NOTE SUR LES METHODES UNIVARIEES

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1 BRUSSELS EONOMI REVIEW - AHIERS EONOMIQUES DE BRUXELLES VOL 5 N 3 AUTUMN 7 NOTE SUR LES METHODES UNIVARIEES D EXTRATION DU YLE EONOMIQUE ANNA SESS ET MIHEL GRUN-REHOMME (UNIVERSITE PARIS, ERMES- NRS- UMR78) RESUME: e papier présene des méhodes couranes d eracion du cycle : les filres classiques de Hodric-Presco, Baer-King e hrisiano-fizgerald, puis les filres numériques de Buerworh, de Hamming e de Hanning, enfin la modélisaion endance-cycle à composanes inobservables. es méhodes son appliquées à des séries cycliques simulées e au données rimesrielles du PIB américain (98 - ). Une classificaion des méhodes apparaî plus perinene en foncion de leur propriéé fréquenielle. Les filres endance-cycle e de Hamming semblen eraire un cycle plus lisse. E, les filres esimen un cycle largemen différen de celui défini par la règle des poins de reournemen proposée par le NBER. ABSTRAT: This paper presens commonly used filers in macroeconomics. We consider he usual filers of Hodric-Presco, Baer-King and hrisiano-fizgerald, hen he numerical filers of Buerworh, of Hamming and of Hanning, finally he unobserved componens Trend-ycle model. The mehods are illusraed hrough some arificial cyclical series and he US GDP quarerly series (98 - ). This paper suggess ha business cycles display differen groups according o heir frequency propery. The filers rend-cycle and Hamming seem o erac a smooher cycle. Also he filers lead o idenificaion of a cycle differen from he urning poins daes rule proposed by NBER. JEL lassificaion:,, 5,, E3. MOTS-LES: cycle économique, endance, filre passe-hau, filre passe-bande, composanes inobservables. KEYWORDS: business cycle, rend, high-pass filer, pass-band filer, unobserved componens. Universié Paris, ERMES- NRS- UMR78,, place du Panhéon 753 Paris cede 5, France. asess@homail.fr grun@u-paris.fr 335

2 NOTE SUR LES METHODES UNIVARIEES D EXTRATION DU YLE EONOMIQUE INTRODUTION Dans la décennie qui sui la grande dépression, les économises prennen conscience de l eisence d alernances de phases de hausse e de baisse dans les aciviés producives humaines (Harberler, 9 ; Shumpeer, 939). La héorie des cycles a éé éablie afin de rendre compe des successions de phases de hausse e de baisse de l acivié économique, e ainsi d envisager une prévision des crises e des reprises. Le erme de cycle désigne les flucuaions de l acivié économique qui ne son ceres pas sysémaiquemen régulières ou périodiques. En foncion de la posiion de l économie dans les cycles économiques, les auoriés monéaires e de gouvernemen peuven prendre des mesures de poliique économique à cour erme adéquaes pour réguler l acivié économique : il s agi des poliiques cononcurelles. es poliiques cononcurelles se veulen avan ou conracycliques. Une poliique budgéaire conracyclique, comme le nom l indique, va à l enconre des mécanismes de cycles. Elle s y oppose dans le sens où c es une poliique dans laquelle l Éa s acive à relancer l économie lorsque la croissance économique es faible, e à améliorer l éa de ses finances lorsque la croissance es fore. Ainsi, duran une période de cononcure économique mauvaise, noammen de récession économique, l Éa peu mener une poliique de relance, poliique eynésienne, qui passe par une poliique budgéaire epansionnise, c es-à-dire d augmenaion de ses dépenses. A l inverse, lorsque la cononcure économique es bonne, l Ea peu alors mener une poliique budgéaire plus resricive, c es-à-dire baisser ses dépenses, e profier des renrées fiscales, qui lui permeron de relancer l économie, si la cononcure se déériore. La définiion classique du cycle économique a éé apporée par les économises américains Arhur Burns e Wesley Michell du Naional Bureau of Economic Research (NBER) en 96 : un cycle es composé d epansions qui se produisen à peu près en même emps dans de nombreuses branches, suivies de récessions, de conracions e de reprises ou aussi généralisées qui se reoignen dans la phase d epansion du cycle suivan. ee définiion s appuie sur la daaion des poins de reournemen des agrégas économiques, ce qui perme de mere en évidence les périodes d epansion e de récession. ee approche souffre de quelques insuffisances don son incapacié à dissocier cerains ralenissemens de la récession. Un poin de vue alernaif es donc proposé dans la liéraure macroéconomique. Le cycle es défini comme un cycle de croissance puisqu il es l écar à la endance de long erme (Zarnowiz, 985). Différenes méhodes saisiques univariées son proposées pour eraire le cycle économique de croissance. Hisoriquemen, cee approche a d abord consiser à esimer des endances déerminises (linéaires, polynomiales ou coudées) e fourni des cycles pariculièremen amples e persisans. Ensuie des méhodes à base de filres son devenues populaires elles que le filre de Hodric-Presco (997), de Baer-King (999). Leur succès es lié à leur simplicié d uilisaion e à leur capacié à eraire des endances sochasiques. Néanmoins, ces filres peuven faire apparaîre des cycles arificiels (ogley e Nason (995), Murray (3)). Les filres de Buerworh (93), de Hamming e de Hanning (Blacman e Tuey (959)) son La héorie économique oppose les poliiques procycliques (des éas e banques cenrales) au poliiques conracycliques, qu elle uge préférables. 336

3 ANNA SESS ET MIHEL GRUN-REHOMME donc imporés de l ingénierie, ils son qualifiés de filres numériques. Enfin, une aure méhode consise à modéliser la endance e le cycle qui son ensuie esimées par le maimum de vraisemblance. Elles son qualifiées de méhodes paramériques. Elles comprennen la décomposiion de Beveridge-Nelson (98), les modèles à régressions linéaires e les modèles à composanes inobservables (Harvey, 985 e lar, 987). es méhodes son améliorées en imposan à la composane cyclique de suivre une foncion rigonomérique (Harvey e Jaeger, 993 ; Koopman e al., 999). L obecif de ce aricle es de procéder à une classificaion udicieuse de méhodes univariées d eracion du cycle économique, en les comparan enre elles e avec la méhode d idenificaion du cycle basée sur ses poins de reournemens. A cee fin, nous recourons à si filres choisis pour êre assez représenaifs des méhodes univariées d eracion de cycle disponibles : des méhodes récenes ou pas, des méhodes paramériques ou non, des filres numériques e des méhodes à différenes propriéés fréquenielles. e ravail débue par une présenaion brève des méhodes, régroupées en rois caégories de mesure du cycle basée sur la démarche, les ouils e qui consiue la classificaion usuelle. Il s agi des filres classiques de Hodric-Presco, de Baer-King e de hrisiano-fizgerald, puis des filres numériques de Buerworh, de Hamming e de Hanning e, enfin du filre endance-cycle : une eension du filre de Hodric-Presco basée sur une modélisaion à composanes inobservables. Par la suie, les méhodes son appliquées à une série puremen cyclique simulée e au données rimesrielles du PIB américain sur la période allan de 98 à. Dans la première illusraion des ouils de mesure de qualié son calculés pour comparer les filres, la deuième illusraion perme de déduire un regroupemen des méhodes à parir de la comparaison des chronologies des poins de reournemen. Les résulas empiriques de nore éude poren à la fois sur la performance des filres à eraire un cycle proche de la série cyclique iniiale, sur la cohérence de ces différenes esimaions enre elles, sur les liens enre les méhodes e sur leur apiude à eraire un cycle don la daaion des poins de reournemen es proche de celle proposée par le Naional Bureau of Economic Research (NBER). D abord nos ravau permeen de disinguer rois ypes de méhodes indépendammen de la classificaion usuelle, mais pluô en foncion de leur propriéé fréquenielle : les filres passe-hau, les filres passe-bande e le filre endance-cycle qui uilise simulanémen un filre passe-hau e un filre passebande. Nous observons que les filres endance-cycle e le filre numérique de Hamming semblen eraire un cycle plus lisse e mieu raier les erémiés de la série. ependan, l uilisaion d un modèle à composanes inobservables basé sur un filre es plus complee e son mode opéraoire plus lourd même si elle semble êre plus rigoureuse. De plus, en présence d une composane irrégulière, le filre endance-cycle devien moins fiable que le filre Hamming. Enfin, nous confirmons la conclusion suivane de diverses analyses macroéconomiques : le cycle diffère largemen selon qu il es erai à parir de filres ou défini par la règle des poins de reournemen proposée par le NBER. En effe, malgré la prise en compe de filres récens comme les filres numériques e le filre endance-cycle, les 337

4 NOTE SUR LES METHODES UNIVARIEES D EXTRATION DU YLE EONOMIQUE chronologies des poins de reournemen de cycle obenues son différenes de celle proposée par le NBER.. DES FILTRES LASSIQUES EN MAROEONOMIE.. LE FILTRE DE HODRIK ET PRESOTT Le filre de Hodric e Presco (HP, 997) décompose une série macroéconomique Y,..., n corrigée de variaions saisonnières en une endance de long erme X, e des flucuaions de cour erme saionnaires : Y X. () Il eise une définiion de la saionnarié au sens sric, mais on se limie le plus souven au crière d une saionnarié du second ordre. es saionnaire du second ordre si e seulemen si : (), E ( ) m, V ( ) h (, h),cov(, ) ( h) où m e son indépendans du emps e les auocovariances h dépenden uniquemen du délai h enre les deu daes considérées. De façon moins echnique, une série es saionnaire si sa variabilié n évolue pas au cours du emps e si les valeurs à chaque dae ne son pas corrélées enre elles. L idée sous-acene au filre HP es la suivane. En moyenne, sur le long erme, les flucuaions cycliques devraien êre nulles. De plus, la endance de long erme de la série doi refléer un au de croissance flucuan peu. Ainsi, la endance es esimée par la résoluion du problème d opimisaion suivan : n n min ( Y ) X n X ( X ) (3) où es un paramère réel posiif de lissage e X X X X qui dépend des différences secondes de X, radui le lissage de la endance. La première parie de l équaion (3) radui la fidélié de la endance par rappor à la série. X es le poids relaif enre deu forces : d une par, celle qui minimise la somme des carrés des résidus cycliques e d aure par, celle qui minimise la somme des carrés de X ). Plus es grand, plus la endance esimée es lisse. ( Dans leur cadre de ravail, la valeur de es obenue en considéran un modèle de probabilié dans lequel : sui une loi normale N (, I ) e X sui une loi 338

5 ANNA SESS ET MIHEL GRUN-REHOMME 339 normale ) (, I N X. La valeur esimée de X es la soluion du problème de l équaion (3), avec : / X. () Hodric e Presco recommanden le choi de [5/(/8)] 6 pour les données rimesrielles. Pour le choi de la valeur du paramère de lissage, les aueurs se basen sur une de leurs observaions selon laquelle "5% de la composane cyclique correspond à /8 de % du au de croissance de la endance pour une série rimesrielle." Ils recommanden = pour des séries mensuelles e = pour des séries annuelles. Les condiions de premier ordre de HP son déduies en posan le veceur gradien de l équaion (3) égale à zéro. ) ( 3 ) 5 ( 3,..., 3, pour ), 6 ( N ) 5 ( 3 N N N N N ). ( N N N N es condiions se résumen ainsi : F X (5) où F

6 NOTE SUR LES METHODES UNIVARIEES D EXTRATION DU YLE EONOMIQUE avec X, pour 3,,..., N (6) ce qui implique Y ( F I) X. (7) Alors, la endance es X ( F I) Y. (8) Une fois la endance esimée, on reranche la endance à la série pour obenir la composane cyclique : Y X. (9) Les flucuaions cycliques son un esimaeur de la composane combinée cyclique-irrégulière. On peu appliquer le filre à la série obenue avec un aure paramère de lissage ou uiliser une aure méhode de lissage, (par eemple la méhode robuse du Loess (leveland e al., 99), pour ener d isoler la composane irrégulière de la composane cyclique précédemmen obenue. L applicaion du filre HP es ad hoc car ses uilisaeurs cherchen uniquemen une composane cyclique saionnaire sans epliciemen spécifiée les caracérisiques du cycle économique. A l inverse les filres présenés par la suie mesuren le cycle don il y a une spécifie une caracérisique. ee méhode fourni des valeurs au erémiés de la série mais en uilisan des moyennes mobiles asymériques qui inroduisen un déphasage enre la endance e la série. Pour chaque nouvelle valeur de la série, le filre es recalculé sur l ensemble de la série. Il a endance à suresimer le cycle ou en sous-esiman le rend, ce qui peu générer des pics ineisans dans le cycle économique (ogley e Nason, 995)... LA METHODE DE BAXTER ET KING Baer e King (BK, 999) définissen le cycle comme une alernance de périodes d epansion e de récession don la longueur varie enre 6 e 3 rimesres, en se référan à la définiion du cycle de Burns e Michell (96). Un filre idéal devrai eraire le rang spécifique de périodicié enre / 6 e / 3, sans en alérer les propriéés. On applique alors à la série un filre passe-bande qui conserve les fréquences de ce inervalle e annule les aures. Le filre passe-bande es obenu à parir de la somme d un filre passe-bas associé à la fréquence e d un filre passe-hau associé à la fréquence. eci correspond à la différence de deu filres passe-bas associés au fréquences e car un filre passe-hau es le complémen à du filre passe-bas associé à la même fréquence. Le filre passe-bande obenu doi êre symérique de façon à ne pas inroduire de déphasage enre la série iniiale e celle issue du filre. 3

7 ANNA SESS ET MIHEL GRUN-REHOMME Rappelons la définiion d un filre passe-bas idéal associé à une fréquence. Il s agi d une ransformaion linéaire (une moyenne mobile infinie) d une série qui conserve les fréquences inférieures ou égales à e annulen celles qui son supérieures à. La foncion de ransfer du filre idéal es de la forme : i,si A e (),sinon. i Le développemen en série de Fourier de e A es : ( ) i e () don les coefficiens son définis par : e i d /,si () sin ( ) /,si. Ainsi, le filre passe-bande idéal laissan passer les fréquences comprises enre e es défini par la foncion de ransfer : i,si (, ) (, ) A e (3), sinon. Les coefficiens du filre son : ( ) /,si () sin ( ) sin ( ) /,si. Dans le domaine emporel, le filre idéal ransforme la série iniiale Y,..., n en une série Y définie par la moyenne mobile infinie suivane : Y L Y. (5) L es l opéraeur reard el que polynôme L Y Y L L à la série Y.. L équaion (5) revien à appliquer le 3

8 NOTE SUR LES METHODES UNIVARIEES D EXTRATION DU YLE EONOMIQUE Baer e King proposen un filre passe-bande fini symérique d ordre pour esimer le cycle qui approime la série Y. La série Y es isolée quand le filre passe-bande infini es appliqué à la série Y. Le filre héorique infini es approimé à l aide d un filre fini opimal basé sur le crière d opimisaion suivan: f ( ) ( ) d min, sous conraine : ( ) (6) où () es la foncion de ransfer du filre passe-bande idéal (avec () qui es le gain à la fréquence nulle), e f () es la foncion de ransfer du filre passebande fini recherché qui es de la forme :,si (, ) (, ) f ( ) (7), sinon. i Le développemen en série de Fourier de f e es : i f ( ) e. (8) Le filre BK es donc obenu par simple roncaure du filre infini à l ordre, à condiion de ramener la somme des coefficiens à, en aouan le même correcif à chaque coefficien b. Plus es grand, plus le filre fini es précis avec une pere de poins à chaque erémié de la série. Les poids soluions du problème de minimisaion son : b ; ;,,..., b ( ) /,si sin ( ) sin ( ) /,si,..., (9) b. En praique, les aueurs recommanden de ronquer le filre infini à l ordre = pour des séries rimesrielles, pour que l espérance ne soi pas modifiée. Il es éviden que l on perd rimesres à chaque erémié. Le filre BK es une alernaive aracive au filre HP, puisqu il perme d eraire une composane puremen cyclique. ependan, ce filre réel e symérique inrodui ou de même un déphasage, bien que moindre, enre Y e le cycle esimé (Guay e S-Aman (997), Murray (3)). 3

9 ANNA SESS ET MIHEL GRUN-REHOMME.3. LA METHODE DE HRISTIANO ET FITZGERALD Le filre idéal proposé par hrisiano e Fizgerald (F, 999) es proche de celui de BK : il ene d approimer le filre idéal passe-bande. Il ransforme la série iniiale en une série définie Y,..., n en une série Y. Les poids du filre fini F approime la série Y en un cycle esimé aussi proche possible de Y. Pour ce faire, les aueurs reiennen un aure crière d opimalié : ils sélecionnen les poids du filre fini de façon à minimiser l espérance du carré des erreurs. Y Y E () L approimaion opimale du filre passe-bande F nécessie qu on sache la naure réelle de la représenaion des données iniiales Y. En praique, la naure réelle des données es inconnue e es alors esimée. Les aueurs posen comme hypohèse que les données son générées par une pure marche aléaoire. Y es de ype Y Y, où es un brui blanc. Y a une espérance nulle e a une covariance saionnaire. On peu monrer que Y es non saionnaire puisque sa variance varie dans le emps (on remarquera la présence du coefficien devan le erme Y ). Si les données on une espérance non nulle, elle doi êre éliminée avan l analyse. Si la covariance es saionnaire auour de la endance, la endance doi êre d abord éliminée. Les aueurs monren que dans le cas où la série iniiale es une marche aléaoire sans dérive (ou peu y êre assimilée), le filre approimé opimal s eprime comme sui : d b b b b bn n d n n n, pour,,. () Les coefficiens b on ceu inervenan dans l équaion (9) avec varian de à l infini e chaque coefficien d es la somme de à l infini des b e d b. () Le filre F es opimal seulemen si les données son générées par une pure marche aléaoire. Les coefficiens son ni saionnaires ni symériques ce qui implique un déphasage enre Y e le cycle esimé. De plus, Osborn (995) a monré qu un filre à moyenne mobile inrodui en général ou de même un déphasage. 33

10 NOTE SUR LES METHODES UNIVARIEES D EXTRATION DU YLE EONOMIQUE.. REMARQUE Singleon (988) a monré que le filre HP es une bonne approimaion d un filre passe-hau qui laisse passer oues les composanes de fréquence supérieure ou égale à /, pour les poins cenrau de la série (équaion(6)). Au erémiés, le filre calcule la endance grâce à une moyenne mobile asymérique ne faisan inervenir que les informaions anérieures à la dae considérée (en fin d échanillon) ou que les informaions fuures (en débu d échanillon). D où le déphasage inrodui enre la endance e la série, ce qui es gênan si le cycle es uilisé pour l analyse cononcurelle. es rois filres on éé beaucoup criiqués dans la liéraure pour les fausses srucures cycliques qu ils pouvaien induire : Wason (986), lar (987), Morley e al. (3), Murray (3), On a pu depuis lors assiser à une proliféraion de méhodes de mesure du cycle économique. Récemmen, dans le bu de mieu eraire le cycle de séries emporelles macro économiques, des filres numériques on éé proposés pour opimiser un poin spécifique de ces filres. Pour mieu laisser passer les basses fréquences (respecivemen une bande de fréquences) les filres numériques passe-bas (respecivemen les filres numériques passe-bande) son uilisés.. DES FILTRES NUMERIQUES AU SERVIE DE L EXTRATION DU YLE EONOMIQUE.. LE FILTRE DE BUTTERWORTH Le filre de Buerworh (Bu) a éé décri en 93 par l ingénieur Sephen Buerworh e fu appliqué en économie par Harvey e Trimbur (3). es un filre linéaire, désigné pour avoir un gain aussi consan que possible. omme l a récemmen souligné Gomez (), le filre de HP en es un cas pariculier. ependan, le filre de Buerworh es plus fleible puisqu il dépend de deu paramères posiifs q e l ordre du filre m. e filre peu-êre eprimé en erme d opéraeur d erreur comme sui : B lp m q L m, m,,3 (3) q sin ( lp / ) e lp où m es la fréquence limie (lp désigne le filre passebas de Bu). e filre passe-bas es ransformé en filre passe-hau en suppriman la endance eraie, de façon à isoler la composane cyclique. Mais pluô que de définir le cycle simplemen comme la parie résiduelle de la série après l eracion de la endance, un filre passe-bande peu-êre uilisé pour conserver un inervalle de fréquences spécifique. Un filre idéal d eracion de cycle peu-êre obenu comme un cas pariculier d un filre passe-bande de Buerworh. e filre es obenu en sousrayan les poids du filre passe-bas de Buerworh don de ceu du passe-bas don lp avec lp. Mais, 3

11 ANNA SESS ET MIHEL GRUN-REHOMME dans le cas de nore éude nous nous limierons à la version passe-hau de ce filre, pour évaluer si un filre numérique erai un cycle plus lisse qu un aure ype de filre indépendammen ou pas de ses propriéés fréquenielles (filre passe-hau ou filre passe-bande). On peu uiliser une aure méhode de lissage, (par eemple la méhode robuse du Loess (leveland e al., 99), pour ener d isoler la composane irrégulière de la composane cyclique précédemmen obenue... LE FILTRE A FENETRE DE HAMMING ET DE HANNING es filres poren le nom de leurs inveneurs (Hamming R.W. e Von Hann J. F., 959 ; Blacman e Tuey, 959) e son bien connus en ingénierie (Oppenheim e Schaffer, 999). L uilisaion de ces filres en économie es proposée par Iacobucci e Noullez (5). Appliqués sur des séries finies, les filres induisen un déphasage enre la série iniiale e la série eraie. Un ausemen es donc proposé avec l uilisaion d une fenêre pour aénuer la puissance specrale en dehors de la bande fréquenielle considérée, permean la suppression maimale des composanes fréquenielles non désirées. Les aueurs reiennen la fenêre de Tuey don la forme specrale es la suivane : a sin T W ( ) a,. a () T T Ils recommanden l uilisaion de la fenêre specrale de Hanning ( a,5) e de Hamming ( a,5) pour les séries de ype macroéconomique. Le filre à fenêre de Hamming es obenu à parir d une combinaison udicieuse de celle de Hanning e d une fenêre recangulaire. es deu filres son décris dans le chapire "Paricular Pairs of windows" (pp ) du livre de Blacman e Tuey (959). Ils apporen une pondéraion en forme de cloche, mais le filre à fenêre de Hanning annule les poins des erémiés, ce qui n es pas le cas du filre à fenêre de Hamming. Par la suie, on uilisera le filre à fenêre de Hamming (HW) qui a l avanage d êre applicable à des séries macroéconomiques coures (Iacobucci e Noullez, 5, p. 7). Les aueurs proposen la procédure d eracion de cycle suivane : - onsidérons la série iniiale Y,..., n e la fréquence / n où es la périodicié considérée (mois, rimesre,...). - On supprime la endance linéaire. Les aueurs proposen d uiliser la méhode des moindres carrés, pour supprimer une endance localemen polynomiale (Iacobucci e Noullez (5), p. 6). - On calcule la ransformée de Fourier du signal Y : U n i n Y e,,..., n /. (5) - On applique la fenêre de Hamming e de Hanning W H à U : 35

12 NOTE SUR LES METHODES UNIVARIEES D EXTRATION DU YLE EONOMIQUE n / W H U ' n / V W H U (6) ' ' ( a) ( a) H ah H U,,..., n / où H es défini par : H,siln n, sinon. (7) (8) - Puis on calcule l inverse de la ransformée de Fourier pour obenir la série filrée : i i n / n n V V,,,. V e V e n (9) n Le filre de HW aénue les composanes non désirées par un faceur plus grand que. es amélioraions son pariculièremen évidenes quand des séries emporelles de cour erme son analysées, ce qui es une caracérisique des séries emporelles macroéconomiques. e filre es saionnaire e symérique, il n indui donc aucun déphasage. Les filres évoqués dans les deu secions précédenes son des méhodes non paramériques : ils ne prennen pas en compe la spécificaion eplicie d un modèle saisique e les paramères son fiés à priori. Dans la secion qui sui, considérons une méhode paramérique, qui devrai permere de mieu isoler les composanes d une série emporelle. 3. UN FILTRE AVE LA MODELISATION A OMPOSANTES INOBSERVABLES OMME PROEDURE D EXTRATION DE SIGNAL Harvey (985) e lar (987) uilisen un modèle à composanes inobservables (Unobserved omponens (U) Model) pour décomposer les séries emporelles macroéconomiques Y en endance sochasique X e en composane saionnaire cyclique, Y X (3) La endance conien une racine uniaire : (3) (3) où cov,, ~ iid,, ~ iid,. Le cycle sui un processus ARMA saionnaire e inversible ( L) ( L). p q 36

13 ANNA SESS ET MIHEL GRUN-REHOMME La endance sochasique du modèle U es beaucoup mieu esimée que celles des filres linéaires mais son processus d esimaion indui rop de flucuaions cycliques qui de plus subissen souven un déphasage emporal. Une aure version du modèle U es proposée (Harvey (989)). Les séries emporelles macroéconomiques Y son décomposées en une endance sochasique d ordre d, X d,, une composane cyclique sochasique d ordre c, c, e une composane irrégulière. Y X d, c,. (33) Précisons les hypohèses posées sur ces différenes composanes. Le processus es un brui blanc d espérance e de covariance nulle e de variance consane. On le noera BB, Les composanes X d,, e c, son non corrélées enre elles. Une composane inobservable ( d es un enier posiif) si : X, X, X d, es une endance sochasique d ordre d X i, X i, X i,, i,..., d (3) où BB, ~. ee endance sochasique es donc une marche aléaoire d ordre d. L équaion (3) peu alors se généraliser : X d d,, X. (35) La spécificaion du cycle es consruie à parir de foncions sochasiques rigonomériques (Harvey e Jaeger, 993). Une composane inobservable es un cycle sochasique d ordre c ( c es un enier posiif) si : cos c sin c, (36) sin c cos c,,, i, cos sin c c, i i,, i,..., c. (37) i, sin cos c c i, es le erme de perurbaion, BB, ~. Le paramère es le faceur d aénuaion :. Le paramère es la fréquence criique qui domine le c cycle sochasique (il déermine le cenre de gravié dans le specre fréqueniel du cycle) :. La variable es une variable auiliaire uilisée pour écrire c i, 37

14 NOTE SUR LES METHODES UNIVARIEES D EXTRATION DU YLE EONOMIQUE la spécificaion du cycle dans une représenaion espace-éa. ee spécificaion peu êre généralisée en basan l esimaion des composanes inobservables sur les propriéés fréquenielles du filre de HP. Le filre obenu es le modèle endance-cycle (T) de Mohr (5). Dans une inerpréaion sochasique du filre HP, on peu voir la endance comme éan une marche aléaoire de second ordre. Mohr généralise le modèle de la endance à une endance sochasique d ordre qui sera ausé en foncion de la série à décomposer. L aueur propose de ne pas dépasser l ordre ( d = ou e c = ou ), dans le cas de séries macroéconomiques. Si d = e c =, le filre T correspond à un filre HP où c devien le paramère de lissage présen dans le filre HP. En praique, doi avoir une valeur rès proche de. L aueur uilise la valeur,975. Le filre T es une méhode inermédiaire enre les décomposiions univariées qui souffren d une modélisaion implicie rop simple du processus de généraion de données e les modèles U plus élaborés mais pas ouours faciles à appliquer. Le filre T devrai donc mieu séparer la composane cyclique e la composane endancielle (Murray e Papanyan, ). La endance sochasique (équaion (35)) n es plus resreine à une marche aléaoire de second ordre comme dans le filre HP, mais l ordre peu êre ausé à la série iniiale par l uilisaeur. De plus, un modèle es formulé epliciemen pour le cycle. Le cycle sochasique sui un processus ARMA (équaions (36) e (37)). L inérê de cee dernière approche réside dans sa facilié d uilisaion par rappor à un modèle U classique ainsi que l opimalié e la consisance muuelle des filres passe-bas e passe-bande pour des valeurs de paramères données. E les paramères peuven êre esimés de façon à enir compe des propriéés de la série. Le problème de raiemen des fins d échanillon devrai êre aénué par rappor au filre HP.. APPLIATIONS Généralemen, les variables économiques (PIB, consommaion,...) ayan un au de croissance plus ou moins consan à long erme, il es préférable de filrer leur logarihme. La composane cyclique obenue es la différence enre le logarihme de la variable e la endance de son logarihme : c es l écar relaif de la variable à la endance. Dans le cas de séries elles que les au, l évoluion des variables ne présenen pas de caracère eponeniel, elles peuven êre filrées direcemen. Le cycle mesure l écar absolu de la variable à sa endance. Dans la première applicaion, chaque filre es appliqué direcemen à une série cyclique simulée. Des ouils de mesures de qualié son calculés pour vérifier si les filres eraien un cycle proche du cycle réel. Une classificaion des filres peu-êre déduie sur ce crière de qualié e peu-êre comparée à la classificaion héorique. La deuième applicaion concerne l esimaion de la composane cyclique du PIB américain du premier rimesre 98 au quarième rimesre. Vu que les filres son appliqués à la même variable, ils seron appliqués à la valeur en niveau du PIB. Les chronologies des poins de reournemen des séries eraies son comparées enre elles e à celles proposées par le NBER. Un regroupemen des séries es égalemen dédui. 38

15 ANNA SESS ET MIHEL GRUN-REHOMME.. OMPARAISON DES FILTRES : ESTIMER UNE SERIE YLIQUE SIMULEE Nous appliquons chacun des filres à une série cyclique simulée idenique à celle proposée par Iacobucci e Noullez (5). L obecif de leur aricle es de présener le filre HW e de monrer son efficacié en le comparan à d aures filres. Dans nore démarche, on compare l efficacié de ces différens filres en y aouan le filre Bu e le filre T. De plus, on propose plusieurs indicaeurs de mesure de la fiabilié de ces filres. Dans un deuième emps (paragraphe 5..3), on aoue à cee série cyclique des ermes d erreur aléaoires. La série cyclique simulée conien deu périodes,5 ans e 6 ans. Y sin,5sin, où,...,. 6 Les données son supposées rimesrielles, donc sur 3 ans. Dans cee parie illusraive, la série sera filrée sur la bande [6, ] rimesres, afin que les fréquences limies soien des sous muliples de la durée du cycle. Le filre T aura les paramères suivans : =,975 e c =. Posons l ordre d = e l ordre c = Le filre Bu es uilisé en posan = e m =. lp... L ANALYSE GRAPHIQUE La figure monre que les filres T e HW causen de plus faibles disorsions du cycle e raien mieu les fins de séries. Le filre HP idenifie un cycle proche de la série cyclique iniiale, sauf au erémiés où l ampliude es plus faible. Les filres F e Bu semblen êre les moins saisfaisans, sans oublier que le filre BK nous donne aucune valeur au erémiés. Toues ces esimaions du cycle présenen une même allure. FIGURE. APPLIATION DES FILTRES A UNE SERIE YLIQUE HP ( ) vs. cycle simulé (- -) BK ( ) vs. cycle simulé (- -) 39

16 NOTE SUR LES METHODES UNIVARIEES D EXTRATION DU YLE EONOMIQUE F ( ) vs. cycle simulé (- -) HW ( ) vs. cycle simulé (- -) BUT ( ) vs. cycle simulé (- -) T ( ) vs. cycle simulé (- -)... L ANALYSE EMPIRIQUE: L ETUDE DES INDIATEURS DE QUALITE DES METHODES Nous calculons des indicaeurs de mesure de qualié en vue de rouver les filres qui semblen mieu eraire le cycle. Les valeurs de ces indicaeurs son regroupées dans le ableau, à la fin de ce paragraphe. L indice des pics (respecivemen des creu) correspond à la somme des valeurs absolues de la différence enre la chronologie des pics (respecivemen des creu) de la série cyclique simulée e celle déduie après applicaion des filres. Noons ( ) p, i la dae (ici, le rimesre) où apparaî le i ème ( ) pic de la série e c, i la dae où apparaî le i ème creu de cee série. Soien le cycle simulé e V le cycle esimé. Le nombre de pics es désigné par a e le nombre de creu par b. Les différens indicaeurs son obenus à parir des epressions suivanes : I ( P) a i ( V ) ( ) p, i p, i es l' indice des pics e I ( ) b i ( V ) c, i ( ) c, i es lindice des creu. Plus l indice es grand, plus grand es le déphasage avec la série simulée. Un indice nul signifie qu il y a aucun déphasage. On observe (ableau ) aucun décalage pour 35

17 ANNA SESS ET MIHEL GRUN-REHOMME la daaion des pics de même que pour la daaion des creu, à l ecepion des filres T e F don l uilisaion indui un décalage moyen de, à,8 rimesre pour la daaion des poins de reournemens. Pour savoir précisémen si ce décalage emporel es un reard ou une avance, il fau calculer les indices suivans. L indice des récessions (respecivemen d epansions) correspond à l écar global enre la durée des phases de récession (respecivemen des phases d epansion) de la série cyclique iniiale e celle déduie après applicaion des filres. On peu, par eemple, vérifier que la durée d une phase d ascension après le i ème creu es égale ( V ) ( ) ( V ) ( ). à : p, i p, i c, i c, i Noons I (R) l indice des récessions e I (E) l indice des epansions. La comparaison de ces seconds indices avec les premiers perme de préciser les décalages. Par eemple : Si I (R) (resp. I (E) ) = e I (R) (resp. I (E) ), alors les phénomènes d avance e de reard dans la daaion des creu se son compensés sur oue la période éudiée. Si I (R) (resp. I (E) ) <, alors le phénomène de reard dans la daaion des creu (respecivemen des pics) prédomine sur la période éudiée. Inversemen, Si I (R) (resp. I (E) ) >, alors le phénomène d avance dans la daaion des creu (respecivemen des pics) prédomine sur la période éudiée. En général, les différens filres abouissen à une même conclusion économique en ermes de périodes d epansion e de récession, de daaion des poins de reournemen. De ce fai, la durée oale des récessions e celle des epansions son inchangées, à l ecepion du filre T e F don l uilisaion rédui en moyenne la durée des récessions de, à,8 rimesre e augmene en moyenne de, rimesre la durée des epansions (filre T). L indice d ausemen global es obenu quand la valeur de la corrélaion du cycle esimé avec le cycle iniial es sousraie de l unié. Il correspond epliciemen à corr(, V ). Plus l indice es faible, meilleur es l ausemen. Les cycles esimés son assez proches de la série cyclique iniiale, plus pariculièremen après l uilisaion des filres HW e T. Les indices de débu e fin de séries corresponden au indicaeurs MAPE (Mean Absolue Percenage Error) calculé sur ans (8 rimesres) à chaque erémié. Noons le cycle simulé à la dae e V le cycle esimé à la même dae. Les différens indicaeurs son obenus à parir des epressions suivanes : 9 V es l' indice de débu de série e N N 9 V es lindice de fin de série. 35

18 NOTE SUR LES METHODES UNIVARIEES D EXTRATION DU YLE EONOMIQUE Vu que le filre BK enraîne une pere d observaions au erémiés, les indices seron calculés auremen : 9 V es l' indice de débu de série e N N 9 V es lindice de fin de série. Pour le calcul de du MAPE en fin de série, les observaions en N e N ne son pas prises en compe car. Ici, N. Plus les indices son faibles, meilleur es le raiemen des erémiés. Le raiemen des erémiés es meilleur avec les filres T puis HW e BK. Il fau noer l inérê plus marqué pour l indice de fin de série, qui es plus faible pour le filre T. Un filre don l indice de fin de série es élevé va enraîner de plus imporanes révisions du cycle esimé, quand la série à décomposer sera acualisée. Pour les rois derniers indices, les résulas obenus avec le filre BK son à inerpréer avec précauion puisque le cycle obenu perd observaions à chaque erémié. La qualié eprimée par ces indicaeurs doi êre appréciée en prenan en compe cee remarque. TABLEAU. INDIATEURS DE MESURE DE LA QUALITE DES METHODES Indicaeurs HP BK F HW BUT T Indice des pics Indice des creu Indice des récessions -5 - Indice des epansions Indice d'ausemen global,3788,6,535,65,736,666 Indice de débu de série (MAPE sur ans),895 3,33693,7 3,59,357,5 Indice de fin de série (MAPE sur ans) 8,93 3,33693,8933 3,599 9,9933, SIMULATION D UN YLE AUGMENTE D UN TERME D ERREUR ALEATOIRE On peu s inerroger sur l efficacié des différens filres en présence d un erme d erreur dans la série. Dans quelle mesure, ce erme d erreur vien perurber l efficacié de ces filres. onsidérons donc la série cyclique précédene, à savoir : sin,5sin, où,..., 6 augmenée d un erme d erreur. ee série se décompose ainsi : X où ~ BB,., L écar-ype de la composane cyclique éan de,78, nous avons donc effecué simulaions (sous Malab) du erme d erreur aléaoire pour deu valeurs d écar-ype plus peies que,78 :, e,. Les Tableau e 3 35

19 ANNA SESS ET MIHEL GRUN-REHOMME présenen les valeurs des différens indicaeurs de qualié pour l ensemble de ces simulaions. haque indicaeur du ableau (respecivemen du ableau 3) es obenu en faisan une moyenne des indicaeurs calculés pour ces simulaions avec un écar-ype de la composane irrégulière égale à, (respecivemen égal à,). TABLEAU. INDIATEURS DE MESURE DE LA QUALITE DES METHODES (, ) Indicaeurs HP BK F HW BUT T Indice des pics Indice des creu Indice des récessions Indice des epansions Indice d'ausemen global,595,35,368,3,8677,558 Indice de débu de série (MAPE sur ans),857 3,57 5,656,9579,938 5,7888 Indice de fin de série (MAPE sur ans) 7,7787 3,39 5,769,5856 8,855 5,6 Les indices de récessions son négaifs e les indices de creu son différens de la valeur nulle. e résula signifie que le phénomène de reard prédomine dans la daaion des creu. En revanche, les indices d epansions son posiifs e les indices de pics son différens de la valeur nulle, ce qui radui une prédominance du phénomène d avance dans la daaion des pics. L aou du erme d erreur perurbe sensiblemen la daaion des poins de reournemen du cycle. En moyenne, on consae un écar d un à deu rimesres sur la daaion des poins de reournemen. On observe une amélioraion plus ou moins imporane de la qualié d esimaion des erémiés de la série (les indices de fin e débu de série son plus élevés) pour les filres HP, F, HW e BUT. Par conre, le filre BK se sabilise e le filre T es moins performan. ependan, il fau noer que l indice d ausemen global augmene quelque soi le filre considéré, mais rese ouours proche de zéro. L aou du erme d erreur déériore donc la fiabilié des filres. TABLEAU 3. INDIATEURS DE MESURE DE LA QUALITE DES METHODES (, ) Indicaeurs HP BK F HW BUT T Indice des pics Indice des creu Indice des recessions Indice des epansions Indice d'ausemen global,833,937,79,785,393,999 Indice de débu de série (MAPE sur ans),53 3, ,78 3,666,7535 3,896 Indice de fin de série (MAPE sur ans) 8,869 3,9538 6,573 3,8795 9,867 3,7596 omme dans le ableau, le phénomène de reard (respecivemen d avance) prédomine dans la daaion des creu (respecivemen des pics). L aou du erme d erreur perurbe sensiblemen la daaion des poins de reournemen du cycle dans des proporions semblables au cas précéden. On observe une baisse plus imporane 353

20 NOTE SUR LES METHODES UNIVARIEES D EXTRATION DU YLE EONOMIQUE de la qualié d esimaion des erémiés de la série, pour le filre T. Les filres HP e BUT demeuren légèremen améliorés, par rappor à ces deu crières du MAPE. En revanche, les filres BK, F e HW raien moins bien les erémiés de la série, par rappor au résulas obenus dans le ableau. L augmenaion des indices de débu e fin de série es liée au décalage emporel des poins de reournemen e au différences d ampliudes enre le cycle esimé e le cycle simulé. ependan, l indice d ausemen global rese rès bon, même s il coninue à augmener pour ous les filres. es perurbaions augmenen avec l écar-ype du erme d erreur, dans des limies raisonnables lorsque la variance de la composane aléaoire rese inférieure à la variance de la composane cyclique. Des simulaions effecuées avec = (e à plus fore raison avec = ) inrodui de nombreuses flucuaions dans les cycles esimés e la fiabilié des filres peu êre considérablemen réduie. Dans l analyse des ableau, il fau relaiviser les résulas concernan le filre BK du fai qu il ne prend pas en compe observaions à chaque erémié du cycle. De ces analyses, le filre qui semble le plus fiable es le filre HW... OMPARAISON DES FILTRES : APPLIATION AU PIB AMERIAIN Dans cee parie, nous considérons les deu principales approches des cycles économiques disinguées en inroducion, à savoir les cycles d affaires e les cycles de croissance, ce qui nous a permis d éudier la daaion des poins de reournemen pour chacune des approches. Nous éudions égalemen si les filres son apes à eraire un cycle don la daaion des poins de reournemen es proche de celle proposée par le NBER. Nous pourrons ainsi comparer leur regroupemen à la classificaion héorique e aussi observer commen chaque groupe se siue par rappor à la chronologie proposée par le NBER, basée sur la daaion des poins de reournemen des agrégas économiques. En effe, le NBER considère le PIB comme la mesure la plus proche de l acivié économique. Nous pouvons donc envisager obenir des chronologies de poins de reournemen des cycles de croissance (obenus avec les filres) proches de la chronologie du cycle économique classique proposée par le NBER.... LES DIFFERENTES ESTIMATIONS DU YLE Appliquons les filres au PIB américain du premier rimesre 98 au quarième rimesre (Source: U.S. Deparmen of ommerce: Bureau of Economic Analysis, 6). Les esimaions du cycle du PIB américain obenues par les différens filres son présenées dans la figure. La méhode de lissage du Loess (leveland e al., 99) a éé uilisée pour ener d isoler la composane irrégulière de la composane cyclique précédemmen obenue, dans le cas des filres passe-hau de HP e Bu. Dans cee parie illusraive, la série sera filrée sur la bande [6, 3] rimesres, afin que les fréquences limies soien des sous muliples de la durée du cycle (la longueur du cycle de croissance varie enre 6 e 3 rimesres, en se référan à Burns e Michell, 96 ; Baer e King, 999). 35