Oscillations forcées en régime sinusoïdal.

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1 Conrôle des prérequis : Oscillaions forcées en régime sinusoïdal. - a- Rappeler l expression de la période en foncion de la pulsaion b- Donner l expression de la période propre d un circui RLC série - On donne sur le graphe suivan l évoluion de l inensié élecrique raversan un circui : 4 i(ma) (ms) -4 Cocher la bonne réponse : - La période de l inensié du couran es T=:, ms,4 ms, ms,4 ms. - La fréquence des oscillaions es N= : 5 ms 5 Hz,5 Hz. 3- La valeur maximale de inensié es Im= : -4 ma - ma 4 ma ma. 4- La valeur efficace de l inensié es donnée par :: I= I m I. Réponse d un circui RLC série à une ension sinusoïdale. I- Producion des oscillaions élecriques forcées a- Eude expérimenale. m I = I = I I m Le monage élecrique schémaisé par la figure es formé d un dipôle RLC série connecé aux bornes d un généraeur basse fréquence (G.B.F) délivran une ension sinusoïdale u() d ampliude U m e de fréquence N réglable : soi u() = Um sin( w ). Un oscilloscope bicourbe es connecé au monage comme l indique la figure. Acivié Figure a. Flécher les ensions aux bornes du résisor de résisance R, la bobine d inducance L e de résisance, e le condensaeur de capacié C e le G.B.F. b. Idenifier la ension visualisée sur chaque voie de l oscilloscope. c. Expliquer commen la ension visualisée, sur la voie A de l oscilloscope perme l éude de l évoluion de l inensié du couran élecrique dans le circui. AMOR YOUSSEF- Les oscillaions élecrique forcées en régime sinusoïdales

2 Acivié Pour quare valeurs de la fréquence N on obien les quare écrans reproduis sur la figure. U m = U Rm = T = N = Ecran () U m = U Rm = Ecran () T = N= Figure U m = U Rm = T = N= Ecran (3) U m = U Rm = Ecran (4) T = N= - Idenifier les ensions visualisées sur chaque écran. - Comparer la forme de l oscillogramme représenan i() à celle de u(). 3- a. Sans faire de calcul comparer pour chaque écran la fréquence des oscillaion de i() à celle de u(). b. Mesurer pour chaque écran la période T des oscillaions e déduire la fréquence N. 4- Conclure quan à la réponse d un circui RLC série à une ension sinusoïdale. 5- a. Calculer la période propre T, déduire la fréquence propre N. b. Pour une fréquence N donnée de la ension u(), la ension i() oscille -elle à la fréquence propre du circui RLC série. c. Sur chaque écran de la figure indiquer la valeur U m de la ension maximale aux bornes du généraeur e U Rm la valeur maximale de la ension aux bornes du résisor. d. Que peu-on conclure quan à l influence de la fréquence N sur la valeur maximale de l inensié du couran élecrique. e. Déduire pourquoi les oscillaion de l inensié i() son qualifiées de «forcées». b- Eude héorique. Acivié 3 - Reproduire le schéma du circui RLC série suivan e flécher les diverses ensions. - Le généraeur basse fréquence délivre une ension sinusoïdale donnée par l expression : u() = U sin( w ). m R L,r C GBF AMOR YOUSSEF- Les oscillaions élecrique forcées en régime sinusoïdales

3 a- Eablir l équaion différenielle régissan les oscillaions élecriques de l inensié du couran élecrique i(). b- L équaion différenielle ayan un second membre non nulle adme comme soluion pariculière : i() = Im sin( w +j ). Les oscillaions du couran élecrique son-elle forcée? Jusifier. I- L impédance du dipôle RLC série. Acivié 4 A l aide du circui de la figure, on réalise l expérience suivane : On fixe la valeur de N= Hz e on varie la valeur de l ampliude U m de la ension u(). Pour chaque valeur de U m, on mesure la ension maximale U Rm e on en dédui la valeur de I m. Les résulas son consignés dans le ableau suivan : U m (V) U Rm ( -3 V) I m ( -3 A) Um Im -Compléer le ableau ci-dessus. Um -Quelle es l unié du rappor. Im 3-Définir l impédance du circui RLC série. 5,56 6, II- Le déphasage On considère deux foncions sinusoïdales données par les expressions : y () = Ym sin( w +j ) e y () = Ym sin( w +j ) - Définiion - Exemples de déphasage enre deux foncions sinusoïdales a- La concordance de phase + y () y () Décalage horaire Axe des phases Déphasage Cas (a) b- L opposiion de phase + Décalage horaire Axe des phases Déphasage Cas (b) AMOR YOUSSEF- Les oscillaions élecrique forcées en régime sinusoïdales 3

4 c- La quadraure de phase avance + Décalage horaire Axe des phases Déphasage Cas (c) d- La quadraure de phase reard + Décalage horaire Axe des phases Déphasage Cas (d) 3- Conclusion : Recopier e compléer le exe suivan : Deux foncions sinusoïdales y () e y () isochrone ( ) son : En concordance de phase ou en phase si : D = soi Dj= En opposiion de phase si : D = soi Dj= En quadraure de phase si : D = soi Dj= * Si Dj =j -j >, y () es.. de phase par rappor à y (). * Si Dj =j -j <, y () es.. de phase par rappor à y (). 4- Applicaion : Déphasage inensié ension On considère un circui RLC série parcouru par un couran élecrique d inensiéi() = Im sin( w +j ). - Ecrire en foncion du emps les expressions des ensions u R (),u L () e u C (). - Déduire les déphasages suivans : ( ji -j u ) ; ( j R i -j u ) ; ( j L i -j u ). C 3- Représener à une dae quelconque le veceur de Fresnel correspondan à chacune des ensions u R (),u L () e u C (). AMOR YOUSSEF- Les oscillaions élecrique forcées en régime sinusoïdales 4

5 III- Influence de la fréquence de l exciaeur sur la réponse d un dipôle RLC série. III- Eude expérimenale On réalise le monage élecrique schémaisé par la figure. Le dipôle RLC série connecé aux bornes d un généraeur basse fréquence (G.B.F) délivran une ension sinusoïdale u () d ampliude U m =V e de fréquence N réglable : soi u() = sin(p N). On faisan varier la fréquence N de l exciaeur on consae que qu a chaque fois u R () garde la même forme mais sa valeur maximale U Rm e son décalage D par rappor à u(), changen. Figure 3 Um U Rm (V) T = N D Les résulas des mesures on permis d'obenir : - le racé de la figure 4a représenan l'évoluion de l'ampliude I m de l'inensié i() en foncion de N. - le racé de la figure 4b représenan l'évoluion de la phase iniiale j de l'inensié i en foncion de N. Acivié 5 Figure 4 a Figure 4 b. Monrer que, dans les condiions de l'expérience réalisée, la valeur de la phase iniiale j es égale à la valeur du déphasage enre i e u.. Décrire la forme pariculière de la courbe représenan I m en foncion de N. 3. a. Déerminer graphiquemen la valeur de la fréquence N pour laquelle l'inensié maximale I m du couran oscillan es à sa valeur la plus élevée I m e la comparer à la fréquence propre N de l oscillaeur. b. Relever la valeur de I m e la valeur de j correspondane. c. Calculer l impédance Z du circui RMC lorsque I m = I m. Comparer cee valeur à sa résisance oale (R +r). Conclusion :. Quelle es la réponse d un circui RLC soumi à une ension u() de fréquence N=N?. Quand es ce que le circui RLC es en résonance d inensié? 3. Commen se compore le circui RLC en résonance d inensié? AMOR YOUSSEF- Les oscillaions élecrique forcées en régime sinusoïdales 5

6 III- Eude héorique Les oscillaions de l inensié du couran élecrique raversan le circui RLC précédemmen éudié di son régis par l équaion différenielle : R i + L + id = Umsin( w) d Cò avec R =R +r. La soluion de cee équaion différenielle es i()= I m sin( w +j). III-- Consrucion de Fresnel de l équaion différenielle. Acivié 6. Moner que l équaion différenielle s écri sous la forme : p p R Imsin( w +j ) + LwImsin( w +j+ ) + Imsin( w +j-= ) Umsin( w) Cw. Aribuer à chaque ension de l équaion différenielle un veceur de Fresnel. 3. Représener la consrucion de Fresnel correspondane à l équaion différenielle dans le cas suivan : a- Lw>. b- Lw= c- Lw< Préciser dans chaque cas la naure : Capaciif inducif ou résisif du circui. III-- Expression de l inensié maximale I m e de la phase iniiale j de l inensié i(). Acivié 7 : Expression de l inensié maximale On considère un circui RLC série en oscillaions élecriques forcées. La consrucion de Fresnel correspondane à l équaion différenielle régissan les oscillaions de l inensié du couran élecrique es donnée par la figure suivane : - En exploian la consrucion ci-conre déerminer l expression de l inensié maximale I m. -Représener l allure de la courbe I m =f( w) - Déduire l expression de l impédance Z du circui RLC série. OA uuur uuur OA j OA uuur uuur OA3 Axe des phases Acivié 8 : Expression de la phase iniialej de l inensié i() - Exprimer g e jon foncion des modules des veceur de Fresnel p p - Vérifier que - <j<. 3- Représener l allure de la courbe j=f( w) III-3- La résonance d inensié. On considère que le circui RLC série éudier précédemmen se rouve en éa de résonance d inensié. Acivié 9 : Donner dans ce cas : a- La valeur de la fréquence des oscillaions AMOR YOUSSEF- Les oscillaions élecrique forcées en régime sinusoïdales 6

7 b- L expression de l inensié maximale c- L expression de l impédance Z du circui RLC d- La naure du circui. e- La valeur du déphasage enre l inensié i() e la ension exciarice u(). III-3- Influence de la résisance oale sur la résonance d inensié. Acivié : On refai l'éude expérimenale du paragraphe III, oujours avec L =,H e C =,47µF, mais en fixan R successivemen aux valeurs R = W e R 3 = W.Les résulas des mesures faies permeen d'obenir : -Les courbes de résonance d'inensié () e () de la figure 5a, correspondan respecivemen à R e R 3. - Les courbes (a) e (b) de la figure 5b représenan l'évoluion de la phase iniiale jde l'inensié i en foncion de N e correspondan respecivemen à R e R 3. Figure 5.a Figure 5.b N(Hz). Comparer les allures des courbes de résonance () e () enre elles.. Pour les valeurs R e R 3 de R, déerminer graphiquemen : a. la valeur de la fréquence de résonance. b. le déphasage correspondan enre l'inensié i e la ension d'alimenaion u. 3. En déduire l'influence de la résisance oale du circui sur la résonance. III-3-3 La surension. Voie A Voie B R L,r C Acivié On considère le monage de la figure 6 oujours avec L =,H, C =,47µF e U m = V, mais en choisissan Figure 6 comme fréquence d'exciaion, la fréquence propre (N = 5Hz) du circui RLC série. On mesure la valeur maximale GBF U Cm de la ension aux bornes du condensaeur pour des valeurs de la résisance R égales à R = W, R = 5W e R 3 = W. Les résulas des mesures son consignés dans le ableau suivan : R ( W) 5 U C m(v) 4 6,5. Reproduire, puis compléer le ableau suivan : R ( W ) 5 Q = U Cm /U m. Le quoien Q = U Cm /U m es appelé faceur de surension à la résonance. Jusifier cee appellaion. 3. a) Monrer héoriquemen que Q peu s'écrire uniquemen en foncion des caracérisiques R, L e C de l'oscillaeur. b. Calculer les valeurs héoriques de Q, correspondan respecivemen aux valeurs W, 5W e W de la résisance R. 4. Quelle précauion fau-il prendre pour avoir un faceur de surension modéré à la résonance AMOR YOUSSEF- Les oscillaions élecrique forcées en régime sinusoïdales 7

8 IV-La puissance élecrique moyenne. IV- Expression de la puissance élecrique moyenne IV- Forme de la puissance élecrique moyenne d un circui RLC série Acivié Moner que quelque soi la fréquence de l exciaeur la puissance moyenne élecrique d un circui RLC es dissipée par effe joule. IV-3 Evoluion de la puissance élecrique moyenne d un circui RLC série en foncion de la fréquence. Acivié 3. a. Monre que la puissance moyenne élecrique fourni par le G.B.F peu s écrire sous la forme : RU P = R + (L w- ) b. Préciser les pulsaions wpour lesquelles le ransfer de puissance (de l énergie) es nul ; es P(mW) maximal. 6,4 c. Quelle es l influence de la valeur de R sur la Courbe Résonance valeur de l énergie ransférée? 5,6. Applicaion : On donne sur la figure 7 les courbes de 4,8 l évoluion de la puissance élecrique moyenne P en foncion de la fréquence N pour deux valeurs R > e R de la résisance R. a. Aribuer à chaque courbe la valeur de la résisance correspondane. b. Indiquer sur chaque courbe s il s agi d une résonance floue ou aigue. c. Pour quelle fréquence le circui es en éa de résonance de puissance? S agi-il aussi d une résonance d inensié? d. Déerminer la valeur du faceur de puissance à la résonance de puissance. e. Sachan que U m =V. Déerminer les valeurs des résisances R e R. 4 3,,4,6,8 Résonance N(Hz) Figure 7 Courbe IV-3 Imporance du cos j La ension U imposée par le réseau STEG es (V, 5 Hz), la puissance P nécessaire pour une insallaion élecrique, P = U.I.cosj. P Ainsi le couran s adape suivan la relaion : I = U.cos j. Problème économique : plus I es faible plus les peres son faibles. Pour diminuer I sans modifier P ou U, il fau augmener cos j. On di qu il fau relever le faceur de puissance. cos phi mère Problème élecrique : commen modifier cos j sans modifier la puissance P? AMOR YOUSSEF- Les oscillaions élecrique forcées en régime sinusoïdales 8

9 R Réponse : le faceur de puissance peu s exprimer de la façon suivane ; cosj=. R + (L w- ) Plus ( Lw- ) se rapproche de, plus cos j se rapproche de. En rajouan à l insallaion élecrique des condensaeurs ou des inducances, on modifie ( Lw- ) sans modifier P. Relèvemen du faceur de puissance Si l insallaion élecrique es inducive ( Lw- > ), il fau diminuer condensaeurs. Si l insallaion élecrique es capaciive ( Lw- < ), il fau augmener inducances. (L w- ) en adjoignan des (L w- ) en adjoignan des Inconvénien d'avoir un mauvais faceur de puissance Pour le produceur (STEG): - nécessié d'avoir des alernaeurs e des ransformaeurs plus imporans, - posséder une ension plus élevée au dépar de la ligne, - besoin d'avoir des lignes de plus fore secion, - peres Joules plus élevées, - appareils de conrôle, de proecion e de coupure plus imporans. Pour le consommaeur : - nécessié d'avoir des ransformaeurs, des moeurs, des appareillages de manœuvre plus imporans, - ension d'uilisaion plus faible, - inensié plus grand, - peres Joules plus élevées, - rendemen des appareils mauvais. Wamère e cos phi mère Condensaeur pour redresser cos phi Plaque signaléique d un moeur AMOR YOUSSEF- Les oscillaions élecrique forcées en régime sinusoïdales 9