section A fil du fil dépend du ryon du fil, qui est r fil,5 mm; donc A fil πr fil 7,85 7 m.on clcule l résistnce du solénoïde vec l éqution 6.6 : ρ fi l A fi l (,7 8 )(,6),489 Ω 7,85 7 Avec l éqution.9, on trouve τ,84 4,489,58 ms E6. () À prtir de l éqution., on trouve U I (,5) () 3 J (b) À prtir de l éqution.3, on trouve NΦ B I NΦ B I (4 5 ),5 3, mh À prtir de l éqution., on trouve U I 3, 3 (,5) 3,6 mj E7. () On donne B 4 T, si G 4 T. À prtir de l éqution.3, on trouve u B B µ ( 4 ) (4π 7 ) 3,98 mj/m3 (b) Soit V A πr π 5 m 3, le volume du solénoïde. On clcule d bord l énergie emmgsinée dns le chmp mgnétique : u B U V U u B V 3,98 3 π 5,5 7 J Avec A πr π 4 m, n N, spires/m et le résultt de l exemple., on clcule µ n A 4π 7 () π 4 (,) 39,5 6 H Finlement, à prtir de l éqution., on trouve q q U I U I (,5 7 ) 39,5 79,6 ma 6 E8. On combine l éqution. et le résultt de l exemple. pour un câble coxil : U I µ π ln b I µ I 4π ln b (4π 7 )()() 4π ln 3,5 3 U 5,55 7 J E9. () À prtir des équtions 6.,.8 et I ξ,ontrouve P I I e t τ ξ e t τ (i) À t τ, l éqution (i) devient P ξ e () 6 (,63) 9,59 W v4 Électricité et mgnétisme, Chpitre : inductnce 7

8 (b) e résultt de l prtie (c) de l exemple.4 est P I e t τ e t τ e t τ e t τ (ii) ξ À t τ, l éqution (ii) devient P ξ e e () 6 (,33) 5,58 W (c) e résultt de l prtie (e) de l exemple.4 est P ξ I e t τ e t τ (iii) ξ À t τ, l éqution (iii) devient P ξ ξ e () 6 (,63) 5, W E3. () On clcule d bord le tux de chngement du cournt vec l éqution.8 : d ξ e t ξ d e t ξ t e ξ t e À t ms, l f.é.m. induite ux bornes de l bobine est ensuite donnée pr l éqution.4 : ξ ξ t e ξe t 4e 6 3 ( ) 5 3 3,63 V (b) À prtir des équtions 6.,.8 et pour I ξ,ontrouve P I I e t ξ e t À t ms, l puissnce dissipée dns l résistnce est Ã! P (4) 6 e 6( 3 ) 5 3, W (c) e résultt de l prtie (c) de l exemple.4 est P ξ e t e t À t ms, Ãl puissnce fournie à l bobine! est P (4) 6 e 6( 3 ) 5 3 e (6) 3 ( ) 5 3, W (d) e résultt de l prtie (e) de l exemple.4 est P ξ ξ e t À t ms, Ã l puissnce fournie! pr l pile est P ξ ξ e 6( 3 ) 5 3 4,3 W E3. On veut que P P. Selon l exercice 3b, P ξ e t Selon l prtie (c) de l exemple.4, P ξ e t e t ξ e t e t Donc, 8 Électricité et mgnétisme, Chpitre : inductnce v4

9 ξ e t t ln ξ e t t ln e t e t e t ln 5,55 ms Puisque τ, on peut ussi exprimer le résultt comme t,693τ E3. À prtir de l éqution., on trouve U I U I (,) 4,5 H E33. À prtir de l éqution.3, on trouve e t u B B µ B µ u B p (4π 7 )(8 3 ),48 4 T Avec n N 3, 5 spires/m et l éqution 9.3, on trouve B µ ni I B µ n,48 4 (4π 7 )(5) 75, ma E34. () On insère les vleurs dns l éqution.8 : I ξ e t e t e t,55 6( 3 ) ln(,55) 6( 3 ) ln(,55), H (b) Avec I ξ et l éqution., on trouve U mx I ξ (,) 4 6,6 J E35. () On combine les équtions 9.3 et.3 et on trouve u B B µ (µ ni) µ µ n I (b) e volume intérieur du solénoïde est V A. énergie ccumulée dns le solénoïde est U u B V µ n I (A ) (i) Si on fit ppel à l éqution., l éqution (i) devient I µ n I (A ) µ n A ce qui correspond u résultt de l exemple.. E36. () On donne I,5 sin (5t); donc d (,5 sin (5t)),5 (5) cos (5t) À t, 3 s, vec l éqution.4, on trouve CQFD ξ 6 3 (,5) (5) cos 5, 3 (b) On dérive l éqution. et on trouve, à t, 3 s, 59, V du I du 6 3 (,5) sin 5, 3 (,5) (5) cos 5, 3 du 6 3 (,5) (5) sin 5, 3 cos 5, 3 6,4 W E37. () Avec l éqution.4 et en schnt que f ω π, on trouve v4 Électricité et mgnétisme, Chpitre : inductnce 9

10 f ω π π C π (8 3 )( 6 ) 563 Hz (b) Selon l éqution.6, l vleur mximle du cournt est I ω Q Q C 6 6 (8 3 )( 6 ), A (c)onveutqueu C U et on sit que l énergie totle du circuit correspond à Q C qu on l démontré à l section.4. Si les énergies sont églement réprties, lors U C Q C Q C Q C Q Q (i) Selon l éqution.5b, l chrge sur le condensteur est décrite pr insi Q Q cos (ω t) (ii) Si on combine les équtions (i) et (ii), Q cos (ω t) Q cos (ω t) q ω t rccos Comme on cherche le premier instnt où l condition est respectée, on conserve le résultt pour l ngle ω t qui est dns le premier cdrn. Si cet ngle est en rdins, q ω t,785 t C (,785) p (8 3 )( 6 )(,785), 4 s (d) énergie dns le condensteur et dns l bobine est donnée pr les équtions 5.9 et., soit U C Q C et U I. Dns le logiciel Mple, on donne une vleur à C et à. Ensuite, on définit l expression de l chrge, du cournt et des deux formes d énergie. Finlement, on trce le grphe demndé : > restrt; > C:e-6; :8e-3; Q:6e-6; > omeg:/sqrt(*c); > Q:Q*cos(omeg*t); > i:-diff(q,t); > UC:Q^/(*C); > U:(/)**i^; > plot([uc,u],t..*pi/omeg,color[blue,red]); e grphe confirme le résultt de l question (c). E38. () À prtir de l figure., on constte que le déli fourni correspond u qurt de l période d oscilltion. Schnt que T ω π et à prtir de l éqution.4, on trouve 4 s T 4 π 4 ω π C 4 π (5 9 ) µ ( 4 ) 5 9 π,6 H (b)onsitqueu mx U C mx Q C, donc U mx ( 6 ) (5 9 ) 8, 3 J Électricité et mgnétisme, Chpitre : inductnce v4

11 E39. Schnt que πf ω, on clcule les fréquences ngulires correspondnt ux bornes de l intervlle : ω πf π ,46 6 rd/s ω πf π 6 3, 7 rd/s À prtir de l éqution.4, qui permet d écrire que C ω, on trouve les deux vleurs de cpcité : C ω (3,46 6 ) (5 3 ),67 F C ω (, 7 ) (5 3 ),98 F intervlle des vleurs de cpcité est donc,98 pf C 6,7 pf E4. () À prtir de l éqution., on trouve q ω ω q C 4 r ω (4 3 )( 6 ) (),5 3 rd/s 4(4 3 ) (b) Comme on l vu dns le prgrphe qui suit l éqution., l mortissement critique débute lorsque q q ω C C 4 3 8,3 Ω 6 E4. Selon l éqution.9, l chrge sur le condensteur est donnée pr Q Q e t sin(ω t + δ) Mis, comme 4 C,onpeutffirmer que ω ω et que Q Q e t sin(ω t + δ) On clcule l expression du cournt à tout instnt : I dq d Q e t sin(ω t + δ) I Q hsin(ω t + δ) d e t i + e t d (sin(ω t + δ)) e t + e t (ω )cos(ω t + δ) I Q hsin(ω t + δ) I Q e t ω cos(ω t + δ) sin(ω t + δ) i Encore une fois, si 4 C, lors 4 C C ω, et on peut négliger le deuxième terme de l expression pour le cournt : I Q e t ω cos(ω t + δ) À tout instnt, l énergie totle dns le circuit correspond à U U C + U Q C + I U C Q t e sin (ω t + δ)+ Q t e ω cos (ω t + δ) v4 Électricité et mgnétisme, Chpitre : inductnce

12 U Q t e C sin (ω t + δ)+ω cos (ω t + δ) U Q t e C sin (ω t + δ)+ C cos (ω t + δ) Si on utilise l identité sin θ +cos θ, lors U C Q t e E4. () À prtir de l éqution.4, on trouve sin (ω t + δ)+cos (ω t + δ) U C Q t e CQFD ω C (4 3 )(, 6 ) 5, 4 rd/s (b) À prtir de l éqution., on pose l éqution de l contrinte : q ω ω q,999ω ω,999ω 4 ω (,999) ω 4 (,999) ω 4 ω q (,999) 4 3 5, 4 q (,999),79 Ω (c) Dns le logiciel Mple, on définit l expression de l fréquence ngulire des oscilltions morties et on trce le grphe demndé : > restrt; > :4e-3; C:e-8; w:/sqrt(*c); > wp:sqrt(w^-(/(*))^); > plot(wp,..); (d) Dns le logiciel Mple, on définit l vleur critique de fréquence ngulire et on résout l éqution : > T:864; > wc:*pi/t; > solve(wpwc,); On ne conserve que le résultt positif, 4, 3 Ω Problèmes P. () Comme elles sont en série, les deux bobines sont trversées pr le même cournt I, et l différence de potentiel entre les deux extrémités correspond à l somme des f.é.m. induites. Pour chque bobine, on utilise l éqution.4 : ξ ξ + ξ ( + ) Si on compre à ξ éq, on peut ffirmer que l uto-inductnce équivlente est éq + (b) Si elles sont en prllèle, l même différence de potentiel ser mesurée ux bornes des deux bobines. e cournt totl qui trverse l bobine équivlente I éq correspond à l Électricité et mgnétisme, Chpitre : inductnce v4

13 somme des cournts trversnt chcune des bobines; donc I éq I + I éq + Dns chque brnche, le tux de chngement du cournt est lié à l différence de potentiel pr l éqution.4, ξ et ξ. On réécrit l éqution.4 pour l brnche unique contennt l bobine équivlente : ξ ξ ξ éq éq éq + + éq ξ ξ + ξ ξ P. Comme elles sont en série, les deux bobines sont trversées pr le même cournt I, et l différence de potentiel entre les deux extrémités correspond à l somme des f.é.m. induites. On doit cependnt inclure l f.é.m. induite sur chque bobine pr suite de l inductnce mutuelle. On utilise les équtions.4 et.6 : ξ ξ + ξ + ξ + ξ ± M + M ( + ± M) e signe ± devnt le terme d induction mutuelle vient de ce que l f.é.m. ssociée à l inductnce s dditionne ou se soustrit à l uto-induction selon le sens des enroulements pour chque bobine. Si on compre à ξ éq, on peut ffirmer que l inductnce équivlente à ce système de deux bobines est éq + ± M P3. figure qui suit montre une portion de longueur des deux fils. e centre des deux fils est à une distnce d : Entre les deux fils, le chmp mgnétique de chcun des deux fils est dns le même sens. e module du chmp mgnétique résultnt est, selon l éqution 9., B B + B µ I π(d r) + µ I πr e flux mgnétique à trvers un élément de lrgeur dr est, selon l éqution. et pour θ, dφ B BdA B dr µ I π(d r) + µ I πr dr µ I π d r + r dr v4 Électricité et mgnétisme, Chpitre : inductnce 3

14 Dns tout l espce qui sépre les deux fils, le flux totl correspond à Φ B dφ B d µ I π d r + r dr µ I d π d r + r dr Φ B µ I π Φ B µ I π [ ln (d r)+ln(r) d µ I π ( ln (d ) ln()) µ I π ( ln ()+ln(d )+ln(d ) ln ()) ln d Si on utilise ce résultt dns l éqution.3 vec N et m, on trouve Φ B I µ I π ln d I µ π ln d µ π ln d CQFD P4. On reprend le résultt de l prtie (b) de l exemple 9.6, qui donne le module du chmp mgnétique à l intérieur d un fil de ryon : B µ Ir π En un point donné à l intérieur du fil (r <), l densité d énergie ssociée u chmp mgnétique correspond à u B B µ µ Ir µ π µ I r 8π 4 énergie contenue dns une mince coquille cylindrique d épisseur dr et de longueur est du B u B dv, dns lquelle dv πr dr. énergie totle contenue dns tout le fil est U B du B u B dv µ I r 8π 4 (πr ) dr µ I 4π 4 Si on compre ce résultt vec l éqution., r 3 dr µ I 4 4π 4 4 µ I 6π U B I µ I 6π I µ 8π P5. e flux mgnétique à trvers le cdre ssocié u cournt I dns le fil rectiligne déjà été clculé u problème 7 du chpitre : Φ B µ Ic π ln +b Si on utilise ce résultt dns l éqution.5 pour N,ontrouve Φ B MI µ Ic π ln +b MI M µ c π ln +b P6. e flux mgnétique totl à trvers l section du tore déjà été clculé à l prtie () de l exercice 3 : Φ B µ NIh π ln b Si on utilise ce résultt dns l éqution.3, on trouve NΦ B I NΦ B I µ N h π ln b P7. () Soit U, l énergie totle dns le circuit, et U C, l énergie ccumulée dns le condensteur. 4 Électricité et mgnétisme, Chpitre : inductnce v4

15 On fit l hypothèse que l frction d énergie perdue pr cycle dns le condensteur est l même que celle qui est perdue dns tout le circuit, de sorte que U U U C U C. chrge ccumulée à tout instnt sur le condensteur est donnée pr l éqution.9, et l énergie ccumulée sur le condensteur à l instnt t est U C Q C C Q e t sin(ω t + δ) C Q t e sin (ω t + δ) Au bout d une période, t t + T et, si sin (θ +π) sinθ, U C C Q e (t+t ) sin (ω (t + T )+δ) C Q e (t+t ) sin (ω t + δ) différence entre les deux vleurs d énergie est U C U C UC C Q t e sin (ω t + δ) U C C Q t e sin (ω t + δ) de sorte que U U U C U C e T µ t C Q e sin (ω t+δ) e T t C Q e sin (ω t+δ) C Q e (t+t ) e T sin (ω t + δ) On suppose que le système est fortement sous-morti, ce qui implique que devnt ω et que ω ω. Si c est le cs, ω 4π T T ; donc utiliser l pproximtion suggérée et poser que e T U U (b) Si U U T T π ω π ω,, lors Q C π, 34 T (c) Si le système est sous-morti, lors ω ω C ; donc Q C ω 34 C P8. () À prtir de l éqution.8, on trouve I,5I I e t,5 e t (i) est petit 4π. On peut lors dns l éqution (i) : U U π Q C CQFD C C (34) 8 3 (34) (,5),73 µf e t,5 t ln(,5) t 3 ln (,5) 9 ln (,5),54 3 s (b) vleur mximle de l puissnce dissipée dns l résistnce est P mx I. Si on utilise le résultt de l prtie (b) de l exercice 3, P I e t,5p mx I e t,5 e t e t,5i,5 e t,99 t ln(,99) t 3 ln (,99) 9 ln (,99),73 3 s (c) énergie ccumulée dns l bobine à tout moment est U I et s vleur mximle est U mx I. On veut que U U mx I 4 I I,5I (i) v4 Électricité et mgnétisme, Chpitre : inductnce 5

16 Avec l éqution.8, l éqution (i) devient I e t,5i e t,5 Ils gitdelmêmeéqutionqu àlprtie (b), pour lquelle on trouvé t,73 3 s P9. Selon l éqution 9.3, le module du chmp mgnétique dns le solénoïde est B µ ni µ N I Mis l longueur du solénoïde correspond à N () si est le ryon du fil dontest constitué le solénoïde; donc B µ N N() I µ I e flux mgnétique à trvers l section du solénoïde est donné pr l éqution. pour θ : Φ B BA µ I πr µ πr I À prtir de l éqution.3, on trouve l vleur de l inductnce du solénoïde : NΦ B I NΦ B I Nµ πr Et finlement, on clcule l constnte de temps vec l éqution.9 : τ Nµ πr Si N fi l πr, lors fil πrn. Puis ρ fi l π ; donc πρrn π ρrn et τ Nµ πr ρrn τ µ πr 4ρ CQFD P. À l instnt initil, I 3. Après un temps très long, l brnche qui contient l bobine n engendre plus ucune f.é.m. et elle devient un court-circuit. brnche qui contient devient inutile, de sorte que I I 3 ξ. Dns l intervlle qui sépre ces deux étts, on utilise les lois de Kirchhoff. On pplique l loi des noeuds u point qui se trouve en hut de l brnche où coule I 3 : I I + I 3 (i) On pplique l loi des milles à l mille de guche : ξ I 3 (ii) On pplique l loi des milles à l mille de droite : 3 I I 3 (iii) On combine les équtions (i) et (ii) et on remplce ensuite I pr s vleur dns l éqution (iii) : 6 Électricité et mgnétisme, Chpitre : inductnce v4

17 ξ (I + I 3 ) 3 ξ I I 3 3 ξ 3 I 3 3 ξ I Cette éqution exctement l même forme que l éqution.7 si on pose que +. En dmettnt que l suite de l solution est l même, on rrive à une solution équivlente à l éqution.8 pour le cournt I 3 : I 3 ξ e t τ dns lquelle l constnte de temps prend l vleur τ + τ + CQFD P. Après un temps très long, le cournt tteint l vleur I ξ et l énergie emmgsinée dns l bobine est U mx I. À tout moment, l puissnce dissipée dns l résistnce est donnée pr P I, dns lquelle, selon l éqution., I I e t τ. De l instnt initil jusqu à ce que t, l énergie qui ser dissipée dns l résistnce est U P I I e h t τ I e t τ I τ e t τ U I τ I τ (i) Toutefois, comme τ, l éqution (i) donne U I CQFD P. Avec Q Q e t cos(ω t), on clcule l expression du cournt à tout instnt : I dq d Q e t cos(ω t) i I Q hcos(ω t) d e t + e t d (cos(ω t)) I Q hcos(ω t) i e t e t (ω )sin(ω t) I Q e t ω sin(ω t) cos(ω t) ω Q e t sin(ω t) ω cos(ω t) (i) On pose que ω tnδ. Toutefois, comme ω, lors ω. Cel implique que δ est petit, donc que tn δ sin δ et que cos δ. Ces deux reltions permettent de trnsformer l églité (i) : I ω Q e t [sin(ω t)cosδ sin δ cos(ω t)] ω Q e t sin (ω t + δ) Ou encore I A (t)sin(ω t + δ) pour A (t) ω Q e t P3. À prtir de l exemple., on énonce l uto-inductnce de chcun des deux solénoïdes, soit µ n A et µ n A. On remrque que q µ n A µ n A µ n n A A Schnt que B µ n I, Φ B A et N n, on trouve une première expression de l inductnce mutuelle des deux solénoïdes à prtir de l éqution.5 : v4 Électricité et mgnétisme, Chpitre : inductnce 7

18 N Φ MI M Φ N I B A N I µ n I A N I µ n A (n )µ n n A À cuse de l symétrie, on peut ffirmer qu une utre vleur de l inductnce mutuelle serit donnée pr M µ n n A. Ces deux vleurs sont nécessirement égles et leur produit donne M M M (µ n n A )(µ n n A )µ n n A A Etilestfciledevoirque M CQFD P4. À l exercice 4, on développé une expression pour le cournt dns un circuit sousmorti : I Q e t ω cos(ω t + δ) À tout moment, l puissnce dissipée dns l résistnce est P I Q e t ω cos(ω t + δ) ω Q t e cos (ω t + δ) vleur moyenne de cos θ sur un cycle est cos θ π π cos θdθ sin θ cos θ π + θ π π (π ) de sorte que P moy P ω Q t e cos (ω t + δ) P moy ω Q e t CQFD P5. éqution.9 donne l vrition de l chrge sur le condensteur : Q Q e t sin(ω t + δ) (i) Si on dérive cette expression, comme à l exercice 4, on obtient l expression du tux de chngement de l chrge à tout moment : dq Q e t ω cos(ωt + δ) sin(ωt + δ) (ii) On doit dériver une nouvelle fois pour obtenir d Q. On lisse le soin à l élève de montrer que d Q h i Q e t (ω 4 ) sin(ωt + δ) ω cos(ωt + δ) On insère les vleurs pour Q, dq l éqution différentielle.7 : d Q + dq Q e t Q e t + Q C h (ω 4 ) +Q e t et d Q données pr les équtions (i), (ii) et (iii) dns i sin(ωt + δ) ω cos(ωt + δ) ω cos(ωt + δ) sin(ωt + δ) + Q t C e sin(ω t + δ) h 4 (ω ) sin(ωt + δ) ω cos(ωt + δ) +ω cos(ωt + δ) sin(ωt + δ)+ C sin(ω t + δ) i 8 Électricité et mgnétisme, Chpitre : inductnce v4

19 Q e t 4 (ω ) + C sin(ωt + δ) Pour que cette dernière églité soit toujours vrie, le terme entre prenthèses doit toujours être nul : 4 (ω ) + C C ω 4 (ω ) (ω ) q ω CQFD (ω ) 4 + C C q 4 ω C 4 v4 Électricité et mgnétisme, Chpitre : inductnce 9