«Modèle Bayésien de tarification de l assurance des flottes de véhicules»

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1 Arcle «Modèle Baésen de arcaon de l assurance des loes de véhcules» Jean-Franços Angers, Dense Desardns e Georges Donne L'Acualé économque, vol. 80, n -3, 004, p Pour cer ce arcle, ulser l'normaon suvane : UR: hp://d.erud.org/derud/0388ar DO: 0.70/0388ar Noe : les règles d'écrure des réérences bblographques peuven varer selon les dérens domanes du savor. Ce documen es proégé par la lo sur le dro d'aueur. L'ulsaon des servces d'érud ( comprs la reproducon) es assuee à sa polque d'ulsaon que vous pouvez consuler à l'ur hps://apropos.erud.org/r/usagers/polque-dulsaon/ Érud es un consorum nerunversare sans bu lucra composé de l'unversé de Monréal, l'unversé Laval e l'unversé du Québec à Monréal. l a pour msson la promoon e la valorsaon de la recherche. Érud ore des servces d'édon numérque de documens scenques depus 998. Pour communquer avec les responsables d'érud : Documen éléchargé le 0 Sepember 05 0:3

2 L Acualé économque, Revue d analse économque, vol. 80, n os -3, un-sepembre 004 MODÈLE BAYÉSEN DE TARFCATON DE L ASSURANCE DES FLOTTES DE VÉHCULES* Jean-Franços ANGERS Dense DESJARDNS CRT Unversé de Monréal Georges DONNE HEC Monréal CRT CRPÉE RÉSUMÉ Nous proposons un modèle paramérque de arcaon de l assurance de véhcules rouers apparenan à une loe. Les ables de prmes qu son présenées ennen compe des accdens passés des véhcules, des caracérsques observables des véhcules e des loes e des nracons au Code de la sécuré rouère des conduceurs e des ransporeurs. De plus, les prmes son ausées en oncon des accdens accumulés par les loes dans le emps. l s ag d un modèle qu prend drecemen en compe des changemens explces des dérenes composanes des probablés d accdens. l représene une exenson aux modèles d assurance auomoble de pe bonus-malus pour les prmes ndvduelles (Lemare, 985; Donne e Vanasse, 989 e 99; Pnque, 997 e 998; Frangos e Vronos, 00; Purcaru e Denu, 003). L exenson aoue un ee loe à l ee véhcule pour enr compe des caracérsques ou des acons non observables des ransporeurs sur les aux d accdens des camons. Cee orme de arcaon compore pluseurs avanages. Elle perme de vsualser l mpac des comporemens des propréares des loes e des conduceurs des véhcules sur les aux d accdens préds e, par conséquen, sur les prmes. Elle mesure l nluence des nracons e des accdens accumulés sur les prmes d assurance mas d une açon dérene. En ee, les ees des nracons son obenus va la composane de régresson, alors que les ees des accdens provennen des résdus non explqués de la régresson sur les accdens des camons va un modèle baésen de arcaon. * Cee recherche a éé nancée par le programme d acon concerée en sécuré rouère FCAR-SAAQ-MTQ, par la Chare de recherche du Canada en geson des rsques de HEC Monréal e par le CRT. Nous remercons un arbre anonme pour ses commenares pernens e Clare Bosver pour sa conrbuon à la préparaon de la verson nale.

3 54 L ACTUALTÉ ÉCONOMQUE ABSTRACT Vehcle and Flee Random Eecs n a Model o nsurance Rang or Flees o Vehcles. We are proposng a paramerc model o rae nsurance or vehcles belongng o a lee. The ables o premums presened ake no accoun pas vehcle accdens, observable characerscs o he vehcles and lees, and volaons o he road-sae code commed b drvers and carrers. The premums are also adused accordng o accdens accumulaed b he lees over me. The model proposed accouns drecl or explc changes n he varous componens o he probabl o accdens. represens an exenson o bonus-malus-pe auomoble nsurance models or ndvdual premums (Lemare, 985; Donne and Vanasse, 989 and 99; Pnque, 997 and 998; Frangos and Vronos, 00; Purcaru and Denu, 003). The exenson adds a lee eec o he vehcle eec so as o accoun or he mpac ha he unobservable characerscs or acons o carrers can have on ruck accden raes. Ths orm o rang makes possble o vsualze wha mpac he behavors o owners and drvers can have on he predced rae o accdens and, consequenl, on premums. Fau-l conclure que l économére en es encore à l âge de l obscuransme? Peu-êre vau-l meux prendre une aude plus opmse e se rappeler qu au roaume des aveugles les borgnes son ros. l au surou connuer à ravaller e à s nerroger pour que la lumère se asse progressvemen Marcel G. Dagenas 978 NTRODUCTON Très peu d éudes on analsé de açon ssémaque les rsques d accden des loes de véhcules. Mare-Jeanne (994) a développé un modèle de arcaon de l assurance en oncon de la alle de la loe e Teugels e Sund (99) on proposé une arcaon basée sur la pere agrégée de la loe. D aures chercheurs se son connés à éuder les conduceurs des véhcules pour avor un porra des rsques que représene un ransporeur (Donne e al., 995, 00b). C es oubler que le propréare ou la drecon des enreprses peuven aecer les aux d accdens de leurs véhcules. Les décsons sur les heures de raval, les dépenses d enreen des véhcules e les drecves sur les charges ou les arrmages des véhcules peuven aecer la sécuré rouère. Donne, Desardns e Pnque (999a e 00a) on développé des modèles bonus-malus qu ennen compe des comporemens des conduceurs e des propréares des véhcules en ulsan une approche sem-paramérque. Dans ce arcle, nous proposons une approche paramérque. La mesure des rsques des loes de véhcules es dcle pour pluseurs rasons. D une par, l au dénr les unés qu composen les loes. Devons-nous prendre les conduceurs ou les véhcules? En réponse à cee queson, nous avons chos d ulser les véhcules, car les normaons dsponbles chez les assureurs permeen de reler connuellemen les véhcules aux ransporeurs, alors qu l es rès coûeux de reler les normaons des conduceurs aux ransporeurs, pusque les déplacemens des conduceurs d une loe à une aure ne son pas compablsés

4 MODÈLE BAYÉSEN DE TARFCATON DE L ASSURANCE ssémaquemen, alors que les déplacemens des véhcules le son (mmarculaon e assurance). Les véhcules représenen des rsques ndvduels dérens. Ces rsques son nluencés par des caracérsques observables e non observables des véhcules, des conduceurs qu les ulsen e des ransporeurs qu les possèden ou les louen à long erme. l es donc mporan de ben modélser ces dérenes sources d normaon. Une aure dculé résde dans les pods que l on do accorder aux normaons sasques ndvduelles e communes (des loes) obenues à des ns de arcaon. Une modélsaon adéquae de la arcaon des rsques des loes do négrer les comporemens des conduceurs à ceux des propréares an d nrodure des ncas à la prudence qu ennen compe des dérens nveaux de décson en présence de rsque moral hérarchque (Laon, 997; Wner, 000). Nous proposons un nouveau modèle de arcaon des véhcules apparenan à une loe (Flue, 999). l s ag d un modèle paramérque qu peu enr compe drecemen des comporemens e des caracérsques observables e non observables des véhcules, des conduceurs e des propréares des loes de véhcules. Le modèle proposé es une exenson drece des modèles d assurance auomoble de pe bonus-malus (Lemare, 985; Donne e Vannase, 989 e 99; Pnque, 997, 998; Frangos e Vronos, 00; Purcaru e Denu, 003) pour des prmes ndvduelles (vor Pnque 000 pour une revue de la léraure). L exenson aoue un ee aléaore loe à celu des véhcules dans le modèle pour enr compe à la os des ees non observables des ransporeurs, des véhcules e de leurs conduceurs sur les aux d accdens des camons dans le calcul baésen ou a poseror des prmes. Des varables observables caracérsan les véhcules, les loes e le comporemen de sécuré rouère des conduceurs e des propréares des loes son ulsées dans l évaluaon a pror des rsques des dérens véhcules. Les paramères des dsrbuons des ees loe e véhcule son esmés par la méhode du maxmum de vrasemblance. L analse baésenne ser à calculer les prmes en oncon des dsrbuons a poseror des ees loe e véhcule, ou en lassan xés les paramères obenus du maxmum de vrasemblance. Cee orme de arcaon, appelée communémen bonus-malus, perme d auser les prmes d assurance ndvduelles en oncon des caracérsques des assurés e de leurs expérences passées. Nore prncpale conrbuon es d éendre ce ssème de arcaon aux loes de véhcules e de démonrer qu l es opmal d ulser non seulemen l normaon sur les véhcules, mas égalemen celle sur les loes de véhcules. Nous présenons dans la secon suvane les modèles sasques d esmaon des probablés d accdens des véhcules apparenan à des loes de dérenes alles. Des esmaons sasques de ces modèles son égalemen dscuées. La deuxème secon développe le ssème bonus-malus opmal négran, à la os, les ees loes e les ees véhcules. La rosème secon propose dérenes ables de prmes alors que la concluson ore une dscusson sur les résulas obenus.

5 56 L ACTUALTÉ ÉCONOMQUE. MODÈLES STATSTQUES ET ESTMATONS ÉCONOMÉTRQUES Nore méhodologe es dvsée en deux éapes. Dans un premer emps, nous devons évaluer les probablés d accden des véhcules des ransporeurs à l ade d un modèle économérque. Nous ulserons les paramères esmés, comme normaon a pror, dans le calcul des prmes d assurance. Ces paramères ennen compe de l normaon dsponble sur les caracérsques observables des véhcules e des loes de même que des nracons des conduceurs e des ransporeurs. An de enr compe des caracérsques e des acons non observables dans la arcaon, nous ulserons les résdus des esmaons écono mérques. Une conrbuon de l arcle es de proposer un nouveau modèle d es maon des probablés d accden qu permee d soler explcemen l ee loe de l ee véhcule. Dans un deuxème emps, nous proposons un ssème bonus-malus qu ulsera, à la os, l normaon a pror obenue des paramères esmés e l normaon a poseror obenue des résdus des esmaons des dsrbuons d accdens des véhcules. An de ben démonrer la conrbuon des dérens ees sur les prmes d assurance, nous dsnguerons le ransporeur aan un seul véhcule de celu qu en a deux, pus nous généralserons le modèle au ransporeur aan plus de deux véhcules.. Modèle économérque d esmaon des dsrbuons d accdens des véhcules La plupar des modèles économérques applqués à des varables dscrèes (ou de compage) on pour pon de dépar la dsrbuon de Posson, où la probablé P d êre mplqué dans accdens à la pérode pour un véhcule apparenan à la loe peu êre représenée par l expresson suvane (Hausman e al., 984; Gouréroux, 999) P( λ ) e λ ( λ )!. Par dénon de la lo de Posson, nous avons que l espérance mahémaque du nombre d accdens (E) es égale à la varance (Var), E(Y ) Var(Y ) λ où Y es le nombre d accdens du camon de la loe à la pérode e λ (> 0) es le paramère de la lo de Posson. Cee modélsaon Posson, sans héérogénéé non observable, suppose mplcemen que la dsrbuon d accdens peu êre explquée enèremen par l héérogénéé observable, ce qu rend nule l ulsaon d un ssème bonus-malus. Supposons manenan qu l exse de l héérogénéé non observable parce que ceranes caracérsques ou acons ne son pas observables par l assureur. Posons λ α avec d e X β, où d mesure le nombre de ours que le véhcule de la loe es auorsé à crculer duran la pérode, dvsé par le nombre de ours oal de la pérode. C es une mesure d exposon au rsque d accden. L emplo de l exponenel pour dénr nous perme d assurer la

6 MODÈLE BAYÉSEN DE TARFCATON DE L ASSURANCE non-négavé de λ. Le veceur X (x,..., x ) conen les p caracérsques p du camon de la loe observées à la pérode ; ce veceur conen des normaons spécques au véhcule e d aures spécques à la loe. Le paramère α es l ee aléaore assocé à la loe, c es-à-dre le rsque non observable arbuable à la loe, ands que le paramère es l ee aléaore du camon de la loe. Nous supposons que où es le nombre oal de véhcules dans la loe. En d aures ermes, es la proporon du rsque de la loe arbuable au véhcule ; ans, le rsque oal non observable du véhcule de la loe es dén par α. l es à noer que lorsque la loe n a qu un seul véhcule, c es-à-dre, par dénon, cela sgne que le rsque arbuable au véhcule correspond à celu de la loe, ce qu enraîne que λ α. Nous asons l hpohèse que su une dsrbuon Drchle de paramères (,,..., ) e que α su une dsrbuon gamma de paramères ( -, - ). Dans les secons héorques qu suven, les paramères de la Drchle son ndvdualsés aux camons. Par conre, dans l applcaon emprque, le veceur (,,..., ) es rédu à (,,..., )... Transporeur de alle un Pour une pérode, la dsrbuon du nombre d accdens de la loe qu n a qu un seul véhcule es donnée par P( ) P( α ) (α ) d α, 0 ce qu peu êre réécr, après négraon, de la açon suvane, sous l hpohèse que α su une dsrbuon gamma de paramères ( -, - ) e que α su une dsrbuon Posson de paramère ( ) P( ) ( ). () Cee dsrbuon bnomale négave a éé ulsée à pluseurs reprses dans la léraure (Lemare, 985; Donne e Vanasse, 989; Gouréroux, 999). Elle perme de modélser l héérogénéé non observable e d nrodure un ssème bonus-malus pour des observaons ndvduelles. Par conre, elle ne peu pas êre applquée drecemen pour esmer les probablés d accden des véhcules apparenan à une loe, car elle ne perme pas d soler l ee loe de l ee véhcule. Nous présenons manenan nore généralsaon de ce modèle de base en débuan par le cas smple d une loe aan deux véhcules.

7 58 L ACTUALTÉ ÉCONOMQUE.. Transporeur aan deux véhcules La probablé one du nombre d accdens à la pérode des deux véhcules de la loe es donnée par P(, ) 0 P(, ) ( ) d où e. Condonnellemen à, la probablé one d accden es égale à P(, ) α [ ] 0 e d α α. Ans, en négran, nous obenons une dsrbuon bvarée condonnelle à P(, ). () S manenan nous subsuons la valeur de P(, ) donnée en () dans P(, ), nous obenons P(, ) ( 0 d. ) (3)

8 MODÈLE BAYÉSEN DE TARFCATON DE L ASSURANCE An d esmer les probablés d accden avec une approche paramérque, nous devons manenan rendre plus explce la dsrbuon de. Comme ndqué plus hau, nous supposons que l ee véhcule su une dsrbuon Drchle. En remplaçan la oncon de densé ( ) dans l équaon (3) par la densé d une Drchle de paramères (, ), so ( ) ( ) - ( ) -, nous avons P(, ). d 0 (4) Pour obenr une valeur de la probablé one en (4), l au esmer l négrale. d 0 Pour ce are, écrvons l expresson - ( ) du dénomnaeur de la açon suvane, ce qu nous perme de réécrre l négrale en (4)

9 60 L ACTUALTÉ ÉCONOMQUE d 0 F ; ; ;. F es une oncon hpergéomérque don la valeur es égale à!, [ ] [ ] [ ] avec h [] h(h )... (h ), une oncon acorelle crossane. La dsrbuon du nombre d accdens observés à la pérode des deux véhcules de la loe es manenan donnée par P(, ) ; ; ;. F Avan d aborder l esmaon des paramères de cee dsrbuon par la méhode du maxmum de vrasemblance, abordons sa généralsaon à une loe de véhcules.

10 MODÈLE BAYÉSEN DE TARFCATON DE L ASSURANCE Transporeur aan plus de deux véhcules Généralsons manenan le modèle au cas d une loe de véhcules. La dsrbuon du nombre d accdens à la pérode des véhcules de la loe es donnée par P (,..., )... P (,...,,..., ) (,..., ) d... d (5) où. Nous pouvons réécrre la probablé condonnelle dans (5) P (,...,,..., ) P (,...,,,..., ) d α α α 0 e en négran par rappor à α, nous obenons une dsrbuon mulvarée don la probablé one condonnelle d accdens es égale à P(,...,,..., ) ( ) ( ) ( ) ( ). (6) Ans, en remplaçan P(,...,,..., ) dans l équaon (5) par sa valeur donnée en (6) e en remplaçan la oncon de densé (,..., ) par la densé d une Drchle de paramères (,,..., ), nous obenons l expresson suvane

11 6 L ACTUALTÉ ÉCONOMQUE P,..., d d (7) Encore une os, nous devons esmer l négrale à pluseurs dmensons... d d... de l équaon (7) pour esmer les paramères du modèle. Tros possblés son manenan envsagées.. Une premère possblé qu smple beaucoup les calculs es de supposer que ous les des véhcules son denques e égaux à. Sous cee hpohèse, l négrale muldmensonnelle de l équaon (7) es rédue à... d d... e la dsrbuon one du nombre d accdens à la pérode des véhcules de la loe es donnée par l expresson suvane

12 MODÈLE BAYÉSEN DE TARFCATON DE L ASSURANCE P,..., ( ). (8) L hpohèse de raval de ce premer scénaro suppose mplcemen que ous les véhcules de la loe représenen des rsques a pror denques, ce qu es probablemen une hpohèse rès ore car, comme nous le verrons, pluseurs varables qu dsnguen les véhcules e les habudes de condue des conduceurs son sgncaves dans l esmaon des probablés d accden. Une aure possblé es de dvser les véhcules en dérens groupes homogènes de rsque, comme le on les assureurs en classan les rsques.. Sous cee deuxème possblé, nous pouvons séparer les véhcules en deux groupes e dénr G,..., g comme l ensemble des véhcules du premer groupe avec g g g, e G g,...,, comme l ensemble des véhcules du deuxème groupe avec g g g. Ans, l négrale de l équaon (7) deven c g c g g g g g d d d 0 0 avec c e d -.

13 64 L ACTUALTÉ ÉCONOMQUE En posan u g v w g g g g,,,..., ;,...,, e cee négrale peu se réécrre de la açon suvane... vu v w v u v w c g c g g c g c g g g d g g v v v v dudwdv c c c c v v g g g g g d c c g g 0 g g g d v dv,,, F g g g g g (9) e en subsuan l équaon (9) dans l équaon (7), la dsrbuon du nombre d accdens à la pérode des véhcules de la loe es donnée par

14 MODÈLE BAYÉSEN DE TARFCATON DE L ASSURANCE P(,..., ) ( ) ( ) g g ( )( ) ( ) ( ) ( ) (0) g F ( ),, ( ), g g g où F es une oncon hpergéomérque elle que déne dans la secon... l es à noer que l équaon (8) es un cas parculer de l équaon (0). Cee açon de procéder pour esmer l négrale peu êre généralsée à pluseurs groupes homogènes, mas l n es pas évden que le gan de précson obenu sera beaucoup supéreur. Une açon de vérer es de procéder à une approxmaon Mone-Carlo de l négrale mulvarée de l équaon (7). Nous abordons manenan l approxmaon Mone-Carlo de cee négrale. 3. S nous voulons esmer l négrale... ( ) ( ) d... d par la méhode de Mone-Carlo, nous pouvons ulser la oncon d mporance h( ) (Lange, 999) où (,..., ), elle que... avec g w( ( ) ) ~ ~ h( ). ~... g( ) g( ) d ~... h( ) d w( ) h( ) d w( l ~ ~ ) h( ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ N ~ l N

15 66 L ACTUALTÉ ÉCONOMQUE En posan h, ~ nous pouvons réécrre l expresson de l négrale mulvarée en mulplan son numéraeur e son dénomnaeur par la oncon h( ) elle que déne plus hau e obenr, après smplcaons, l expresson suvane ( )... d d... qu peu êre évaluée par. N l l N En a, nous pouvons, par exemple, générer des nombres aléaores, a, qu son des valeurs de la densé gamma, g(, ), pour,, e,, N où N es le nombre d éraons de l approxmaon de Mone-Carlo. Ans, en posan l l l a a, nous obenons des valeurs d une Drchle (,... ). La dsrbuon du nombre d accdens observés à la pérode des véhcules de la loe es donc approxmavemen égale à

16 MODÈLE BAYÉSEN DE TARFCATON DE L ASSURANCE P(,..., ) ( ) N ( ) ( ) ( ) N l ( ) Dans la secon qu su nous présenons les résulas économérques obenus des deux premères ormes d approxmaon. Les calculs des prmes avec l approche Mone-Carlo son présenés dans Angers, Desardns, Donne e Guern (004).. Esmaons économérques.. Sasques descrpves Les données provennen des chers de la Socéé d assurance auomoble du Québec (SAAQ) pour les années 997 e 998 (pour une descrpon déallée de la base de données vor Donne, Desardns e Pnque, 999a). Comme l ndque le ableau, nous avons accès à des données de ransporeurs de marchandses par camon déenan des normaons sur les deux années. Plus des deux ers des ransporeurs ne possèden qu un seul véhcule. Ces pes ransporeurs déennen envron 30 % des camons lourds aan au mons un our d auorsaon de crculer au 3 décembre 998 e au 3 décembre 997. Nous ulsons les données de l année 998 pour les normaons sur les accdens e les caracérsques des véhcules e des loes e celles de 997 pour les nracons au Code de la sécuré rouère an de respecer la polque de arcaon de la SAAQ. De plus, cee açon de procéder dmnue le problème de smulanéé enre les varables nracons e accdens. l au menonner qu un véhcule n a pas nécessaremen 365 ours d auorsaon de crculer pour l année 998. On noe, au ableau, qu en moenne, un véhcule a 88,5 % de l année 998 d auorsaon de crculer. Selon la alle de la loe, ce pourcenage vare enre 86,7 % e 93,9 %. Pour obenr une sasque annuelle, nous avons calculé le nombre de camons en camons-année, en somman le nombre de ours d auorsaon de crculer de chaque camon e en dvsan ensue par 365 ours. Ans, pour l année 998, nous obenons 9 99 camonsannée. La réquence moenne d accdens oaux par camon-année es de 0,453. Cee moenne augmene lorsque la alle de la loe augmene, mas dmnue lorsque la alle de la loe es supéreure à 50 camons.

17 68 L ACTUALTÉ ÉCONOMQUE TABLEAU FRÉQUENCE MOYENNE D ACCDENTS TOTAUX ET FRACTON MOYENNE D AUTORSATON DE CRCULER SELON LA TALLE DE LA FLOTTE POUR L ANNÉE 998 Talle de la loe (véhcules) Nombre de loes Nombre de camons Nombre d accdens pour l année 998 Moenne Écar pe Nombre de camonsannée Fracon de l année 998 d auorsaon de crculer Moenne Écar pe ,0 0, ,40 0,8687 0, ,43 0, ,5 0,8739 0, ,47 0, ,34 0,890 0,44 4 à ,495 0, ,4 0,897 0,393 6 à ,705 0, ,7 0,900 0,343 0 à ,958 0, ,5 0,903 0,345 à ,849 0, ,0 0,8989 0,335 5 à ,056, ,08 0,8687 0,853 5 à ,380 0, ,95 0,8668 0, e ,33 0, ,3 0,9390 0,9 Toal ,453 0, ,7 0,885 0,57 Le ableau regroupe les véhcules des loes aan ros véhcules ou plus en oncon de la médane du nombre moen d accdens. Deux groupes de rsque (ceux don le rsque es supéreur à la médane e ceux don le rsque es égal ou néreur à la médane) son ormés en prédsan les rsques d accden à l ade des paramères de la dsrbuon bnomale négave esmés sur l ensemble des véhcules des loes de alle supéreure à deux camons. Les loes peuven avor des camons dans les deux groupes de rsque. Les deux groupes de rsque consrus seron ulsés pour l approxmaon de l négrale mulple avec la oncon hpergéomérque. On remarque que seulemen le quar des 7 03 loes de alle supéreure à deux véhcules on l ensemble de leurs véhcules dans un seul groupe de rsque, ce qu mplque qu ulser l hpohèse que les camons son ous a pror denques es pluô ore.

18 MODÈLE BAYÉSEN DE TARFCATON DE L ASSURANCE TABLEAU RÉPARTTON DES FLOTTES DE TALLE SUPÉREURE À DEUX VÉHCULES ET RÉPARTTON DES FLOTTES DONT LES VÉHCULES SE RETROUVENT DANS UN SEUL GROUPE DE RSQUE Talle de la loe Nombre de loes N Nombre de loes n aan qu un seul groupe N (N / N) % 3 véhcules ,5 4 à 5 véhcules ,9 6 à 9 véhcules ,7 0 à 0 véhcules ,3 à 50 véhcules ,6 5 à 50 véhcules 8 6 7,3 5 à 400 véhcules 3 0 0,0 40 véhcules e plus 6 0 0,0 Toal ,6.. Esmaons des paramères Nous avons ulsé la méhode du maxmum de vrasemblance pour esmer les paramères nconnus, -,, β (β,..., β p ). Nous avons applqué un algorhme d opmsaon dans la procédure ML de SAS. Les résulas pour les loes de alle un e deux son présenés au ableau A en annexe. Le ableau A (en annexe) donne les esmaons des paramères pour l ensemble des véhcules. Pour cee dernère esmaon, les véhcules on éé dvsés en deux groupes de rsque selon le nombre médan d accdens par camon préd par le modèle de la dsrbuon bnomale négave. La marce de varance-covarance a éé esmée à parr de la sous-roune NLFPDD de SAS. Nous ulsons le seul de 0 % ( p néreur ou égal à 0,0) pour consdérer un coecen sasquemen déren de zéro. On noe au ableau A que les véhcules des ransporeurs de alle un aan plus d expérence on mons d accdens (nombre d années en an que ransporeur). Les résulas ndquen égalemen que le seceur d acvé du ransporeur, le pe d ulsaon du véhcule, le pe de carburan, le nombre de clndres ans que le nombre d esseux son des aceurs explcas d accden. Les camons don le seceur d acvé du ransporeur es le camonnage publc général son mons à rsque d accden que ceux don le seceur d acvé es le camonnage publc en vrac. Les camons ransporan des bens aures que du vrac son plus à rsque que ceux qu ransporen des maères en vrac. Les camons qu ulsen de

19 70 L ACTUALTÉ ÉCONOMQUE l essence comme carburan on mons d accdens que ceux qu consommen du desel e les véhcules aan un moeur de sx à sep clndres on plus d accdens que ceux de hu ou plus de dx clndres. En ce qu concerne le nombre d esseux qu supporen le véhcule, à l excepon du groupe quare esseux, ceux aan cnq esseux ou mons son mons à rsque d accden que les véhcules aan sx esseux e plus. Les véhcules aan une nracon commse en 997, pour surcharge ou pour non-respec de la vércaon mécanque (nracons loes), son plus à rsque d accden en 998 que ceux qu n on pas ces pes d nracon. De plus, les véhcules don les conduceurs on accumulé des nracons enraînan des pons d napudes en 997 représenen des rsques d accden plus élevés en 998 que ceux qu n en on pas. Ces paramères on éé esmés à parr de données provenan de ransporeurs ou véhcules. l a 6 8 ransporeurs de alle deux, so 56 camons lourds aan au mons un our d auorsaon de crculer pour l année 998 e égalemen pour l année 997. On noe au ableau A que les véhcules des ransporeurs de alle deux aan plus d expérence on mons d accdens. Les résulas ndquen que le pe de carburan, le nombre de clndres ans que le nombre d esseux son des aceurs explcas d accden, une os les aures aceurs prs en compe. Les véhcules don les conduceurs on comms une nracon en 997 pour surcharge ou pour arrmage nadéqua son plus à rsque d accden en 998 que ceux qu n on pas respecvemen ce pe d nracons. De plus, les véhcules aan des nracons enraînan des pons d napude en 997 représenen des rsques d accden plus élevés en 998 que ceux qu n en on pas. l es à noer que les résulas des deux régressons son assez semblables. Le ableau A rappore égalemen les résulas sur les paramères des dsrbuons des ees aléaores. La régresson des loes de alle un ndque que le paramère - de la bnomale négave es sgnca, ce qu veu dre que nous pouvons reeer la dsrbuon de Posson e applquer un modèle bonus-malus de arcaon de l assurance à ces loes. La régresson des loes de alle deux ndque que les deux paramères - e son sgncas au seul de 90 %, ce qu ndque que les ees véhcules e les ees loes peuven êre ulsés dans les calculs des prmes des loes de alle deux. On rerouve les mêmes résulas dans le ableau A en annexe, qu présene les résulas de la régresson pour l ensemble des camons lourds. On remarque égalemen au ableau A que les véhcules des ransporeurs aan plus d expérence enregsren en moenne mons d accdens. On observe que les camons lourds don le seceur d acvé du ransporeur es celu de locaon à cour erme son plus à rsque d accden que ceux don le seceur d acvé es le camonnage publc en vrac. Les résulas ndquen égalemen que les véhcules des plus grandes loes enregsren en moenne plus d accdens que ceux de alle un, mas les coecens des alles supéreures à 50 son néreurs à ceux des alles de 6 à 49 véhcules. Les véhcules aan une nracon commse en 997 pour surcharge, pour arrmage nadéqua ou pour non-respec de la vérca-

20 MODÈLE BAYÉSEN DE TARFCATON DE L ASSURANCE... 7 on mécanque son plus à rsque d accden en 998 que ceux qu n on pas ces pes d nracons. De plus, les véhcules don les conduceurs on accumulé des nracons enraînan des pons d napude en 997 représenen des rsques d accden plus élevés en 998 que ceux qu n en on pas. Ces coecens seron rès ules pour esmer les rsques a pror dans le calcul des prmes d assurance, alors que les coecens - e le seron pour auser les prmes selon les accdens passés des véhcules e des loes dans le modèle bonus-malus.. BONUS-MALUS. Ssème bonus-malus opmal Pour consrure un ssème bonus-malus opmal (Lemare, 985; Donne e Vanasse, 989, 99) basé sur le nombre d accdens passés d un camon ans que ceux de sa loe, nous devons calculer la prme à la pérode (Prme ) en ulsan le rappor des espérances mahémaques suvan Prme E( α, X ). E( α ) Elle es une oncon des caracérsques du véhcule e de la loe au débu de la pérode ( ) e du, le aceur bonus-malus, enre parenhèses. Celu-c en compe de l expérence passée du véhcule e de la loe va les veceurs e X. En d aures ermes, un ssème de arcaon de l assurance bonus-malus perme d auser les prmes d assurance ndvduelles en oncon de l expérence passée des assurés. Le erme correspond à la pare de l espérance mahémaque obenue des régressons économérques. l es égal à d e X β où d es le nombre de ours que le véhcule de la loe es auorsé à crculer à la pérode dvsé par le nombre de ours oal de la pérode. Comme déà ndqué, c es une mesure d exposon au rsque. La composane de régresson correspond à X β où le veceur des coecens β a éé esmé à l ade des dérens modèles économérques e X ( x,..., xp ) représene les p caracérsques observables du camon de la loe au débu de la pérode ; ans X (X,..., X,..., X,..., X ) donne les p caracérsques de ous les camons de la loe usqu à la pérode. Le veceur (,...,,...,,..., ) représene les accdens des véhcules de la loe usqu à la pérode e E( α, X ) désgne l espérance mahémaque des ees loe e véhcule arbuables au véhcule, éan donné l expérence passée mesurée par les accdens accumulés au cours des pérodes précédenes. Comme nous le verrons, la modélsaon proposée endra compe, à la os, des accdens du véhcule e de ceux de sa loe. Ces ees nrodusen des aceurs non observables qu peuven aecer les accdens des camons e des loes : α es l ee assocé à la loe e es le pods du camon de la loe sur ce

21 7 L ACTUALTÉ ÉCONOMQUE ee loe. Fnalemen, E( α ) donne l espérance mahémaque des deux ees arbuables au camon non condonnelle aux accdens. Elle es ulsée pour normalser le coecen à la valeur lorsque l expérence passée n es pas prse en compe. Pour calculer ces espérances mahémaques, nous ulsons l hpohèse que su une dsrbuon Drchle de paramères (,,..., ) e que α su une dsrbuon gamma de paramères ( -, - ). L équaon précédene proven d une analse baésenne de l évoluon des accdens dans le emps. Nous allons manenan démonrer sa orme explce sous les hpohèses de dsrbuon sasque des deux ees aléaores. Nous savons que la vrae espérance mahémaque du nombre d accdens du camon de la loe à la pérode es égale à λ (X, α, ). Elle es une oncon du veceur de caracérsques observables du véhcule usqu à la pérode e des aceurs aléaores de la loe α e du véhcule que l on suppose ndépendans du emps. L esmaeur opmal de cee espérance mahémaque à la pérode, λ (, X ) éan donné les observaons obenues sur les accdens usqu à la pérode e celles sur les caracérsques usqu à la pérode, peu êre calculé de la açon suvane où λ (, X ) E( α, X ) E( α ) E( ) E E( α,...,,, X ), X E( α ) E( ) X (X,..., X,..., X,..., X ) e (,...,,...,,..., ). Un esmaeur es opmal, dans nore conexe, s l perme de sasare deux crères (Donne e Vanasse, 99) : l es équable du pon de vue acuarel pour l assuré e l perme à l assureur de balancer ses compes. l es clar que l esmaeur précéden es équable, pusqu l es basé sur les caracérsques e l expérence ndvduelle. De plus, en ulsan le résula connu que E(E(A / B)) E(A), on peu monrer que E(λ (, X )). Nous savons que E( E( α,...,,, X ), X )... E ( α,...,,, X ) (,...,, X ) d... d avec

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