ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE

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1 Université de Metz Licence de Mthémtiques - 3ème nnée 1er semestre ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE pr Rlph Chill Lbortoire de Mthémtiques et Applictions de Metz Année 010/11 1

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3 Tble des mtières Chpitre 1. Représenttion des nombres 5 Chpitre. Interpoltion et pproximtion 9 1. Interpoltion selon Lgrnge 9. Etude de l erreur d interpoltion L lgorithme de Newton 1 4. Approximtion hilbertienne Approximtion uniforme 19 Chpitre 3. Intégrtion et différentition numérique 1 1. Intégrtion pprochée 1. Etude de l erreur d intégrtion pprochée 4 3. L formule d intégrtion pprochée de Guss 6 4. Différentition numérique 7 Chpitre 4. Résolution numérique d équtions non-linéires dns R N Résolution numérique d une éqution d une vrible pr dichotomie ou regul flsi 31. Approximtions successives 3 3. Méthode de Newton 3 4. Méthode de plus grnde descente 3 Chpitre 5. Résolution numérique d équtions différentielles ordinires Le schém d Euler explicite ou implicite 34 3

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5 CHAPITRE 1 Représenttion des nombres PROPOSITION 1.1. Soit β un entier donné (l bse). Alors tout nombre réel x R s écrit de l forme k x = ( 1) s j β j vec s {0, 1}, k Z, j N, 0 j β 1. Si on exige que k 0, lors l représenttion ci-dessus est unique. On écrit ussi j= (1.1) x = k k , Si β = 10, lors l représenttion (1.1) est exctement l représenttion décimle de x. Autres bses fréquentes: β = (représenttion binire), β = 8 ou β = 16 (représenttion hexdécimle). Pour les ordinteurs, on typiquement β =. Dns l écriture (1.1), déplcer l virgule d une position à droite (ou à guche) correspond à une multipliction (ou une division) pr β. Tout nombre x R dmet donc une unique représenttion sous l forme (1.) x = ( 1) s k, k 1 k k 3 β k vec s {0, 1}, k Z, j N, 0 j β 1, k 0. C est cette représenttion scientifique (ou: représenttion en virgule flottnte) que l on v utiliser dns l suite. Dns cette représenttion on ppelle s ou ( 1) s le signe, l suite k, k 1 k k 3... l mntisse et k Z l exposnt de x. Ces trois vribles crctérisent le nombre réel x Représenttion binire. Nombres mchine. Dns l représenttion binire (c.à.d. β = ) on s {0, 1}, k Z, j {0, 1} k = 1. ( j k), et Comme l mémoire d un ordinteur est limité, on ne peut coder qu un nombre fini de nombres réels. Ainsi, l mntisse d un nombre mchine est toujours une suite finie, et l ensemble des exposnts k est un ensemble fini. Pr exemple, vec b bits (binry 5

6 6 1. REPRÉSENTATION DES NOMBRES digits) on ne peut coder que b nombres réels. Pour l comptibilité entre ordinteurs, on utilise le stndrd IEEE (Institute of Electricl nd Electronics Engineers) suivnt Simple précision (3 bits). Avec 3 bits on peut coder 3 4, 9 millirds de nombres réels. Selon le stndrd IEEE on utilise 1 bit pour le signe 3 bits pour l mntisse, et 8 bits pour l exposnt k qui vrie entre 16 et 17. On remrque que pour un nombre réel non-nul, on toujours k = 1 et qu il suffit donc de coder les 3 bits de l mntisse qui suivent prés l virgule. L exposnt est déclé de 7 1 = 17. Pour les nombres mchine non-nuls on donc }{{} S 1, } {{ } MMM... MMM } {{ } EEEEEEEE. signe (1 bit) mntisse (3 bits) exposnt (8 bits) L exposnt vec l mntisse représente le nombre x = 0. L exposnt vec l mntisse représente l infini. Le plus petit nombre mchine positif, non-nul est 0 1, =1 16 1, On ppelle précision mchine le plus petit nombre mchine positif eps tel que 1 eps > 1 (ddition en virgule flottnte, c.à.d. le résultt 1 eps est de nouveu un nombre mchine). En simple précision, on En générl, on eps = 3 1, x y = (x y)(1 + r) pour deux nombres mchine x, y. Ici, x y est l multipliction excte, x y est l multipliction en virgule flottnte, et l erreur reltif r vérifie r eps Double précision (64 bits). Avec 64 bits on peut coder 64 1, nombres réels. Selon le stndrd IEEE on utilise 1 bit pour le signe 5 bits pour l mntisse, et 11 bits pour l exposnt k qui vrie entre 10 et 103. On remrque qu on toujours k = 1 et qu il suffit donc de coder les 5 bits de l mntisse qui suivent prés l virgule. L exposnt est déclé de 11 1 = 103. }{{} S 1, } {{ } MMM... MMM } {{ } EEEEEEEEEEE. signe (1 bit) mntisse (5 bits) exposnt (11 bits)

7 1. REPRÉSENTATION DES NOMBRES 7 Le plus petit nombre mchine positif, non-nulle est donc 0 1, =1 10. En double précision, on eps = 5,

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9 CHAPITRE Interpoltion et pproximtion 1. Interpoltion selon Lgrnge On considère le problème d interpoltion polynômile suivnt: étnt donné x 0,..., x n R y 0,..., y n R (les noeuds) et (les bscisses), on cherche un polynôme p : R R de degré n tel que p(x i ) = y i pour tout 0 i n. Bien sur, u lieu de chercher un polynôme clssique de degré n, on peut ussi chercher un polynôme trigonométrique, une fonction spline (une fonction de clsse C qui est un polynôme pr morceux), un élément fini... l importnt étnt qu on cherche une fonction interpolnte dns un espce vectoriel donné et de dimension finie. Pr exemple, l espce R n [X] = {p : R R : p est polynôme de degré n} des polynômes de degré n est un espce de dimension n + 1. Une bse vectorielle est constitué des monômes x i (0 i n) et tout polynôme p R n [X] dmet une représenttion unique de l forme vec i R. p(x) = x + + n x n PROPOSITION.1. Etnt donné des noeuds x 0 < < x n, et étnt donné de bscisses y 0,..., y n R, il existe un et un seul polynôme p n R n [X] tel que p(x i ) = y i pour tout 0 i n. En d utres mots, le problème d interpoltion polynômile dmet une unique solution. PREMIÈRE DÉMONSTRATION DE LA PROPOSITION.1 (COMPLIQUÉE?) Si on représente les polynômes comme combinisons linéires de l bse vectorielle des monômes, lors le problème d interpoltion est le problème de montrer existence et unicité d une fmille de coefficients 0,..., n tel que p(x) = x+ + n x n vérifie p(x i ) = y i (0 i n). Ceci est équivlent à résoudre le système linéire x n x n 0 = y x n + + n x n n = y n, 9..

10 10. INTERPOLATION ET APPROXIMATION c.à.d. le système 1 x 0 x n 0 0 y 0 1 x 1 x n 1 1 y =... 1 x n xn n n y n Ce système dmet une unique solution ( 0, 1,..., n ) si et seulement si l mtrice de Vndermonde 1 x 0 x n 0 1 x 1 x n 1 A = x n xn n est inversible. Autrement dit, le problème d interpoltion dmet une unique solution si et seulement si det A 0. Pour clculer le determinnt det A, on constte que, en développnt pr exemple pr l dernière ligne, que det A = f (x 0,..., x n ) est un polynôme de degré n en l vrible x n. En remplçnt x n pr x j (vec 0 j n 1) on voit que f (x 0,..., x n 1, x j ) = 0, c.à.d. chque noeud x j (0 j n 1) est une rcine de ce polynôme. Ainsi f (x 0,, x n ) = C (x n x 0 ) (x n x n 1 ) pour une constnte C R. Cette constnte est le coefficient principl du polynôme f (x 0,..., x n ), et en revennt u développement de det A pr l dernière ligne, on voit que C = f (x 0,..., x n 1 ), le déterminnt de l mtrice de Vndermonde ssocié ux n noeuds x 0,..., x n 1. Pr récurrence, on trouve lors det A = (x j x i ), 0 i< j n et comme les noeuds sont tous distincts, det A 0. DEUXIÈME DÉMONSTRATION DE LA PROPOSITION.1 (PLUS ÉLÉGANTE?) L idée principle de l démonstrtion est d utiliser une utre bse vectorielle de l espce R n [X]. Pour tout i {0,..., n} on définit le polynôme n x x j l i (x) = (x R). j=0 j i x i x j Alors l i est un polynôme de degré n vec l propriété importnte que 0 si i j, l i (x j ) = 1 si i = j. En conséquence, l fmille (l i ) 0 i n est linéirement indépendnte. Mis comme l dimension de R n [X] est n+1, c.à.d. exctement le nombre d élement de cette fmille, on obtient que (l i ) 0 i n est une bse vectorielle de R n [X].

11 . ETUDE DE L ERREUR D INTERPOLATION 11 Existence d un polynôme d interpoltion. Il suffit mintennt de poser (.1) p n (x) = y i l i (x) (x R). Comme combinison linéire des l i, p n est un polynôme de degré n. En plus, p n (x j ) = y i l i (x j ) = y j pour tout 0 j n. Donc, le polynôme p n est un polynôme d interpoltion. D où l existence d un polynôme d interpoltion. Unicité. Soit p R n [X] un polynôme d interpoltion. Alors, comme (l i ) 0 i n est une bse vectorielle de R n [X], p(x) = z i l i (x) (x R) pour des z i R. Alors, quelque soit j {0,..., n}, z j = z i l i (x j ) (propriété des l i ) = p(x j ) = y j (p est polynôme d interpoltion), et donc p(x) = z i l i (x) = y i l i (x) = p n (x), où p n est le polynôme de (.1). D où l unicité. On ppelle le polynôme l i le i-iéme polynôme de Lgrnge. D près l Proposition.1 nous pouvons (et nous llons) prler du polynôme d interpoltion. L représenttion (.1) est l représenttion de Lgrnge du polynôme d interpoltion ssocié ux noeuds x i et ux bscisses y i. Cette représenttion est simple, mis il fut noter que pour clculer le i-iéme polynôme de Lgrnge il fut fire n dditions, n divisions et n multiplictions. Eventuellement on divise pr des nombres petits si les noeuds sont proches l un de l utre; ceci peut engendrer des erreurs d rrondis importnts. Dns l suite nous verrons d utres représenttions de ce polynôme, ou u moins d utres lgorithmes pour clculer p n (x) en un point x donné.. Etude de l erreur d interpoltion On suppose dns cette section que les bscisses y i = f (x i ) pour une fonction f : [, b] R donnée, et que les noeuds vérifient x 0 < < x n b.

12 1. INTERPOLATION ET APPROXIMATION PROPOSITION.. Soit p n le polynôme d interpoltion de Lgrnge ssocié ux noeuds x 0 < < x n b et ux bscisses f (x 0 ),..., f (x n ), où f C n+1 ([, b]) est une fonction donnée. Alors pour tout x [, b] il existe ξ x ], b[ tel que f (x) p n (x) = f (n+1) (ξ x ) (n + 1)! n (x x i ). DÉMONSTRATION. Pr définition du polynôme d interpoltion, f (x) p n (x) = 0 si x = x i pour un i {0,..., n}. On peut lors supposer que x x i pour tout i {0,..., n}. On pose Q(t) := p n (t) f (t) + f (x) p n(x) n (x x i ) Alors Q C n+1 ([, b]) et n (t x i ) (t [, b]). Q(x i ) = 0 pour tout i, et Q(x) = 0. Le théorème de Rolle implique que l dérivée Q s nnulle en n + 1 points distincts dns l intervlle ], b[. En ppliqunt le théorème de Rolle encore une fois, on voit que Q s nnulle en n points distincts dns l intervlle ], b[, et finlement, qu il existe ξ x ], b[ tel que Q (n+1) (ξ x ) = 0. L proposition s en déduit fcilement. COROLLAIRE.3. Soit f (n+1) := sup x [,b] f (n+1) (x). Alors f (x) p n (x) f (n+1) n (x x i ) (x [, b]). (n + 1)! L proposition et le corollire montrent que l erreur d interpoltion dépend ussi du choix des noeuds x i. En fit, f (x) p n (x) f (n+1) n sup (t x i ) (x [, b]). (n + 1)! t [,b] On verr plus loin qu un choix optiml est le choix des noeuds de Tchebychev, c.à.d., sur l intervlle [, b] = [ 1, 1], le choix des noeuds (i + 1)π x i = cos (0 i n). n + 3. L lgorithme de Newton L lgorithme de Newton est une méthode efficce pour clculer le polynôme d interpoltion ssocié à des noeuds x 0,..., x n donnés et à des bscisses y 0,..., y n donnés (on suppose toujours que x i x j si i j). Il est prticulierement prtique dns les situtions où on veut rjouter des noeuds. L idée est de représenter le polynôme d interpoltion dns l forme (.) p(x) = c 0 + c 1 (x x 0 ) + + c n (x x 0 ) (x x n 1 ) vec des coefficients c 0,..., c n à determiner. On remrque ici que les polynômes 1, x x 0,..., (x x 0 ) (x x n 1 ) forment une bse de l espce R n [X] (exercice!)

13 3. L ALGORITHME DE NEWTON 13 et que les coefficients c 0,..., c n existent et sont uniques. Dns l suite, pour tout i, j {0,..., n}, j i, on note p i, j = le polynôme d interpoltion de degré j ssocié ux noeuds x i j,..., x i et ux bscisses y i j,..., y i. Le polynôme que l on recherche est le polynôme p n,n. On note ensuite c i, j = le coefficient principl du polynôme p i, j, c.à.d. le coefficient correspondnt u monôme x j dns l représenttion p i, j (x) = c i, j x j + polynôme de degré < j. On rppelle que, étnt donné des noeuds x 0,..., x n et des bscisses y 0,..., y n, le polynôme d interpoltion p de degré n existe et est unique (Proposition.1). Ainsi, le coefficient principl est déterminé de mnière unique en fonction des noeuds et des bscisses. REMARQUE.4. Le coefficient principl du polynôme d interpoltion correspondnt ux noeuds x 0,..., x n et ux bscisses y 0,..., y n est dns l littérture ussi noté f [x 0,..., x n ] (l nottion vec le f s explique si les bscisses y 0,..., y n sont de l forme f (x 0 ),..., f (x n ) pour une fonction f donnée). Avec cette nottion, on urit c i, j = f [x i j,..., x i ]. LEMME.5. Soit p = p n,n le polynôme d interpoltion correspondnt ux noeuds x 0,..., x n et ux noeuds y 0,..., y n. On représente p dns l forme (.), c.à.d. p(x) = c 0 + c 1 (x x 0 ) + + c n (x x 0 ) (x x n 1 ) (x R). Alors c i = c i,i (le coefficient principl du polynôme p i,i ). DÉMONSTRATION. Exercice. Afin de clculer des coefficients c i, j, on note d bord que (.3) c i,0 = y i (0 i n). En fit, c i,0 est, pr définition, le coefficient principl du polynôme p i,0 de degré 0 (c.à.d. p i,0 est constnt!) tel que p i,0 (x i ) = y i. Ainsi, p i,0 (x) = y i = y i x 0, d où (.3). Afin de clculer les utres coefficients c i, j vec j 1 on utilise le lemme et le corollire suivnt. LEMME.6 (Différences divisées). Pour tout i, j {1,..., n} vec i j on p i, j (x) = p i, j 1(x)(x x i j ) p i 1, j 1 (x)(x x i ) x i x i j (x R).

14 14. INTERPOLATION ET APPROXIMATION DÉMONSTRATION. Soit q(x) := p i, j 1(x)(x x i j ) p i 1, j 1 (x)(x x i ) x i x i j (x R). Pr définition, p i, j 1 et p i 1, j 1 sont des polynômes de degré j 1. Ainsi, q est un polynôme de degré j. Ensuite, on clcul q(x i j ) = 0 p i 1, j 1(x i j )(x i j x i ) x i x i j = y i j, cr p i 1, j 1 (x i j ) = y i j pr définition de p i 1, j 1. De mnière similire q(x i ) = p i, j 1(x i )(x i x i j ) 0 x i x i j = y i, cr p i, j 1 (x i ) = y i pr définition de p i, j 1. Finlement, pour tout k vec i j < k < i on p i, j 1 (x k ) = y k et p i 1, j 1 (x k ) = y k. Ainsi, q(x k ) = p i, j 1(x k )(x k x i j ) p i 1, j 1 (x k )(x k x i ) x i x i j = y k(x k x i j ) y k (x k x i ) x i x i j = y k. On donc montré que q est un polynôme d interpoltion de degré j ssocié ux noeuds x i j,..., x i et ux bscisses y i j,..., y i. Pr unicité du polynôme d interpoltion, q = p i, j. COROLLAIRE.7 (Différences divisées). Pour tout i, j {1,..., n} vec i j on (.4) c i, j = c i, j 1 c i 1, j 1 x i x i j. DÉMONSTRATION. Conséquence directe du Lemme.6 et de l définition des c i, j. D près les équtions (.3) et (.4), on obtient le schém suivnt pour clculer successivement les c i, j (lgorithme de Newton): x 0 c 0,0 = y 0 x 1 c 1,0 = y 1 c 1,1 x c,0 = y c,1 c, x n 1 c n 1,0 = y n 1 c n 1,1 c n 1,... c n 1,n 1 x n c n,0 = y n c n,1 c n,... c n,n 1 c n,n On finlement p n,n (x) = c 0,0 + c 1,1 (x x 0 ) + + c n,n (x x 0 ) (x x n 1 ) (x R).

15 4. APPROXIMATION HILBERTIENNE 15 EXEMPLE.8. On cherche le polynôme d interpoltion de degré 3 ssocié ux noeuds x 0 = 1, x 1 = 0, x = 1, x 3 = 3 et ux bscisses y 0 = 1, y 1 = 1, y = 0, y 3 =. Avec l lgorithme de Newton on trouve x 0 = 1 x 1 = 0 x = 1 x 3 = 3 c 0,0 = y 0 = 1 c 1,0 = y 1 = 1 c 1,1 = c,0 = y = 0 c,1 = 1 c, = 3 c 3,0 = y 3 = c 3,1 = 1 c 3, = 0 c 3,3 = 3 8 Ici, on clculé successivement, colonne pr colonne, On trouve lors c 1,1 = c 1,0 c 0,0 x 1 x 0 = ( 1) =, c,1 = c,0 c 1,0 x x 1 = 0 ( 1) 1 0 c 3,1 = c 3,0 c,0 x 3 x = = 1, c, = c,1 c 1,1 x x 0 = 1, = 1 ( ) 1 ( 1) = 3, c 3, = c 3,1 c,1 x 3 x 1 = = 0 c 3,3 = c 3, c, x 3 x 0 = ( 1) = 3 8. p(x) = 1 (x ( 1)) + 3 (x ( 1)) (x 0) 3 (x ( 1)) (x 0) (x 1) 8 = 1 (x + 1) + 3 (x + 1) x 3 (x + 1) x (x 1) 8 = x + 3 x 3 8 x3, et il est fcile vérifier que c est effectivement le polynôme d interpoltion recherché. 4. Approximtion hilbertienne Soit I R un intervlle et soit w : I R une fonction continue positive (une fonction poids). On considère l espce C w (I) := { f C(I) : f (x) w(x) dx < }, I

16 16. INTERPOLATION ET APPROXIMATION où C(I) est l espce de toutes les fonctions continues de I dns R. L espce C w (I) ser muni du produit sclire, w donné pr f, g w := f (x)g(x)w(x) dx ( f, g C w (I)). I L norme ssociée à ce produit sclire est l norme w donnée pr f w := ( 1 f, f w = f (x) w(x) dx). Soit F C w (I) un sous-espce vectoriel de dimension finie, et soit f C w (I) une fonction donnée. Le probléme de l meilleure pproximtion de f pr un élément de F est le problème de trouver une fonction p F telle que f p w = inf q F f q w, c.à.d. de trouver une fonction p F telle que l distnce f p w soit minimle prmi toutes les distnces f q w (q F) Solution théorique. L proposition suivnte montre que le problème de l meilleure pproximtion de f dmet une unique solution. PROPOSITION.9. Soit E un espce vectoriel réel muni d un produit sclire,. Soit f E et soit F E un sous-espce vectoriel de dimension finie. Alors il existe un unique élément p F telle que f p = inf q F f q (ici: g := g, g ). Cet élément p est ppelé l projection orthogonle de f sur F. Il est crctérisée pr le fit que (.5) f p, q w = 0 pour tout q F. DÉMONSTRATION. On démontre d bord que p F est une meilleure pproximtion de f dns F si et seulement si l condition (.5) est vérifiée. En fit, p F est une meilleure pproximtion de f dns F si et seulement si p F et ce qui est équivlent à f p f q pour tout q F, f, p + p f, q + q pour tout q F. En remplçnt q F pr p + q F, ceci est équivlent à f p, q q pour tout q F. Ici, on remplce q pr tq (t R, t > 0), on divise pr t, et on fit t tendre vers 0 pour obtenir f p, q 0 pour tout q F. Finlement, en remplçnt q pr q, on obtient que p F est une meilleure pproximtion de f dns F si et seulement si l condition (.5) est vérifiée. Existence et unicité d une meilleure pproximtion. Soit (p i ) 0 i n une bse vectorielle de l espce F (on suppose donc qu il est de dimension n + 1. Alors tout élément p F s écrit de l forme p = n λ i p i vec des coefficients λ i R. En I

17 4. APPROXIMATION HILBERTIENNE 17 plus, come (p i ) est une bse vectorielle de F, l condition (.5) est équivlente à l condition (.6) f, p i = λ j p j, p i pour tout 0 i n, j=0 ce qui est un système linéire pour le vecteur (λ 0,..., λ n ). Ce système linéire dmet une unique solution (λ 0,..., λ n ) si et seulement si le système homogène µ j p j, p i = 0 pour tout 0 i n j=0 dmet (µ 0,..., µ n ) = (0,..., 0) comme seule solution. Mis ce système implique que 0 = µ i µ j p j, p i j=0 µ i p i, et donc µ i p i = 0. Comme l fmille (p i ) est linéirement indépendnte, on trouve (µ 0,..., µ n ) = (0,..., 0). L démonstrtion de l proposition précédente montre que p = n λ i p i est meilleure pproximtion de f dns F si et seulement si (λ 0,..., λ n ) est solution de (.6). Il suffit donc de choisir une bse vectorielle (p i ) de F est de résoudre le système linéire (.6). On remrque que ce système linéire devient prticulièrement simple à résoudre si (p i ) est une bse orthogonle de F, c.à.d. p i si i = j, p j, p i = 0 si i j. COROLLAIRE.10. Soit (p i ) 0 i n une bse orthogonle de F. Alors l meilleure pproximtion p de f dns F est donné pr f, p i p = p i p i. 4.. Le procédé d orthogonlistion de Grm-Schmidt. Soit E un espce vectoriel réel muni d un produit sclire,. Soit (e i ) i 0 E une fmille de vecteurs linéirement indépendnte. Alors le procédé suivnt permet de construire une fmille orthonormle (p i ) i 0. Procédé de Grm-Schmidt. On pose d bord ẽ 0 = e 0 p 0 = et ẽ0 ẽ 0.

18 18. INTERPOLATION ET APPROXIMATION Ensuite, pour tout i 1 on définit de mnière recursive i 1 ẽ i = e i e i, p j p j et p i = ẽi ẽ i. C est un exercice de montrer que pour tout i, j 0 on 1 si i = j, p i, p j = 0 si i j, j=0 c.à.d. que (p i ) est une fmille orthonormle. En plus, si (e i ) étit une bse vectorielle, lors (p i ) est une bse vectorielle normle Les polynômes orthogonux. Soit I R un intervlle quelconque, et soit w : I R une fonction poids (continue, strictement positive). On suppose que, quelque soit n N, x n w(x) dx est bsolument convergente. I Dns ce cs, l espce C w (I) contient tous les polynômes. En ppliqunt le procédé de Grm-Schmidt ux monômes e n (x) = x n (n 0), on obtient une fmille (p n ) n 0 de polynômes orthogonles. Intervlle Poids w(x) Polynômes [ 1, 1] 1 Legendre [0, [ e x Lguerre R e x Hermite 1 ] 1, 1[ 1 x Tchebychev. Pr exemple, pour les polynômes de Legendre, on obtient p 0 (x) = p 1 (x) = p (x) = LEMME.11. Les polynômes orthogonux vérifient () p n est un polynôme de degré n, (b) l fmille (p i ) 0 i n est une bse orthogonle de l espce R n [X], (c) I p n(x)q(x)w(x) dx = 0 pour tout polynôme q de degré < n. THÉORÈME.1. Le polynôme p n possède n rcines réelles. Elles sont simples et contenues dns l intérieur de l intervlle I..

19 DÉMONSTRATION. On peut écrire 5. APPROXIMATION UNIFORME 19 p n (x) = k (x r i ) m i r(x) i=1 où les r i sont des rcines réelles distincts de multiplicité m i, et le polynôme r n ps de rcines réelles (en prticulier, r un signe). Notons r i1,..., r is les rcines de p n situées à l intérieur de l intervlle I et de multplicités m iα impirs. Alors le polynôme q(x) = (x r i1 ) (x r is ) est un polynôme de degré s, toutes les rcines de q sont simples et contenues dns l intérieur de l intervlle I. En plus, le produit p n (x)q(x) ne chnge ps de signe et est non-nulle. Donc p n, q 0. D près le lemme précédent (plus précisément, Lemme.11 (c), on obtient donc que degré p n = degré q, c.à.d. que q est un polynôme de degré = n. 5. Approximtion uniforme Dns cette section, on suppose que I = [, b] est un intervlle compct. L espce C([, b]) de toutes les fonctions continues [, b] R muni de l norme f := sup x [,b] f (x) est un espce vectoriel normé. Etnt donnée une fonction f C([, b]), on considère de nouveu le problème de (meilleure) pproximtion, mis mintennt vec l norme à l plce de l norme hilbertienne w du prgrphe précédent. On rppelle le théorème suivnt. THÉORÈME.13 (Weierstrss). Pour toute fonction f C([, b]) il existe une suite (p n ) de polynômes telle que lim n f p n = 0.

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21 CHAPITRE 3 Intégrtion et différentition numérique 1. Intégrtion pprochée Soit f : [, b] R une fonction continue donnée, [, b] R étnt un intervlle compcte. On considère le problème de clculer l intégrle I( f ) = f (x) dx. En générl on cherche à trouver une vleur pprochée de l intégrle sous l forme J( f ) = λ i f (x i ), où x 0 < < x n b sont des noeuds donnés (ou à choisir) et où les coefficients λ 0,..., λ n sont donnés (ou à choisir), tous les deux indépendnts de l fonction f. Supposons d bord que les noeuds x 0 < < x n b sont donnés. Comment choisir les coefficients λ 0,..., λ n de telle mnière que l erreur E( f ) = I( f ) J( f ) soit 0 pour une certine clsse de fonctions? Pr exemple, comment choisir les coefficients λ 0,..., λ n de telle mnière que l erreur E( f ) = 0 pour tout polynôme de degré inférieur ou égl à n? C.à.d. telle que l formule d intégrtion pprochée J( f ) soit excte pour tout polynôme de degré inférieur ou égl à n? THÉORÈME 3.1. Etnt donné des noeuds x 0 < < x n b, il existe une et une seule formule d intégrtion pprochée J( f ) = n λ i f (x i ) telle que l erreur E( f ) = I( f ) J( f ) = 0 pour tout polynôme f R n [X]. DÉMONSTRATION. Existence. On pose λ i = l i(x) dx, oú l i est le i-éme polynôme d interpoltion de Lgrnge ssocié ux noeuds x 0,..., x n. Alors, pour tout polynôme f R n [X] on f (x) = f (x i ) l i (x), 1

22 3. INTÉGRATION ET DIFFÉRENTIATION NUMÉRIQUE cr l interpoltion est excte pour tout polynôme de degré n. Donc, I( f ) = = = = f (x) dx f (x i ) l i (x) dx f (x i ) λ i f (x i ) = J( f ). l i (x) dx Unicité. Soient J( f ) = n λ i f (x i ) et J ( f ) = n λ i f (x i) deux formules d intégrtion pprochées qui sont exctes pour tous les polynômes f R n [X], c.à.d. J( f ) = λ i f (x i ) = I( f ) = λ i f (x i ) pour tout f R n [X]. Alors (λ i λ i) f (x i ) = 0 pour tout f R n [X]. En prticulier, en choississnt f = l i le i-ième polynôme d interpoltion de Lgrnge (qui l propriété que l i (x j ) = δ i j pour tout 1 i, j n), on trouve que d où l unicité. λ i = λ i, DÉFINITION 3.. Une formule d intégrtion pprochée est dite d ordre m si I( f ) = J( f ) pour tout polynôme f R m [X] et s il existe un polynôme f R m+1 [X] tel que I( f ) J( f ). D près le Théorème 3.1, étnt donné des noeuds x 0 < < x n b, il existe une et une seule formule d intégrtion pprochée d ordre m n. On verr que l ordre m peut être strictement supérieur à n. Pr contre, on remrque d bord que l ordre est toujours inférieur ou égl à n + 1. LEMME 3.3. Soient x 0 < < x n b des noeuds donnés et soit J( f ) = n λ i f (x i ) une méthode d intégrtion pprochée. Alors l ordre de cette méthode est inférieur ou égl à n + 1. DÉMONSTRATION. Soit f (x) = n (x x i ).

23 1. INTÉGRATION APPROCHÉE 3 Alors f est un polynôme positif, de degré n+, tel que f (x i ) = 0 pour tout 0 i n. Donc J( f ) = λ i f (x i ) = 0 < I( f ). Ainsi, l ordre de J est inférieur ou égl à n + 1. EXEMPLE 3.4 (Méthode des rectngles). On prend n = 0 et x 0 noeud, u milieu de l intervlle [, b]). Alors = +b (un seul et donc λ 0 = l 0 (x) dx = dx = b, J( f ) = (b ) f ( + b ). Cette formule d intégrtion pprochée est excte pour les polynômes constnts f R 0 [X] (Théorème 3.1), mis on ussi Pr contre, J(x) = (b ) + b J(x ( + b) ) = (b ) 4 = b b3 3 3 = I(x). = I(x ). Donc, l ordre de cette formule d intégrtion pprochée est m = 1. EXEMPLE 3.5 (Méthode des trpézes). On prend n = 1, x 0 =, x 1 = b (deux noeuds, ux extrémités de l intervlle [, b]). On et Donc, λ 0 = λ 1 = l 0 (x) dx = l 1 (x) dx = x b b dx = b x b dx = b. J( f ) = b ( f () + f (b)). Cette formule d intégrtion pprochée est excte pour les polynômes f R 1 [X] (Théorème 3.1), mis J(x ) I(x ). L ordre de cette formule d intégrtion pprochée est m = 1.

24 4 3. INTÉGRATION ET DIFFÉRENTIATION NUMÉRIQUE EXEMPLE 3.6 (Méthode de Simpson). On prend n =, x 0 =, x 1 = +b, et x = b (trois noeuds, ux extrémités et u milieu de l intervlle [, b]). On λ 0 = λ 1 = λ = l 0 (x) dx = b 6, l 1 (x) dx = 4 b 6, l (x) dx = b 6. Donc J( f ) = b ( f () + 4 f ( + b 6 ) + f (b)). L ordre de cette formule d intégrtion pprochée est m = 3.. Etude de l erreur d intégrtion pprochée On rppelle l version suivnte du théorème de Tylor, et ussi le théorème de l moyenne. où THÉORÈME 3.7 (Tylor). Soit f C n+1 ([, b]). Alors pour tout x [, b] on (x ) k f (x) = f (k) (x t) n + () + f (n+1) (t) dt, k! n! k=0 t si t 0, t + = 0 si t < 0. THÉORÈME 3.8 (Théorème de l moyenne). Soient f, g : [, b] R deux fonctions continues. On suppose que g(x) 0 pour tout x [, b]. Alors il existe un ξ [, b] tel que f (x)g(x) dx = f (ξ) g(x) dx. THÉORÈME 3.9. Soient x 0 < < x n b des noeuds donnés et soit J( f ) = n λ i f (x i ) une méthode d intégrtion pprochée d ordre m n. Soit K(t) = (x t) m + dx λ i (x i t) m + Alors, pour toute fonction f C (m+1) ([, b]) on E( f ) = I( f ) J( f ) = K(t) m! f (m+1) (t) dt, (t [, b]).

25 et si le noyu K est positif, lors. ETUDE DE L ERREUR D INTÉGRATION APPROCHÉE 5 E( f ) = f (m+1) (ξ) K(t) m! dt pour un ξ [, b]. DÉMONSTRATION. D près le Théorème de Tylor (Théorème 3.7), on m (x ) k f (x) = f (k) (x t) m + () + f (m+1) (t) dt. k! m! k=0 Comme J est d ordre m, on obtient donc E( f ) = E(x = = = (x t) m + m! (x t) m + m! (x t) m + dx K(t) m! f (m+1) (t) dt. f (m+1) (t) dt) f (m+1) (t) dt dx λ i (x i t) m + m! λ i (x i t) m +) f (m+1) (t) dt f (m+1) (t) dt L deuxième représenttion de l erreur est une conséquence directe de cette première représenttion et du théorème de l moyenne (Théorème 3.8). EXEMPLE 3.10 (L erreur dns l méthode des rectngles). Cette méthode est d ordre 1. Donc, ( E( f ) = (x t) + dx (b )( + b ) t) + ) f (t) dt = K(t) f (t) dt vec (t ) si t +b K(t) =, (t b) si t +b. Ainsi, comme le noyu K est positif et pr le théorème de l moyenne, E( f ) = f (b )3 (ξ) 4 pour un certin ξ [, b]. EXEMPLE 3.11 (L erreur dns l méthode de Simpson). Cette méthode est d ordre 3. Donc, E( f ) = K(t) 3! f (4) (t) dt

26 6 3. INTÉGRATION ET DIFFÉRENTIATION NUMÉRIQUE vec K(t) = = (x t) 3 + dx b 6 (b t) 3 (b+ 3t) 1 si t +b, ( t) 3 (b+ 3t) 1 si t +b. ( ( t) ( + b t) (b t) 3 ) + Ainsi, comme le noyu K est négtif, E( f ) = f (4) (b )5 (ξ) 880 pour un certin ξ [, b]. 3. L formule d intégrtion pprochée de Guss On rppelle du Lemme 3.3 que toute méthode d intégrtion pprochée est u plus d ordre n + 1. On peut lors se demnder s il existe une méthode d intégrtion pprochée qui est exctement d ordre m = n + 1. L réponse à cette question est oui, si on choisit bien les noeuds x 0,..., x n. THÉORÈME 3.1 (Guss). Soit [, b] = [ 1, 1], et soit n 0. Alors il existe des noeuds x 0 < < x n b et une méthode d intégrtion pprochée J( f ) = n λ i f (x i ) qui est d ordre n + 1. Plus précisément, il suffit de prendre comme noeuds les rcines du n + 1-ième polynôme de Legendre L n+1 et comme méthode d intégrtion pprochée celle du Théorème 3.1. DÉMONSTRATION. Soit L n+1 le n + 1-ième polynôme de Legendre. On rppelle que l suite des polynômes de Legendre est obtenue pr le procédé de Grm-Schmidt ppliqué à l suite des monômes, en utilisnt le produit sclire f, g = 1 f (x)g(x) dx. 1 Le polynôme L n+1 est un polynôme de degré n + 1 qui est orthogonl à tous les polynômes de degré n (Lemme.11). En plus, toutes les rcines de L n+1 sont simples et contenues dns l intervlle [ 1, 1] (Théorème.1) Soit mintennt p un polynôme de degré n + 1. Une division vec reste montre que p = q L n+1 + r

27 pour des polynômes de degré n. Alors I(p) = = = = = = p(x) dx q(x)l n+1 (x) dx + r(x) dx 4. DIFFÉRENTIATION NUMÉRIQUE r(x) dx (q et L n+1 sont orthogonux) λ i r(x i ) (J est d ordre m n) λ i q(x i )L n+1 (x i ) + λ i p(x i ) = J(p). λ i r(x i ) (x i sont rcines de L n+1 ) Comme p R n+1 [X] étit rbitrire, ceci montre que J est d ordre m n + 1. Pr le Lemme 3.3, m n + 1, et donc l ordre m = n Différentition numérique Etnt donné une fonction f C 1 ([, b]) et un point x [, b], on souhite clculer l dérivée L( f ) = f (x). On souhite clculer cette dérivée à l ide d une formule à deux noeuds Λ( f ) = λ 0 f () + λ 1 f (b), où λ 0, λ 1 sont des constntes. On veut que l formule Λ( f ) soit excte pour tous les polynômes de degré 1. On choississnt f (x) = 1 et f (x) = x on trouve lors les deux conditions et donc λ 0 = λ 1 = 1 b. Ainsi Λ( f ) = λ 0 + λ 1 = 0 λ 0 + λ 1 b = 1, et f (b) f (). b 4.1. Schém centré. Ici, on prend x = +b L( f ) = f ( +b, c.à.d. on souhite clculer l dérivée ) u milieu de l intervlle [, b]. Pr construction, l erreur E( f ) = L( f ) Λ( f ) = f ( + b f (b) f () ) b est nulle pour tout polynôme f de degré 1. Mis on voit fcilement que E(x ) = 0 ussi, et que E(x 3 ) 0. On dit que l méthode de différentition Λ( f ) est d ordre.

28 8 3. INTÉGRATION ET DIFFÉRENTIATION NUMÉRIQUE Afin d estimer l erreur commise, lorsque f C 3 ([, b]), on utilise l formule de Tylor (Théorème 3.7): où f (x) = f () + f ()(x ) + 1 f ()(x ) + t si t 0, t + = 0 si t < 0. (x t) + Puisque l formule de différentition Λ( f ) est d ordre, on trouve vec Ainsi, ou E( f ) = E(x = d dx (x t) + (x t) + ( (b t) + f (3) (t) dt) f (3) (t) dt x= +b 1 f (3) (t) dt b = (x t) + f (3) (t) dt = K(t) f (3) (t) dt K(t) = x= +b ( t) (b ) (b t) (b ) 1 b f (3) (t) dt, ( t) + f (3) (t) dt ) si t +b, si t +b.. (b t) f (3) (t) dt E( f ) = f (3) (ξ) K(t) dt = f (3) (b ) (ξ), 4 E( f ) f (3) (b ) Schém décentré. Ici, x [, b] est rbitrire. Un simple clcul montre que E( f ) = f f (b) f () (x) = 0 pour f (x) = x si et seulement si x = +b (schém b centré), c.à.d. l formule de différentition Λ( f ) est d ordre si et seulement si x = +b +b. Dns le cs x, elle est d ordre 1. Afin d estimer l erreur commise dns ce cs et pour une fonction f C ([, b]), on utilise l formule de Tylor (Théorème 3.7) f (x) = f () + f ()(x ) + (x t) + f (t) dt.

29 4. DIFFÉRENTIATION NUMÉRIQUE 9 Puisque l formule de différentition Λ( f ) est d ordre 1, on trouve E( f ) = E(x (x t) + f (t) dt) = d (x t) + f (t) dt dx x 1 ( (b t) + f (t) dt b = = x f (t) dt 1 b K(t) f (t) dt (b t) f (t) dt ( t) + f (t) dt ) vec t si t x, b K(t) = t b si t +b.. b Dns ce cs on l estimtion E( f ) f K(t) dt = f b.

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31 CHAPITRE 4 Résolution numérique d équtions non-linéires dns R N Dns ce chpitre on s intéresse à résoudre l éqution f (x) = y pour une fonction f : R N R N donnée et un vecteur y R N donné, ou l éqution g(x) = x pour une fonction g : R N R N donnée (en fit, les fonctions f et g peuvent être définies sur un domine de définition inclus dns R N ). 1. Résolution numérique d une éqution d une vrible pr dichotomie ou regul flsi On rppelle le résultt suivnt d nlyse des fonctions d une vrible réelle. THÉORÈME 4.1 (Théorème de l vleur intermédiire). Soit f : [, b] R une fonction continue sur un intervlle compct. Alors pour tout f () η f (b) (ou f (b) η f (), si f (b) f ()) il existe un c [, b] tel que f (c) = η. Comme corollire on obtient imméditement qu une fonction continue f : [, b] R vérifint f () f (b) 0 dmet une solution x [, b] de l éqution f (x) = 0. Ceci est une motivtion pour l lgorithme suivnt. Algorithme. On suppose que f : [, b] R est une fonction continue telle que f () f (b) 0. 1ère étpe. On pose 0 = et b 0 = b. Alors f ( 0 ) f (b 0 ) 0 (pr hypothèse sur f ). Si f ( 0 ) = 0 ou f (b 0 ) = 0, lors on déjà trouvé une solution de l éqution f (x) = 0 et l lgorithme s rrête. Sinon, on f ( 0 ) f (b 0 ) < 0 et on continue vec l deuxième étpe. ème étpe. Soit k 0. On suppose que f ( k ) f (b k ) < 0 et on choisit c k ] k, b k [. Alors exctement un des trois cs suivnts est vérifié. Cs 1: f (c k ) = 0. Cs : f ( k ) f (c k ) < 0. Cs 3: f (c k ) f (b k ) < 0. Si le premier cs est vérifié, lors x = c k est une solution du problème f (x) = 0 et l lgorithme s rrête. Sinon, dns le deuxième cs on pose k+1 = k et b k+1 = c k. Dns le troisième cs, on pose k+1 = c k et b k+1 = b k. Avec ces définitions on continue vec l deuxième étpe, en remplçnt k pr k

32 3 4. RÉSOLUTION NUMÉRIQUE D ÉQUATIONS NON-LINÉAIRES DANS R N Soit cet lgorithme s rrête en un nombre fini d étpes (et dns ce cs on trouvé une solution du problème f (x) = 0), soit cet lgorithme construit trois suites ( k ), (b k ) et (x k ) telles que (i) lim k k existe (cr ( k ) est une suite croissnte), (ii) lim k b k existe (cr (b k ) est une suite décroissnte), (iii) quelque soit k 0, l intervlle [ k, b k ] contient une solution x = x k du problème f (x) = 0. Si lim b k k = 0, k lors x := lim k = lim b k = lim x k et f (x) = 0. k k k Dns ce cs, l lgorithme converge donc vers une solution du problème f (x) = 0. EXEMPLE 4.. () A chque étpe on choisit c k = k + b k. Dns cet exemple on b k k = k (b ) et donc lim k b k k = 0. Dns cet exemple, l lgorithme converge vers une solution du problème f (x) = 0. (b). Approximtions successives THÉORÈME 4.3 (Théorème du point fixe de Bnch). 3. Méthode de Newton 4. Méthode de plus grnde descente

33 CHAPITRE 5 Résolution numérique d équtions différentielles ordinires Dns ce chpitre, soit f : R R N R N, f = f (t, x), une fonction continue donnée, soit t 0 R un temps initil et x 0 R N une donnée initile. On cherche à résoudre l éqution différentielle ordinire ẋ(t) = f (t, x(t)) (5.1) x(t 0 ) = x 0. On rppelle le thèoreme d existence locle de Peno. THÉORÈME 5.1 (Peno). L éqution différentielle (5.1) dmet toujours une solution locle, c.à.d. il existe un intervlle I R qui est un voisinge de t 0, et il existe une fonction x : I R N de clsse C 1 telle que ẋ(t) = f (t, x(t)) pour tout t I et x(t 0 ) = x 0. DÉMONSTRATION CONSTRUCTIVE. On choisit τ > 0 et r > 0. Comme f est continue, on M := sup f (t, x) < +. t t 0 τ x x 0 r En choississnt τ > 0 plus petit, si nécessire, on peut supposer que τm r. Soit n 1. On pose t k := t 0 + kτ (k = 0,..., n). Ensuite, on définit une fonction n x n : [t 0, t 0 + τ] R N en posnt (5.) x n (t 0 ) = x 0 et x n (t k+1 ) = x n (t k ) + τ n f (t k, x n (t k )) pour k = 0,..., n 1, et en prolongent x n en une fonction ffine pr morceux, c.à.d. ffine sur les intervlles [t k, t k+1 ]: x n (t) = x n (t k ) + (x n (t k+1 ) x n (t k ))(t t 0 kτ n ) (5.3) = x n (t k ) + τ n f (t k, x n (t k ))(t t 0 ) si t [t k, t k+1 ]. On montre que pour tout n 1 et tout k = 0,..., n, on (5.4) x n (t k ) x 0 k n r. 33

34 34 5. RÉSOLUTION NUMÉRIQUE D ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES Pour cel, on fixe n 1. Pr définition de x n, l estimtion (5.4) est vrie pour k = 0. On suppose lors qu elle est vrie pour un k {0,..., n 1}. Alors x n (t k+1 ) x 0 x n (t k ) x 0 + τ n f (t k, x n (t k )) k n r + τ n M k n r + 1 n r k + 1 n On donc démontré (5.4) pr récurrence. De l estimtion (5.4) on obtient que pour tout n 1 et tout t [t 0, t 0 + τ] r. t t 0 τ, x(t) x 0 r et f (t, x(t)) M. En prticulier, l suite (x n ) est bornée dns C([t 0, t 0 + τ]; R N ). On montre ensuite que pour tout n 1 et tout s, t [t 0, t 0 + τ] (s t) on où Ainsi, x n (t) = x n (s) + t s ˆx n (r) dr, ˆx n (t) = f (t k, x n (t k )) si t [t k, t k+1 ]. x n (t) x n (s) M t s pour tout s, t [t 0, t 0 + τ], c.à.d. les x n sont lipschitziennes vec une constnte de Lipschitz qui ne dépend ps de n. On montre finlement que (x n ) dmet une sous-suite convergente et que l limite x de cette sous-suite est une solution de l éqution différentielle (5.1). 1. Le schém d Euler explicite ou implicite Le schém (5.) est ppelé le schém d Euler explicite. L idée de ce schém est simple: on remplce dns l éqution différentielle ẋ(t) = f (t, x(t)) l dérivée ẋ en un point t k pr l différence finie n τ (x n(t k+1 ) x n (t k )), et on résoud l éqution n τ (x n(t k+1 ) x n (t k )) = f (t k, x n (t k )) de mnière récursive. L démonstrtion du Théorème de Peno montre que les solutions pprochées x n insi construites convergent uniformément (près pssge à une sous-suite) vers une solution excte x de l éqution différentielle (5.1). On note, sns démonstrtion, que l on peut remplcer dns l définition des solutions pprochées les subdivisions équi-distntes pr des subdivisions quelconques

35 1. LE SCHÉMA D EULER EXPLICITE OU IMPLICITE 35 σ : t 0 < t 1 < < t n = t 0 + τ de l intervlle [t 0, t 0 + τ]. Pour une telle subdivision σ l solution pprochée ssociée est définie pr x σ (t 0 ) = x 0 et (5.5) x σ (t k+1 ) = x σ (t k ) + h k f (t k, x σ (t k )) pour k = 0,..., n 1, où h k est le ps : h k := t k+1 t k (k = 0,..., n 1). Le schém (5.5) est ussi ppelé schém d Euler explicite. On ppelle σ := sup k h k l norme de l subdivision σ. Alors (x σ ) dmet une sous-suite qui converge (lorsque σ 0) vers une solution x du problème (5.1). On peut motiver le schém d Euler ussi en remrqunt que pour toute solution x du problème (5.1) et toute subdivision σ : t 0 < t 1 < < t n = τ de l intervlle [t 0, t 0 + τ] on x(t 0 ) = x 0 et (5.6) x(t k+1 ) = x(t k ) + tk+1 t k f (t, x(t)) dt pour k = 0,..., n 1. Ensuite, en remplçnt l intégrle t k+1 f (t, x(t)) dt pr h t k f (t k, x(t k )) (méthode des k rectngles à guche), on trouve le schém d Euler explicite (5.5). Si on remplce l intégrle t k+1 f (t, x(t)) dt pr h t k f (t k+1, x(t k+1 )) (méthode des rectngles à droite), k on trouve le schém d Euler implicite : x σ (t 0 ) = x 0 et (5.7) x σ (t k+1 ) = x σ (t k ) + h k f (t k+1, x σ (t k+1 )) pour k = 0,..., n 1. Afin de trouver x σ (t k+1 ) dns ce schém implicite, il fut dns chque itértion résoudre une éqution non-linéire. Ceci est à première vue plus difficile que seulement évluer f (t k, x σ (t k )), mis il y des situtions où il est préferble d utiliser un schém implicite. Estimtion de l erreur. Dns l suite, on fixe une subdivision σ : t 0 < t 1 < < t n = t 0 + τ et une solution pprochée x σ ssociée, donnée pr le schém d Euler explicite (5.5). Soit x une solution excte du problème (5.1). On définit l erreur de discrétistion (5.8) e k := x(t k ) x σ (t k ). On veut estimer cet erreur en fonction de l norme h := σ = sup h k = 0. 0 k n 1 Nous supposons que l fonction f est loclement lipschitzienne pr rpport à l deuxième vrible, c.à.d. qu il existe une constnte L 0 telle que pour tout t [t 0, t 0 + τ] et tout x, y R N vec x x 0 r et y x 0 r on (5.9) f (t, x) f (t, y) L x y.

36 36 5. RÉSOLUTION NUMÉRIQUE D ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES REMARQUE 5.. Sous l hypothèse (5.9) on peut montrer que l solution locle x construit dns le Théorème de Peno est (loclement) unique dns le sens que si y : [t 0, t 0 + τ ] R N est une deuxième solution de (5.1) et si τ τ, lors y(t) = x(t) pour tout t [t 0, t 0 + τ ] (Théorème de Cuchy-Lipschitz). (5.10) On définit ussi l erreur de troncture ε k+1 := 1 h k ( x(tk+1 ) x(t k ) h k f (t k, x(t k )) ) = 1 h k ( t k+1 t k f (t, x(t)) dt h k f (t k, x(t k )) ). Finlement, étn donné une fonction g C([t 0, t 0 +τ]; R N ) et une constnte δ > 0, on définit le module de continuité ω(g, δ) := mx g(t) g(s). t,s [t 0,t 0 +τ] t s δ Avec cette définition, l erreur de troncture peut être mjoré pr tk+1 ε k+1 = 1 (ẋ(t) ẋ(t k )) dt ω(ẋ, σ ), k = 0,..., n 1. h k t k Comme ẋ est uniformément continue, on lim σ 0 ω(ẋ, σ ) = 0. Supposons en plus que f est de clsse C 1. Alors l solution x de (5.1) est de clsse C et on ẍ(t) = f f (t, x(t)) + (t, x(t)) f (t, x(t)). t x En utilisnt l formule de Tylor, on en déduit ε k+1 = 1 t k+1 (t k+1 t)ẍ(t) dt tk+1 ẍ(t) dt. h k t k t k Ainsi, e k+1 = e k + h k ( f (t k, y(t k )) f (t k, x σ (t k ))) + h k ε k+1. Ceci implique, comme f est lipschitzienne, e k