Séquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire

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1 Séquence 8 Proilité : lois à densité Sommire. Prérequis 2. Lois de proilité à densité sur un intervlle 3. Lois uniformes 4. Lois exponentielles 5. Synthèse de l séquence Dns cette séquence, on introduit une sitution nouvelle en proilité : l univers Ω ssocié à une expérience létoire est formé d une infinité d éléments.

2 Exemple Plus précisément, on v étudier des vriles létoires X, fonctions de Ω dns R, les vleurs prises pr l vrile létoire X formnt un intervlle I de R. L expérience létoire consiste à prendre un point M sur un demi-cercle. L univers Ω est lors formé pr l infinité des points du demi-cercle. On considère l vrile létoire X qui, à un point M du demi-cercle, ssocie l mesure en degrés de l ngle AOM. [ ] et l Les vleurs prises pr l vrile létoire X forment l intervlle 0 ; 80 nottion ( 0 X 45) désigne l ensemle des points de l rc AC. M C B O 45 A Il est donc nécessire d introduire de nouveux outils dns le cours de proilité. On étudie deux exemples importnts de lois suivies pr des vriles létoires : les lois uniformes et les lois exponentielles. Le troisième exemple u progrmme, les lois normles, ser trité dns une utre séquence vec ses conséquences en sttistiques. Tous les événements étudiés dns cette séquence seront décrits pr l intermédiire de vriles létoires et d intervlles. Dns d utres documents vous pouvez trouver d utres écritures sns vrile létoire, pr exemple P( [ c ; d] ) (c et d étnt deux nomres réels). Dns ce cs, l univers est lui-même un intervlle I contennt les nomres c et d et l intervlle I est muni directement d une loi de proilité. Même dns ce cs, nous utiliserons ici une vrile létoire X pour désigner le résultt otenu pr l expérience létoire. On insi : P( [ c ; d] )= P( X [ c ; d] )= P( c X d) et nous n utiliserons ps l première écriture. 2

3 Prérequis A Sttistiques Une série sttistique porte sur un crctère (tille, poids, sport prtiqué ). Le crctère est qulittif (sport prtiqué) ou quntittif s il peut être ssocié à un nomre (tille, poids ). On dit qu une série sttistique est à crctère quntittif discret (du ltin discretus : sépré) qund les vleurs prises pr le crctère sont des nomres isolés (pr exemple le nomre de frères et sœurs). Dns ce cs, l série sttistique est représentée pr un digrmme en âtons. On dit qu une série sttistique est à crctère quntittif continu qund on connît seulement les effectifs ou les fréquences des termes de l série pprtennt à des intervlles (pr exemple l tille des personnes inscrites à un clu sportif). Ces intervlles sont ussi ppelé «clsses». Une série sttistique à crctère quntittif continu est représentée pr un histogrmme des effectifs ou des fréquences. Dns un histogrmme des fréquences, les fréquences des clsses sont représentées pr les ires des rectngles de l histogrmme, l ire totle mesurnt (soit 00 %). Pour lire l histogrmme, on indique l fréquence d une ire de référence. Exemple Une série sttistique à crctère quntittif continu est représentée pr l histogrmme ci-dessous. Donner les clsses et l fréquence de chque clsse. fréquence : 5 % Solution Clsses 2 ; [ ] [ 2; 2, 5] [ 25, ; 4] [ 4; 5, 5] [ 55, ; 6] Fréquences 0, 0, 0,45 0,3 0,05 3

4 Exemple Pour déterminer l moyenne et l écrt-type, on utilise les centres des clsses, c est-à-dire qu on remplce l série à crctère continu pr une série à crctère discret, chque clsse formée d une infinité de vleurs étnt remplcée pr une seule vleur. On dit que l on «discrétisé» l série sttistique. Clculer l moyenne de l exemple précédent. Milieux des clsses : x i,5 2,25 3,25 4,75 5,75 Fréquences : f i 0, 0, 0,45 0,3 0,05 Solution On : i = 5 x = x ii f =, 5 0, + 2, 25 0, + 3, 25 0, 45+ 4, 75 0, 3+ 5, , = 355,. i = B Proilité Vous devez voir présent à l esprit l ensemle des cours de proilité précédents : univers muni d une loi de proilité, vriles létoires, proilité conditionnelles. Même si le pssge du discret u continu, des ensemles finis ux intervlles de R, modifie certines propriétés, les idées principles pour modéliser les situtions sont très voisines. Rppelons seulement quelques éléments concernnt les vriles létoires, pour l instnt dns un univers ynt un nomre fini d éléments. Définition On dit qu on définit une vrile létoire X sur l ensemle Ω lorsque, à chque éventulité ω de l expérience létoire, on ssocie un nomre réel X ( ω ) : ω X ( ω). Nottion Pr exemple, on tire des lettres plcées dns un sc. On lors Ω={,, c,...,z} et on peut choisir l vrile létoire qui ssocie à chque voyelle, 2 à k, q, w, z (lettres rres en frnçis) et 0 ux utres lettres. Les événements sont des sous-ensemles de Ω. Précisons à l ide de l exemple l nottion utilisée pour les événements définis à l ide d un vrile létoire X. Dns l exemple cité ci-dessus, l événement{, e, i, o, u, y} ser ussi noté ( X = ). On noter de même ( X = 2 ) l événement { k, q, w, z} et ( X = 0 ) l événement {, c, d, f, g, h, j, l, m, n, p, r, s, t, v, x}. Dns le cs générl l nottion ( X = ) où est un nomre réel désigne l événement { ω Ω / X( ω) = }, c est-à-dire l ensemle des éventulités ω pour lesquelles l vrile létoire X prend l vleur. On noter de fçon nlogue les événements où X intervient. 4

5 Le trvil sur les vriles létoires ne fit intervenir que des spects numériques, l univers Ω pprît peu directement. Définition L loi de proilité d une vrile létoire X est donnée pr : l ensemle des vleurs x, x 2,..., x n { } prises pr l vrile létoire ; les proilités P( X= x i ) pour toutes les vleurs x i prises pr X (on rppelle que i= n P( X = x i )= ). i = Définition L espérnce de l vrile létoire X est le nomre, noté E(X), défini pr : E( X) = xpx ( = x) + xpx 2 ( = x2) xpx r ( = xr ) i= n = x p+ x2p xrpr = xipi. i = C Intégrtion Aire sous une coure Pr définition, l ire du domine sous l coure d une fonction continue positive définie sur un intervlle [ ; ] pour mesure ft ()d t en unités d ire. y u x 0 5

6 Cs prticulier Soit f une fonction continue sur un intervlle I. Quel que soit α élément de I, on α ft ()dt= 0. α Intégrle et primitive Soit f une fonction continue sur un intervlle I et F une de ses primitives sur I, les nomres et sont dns I. On ft () dt Ft () F ( ) F ( ). = [ ] = En prticulier, u étnt une fonction dérivle sur I telle que u est continue sur I, lors : = u t ut () t ut () u ( ) u ( ) () e d e = e e. 6

7 2 Loi de proilité à densité sur un intervlle A Ojectifs du chpitre On se plce dns un univers ynt un nomre infini d éléments. Cet infini ne permet ps d utiliser l définition d une loi de proilité rencontrée dns les cours précédents où l univers étit fini (il suffisit de donner les proilités des événements élémentires et de vérifier que l somme de ce nomre fini de termes positifs étit égle à ). On définit ici des lois de proilité de vriles létoires X pouvnt prendre toutes les vleurs d un intervlle I de R. On donne quelques propriétés élémentires de certines de ces vriles létoires : les vriles létoires à densité sur un intervlle. B Activité Pour déuter Des équtions interviennent dns l sitution de cet exercice, mis il ne s git ps de les résoudre. 3 2 L éqution x 0, 79x 0, 722x+ 2, 276 = 0 possède une seule solution entière (c est 3). Quelle est l proilité d otenir cette solution en lnçnt un dé cuique non truqué? un dé dodécédrique non truqué? (Rppel : un dé dodécédrique douze fces numérotées de à 2.) 3 2 L éqution x + 0, x +, x 0, = 0, notée (E), possède une unique solution d dns R, d = 0, ) Justifier qu il y 0 0 nomres décimux qui s écrivent vec u plus neuf chiffres près l virgule dns l intervlle 0;. [ [ [ ; [ un nomre déciml s écrivnt vec u ) On choisit u hsrd dns 0 plus neuf chiffres près l virgule, quelle est l proilité qu il soit égl u nomre d solution de l éqution (E)? 3 ) Montrer que l éqution x + x = 0 possède une solution unique dns R et que cette solution, qui est notée α, pprtient à l intervlle 0;. [ ] ) Soit n un entier nturel non nul. On prtge l intervlle [ 0; ] en n intervlles de même mplitude n. 7

8 Activité 2 On choisit u hsrd un de ces intervlles, quelle est l proilité qu il contienne l solution α? [ ] quelle vleur pro- { } c) On choisit u hsrd un nomre X de l intervlle 0;, posez-vous pour l proilité de l événement X = α? On interrogé des clients d un mgsin en leur demndnt dns lquelle des clsses proposées se trouvit le montnt de leurs chts (en ). On otenu le tleu suivnt : Montnt des chts (en ) [0 ; 20[ [20 ; 40[ [40 ; 60[ [60 ; 00[ [00 ; 40[ [40 ; 200] Fréquence 0,09 0,20 0,22 0,24 0,6 0,09 On représente cette série sttistique pr un histogrmme dns un repère orthogonl. Pour construire les rectngles de l histogrmme, on esoin de leurs dimensions : remplir le tleu suivnt. Montnt des chts (en ) Amplitude de l clsse = lrgeur du rectngle [0 ; 20[ [20 ; 40[ [40 ; 60[ [60 ; 00[ [00 ; 40[ [40 ; 200] 20 Aire du rectngle 0,09 Huteur du rectngle Quelle est l grdution mximle indiquée sur l xe des ordonnées? Les fréquences sont-elles indiquées sur l xe des ordonnées? Construire l histogrmme. C Cours. Définitions L ctivité 2 permis d pprofondir l représenttion d une série sttistique pr un histogrmme. Les fréquences sont représentées pr les ires des rectngles. Les huteurs des rectngles sont les densités de fréquence, ces densités sont indiquées sur l xe des ordonnées. Les densités de fréquences sont positives, elles sont constntes sur chcun des intervlles formnt les clsses de l série sttistique. Elles définissent une fonction constnte pr morceux. 8

9 Pr nlogie, en proilité, on utiliser des fonctions, continues à vleurs positives, et les proilités des intervlles seront données pr des ires, c est-à-dire pr des intégrles. Définition On dit qu une fonction f, définie sur un intervlle I de R, est une densité de proilité sur I lorsque : l fonction f est continue sur I ; l fonction f est à vleurs positives sur I ; l ire sous l coure de f est égle à u... [ ] L troisième condition correspond à plusieurs cs différents suivnt l nture de l intervlle I. Dns le tleu ci-dessous, et désignent des nomres réels. [ [ I = ; I = ; + ft ()d t= x lim ft ( ) x + d t = O O ] ] ] [ I = ; I = ; + lim ft ( ) d t = 0 x y y lim ft ( ) dt + lim ft ( ) t y y d = x + 0 0,5 O O 9

10 Exemple Solution Montrer que l fonction f définie sur 0; de proilité sur 0;. [ ] [ ] pr f t t Même question pour l fonction g définie sur ;+ ()= est une densité [ [ pr gt L fonction f est une fonction ffine continue sur 0;. () =. 2 t [ ] Pour tout t de [ 0 ] on t, d où 2t , donc l fonction f est une fonction positive. 2 Comme ( 2t + 2) dt = t + 2t ( 2) 0, 0 = + = l troisième condition est 0 vérifiée, l fonction f est ien une densité de proilité sur 0; 2. [ ] ;, y = f(t) j O i L fonction g est une fonction rtionnelle continue sur son ensemle de définition et elle est à vleurs positives. x Comme on lim d t = lim =, l troisième condition est x + 2 t x + x vérifiée, l fonction g est ien une densité de proilité sur ; +. [ [ densité de proilité y = g(t) O 2 3 Remrque Dns le cs de cet exemple, on oserve que l fonction f prend des vleurs supérieures à sur l intervlle [ 0; 0, 5] : c est possile cr f( x) n est ps une proilité, c est une densité de proilité. On considère une expérience létoire et un univers ssocié Ω, muni d une loi de proilité P. Soit X une vrile létoire, fonction de Ω dns R, qui, à chque issue ω, ssocie un nomre réel X ( ω ) d un intervlle I de R. 0

11 Définition 2 Soit f une fonction, définie sur I, qui est une densité de proilité sur I. On dit que l vrile létoire X suit l loi de densité f sur l intervlle I (ou est «à densité f sur I») lorsque, pour tout intervlle J inclus dns I, l proilité de l événement ( X J) est l mesure, en unités d ire, de l ire du domine : M x ; y ; x J et 0 y f( x). { ( ) } Conséquence Remrque Exemple 2 Solution On : P( X I) =. En effet, l mesure de l ire sous l coure de l fonction de densité f est égle à. En générl, un clcul de proilités se rmèner donc à un clcul d intégrle. Soit f l fonction densité de proilité de l exemple et soit X une vrile létoire ynt pour densité l fonction f sur [ 0; ]. On ppelle J l intervlle [ 03, ; 08, ]. Déterminer P( X J) c est-à-dire P( 03, X 08, ). On mesure l ire sous l coure sur l intervlle J. y = f(t) j O 0,3 0,8 i On : 08, 2 08, P( 03, X 08, )= 2t + 2 t = t + 2t d 03, 03, 2 2 = ( 08, , ) 03, , = 096, 05, = 0,45. ( ) Remrque On dmet que l on peut prolonger l loi de proilité à toute union finie d intervlles de telle sorte que l on it l propriété : Propriété si J et J sont deux unions finies d intervlles inclus dns I, on : ( ) ( ) ( ) P X J J = P X J + P X J.

12 2. Propriétés j O c d i Propriété 2 Soit X une vrile létoire qui suit l loi de densité f sur l intervlle I, on les propriétés suivntes. d ) Pour tout intervlle J = [ c ; d] de I, on : P( c X d)= f() t dt. c ) Pour tout réel α de I, on : P X =α = 0. c) Pour tous réels c et d de I, ( ) P( c X d)= P( c< X d)= P( c X< d)= P( c< X< d). ( ) ( ) d) Soit J un intervlle inclus dns I, on : P X J = P X J. Démonstrtion ) Pour tout intervlle J = [ c ; d] inclus dns I, l proilité de l événement ( X J) = ( c X d) est l mesure, en unités d ire, de l ire du domine { M ( x ; y) ; x [ c ; d] et 0 y f( x) }, on donc ien : d P( c X d)= f() t dt. c α ) Pour tout réel α de I, on : P( X = α)= f () t d t = 0. α c) Pour tous réels c et d de I, l événement ( c X d) est l réunion des deux événements incomptiles ( X = c) et ( c < X d). On : P( c X d)= P( X= c) + P( c< X d).comme P( X = c)= 0 d près l propriété précédente, on ien P( c X d)= P( c< X d). Les deux utres églités se démontrent de l même fçon. d) On P( X I) =, soit P( X J J) =. D près l propriété, on peut écrire PX ( J J) = PX ( J) + PX ( J) = donc P( X J) = P( X J ). L définition suivnte générlise l définition des proilités conditionnelles qui été donnée dns le cs d une loi de proilité dns un univers fini. 2

13 Définition 3 ( ) Soit I un intervlle de I tel que P X I 0 et soit J un utre intervlle de I. On définit l proilité conditionnelle PX I ( X J) pr l églité : P( X J I' ) PX I ( X J) =. P X I' ( ) Exemple 3 Solution Soit X une vrile létoire de densité f définie sur 0; (exemple ). Déterminer P( 0 X 0, 5)( 04, X 06, ). [ ] [ ] [ ] pr f x x [ ] On J= 0,4;0,6 et I = 0;0,5, donc J I = 0,4 ;0,5. Alors : 0,5 0,4 ( ) PX ( J I') = P(0,4 X 0,5) = 2t+ 2 dt 2 0,5 = t + 2t = 0,75 0,64 = 0,. 0,4 De même : 0,5 PX ( I) = P(0 X 0,5) = ( 2t+ 2) dt 0 2 0,5 = t + 2t = 0,75 0 = 0, , D où P( 0 X 0, 5)( 04, X 06, ) = 0, , ( )= Espérnce d une vrile à densité X Définition 4 L espérnce E( X ) d une vrile létoire à densité f sur ; pr : E( X) = xf( x) dx. [ ] est définie Remrque On note que cette définition constitue un prolongement dns le cdre continu de l espérnce d une vrile létoire discrète prennt un nomre fini de vleurs. En effet, dns le cs discret fini, en clsse de Première, on défini l espérnce pr : E( X) = xpx ( = x) + xpx 2 ( = x2) xpx r ( = xr ) i= n = x p+ x2p xrpr = xipi. i = Dns le cs où l vrile létoire est à densité, on ne peut ps fire une somme d un nomre infini de termes. Mis le terme f( x)dx peut s interpréter comme 3

14 l ire d un rectngle de côtés dx et f( x) (vec dx «infiniment petit») fournissnt en quelque sorte l proilité que l vrile X prenne l vleur x. Dns ces conditions l intégrle xf( x) d x correspond à une «somme» de produits x f( x)d x (d illeurs le symole se lit «intégrle» ou «somme»). Remrque Dns les cs où l intervlle I une orne infinie, on utiliser une limite d intégrle qund on le pourr. D Exercice Exercices d pprentissge Pour chcune des fonctions représentées grphiquement ci-dessous, dire s il s git d une densité de proilité sur l intervlle I en justifint votre réponse. 2 /3 O 3 I = [ ; 3] O 0,5 I = [0 ; 0,5] 2/3 0,5 /3 O 0,5 I = [0 ; 2],5 2 O I = [ ; ] Exercice 2 [ ] pr f t t Vérifier que l fonction f définie sur 0; ()= 4 3 est une densité de proilité. Représenter l fonction f dns un repère orthogonl. Soit X une vrile létoire ynt pour densité f. ( ) Clculer cette ) Indiquer sur le grphique l proilité P 05, X 075,. proilité. 4

15 Exercice 3 Exercice 4 ) Déterminer un nomre m tel que P( X m)= 05,. [ [ Peut-on déterminer un réel k positif tel que l fonction f définie sur ;+ k pr f()= t soit une densité de proilité sur t 3 [ ;+ [? k Même question pour l fonction g définie sur [ ;+ [ pr gt () =. t [ [ définie pr gt Soit g l fonction de densité de proilité sur ;+ ()= 2 t (deuxième fonction de l exemple ). Soit X une vrile létoire qui pour densité g. Clculer P( X 0). Que représente le nomre P( X 0) ( X 5 )? Clculer ce nomre. 5

16 3 Lois uniformes A B Ojectifs du chpitre Dns ce chpitre, on étudie les lois uniformes qui correspondent ux lois équiréprties du cs fini et qui sont très importntes. Pour déuter On souhite donner un sens précis à l expression «prendre un nomre u hsrd». Il fut d ord dire dns quel intervlle on prendr ce nomre. Risonnons vec l intervlle [ 0; ]qui nous permettr ensuite d order le cs des intervlles ;. [ ] On cherche donc une loi de proilité à densité pour l vrile X correspondnt à l expérience létoire qui fournit un nomre réel «u hsrd» compris entre 0 et. Tout d ord, remrquons que, d près le chpitre précédent, pour tout réel α, on P( X= α) = 0 lorsque l vrile létoire X suit une loi à densité. Il est nturel de penser que, si on choisit un nomre u hsrd, les proilités , ; sont égles. P( X [ ;, ]) et P( X [ ]) Comme ( [ ]) ( [ ]) ( [ ]) P( X [ ]) ( ) P X 0;0,5 + P X 0,5; = P X 0; P X = 0,5 = 0; =, on souhite donc que : P( X [ 0; 0, 5] )= P( X [ 0, 5; ] )=. 2 ( [ ]) ( [ ]) ( ) ( De même, on souhite que P X 0 ;0,25 = P X 0,25 ;0,5 [ ] [ ] = P X 0,5 ; 0,75 = P X 0,75 ; Il semle intuitivement que, pour l loi cherchée, plus un intervlle une grnde mplitude (longueur), plus il est prole que le nomre pris u hsrd lui pprtienne. Si l mplitude de l intervlle I est deux fois celle de l intervlle I, on souhite que P( X I ) = 2P( X I), et que l proilité que le nomre pris u hsrd pprtienne à un intervlle soit proportionnelle à l mplitude de cet intervlle. Comme l mplitude de l intervlle [ 0; ] est égle à, on outit finlement à P( c X d)= d c, c et d étnt des nomres réels de l intervlle [ 0; ], vec c d. C est effectivement cette églité qui v définir l loi uniforme 6

17 et nous verrons dns le cours qu il est possile de l présenter sous un utre spect. Comme l loi équiréprtie dns le cs où l vrile létoire prend un nomre fini de vleurs, l loi uniforme intervient dns de très nomreuses situtions. Pour fire des simultions, vous vez déjà utilisé votre clcultrice ou un tleur cr on y trouve des générteurs de nomres «létoires». Les nomres otenus sont prfois ppelés «pseudo-létoires» pour exprimer le fit qu ils sont construits pr des processus lgorithmiques déterministes. Il s git d imiter le hsrd le mieux possile. Créer de tels générteurs est un vri défi. L copie d écrn ci-dessous illustre l réprtition de nomres «létoires» fournis pr le tleur OpenOffice dns les dix intervlles ynt pour ornes : 0 ; 0, ; 0,2 ; ; 0,9 ;. E Les nomres sont dns l colonne A. Pour visuliser les résultts, un grphique est donné. Il s git d un digrmme en âtons cr le logiciel ne fit ps d histogrmmes (u sens mthémtiques). En utilisnt l touche F9 vous pouvez renouveler le tirge des nomres «létoires» (ttention : l xe des ordonnées du digrmme en âtons ne commence ps toujours à 0 mis à une vleur plus grnde, ce qui ugmente l pprence de l irrégulrité des fréquences). On oserve que les fréquences sont toutes proches de 0,0 (0 %) : c est ce qui est ttendu d un générteur de nomres létoires. 7

18 C Cours. Loi uniforme sur 0; Nous venons de voir ci-dessus que nous souhitons otenir une loi d une vrile létoire X où l proilité que X pprtienne à un intervlle, inclus dns [ 0; ], est égle à l mplitude de l intervlle. Si on cherche à exprimer cette condition pour voir une loi à densité, on doit fire intervenir des intégrles et on se souvient de l intégrle d une fonction constnte. On peut ussi penser qu une fonction de densité constnte exprime ien l notion d uniformité. L définition qui est donnée utilise ce point de vue et permettr de considérer l espérnce de cette loi. Propriété 3 L fonction constnte f définie sur 0; proilité. [ ] pr f x ( )= est une densité de Démonstrtion Une fonction constnte est continue sur son ensemle de définition, l fonction f est positive et dx = [ x] = 0= donc les trois conditions sont vérifiées, l 0 0 fonction f est ien une densité de proilité. Définition 5 [ ] On dit qu une vrile létoire X suit l loi uniforme sur l intervlle 0; si s densité est l fonction définie sur 0; ( ) =. [ ] pr f x O c d 8

19 Propriété 4 [ ] inclus dns [ 0 ] on : Pour tout intervlle c ; d ;, P( X [ c ; d] )= P( c X d)= d c. Démonstrtion Exemple 4 Solution d d En effet, P( X [ c ; d] )= P( c X d)= dt =[] t = d c. c c Sur l figure, le rectngle dont on mesure l ire pour lrgeur d c et pour huteur. On choisit un nomre u hsrd dns 0;. compris entre 0,2 et 0,25? [ ] Quelle est l proilité qu il soit Comme l énoncé précise que le nomre est choisi «u hsrd», l vrile létoire X, qui modélise ce choix, suit l loi uniforme sur l intervlle [ 0; ]. On lors P( 02, X 025, )= 025, 02, = 005,. On rppelle que P( 02, X 025, )= P( 02, X < 025, )= P( 02, < X 025, )= P( 02, <X < 025, ), donc l expression «compris entre 0,2 et 0,25» peut être interprétée vec des inéglités strictes sns chngement du résultt. 2. Loi uniforme sur [ ; ] Comme sur [ 0; ]on cherche une loi pour lquelle un intervlle une proilité proportionnelle à son mplitude et pour lquelle l densité est constnte. Propriété 5 L fonction constnte f définie sur ; de proilité. [ ] pr f x ( )= est une densité Démonstrtion L fonction f est ien continue à vleurs positives. On : t t d = = =. Les trois conditions sont vérifiées, l fonction f est ien une densité de proilité. 9

20 Définition 6 Une vrile létoire suit une loi uniforme sur l intervlle ; densité est l fonction f définie sur [ ; ] pr f ( x ) =. [ ] si s 0,25 = c O d = 3 Propriété 5 [ ] inclus dns [ 0 ] on : Pour tout intervlle c ; d ;, d c P( X [ c ; d] )= P( c X d)=. Exemple 5 Solution Démonstrtion On :P( c X d)= d d t t d c d c = c = c = d. Sur l figure, le rectngle dont on mesure l ire pour lrgeur d c et pour huteur 025 =,. On choisit un nomre réel u hsrd dns 0 ; 00. soit compris entre 90 et 00? [ [ Quelle est l proilité qu il Comme l énoncé précise que le nomre est choisi «u hsrd», l vrile létoire X, qui modélise ce choix, suit l loi uniforme sur l intervlle [ 0 ; 00[, on lors P( 90 X < 00)= =,. 3. Espérnce d une loi uniforme Rppelons l définition de l espérnce d une loi à densité f sur [ ; ] : E( X) = xf( x) dx. 20

21 Propriété 7 L espérnce E( X ) d une vrile létoire X suivnt une loi uniforme sur [ ; ]est telle que : E( X ) = +. 2 Démonstrtion 2 On : E( X ) d x x x 2 2 = = ( ) = + = 2 2( ) 2. Cs prticulier L espérnce de l loi uniforme sur [ 0; ] vut donc 2. D Exercice 5 Exercices d pprentissge Le fcteur vient déposer le courrier dns l oîte ux lettres du lycée entre 0 heures et 0 h 30. Le fcteur psse toujours pendnt cette plge horire et on oservé qu il peut rriver à tout instnt vec les mêmes chnces. L vrile létoire F désigne l heure d rrivée du fcteur en minutes près 0 heures (pr exemple ( F = 8 ) désigne l événement «le fcteur psse à 0 h 08»). Comment peuton modéliser l vrile létoire F (vleurs prises pr F, densité)? Clculer l proilité que le fcteur psse : ) à 0 h 25 exctement ; ) entre 0 h 5 et 0 h 20 ; c) vnt 0 h 20 ; d) près 0 h 5. Quelle est l heure moyenne de son pssge? Exercice 6 À prtir de 7 heures, le trm psse toutes les dix minutes à l rrêt qui se trouve devnt l mison d Ayn. Le moment de l rrivée d Ayn à l rrêt du trm est modélisé pr l vrile létoire X exprimée en minutes près 7 heures. On suppose que X suit l loi uniforme sur l intervlle 0; 20. [ ] Quelle est l proilité qu Ayn ttende le trm moins de deux minutes? Quelle est l proilité qu Ayn ttende le trm plus de cinq minutes? Exercice 7 [ ] Déterminer l loi Soit X une vrile létoire suivnt l loi uniforme sur 0;. de proilité de l vrile létoire T où T est l première décimle de X. 2

22 4 Lois exponentielles A Ojectifs du chpitre Dns ce chpitre, on étudie les vriles létoires qui suivent une loi exponentielle sur 0; +. [ [ Ce sont des lois à densité. Ces lois sont utilisées concrètement pour étudier des systèmes non soumis à des phénomènes d usure ou pour modéliser des situtions où l rdio-ctivité intervient. B Activité 3 Pour déuter Un lortoire de recherche inventé des petits roots et étudié leur solidité. On oserve que, chque semine, 5 % des roots toment en pnne et ne peuvent être réprés. On fit fonctionner 000 roots de ce type pendnt trois mois. Fire un tleu indiqunt le nomre (en vleur pprochée à l entier inférieur le plus proche) de roots en fonctionnement u déut de chque semine pendnt les 2 premières semines. On choisit u hsrd un root. Déterminer l proilité : ) qu il soit en fonctionnement plus de trois semines ; ) qu il soit en fonctionnement plus de cinq semines ; c) qu il soit en fonctionnement plus de cinq semines schnt qu il fonctionné plus de trois semines ; d) qu il soit en fonctionnement plus de deux semines. e) Comprer les résultts des questions c) et d). Imginer des questions qui mènent à l même oservtion que celle fite en e). 22

23 C Cours. Définition d une loi exponentielle Propriété 8 Soit λ un nomre réel strictement positif. L fonction f définie sur I = 0;+ proilité. [ [ pr f t t ()= λe λ est une densité de Démonstrtion Montrons que f vérifie les trois conditions. Pr composition, l fonction f est continue sur [ 0; + [. L fonction f est à vleurs positives sur I cr λ est positif et l fonction exponentielle positive. Dns l exercice V de l séquence 7 (Intégrtion), on montré que x t lim λe λ dt =, donc l ire sous l coure de f est égle à u.. x + 0 Définition 7 Soit λ un nomre réel strictement positif. Une vrile à densité X suit l loi exponentielle de prmètre λ si s densité est l fonction f définie sur 0;+ ( ) = λe λ x. [ [ pr f x O Remrque Le prmètre λ est égl à l ordonnée du point de l coure représentnt l λ 0 densité situé sur l xe des ordonnées cr f ( 0) = λe = λ. 23

24 Propriété 9 Quels que soient les nomres réels positifs c et d, on : d λt λc λd P( X [ c ; d] ) = P( c X d) = λe dt = e e. c Démonstrtion Remrque Comme l fonction t λe t pour primitive l fonction t e λ (e u est une primitive de u e u ), on : d λt t d d c c d P( c X d) = λ e dt = λ e e e e e. c = ( λ ) ( λ ) λ λ c On le même résultt si les inéglités sont strictes. Cs prticulier Pour tout réel positif, on : P( X ) = e λ. En effet, pour tout réel, on : λ 0 λ λ PX ( ) = P( 0 X )= e e = e. Propriété 0 Pour tout réel positif, on : P( X ) = e λ. Démonstrtion Remrque Exemple 6 D près l propriété 2 du chpitre 2, P( X ) = PX ( < ) cr les événements ( X ) et ( X < ) sont des événements contrires : ( X ) = ( X < ). D près le cs prticulier précédent, on otient : λ λ PX ( ) = PX ( < ) = PX ( ) = e e. ( ) = Il est très utile de connître les formules des propriétés 9 et 0, mis, pour rédiger, il fut refire les clculs u moins une fois dns une copie d exmen. On considère un composnt électronique dont l durée de vie T (en nnées) suit une loi exponentielle de prmètre λ = 008,. Clculer l proilité (à 0 2 près) qu un tel composnt it une durée de vie : égle exctement à 6 ns ; inférieure à 6 ns ; supérieure à 8 ns ; comprise entre 8 et 2 ns. 24

25 Solution P( T= 6) = 0 cr T est une vrile létoire à densité ; 008, 6 048, P( T< 6) = e = e 0, 38; 008, 8 064, P( T 8) = e = e 0, 53; 008, 8 008, 2 064, 096, P( 8 T 2) = e e = e e 0, Espérnce d une loi exponentielle On générlise l définition de l espérnce d une vrile létoire à densité qui été donnée dns le chpitre 2 dns le cs où les vleurs de X forment un intervlle fermé orné I = [ ; ]. Comme ici I= [ 0; + [, on prend une limite. Si l limite est finie, et c est le cs pour les lois exponentielles, on dit que cette limite est l espérnce de l vrile létoire (si l limite n est ps finie, on ne définit ps E( X )). Définition 8 On définit l espérnce E( X ) d une vrile létoire suivnt l loi exponentielle de prmètre λ en posnt : x t E( X) = lim tλe λ dt. x + 0 Propriété L espérnce E( X ) d une vrile létoire suivnt l loi exponentielle de prmètre λ est telle que : E( X ) =. λ Démonstrtion On cherche d ord, sur [ 0; + [, une primitive de l fonction λt t f : t f( t) = λte sous l forme F : t F( t) = ( t+ ) e λ. L fonction F est dérivle sur [ 0;+ [ et λt λt F'( t) = λ( t+ ) e λt ( λ) e. ( ) = ( + ) Pour que l églité f() t = F () t soit vrie pour tout réel t positif, il suffit que = λ = λ, il suffit donc que λ= 0 =, soit que F() t t e λt =. λ λ Ensuite on clcule l intégrle : x x λt t e dt t e λt λ = 0 λ 0 x e x 0 e 0 e x x e x = ( λ ). λ λ λ λ = λ λ 25

26 Et enfin, on étudie l limite qund x tend vers + pr composition. x L fonction x e λ X est l composée de x λ x et de X e, or lim x X λ (λ est strictement positif) et lim e = 0, on peut donc x + X écrire λx lim e = lim X e = 0 pr composition vec X = λ x. x + X On ussi lim λx λ xe = lim X Xe = 0. x + X x λt λx λx On conclut donc lim tλe dt = lim e λxe x + 0 x + λ ( ) = λ et on trouve ien le résultt nnoncé. Remrque On : λ = E( X ). Dns les pplictions, l vrile létoire X désigne souvent l mesure d une grndeur, une unité étnt précisée, pr exemple l heure. Dns ces cs, le prmètre λ est exprimé dns l unité inverse, pr exemple l «h -». 3. Propriété de durée de vie sns vieillissement On montre ici l propriété nlogue à celle qui été rencontrée dns l ctivité 3. Propriété 2 Une vrile létoire X qui suit une loi exponentielle est telle que, pour tous réels x et h positifs, on PX t ( X t+ h)= P( X h). Démonstrtion PX ( t+ h) ( X t) Pr définition, on : PX t ( X t + h) =. P X t ( ) Comme l événement ( X t + h) est inclus dns l événement ( X t), l intersection des événements devient ( X t + h) ( X t) = ( X t + h). D où : ( ) P X t + h λ( t+ h) e PX t ( X t + h) = =. P( X t) λt e h On simplifie le quotient d exponentielles : PX t ( X t+ h)= e λ. On reconnît P( X h), d où PX t ( X t+ h)= P( X h). Cette propriété est ppelée propriété de durée de vie sns vieillissement. En effet, si on interprète X comme l durée de vie d un ppreil, cette églité signifie que l proilité que l ppreil fonctionne encore u-delà du temps t+ h schnt qu il fonctionne encore à l instnt t est égle à l proilité que l pp- 26

27 [ ] reil fonctionne u-delà du temps h. Cel signifie que, pendnt l intervlle 0; t, l ppreil ne s est ps usé puisque son fonctionnement à prtir de l instnt t est identique à celui qu il vit à prtir du temps 0. Exemple 7 Solution L durée de vie X (en nnées) d un ppreil électrique suit une loi exponentielle de prmètre λ = 0, 05. Quelle est l proilité qu il fonctionne plus de 8 ns schnt qu il déjà fonctionné pendnt 5 ns? Un ppreil du même modèle fonctionne déjà depuis 7 ns, quelle est l proilité qu il fonctionne encore u moins pendnt 3 ns? ( ) On veut déterminer PX 5 X 8.Puisque X suit une loi exponentielle qui est sns vieillissement, on clcule 8 5= 3 et on PX 5 ( X 8)= P( X 3 ). 0, , 05 Donc PX 5 ( X 8)= P( X 3)= e = e 0, 985. Sous cette forme l question possède une réponse encore plus simple. Comme l loi de X est sns vieillissement, l question «quelle est l proilité qu il fonctionne encore u moins pendnt 3 ns?» possède l même réponse que l question «quelle est l proilité qu il fonctionne u moins pendnt 3 ns?» ou encore «déterminer PX ( 3 )». On trouvé P( X 3) 0, 985. D Exercice 8 Exercices d pprentissge Une vrile létoire X suit une loi exponentielle de prmètre 0,4. Représenter grphiquement l fonction f, densité de cette vrile létoire. ( ) Hchurer le domine dont l ire mesure P X 05, et le domine dont l ire mesure P( X 2). Clculer ces deux proilités. Exercice 9 L durée de fonctionnement X (en heures) d une mpoule électrique suit une loi exponentielle de prmètre 0,000. Quelle est l proilité qu une mpoule fonctionne plus de 200 heures? Quelle est l durée de fonctionnement qu elle peut tteindre vec une proilité égle à 0,95? Quelle est l durée moyenne de fonctionnement d une telle mpoule? Quelle est l proilité qu une mpoule fonctionne plus de 500 heures schnt qu elle déjà fonctionné pendnt 000 heures? 27

28 Exercice 0 Exercice Prtie A Prtie B Pour chcune des cinq propositions suivntes, indiquer si elle est vrie ou fusse et justifier votre réponse. L vrile létoire X modélise l durée de fonctionnement d un ppreil électrique. L loi de X est une loi exponentielle de prmètre λ et les informtions otenues pr une ssocition de consommteurs indiquent une durée moyenne de 8 ns. On λ = 0, 25. L proilité pour que l ppreil fonctionne moins de 8 ns est égle à e 8. L proilité pour que l ppreil fonctionne pendnt u moins 6 ns est égle à e 2. L proilité pour que l ppreil fonctionne entre 8 et 2 ns est égle à 0,45 à 0 3 près. L proilité que l ppreil fonctionne encore u out de 2 ns schnt qu il déjà fonctionné pendnt 8 ns est égle à e. Rdioctivité L durée de vie d un tome d un corps rdioctif est modélisée pr une vrile létoire X suivnt une loi exponentielle de prmètre λ. On ppelle demi-vie le nomre T tel que P( X T)= P( T X). Déterminer le nomre T en fonction de λ. Le plutonium 239 une demi-vie d environ ns, en déduire une vleur pprochée du coefficient λ correspondnt (l unité de temps est l nnée). L iode 23 une demi-vie de 3 heures, en déduire une vleur pprochée du coefficient λ correspondnt (l unité de temps est l heure). Le coefficient de l loi exponentielle de l durée de vie X d un tome d iode 3 est égl à 0,086 en jours -. Clculer l demi-vie de l iode 3. Clculer l proilité qu un tome d iode 3 se désintègre : pendnt les deux premières semines d oservtion ; pendnt le premier mois. Quelle est l durée moyenne de désintégrtion d un tome d iode 3? 28

29 5 Synthèse A de l séquence Synthèse du cours. Lois de proilité à densité Définition On dit qu une fonction f, définie sur un intervlle I de R, est une densité de proilité sur I lorsque : f est continue sur I ; f est à vleurs positives sur I ; l ire sous l coure de f est égle à u.. [ ] [ [ I = ; I = ; + ft ()d t= lim x ft ( ) d t = x + O O ] ] ] [ I = ; I = ; + lim 0 x ft ( ) d t = lim ft ( ) t lim ft ( ) t y y d + y y d = x + 0 0,5 O O 29

30 Définition On considère une expérience létoire et un univers ssocié Ω, muni d une loi de proilité P. Soit X une vrile létoire, fonction de Ω dns R, qui ssocie à chque issue un nomre réel d un intervlle I de R. Soit f une fonction, définie sur I, qui est une densité de proilité sur I. On dit que l vrile létoire X suit l loi de densité f sur l intervlle I (ou est «à densité f sur I») lorsque, pour tout événement J inclus dns I, l proilité de l événement ( X J) est l mesure, en unités d ire, de l ire du domine : M x ; y ; x Jet 0 y f( x). { ( ) } Conséquence Remrque Remrque On : P( X I) =. En générl, les proilités seront clculées pr des intégrles. On dmet que l on peut prolonger l loi de proilité à toutes unions finies d intervlles de telle sorte que l on it l propriété : Propriété Si J et J sont deux unions finies d intervlles inclus dns I, on : ( ) ( ) ( ) P X J J = P X J + P X J. Propriété Soit X une vrile létoire qui suit l loi de densité f sur l intervlle I, on les propriétés suivntes. d ) Pour tout intervlle J = [ c ; d] de I, on : P( c X d)= f( x) dx. c ) Pour tout réel α de I, on : P X =α = 0. ( ) c) Pour tous réels c et d de I, P( c X d)= P( c< X d)= P( c X< d)= P( c< X< d). ( ) ( ) d) Soit J un intervlle, on : P X J = P X J. Définition ( ) Soit I un intervlle de I tel que P X I 0 et soit J un utre intervlle de I. On définit l proilité conditionnelle PX I ( X J) pr l églité : ( ) ( ) P X J I PX I ( X J) =. P X I 30

31 Définition L espérnce E( X ) d une vrile létoire à densité f sur ; E( X) = xf( x) dx. [ ] est définie pr : 2. Lois uniformes Définition [ ] On dit qu une vrile létoire X suit l loi uniforme sur l intervlle 0; si s densité est l fonction définie sur 0; ( ) =. [ ] pr f x O c d Propriété [ ] inclus dns [ 0 ] on : Pour tout intervlle c ; d ;, P( X [ c ; d] )= P( c X d)= d c. Définition [ ] si s den- Une vrile létoire suit une loi uniforme sur l intervlle ; sité est l fonction définie sur [ ; ] pr f ( x ) =. 0,25 = c O d = 3 3

32 Propriété Pour tout intervlle c ; d [ ] inclus dns [ 0; ], on : d c P( X [ c ; d] )= P( c X d)=. Propriété L espérnce E( X ) d une vrile létoire X suivnt une loi uniforme sur [ ; ]est telle que : E( X ) = Lois exponentielles Définition Soit λ un nomre réel strictement positif. Une vrile à densité X suit l loi exponentielle de prmètre λ si s densité est l fonction f définie sur 0;+ ( ) = λe λ x. [ [ pr f x O Propriétés Quels que soient les nomres réels positifs, c et d, on : d λt λc λd P( X [ c ; d] ) = P( c X d) = λe dt = e e c PX ( ) = e λ. PX ( ) = e λ. Définition On définit l espérnce E( X ) d une vrile létoire suivnt l loi exponentielle de prmètre λ en posnt : x t E( X) = lim tλe λ dt. x

33 Propriété L espérnce E( X ) d une vrile létoire X suivnt une i exponentielle de prmètre λ est telle que E( X ) =. λ Propriété Durée de vie sns vieillissement Une vrile létoire X qui suit une loi exponentielle est telle que, pour tous réels x et h positifs, on PX t ( X t+ h)= P( X h). B Exercice I A Exercices de synthèse Le prdoxe de Bertrnd Soit un cercle C de ryon, le côté d un tringle équiltérl inscrit dns ce cercle est lors égl à 3. Le ut de cet exercice est d étudier différentes méthodes pour déterminer l proilité qu une corde du cercle, choisie u hsrd, it une longueur supérieure à O I O I 3 E 3 B C D Première méthode On fixe un point A sur le cercle C. On choisit u hsrd un point M sur le cercle et on considère l corde AM. Quelle est l proilité que l corde AM it une longueur supérieure à 3? (On pourr utiliser les points B et C du cercle tels que le tringle ABC soit équiltérl.) Deuxième méthode Soit O le centre du cercle et D un point du cercle. On choisit u hsrd un point I sur le segment [ OD]. Quelle est l proilité que l corde de milieu I it une longueur supérieure à 3? 33

34 Troisième méthode On choisit u hsrd un point I à l intérieur du cercle. Quelle est l proilité que l corde de milieu I it une longueur supérieure à 3? Commenter les résultts précédents. Exercice II Exercice III Le lortoire de physique d un lycée dispose de composnts électroniques identiques. L durée de vie (ou de fonctionnement) en nnées d un composnt électronique est une vrile létoire notée X qui suit une loi exponentielle de prmètre λ vec λ > 0. Toutes les proilités seront données à 0 3 près. Schnt que PX ( 0) = 0, 286, montrer qu une vleur pprochée à 0 3 près de λ est 0,25. On prendr 0,25 pour vleur de λ dns l suite de l exercice. Clculer l proilité qu un composnt du modèle étudié it une durée de vie inférieure à 6 mois. Schnt qu un ppreil déjà fonctionné 8 nnées, quelle est l proilité qu il it une durée de vie supérieure à 0 ns? Le responsle du lortoire décide de commnder 5 composnts électroniques. On considère que l durée de vie X i, i 5, d un composnt électronique est indépendnte de celle des utres ppreils, c est-à-dire (( ) ( 2 ) ( 5 )) ( ) ( 2 ) ( 5 ) P X X... X c = P X P X... P X c Quelle est l proilité qu u moins un composnt électronique it une durée de vie supérieure à 0 ns? Comien l étlissement devrit-il cheter de composnts électroniques pour que l proilité qu u moins l un d entre eux fonctionne plus de 0 ns soit supérieure à 0,999? Un réprteur de vélos cheté un stock de pneus. On note X l vrile létoire qui donne le nomre de kilomètres prcourus sns crevison pr un pneu. On fit l hypothèse que X suit une loi exponentielle de prmètre λ. 500λ 000λ Montrer que P( 500 X 000) = e e. L proilité qu un pneu crève pour l première fois entre 500 et 000 kilomètres étnt égle à, déterminer l vleur rrondie à 0 4 près du 4 prmètre λ. Exercice IV On considère deux vriles létoire X et Y suivnt toutes les deux, indépendmment l une de l utre, l loi uniforme sur 0;. [ ] On v étudier l vrile létoire S définie pr S = X + Y. Montrer que S prend ses vleurs dns [ 0; 2]. 34

35 On ssocie ux deux vriles létoires X et Y le point létoire M de coordonnées ( X ; Y) dns un repère orthonormé ( O;I, J). L ensemle (C) formé pr les points M est l intérieur du crré OIKJ. Un événement E correspond à un ensemle (E) de points de (C). On dmet que l proilité P(E) de l événement E est telle que P( E)= ire(e), ce qui correspond ire(c) à une loi uniforme sur l ensemle (C).P( E)= ire(e), ce qui correspond à une loi ire(c) uniforme sur l ensemle (C). Représenter (C) et hchurer l ensemle (E) correspondnt à l événement E = ( Y 05, X). Quelle est son ire? Clculer P( Y 05, X) et P( S 05, ). Soit t un nomre réel tel que 0 t, déterminer P( S t). Hchurer l ensemle (G) correspondnt à l événement ( Y 25, X). Montrer que ire(g) = 0, En déduire P( S 25, ). 2 t Soit t un nomre réel tel que t 2, montrer que P( S t) = + 2t. 2 On pose Ft () = PS ( t) sur [ 0; 2]. On dmet que S suit une loi à densité f. Montrer que F = f. Déterminer l expression de f() t suivnt l vleur de t. Vérifier que l fonction f est une densité de proilité sur [ 0; 2]. 35