Remboursement d un emprunt par annuités constantes

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1 Sére STG Journées de formaton Janver 2006 Remboursement d un emprunt par annutés constantes Le prncpe Utlsaton du tableur Un emprunteur s adresse à un prêteur pour obtenr une somme d argent (la dette) qu l s engage à rembourser en versant chaque année, durant n années, une annuté au prêteur. En général, les annutés versées chaque année sont constantes Le prêteur estme que le captal prêté dot lu rapporter un ntérêt annuel égal à t% du montant de la dette. Ans, l annuté a remboursée l année n est consttuée de deux éléments : - L ntérêt I n produt par le captal restant dû. - L amortssement A n correspondant à la part de captal remboursée. Après versement de l annuté la dette est dmnuée du montant de l amortssement. Exemple S la dette se monte à et que taux d ntérêt est égal à 5 % alors une annuté de 80 se décompose comme sut : Intérêt : 50 (5 % du montant de la dette) Amortssement : 30 (montant de l annuté dmnué du montant de l ntérêt) Après le versement de cette annuté, la dette ne s élève plus qu à = 970 Parte A : Étude d un exemple On souhate établr le tableau d amortssement d un emprunt de sur 10 ans au taux de 4%. L étude sera menée à l ade d un tableur Le remboursement se fat à annutés constantes selon le prncpe exposé précédemment. Dans la feulle de calcul les données sont placées dans les cellules B2, B3, B4. Les cellules de la zone (A7 : F16) contennent des formules ou des nombres que l on ne modfera pas drectement. Il s agt de trouver le nombre à placer en B4 de manère à ce que la cellule E16 contenne la valeur 0 ce qu sgnfera que l emprunt aura été ntégralement remboursé. Questons 1. Explquer comment on peut obtenr la sére de nombres de la zone (A7:A16). Quelle est la formule à placer en B7? Quelles formules, destnées à être recopées vers le bas faut-l placer dans les cellules C7, D7, E7, F7, B8? Cellule Formule C7 D7 E7 F7 B8 2. En procédant par approxmatons successves quel est le montant de l annuté qu fera en sorte que la cellule E16 contenne la valeur Imprmer le tableau d amortssement. 4. Vérfer qu alors la sute des amortssements est une sute géométrque dont on détermnera la rason. 5. Construre de manère analogue le tableau d amortssement d un emprunt de sur 15 ans au taux de 4%

2 Parte B : Étude théorque (traval sur les sutes) Cette parte (dffcle) pour nos élèves ne pourra être donnée sous cette forme et sert unquement de complément théorque à l étude précédente. Notatons D p Dette en début de l année p D p-1 I p A p D p I p+1 A p+1 D p+1 A p Amortssement de la p ème année Taux d ntérêt Par défnton on a : a= Ip+ Ap ; Dp= Dp 1 Ap ; Ip= Dp 1 1. En utlsant le fat que l annuté de la p ème année est égale à celle de la (p+1) ème année donc que : Ap+ 1+ Dp= Ap+ Dp 1 montrer que : A = ( + ) A. Quelle est la nature de la sute ( A p)? p S l emprunt est remboursé en n années, la somme des amortssements est égale au montant de la dette ntale c'est-à-dre au montant emprunté : D0= A1+ A An. Montrer alors n que : D0= A1 = A n 3. En partant de l égalté a= D0+ A1 et en utlsant le résultat précédent, montrer que : 1 a= D0 1 (1 + ) n 4. En utlsant la formule précédente, construre à l ade du tableur une feulle de calcul qu affche un tableau d amortssement «unversel» où les seules données à sasr sont : Le montant de l emprunt Le taux d ntérêt en vgueur Le nombre d annutés p

3 Sére STG Journées de formaton Janver 2006 Programmaton lnéare Étude d un exemple Utlsaton du tableur Contrantes : Un artsan fabrque deux type de jouets en bos A et B. Un jouet A nécesste ½ h de traval et 3 kg de bos. Un jouet B nécesste 1h de traval et 2kg de bos. L artsan dspose de 24kg de bos par jour. Il travalle au plus 8h par jour. Il ne fabrque pas plus de 10 jouets par jour Soent x et y le nombre de jouets A et B fabrqués par jour 0,5x + y 8 Il faut ½h de traval pour le jouet A et 1h pour le jouet B. L artsan travalle au plus 8h par jour. 3x + 2y 24 La masse de bos nécessare ne peut pas dépasser 24 kg. x + y 9 Il ne fabrque pas plus de 9 jouets par jour. x 0 ; y 0 x et y sont des enters postfs. -3x + 2y -24 = 0 0,5x + y = 8 J O A I x + y - 9 = 0 Optmsaton (foncton économque) ; Sachant que l artsan réalse un bénéfce de 12 sur un jouet A et de 18 sur un jouet B, on demande de détermner la producton quotdenne assurant un bénéfce maxmal. Dans cette stuaton, le bénéfce quotden est : B = 12x + 18y. drote de bénéfce maxmal J O I Cette drote coupe la zone des contrantes en un seul pont. Par lecture graphque on obtent : x = 2 et y = 7 Ans en réalsant 2 jouets A et 7 jouets B par jour, l artsan respecte les contrantes et optmse son bénéfce

4 Utlsaton du tableur Le tableur peut être utlsé de la manère suvante : On place les valeurs de x en lgne et les valeurs de y en colonne. A l ntersecton d une lgne et d une colonne on place la valeur de la foncton économque à optmser. Il ne reste plus qu à trouver la valeur du maxmum (ou de mnmum) de la plage de données Mas Mse en œuvre : Astuce : Il est pratque de nommer «x» la plage de données (B2 :K2) et «y» la plage de données (A2 :A11) Menu Inserton Nom dans Excel La formule à placer en B2 est alors : SI ( ET (0,5*x+y<=8 ; 3*x+2*y<=24 ; x+y<=9) ; 12*x+18*y ; " " ) Cette écrture a de plus l avantage d être plus lsble que celle utlsant les références classques de cellules telles B1, A2, etc. Cette formule sera recopée dans la plage (B2 : K11) La cellule B13 content la formule MAX(B2 :K11). Il suffra enfn de rechercher les valeurs de x et de y qu correspondent à ce maxmum dans le tableau de valeurs. Que se passe-t-l s x et y ne représentent plus des enters? Dans l exemple précédent on pourrat magner que x et y représentent un nombre de dzanes vore de centanes d objets La méthode précédente n est plus utlsable, la feulle de calcul rsque en effet de devenr énorme. Une approche possble consste à procéder par approxmatons successves à l ade d une feulle de calcul s nsprant de la précédente. Imagnons par exemple que le système de contrantes sot : 0,5x+ y 800 3x 2y x+ y 900 x et y représentant des centanes d objets, et que la foncton à maxmser sot : 1,9 1,266 B x y = + La feulle présentée c-dessous permet de trouver expérmentalement la soluton optmale (sans justfcaton) en fasant varer les valeurs de x et de y avec un pas et des valeurs mnmales modfables.

5 Sére STG Journées de formaton Janver 2006 Fonctons numérques Utlsaton du tableur Pluseurs pstes sont possbles dans le cadre d un TP court. Tabulaton d une foncton Construre un tableau de valeurs consttué de 50 valeurs d une foncton donnée f, sur l ntervalle [a,b]. b a Le pas h de la table est donné par : h=. 49 On pourra montrer à ce propos que nommer une zone «x» permet de faclter et clarfer la sase de l expresson donnant f(x). Le chox du type graphque permet d aborder cette fonctonnalté du tableur La dchotome Lorsqu on sat qu une foncton contnue sur [a,b] s annule une fos sur cet ntervalle, la recherche de la soluton peut se fare par dchotome très effcacement et smplement à l ade du tableur. Rappelons le prncpe de la méthode... On détermne un ntervalle [a, b] contenant une et une seule soluton α de l équaton f(x)=0. f(a) et f(b) sont a + b c donc de sgnes contrares. On appelle c le mleu de l ntervalle, =. 2 S f(a) et f(c) sont de sgnes contrares alors la racne α est dans l ntervalle [a, c] S f(a) et f(c) sont de même sgne alors f(c) et f(b) sont de sgnes contrares donc la racne α est dans l ntervalle [c, b] Travaux sur la dérvée Les actvtés ne manquent pas