Thèse Présentée Pour obtenir le diplôme de doctorat en sciences En génie civil Option : structure

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1 République Algérienne Démocrtique et Populire Ministère de l enseignement supérieur et de l recherche scientifique Université Mentouri de Constntine Fculté des sciences et sciences de l ingénieur Déprtement de Génie civil hèse Présentée Pour obtenir le diplôme de doctort en sciences En génie civil Option : structure d ordre :.. Série APPROCHE ORIEEE OBJE DE LA MEHODE DES ELEMES FIIS Pr BELGASMIA MOURAD Soutenue le 3//6. Devnt le jur : Président : CHIKH sr Eddine Pr. Université de Constntine Rpporteur : Guenfoud Mohmed Pr. Université de Guelm Eminteurs: Benmnsour oufik MC. Université de Constntine Zrour sr Eddine MC. Université de Constntine Guenfoud Slh MC. Université de Guelm Belounr Lmine MC. Université de Biskr session 6

2 REMERCIEME Que messieurs les professeurs M.Guenfoud &. Zimermmnn, trouvent ici l epression de toute m grtitude pour leurs ides inestimbles, leur compréhension et leurs encourgements. Je leurs suis très reconnissnt pour l orienttion et le svoir si importnt que j i trouvés en leur noble personne. Je tiens ussi à remercier le professeur Frnçois Fre d voir ccepté de m ccueillir dns son lbortoire de Mécnique des structures et des milieu continus (Lusnne Suisse) et de mettre m disposition tous les moens nécessire pour pouvoir peufiner m recherche. Je tiens ussi à présenter mes remerciements les plus rdents à messieurs les membres de jur d voir ccordé à mon trvil une importnce très encourgente. I

3 ble des mtières ABLE DES MAIERES Remerciements.. Résume. Liste des figures ottions et Smboles... Introduction I II III VI CHAPIRE I : LES LOGICIELS ELEMES FIIS RADIIOELS E LAGAGE FORRA.. Introduction.... Structure de données et rchitecture du progrmme«feap»..... Les structures de bse du Fortrn..... Les structures de données de FEAP...3. Les logiciels de modélistion.3. Evolution des techniques numérique et des modèles phsiques Vriété des logiciels.3.3. Evolution des logiciels...4. Orienttion souhitble pour l nouvelle génértion de logiciels.4.. L rchitecture.4.. Le lngge de modélistion le lngge de codge CHAPIRE II : PROGRAMMAIO ORIEEE OBJE.. Introduction... Rppels sur l progrmmtion orientée objet.... Clsses et objet Encpsultion.. Héritge..3. Polmorphisme...4. Liison dnmique différent tpe de mode de progrmmtion 6 8 CHAPIRE III : LA PROGRAMMAIO ORIEEE OBJE E ELEME FIIS E UE EXECUIO EFFICACE E C Introduction 3.. L rchitecture du concept de l progrmmtion Orientée Objet dns un lngge clssique Les niveu d bstrction en c Progrmmtions en complétnt les libriries 5 5 6

4 ble des mtières CHAPIRE IV : HEORIE D ELASICIE AISOROPE E DES PLAQUES E FLEXIO 4.. otion de continuité et d homogénéité 4.. otion d nisotropie 4.3. Etts de contrintes et de déformtions Reltion contrintes - déformtions 4.5. Smétrie élstique 4.6. héories des plques en fleion 4.6. Définition d une plque 4.6. Hpothèses Conventions de signe pour déplcements et rottions Reltions cinémtiques Chmp de déplcements Chmp de déformtions Reltions contrintes-déformtions Reltions efforts résultnts-déformtions Formultion en sttique linéire Principe des trvu virtuels CHAPIRE V : ELEMES FIIS DE PLAQUE E SAIQUE E E DYAMIQUE LIEAIRE 5. Discrétistion du chmp de déplcements 5.. Discrétistion du chmp de déformtions. 5.3 Mtrice de rigidité Vecteur chrge équivlent Formultion des équtions de mouvement en dnmique. 5.6 Formultion des équtions de mouvement. 5.7 Mtrice de msse élémentire. 5.8 Intégrtion numérique 5.8. Méthode de Guss Intégrtion réduite, intégrtion sélective Méthodes de résolution des sstèmes du second ordre L méthode de superposition modle L méthode de résolution directe Méthode de ewmrk CHAPIRE VII : LA PROGRAMMAIO ORIEEE OBJE E ELEMES FIIS DAS LE DOMAIE O LIEAIRE 6. Problème des vleurs u conditions sttique 6. Plsticité de Von Misès Critère de Von Misès L mtrice constitutive elsto-plstique Définition de l mtrice constitutive elsto-plstique Cs elsto-plstique 6.5. L forme générle de l lgorithme de clcul des contrintes 6.6. Algorithme de résolution

5 ble des mtières CHAPIRE VIII : VALIDAIO E ESS UMERIQUES 7.. Vlidtion en sttique linéire 7... Plques minces isotropes 7... Plque crrée simplement ppuée sur ces qutre côtés 7... Plque crrée encstrée sur ces qutre côtés Plques minces orthotropes Plques minces orthotropes simplement ppuée Plques minces orthotropes encstrée sur ces qutre côtés 7.. Vlidtion en dnmique linéire Plques minces isotropes 7... Plque crrée encstrée sur un côté 7... Plque crrée simplement ppuée sur ces qutre côté Plques minces orthotropes 7... Plque crrée encstrée sur ses qutre côtés 7.3. Plques minces isotropes en sttique non-lineire Plque crrée encstrée sur ses qutre côtés Plque crrée simplement ppuée sur ses qutre côtés Discussion des résultts COCLUSIO.. AEXE. REFERECES

6 IRODUCIO GEERALE Les logiciels ctuels de modélistion numérique, et en prticulier les codes d nlse des structures pr l méthode des éléments finis, reposent encore essentiellement sur des schéms et des méthodes des premiers temps de l informtique. Il été insi ccepté jusqu à récemment que les codes éléments finis ne puissent réliser que des nlses sur des données sttiques et bien définies u déprt pr l utilisteur. Les résultts du clcul devient églement suivre un formt déterminé. Ainsi -t-on continué de développer les codes de modélistion vec le lngge Fortrn et le stle procédurl, bien dptés à ce monde «de serveur numérique». A l opposé, en conception ssisté pr ordinteur, les données sont chngentes en vleur, mis ussi en forme. Elles sont modifiées pr le logiciel ou, de mnière interctive, pr l utilisteur. Le développement de tels logiciels de CAO se fit en plus en utilisnt des lngges modernes et des méthodologies logicielles fondées sur l pproche objet. Jusqu à présent l cohbittion entre le monde de l conception et celui de l nlse été rélisée pr des couplges entre des logiciels développés indépendmment, communiqunt d une mnière limitée ou indirecte à trvers des données prtgées. Ce tpe d intégrtion fible offre une solution à court ou moen terme, donnnt certines stisfctions, mis figent chque prtie dns son rôle primitif. Cel conforte ce qui toujours eisté u détriment de ce qui devrit ou pourrit eister. Pourtnt l nlse numérique est entrin de vivre une triple révolution. En premier lieu, son chmp d ction est de plus en plus vste et complee. Fortrn, outil (logiciel) trditionnel des numériciens conçu il plus de 3 ns, du ml à suivre cette évolution. L seconde muttion qui frppe l nlse numérique s ppelle «dpttivité utomtique» ; nous sommes loin des données sttiques entrées pr l utilisteur, l progrmmtion structurée ne nous semble ps un outil déqut à cette nouvelle forme d nlse numérique. Enfin, l ccroissement considérble de l mémoire centrle des ordinteurs permet ujourd hui d envisger des structures de données plus riches, conçues pour le confort et l productivité du progrmmeur, et non plus dns le strict souci d économiser des octets. Depuis environ douze ns, un nombre de plus en plus de chercheurs et de développeurs des progrmmes d nlse numérique s intéressent ou font le ps vers l progrmmtion orientée objet. Les lngges utilisés sont vribles, Object-pscl, CLOS, Smlllk ou C++, vec une ctuelle prédominnce de ce dernier.

7 Selon nous, l pproche objet est une opportunité pour repenser et redéfinir l ensemble des entités intervennt dns l méthode des éléments finis. Il serit dommge, et presque néfste, de grder les représenttions qui étient dptées à une utres forme de progrmmtion. Pour ller plus loin dns les logiciels d nlse numérique, il ne nous pprît ps insensé de vouloir, à trvers l progrmmtion objet, prtiquement reprtir à zéro. Le but de ce trvil, est l implémenttion d un élément plque isotrope et orthotrope dns un code élément finis orienté objet en utilisnt le lngge C++. Pour ce fire cette thèse se présente comme suit : - Le premier chpitre est conscré à un rppel sur les structures de données trditionnelles et sur l progrmmtion procédurle des codes éléments finis en Fortrn. ous soulignons leurs limittions fce u nouveu défis de l modélistion numérique. - Le chpitre II epose les principes de l progrmmtion orientée objet. - Le chpitre III est conscré à l efficcité du C++ en progrmmtion orientée objet en éléments finis. - L théorie d élsticité nisotrope et des plques en fleions est décrite dns le chpitre IV. - Le chpitre V est conscré à l formultion de l élément qudriltères isoprmétriques dns le cs sttique et dnmique. - Le chpitre VII epose l théorie de plsticité insi qu à l orgnistion d une prtie du code en C++. - Enfin le chpitre VIII est conscré u différents tests numériques insi que l vlidtion des résultts. - en trouve en nnee les clsses les plus importntes du code orienté objet vec le lngge C++.

8 Chpitre Les logiciels Elément Finis trditionnels en lngge Fortrn CHAPIRE LES LOGICIELS ELEMES FIIS RADIIOELS E LAGAGE FORRA. Introduction L introduction du lngge Fortrn pr John Bckus en 954 coïncidé vec l émergence des méthodes numériques utilisnt les ressources des premiers ordinteurs. Depuis lors, Fortrn n cessé de jouer un rôle centrl dns le domine de plus en plus vste de l simultion numérique. Ce lngge de progrmmtion permettnt une compiltion très efficce été jusqu à présent considéré comme étnt l meilleure rme pour lutter contre l ennemi numéro un de l ingénieur numéricien : le temps de clcul. Les codes scientifiques devenient bien toujours un peu plus complees et donc toujours plus difficiles à mîtriser. Aucun utre lngge ne pouvit offrir d ttrits rivlisnt vec l rpidité du Fortrn. Les bibliothèques mthémtiques comme AG, LIPACK ou EISPACK, nturellement écrites en Fortrn, on imposé un peu plus le lngge. Il n est donc ps surprennt que l qusi-totlité des codes scientifiques, et en prticulier des codes pour l méthode des éléments finis soit écrits vec ce lngge. Les choses sont pourtnt en trin d évoluer rpidement et les structures de données clssiques et le lngge Fortrn sont peut être à remettre en cuse. Dns l première prtie de ce chpitre, à trvers le progrmme «FEAP» (Finite Element Anlsis Progrm) de R.L.lor, nous ferons un rppel sur les structures de données trditionnelles insi que sur les rchitectures des codes éléments finis clssiques, en nlsnt leurs forces et leurs limittions. En seconde prtie, nous ferons un tour d horizon des différents tpes de logiciel de modélistion et des défis qu ils devront relever dns le futur et nous nous interrogeons sur leur cpcité à les relever. Enfin, l troisième prtie ser conscrée à nos propositions pour plier ces limittions.. SRUCURE DE DOEES E ARCHIECURE DU PROGRAMME «FEAP».. Les structures de bse du Fortrn L simplicité du lngge est due à l puvreté de ses tpes de structures. Il n en offre en fit qu un seul, sttique, le tpe tbleu. L vntge de ce tpe de structure est l dressge direct donc simple et rpide, mis le problème inhérent à s nture sttique est qu il impose une tille qui doit être définie à l compiltion. outes les déclrtions de tbleu ne peuvent se fire qu vec des dimensions sttiques. 3

9 Chpitre Les logiciels Elément Finis trditionnels en lngge Fortrn.. Les structures de données de FEAP Le progrmme FEAP (Finite Element Anlsis Progrm) écrit pr R.Ltlor et détillé dns le livre de Zienkiwicz & lor nous servir de référence dns cette prtie. Bien sûr tous les utres codes éléments finis en Fortrn écrits à trvers le monde n ont ps ectement les mêmes structures de données ni l même orgnistion. Ils en sont cependnt très proches (pr eemple RE_FLEX de [] ou DLEAR de [] et l étude de FEAP suffit pour comprendre un nombre de points forts et de fiblesses de l ensemble de ces codes trditionnels. A l bse de FEAP nous trouverons le clssique common blnc dimensionné pr une constnte IEGER * M COMMO M (3) COMMO /PSIZE/MAX MAX 3 Le common blnc est prtitionné pour recevoir les structures de données sttiques et dnmiques : tbleu d entiers, de crctères ou de réels. Un jeu d entier permet de retrouver les positions des débuts de chcun de ces tbleu. On qulifie ces entiers de «pointeurs». Dns FEAP, ils se trouvent dns deu commons et sont initilisés pr l routine de contrôle PCOR et l routine de gestion du common PSEM (fig..). Les tbleu n ont donc ps de crctère propre et eplicite ; ils n ont ps vriment de rélité informtique et seuls les pointeurs les définissent de mnière implicite. Le common blnc est en fit le seul véritble «objet» informtique. ous les utres sont à gérer pr le progrmmeur, ce qui donne certes une grnde liberté, mis eige en contreprtie une gestion très rigoureuse. COMMO / MDAA/,/,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,,, 3 COMMO / MDA/ A, B, C, IA (,) PCOR doit lire sur un fichier d entrée les divers entiers nécessires : nombre de nuds (UMP), d éléments (UMEL), de mtériu (UMA), le nombre mimum de degrés de liberté pr nud (DF), l dimension d espce du problème (DM) et le nombre mimum de nuds pr éléments (E). Décrivons quelques un de ces tbleu D (8, UMA) données des mtériu (limité à 8 mots pr mtériu) 4

10 Chpitre Les logiciels Elément Finis trditionnels en lngge Fortrn F (DF, UMP) forces nodles et déplcements ID (DF, UMP) conditions u limites puis numéro d équtions IX (E, UMEL) connectivité des nuds locl -->globle X (DM, UMP) coordonnées des nuds DF UMP 3 M F Figure. Le Common blnc, les pointeurs et le vecteur F Common fie L tille du common est fiée à l compiltion. C est une limittion non nturelle imposée à l utilisteur. Si MAXM est trop petit, son clcul ne psser ps ; il devr fire une modifiction dns le source et recompiler. Si en revnche MAXM est trop grnd, les utres utilisteurs peuvent, sur certines mchines, être pénlisés pr cette grosse réservtion de mémoire. Mémoire non dnmique L tille des tbleu n est ps toujours clculble priori. Il eiste de nombreu eemples dns l implémenttion de l méthode des éléments finis où, u cours de l eécution, on besoin de mémoire temporire de tille inconnue : milleurs, lgorithmes de numérottion, lgorithmes de recherche, post-processeur, etc. Ainsi, lorsqu une routine besoin de mnière interne de mémoire dnmique, deu solutions sont générlement emploées. L première, simple consiste à lui psser un vecteur de trvil (de tille fie pris dns le common blnc) en espérnt qu elle n en ur ps besoin de plus. L utilisteur (consommteur de mémoire) doit voir un ordre d idées priori sur l espce à réserver ce qui n est ni nturel, ni fible. Avec l seconde solution, on recours à un ensemble de routines pour gérer l espce mémoire du common blnc. Dns ce cs, il fut pouvoir llouer et désllouer à l demnde des tbleu de tille quelconque. FEAP ne propose que l lloction pr s routine PSEM. Dns DLEAR l routine s ppelle MPOI et rélise qusiment le même service vec en plus le fit de pouvoir nommer les tbleu dns le common blnc pr une chîne de crctères. 5

11 Chpitre Les logiciels Elément Finis trditionnels en lngge Fortrn Même pour les structures globles permnentes (tbleu ID, IX, F ) il devient vite très utile, lorsque le code se compleifie, de disposer d un outil (gestionnire) pour gérer les tbleu et les pointeurs à l plce du progrmmeur. Celui ci n lors plus qu à demnder u gestionnire l crétion, puis l position et enfin l libértion d un tbleu en fournissnt simplement une chîne de crctère en guise d identificteur. L écriture d un bon gestionnire de mémoire dnmique est délicte en Fortrn. On obtient de toutes fçons, à cuse de l tille limitée MAXM, qu une lloction pseudo-dnmique. De plus, ces modules ne sont toujours ps indépendnts cr ils doivent connître les spécifictions (intitulés et prmètres) des routines du gestionnire et eigent en plus le common blnc en prmètre, ce qui n est vriment ps nturel pour le client. Les lngges modernes (Pscl, C, C++, Eiffel, Ad ) offrent tous, des possibilités d lloction et de déslloction de mémoire. Le progrmmeur insi à s disposition générlement deu mots réservés du lngge : mlloc ou new, et free ou unchecked_delloction. Stockge monolithique Les tbleu ID et IX sont dimensionnés pr le nombre mimum de degrés de liberté pr nud et le nombre mimum de nud pr élément. Dns le cs où l on utilise dns le même millge des éléments à nombre de nuds ou de degrés de liberté (ddl) vrible, l utilistion de l mémoire est peu optimle. Ce stockge monolithique est églement prticulièrement gênnt lorsque des éléments ou des degrés de liberté sont joutés ou supprimés u cours du clcul comme lors d un processus de rffinement-dérffinement du millge. Les structures de données doivent dns ce cs être beucoup plus sophistiquées, l lloction dnmique et les pointeurs des lngges modernes sont lors prticulièrement utiles. Loin de l formultion L ccès u éléments des tbleu se fit de mnière très bstrite : un ou deu entiers servent à indicer chque tbleu. Pourtnt les données ont très souvent une significtion phsique précise : coordonnée sptile, tpe de ddl dns les tbleu indicés pr des entiers le sens phsique n pprît plus, ce qui nuit à l compréhension et à l fibilité du code. En Fortrn, nous ne connissons mlheureusement ps de moen d éviter cel. De plus il un besoin évident pour une progrmmtion à plus hut niveu d bstrction, plus proche de l formultion mthémtique 6

12 Chpitre Les logiciels Elément Finis trditionnels en lngge Fortrn Peu fible Le common qui fit ici 3 entiers de octets soit 64 ko sert donc à stocker tous tpes de tbleu, des entiers simples, doubles, des réels simples ou doubles, des crctères, etc. c est une grnde souplesse qu offre le compilteur mis c est dngereu. Un entier peut très bien être reçu pr erreur dns une vrible réelle (ou vice vers) et le compilteur ne le vérifie ps. SUBROUIE PROFIL (JD, IDL, ID, IX, DF, E) IEGER * JD (), IDL (), ID (DF, ), IX (E, ) CALL PROFIL ( M(,), M(,3), M(7), M(9), DF, E) Dns cet eemple, l routine PROFIL ttend 4 tbleu d entiers, monodimensinnels, bidimensionnels, et entiers. L tille de ces tbleu n est même ps en prmètre (suf pour le premier indice des tbleu D). C est u progrmmeur de fire très ttention à psser les dresses correctes de début de ses «structures», et à ce que les tilles correspondent. L routine PROFIL est peu utonome ; son bon fonctionnement dépend fortement de l etérieur. On pourrit progrmmer de mnière un peut plus sûre en écrivnt SUBROUIE PROFIL ( JD, IDL, ID, IX, DF, UMP, E, UMEL) IEGER* JD(DF*UMP), ID(DF,UMP), IX (E,UMEL) Mis cel ugmente encore le nombre de prmètres et donc le risque de pssge de données berrntes. En Fortrn il n ucune vérifiction du tpe des prmètres et tout le monde déjà fit de nombreuses fois l epérience de bogue dû à une dresse de début erronée, à des réels reçus comme entiers ou à un dépssement de tbleu. Dns les lngges fortement tpés (presque tous les lngges modernes), le compilteur effectue les vérifictions de nombre et de tpe pour chque ppel à un sous-progrmme éliminnt insi les risques du Fortrn à cet égrd. Rpidité Les structures de données en Fortrn (i.e tbleu) sont très simple et sont donc réputées très rpides ; Ce n est pourtnt ps tout à fit vri. En effet, dns un tbleu bidimensionnel, pr eemple X(DM,UMP), l ccès à un élément de position (i, j) Se fit en clculnt l position X(,)+X(j-)*DM + i-, soit une multipliction et qutre dditions d entiers. Dns les prties du code où il n ps d optimistion (c est fréquent), l utilistion d un tbleu de dimension UMP de pointeurs sur chcun des petits vecteurs 7

13 Chpitre Les logiciels Elément Finis trditionnels en lngge Fortrn de dimension DM est plus efficce comme le montrent des eemples de gestionnire de mémoire, et de solveur écrit en lngge C..3 LES LOGICIELS DE MODELISAIO.3. Evolution des techniques numériques et des modèles phsiques Depuis le début du clcul scientifique, les techniques numériques ont considérblement évoluées : - Des premières équtions u dérivées prtielles résolues pr différences finies, on est pssé u éléments finis et u équtions intégrles. - Les méthodes de résolutions ont été bouleversées : méthodes directes, méthodes itértives, méthodes muti-grilles, méthodes de sous domines. Les modèles phsiques se sont diversifiés et compleifiés : - Pssge de l élsticité linéire u lois plstiques, viscoplstiques puis à l endommgement (locl ou non locl). - Pssge de l formultion en petites déformtions, petits déplcements u grndes déformtions, grnds déplcements. - ritement des instbilités et bifurction. - Contct et frottement. - Modèles dnmiques - De plus en plus le couplge entre les différents domines de l modélistion : mécnique des solides, thermique, mécnique des fluides, électromgnétisme. Ces modèles phsiques ont églement introduit de nouvelles techniques numériques : - Méthodes de résolution non-lineires (ewton, ). - Méthodes de tritement des instbilités (suivi d rc). - Méthode d intégrtion en temps (ewmrk, implicite eplicite). Enfin, le besoin d interfces utilisteur conviviles permettnt d interroger le logiciel, ussi bien pendnt le clcul que lors du millge ou de post-tritement, eige des trois progrmmes de bse de l méthode des éléments finis une plus grnde cohésion et des structures de donnée communes..3. Vriété des logiciels On peut, en suivnt l nlse de Breitkopt & ouzout, décomposer l ensemble des logiciels de modélistion en 4 grndes fmilles 8

14 Chpitre Les logiciels Elément Finis trditionnels en lngge Fortrn Les logiciels de recherche généru, servnt de bse de trvil pour tester des modèles ou méthodes novteurs, doivent être souples et peuvent subir d ssez profondes modifictions. Ils devrient être conçus comme des constructions de «modules» indépendnts et fcilement modifibles. Les logiciels de recherche spécilisés modélisent un tpe de phénomènes prticuliers et utilisent des méthodes très spécifiques. out comme les cousins généru, les logiciels de recherche spécilisés ont une interfce utilisteur sommire et les données que mnipule le chercheur sont de très bs niveu (mtrice et vecteur dns les commons) ; les commndes sont des instructions Fortrn Les logiciels industriels généru englobent un mimum de modèles et d lgorithmes. Ils sont dotés d une confortble interfce utilisteur et peuvent communiquer vec de nombreu milleurs et post-processeurs. L utilisteur mnipule ici des données de hut niveu (structures phsiques, données géométriques) et les commndes sont lncées à l sourie. à cuse de leurs tille ces logiciels sont peu évolutifs. Les logiciels industriels spécilisés, ou logiciels «métier», sont souvent des e-logiciels de recherche spécilisés qui ont été fibilisés, nettoés et documentés. Les lbortoires s efforcent de trnsformer le plus rpidement possible leurs nouveutés en produit fibles fin de ggner en renommée. De même, les industriels cherchent nturellement à trnsférer rpidement les résultts de l recherche vers leur code. On devrit donc méliorer l continuité et l comptibilité entre logiciels de recherches et logiciels industriels, c est à-dire chercher à professionnliser les logiciels de recherche trop souvent «rtisnu»..3.3 Evolution des logiciels Compleifiction Comme nous l vons souligné u prgrphe -3-, les logiciels de modélistion ont déjà subi de profondes modifictions pour intégrer les évolutions des modèles et des méthodes numériques et dns une moindre mesure u évolutions du lngge Fortrn. Lorsque nous prlons d évolution des logiciels, ce n est ps dns le sens d une évolution globle, où un logiciel mournt lisse l plce à un nouveu entièrement réécrit, mis bien dns un sens d évolution locle, chque logiciel étnt à chque fois dpté pr souci de réutilisbilité. Il s ensuit des logiciels complees peu lisibles qui ont multipliés les tests et les brnchements, même u niveu des structures de données de bse. Cette tendnce ne peut se confirmer ; l réutilisbilité devient de plus en plus difficile à obtenir. 9

15 Chpitre Les logiciels Elément Finis trditionnels en lngge Fortrn.4 ORIEAIO SOUHAIABLE POUR LA OUVELLE GEERAIO DE LOGICIELS On peut tenter de formuler quelques orienttions pouvnt permettre de résoudre les difficultés évoquées dns les deu prgrphes précédents..4. L rchitecture Pour ugmenter l vitesse de trnsfert entre l recherche et l industrie, il est indispensble de réduire l différence entre logiciels de recherche et logiciels industriel. Un logiciel de recherche doit être dés le début très bien écrit, bien structuré et d pproche fcile. Il fudrit églement limiter l multipliction des logiciels. Pour cel il est nécessire de développer une bse suffismment souple pour que différents modules spécilisés viennent s dpter. Il fudrit ussi coupler le logiciel vec un sstème epert, seul moen ujourd hui pour introduire de mnière simple et efficce les règles nécessires à l prise de décision. Il peut églement cquérir ces connissnces de mnière utomtique vec l epérience de clcul déjà effectué. Il serit intéressnt de clssifier les modèles éléments finis dns le logiciel, c est-à-dire de définir des reltions de prenté entre modèles (comme pour l clssifiction des espces nimles), on ggner beucoup en clrté dns l orgnistion du code. On pourrit ussi écrire des procédures vlbles pour toute une clsse d élément donc ggner en réutilisbilité. Cel pourrit églement ider le sstème epert à choisir le modèle le mieu dpté u problème posé. L progrmmtion orientée objet nous prît pporter de bonnes solutions pour orgniser le code de mnière évolutive et clire. Elle peut, à notre vis, églement fciliter l introduction d un pilotge pr un sstème epert dns le code..4. Le lngge de modélistion Il fut utiliser un lngge de modélistion de plus hut niveu, s bstrire des détils informtiques, et l idél ce serit de coder les formultions directement en lngges mthémtiques. Il fut définir des objets mthémtiques (vecteurs, mtrices, tenseurs ) insi que les opérteurs que l on peut leur ppliquer. On note que le lngge c++ peut être très utile dns ce domine grâce à l surchrge des opérteurs.

16 Chpitre Les logiciels Elément Finis trditionnels en lngge Fortrn.4.3 Le lngge de codge Il doit déjà ider à implémenter les souhits formulés pour l rchitecture et pour le lngge de modélistion. Il fut donc un lngge plus puissnt vec un gestionnire de mémoire intégré, pointeur à indice libre, un ensemble de tpes de structures de données plus riche. Il doit être très modulire et très lisible. Il doit fibiliser le code : Réliser le mimum de vérifictions à l compiltion et à l eécution et enfin il doit être portble et rpide. Conclusion L discussion de ce chpitre met en évidence certines rigidités et insuffisnces des logiciels de modélistion. ous vons mis en vnt quelques orienttions qui nous prissent indispensbles à l écriture des logiciels modernes, et l progrmmtion orientée objet nous semble être des voies prometteuses. Dns le prochin chpitre, nous ferons un rppel sur l progrmmtion orientée objet.

17 Chpitre Progrmmtion Orientée Objet CHAPIRE PROGRAMMAIO ORIEEE OBJE. Introduction L progrmmtion orientée objet commence depuis quelques nnées être utilisée dns les codes éléments finis. Certes, de nombreu uteurs ont utilisé depuis longtemps certin concepts de l POO (modules données + sous- progrmme, envois des messges) comme C.Felipp, P.Breitkopf et G.ouzout, ou encore W.W.worzdlo et J..Oden, mis en utilisnt toujours le lngge Fortrn ou prfois pour quelques sous-progrmmes, le lngge C. Jusqu en 989, à notre connissnce, ucun ppier ne tritit de l emploi d un lngge orienté objet pour le clcul scientifique. B.Forde et l semblent être les premiers à s intéresser u sujet en décrivnt une version objet (Object-AP) écrit en pscl-objet d un code éléments finis clssique, AP (umericl Anlsis Progrm). Depuis, plusieurs rticles sur le sujet sont prus : Miller en CLOS, Mckie en pscl-objet, puis Sholtz en c++.zimmermnn et l ont décrit un code prototpe en Smllk [8],[9]. otnt que l pproche restit clssique et le lngge n étit emploé que pour s fibilité, s lisibilité. Reconnissons une préférence de plus en plus mrquée des uteurs pour le C++, u détriment des lngges interprétés comme le CLOS ou Smlllk. ous conscrons ce chpitre à des rppels sur l POO. On définir le concept de clsse et d objet, l héritge, de polmorphisme et de liison dnmique.. RAPPELS SUR LA PROGRAMMAIO ORIEEE OBJE [4] [] [5].. Clsses et objet Encpsultion Comme le note J.Prosen, tout lngge informtique est crctérisé pr des «briques de bses» pouvnt se combiner pour donner des éléments de plus hut niveu. Dns les lngges procéduru (Fortrn, C, Pscl..) Ce sont des sous-progrmmes, les données étnt écrtées de cette décomposition. Ces lngges offrent l possibilité de définir des structures de données et les routines de mnipultion de ces structures dns des prties différentes du code. Il découplge entre l définition de l structure de données et les structures de progrmmes ssociées. Les lngges orientés objet utilisent comme éléments fondmentu des entités utonomes (objets) qui représentent des bstrctions du monde réel. Un progrmme ne se crctérise plus pr une suite de sous-progrmmes à eécuter mis pr une décomposition en clsses, modèles d objet réel dont les instnces communiquent entre elles. L objet est à l fois

18 Chpitre Progrmmtion Orientée Objet une structure de données et un ensemble de sous progrmmes. Il regroupe des ttributs (données) et des méthodes (procédures et fonctions). Ses ttributs sont cchés u «monde etérieur» pour dissocier vue interne et vue eterne et grntir insi son intégrité. On prle d encpsultion des données. Cette crctéristique peut être plus ou moins ssouplie suivnt les lngges. Dns l vste glie des lngges à objet Msini et l distinguent trois grndes fmilles. Ceu qui privilégient le point de vue structurel ppelés lngge de clsse : «L objet est un tpe de données, qui définit un modèle pour l structure de ses représentnts phsiques et un ensemble d opértions pplicbles à cette structure». On peut citer des lngges comme Simul, Smlllk, Ad], CLOS, C++, qui sont générlement à tpge sttique. Les lngges privilégint le point de vue conceptuel sont ppelés lngge de représenttion de connissnces (ou lngges de frme) : «L objet est une unité de connissnce, représentnt le protocole d un concept» ce sont des lngges proches de l intelligence rtificielle comme KRL. Les lngges d cteurs privilégient le point de vue cteur : «l objet est une entité utonome et ctive, qui se produit pr copie». Act. Enfin viennent les lngges hbrides u croisées des chemins précédents vec LOOPS, YAFOOL etc. A prt certins lngges de clsse, très peu ont tteint un étt industriel et un nombre suffisnt d utilisteurs pour grntir leur pérennité, souvent à cuse d une trop grnde spécilistion ou d une trop grnde lenteur d eécution (lngges interprétés). ous nous restreignons donc, dns cet perçu des lngges à objets, u lngges de clsses «généru», à tpge sttique. En lngge de clsse, on ppelle clsse et objet ce qu on ppelle tpe et vrible dns l pproche clssique. L progrmmtion orientée objet s ppuie sur qutre concepts : l Objet, l Clsse, l Héritge et le Polmorphisme. Objet : Un objet est crctérisé pr une identité, un étt et un comportement. L identité est une propriété qui distingue un objet d un utre. L étt d un objet est s mémoire, et son eécution pr des vribles qui représentent ses données. Le comportement montre l ction de l objet sous son propre contrôle ; comment ce dernier se comporte u ecittions etérieures. (Voir figure.) 3

19 Chpitre Progrmmtion Orientée Objet Identité Output Input Ett Output Figure. Comportement et Ett d un objet Le comportement de l objet est eécuté pr un ensemble d opértions trvillnt vec ses propres vribles. Une opértion souvent ppelée méthode est une ction que l objet eécute sous son propre contrôle. Cependnt, les méthodes et les données sont rssemblées dns l même enceinte (objet), et ils représentent l interfce qui est fourni à l etérieur (voir figure.). om de l objet Les données Les méthodes Interfce Eécution Figure. Encpsultion des données L objet communique vec un utre objet pr le biis des messges ces derniers spécifient : L destintion de l objet uquel l demnde est dressée. L sélection de l méthode à eécuter. L objet est utilisé pour diverses risons : Fcilité de compréhension et de réutilistion du code. Améliortion de l fibilité. Fcilité de compréhension. Abstrction ccrue. Encpsultion ccrue. 4

20 Chpitre Progrmmtion Orientée Objet Msquge mélioré des informtions. Clsse : Une clsse regroupe les objets prtgents les mêmes propriétés ; qui sont : les données et les méthodes. Elle est ussi une collection d objets indifférents de leurs étts respectifs, insi l objet est identifié comme étnt une vrible bstrite. L clsse spécifie un certin nombre d ttributs et les méthodes pouvnt opérer sur ces ttributs Figure..3. A prtir de l clsse, on instncie des objets que l on ctive pr voie des messges. Le messge ctive l ction, mis le détil de l opértion est lissé u contrôle de l objet. On prle lors d encpsultion des données et du comportement de l'étt. Element Attribut Messge Method number nodes Stiffness Mtri Give Giveode :i Figure.3 Concept de clsse Définir les objets pr l seule encpsultion revient à définir ce qu on ppelle générlement des tpes de données bstrits (DA). On introduit en plus une orgnistion entre les objets de deu mnières ssez complémentires : l composition et l clssifiction L composition eprime le fit de définir un objet en le constitunt d utres objets plus élémentires. Les ttributs d un objet peuvent donc être eu-mêmes des objets et il communiction entre composés et composnts. Pr eemple une voiture est composée d objets «roues», qui ont leur comportement propre mis qui obéissent à l voiture. L conception orientée objet (COO) de G.Booch utilise uniquement l composition. L clssifiction eprime le fit que les clsses puissent se regrouper smboliquement en clsses plus vstes et plus générles : L clsse des voitures peut être une sous-clsse de l 5

21 Chpitre Progrmmtion Orientée Objet clsse véhicules un objet d une sous-clsse prtge les propriétés de s clsse ncêtre. On prle d héritge...héritge L héritge est une propriété essentielle des lngges orientés objet (LOO). Elle permet de définir une nouvelle clsse en prtnt d une clsse déjà eistnte en ne rjoutnt que l différence. L héritge est dul : lorsque l on indique qu une clsse F hérite d une clsse A, on obtient d une prt un héritge des ttributs, insi l clsse F possède déjà u déprt toute l structure de A, mis ussi un héritge des méthodes de A. si l on ne fit rien de plus, les deu clsses sont lors équivlentes (à ceci près que F est une fille de A et non l inverse). On heureusement l possibilité d enrichir l clsse F et de modifier son héritge. Donc un tpe de donnée bstrit peut être spécifié pr l crétion d un sous-tpe ou bien d une sous-clsse qui hérite les structures de données et les méthodes à prtir de leur ncêtre ppelé souvent super clsse. Le mécnisme d héritge peut être totl comme dns le lngge Smlltlk, cel veut dire que tous les ttributs et les méthodes sont héritées pr leurs sous-clsses ceci à prtir de leur super clsse, mis quelques lngges comme C++ et Jv, permettent le mécnisme d héritge prtiel en sélectionnnt les vribles et les méthodes héritbles. out en schnt que l héritge peut être simple ou multiple figure (.4). 6

22 Chpitre Progrmmtion Orientée Objet Clsse A Clsse A Clsse A Clsse B Clsse C Clsse B Clsse C Clsse D Clsse D Cs d héritge vec des conflits Cs ou l clsse A n est ps déclrée virtuelle Figure.4 régler les conflits dus à l héritge pr des déclrtions virtuelles Enrichissement L structure de données de F peut être enrichie en joutnt de nouveu ttributs à l structure héritée. Si mtri-sm possède un seul ttribut dimension, lors mtri_sm_skline clsse dérivée le posséder de mnière utomtique et l on pourr rjouter pr eemple les ttributs EV et PEV pour décrire le profil selon le stockge «en ligne de ciel». De même, on peut enrichir les méthodes héritées. Modifiction Alors que l on peut qu enrichir l ensemble des ttributs (dns l plus prt des LOO), il est possible de modifier l héritge des méthodes en les surchrgent. Une méthode doit être sstémtiquement surchrgée : le constructeur qui lloue l espce pour un objet, l initilise et met en plce les mécnismes pour l liison dnmique (que l on v bientôt définir). On peut églement fcilement concevoir que des méthodes très spécifiques, comme l jout d un réel dns l mtrice(add), soient redéfinies pour chque clsse (puisque les représenttions internes sont différentes entre les clsses mtri_sm_skline et mtri-sm-sprse pr eemple). Dns tous les cs il ne peut voir ppuvrissement tnt en ttributs qu en méthodes. L héritge s ppuie donc essentiellement sur un rbre d héritge à l rcine duquel on trouve l clsse l plus primitive ; plus on descend dns l rbre, plus on précise et on enrichit les clsses. C est un moen très puissnt pour économiser les lignes de source et pour réutiliser l eistnt, donc pour réduire le nombre d erreurs. Cependnt l rbre d héritge 7

23 Chpitre Progrmmtion Orientée Objet (figure.5) un utre intérêt : il permet l clssifiction des clsses entre elles et ce qu on l on ppelle le polmorphisme Mtri-Sm Mtri-Sm-Skline Mtri-Sm-Sprse Figure.5 Arbre d héritge..3 Polmorphisme : Le terme polmorphisme signifie l possibilité de prendre plusieurs formes. Le polmorphisme peut pprître sous différentes formes, titre d eemple le polmorphisme prmétrique est l hbilité de plusieurs objets de clsses différentes de répondre u même messge de différentes mnières; en d utres termes le messge peut être défini dns différentes clsses pr différentes mnières d eécution, comme l indique l figure.6 POLYMORPHISME UIVERSEL AD HOC PARAMERIQUE ICLUSIO SURCHARGE COERCIIO Figure.6 différentes formes de polmorphisme 8

24 Chpitre Progrmmtion Orientée Objet Finite element truss russ truss ComputeStiffnessMtri russ Plte plte Plte plte Figure.7 Polmorphisme et l ppel clculé Le polmorphisme est ussi l possibilité de voir pr eemple une vrible (instnce) de l clsse mtri_sm_skline comme églement pprtennt à l clsse mtri-sm puisqu elle en possède toutes les crctéristiques. Il inclusion dns clsses dns leurs clsses prente. Un objet de l clsse mtri_sm_skline peut être ffecté à toute vrible de clsse mtri_sm. Inversement, toute vrible de tpe mtri_sm peut être désignée comme une instnce de mtri_sm_skline ou de mtri_sm_sprse. Héritge et polmorphisme sont donc des notions étroitement liées. Mtri_Sm Mtri_Sm_Skline Mtri_Sm_Sprsee Figure.8 inclusions des sous-clsses dns leur clsse prente 9

25 Chpitre Progrmmtion Orientée Objet Ce pendnt un problème se pose : nous venons de voir d une prt qu un objet peut être en fit clsse vrible et inconnue à l compiltion et que d utre prt, on peut surchrger les méthodes héritées. Comment dns ces conditions pouvons nous fire pour qu un ppel Add de mtri_sm_skline si nous ons à fire à une mtrice profil ou à Add de mtri_sm_sprse si c est une mtrice à stockge éprse? C est ce qu on ppelle l liison dnmique (ou encore méthode virtuelle, lte bending)...4 Liison dnmique On se rend compte que l liison ne peut être rélisée qu à l eécution, u dernier moment, l orque l clsse vrie de l objet est connue (et ps seulement l clsse générle). On ne détiller ps l fçon vec lquelle ce mécnisme est implémenté dns les LOO mis ils convient de svoir que chque instnce possède un ttribut cché qui indique s clsse vrie insi que l tble des dresses de ses méthodes virtuelle (MV). Un ppel à Add déclencher un ppel indirect à l méthode dont l dresse dépend de l clsse vrie de l objet. Au pri d un léger surcoût dû à l dressge indirect, l liison dnmique offre une souplesse de progrmmtion incomprble. On rrive insi à un bon compromis entre l liberté totle du Fortrn où l on peut mettre toute donnée (integer, rel, double, chrcter) dns toute vrible et le tpge strict du C Pscl ou Ad...5 Différent tpe de mode de progrmmtion Il deu modes de progrmmtion, progrmmtion procédurle et progrmmtion orientée objet l figure.9 illustre l différence entre les deu.

26 Chpitre Progrmmtion Orientée Objet Données communes Fonction Fonction 3 Flu de données Flu de contrôle Fonction Architecture Procédurle Fonction 4 Objet Objet Objet3 Objet4 Flu de données Flu de contrôle Architecture Orientée Objets Figure.9 différent tpe de mode de progrmmtion

27 Chpitre3 l progrmmtion orientée objet en élément finis eécution efficce en c++ CHAPIRE 3 LA PROGRAMMAIO ORIEEE OBJE E ELEMES FIIS EXECUIO EFFICACE E C++ 3. IRODUCIO [] : Il est clir que pendnt plusieurs nnées, l méliortion de l modulrité du code en éléments finis demnde une orgnistion des données, plusieurs uteurs ont fit de leur mieu pour méliorer l rrngement des données dns le contete du lngge fortrn [3],[],[3],[36],[37]. L suffisnce du concept de l Progrmmtion Orientée Objet dns l efficcité et l compréhension de l orgnistion des données dns les progrmmes d nlse numérique ont été seulement étudiés récemment. Bugh et Rehk [3] révèle l séquentilité insi que l nture contrignnte de l eécution clssique des lgorithmes, et ils ont introduit plus de fleibilité dns l orgnistion du chmp de données. Les premiers efforts qui touchent l rchitecture des logiciel en élément finis ont été présenté pr forde et l [6] et d utre uteurs [],[38], les utres progrès sont dus à Fenves [5], Miller [8] et Desjrdin et Ffrd [9]. Les principes fondmentu de l ppliction de l technique d Orientée Objet à l méthode des éléments finis ont été présentés pr [38], ces principes sont implémentés dns un progrmme éléments finis écrits en smlltlk []. Le désigne de ce progrmme résulte sur une hute modulrité, fcilité de compréhension, et un progrmme etensible ces qulités sont bsées sur : - l encpsultion des données : Un objet est une vrible munie d une série de données de tpe protected (ttribut) qui permet d eécuter ses méthodes et de gérer ses opértions d une mnière utonome. - l héritge des clsses : Les différents tpes d objets (ou clsses) sont orgnisés en une simple structure hiérrchique qui évite l dupliction des codes. - L non-nticiption : C est complètement nouveu comme concept de progrmmtion destiné à l progrmmtion en éléments finis. C est ce qu on ppelle l nouvelle modulrité dns le temps; les méthodes doivent être indépendntes des contetes. Les deu concepts de bse fournissent une forte structure de donnée ; cependnt ils ne règlent ps le problème de l séquentilité des

28 Chpitre3 l progrmmtion orientée objet en élément finis eécution efficce en c++ opértions, mis le concept de l non nticiption le fit. C est complètement nouveu comme concept de progrmmtion destinée à l progrmmtion en élément finis, il ffirme ceci : Le contenu d une méthode ne doit ps se poser sur une quelconque supposition de l étt de l vrible. Eemple : l clsse Element est en possession de l ttribut de loctionarr, c est là où on stocke l numérottion de l éqution de ses degrés de libertés, l obtention de ce vecteur de l clsse Element peut ce fire pr deu pproches : ) - L pproche stndrd ; le progrmmeur envoie à l clsse Element (disnt element) Le messge : locelement formloctionarr( ) ceci dns le cs ou on sis que l lloction d un tbleu n ps été formé. Ou bien le messge : locelement returnloctionarr( ) ceci dns le cs ou on sit que l lloction d un tbleu été formée (le tbleu eiste). Le trouble dns cette pproche, c est qu il est très difficile de connître qunt est ce qu une vrible ou un objet doit être initilisé, ceci entrîne souvent le progrmmeur à une nticiption d opértion très délictes, vec une pensée en tête «je l clcule mintennt du moment que je sis que je vis en voir besoin près». Cette ttitude tente d orgniser les codes clssiques en des véritbles séquences d opértions rigides empêchnt insi l fcilité d etension future. b) L pproche non nticiption : le progrmmeur ne doit ps fire ucune supposition sur l étt de l ttribut loctionarr ceci pour tous les cs en envont juste le messge locelement giveloctionarr( ). L clsse Element est munie d une méthode qui est giveloctionarr( ) cette dernière est etrêmement simple, elle est utilisée dns toutes les situtions. IntergeArr * Element : : giveloctionarr ( ) { if (loction Arr ULL) return this formloction Arr () ; else return loctionarr ; } Figure 3. non nticiption 3

29 Chpitre3 l progrmmtion orientée objet en élément finis eécution efficce en c++ Cette méthode consiste en un test : l élément vérifie si l ttribut loctionarr est nul (il n eiste ps) ou non (il eiste), s il n eiste ps l élément eécute l méthode formloctionarr( ),puis renvoie le tbleu. Si pr contre il eiste, le tbleu est renvoé, clirement le messge ci-dessous : Element giveloctionarr( ), peut être inséré dns n importe quel endroit dns le progrmme et l élément v toujours répondre d une mnière déqute. Les méthodes d un objet peuvent être eécutées dns n importe quelle plce dns le progrmme, sns ucune opértion séquentielle contrignnte du code clssique. Dns [4] l modulrité des logiciels est étblie à prtir du point de vue de mintennce du code comprtivement à l pproche procédurle où l méliortion est reportée sur toutes les prties du code. Premièrement : dns l compréhension du code: le code est fcile à lire, plus homogène et beucoup plus uto-descriptif. Deuièmement : dns l etensibilité du code, des crctéristiques dditionnelles sont fciles à introduire roisièmement : dns le débogge du code, l pproche fvorise un test locl des nouvelles prties du code et elles sont moins disposées à l erreur (un nombre minimum est trnsmis à l subroutine) Le lngge Smlltlk met à l porte un outils prfit pour un progrmme prototpe en élément finis, il idé les uteurs à se débrrsser des hbitudes de l progrmmtion procédurle (Fortrn), de comprendre le potentiel du concept de l Progrmmtion Orientée Objet, le choi déquts des objets à introduire, ssigner les bonnes opértions u objets et de grvir vec des règle profitble de progrmmtion (principlement le principe de l nonnticiption). Cependnt le Smlltlk est un lngge très long en eécution pr eemple un millge de 5 éléments br d un treillis, est solutionné à peut près fois plus lent qu un code en Fortrn pour un même tpe de millge, et ce fcteur ugmente de plus en plus qu on rffine le millge. Le gin de l efficcité numérique demnde un pssge à un utre lngge. Le C++ été choisi pour deu risons : 4

30 Chpitre3 l progrmmtion orientée objet en élément finis eécution efficce en c++ Premièrement, pour son efficcité intrinsèque ; c est à dire qu il est conçu vec l usge combiné des vntges de l Progrmmtion Orientée Objet et vec l efficcité de clcul du lngge C. L seconde rison, c est que le C++ est vrisemblblement u moment de notre recherche le lngge Orienté Objet le plus utilisé dns les nnées à venir ceci est du à s comptibilité vec l forte utilistion du lngge C et du fit que c est un lngge qui est dns le domine public. 3. L rchitecture du concept de l progrmmtion Orientée Objet dns un lngge clssique [] L progrmmtion Orientée objet est intrinsèquement moins efficce que l progrmmtion procédurle. L progrmmtion orientée objet fcilite le design de hut niveu du logiciel : L orgnistion du code est ttendue à dhérer le plus possible à l mnière humine de penser. L progrmmtion procédurle est beucoup plus orientée eécution des clculs, ectement comme l mchine qui orgnise les opértions et les données ceci générlement plus efficce point de vue clcul. Cette section eplique comment un progrmmeur en c++ peut nénmoins grvir vec efficcité d eécution comprble à celle des progrmmes en fortrn. Pendnt l utilistion etensive des crctéristiques de l orienté objet (hut niveu) du lngge, l bse qui nous permet d tteindre ce niveu d efficcité est le signe le plus clssique du c++ qui est du à l similrité de ce lngge vec le lngge procédurle. L efficcité numérique dns le lngge c++ peut être tteint en deu mnières complémentires. - en bénéficint de l eistence des différents niveu d bstrction (section.) - en orgnisnt les moules en des libriries (section.) 3.. Les niveu d bstrction en c++ L progrmmtion orientée objet fvorise une hute bstrction comme clés de l modulrité et l réutilisbilité du code cependnt dns certin cs, l efficcité peut être obtenue seulement pr une personnlistion d une portion du code, pour une utilistion sptile, utilisnt insi le bs niveu et ceci est u fris de l réutilisbilité du code. Cette demnde est strictement rigoureuse pour les opértions impliqunt les mtrices et les tbleu. Dns le but d être efficce, le lngge doit se munir de l progrmmtion bs niveu ; C++ le fit comprtivement u fortrn, le c++ enveloppe entièrement le hut, égl et bs niveu d bstrction 5

31 Chpitre3 l progrmmtion orientée objet en élément finis eécution efficce en c++ iveu crctéristiques lngges d bstrction Hut Encpsultion des données Héritge des clsses smlltlk Moens Bs Structure de données simples Procédures stndrds L utilistion des pointeurs Fortrn77 C & Fortrn9 C++ Figure 3. les niveu d bstrction en progrmmtion Au hut niveu d bstrction, les crctéristiques de l orientée objet comme l encpsultion des données et l héritge des clsses sont introduit. Le niveu d bstrction moen correspond à l progrmmtion procédure (ppelle des procédures plutôt que l envois des messges à des objets). Le bs niveu d bstrction conduit vers l possibilités de pointer directement à l mémoires du micro (pr eemple les indices des tbleu). L bonne règle pour un design de hute qulité du code en c++ est de s ppuer d une mnière etensive sur les crctéristiques de l hute bstrction de l progrmmtion orientée objet cependnt ccepter d optimiser l implnttion de quelques opértions (bs niveu) une telle tctique s ccorde bien à l Méthode des éléments finis. 3.. Progrmmtions en complétnt les libriries Comme les progrmmeurs en smlltlk, les progrmmeurs en c++ peuvent décider de s ppuer forttement sur l héritge dns le but d méliorer l génèrecité et d éviter l dupliction des codes; cette pproche est bonne pour un prototpge fort, et elle est ussi retenue pr quelques progrmmeurs en c++ pour construire une lrge progrmmtion d environnement [5]. 6

32 Chpitre3 l progrmmtion orientée objet en élément finis eécution efficce en c++ Compter sstémtiquement sur l héritge n est probblement ps l nture du c++ ; l héritge fvorise le polmorphisme; c est l rison d envoer le même messge à des objets différents (de tpes différents) le polmorphisme eige l liison dnmique; qui est l possibilité de retrder jusqu u temps d eécution l série d édition de liens pr un messge entre l méthode ppelnte et l méthode ppelée? Du moment que l liison dnmique est une opértion u temps d eécution et non ps u temps d édition de liens, elle introduit une ugmenttion u temps d eécution, plus encore, l implémenttion du polmorphisme en c++ est souvent à l porte de l difficulté. Pour cette rison dns les codes c++ stndrd, l héritge des clsses est utilisé seulement qund il un besoin très fort plutôt que sstémtiquement ceci conduit à une progrmmtion de clsses plus utonomes, plus compcte et plus efficce, quoique moins générique que dns le lngge smlltlk. Ainsi le résultt de l rborescence des clsses ont peut niveu d héritge que celui du lngge smlltlk. Morlité en c++, on progrmme en élrgissnt les libriries plutôt que l environnement (les libriries consistes en des clsses non ps en des subroutines). Arr Flot Arr Interger Arr Domine Elment Plte PlneStrineElment russbrelement GussPoint LineireSstem Lod Bodlod odllod SurfceLod Mteril Mtri FlotMtri BndedMtri FullMtri IntegerMtri ode String Figure 3.3 l hiérrchie des clsses élément finis en C++ 7

33 Chpitre3 l progrmmtion orientée objet en élément finis eécution efficce en c++ Conclusion L conception orientée objet vec le lngge C++ est une bonne solution cr il enveloppe entièrement le hut, égl et bs niveu d bstrction, ous proposnt dns le prochin chpitre l théorie des plques isotropes et orthotropes. Quelques clsses essentielles qui décrivent l mnière dont on implémenté l élément de plque en c++ sont décrites en nnee. 8

34 Chpitre4 héorie de l élsticité Anisotrope et des plques en fleion CHAPIRE IV HEORIE D ELASICIE AISOROPE E DES PLAQUES E FLEXIO Introduction : L théorie de l élsticité isotrope courmment utilisée, ne permet ps de crctériser pleinement le comportement des mtériu composites présentnt des réponses différentes suivnt les directions d ctions des efforts. Il est donc nécessire d entrer dns le détil de l élsticité nisotrope. 4. otion de continuité et d homogénéité : [7] L continuité:[7][7] un corps est dit continu s il occupe complètement tout son volume, et si deu points jointifs de s mtière le restent indéfiniment. Ceci s eprime mthémtiquement pr le fit qu en tout point M du milieu, il eiste une msse volumique (l limite eiste) m ρ ( M) lim (4.) V V Δm : étnt l msse du petit élément de volume Δv entournt le point M. L homogénéité : un corps est homogène si l msse volumique ρ ( M) est identique en tout point de son volume. 4. otion d nisotropie [7]: L nisotropie influe sur les propriétés ssociées à une direction, et en prticulier, sur le nombre des crctéristiques mécniques entrnts dns l reltion contrintes-déformtions. 4.3 Etts de contrintes et de déformtions: Définition d un étt de contrinte: l étt de contrinte en un point d un corps, repéré dns un trièdre Oz direct est prfitement déterminé si les vleurs des composntes du tenseur des contrintes sont connues en ce point. s s t t z t s t z t t s z z z 9

35 Chpitre4 héorie de l élsticité Anisotrope et des plques en fleion Pr des équtions de moments, on trouve: τ τ, τ τ, τ τ, ce qui réduit à z z z z si le nombre de composntes indépendntes. Celles-ci mtricielle suivnte : [ σ ] [ σ σ σ τ τ τ ] z z z. peuvent lors prendre l forme L connissnce de si contrintes permet, pr des formules de rottion d es, de déterminer l étt de contrinte dns une direction quelconque, utour du même point. Définition d un étt de déformtion : l étt de déformtion en un point d un corps est prfitement déterminé si les vleurs des composntes du tenseur de déformtions sont connues en ce point : ε ε / γ / γ z / γ ε / γ z / γ / γ ε z z z Ce tenseur se réduit églement à si composntes indépendntes, qui s écrivent sous l forme mtricielle ci-près : [ ε ] [ ε ε ε γ γ γ ] z z z 4.4 Reltion contrintes - déformtions :[4] [35] oute structure soumise à un sstème de forces etérieures, est le siége d un étt de contrintes, qui engendre un certin étt de déformtion, et inversement. Ainsi, dns le sstème d es de référence choisi, et en utilisnt l nottion mtricielle, chque composnte du vecteur [ σ ij ] des contrintes, est en fonction des composntes du vecteur ε ij des déformtions : σ lk f ( ε ij ) (4.) HYPOHESE : en fisnt l hpothèse que le mtériu est continu, cette fonction se développe pr l formule de AYLOR : 3

36 Chpitre4 héorie de l élsticité Anisotrope et des plques en fleion σ lk f f flk ij ε ε lk ij lk () + ε () + () + L ij ε ij (4.3) Les termes différentiels sont les coefficients crctéristiques du mtériu. HYPOHESE : en dmettnt l eistence d un étt neutre, qu un étt de déformtions nulles correspond à un étt de contrintes nulles, hpothèse qui, phsiquement, est toujours vlble, les coefficients f ( lk ) disprissent. Les termes différentiels de premier ordre sont générlement les seuls connus. Ils forment une fmille des crctéristiques du mtériu, à lquelle pprtiennent, pr eemple, le module longitudinl E, et le coefficient de Poisson υ. Les termes du second ordre représentent les vritions des coefficients définis ci dessus, en fonction des déformtions. Ils disprissent, insi que les termes différentiels d ordre supérieur, en dmettnt le principe de linérité interne, c est-à-dire que le mtériu obéit à l loi de HOOKE générlisée. flk L reltion contrinte déformtion s écrit dns ce cs : σ lk ε ij () ε Et en développnt : ij Øs Œ Œ s Œs Œ Œt Œt Œ Œº t z z z ø ß Ø Œ Œ Œ Œ Œ Œ Œ Œº ø ß * Ø e Œ Œ e Œ e Œ Œg Œg Œ Œº g z z z ø ß Soit encore : [ σ ] [ D] * [ ε] [ D ] : Est l mtrice des rigidités, ou rigidité du mtériu. L mtrice inverse [ D], permettnt de clculer les déformtions en fonction des contrintes porte le nom de mtrice de complisnce ou de souplesse. HYPOHESE 3 : en s ppunt sur l hpothèse que le mtériu est homogène, il est possible d ffirmer que l mtrice de rigidité est identique en tout point du corps, et qu il en est de même pour l mtrice de souplesse du mtériu considéré. 3

37 Chpitre4 héorie de l élsticité Anisotrope et des plques en fleion Smétrie de l mtrice [ D ] : pr des considértions thermodnmiques, l mtrice [ D ] se révèle smétrique : et pr conséquence, elle ne comporte que coefficients indépendnts prmi les 36 l composnt. En effet, en thermodnmique des milieu continus, il est possible de montrer que les contrintes dérivent du potentiel élstique, c est à dire que : s V V V s L LL t (4.4) e e g Le potentiel élstique étnt l énergie de déformtion pr unité de volume : du V / [ σ] [] ε (4.5) dv V ( σ. ε + σ. ε + σ. ε + τ. γ + τ. γ τ. γ ) / + (4.6) z z z z z Avec l reltion : [ σ ] [ D] * [ ε] σ ε + ε + 3 ε z + 4 γ z + 5 γ z + 6 γ (4.7) σ ε + ε + 3 ε z + 4 γ z + 5 γ z + 6 γ (4.8) En clculnt : σ ε V ε ε De même σ ε ε V ε Etnt donné l neutrlité de l ordre de dérivtion : L même smétrie se démontre d une fçon semblble pour tous les coefficients ( i j) ij. 4.5 Smétrie élstique : Principe : si l composition interne du mtériu possède une smétrie, de quelques formes que ce soit, cette même smétrie s observe dns ses propriétés élstiques ; ceci v simplifier les équtions de l loi de HOOKE, et réduire le nombre de composntes indépendntes de l mtrice [ D ]. Simplifiction : pour trouver les simplifictions résultntes d une smétrie géométrique quelconque de constitution, l méthode suivnte est souvent utilisée : 3

38 Chpitre4 héorie de l élsticité Anisotrope et des plques en fleion Le corps est repéré dns un premier sstème de coordonnées XYZ, puis dns un second sstème X Y Z, déduit du précédent pr l smétrie envisgée. Les directions des es correspondnts des deu sstèmes doivent être équivlentes vis - à- vis des propriétés élstiques, ce qui implique que les epressions de l loi de HOOKE, et du potentiel élstique, ont l même forme dns les deu sstèmes, ce qui implique églement que les constntes élstiques, correspondnt dns ces epressions, sont égles. Pr identifiction des termes correspondnts dns les epressions de l lois de HOOKE, ou du potentiel élstique ( l une dns XYZ, l utre dns X Y Z ) des reltions supplémentires sont obtenues entre les composntes de l mtrice [ D ], ce qui diminue le nombre de constntes indépendntes. Cs prticuliers : Mtériu Orthotrope : un tel mtériu possède des propriétés équivlentes u point de vue élstique dns des directions smétriques pr rpport à trois plns orthogonu. Soit XOY, XOZ et YOZ ces plns, vec l méthode déjà citée, l mtrice se simplifie et devient : Øs Œ Œ s Œs Œ Œt Œt Œ Œº t z z z ø ß Ø Œ Œ Œ Œ Œ Œ s Œ Œº m ø 66 ß * Ø e Œ Œ e Œ e Œ Œg Œg Œ Œº g z z z ø ß Les es X, Y, Z intersection des 3 plns de smétrie, sont dits es principu de l orthotropie. D, s écrit : L reltion inverse : [] ε [ ] *[ σ] 33

39 Chpitre4 héorie de l élsticité Anisotrope et des plques en fleion υ υ z ε σ σ σ z E E Ez υ υ z ε σ + σ σ z E E E z z υ υ z ε z σ σ + σ E E E z γ z τ z G z γ z τ z Gz γ τ G z (4.9) Les mtrices de rigidité et de souplesse ne comportent que 9 coefficients indépendnts (4 dns le cs de problèmes pln) pour un mteriu orthotrope. Mtériu isotrope : dns ce cs, toutes les directions, et tous les plns sont élstiquement équivlents. Le nombre de constntes élstiques est lors égl à : E et υ vec E G ( +υ ) τ z ε ( σ υσ υσ z ) γ z E G ( υσ + σ υσ ) τ z ε z γ z (4.) E G τ ε z ( υσ υσ + σ z ) γ E G 4.6 héories des plques en fleion 4.6. Définition d une plque Une plque est un solide élstique dont une dimension, selon l épisseur, est petite en comprison des deu utres, et qui générlement comporte un pln de smétrie u milieu de l épisseur que nous ppelons surfce moenne. Pr convention, cette surfce ser le pln (-), l e (o-z) correspond à l e trnsversl selon l épisseur [3]. 34

40 Chpitre4 héorie de l élsticité Anisotrope et des plques en fleion Une plque peut être constituée d un mtériu homogène, ou être obtenue pr l empilement de différentes couches de mtériu orthotropes []. z o Surfce moenne Figure 4. Portion d une Plque Hpothèses : L théorie des plques [][3] repose sur les hpothèses suivntes : H. : Les contrintes normles σ sont négligebles pr rpport u utres composntes de zz contrintes : σ. zz H. : Les pentes de l surfce moenne près déformtion, sont supposées petites pr rpport à l unité (Petite défleion du pln moen). H.3 : Les points situés sur une normle à l surfce moenne vnt déformtion, restent sur cette normle u cours de l déformtion. m M S M m S 35

41 Chpitre4 héorie de l élsticité Anisotrope et des plques en fleion Les hpothèses H. et H.3 correspondent dns le cs bidimensionnel u hpothèses clssiques de l résistnce des mtériu vec conservtion des sections droites, elles correspondent ussi à l définition d un étt pln de contrinte. L théorie des plques dns lquelle on néglige les effets de cisillement trnsversl est due à Kirchoff (cs des plques minces). Il eiste des théories des plques qui permettent l prise en compte du cisillement trnsversl : ce sont les théories de Henck, Reissner et Mindlin ; Dns ce cs, il fut prendre en compte les déformtions de cisillement trnsversl et lors les fibres normles à l surfce moenne vnt déformtion ne le restent ps u cours de l déformtion [3]. Pour les plques orthotropes et composites, le rôle des déformtions de cisillement trnsversl dépend non seulement des crctéristiques géométriques (l élncement L/h), mis églement des crctéristiques mécniques représentées pr le rpport E/kG. Où : E : module de Young. G : module de cisillement trnsversl (C). k : fcteur de correction de cisillement trnsversl. L théorie de Kirchoff (théorie clssique des plques minces), peut être interprétée comme un cs prticulier de l théorie de Reissner/Mindlin, insi un bon modèle élément fini bsé sur l théorie de Reissner/Mindlin devr donner des résultts en ccord vec l théorie de Kirchoff si l influence du cisillement trnsversl est fible [] Conventions de signe pour les déplcements et rottions z w θ M β β Q M θ M Q M,v,u Figure 4. Conventions générles. 36

42 Chpitre4 héorie de l élsticité Anisotrope et des plques en fleion rottions Soient les déplcements dns le pln u et v, le déplcement trnsversl w et les β et β, ou θ et θ. On évidemment β θ β θ (4.) β et β : les rottions de l normle à l surfce moenne dns les plns (-z) et (-z) respectivement Reltions cinémtiques Chmp de déplcements Dns l théorie de Henck-Mindlin, (prise en compte du cisillement trnsversl), on se donne un modèle de déplcements bsé sur trois vribles indépendntes : le déplcement trnsversl w (, ) et les deu rottions β (, ) et β (, ). Le chmp des déplcements s eprime lors en fonction de ces trois vribles pr l reltion suivnte : u(,,z) z β (, ) v(,,z) β (, ) (4.) z w(,,z) w(,) β β Figure 4.3 Rottions β et β 37

43 Chpitre4 héorie de l élsticité Anisotrope et des plques en fleion Chmp de déformtions suivntes : L étt de déformtion en coordonnées crtésiennes est défini pr les epressions ε u ε v ε γ u + v (4.3) ε ε z z γ γ z u + z z w v + w z Après substitution des déplcements dns (4.3), nous obtenons les composntes du tenseur de déformtions en fonction des trois degrés de liberté w, β, β : ε ε β z β z β β γ z( + ) (4.4) γ γ z z β β + w + w Le vecteur de déformtion peut être décomposé en deu prties, l une indépendnte de z trduisnt les déformtions de cisillement notée { ε c } ou { } dépendnte de z représente les déformtions de fleion : ε { ε } ε z{ χ} f γ {} ε { ε }, { ε } } { { χ},{}} z γ f c γ, et l utre prtie { ε } (4.5) { } {} γ γ β + w z ε (4.6) c + w γ β z f 38

44 Chpitre4 héorie de l élsticité Anisotrope et des plques en fleion Avec : β β χ (4.7) β β + { } { χ }: est le vecteur des vritions de courbure. D où on peut écrire : { } {} ε { χ},{} γ (4.8) Reltions contrintes-déformtions [][3][35] ous considérons les reltions linéires entre les contrintes et les déformtions (loi de Hooke générlisée). Pour les mtériu orthotropes, l reltion lint les contrintes u déformtions s écrit : { σ} [ C]{ ε} telle que : [ C ] : mtrice de constntes élstiques. (4.9) Lorsque le cisillement trnsversl est pris en considértion, le vecteur de contrintes peut être églement décomposé en une contribution de cisillement { σ c }, et une contribution de fleion{ σ f } : { σ } f { σ } c [ C ] [ ] f ε [] [ C ] γ c f (4.) vec : { σ } { σ, σ, σ } { σ } { σ, σ } f c (4.) z z Q Q Q 44 C f Q Q [ C c ] (4.) Q55 Q66 [ ] E Q ν ν ν E Q ν ν 39

45 Chpitre4 héorie de l élsticité Anisotrope et des plques en fleion E Q G 66 ν ν Q (4.3) Q G 44 3 Q G 55 3 tels que : E : Module de Young dns l direction (). E : Module de Young dns l direction (). ν, ν : Coefficients de poisson. G, G, G : Modules de cisillement Reltions efforts résultnts-déformtions [][8][3] Pour l conception et le clcul des éléments de l mécnique, il est souvent intéressnt de connître les efforts de résistnce des mtériu. Les moments résultnts de fleion sont : M + h h { M } M z{ σ σ, σ } dz [ D ]{ χ} M Les efforts trnchnts sont : Q Q + h { Q} {, σ } dz [ D ]{} γ h z, (4.4) z c f σ (4.5) vec : h : L épisseur de l plque. [ ] D f 3 h E ν ν E ν ν ν E ν ν ν E ν ν G k : Coefficient de correction de cisillement trnsversl. [ D ] : Mtrice de rigidité à l fleion. f [ D c ] : Mtrice de rigidité cisillement trnsversl. G D c h k (4.6) G3 3 ; [ ] 4

46 Chpitre4 héorie de l élsticité Anisotrope et des plques en fleion Formultion en sttique linéire [] On boutit, dns le cs de l formultion en sttique et élsticité linéire, u sstème d équtions : [ ]{ q} { F} [ K ]: représente l mtrice de rigidité de l structure. { q } : vecteur de déplcements nodu. { F }: vecteur chrgement etérieur. K (4.7) Le théorème qui conduit à l reltion (4.7), dns le cs d une pproche de tpe «déplcement», est celui des trvu virtuels Principe des trvu virtuels : Soit un corps solide en équilibre sous l ction de forces : de volume S surfce f, et des forces concentrées. Considérons un chmp de déplcement virtuel i δu i cinémtiquement dmissible. V f, de i Le théorème des trvu virtuels [], [7], [], [3] eprime le biln des trvu virtuels interne et eterne, lorsque le corps est en équilibre : V S σ ij δεij dv fi δ ui dv + fi δ ui ds + Qi δ ui (4.8) V V S V : est le volume du corps ; S : l surfce etérieure du corps où les forces surfciques sont ppliquées ; V f : Forces volumiques ; i S f : Forces surfciques ppliquées à l surfce etérieure S du corps ; i Q : Forces concentrées ; i σ ij : enseur des contrintes ; ε ij : enseur des déformtions infinitésimles. 4

47 Chpitre4 héorie de l élsticité Anisotrope et des plques en fleion Sous forme mtricielle, nous vons : < > { σ} dv < δ u> { f } dv + < δu> { f } ds + < δu > { Q} V S i i δε (4.9) V V S i <ε > : Vecteur des déformtions, trnsposé ; { σ }: Vecteur des contrintes ; <u > : Vecteur des déplcements, trnsposé ; { f V } : Vecteur des forces volumiques ; { f S } : Vecteur des forces surfciques ; { Q i } : Vecteur des forces concentrées. 4

48 Chpitre 5 Elément finis de plque en sttique et en dnmique linéire CHAPIRE V : ELEMES FIIS DE PLAQUE E SAIQUE E E DYAMIQUE LIÉAIRE Dns ce chpitre nous eposons l formultion de l élément qudriltère isoprmétrique permettnt l nlse linéire sttique et dnmique des plques. En outre, sont eposés les clculs de l mtrice de rigidité, vecteur chrge équivlent insi que l mtrice de msse. Introduction L prise en compte du cisillement trnsversl modifie lrgement les principes d élbortion des éléments de plque. En effet, leur formultion est bsée sur l pproimtion de trois chmps indépendnts : le déplcement trnsversl et les deu rottions. Pr illeurs, leur conformité ne requiert que l continuité C de 5. Discrétistion du chmp de déplcements w, β, et β [],[3]. ous considérons des éléments de tpe qudriltère u quels nous ppliquons l formultion isoprmétrique [],[],[3]. η 4(-,) 3(,) (-,-) (,-) Coordonnées intrinsèques Elément prent Pour tout élément isoprmétrique qudriltérl à qutre nuds nous vons les pproimtions suivntes : ξ Figure 5. Elément isoprmétrique de plque vec cisillement trnsversl. [ ] ( ξ, η ) { X} [ ] ( ξ, η ) { Y} w ( ξ, η ) W (5.) ) β ( ξ, η ) β ) β ( ξ, η ) β 4 3 Coordonnées phsiques Elément réel w β β 43

49 Chpitre 5 Elément finis de plque en sttique et en dnmique linéire 44 Ou : e n i i w i w e n i i i β β (5.) e n i i i β β n e : indique le nombre de nuds pr élément. Les fonctions d interpoltion utilisées sont les fonctions d interpoltion hbituelles des qudriltères isoprmétriques. Dns le cs du qudriltère linéire, on : [ ] 4 3 (5.3) vec : ) )( ( 4 ), ( i i i η η ξ ξ η ξ + + (5.4) i ouη i ξ : prennt les vleurs (+) ou (-) suivnt le nud considéré. 4 3 w w w w W 4 3 β β β β β ) 4 3 β β β β β ) (5.5) 4 3 X 4 3 Y 5. Discrétistion du chmp de déformtions [],[3] Pr substitution de (5.), dns les reltions de déformtions (4.6) et (4.7), on obtient les mtrices d interpoltion des déformtions de fleion et de cisillement : {} { } + f W β β β β β β ε χ ) ) (5.6)

50 Chpitre 5 Elément finis de plque en sttique et en dnmique linéire 45 { } {} + + c W w w β β β β γ ε ˆ ˆ (5.7) Soit : { } { } [ ]{ } q f β f ε χ { } [ ] { } q β γ γ (5.8) Où : [ ] f β [ ] γ β (5.9) 5.3 Mtrice de rigidité L epression de l énergie de déformtion [], [7], [3] permet de clculer l mtrice de rigidité, soit : U F U C U + { } { } {}{ } {} [ ]{} + e e V V c f f q K q dv dv U σ γ σ ε (5.) { } [ ]{ } {} [ ]{} d d D dd D U e e S c S f + γ γ χ χ (5.) Après substitution des epressions de déformtions (5.8) dns l énergie de déformtion, nous obtenons : {} [ ] [ ][ ] {} {} [ ] [ ][ ] {} q dd D q q dd D q U U U e e S c S f f f C F + + γ β γ β β β (5.) D où : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]ds D ds D K K K e e S c f S f f c f + + γ β γ β β β (5.3) [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] det det η ξ β β η ξ β β γ γ d d J D d d J D K c f f f (5.4)

51 Chpitre 5 Elément finis de plque en sttique et en dnmique linéire 46 [ ] J : est l mtrice Jcobienne de l trnsformtion géométrique. L mtrice Jcobienne [ ] ), ( η ξ J [],[],[3] est : [ ] J J J J Y X Y X J η η ξ ξ η η ξ ξ (5.5) { } [] ξ j [ ] [ ] J j (5.6) [] [ ] det J J J J J j j j j j (5.7) Les déformtions {χ} et {γ} sont définies en fonction des vribles nodles : { } [ ]{ } q β f χ ; { } [ ]{ } q β γ γ vec : [ ] f β ; [ ] γ β (5.8) ξ η + j j ; ξ η + j j (5.9) L mtrice de rigidité [ ] K est obtenue pr intégrtion numérique de (5.4) de tpe Guss [],[],[3]. L intégrle peut être évluée en utilisnt l formule : + + ), ( ), ( r i r j j i j i f w w d d f η ξ η ξ η ξ (5.) Où :

52 Chpitre 5 Elément finis de plque en sttique et en dnmique linéire ξ, η i j : sont les coordonnées des points d intégrtion. w, w i j : sont les coefficients de pondértion (ou poids) correspondnts. η + η ξ 4 3 ξ - Figure 5. Intégrtion de Guss ( ) pour le qudriltère. 5.4 Vecteur chrge équivlent L énergie potentielle des forces etérieures [7],[3] eprimée à l ide des forces de surfce et de volume, s écrit : e e e {} u { f } dv + {} u { f } ds {} q { F} v s e W (5.) e V e S ous vons : {} e [ ]{} e e u q (5.) W e e e e [ ] { f } dv + q [ ] { f } ds q e { F} e (5.3) V S e e V S q e e e D où : { } [ ] { f } dv + [ ] { f } V S F ds (5.4) e V Pour une chrge uniforme réprtie f suivnt z, le vecteur des chrges équivlentes z ssociées u vribles W, l forme hbituelle : e S e { } [ ] e S e F f ds (5.5) z 47

53 Chpitre 5 Elément finis de plque en sttique et en dnmique linéire 5.5 Formultion des équtions de mouvement en dnmique linéire [3] A prtir du principe de Hmilton nous formulons l éqution différentielle du second ordre, crctérisnt le mouvement de l structure u cours du temps, ensuite nous procédons à l construction des mtrices de msse. Enfin, nous eposons l méthode de clcul utilisée (méthode d intégrtion directe de ewmrk) pour l résolution du sstème d équtions différentielles du second ordre. 5.6 Formultion des équtions de mouvement [3] Les équtions de Lgrnge permettent d obtenir les équtions du mouvement du sstème discret à prtir des epressions des énergies cinétiques, potentielle et de dissiption. Soit le Lgrngien : L V On respectivement pour l énergie cinétique et l énergie potentielle totle V : V U W ρ u& u& dv i i (5.6) U : Énergie de déformtion. V V σ ij ε W : Potentiel des forces conservtives de surfce et de volume. V f : Forces de volume. i ij dv S f : Forces surfciques ppliquées à l surfce etérieure du corps. i V f V i u i dv S f S i u i ds (5.7) L pproimtion nodle pour le déplcement { u (t)} d un point quelconque d un élément pour epression : { u (,, z, t) } e [ (,, z) ] e { q( t) } e On de même pour l composnte de vitesse : { u &(,, z, t) } e [ (,, z) ] e { q& ( t) } e On peut insi eprimer le Lgrngien à l ide des déplcements u nuds q i et de leurs dérivées : L ( q& ) V ( q ) (5.8) i i Pour une structure sns mortissement nous vons les équtions d Euler Lgrnge [3], [7], suivnte : ou encore : L L ( ) t q& i q i (5.9) 48

54 Chpitre 5 Elément finis de plque en sttique et en dnmique linéire U ( ) + F ( t ) i t q& q q i i i (5.3) vec : F i (t) : force définie pr le trvil virtuel des forces etérieures : δ W F i δ qi Pour les petits mouvements des sstèmes élstiques, les énergies cinétiques et de déformtion s epriment comme suit : n n q& M q& q& M q& (5.3) i ij j i j U n n q K q i ij j i j q K q (5.3) Les équtions de Lgrnge deviennent lors : [ M ] { q& } + [ K ] { q} { F (t )} & (5.33) 5.7 Mtrice de msses élémentires : L epression de l énergie cinétique [8], [3],[6] permet de clculer l mtrice msse : e e e e e { U& } { U& } dv {} q& [ M]{} q& ρ (5.34) V e On : { U } [ ]{} q e e & & (5.35) e e D où : {} q& ρ [ ] [ ] dv{} q& e vec : [ ] [ ] [ ] [ ] e M : Mtrice de msse cohérente de l élément e. V e V e (5.36) M ρ dv (5.37) 5.8 Intégrtion numérique : L formultion en éléments finis des mtrices de rigidité et de msse, insi que le vecteur des sollicittions, nous rmène à des epressions intégrles bidimensionnelles. Leur intégrtion eplicite n est fcile que pour les éléments les plus simples. Il est donc préférble d utiliser une méthode d intégrtion numérique. 49

55 Chpitre 5 Elément finis de plque en sttique et en dnmique linéire 5.8. Méthode de Guss : L intégrtion numérique à deu dimensions consiste à utiliser dns chque direction ξ et η une intégrtion numérique à une dimension. Si nous utilisons r points dns le sens ξ et r points dns le sensη, l méthode de Guss intègre ectement le produit d un polnôme en ξ d ordre r - et d un polnôme en η d ordre r -. Dns cette méthode on ne se donne ps priori l position des points d intégrtion mis on détermine cette position de fçon à minimiser l erreur L intégrle peut être évluée en utilisnt l formule : Où : + + f( ξ, η) dξdη WW f( ξ, η ) (5.38) i j ξ, η i j : sont les coordonnées des points d intégrtion. r r i j i j W, W i j : sont les coefficients de pondértions (ou poids) correspondnts Intégrtion réduite, intégrtion sélective : Les éléments de plque vec cisillement trnsversl sont limités à l modélistion des plques reltivement épisses, en effet, leur précision se dégrde très rpidement lorsque le prmètre d llongement de l plque λ (λ L/h, longueur crctéristique sur épisseur) devient grnd. Ainsi de tels éléments sont incpbles de simuler correctement le comportement de plque de tpe Kirchoff. Pour méliorer cette sitution on utilise l technique d intégrtion numérique sélective ; en effet, l mtrice de rigidité peut être considérée comme l somme d une mtrice de tpe fleion et d une mtrice de tpe cisillement, le choi d une intégrtion réduite à un point pour les termes de cisillement, lors que les termes de fleion sont intégrés vec ( ) points de Guss, méliore sensiblement cet élément. 5.9 Méthodes de résolution des sstèmes du second ordre [3]: Deu pproches fondmentles sont envisgebles pour l résolution d un sstème d équtions différentielles du second ordre, l une d entre elles consiste à résoudre ce sstème pr intégrtion directe, l utre méthode consiste à définir l solution dns l bse des modes propres de vibrtion de l structure, qui est ppelée méthode de superposition modle. Le choi entre ces deu strtégies dépend de l nture du problème (linéire ou non linéire) et du contenu fréquentiel de l ecittion. 5

56 Chpitre 5 Elément finis de plque en sttique et en dnmique linéire 5.9. L méthode de superposition modle : d être ecités. Convient u structures linéires dont les premiers modes propres sont susceptibles 5.9. L méthode de résolution directe : Cette méthode est utilisée pour les problèmes non-linéires ou si le contenu fréquentiel de l ecittion est susceptible d eciter un grnd nombre de modes de l structure. L nlse directe d une structure en régime trnsitoire implique l intégrtion ps à ps des équtions du mouvement : temps [ M ] { q& } + [ K] { q} { F (t)} & (5.39) Dns cette méthode, les vecteurs de déplcements, vitesses et ccélértions u t, sont connus, l période, sur lquelle l réponse est recherchée est subdivisée en n intervls de temps égle pproimtion de l solution u temps : t ( t ), et le schém d intégrtion emploé étbli une n t, t,k, t, t+ t,k,. Il eiste plusieurs méthodes de résolution directe, mis on étudier uniquement l méthodes de ewmrk qui est l plus utilisée en dnmique des structures, et que nous vons utilisé Méthode de ewmrk : L méthode de ewmrk [],[],[9]est une méthode implicite, qui permet de construire l solution à l instnt les hpothèses suivntes : t t + à prtir des vecteurs connus { } { U& } { U& } + [( α ){ U&& } + α { U&& }] t t+ t t t t + t U,{ U & }, { & } (5.4) { U } { U } + { U& } t + { U&& } + β { U&& } t t+ t t t t t+ t t t U & t β (5.4). Elle utilise Où : α et β sont des prmètres permettnt d obtenir l ectitude et l stbilité du schém d intégrtion. l incrément de temps t. En fit, le prmètre β contrôle l vrition de l ccélértion pendnt 5

57 Chpitre 5 Elément finis de plque en sttique et en dnmique linéire A l origine ewmrk propose comme un schém inconditionnellement stble, l règle trpézoïdle, dns lquelle α et β 4 (voir fig 5.3). ( && + & ) U t U t + t U & t && U t + t t t + t Figure 5.3 Schém de ewmrk. En plus des équtions (5.4) et (5.4), pour l solution des déplcements, vitesses, et ccélértions u temps ussi considérées : t+ t, les équtions de l équilibre dnmique u temps t+ t, sont [ M ] { U& } + [ K] { U } { F } & (5.4) t + t t + t t + t et{ } U t+ t En utilisnt l éqution (5.4) et (5.4), on peut tirer des équtions pour {& } &, en fonction des déplcements inconnus { } U t t + ; près substitution de ces deu reltions dns l éqution du mouvement u temps ( t + t ) On obtient : [ K]{ U t } { F } t + t + t (5.43) Où : [ K] [ K] + [ M ] { F } { F } + [ M ] [ { U } + { U& } { U& }] t+ t t + t t t + t U t+ t Les constntes d intégrtions sont données pr : t β t β β L éqution (5.43) est en fit dns une forme sttique. On vient de trnsformer l résolution d un problème dnmique on une résolution d un problème sttique. 5

58 COCLUSIO GEERALE Une prtie de ce trvil met en évidence certines rigidités et insuffisnces des logiciels de modélistion tnt u niveu de leurs structures de données que de leur rchitecture. Ces limittions constituent un hndicp croissnt à mesure que l on compleifie les codes, et deviendront bientôt pour l recherche des freins très pénlisnts. ous vons mis en vnt quelques orienttions qui nous prissent indispensbles à l écriture des logiciels modernes, l progrmmtion orientée objet (POO) nous semble pporter des voies prometteuses. Il est reconnu qu elle méliore grndement l fibilité des progrmmes, fcilitnt le développement et l mintennce. C++ est ctuellement l meilleure solution pour fire de l progrmmtion orientée objet. otre choi étit uniquement guidé pr des soucis de fibilité, de lisibilité, et de modulrité insi que le besoin d héritge et de liison dnmique. ous proposons une implémenttion de l MEF plus innovnte que celle des codes dont nous vons prlé. ous vons profité du pssge u objets pour concrétiser beucoup d idées nouvelles sur des entités qui interviennent dns l MEF. Cel nous permis de mieu les formliser et d obtenir des objets très proches de leur spécifiction mécnique ou mthémtique d origine. Il nous est ppru indispensble, u cours de notre développement, que tout soit trité en objet. Les pproches procédurles et orientée objet sont trop différentes pour pouvoir cohbiter hrmonieusement dns un même progrmme. Le fit de donner un sttut d objet u fonctions de bse permet, d une prt de leur délégué le trvil d évlution des vleurs et des dérivées, et d utre prt de pouvoir les mnipuler très simplement comme des objets mthémtiques. Les degrés de liberté forment des entités informtiques complètement utonomes. Ils possèdent une vleur, un tpe de chmp d inconnues, «svent» s ils sont bloqués ou non et connissent les prties d éléments finis sur lesquels ils s ppliquent. On pu lors définir les tpes «vecteur réel indicé pr des ddls» et «mtrice smétrique réelle indicés pr des ddls». Les mtrices de rigidité de msse et le second membre élémentire des éléments finis seront de ces tpes. Un «point de Guss» est vu comme un objet uniquement cpble de donner son poids et s position dns le repère de référence, c est vec des objets de cette clsse que seront effectués les intégrtions numériques (une etension de cette clsse suivnt l topologie du domine est possible). 83

59 L définition soignée de ces objets de bs niveu est fondmentle pour l implémenttion objet de l MEF. Ils sont mieu formlisés que dns les codes clssiques, permettnt une meilleure bstrction et offrent d intéressntes possibilités. L pproche orientée objet offre d indénible vntges pr rpport à l progrmmtion clssique structurée. L encpsultion des données méliorent grndement l modulrité, et pr là églement l fibilité et l lisibilité. L héritge permet une réutilisbilité utomtique des méthodes déjà développées, et le polmorphisme est un puissnt moen pour lever le niveu d bstrction. ous profitons de l pproche objet pour proposer des structures plus originles permettnt de triter nturellement un certin nombre de problèmes des implémenttions clssiques de l MEF. L progrmmtion orienté objet offre de réelles possibilités d évolution à l méthode des éléments finis. Pr une meilleure modulrité, une grnde souplesse d évolution grâce à l dérivtion de clsses et une bstrction élevée due u polmorphisme, l POO peut être un outil efficce pour mîtriser les codes de demin. L liison dnmique et le choi des clsses u dernier moment peuvent grndement fciliter l dptbilité et pilotge dnmique pr un sstème epert. Les codes numériques d nlse des structures ont toujours été développés pr des ingénieurs et des mécniciens ; il nous semble que les informticiens ont ujourd hui leur mot à dire dns ce domine. L progrmmtion devient une «science» à mîtriser à prt entière. 84

60 8 FEMOBJ ASYS F() defleion w(m) Fig 7.7 Réponse d une Plque crrée isotrope encstrée sur ses qutre cotés 3 FEMOBJ ASYS 5 F() defleion w(m) Figure 7.9 Réponse d une Plque crrée isotrope simplement ppuée sur ses qutre cotés

61 ,4 Solution élément fini / Solution élément fini /,3 K,,,,,,,3,4,5 / ou / Figure 7.6 : L défleion le long des deu demi-es de smétrie d une plque orthotrope simplement ppuée vec une chrge concentrée u milieu

62 Liste des figures LISE DES FIGURES CHAPIRE I Fig.. le Common blnc, les pointeurs et le vecteur F 5 CHAPIRE II Fig.. Fig.. Fig..3 Fig..4 Fig..5 Fig..6 Fig..7 Fig..8 Fig..9 Comportement et Ett d un objet... 4 Encpsultion des données 4 Concept de clsse... 5 régler les conflits dus à l héritge pr des déclrtions virtuelles.. 7 Arbre d héritge.. 8 différentes formes de polmorphisme 8 Polmorphisme et l ppel clculé.. 9 Inclusions des sous-clsses dns leur clsse prente. 9 Différent tpe de mode de progrmmtion CHAPIRE III Fig. 3. Fig. 3. Fig.3.3 non nticiption les niveu d bstrction en progrmmtion. l hiérrchie des clsses élément finis en C CHAPIRE IV Fig. 4. Fig. 4. Fig. 4.3 Portion d une Plque. Conventions générles.. Rottions β et β CHAPIRE V Fig. 5. Fig. 5. Fig. 5.3 Elément isoprmétrique de plque vec cisillement trnsversl... Intégrtion de Guss ( ) pour le qudriltère.. Schém de ewmrk III

63 Liste des figures CHAPIRE VI Fig.6. Fig.6. Fig.6.3 Fig.6.4 Fig.6.5 Fig.6.6 Fig.6.7 Fig.6.8 Fig.6.9 Fig.6. Equilibre. l Ett du problème. Surfce d écoulement dns le pln dévitorique l surfce d écoulement de Von Misès dns l espce de contrinte et dns le pln dévitorique Incrément de contrinte. L contrinte de retour dns le cs de e Von Misès cse: vue dns l espce de contrinte.. le retour rdil dns le cs de VonMisès: vue dns le pln dévitorique. lgorithme globl nonlinéire.. Orgnigrmme d'ppliction. les messges envoés pr les objets CHAPIRE VIII Fig.7. Fig.7. Fig.7.3 Fig.7.4 Fig.7.5 Fig.7.6 Fig.7.7 Fig.7.8 Fig.7.9 Fig.7. Fig.7. Fig.7. Fig.7.3 Fig.7.4 Fig.7.5 Plque crrée isotrope simplement ppuée sur ces qutre côtés soumise à une chrge concentrée P Convergence de l solution élément fini en fonction du millge pour une plque isotrope simplement ppuée. Plque crrée isotrope encstrée sous chrge concentrée.. Convergence de l solution élément fini en fonction du millge pour une plque isotrope encstrée sur qutre bords opposé.. Plque crrée orthotrope simplement ppuée sur ces qutre côtés soumise à une chrge concentrée P.. L défleion le long des deu demi-es de smétrie d une plque orthotrope simplement ppuée vec une chrge concentrée u milieu Plque crrée orthotrope encstrée sous chrge concentrée.. Convergence de l solution élément fini en fonction du millge pour une plque orthotrope encstrée sur ses qutre bords opposés. plque console isotrope sous une chrge concentrée u milieu de l etrémité libre.. Convergence de l solution élément fini d une plque console isotrope... Plque crrée isotrope simplement ppuée sur ces qutre côtés soumise à une chrge concentrée P. Réponse dnmique d une plque crrée isotrope simplement ppuée sur ces qutre côtés soumise à une chrge concentrée P. L influence du tpe d ppuis sur l réponse dnmique d une plque crrée isotrope Plque crrée isotrope simplement ppuée sur ces qutre côtés soumise à une chrge concentrée P. Réponse dnmique d une plque crrée orthotrope encstrée soumise à une chrge concentrée u milieu IV

64 Liste des figures Fig.7.6 Fig.7.7 Fig.7.8 Fig.7.9 Plque crrée isotrope encstrée sur ces qutre cotés Réponse d une Plque crrée isotrope encstrée sur ces qutre cotés Plque crrée isotrope simplement ppuée sur ces qutre cotés. Réponse d une Plque crrée isotrope simplement ppuée sur ces qutre cotés V

65 ottions et Smboles Smboles { } vecteur colonne < > vecteur ligne [ K ] mtrice (utilisé ussi pour les références) [ K ] mtrice trnsposée de l mtrice [ K ] [ K ] mtrice inverse de l mtrice [ K ] C d.d.l. P.O.O cisillement trnsversl degrés de liberté progrmmtion orientée objet f f, dérivée prtielle de f pr rpport à δ smbole de clcul des vritions sommtion intégrle α α tend vers l infini,, z coordonnées crtésiennes ottions σ ij ε ij tenseur des contrintes tenseur des déformtions C tenseur des constntes élstiques ijkl S tenseur des souplesses ijkl E module d Young dns l direction i,, 3 vec : i j i ν coefficient de poisson i, j,,3 vec : i j ij G module de rigidité u cisillement dns le pln (i,j) i,j,,3 vec : i j ij [ C ] mtrice des rigidités [ S ] mtrice des souplesses VI

66 ottions et Smboles { σ } vecteur des contrintes { ε } vecteur des déformtions { σ f } vecteur des contrintes de fleion { σ c } vecteur des contrintes de C { ε f } vecteur des déformtions de fleion { ε }, { γ } c vecteur des déformtions de cisillement trnsversl u, v déplcements suivnt, w déplcement trnsversl suivnt z θ, θ rottions utour des es et β, β rottions de l normle dns les plns (-z), (-z) respectivement h L L/h k { χ } épisseur de l plque longueur d une plque fcteur d élncement de l plque coefficient de correction de cisillement trnsversl vecteur des vritions des courbures [ C ], [ C ] f c mtrices de comportement élstique (fleion et C) [ D ], [ D ] f c mtrices de rigidités de : fleion, C M, M, M moments de fleion Q, Q efforts de cisillement trnsversl prllèle à l e des z, des sections V perpendiculire u es et volume du corps S surfce du corps où les forces surfciques sont ppliquées ds, dv éléments d ire et de volume v f i s f i Q i V U forces volumiques forces surfciques forces concentrées énergie potentielle totle énergie de déformtion énergie cinétique VII

67 ottions et Smboles L W le lgrngien trvil des forces ppliquées { } e u vecteur des déplcements en un point M de l élément e [ ] e mtrice des fonctions d interpoltion élémentire { q } e vecteur des déplcements nodu de l élément e { q } vecteur des déplcement nodu { q& &} vecteur des ccélértions nodles [ D ] mtrice d opérteurs différentielles [ β ] mtrice d interpoltion des déformtions [ β ], [ ] n e β f γ mtrices d interpoltion des déformtions de fleion et cisillement nombre de degrés de liberté de l élément (ou nombre de nuds pr élément) nombre de degré de liberté de l structure [ ] e K mtrice de rigidité élémentire [ M ] e mtrice de msse cohérente élémentire [ J ] mtrice Jcobienne de l trnsformtion géométrique [ j ] mtrice inverse de l mtrice [ J ] [ K ] mtrice de rigidité globle [ K ], [ K ] f c mtrice de rigidité de fleion et de C [ M ] mtrice de msse globle { F (t)} vecteur globl des sollicittions etérieures α, β prmètres du schém d intégrtion de ewmrk t t,., 5 temps incrément de temps constntes d intégrtion, L côté de l plque ν ρ coefficient de poisson msse volumique D P W m coefficient de rigidité de fleion intensité d une chrge distribuée uniformément déplcement miml VIII

68 ottions et Smboles Q4 Γ Γ J S p d R élément qudriltère à 4 nuds conditions u limites de ewmnn conditions u limites de Dirichlet second invrint tenseur de contrinte dévitorique tenseur de contrinte hdrosttique tenseur unitire. ron du clindre e de incrément de déformtion élstique p de incrément de déformtion plstique d σ incrément de contrinte r (σ ) vecteur d écoulement plstique f d g fonction d écoulement muliplicteur plstique L(U) éqution différentielle IX

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72 RESUME L nlse numérique est en trin de vivre une triple révolution. En premier lieu, son chmp d ction est de plus en plus vste et complee. Fortrn, outil (logiciel) trditionnel des numériciens conçu il plus de 3 ns, du ml à suivre cette évolution. L seconde muttion qui frppe l nlse numérique s ppelle «dpttivité utomtique» ; nous sommes loin des données sttiques entrées pr l utilisteur, l progrmmtion structurée ne nous semble ps un outil déqut à cette nouvelle forme d nlse numérique. Enfin, l ccroissement considérble de l mémoire centrle des ordinteurs permet ujourd hui d envisger des structures de données plus riches. Il été insi ccepté jusqu à récemment que les codes éléments finis ne pouvient réliser que des nlses sur des données sttiques et bien définis u déprt pr l utilisteur. Les résultts du clcul devient églement suivre un formt déterminé. Ainsi -t-on continué de développer les codes de modélistion vec le lngge Fortrn et le stle procédurl, bien dptés à ce monde «de serveur numérique». A l opposé, en conception ssistée pr ordinteur, les données sont chngentes en vleur, mis ussi en forme. Elles sont modifiées pr le logiciel ou, de mnière itértive, pr l utilisteur. Le développement de tels logiciels de CAO se fit en plus en utilisnt des lngges modernes et des méthodologies logicielles fondées sur l pproche objet. Le C++ est ctuellement l meilleure solution pour fire de l progrmmtion orientée objet. ous proposons une implémenttion de l MEF plus innovnte que celle des codes dont nous vons prlés. L progrmmtion orientée objet (POO) nous semble être des voies prometteuses. Il est reconnu qu elle méliore grndement l fibilité des progrmmes, fcilite le développement et l mintennce. Le but de cette thèse est de proposer des «définitions objets» des entités intervennt dns l méthode des éléments finis, plus précisément dns l implémenttion de l élément plque isotrope et orthotrope dns le cs dnmique, sttique linéire et sttique non-linéire vec l pproche orientée objet en utilisnt le lngge C++. II