Intégrales généralisées

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1 3 Iégrles géérlisées Pour ce chpire, les focios cosidérées so priori défiies sur u iervlle réel I o rédui à u poi, à vleurs réelles ou complees e coiues pr morceu. L défiiio e les propriéés de l iégrle de Riem sur u segme so supposées cquises. Ces iégrles de Riem sur u segme so ussi ppelées iégrles défiies. 3. Défiiios e eemples d iégrles géérlisées Ds u premier emps, o se doe u iervlle réel I = [, b[ vec < < b + e ue focio f : [, b[ R ou C coiue pr morceu. O rppelle ou d bord l défiiio d ue focio coiue pr morceu sur l iervlle I. Défiiio 3. O di qu ue focio f défiie sur l iervlle I es coiue pr morceu sur ce iervlle s il eise ue subdivisio = < < < p < p+ = b elle que l focio f soi coiue chcu des iervlle ] k, k+ [ k p e dmee ue limie à droie e e des limies à droie e à guche e chcu des pois k k p. Avec les oios de cee défiiio, l resricio de l focio f à l iervlle ] p, b[ se prologe e ue focio coiue sur [ p, b[ e pour ou eier k compris ere e p, l resricio de l focio f à l iervlle ] k, k+ [ se prologe e ue focio coiue sur [ k, k+ ]. Ue focio coiue pr morceu sur I es doc e priculier locleme iégrble sur ce iervlle, ce qui sigifie qu elle es iégrble sur ou segme [α, β] I. Si f es coiue pr morceu sur I, o peu défiir s primiive F ulle e, c es-à-dire l focio défiie sur [, b[ pr : Préciséme, pour [, [, o : [, b[, F = F = f d f d. 45

2 46 Iégrles géérlisées e pour [ k, k+ [ vec k compris ere e p, o : k F = j= j+ j f d + k f d. Défiiio 3. Avec les oios qui précède o di que l iégrle de f sur [, b[ es covergee, si l focio F dme ue limie fiie qud ed vers b ds I. Ds ce cs o oe f d cee limie. Le sclire isi défii es ppelé l iégrle géérlisée ou impropre de f sur [, b[. Ds le cs où F ps de limie fiie e b o di que l iégrle de f sur [, b[ es divergee. O doc, e cs de covergece : f d = lim b f d. Remrque 3. Si f : [, b[ R ou C es ue focio coiue pr morceu e si c [, b[ lors l iégrle de f es covergee sur [, b[ si, e seuleme si, l iégrle de f es covergee sur [c, b[ le problème de l covergece se pose e b e ds ce cs, o : f d = c f d + c f d. Cel résule immédieme de l relio de Chsles pour les iégrles défiies : ], b[, f d = c f d + c f d. O défii de mière logue l iégrle d ue focio f à vleurs réelles ou complees défiie sur u iervlle ], b] vec < b < + e coiue pr morceu sur ce iervlle pr : f d = lim f d qud cee derière limie eise. Ds le cs d ue focio f défiie sur u iervlle ], b[ vec < b + e oujours coiue pr morceu, o di que l iégrle de f es covergee sur ], b[ si pour ou c ds ], b[ chcue des iégrles c f d e c f d es covergee. Ds ce cs l somme de ces iégrles impropres e déped ps de c, ce qui perme de défiir l iégrle géérlisée de f sur ], b[ pr : f d = c = lim f d + c f d y f d + lim f d. y b Le lemme qui sui jusifie l ffirmio précédee e ous di ussi qu il suffi de vérifier l covergece des iégrles c f d e c f d pour ue vleur de c.

3 Défiiios e eemples d iégrles géérlisées 47 Lemme 3. Si, vec les oios qui précède, il eise u réel c ], b[ el que les iégrles c f d e c pour ou réel d ], b[, o : f d soie covergees, lors l iégrle de f sur ], b[ es covergee e d f d + d f d = c f d + c f d. Démosrio. Il suffi d uiliser l relio de Chsles pour les iégrles défiies. Pr bus de lgge, l epressio «éudier l ure de f d», ss svoir si cee iégrle coverge ou o es u rccourci pour «éudier l covergece de l iégrle de f sur ], b[». Remrque 3. Il fu bie oer que l divergece de l ue des deu iégrles c f d équivu à l divergece de f d. Remrque 3.3 Ds le cs où = e b = + l eisece de c lim + lim + f d e f d e prouve ps l covergece de l iégrle de f sur ], + [. Pr eemple pour f = o f d = pour ou > e pour l iégrle diverge. E effe f d = +. Pour prouver l covergece de l iégrle de f sur ], + [ o doi prouver idépedmme l covergece de lim + f d e lim + f d. Eercice 3. Morer que l iégrle de f : e e d =. Soluio 3. Pour ou > o : F = e d = e es covergee sur [, + [ e que. + Eercice 3. Morer que l iégrle de f : es covergee sur [, + [ e + d + = π. Soluio 3. Pour ou > o : F = d = rc + + π. Eercice 3.3 Morer que l iégrle de f : es covergee sur ], ] e Soluio 3.3 Pour ou ], ] o : d =. F = d =.

4 48 Iégrles géérlisées Eercice 3.4 Morer que l iégrle de f : es divergee sur ], ]. Soluio 3.4 Pour ou ], ] o : F = d = +. + Eercice 3.5 Morer que l iégrle de f : si es divergee sur [, + [. Soluio 3.5 Pour ou > o : F = e l focio cos ps de limie à l ifii. si d = cos Eercice 3.6 Morer que l iégrle de f : l es covergee sur ], ] e. l d = Soluio 3.6 O : l d = l +. Eercice 3.7 Morer que l iégrle de f : sur ], + [ e f d =. e + l Soluio 3.7 Ue primiive de f = e e e l + e es : F = l e e e l = l + l e e o : ce qui doe f d =. lim F = e lim F = + Eercice 3.8 Morer que l iégrle de f : d = π. Soluio 3.8 Pour ou [, [ o : F = e pr prié, pour y ], ] : G y = ce qui doe le résul océ. y y d = d = rcsi e es covergee es covergee sur ], [ e π du = rcsi y u y π

5 Défiiios e eemples d iégrles géérlisées 49 L rgume de prié uilisé vec l eercice précéde es géérl. Préciséme, o le résul suiv. Théorème 3. Soi f ue focio à vleurs réelles ou complees défiie e coiue pr morceu sur u iervlle ], [ vec < +. Si f es pire [resp. impire], lors f d es covergee si, e seuleme si, pour f pire : e pour f es impire : f d = f d =. f d l es. E cs de covergece, o f d. Démosrio. Supposos ou d bord f pire. L codiio écessire es ue coséquece immédie des défiiios. Si f d coverge, lors l focio F défiie sur ], [ pr F = f d ue limie fiie e. Noos l cee limie. Pour y ], [, le chgeme de vrible u = doe : e le résul océ. G y = y f d = y f u d = F y l y Pour f impire, o G y = F y l e f d =. y Ds le cs où l focio f, défiie sur [, b[ vec b fii, dme ue limie fiie l e b, le problème de covergece de l iégrle es u fu problème. E effe, e pos f b = l l focio f se prologe pr coiuié e b e désig pr F l primiive ulle e de l focio coiue pr morceu f sur [, b], l focio F es coiue e b e o : lim b f d = lim b F F = F b F = l derière iégrle é ue iégrle de Riem. f d Eercice 3.9 Soi λ u ombre complee. Éudier l ure de l iégrle précis s vleur e cs de covergece. e λ d e Soluio 3.9 Soi F l primiive de f défiie sur ], + [ pr : si λ = F = e λ d = e λ si λ λ Pour λ =, o lim F = + e l iégrle diverge. + Pour R λ >, o : F = e λ λ e λ e Rλ = λ e λ λ e λ e Rλ + +

6 5 Iégrles géérlisées e l iégrle diverge. Pour R λ <, o : e λ λ = erλ λ + e l iégrle coverge vers λ. Il rese à cosidérer le cs où R λ =, soi le cs où λ = iy vec y R λ = es déjà éudié. Ds ce cs l iégrle diverge puisque l focio ϕ : e iy ps de limie à π l ifii l suie ϕ = e iπ y = es divergee. Eercice 3. Soi f C R; R elle que. Eisece e clcul de. Clcul de Soluio 3.. E o F = fiis, o : f + f d. rc + rc d. lim f = l e lim + f = l. f d pour > e e uilis le héorème des ccroissemes f + f d = [F + F ] = F + F F = f c F où c ], + [. E fis edre vers +, o e dédui que : De mière logue, o vérifie que : f + f d = l F. f + f d = F l e : f + f d = l l.. Avec f = rc ± π, o dédui que : ± rc + rc d = π.

7 Les iégrles de Riem 5 3. Les iégrles de Riem Ue fmille impore d iégrles géérlisées es doée pr celle des iégrles de Riem. Théorème 3. Soie α u réel e f l focio défiie sur ], + [ pr : f : α.. L iégrle de f sur [, + [ es covergee si, e seuleme si, α > vec : α >, d = α α.. L iégrle de f sur ], ] es covergee si, e seuleme si, α < vec : Démosrio.. Pour > o : e e coséquece : d α = α <,. De même pour < < o : d = α e : α d = α α. α si α, l si α =. { d lim + = si α >, α α + si α. α α si α, l si α =. { d lim + = si α <, α α + si α. Remrque 3.4 O pourr oer l logie ere les iégrles de Riem sur [, + [ e les séries de Riem. Remrque 3.5 L iégrle d es divergee quel que soi le réel α. α O peu morer de mière logue ou e effecu le chgeme de vrible u = b [resp. u = ] que pour < b e α ds R l iégrle de f : b α [resp. f : α ] sur [, b[ es covergee si, e seuleme si, α < vec : α <, d b d b α = α = α b α.

8 5 Iégrles géérlisées Pr eemple, pour =, b = e α =, o : d =. 3.3 Opérios sur les iégrles géérlisées O se plce sur I = [, b[ e se doe deu focios f e g coiues pr morceu sur ce iervlle. Théorème 3.3 Si les iégrles de f e g sur I so covergees, il e es lors de même de l iégrle des focio f e f + λg pour ou ombre complee λ e o : f d = f d Si f d coverge e f + λg d = g d diverge, lors f d + λ g d. f + g d diverge. Démosrio. Résule immédieme des résuls relifs u opérios sur les limies. Pour ce qui es de l somme de deu iégrles divergees, o e peu rie dire priori comme le more l eemple des focios f =, f = e f =, f = sur ], ]. Pour ce qui es du produi des deu focios f e g d iégrles covergees, o e peu rie dire priori comme le more l eemple des focios f =, g = e f =, g = sur ], ]. Corollire 3. Si f es à vleurs complees, lors si, les iégrles o : R f d e f d = f d es covergee si, e seuleme I f d so covergees e e cs de covergece, R f d + i I f d. Démosrio. Résule de f = R f + ii f e de R f = f + f Eercice 3. Soie, b deu ombres réels. Éudier l ure de l iégrle e précis s vleur e cs de covergece., I f = f f. i e cos b d

9 Opérios sur les iégrles géérlisées 53 Soluio 3. Pour b =, l eercice 3.9 ous di que cee iégrle coverge si, e seuleme si <. Pour b, le chgeme de vrible = u π ous di que cee iégrle coverge si, e b seuleme l iégrle e π b e cos bu π du coverge, ce qui es ecore équivle à dire que l iégrle E o λ = + ib, o : π b e si b d coverge. e cos b = R e λ, e si b = I e λ e uilis le résul de l eercice 3.9, o dédui que l iégrle si, e seuleme si <. Pour < e b R, o lors : e cos b d = R e λ d = R = λ + b. e cos b d coverge L uilisio du héorème d iégrio pr pries ou du héorème de chgeme de vrible pour les iégrles défiies es prfois uile pour jusifier l covergece d ue iégrle. Théorème 3.4 Iégrio pr pries Si f, g so de clsse C sur I e si lim f g b eise, lors les iégrles de covergece, o : f g d e f g d = lim b f g f g f g d so de même ure e e cs f g d. Démosrio. Le héorème usuel d iégrio pr pries ous perme d écrire pour ou I : f g d = f g f g f g d e vec l hypohèse lim b f g = l, o dédui le résul océ. Ds l prique il es préférble de repredre l démosrio de ce héorème sur l iégrle éudiée e effecu ue iégrio pries sur [, ] puis e pss à l limie. Eercice 3. Morer que N. e d es covergee e clculer s vleur I pour ou Soluio 3. O I = e d =. e ue iégrio pr pries ous more que I + = + I, ce qui doe I =!. Eercice 3.3 Morer que l iégrle l d coverge e clculer s vleur. +

10 54 Iégrles géérlisées Soluio 3.3 Ue iégrio pr pries ous doe pour ], ] : [ ] l F = + d = l d [ ] l = l + + l = l l l. Eercice 3.4 Morer que l iégrle rc d coverge e clculer s vleur. rc Soluio 3.4 Avec lim =, o prologe pr coiuié e l focio à iégrer e le seul problème de covergece es à l ifii. Ue iégrio pr pries ous doe pour > : [ rc F = d = rc ] d = rc + d + 4 l focio g : rc se prologe ussi pr coiuié e vec g = e l décomposiio e élémes simples de + = 4 + doe I = π les déils so lissés u leceur. Théorème 3.5 Chgeme de vrible Soie ϕ u C -difféomorphisme croiss de J = [α, β[ sur I = [, b[ e f ue pplicio coiue sur l iervlle I à vleurs réelles ou complees. Les iégrles covergece, o : β α f ϕ ϕ d e f d = β α f d so de même ure e e cs de f ϕ ϕ d. Démosrio. O désige respeciveme pr F e G, l primiive de f sur I ulle e e l primiive de f ϕ ϕ sur J ulle e α. Avec F ϕ = f ϕ ϕ = G e F ϕ α = F = = G α, o dédui que G = F ϕ. Dire que f d coverge équivu à dire que F ue limie fiie e b e vec lim ϕ = β b, o dédui que : ce qui sigifie que β α Réciproqueme si G = F ϕ = F ϕ f ϕ ϕ d coverge vers β α β f d. f d f ϕ ϕ d coverge, lors G ue limie fiie e β e vec lim b ϕ = β ϕ es u homéomorphisme, o dédui que : F = G ϕ = G ϕ b β α f ϕ ϕ d

11 Opérios sur les iégrles géérlisées 55 ce qui sigifie que f d coverge vers β α f ϕ ϕ d. Ds l prique, o effecue le chgeme de vrible sur l iégrle défiie o psse à l limie esuie. f d e Eercice 3.5 Morer que l iégrle d coverge e clculer s vleur. + Soluio 3.5 Le chgeme de vrible = u du doe I = e ue décomposi- + u3 io e élémes simples doe I = 4 9 3π. Eercice 3.6 Prouver l covergece e clculer l si d. Soluio 3.6 Pour >, o : si f = l si = l + l si si vec lim l = l =, doc l se prologe pr coiuié e + e comme l d es covergee eercice 3.6, o e dédui que covergee. Noos I l vleur de cee iégrle. Le chgeme de vrible u = π ous doe pour < < π : l si d es ce qui sigifie que O peu lors écrire que : = l si d = l cos d = I. I = si l d = Le chgeme de vrible u = ous di que l cos d l si d + l si d = I + l cos d l si d π l. l si d es covergee e : l si d De même, le chgeme de vrible u = π ous doe : π l si d = l cos d = I.

12 56 Iégrles géérlisées O doc e défiiive : I = e I = π l. l si d π l = I π l Eercice 3.7 Soi f : [, + [ R coiue elle que l iégrle Pour < < b e < < y o pose : f d coverge.. Morer que : O oe G =. Morer que lim H y =. y + 3. Morer que F, y = F, y = y f d e H y = G = 4. Morer que lim G = f l 5. Morer que : Soluio 3.7 b f f b d y f d y f d. y y f d f f d + f l. b f f b b d = f l. Les chgeme de vribles u = e v = b vec > e b > doe : F, y = = y. Avec l covergece de I = H y = f y d f u u du + y = y b f b y d = f u u du f d f d, o : f y d y b y y f d f u by u du f v v dv b y y f v v dv f v v dv f d = G H y I I =. y +

13 Opérios sur les iégrles géérlisées O pour >, b > e > : G = f d = f f = = f f + f d d + f [l ] b f f d + f l 4. Comme f es coiue e, pour ou réel ε >, o peu rouver u réel η > el que : < < η f f < ε e pour < < η, o [, b] ], η[ de sore que : b b f f ce qui prouve que lim 5. Pre = e y >, o : F, y = d f f y b f f b d d ε d = e lim G = f l b = ε l b. f f b d = G H y G y + f f b ce qui prouve que l iégrle d coverge vers G. Puis pre y = e < <, o : f f b b F, y = d = G H f l H ce qui prouve que l iégrle Il e résule que vec : O doc bie : Pr eemple pour f = o e pre = e b = : ou ecore : f f b d coverge vers f l f f b d coverge vers : f l b + G H G H = F, =. f f b b d = f l. si qui es bie coiue e vec si si d = l si cos d = l, b H. si d covergee,

14 58 Iégrles géérlisées Eercice 3.8 Soi f : ], + [ R coiue elle que lim f = α e s ispir de l eercice précéde, morer que pour < < b o : f f b b d = α β l. Soluio 3.8 Pour < < y o pose : e o : F, y = F, y = Avec lim f = α, o dédui que : e vec lim f = β, o dédui que : + y f by d y f f b d b lim G = α l lim H y = β l y + f d = G H y b lim f = β. E + Fisos le pour l deuième limie : pour ou réel ε >, o peu rouver u réel M > el que : > M f β < ε e pour y > M, o [y, by] ]M, + [ de sore que : y y f β y d y f β by d d ε y = ε l b, ce qui prouve que lim y + y y f β d = e vec : y f β b H y = d + β l y b o e dédui que lim H y = β l. y + O coclu lors comme pour l eercice précéde. Pre f = rc, =, b =, o obie : rc rc d = π l. Eercice 3.9 O cosidère pour r, s R, l iégrle : s I r, s = l r d, où ], [.

15 Opérios sur les iégrles géérlisées 59 s. Clculer l limie lim r l suiv les vleurs de r e s. + s. Morer que l iégrle l r d si, e seuleme si, r > e s >. O oer I r, s cee iégrle géérlisée pour r > e s >. 3. Si r > e s >, morer que : I r, s = e r+ s d = 4. Morer que pour s >, I, s = si, s. 5. E déduire l vleur de I r, pour ou r > e N. Soluio 3.9. Le chgeme de vrible = ous doe : s l s lim r l = lim = + r s+ I, s. r + si r > e s R si r = e s < si r = s = + si r = e s > + si r < e s R. L iégrle s e l r e d d = r l s es ue iégrle de Berrd e o si qu elle coverge si, e seuleme si r < e s R ou r = e s >. Le chgeme de vrible = l ous more que l iégrle de même ure que l iégrle e d r l s es d, cee derière é de même ure que e r+ s d l iégrle de Riem, doc covergee uiqueme pour s <. s s E coclusio, l iégrle l r d coverge si, e seuleme si, r > e s >. 3. E effecu le chgeme de vrible = l, o, pour r > e s > : s + I r, s = l r d = e r+ s d e le chgeme de vrible u = r +, ous doe : I r, s = e u u s du r + s 4. Pour s >, ue iégrio pr pries doe : I, s = [ s e ] + + s r + = s+ I, s. r + s e d = si, s

16 6 Iégrles géérlisées 5. Avec I, = I, pour ou eier, o dédui pr récurrece que I, =!I, =!. Il e résule que : I r, = pour ou eier urel e ou réel r >. r + + I, =! r Ue codiio écessire de covergece de f d O si qu ue codiio écessire de covergece d ue série umérique es que so erme géérl ede vers. Ds le cs des focios coiues, l covergece de f d implique ps écessireme que f soi ulle à l ifii comme le more l eemple de l eercice qui sui. Eercice 3. Soi f l focio f ffie pr morceu e coiue sur [, + [ elle que :, f + = e : Morer que, f = f + = f + + = f + =. f d es covergee e que f es ps ulle à l ifii Fig. 3. y = f

17 Ue codiio écessire de covergece de f d 6 Soluio 3. Pour ou réel, o, e o [] l prie eière de : F = f d []+ f d = [] k= =. k [] L focio F es doc croisse mjoré sur R + e e coséquece dme ue limie fiie e +, ce qui sigifie que l iégrle f d es covergee. Comme lim f + = +, l focio f ps de limie fiie e +. + Avec l eercice 3.3, o doe u ure eemple de elle siuio. Ds le cs où l focio f es uiforméme coiue sur R +, l codiio lim f = + es ue codiio écessire de covergece de l iégrle. Théorème 3.6 Soi f ue focio uiforméme coiue sur I = [, + [. Si l iégrle f d coverge, o lors lim f =. + Démosrio. Il suffi de cosidérer le cs d ue focio f à vleurs réelles. Dire que f e ed ps vers à l ifii sigifie qu o peu rouver u réel ε > el que :, f ε. Si o suppose de plus que f es uiforméme coiue sur I, il eise u réel η > el que :, y I e y η f f y ε. E priculier, o pour ou : [, + η] ε f f ε. Pour f > comme f ε, f es o ul, o : [, + η] f f ε ε > e pour f <, o : [, + η] f f + ε ε < soi f ε pour ou [, + η] vec f de sige cos sur [, + η] ds ous les cs e : +η +η f d = f d ηε de sore que F : diverge. f d e peu voir de limie fiie à l ifii e l iégrle f d

18 6 Iégrles géérlisées 3.5 Cs des focios à vleurs posiives. Iégrles bsolume covergees O se plce sur I = [, b[ vec < < b + e se doe ue focio f coiue pr morceu sur ce iervlle. O désige oujours pr F : ulle e. Théorème 3.7 Si f es à vleurs posiives e si Ds le cs où f es coiue sur I, l églié es ideiqueme ulle. f d coverge, lors f d l primiive de f f d. f d = es rélisée si, e seuleme si, f Démosrio. Se dédui de l défiiio, des propriéés des limies e du résul logue sur les iégrles de Riem des focios coiues. O rppelle que si F es ue focio croisse de I = [, b[ ds R, elle dme lors ue limie fiie e b si, e seuleme si, elle es mjorée. Ds le cs où elle es mjorée, o : lim F = sup F b [,b[ e ds le cs corire, o lim b F = +. Comme coséquece de ce résul, o le suiv. Théorème 3.8 Si f es à vleurs posiives, lors l iégrle de f sur [, b[ es covergee si, e seuleme si, l focio F es mjorée. Démosrio. Comme f es posiive, l primiive F es ue focio croisse e elle ue limie fiie e b si, e seuleme si, elle es mjorée. Si F es ps mjorée, o lors F = +. lim + Pour f à vleurs posiives : e cs de divergece o cs de covergece, o oer urelleme f d < +. f d = lim F = + e e + Le cs d ue focio f à vleurs posiives se rmèe à celui d ue focio posiive e éudi g = f. O dédui du résul précéde u héorème de compriso logue à celui obeu pour les séries umériques. Théorème 3.9 Soie f, g deu focios défiies, coiues pr morceu sur [, b[, à vleurs réelles posiives e elles que : [, b[, f g.. L covergece de l iégrle de g sur [, b[ erîe l covergece de l iégrle de f sur [, b[ vec : f d g d.

19 Cs des focios à vleurs posiives. Iégrles bsolume covergees 63. L divergece de l iégrle de f sur [, b[ erîe l divergece de l iégrle de g sur [, b[. Démosrio. E o F = f d e G = g d pour ou ds [, b[, o F G pour ou ds [, b[. Si l iégrle de g sur [, b[ es covergee l focio G es lors borée e il e es de même de l focio F de sore que l iégrle de f sur [, b[ es covergee. Si l iégrle de f sur [, b[ diverge lors lim F = + e lim G = + de sore que b b l iégrle de g sur [, b[ es ussi divergee. Eercice 3. Éudier l ure de l iégrle d. Soluio 3. Pour ], ], o : = k k = k= k= doc < e l iégrle diverge comme d. Eercice 3. Morer que l iégrle de f : e es covergee sur ], + [. Soluio 3. L focio é pire, il suffi d éudier l covergece e +. Pour ou o e : F = e d = e d + e d e d + e d e d +. L focio f é posiive, il e résule que F es croisse e mjorée, elle dme doc ue limie e +. O morer plus loi que : e d = π. Défiiio 3.3 O di que l iégrle de f sur [, b[ à vleurs réelles ou complees es bsolume covergee si f d < +. Comme pour les séries umérique, o dispose du résul suiv. Théorème 3. Soi f ue focio coiue pr morceu sur [, b[ vec < < b +. Si l iégrle de f sur [, b[ es bsolume covergee elle es lors covergee e o : f d f d.

20 64 Iégrles géérlisées Démosrio. O cosidère ou d bord le cs d ue focio f à vleurs réelles d iégrle bsolume covergee. De f f f, o dédui que g = f + f f, ce qui implique l covergece de g d e celle de f d puisque f = g f. Ds le cs d ue focio f à vleurs complees d iégrle géérlisée bsolume covergee, o écri que f = u + iv, où u = R f, v = I f e vec u f, v f, o dédui que les iégrles de u e v so bsolume covergees, doc covergees e l covergece de f d sui. Ce résul peu ussi se morer e uilis le crière de Cuchy pour les limies de focios à vleurs réelles ou complees. Tou d bord voyos comme le crière de Cuchy pour les focios ous fouri u crière de covergece des iégrles géérlisées. Théorème 3. Soie < < b + e f ue focio coiue pr morceu sur [, b[. L iégrle de f es covergee sur [, b[ si e seuleme si pour ou réel ε > il eise u réel c ], b[ el que : y c < < y < b f d < ε. Démosrio. Il s gi simpleme du crière de Cuchy pour l focio F qui ous ssure de l eisece de l limie e b. Le héorème 3. peu lors se morer comme sui. Pour ous < y ds [, b[ o : y y f d f d. De l covergece de f d o dédui que pour ou ε > o peu rouver u réel c ε y y ds [, b[ el que pour c ε < < y < b o i f d < ε ce qui erîe f d < ε. Le crière de Cuchy perme lors de coclure. Eercice 3.3 Morer que les iégrles coverge e clculer leur vleur. l + d e d ch l Soluio 3.3 Au voisige de l ifii, o f, doc l première iégrle 3 coverge coverge. Ue iégrio pr pries ous doe pour > : [ ] l F = + d = l d [ ] l = + + [ = l + + l + d ]

21 Cs des focios à vleurs posiives. Iégrles bsolume covergees 65 e : lim F = l = + l. Au voisige de l ifii, o f, doc l deuième iégrle coverge. Le chgeme e de vrible u = e ous doe : I = du + u = π. Eercice 3.4 Morer que pour ou réel α > les iégrles so bsolume covergees. cos d e α si d α Soluio 3.4 Résule immédieme de l covergece des iégrles de Riem à l ifii pour α > e de :, cos α e si α α. α Eercice 3.5 Morer que pour ou réel α > les iégrles so covergees. Soluio 3.5 O rie le cs de si d. Ue iégrio pr pries doe, pour ou réel > : α si cos d = cos + α α α O coclu lors vec l bsolue covergece de o α + >. cos α α cos d. α+ cos d e vec : α+ + cos d e α si d α Eercice 3.6 Nure de si cos + d. Soluio 3.6 L focio f es coiue sur [, + [. U développeme limié ous doe pour : = f = si + cos si cos + cos + ε

22 66 Iégrles géérlisées vec lim ε =. Soi : + vec si cos covergee. si f = si + si cos + ε + ε pour ssez grd. Il e résule que f d es Eercice 3.7 Soi f ue focio coiue sur [, + [ elle que l focio F : f f d soi borée. Éudier l covergece de d. Soluio 3.7 O désige pr M es u mjor de F. Ue iégrio pr pries doe pour ou réel > : [ ] f F F d = + d vec : F M + e F M, ce qui erîe l covergece bsolue de F d e : f d = F d F. Défiiio 3.4 O di que l iégrle de f sur [, b[ es semi-covergee si elle es covergee e o bsolume covergee. Nous verros plus loi eercice 3.35 que pour < α l iégrle semi-covergee. si d es α Eercice 3.8 Morer que les iégrles géérlisées covergees e que : si d = si d. si d e si d so si Soluio 3.8 Comme lim =, il y ps de problème de covergece e e l eercice précéde ous di que d es covergee. si Avec si si, o dédui que d es covergee. Pour ous réel > ε >, ue iégrio pr pries fie e pos : { u =, u = v = si, v = cos

23 Cs des focios à vleurs posiives. Iégrles bsolume covergees 67 doe : ε ε si d = [ cos e e uilis l relio cos = si [ si si d = Le chgeme de vrible y = ous doe : [ si si d = ε si ε Efi vec lim si ε ε ε = e lim + si d = ] cos + d ε ε, o obie : ] ε ] si ε L eercice qui sui décri ue méhode de clcul de Eercice ε ε si d. si y dy y, o dédui que : si d. si d.. Morer que si f es ue focio de clsse C de [, b] ds R, lors lim +.. Morer que l pplicio f défiie sur [ focio de clsse C sur, π ]. 3. Clculer, pour ou N, J = 4. O pose K = 5. Déduire de ce qui précède que Soluio 3.9 ], π ] pr f = si si + d. si si + d. Morer que si d = π. lim K = +. Ue iégrio pr pries ous doe pour ou : [ ] b cos I = f si d = f + f f si d = se prologe e ue si d. cos d e e pos M = sup f, M = sup f ces focios so coiues sur le [,b] [,b] segme [, b], o e dédui que : I M + b M. +

24 68 Iégrles géérlisées. U développeme limié u voisige de ous doe : f = si si = = 3 3! + o 4 3 3! + o 4 3! + o 3! + o ce qui perme de prologer f pr coiuié e e pos f =. O lors : f f 3! + o 3! + o 3! ce qui prouve que f es dérivble e de dérivée f = ] 6. Pr illeurs f es de clsse C sur, π ] vec : f cos = si = cos si si + o 3 3 3! + o 4 = 3 3! + o 4 + o 3 3! + o 3 = 3 3! + o 4 + o o 3 = 3 + o 3 = 6 + o 3 = 3 + o o + o 6 ce qui prouve que f es coiue e. [ E défiiive, f se prologe e ue focio de clsse C sur, π ]. 3. Avec : e : si + = si cos + cos si si + + si = si cos

25 Cs des focios à vleurs posiives. Iégrles bsolume covergees 69 o dédui que pour, o : e : J = si si cos d + = si si cos d cos d si J + J = cos d = J si soi J = J e pr récurrece J = J = π pour ou. si 4. O si déjà que d e uilis ue iégrio pr pries. Le chgeme de vrible = + ous doe : 5. E remrqu que : vec = K = + π K = si d si + d + si + f + = si d si d si + f d + J lim si + f d quesios. e. e J = π, o dédui que : + si d = lim K = π +. L eercice qui sui ous doe u eemple de focio elle que f d covergee voir le prgrphe 3.4. Eercice 3.3 O cosidère l focio f défiie sur [, + [ pr : où 3 es u eier. Morer que [, + [, f = e i f d es covergee vec lim f = +. + Soluio 3.3 Avec f =, o dédui que lim f = +. + O peu écrire que f = u v vec u = i ei e v =. Comme : u v = + lim f = + vec +

26 7 Iégrles géérlisées o 3, o dédui du héorème d iégrio pr pries que les iégrles e i d e Comme e i = u v d = i o e dédui lors que l iégrle e i u v d = d so de même ure. e i vec, l iégrle d es bsolume covergee e e i d es covergee. Du héorème 3.9, o dédui u premier résul sur l compriso d ue iégrle géérlisée à ue iégrle de Riem. Théorème 3. Soi f ue focio défiie e coiue pr morceu sur [, + [. S il eise u réel α > e u réel posiif λ els que pour ssez grd, o i f λ, lors l iégrle α géérlisée f d es covergee. Démosrio. Du héorème 3.9, o dédui qu il eise u réel c > el que es bsolume covergee, elle es doc covergee e ussi f d. c f d De même si f défiie sur ], b] vec b > es elle que f λ pour > voisi de α vec < α <, lors l iégrle géérlisée Priqueme, o peu uiliser les résuls suiv. f d es covergee. Théorème 3.3 Soi f ue focio défiie e coiue pr morceu sur [, + [. S il eise u réel α > els que lim + α f =, lors l iégrle géérlisée covergee. Démosrio. Si e l coclusio sui. Eemple 3. De géérlisée f d es bsolume lim + α f =, il eise u réel c > el que f pour c α lim + P e P e d es bsolume covergee. = pour ou polyôme P, o dédui que l iégrle Théorème 3.4 Soi f ue focio à vleurs réels défiie e coiue pr morceu sur [, + [. S il eise u réel α els que lim + α f = l >, lors l iégrle géérlisée f d es divergee. Démosrio. Si lim + α f = l >, il eise u réel c > el que f l pour α c e l coclusio sui.

27 Cs des focios à vleurs posiives. Iégrles bsolume covergees 7 De même si f défiie sur ], b] vec b > es elle que lim α f = vec α < [resp. lim α f = l > vec α ] lors l iégrle géérlisée f d es bsolume covergee [resp. divergee]. O rppelle qu o di que f es égligeble dev g [resp. domiée pr g] u voisige de b s il eise ue focio ε défiie sur u iervlle [α, b[ [, b[ elle que : lim ε = b [resp. ue focio ε défiie e borée u voisige de b] e : [α, b[, f = ε g, O oe lors f = o g [resp. f = O g]. b b Ds le cs où l focio g e s ule ps u voisige de b, u crière prique pour f morer que f = o g es doé pr lim b b g =. Le résul qui sui es logue à celui obeu pour les séries à ermes posiifs. Théorème 3.5 Soie f, g deu focios défiies, coiue pr morceu sur [, b[, à vleurs réelles posiives e elles que f = O g [resp. f = o g]. b b. Si l iégrle de g sur [, b[ es covergee, il e es lors de même de celle de f e : [resp. f d = O b g d f d = o g d b. Si l iégrle de f sur [, b[ es divergee, il e es lors de même de celle de g e : f d = O g d b [resp. f d = o g d ] b Démosrio. Si f = O g, o peu lors rouver u réel α [, b[ e u réel M > b els que : [α, b[, f M g.. Si l iégrle de g sur [, b[ es covergee, il e es lors de même de e de [α, b[ : ce qui sigifie que f d pour ou [α, b[, doc f d M ] M g d f d coverge. De plus, o pour ou f d = O g d. b g d

28 7 Iégrles géérlisées. Si l iégrle de f sur [, b[ es divergee, il e es lors de même de M g d pour ou [α, b[, doc [α, b[ : e comme lim b f d = α α f d + g d = +, o ur α α f d f d e de g d diverge. De plus, o pour ou α f d f d M + ce qui sigifie que f d = o g d. b Le cs où f = o g se rie de fço logue. b α f d + M α g d α g d g d pour voisi de b e : O rppelle qu o di que les focios f e g, défiies sur [, b[, so équivlees qud ed vers b s il eise ue focio ε défiie sur u iervlle [α, b[ [, b[ elle que : [α, b[, f = + ε g, lim ε =. b O oe lors f g. b O peu remrque que f g es équivle à dire que f g = o g. b b Ds le cs où l focio g e s ule ps u voisige de b, u crière prique d équivlece es doé pr lim f b g =. L uilisio de développemes limiés perme prfois d obeir des équivles. Théorème 3.6 Soie f, g deu focios défiies, coiue pr morceu sur [, b[, à vleurs réelles posiives e elles que f g. Les iégrles de f e g sur [, b[ so de même b ure, c es-à-dire que l iégrle de f sur [, b[ es covergee si, e seuleme si, l iégrle de g sur [, b[ es covergee. E cs de covergece, o : e e cs de divergece : f d f d b b g d g d Démosrio. Comme f g il eise ue focio ε défiie sur u iervlle [α, b[ b [, b[ elle que lim ε = e f = + ε g pour ou ds [α, b[. O peu lors b rouver u réel β ds [α, b[ el que : [β, b[, < ε <.

29 Cs des focios à vleurs posiives. Iégrles bsolume covergees 73 Il e résule lors, puisque f e g so à vleurs posiives, que : [β, b[, g < f < 3 g. O coclu, pour ce qui es de l ure des iégrles, vec le héorème 3.9. O peu ussi dire que si f g, o lors f = O g e g = O f, ce qui perme de b b b rerouver le fi que les iégrles so de même ure. De plus vec f g = o g, o dédui b que f g = o g e e cs de covergece des iégrles : b f g d = o g d b soi u voisige de b : vec lim ε =. Puis vec : b f g d = ε g d f g d f g d g d, ce qui équivu à o dédui que f g d = o b Le cs où les deu iégrles diverge se rie de mière logue. f d b g d. Remrque 3.6 Si f b g vec g de sige cos u voisige de b i. e. sriceme posiif ou sriceme égif, lors l focio f es égleme de sige cos u voisige de b, ce sige é celui de g. Eemple 3. Si f = P, où P e Q so des focios polyomiles o ulles, il eise u Q réel el que Q pour ou > e o : P Q + où p, q so les degrés e p, b q les coefficies domis de P e Q respeciveme. Il e résule que l focio f u sige cos sur [, + [ e q p +. Eercice 3.3 Éudier l ure des iégrles p b q q p si d, f d coverge si, e seuleme si, rc d e si si Soluio 3.3 O > pour ], ] e, doc l iégrle diverge. + O rc > pour e rc, doc l iégrle diverge. + U développeme limié ous doe : e cos = + o + o = + o + doc l iégrle coverge. e cos