MODÈLE BAYÉSIEN DE TARIFICATION DE L ASSURANCE DES FLOTTES DE VÉHICULES

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1 Cahier de recherche Sepembre 003 MODÈLE BAYÉSEN DE TARFCATON DE L ASSURANCE DES FLOTTES DE VÉHCULES Jean-François Angers, Universié de Monréal Denise Desardins, Universié de Monréal Georges Dionne, HEC Monréal Résumé Nous proposons un modèle paramérique de aricaion de l assurance de véhicules rouiers apparenan à une loe Les ables de primes qui y son présenées iennen compe des accidens passés des véhicules, des caracérisiques observables des véhicules e des loes e des inracions au code de la sécurié rouière des conduceurs e des ransporeurs De plus, les primes son ausées en oncion des accidens accumulés par les loes dans le emps l s agi d un modèle qui prend en compe direcemen des changemens explicies des diérenes composanes des probabiliés d accidens l représene une exension aux modèles d assurance auomobile de ype bonus-malus pour les primes individuelles (Lemaire, 985; Dionne e Vannase, 989 e 99; Pinque, 997 e 998; Frangos e Vronos, 00; Purcaru e Denui, 003 L exension aoue un ee loe à l ee véhicule pour enir compe des caracérisiques ou des acions non observables des ransporeurs sur les aux d accidens des camions Cee orme de aricaion compore plusieurs avanages Elle perme de visualiser l impac des comporemens des propriéaires des loes e des conduceurs des véhicules sur les aux d accidens prédis e, par conséquen, sur les primes Elle mesure l inluence des inracions e des accidens accumulés sur les primes d assurance mais d une açon diérene En ee, les ees des inracions son obenus via la composane de régression, alors que les ees des accidens proviennen des résidus non expliqués de la régression sur les accidens des camions via un modèle bayésien de aricaion Mos clés : Taricaion de l assurance, loe de véhicules, modèle bayésien, sécurié rouière, bonus-malus Classicaion JEL : D8

2 Absrac We are proposing a parameric model o price insurance or road vehicles belonging o a lee The ables o premiums presened in he aricle ake ino accoun pas vehicle accidens, observable characerisics o he vehicles and lees, and violaions o he road saey code commied by drivers and ransporers The premiums are also adused according o accidens accumulaed by he lees over ime The model proposed accouns direcly or explici changes in he various componens o he probabiliy o accidens represens an exension o insurance models or individual premiums (Lemaire, 985; Dionne and Vannase, 989 and 99; Pinque, 997 and 998; Frangos and Vronos, 00; Purcaru and Denui, 003 The exension adds a lee eec o he vehicle eec so as o measure he impac ha he nonobservable characerisics or acions o ransporers have on ruck acciden raes This orm o pricing oers several advanages allows us o visualize wha impac he behaviours o owners and drivers can have on he prediced rae o accidens and, consequenly, on premiums measures he inluence o rac violaions and accumulaed accidens on insurance premiums rom a dieren angle ndeed, he eecs o violaions are obained by means o he regression componen, whereas he eecs o accidens are derived rom unexplained residuals o he regression on ruck accidens via a Bayes pricing model Keywords: nsurance pricing, lee o vehicles, Bayes model, road saey, Bonus-Malus JEL classicaion: D8

3 NTRODUCTON Très peu d éudes on analysé de açon sysémaique les risques d acciden des loes de véhicules Marie-Jeanne (994 a développé un modèle de aricaion de l assurance en oncion de la aille de la loe e Teugels e Sund (99 on proposé une aricaion basée sur la pere agrégée de la loe D aures chercheurs se son connés à éudier les conduceurs des véhicules pour avoir un porrai des risques que représene un ransporeur (Dionne e al, 995, 00b C es oublier que le propriéaire ou la direcion des enreprises peuven aecer les aux d accidens de leurs véhicules Les décisions sur les heures de ravail, les dépenses d enreien des véhicules e les direcives sur les charges ou les arrimages des véhicules peuven aecer la sécurié rouière Dionne, Desardins e Pinque (999a e 00a on développé des modèles bonus-malus qui iennen compe des comporemens des conduceurs e des propriéaires des véhicules en uilisan une approche semi paramérique Dans ce aricle, nous proposons une approche paramérique La mesure des risques des loes de véhicules es dicile pour plusieurs raisons D une par, il au dénir les uniés qui composen les loes Devons-nous prendre les conduceurs ou les véhicules? En réponse à cee quesion, nous avons opé d uiliser les véhicules, car les inormaions disponibles chez les assureurs permeen de relier coninuellemen les véhicules aux ransporeurs, alors qu il es rès coûeux de relier les inormaions des conduceurs aux ransporeurs, puisque les déplacemens des conduceurs d une loe à une aure ne son pas compabilisés sysémaiquemen, alors que les déplacemens des véhicules le son (immariculaion e assurance Les véhicules représenen des risques individuels diérens Ces risques son inluencés par des caracérisiques observables e non observables des véhicules, des conduceurs qui les uilisen e des ransporeurs qui les possèden ou les louen à long erme l es donc imporan de bien modéliser ces diérenes sources d inormaion Une aure diculé réside dans les poids que l on doi accorder aux inormaions saisiques individuelles e communes (des loes obenues à des ns de aricaion Une modélisaion adéquae de la aricaion des risques des loes doi inégrer les comporemens des conduceurs à ceux des propriéaires an d inroduire des inciais à la prudence qui iennen compe des diérens niveaux de décision en présence de risque moral hiérarchique (Winer, 000 Nous proposons un nouveau modèle de aricaion des véhicules apparenan à une loe (Flue, 999 l s agi d un modèle paramérique qui peu enir compe direcemen des comporemens e des caracérisiques observables e non observables des véhicules, des conduceurs e des propriéaires des loes de véhicules Le modèle proposé es une exension direce des modèles d assurance auomobile de ype bonus-malus (Lemaire 985; Dionne e Vannase 989 e 99; Pinque 997, 998; Frangos e Vronos 00; Purcaru e Denui 003 pour des primes individuelles (voir Pinque 000 pour une revue de la liéraure L exension aoue un ee aléaoire loe à celui des véhicules dans le modèle pour enir compe à la ois des ees non observables des ransporeurs, des véhicules e de leurs conduceurs sur les aux d accidens des camions dans le calcul bayésien ou a poseriori des primes Des variables observables caracérisan les véhicules, les loes e le comporemen de sécurié rouière des conduceurs e des propriéaires des loes son uilisées dans l évaluaion a priori des risques des diérens véhicules 3

4 Nous présenons dans la secion suivane les modèles saisiques d esimaion des probabiliés d accidens des véhicules apparenan à des loes de diérenes ailles Des esimaions saisiques de ces modèles son égalemen discuées La secion 3 développe le sysème bonusmalus opimal inégran, à la ois, les ees loes e les ees véhicules La secion 4 propose diérenes ables de primes alors que la secion 5 ore une discussion sur des exensions possibles du modèle MODÈLES STATSTQUES ET ESTMATONS ÉCONOMÉTRQUES Nore méhodologie es divisée en deux éapes Dans un premier emps, nous devons évaluer les probabiliés d accidens des véhicules des ransporeurs à l aide d un modèle économérique Nous uiliserons les paramères esimés, comme inormaion a priori, dans le calcul des primes d assurance Ces paramères iennen compe de l inormaion disponible sur les caracérisiques observables des véhicules e des loes de même que des inracions des conduceurs e des ransporeurs An de enir compe des caracérisiques e des acions non observables dans la aricaion, nous uiliserons les résidus des esimaions économériques Une conribuion de l aricle es de proposer un nouveau modèle d esimaion des probabiliés d accidens qui permee d isoler expliciemen l ee loe de l ee véhicule Dans un deuxième emps, nous proposons un sysème bonus-malus qui uilisera, à la ois, l inormaion a priori obenue des paramères esimés e l inormaion a poseriori obenue des résidus des esimaions des disribuions d accidens des véhicules An de bien démonrer la conribuion des diérens ees sur les primes d assurance, nous disinguerons le ransporeur ayan un seul véhicule de celui qui en a deux, puis nous généraliserons le modèle au ransporeur ayan plus de deux véhicules MODÈLE ÉCONOMÉTRQUE D ESTMATON DES DSTRBUTONS D ACCDENTS DES VÉHCULES La plupar des modèles économériques appliqués à des variables discrèes (ou de compage on pour poin de dépar la disribuion de Poisson, où la probabilié P d êre impliqué dans y accidens à la période pour un véhicule i apparenan à la loe peu êre représenée par l expression suivane (Hausman e al, 984; Gouriéroux, 999 : λ y ( λ e P( y λ = y! Par déniion de la loi de Poisson, nous avons que l espérance mahémaique du nombre d accidens (E es égale à la variance (Var, E Y = Var Y = λ où es le nombre d accidens du camion i de la loe à la période e ( ( λ > ( 0 es le paramère de la loi de Poisson Cee modélisaion suppose impliciemen que la disribuion d accidens peu êre expliquée enièremen par l héérogénéié observable, ce qui rend inuile l uilisaion d un sysème bonus-malus Y 4

5 Supposons mainenan qu il exise de l héérogénéié non observable parce que ceraines caracérisiques ou acions ne son pas observables par l assureur Posons λ =α avec X de β =, où d mesure le nombre de ours que le véhicule i de la loe es auorisé à circuler duran la période, divisé par le nombre de ours oal de la période C es une mesure d exposiion au risque d acciden L emploi de l exponeniel pour dénir nous perme d assurer la non-négaivié de λ Le veceur X ( = x, L,xp conien les p caracérisiques du camion i de la loe observées à la période ; ce veceur conien des inormaions spéciques au véhicule e d aures spéciques à la loe Le paramère α es l ee aléaoire associé à la loe, c es-à-dire le risque non observable aribuable à la loe, andis que le paramère es l ee aléaoire du camion i de la loe Nous supposons que = où es le nombre oal de véhicules dans la loe En d aures ermes, es la proporion du risque de la loe aribuable au véhicule i ; ainsi, le risque oal non observable du véhicule i de la loe es déni par α l es à noer que lorsque la loe n a qu un seul véhicule, c es-àdire =, = par déniion, ce qui signie que le risque aribuable au véhicule correspond à celui de la loe, ce qui enraîne que λ = α Nous aisons l hypohèse que sui une disribuion Dirichle de paramères ( que α sui une disribuion gamma de paramères ( κ, κ ν, ν, L, ν e Transporeur de aille Pour une période, la disribuion du nombre d'accidens de la loe qui n a qu un seul véhicule es donnée par : ( = ( α ( α P y P y dα 0 ce qui peu êre réécri de la açon suivane, sous l hypohèse que α sui une disribuion gamma ( de paramères κ, κ, ( ( ( y ( κ ( α α y ( y κ e P( y κ κ α = e α dα 0 Γ + Γ κ Mainenan, si nous inégrons cee expression par rappor à α, nous obenons la disribuion binomiale négaive don la probabilié d accidens es donnée par :, 5

6 ( P y ( y ( y ( κ Γ +κ κ = κ + κ + Γ + Γ κ y ( Cee disribuion a éé uilisée à plusieurs reprises dans la liéraure (Lemaire 985; Dionne e Vanasse 989; Gouriéroux 999 Elle perme de modéliser l héérogénéié non observable e d inroduire un sysème bonus-malus pour des observaions individuelles Par conre, elle ne peu pas êre appliquée direcemen pour esimer les probabiliés d acciden des véhicules apparenan à une loe, car elle ne perme pas d isoler l ee loe de l ee véhicule Nous présenons mainenan nore généralisaion de ce modèle de base en débuan par le cas simple d une loe ayan deux véhicules Transporeur ayan véhicules La probabilié oine du nombre d accidens à la période des deux véhicules de la loe es donnée par : où ( ( ( P y,y = P y,y d, 0 = e = Condiionnellemen à, la probabilié oine d acciden es égale à : y y y y ( ( ( ( ( y ( y ( κ κ y + κ α( + ( +κ P( y,y = ( α i = e dα Γ + Γ + Γ κ 0 Ainsi, en inégran, nous obenons une disribuion binomiale négaive condiionnelle à : Γ κ + y i = = ( P y,y κ y y y y ( ( ( ( κ Γ ( y + Γ ( y + Γ( κ ( ( κ + y i = κ + + ( Si mainenan nous subsiuons la valeur de donnée en ( dans P y,y, nous obenons : P( y,y ( 6

7 y y y y Γ κ + y ( ( ( ( κ κ i = = ( 0 Γ ( y + Γ ( y + Γ( κ κ + y i = ( P y,y d ( ( κ + + (3 An d esimer les probabiliés d acciden avec une approche paramérique, nous devons mainenan rendre plus explicie la disribuion de Comme indiqué plus hau, nous supposons que l ee véhicule sui une disribuion Dirichle En remplaçan la oncion de densié dans l équaion (3 par la densié d une Dirichle (qui es une bêa mulivariée de paramères Γνi i ( ν, ν, soi = ν ν ( = ( (, nous obenons : Γ ν ( i ( ( P y,y = y y κ Γ κ + y κ y+ν y+ν ( ( Γ( ν +Γ( ν ( ( d Γ ( y + Γ ( y + Γ( κ Γ( ν Γ( ν 0 κ + y ( ( i κ + + = (4 Pour obenir une valeur de la probabilié oine en (4, il au esimer l inégrale : ( ( y +ν y+ν 0 κ + y ( κ + + ( d Pour ce aire, écrivons l expression κ + ( ( ce qui nous perme de réécrire l inégrale en (4 : ( ( + du dénominaeur de la açon suivane : κ +, κ + ( y ( y ( y y Γ +ν Γ +ν = +ν κ + + ν +ν + + y +ν y+ν d F y ; y y ; y y 0 κ + y Γ + +ν +ν ; κ + i = ( κ + κ + F es une oncion hypergéomérique don la valeur es égale à : 7

8 l= l +ν κ + ( [ ], l! l y +νi ( [ ] [ l] l y y κ + avec [ l] h = h( h L( h l +, une oncion acorielle décroissane La disribuion du nombre d accidens observés à la période des deux véhicules de la loe es mainenan donnée par : ( y y ( ( y = ( y ( y ( ( κ + κ + y i = ( y ( y ( y y ( +Γ( ν ( ( i = Γ + Γ + Γ κ Γ ν Γ ν P y,y κ Γ κ + κ Γ ν Γ +ν Γ +ν F y +ν;κ + y+ y ; ν +ν Γ + +ν +ν + y+ y ; κ + Avan d aborder l esimaion des paramères de cee disribuion par la méhode du maximum de vraisemblance, abordons sa généralisaion à une loe de véhicules 3 Transporeur ayan plus de véhicules Généralisons mainenan le modèle au cas d une loe de véhicules La disribuion du nombre d accidens à la période des véhicules de la loe, es donnée par : où : L = L L L L L 0 0 ( ( ( P y,,y P y,,y,, d d = (5 Nous pouvons réécrire la probabilié condiionnelle dans (5 : ( ( ( = α α P y, L,y, L, P Y, L,Y,, L, dα 0 e en inégran par rappor à α, nous obenons une disribuion binomiale négaive don la probabilié oine condiionnelle d accidens es égale à : 8

9 y y Γ κ + y ( ( κ κ P( y, L,y, L, = Γ ( y + Γ( κ κ + ( κ + y (6 Ainsi, en remplaçan P y, L,y, L, dans l équaion (5 par sa valeur donnée en (6 ( e en remplaçan la oncion de densié, L par la densié d une Dirichle de paramères ( ν, ν,, ν, L, nous obenons l expression suivane : ( L P y,,y κ y +νi ( = d Ld y κ Γ κ + y Γ νi ( Γ ( y + = Γ( κ Γ( ν i = = κ + y i i = i κ + Encore une ois, nous devons esimer l inégrale à plusieurs dimensions : (7 y +νi ( y κ + = i = i = κ + d L d de l équaion (7 pour esimer les paramères du modèle Trois possibiliés son mainenan envisagées : Une première possibilié qui simplie beaucoup les calculs es de supposer que ous les des véhicules son ideniques Sous cee hypohèse, l inégrale mulidimensionnelle de l équaion (7 es réduie à : ( y Γ +ν i ( y i +ν i = dl d = y i κ + = = y κ + i = i = = i ( κ + ( κ + i Γ ( y +ν e la disribuion oine du nombre d accidens à la période des es donnée par l expression suivane : véhicules de la loe 9

10 ( L P y,,y Γκ+ y κ y Γ νi i i = Γ ( y +νi = κ ( Γ κ κ+ κ+ Γ ( y + Γ( νi Γ ( y +νi = (8 L hypohèse de ravail de ce premier scénario suppose impliciemen que ous les véhicules de la loe représenen des risques a priori ideniques, ce qui es probablemen une hypohèse rès ore car, comme nous le verrons, plusieurs variables qui disinguen les véhicules e les habiudes de conduie des conduceurs son signicaives dans l esimaion des probabiliés d acciden Une aure possibilié es de diviser les véhicules en diérens groupes homogènes de risque, comme le on les assureurs en classian les risques Sous cee deuxième possibilié, nous pouvons séparer les véhicules en deux groupes e dénir G =, L,g comme l ensemble des véhicules du premier groupe avec avec = g g avec g g =, e G = g+, L,, comme l ensemble des véhicules du deuxième groupe g+ Ainsi, l inégrale de l équaion (7 devien : g g ci ci ( ( g+ L d L d d g 0 0 κ +g +g g+ c i = y +ν i e d y i = κ + En posan = = ui i,, g g L g; v = e w i = g+, L,, g cee inégrale peu se réécrire de la açon suivane : 0

11 L cg g g ci ci ( vui ( ( v wi vui ( v wi g+ g+ (( κ + v+ ( κ + ( g g v d c g g ( ( c c i Γ ci Γ i c i i = = i g v ( v i g i = + = = + g d ( g 0 c ( g g i c κ + Γ Γ i v g+ ( κ +g d ( g g v v dudwdv dv Γ ( y +ν +ν ( y Γ +νi ( κ +g i g g g = F ( y +νi, κ + y, ( y i, κ + y κ +g i = (9 e en subsiuan l équaion (9 dans l équaion (7, la disribuion du nombre d accidens à la période des véhicules de la loe es donnée par : ( L P y,,y = g Γ y + κ κ y y Γ νi g+ i g g ( y = Γ +νi κ ( Γ κ κ +g κ +g κ +g Γ ( y + Γ( νi Γ ( y +νi g g g F ( y +νi, κ + y, ( y +νi,, κ +g (0 où F es une oncion hypergéomérique elle que dénie dans la secion l es à noer que l équaion (8 es un cas pariculier de l équaion (0 Cee açon de procéder pour esimer l inégrale peu êre généralisée à plusieurs groupes homogènes, mais il n es pas éviden que le gain de précision obenu serai supérieur à celui correspondan à une approximaion Mone Carlo de l inégrale mulivariée de l équaion (7 Nous abordons mainenan l approximaion Mone Carlo de cee inégrale 3 Si nous voulons esimer l inégrale y +νi ( L d L d 0 0 ( κ + κ + y i =

12 par la méhode de Mone Carlo, nous pouvons uiliser la oncion d imporance 999 où =, L,, elle que : % avec ( % ( g % % h % % % % % % N l = % N l Lg( d= L h( d= Lw( h( d w( ( h % (Lange, ( ( % g w ( = % h % En posan : ( Γ y +νi Γ ( y +νi ( y +νi h =, % nous pouvons réécrire l expression de l inégrale mulivariée en muliplian son numéraeur e son dénominaeur par la oncion h ( elle que dénie plus hau e obenir, après % simplicaions, l expression suivane : ( y i Γ y +νi Γ ( y +ν L 0 0 κ + y Γ y +νi i i = ( κ + Γ +ν qui peu êre évaluée par : ( y Γ +νi N i = N l= κ + y y i i = Γ +ν l ( κ + ( En ai, nous pouvons, par exemple, générer des nombres aléaoires, de la densié gamma, ( y +νi dld, qui son des valeurs g y +ν,, pour i =,, e l =,, N où N es le nombre i a l

13 d iéraions de l approximaion de Mone Carlo Ainsi, en posan l = des valeurs d une Dirichle ( y +ν, L,y +ν a l l a, nous obenons La disribuion du nombre d accidens observés à la période des véhicules de la loe es donc approximaivemen égale à : ( L P y,,y κ Γ + κ Γ +κ y i = y y νi ( ( Γ y +ν N i ( Γ κ Γ ( y + i ( i N y Γ y + ν Γ ν l= κ + i i = l ( Dans la secion qui sui nous présenons les résulas économériques obenus des deux premières ormes d approximaion Les résulas saisiques e les calculs des primes avec l approche Mone Carlo son présenés dans Angers, Desardins e Dionne, 003 ESTMATONS ÉCONOMÉTRQUES Saisiques descripives Les données proviennen des chiers de la Sociéé d assurance auomobile du Québec (SAAQ pour les années 997 e 998 (pour une descripion déaillée de la base de données voir Dionne, Desardins e Pinque, 999a Comme l indique le ableau A, nous avons accès à des données de ransporeurs de marchandises par camion déenan des inormaions sur les deux années Plus des deux iers des ransporeurs ne possèden qu un seul véhicule Ces peis ransporeurs déiennen environ 30 % des camions lourds ayan au moins un our d auorisaion de circuler au 3 décembre 998 e au 3 décembre 997 Nous uilisons les données de l année 998 pour les inormaions sur les accidens e les caracérisiques des véhicules e des loes e celles de 997 pour les inracions au code de la sécurié rouière an de respecer la poliique de aricaion de la SAAQ De plus, cee açon de procéder diminue le problème de simulanéié enre les variables inracions e accidens l au menionner qu un véhicule n a pas nécessairemen 365 ours d auorisaion de circuler pour l année 998 On noe, au Tableau B, qu en moyenne, un véhicule a 88,5 % de l année 998 d auorisaion de circuler Selon la aille de la loe, ce pourcenage varie enre 86,7 % e 93,9 % Pour obenir une saisique annuelle, nous avons calculé le nombre de camions en camionsannée, en somman le nombre de ours d auorisaion de circuler de chaque camion e en divisan ensuie par 365 ours Ainsi, pour l année 998, nous obenons 9 99 camions-année La réquence moyenne d accidens oaux par camion-année es de 0,453 Cee moyenne augmene lorsque la aille de la loe augmene, mais diminue lorsque la aille de la loe es supérieure à 50 camions 3

14 Tableau A : Nombre de véhicules ayan au moins un our d auorisaion de circuler en 998 e en 997 par ransporeur Taille de la loe Nombre % véhicule ,87 véhicules 6 8 4,03 3 véhicules 54 5,76 4 à 5 véhicules 095 4,80 6 à 9 véhicules 6,89 0 à 0 véhicules 77,77 à 50 véhicules 78 0,64 5 à 50 véhicules 8 0,9 5 à 400 véhicules 3 0,05 40 véhicules e plus 6 0,0 Toal ,00 Tableau B : Fréquence moyenne d accidens oaux e racion moyenne d auorisaion de circuler selon la aille de la loe pour l année 998 Taille de la loe Nombre de Nombre d accidens pour l année 998 Nombre de camionsannée Fracion de l année 998 d auorisaion de circuler camions Moyenne Écar ype Moyenne Écar ype véhicule ,0 0, ,40 0,8687 0,656 véhicules 56 0,43 0, ,5 0,8739 0,64 3 véhicules ,47 0, ,34 0,890 0,44 4 à 5 véhicules ,495 0, ,4 0,897 0,393 6 à 9 véhicules ,705 0, ,7 0,900 0,343 0 à 0 véhicules ,958 0, ,5 0,903 0,345 à 50 véhicules ,849 0, ,0 0,8989 0,335 5 à 50 véhicules ,056, ,08 0,8687 0,853 5 à 400 véhicules ,380 0, ,95 0,8668 0, véhicules e ,33 0, ,3 0,9390 0,9 Toal ,453 0, ,7 0,885 0,57 Le Tableau C regroupe les véhicules des loes ayan 3 véhicules ou plus en oncion de la médiane du nombre moyen d accidens Deux groupes de risque (ceux don le risque es supérieur à la médiane e ceux don le risque es égal ou inérieur à la médiane son ormés en prédisan les risques d acciden à l aide des paramères de la disribuion binomiale négaive esimés sur l ensemble des véhicules des loes de aille supérieure à deux camions Les loes peuven avoir des camions dans les deux groupes de risque Les deux groupes de risque consruis seron uilisés pour l approximaion de l inégrale muliple avec la oncion hypergéomérique On remarque que seulemen le quar des 7 03 loes de aille supérieure à véhicules on l ensemble de leurs véhicules dans un seul groupe de risque, ce qui implique qu uiliser l hypohèse que les camions son ous a priori ideniques es pluô ore 4

15 Tableau C : Répariion des loes de aille supérieure à véhicules e répariion des loes don les véhicules se rerouven que dans un seul groupe de risque Taille de la loe Nombre de loes N Nombre de loes n ayan qu un seul groupe N (N/N % 3 véhicules ,5 4 à 5 véhicules ,9 6 à 9 véhicules ,7 0 à 0 véhicules ,3 à 50 véhicules ,6 5 à 50 véhicules 8 6 7,3 5 à 400 véhicules 3 0 0,0 40 véhicules e plus 6 0 0,0 Toal ,6 Esimaions des paramères Nous avons uilisé la méhode du maximum de vraisemblance pour esimer les paramères inconnus, κ, ν, β = ( β, L, β p Nous avons appliqué un algorihme d opimisaion dans la procédure ML de SAS Les résulas pour les loes de aille e son présenés au Tableau L en annexe Le Tableau M (en annexe donne les esimaions des paramères pour l ensemble des véhicules Pour cee dernière esimaion, les véhicules on éé divisés en deux groupes de risque selon le nombre médian d accidens par camion prédi par le modèle de la disribuion binomiale négaive La marice de variance-covariance a éé esimée à parir de la sous-rouine NLFPDD de SAS Nous uilisons le seuil de 0 % (p inérieur ou égal à 0,0 pour considérer un coecien saisiquemen diéren de zéro On noe au Tableau L que les véhicules des ransporeurs de aille ayan plus d expérience on moins d accidens (nombre d années en an que ransporeur Les résulas indiquen égalemen que le seceur d acivié du ransporeur, le ype d uilisaion du véhicule, le ype de carburan, le nombre de cylindres ainsi que le nombre d essieux son des aceurs explicais d accidens Les camions don le seceur d acivié du ransporeur es le camionnage public général son moins à risque d acciden que ceux don le seceur d acivié es le camionnage public en vrac Les camions ransporan des biens aures que du vrac son plus à risque que ceux qui ransporen des maières en vrac Les camions qui uilisen de l essence comme carburan on moins d accidens que ceux qui consommen du diesel e les véhicules ayan un moeur de 6 à 7 cylindres on plus d accidens que ceux de 8 ou plus de 0 cylindres En ce qui concerne le nombre d essieux qui supporen le véhicule, à l excepion du groupe 5 essieux, ceux ayan 4 essieux ou moins son moins à risque d acciden que les véhicules ayan 6 essieux e plus Les véhicules ayan une inracion commise en 997, pour surcharge ou pour non-respec de la véricaion mécanique (inracions loes, son plus à risque d acciden en 998 que ceux qui n on pas ces ypes d inracion De plus, les véhicules don les conduceurs on accumulé des inracions enraînan des poins d inapiudes en 997 représenen des risques d acciden plus élevés en 998 que ceux qui n en on pas Ces paramères on éé esimés à parir de données provenan de ransporeurs ou véhicules 5

16 l y a 6 8 ransporeurs de aille, soi 56 camions lourds ayan au moins un our d auorisaion de circuler pour l année 998 e égalemen pour l année 997 On noe au Tableau L que les véhicules des ransporeurs de aille ayan plus d expérience on moins d accidens Les résulas indiquen que le ype de carburan, le nombre de cylindres ainsi que le nombre d essieux son des aceurs explicais d accidens, une ois les aures aceurs pris en compe Les véhicules don les conduceurs on commis une inracion en 997 pour surcharge ou pour arrimage inadéqua son plus à risque d acciden en 998 que ceux qui n on pas respecivemen ce ype d inracions De plus, les véhicules ayan des inracions enraînan des poins d inapiude en 997 représenen des risques d acciden plus élevés en 998 que ceux qui n en on pas l es à noer que les résulas des deux régressions son assez semblables Le ableau L rappore égalemen les résulas sur les paramères des disribuions des ees aléaoires La régression des loes de aille indique que le paramère κ de la binomiale négaive es signicai, ce qui veu dire que nous pouvons reeer la disribuion de Poisson e appliquer un modèle bonus-malus de aricaion de l assurance à ces loes La régression des loes de aille indique que les deux paramères κ e ν son signicais au seuil de 90 %, ce qui indique que les ees véhicules e les ees loes peuven êre uilisés dans les calculs des primes des loes de aille On rerouve les mêmes résulas pour l ensemble des camions dans le ableau M en annexe, qui présene les résulas de la régression pour l ensemble des camions lourds On remarque égalemen au ableau M que les véhicules des ransporeurs ayan plus d expérience enregisren en moyenne moins d accidens On observe que les camions lourds don le seceur d acivié du ransporeur es celui de locaion à cour erme son plus à risque d acciden que ceux don le seceur d acivié es le camionnage public en vrac Les résulas indiquen égalemen que les véhicules des plus grandes loes enregisren en moyenne plus d accidens que ceux de aille, mais les coeciens des ailles supérieures à 49 son inérieurs à ceux des ailles de 6 à 49 véhicules Les véhicules ayan une inracion commise en 997 pour surcharge, pour arrimage inadéqua ou pour non-respec de la véricaion mécanique son plus à risque d acciden en 998 que ceux qui n on pas ces ypes d inracions De plus, les véhicules don les conduceurs on accumulé des inracions enraînan des poins d inapiude en 997 représenen des risques d acciden plus élevés en 998 que ceux qui n en on pas Ces coeciens seron rès uiles pour esimer les risques a priori dans le calcul des primes d assurance, alors que les coeciens κ e ν le seron pour auser les primes selon les accidens passés des véhicules e des loes dans le modèle bonus-malus 6

17 3 BONUS-MALUS 3 SYSTÈME BONUS-MALUS OPTMAL Pour consruire un sysème bonus-malus opimal (Lemaire, 985; Dionne e Vanasse, 989, 99 basé sur le nombre d accidens passés d un camion ainsi que ceux de sa loe, nous devons calculer la prime à la période + en uilisan le rappor des espérances mahémaiques suivan : ( α E y,x + E( α Le erme + correspond à la parie de l espérance mahémaique obenue des régressions + X économériques l es égal à d e + β + où d es le nombre de ours que le véhicule i de la loe es auorisé à circuler à la période + divisé par le nombre de ours oal de la période + Comme déà indiqué, c es une mesure d exposiion au risque La composane de régression + correspond à X β où le veceur des coeciens β a éé esimé à l aide des diérens modèles économériques e X = ( x, L,xp de la loe au débu de la période +; ainsi disribuion Dirichle de paramères ( ν, ν, L, ν e que paramères( κ, κ représene les p caracérisiques observables du camion i ( X, L,X, L,X, L,X + + donne les p caracérisiques de ous les camions de la loe usqu à la période + Le veceur y (, L, = y y, L,y,y représene les accidens des véhicules de la loe usqu à la,l période e E ( α y, X désigne l espérance mahémaique des ees loe e véhicule aribuables au véhicule i, éan donné l expérience passée mesurée par les accidens accumulés au cours des périodes précédenes Comme nous le verrons, la modélisaion proposée iendra compe, à la ois, des accidens du véhicule i e de ceux de sa loe Ces ees iennen compe des aceurs non observables qui peuven aecer les accidens des camions e des loes : α es l ee associé à la loe e es le poids du camion i de la loe sur ce ee loe Finalemen, E( α donne l espérance mahémaique des deux ees aribuables au camion i non condiionnelle aux accidens Pour calculer ces espérances mahémaiques, nous uilisons les résulas économériques de la secion précédene qui ne reeen pas l hypohèse que sui une X = α sui une disribuion gamma de L équaion précédene provien d une analyse bayésienne de l évoluion des accidens dans le emps Nous allons mainenan démonrer sa orme explicie sous les hypohèses de disribuion saisique des deux ees aléaoires Supposons que la vraie espérance mahémaique du nombre + d accidens du camion i de la loe à la période + es égale à λ Elle es une ( X, α, oncion du veceur de caracérisiques observables du véhicule usqu à la période + e des aceurs aléaoires de la loe α e du véhicule que l on suppose indépendans du emps 7

18 L esimaeur opimal de cee espérance mahémaique à la période +, λˆ éan donné les observaions obenues sur les accidens usqu à la période e celles sur les caracérisiques usqu à la période +, peu êre calculé de la açon suivane : ( ( α ( y,x + ( ( L,,y,X E y,x E E α, y,x λ ˆ = = y,x E( α E( E( α E( où : + + ( X = X, L,X, L,X, L,X (,y, L,y e y = y, L,y, L Or, nous savons que : ( ( L ( ( L L E E α,,,y,x y,x = E α,,,y,x,, y,x d Ld = i = avec : ( L,, y,x = = i = ( L ( L ( P y,,,x P y,,,x ( L L d Ld De même, nous pouvons calculer : ( L ( L E α y,x,,, = α α y,x,,, 0 dα avec : ( L α y,x,,, = 0 ( α L P y,,,,x ( α L P y,,,,x ( α ( α dα Regardons mainenan commen nous pouvons appliquer cee ormule de aricaion bayésienne aux ransporeurs de diérenes ailles 3 Transporeur de aille Dans cee siuaion, la oncion de vraisemblance es donnée par : 8

19 où y y ( α e ( y y α α = + = P( y, L,y α,x, L,X = = ( α e ( = y! = y! indique les accidens du camion à la période En appliquan le héorème de Bayes, nous avons que la oncion de densié de α, éan donné les accidens passés observés usqu à la période, correspond à une densié gamma de paramères κ + y, κ + = = ( déni par: y +κ = α y κ + κ + ( = + α = = Γ y κ + = α y, L,y,X, L,X = e κ + Ainsi, l espérance mahémaique de α, éan donné ses accidens passés observés usqu à la période, es égale à : κ + y = κ + = + ( L L L E α y,,y,,x,,x = L esimaeur de l espérance mahémaique du nombre d accidens du camion de la loe à la période +, éan donné ses accidens observés usqu à la période, es égal à : + κ + y E ( α y, L,y, L,X, L,X + + = E ( α κ + = = ( L équaion ( es la ormule uilisée dans la liéraure acuarielle (Lemaire, 985; Dionne e Vanasse, 989, 99 pour les véhicules individuels e n a pas à enir compe de l ee loe, puisque la loe c es le véhicule 3 Transporeur ayan véhicules Dans cee siuaion, la oncion de vraisemblance es donnée par : y α + ( ( y y y = = P( y,,x ( = ( = ( i = = e α = α = i = Γ( y (3 9

20 où : ( y = y, L,y,y, L,y e X X + + =, L,X,X, L,X ( Nous savons que la oncion de densié a poseriori de α, éan donné les accidens passés observés usqu à la période e pour des valeurs xées pour les ees aléaoires des camions de la loe, correspond à une densié gamma de paramères : soi : y + κ, κ + + (, = i = = = y ( ( + κ κ + + α i κ + + = = = = = = ( α y,x, = ( α e Γκ + y = i = y + κ i = = L espérance mahémaique de α, éan donné les accidens passés observés usqu à la période e pour des valeurs xées pour les ees aléaoires des camions de la loe, es égale à : κ + y = i = κ + + ( = = ( E α y,x, = (4 De plus, la oncion de densié de, éan donné les accidens passés observés usqu à la période des camions de la loe, es égale à : ( y,x = D ν+ y ν+ y = = ( ( κ + + ( = = κ + y i = = (5 où : Γν i + y = = = D = F ν + y ;κ + y ; ν i+ y ; κ + y = = = i = = κ + Γ ν i + y κ + = = = 0