MATHEMATIQUES FINANCIERES

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1 MATHEMATIQUES FINANCIERES

2 LES ANNUITES INTRODUCTION : Exemple 1 : Une personne veu acquérir une maison pour DH, pour cela, elle place annuellemen au CIH une de DH. Bu : Consiuer un capial Versemens : annuels e consans Période : année Exemple 2 : la personne a une dee de DH. Pour rembourser cee dee, elle verse mensuellemen une somme de 1500 DH. Bu : Remboursemen de dee Versemens : mensuels consans Période : mois Principe : On appelle annuiés, des versemens réguliers e consans effecués à des inervalles de emps consans. On disingue : Les annuiés de capialisaion ou annuiés de placemen, don l objecif es de consiuer un capial Les annuiés de remboursemen ou d amorissemen, don l objecif es de rembourser une dee Les versemens peuven êre effecués à la fin de période : c es le cas des annuiés de remboursemen où le 1 er remboursemen inervien à la fin de la première période (on parle d annuié de fin de période). Comme elle peuven êre versés en débu de période : c es le cas généralemen, pour les annuiés de placemen, dès la signaure du conra, un premier versemen es effecué. I - Les annuiés de fin de période A- La valeur acquise des annuiés de fin de période 1 - Exemple : Une personne verse annuellemen 1000 DH à la BMCE pendan 5 ans. Quelle es la somme reirée au momen du dernier versemen (aux 10%) Schéma linéaire annuiés périodes Valeur acquise?

3 V a = 100 (1,1) (1,1) (1,1)² (,1) V a = (1,1) (1,1)² (1,1) (1,1) 4 Suie géomérique raison (q = 1+ ) = 1,10 1 er erme (a) = 1000 DH nbre de ermes = 5 ermes Somme des ermes d une suie géomérique S = a q n - 1 q - 1 S = 1000 (1,10) 5-1 1,10-1 La valeur acquise après n période de versemen s exprimera par la formule : V a = a (1 + ) n - 1 (1+ )² - 1 es le résula de l inersecion de la ligne de n e de la colonne de qui figuren dans la able financière n 3 d après la T.T n 3 on a V a = 1000 x 6, V a = 6105,10 Applicaion : a - Recherche de l annuié Quel doi êre le monan de chacune des 20 annuiés qui permeraien de consiuer au momen du dernier versemen un capial de DH au aux de 11%

4 V a = = 11% n = 20 a =? V a = a (1 + ) n - 1 T ou a = V a x (1 + ) n - 1 d après la T.F N = a x (1,11) , = a x 64, a = , a = 1557,563 d après la T.F. N 5 Il es possible d obenir la valeur de en lisan dans la T.F. n = 5 (1+) n - 1 la valeur de pour le emps es le aux 1-(1+) -n donnés e en reranchan () on obien. - = 1 - (1 + ) -n (1 + ) n - 1 a = x ( 0,11-0,11) 1-(1,11) -20 a = x (0, ,11) a = x 0, = 1557,56 dh b) Recherche de n Combien d annuiés consanes de dh fau - il verser en fin de période, pour obenir par capialisaion au aux de 7 % un capial de dh? Soluion V = n? = 7 % a = V = a (1 + ) n = (1,07) n - 1 0,07 15 = (1,07) - 1 0,07 T.F. n = 3 donne

5 (1,07) 10-1 = 13, ,07 (1,07) 11-1 = 15, ,07 Le nombre héorique d annuiés es compris enre dix e onze, sous le forme posée, le problème ne compore pas de soluion, n éan obligaoiremen enier. Il fau envisager soi de verser 10 annuiés supérieurs à dh, soi de verser onze annuiés inférieurs à dh. c) recherche du aux Sachan que 10 annuiés consanes de dh chacune permean de consiuer un capial de ,29 dh. Calculer le aux d inérê correspondan à ce placemen. V = a (1 + ) ,29 = (1+) (1 + ) - 1 = ,29 = 15, à l aide de la T.F n = 3 = 9 % B) Valeur acuelle des annuiés de fin de période 1 Principe Connaissan la valeur acquise des annuiés de fin de période, déerminer leur valeur acuelle un an avan le 1 er versemen n périodes 0 a a a a a annuiés (V acuelle) V 0 = V a (1 + ) -n n V 0 = a (1 + ) - 1 (1 + ) -n -n -n V = a 1 - (1 + ) avec 1 - (1 + ) dans TFn 4 T T 2 ) Applicaion

6 a- recherche de a -n V 0 = a 1 - (1 + ) a = V x 1 - (1 + ) -n T.F. n = 5 Exemple : Un fond de commerce es acheé à dh payable par 12 annuiés consanes de fin d année au aux de 10 % Quel doi êre le monan de chaque annuié? a = x 0, (1,10) -12 = x 0, a = 44028,9 b) recherche du aux Une dee de dh doi êre remboursée par cinq versemen annuel de dh chacun. Le 1 er versemen ayan lieu dans un an. Calculer le aux d inérês. d après la T.F. n 4 on a Inerpolaion linéaire Vo = a 1 - (1 + ) -n = (1 + ) -5 3,6 = 1 - (1 + ) -5 3, < 3,6 < 3, ,25 < < 12 = 12,05 c) recherche du nombre d annuiés (n) Combien fau - il verser d annuiés de dh pour obenir un an avan le 1er versemen la valeur de dh au aux de 10 % = a 1 - (1 + ) -n = (1,10) -n 0,10

7 5, = 1 - (1,10) -n d après la T.F. n 4 0,10 4, < 5, < 5, < n < 8 on a 2 soluions : Soluion n 1 : le nombre d annuié es 7 versemen complémenaire (18500 x 4,868419) , ,2485 Soluion n 2 : changemen de l annuié n = = a x 4, a = ,3821 n = = a x 5, a = 18369,5144 dh II Les annuiés de débu de période A - Valeur acquise des annuiés de débu de période (Va') 1 exemple : Soi une suie de 5 annuiés de débu de période de dh chacune. Calculer sa valeur, une période après le dernier versemen aux 12 % l an périodes va annuiés V a = (1 + ) (1 + ) (1 + ) (1 + ) (1 + ) 1 V a = (1 + ) (1 + ) (1 + ) (1 + ) (1 + ) 5 prog géomérique

8 1 er erme = (1 + ) n = 5 raison (1 + ) n S = a q - 1 = (1 + ) (1 + ) 5-1 q - 1 la valeur acquise (V a )des annuiés de débu de période s exprimera par la formule. n Va' = a (1 + ) (1 + ) - 1 T.F n 3 5 Va' = (1,12) (1,12) - 1 = 71151,89 dh 0,12 2 Applicaion Applicaion n 1 : Combien fau-il verser d annuiés annuelles de 9531,69 dh chacune, pour consiuer un an après le dernier versemen, en capial de ,41 dh aux 12 % l an. n Va = a (1 + ) (1 + ) - 1 = 9531,69(1,12) (1,12) 1-1 = ,41 0,12 (1,12) n - 1 = 14, d après la T.F. n 3 0,12 Applicaion n 2 n = 9 15 versemens annuel son effecués le 1 er janvier de chaque année, pendan 15 ans, au aux de 11 % l an. Le capial consiué, un an après le dernier versemen es de ,67 dh. Calculer le monan de chaque versemen. Va = a (1 + ) (1 + ) n ,67 = a (1,11) (1,11) ,11 d après la T.F. n 3 (1,11) 15-1 = 34, ,11 a = 7215 = ,11 Applicaion n 3 Le versemen de 10 annuiés annuelles consanes de débu de période de dh chacune, a permis de consiuer, à la fin de la 10 ème année, un capial de dh. Quel es le aux de capialisaion uilisé? = (1 + ) (1 + ) 10-1

9 17 = (1 + ) (1 + ) 10-1 = (1 + ) 11 - (1 + ) = (1 + ) = (1+ ) = (1 + ) 11-1 = 18 la T.F. n 3 donne 9,25 < < 9,50 = 9,46 soi 9,46 % B - Valeur acuelle des annuiés de débu de période Vo' 1 Principe : Connaissan la valeur acquise (Va ) de n annuiés de débu de période, placées au aux, calculer leur valeur V 0 au momen du 1 er versemen. Va' = a (1 + ) (1 + ) n - 1 V o = Va (1 + ) -n = a (1 + ) (1 + ) -n - 1 x (1 + ) -n V o = Va (1 + ) -n = a (1 + ) 1 - (1 + ) -n V o = a (1 + ) 1 - (1 + ) -n 2 exemple : Combien fau - il verser d annuiés annuelles consanes de 5000 dh chacune, pour avoir une valeur de , 74 dh au momen du 1 er versemen, au aux de 12 % l an. V 0 = a (1 + ) 1 - (1 + ) -n ,74 dh = 5000 (1,12) x 1 - (1,12) -n 20186,74 = (1,12) -n 3, = 1 - (1,12) -n 0,12 0,12 0,12

10 D après la able financière n 4 on a n = 5 soi 5 versemens. 3 Applicaion Calculer à la dae du la valeur acuelle d une suie d annuiés consanes de 3000 dh chacune. La 1 ere éan versée le , la dernière le aux d acualisaion 12 % l an. V 0 = 3000 (1,12) x 1 - (1,12) -5 0,12 V 0 = 3000 x 4, = DH Exercice 1 Exercices d'applicaion

11 Calculer, dans chacun des cas suivans, la valeure acquise par une suie de versemen périodiques e consanes, immédiaemen après le dernier versemen: - 18 annuiés égales chacune à , aux annuel de capialisaion : 9,60% - 12 semesrialiés égales chacune à 4500 dh. Taux semesriel :4% - 16 rimesrialiés égales chacune à 2800 dh. Exercice 2 Déerminer la valeur acquise par une suie de 10 annuiés consanes de 3800 dh chacune au aux annuel de 10,40 % a) au momen du dernier versemen ; b) 2 ans après le dernier versemen ; c) 3 ans e 6 mois après le dernier versemen ; d) 1 an e 125 j après le dernier versemen (année compée pour 365 j) Exercice 3 : Déerminer, dans chacun des cas suivans, la valeur acuelle d une suie de versemens consans une période avan le 1 er versemen : - 8 annuiés égales chacune à 6920 dh, aux annuel 9,25 % - 14 semesrialiés égales chacune à 3780 dh, aux annuel 6,50 % - 12 rimesrialiés égales chacune à 8100 dh ; aux semesriel 6 %

12 Corrigé : Ex (1) : valeur acquise, au momen du dernier versemen par : - 18 annuiés de dh aux annuel : 3,60 V 18 = x (1,096) 18-1 = x 43, = ,20 dh 0, semesrialiés de 4500 dh aux semesriel 4 % V 12 = 4500 x (1,04) 12-1 = 4500 x 15,0258 = 67616, 10 dh 0,04-16 rimesrialiés de 2800 dh aux rimesriel 2,25 % V 16 = 2800 x (1,0225) 16-1 = 2800 x 19, = 53215,11 dh 0, mensualiés de 1200 dh aux annuel 12 % aux mensuel équivalen (1,12) 1/12-1 = 0, V 36 = 1200 x (1, ) 36-1 = 1200 x 42, = 51209,21 dh 0, Ex (2) V 10 = 3800 (1,104) 10-1 = 3800 x 16, = dh 0,104 V 13 (2 ans après le dernier versemen : x (1,104) 2 = x 1, = 75244,82 dh V 13 1/2 (rois ans e 6 mois après le dernier versemen) : V 10 x (1 + i) 3,5 = x (1,104) 3,5 = x 1, = 87283,11 dh V (1 an e 125 j après le dernier versemen) : 365 V 10 x (1 + i) = x (1,104) / = x (1,104) 490/365 = x 1, = 70505,49 dh

13 Ex (3) : Valeur acuelle, une période avan le premier versemen, de : - 8 annuiés de 6920 dh aux annuel 9,25 % V 0 = 6920 x 1 - (1,0925) -8 = 6920 x 5, = 37947,63 dh 0, semesrialiés égales de 3780 dh aux annuel 6,50 % aux semesriel équivalen : (1,065) 1/2-1 = 0, V 0 = 3780 x 1 - (1, ) -14 = 3780 x 11,14448 = 42126,13 0, rimesrialiés égales chacune à 8100 dh ; aux semesriel 6 % aux rimesriel équivalen (1,06) - 1 = 0, V 0 = 8100 x 1 - (1,029563) -12 = 8100 x 9, = 80838,16 dh 0,029563

14 DEVOIR Exercice 1 : L'acha d'un immeuble d'un monan de es réglé comme sui : compan payable au moyen de 10 échéances annuelles consanes, la première inervenan un après l'acha. Taux 8,5 % Immédiaemen après paiemen de la roisième de ces annuiés l'acquéreur demande à se libérer au moyen de quare annuiés consanes, la première inervenan dans un an Taux d'inérê resan 8,5 % - Calculez le monan de chacune de ces annuiés Exercice 2 : Une sociéé conrace un emprun de remboursables au moyen de 20 annuiés consanes. Taux d'inérê 10%. Lors du paiemen de la 13ème annuiés le prêeur consen une réducion de 10% sur le monan des inérês compris dans cee 13 ème annuié (réducion limiée aux seuls inérês de cee seule 13 ème annuié). - Calculez le monan de la 13 ème annuié après réducion. Exercice 3 : Un emprun de es conracé le 15 novembre 92, il es remboursable au moyen de rimesrialiés consans de chacune 8376,66 la première versée le 15 février 93. Dans le ableau d'amorissemen dressé à cee occasion l'amorissemen afféren à la dernière rimésrialié s'élève à 8132,68 - Déerminez la dae de paiemen de dernière rimésrialié.

15 CORRIGE : EX 1: Cee résiduelle après paiemen de 3 annuiés : x 1, = ,7 10 1,085-1 Monan de chacune des annuiés nouvelles : ,7 X 0,085 = , ,085 EX 2 : Annuié consane : x 0,10 = ,10 Ier amr : ( x 0,10) = Amr conenu dans la 13 ème annuié : x1,10 = ,90 Inérê conenu dans la 13 ème annuié : ,90 = ,10 Monan de la 13 ème annuié, après réducion ,10 x 10/100 = ,39 EX 3: Désignons par (i) le aux rimesriel cherché : 1+i = a =8376,66 = 1,03 d ou i = 0, ,68 Si n es le nombre de rimesrialiés 8376,66 = ,03 -n 0,03 1-1,03 -n 0, ,03 La lecure de la able financière 5, colonne 3%, monre que n = 15 Dae de paiemen de la 15 éme e dernière rimesrialié ; 15 aoû 1996.

16 L EMPRUNT INDIVIS I) DEFINITION L emprun indivis ou ordinaire se caracérise par le fai que l empruneur (un pariculier ou une enreprise) s adresse à un seul créancier. L emprun indivis s oppose donc à l emprun obligaoire par lequel l empruneur (une grande enreprise ou l Ea) recour à une muliude de créanciers. II) LES FORMULES DE REMBOURSEMENT A- Les empruns remboursables par amorissemens consans Selon cee formule, le monan de l emprun indivis es divisé en pars égales (les amorissemens) en foncion du nombre de période de remboursemen. A la fin de chaque période, l empruneur verse au prêeur une parie de la dee (amorissemen) e un inérê calculé au aux prévu sur le monan encore dû (non remboursé au prêeur). La somme de ces 2 élémens (amorissemen-inérê) forme «l annuié de remboursemen» 1) Exemple : Une enreprise imporarice emprune la somme de dh à la B.M.C.E. en vue de faire face aux surcoûs apparus sur les marchés d approvisionnemens. Ce emprun es remboursable en quare fracions égales, payables à la fin de chacune de quare années : aux de l emprun 12 % l an. Tableau d amorissemen de l emprun Périodes capial en débu de période1 Inérê de la période 2 Amorissemen 3 Annuié 4 Capial en fin de période = = 1-3

17 2) Généralisaion Soi : a D I k = annuié = amorissemen = inérê = rang a n =D n + D n x i a n = D n (1 + i) La somme des amorissemens es égale au monan du capial empruné V 0 = D 1 + D D n La somme des annuiés es égale à la somme des amorissemens augmenée de la somme des inérês. Σ a = ΣD + ΣI a k+1 = a k - V 0 I (inérê r Les annuiés successives formen une progression arihméique décroissane de raison - V 0 I r Vérificaion a 3 = a 2 - Amorissemen x i = x 12 % B- Les empruns remboursables par annuiés consanes Selon cee formule de remboursemen, ce son les annuiés (inérês + amorissemens) qui son consanes. C es la formule la plus répondue au Maroc 1 Exemple : Gardons l exemple précéden en supposan que les remboursemens se fon par annuiés consanes.

18 Tableau d amorissemen de l emprun Périodes capial en débu de période1 Inérê de la période 2 Amorissemen 3 Annuié 4 Capial en fin de période , , , , , , , , , , , , , , , , ,44 0,00 4 l annuié es calculée à l aide de la formule : , ,76 a = V 0 i 1 - (1+i)-n a = x 0,12 T.F n = 5 1- (1,12)-4 a = x 0, a = ,44 3 les amorissemens son en progression géomérique de raison (1 + i) V 0 = D 1 (1 + i) n - 1 i 1 er erme D 1 (1 + i) Dernier erme = D 1 (1 + i) n Pour consruire le ableau d amorissemen on peu procéder de 2 manières différens : 1) on calcule d abord a (annuié consane). Pour la 1 ère ligne, on commence par calculer l inérê, par sousracion (a - I 1 )on obien le 1 er amorissemen. En muliplian à chaque fois par (1 + i) on obien la colonne des amorissemens. C- Les empruns remboursables en une seule fois Selon cee formule, l empruneur peu verser uniquemen les inérês à la fin de chaque période e payer la oalié e la somme emprunée à la fin de la dernière période. De même, il peu ne rien payer pendan oue la durée de l emprun e verser la oalié des inérês e le monan de la somme emprunée à la fin de la durée de l emprun.

19 Ce sysème présene l inconvénien d obliger l empruneur à verser une somme rès imporane à la fin des n périodes. Généralemen, l empruneur es amené à effecuer le placemen à la fin de chaque période, dans une banque ou une sociéé de capialisaion, d annuiés consanes (ou variables) à un aux presque oujours différen du aux d emprun i 1 Exemple : Soi un emprun de dh, remboursable en une seule fois au bou de 5 ans aux 12 % Hypohèse 1 : l empruneur paie les inérês au aux de 12 % à la fin de chaque année périodes 0 a 1 = Voi a2= Voi a3= Voi a4= Voi a5=vo+ Vo x i Hypohèse 2 : même modaliés de paiemen que dans l hypohèse 1, mais l empruneur prend la précauion de déposer, à la fin de chaque année, en banque, une somme S elle que, compe enu d une capialisaion au aux de 12 %, il puisse rembourser le capial empruné. Déerminer S Remboursemen Période 0 a1= Voi a2=voi a3=voi a4=voi Voi+Voi ( x 0,12) Placemens S S S S S V O = S (1 + i) n - 1 i = S (1,12) 5-1 0, = S X 6, S = ,73 dh La capialisaion des sommes S consanes doi procurer la somme emprunée.

20 Hypohèse 3 même quesion si le aux de rémunéraion des dépôs es de 13,75 %, c es -à-dire supérieur au aux d inérê à payer. Placemens V 0 = S (1 + i) n - 1 i = S (1,1375) 5-1 S = ,34 dh 0,1375 Hypohèse 4 : L empruneur ne paie la oalié des inérês qu en fin de conra e n effecue qu un seul versemen à la fin de la 5 ème année. Il place néanmoins, à la fin de chaque année, une somme S au aux de 12 %. Déerminer S permean de faire face à ce remboursemen unique. Remboursemens Placemens a1=0 a2=0 a3=0 a4=0 a5=vo(1+i) 5 a5= x (1,12) a5= ,68dh n V 0 ( 1 + i ) n = S (1 + i) n - 1 i S = V 0 (1 + i) n i (1 + i) - 1 S = ,68 0,12 (1,12) 5-1 S = ,73 dh Hypohèse 5 : même quesion que dans l hypohèse 4, si le aux de placemen es de 13,75 % Vo (1 + i) = S (1 + i) n - 1 i ,68 = S (1,1375) 5-1 0,1375 S = ,22 dh

21 Applicaion 1 : Dresser le ableau d amorissemen d un emprun ordinaire de dh souscri le e remboursable par 6 amorissemens annuels consans. Le aux d inérê es de 11 % le premier remboursemen aura eu lieu le 19/06/98. Soluion : D 1 = D 2 = D 3 =...D 6 = = Périodes capial en débu de période Inérê de la période Amorissemen Annuié Capial en fin de période Applicaion 2 : Le foncionnaire a empruné DH au CIH, remboursables en 120 mensualiés au aux annuel de 15 %. Ce emprun a éé souscri le 28/09/97 avec effe au Le premier remboursemen commencera fin ocobre calculer le monan de la mensualié consane 2 Décomposer la 1 ère mensualié en inérê e en amorissemen. 3 Après 60 mois de remboursemen, le foncionnaire, qui espère bénéficier d un rappel, souhaierai rembourser la somme resan dûe en un seul versemen, le conra lui permean de le faire. Quelle somme oale devra--il verser après avoir payé le 60 mensualié. 4 Ayan consaé que la somme resan due es encore imporane, le foncionnaire coninue à acquier ses mensualiés pendan une année. Déerminer combien il lui resera à payer après cee année supplémenaire de remboursemen en présenan le ableau d amorissemen concernan ces 12 mensualiés. Que consaez-vous?

22 Soluion : Puisque le aux d inérê es annuel e le remboursemen es mensuel, il es nécessaire de calculer le aux équivalen au aux annuel de 15 % i m = (1,15) 1/12-1 i m = 12 1,15-1 i m = 0, ) Calcul de mensualié consane (m) m = V 0 i m 1 - (1+i ) -n m = , (1, ) -120 m = 1867,38 dh 2) Décomposiion de la 1 ère mensualié I 1 = x 0, = 1405,79 dh D 1 = m 1 - I 1 = 1867, ,79 = 461,59 dh ou bien à parir de la formule générale des amorissemens D 1 = V 0 i m (1 + i m ) n - 1 = , (1, ) D 1 = 461,59 dh 3) Calcul du monan de l emprun resan dû après le paiemen de la 60 mensualié (V 60 ) Cee somme es égale à la valeur acuelle des mensualiés resanes. Soi V 60 = m 1 - (1 + i ) -60 i m V 60 = 1867, (1, ) -60 0, V 60 = 80150,99 dh Vérificaion à parir du 1 er amorissemen : V 60 = V 0 - capial remboursé à la fin de la 60 = mensualié V 60 = V 0 - D 1 x (1 + i m ) 60-1 V 60 i m = ,59 x (1, ) , = ,39 = 80150,99

23 Périodes Fin oc 2002 Fin nov Fin D 2002 Fin Jan F.Fév F. M.2003 F.Av F.Mai F.Juin F.Juille F.Aoû F.Sep capial en débu de période 80150, , , , , , , , , , , ,67 Inérê de la période 938,96 928,09 917,08 905,95 894,69 883,29 871,76 860,10 848,30 836,36 824,28 812,06 Amorissemen Annuié Capial en fin de période 928,42 939,29 950,3 961,43 972,69 984,09 995, , , , , , ,38 " " " " " " " " " " " 79222, , , , , , , , , , , ,35 Le ableau a éé consrui en appliquan le aux mensuel à la somme resan dûe au débu de chaque période, l amorissemen de chaque période a éé calculé par différence enre la mensualié e l inérê, le resan dû final par différence enre le resan dû iniial e l amorissemen. On consae que le foncionnaire aura surou à payer des inérês pendan les 5 premières années (60/12 = 5 ans) puisque le remboursemen principal moyen annuel sera de : = 7969,8 dh 5 Soi approximaivemen 8000 dh alors que, pendan le sixième année, il aura remboursé 80150, ,35 = 11887,64 dh Remarquons que, la oue 1 ère année n on éé remboursés que 461,59 x (1, ) 12-1 = 5910 dh du principal 0,

24 Applicaion n 3 Une enreprise emprune à une banque le la somme de dh à rembourser en une seule fois dans 4 ans au aux de 10 %. Le conra d emprun sipule : «l empruneur aura l obligaion de payer les seuls inérês à ermes échus don le 1 er es au Pour préparer le remboursemen, cee Enreprise a décidé de placer une somme consane le de chaque année de 1998 à 2001 au aux de 10,70 % 1-Calculer le monan de placemen annuel. Soluion : S = V 0 i = ,107 (1 + i) n - 1 (1,107) n - 1 S = ,10 dh

25 EXERCICES ET CORRIGES Exercice 1 : Exercices d'applicaion A quel aux d inérê es conseni chacun des prês suivans? a. Prê de DH remboursable par 6 annuiés consanes (de fin d année) de 8 949,44 DH b. Prê de DH remboursable par 8 semesrialiés consanes de DH c. Prê de DH remboursable par 10 rimesrialiés consanes de DH d. Prê de DH remboursable par 14 mensualiés consanes de 216,20 DH Exercice 2 : Afin de moderniser une parie de ses magasins, l enreprise SOCAB décidé de procéder à un invesissemen de 1,5 million de dh. Le financemen de ce proje sera réalisé de la manière suivane : auofinancemen à raison d un iers ; le rese par emprun auprès d un éablissemen financier qui propose les deux formules suivanes : I. Emprun formule A : - annuiés consanes ; - aux annuel : 15 % - capial resan dû après le versemen de la cinquième annuié : ,82 DH - la première annuié vien à échéance un an après le versemen des fonds. a. Calculer la durée de remboursemen de l emprun b. Présener la cinquième ligne du ableau d amorissemen de l emprun. II Emprun formule B : - semesrialiés consanes ; - aux annuel : 15 % - différence enre le dernier e le premier amorissemen semesriel : ,93 DH ; - la première semesrialié vien à échéance un semesre après le versemen des fonds a. Calculer le monan de la semesrialié b. Déerminer la durée de remboursemen de l emprun. Exercice 3 : Une personne emprune une ceraine somme qu elles s engage à rembourser par soixane mensualiés, calculées au aux mensuel de 0,80 % Sachan qu immédiaemen après le paiemen de la quarane-huiième mensualié, le capial resan dû s élève à 9 117,98 DH déerminer le monan de la mensualié assuran le service de l emprun, puis le monan de l emprun.

26 CORRIGES : Exercice 1 : Calcul du aux d inérê a) prê de DH ; 6 annuiés de 8949,44 DH ; aux annuel : x par dirhams 1- (1+ x) (1 +x) = 8949,44 x = = 4, x x 8949,44 On ne peu calculer x que par approximaions successives (e évenuellemen une inerpolaion par paries proporionnelles). 0,09 4, ,01 x 4, , ,10 4, , , x = 0,09 + 0,01 x 0, = 0,09948 soi 9,98 % Taux annuel d inérê : 9,98 % 1 - (1,0998) -6 Vérificaion : 8949,44 x = ,0998 b) prê de DH ; 8 semesrialiés de 3839 DH ; aux semesriel : x par dirhams 1- (1 + x) (1 + ) = 3839 x = = 6, x x ,03 7, ,005 x 6, , ,035 6, , , x = 0,03 + 0,005 x = 0,034 soi 3,4 % 0, ( 1,034 ) -8 Vérificaion : 3839 x = ,034

27 Taux semesriel : 3,4 % Taux annuel proporionnel : 6,8 % Taux annuel équivalen : (1,034) 2-1 = 0, soi 6,91 % c) prê de DH ; 10 rimesrialiés de 5530 DH ; aux rimesriel : x par dirhams 1 - (1 + x ) ( 1 + x ) = 5530 x = = 8,7070 x x ,025 8, ,005 x 8, , ,03 8, , , x = 0,025 + (0,005 x ) = 0,026 soi 2,60 % 0, (1,026) -10 Vérificaion : 5530 x = ,026 Taux rimesriel : 2,60 % Taux annuel proporionnel : 10,40 % Taux annuel équivalen : (1,026) 4-1 = 0, soi 10,81 d) prê de 2775 DH ; 14 mensualiés de 216,20 DH aux mensuel : x par dirhams ( 1 + x ) 1 - (1 + x) = 216,20 x = = 12, x x 216,20 0,01 13, ,005 x 12, , ,015 12, , , x = 0,01 + (0,005 x ) = 0,0118 soi 1,18 % 0, Vérificaion : 216,20 x 1 - (1,0118) -14 0,0118 = 2774,97 arrondis à 2775 DH

28 Taux mensuel : 1,18 % Taux annuel proporionnel : 0,0118 x 12 = 0,1416 soi 14,16 % Taux annuel équivalen : (1,0118) 12-1 = 0,15116 soi 15,11 % Corrigé exercice : II Enreprise SOCAB Auofinancemen : DH Capial empruné : DH I - Emprun formule A a - Capial resan du après le versemen de la cinquième annuié : ,82 DH - Capial remboursé après le versemen de la cinquième annuié : ,82 = ,18 DH Les annuiés éan consanes, les amorissemens formen une progression géomérique de raison (1,15) e de premier erme D 1. Capial remboursé au bou de 5 ans = D 1 + D 2 + D 3 + D 4 + D 5 (somme des cinq premiers amorissemens). (1,15) 5-1 D 1 x = ,18 0, ,18 D 1 = = 49252, Le capial empruné ( ) es la somme de n amorissemens. D où : V 0 = D 1 x (1 + i ) n - 1 i = 49252,06 x (1,15) n - 1 0,15 (1,15) = = 20, soi n = 10 0, ,06 Durée de remboursemen de l emprun : La cinquième ligne du ableau d amorissemen comprend le cinquième amorissemen D 5 = D 1 x (1 + i) 4 = 49252,06 x (1,15) 4 = 49252,06 x 1, = 86142,16 DH

29 Capial resan dû au débu de la cinquième année : , ,16 = ,98 DH Inérês : ,98 x 0,15 = ,90 DH Année Capial resan dû Inérê Amorissemen Annuié , , , ,06 Vérificaion : V 0 = a x 1 - (1 + i) -n i 1 - (1,15) ,06 x = ,06 x 5, = ,99 soi DH 0,15 II - Emprun formule B 1. Taux semesriel équivalen au aux annuel 15 % (1 + s)² = 1,15 d où s = (1,15) 1/2-1 = 0, Soi S 1 la première semesrialié Le premier amorissemen D 1 es égal à : D 1 = S 1 - l 1 = S x 1, = S ,529 La dernière semesrialié es égale à : S n = D n + D n s = D n x (1, ) d où D 1 = S n 1, La différence enre le dernier amorissemen (D n ) e le premier amorissemen (D 1 ) es égale à : S n D n - D 1 = - (S ,529) = ,93 1,

30 Les semesrialiés éan consanes (S n = S 1 = S ) S x [1 - (1, ) -1 ]= 72380, ,93 = 6825, ,599 S = = ,19 1-0, Monan de la semesrialié : ,19 DH 1 - ( + s) -n 1 - (1, ) -n V 0 = S x soi = = 9, d où n = 18 s 0, ,19 Durée de remboursemen de l emprun : 18 semesres, soi 9 ans. Vérificaion : Premier amorissemen : , ,529 = 28746,66 DH Dernier amorissemen : 28746,66 x (1, ) 17 = 94301,59 DH La différence es bien de 65554,93 DH. Exercice 3 : V 48 = ax X 1 - (1+ m) -12 valeur acuelle des douze mensualiés non échues m a = 9117,98 x 0,008 = 799,92 1-(1,008) -12 V 0 = a x 1 - (1 + m) -n = 799,92 x 1 - (1,008) -60 = ,57 arrondis à DH m 0.008

31 DEVOIR Exercice 1: Un emprun de dh a éé conracé. Durée de l amorissemen 16 ans, aux : 9%. Les 15 premières annuiés son égales chacune à dh, la 16 éme annuié es de monan différen, (l emprun n es donc pas remboursable par annuié consane. TAF : a) Calculez le monan de la 16 éme annuié b) Présenez les deux premières e la dernière ligne du ableau d amorissemen. c) Calculez par deux procédés différens le monan de la dee encore vivane après paiemen de la 11 éme annuié. Exercice 2: Un emprun d un monan de es remboursable au moyen de 2 versemens annuels à échéance respecives de 1 e 2 ans e don les monans son dans l ordre : e ,75. Présenez le ableau d amorissemen de ce emprun. Exercice 3 : Un emprun indivis d un monan iniial de amorissable au moyen de 12 annuié consanes, aux d inérê 9%. 1) Calculez par quare procédés la dee résiduelle après paiemen de 7 échéances. 2) Présenez la 8 éme ligne du ableau d amorissemen de ce emprun. Exercice 4: Un emprun es remboursable au moyen de 5 annuié, comprenan chacune inérê e amorissemen, don les monans e les échéances son les suivanes : Monans : a1 = 4200 échéance : 1 an après le prê a2 = 4200 échéance : 2 an après le prê a3= 4500 échéance : 3 an après le prê a4= 5000 échéance : 4 an après le prê a5 = 5500 échéance : 5 an après le prê L amorissemen conenu dans la dernière annuié s élève à T.A.F :Calculez le monan iniial de l emprun.

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