Les circuits électriques en régime transitoire

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1 Les circuis élecriques en régime ransioire 1 Inroducion 1.1 Définiions égime saionnaire Un régime saionnaire es caracérisé par des grandeurs indépendanes du emps. Un circui en couran coninu es donc en régime saionnaire égime variable égime dans lequel ces grandeurs dépenden du emps; elles son noées par des leres minuscules v(), i() Elles désignen la valeur à l insan ou encore la valeur insananée de ces grandeurs égime permanen égime dans lequel ces grandeurs peuven dépendre du emps, les variaions éan permanenes au cours du emps; exemple : régime permanen sinusoïdal égime ransioire Généralemen régime qui précède l éablissemen du régime permanen dans un circui élecrique. Il décri l éa inermédiaire d un circui élecrique évoluan enre deux éas permanens sables. 1. Mise en équaions des régimes ransioires L éude du comporemen en régime ransioire s effecue en appliquan au circui une exciaion rès brève die perurbaion de ype impulsion de Dirac, échelon Comme les grandeurs élecriques son variables e que leur forme n es pas connue a priori, il es nécessaire d avoir recours aux équaions de foncionnemen des dipôles élémenaires. L écriure des lois de Kirchhoff dans un circui élecrique en régime ransioire génère des équaions plus complexes qu en régime coninu ou sinusoïdal. Ce son en général des équaions différenielles linéaires à coefficiens consans Dipôle puremen résisif On considère le dipôle puremen résisif suivan : i() v() A chaque insan, on peu écrire : v() = i() [1] JMOUSSEL Copyrigh 1 / Page 3

2 Les circuis élecriques en régime ransioire 1.. Dipôle puremen inducif On considère le dipôle puremen inducif suivan : i() L v() A chaque insan, la ension aux bornes de l inducance es : di() v() = L [] d L inensié qui raverse l inducance es : i() = 1 L v()d + i() [3] i() ne présene pas de disconinuié, v() deviendrai alors infinie Dipôle puremen capaciif On considère le dipôle puremen capaciif suivan : i() C v() A chaque insan, l inensié qui raverse l inducance es : dv() i() = C d [4] La ension aux bornes de l inducance es : v() = 1 C i()d + v() [5] v() ne présene pas de disconinuié, i() deviendrai alors infinie emarque La résoluion des équaions différenielles condui à la résoluion de l équaion homogène e de l équaion pariculière. L équaion homogène correspond au régime libre e l équaion pariculière au régime forcé. La réponse d un circui à une exciaion es = Homogène + Pariculier = libre + forcé [6] Le régime libre correspond à la réponse du sysème sans exciaion. Dans un réseau de Kirchhoff cee réponse es due à l énergie emmagasinée dans les inducances e les capaciés. Le régime forcé correspond à la réponse du sysème avec exciaion. Si l exciaion es coninue ou en échelon, le régime forcé es coninu. Si l exciaion es sinusoïdale, de pulsaion ω, le régime forcé es sinusoïdal de même pulsaion ω. JMOUSSEL Copyrigh 1 / Page 33

3 Les circuis élecriques en régime ransioire éponse de circui du premier ordre.1 Définiions Un circui du premier ordre compore un seul élémen réacif, une ou plusieurs résisances e une ou plusieurs sources. Il es régi par une équaion différenielle du premier ordre du ype : ds() + s() = e() [7] d e() es le signal appliqué au circui élecrique. Il es aussi le second membre de l équaion différenielle. s() es la réponse en ension ou en couran du circui au signal appliqué. τ es la consane de emps du circui, elle es exprimée en secondes. La soluion générale de l équaion différenielle complèe s écri : s() = s H + s P, où s H es la soluion générale de l équaion homogène associée e s P es une soluion pariculière de l équaion complèe.. éponse à un échelon (de ension ou de couran)..1 ésoluion On doi résoudre l équaion suivane : ds() + s() = A [8] d echerche de s H : ds () τ H d + sh () = s écri encore : s H () = - 1 sh (). d d ô En inégran les membres, on obien : dsh () = s - 1 d Ln sh = - H ô K ô Or exp[ln sh sh ] = = exp[- ] = K K ô e ô. D où : s H = Ke ô echerche de s P : On peu uiliser la méhode de la variaion de la consane mais la spécificié du second membre es ici plus immédiae (second membre consan). dsp s P = consane =. d L équaion [8] perme d écrire : s P = A. Soluion générale : s() = A + Ke ô [9] K es une consane d inégraion qui dépend uniquemen des condiions iniiales du circui à =. En appliquan la condiion iniiale s( + ) = s dans l équaion précédene, on a la consane K = s A. La soluion générale s écri alors : s() = A + (s A)e ô [1] JMOUSSEL Copyrigh 1 / Page 34

4 Les circuis élecriques en régime ransioire.. Tracé de la courbe de réponse Dans cee expression, le premier erme A correspond au régime forcé e le second erme (s A)e ôcorrespond au régime libre qui disparaî au bou de 3τ à 5τ. Soi le signal s() = (1 - e ô) avec τ =,1, le racé es le suivan : s() 1,8,6,4,,1,,3,4,5,6,7,8 On déermine s(), pour des valeurs pariculières de : - = τ, on a s(τ) = (1 e -1 ) =,63 = 6,3 % ; - = 3τ, on a s(τ) = (1 e -1 ) =,95 = 95 % ; - = 5τ, on a s(τ) = (1 e -1 ) =,993 = 99,3 %...3 Exemple On considère le circui ci-après alimené par une source de ension périodique : i() Ve() C Vc() La ension V e () es un signal carré el que : - T : V e () = + E ; - T T: V e () =. La loi d Ohm appliquée au circui ci-dessus s écri : - V e () = i C () + V C () d () - Avec i C () = C V C d D où l équaion différenielle du circui C : d () - C V C + VC () = V d e () - On pose τ = C e on rerouve l équaion [8]. JMOUSSEL Copyrigh 1 / Page 35

5 .3 éponse à un signal sinusoïdal Les circuis élecriques en régime ransioire.3.1 ésoluion On doi résoudre l équaion suivane : ds() + s() = sinw d e [11] echerche de s H : Par analogie avec le cas précéden, la soluion de l équaion homogène es : s H = Ke ô, où K es une consane arbiraire. echerche de s P : On peu uiliser la méhode de la variaion de la consane mais la spécificié du second membre es ici plus immédiae. Comme le second membre es sinusoïdal, la foncion pariculière es de la forme : s P = A p sin(ω e + ϕ p ). ds En reporan les expressions de s P e p dans l équaion différenielle [11], on a : d τapω e cos(ω e + ϕ p ) + A p sin(ω e + ϕ p ) = A e sinω e. Après développemen, on obien par idenificaion des coefficiens cosω e e sinω e : A p [τω e cosϕ p + sinϕ p ] = (a) A p [cosϕ p - τω e sinϕ p ] = A e (b) La résoluion de ce sysème d équaion donne : cosϕ p = A p[1 > e sinϕ p = - ôù e + ] A p[ ] donc - ð < ϕ p < < e anϕ p = - τω e L addiion de (a) + (b) condui à Ap : A p = Finalemen, on obien : s P = sin(ω e + ϕ p ) avec anϕ p = - τω e. Soluion générale : La soluion générale de l équaion différenielle complèe s écri alors : s() = sin(w e + j p ) + Ke ô [1] JMOUSSEL Copyrigh 1 / Page 36

6 Les circuis élecriques en régime ransioire Dans cee expression, le premier erme sin(ω e + ϕ p ) correspond au régime forcé e le second erme Ke ôcorrespond au régime libre qui disparaî au bou de 3τ à 5τ..3. Exemple On considère le circui ci-après alimené par une source de ension sinusoïdale : K i() 1 Ve() L Avec : - V e = 4 V ; - f = 5 Hz ; - = 1 Ω ; - L = 1 mh. On se propose de déerminer l évoluion du couran i() après la fermeure de l inerrupeur sachan que la valeur iniiale du couran es nulle. La loi d Ohm appliquée au circui ci-dessus s écri : - V e () = i L () + V L () = V e sinω e d () - Avec V L () = L i L d D où l équaion différenielle du circui L : - L di L () + il () = 1 Ve sinω d e - On pose τ = L e on rerouve l équaion [11]. La soluion générale de l équaion différenielle complèe s écri alors : i L () = 1 Ve sin(ω e + ϕ p ) + K e ô = Ve + (Lù e) sin(ω e + ϕ p ) + K e ô i L () = I sin(ω e + ϕ p ) + K e ô Sachan que i L () =, il vien : i L () = = I sinϕ p + K K = - I sinϕ p D où : i L () = I [ sin(ω e + ϕ p ) - sinϕ p e ô ] avec : τ = 1 ms, I = 73 A e ϕ p = -7,34. JMOUSSEL Copyrigh 1 / Page 37

7 Les circuis élecriques en régime ransioire Le racé de l équaion homogène es le suivan : sh() ,,4,6,8,1 Le régime libre disparaî au bou de 3τ(3 ms) à 5τ(5 ms). Il correspond au régime ransioire. Le racé de l équaion pariculière es le suivan : sp() ,,4,6,8, Il correspond au régime permanen. Le racé de l équaion générale es le suivan : s() ,,4,6,8, JMOUSSEL Copyrigh 1 / Page 38

8 Les circuis élecriques en régime ransioire 3 éponse de circui du second ordre 3.1 Définiions Un circui du second ordre compore deux élémens réacifs indépendans ; selon leur naure, le circui es du ype C, L LC. L équaion homogène d un circui C, L es du ype exponeniel andis que celle d un circui LC peu êre oscillaoire amorie ou exponenielle. Un circui du deuxième ordre es régi par une équaion différenielle du deuxième ordre du ype: a d s ds() d + b + s() = e() [13] d On cherche à mere les équaions différenielles du deuxième ordre sous la forme suivane : d s ù1 d + z ds() + s() = e() [14] ù d e() représene soi une ension, soi un couran. ω es la pulsaion propre du circui, z es son faceur d amorissemen. Comme pour les équaions différenielles du premier ordre, la soluion générale de l équaion différenielle complèe s écri : s() = s H + s P, où s H es la soluion générale de l équaion homogène associée e s P es une soluion pariculière de l équaion complèe. 3. éponse à un échelon (de ension ou de couran) 3..1 ésoluion On doi résoudre l équaion suivane : d s ù1 d + z ds() + s() = [15] ù d echerche de s P : On peu uiliser la méhode de la variaion de la consane mais la spécificié du second membre es ici plus immédiae (second membre consan). dsp s P = consane =. d L équaion [15] perme d écrire : s P = A e. echerche de s H : On recherche des soluions de la forme : s H = e r. L équaion homogène devien alors : e r ( 1 ù r + z r + 1) =. Comme e r es oujours différen de zéro, la relaion précédene n es ù saisfaie, quel que soi, que si r es racine de l équaion caracérisique du second degré cidessous : 1 ù r + z r + 1 = [16] ù JMOUSSEL Copyrigh 1 / Page 39

9 Les circuis élecriques en régime ransioire On disingue rois cas selon le signe du discriminen = ω (z -1). Premier cas : > - racines réelles ; - r 1 = ω (- z ± z 1) s H = C 1 e r 1 + C e r - s() = A e + C 1 e r 1 + C e r - on di que la ension (ou le couran) subi un régime amori. Les consanes C 1 e C son calculées en foncion des condiions iniiales. Deuxième cas : < - racines complexes conjuguées ; - r 1 = ω (- z ± j 1 z ) s H = e -zω (C 1 cosω 1 z + C cosω z 1 - s() = A e + e -zω (C 1 cosω 1 z + C cosω 1 z - on di que la ension (ou le couran) subi un régime pseudo-périodique ou encore oscillaoire amori. Les consanes C 1 e C son calculées en foncion des condiions iniiales. Troisième cas : = - 1 racine double ; - r 1 = r = -ω s H = (C 1 + C )e -ω - s() = A e + (C 1 + C )e -ω - on di que la ension (ou le couran) subi un régime oscillaoire. Les consanes C 1 e C son calculées en foncion des condiions iniiales. 3.. Exemple On considère le circui ci-après alimené par une source de ension coninue : K i() L Ve C La loi d Ohm appliquée au circui ci-dessus s écri : di() - V e = i() + L + V d C () d () - Avec i () = C V C d D où l équaion différenielle du circui LC : () - LC d VC d + C V C () + VC () = V d d e - on rerouve l équaion [13]. JMOUSSEL Copyrigh 1 / Page 4

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