LICENCE DE SCIENCES PHYSIQUES UV 3LSPH50. Année MODÉLISATION. Recherche des paramètres d'une représentation analytique J.P.

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1 LICENCE DE SCIENCES PHYSIQUES UV 3LSPH50 Année MODÉLISATION Recherche des paramètres d'une représentaton analytque JP DUBÈS

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3 3 MODÉLISATION Recherche des paramètres d'une représentaton analytque Utlsaton d'un tableur (Quattro Pro) en vue de la détermnaton des paramètres d'une foncton analytque I)INTRODUCTION6 II)GÉNÉRALITÉS 7 A)Exemples de smulaton III)PRÉSENTATION DU TABLEUR 7 A)Introducton 7 B)Prse en man de quattro pro pour Wndows9 )Chargement de QUATTRO PRO pour Wndows9 a)les zones de l'écran 0 b)le contenu d'une cellule c)la recope des formules4 d)le déplacement5 e)les MACROS 5 f)dvers 5 C)Exercces d'applcaton 6 )Calcul de la concentraton 6 )Sute de Fbonacc (modélsaton du comportement d'une populaton) 7 3)Ttrage d'un acde fort par une base forte (modèle de connassance)8 4)Mathématques fnancères 3 5)Modélsaton d une réacton totale33 a)rappel Cas d une réacton totale (réactfs = produts)33 b)cas d une cnétque 35 c)cas d un équlbre35 IV)LA RÉGRESSION LINÉAIRE PAR LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS 36 A)Rappels 36 B)Ajustement lnéare par la méthode des mondres carrés36 V)RÉGRESSION POLYNOMIALE38 VI)OPTIMISATION PAR UTILISATION DES OUTILS MATHÉMATIQUES DE QUATTRO 39 A)Régresson lnéare 39 B)Régresson polynomale 39 C)Optmsaton 39 VII)APPLICATION À DIFFÉRENTES MESURES PHYSIQUES ET CHIMIQUES4

4 4 A)Cnétque chmque4 )Rappels 4 )Exemples4 a) Détermner l'ordre et la vtesse de la réacton (fcher CINE)4 b)détermnaton des paramètres de l'équaton d'arrhénus (fcher CINE)4 c)étude de la dmérsaton du butadène (fcher CINE3) 4 B)Résstance thermométrque 00 4 C)Capacté calorfque de l'alumne en foncton de la température 43 D)Enthalpe molare ntégrale en foncton de la fracton molare 43 )Exemple 43 )Exemple 44 3)Exemple 3 44 E)Détermnaton de la foncton d'apparel d'un mcrocalormètre TIAN- CALVET44 F)Équatons d'état des gaz 45 )Équaton du vrel46 )Équaton de Van der Waals 46 G)Exemples dvers46 )Cnétque46 ) Presson atmosphérque 47 3)Volume d excès 47 4)Prx de l occason47 5)L'équaton d'antone 48 a)ébullton de l eau 48 b)ébullton de NbCl548 6)Évoluton d une épdéme 48 7)Lo du refrodssement 49 8)La sgmoïde 49 a)cnétque enzymatque 49 b)phonétque 49 9)Lo logstque 49 0)Modélsaton du trafc router 50 H)Résoluton d'un système d'équatons dfférentelles Balstque5 I)Calcul d'une ntégrale défne Estmaton d'une ntégrale ndéfne 53 J)Fonctonnement acoustque d'un haut-parleur54 )Introducton54

5 5 )Modélsaton d'une encente actf-passf 56 3)Modélsaton d'une encente Bass Reflex59 VIII)NOTE SUR L'OPTIMISATION ET L'AJUSTEMENT DES PARAMÈTRES 6 IX)REMARQUE 63

6 6 I) INTRODUCTION La pussance des calculateurs actuels et la connassance précse des los régssant les phénomènes physques et chmques ont perms le développement d'un type nouveau de recherche : la modélsaton et son corollare, la smulaton La smulaton permet à la fos de gagner du temps et de l'argent Les exemples sont nnombrables Cette pussance décuplant régulèrement, des domanes qu parassaent utopques l y a quelques années sont mantenant à la portée de la modélsaton C'est par exemple le cas de l'étude de la turbulence Il y a deux démarches fondamentales en modélsaton : les modèles de connassance et les modèles de représentaton On établt un modèle de connassance à partr de los physques ou chmques fondamentales Nous verrons, par exemple, c-après le cas des courbes de ttrage acdebase Par contre, un modèle de représentaton ou expérmental est obtenu en chosssant a pror une relaton mathématque qu semble rendre compte au meux les valeurs expérmentales C'est le cas par exemple de l'équaton de Redlch-Kster, modèle de représentaton très utlsé des grandeurs molares d'excès Toutefos, ces deux approches ne sont pas forcément antagonstes, elles sont complémentares : la recherche d'un modèle de représentaton peut (et dot) s'appuyer sur un mnmum de connassances physques Ce chox étant fat, la modélsaton du phénomène comporte tros étapes : - recherche d'une représentaton analytque pour décrre le comportement d'un phénomène réel, sot par l'applcaton de los fondamentales, sot par le chox a pror d'une équaton analytque - dans les deux cas, l'étape suvante est l'estmaton des paramètres de (ou des) équatons choses précédemment par des calculs de régresson en mnmsant un crtère quadratque C'est l'étape que nous traterons dans ce module L'outl nformatque utlsé sera le tableur Quattro Pro pour Wndows Enfn, ces équatons et leurs paramètres étant connus (ans que leur domane de valdté), on peut procéder à une smulaton

7 7 II) GÉNÉRALITÉS La pussance des calculateurs actuels et la connassance précse des los régssant les phénomènes physques et chmques ont perms le développement d'un type nouveau de recherche : la modélsaton et son corollare, la smulaton La smulaton permet à la fos de gagner du temps et de l'argent Les exemples sont nnombrables : le Boeng 777, qu est le plus gros avon bmoteur du monde, a d'abord été construt comme un avon vrtuel, de la chaîne de montage jusqu'au comportement en vol (à l'ade d'un programme nformatque de CAO ms au pont par Dassault Systemes) On a ans pu, d'une part, optmser au maxmum les méthodes de producton et, d'autre part, réalser l'apparel en un temps record Parm les 000 pèces envron que compte une Fl moderne, certanes n'auraent pu être élaborées sans les outls de concepton assstée par ordnateur (CAO), en partculer la maquette numérque 3D Celle qu est le plus utlsée depus longtemps dans les secteurs de l'aéronautque et de l'automoble s'appelle CATIA (Dassault Systèmes) Sa présence en Formule I s'est renforcée ces tros dernères années : 80% des monoplaces roulent grâce à des pèces vues d'abord sur les écrans d'ordnateur En effet, ce logcel faclte la concepton des pèces, pus l est susceptble de les soumettre à des smulatons de contrantes, ce qu consttue une premère valdaton De la même façon, la maquette numérque est essentelle pour smuler leur assemblage fnal et leur cycle de producton avant leur fabrcaton Ensute, les machnes à commandes numérques sont ndspensables pour réalser notamment les pèces de très grande précson Prost Peugeot Réalsée en CAO Par CATIA Hewlett Packard a lancé des smulatons de cartes mères d'ordnateurs à base du processeur Intel Pentum Pro pour comparer leurs caractérstques sans les construre Le Boeng 777 est le premer apparel de l'avonneur de Seattle a avor été entèrement conçu sur ordnateur Cec marque l'entrée dans une nouvelle ère au sen de laquelle les énormes modèles (souvent des maquettes en bos) préfgurant l'aspect fnal d'une nouvelle réalsaton sont devenus désormas nutles Chaque pèce est d'abord modélsée sur un pussant ordnateur qu est ensute capable d'assembler ce puzzle géant afn de vor s tout concorde Ce procédé confère à l'ensemble une précson jamas attente par les moyens tradtonnels, ce qu augmente encore la qualté de fabrcaton Une des facettes étonnantes de cette nouvelle méthode de traval est le mécancen vrtuel La tache de ce derner est de vérfer que toutes les actons de mantenance requses sont asément exécutables Ce qu, pour la pette hstore, a perms de mettre en lumère le fat qu'l état, dans les ébauches prélmnares, mpossble de changer une des lampes des feux de poston!

8 8 Motorola étude des prototypes vrtuels de téléphones cellulares avant de lancer la producton Le nouvel aéroport de Mam a été réalsé vrtuellement et étudé par Lockheed Martn avant d'être construt La pussance des ordnateurs décuplant régulèrement, des domanes qu parassaent utopques l y a quelques années sont mantenant à la portée de la modélsaton C'est par exemple le cas de l'étude de la turbulence Les fludes en mouvement nous entourent et nous font vvre : du sang crcule dans nos venes et de l'ar est en mouvement dans nos poumons ; certans de nos véhcules crculent dans l'atmosphère, tands que d'autres sllonnent les océans, almentés par des fludes qu se mélangent dans des chambres de combuston L'écoulement de ces fludes est généralement turbulent La connassance de la turbulence pourrat amélorer de façon spectaculare le rendement des tous ces phénomènes Contrarement aux écoulements lamnares (cas des vtesses d'écoulement lentes), les écoulements turbulents sont rrégulers et snueux La turbulence n'est pas toujours ndésrable : dans les cylndres de moteurs à combuston, elle favorse le mélange du carburant et de l'ar Grâce à la turbulence créée par le relef bosselé des balles de golf, celles-c peuvent attendre des dstances deux fos et deme supéreures à des balles lsses! Découvertes l y a 50 ans par Claude Naver et George Stokes, les équatons (dtes de Naver-Stokes) dérvent des los du mouvement de Newton Ce ne fut qu'à la fn des années 960 que les ordnateurs attegnrent des vtesses de calcul suffsantes pour les résoudre dans des cas smples! Jusqu'à présent, de nombreux essas en soufflere (entre 0 et 5) étaent un passage oblgé pour les constructeurs d'avon Aujourd'hu, grâce à la mécanque des fludes numérque, deux ou tros seulement sont nécessares Les fabrcants de moteur d'avon envsagent d'attendre vers l'an 003, une améloraton de 00% de la poussée rapportée au pods des moteurs et une réducton de 40% de leur consommaton! Dans le même domane, les hélces ont fat récemment des progrès spectaculares La modélsaton des hélces d'avons ou de bateaux tent compte de la masse volumque du flude ambant, de la presson hydrodynamque ou aérodynamque sur les pales, de l'nteracton des champs d'écoulement et enfn des contrantes mposées par le type de vasseau et par son moteur En 865, l'ngéneur écossas W Rankne établ la premère théore de l'hélce Pus, à partr des travaux de W Kutta (90) et N Joukovsk (9), A Betz et L Prandlt en 99 et enfn S Goldsten en 99, modélsent avec précson le comportement des hélces Mas, trop complexes pour être applqués, ces travaux tombent dans l'oubl jusqu'à leur reprse dans les années 80 par F Larrabee au MIT Il met au pont des algorthmes de calcul performants qu ont condut à des dessns d'hélce ayant des rendements pluseurs fos supéreurs aux hélces conventonnelles, rendant ans possble entre autre, le vol à propulson humane ou solare et le renouveau des avons à turbopropulseurs dont la vtesse de crosère a été augmentée de 0 à 50% pour une consommaton nchangée, smplement en changeant d'hélce et en amélorant ans consdérablement leur rendement aux vtesses élevées (c-dessus, hélce d'un ATR 4 de l'aérospatale permettant d'attendre une vtesse de crosère de 565 km/h à une alttude de 7000 m sot un gan de près de 00 km/h) À gauche, l'avon-cargo quadrmoteur russe Antonov AN-70, équpé de turbofans doubles contrarotatfs, (turbnes de 0300 kw chacune), est capable de décoller sur des pstes de

9 9 ant sous-marne Écoutons Larrabeee : 600 à 900 m seulement avec une charge de 47 tonnes! Il attent 800 km/h à plus de 0000 m d'alttude À drote, un modèle Farchld d avon de lutte " j'a eu la chance de partcper à une expérence pratque, démontrant la valdté de ce qu'on peut appeler, à juste ttre, une théore classque de l'aérodynamque de l'hélce Cette théore avat été publée en 99 et pratquement abandonnée vers 940 Cette démonstraton fut réalsée par tros étudants enthousastes de l'insttut de Technologe du Massachusetts qu entreprrent en janver 979 la constructon d'un avon à pédales Pour l'hélce, ls me demandèrent de les ader à applquer les prncpes de calcul que j'avas ms au pont pour résoudre ce problème Ces étudants rêvaent au prx de lvres sterlng offert par l'ndustrel brtannque Henry Kremer pour la réalsaton d'un avon susceptble de traverser la Manche à l'ade de la seule force musculare humane Pour commencer, mes tros lascars, Hyong Bang, Robert Parks et Harold Youngren, programmèrent un de mes algorthmes pour le calcul sur ordnateur des hélces Ils applquèrent cet algorthme au tracé d'une hélce destnée à un modèle rédut de bplan à l'échelle un hutème, télégudé par rado L'aéroplane fut baptsé Chrysals (chrysalde) Cette maquette d'une envergure de,74 mètres, état mue par le moteur d'un apparel photographque Polarod SX-70 Le moteur actonnat l'hélce par l'ntermédare d'un réducteur à engrenages de rapport / L'avon fut construt en une semane Par rapport aux hélces classques tracées emprquement et avec lesquelles la maquette aurat à pene pu se mantenr en vol avec les batteres à plene charge, l'hélce théorquement correcte, ben adaptée à la structure et au moteur choss, permt à la maquette d'accomplr tros fos et deme un crcut en hut autour de deux mâts dstants de 0 mètres avant que les batteres soent épusées" (Extrat de "Pour la Scence" n 35, sept 980) Les étudants ont obtenu le prx Kremer lorsque Bryan Allen, aux commandes du Gossamer Albatross (c-contre) a franch le Pas de Calas en heures 49 mnutes (jun 979) Le porte-avons "Charles De Gaulle" a beaucoup fat parler de ses hélces dessnées d'après les nouveaux algorthmes! Nonobstant leur fraglté due à des problèmes de fondere, elles lu permettent un gan de vtesse de près de 4 nœuds, gan effectvement constaté lorsqu'l a fallut les remplacer par les hélces conventonnelles du porte-avons "Clemenceau", la vtesse de crosère chutant à 4 nœuds

10 0 Toujours dans le domane de la mécanque des fludes, ctons une lettre de lecteur parue dans "La Recherche", n 33, page 6, Octobre 998, qu se passe de commentares! " Je souhate réagr à votre artcle sur la stablté du tot du Stade de France paru dans le numéro de jun Je sus drecteur de recherche au CNRS, spécalsé en aérodynamque applquée, entre autres, aux stes et bâtments Du pont de vue aérodynamque, la concepton de ce tot est pour le mons nepte, car sa géométre semble parfatement adaptée à la " prse au vent " Vous ctez une vtesse de vent constante de 46 km/h : cela me paraît léger, car le vent, surtout lorsqu'l est volent n'est jamas constant et c'est justement son caractère aléatore qu est dangereux pour une structure D'autre part, vous fates référence aux essas en soufflere pour détermner les "coeffcents de sécurté", donc les efforts exercés par le vent sur la structure or, l est ben connu, du mons de la part des vras aérodynamcens, qu'à de telles échelles de tels essas ne sont pas du tout représentatfs (pour des rasons de non respect des condtons de smltude d'écoulements)! Par contre, l exste aujourd'hu des moyens de smulaton ben plus représentatfs et ben mons coûteux que le mondre essa en soufflere, consstant en la smulaton numérque de l'écoulement du vent autour d'une telle structure, et je sus ébah que les bureaux d'études et d'archtectes en soent encore à l'gnorer! Je fas parte des nouveaux spécalstes dans le monde (et surtout pas en France) de ces nouveaux moyens qu sont " combattus " ben entendu par les explotants desdtes souffleres dont l'avenr est séreusement comproms par ces nouvelles méthodes Le coût de ces essas pourrat-l d'alleurs être rendu publc? " Jacques Marcllat Drecteur de recherche, CNRS Marselle " (Fort heureusement, les tempêtes de décembre 999, avec des vents de 70 km/h, n'ont pas donné rason à J Marcllat, son modèle de connassance étant mparfat!) L'étude des mouvements turbulents à grande échelle va pouvor permettre de modélser le comportement de l'atmosphère et, ans, la météorologe pourra effectuer des prévsons fables Pour réalser des prévsons météorologques, l faut prévor l'évoluton du flude atmosphérque (c'est-à-dre l'évoluton de son état dynamque, thermque et hygrométrque) Arpège, le modèle théorque de Météo-France, dvse pour cela l'atmosphère en 7 couches superposées de quelques centanes de mètres de hauteur, pus en boîtes de pluseurs klomètres de côté Chaque boîte consttue un volume d'atmosphère dans lequel les paramètres météorologques (température, humdté, presson, vent) sont supposés être homogènes : ls provennent des relevés des statons, bouées ou satelltes Le calcul de l'évoluton de l'atmosphère, dans un déla de 6 à 96 heures, est confé à un modèle de l'atmosphère programmé en FORTRAN par les ngéneurs de Météo-France, l tourne sur un super calculateur Fujtsu VPP700 E à archtecture parallèle qu comporte 3 processeurs (d'où une pussance de 4 ggaflops, équvalente à 500 Pentum Pro 00) Ce programme totalse envron lgnes de code Chaque con d'une boîte d'atmosphère représente un "pont de grlle" La dstance horzontale entre deux ponts détermne ce qu'on appelle la malle Plus la malle est serrée, plus y a donc de ponts de grlle, et plus la

11 prévson est fable Arpège, qu recense actuellement ponts de grlle par tranche, a pour prncpale caractérstque de posséder une malle varable : 5 km de côté sur la France, pour plus de précson, et 300 km aux antpodes (Toutefos, ce "super-ordnateur" n'a pas prévu la force de la tempête de décembre 999! ) Grâce aux super-ordnateurs du futur (proche), les physcens passeront progressvement du stade de la prédcton des effets de la turbulence à celu de leur commande Cette commande peut avor des effets consdérables : s l'on rédusat la traînée des avons de lgne de %, on accroîtrat de 40% les bénéfces des compagnes aérennes! La smulaton a montré que des cannelures de 40 µm de large (dmenson des sllons d'un dsque nor) sur les ales d'un avon réduraent sa traînée de 5 à 6% La peau des requns et des dauphns comporte de mnuscules dentcules qu font le même offce et leur procurent une remarquable vtesse de ponte Il y a deux démarches fondamentales en modélsaton : les modèles de connassance et les modèles de représentaton On établt un modèle de connassance à partr de los physques ou chmques fondamentales Nous verrons, par exemple, c-après le cas des courbes de ttrage acdebase Par contre, un modèle de représentaton ou expérmental est obtenu en chosssant a pror une relaton mathématque qu semble rendre compte au meux les valeurs expérmentales C'est le cas par exemple de l'équaton de Redlch-Kster, modèle de représentaton très utlsé des grandeurs molares d'excès Le modèle de représentaton décrt donc un ensemble de données dans le contexte expérmental concerné, ce qu lmte fortement son utlsaton En effet, l ne s'agt que d'une façon commode et concse pour "transporter" un grand nombre de données qu sont remplacées par quelques paramètres et une équaton Mas l faut savor que cette représentaton analytque posée a pror ne peut pas rendre compte des proprétés ntrnséques du phénomème physque Toute nterpolaton ou, a fortor, extrapolaton n'a pas de sens physque pusqu'elle est foncton de l'équaton chose L'obtenton de grandeurs dérvées, par exemple, peut condure à des résultats complètement erronés Nous verrons plus lon que les enthalpes partelles obtenues en dérvant l'équaton de Redlch-Kster (modèle de représentaton des enthalpes ntégrales) peuvent faclement donner leu à des nterprétatons qu n'ont ren à vor avec la réalté Toutefos, ces deux approches ne sont pas forcément antagonstes, elles sont complémentares : la recherche d'un modèle de représentaton peut (et dot) s'appuyer sur un mnmum de connassances physques Ce chox étant fat, la modélsaton du phénomène comporte tros étapes : - recherche d'une représentaton analytque pour décrre le comportement d'un phénomène réel, sot par l'applcaton de los fondamentales, sot par le chox a pror d'une équaton analytque

12 - dans les deux cas, l'étape suvante est l'estmaton des paramètres de ou des équatons choses précédemment par des calculs de régresson en mnmsant un crtère quadratque - enfn, ces équatons et leurs paramètres étant connus (ans que leur domane de valdté), on peut procéder à une smulaton A) Exemples de smulaton On peut smuler une expérence réelle après en avor détermné exactement toutes les équatons analytques entrant en jeu et tous les paramètres des équatons la décrvant Le pont de Normande, sur la Sene, qu rele le Havre à Honfleur, premère mondale pour un ouvrage de cette dmenson, est un bon exemple de smulaton Il ne s'agssat pas unquement de calculer le pont, mas d'étuder auss toutes ses déformatons en cours de constructon pour planfer le réglage de mse en tenson de ses haubans au fur et à mesure de l'avancement des travaux, de calculer le boucler de protecton des pylônes contre le choc éventuel d'un cargo, de smuler la température du béton lors de son coulage (réacton exothermque) pour évter des ponts chauds qu auraent pu provoquer des fssures et, enfn, de smuler l'effet des tempêtes et des vents très volents dans l'embouchure de la Sene Un autre exemple est celu des smulateurs de vol qu permettent économquement et sans danger la formaton et l'entraînement des plotes cvls et mltares On peut ans les mettre dans des stuatons qu seraent trop rsquées ou trop onéreuses dans la réalté Les équatons qu ntervennent sont celles qu régssant le vol d'un apparel partculer en foncton de ses caractérstques (aérodynamsme, pussance, dmensons ) C est le cas de la majorté des smulateurs de vol Par contre, X-Plane de Austn Meyer, a la partcularté d'être basé sur la modélsaton du flude atmosphérque, qu'l reprodut avec fdélté Les apparels utlsent alors l'ar envronnant (ou sa raréfacton) pour se déplacer, en foncton du profl des pales de l'hélce, des ales, du fuselage, etc, et non de smples algorthmes de vol La pénétraton dans l'ar d'un corps proflé dépendant de nombreux paramètres, les dfférentes valeurs étables dans le monde réel par les ngéneurs aéronautque servent de base pour reprodure les apparels dans X-Plane Grâce à ce concept orgnal, tous les types de "plus lourds que l'ar" sont modélsables, qu'ls soent de type avon-école ou gros porteurs, récents ou ancens, commercaux ou expérmentaux, mus par la chaleur (ballons et drgeables), par un (ou des) moteurs/réacteurs, à volure tournante propulsée (hélcoptère) ou lbre (gyrocoptère et autogre), mangeurs de pste ou à décollage vertcal, sans oubler la navette Orbter et cela dans toutes les condtons atmosphérque possble Autre partcularté, la base de données qu, non contente d'être de couverture mondale, reprodut sur le même prncpe l'atmosphère de Mars en récupérant et combnant les toutes dernères données satelltares (USGS, FAA, NOAA & MIMA)sot plus de 400 Mo de données de terran, 63 Go de données de ponts d'élévaton ssues de 578 cartes, Dans ce domane, la pussance des ordnateurs personnels est suffsante pour que des programmes de smulaton ntalement destnés au grand publc (X-Plane, Elte Pro ou RTS) aent reçu l approbaton de la fédératon nternatonale aéronautque (FAA) pour l'entranement IFR (vol aux nstruments)!

13 3 plus de 4 mllons de références vsuelles répartes sur 60 zones de scènes et regroupant la majeure parte des routes et autoroutes, voes de chemn de fer, fleuves, rvères et cours d'eau, lgnes à haute tenson, forêts, champs, zones ardes, vlles, etc Dans et aux abords de ces dernères, les véhcules se déplacent en respectant le code de la route pusqu'ls sont dotés d'éclarage (feux de route, feux stop, clgnotants, etc) et qu'l est possble de les vor évoluer sur les routes et autoroutes À noter que les routes ne sont pas de smples éléments de décor, et que le revêtement est prs en compte pour d'éventuel atterrssages d'urgence Austn Meyer vent de décrocher l'agrément FAA (Federal Avaton Admnstraton) dans le catégore vol aux nstruments, mas auss pour le certfcat de vols commercaux et surtout pour le certfcat de transport aéren (passagers) ce qu est unque pour un logcel «grand publc» Il faut ensute, d'une part un pussant programme graphque exécuté sur un calculateur rapde et, d'autre part un envronnement recréant le poste de plotage et ses mouvements pour donner l'lluson de la réalté Les auto-écoles commencent à s'équper elles auss de smulateurs de condute automoble Grâce à la pussance et au fable prx des mcroprocesseurs actuels (Intel Pentum, Dgtal R4000) l est possble de réalser des consoles graphques pussantes à un tarf abordable Un autre domane ntéressant est celu de la smulaton des collsons de votures automobles obtenues en applquant les équatons régssant la déformaton des tôles et de la structure du véhcule compte tenu des lens et nteractons entre les dfférents éléments Le nombre d'équatons et de paramètres est consdérable En fasant suvre ces calculs par une représentaton graphque suffsamment rapde pour affcher en temps réel le résultat des calculs (consoles Slcon Graphcs ou Kubota par ex), on peut assster vrtuellement à l'écrasement d'une voture lancée à 00 km/h contre un mur, suvre la déformaton et le déplacement de tous les éléments du véhcule et en dédure économquement les pèces qu dovent être renforcées Toujours dans le domane de la sécurté routère : le programme européen Humos (Human Model for Safety), qu a été lancé à la fn de 997 est de développer un modèle mathématque nformatsé du corps human permettant de smuler le comportement au choc d'un ndvdu et d'évaluer les rsques de blessures qu'l encourt à partr de smulatons effectuées sur une maquette numérque vrtuelle Cet outl est destné au développement de la protecton des personnes contre les accdents de la route et d'autres moyens de transport (ferrovare, aéren) ou encore contre les accdents du traval ou de losr Grâce à une ade de la Commsson Européenne, les travaux des qunze partenares européens de ce programme et équpementers d'automobles, édteurs de logcels et laboratores de recherche à perms d'aboutr, en 000, à un premer modèle par éléments fns fondé sur la géométre externe et nterne d'un homme de talle moyenne Cette géométre, obtenue à partr de coupes anatomques sérées d'un corps légué à la scence par un condamné à mort amércan mmédatement congelé après njecton létale, a été mallée en quelques dzanes de mllers d'éléments qu reprodusent la structure des pèces osseuses et des prncpaux organes nternes Des proprétés mécanques caractérstques des dvers éléments bologques (os, muscle, lgament ) ont été attrbuées à chacun de ces éléments de façon à pouvor

14 4 calculer, par ntégraton spatale et temporelle le comportement de l'ensemble du corps lorsque celu-c est soums a une charge applquée par un élément extéreur comme une centure de sécurté ou un sac gonflable Ces caractérstques mécanques ans que des los probablstes relant la valeur de certanes grandeurs mécanques - comme l'accélératon ou la force de compresson - à un rsque de léson ont été en parte mesurées expérmentalement sur des pèces anatomques La premère verson de ce modèle, correspondant à la premère phase du programme appelée Humos I, est déjà utlsée par certans constructeurs pour la concepton ces véhcules La seconde phase HUMOS II qu a débuté en septembre 00, a pour but de produre toute une famlle de modèles à partr de ce modèle de base, par le bas de méthodes d'adaptaton du mallage à des formes, des dmensons et des postures dfférentes C'est ans que l'on dsposera, d'c a 005, de modèles pour une pette femme et pour un homme de grande talle, dans deux postures de référence (debout et asss) Grâce aux méthodes d'adaptaton, des modèles de talle ntermédare pourront alors être produts dans des postures adaptées à des confguratons partculères de véhcules À terme, ce type de modèle pourra remplacer les mannequns mécanques d'essas de choc actuellement utlsés pour l homologaton des véhcules dont le comportement ne s est pas révélé satsfasant, pas plus que celu des cadavres parfos utlsés! La Thrust SSC, premère machne roulante à franchr le mur du son (7 km/h) en 997 a fat l'objet d'étude de smulaton numérque qu ont perms cet explot Les effets au sol du passage à une vtesse supersonque étaent nconnus : l'engn pouvat se mettre à vbrer ou décoller comme un avon Il a donc fallu trouver les formes optmales qu garantssent au bolde une parfate adhéson au sol, tout en allant plus vte que le son L'apparel a été réalsé sans aucun essa en soufflere, n maquette à échelle rédute : tout a été conçu par smulaton numérque assstée par ordnateur (Unversté de Swansea, pays de Galles) 3 Depus les premers modèles botanques, des méthodes mathématques et nformatques ont été mses au pont pour modélser et smuler la crossance et l'archtecture des végétaux On peut ans prévor le comportement des plantes ou celu d'un peuplement dans un envronnement donné La conformaton de molécules chmques auss complexes que celles des peptdes peut être obtenue par des programmes de smulaton, par exemple le programme GENMOL La recherche de la conformaton la plus stable est fate en applquant des règles précses de géométre obtenues par l'expérence (résultats de dffracton de rayons X en partculer) et une mnmsaton de l'énerge totale de déformaton sous contrante de la molécule formée Cette énerge est obtenue emprquement en consdérant la molécule comme un système de sphères dures lées par des ressorts L'énerge totale de déformaton s'écrt : E = E S + E B + E + E VdW + E H + E C E S : énerge de lason, E B : énerge de flexon, 3 Projet concu par Rchard Noble, plotée Andy Green, le 5 Octobre 997 à Black Rock Desert, Nevada

15 5 E : énerge de torson, E VdW : énerge de Van der Waals, E H : énerge de lason des atomes hydrogène, (remplace le terme précédent dans certans cas fasant ntervenr un atome d'hydrogène) E C : énerge de Coulomb Ces équatons étant écrtes, on mnmse la foncton E par les méthodes classques de Newton ou du gradent conjugué Ic encore, une console graphque évoluée permet de vsualser dans l'espace les molécules obtenues Dans tous les cas, l est prmordal de connaître le domane de valdté du modèle L'unversté amércane l'iowa a même ms au pont un modèle de comportement électoral qu a perms de prédre les résultats des électons françases avec un pourcentage d'erreur correct sur une pérode de plus de 0 ans : P% = 68,8 - (0,38 x popularté du présdent) - (0,3 x taux de crossance) dans laquelle P% est le pourcentage obtenu par les parts de gauche Lors des électons de ma 997, avec "popularté du présdent" = 30% et "taux de crossance" = 0,, on obtenat P% = 56,9! (55,3% des députés élus étaent de gauche au deuxème tour) Il faut toutefos rester réalste : tout ne peut pas être modélsé Voc par exemple un extrat d'artcle paru dans Scences et Avenr concernant le crash bourser de l'été 998 : " le pège des modèles mathématques en économe " "Comment explquer que des professonnels habtués à jongler avec les modèles mathématques complexes n'aent pas vu la crse arrver? En partculer, Robert Merton et Myron Scholes prx Nobel d'économe en 997 ont ms au pont une formule pour détermner la stratége à suvre pour gagner en Bourse LTCM (Long Term Captal Management), une entreprse de geston des fonds d'nvestssement, s'en est abondamment serv pour réalser des opératons fnancères En tros ans, elle fera un gan de 0 %! En août 998, pourtant, c'est la chute Le 3 septembre, LTCM, au bord de la banqueroute, est sauvé n extrems par un consortum de banques, sous l'égde de la banque centrale amércane Les modèles mathématques n'ont apparemment pas été capables de prédre la chute Il exste pluseurs modèles mathématques du comportement bourser Ils sont utlsés par nombre de gestonnares fnancers et donnent d'assez bons résultats depus pluseurs années Mas comment fonctonnent-ls? Ils ne prédsent pas le cours d'une acton détermnée Une telle prédcton serat absurde, trop de paramètres mprévsbles pouvant ntervenr à tout moment pour modfer le marché Plus modestement, les modèles analysent la " volatlté " du marché, c'est-à-dre les varatons des cours Ces varatons sont ponctuellement mprévsbles, mas obéssent globalement aux fonctons mathématques qu décrvent le chaos À partr de ces modèles, les mathématcens calculent la stratége optmale d'achat et de vente sur certans produts fnancers Mutats mutands, c'est un peu l'hstore de la trajectore de l'homme vre : l fat de manère aléatore un pas toutes les deux secondes dans n'mporte quelle drecton II n'est

16 6 pas possble de prédre quel sera son prochan pas, mas on peut prédre la probablté qu'l sot à tel ou tel endrot au bout d'un certan nombre de secondes II est ensute possble de calculer la melleure stratége pour le rattraper Mas que se passe-t-l s, au leu de fare un pas à drote ou à gauche, l'homme vre s'effondre au sol? Le modèle ne fonctonne plus Toute proporton gardée, c'est un peu ce qu s'est passé cette année : le déséqulbre a faussé les modèles, rendant les stratéges nopérantes (Scences et Avenr, n 6 décembre 998)" En astronome, la smulaton a perms des avancées spectaculares En cosmologe tout partculèrement, la smulaton a changé notre compréhenson de l'unvers parce qu'elle a perms l'expérmentaton vrtuelle, ce qu état mpossble matérellement! Mas les calculateurs nécessares sont les plus pussants dsponbles et une queston se pose : dans quelle mesure reprodure un phénomène sgnfe-t-l qu'on l'a comprs? L'expérmentaton réelle étant mpossble, l'aller-retour nécessare entre l'expérence et la smulaton ne peut être fat Par exemple, une smulaton de la formaton de notre système solare (par Rchard Lboff) montre la formaton d'une dxème planète qu n'a pas (encore?) été observée, à une dstance égale à 5 fos celle de la terre au solel Dans ce cas on peut penser que l'exploraton future de notre système solare pourra confrmer ou nfrmer la prévson de cette smulaton Par contre le résultat, annoncé à la une de Nature du 7 novembre "Neptune, peu après sa formaton aurat mgré lon du solel Ce fasant elle a entraîné avec elle pluseurs dzanes de gros objets à l'orgne de la future centure de Kuper " est un pur produt de la smulaton numérque Est-l juste ou faux? Nul ne pourra jamas le détermner 4 On pourrat multpler les exemples à l'nfn 4 Cel & Espace Fév 004

17 7 III)PRÉSENTATION DU TABLEUR Nous allons utlser le tableur QUATTRO PRO pour effectuer les calculs de régresson et de smulaton A) Introducton Pour présenter avec clarté les résultats d'expérences ou de travaux pratques nous utlsons tous régulèrement la dsposton en tableau ou feulle de calcul Établr un programme permettant la réalsaton automatque d'une feulle de calcul état donc une chose naturelle et VISICALC 5 fût, au début du développement des ordnateurs, l'ancêtre des tableurs Ce que l'on vot sur l'écran n'est qu'une fable parte de la feulle de calcul : c'est une fenêtre que l'on peut déplacer à volonté Chaque case ou cellule est repérée par ses coordonnées : une lettre pour les colonnes et un chffre pour les lgnes La grande dée du tableur est de pouvor ntrodure dans ces cellules des ordres sous forme de formules de calcul mathématque ou logque, formules qu n'apparassent pas normalement à l'écran, lassant ans la place aux données ou aux résultats des calculs Le recalcul automatque (ou non) des résultats se fat à chaque modfcaton d'une donnée quelconque Ans, l'affectaton de ces cases est double : elles contennent sot une donnée ntrodute par l'utlsateur, sot le résultat d'un calcul effectué à l'ade du contenu de certanes cases C'est cette nteractvté mmédate entre données et résultats qu fat la supérorté du tableur dans certans types de calculs et qu offre une alternatve ntutve aux langages classques dont l'écrture s'adresse à des spécalstes Dans un tableur, le résultat affché dans une cellule est éventuellement foncton du contenu d'autres cellules selon la formule qu'elle content Chaque cellule accède ans à un envronnement composé d'autres cellules, vosnes ou lontanes Mas elle ne vot de cet envronnement que les résultats affchés (publcs) alors que la formule est une caractérstque prvée Exemple : calcul de la concentraton d'une soluton contenant un volume V = 00 ml d'eau dans laquelle on a versé un volume V = O, ml d'une soluton d'un sel quelconque de concentraton C sel = 0, mol/l La concentraton C est calculée par la relaton C = Aspect du tableur : contenu publc des cellules V * C V V sel Aspect du tableur : contenu prvé des cellules 5 Créé en 979 par Dan Brckln et Bob Franston, les premères utlsatons se stuaent dans le monde économque

18 8 (La présence du sgne $ dans les formules sera explquée c-après) L'écrture des formules dans un tableur est grandement facltée par des possbltés de recope des formules Dans l'exemple c-dessus, on peut magner que l'expérence est reprse en apportant un volume V' dfférent dans la soluton ntale Il est alors facle de recoper les formules des cellules B3 et C3 dans les cellules B4 et C4 L'adaptaton à leur nouvelle lgne est automatque (A3 et B3 sont remplacés par A4 et B4, par contre la présence du sgne $ fxe les coordonnées des cellules B et D lors de la recope de la formule) L'ntroducton d'une valeur en A4 provoque mmédatement l'affchage des résultats Consdérons mantenant que le volume de soluton est ajouté chaque fos à la soluton précédente (cas par exemple d'un ttrage) Le volume total est alors égal au volume ntal V ntal, plus la somme des volumes ajoutés V V TOTAL = V ntal + V et la quantté totale de sel en soluton est égale à la somme des quanttés ajoutées La concentraton en sel après ajouts de volumes V de sel peut alors s'écrre C = Il n'est pas facle de transcrre cette formule dans le tableur De façon générale l vaut meux utlser une formulaton tératve qu fat appel à des résultats obtenus dans d'autres cellules On peut noter, par exemple, que le volume total V total() est égal au volume total calculé pour l'ajout précédent V Total(-) plus le volume ntal V ntal C sel V * V V et, de même pour la concentraton V total() = V ntal + V Total(-)

19 ( Vtotal ) V C = V ( ntal )* total ( ) On écrt les formules C4 et B4 en applquant les relatons c-dessus Après recope de B4 vers B5B3 et C4 vers C5C3, on obtent les tableaux suvants : contenu prvé : C sel contenu publc : B) Prse en man de quattro pro pour Wndows ) Chargement de QUATTRO PRO pour Wndows Clquer sur l'cône de QUATTRO PRO 9

20 0 a) Les zones de l'écran Une feulle de calcul se dvse en 5 zones : - En haut de l'écran, la barre de menu déroulant propose 9 sous-menus Pour l'actver, appuyer sur la barre oblque Pour fare dérouler un menu, taper la lettre clef en surbrllance ou de couleur dfférente, par exemple F pour le menu Fcher La touche + permet d'obtenr la verson ntégrale du menu déroulant, la touche - la verson abrégée L'utlsaton d'une sours faclte consdérablement l'utlsaton du tableur : l sufft de "clquer" sur le menu ou la commande souhatée - Les boutons de la barre d'cônes permettent de sélectonner rapdement les commandes ou proprétés les plus couramment utlsées - Le menu Fcher comporte toutes les fonctons de geston et d'mpresson de fchers : Le menu Édton content les commandes de base pour la modfcaton et la recherche de données Elles utlsent le Presse-paper de Wndows comme zone de stockage temporare, ce qu permet d'exporter vers d'autres applcatons, comme Word par exemple, des pages de calcul :

21 Le menu Bloc content les commandes permettant le traval drect sur les blocs ou groupes de cellules Le menu Base content les commandes permettant le tr et l'nterrogaton de données : - Au centre de l'écran, la fenêtre de calcul est un ensemble de cellules Chaque cellule est dentfée par une adresse Par exemple A est l'adresse de la cellule en surbrllance au démarrage Les colonnes sont dentfées par une lettre Il y a 56 colonnes dentfées par les lettres de A à Z pus AA à AZ, etc jusqu'à IV, et 89 lgnes dentfées par un numéro (la verson 5 de QUATTRO PRO comporte 56 pages de ce type dentfées par des lettres, l'ensemble étant appelé un classeur qu forme un tableau à 3 dmensons) Une adresse peut être absolue ou relatve : s la référence de colonne et/ou de lgne est précédée par le sgne $, l'adresse est absolue, snon elle est relatve Nous revendrons sur cette dstncton dans le chaptre tratant la recope des cellules Un ensemble de cellules placées dans un rectangle est un bloc Un bloc est dentfé par deux cellules : celle placée en haut et à gauche et celle placée en bas et à drote Par exemple le bloc formé par un carré de 4 cellules en haut à gauche de la feulle de calcul est dentfé par AB (les deux ponts sont oblgatores) On peut donner un nom à un bloc de cellule et utlser ce nom à la place des coordonnées, ce qu smplfe la programmaton des feulles un peu complexes - La lgne de sase placée sous la barre de menu déroulant affche l'adresse et le contenu de la cellule actve et le cas échéant, d'autres nformatons telles que le format d'affchage attrbué ou la polce de caractères sélectonnée et le contenu de la cellule C'est

22 sur cette lgne que l'on ntrodut ou modfe les données Pour modfer un contenu, l faut d'abord passer en mode édton en appuyant sur la touche F ou clquer sur la cellule - La lgne d'état, tout en bas de l'écran donne des ndcatons sur la cellule Elle affche auss le nom du fcher chargé, le numéro de la fenêtre actve (pluseurs feulles peuvent être chargées en mémore smultanément, mas une seule est actve à la fos), la date et l'heure, le mode en cours - S l'ordnateur comporte une sours, on peut utlser le menu sours placé vertcalement à drote de l'écran, ans que les barres de déflement À NOTER : la touche ESC nterrompt toute séquence de commande, dans la mesure ou la touche entrée n'a pas été actvée b) Le contenu d'une cellule Il peut être de deux types : lbellé ou valeur (formule, nombre ou date) Un lbellé est un texte commençant par une lettre ou un sgne de ponctuaton autre que, / $ ( Une présentaton correcte de la feulle de calcul nécesste des ttres et des commentares qu seront ntroduts comme lbellés Pour augmenter la lsblté et la clarté du tableau, de nombreuses optons de formatage et de polces de caractères sont dsponbles Nous en utlserons quelques-unes unes seulement Les valeurs peuvent être de tros types : nombre : ntrodure drectement la valeur en utlsant la vrgule françase et non pas le pont décmal anglo-saxon Un nombre peut commencer par le sgne + ou - date : un préfxe non vsble est ndspensable Mantenr la touche CTRL appuyée tout en appuyant sur D (ou CTRL, SHIFT et D pour Quattro pour Wndows) pus ntrodure la date dans le format JJ/MM/AAAA sans omettre les trats oblques (ou JJ/MM/AA pour l'année en cours) Ce préfxe est ndspensable car les dates sont en fat conservées comme un nombre enter : le nombre de jours+ les séparant du 0/0/900 (C'est la valeur affchée par la lgne d'état, appelée date chronologque) formules : elles peuvent être de type arthmétque ou de type texte Une formule arthmétque est une équaton que le tableur résout et l en affche le résultat Par exemple la formule +A+B placée dans la cellule C permet d'y fare affcher la somme des valeurs contenues dans les cellules A et B, même s ce contenu est déjà le résultat d'une formule Une formule dot oblgatorement commencer par l'un des caractères suvant : , + - * Elles prennent en compte les opérateurs suvants : - + * / ^ = < > <= >= <> Une formule peut comporter une ou pluseurs fonctons qu sont des formules ntégrées à Quattro Pro et dont la syntaxe générale est Par exemple la placée dans la cellule D4 y fat affcher la somme du contenu des cellules D7 à D3 Quattro Pro dspose d'un grand nombre de fonctons mathématques et fnancères qu permettent de réalser les calculs les plus complexes Voc les prncpales fonctons : Fonctons mathématques

23 : Valeur absolue de : Cos et Sn de : Arc Cos et Arc Sn de : exponentelle de : logarthme népéren et logarthme décmal de : racne carrée de X Fonctons : nombre de cellules de lste non : somme des valeurs de : moyenne des valeurs de : mnmum et maxmum de : écart type de la populaton : varance de la populaton lste Fonctons de tratement des : convertt la valeur numérque X en chaîne avec Nombre étant le nombre de : Valeur numérque de la : Nombre de caractère de la chaîne Fonctons : ExprVrae s la condton est vrae, ExprFausse s la condton est fausse, ExprVrae et ExprFausse étant des formules Fonctons fnancères Toutes les fonctons pour les calculs d'amortssement de prêt et d'nvestssement sont dsponbles Fonctons de tratement des : date du : date chronologque Fonctons : contenu publc de la cellule Les formules de type texte ont pour résultat une chaîne de caractère En plus des fonctons de type texte, elles acceptent les opérateurs suvants : & < > <= >= = <> (& est l'opérateur concaténaton) La complaton des formules est mmédate : toute erreur de syntaxe est sgnalée dès l'ntroducton de la formule S l'opton recalcul automatque est actvée (c'est le cas par défaut), le résultat de la formule est mmédatement affché

24 4 c) La recope des formules Elle faclte remarquablement l'écrture des feulles de calcul Précsons tout d'abord les notons d'adresse relatve et absolue Consdérons les deux propostons c-dessous : - prenez la premère rue à gauche, pus la deuxème à drote et arrêtez-vous devant la trosème mason du trottor de gauche, - rendez-vous au 5 de la Canebère, Dans le premer cas l'adresse de destnaton est relatve au pont de départ, alors que la seconde est absolue Par défaut (sauf ndcaton contrare) l'adresse est relatve La recope s'effectue par une successon de commandes du menu édton : Édton/cope/marquage du bloc source/délmtaton du bloc destnaton Consdérons le cas smple de la recope d'une seule cellule source vers la cellule destnaton placée mmédatement en dessous dans la même colonne, par exemple de B vers B : s'l exste, c'est le contenu prvé de la cellule source qu est recopé en prorté et non pas le résultat affché S la cellule source ne content qu'un lbellé ou une valeur, c'est le contenu publc qu est recopé ; l'adresse relatve des cellules auxquelles l est éventuellement fat référence dans la cellule source est adaptée à la poston de la cellule destnaton : les références de lgne et/ou colonne sont décalées du même nombre de lgnes et/ou de colonnes que la cellule destnaton l'est de la cellule source Par exemple, s la cellule source B content la formule A*A qu fat affcher dans B le carré du contenu publc de A, la recope de B vers B va placer dans B la formule A*A S cette adaptaton qu concerne les adresses relatves n'est pas souhatable et que l'on veulle fare référence dans toutes les cellules recopée à une cellule dont l'adresse est fxe (absolue) l sufft de placer le sgne $ avant l'adresse de la lgne et/ou de la colonne de cette cellule Vor l'exemple du calcul de la concentraton en cours de ttrage donné c- dessus : l'adresse des cellules contenant le volume ntal et la concentraton de la soluton njectée ont été rendues absolues dans l'écrture des formules de la lgne 4 de manère à ce que la recope vers les lgnes 5 à 3 ne les modfe pas On peut donc : - coper un bloc qu comporte à la fos une formule et les cellules auxquelles l est fat référence, les nouvelles adresses sont ntégrées à la formule ; - nsérer une lgne ou une colonne en n'mporte quel endrot de la feulle, toutes les adresses seront rectfées ; - nsérer une colonne ou une lgne dans un bloc, l'adresse de ce bloc est automatquement mse à jour ;

25 5 - supprmer une colonne ou une lgne à l'ntéreur d'un bloc (mas pas un con du bloc) Il y a tros possbltés de recalcul : - en tâche de fond, c'est à dre à chaque modfcaton du contenu prvé (par défaut), - automatque (à ntervalle réguler s l'mportance des calculs ralentt trop le bon déroulement du traval), - manuel d) Le déplacement On dstngue le déplacement de la recope C'est une cope avec suppresson de la source et nvarance des références des formules, qu'elles soent relatves ou absolues Par contre, s on déplace une cellule à laquelle une cellule fat référence, cette dernère est automatquement mse à jour S'l s'agt d'un bloc ayant reçu un nom, la rectfcaton est auss automatque : le nom de bloc correspond au nouvel emplacement e) Les MACROS Les MACROS permettent d'automatser des tâches répéttves en enregstrant une sute de frappes et/ou de commandes enregstrées que Quattro Pro exécute automatquement Pluseurs macros peuvent être créées et sauvegardées dans une même feulle de calcul f) Dvers De plus le sous-menu OUTIL dspose de fonctons de calcul matrcel qu nous ont fat chosr ce tableur et que nous détallerons au fur et à mesure de leur utlsaton Ce menu content auss des fonctons d'analyse de régresson lnéare De même, nous verrons que le sous-menu GRAPHISME dspose de pussantes optons pour tracer dfférents types de courbes qu'l est possble d'nclure dans la feulle de calcul

26 6 Nous avons lassé de côté toutes les commandes permettant d'amélorer la présentaton du traval : format des nombres, mse en valeur des résultats prncpaux, dsposton générale des ttres, chox des formats et des fontes de caractères, tracé de cadres, sous-menu IMPRESSION, etc car cela n'est pas ndspensable dans le cadre de notre utlsaton du tableur (menus Inspecteur, Fenêtre et Ade) Les possbltés de geston des bases de données seront auss lassées à l'écart C) Exercces d'applcaton ) Calcul de la concentraton Réalsaton de la feulle de calcul donnée en exemple c-dessus

27 7 ) Sute de Fbonacc 6 (modélsaton du comportement d'une populaton) En 0, Leonardo Fbonacc proposa de calculer le nombre de couples de lapns qu sont générés au bout d'un an à partr d'un couple fertle en supposant que tout couple fertle produt un nouveau couple au bout d'un mos et que tout nouveau couple devent fertle au bout d'un mos Il est supposé de plus qu'l n'y a pas de décès au cours de l'année On montre (recherche du modèle mathématque) que ce nombre est F4, s la sute dte de Fbonacc est défne par les termes générateurs F =, F = et F n = F n- + F n- La sute de Fbonacc (modèle de connassance) apparaît, entre autre, dans l'enroulement des pétales de fleurs et des granes de tournesol et des écalles de pommes de pn Le rapport entre deux termes consécutfs tend vers le nombre d'or : (+ 5 )/ auss appelé secton d'or, qu se retrouverat dans un grand nombre de monuments antques (Parthénon) ou modernes (le "modulor" de Le Corbuser) Les tableaux c-dessous présentent le contenu publc et le contenu prvé de la feulle à réalser 6 - FIBONACCI LEONARDO (70 env-env 50) Mathématcen talen, né et mort à Pse Connu auss sous le nom de Léonard de Pse, Leonardo Fbonacc fut éduqué en Afrque du Nord, où son père, marchand de la vlle de Pse (l'un des plus grands centres commercaux d'itale, à l'époque, au même rang que Vense et Gênes), drgeat une sorte de comptor ; c'est ans qu'l eut l'occason d'étuder les travaux algébrques d'al-khuwarzm Par la sute, Fbonacc voyagea dans tout le monde médterranéen, rencontrant de nombreux scentfques et prenant connassance des dfférents systèmes de calcul en usage chez les marchands de l'époque De toutes les méthodes de calcul, l jugea celle des Arabes la plus avancée Auss, de retour à Pse, l puble en 0 un ouvrage "Lber abbac" où, le comparant au système roman, l expose le système de numératon ndoarabe Il est le premer grand mathématcen à l'adopter et à le vulgarser auprès des scentfques Son ouvrage content également la plupart des résultats connus des Arabes en algèbre et en arthmétque (racnes carrées, racnes cubques, équatons du premer et du second degré) En 0, l puble Practca geometrae, qu recense toutes les connassances de l'époque en géométre et en trgonométre (écrts d'euclde et des autres mathématcens grecs, transms par des manuscrts arabes ou traduts par des Italens) ; en partculer, l'ouvrage content la formule de Héron donnant l'are du trangle en foncton des longueurs des tros côtés Mas Fbonacc ne se contenta pas de fare connaître les travaux des Ancens et d'être à l'orgne de la renassance des études mathématques en Occdent, l poursuvt auss ses propres travaux Sa réputaton scentfque état telle que l'empereur Frédérc II s'arrêta à Pse pour le vor et lu poser des " colles " (cette sorte de compétton entre scentfques devat se développer au XVI e et au XVII e sècle) La résoluton de ces problèmes (les plus célèbres étant : trouver un nombre x tel que x + 5 et x - 5 soent tous deux des carrés ; résoudre l'équaton du trosème degré x 3 + x + 0x = 0) ans que la résoluton d'autres problèmes de même nature sont contenues dans Lber quadratorum (5) Notons enfn que Fbonacc est à l'orgne d'une sute récurrente qu porte son nom, sute dont les deux premers termes sont 0 et et dont le terme d'ordre n + est égal à la somme des deux termes d'ordre n et n - pour tout n supéreur ou égal à (c) 996 Encyclopæda Unversals France SA Tous drots de proprété ntellectuelle et ndustrelle réservés

28 8 On fera calculer dans une colonne le rapport entre deux termes consécutfs et on tracera les graphes valeur = f(rang) et rapport = f(rang) Le mathématcen franças E Lucas (84-89) a généralsé les sutes de Fbonacc à des valeurs quelconques des générateurs F et F Quelle est alors la lmte de deux termes successfs? Dans le même fcher, sur les pages suvantes, on fera calculer les termes d'une sute de type Fbonacc mas dont chaque terme est la somme des k termes précédents, k prenant les valeurs 3 et 4, avec selon le cas, les 3 premers termes générateurs égaux à, les 4 premers termes égaux à, et on calculera la lmte de ces sutes F =, F =, F 3 = et F n = F n- + F n- + F n-3 F =, F =, F 3 =, F 4 = et F n = F n- + F n- + F n-3 + F n-4 3) Ttrage d'un acde fort par une base forte (modèle de connassance) Rappels Sot un volume V ntal d'un acde fort de concentraton C A en soluton aqueuse Au bout d'un temps t, on a ajouté à la soluton ntale un volume v(t) de base forte de concentraton C B, en soluton aqueuse Le système d'équatons correspondant est, selon Brønsted AH + H O = A - + H 3 O + B + H 0 = BH + + OH - AH + B + H 0 = A - + BH + + H 3 O + + OH - H O + H O H 3 O + + OH - Blan des ons : H 3 O +, A -, BH +, OH - Conservaton des charges : [A - ] + [OH - ] = [BH + ] + [H3O + ] ()

29 9 Conservaton des masses : [A - ] = : [BH + ] = C V Constante : K e = [OH - ] (), () et (3) => [H 3 O + ] = C A V V ntal ntal Or, par défnton du taux de neutralsaton : x(t) = [H 3 O + ] = CBv(t) C V A C ntal A V V = ntal ntal A ntal C V quantté de base ajoutée quantté ntale d' acde (- x(t)) v(t) + Vntal v(t) B ntal v(t) v(t) - CB v(t) Ke + v(t) [H 0 Ke (4) [H 0 ] On défnt le pont d'équvalence par x(t) = Alors ph = 7 3 Lors du ttrage d'un acde fort, le ph du pont d'équvalence (x(t) = ) est égal à 7 Ce n'est pas le cas lors du ttrage d'un acde fable par une base fable L'équaton (4) permet de calculer la valeur du ph tout au long de la courbe de ttrage : x = correspond à la formaton stchométrque du sel, s x <, l'acde n'est pas encore entèrement neutralsé et la soluton est acde, s x >, l y a un excès de base dans une soluton de sel neutre, la soluton est basque Dans le domane 0 < x <, la résoluton de (4) donne : [H 3 O + ] = C A V V ntal ntal ph = -log([h 3 O + ]) ( x(t)) v(t) CAV V ntal ntal ( x(t) v(t) 3 ] 4K Dans le domane x > la soluton content du sel et de la base Au moment de l'équvalence (x = ) on a : C B v(t) = C A V ntal => la concentraton de la base en excès dans la soluton est : [OH - ] = C B v(t) - CAV V v(t) ntal ntal En effet C A V ntal est égal à la quantté de base ayant serv à neutralser l'acde On en dédut le ph de la soluton e () (3)

30 30 C poh = -log[ B C ph = 4 + log[ v(t) - CAV V v(t) B nta l ntal v(t) - CAV V v(t) ntal ] ntal ] Réalser une feulle de calcul donnant la valeur du ph pour x(t) varant de 0 à par pas de /599ème de manère à évter la valeur x = Consels : scnder les formules complexes de manères à affcher des résultats ntermédares qu permettent, en cas de bogue(s), un contrôle asé des calculs Dans l'exemple c-dessous, la colonne A content l'ndce du pont, la colonne B content le volume ajouté v Ce volume est chos de manère à ce que x(t) vare de 0 à en 599 valeurs S x =, alors C B v(t) = C A V ntal v(t) = v (t) = CA V C B CA V 599 C ntal ntal B et le pas est donc égal à A C A V 599 C C Bv (t) Alors x = x(t) = C V ntal = ntal B 599 d'où etc La colonne C content la valeur du taux de neutralsaton x, la colonne D permet de contrôler le bon fonctonnement du test x < qu orente le calcul du ph vers l'une ou l'autre des relatons c-dessus, la colonne E content la valeur de C A V ntal (- x(t)) s x est Vntal v(t)

31 3 nféreur à, snon ren, la colonne F content la valeur de [H 3 O + ] ou [OH - ] selon le cas et enfn la colonne G content la valeur du ph La feulle comporte 600 lgnes (x = ) Contenu prvé des lgne 7 à 9 : A7 : +A6+ B7 : +A7**$C$3*$A$3/(599*$B$3) C7 : +B7*$B$3/($A$3*$C$3) D7 E7 F7 G7 A8 : +A7+ B8 : +A8**$C$3*$A$3/(599*$B$3) C8 : +B8*$B$3/($A$3*$C$3) D8 E8 F8 G8 A9 : +A8+ B9 : +A9**$C$3*$A$3/(599*$B$3) C9 : +B9*$B$3/($A$3*$C$3) D9 E9 F9 G9 On tracera le graphe du ph en foncton du taux de neutralsaton

32 3 4) Mathématques fnancères Les opératons dtes à long terme (>an) sont réges par quelques los smples qu'l est bon de connaître Cas d'une épargne : le captal déposé ntalement D produt chaque année des ntérêts qu sont ajoutés au captal (ntérêts composés) On montre faclement que la valeur acquse au bout de n années est égale à A(n) = D(+) n où est le taux d'ntérêt (valeur acquse = captal ntal + ntérêts composés) Cas d'un emprunt : nous consdérons le cas d'un emprunt à annutés (versement annuel) constantes a Dans ce cas, les ntérêts à rembourser ne s'applquent qu'au captal restant On montre alors que a = D ( ) -n, l'annuté de l'année k étant partagée entre amortssement (remboursement du captal A(k) et paement des ntérêts sur le captal restant (D(k)) à rembourser par la relaton : a(k) = D(k-)* + A(k) On réalsera une feulle de calcul sur le modèle présenté c-après : A:A: "Captal A:B: 0000 A:C: "Intérêt % A:D: 0 A:E "durée/an A:F: 0 A:A4: 'Valeur acquse par un placement: A:C4: +$B$*( +$D$/OO)^$F$ A:A6: 'Remboursement d'un prêt A:A7: 'Annutés: A:B7: +$B$*($D$/00)/(-(/((+$D$/OO)^($F$)))) A:A8: 'Coût A:B8: +$F$*$B$7 A:A0: 'Ventlaton A:A: 'Mos A:B: 'Intérêt A:C: 'Amortssement A:D: 'Total A:E: 'Captal restant A:A: 0 A:E: +$B$ A:A3: +A+ "") A:A4: +A3+ Etc Recoper jusqu'à la lgne pour prévor une durée d'annuté maxmale de 00 ans

33 33 Captal : F Intérêt % :0 durée/an : 0 Valeur acquse par un placement : F Remboursement d'un prêt Annutés : 6745F Coût F Ventlaton Année Intérêt Amortssement Total Captal restant F 00000F 6745F 6745F F 9375F 6900F 6745F F F 759F 6745F 7 933F 4 793F 8354F 6745F F F 9866F 6745F F F 005F 6745F 5 588F F 57F 6745F F F 73F 6745F 845F 9 845F 34500F 6745F 47950F F 47950F 6745F -000F 5) Modélsaton d une réacton totale Sot à détermner les quanttés de chacun des consttuants au cours d une réacton chmque totale On supposera que la réacton a une durée fne Nous allons utlser la varable (ks ou x) avancement de la réacton, qu permet de détermner les quanttés de produts et de réactfs au cours d une réacton Nous ne nous ntéresserons pas dans ce cas à la cnétque de la réacton a) Rappel Cas d une réacton totale (réactfs = produts) 0 = X X Par défnton, pour un consttuant donné X, l avancement de réacton est égal, à un nstant t, à la quantté ayant réagt à cet nstant du consttuant concerné : q X (t), dvsée par le nombre stœchométrque de ce consttuant X ( a les dmensons d une quantté) : X sot (t) q (t) X avec q X (t) = quantté de X présente au temps t - quantté ntale, pour les réactfs et q X (t) = quantté formée au temps t, pour les produts Sute à sa défnton et compte tenu du prncpe de conservaton de la matère, à un nstant donné t, (t) a la même valeur pour tous les consttuants On en tre : q X (t) =(t) X () C est cette relaton que nous allons utlser pour calculer la quantté de chacun des consttuants de la réacton Dans le cas trval d une réacton totale mettant en présence des réactfs en quantté égales à leur nombre stœchométrque et des quanttés ntales de produts nulles on obtent, à la fn

34 34 de la réacton = pour tous les consttuants (produts et réactfs) Les réactfs ont dsparu donc le rapport (quantté fnale quantté Intale / nombre stœchométrque) est celu de deux nombres négatfs égaux, alors que pour les produts (quantté fnale - quantté ntale / nombre stœchométrque) l s agt de deux nombres postfs eux auss égaux Sot mantenant le cas plus général de quanttés ntales quelconques La réacton va se produre jusqu à la dsparton de l un au mons des réactfs Quel est-t-l : c est celu pour lequel ξ est le plus pett En effet, lorsque ce réactf aura dsparut la réacton devra s arrêter S cette Quantté Intale est nféreure au nombre stœchométrque, ξ est < S cette Quantté Intale est supéreure au nombre stœchométrque, ξ est > Il sufft donc de calculer ξ pour tous les réactfs, de détermner ensute quel est le réactf qu va provoquer l arrêt de la réacton et qu est appelé réactf mnorant, c est à dre celu qu a le plus pett rapport (Quantté Intale / nombre stœchométrque) La valeur de ξ ans obtenue, qu est la même pour tous les consttuants, va permettre de calculer les quanttés fnales de chacun de ces consttuants On va dvser cette valeur par 0 (par exemple) pour obtenr un pas constant qu va permettre de calculer les valeurs ntermédares et de tracer le graphque des quanttés de consttuants Dans une premère colonne on placera les 0 valeurs de (t) entre de 0 à ξ et ensute les quanttés calculées des consttuants en utlsant la relaton () Exemple : On appelle le degré d avancement de réacton : = est une grandeur sans dmenson comprse entre 0 et On contrura la feulle et le graphe n X = f( donnés en exemple c dessus ξ ξ

35 35 A:D4: +D3/D A:G4: +G3/G A:4: 'pas A:J4: +H4/0 A:K4: A:A5: 0 A:C5: 0 A:J5: +$J$3+C5*$J$ A:L5: A:M5: +$M$3+C5*$M$ A:A6: A:C6: +C5+$J$4 A:J6: +$J$3+C6*$J$ A:L6: A:M6: +$M$3+C6*$M$ b) Cas d une cnétque Il sufft alors de fare varer (t) selon la lo de vtesse de la réacton La vtesse d augmentaton de l avancement de réacton est défne par : ξ = dξ dn = dt ν dt c) Cas d un équlbre Connassant la valeur de qu annule cette valeur de dg, l sufft d arrêter le calcul des quanttés pour dξ

36 36 IV)LA RÉGRESSION LINÉAIRE PAR LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS A) Rappels Défntons Soent N observatons d'une valeur expérmentale x : x, = à N N est appelé effectf de la sére statstque, est le rang de l'observaton x Moyenne arthmétque : x _ = N N x Varance : V(x) = N Écart type : (x) = V( x) x _ N (x - x _ ) est caractérstque de la poston de l'ensemble des mesures alors que V(x) est caractérstque de la dsperson des mesures Dans le cas de mesures expérmentales, la varable x est relée à une grandeur y avec qu elle forme un couple (x,y) Expérmentalement on obtent donc N couples : {(x,y )} =,,N B) Ajustement lnéare par la méthode des mondres carrés On fat les hypothèses suvantes : ) l exste une grandeur y qu est une foncton lnéare de la varable mesurée x : y = ax + b ) le non-algnement strct des ponts expérmentaux s'explque par les erreurs de mesure, erreurs supposées aléatores On appelle drote d'ajustement par la méthode des mondres carrés, la drote d'équaton y = ax + b telle que les paramètres a et b satsfont le crtère : F(a,b) = N N [y -(ax + b)] mnmum Ce crtère de mnmsaton de la somme des carrés des écarts entre les valeurs expérmentales et les valeurs calculées par le modèle (crtère quadratque) sera toujours le but recherché, quel que sot le type de modèle chos et y _ On montre (la démonstraton ne sera pas développée c) que cette drote passe par x _ On a donc b = y _ - a x _ La pente de la drote de régresson qu passe par ce pont moyen et qu mnmse la somme des carrés des écarts est :

37 37 N (x x)(y y) a = N _ (x x) La drote de régresson de y en foncton de x par la méthode des mondres carrés a donc pour équaton : y = N (x N (x _ x)(y _ x) y) On pose r = _ x + y x - a x xy xy x y y r est d'autant plus proche de que la régresson est melleure La régresson lnéare est programmée drectement dans Quattro Pro dans l'opton "Outls" : _ Le bloc des varables ndépendante est celu qu content les «x», les varables dépendantes forment le bloc des «y» Attenton : - les blocs «x» et «y» dovent être des colonnes, - cocher, s nécessare, la case du calcul de y à l'orgne

38 V) RÉGRESSION POLYNOMIALE On peut généralser la méthode précédente On suppose qu'une foncton polynomale de degré m en x décrt la foncton y : y = a 0 + a x + a x + + a m x m Le système d'équatons lnéares suvant permet alors de calculer les coeffcents a tels que : F(a ) = N N [y -(a 0 + a x + a x + + a m x m )] sot mnmum (crtère quadratque de mnmsaton de la somme des carrés des écarts) On montre que les coeffcents a dovent satsfare le système d'équatons y = a 0 N + a x + a x + +a m x m x y = a 0 x + a x + a x 3 + +a m x m x m y = a 0 x m + a x m + a x m + +a m x m En posant m 0 a a a a = A, m y x y x y x y = B, et m m m m m 4 3 m 3 m x x x x x x x x x x x x x x x N = X la résoluton du système matrcel XA = B permet de calculer A = X - B Le calcul matrcel (multplcaton et nverson) est accessble drectement dans Quattro pro Il sufft donc de préparer les matrces pour réalser une régresson polynomale 38

39 39 VI)OPTIMISATION PAR UTILISATION DES OUTILS MATHÉMATIQUES DE QUATTRO A) Régresson lnéare La foncton régresson lnéare du menu Outls de Quattro Pro permet de calculer drectement les paramètres de la drote de régresson lnéare d'un ensemble de données On chost d'abord l'ensemble des "x" à l'ade de l'opton "varables ndépendantes" pus celu des "y" à l'ade de l'opton "varables dépendantes" Enfn on chost le bloc des résultats, bloc de 9 lgnes et 4 colonnes On vellera à actver (ou désactver) s nécessare l'opton Y de l'orgne/passage par zéro On lance le calcul par Lancement! B) Régresson polynomale La régresson polynomale n'est pas drectement programmée, par contre l'nverson des matrces et le produt matrcel le sont Il faudra donc construre les matrces ndquées au chaptre précédent et effectuer les calculs matrcels pour obtenr les coeffcents polynomaux C) Optmsaton La foncton Optmsaton du menu Outls mathématques est utlsée pour détermner les paramètres a d'une foncton quelconque Ses sous-menus comportent un grand nombre d'optons permettant d'affner au meux les résultats Toutefos, l faut l'utlser avec précauton et une certane expérence est nécessare En partculer, le programme d'optmsaton donnera de bons résultats s les valeurs ntales des paramètres sont suffsamment proches de leur valeur ajustée Prncpe des opératons à effectuer

40 40 On souhate toujours mnmser la somme des carrés des écarts entre les valeurs expérmentales et les valeurs obtenues par le modèle (crtère quadratque) On va donc placer dans des cellules la valeur ntale du ou des paramètres du modèle (cellule varable) Dans la colonne vosne de celle contenant les valeurs expérmentales, on place le résultat du calcul de la foncton représentant le modèle Dans la colonne suvante on affche le carré de l'écart entre valeur expérmentale et calculée Enfn dans une nouvelle cellule on fat calculer la somme des éléments de cette dernère colonne (cellule soluton) Par commodté on chosra une cellule proche de celle contenant les valeurs ntales des paramètres On dspose alors de tous les éléments nécessares au lancement de l'optmsaton Consel : on utlsera un graphque représentant les valeurs expérmentales et calculées pour essayer manuellement dverses valeurs des paramètres et vsualser l'effet obtenu sur le tracé de la courbe calculée Dans un premer temps, l est préférable de lancer l'optmsaton des paramètres l'un après l'autre, plutôt que tous à la fos Deux sous menus dovent être examnés sogneusement : le menu optons et le menu contrantes Le menu optons comporte pluseurs paramètres qu dovent être adaptés à la recherche en cours En partculer, ndquer s le problème est lnéare ou non-lnéare (ce qu sera évdemment notre cas), s l'approche dot être tangentelle ou quadratque (ce deuxème type est melleur dans les cas non-lnéares) et s la méthode de recherche dot fare appel à la méthode de Newton ou au gradent conjugué (la premère est plus rapde et donne généralement de bons résultats) Le menu contrantes peut spécfer un domane possble pour les varables (par exemple a >0)

41 4 VII)APPLICATION À DIFFÉRENTES MESURES PHYSIQUES ET CHIMIQUES A) Cnétque chmque ) Rappels - Cnétque du er ordre : v = - d [ A ] = k[a] dt Le graphe ln [ A ] = f(t) est une drote de pente -k : [ A] 0 ln [ A ] [ ] A 0 = -kt et [A] = [A] 0 t e k - Cnétque du ème ordre : v = - d [ A ] dt Le graphe [ A] - [ A ] 0 [A] = [ A ] = kt [ A] 0 kt[ A] Équaton d'arrhénus ln k = ln A - E a RT ) Exemples = f(t) est une drote : 0 = k[a] E a ou k = A e RT a) Détermner l'ordre et la vtesse de la réacton (fcher CINE) CH 3 N CH 3 (g) CH 3 CH 3 (g) + N (g) on a mesuré la varaton de la presson partelle p de CH 3 N CH 3 en foncton du temps : On modélsera une réacton du er et du ème ordre, pus on calculera la vtesse de réacton (k = 3,6 0-4 s - ) Pour cela tracer ln( P P 0 ) et P en foncton du temps

42 4 b) Détermnaton des paramètres de l'équaton d'arrhénus (fcher CINE) On a mesuré les vtesses de la réacton (du ème ordre) de décomposton de l'acétaldéhyde entre 700 et 000 K : On tracera ln k = f( T ) (On trouve : pente = et b = 7,7) On en dédut E a = 88 kj/mol et A = e 7,7 = 0,7 0 M - s - c) Étude de la dmérsaton du butadène (fcher CINE3) Le butadène C 4 H 6 se dmérse en phase gazeuse selon la réacton suvante : C 4 H 6 = C 8 H À 36 C, dans un réacteur à volume constant contenant ntalement du butadène pur, la presson totale a été mesurée en foncton du temps : Exprmer la presson partelle du butadène en foncton de la presson totale et de la presson ntale Détermner l'ordre de la réacton par rapport au butadène, ans que le coeffcent de vtesse de la réacton à 36 C P H On montrera que C (t) = p(t)-p(0) 4 6 B) Résstance thermométrque 00 La résstance électrque d'un conducteur métallque vare avec la température à laquelle l est porté Les varatons sont de deux ordres : - la dlataton ou contracton thermque provoque une modfcaton de sa longueur et de sa secton, - sa résstvté change sous l'effet de la température La modélsaton par connassance de l'ensemble de ces phénomènes est dffcle, on chosra donc un modèle de représentaton (fcher RESPTAL) Entre 0 C et 630,5 C cette relaton est de la forme : R T = R 0 ( + AT + BT ) On obtent A = 3, et B = -5,8 0-7 pour un platne contenant mons de / d'mpuretés Entre 0 et -90 C, cette relaton est : R T = R 0 ( + AT + BT + C (T - 00) T 3 )

43 43 On obtent alors A = 3, , B = -5,8 0-7 et C = -4,3 0 - (Poser R T = a + bt + ct + dt 3 + e T 4 pour obtenr un polynome et dentfer A, B, C et E ) C) Capacté calorfque de l'alumne en foncton de la température La capacté calorfque d'un matérau de référence comme le saphr synthétque (Al O 3 ) a été détermnée entre 73,5 K et 73,5 K avec une précson comprse entre 0, et 0,3% par le Natonal Bureau of Standards On comparera les valeurs obtenues par une modélsaton lnéare pus polynomale aux 3 ème, et 4 ème degré qu présente une sngularté (modèle de représentaton, fcher CPAL) D) Enthalpe molare ntégrale en foncton de la fracton molare Par défnton des grandeurs de mélange, l'enthalpe molare partelle H E est égale a : H E = H - H * H * d'excès étant l'enthalpe du consttuant pur et H celle du mélange, l s'ensut que l'enthalpe molare ntégrale d'excès est égale à : mx H m = H m E = x H E + x H E = H m pusque, dans le cas de l'enthalpe la grandeur déale est nulle On utlse généralement une relaton du type de REDLISH-KISTER pour représenter la chaleur molare ntégrale à presson constante : H m = x x (a 0 + a (x - x ) + a (x - x ) + a 3 (x - x ) 3 ) () Avec x = - x En dvsant les deux membres par x x et en développant, on peut écrre le second facteur sous la forme d'un polynôme en x H m = a + b x + c x 3 x x + d x () En dentfant les coeffcents, on obtent : a = a 0 + a + a + a 3, b = - (a + 4a + 6a 3 ), c = 4a + a 3, d = - 8a 3 On en dédut : a 0 = a + b + c 4 + d 8, a = - b - c - 3 d, a = c d, a3 = - d 8 8, ) Exemple On a mesuré à 5 C la chaleur molare ntégrale d'excès du système benzène - cyclohexane pour dfférentes valeurs de la concentraton Calculer les coeffcents du polynôme () En dédure les coeffcents de la représentaton de Redlsh-Kster (fcher REDKISALWB)

44 44 ) Exemple Même queston pour le système or - tellure (fcher ORTEALWB), avec une représentaton à 4 coeffcents et une représentaton à 6 coeffcents Pour chacun des modèles, on dédura de l'équaton de Redlsh-Kster l'équaton analytque des enthalpes partelles de chaque consttuant n n H = H + (-x m ) H m x H n H = H m - x et H m x H n par les relatons et on tracera les graphes correspondants Comparer les graphes des enthalpes partelles obtenus dans le cas de chaque modèle et crtquer (le modèle à 6 coeffcents, le calcul des enthalpes partelles en résultant et les commentares sur l'allure de ces courbes a fat l'objet d'une publcaton dans un journal scentfque!) 3) Exemple 3 Le fcher PYRHEXALWB content les valeurs expérmentales de l'enthalpe molare ntégrale (J/mol) du système pyrdne-hexane en foncton de la fracton molare x de pyrdne On détermnera les valeurs des tros coeffcents de l'équaton polynomale chose comme modèle de représentaton : H m = x x (A 0 + A x + A x ) E) Détermnaton de la foncton d'apparel d'un mcrocalormètre TIAN- CALVET Les mcrocalormètres à conducton de type TIAN-CALVET sont des apparels de mesure exceptonnels à pluseurs ttres : par leur sensblté et la fable quantté de substance qu'ls mettent en jeu, par leur grande stablté dans le temps et auss malheureusement par la déformaton très mportante du sgnal qu leur est soums, c'est-àdre la thermogenèse du phénomène étudé De ce fat, ces apparels ne peuvent pas donner drectement l'allure de cette thermogenèse Ils sont donc généralement utlsés pour des mesures de blan thermque Cependant, cette déformaton du sgnal est causée par une foncton d'apparel qu peut être approchée par une foncton très smple En effet, l a été montré que ce sont des apparels dont la foncton de transfert est lnéare Alors, dans ce cas, l exste une dstrbuton h(t) telle que, s e(t) et s(t) sont les sgnaux d'entrée et de sorte de l'apparel, on a : s(t) = h(t)* e(t) h(t) étant la foncton d'apparel et * le produt de convoluton Or, la dstrbuton de Drac (t) est l'élément unté du produt de convoluton, donc s e(t) = (t) on obtent : s (t) = h(t) S (p) = H(p) De cette manère, l est théorquement possble d'obtenr la foncton d'apparel En général on préfère utlser un échelon de Heavsde u(t) pour cette détermnaton, échelon qu s'obtent faclement grâce à un échauffement par effet Joule de la cellule expérmentale

45 45 On montre alors que : d h(t) = s u (t) dt Lavlle propose d'utlser comme solutons de cette équaton dfférentelle la foncton s u (t) : n s u (t) = C( e ) t avec = : constante de temps On obtent alors : H(p) = n C p Cette relaton se smplfe consdérablement du fat que les dérvées premères successves du sgnal s(t) sont nulles, et l vent : n H(p) = p S n =, ce qu convent à la majorté des calormètres, on montre que C = et C = donc s u (t) = ( - t e ) + ( - e t ) Remarquable par sa smplcté, ce résultat permet de mettre en œuvre dfférents dspostfs très effcaces de déconvoluton du sgnal En effet, ben que s u (t) ne sot pas à proprement parler un modèle de connassance, les paramètres ont une sgnfcaton physque parfatement utlsable La foncton Optmsaton du menu Outls mathématques sera utlsée pour détermner les paramètres Comme nous l'avons déjà sgnalé, le programme d'optmsaton donnera de bons résultats s les valeurs ntales des paramètres sont suffsamment proches de leur valeur exacte On utlsera un graphque représentant les valeurs expérmentales et calculées pour essayer dverses valeurs des paramètres et vsualser l'effet obtenu sur le tracé de la courbe calculée On lancera ensute l'optmsaton des paramètres l'un après l'autre On calculera les constantes de temps d'un apparel calormétrque dont on connaît la réponse untare (Fcher TRANSALWB) F) Équatons d'état des gaz Dverses méthodes ont été proposées pour étendre aux gaz réels l'équaton d'état des gaz parfats pv m = nrt

46 46 ) Équaton du vrel La premère méthode consste à développer l'équaton des gaz parfats en foncton de p ou de V : pv m = RT( + B'p + C'p + ) ou pv m = RT( + B V m + C + ) V m avec V m = V n, volume molare Il s'agt alors d'un modèle de représentaton On détermnera par régresson lnéare le deuxème coeffcent du vrel B de CO à l'ade d'un tableau de mesures de p pour dverses valeurs de V m à 73 K (Fcher VIRIELALWB) On se lmtera à un développement du er degré : pv m = RT( + B V m ) Tracer pv m = f( V m ) (Régresson lnéare) On obtent B = -O,499 Lmol - ) Équaton de Van der Waals Il s'agt alors d'un modèle de connassance qu tent compte, d'une part de la dmenson non nulle des molécules, assmlées à des sphères dures, et d'autre part de la force d'attracton entre les molécules Ces deux termes correctfs sont nclus dans l'équaton des gaz parfats et donnent : p = RT V b m - a( V m ) On détermnera par optmsaton les coeffcents a et b de CO à l'ade d'un tableau de mesures de P pour dverses valeurs de V m à 98 K (fcher WAALSALWB) C est un modèle non lnéare On trouve a = 3,59 atm L mol - et b = 0,0467 L mol - G) Exemples dvers ) Cnétque Sot la réacton N O 5 = N O 4 + O À volume constant et à 45 C, le tableau c-dessous donne la varaton de la presson partelle de N O 5 en foncton du temps :

47 47 a) Quel est l'ordre de cette réacton? b) Quelle est sa constante de vtesse On tracera ln(p) en foncton du temps (rappel : er ordre : ln P(t) = ln P(0) - kt) k = 0,03 mn - (fcher NO5ALWB) ) Presson atmosphérque La varaton de la presson atmosphérque en foncton de l'alttude est donnée par une relaton du type : P = P 0 e ah dans laquelle P 0 est la presson au nveau de la mer (P 0 = 035 Pascals) et H l'alttude À l'ade du fcher PRESSIALWB contenant des valeurs expérmentales de la presson en foncton de l'alttude, détermner le paramètre a Le tableau est consttué de H/m (colonne A) et P/Pascal (colonne B) Remarque : l est possble dans ce cas de se ramener à une équaton lnéare! 3) Volume d excès Le fcher VOLUPARTWB content les valeurs du volume d'excès à 5 C du mélange en foncton de la fracton molare x de C 4 H 6 O Une équaton de Redlsh-Kster du type : 4 - v ex = x x a ( x x ) C 4 H 6 O + C 8 H 8 O 5 permet une bonne représentaton des données expérmentales Calculer les coeffcents a ( varant de à 4) 4) Prx de l occason Le prx d une voture d occason est foncton de pluseurs facteurs Pour des véhcules en bon état, possédant le même klométrage et ayant le même age, la décote devrat suvre une décrossance exponentelle : prxoccason = 00xe prx -axtemps ntal En fat, le rythme n est pas le même pour toutes les marques et vare auss selon les modèles! De ce fat la courbe de décote peu s élogner fortement, surtout les premères années, de la courbe exponentelle Le fcher OCCASALWBI comporte, en foncton du temps, le pourcentage de décote d une 06 Peugeot (A), d une Mégane Renault 3 volumes

48 48 (B) et d une Daewoo Nexa (C) Quel est le modèle dont la décote sut au meux la lo exponentelle? 5) L'équaton d'antone a) Ébullton de l eau B L équaton T = A ln( p) donne une bonne représentaton de la température d'ébullton d'une substance en foncton de la presson À l'ade du fcher EBULLALWB contenant des valeurs expérmentales de la température d'ébullton de l'eau en foncton de la presson, calculer une approxmaton des coeffcents A et B Le tableau est consttué de P/atm (colonne A) et t/ C (colonne B) Remarque : l est possble dans ce cas, de se ramener à une équaton lnéare! b) Ébullton de NbCl5 Le fcher SUBLIMALWB a été obtenu en étudant la presson de vapeur au dessus du pentachlorure de nobum (NbCl 5 ) Il donne, en foncton de la température en C, la presson de vapeur saturante en mm de Hg L'équaton de Clapeyron décrt le comportement de la vapeur saturante en foncton de la température et de l enthalpe de sublmaton : ln p H = T sub lmaton Calculer l enthalpe de sublmaton et la température d'ébullton sous la presson atmosphérque du pentachlorure de nobum On donne : atm = 760 mm Hg R = 8,3 J K - mol - 6) Évoluton d une épdéme L'évoluton ntale d'une épdéme est ben représentée par la relaton : R k C = (a b(xa0 )) e dans laquelle : C est le nombre de cas déclarés au cours de l'année x, a 0 est l'année d'apparton de l'épdéme, k, a, b sont des paramètres à détermner Le fcher AIDSALWB content le nombre de nouveaux cas de sda déclarés aux USA chaque année de 98 (date offcelle de début de l'épdéme : 980) à 995 Quel sera le nombre de cas déclarés au cours de 996? Quel a été le nombre total de malade chaque année depus 980?

49 49 7) Lo du refrodssement Le fcher REFROID content les valeurs de la température T(t)/ C en foncton du temps(/s), d'un lngot métallque chauffé à la température T ntale et placé dans une encente sotherme à la température T extéreur Sachant que la lo du refrodssement est de la forme : T(t) = T extéreur + (T ntale - T extéreur ) e -Kt où K est une constante et t le temps, détermner K et T extéreur Remarque : T(0) = T ntale et T( ) = T extéreur On peut lnéarser le problème à condton de fxer T extéreur 8) La sgmoïde La sgmoïde (équaton de Boltzmann ou lo en S) est un excellent modèle de représentaton des graphes de ttrage, des nteractons lgand-substrat, des cnétques des enzymes allostérques en présence d'nhbteurs ou d'actvateurs : y = A e A (xx 0 ) dx x0 : centre, dx : largeur, A : valeur de y pour x- et A : valeur de y pour x a) Cnétque enzymatque Le fcher SIGALWB présente, en foncton des valeurs de la concentraton (mm) de vnyl butyrate, le taux d hydrolyse par la lpase pancréatque humane (l actvté est exprmée en pourcentage de l actvté maxmale) Détermner la valeur optmale de A, A, dx et x 0 b) Phonétque Le fcher LANGALWB est ssu des recherches sur la reconnassance vocale par ordnateur Ces études ont condut à modélser la producton des phonèmes (sons de base nécessares à la reproducton de toutes les langues) par les êtres humans Pour étuder les voyelles phonologques [] et [a] (phonèmes très proches du franças et a), des capteurs de poston et de déplacement ont été placées sur la langue et sur les ncsves supéreures (pour avor une référence) et l a été enregstré, en foncton du temps, le mouvement de la langue lors de l'élocuton de []-[a], ce qu provoque un fort déplacement de celle-c Une sgmoïde représente ben ce mouvement : +A S S U(t) = S + b(tt 0 ) e Le fcher LANGALWB présente, en foncton du temps, la dstance languencsve en untés arbtrares (l'artcle dont sont ssues les valeurs ne précse pas les untés!) Calculer la «melleure» valeur de S, S, b et t 0 9) Lo logstque La lo logstque est un modèle de l évoluton d une populaton :

50 50 A A y = x ( ) x x0 : centre, P : pussance, A : valeur de y pour x- et A : valeur de y pour x Le fcher LOGISALWB présente, en foncton des valeurs de la date (jour), l évoluton de la populaton de mouches drosophles vvantes dans un mleu clos, dsposant d une nourrture suffsante (en nombre de mouches) Quelle est la valeur optmale de A, A, P et x 0? 0)Modélsaton du trafc router Consdérons le cas smple d une voe unque sur laquelle les véhcules roulent tous à la même vtesse v en respectant exactement la dstance de sécurté Cette dstance, dans le cas d une voture en parfat état équpée d ABS, est, d une part proportonnelle au carré de la vtesse 7, mas d autre part, l faut tenr compte du temps de réacton du conducteur (supposé lu auss en parfate condton physque, l acool augmentant consdérablement ce temps de réacton!) pendant lequel le véhcule avance à la vtesse v, sot : = kv + t réact v Le fcher TRAFFWB content les valeurs expérmentales de en foncton de v Détermner tout d abord k et t réact On défnt les grandeurs suvantes : concentraton de véhcules : nombre de véhcules au klomètre (K en vh/km), s la condton c dessus est respectée alors K = ou L est la longueur moyenne d un L δ véhcule On chosra L = 4 m débt : nombre de véhcules de passage par heure (D en vh/h), taux doccupaton : rapport entre la longueur cumulée des véhcules qu l content et la longueur du segment de route consdéré : LK En applquant au traffc les los de la mécanque des fludes, en partculer la conservaton de la masse, on peut écrre : v L D = Kv = et = L δ L δ Quelle est la vtesse pour laquelle le débt est maxmum dans le cas consdéré c-dessus? 7 Le coeffcent d adhérence f des pneus est foncton de l état du sol Par exemple: f = 0,8 à 0,95 (sol sec), f = 0,4 à 0,6 (sol moullé) et f = 0, à 0,3 (sol verglacé) S le frenage des roues va jusqu à leur blocage, ce n est plus le coeffcent d adhérence qu est en jeu, mas le coeffcent de glssement des pneus sur le sol, qu est toujours nféreur au premer Auss, pour obtenr un frenage effcace, faut-l chercher à évter le blocage des roues, tout en restant à la lmte d adhérence (ABS) La dstance d arrêt la plus rédute qu l sot possble d obtenr pour un véhcule donné est celle qu correspond à l effort retardateur maxmal juste avant le blocage smultané des quatre roues Pour un coeffcent d adhérence f donné, cet effort maxmal est égal au produt du pods du véhcule par f ; la décélératon correspondante est d = fg (g: accélératon de la pesanteur), et la dstance d arrêt à partr de l actonnement effectf des frens vaut v /(fg) Par exemple, pour une vtesse v de 30 m/s (08 km/h) et un coeffcent f de 0,5, la dstance d arrêt mnmale possble est 30 /(x0,5x9,8), sot 9,7 m, la décélératon valant alors 4,9 m/s 0 P +A

51 5 H) Résoluton d'un système d'équatons dfférentelles Balstque Problème : calcul de la trajectore d'un boulet de forme sphérque, de masse m et de secton S, lancé dans une atmosphère à température et presson constantes, avec une vtesse ntale v 0 fasant un angle de tr avec l'horzontale On consdérera que la résstance aérodynamque est seulement proportonnelle au carré de la vtesse du projectle (facteur de proportonnalté ou coeffcent de pénétraton dans l'ar égal à K que multple la secton S du projectle) Même dans ce cas très smplfé (on consdère que la presson ne vare pas avec l'alttude), on obtent un système d'équatons dfférentelles En applquant le prncpe fondamental de la dynamque : F = m, sot p r = m - KS v( t) u v g : accélératon de la pesanteur, g : accélératon du boulet = dv dt vecteur untare de la vtesse = m dx dy avec v( t) = v x v y = ( ) ( ) et u dt dt v En tenant compte du frottement de l'ar, on obtent, en projecton sur les axes, le système : sur O x m dv dtx = ( -S K v( t) v x ) sur O y m dv dty = ( -m g - S K v( t) v y ) avec v x = v( t) cos( ) et v y = v( t) sn( ) (les sgnes sont négatfs car la pesanteur est drgée vers le bas et la résstance aérodynamque est opposée au mouvement) En remplaçant les éléments dfférentels par des dfférences fnes suffsamment pettes on peut écrre : dv x = v x (t ) -v x (t ), dv y = v y (t ) -v y (t ) et dt = t -t sot t = t + dt On chost arbtrarement un ntervalle dt pett (l sera facle de changer la valeur pour contrôler), pour fare un calcul approché des vtesses à chaque nstant m(v x (t ) - v x (t )) = ( -S K v( t ) v x (t ))(t -t ) m(v y (t ) - v y (t )) = ( -m g - S K v( t ) v y (t ))(t -t ) v x (t ) = ( - SK m v( t ) v x(t ))dt + v x (t ) v( t)

52 5 v y (t ) = ( -g - SK m v( t ) v y(t ))dt + v y (t ) À l'nstant ntal v(0) = v 0 On calcule v( t) successvement à chaque nstant, on en dédut x et y par les relatons d'ntégraton : x = v x dt + x et y = v y dt + y On pourra par exemple réalser la feulle de calcul c-après (qu permet de tracer le graphe c-dessous) en prolongeant le calcul jusqu'à ce que y sot négatf :

53 53 I) Calcul d'une ntégrale défne Estmaton d'une ntégrale ndéfne Nous prendrons comme exemple une lo statstque : la lo Normale, ou de Laplace- Gauss dont la prmtve n'est pas évdente Sot à calculer l'ntégrale de Laplace-Gauss (lo centrée) : f(x) =- x e dx et celle de la lo Normale : 0 ( x m) f(x) =- e dx 0 f(x) x f(x) x étant la varance de la varable et m sa moyenne L'ntégrale est smplement approchée en calculant la somme des surfaces des rectangles de largeur égale au pas chos pour x et de hauteur égale à la valeur de la foncton On pourrat sans dffculté utlser des méthodes plus précses comme la méthode des trapèzes ( N y + ( y + y N )/)* Pas x) ou la méthode de Smpson

54 54 S le pas chos est suffsamment pett (valeur placée en A6) et le nombre de lgnes suffsamment grand (5000 par exemple), la valeur de l'ntégrale numérque ans calculée est proche de la valeur exacte et peut donner une bonne approxmaton de la lmte de l'ntégrale On construra donc la feulle de calcul ndquée c-dessus pour la lo normale centrée et on fera tracer les graphes de la lo Gauss et de son ntégrale Comparer la valeur calculée à la valeur théorque On procédera de même pour la lo non centrée J) Fonctonnement acoustque d'un haut-parleur ) Introducton Un haut-parleur électrodynamque est conçu pour transformer l'énerge électrque en énerge sonore en mprmant au cône (ou pavllon) des déplacements qu se communquent à l'ar ambant Les deux faces du cône (dont le damètre est fable devant la longueur d'onde des ondes basses fréquences) vbrant en opposton de phase, les ondes sonores de basse fréquence s'annulent mutuellement Les encentes acoustques sont donc destnées d'une part, à séparer ces deux ondes et, d'autre part à renfoncer, par résonance, les fréquences nféreures à quelques centanes de Hertz C'est seulement dans ce domane que le fonctonnement du haut parleur peut être modélsé assez correctement Les deux équatons fondamentales qu régssent un tel système sont : F = Z m v - A e = Z e + Av

55 55 où F désgne la force mécanque qu s exerce sur la parte moble, v la vtesse de cette parte moble, e la force électromotrce aux bornes du conducteur, le courant dans ce conducteur, Z m l mpédance mécanque de la parte moble, Z e l mpédance électrque du conducteur et A le coeffcent de couplage électromécanque, dont l expresson physque exacte dépend de la technologe utlsée : pour un conducteur de longueur totale l moble dans une nducton fxe B, A = Bl Dans le domane des basses fréquences (<300Hz), le haut parleur dans un baffle plan se comporte comme un fltre passe-bas et son nveau acoustque (en décbel acoustque) est assmlable à la réponse d'un fltre de Butterworth du second ordre : G = 0 log(4775 E U eff ) + 0 log 4 E (effcacté ntrnsèque) étant une caractérstque électromagnétque du haut parleur que nous chosrons systématquement égale à pour smplfer les calculs et U eff étant la tenson effcace applquée aux bornes que nous chosrons égale à 0 V La pulsaton ou fréquence rédute est relée à la fréquence de résonance f 0 par les relatons : 0 = f 0 et = f, (pulsaton) on pose = 0 = f f 0 (pulsaton rédute) Donc f = f 0 f ( ) f0 G = 0 log(4775 E U eff ) + 0 log f 4 ( ) f0 Voc le graphe G = f(f) en coordonnées logarthmques pour un HP dont la fréquence de résonance est 37 Hz :

56 56 ) Modélsaton d'une encente actf-passf Lorsqu'on met un haut-parleur de qualté dans une encente close de volume mportant, on observe une atténuaton de l'extrême grave due à un amortssement trop mportant On reméde à ce défaut en plaçant un haut-parleur passf, c'est-à-dre sans amant n bobne moble, dont la fréquence de résonance est convenablement réglée pour jouer le rôle de résonateur auxlare qu rétablt la réponse dans l'extrême grave Le haut-parleur actf est caractérsé, comme d'habtude, par la masse M de l'équpage moble (masse du pavllon et de la bobne), par la radeur k de la suspenson et donc sa fréquence de résonance f 0, par le terme d'amortssement flude (supposé constant) h, par la surface de la membrane dont on dédut le volume équvalent V as, par le facteur de force Bl et par la résstance R de la bobne moble On pose E = Bl RM Le passf sera caractérsé par la masse M de la membrane, par la radeur k de la suspenson (donc f ), et par la surface de la membrane On l'appelle "auxlary bass radator" ou "ABR" que l'on tradut par "radateur auxlare de basses" ou "RAB", ce qu correspond ben au rôle joué par le passf Après applcaton des los de la dynamque, de l'électronque et de la mécanque des fludes (et pluseurs approxmatons), on obtent une équaton donnant le nveau acoustque de l'encente en foncton de la fréquence f et de pluseurs paramètres, dans le domane des basses fréquences (<000 hertz) : N db = 0 log(4775 E U eff + C( A ) A A A C 4S C( A ) ( C) T ) Les paramètres sur lesquels nous pouvons agr sont le volume V de l'encente et la masse totale M de la membrane du passf auxquels nous donnerons les valeurs ntales 0 ltres et 0,05 kg

57 57 Les paramètres mposés (et/ou mesurés) sont : f 0 = 37Hz, V as = 34 ltres, V as = 5 ltres, k = 000 Nm -, ST =,3, E = et U eff = 0 V Des relatons suvantes : 0 = f 0 et = f, (pulsaton) alors = 0 = 0 = k M C = 0 et = k M ou C = f, f0 f f 0 (pulsaton rédute), ' k = P et ' k = P ou P est la presson atmosphérque et la constante des gaz, V V V as = P k on pose : A = k ' k on dédut : = 000 0, 05 volume équvalent, V as = P k et enfn, A = V as V = V as V, A = k ' k = V as V, 0 = ( 37) et C = 0 et A = V as V et donc A A = V V as as = Quelles sont les valeurs optmales de V (volume de l'encente), M masse de la menbrane du haut-parleur passf qu peut être modfée faclement par collage de surcharges ( Σ, Σ,k,k sont des paramètres mposés) Modélsaton d'encentes acoustques Paramètres à optmser en rouge Paramètres Imposés en bleu V= M= F0= 37 Vas= 34 Vas= 5 E= Ueff= 0 k= 000 St= 3 Paramètres Calculés en nor A= A= C= 0383 F= 88 Actf-Passf Num= 9358E nu nu nu(nu-c) Encente Lnéare écart Butterworth 50 35E+00 86E E E E E E E+0 559E E E+00 0E E E E+00 69E+0 936E E E E E E E+00-05E+00 45E E E E+0 97E E E E+00 44E+0 093E+00 95E+00 34E E E+0 095E E E E E E E E E E E E E E E+0 75E E+0 56E E E+0 75E E E E+0 638E+0 097E E E E E+0 3E E+0

58 E+00 9E+0 845E E E E E E+0 85E E E E+0 067E+03 93E E E E E+0 67E E E E+0 497E E E E E E+0 789E E E+0 69E+0 36E+04 3E E E E E+0 308E E E+0 86E+0 338E E E+09 07E E E+0 407E E E+0 630E E E E E E E+0 759E E E E+0 80E+05 68E E+0 637E E E E E E E+0 84E+05 68E E E E E+0 387E E E+0 597E E E+05 0E+ 4E+ 9358E E+0 5E E E E E E+05 88E+ 844E+ 9358E E+0 00E E+0 373E-03 A:A: 'Modélsaton d'encentes acoustques A:A: 'Paramètres à optmser en rouge A:D: 'Paramètres mposés en bleu A:A3: "V= A:B3: A:A4: "M= A:B4: 0, A:C4 TO= A:D4: 37 A:E4: "Vas= A:F4: 34 A:G4: 'Vas= A:H4: 5 A:A5: "E= A:B5: A:C5: "Ueff= A:D5: 0 A:E5: "k= A:F5: 000 A:G5: "St= A:H5: 3 A:A6: 'Paramètres calculés en nor A:A7: "A= A:B7: +$F$4/$B$3 A:C7: "A= A:D7: +$H$4/$B$3 A:E7: "C= A:F7: +$F$5/(4*@Pl*$D$4*@P*$D$4*$B$4) A:G7: "F= A:H7: +$D$4*@RACINE($F$7) A:A8: 'Actf-Passf A:B9: 'Num= A:C9: 0*@LOG(4775*$B$5*$D$5) A:H9: A:Bl0: 'nu A:ClO: 'nu A:DIO: 'nu(nu-c)

59 59 A:H0: 'Encente A:I0: 'Lnéare A:J0: 'écart A:K0: 'Butterworth A:A: 50 A:B: +A/$D$4 A:C: +B*B A:D: +C*(C-$F$7) A:E: ((C-$F$7*( +$D$7))*(C- -$B$7)-$B$7*$D$7*$F$7) A:F: +E*E A:G: +F+4*$H$5*$H$5*C*(C-$F$7*( +$D$7))*(C-$F$7*( +$D$7)) A:H: A:I: -A)*( -A)+4*$K$9*$K$9*A))+$C$9 A:J: (I-H)*(I-H) A:K: -C)*( -C)+4*$K$9*$K$9*C))+$C$ A:A 5 80 A:B5: +A5/$D$4 A:C5: +B5*B5 A:D5: +C5*(C5-$F$7) A:E5: ((C5-$F$7*( +$D$7))*(C5--$B$7)-$B$7*$D$7*$F$7) A:F5: +E5*E5 A:G5: +F5+4*$H$5*$H$5*C5*(C5-$F$7*(+$D$7))*(C5-$F$7*(+$D$7)) A:H5: +$C$9+0*@LOG(D5/@RACINE(G5)) A:I5: 0*@LOG(A5/@RACINE(( -A5)*( -A5)+4*$K$9*$K$9*A5))+$C$9 A:J5: (I5-H5)*(I5-H5) A:K5: 0*@LOG(C5/@ RACINE(( -C5)*( -C5)+4*$K$9*$K$9*C5))+$C$ A:A7: 000 A:B7: +A7/$D$4 A:C7: +B7*B7 A:D7 +C7*(C7-$F$7) A:E7: ((C7-$F$7*(+$D$7))*(C7--$B$7)-$B$7*$D$7*$F$7) A:F7: +E7*E7 A:G7: +F7+4*$H$5*$H$5*C7*(C7-$F$7*(+$D$7))*(C7-$F$7*(+$D$7)) A:H7: +$C$9+0*@LOG(D7/@RACINE(G7)) A:I7: 0*@LOG(A7/@RACINE((-A7)*(-A7)+4*$K$9*$K$9*A7))+$C$9 A:J7: (7-H7)*(7-H7) A:K7: 0*@LOG(C7/@RACINE((-C7)*(-C7)+4*$K$9*$K$9*C7))+$C$9 A7) 3) Modélsaton d'une encente Bass Reflex Avec un bon haut-parleur et une encente de volume conséquent on obtent un amortssement mportant de l'extrême grave Pour compenser cette perte de rendement on utlse un résonateur auxlare sous la forme sot d'un haut-parleur passf comme précédemment, sot d'un évent Dans le cas de l'évent on dt que l'on a un système

60 60 bass-reflex Ce type de résonateur état connu, ben avant l'nventon du haut-parleur, sous le nom de "résonateur de HELMHOLTZ" L'encente bass-reflex est donc consttuée d'une encente close de volume V, dans la paro de laquelle on a monté un haut-parleur de masse de membrane M, (comprenant la masse de rayonnement), de radeur k, de coeffcent d'amortssement de vtesse h, de surface de membrane, de facteur de force Bl et de résstance ohmque R L'évent est supposé contenr une masse M d'ar (comprenant la masse de rayonnement) qu se déplace en bloc dans l'évent, dont la surface sera désgnée par Dans un premer temps nous néglgerons toute force de frottement flude pour l'évent et nous vérferons plus tard que cette hypothèse est suffsante pour des calculs approchés Le déplacement de la membrane du haut-parleur sera désgné par x drgé vers l'extéreur de l'encente et celu de la masse d'ar dans l'évent par x, avec la même orentaton Dans ce cas, le nveau acoustque est donné par la relaton : 4 ν ( + A+ C) ν + C + 4 S ν C ν N db = 0 log 4775E U eff 4 ν { } ( ) Avec : A = V V as

61 6 VIII)NOTE SUR L'OPTIMISATION ET L'AJUSTEMENT DES PARAMÈTRES Il exste pluseurs méthodes mathématques d'ajustement de paramètres Les méthodes de Newton et du Gradent conjugué sont les plus utlsées Nous résumons c la méthode de Newton Soent p couples de mesures expérmentales (x, y ) des varables x et y entre lesquelles exste une relaton analytque connue : (x,y,,,,, ) = 0 Dans cette relaton,,,,, sont les paramètres, en nombre, dont on veut obtenr la valeur par ajustement À l'ade d'une valeur approchée de ces paramètres ( 0, 0, 0,, 0 ), on peut calculer une valeur également approchée ( x, y ) pour chaque couple (x, y ) Posons V x = x - x et V y = y - y Le but de l'algorthme est de calculer l'ensemble des paramètres,,,, qu rend mnmale la somme S suvante : p S = ( V V ) x x y y x et y sont les pods statstques des mesures des grandeurs x et y Développons en sére de Taylor lmtée au premer terme, la foncton (x,y,,,,, ) afn de la lnéarser autour du pont x, y : ( x, y,,,,, ) = 0 ( x, y, 0, 0, 0,, 0 ) - V x x - V y - - y avec = 0 -, = 0 -,, = S la somme S est mnmale, ds est nul et l'on a : p { ( V dv V dv ) } = 0 () x x x y y y Par alleurs, en dfférentant le développement de Taylor de la foncton F, on obtent p équatons du type () : d V x x + d V y + d( ) + y d( ) + + d( ) = 0 La résoluton du système formé par ces équatons et l'équaton () permet de détermner les varatons,, et à applquer aux paramètres,,,, pour que S sot mnmsée Par sute de l'approxmaton ntrodute par l'assmlaton de la foncton à son développement en sére de Taylor, l est nécessare de rétérer le processus jusqu'à ce que la somme S sot suffsamment proche de son mnmum En fat, on arrête le

62 6 processus lorsque la nouvelle somme S obtenue avec les nouveaux paramètres dffère de mons de % de la somme calculée précédemment La résoluton du système () est dffcle : l s'agt en effet d'un système de p équatons dfférentelles comportant p+ éléments dfférentels : d V x,, d V xp, d V y,, d V yp, d( α ), d( β ),, d( λ ) Sa résoluton fat appel à la méthode des multplcateurs de Lagrange avec et On obtent alors le système de équatons : p F p F F L L p F F p F L L p F F = L p F F = L p p F F 0 L L 0 p F F p F F L L F x =, F x y = F x L = x + F y y, F y = p F = L, F = p F 0 L,, F = Il s'agt mantenant de résoudre un système lnéare de équatons à nconnues,,,, qu sont les varatons à apporter aux paramètres Pour le résoudre, l'utlsaton du calcul matrcel est smplfée du fat de la symétre du système

63 63 IX)REMARQUE Les tableurs comme Quattro Pro bénéfcent généralement d'une précson très élevée des calculs (le nombre de chffres utlsés est généralement supéreur à celu des autres logcels), mas l faut toujours garder son sens crtque, comme le montre l'exemple suvant Calculer par la méthode de Monte Carlo Prncpe : La surface du carré de côté égal à untés et dont le centre de gravté est à l'orgne de coordonnées est égale à x = 4 La surface du cercle de rayon unté nscrt dans le carré précédent est égale à r = Le rapport de ces surfaces (Cercle/Carré) est donc égal à 4 Un pont aléatore appartenant au carré (x<= et y<=) a donc une probablté 4 d'être auss dans le cercle On va donc trer au hasard (d'où le nom de la méthode) des valeurs de coordonnées de ponts appartenant au carré : le rapport du nombre de ponts appartenant au cercle (d<=) et du nombre total de ponts tendra vers 4 Méthode : On chost donc aléatorement à l'ade de la un pont de coordonnées x, y et on calcule sa dstance à l'orgne (d = x y ) S d <=, le pont est dans le cercle Après un grand nombre d'tératons, le rapport entre le nombre de ponts dans le cercle et le nombre de ponts essayés dot tendre vers 4 Applcaton : contenu prvé contenu publc

64 64 Après un très grand nombre d'tératons (5000 au mons), on constate que " " tend vers une valeur oscllant autour de 3,! De plus, cette valeur n'est pas constante : par sute du recalcul automatque dès que l'on clque sur une des cellules contenant la la "lmte" vare Ce résultat provent d'une qu n'est pas réellement aléatore Il est donc toujours bon de crtquer les résultats obtenus pour s'assurer de leur valdté Un calcul dentque réalsé en Turbo Pascal de Borland donne d'excellents résultats!