Stabilisation des systèmes bilinéaires fractionnaires

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1 Sbilision des sysèmes bilinéires frcionnires Ibrhim N Doye,, Michel Zsdzinski, Nour-Eddine Rdhy, Mohmed Drouch Cenre de Recherche en Auomique de Nncy, UMR 739 Nncy-Universié, CNRS IUT de Longwy, 86 rue de Lorrine 544 Cosnes e Romin, Frnce. Lboroire Physique e Mériux Microélecronique Auomique e Thermique Universié Hssn II, Fculé des Sciences Ain-Chock BP : 5366 Mrif, Csblnc, Mroc. Résumé Ce ricle rie de l sbilision des sysèmes bilinéires frcionnires pr l pproche de l nouvelle générlision du lemme de Gronwll-Bellmn. L uilision de cee nouvelle pproche perme de monrer sous cerines hypohèses déques, qu on peu grnir une sbilision sympoique pr reour d é sique e pr reour de sorie sique des sysèmes bilinéires frcionnires. L méhodologie es illusrée pr l inermédiire d un exemple numérique. Mos-clés Sysèmes bilinéires frcionnires, nouvelle générlision du lemme de Gronwll-Bellmn, reour d é sique, reour de sorie sique, sbilision sympoique. I. Inroducion Beucoup de vris sysèmes dynmiques son mieux crcérisés pr un modèle dynmique d ordre non enier, bsé en générle sur l noion de différeniion ou d inégrion de l ordre non enier. Les sysèmes frcionnires ou d ordre non enier son ussi sbles que leurs homologues, les sysèmes d ordre enier. En effe, du fi que les sysèmes frcionnires son d une pr, pour l plupr considérés comme des sysèmes à mémoire qui son générlemen plus sbles comprés ux sysèmes d ordre enier e d ure pr, du fi qu ils ffichen une dynmique beucoup plus sophisiquée, ce qui présene une grnde impornce pr exemple dns le domine de l communicion sécurisée. Récemmen, le problème de l synchronision choique éé nurellemen éendue ux sysèmes frcionnires en rison des pplicions nombreuses e poenielles en physique des lsers, des réceurs chimiques, de l communicion sécurisée e de l biomédecine. Le clcul rdiionnel én bsé sur l différeniion e l inégrion d ordre enier. Le concep du clcul frcionnire le poeniel énorme de chnger l mnière don nous voyons, modélisons, e commndons l nure uour de nous. L rison principle de l usge fréquen des modèles d ordre enier éi l bsence des méhodes de soluion pour des équions frcionnires ou d ordre non enier. Acuellemen, un bon nombre de méhodes pour l pproximion de l dérivée e de l inégrle frcionnire peu êre fcilemen employé dns diverses pplicions nommen en héorie du conrôle nouveux conrôleurs e modèles de sysèmes frcionnires en héorie de circuis élecriques frcnces, en héorie de condenseur ec... D illeurs, quelques éudes héoriques e expérimenles monren que cerins sysèmes élecrochimiques [], hermiques [] e viscoélsiques [3] son régis pr des équions différenielles à dérivées non enières. L uilision de modèles clssiques bsés sur une dérivion enière n es donc ps ppropriée. Des modèles bsés sur des équions différenielles à dérivées non enières on, à ce effe, éé développés [4]. Pr illeurs, l quesion de l sbilié es rès imporne surou en héorie du conrôle. Dns le cs de l commnde des sysèmes d ordre frcionnire, il y beucoup de défis e des problèmes non résolus liés à l héorie de l sbilié els que l sbilié robuse, l sbilié inerne, l sbilié à enrée bornée e à sorie bornée ec... L objecif de ce ppier es d éudier l sbilision pr reour d é sique e pr reour de sorie sique des sysèmes bilinéires frcionnires non homogènes. L pproche nurelle pour celà, es l uilision de l prie linéire du sysème, pour monrer que sous cerines hypohèses déques, il es possible de conrôler le sysème globl pr reour d é sique e pr reour de sorie sique, en uilisn l nouvelle générlision du lemme de Gronwll-Bellmn. L preuve du lemme de Gronwll- Bellmn sndrd ou clssique e son uilision dns l héorie des sysèmes non linéires peuven êre rouvés dns [5], [6], [7] e quelques générlisions de ce lemme dns [8], [9]. Des définiions de bse du clcul frcionnire, en priculier, l foncion de Mig-Leffler, son présenées d bord dns l secion II. Puis, dns l secion III, on présene l définiion de l sbilié des sysèmes dynmiques d ordre frcionnire commensurble en men en exergue les différenes régions de sbilié. Dns l secion IV, on propose d éudier l sbilision sympoique des sysèmes bilinéires frcionnires ou d ordre non enier pr reour d é sique e pr reour de sorie sique en uilisn une nouvelle générlision du lemme de Gronwll-Bellmn. Un exemple numérique es uilisée dns l secion V pour illusrer nos résuls. L nouvelle générlision du lemme es prouvée églemen dns l nnexe. Noions. x = x T x e A = λ mx A T A son, respecivemen l norme euclidienne de veceur e l norme specrle de mrice où λ mx A T A es l vleur propre mximle de l mrice symérique A T A. f i es l ième composne du veceur f.

2 II. Définiions préliminires A. Définiion de l dérivée frcionnire Dns ce ppier, les symboles de l dérivion frcionnire on éé normlisés comme sui [], [] d α D α = d α, α >, α = α, α < où D α représene l opéreur de dérivion d ordre α, es l limie inférieure e l limie supérieure de ce opéreur de dérivion frcionnire. Dns ce qui sui, on pose =, lors l opéreur D α es remplcé pr D α. L formulion suivne des dérivées frcionnires die dérivée u sens de Cpuo es souven uilisée puisque s rnsformée de Lplce condui à des condiions iniiles qui prennen l même forme que pour les sysèmes à dérivée d ordre enier vec des inerpréions physiques clires. L dérivée u sens de Cpuo es définie pr [], [] : d α f d α = Γn α d n fτ d n, n α<n τ α n+ vec n IN e α IR +, où Γ es l foncion Gmm Euler. L inerpréion physique e l résoluion des équions différenielles frcionnires on éé lrgemen riées dns [], []. Dns l résoluion des équions différenielles e nlyiques, l uilision de l echnique de rnsformion de Lplce es souven nécessire e joue un rôle imporn dns l résoluion des équions à dérivée frcionnire. L rnsformée de Lplce de l dérivée frcionnire u sens de Cpuo de l équion es donnée pr : n D α fe s d = s α Lf s α k f k = 3 k= où s C es l opéreur de Lplce. En considérn que oues les condiions iniilles son nulles l équion 3 peu êre réduie à d α f L d α = s α Lf. 4 L iniilision ppropriée es églemen crucile dns l résoluion e l compréhension des équions ou sysèmes frcionnires. Ainsi, on dope générlemen l noion pour l cuslié rrogne de l foncion ou du sysème pour ou α < cd α f = d α f + d α f, vec c = < 5 où d α f es l dérivée d ordre α qui peu s écrire sous l forme suivne d α f = d fτ d Γ α τ α 6 e où d α f = Ψα, f,,, es une foncion iniile définie pr d α f=ψα, f,,, = d fτ d Γ α τ α 7 B. Définiion de l foncion de Mig-Leffler à deux prmères L foncion de Mig-Leffler es une générlision de l foncion exponenielle, elle es souven uilisée dns l résoluion des problèmes physiques décris pr des équions à dérivée ou inégrle frcionnire. Elle es églemen connue pour voir un nombre fini de zéros réels, ce qui es pplicble à de nombreux problèmes physiques. L foncion de Mig-Leffler à deux prmères es définie pr l relion suivne [], [3] : où E α,β z = k= E α, z = z k, α >, β > 8 Γαk + β k= z k Γαk + E αz es l foncion de Mig-Leffler à un seul prmère. L rnsformée de Lplce de l foncion de Mig- Leffler à deux prmères peu s écrire : où e s αk+β E k α,β α d = sα β k! s α k+ 9 E k α,β = dk d k E α,β. Lemme : [4] Si α <, β un nombre réel choisi rbiriremen, γ es el que.5απ < γ < min[π, πα] e C > es un réel consn, lors E α,β z C, γ rgz π, z. + z Pour une mrice de n-dimension, nous obenons le corollire suivn Corollire : [5] Si A C n n e α <, β es un nombre réel choisi rbiriremen, γ es el que απ < γ < min[π, πα] e θ > es un réel consn, lors θ E α,β A + A, γ rgλ ia π, i =... n où θ =mxc, P P C, λ i A es l ième vleur propre de l mrice A, P es une mrice de rnsformion non singulière donnée pr l forme cnonique de Jordn de l C mrice A, + A mx C i i n + λ i, où C e C i son des consnes posiives. III. Sbilié des sysèmes linéires frcionnires Dns l héorie de l sbilié des sysèmes linéires à emps invrin, nous svons bien qu un sysème es sble si les rcines du polynôme crcérisique son négives ou à pries réelles négives si elles son complexes conjugés donc siuées sur l moiié guche du pln complexe. Pr illeurs, dns le cs des sysèmes frcionnires linéires à emps invrin, l définiion de l sbilié es différene des sysèmes d ordre enier. En effe, l noion inéressne es que les sysèmes frcionnires ou d ordre non enier peuven bel e bien voir des rcines dns l moiié droie du pln complexe.

3 L sbilié des sysèmes frcionnires éé éudiée dns [6], [7], où des condiions nécessires e suffisnes on éé obenues donnn lieu u héorème suivn : Théorème : [6], [7] Considérons le sysème linéire frcionnire d ordre commensurble suivn : D α x = Ax + Bu y = Cx < α < x = x x IR n, u IR m, y IR p. Soi σa = {λ,..., λ n }. Le sysème es sble si es seulemen si : rgλ i > απ, λ i σa, i =... n D près, ce héorème de l sbilié, il en découle les différenes régions ou zones sbles e insbles, voir figure. Im sble sble sble sble sble sble insble α π α π insble Fig.. Régions de sbilié des sysèmes d ordre frcionnires vec <α< Re IV. Sbilision des sysèmes bilinéires frcionnires Considérons le sysème bilinéire frcionnire décri pr le modèle suivn : D α x =A x + u i A i x + Bu < α < y = Cx x=x 3 où x IR n es le veceur d é, u IR m es le veceur des enrées, y IR p représene le veceur de sorie, u i es l ième coordonnée de u, A i es l mrice ssocieé à l coordonnée u i, A, B e C son des mrices consnes de dimensions ppropriées. A. Sbilision pr reour d é sique Le bu de cee secion es d éudier le problème de l sbilision sympoique pr reour d é sique du sysème bilinéire frcionnire 3 vec C = I n. Hypohèse : Supposons qu il exise une mrice gin L elle que l relion du corollire soi sisfie, c es à dire, l mrice A es remplcée pr l mrice à = A + BL vec β =, e que rgλ i à απ > pour ou i =,..., n. L sbilision sympoique du sysème bilinéire frcionnire 3 vec C = I n es donnée pr le héorème suivn. Théorème : Sous l hypohèse, le sysème 3 vec C = I n conrôlé pr le reour d é suivn u = Lx 4 es sympoiquemen sble si es seulemen si oues les vleurs propres de l mrix à = A +BL son à prie réelles négives e si l é iniil x sisfi l relion suivne α à x < θ. 5 L A i De plus, l é du sysème x es borné en norme comme sui θ x + à α x. 6 θ L x A i α à + à Preuve : En uilisn l rnsformée de Lplce du sysème 3 e l relion 4 vec C = I n, nous obenons l équion suivne m Xs=I n s s α à α x +L A i xlx i 7 où à = A + BL. Puis, en ppliqun l rnsformée inverse de Lplce de l équion 7, obenue d une pr grâce à l rnsformée inverse de l foncion de Mig-Leffler à deux prmères, e d ure pr, en uilisn l inégrle de convoluion, on obien l églié suivne x=e α, Ãα x m + τ α E α,αã τα A i xτlxτ i 8 en ppliqun ensuie l norme des deux côés de l équion 8 e en uilisn le corollire, on obien l inéglié suivne x θ x + Ãα + θ m ou d une mnière équivlene A i L τ α + à τα xτ 9 x θ x + + θ m A i L τ α à α + à xτ. τα En uilisn insi le lemme 3 de l nouvelle générlision du lemme de Gronwll-Bellmn e en considérn r= θ x θ A i L τ α, fτ= + à α + Ã. τα

4 On peu vérifier que l inéglié 4 du lemme 3 es bien vérifiée, c es à dire l b l inéglié peu s écrire sous l forme θ x + Ã τ α rs l fs d s > θ A i L τ α où d une mnière équivlene + Ã >, > 3 τα θ τ L x A i α >, >, + Ã τ α + Ã τ α 4 vérifions minenn que l inéglié suivne es bien sisfie θ L x A i Φ >, > 5 où Φ = τ α + Ã τ α. 6 + Ã τ α L inégrle dns 6 peu êre décomposer en une somme de deux inégrles Φ = + τ α + Ã τ α + Ã τ α τ α + Ã τ α 7 + Ã τ α vec < α < e τ τ pour ou τ [, ], on obien τ α + Ã τ α + Ã τ α τ α + Ã τ α 8 + Ã τ α de même, < α < e τ τ pour ou τ [, ], on τ α + Ã τ α + Ã τ α = τ α + Ã τ α + Ã τα + Ã η α d η, 9 + Ã η α η α en subsiun τ pr η. En uilisn les deux relions 8 e 9, l relion 6 peu êre réécrie comme sui τ Φ = α + Ã τ α + Ã τ α = τ α cee dernière es équivlene à 3 + Ã τ α Φ = α Ã. 3 + Ã À prir de l équion 3, on monre que Φ > si > e l relion suivne θ L x A i Φ dns l inéglié 5 es minimle qund end vers l infini. Pr illeurs, l inéglié 5 es sisfie si l é iniil x vérifie l condiion 5. À prir de l équion, on pplique le lemme 3 de l nouvelle générlision du lemme de Gronwll-Bellmn e on obien l inéglié suivne θ x + Ã α x θ L x A i Φ 3 qui vérifie bien l inéglié 6 énoncée dns le héorème. Enfin, on vérifie bien que si le emps end vers l infini, x converge vers zéro, ce qui implique que l soluion du sysème frcionnire es sympoiquemen sble. B. Sbilision pr reour de sorie sique Dns cee secion, on chercher églemen à éudier le problème de l sbilision sympoique pr reour de sorie sique du sysème bilinéire d ordre frcionnire 3. Pour celà, nous supposons que l é du sysème bilinéire d ordre frcionnire es priellemen mesurble e nous considérons oujours le sysème bilinéire frcionnire défini dns 3. Hypohèse : Supposons qu il exise une mrice gin K elle que l relion du corollire soi sisfie c es à dire l mrice A es remplcée pr l mrice A = A + BKC vec β =, e que rgλi A > απ pour ou i =,..., n e A IR n n. Remrque : Il n es ps éviden de déerminer le gin K de l hypohèse dns le cs d un reour de sorie sique, ceci mène rès souven ux problèmes d opimision non convexes ciés dns [8] : il n exise ps de condiions nécessires e suffisnes sur les mrices données A, B e C elles que le gin K sisfi le corollire. Dns l liérure, beucoup d ueurs on conribué e proposé des lois de commnde pr reour de sorie sique sur les sysèmes linéires voir [9], [] e références incluses.

5 L sbilision sympoique du sysème bilinéire frcionnire 3 conrôlé pr un reour de sorie sique es donnée pr le héorème suivn. Théorème 3 : Sous l hypohèse, le sysème 3 conrôlé pr le reour de sorie sique suivn u = Ky 33 es sympoiquemen sble si es seulemen si oues les vleurs propres de l mrix A = A + BKC son à prie réelles négives e si l é iniil x vérifie l relion suivne x < α A θ. 34 KC A i De plus, l é du sysème x es borné en norme comme sui x θ KC x m α A θ x + A α A i + A. 35 Preuve : L preuve du héorème 3 es donnée pr l preuve du héorème en remplçn, respecivemen, à = A + BL e L pr A = A + BKC e KC. V. Exemple numérique Prenons le sysème bilinéire frcionnire insble suivn { D α x = A x + A ux + Bu < α < 36 x = x vec A = [ ], A = [ ], B = [ Pour simplifier, nous consruisons le conrôleur d é linéire ou gin L = [ ] el que rgλ i à απ > e que les vleurs propres de l mrice à = A o +BL soien égles à,. Ainsi, l condiion du héorème én sisfie. On conclu donc que l soluion du sysème bilinéire frcionnire conrôlé pr un reour d é sique es sympoiquemen sble. Les résuls de l simulion son donnés pr l figure vec θ =.5 ; x = [ ] T e <α<. VI. Conclusion Dns ce ricle, on monré que sous cerines condiions déques, on pouvi sbiliser sympoiquemen pr reour d é sique e pr reour de sorie sique le sysème bilinèire frcionnire en uilisn l pproche d une nouvelle générlision du lemme de Gronwll- Bellmn, cee dernière éé prouvée dns l nnexe. Les résuls de simulion on illusré l efficcié de cee pproche e de l méhode de conrôle proposée. ] x α =. α =. α =.3 α =.4 α =.5 α =.6 α =.7 α =.8 α =.9 α = emps [s] Fig.. Sbilision pr reour d é sique du sysème bilinéire frcionnire vec <α< Annexe : Nouvelle générlision du Lemme de Gronwll-Bellmn Lemme Lemme de Gronwll-Bellmn [7] p 9 [5] p 5 Soi f, g e k, foncions inégrbles e définies de IR + IR, g, k, g L, gk es inégrble sur IR +. Si u : IR + IR sisfi u f + g lors u f + g kτuτ, 37 kτfτ exp ksgs d s,. τ 38 Corollire : [8] Soi k : IR + IR, inégrble sur IR + e k e c foncion posiive monoone e décroissne. Si u : IR + IR + sisfi lors u c + u c exp kτuτ, 39 kτ,. 4 Lemme 3 Générlision du lemme de Gronwll-Bellmn Soi, b IR, < b, r > une foncion posiive décroissne, l > un enier, f : [, b] IR + une foncion inégrble elle que, α, β [, b], α < β, on i β α fs d s > x : [, b] IR + une foncion bornée elle qu on i x r + lors, sous l hypohèse suivne l fsxs l d s. 4 rs l fs d s > 4

6 on x l Preuve 3 : L inéglié 4 s écri x r + r. 43 rs l l fs d s fsxs l xs d s en ppliqun le lemme de Gronwll-Bellmn clssique, [6], [7], on obien l inéglié suivne x r exp fsxs l d s 44 ou d une mnière equivlene x l r l exp l fsxs l d s. 45 Muliplions l inéglié précédene pr l f, on obien l fx l l r l f exp l fsxs l d s qui peu s écrire sous l forme l fx l exp l fsxs l d s 46 l r l f 47 en uilisn l primiive de l foncion exponenielle, l inéglié 47 devien d exp l d en inégrn de à, on rouve exp l fsxs l d s l r l f 48 fsxs l d s l rs l fs d s. 49 Noons que l consne d inégrion es égle à lorsqu on choisi =. si l inéglié 4 es vérifiée, on exp l fsxs l d s l Les inégliés 45 e 5 impliquen x l r l l. 5 rs l fs d s rs l fs d s d où x l r. 5 rs l l fs d s Références [] R. Drling nd J. Newmn, On he shor behviour of porous inercion elecrodes, J. of he Elecrochemicl Sociey, vol. 44, pp , 997. [] J. Bgli, L. L. Ly, A. O. J.C. Bsle, nd O. Cois, He flux simion hrough invered non ineger idenificion models, vol. 39, pp ,. [3] C. R. Sermen, Synhèse d un isoleur d ordre non enier fondé sur une rchiecure rborescene d élémens viscoélsiques qusi-ideniques. PhD hesis, Universié Bordeux, Frnce,. [4] O. Cois, A. Ousloup, E. Bgli, nd J. L. Bgli, Non ineger model from modl decomposiion for ime domin sysem idenificion, in Proc. IFAC Symposium on Sysem Idenificion, Sn Brbr, USA,. [5] C. Desoer nd M. Vidysgr, Feedbck Sysems Inpu-Oupu Properies. New York : Elecricl Sciences. Acdemic Press, 975. [6] B. Pchpe, A noe on Gronwll-Bellmn inequliy, J. of Mhemicl Anlysis nd Applicions, vol. 44, pp , 973. [7] M. Vidysgr, Nonliner Sysems Anlysis. Englewood Cliffs, New Jersey : Prenice Hll, nd ed., 993. [8] B. Pchpe, On some generlizions of Bellmn s lemm, J. of Mhemicl Anlysis nd Applicions, vol. 5, pp. 4 5, 975. [9] N. El Almi, Anlyse e Commnde Opimle des Sysèmes Bilinéires Disribués. Applicions ux Procédés Energéiques. PhD hesis, Univesié de Perpignn, Frnce, 986. Docor d E. [] K. Oldhm nd J. Spnier, The Frcionl Clculus : Theory nd Applicion of Differeniion nd Inegrion o Arbirry Order. New York : Acdemic Press, 974. [] S. Ds, Funcionl Frcionl Clculus for Sysem Idenificion nd Conrols. Heidelberg : Springer, 8. [] I. Podlubny, Geomeric nd physicl inerpreion of frcionl inegrion nd frcionl differeniion, Frcionl Clculus & Applied Anlysis, vol. 5, pp ,. [3] A. Kilbs, H. Srivsv, nd J. Trujillo, Theory nd Applicions of Frcionl Differenil Equions, vol. 4 of Norh- Hollnd Mhemics Sudies. Amserdm : Elsevier, 6. [4] I. Podlubny, Frcionl Differenil Equions. New York : Acdemic, 999. [5] X. Wen, Z. Wu, nd J. Lu, Sbiliy nlysis of clss of nonliner frcionl-order sysems, IEEE Trns. Circ. Sys. II : Express Briefs, vol. 55, pp. 78 8, 8. [6] D. Mignon, Sbiliy resuls for frcionl differenil equions wih pplicions o conrol processing, in Proc. IEEE- IMACS Sys. Mn Cyber. Conf., Lille, Frnce, 996. [7] D. Mignon, Recen resuls in frcionl differenil sysems heory, Tech. Rep. 96C4, École Nionle Supérieure des Télécommunicions, Frnce, 996. [8] M. Fu, Pole plcemen vi sic oupu feedbck is NP-hrd, IEEE Trns. Au. Conr., vol. 49, pp , 4. [9] V. Syrmos, C. Abdllh, P. Doro, nd K. Grigoridis, Sic oupu feedbck : survey, Auomic, vol. 33, pp. 5 37, 997. [] L. El Ghoui, F. Ousry, nd M. Aï Rmi, A cone complemenry linerizion lgorihm for sic oupu-feedbck nd reled problems, IEEE Trns. Au. Conr., vol. 4, pp. 7 76, 997.

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