Une analyse économique et expérimentale de la fraude à l assurance et de l audit

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1 Une analyse économque et expérmentale de la fraude à l assurance et de l audt Sameh Borg To cte ths verson: Sameh Borg. Une analyse économque et expérmentale de la fraude à l assurance et de l audt. Economes and fnances. Unversté Panthéon-Sorbonne - Pars, 26. French. <tel > HL d: tel Submtted on 14 Mar 27 HL s a mult-dscplnary open access archve for the depost and dssemnaton of scentfc research documents, whether they are publshed or not. The documents may come from teachng and research nsttutons n France or abroad, or from publc or prvate research centers. L archve ouverte plurdscplnare HL, est destnée au dépôt et à la dffuson de documents scentfques de nveau recherche, publés ou non, émanant des établssements d ensegnement et de recherche franças ou étrangers, des laboratores publcs ou prvés.

2 UNVERSTE PRS PNTHEON SORBONNE U.F.R. SCENCES ECONOMQUES (25-26) N attrbué par la bblothèque THESE En vue d obtenr le grade de Docteur de l Unversté de Pars Dscplne : Scences Economques Présentée et Soutenue le 5 Octobre 26 par Sa m eh BOR G Une nalyse Economque et Expérmentale de la Fraude à l ssurance et de l udt Drecteur de Thèse Fr a n ço s PNNEQUN JURY M. Danel Serra, Professeur à l Unversté de Montpeller (Rapporteur) M. Franços Pannequn, Maître de conférences à l école Normale Supéreure de Cachan (Drecteur de thèse) M. Lous Lévy-Garboua, Professeur à l Unversté de Pars (Examnateur) Mme. Mare Clare Vlleval, Drectrce de Recherche CNRS GTE, Lyon (Rapporteur) M. Serge Blondel, Professeur à l nsttut Natonal d Hortculture -ngers (Examnateur) M. Therry Chauveau, Professeur à l Unversté de Pars (Présdent)

3 L Unversté de Pars 1 Panthéon-Sorbonne n entend donner aucune approbaton ou mprobaton aux opnons émses dans cette thèse. Ces opnons dovent être consdérées comme propres à leur auteur.

4 ntroducton générale 1 ntroducton Générale La fraude à l assurance : En mérque du Nord, la fraude à l assurance représente la seconde source de profts d'orgne crmnelle, après la vente de drogues llctes. En outre, au Canada, près d une personne sur quatre connaît quelqu'un qu a comms une fraude en matère d'assurance dans les dommages corporels, et 1 à 15 % des prmes d'assurance sont consacrés à ce type de réclamatons. Pour tout établssement luttant contre la fraude, l enjeu est de talle. l se résume à dmnuer effcacement son rsque sans restrendre son marché et son nveau de servce, n pénalser ses bons clents. L'augmentaton de la fraude et la professonnalsaton des fraudeurs exgent de plus en plus de réactvté dans la mse en place de protectons effcaces. L'effcacté d'une soluton de lutte contre la fraude dépend, par conséquent, de la méthodologe proposée pour sa mse en oeuvre. La fraude à l assurance représente un rsque crossant pour les assureurs. la base, l s agt d un problème d asymétre d nformaton entre les partes contractantes, l assureur et l assuré. Cette asymétre d nformaton est à l orgne de l apparton de dfférentes formes de fraude : la fraude à la souscrpton, le non respect des termes du contrat, la créaton volontare d un dommage, la déclaraton d un faux snstre ou encore le gonflement du montant du dommage pour bénéfcer d ndemntés plus généreuse. Selon un récent sondage d'ccenture 1, près du ters des mércans croent que les gens qu commettent des fraudes à l'assurance, le font parce qu'ls estment payer trop cher leur assurance ou pour compenser les franchses élevées (24 %). Presque tous les répondants à cette enquête (95 %) ndquent qu'l est mportant que les socétés d'assurance enquêtent sur les réclamatons potentellement frauduleuses, prncpalement en vue de contrôler la hauteur des prmes. La majorté des répondants (56 %) estment que ce type de fraude se produt parce que les gens croent pouvor s'en trer. «Le secteur de l'assurance contnue d'être de plus en plus vulnérable à la fraude», ndque Mchael Lucarn, assocé dans le domane de l'assurance chez ccenture, qu ajoute «qu'l exste de nouvelles technologes pouvant ader à prévenr et à contrer le problème». Pour lu, les 1 Consel en stratége management et servces d ngénere ayant pour méter le consel, les solutons technologques et l externalsaton, pour constamment évoluer.

5 ntroducton générale 2 grandes socétés d'assurance dovent mettre en œuvre une technologe Web qu ade à réévaluer les réclamatons pour détecter les fraudes et qu alerte les personnes approprées lorsque des seuls sont dépassés ou que certanes partes sont mplquées. Une vaste étude de recherche réalsée en1994, par la Coalton Canadenne Contre la Fraude à l ssurance (CCCF), et reprse en 1997, a établ le coût de la fraude à l'assurance à 1,3 mllard de dollars par année. Ce qu sgnfe qu'entre 1 et 15 % des réclamatons d'assurance étaent jugées potentellement frauduleuses. En 21, La CCCF estme que la fraude représente plus de 6% du montant des prmes d assurances. Les médas canadens se servent constamment de ce message lorsqu'ls tratent du crme coûteux de la fraude à l'assurance. Les résultats d'une étude de recherche ndépendante pan-canadenne, qu fut réalsée en 2, ont montré que le coût de la fraude à l'assurance en matère de préjudce corporel, est de l'ordre de 5 mllons de dollars par année. Selon cette étude, plus de 26 % de toutes les réclamatons pour préjudce corporel contennent un élément de fraude. La CCCF a lmté son acton à une sére de mesures vsant à rédure la fraude d'assurance en matère de préjudce corporel, surtout après la publcaton d'une étude réalsée par le Bureau d'assurance du Canada sur les coûts lés aux demandes d'ndemnté dans ce domane. La publcaton en 21 d'un sondage natonal d'opnon publque révéla, que 92 % des canadens désapprouvent la soumsson d'une réclamaton fausse ou exagérée. La CCCF a mantenu des contacts suvs avec ses membres et a ms en place une sére de nouvelles ntatves vsant à accroître la sensblsaton de la populaton et de l'ndustre, à mplanter des chaptres régonaux et en accroître le rayonnement, à renouveler et à créer des outls pouvant ader l'ndustre de l'assurance dans sa lutte contre la fraude à l'assurance. Le comté européen des socétés d assurance (1996) estme que le coût de la fraude est au dessus de 2% du montant annuel des prmes. Dans pluseurs pays européen, la fraude représente entre 5 et 1% des ndemntés remboursées par an (Vaene, yuso et Gullen, 25). En matère de lutte contre la fraude, l est mportant de rappeler le rôle central des experts en assurance et des nvestgateurs. Ces enquêteurs sont sélectonnés en rason de leurs compétences et ont pour msson de découvrr s les fats déclarés par les assurés sont erronés et dovent, par conséquent, moblser les moyens de preuve qu pourront être utlsés par les assureurs lors d un procès. De plus, en France, les organsmes nsttutonnels ont créé l gence pour la Lutte contre la Fraude à l ssurance (LF), sous la forme jurdque d une

6 ntroducton générale 3 assocaton sans but lucratf. LF a pour vocaton de protéger les assureurs et les assurés contre la fraude. Elle s nscrt donc dans une perspectve d ntérêt général et a pour msson de doter les entreprses d assurances d une structure opératonnelle ant-fraude. l faut noter auss que les assureurs font appel dans la majorté des cas, à la jursprudence qu leur permet de réprmer les malversatons. Cec concerne surtout, la fausse déclaraton ntentonnelle. udelà, la fraude peut être sanctonnée pénalement de manère de plus en plus sévère. En se référant aux artcles L et L du code des assurances, la fraude détectée entraîne l annulaton du contrat d assurance et que lorsque l élément ntentonnel est établ, l assuré perd tout drot à garante et toutes les prmes payées restent acquses à l assureur. Le cadre théorque : Comme nous l avons déjà mentonné plus haut, le problème de la fraude à l assurance est appréhendé par la majorté des travaux théorques, comme étant à la base, un problème d asymétre d nformaton, qu peut entraîner l apparton des phénomènes de rsque moral et de sélecton adverse entre l assureur et l assuré. Sans engagement dans une procédure d audt crédble, l assureur ne peut jamas obtenr cette nformaton, comme l ne peut jamas découvrr le type de l assuré avec qu l contracte : est-l du type honnête ou opportunste? (vor Pcard, 1996b). Dans leur traval sur les contrats d assurance, Bond et Crocer (1997) consdèrent que les assurés possèdent l nformaton prvée concernant leurs pertes actuelles et qu ls ont la possblté de s engager dans des manœuvres évasves. Les auteurs montrent comment les problèmes de rsque moral et d asymétre d nformaton peuvent affecter l effcence du contrat d assurance. Dans nos modèles théorques, présentés dans ce traval, cette nformaton prvée que détent l assuré concerne la réalsaton effectve et l ampleur du snstre. Nous supposons, que la fraude consste à déclarer un faux snstre (snstre qu n a en réalté jamas eu leu) ou à gonfler le montant du dommage (déclarer un montant supéreur à celu du dommage réel). Par conséquent, l assureur ne peut obtenr cette nformaton (montant du dommage réel) qu en s appuyant sur une expertse. cette étape de l analyse, est évoqué un deuxème problème, à savor l engagement de l assureur dans une procédure d expertse. Par engagement, nous désgnons que l assureur annonce, dès la sgnature du contrat, sa stratége d audt (vérfcaton de la déclaraton). Un courant théorque sur ce sujet, tel que le traval de Pcard (1996a, 2), s est ntéressé à l étude du marché d'assurance avec fraude et audt. Son modèle est proche de celu étudé par Graetz, Renganum et Wlde (1986) portant sur l évason fscale. l montre que l'équlbre dépend de la capacté de l'assureur à s'engager

7 ntroducton générale 4 ou non dans une stratége d'audt crédble. l prouve comment, parce que la fraude ne peut être totalement élmnée, l'absence d'engagement contrbue à pénalser les assurés honnêtes et à remettre en cause l'assurance elle-même. Pour notre traval, qu elle sot détermnste ou aléatore 2, nous supposons que la stratége d audt est prédéfne par le contrat d assurance (hypothèse d engagement confrmée). La modélsaton que nous adoptons pour décrre la relaton entre les deux partes (assureur et assuré), est basée sur un jeu smple (2 joueurs), séquentel, à nformaton mparfate 3 : les deux partes connassent les caractérstques pertnentes du jeu, mas seul l assuré est nformé de la survenance effectve et de la talle réelle du dommage. Parallèlement, nous fasons appel aux crtères de l espérance d utlté pour formuler le programme d optmsaton. Cette modélsaton a pour but de résoudre le problème de fraude et de caractérser les stratéges optmales de l assureur (ndemnté d assurance, sancton en cas de fraude, stratége d audt) et de l assuré (comportement honnête ou frauduleux). Le prncpe de révélaton représente un autre concept clé de notre analyse, dans la mesure où l permet à l assureur d avor un avantage de Stacelberg sur l assuré : le contrat d assurance offert, ncte les assurés à déclarer la vérté. «Le prncpe de révélaton énonce qu on peut se lmter à des mécansmes drects (où l agent annonce son nformaton) et révélateur (où l est de l ntérêt de l agent de fare des annonces vérdques)» 4. En effet, la caractérsaton de l équlbre se fonde sur la maxmsaton de l espérance d utlté de l assuré sous contrante de partcpaton de l assureur (proft postf) et sous contrantes d nctaton de l assuré (ce derner a toujours ntérêt à déclarer la vérté). Pour tester la valdté de leurs prédctons théorques, certans travaux, tels que Crocer J. et Tennyson S. (22), Donne G. et Gagné R. (22), Rejesus R. (22), Donne G. et Caron (1997), Donne G. et Belhadj (1996), Donne G. Gulano F. et Pcard P. (23), Boyer M. et Schller J. (23), Crocer K. et Moran J. (23), se sont fondés sur des études emprques concernant les données statstques de certans secteurs d assurance, et prncpalement l assurance automoble. Néanmons, ces études tratent unquement les opnons. Nous avons beson d une étude complémentare permettant d examner les nteractons des agents dans 2 L audt détermnste sgnfe la vérfcaton systématque du snstre déclaré et l audt aléatore représente la vérfcaton du dommage avec une probablté qu dépend de l ampleur du dommage. 3 Pour une descrpton plus complète de la théore des jeux, vor Montet C. et Serra D. (23) 4 Cté dans : Bernard SLNE (1994) : «Théore des Contrats», p 12.

8 ntroducton générale 5 des condtons contrôlées. Pour cette rason, nous avons opté pour une approche expérmentale. Le recours à ce type d analyse se justfe par la dffculté de vérfer la robustesse des résultats théorques dans des envronnements naturels. Notre traval expérmental, qu fut (à notre connassance) le premer à étuder le phénomène de fraude à l ade d une expérmentaton, consste à reprodure en laboratore ces hypothèses théorques, afn de reconsttuer une stuaton économque smplfée et pour laquelle, l ensemble des varables est contrôlé par l expérmentateur. l s agt de tester la théore dans un cadre ben spécfque composé d un envronnement, une nsttuton et des comportements 5. Nous avons ms en oeuvre le protocole expérmental, que nous avons programmé sur un logcel spécfque (REGTE 6 ), en essayant de nous rapprocher au maxmum des condtons du modèle théorque pour pouvor en réfuter ou en valder les prédctons. La dernère étape de ce traval, consste à exploter les résultats expérmentaux à l ade des analyses statstques sur des données agrégées et ndvduelles. Nous avons procédé aux tests non paramétrques pour comparer certans contextes, et à l estmaton de deux types de modèles, Probt de panel et régresson par GLS, pour défnr les décsons des assurés et des assureurs. L organsaton de la thèse : Cette thèse a pour objectf d étuder le phénomène de fraude à l assurance dans pluseurs contextes et d analyser l effcacté de l audt en matère de lutte contre les comportements évasfs des assurés. Ce traval examne, dans un contexte d audt coûteux, une stuaton où les assurés possèdent l nformaton prvée quant à l ampleur et la réalsaton de leurs dommages. L assureur ne peut obtenr cette nformaton que sur la seule base de déclaraton de snstre. Nous mettons l accent sur la possblté pour les assurés, de supporter des fras de falsfcaton (fraude coûteuse) vsant à rendre l actvté de contrôle plus dffcle et même mparfate. Le but est d établr une comparason des deux versons d audt (parfat et mparfat) et de caractérser la stratége optmale de l assureur (poltque d audt, profl d ndemnsaton et sancton) permettant d ndure des comportements honnêtes de la part des assurés. Notre traval s artcule autour de deux axes : 5 Pour une défnton plus détallée, vor note de bas de page N 5, chaptre 3. 6 Logcel expérmental, Roman ZELGER, CNRS-GTE, unversté Lumère Lyon 2 (France).

9 ntroducton générale 6 Un axe théorque qu présente la modélsaton adoptée pour formalser le problème de fraude avec possblté de falsfcaton des dommages et les résultats théorques lés à l audt parfat et mparfat. Un axe expérmental qu a pour but de tester en laboratore, la robustesse des prédctons théorques. Ce manuscrt comporte cnq chaptres : Chaptre 1 : Dans le premer chaptre, nous présentons, à travers une synthèse analytque les dfférents scénaros de la fraude à l assurance, et les actons entreprses par les assureurs pour combattre ce phénomène. Cette analyse nous permet de dégager et de défnr les dffcultés que rencontrent les assureurs quant aux moyens utlsés pour cerner le problème de la fraude. Nous avons, remarqué qu l exste un manque de chffres et de données fables sur le sujet. Le phénomène de fraude a certes suscté beaucoup de recherches et d études, mas l reste tout de même dffcle à quantfer. Les assureurs ont beson de recherches et de statstques qu servent d appu quant à l adopton de technques de lutte effcaces. C est sur cette base qu est établ ce chaptre, pour montrer que l étude théorque et emprque du phénomène de fraude permet d éveller la conscence des assureurs sur la gravté de ce problème menaçant leurs profts et le fonctonnement de leurs compagnes. Chaptre 2 : L objectf du deuxème chaptre est de synthétser une revue de la lttérature groupant les dfférents courants théorques qu tratent le problème de fraude et d audt à travers des modèles économques. Dans un premer temps, nous évoquons les hypothèses de base des dfférentes modélsatons, notamment, le problème d asymétre d nformaton entre les contractants et l hypothèse d engagement de l assureur dans une stratége d audt crédble. Ensute, notre démarche est dchotomsée en deux partes essentelles. La premère est dédée aux prncpaux modèles économques caractérsant l audt détermnste et la manpulaton des coûts de contrôle par l assuré. La deuxème est consacrée aux travaux théorques portant sur l audt aléatore. Nous élaborons pour chacune des deux formes d audt, un modèle smple nspré de la lttérature pour en explquer les rouages. La dernère parte de ce chaptre consste à évoquer le problème d mperfecton de l audt et à exposer les dfférentes prédctons théorques et leurs valdatons emprques.

10 ntroducton générale 7 Cette synthèse nous a serv de base pour dégager notre problématque et construre notre méthodologe. Chaptre 3 : L objectf du trosème chaptre est de présenter et de comparer deux formes d audt potentellement équvalentes: l audt aléatore et l audt détermnste. L audt détermnste spécfe s une vérfcaton du snstre a leu ou pas, alors qu avec l audt aléatore la vérfcaton des snstres est non systématque, c'est-à-dre que l assureur contrôle les dommages avec une probablté qu l chost. Cette probablté dépend logquement, de l ampleur de la perte déclarée. Nous supposons de plus, que l audt détermnste est mparfat et représente ce que nous appelons «audt systématque probablste». L dée est que lorsque l assureur reçot la déclaraton de snstre, l procède systématquement à une vérfcaton de celle-c, mas l est possble que l audt n arrve pas à détecter la fraude avec certtude. Plus précsément, l exste une probablté p, telle que le fraudeur ne sot pas prs par son assureur et échappe par conséquent à la sancton ; d où la dénomnaton probablste. Nous vsons ans, à ntégrer dans notre analyse le rôle de la qualté de l audt dans la détecton de la fraude. En effet, devant la perfecton dont dsposent les fraudeurs pour organser une mse en scène du snstre, les enquêteurs et les experts se trouvent souvent face à un manque de moyens répressfs et une ncapacté d apporter les bonnes preuves. Sur cette base, nous développons un modèle théorque décrvant la procédure d audt en assurance et nous montrons comment la procédure aléatore peut domner la procédure détermnste. Nous mettons l accent sur l équvalence potentelle de ces deux formes du pont de vue des chances de détecton de la fraude. Cette équvalence s observe, lorsqu avec l audt aléatore, l assuré a p chances d être contrôlé (audt aléatore parfat), tands qu avec l audt détermnste, ben qu l sot toujours contrôlé, l a p chances d être détecté (l audt est détermnste mas mparfat). cette modélsaton théorque, nous assocons une étude expérmentale qu consste à reconsttuer en laboratore les dfférentes hypothèses et stuatons économques, d une façon plus smple et contrôlée par l expérmentateur. Dans cette parte, nous exposons le protocole expérmental utlsé et nous décrvons l envronnement, le mode de recrutement des sujets ans que les objectfs des sessons menées. Nous procédons par la sute aux tests non-paramétrques et aux régressons par GLS.

11 ntroducton générale 8 Chaptre 4 : L objectf central du quatrème chaptre consste à modélser le problème de la fraude à l assurance dans un contexte d audt aléatore parfat. Nous présentons ce problème sous forme d un jeu séquentel avec nformaton asymétrque et nous utlsons le crtère de l espérance d utlté pour caractérser l équlbre. Nous supposons que l assuré détent l nformaton prvée quant à la réalsaton et l ampleur du dommage et l assureur ne peut obtenr cette nformaton qu en procédant à une vérfcaton de ce derner. Cette modélsaton nous a perms de dévoler les dfférentes possbltés de fraude à l assurance, à savor les déclaratons de faux snstres et les exagératons de montants des dommages, et de présenter les solutons optmales que dovent entreprendre les assureurs pour dssuader ces comportements dévants. En effet, l expertse des snstres représente un gage de sécurté pour la compagne d assurance, et la pénalsaton par sancton monétare y représente un deuxème moyen auss dssuasf. La tâche la plus dffcle pour l assureur est d offrr un contrat d assurance acceptable prncpalement par l assuré, et permettant de d avor l arbtrage optmal entre la fréquence d audt, la sancton et le profl d ndemnsaton. Tout en ayant un proft postf, l assureur se dot de maxmser l utlté espérée de l assuré en fxant les paramètres du contrat d assurance (prme, ndemnté, probablté d audt). Cette modélsaton fat l objet d une premère parte du chaptre préalable à une deuxème parte expérmentale. Cette expérence vse à tester les résultats théorques, et à étuder les stratéges de fraude et d audt, à travers un échantllon d étudants acceptant volontarement de partcper à cette expérmentaton. Cette dernère est effectuée en laboratore, sur ordnateurs, et à l ade d un logcel spécfque (REGTE) à partr duquel nous avons programmé le protocole en foncton des hypothèses utlsées dans notre modèle théorque. L objectf essentel de cette expérmentaton est d assurer une certane cohérence entre la réalté expérmentale et la théore dans le domane de l assurance. Pour cec, nous avons ms en place un jeu d assurance entre des assurés et des assureurs et nous leur avons demandé de se consdérer comme réellement confrontés à un vra problème de fraude à l assurance avec possblté d audt. Les résultats expérmentaux, ont été explotés à l ade des test non paramétrques, et de modèles économétrques (Probt de panel et régresson par GLS). Chaptre 5 : Dans le chaptre 5, nous tratons un modèle, utlsant le même cadre d analyse que celu du chaptre 4, à la seule excepton près que nous adoptons l hypothèse alternatve selon laquelle

12 ntroducton générale 9 l audt aléatore est cette fos mparfat. L dée est que nous supposons que la fraude est coûteuse pour l assuré et nécesste que ce derner nvestsse en fras de falsfcaton permettant de rendre l actvté de contrôle plus dffcle. L assureur devent ncapable de détecter la fraude avec certtude. Nous supposons que les fras de falsfcaton représentent une foncton crossante de la fraude. Pour ce qu est de l audt, l exste une probablté p dépendante des coûts de falsfcaton, que l assuré fraudeur pusse échapper à la détecton. Le programme d optmsaton vse à maxmser l utlté espérée de l assuré sous les contrantes de partcpaton de l assureur (proft postf), les contrantes d nctaton (l assuré est amené toujours à déclarer la vérté) et les contrantes de plausblté du contrat d assurance. La résoluton de ce programme, nous permet de défnr le profl d ndemnsaton optmal et de caractérser la poltque d audt permettant d atténuer l ampleur de la fraude et de dssuader les assurés. Les prédctons de cette parte théorque sont testées par une expérmentaton reprodusant en laboratore les hypothèses du modèle théorque. Les données expérmentales ont été analysées à l ade de tests statstques (non paramétrques) et de modèles économétrques (Probt multnomal ordonné).

13 Chaptre 1 1 ntroducton :...11 Secton 1 : Etude analytque des dfférentes formes de fraude L organsaton du snstre par l assuré : Le faux snstre : La provocaton du snstre par l assuré : La fraude après la survenance du snstre :...18 Secton 2 : L expertse des snstres et la détecton de la fraude La preuve de la mauvase fo et de la rétcence: La vérfcaton de la réalté des déclaratons par l Expert: Le pouvor d nvestgaton des enquêteurs d assurances : La créaton d un organsme professonnel : L gence pour la Lutte contre la Fraude à l ssurance (LF) Le bureau central d nvestgaton des assurances : Le bureau central d nformaton nter-assurances: Le commssare de polce, chargé de msson :...32 Secton 3 : La poltque de préventon et de dssuason de la fraude Sancton et pénalté : La préventon de la fraude : La nécessté de l nformaton et du contact entre assureurs et assurés : La nécessté d une poltque rgoureuse de règlement de snstre :...41 Secton 4 : La nécessté de confrontaton des problèmes de fraude mplctes : L nsuffsance de l nformaton : Le ltge experts assureurs : Le problème d nctaton à la fraude : Le manque de moyens de répresson des enquêteurs :...47 Secton 5 : Crtques et réflexons à promouvor Le développement de la centralsaton des données : L accrossement de la crculaton de l nformaton : L ntérêt de l homogénété des actons des assureurs : La nécessté des études et des statstques : La nécessté de rédure le problème d aléa moral :...51 Concluson et dscusson :...53

14 Chaptre 1 11 ntroducton : Le thème abordé des déclaratons frauduleuses de rsque et de snstre en assurance a longtemps été consdéré comme un problème margnal. Le code des assurances ne donne aucune défnton de la fraude. l ne fat que la mentonner dans les tros artcles : (L ) 1, (L ) 2 et (L.121-4) 3. Le code cvl ne défnt pas non plus la fraude. l en résulte qu à notre connassance, très peu d ouvrages, artcles ou études statstques y ont été consacrés. Cependant, la nécessté d une plus grande rgueur s est fate sentr par les socétés d assurance, afn de garantr l équlbre fondamental de leurs comptes fnancers. «La fraude est un phénomène de socété. Elle affecte tous les secteurs. L assurance n y échappe pas ; elle en est même de plus en plus vctme. La recherche des gans facles et la crse économque ont encouragé le développement d une certane forme de fraude, de celle qu touche la fscalté que, à l nstar socale, elle lèse une collectvté, en l occurrence celle des assurés. On ne peut que combattre sans complasance ce phénomène qu, en défntve, est supporté par la mutualté des assurés» 4. 1 L artcle L 113-8, Code des ssurances : «ndépendamment des causes ordnares de nullté, et sous réserve des dspostons de l'artcle L , le contrat d'assurance est nul en cas de rétcence ou de fausse déclaraton ntentonnelle de la part de l'assuré, quand cette rétcence ou cette fausse déclaraton change l'objet du rsque ou en dmnue l'opnon pour l'assureur, alors même que le rsque oms ou dénaturé par l'assuré a été sans nfluence sur le snstre. Les prmes payées demeurent alors acquses à l'assureur, qu a drot au paement de toutes les prmes échues à ttre de dommages et ntérêts. Les dspostons du second alnéa du présent artcle ne sont pas applcables aux assurances sur la ve.» 2 L artcle L 121-3, C (parte légslatve) : «Lorsqu'un contrat d'assurance a été consent pour une somme supéreure à la valeur de la chose assurée, s'l y a eu dol ou fraude de l'une des partes, l'autre parte peut en demander la nullté et réclamer, en outre, des dommages et ntérêts. S'l n'y a eu n dol n fraude, le contrat est valable, mas seulement jusqu'à concurrence de la valeur réelle des objets assurés et l'assureur n'a pas drot aux prmes pour l'excédent. Seules les prmes échues lu restent défntvement acquses, ans que la prme de l'année courante quand elle est à terme échu.» 3 L artcle L , C : «Celu qu est assuré auprès de pluseurs assureurs par pluseurs polces, pour un même ntérêt, contre un même rsque, dot donner mmédatement à chaque assureur connassance des autres assureurs. L'assuré dot, lors de cette communcaton, fare connaître le nom de l'assureur avec lequel une autre assurance a été contractée et ndquer la somme assurée. Quand pluseurs assurances contre un même rsque sont contractées de manère dolosve ou frauduleuse, les sanctons prévues à l'artcle L , premer alnéa, sont applcables. Quand elles sont contractées sans fraude, chacune d'elles produt ses effets dans les lmtes des garantes du contrat et dans le respect des dspostons de l'artcle L , quelle que sot la date à laquelle l'assurance aura été souscrte. Dans ces lmtes, le bénéfcare du contrat peut obtenr l'ndemnsaton de ses dommages en s'adressant à l'assureur de son chox. Dans les rapports entre assureurs, la contrbuton de chacun d'eux est détermnée en applquant au montant du dommage le rapport exstant entre l'ndemnté qu'l aurat versée s'l avat été seul et le montant cumulé des ndemntés qu auraent été à la charge de chaque assureur s'l avat été seul.» 4 ssureur / n 31- Jun 1996

15 Chaptre 1 12 La fraude à l assurance consste en un acte volontare comms par l assuré en vue de trer de son contrat d assurance un proft llégtme. Cependant, pour qu l y at fraude, l faut que l assuré sot de mauvase fo. l n y a pas de fraude s l assuré a ag par erreur ou en croyant qu l ne commettat aucune rrégularté. Les relatons contractuelles qu s établssent entre les compagnes d assurances et leurs assurés se résument à des transferts monétares : contre paement d une prme d assurance, le contrat garantt le versement d ndemntés en cas de dommage. Les montants de ces transferts dépendent évdemment, des déclaratons de l assuré, que ce sot à la sgnature du contrat pour fxer le montant de la prme (déclaraton du rsque) ou en cours de contrat (déclaraton du dommage). névtablement, l ndustre de l assurance comporte une parte mportante de fraudeurs qu essaent de trer des gans llctes. Nous dstnguons généralement tros formes de fraude : * la fraude à la souscrpton, qu consste à dssmuler ou falsfer la nature du rsque à assurer, pour bénéfcer des prmes mons élevées ; * le non respect des termes du contrat en matère de préventon ou de précauton ; * enfn, la fraude à proprement parler, qu consste à créer un snstre (ncende crmnel), à déclarer un faux snstre, ou tout smplement à gonfler le montant des dommages pour bénéfcer d'ndemntés plus mportantes. Pour combattre cette fraude, les compagnes d assurance font appel à des experts en rason du partcularsme d un snstre, ou tout smplement parce qu l présente un certan coût. L étendue de la msson de l expert est varable, ses lmtes sont défnes par celu qu le mandate. En effet, l évaluaton au juste prx des réparatons du dommage, rôle essentel de l expert, dot mettre un fren à l exagératon de celles-c, et évter la couverture des dommages antéreurs. Les justfcatfs, souvent nsuffsants, vor nexstants, rendent cette évaluaton délcate. travers son expérence, et sa connassance de la psychologe des assurés, l expert peut asément crtquer chaque ndce de fraude. Une fos relevé un premer ndce, l dot rechercher s l en exste d autres, et nformer le plus vte possble l assureur. l lu fournt les éléments qu l a pu découvrr d après les ndces qu l juge troublants. l lu expose toutes les contradctons et anomales qu l a enregstrées. Ces éléments sont utles pour que l assureur pusse prendre des mesures partculères : sot qu l confe une msson d enquête à un de ses préposés, à un enquêteur ndépendant ou à un agent d nvestgaton d LF 5, sot qu l 5 LF : gence pour la Lutte contre la Fraude à l ssurance.

16 Chaptre 1 13 chossse de dénoncer les fats au Procureur de la Républque ou de déposer une plante contre X. Néanmons, l est mpératf à toutes les socétés d assurance, d orenter leur attenton vers certans problèmes de fraude mplctes. En effet, l nous semble ndspensable, de créer un clmat relatonnel rgoureux entre l assureur et l assuré. Souvent, ce qu est constaté pour la majorté des cas, est que l assuré n entre en contact avec l assureur que pour payer la prme ou pour demander une ndemnsaton. En revanche, l assureur a ntérêt à nstaurer un dalogue élarg avec l assuré qu dot être drectement nformé et rappelé du danger et des conséquences d un comportement frauduleux. Notamment, l faut ben s assurer de la bonne compréhenson par l assuré, en ce qu concerne les garantes, les ndemntés, les exclusons et surtout les sanctons qu découlent de la fraude. La crculaton de l nformaton ne dot pas auss manquer à l ensemble des compagnes d assurance. l est oblgatore, pour tous les assureurs, de communquer toute nformaton relatve au problème de fraude. En effet, à travers une centralsaton des rensegnements détenus par chacune des socétés, toutes les autres pourront bénéfcer d une nformaton plus complète et plus effcace. l exste encore d autres problèmes lés à la fraude, que les assureurs dovent résoudre pour assurer un bon fonctonnement de leur méter. Nous ctons à ttre d exemple le problème d nctaton à la fraude, l exstence de ltge entre l expert et l assureur, le manque de moyens de répresson des enquêteurs L objectf de ce chaptre est donc d analyser les dfférents comportements frauduleux des assurés, d extrare les problèmes sous-jacents à la fraude et d éveller l attenton des assureurs sur certans ponts néglgés ou encore oublés. Notre démarche est smple, nous commençons par une explcaton du phénomène de fraude et des dfférents scénaros, ensute nous présentons les solutons entreprses par les assureurs pour lutter contre cette délnquance et enfn, nous exposons certanes crtques auxquelles nous proposons des solutons. La concluson est consacrée à présenter notre problématque à travers certanes questons de recherche qu nous semblent ntéressantes à étuder. Secton 1 : Etude analytque des dfférentes formes de fraude Les cas de fraude sont tellement nombreux et varés que nous optons pour une classfcaton selon la nature des dfférents scénaros.

17 Chaptre 1 14 L'exagératon des dommages, pouvant apparaître dans tous les cas d'assurance. L'assuré présente de faux documents, ou fat appel à de faux témognages pour attester de la présence lors du snstre (vol ; ncende ; dommages, etc. ) de bens nexstants ou non snstrés, mas ayant été déplacés. Les ncendes volontares, rencontrés dans les entreprses en dffcultés fnancères, ou concernant des bens dffcles à vendre. Les fausses déclaratons de brs de glace afn de fnancer une réparaton ou un entreten de véhcule non ndemnsable. Cette fraude apparaît également, sur proposton d'un garagste lors d'une reprse d'un véhcule, afn d'augmenter le montant de la cesson par le clent. Dans tous les cas l y a complcté du garagste qu fournt une fausse facture. Les faux cambrolages dans lesquels l'assuré met en scène un vol dans son commerce ou entreprse dans le but d'obtenr l'ndemnsaton d'objets qu'l n'a jamas possédés ou qu'l a dssmulés. Les faux vols automobles, dans le but d'obtenr un remboursement de dommages non couverts, de fare rembourser des réparatons mportantes, pour fare face à un crédt aux remboursements trop élevés, ou de se défare d'un véhcule dffcle à vendre. Les snstres réels déclarés à une fausse date. Dans ce cas, l'assuré vctme ou auteur d'un snstre non couvert, souscrt un contrat ou une garante complémentare, et déclare le snstre à une date postéreure. Les faux accdents de crculaton. ls permettent à l'assuré d'évter un "malus" dans un snstre dont l est responsable (mpact contre un corps fxe), en déclarant un accdent de parng, sans ters dentfé. L'assuré peut auss se déclarer responsable d'un accdent, afn de fare prendre en charge des réparatons d'un véhcule accdenté antéreurement, ou pour fare ndemnser les dommages d'un ters qu est son complce; ce derner cas est fréquent lorsqu'un véhcule de locaton est en cause. Les fausses déclaratons en matère d'assurances ndvduelles, corporelles, malade, ou ve. Elles se tradusent par : - des arrêts de traval de complasance, fréquents dans les assurances ndvduelles, permettant d'obtenr des ndemntés journalères ndues. - des faux certfcats ou de complasance concernant des taux d'ncapacté établs à un nveau plus élevé que la réalté, avec une smulaton d'nvaldté par l'assuré lors des contrôles ou expertses.

18 Chaptre la non déclaraton par l'assuré d'une pathologe antéreure. - la fausse déclaraton de décès avec documents à l'appu, pour les assurances ve alors que l'assuré est toujours vvant, avec des souscrptons multples de contrats d'assurance. - la fraude peut auss apparaître lors de la demande d'un prêt bancare, lorsque est exgé un contrat d'assurances garantssant les remboursements, en cas de décès, de malade, ou de perte d'emplo. Cette énumératon de scénaros de fraude à l'assurance, n'est ben sûr pas lmtatve. L'assurance apparaît comme une cble prvlégée pour les fraudeurs qu trent, des profts consdérables de cette actvté, dont l'ensemble des assurés supporte le coût. ce nveau une classfcaton des pratques de fraude semble être ndspensable pour dstnguer : - la créaton d un snstre : l assuré organse lu-même le snstre, que ce derner sot magnare ou réel ; - la fraude consécutve à un snstre aléatore : après la survenance d un snstre, dont la cause est extéreure à l assuré, celu-c, tente obtenr une ndemnté à laquelle l n a pas drot L organsaton du snstre par l assuré : Le faux snstre : L assuré ayant beson d argent, peut trouver, par le bas de l assurance, un moyen relatvement facle d en obtenr. l peut déclarer à l assureur un snstre qu n a en réalté jamas eu leu. Mas une mse en scène est organsée par l assuré, pour fare crore à la survenance du dommage. La garante la plus propce à l organsaton d un faux snstre est sans aucun doute la garante de vol. a) Le faux vol de voture : D après les enquêtes réalsées sur les vols de votures, nous constatons que les mses en scène les plus fréquentes sont : Le véhcule peut avor été «perdu» par l assuré dans un parng de gare ou d aéroport, ou dans un garage qu l a préalablement loué. Les motvatons pour l assuré sont dverses : le véhcule est nvendable en rason de son mauvas état, de l arrêt de fabrcaton, ou d un coût d entreten trop onéreux ; le véhcule acheté à crédt, mas dont l assuré ne peut régler les échéances ; ou

19 Chaptre 1 16 enfn, la couverture d un délt de fute après un accdent dont l assuré ou un conducteur autorsé état responsable. Le véhcule volé, peut en réalté, avor été récemment vendu. Ou encore en nversant les opératons de vol et de vente : l assuré peut déclarer dans un pays étranger le vol d un véhcule assuré en France. l perçot l ndemnté pus revend son véhcule non sgnalé au fcher franças des véhcules volés. Le véhcule assuré peut ne plus exster, alors que la carte grse crcule encore. b) Le faux vol d autres objets : L assuré met en scène un cambrolage, afn d obtenr le remboursement de mobler qu l a déménagé en leu sûr ou qu l n a jamas détenu. L assuré peut déclarer le vol ou la perte d un bjou, qu l a préalablement vendu ou oublé volontarement dans un leu sûr. L assuré peut auss obtenr une ndemnté pour le vol d un objet de valeur ayant fat l objet d une expertse préalable, mas dont l assuré n a en réalté jamas été le proprétare. En garante dommage, la fraude la plus fréquente consste en l acquston d un véhcule assuré en tous rsques, pus déclaré accdenté afn de percevor sa valeur vénale. Cette machnaton est utlsée le plus souvent par quelques garagstes peu scrupuleux. Le faux snstre peut être auss le fat d un partculer, qu a accdenté son véhcule, perçu une ndemnté, mas qu souscrt une nouvelle assurance pour sa voture endommagée. La garante de brs de glace a fat l objet de nombreux abus. Le remboursement mmédat, sur smple présentaton de facture, a perms de régler plus de pare-brses qu l n en état fabrqués. l faut auss soulgner le grand nombre de faux snstres en multrsques habtaton. Par exemple, pour obtenr de l argent, l assuré n héste pas à déclarer un dommage électrque nexstant (garante d entreten). En responsablté cvle, le faux snstre peut résulter d une vértable mse en scène, comme le soulgne l exemple suvant: des assurés organsent un banal accdent de la route, à la sute duquel les vctmes se plagnent de volents maux de tête, lesquels sont constatés par des médecns experts. En réalté, l accdent n avat pas eu leu, et les malases résultent de l absorpton de drogues adéquates. Enfn, l faut noter que les types de fraude en garante accdent corporel, restent toutefos exceptonnels. Nous ctons l exemple d un assuré qu grâce aux certfcats médcaux fourns

20 Chaptre 1 17 par son médecn, tenta d obtenr l ndemnté prévue à son contrat. Cet assuré, vctme d un accdent, oblgé de cesser son actvté professonnelle et contrant d être asssté d une terce personne, fut flmé alors qu l se déplaçat seul dans la régon La provocaton du snstre par l assuré : L assuré peut réclamer une ndemnté sute à un snstre dont l a été vctme, mas dont l a provoqué la réalsaton. L assureur n a dés lors, aucune prestaton à effectuer, pusqu l s agt d un snstre volontare. Nous avons déjà abordé le cas du vol d automoble précédemment. Mas nous soulgnons c le problème des véhcules projetés dans des ravns ou réduts à l état de cube métallque. En effet, l assuré subt réellement un snstre, et l ne court pas le rsque que l assureur lu propose de reprendre le véhcule contre remboursement de l ndemnté. Le véhcule a été effectvement snstré, même s cela résulte du fat volontare de l assuré. Parm les snstres volontares, c est sans aucun doute l ncende qu nquète le plus les assureurs, en rason de son coût. l s avère très dffcle de prouver qu un ncende est volontare, s l on admet «qu un snstre ne présente pas un caractère douteux, s ses causes sont parfatement étables, ou s leur probablté est très grande, à défaut de preuve» 6. Les motvatons de l assuré pour ce type de fraude sont très dfférentes : Par ce moyen, un gérant d entreprse, peut évter la rune de son entreprse, peut évter des problèmes avec l admnstraton fscale, transformer ou changer ses locaux grâce à l ndemnté d assurance. Du coté des agrculteurs, on peut relater le cas d une récolte assurée pour une valeur supéreure à son cours, et qu flambe mystéreusement 7. Des bâtments ancens, spaceux, construts en perre de talle se révèlent nvendables, mas leur ncende peut être une source d enrchssement lorsque l assuré perçot une ndemnté correspondant à la valeur à neuf de ce ben 8. Concernant les smples partculers, s les cas semblent plus rares, ls exstent néanmons. Le partculer peut-l être délvré du paement des échéances d un prêt contracté pour une mason, ou un véhcule. L assuré peut provoquer l ncende d une proprété construte sans perms, dans une zone nconstructble, et dés lors nvendable. 6 Note sur les snstres douteux de l ssemblé Plénère des Socétés d ssurance contre l ncende et les Rsques Dvers, Novembre Ve françase, 23 Jun 198, artcle J. L Bengel 8 Compte rendu de réunon du 1 er décembre 1982, ssemblé Plénère des Socétés d ssurance contre l ncende et les Rsques Dvers

21 Chaptre La fraude après la survenance du snstre : Ces fraudes sont tellement fréquentes, qu elles tendent à se banalser. cceptées par un grand nombre de ctoyens, pratquées le plus souvent par des partculers délnquants ou honnêtes, l ensemble de ces pettes fraudes coûte cher à l assurance. L assuré a certanement sub un dommage, mas l demande une ndemnté à laquelle l ne peut prétendre, sot parce qu l n y a pas drot, sot parce que son drot est en fat nféreur. Nous élaborons cependant une classfcaton en dstnguant les deux hypothèses suvantes : c) Celle où l assuré peut modfer les crconstances de la survenance du snstre ou ben modfer la garante. d) Celle où l assuré peut exagérer le montant des dommages. Dans la premère classe de fraude, le snstre se produt dans des condtons qu n ouvrent pas drot à la garante. En effet, l assuré falsfe la réalté afn d obtenr l ndemnté évtant que l assureur n nvoque une excluson de rsques ou une non assurance. Les cas sont très nombreux en assurance automoble. L assuré peut fare une fausse déclaraton sot sur la date ou l heure de l accdent afn de fare jouer la garante, sot encore sur les condtons de réalsaton du snstre. Nous ctons à ttre d exemple, les substtutons de conducteurs, où l auteur de l accdent, non ttulare d un perms, se fat passer pour le passager. uss, en cas d accdent survenu sans ters dentfé, l assuré peut trouver un complce qu accepte de partcper à cet accdent. Pour les déclaratons de vol de voture, nous ctons le cas où l assuré dont le véhcule a en réalté été endommagé lors d un accdent mas qu n est pas couvert, déclare le vol de ce véhcule en rason de l absence de garante dommage dans le contrat. En multrsques habtatons, l exste de nombreuses possbltés de fraude quand aux crconstances du dommage. L assuré peut ans, modfer la date et l heure du snstre pour fare jouer la garante vol, ncende ou autres. l peut également être l auteur du dommage et devenr la vctme du snstre provoqué par un am complce, afn de fare jouer son assurance responsablté cvle. L assurance malade accdents corporels montre auss quelques cas de ce type de fraude. En effet, un assuré qu se blesse au cours d une compétton sportve, peut déclarer un accdent prvé. uss, un assuré, vctme d un accdent, tente, en modfant les crconstances, de fare supporter à l assureur les conséquences d un accdent antéreur.

22 Chaptre 1 19 Pour ce qu est modfcaton de garante, l assuré peut être non garant pour le snstre qu l a sub. l décde alors de souscrre un contrat, ou alors, ce qu est plus fréquent, l opte pour une extenson de garante du contrat ntal, pus l déclare le snstre. L assuré falsfe la date de survenance du snstre, ou les factures d achat ou de réparaton qu l présente à ttre de justfcatfs, ou encore obtent le faux témognage d un am. Cette manœuvre peut être fate à l ntatve de l assuré seul, mas auss avec l ade d un ntermédare. Une deuxème méthode de fraude après snstre est celle correspondant à l exagératon du montant des dommages. Pour ce type de fraude, l assuré peut agr seul comme l peut fare recours à une terce personne l adant à ben cacher la vérté. En effet, l assuré peut, préalablement au snstre ou postéreurement à celu-c, dssmuler une part des bens, afn d augmenter la valeur perdue. Cependant l assuré peut agr seul lorsqu l déclare un snstre survenu à un ben couvert par une sur assurance qu l sat être frauduleuse. C est l acton de certans assurés, vctmes d un cambrolage, plus rarement en cas d ncende. L assuré qu cherche à convancre l assureur de la justesse de sa demande, peut fare appel à l nterventon d un ters. Mas à ce nveau, l faut dstnguer deux cas. Dans le premer, cet ntermédare peut être de bonne fos. Le cas le plus fréquent est celu des médecns, abusés par les plantes de leurs patents, peuvent confrmer la gravté de l état de ceux-c. l en est de même en matère de dommage aux bens (ncende, vol, dégâts des eaux ). Les ters peuvent confrmer que l assuré état proprétare de certans objets smplement parce qu ls ont vu l assuré vctme en possesson de ceux-c. Dans le second cas, le ters est de mauvase fos. l fournt à l assuré des preuves écrtes erronées. En effet, les fausses factures ou celles d un montant exagéré représentent un moyen de déclaraton frauduleuse en cas de vol ou d ncende. Ça peut concerner auss les effets personnels des partculers (bjoux, mobler, vêtements ), les marchandses des entreprses, les réparatons de véhcule (brs de glace, carrosseres, accessores)...etc. Devant toutes ces manœuvres frauduleuses, l assureur n aura pas matérellement le temps de vérfer l exstence de toutes les entreprses émettant des factures. Les faux témognages donnés par des ams, ou de la famlle sont auss très fréquents. ls vennent souvent s ajouter à la producton des fausses factures. Enfn les certfcats de complasance obtenus auprès des médecns, moyennant ou non une rémunératon, permettent à l assuré d obtenr une ndemnté exagérée par rapport à son dommage réel. Cependant, pour fare face à cette dversté de pratques de fraude, le premer devor demandé à l assureur est d apporter la preuve de la mauvase fo de l assuré. l est vra qu l s agt d une tâche relatvement dffcle, mas nous montrons dans ce qu sut que les assureurs

23 Chaptre 1 2 peuvent établr la preuve de la mauvase fo par tous les moyens. Notamment, nous dstnguons deux catégores de moyens de preuve : ceux qu sont ntrnsèques au contrat souscrt par l assuré; et ceux qu résultent d un vértable traval d nvestgaton effectué par la compagne d assurance. Secton 2 : L expertse des snstres et la détecton de la fraude 2.1. La preuve de la mauvase fo et de la rétcence: Le contrat d assurance est par défnton basé sur la bonne fo des partes. l s applque à des stuatons qu, pour des rasons commercales ou économques, ne peuvent être contrôlées systématquement par l assureur. En effet, le contrat offre des opportuntés de fraude lors de sa concluson ou de son exécuton : Lors de la concluson : la dssmulaton d éléments qu permettent d évaluer le rsque à couvrr (fausse déclaraton ntentonnelle) pour évter un refus de couverture de la part de l assureur, ou pour obtenr des condtons de garante plus avantageuses ; la dssmulaton de l exstence d autres garantes portant sur le même rsque (assurances multples) pour préparer une ndemnsaton multplée ; la souscrpton de garantes sur des bens qu n exstent pas ou dont la valeur déclarée est délbérément surévaluée en vue de s enrchr en cas de snstre. Lors de l exécuton : snstre volontare ou faux snstre : l assuré provoque volontarement un snstre ou l déclare un snstre qu n est pas survenu ; après un snstre réellement survenu : l assuré tente de fare entrer un snstre dans le cadre d une garante qu ne devat normalement pas jouer, ou l augmente le montant des dommages qu l prétend avor subs. Pour se soustrare à son oblgaton de garante, l assureur dot apporter la preuve de sa prétenton ; celle-c comporte deux aspects, que nous allons analyser successvement : la fausse déclaraton ou la rétcence ; l exstence de la mauvase fo.

24 Chaptre 1 21 La rétcence s analyse comme étant «l omsson volontare d une crconstance qu aurat dû être déclarée 9». Cette abstenton est relevée le plus souvent en assurance automoble : en ce qu concerne la non déclaraton d aggravaton de rsque : nous ctons le cas d un assuré (menuser), couvert pour ses déplacements prvés, qu utlse son véhcule pour des fns professonnelles et ouble de déclarer à son assureur qu l est devenu représentant de commerce 1 ; en ce qu concerne la non déclaraton des antécédents : par exemple, l assuré ouble de déclarer sa condamnaton pour condute en état d vresse. L exstence du questonnare soums à l assuré lors de la sgnature du contrat, ne dspense pas celu-c de déclarer les crconstances connues de lu, de nature à fare apprécer à l assureur des rsques prs en charge. défaut de telles déclaratons, la rétcence est retenue. coté de la rétcence, la déclaraton volontare d un fat nexact est de lon la cause soulevée le plus fréquemment par les assureurs pour obtenr la nullté du contrat. La preuve d un acte postf étant plus asée que celle d un comportement passf. La mauvase fo de l assuré est apprécée souveranement par les trbunaux du fond 11. Pour cela, ls peuvent prendre en consdératon : L atttude du souscrpteur, qu a multplé les fausses déclaratons, ou dont les mensonges sont évdents. l dssmule par exemple, un accdent récent ou partculèrement grave. Le fat qu l n est pas le proprétare du véhcule 12 ; l cherche à fare de substantelles économes sur le montant de la prme 13 ; l produt un document falsfé pour obtenr un bonus de 5% 14 ; l déclare n avor jamas été assuré auparavant pour échapper au malus ; Sa capacté ntellectuelle : sa mauvase fo peut être écartée s, ne sachant n lre n écrre, l n a pu comprendre le sens du document soums à sa sgnature 15, elle peut être au contrare admse s, par sa professon, l état en mesure d en comprendre l exacte portée 16. La cour de Djon retent la nullté d un contrat d assurance automoble pour non déclaraton de snstres antéreurs, alors que le souscrpteur état un llettré étranger, mas que celu-c comprenat le franças 17 9 Cass., ch. Cv, 23/1/1973 (RGT 1974, p 28) 1 Cass., 1 ère cv., 1/3/1983 (J , p 248) 11 Cv., 17 jullet 199, RGT 9-814, note R. Maurce, Crm. 9 décembre 1992, RGT Cv.. 8 novembre 1994, RGT Cv., 11 décembre 199, RGT 91-45, note de H. Maargeat et J. Landel 14 Cv., 14 novembre1995, RGT , note F. Chardn 15 Cv., 17 novembre 1987, RGT 88-21, note J. Bgot 16 Cv., 28 avrl 1986, RGT , note F. Chpusat 17 Cour de Djon, 1/12/1981 (P. V., Contenteux 21 janver 1982)

25 Chaptre 1 22 La qualté des documents rempls par lu : s l répond de manère nexacte, par ou ou par non, à des questons clares, précses et sans ambguïté, cette crconstance est de nature à établr sa mauvase fo. u contrare, s l assureur se prévaut des seules nexacttudes fgurant sur le contrat, l n est pas en mesure, à défaut d une quelconque déclaraton écrte et personnelle de l assuré, d établr sa mauvase fo 18. De même l assureur ne peut se prévalor d une menton portée sur les condtons partculères s elle ne fgure pas sur la proposton sgnée par l assuré 19. Les assureurs peuvent établr la preuve de la mauvase fo par tous les moyens. Nous dstnguons deux catégores de moyens de preuve : ceux qu sont ntrnsèques au contrat souscrt par l assuré; et ceux qu résultent d un vértable traval d nvestgaton effectué par la compagne d assurance. Cependant, l'assureur qu cherche à prouver la mauvase fo de son assuré dot tout d abord, commencer par analyser les réponses contenues dans le questonnare soums à l assuré lors de la concluson du contrat, afn de pouvor les comparer avec la réalté et détermner la fausseté ou les omssons dans les déclaratons. ns, la preuve mse à la charge de l assureur, peut être fate par tous les moyens, mas l est certan que celle-c est facltée en présence d un questonnare. Le questonnare soums à l assuré à la souscrpton du contrat sert de moyen d nformaton pour l assureur sur son contractant et surtout sur le rsque qu l garantt. Les réponses apportées dans ce questonnare permettent de prouver la mauvase fo de l assuré. Pour un dosser douteux contenant de fausses déclaratons, le questonnare sert, non seulement à détermner des crconstances que l'assuré a cachées (qu l aurat dû déclarées lors de la souscrpton du contrat), mas auss à prouver s ce derner a été de mauvase fo. L assureur peut dédure la mauvase fo du déclarant à partr des réponses fournes lors de la concluson du contrat. En effet, l devent plus dffcle à l assuré de prouver sa bonne fo, pusque le questonnare répond à toutes les exgences de précson. Une queston précse dot amener une réponse précse 2. Les formules employées par l'assureur dovent être dénuées de toute ambguïté. 18 Crm. 12 ma 1993, RGT 93-85, note de J. Landel 19 Crm. 13 févrer 1992, RGT , note de J. Landel 2 L artcle L du Code des ssurances stpule : «l assuré est oblgé de répondre exactement aux questons posées par l assureur, notamment dans le formulare de déclaraton du rsque par lequel l assureur l nterroge lors de la concluson du contrat sur les crconstances qu sont de nature à fare apprécer par l assureur les rsques qu l prend à sa charge».

26 Chaptre 1 23 En concluson, pour prouver la mauvase fo de son contractant, l assureur ne dot lasser entrevor aucun doute quant à son oblgaton d'nformaton. L assuré est supposé avor une parfate connassance sur l ntégralté du contrat lorsqu l fournt ses réponses et son consentement. Par conséquent, aucun doute ne dot subsster quant à l'orgne des documents produts par l'assureur 21. u-delà de l'analyse du questonnare soums à l assuré lors de la concluson du contrat, l'assureur peut, dans la majorté des cas, recourr à de vértables nvestgatons effectuées par des spécalstes du domane. Cependant, l peut établr la preuve formelle de la mauvase fo de son contractant. l est ans ndspensable de fare appel à des recherches permettant de prouver la fausseté des déclaratons de l'assuré, dès lors qu l devent dffcle pour le gestonnare du dosser de prouver de façon certane la fraude dont la compagne d'assurance est la vctme. Ces nvestgatons englobent le plus souvent la vérfcaton des fats déclarés par l assuré, l apprécaton de la cause du dommage, et l évaluaton de l ndemnté réparatrce du préjudce sub. Elles permettent de confrmer les doutes de l'assureur. C'est pour cette rason que des expertses et des recherches approfondes sont ndspensables pour vérfer la réalté des fats et démontrer éventuellement la mauvase fo du déclarant La vérfcaton de la réalté des déclaratons par l Expert: Les actes frauduleux sont suffsamment répandus pour que les assureurs fassent leur possble pour les combattre, tant dans leur ntérêt que celu des assurés qu ls représentent, pusque le coût de la fraude est répercuté dans la prme d assurance. Dans certans cas, l exste assez d ndces en faveur d un acte volontare pour que le snstre fasse l objet d une enquête et pour que des poursutes soent engagées. L assureur dot alors, suvre le déroulement de l enquête, en se consttuant parte cvle par exemple. En cas de condamnaton pénale pour escroquere, ou acte volontare, l assureur peut se prévalor de la décson pour nvoquer la faute ntentonnelle. En l absence d enquête pénale, l assureur peut prendre la décson de fare procéder à une enquête s des ndces en nombre suffsant peuvent lasser crore à l exstence d un dommage 21 Selon l artcle L du Code des ssurances, l assureur «ne peut se prévalor du fat qu une queston exprmée en termes généraux n a reçu qu une réponse mprécses». utrement dt, s l assureur veut une réponse précse, l faut que sa queston le sot également. De même à défaut de remse par l assureur de document (le questonnare), l ne pourra se prévalor d une mauvase apprécaton du rsque qu lu est proposé.

27 Chaptre 1 24 frauduleux. Les ndces qu dovent attrer l attenton de l assureur sont surtout lés au contexte du snstre, aux crconstances du snstre et au déroulement du règlement. Cependant, le recours à l'expertse est envsageable pour prouver la mauvase fo de l'assuré; mas les juges de fond ne sont pas tenus de suvre les conclusons de l'expert. Cette soluton tradtonnelle a été retenue par la cour de cassaton, notamment le 5 Jullet 1989 malgré les constatatons d'une compagne d'assurance déboutée de sa demande d'annulaton du contrat sur la base de l'artcle L du Code des assurances. Les compagnes d assurance font appel à des experts en rason du partcularsme d un snstre, ou tout smplement parce qu l présente un certan coût. L étendue de la msson de l expert est varable, ses lmtes sont défnes par celu qu le mandate. Les experts se dovent donc: de savor les ndces de fraude et cela, dans toutes les branches où ls peuvent être amenés à régler des snstres ; d nformer les assureurs des ndces qu ls ont pu découvrr, des soupçons qu ls peuvent avor quant au caractère frauduleux d un snstre ; d assster les assureurs, leurs préposés ou auxlares (nspecteurs, enquêteurs, agents d nvestgaton d LF 22 ) chaque fos qu une socété d assurances juge opportun d ouvrr une nformaton sur un snstre qu apparaît «douteux». En présence de pluseurs ndces permettant de suspecter l exstence d une fraude, l assureur a ntérêt à procéder rapdement à des nvestgatons qu lu permettent de confrmer ou d nfrmer ses soupçons. l peut notamment : vérfer s d autres contrats ont été souscrts par l assuré, questonner le cas échéant les précédents assureurs ou les autres assureurs garantssant l assuré pour d autres rsques, consulter le fcher des fraudes ms au pont par les organsatons professonnelles ; Prendre des mesures rapdes pour garder les leux en état, prélever les traces, en requérant en cas de beson les servces d un husser de justce, afn de conserver les preuves éventuelles d un acte volontare ; Fare procéder à une enquête, de préférence par des enquêteurs spécalsés. En effet, celle-c dot être menée avec tact et dscréton, dans le respect de la ve prvée à laquelle chacun a drot 23, en évtant le recours à des moyens llégaux. De plus le rapport d enquête dot être précs, étayé par des documents justfcatfs 22 LF : gence pour la Lutte contre la Fraude à l ssurance 23 rtcle. 9 al. 1 er Code cvle

28 Chaptre 1 25 (témognages, etc.) assez convancants pour que le juge les prenne en consdératon. S l est dffcle de démasquer des escroqueres organsées, les auteurs de fraude «à la pette semane», lassent souvent des ndces. L ncohérence des déclaratons, l nvrasemblance du snstre, ou tout smplement la dénoncaton anonyme évellant le doute. Les ndces de fraude peuvent être classés en ndces généraux qu dovent éveller l attenton de l expert et l amener à pousser ses nvestgatons : ndces relatfs au contrat d assurances. ndces relatfs à la stuaton de l assuré et à sa personnalté. ndces relatfs à l atttude de l assuré au moment ou après le snstre. ndces généraux d ncende volontare mputable ou non à l assuré. ndces relatfs aux crconstances partculères de l ncende. ndces relatfs aux bens snstrés. ndces relatfs au comportement de l assuré après l ncende. ndces propres aux crconstances du vol. ndces propres aux bens dérobés. ndces relatfs au comportement de l assuré après le vol. ndces relatfs aux crconstances du snstre. ndces relatfs au comportement des lésés ou du responsable après le snstre. Les ndces c-dessus énumérés ne consttuent pour la plupart, que des éléments de nature à fonder un doute, un soupçon, à condure l expert à pousser plus en avant ses nvestgatons. Certanes atttudes a pror surprenantes peuvent naturellement s explquer par la personnalté de l assuré, par le contexte du moment. Dans l accomplssement de sa msson, l expert peut déceler des fraudes. l exste des espèces où le hasard joue en faveur des assurances, fasant que le même expert sot mandaté par deux compagnes dfférentes, auxquelles le même snstre a été déclaré 24, ou encore que les deux experts se retrouvent ensemble sur les leux du snstre 25. Mas c est en fat dans la réalsaton même de l expertse que la détecton peut être effcace. L examen mnuteux du ben snstré peut permettre (sauf cas de vol) de vérfer la réalté même du snstre, de confronter les déclaratons de l assuré quand aux crconstances du snstre afn de contrôler la vrasemblance de celles-c. Enfn l évaluaton au juste prx des 24 Source. G. F. 25 Cass. 1 ère cv., 9/11/1981 (D., 1983, p. 33)

29 Chaptre 1 26 réparatons du dommage, rôle essentel de l expert, dot mettre un fren à l exagératon de celles-c, et évter la couverture des dommages antéreurs. l est certan que le traval de l expert n est pas asé, encore mons, d alleurs, lorsqu l s agt de détermner le montant du préjudce sub par un assuré vctme d un vol. Les justfcatfs, souvent nsuffsants, vor nexstants, rendent l évaluaton délcate. Et pourtant, sensblsés à ces problèmes de fraude, des experts essaent à leur nveau d enrayer le phénomène. travers son expérence, et sa connassance de la psychologe de ses nterlocuteurs, l expert peut asément crtquer chaque ndce. ns, une fos qu l a relevé un premer ndce l dot ensute rechercher s l en exste d autres, et vérfer s l y a une confrontaton des uns aux autres.en revanche, on ne demande pas à l expert ou aux experts de se transformer en polcers. Mas, l faut ben savor, que dans le strct cadre de leur msson, la recherche des crconstances, ponts de départ et causes du snstre représente un champ d nvestgatons très large et susceptble de fare apparaître de nombreux ndces de fraude. L expert est auss un homme d expérence, pusqu l est déjà ntervenu dans pluseurs occasons et pour des événements d orgne semblable. l est techncen des dommages et de leur évaluaton. En conséquence, lors de la recherche de la fraude en cas de snstre, l peut apporter le pods de ses connassances et de sa techncté acquses depus des snstres rencontrés précédemment et ayant la même nature d événements. Lorsque l expert arrve à relever des ndces captaux sur le snstre déclaré, l dot nformer le plus vte possble l assureur. En effet, l lu fournt les éléments qu l a pu découvrr d après les ndces qu l juge troublants. l lu expose toutes les contradctons et anomales qu l a enregstrées. Ces éléments sont utles pour que l assureur pusse prendre des mesures partculères : sot qu l confe une msson d enquête à un de ses préposés, à un enquêteur ndépendant ou à un agent d nvestgaton d LF 26, sot qu l chossse de dénoncer les fats au Procureur de la Républque ou de déposer une plante contre X ou encore s des fats frauduleux sont patents et mputables une plante contre une personne dénommée. Cette atttude est ndspensable, car une nstructon plus poussée nécesste souvent l emplo de méthodes d nvestgaton polcères, le recours à des rensegnements externes ou le déclenchement d une nstructon judcare. L expert effectue, en ce qu concerne sa msson, les recherches et les contrôles nécessares, recuelle le maxmum d éléments suvant ses doutes, ses soupçons, et les hypothèses qu l a formulées. Ensute, l passe le relas à l assureur. Ce derner peut fare des recherches et des 26 LF : gence pour la Lutte contre la Fraude à l ssurance.

30 Chaptre 1 27 nvestgatons complémentares. l s adresse, ans à des spécalstes ou à des organsmes offcels afn de mener une enquête permettant d approfondr les ndces de fraude et d dentfer les auteurs de fraude et leurs complces. De surcroît, la fraude à l assurance peut être le fat d une organsaton parfatement structurée. l est toutefos, nécessare pour les enquêteurs, de prendre contact avec les experts concernés et, en premer leu, celu chos par l assureur, surtout s c est lu qu a alerté son mandant sur le caractère suspect du snstre. l apporte ans à l enquêteur le pods de son expérence, de ses connassances et sa techncté en toute dscréton. Ctons à ttre d exemple, ce qu se passe dans les ncendes volontares, souvent réalsées en utlsant des lqudes nflammables (gazoles, alcool, foul, essence, etc...), des produts comburants (chlorate) ou des matères faclement nflammables. Les composants chmques de ces substances peuvent être décelés et dentfés en laboratore, notamment par l emplo de technques d analyse telles que la chromatographe en phase gazeuse et la spectrographe de masse. C est pourquo, l est souvent très utle que l expert se rende au plus vte possble sur les leux dés lors qu l conçot des doutes quant au caractère volontare d un ncende. l dot prélever les traces, en requérant en cas de beson les servces d un husser de justce, afn de conserver les preuves éventuelles d un ncende volontare. Les échantllons prélevés étant ensute soums à un laboratore parfatement équpé. Sur le plan jurdque l mporte que, pour effectuer ces prélèvements et pouvor, le cas échéant, les opposer à l assuré, certanes règles soent observées : - l accord de l assuré, - la présence de l assuré, - le concours d un husser de justce, - le double prélèvement. De plus, l est également mportant que l expert prenne des photographes ou des flms permettant de conserver la mémore précse de l état des leux, en cas de doute sur le caractère volontare de l ncende. Les photographes ou les flms prs par des professonnels (photographes de presse ou reporters-photographes lbéraux), au moment même de l ncende ou au cours de celu-c ou peu de temps après son extncton peuvent ader l expert à élaborer ses comparasons et ses rapprochements par rapport aux photographes qu l a prses lumême lors de sa venue sur les leux. Cec peut lu servr de preuve pour montrer que des modfcatons ont été rapportées.

31 Chaptre 1 28 Mas la consttuton d un dosser photographque n ntéresse pas seulement les snstres ncende. Un tel dosser peut consttuer une source d nformatons préceuses pour d autres événements (exploson, vol, cambrolage...). Le plus mportant dans ce genre d affares, est que l enquête dot être menée avec tact et dscréton, dans le respect de la ve prvée à laquelle chacun a drot, en évtant le recours à des moyens llégaux. De plus le rapport d enquête dot être précs, étayé par des documents justfcatfs (témognages, etc.) assez convancants pour que le juge les prenne en consdératon. En concluson, nous confrmons que le rôle de l expert est central dans la détecton de la fraude. Passons sur les problèmes de compétences : c est aux experts eux-mêmes à veller aux qualtés professonnelles de l ensemble des membres de leur professon. En revanche, la spécalsaton et la vglance, dont peuvent se prévalor les experts, sont des éléments mportants pour les assureurs. C est une évdence, mandater un expert non spécalsé pour un vol de meubles ancens est normal, et peut coûter cher à la compagne, s l expert en toute confance, sut les prétentons de l assuré vctme. La spécalsaton est un gage de bonne et juste évaluaton, nécessare pour établr à son juste montant l ndemnsaton due à l assuré. ces problèmes de spécalsaton et de vglance s ajoute celu de l extenson des fonctons de l expert. ntalement, arbtre entre deux partes, l tend à devenr régleur de snstre. Le détourner de ses fonctons premères, c est dmnuer son esprt d objectvté pour n en fare qu un «expert régleur de compagne». Or l expert est un des éléments extéreurs, qu est le plus à même de détecter la fraude exstante s l est délvré des contrantes émanant de chacune des partes. Enfn, l faut encore rappeler que, pour certans snstres, la complexté et la dffculté de geston des dossers assocés et présentés à l assureur, nécesstent non seulement l nterventon de l expert mas également un vértable traval d nvestgaton du coté des enquêteurs. Ces recherches approfondes sont ndspensables pour vérfer la réalté des fats, apprécer la cause du dommage et démontrer éventuellement la mauvase fo du déclarant pour confrmer les doutes de l assureur. Dans le paragraphe suvant, nous présentons les causes d un recours au pouvor d nvestgaton, la msson accomple par les enquêteurs, et enfn, les lmtes et les lacunes de cette professon.

32 Chaptre Le pouvor d nvestgaton des enquêteurs d assurances : Les enquêtes sont menées selon des méthodes et avec des moyens très dfférents selon les socétés ou mutuelles d assurances. Les enquêteurs dans leur recherche, pour prouver la fraude à l assurance, vont bénéfcer d un champ d nvestgaton très étendu. En effet, ls possèdent de larges pouvors pouvant être comparés à ceux des offcers de gendarmere ou des fonctonnares de polce judcare. ls sont sélectonnés, en rason de leur compétence. Leur compétence terrtorale correspond approxmatvement au ressort d une ou deux Cours d ppel. Une formaton contnue leur est dspensée. Elle porte sur des données technques spécalsées relatves au vol et à l ncende, des examens crtques des causes de snstres nvoquées, des méthodes et consels d enquête, une documentaton jurdque des décsons relatves à l assurance. la sute de la sasne de ce servce par la compagne, une dstrbuton des affares est effectuée en foncton de la zone géographque concernée mas auss de la spécfcté de l affare. Toutefos, les enquêteurs de provnce peuvent être sass drectement par les compagnes. Leur msson est de découvrr la réalté, et de ménager des moyens de preuve à l assureur. Mas, au delà de leurs nvestgatons, leur prncpale préoccupaton demeure le respect des prncpes fondamentaux des drots de la défense afn de donner à leurs enquêtes et aux preuves recuelles, la probté nécessare, pour être produtes lors d une nstance devant une jurdcton. Ces enquêteurs ont pour msson de démontrer que les fats déclarés par l assuré sont erronés. ls dovent, s cela leur est possble, ménager les moyens de preuves qu pourront être utlsés par l assureur lors d un procès. partr des pèces du dosser de snstre, et éventuellement de celles de producton, qu leur sont communquées par la compagne, les enquêteurs effectuent leurs recherches : vérfcaton des éléments du dosser, témognages La recherche d éléments d nformatons consttue le fondement de leur moyen d nvestgaton, dans la mesure où elle ne porte pas attente aux drots des personnes. Le traval de recherche de l agent d nvestgaton pour prouver une fraude à l assurance, peut être mené dans de nombreuses drectons : en vérfant les dvers fchers, en se rendant dans les endrots où le snstre peut avor lassé des traces ou des ndces, en entrant en relaton avec l ntermédare pour vérfer les condtons de souscrpton, la régularté des règlements, la personnalté de l assuré. l peut demander des précsons à l expert, aux ngéneurs et généralement à tous les techncens, sur des ponts partculers pouvant être utlsés pour ou contre l assuré.

33 Chaptre 1 3 l peut rendre vste aux personnes ou aux commerçants ayant fourn des justfcatfs ou susceptbles de donner des nformatons. L enquêteur peut également vérfer la réalté des factures, des encassements, en contrôlant la véracté des témognages et leurs valeurs, en effectuant des démarches auprès de certans organsmes prvés ou offcels pouvant détenr des nformatons utles : banques, socétés de prêts, conservaton des hypothèques. l a également la possblté de se rapprocher des servces offcels d enquêtes terrtoralement compétents afn de leur fournr des nformatons éventuellement utlsables pour l ouverture d une enquête prélmnare ou ben pour leur demander des rensegnements qu permettraent sot d étayer la bonne fo de l assuré, sot de confrmer les doutes ntaux. l est ndspensable, pour ces enquêteurs de conserver des traces écrtes de tous les rensegnements qu ls ont pu recuellr. Ceux-c peuvent résulter de documents obtenus de façon régulère au cours des nvestgatons, c est à dre de vértables factures, des photographes probantes, des résultats d analyses, des bulletns d hosptalsatons. l est à noter que les méthodes des agents d nvestgaton s adaptent aux recherches effectuées permettant d aboutr à la preuve formelle de l nnocence ou de la culpablté de l assuré. Deux rapports sont ensute établs : l un souvent verbal, pour la compagne, comportant tous les éléments consécutfs à l enquête, l autre destné, avec l accord de l enquêteur, à être produt en justce, dépoullé des rensegnements qu ne peuvent être portés sur la place publque. Désormas, de nombreuses entreprses d assurances ne font pas appel systématquement à l organsaton mse en place par LF, mas préfèrent sollcter sot des détectves prvés, sot leur propre servce d enquêtes. Ce fat est d autant plus regrettable que la rason de ce refus est essentellement due à des rasons de nature économque, car le coût des enquêtes menées par LF est estmé trop élevé. En outre, le recours à d autres sources demeure-t-l nécessare? Celles-c sont les suvantes : Les servces spécalsés de polce : leur objectf majeur est de démasquer des escrocs et les trafcs organsés. Les enquêteurs prvés : certans d entre eux ne travallent qu avec une compagne, d autres reçovent leurs mssons de pluseurs d entre elles. Les assureurs ont prs l habtude de recourr à ces enquêteurs prvés afn de déceler les manœuvres frauduleuses dont ls étaent vctmes. Mas en rason des abus constatés, tant au nveau de la qualté des servces que leur coût, les assureurs ont tenté de s organser en

34 Chaptre 1 31 créant le servce Snstres Douteux, évoqué, tout en conservant éventuellement la possblté de recourr aux servces «des prvés». Les fchers : à travers une centralsaton des rensegnements détenus par chacune des socétés, que toutes les autres pourront bénéfcer d une nformaton la plus complète et la plus effcace possble et leurs études devennent plus performantes en les almentant systématquement des données qu ls sont à même de recevor. Les ndcateurs : Leur msson est de dévoler où se trouve le ben snstré, ou encore quelle est la cause réelle du snstre et cec ben sûr moyennant une rémunératon. ls sont le plus souvent des chômeurs ou des agents de polce qu font le tour des rues et parngs, afn de découvrr les véhcules perdus fgurant sur le fcher central des véhcules volés, dont ls ont connassance par l ntermédare de polcers ou experts complces. Ensute ces ndcateurs contactent les compagnes concernées pour leur vendre le rensegnement La créaton d un organsme professonnel : L gence pour la Lutte contre la Fraude à l ssurance (LF). L agence de lutte contre la fraude à l assurance s est développée en premer leu aux Etats- Uns et au Canada, premers pays à avor prs conscence du problème de la fraude. En France, la créaton d un organsme offcel représentatf de la professon de l assurance est devenu une nécessté. En effet, pour paller la carence des pouvors publcs afn de sasr un phénomène ne cessant de se développer et ne pouvant être abandonné, les assureurs ont ms en place, le 1er janver 1989, l gence pour la Lutte contre la Fraude à l ssurance (LF) sous la forme jurdque d une assocaton sans but lucratf de la lo du 1er janver 191. LF a pour vocaton de protéger les assureurs et les assurés contre la fraude. ce ttre, elle s nscrt dans une perspectve d ntérêt général. Elle a pour msson de doter les entreprses d assurances d une structure opératonnelle ant-fraude destnée à leur fournr sur le plan natonal les moyens centralsés : d un servce d enquête ; d une nformaton nter-assurances ; d une nterface avec les pouvors ; d une acton d étude et de réflexon, de formaton et de sensblsaton. pproprée à la msson pour attendre les objectfs vsés, l LF comprend :

35 Chaptre Le bureau central d nvestgaton des assurances : l a la charge des enquêtes. l recrute et coordonne l'envo en msson d envron 8 agents d nvestgaton qu couvrent tout le terrtore natonal y comprs les DOM-TOM. Ces agents exercent leur actvté dans un cadre lbéral. ls sont rgoureusement sélectonnés parm d ancens offcers de polce judcare ssus de la polce et de la gendarmere natonale, dont le professonnalsme et l ntégrté sont ans garants. L agence assste ses agents en cours d enquête. Elle contrôle leurs rapports qu peuvent être produts en justce et soums à des règles précses. En assurance de dommages, LF effectue des enquêtes sur les vols et les accdents des véhcules. Elle dspose auss d une équpe d ngéneurs spécalsés et d une trentane d agents technquement formés pour détermner les causes d ncendes et pour détecter plus partculèrement ceux dont l orgne est humane et volontare. Les débrs calcnés prélevés par les agents d LF sont analysés par des laboratores hautement qualfés. En assurance de personnes, un médecn-consel, attaché à LF, est chargé de suvre, dans la dscréton et le respect du secret médcal, ces dossers sensbles, en lason avec les agents d nvestgaton spécalsés en ce domane, les gestonnares des dossers de snstre et les médecns consels des entreprses d assurances Le bureau central d nformaton nter-assurances: La messagere électronque fonctonne sur le réseau auquel chaque correspondant antfraude accède par un code. l ade d un termnal celu-c peut transmettre, sot des demandes de rensegnements, sot des réponses à ces demandes. L ensemble étant centralsé et communqué à tous les correspondants ant-fraude ou smplement à ceux qu sont susceptbles d être concernés. Le fcher échange d nformaton est almenté par les assureurs et consultable par les correspondants ant-fraude sur le réseau Le commssare de polce, chargé de msson : Sa msson mplque également:

36 Chaptre 1 33 De dénoncer aux admnstratons concernées les délts autres que l escroquere à l assurance ms en exergue aux cours des enquêtes. De relancer pour le compte des assureurs des dossers qu auraent été classés sans sute par les parquets. De centralser les réqustons ou les demandes de rensegnements adressées par les pouvors publcs et concernant des nformatons sur des assurés. De contrôler l applcaton des règles de déontologe d LF auxquelles sont soums les enquêteurs. De procéder à des études jurdques, à des opératons de sensblsatons à la fraude tant à l ntenton des assureurs et des experts que des représentants des pouvors publcs. De partcper à des colloques ou commssons sur les dfférents aspects de la fraude. Secton 3 : La poltque de préventon et de dssuason de la fraude 3.1. Sancton et pénalté : l s agt dans ce paragraphe d étuder les dfférentes sanctons prévues en cas de fausse déclaraton ou d omsson ayant pour effet de fausser l opnon de l assureur. L ncerttude jursprudentelle a une conséquence drecte sur l applcaton des sanctons de l artcle L du code des assurances 27, devant entraîner l annulaton du contrat d assurance en cas de fraude. ns, lorsque l élément ntentonnel est établ, le contrat est nul, l assuré perd tout drot à la garante, et toutes les prmes payées restent acquses à l assureur 28. Cette nullté connaît des applcatons partculères qu permettent de s nterroger sur l adéquaton du terme de nullté employé par le légslateur. Cette constataton démontre l mportance consdérable du chox de l acton que va ntenter l assureur pour fare condamner son contractant. En revanche, et du fat de la nullté du contrat, l assureur peut également se fare rembourser toutes les ndemntés d assurances 27 L artcle L C prévot que «ndépendamment des causes ordnares de nullté, et sous réserve des dspostons de l artcle L , le contrat d assurance est nul en cas de rétcence ou de fausse déclaraton ntentonnelle de la part de l assuré, quand cette rétcence ou cette fausse déclaraton change l objet du rsque ou en dmnue l opnon pour l assureur, alors même que le rsque oms ou dénaturé par l assuré a été sans nfluence sur le snstre» 28 L artcle L C «Les prmes payées demeurent alors acquses à l assureur, qu a drot au paement de toutes les prmes échues à ttre de dommages et ntérêts».

37 Chaptre 1 34 réglées en paement de snstres antéreurs ans que les ntérêts de celles-c dus à partr du jour où l assuré les a perçues ndûment. Cela sgnfe que l annulaton obét à la règle classque de la rétroactvté. Dés lors, les partes dovent être remses en état où elles se trouvaent avant la souscrpton de la conventon. Toutefos, les trbunaux consdèrent que l assureur ne peut plus se prévalor de la nullté du contrat lorsque par exemple l accepte, après la connassance de la fausse déclaraton, de payer des prestatons ou de mssonner un expert 29. S l on fat référence au drot commun, la règle de rétroactvté de la nullté du contrat, mplque la récupératon des prmes par l assuré, afn de remettre les partes à l état ntal de la souscrpton du contrat. De plus, l artcle L du code des assurances autorse l assureur à conserver toutes les prmes encassées, et même de percevor les prmes échues avant la demande d annulaton du contrat s elles ne lu sont pas encore payées. Egalement, s l on sut ce prncpe de rétroactvté, l est mpératvement demandé à l assuré de resttuer toutes les ndemntés qu l a perçues depus la date de prse d effet de la nullté. Toutefos, la récupératon de toutes ces sommes (ndemntés perçues et prmes échues) par l assureur, demeure très dffcle en rason de l mpossblté dans laquelle se trouve généralement l assuré de rembourser. Nous pouvons ans en conclure, que l applcaton de l artcle L du code des assurances représente une garante permettant à l assureur de sanctonner gravement le comportement d un ndvdu ayant comms des actes frauduleux à son encontre. En cas de fausse déclaraton non ntentonnelle, et lorsque l assuré est de bonne fo, sa déclaraton erronée fausse l opnon de l assureur, déséqulbre son engagement vs-à-vs du rsque qu l a accepté et justfe une correcton du contrat. Cette correcton dffère selon que l nexacttude sera découverte avant ou après le snstre : vant le snstre : D après l artcle L du Code des ssurances 3 ; l assureur peut chosr entre deux actons possbles : Sot l accepte de mantenr le contrat à condton de l adapter ans que la prme, et que cette adaptaton sot acceptée par l assuré. Mas, en cas de refus de ce derner, le contrat sera réslé. Sot, l décde de se séparer de son clent s l vot qu l 29 CV., 18 janver 1977, D. 77-R-287, note C. Berr et H. Groutel. 3 D après l artcle L C, s l omsson ou la fausse déclaraton «est constaté avant tout snstre, l assureur a le drot sot de mantenr le contrat, moyennant une augmentaton de prme acceptée par l assuré, sot de résler le contrat dx jours après notfcaton adressée à l assuré par lettre recommandée, en resttuant la porton de la prme payée pour le temps où l assurance ne court plus».

38 Chaptre 1 35 ne peut plus garantr le rsque et ce dans un déla de dx jours et après notfcaton à l assuré par lettre recommandée. près le snstre : la sancton applquée dans cette stuaton est appelée «règle proportonnelle de prme», (ou réducton proportonnelle d ndemnté) 31. L assureur fat supporter l assuré une part proportonnelle des dommages. utrement dt, la prme payée correspond à un certan rsque, dfférent de la réalté. Cependant, l assuré ne peut recevor une ndemnté complète pusqu l n a pas payé la prme adéquate. ns la règle proportonnelle de prme s écrt : ndemnté = montant du snstre prme payée prme due Un deuxème cas qu dot être étudé à ce nveau, est celu correspondant à l aggravaton du rsque en cours du contrat. En effet, nous cherchons à analyser les sanctons applquées par l assureur, lorsque le rsque est aggravé, c est-à-dre, le rsque ne correspond plus à celu que l assureur avat accepté de garantr à la souscrpton du contrat. ns d après l artcle L du code des assurances 32, l assuré dot nformer l assureur de toutes nouvelles crconstances entraînant l aggravaton des rsques. En cas de non déclaraton, l assureur peut non seulement prévor une déchéance de garante, mas auss prouver que la déclaraton tardve a entraîné un préjudce 33. En revanche cette aggravaton du rsque peut être régulèrement déclarée de la part de l assuré. Dans ce cas, l assureur agt sur le fondement des deux artcles L C 34 et L C 35 du code des assurances. (L artcle L C vent compléter l artcle L C, en ndquant le sort à réserver au contrat et les dspostons à prendre). En effet, l est 31 L artcle L C prévot que : «Dans le cas où la constataton n a leu qu après un snstre, l ndemnté est rédute en proporton du taux des prmes payées par rapport aux taux des prmes qu auraent été dues, s les rsques avaent été complètement et exactement déclarés». 32 L artcle L C dspose que l assuré est oblgé «de déclarer, en cours de contrat, les crconstances nouvelles qu ont pour conséquences, sot d aggraver les rsques, sot d en créer de nouveaux et rendent de ce fat nexactes ou caduques les réponses fates à l assureur, notamment dans le formulare» 33 L avant derner alnéa de l artcle C stpule : «lorsqu elle est prévue par clause du contrat, la déchéance de la garante pour déclaraton tardve (une absence de déclaraton au moment du snstre pourra toujours être consdérée comme telle) au regard» du déla prévu de qunze jours, «ne peut être opposée à l assuré que s l assureur établt que le retard dans la déclaraton lu a causé un préjudce. Elle ne peut être opposée dans tous les cas où le retard est dû à un cas fortut ou de force majeur. 34 L artcle L C poursut en précsant : «l assuré dot, par lettre recommandée, déclarer ces crconstances (nouvelles consttuant une aggravaton) à l assureur dans un déla de qunze jours à partr du moment où l en eu connassance». 35 L artcle L C stpule : «en cas d aggravaton du rsque en cours de contrat ; l assureur à la faculté sot de dénoncer le contrat, sot de proposer un nouveau montant de prme»

39 Chaptre 1 36 possble pour l assureur de résler le contrat en suvant l artcle L C comme l artcle L C relatf à la fausse déclaraton non ntentonnelle, dans un déla lmte de dx jours et après notfcaton à l assuré. Et cependant, la parte de prme non courue dot être resttuée à l assuré. De plus, l assureur peut résler le contrat dans un déla de trente jours qu suvent la nouvelle proposton lée à l adaptaton de la prme, et ce, en cas où l assuré ne donne pas sute à cette proposton ou ben l la refuse 36. Dans le tableau suvant, nous donnons un résumé des mesures entreprses par les compagnes d assurances en cas de fausse déclaraton ntentonnelle et en cas d aggravaton du rsque. Ces mesures sont étables sur la base des artcles L , L , L et L du code des assurances. Tableau récaptulatf : Fausse Déclaraton, ggravaton, Modfcaton Fausse Déclaraton du Sanctons pplquées au contrat rsque lors de la souscrpton vant snstre près snstre ntentonnelle Nullté Nullté Non ntentonnelle Réslaton ou adaptaton Règle proportonnelle de du contrat prme ggravaton du rsque en cours de contrat Oblgaton de déclarer les crconstances qu modfent les réponses fates à la souscrpton du contrat Déla de déclaraton par l assuré 15 jours à partr du moment où l en a eu connassance Conséquence sur le contrat Réslaton ou adaptaton de la polce et de la prme 36 L artcle L C permet à l assuré de refuser d adapter la prme, le contrat peut être réslé dans les trente jours de la nouvelle proposton : «s l assuré ne donne pas sute à la proposton de l assureur ou s l refuse expressément le nouveau montant, dans le déla de trente jours à compter de la proposton, l assureur peut résler le contrat au terme de ce déla, à condton d avor nformé l assuré de cette faculté, en la fasant fgurer en caractères apparents dans la lettre de proposton».

40 Chaptre 1 37 Modfcaton du contrat Déla d acceptaton par l assureur Conséquence sur le contrat (obtenr une garante nouvelle, ou en supprmer une, modfer la date d échéance du contrat, et la durée du préavs) la demande de l assuré 1 jours cceptaton de l assureur et mse au pont des condtons, ou refus et manten en état du contrat Toutefos, devant cette complexté et cette nsécurté des décsons jursprudentelles pouvant parfos aboutr à une absence de sancton selon les preuves accumulées par la compagne d assurances, l est possble pour cette dernère d agr sur le fondement de l artcle L du code des assurances. En effet, en cas d mpossblté d apporter une preuve formelle de la mauvase fo de l assuré, l assureur peut ntenter une acton sur la base de cet artcle afn de ne pas lasser mpun l ensemble des fausses déclaratons. Plus généralement, selon que la preuve de mauvase fo de l assuré sot étable ou pas, l assureur se trouve devant un chox de deux actons possbles. S l consdère que la mauvase fo n exste pas ou est mpossble à démontrer, l agra sur le fondement de l artcle L du code des assurances. S l estme que la mauvase fo exste, l agra sur le fondement de l artcle L du code des assurances. Exstence de mauvase fo de l assuré rtcle L C nexstence ou mpossblté de preuve de la mauvase fo de l assuré rtcle L C Enfn, en matère pénale, c est sur la base du code de procédure pénale qu l faut agr. ns, en ce qu concerne la charge d apporter la preuve, l est ndspensable d applquer la règle fondamentale de la présompton d nnocence. En effet, la compagne d assurance, vctme de la fraude, se contentera dans la majorté des cas de rapporter la preuve du dommage et du leu de causalté avec l'nformaton commse, la preuve du délt pénal reposant essentellement sur le mnstère publc, représenté par le

41 Chaptre 1 38 Procureur de la Républque. Ce derner reçot des plantes et appréce la sute à leur donner. l fat également procéder à tous les actes et recherches nécessares à la poursute des nfractons. Le juge d nstructon est sas sot par un réqustore ntroductf émanant du Procureur, sot par une plante avec consttuton de parte cvle de la socété d assurance. Pour parvenr à la manfestaton de la vérté, l peut être adé par la polce judcare. En matère pénale, l admnstraton de la preuve est également facltée pusqu aux termes de l artcle 427 du code de procédure pénale 37 «hors les cas où la lo dépose autrement, les nfractons peuvent être étables par tous moyens de preuve et le juge décde d après son ntme convcton.» ns, le juge dot fare reposer sa convcton sur des éléments soums à la lbre dscusson des partes et se fonder sur des présomptons dès lors que les fats qu lu servent de fondement ont été produts à l audence. Les preuves sont d abord recuelles au cours de l enquête réalsée par la polce, pus lors de l nstructon préparatore pour être examnées, dscutées, éventuellement complétées au cours de l audence devant le trbunal correctonnel. Les moyens de preuve employés par la polce au cours de l enquête sont prncpalement les constatatons des offcers de polce judcare, les audtons des personnes susceptbles d apporter des rensegnements, les perqustons et sases de pèces à convcton. l est également possble de procéder à des examens technques et scentfques. Par la sute, au cours de l nstructon préparatore, le juge dspose de tous les moyens de preuve adms par le drot pénal: la perquston ou l expertse judcare. Enfn, lors de l audence, les magstrats procèdent à une nouvelle nstructon au cours de laquelle les preuves fgurant au dosser sont examnées et confrontées. Les moyens de preuves utlsables, tant devant les jurdctons cvles que devant les jurdctons pénales sont très nombreux et facltent la démonstraton de la fraude dont l assureur est vctme. Une fos la fraude est démontrée, l ne reste plus à ce derner qu à mettre en marche la machne judcare pour enclencher le processus répressf afn d obtenr réparaton de son préjudce. Pour ce fare, l assureur peut agr contre l assuré fraudeur sot devant la jurdcton cvle en réparaton du manquement à l oblgaton contractuelle de bonne fo édctée dans 37 L artcle 427 du code de procédure pénale stpule : «Hors les cas où la lo en dspose autrement, les nfractons peuvent être étables par tout mode de preuve et le juge décde d'après son ntme convcton. Le juge ne peut fonder sa décson que sur des preuves qu lu sont apportées au cours des débats et contradctorement dscutées devant lu.»

42 Chaptre 1 39 l artcle 1134 du code cvl 38, sot devant la jurdcton pénale lorsqu l s estme vctme des manœuvres frauduleuses. S l assuré a fraudé, l est normal que le couperet de la sancton pénale ou cvle tombe, mas l en est de la lutte contre la fraude comme de toutes les luttes : la répresson utlsée seule est nsuffsante. Elle dot toujours s accompagner de mesures de préventons La préventon de la fraude : La préventon de la fraude semble revêtr tros aspects : Lorsque les assureurs mettent en place une poltque rgoureuse pour la lutte contre la fraude, l est ndspensable d en nformer les assurés pour qu ls ne soent pas surprs par un changement d atttude de leur contractant et afn d évter d être sanctonnés comme des fraudeurs à cause de leur néglgence ou nattenton. l est de l ntérêt des assureurs de résoudre tous les problèmes qu entravent leur démarche pour garantr une lutte effcace contre les manœuvres frauduleuses et d essayer d évter toute nctaton à la fraude. l est mpératf de réfléchr d une façon constante sur le problème qu dot permettre d amélorer progressvement et contnûment les technques utlsées pour la lutte et la préventon de la fraude. Essayons dans ce qu sut de présenter quelques thèmes de réflexon sur ces tros aspects La nécessté de l nformaton et du contact entre assureurs et assurés : Ce qu est constaté le plus souvent est que l assuré n entre en contact avec son assureur que pour payer la prme ou pour demander une ndemnsaton en cas de survenance d un snstre. En revanche, l est mportant d attrer l attenton de l assuré sur le problème de fraude à l assurance et les sanctons qu en découlent. Créer une publcaton régulère qu permet de crculer un certans nombre d nformatons nouvelles pour l assuré et de le rappeler des problèmes mportants qu l a pu oubler, nous semble être ndspensable pour créer un clmat relatonnel rgoureux entre les deux contractants. 38 L artcle 1134 du code cvl stpule : «Les conventons légalement formées tennent leu de lo à ceux qu les ont fates. Elles ne peuvent être révoquées que de leur consentement mutuel, ou pour les causes que la lo autorse. Elles dovent être exécutées de bonne fo.»

43 Chaptre 1 4 Cependant, pour une melleure préventon, l assureur a ntérêt à nstaurer un dalogue élarg avec l assuré. Pour cela, l peut fare appel à un ntermédare qu a pour msson d engager un tel dalogue et sur dfférents ponts. Cet ntermédare dot s assurer de la bonne compréhenson par l assuré en ce qu concerne les garantes, les ndemntés, les remboursements, les exclusons Cette melleure connassance, de la part des assurés, peut les condure à chercher à meux se couvrr et à ne pas penser que l assureur est le seul responsable d une ndemnté nsuffsante. En effet, pour certans gens honnêtes, l exste une mentalté de pett fraudeur ; telle qu un assuré mal ndemnsé représente un fraudeur potentel : snstré et volé par son assureur. Néanmons, l exste des assurés qu connassent parfatement les clauses de leur contrat. ls savent ce qu ls dovent fare pour garantr la melleure ndemnsaton possble sans se servr des tentatves de fraude ou de trchere. Que cette catégore de gens soent sur-nformée n amène guère à développer la fraude n à rendre les sous-nformés (mal-ndemnsés) plus malns. Un autre moyen pour sensblser les assurés quand aux justfcatfs et conséquences de la fraude, consste à effectuer des expertses préalables ou des expertses bdons permettant l ntermédare d ndure des réflexes qu seront proftables lors de la survenance d un snstre et nctant les assurés à se procurer des moyens de preuve. l ade d une nformaton sur les moyens de protecton pour l ensemble des garantes portant sur les bens, l ntermédare peut se prévenr du rsque couvert et de la fraude. l dot par exemple, nsster sur le marquage des véhcules afn de se trouver un moyen de lutte contre le vol et contre l assurance des cartes grses, des épaves, des véhcules en mauvas état qu représentent des objets d nctatons aux faux vols. Enfn, l faut noter auss, qu l est ndspensable d avertr l assuré sur les sanctons cvles et pénales encourues en cas de fraude et que cet avertssement aura un effet dssuasf. En revanche, l s avère dffcle aux assureurs d nformer les assurés des moyens de lutte contre la fraude dont ls dsposent, sans les fare sentr qu on les suspecte à pror. Nous suggérons que cette sensblsaton devrat avor leu avant la survenance du snstre, vor lors de la sgnature du contrat. L assureur fat sgner son clent, outre le contrat, un texte dstnct rappelant l ensemble des sanctons et des actons prses contre les déclaratons frauduleuses. Ce texte serat rems mmédatement ou envoyé quelques jours après à l assuré afn d augmenter l mpact de cette nformaton. En concluson, nous pensons que c est aux compagnes d assurance et aux dvers organsmes de la professon d nstaurer un clmat relatonnel franc et d assurer une nformaton plus large

44 Chaptre 1 41 portant sur les mécansmes de l assurance. ls dovent vser à amélorer leur mage de marque, établr un contrat de manère mons occasonnelle, plus dffuse et plus régulère. Cette poltque nous semble effcace et rgoureuse pour fare face aux problèmes de fraude à l assurance. L nformaton dot porter sur les technques de lutte mses en place, sur les coûts encourus, sur les conséquences pécunares, pénales et cvles entreprses pour sanctonner les fraudeurs (majoraton de la prme, annulaton du contrat, resttuton des ndemntés ) La nécessté d une poltque rgoureuse de règlement de snstre : l est nécessare pour les socétés d assurance d nformer l assuré de la mse en place d une poltque de règlement de snstre de rgueur ans que de leurs décsons d accroître leur vglance quant aux problèmes de fraude. En effet, chaque assureur dot exger à son contractant une preuve tangble de l exstence et de la valeur du ben à assurer lors de la souscrpton du contrat. Cette mesure dot être entreprse afn d évter les demandes d ndemntés de bens n exstant pas et qu sont déclarés volés. L assuré qu a acheté un véhcule à un partculer sans même exger une facture, ne sat pas que celle-c pourrat lu être demandée en cas de vol. En revanche cette méthode pourrat ncter les assurés malns ou encore «débroullards» à se procurer des factures de complasance aux comptes des assurés plus honnêtes qu peuvent être conduts à leur tour à pratquer ce genre de fraude. ns, la facture d achat a un rôle très mportant et dot oblgatorement être jonte au certfcat de vente (par exemple lors de la demande de carte grse à la préfecture). l est à noter auss que le dosser de snstre dot être construt avec toute rgueur : L assureur dot exger une déclaraton de snstre écrte, où l assuré énonce le plus de rensegnements possbles sur le dommage. Cec permet de regrouper toutes les pèces nécessares pour un dosser de snstre : la déclaraton du rsque, la déclaraton de snstre, la facture, les certfcats médcaux, les procès verbaux, les témognages Ce dosser servra ensute à apporter les éléments de preuve ndspensables. L assuré dot fournr à l assureur tous les justfcatfs des rensegnements énoncés lors de la déclaraton du snstre. L assureur dot effectuer les vérfcatons de ces rensegnements ans que de leurs justfcatfs.

45 Chaptre 1 42 Fare appel le plus vte possble à l expert qu dot se rendre rapdement sur les leux afn d évter les mauvas consels d ams et de garder les leux en état, prélever les traces, et conserver les preuves éventuelles d un acte volontare. En cas de doute, une collaboraton entre un ntermédare et l expert s avère utle pour cerner les qualtés morales de l assuré. Enfn, l est plus judceux de recourr aux enquêteurs LF ou prvés chaque fos qu une socété d assurances juge opportun d ouvrr une nformaton sur un snstre qu apparaît «douteux». l est ndspensable que le dosser de snstre sot géré rgoureusement de façon à pouvor dssuader l assuré de tout comportement de fraude. Néanmons, l assureur peut refuser de régler toute ndemnté d assurance, lorsque l assuré s engage dans des manœuvres frauduleuses. l attend ensute à l appeler éventuellement à comparaître en justce, en versant le cas échéant des ndemntés de retard. Cependant, lorsque l assureur arrve à rassembler un certan nombre de fats et à montrer la mauvase fo de l assuré fraudeur, l peut systématquement entreprendre une poursute pénale. notre avs, l est suffsant d avor un dosser douteux dans une compagne d assurance pour que les servces de règlement de snstre parvennent à détecter des fraudes de même nature. vor une personne affectée à ces problèmes de snstres douteux, les adera à cette détecton. l est vra que ces problèmes ne sont que margnaux par rapport à la totalté des dossers d assurance d une compagne, mas une telle sensblsaton sur les technques de fraude, les moyens de lutte et de préventon contrbue énormément à accroître la vglance. Secton 4 : La nécessté de confrontaton des problèmes de fraude mplctes : l exste des problèmes mplctes à la fraude à l assurance, auxquels, les assureurs dovent apporter des réponses. Parm ces problèmes, nous ctons les suvants : 4.1. L nsuffsance de l nformaton : l est absolument oblgatore pour toutes les compagnes d assurance d être ndscret sur tout ce qu concerne le problème de fraude. En effet, à travers une centralsaton des rensegnements détenus par chacune des socétés, que toutes les autres pourront bénéfcer

46 Chaptre 1 43 d une nformaton la plus complète et la plus effcace possble et leurs études devennent plus performantes en les almentant systématquement des données qu ls sont à même de recevor. Les socétés d assurance dsposent d un moyen nformatque, ce qu on appelle messagere électronque qu fonctonne sur un réseau, auquel chaque correspondant ant-fraude accède par un code. l ade de cette technque, celu-c peut transmettre, sot des demandes de rensegnements, sot des réponses à ces demandes, l ensemble étant centralsé et communqué à tous les correspondants ant-fraude ou smplement à ceux qu sont susceptbles d être concernés. l ne s agt pour nous que de rappeler, que le fonctonnement des fchers consttués semble être nsuffsant et ne représente qu une technque partculèrement adaptée pour répertorer les fraudeurs. Cependant, ce moyen n est pas nfallble, et les fchers n étant d aucune utlté lorsque l assuré fraude pour la premère fos Le ltge experts assureurs : Dans le cadre de sa msson, l expert effectue les recherches et les contrôles nécessares, recuelle le maxmum d éléments suvant ses doutes, ses soupçons, et les hypothèses qu l a formulées. Ensute, l passe le relas à l assureur. Son rôle est par conséquent central dans la détecton de la fraude. Désormas, se méfer des problèmes de compétences des experts, est mpératf aux socétés d assurance. Mas c est aux experts eux-mêmes, à veller aux qualtés professonnelles de l ensemble des membres de leur professon. En revanche, la spécalsaton et la vglance, dont peuvent se prévalor les experts, sont des éléments mportants pour les assureurs. En effet, lorsque l assureur engage un expert non spécalsé pour un vol de véhcules ancens par exemple, peut coûter cher à la compagne. Cependant, la spécalsaton de l expert mandaté, représente un gage de bonne évaluaton pour fxer le juste montant de l ndemnté à payer à l assuré. Un autre problème, vers lequel les assureurs dovent orenter leur attenton, est celu de l extenson des fonctons de l expert. Le premer rôle qu dot être joué par ce derner, est d essayer d arbtrer entre les deux contractants : l assureur et l assuré. Mas dans la majorté des cas, l expert tend à se transformer en régleur de snstre. ns, ce détournement de sa msson premère peut dmnuer son esprt d objectvté et le fare passer d un «expertdétecteur de fraude» à un «expert-régleur de compagne». Cependant, l ne faut jamas oubler que l expert n est qu un élément extéreur qu a pour msson d effectuer les contrôles

47 Chaptre 1 44 et les vérfcatons nécessares pour orenter et ader l assureur à combattre les manœuvres frauduleuses. La poston de l expert reste toutefos délcate. En effet, l peut être confronté à un problème mportant, lors de l évaluaton du snstre à ndemnser. Nous savons que l expert est toujours mandaté par l agent avec vsa de la compagne. L expert peut décder de rédure le montant de l ndemnté d assurance par rapport à ce qu a été demandé par l assuré, ou dans certans cas la refuser. Cec peut l amener à agr à l encontre des ntérêts de l agent qu peut décder de ne plus le mandater et ne plus fare appel à ses servces. Dans le cas contrare, où l expert parat plus généreux et augmente le montant de l ndemnté par rapport à ce qu a été demandé, cette surévaluaton du dommage peut entraîner la censure de la compagne. La soluton est donc de rester au mleu, l ne faut n trop augmenter, n trop rédure le montant de l ndemnsaton. Mas cet arbtrage, ne dot guère amener à une lutte mpartale contre la fraude, y comprs les exagératons et les modfcatons des crconstances Le problème d nctaton à la fraude : Les assureurs cherchent toujours à enrayer le problème de fraude, mas l exste toujours des fats plus ou mons nctant à la fraude. Souvent, les assureurs connassent ces fats, mas ls ne savent pas trop comment les évter. D alleurs, en général, les mesures restrctves sont créées par les pouvors publcs et non par les assureurs eux-mêmes. Les assureurs parassent parfos mpussants pour trouver une soluton clare aux cas de fraude qu ls rencontrent. Les compagnes d assurance dovent donc, prendre en compte le fat que certanes clauses sont souvent trop nsdeuses et donc très tentantes au comportement de fraude. Les assureurs devraent peut-être arrêter les remboursements monétares au proft des remboursements en nature. savor, ne pas payer les réparatons d un véhcule sans vérfer les factures, ou proposer une réparaton dans un garage agrée ; ou ne pas rembourser un ben mmobler snstré mas proposer son remplacement en nature. Détallons encore plus ces ponts : En assurance auto : - La carte grse d un véhcule rédut à l état d épave peut donner leu à des fraudes. l est donc ndspensable, de mettre en place un système de retrat de carte grse effcace. - La garante de brs de glace a fat l objet de nombreux abus. Le remboursement mmédat, sur smple présentaton de facture, a perms de régler plus de pare-brses qu l n en état

48 Chaptre 1 45 fabrqués. Les assureurs dovent ans, être plus attentfs et vglants devant les possbltés de fausses factures. - Dans l ancen système de bonus-malus, l accdent de parng état sans effet sur le malus. C est ans qu un grand nombre d accdents sans collson avec un autre véhcule se sont transformés en accdents de parng. - Un certan assureur de fabrcant de système de protecton ant-ntruson s engage à payer la dfférence entre le prx du véhcule neuf et l ndemnté payée par l assureur du véhcule, s l est volé dans les deux ans et s l n est pas retrouvé ou s l est déclaré rréparable. En assurance d mmeubles : Le remboursement d mmeubles détruts en valeur d usage, représente un élément central d nctaton aux ncendes volontares, permettant de gagner une ndemnté sans que l on exge la reconstructon de l mmeuble. Nous proposons ans, d oblger l assuré dans ce cas de reconstrure le bâtment. défaut de reconstructon, l assureur peut rembourser l ndemnté d assurance en fondant ses calculs sur la valeur vénale de l mmeuble. En assurance multrsques habtaton : Le premer exemple qu attre notre attenton est l abus de fraude dans la garante dommage électrque. Ce snstre représente en réalté un entreten et ne dot cependant pas être couvert. En effet, dans cette garante, la fraude est très facle à réalser et sa détecton est mnme, vu les coûts de vérfcaton qu elle génère et qu sont dans la majorté des cas, plus élevés que le dommage même. ce problème de coût prohbtf, s ajoute le problème que les ntermédares sont souvent peu regardants sur la réalté et l ampleur de ces snstres. Ce qu permet à leur clentèle d être satsfate de récupérer la prme. En assurance d objets préceux : Cette garante représente beaucoup d nconvénents lorsque les bens sont assurés au sen d une multrsques habtaton. En effet, un assuré mal remboursé en cas de snstre, peut systématquement se transformer en fraudeur potentel. Toutefos, la tendance des socétés d assurance est de rédure dans ce genre de contrat la part d ndemnté consacrée aux objets préceux. Mas, cette forme de multrsques habtaton ntéresse beaucoup d assurés et permet en conséquence de favorser la fraude systématquement. D autre part, l ntermédare peut auss orenter les préférences des assurés vers une garante spécfque des objets de valeur. Les assureurs dovent ans, trouver un moyen effcace pour lutter contre les déclaratons des bens nexstants ou d un montant exagéré par rapport à la valeur réelle des objets volés.

49 Chaptre 1 46 Nous suggérons d avertr les assurés à l ade d une clause contractuelle contresgnée, où ces derners dovent déclarer avor prs connassance, qu en absence d expertse préalable, ls dovent prouver la valeur des objets volés. La lste d exemples que nous venons de cter n est pas exhaustve. l exste encore d autres problèmes qu peuvent éveller chez les assurés un comportement de fraude. Nous tenons à attrer l attenton des assureurs sur les ponts suvants : En général, et dans la majorté des cas, les assureurs se contentent de refuser de prendre en charge le snstre, sans fare constater la nullté du contrat par un juge. Les fraudeurs ne rsquent donc pas ou que très peu de pene de justce. De plus, les assureurs n ntentent pas de procès à l encontre de l assuré, même s toutes les preuves formelles sur le comportement de fraude sont étables. Cette procédure est trop coûteuse et n aboutt pas à une pene pour l assuré. Souvent, en cas de détecton de la fraude, l n est demandé à l assuré que de resttuer les fras de dosser encourus par l assureur. Cependant, les avantages fnancers procurés par le comportement frauduleux, s avèrent plus élevés que le rsque de penes jurdques. Un deuxème pont mportant qu l faut cter, est que nous constatons qu l exste un manque de communcaton entre les compagnes d assurance d un pays à un autre. L mportance de cette remarque résde dans le fat que cette atttude encourage la fraude, dans la mesure où les assurés peuvent vendre une voture à l étranger et la déclarer volée dans leur pays d orgne. ns, l ouverture au marché unque va accroître encore plus ce type de fraude. Pour les assurances de vol de vélo, comme celles de vol de votures, la compagne d assurance qu travalle avec une chaîne de grande surface propose aux assurés un remboursement ntégral de leur vélo s l est volé mons d un an après son achat. Cette clause d assurance semble nctante à la fraude. La franchse est par défnton la part de snstre qu reste à la charge de l assuré. Elle est à l orgne destnée à lmter le problème d aléa moral. Mas on s aperçot de plus en plus que sa valeur n est pas effcace dans la mesure où elle est devenue un moyen qu ncte à frauder. En effet, les assurés augmentent le montant des dommages lors des déclaratons auprès des assureurs afn de trouver un moyen pour récupérer cette franchse.

50 Chaptre 1 47 D autre part, et du coté de l assureur, cette franchse ne lu permet même pas de récupérer les coûts de vérfcaton. Cependant, le concept de franchse semble ne plus être effcace, sauf pour les petts dommages que les assurés ne déclarent pas. l faut attrer l attenton des assureurs sur le fat que la rapdté de remboursement des snstres représente un élément central d nctaton à la fraude. En effet, les assureurs ndemnsent les assurés sans attendre de vérfer les preuves d achat. Cette rapdté dans le règlement représente une atttude de l assureur pour satsfare son clent, mas cela ne favorse pas la lutte contre la fraude. l faut que les règlements soent mons rapdes, pour permettre un contrôle du snstre, et proposer une ndemnté plus grande pour l assuré en contreparte du temps perdu (récompense), s l s avère ben sûr que la déclaraton n est pas frauduleuse. Un derner pont d nctaton à la fraude, est que le déla probatore pour les contrats d assurance ve est passé de deux ans à un an en cas de sucde du souscrpteur. Pour conclure, nous notons qu en France, l élaboraton des fchers nformatque pour recenser les fraudeurs n est pas très apprécée par les autortés compétentes. En revanche, de tels fchers sont beaucoup plus précs au Royaume-Un et soums à mons de contrantes. Les compagnes d assurance allemandes se sont auss trouvées confrontées aux autortés pour élaborer ces fchers. Mas, elles ont réuss, à mettre en œuvre un fcher basé sur des données numérques codées et qu ne volent pas le caractère personnel des données Le manque de moyens de répresson des enquêteurs : Devant la perfecton dont dsposent les fraudeurs pour organser une mse en sene d un snstre ou falsfer une facture ou autre, les enquêteurs se trouvent souvent face à un manque de moyens répressfs et une ncapacté d apporter les preuves à ces manœuvres évasves. En effet, jurdquement, ren ne contrant les commerçants qu ont fabrqué des factures à un assuré, à refuser de recevor l expert qu vent chercher quelques éléments de preuve de la fraude organsée par l assuré. Ce derner, peut même aller jusqu à porter des menaces à l égard des enquêteurs. De plus, nous constatons que les marges de manœuvres des enquêteurs sont tellement fables qu ls n arrvent pas dans beaucoup de cas à apporter la preuve de la mauvase fo de l assuré et à démontrer la fraude avec pertnence.

51 Chaptre 1 48 Normalement, au moment des enquêtes, les assurés et les témons dovent établr leurs déclaratons sous serment, mas certans d entre eux, prennent peur et se rétractent. En revanche, ce-c n est pas le cas de beaucoup de fraudeurs qu sont scrupuleux. l arrve des fos où les assurés avouent avor fraudé lors de la déclaraton de leurs dommages, mas ls espèrent tout de même qu on leur rembourse les ndemntés calculées sur la base des vraes factures. Désormas, les assureurs ne payent ren comme ndemnté, dans le sens où la mondre preuve de fausses déclaratons donne drot à l assureur de ne ren rembourser. En général, les enquêteurs sont sélectonnés d ancens fonctonnares de polce judcare, et dovent par conséquent subr des tests psychologques avant d être nommés comme enquêteurs. Le problème c est que, dans certans cas de fraude complqués, l enquête peut durer longtemps, ce qu favorse l établssement d un clmat amcal entre l assuré et l enquêteur. Ce derner, peut dans ce cas, se transformer en complce de l assuré fraudeur. En revanche, penser de cette façon veut dre qu on peut soupçonner tout le monde. Mas nous avons l ntenton de rappeler que les enquêteurs ne sont pas très ben payés par rapport à la quantté de traval qu ls élaborent. Ce-c peut faclement les pousser à se trouver eux-mêmes des moyens pour amélorer leurs gans. Lorsque l assuré fraudeur se rend compte que l enquêteur a pu rassembler suffsamment de preuves pour le condamner, l peut tenter de le soudoyer. Dans ce cas, l est suffsant que cet enquêteur at des dffcultés fnancères pour qu l passe du côté de l assuré. Même s le fraudeur ne prend pas l ntatve de soudoyer l enquêteur, ce derner peut tout de même, trouver un arrangement avec les fraudeurs soums à de fables penes, et pour qu l a dû effectuer une enquête pénble pour les culpablser. l est vra que ce problème d enquêteurs fraudeurs est relatvement très rare, mas l est consellé que les compagnes d assurance s en méfent. Secton 5 : Crtques et réflexons à promouvor Dans ce qu précède, nous avons cherché à soulever les problèmes que peuvent rencontrer les assureurs, dans le but d attrer leur attenton sur certans ponts sous-jacents au phénomène de fraude. Nous allons dans ce qu sut, détaller pont par pont les crtques adressées aux professonnels de l assurance, et présenter les solutons à envsager pour lutter d une façon plus effcace contre la fraude.

52 Chaptre Le développement de la centralsaton des données : Comme on l a déjà mentonné précédemment, les fchers nformatques représentent une source de rensegnements très utles à toutes les socétés d assurance. Notamment, ces fchers permettent de répertorer les fraudeurs et facltent leur dentfcaton, en cas de beson, sans pour autant qu l y aura vol des secrets personnels. Ces fchers semblent être d une grande mportance, et l s avère auss utle d en rajouter d autres : Un fcher sur les personnes : Ce fcher servra à répertorer la ve d assuré des gens et à présenter des ndcatons sommares, permettant d orenter les recherches dans des drectons utles et de gagner beaucoup de temps pour les dossers complqués. Un fcher sur les objets préceux : Ce fcher d dentfcaton et de recherche des objets préceux est d une grande mportance, devant ce que reçovent les assureurs comme fausses déclaratons et ce qu ls supportent comme fras. Un fcher régonal sur les enquêtes et les expertses en cours : Ce fcher est très utle, dans la mesure où les experts sensblsés au problème, vellent à ce qu un même snstre ne sot pas ndemnsé pluseurs fos. l est demandé auss à chaque expert d attrer l attenton de ses confrères sur les qualtés morales d un assuré qu a été déjà suspecté de fraude lors d une expertse antéreure. Un fcher nformatque nternatonal : Ce fcher sert à faclter les communcatons entre les compagnes d assurance d un pays à un autre. Cependant, l ouverture sur d autres marchés permet d évter un certans nombre de fraude, telle que par exemple, la vente d un objet ou d un véhcule à l étranger et le déclarer volé au pays d orgne L accrossement de la crculaton de l nformaton : Nous dstnguons les tros aspects suvants : L nformaton de l assuré : Nous tenons à nsster sur l mportance des affches, des artcles de presse, rado, télévson etc., et tout ce qu permet de sensblser l assuré sur les actons pouvant être entreprses contre lu en cas de fraude. Notamment, l est plus effcace de fare sgner par l assuré un texte rappelant les sanctons pénales et cvles qu peuvent lu être applquées s l manfeste un comportement frauduleux. Ce texte dot être sgné par l assuré au moment de la sgnature de son contrat d assurance,

53 Chaptre 1 5 et lu être rems mmédatement ou lu être expédé quelques jours après. Cette atttude, permet de fare comprendre à l assuré le danger de la crmnalté qu l en est auss vctme, surtout en matère d escroquere à l assurance. L nformaton des professonnels de l assurance : l est mportant d effectuer des stages, des formatons contnues, des sémnares et des publcatons sur le thème de fraude. Ce que nous avons remarqué, est que ces manfestatons et ces sources d nformaton jugées d une extrême mportance, sont de plus en plus développées dans d autres pays, tels que les Etats Uns et le Canada, et restent très peu répandues en France. En outre, les professonnels d assurances, ont eux-mêmes beson d être sensblsés de l ampleur et du danger du problème de fraude dont les tentatves de lutte s avèrent margnalsées par rapport aux objectfs de profts et d mage de marque. La nécessté de la collaboraton : l est fondamental qu l y at une collaboraton étrote entre les assureurs, les enquêteurs, les experts, les autortés, les servces de polce et pompers, et les fonctonnares de la jurdcton. En cas d ncende par exemple, les procès verbaux des premers arrvants sur les leux, tels que les polcers et les pompers, sont d une grande mportance et utlté. C est à l ade de ces procès et de ces observatons mnuteuses, que les assureurs arrvent à construre leurs preuves pour vancre la rétcence des juges à sanctonner ces délts. Nous suggérons ans, de rassembler toutes les partes ntéressées au cours d un sémnare et évoquer ces thèmes L ntérêt de l homogénété des actons des assureurs : D après des études fates sur la fraude à l assurance dans certans pays étrangers, notamment, le Canada et les Etats-Uns, l exste un comportement homogène de l ensemble des assureurs, en ce qu concerne leurs actons ant-fraude. En effet, ces compagnes d assurances étrangères suvent toutes et oblgatorement un même règlement qu va dans le sens de la préventon, de l observaton et de l éclarcssement de la fraude et de l escroquere. En revanche, cette homogénété n est malheureusement pas applquée en France. Le seul pont commun entre les assureurs franças est le refus de payer ce qu n est pas dû. u-delà, chacun agt à son propre ntérêt et à sa propre manère.

54 Chaptre 1 51 l est nécessare de mettre en place des untés plus homogènes, manfestant des comportements plus sévères et permettant de garantr une lutte effcace. Cette sévérté dot servr à sanctonner et dssuader les fraudeurs. C est au sen d organsmes communs à toutes les socétés d assurances, tel que l LF, que cette coordnaton pourrat s établr. Les assurances françases, dovent s organser et suvre l exemple canaden et amércan pour mettre en place une structure effcace : notamment au canada, on parlat des S..C.. (Servces nt-crme des ssureurs) et aux Etats-Uns, on parlat du.c.p.. (nsurance Crme Preventon nsttut) La nécessté des études et des statstques : Le phénomène de fraude a certes ntéressé et attré beaucoup de recherches et études, mas reste tout de même dffcle à quantfer. Ce handcap dû à la quas-nexstence de statstques fables, pose un problème pour l ensemble des socétés d assurances qu ne dsposent pas de résultats pertnents, rensegnant sur l ampleur de la fraude. Nous nsstons sur l mportance des recherches et des statstques pour faclter aux assureurs la tâche de cerner de façon précse le phénomène de fraude. En effet, les assureurs ont beson d éléments plus précs (chffres, études statstques ), afn d éveller leur conscence quant à la gravté de la fraude et ses effets sur leurs profts et sur le fonctonnement de leurs compagnes. Cec peut les ader à adopter de plus en plus des technques de lutte plus effcaces La nécessté de rédure le problème d aléa moral : En général, l assuré manfeste un comportement d averson au rsque, qu le pousse à souscrre auprès de l assureur, un contrat d assurance l ndemnsant en cas de snstre. L assuré cherche à travers ce contrat à dmnuer l écart de revenu entre deux états de nature dfférents, ce qu revent à garder le ben ou perdre le ben. L assureur est par contre, neutre au rsque. En contreparte de l ndemnté d assurance, l demande à l assuré de lu verser une prme d assurance. Pour calculer cette prme, l assureur dot dentfer le type d assuré avec lequel l va contracter : s agt-l d un assuré à bas rsque ou d un assuré à haut rsque? La dfférencaton de la clentèle s avère une tâche dffcle pour l assureur. La soluton est donc de créer des clauses d auto-sélecton et des clauses de partcpaton. C est ans que

55 Chaptre 1 52 l assuré pusse révéler son type, que le contrat sot adapté à lu et que le marché pusse fonctonner d une façon normale. Le problème c est que les contrats des bas rsques vont certanement attrer les assurés à hauts rsques. En effet, la présence d ndvdus à hauts rsques sur le marché d assurance va chasser 39 les bas rsques. l faut que les assureurs leurs proposent des contrats à forte prme mas avec une assurance complète, et pour les bas rsques, un contrat avec prme actuarelle et couverture partelle. l faut noter ensute, que cette classfcaton de la clentèle crée entre autre, un problème de généralsaton des contrats de franchse. Néanmons, la franchse est génératrce de fraude. Les assurés refusent de supporter une parte du snstre. La soluton pour eux est de frauder en augmentant la déclaraton de dommage pour récupérer la franchse. Pour eux frauder est normal pusqu ls paent déjà une prme élevée. Néanmons, l ne faut pas condamner unquement les ndvdus à bas rsques de fraude, car l ne faut pas oubler la tentaton des hauts rsques à se transformer en bas rsques et qu ls pussent trouver de la franchse un moyen de fraude. En concluson, l n exste pas de profl type du fraudeur. Ce qu on peut dre à ce nveau, est qu l s agt juste d un ndvdu qu espère avor plus qu l en a drot avec tout moyen. Parallèlement à ce problème de classfcaton, les assureurs dovent penser à résoudre le problème d aléa moral 4. l faut que les snstres soent aléatores pour que le marché d assurance fonctonne correctement. L assuré ne dot pas par conséquent agr n sur la pérodcté du snstre n sur son ampleur. En résumé, le problème d asymétre d nformaton entre l assureur et son contractant peut générer un problème de fraude. la base, l s agt du manque d nformaton sur le type de l assuré (bas rsque ou haut rsque) ans que sur le fat s l est mal ntentonné ou pas. Ce problème semble se répercuter sur l assureur, mas l ne faut pas oubler qu l a auss un grand effet sur l assuré lu-même. En effet, l exstence d aléa moral, nflue drectement sur les prmes et sur les remboursements d assurance du fat que l assureur va proposer des contrats dfférents (prmes dfférentes, et ndemntés dfférentes). 39 l s agt d un terme utlsé par erlof, qu a étudé les marchés de ventes de votures d occasons et s est aperçu que les mauvas clents chassaent les bons clents. 4 Rsque moral : traducton de l expresson anglase «hazard moral» qu montre l exstence d une asymétre d nformaton sur les varables endogènes entre l assuré et l assureur. L assuré peut agr sur cette asymétre avant ou après la sgnature du contrat.

56 Chaptre 1 53 Concluson et dscusson : Très peu d études statstques et qualtatves se sont ntéressées à l analyse du problème de fraude et de l effcacté des moyens et des technques approprés pour la combattre. Par contre, une lttérature très rche et abondante est dstnguée dans le domane de la modélsaton théorque. Dans ce premer chaptre, nous avons présenté à travers une synthèse analytque ce qu se passe en réalté en assurance et notamment, les dfférents scénaros de fraude et les actons entreprses par les assureurs pour lutter contre ce phénomène. Nous avons dégagé certans ponts centraux sur lesquels les assureurs dovent s arrêter et être plus vglants. Le premer problème qu entrave les assureurs est celu lé au rsque moral. En effet, à la souscrpton du contrat, les assureurs se trouvent devant une ncapacté d observer les caractérstques morales de l assuré et celles du rsque qu l demande de couvrr. ls sont dans beaucoup de cas, oblgés sans avor l ntenton de le fare, d accepter des rsques de mauvases qualtés que leurs poltques de geston du rsque leur auraent consellé de ne pas prendre ou moyennant une rémunératon supéreure. La queston qu nous vent à l esprt, est : comment pourrat-on rédure ou évter ce problème de rsque moral? Quels sont ans, les facteurs les plus pertnents sur lesquels les assureurs dovent se baser pour pouvor dentfer le type de leurs clents ans que la qualté des rsques à couvrr? ce problème de rsque moral, s ajoute le problème de manque ou d nsuffsance de la crculaton de l nformaton entre l assureur et l assuré. Nous vsons surtout, à éveller l attenton des assureurs sur le fat que les assurés sont souvent très mal-nformés sur les actons pouvant être entreprses contre eux en cas de tentatves de fraude. Notamment, la possblté de vérfcatons très mnuteuses des snstres, à travers les expertses et les enquêtes. l faut que les assurés sachent que les experts sont des gens de la professon et que les enquêteurs sont des ancens fonctonnares de polce judcare. De plus, l est ndspensable que les assurés soent conscents du danger de la fraude en leur rappelant l ampleur des sanctons monétares et pénales qu peuvent leur être applquées en cas de détecton. l est vra que contrôler systématquement toute déclaraton de snstre, représente un gage de sécurté à la compagne d assurance. Mas l ne faut pas oubler, les coûts d expertse et d enquêtes. l est parfos plus ntéressant à l assureur, et surtout pour les petts dommages, de rembourser drectement le snstre sans fare appel aux servces de l expert à cause du coût qu

57 Chaptre 1 54 en découle. Cette éventualté pousse certans assurés à profter des petts snstres pour se procurer un moyen d obtenton d une ndemnté plus élevée. Ce pont d arbtrage entre la mnmsaton des coûts d un coté et la lutte contre les manœuvres frauduleuses d un autre coté, nous semble très central, dans la mesure où l nécesste une étude plus préceuse et plus approfonde. De surcroît, l s avère ntéressant de tester l effcacté ans que la forme d audt la plus pertnente. Faut-l mener un audt détermnste ou un audt aléatore? Sur quelle base l assureur dot s appuyer pour prendre sa décson d audt? Quelle mesure faut-l entreprendre et quel contrat faut-l offrr pour ncter l assuré à ne pas frauder? Un autre pont que nous avons dscuté dans ce chaptre, concerne les mesures répressves et les sanctons applquées aux comportements frauduleux. l s agt de l applcaton des los fxées par les légslatons et du recours aux procédures pénales pour défnr et décder, de quo dot-on sanctonner telle délnquance, telle escroquere ou tel crme Le problème que nous avons dstngué est qu l n est pas toujours vra que les assureurs applquent avec certtude ces pénaltés et fassent appels aux juges. En effet, et dans la majorté des cas, les assureurs se contentent de refuser de prendre en charge le snstre. Les fraudeurs ne rsquent donc pas ou que très peu de pene de justce. De plus, les assureurs n ntentent pas de procès à l encontre de l assuré, même s toutes les preuves formelles sur le comportement de fraude sont étables. Cette procédure est trop coûteuse et n aboutt pas à une pene pour l assuré. Souvent, en cas de détecton de la fraude, l n est demandé à l assuré que de resttuer les fras de dosser encourus par l assureur. Cependant, les avantages fnancers procurés par le comportement frauduleux, s avèrent plus élevés que le rsque de penes jurdques. Ces constatons, nous ont poussé à réfléchr encore plus sur la crédblté et l effcacté des systèmes de sanctons utlsés pour combattre la fraude. La queston qu nous a orenté est la suvante: est ce que les sanctons applquées par les assureurs pour pénalser la fraude sont assez sévères pour avor un effet dssuasf effcace? Une dernère réflexon sur laquelle nous pouvons mettre l accent dans notre recherche, est relatve à l effet de l ampleur et de la fréquence de survenance des snstres sur le comportement de l assuré vs-à-vs de la fraude. Notamment, nous cherchons à explquer la décson de fraude par le bas de certanes varables qu ont un rapport drect avec l assuré. D après ce que nous avons remarqué dans les dfférents dossers de fraude étudés, l exste des snstres qu sont plus sujets à la fraude que d autres. En assurance automoble, les exemples sont multples et varés. En effet, les enquêtes réalsées confrment que les cas sont très nombreux et les fraudes sont tellement fréquentes qu elles tendent à être banalsées (brs de glace, faux vol de votures, faux cambrolages, faux accdents de crculaton ).

58 Chaptre 1 55 quo est due cette abondance de fraude dans ce domane d assurance? S agt-l d un mauvas fonctonnement de la professon? Ou ben de non-conformté des contrats par rapport aux rsques couverts? Ou tout smplement d un domane très favorable pour que l assuré en trouve faclement un moyen pour se procurer de l argent? Enfn, l faut noter que l assureur n est pas tout seul responsable du développement de la fraude ; l assuré auss en est le premer coupable. C est ce qu fat de la fraude un problème majeur qu nécesste une étude très mnuteuse et plus approfonde. Le manque de gude économque et d appu statstque à l ensemble des assureurs, nous a motvé à élaborer une approche expérmentale qu combne tros types d analyse. La premère est théorque. Elle adopte une modélsaton qu formalse économquement le problème de fraude. Cette modélsaton, analyse l nteracton entre un assuré averse au rsque et un assureur neutre au rsque. La stratége de l assuré est défne par son chox de frauder ou de dre la vérté au moment de la déclaraton du snstre. Par contre, celle de l assureur consste à décder de mener ou pas un audt. Une extenson de notre modélsaton consste à ntrodure la possblté pour l assuré de recourr à un ntermédare pour falsfer le snstre. Cette falsfcaton, sert à rendre l audt plus dffcle et du coup, l assureur ne peut plus détecter la fraude avec certtude. Nous vsons à confronter les deux versons d audt : parfat et mparfat; afn d élaborer une comparason et en retrer les solutons pour combattre la fraude d une façon effcace. La méthodologe que nous avons adoptée, dans la deuxème classe d analyse, se fonde sur une étude expérmentale de la fraude à l assurance. l s agt de tester en laboratore, les prédctons de la théore. Cette étude a pour objectf d analyser à dfférents nveaux les comportements de fraude manfestés par les assurés, leurs motvatons à entreprendre de telles actons, et le pouvor de l audt et des sanctons à créer des effets dssuasfs effcaces. Notamment, la confrontaton des assurés aux assureurs, nous ade à meux contrôler, les problèmes de rsque moral et d nformaton que nous avons soulevés précédemment. Enfn, le trosème type d analyse est économétrque et nous permet de tester la valdté de nos résultats expérmentaux.

59 Chaptre 2 56 ntroducton générale :...57 Secton 1 : Dscusson des hypothèses de base L hypothèse d asymétre d nformaton : Rsque Moral et Sélecton dverse L hypothèse d engagement dans une stratége d audt : Quelle soluton au problème de non engagement?...68 Secton 2 : L audt détermnste Les dfférentes approches théorques : L hypothèse d asymétre de l nformaton : La descrpton de la relaton entre les contractants : La caractérsaton du contrat optmal : Le cadre d analyse : Contrat optmal en cas d audt détermnste : Le coût d audt :...86 Secton 3 : L audt aléatore Les dfférentes approches théorques : Le cadre d analyse : Le contrat optmal en cas d audt aléatore : Sancton et répresson :...11 Secton 4 : Les extensons théorques L mplémentaton de la stratége d audt optmale : le «scorng» Falsfcaton et dffculté de l audt :...15 Concluson et Dscusson :...19

60 Chaptre 2 57 ntroducton générale : Le coût de la fraude à l assurance : quelques éléments statstques : Combattre les snstres frauduleux est devenu un problème majeur qu concerne la plupart des compagnes d assurance. Le degré de sévérté de cette fraude dépend des dfférentes formes qu elle revêt. Nous dstnguons généralement les deux formes suvantes : la déclaraton d un faux snstre et l augmentaton du montant d un dommage réel. L objectf essentel des fraudeurs est de chercher à obtenr des ndemntés plus généreuses. Pcard (1996b) adopte les deux défntons suvantes. l appelle fraude opportunste, celle qu consste à profter d un accdent dans son propre ntérêt. Et la fraude planfée, celle qu résulte d un acte crmnel 1. Wesberg et Derrg (1991) et Hoyt (1989), dstnguent quatre types de fraude : la fausse déclaraton des fats, la fausse déclaraton du rsque, l exagératon du dommage et la fraude planfée. Ben qu l est mpossble de mesurer avec exacttude la proporton du coût de snstres attrbuée à la fraude, les assureurs savent que la fraude peut ntervenr dans touts les secteurs de l assurance et représente au mnmum 5% du montant des snstres annuels. Les taux de fraude les plus élevés concernent surtout les ncendes, les accdents et vols automobles et les accdents corporels 2. En Europe, le comté européen des assurances consdère que la fraude à l assurance représente entre 5 et 1% de la totalté des ndemntés d assurance (vor lary et Besfamlle, 2). L étendue estmée de la fraude dans le marché d assurance automoble espagnole, tel qu l état reporté par rts et al. (1999), fluctue entre 15 et 6%. Le défct économque annuel estmé, provenant de la fraude, sur le marché d assurance allemand, est d à peu prés 2 bllons d euros, ce qu représente 11% des ndemntés payées. u Canada, Mezda (1998) 1 Cette termnologe est ssue des travaux de Wesberg et Derrg (1993) 2 Par exemple, dans leur étude portant sur l assurance des accdents corporels d automoble, Wesberg et Derrg (1991, 1992) ont montré que le taux de fraudes soupçonnées est de 1%. Le pourcentage de snstres douteux, attent 48,2% en 1989 après la réforme de la lo de l assurance automoble de En outre, selon Mooney et Salvatore (199), presque 13% des snstres en assurance automoble, en Florde, sont frauduleux. Les études économques de Donne et St Mchel (1991) et Donne et al. (1992), portants sur la compensaton des travalleurs, montrent que l exagératon des montants de dommage est partculèrement mportante pour certans snstres, tels que les problèmes de la colonne vertébrales ou des douleurs de dos, qu sont très dffcles à dagnostquer. L organsaton amércane de lutte contre la fraude (U.S. Coalton ganst nsurance Fraud [CF]) note qu en 1992, le coût de la fraude s élève à 85$ par famlle amércane (vor Lloyd s Lst nsurance, 26 avrl 1995).

61 Chaptre 2 58 estme que la fraude à l assurance attent 2 bllons de Dollars des prmes d assurance automoble dans le pays. Boyer et Schller (23) affrment qu aux Etats-Uns, la fraude à l assurance automoble représente une ndustre réalsant des chffres prohbtfs de mult bllons de Dollars. «The Unted States General ccountng Offce» estme que 1 dollar sur 7 dépensé en fras médcaux est assocé à la fraude et qu en 1998 le coût de snstre frauduleux s élève à 12 bllons de dollars (Department of Justce, 1999) 3. Brocett et al. (1998) montrent que le montant de la fraude aux Etats-Uns est de 2 bllons de Dollars annuellement, dont 6 bllons peuvent être attrbués aux excès de paement. En étudant les bases de données des assureurs, Wesberg et Derrg (1991) estment que 1% de l ensemble des snstres sont frauduleux, 35% à 48% d entre eux prennent l aspect d une exagératon du dommage. Le bureau d assurance canaden reconnaît l mportance de la fraude dans le pays. En 2, la Coalton Canadenne contre la Fraude à l ssurance trouve que 25% des accdents déclarés contennent des éléments de fraude coûtant 5 mllons de dollars à l ndustre, par an. Pour le Canada tlantque, spécfquement, le même rapport avance que 28% des déclaratons d accdents sont frauduleux, ce qu équvaut à un montant fluctuant entre 4 mllons et 6 mllons de dollars. La nécessté de la lutte contre la fraude à l assurance : La lutte contre la fraude prend pluseurs formes. Premèrement, les assureurs peuvent nvestr dans des dépenses d apprentssage de leur personnel, ce qu permet aux experts de devenr plus aptes à dentfer les déclaratons frauduleuses, tel que par exemple, pour les snstres où l n exste pas de témons, certans doutes peuvent être soulevés, en ce qu concerne leur valdté (vor Donne et Gagné, 21). Une deuxème possblté, pour les assureurs est d nvestr dans des procédures d audt plus approfondes, ce qu coûte ben sûr plus cher à la compagne. Par exemple, l assureur peut fare appel à des nvestgatons prvées. La trosème possblté est de déléguer la tâche d nvestgaton à un organsme ndépendant. En effet, la fraude à l assurance a été longtemps consdérée comme étant une charge nécessare pour les assureurs. Un changement de ce pont de vue est récemment apparu pour prouver qu l est ndspensable de gérer et de combattre cette fraude (vor The Whte paper on nsurance fraud, 2). Cependant, la fraude à l assurance est complexe par sa nature. Notamment sa mesure et sa détecton représentent deux tâches très dffcles à mener. Comme 3 Source : Departement of Justce Health Care Fraud Report, Fscal Year Washngton, DC: Departement of Justce, 1999.

62 Chaptre 2 59 le démontrent Wesberg et Derrg (1991), Cummns et Tennyson (1996) et Nelson et Kleffner (23), la fraude est facle à se produre mas dffcle à réfuter du fat des coûts prohbtfs que cela mplque. La lttérature sur le sujet est très abondante. Un courant de travaux récents s est ntéressé à l analyse de la fraude et de l expertse (vor Pcard, 1996 ; Boyer, 2 et Schller, 23). Une majorté de cette lttérature s est focalsée le problème d asymétre d nformaton entre l assureur et l assuré qu peut être traté à l ade du prncpe de révélaton (vor Townsend, 1979 ; Mooherjee et Png, 1989 et Bond et Crocer, 1997). ns, lorsque l nformaton concernant les dommages est détenue par les seuls assurés, les contrats d assurance dovent souvent mplquer des procédures d expertse permettant aux assureurs de vérfer l ampleur et la survenance des snstres. Selon Fagart et Pcard (1999), ces contrats assurent l arbtrage entre deux objectfs conflctuels : le partage de rsque entre l assuré et l assureur d un coté et la mnmsaton du coût de vérfcaton espéré d un autre coté. l en résulte ans, la formaton d un contrat qu assoce une couverture d assurance à la procédure de contrôle. Ce contrat est appelé : polce d audt. L analyse économque de l audt a été développée à travers les deux dernères décennes, prncpalement dans un contexte fnancer en étudant la relaton emprunteur-prêteur avec asymétre d nformaton, (vor Townsend 1979, Damond 1984, Gale et Hellwg 1985, et Wllamson 1986, 1987) et dans un contexte d évason fscale, notamment dans les travaux de Renganum et Wlde (1985), de Border et Sobel (1987) et Mooherjee et Png (1989). Plus récemment, l étude de l audt a été applquée à l assurance, et en partculer au phénomène de fraude à l assurance. La procédure d audt revêt une multtude de formes. Nous dstnguons généralement l audt détermnste et l audt aléatore. L audt détermnste spécfe s une vérfcaton du snstre aura leu ou pas, selon l ampleur des dommages (Townsend, 1979). La couverture d assurance optmale, en cas d audt détermnste dot être caractérsée en tenant compte de certanes hypothèses 4. Notamment, l hypothèse sur ce qu est observé par l assureur et celle sur la capacté de l assuré à manpuler le nveau de perte (vor Bond et Crocer, 1997 ; Goller,1987 ; Huberman, Mayers et Smth,1983 ; Pcard,1999). En partculer, le nveau de couverture optmal mplque la non vérfcaton des petts snstres et l applcaton d une franchse lorsque les snstres excèdent un certan nveau. 4 Des hypothèses alternatves ont été consdérées par la lttérature tratant le contexte fnancer : averson au rsque par Wnton (1995), audt stochastque par Krasa et Vllaml (1994) et Boyd et Smth (1994), hétérogénété et nformaton prvée concernant le type de l emprunteur par Boyd et Smth (1993) et contrats mult-pérodques par Chang (199).

63 Chaptre 2 6 L audt aléatore, quant à lu, désgne la vérfcaton non systématque des snstres, c'est-àdre l assureur contrôle les dommages avec une probablté qu dépend de l ampleur de la perte déclarée. Comme le montre ntalement Townsend (1979), l audt aléatore peut domner l audt détermnste au sens de Pareto. Mooherjee et Png (1989), montrent que lorsque la procédure d audt est aléatore, le contrat optmal exste s l assuré manfeste un degré mnmal d averson au rsque. Ces deux auteurs montrent que la polce d audt optmale correspond à l audt aléatore (quelle que sot la talle du snstre), s à l équlbre, et pour tous les états de nature, l assuré peut être sanctonné en cas de fausse déclaraton. ls proposent auss, de récompenser l assuré honnête en cas d audt, en lu remboursant une ndemnté plus élevée que celle versée en cas de non vérfcaton du snstre. La plupart des études effectuées sur la fraude à l assurance et l audt, utlsent le paradgme connu sous la dénomnaton «Etat de Vérfcaton Coûteuse», pour analyser l mpact des snstres frauduleux sur les polces d assurance ans que sur le fonctonnement des marchés d assurance. Ce paradgme consttue une classe partculère des modèles économques avec asymétre d nformaton (rsque moral ex post), où la manpulaton de l nformaton est possble pour la parte nformée (comportement opportunste). Cette nformaton ne peut être obtenue par la parte non nformée qu à un certan coût (généralement fxe). Pour plus de détals vor, Coester et Fombaron (23) et Boyer (23). D autres travaux théorques utlsent un deuxème paradgme appelé «Etat de Falsfcaton Coûteuse». Ce paradgme est tel que, l exagératon des montants de snstres rend l occurrence et la magntude du dommage, très coûteuses à vérfer (les coûts de contrôle sont prohbtfs). Pour plus de détals sur les modèles avec état de falsfcaton coûteuse, vor Pcard (2). Crocer et Morgan (1998), présentent un modèle dans lequel les assurés sont capables de dépenser des ressources leur permettant de falsfer les dommages et rendre leur vérfcaton mpossble. La stratége d audt optmale, mplque la sur-assurance des petts montants de snstres et l assurance partelle des grands dommages. Néanmons, les auteurs montrent qu à l équlbre, l exste toujours un certan degré de fraude. Certans travaux emprques ont testé cette prédcton théorque, tels que Donne et Gagné (1997, 21 5 ) et Crocer et Tennyson (1998, 22). En outre, l exste une hypothèse mportante à laquelle toute modélsaton dot s ntéresser. l s agt de l hypothèse d engagement. Boyer et Schller (23) supposent que la compagne 5 Donne et Gagné (21) montrent que le contrat de franchse peut avor un effet sur le nveau de falsfcaton à l équlbre. ls confrment que ce type de contrat est observé sur pluseurs marchés. En effet, une franchse élevée peut ncter à la fraude, partculèrement lorsque l assuré antcpe que le snstre aura une très pette probablté pour être vérfé. Nous donnons plus de détals sur ce paper dans le paragraphe tratant le cas de falsfcaton et d mperfecton d audt.

64 Chaptre 2 61 d assurance est ncapable de s engager dans une procédure d audt lorsque le snstre est déjà déclaré. Cependant, à l équlbre, la fraude exste. Par conséquent, le problème prcpal-agent est non résolu, comme le prouve Khall (1997). Boyer (23) et Crocer et Tennyson (1999) montrent que lorsque l assureur est ncapable de s engager dans une stratége d audt, le contrat optmal utlsant l approche d état de falsfcaton coûteuse, est smlare au contrat optmal utlsant l approche d état de vérfcaton coûteuse (vor Lacer et Wenberg, 1989 et Crocer et Morgan, 1998). En résumé, l objectf de ce chaptre est de présenter les dfférents courants théorques qu ont traté le problème de fraude et d audt. Notre démarche porte ans, sur les tros partes suvantes : La premère parte concerne la présentaton des dfférentes hypothèses posées pour formuler le problème de fraude dans un contexte d audt. Notamment, l s agt de présenter l hypothèse d asymétre d nformaton et celle d engagement. La deuxème parte est dédée à la présentaton des travaux s ntéressant à l audt détermnste et à la manpulaton des coûts de contrôle par l assuré. Dans cette parte, nous recourons à un modèle smple nspré de la lttérature. Enfn, dans la trosème parte, nous mettons l accent sur l audt aléatore. En effet, nous présentons une formulaton théorque de la fraude en cas d audt aléatore, dont les résultats sont smlares à ceux de la lttérature sur le sujet. Ce chaptre va nous servr de base pour notre parte théorque consacrée à la modélsaton économque du phénomène de fraude à l assurance selon les deux versons d audt (parfat et mparfat). Secton 1 : Dscusson des hypothèses de base 1.1. L hypothèse d asymétre d nformaton : Rsque Moral et Sélecton dverse «La lttérature sur les marchés en nformaton mparfate, dont l assurance fournt un champ prvlégé d applcaton, dstngue habtuellement deux catégores de phénomènes : ceux qu sont lés à l nobservablté d une caractérstque naltérable du ben ou servce échangé, que l on qualfe de phénomène d antsélecton.

65 Chaptre 2 62 Ceux qu provennent de l nobservablté d une acton entreprse par l un des deux partenares de l échange, que l on classe sous la rubrque de phénomènes de «moral hazard» ce qu on tradut parfos par rsque moral.» 6 Les allocatons Pareto-optmales assocées aux marchés concurrentels peuvent ne pas exster à cause de deux problèmes majeurs : le rsque moral et la sélecton adverse. Ces deux phénomènes sont lés à l nobservablté d une caractérstque naltérable du ben échangé ou de l ndvdu. Les marchés d assurance représentent un contexte prvlégé pour l étude de tels phénomènes. En cas de fraude, l s agt d une part de l nobservablté de l ampleur et de la survenance effectve du dommage, et d autre part, de l nobservablté de la nature de l assuré «honnête ou opportunste». En effet, d après Lgon et Thstle (1996a), l offre monopolstque d assurance parvent dans les marchés où les problèmes de rsque moral et de sélecton adverse sont présents smultanément. ns, et à cause de la complexté analytque, les deux phénomènes ont été rarement consdérés ensembles dans les modèles économques tratant les marchés d assurance. Toutefos, le problème de rsque moral mplque la non convexté des courbes d ndfférences des consommateurs (vor rnott et Stgltz, 1988). Par conséquent, lorsqu l s agt de trater les questons concernant l équlbre en présence d un problème de sélecton adverse dans les marchés d assurance concurrentels (Rotschld et Stgltz, 1976 ; Wlson, 1977 ; Myaza, 1977 ; et Spence, 1978), l analyse devent plus dffcle (vor rnott, 1991). Plus récemment, la lttérature a étudé les marchés où les problèmes de rsque moral et de sélecton adverse sont smultanément présents. Par exemple, Laffont et Trole (1986) et Pcard (1987) ont essayé de caractérser les programmes d optmsaton nctatfs, lorsqu l exste à la fos un problème de rsque moral et un problème de sélecton adverse, mas ls n ont traté que le cas d agents neutres au rsque. Baron et Besano (1987) ont procédé à une extenson de cette approche et ce, en tratant le cas où les agents sont averses au rsque. La smultanété de la présence de la sélecton adverse et du rsque moral a été auss consdérée par Donne et Lassere (1988), Hoy (1989), Bond et Crocer (1991), et Stewart (1994). Donne et Lasserre (1988) étudent le cas d un assureur monopole et lorsque les contrats s établssent sur pluseurs pérodes. ls prouvent que le contrôle des dévatons des pertes par rapport à la moyenne permet de contrôler les dévatons des efforts par rapport au nveau effcent. De plus, ls montrent que l autosélecton 7 peut ader à résoudre le problème de 6 Cté dans : Mcroéconome de l assurance, Domnque Henret et Jean Charles Rochet, ed. Economca (1991) 7 L autosélecton se réfère à l ensemble des chox que font des ndvdus avec dfférentes caractérstques lorsqu ls font face à pluseurs contrats.

66 Chaptre 2 63 rsque moral, auss ben que le problème de sélecton adverse. Hoy (1989) s est focalsé sur la valeur de l nformaton en présence de sélecton adverse et de rsque moral. Bond et Crocer (1991) consdèrent le cas où l nformaton cachée concerne les bens dont la consommaton est corrélée avec la probablté de perte. Stewart (1994) caractérse l équlbre des marchés d assurance compéttfs, en présence de rsque moral et de sélecton adverse et se focalse sur les effets de rchesse, lorsque les deux problèmes sont présents smultanément sur le marché. Lgon et Thstle (1996a) ont essayé de résoudre les problèmes nformatonnels de sélecton adverse et de rsque moral à travers l étude du cas d un assureur monopole sur une seule pérode. Leur modèle représente une généralsaton du modèle de sélecton adverse de Stgltz (1977). Les auteurs montrent que les dstorsons dues au rsque moral sont suffsamment modérées, et par conséquent la courbe d so-proft de l assureur est concave et la courbe d ndfférence du consommateur est convexe. Ensute, ls étudent le fat que le problème de sélecton adverse peut ntervenr d une façon endogène, en détermnant la valeur de l nformaton compte tenu du type du consommateur. L nformaton peut être acquse avant ou après la négocaton du contrat. Cependant, selon Lgon et Thstle (1996a), l nformaton postéreure au contrat a de la valeur pusqu elle permet d avor un nveau d effort chos de façon optmale. Ces résultats représentent l extenson de certans travaux, tels que Crocer et Snow (1992), Doherty et Thstle (1996) et Lgon et Thstle (1996b) tratant la valeur de l nformaton en cas de sélecton adverse, et Boyer, Donne et Khlstrom (1989) et Hoy (1989) étudant la valeur de la dsponblté de l nformaton en cas de rsque moral. Comme nous l avons déjà mentonné au début de cette secton, les problèmes de sélecton adverse et de rsque moral ont largement été étudés par la lttérature travallant sur les marchés d assurance. L hypothèse majeure sur laquelle est fondée toute modélsaton du phénomène de fraude à l assurance avec audt, est notamment la détenton de l nformaton prvée en ce qu concerne la réalsaton effectve et l ampleur du dommage par l assuré. Cec amène par conséquent à l apparton d un problème de rsque moral entre l assureur et l assuré, et au problème de sélecton adverse. Sans engagement dans une procédure d audt crédble, l assureur ne peut jamas obtenr cette nformaton, comme l ne peut jamas découvrr le type de l assuré avec qu l contracte : est-l du type honnête ou opportunste? (vor Pcard, 1996b). Bond et Crocer (1997) ont caractérsé les contrats d assurance optmaux dans un contexte de fraude et en supposant que les coûts de contrôle sont endogènes. Les auteurs se sont fondés sur l approche de Townsend (1979). ls ont consdéré que les assurés possèdent de l nformaton prvée sur leurs pertes actuelles et qu ls ont la possblté de s engager dans des manœuvres évasves. Les auteurs ont montré comment les

67 Chaptre 2 64 problèmes de rsque moral et d asymétre d nformaton peuvent affecter l effcence du contrat d assurance. nnes (199) et Donne et Vala (1992) ont étudé un modèle tratant les problèmes de rsque moral dans un contexte d audt coûteux. Leur objectf est d analyser les comportements des agents et l effet de leurs stratéges sur la dstrbuton de probablté des états de rchesse. Enfn, notons que dans la plupart des modèles prncpal agent avec asymétre d nformaton, l audt permet au prncpal d obtenr de façon parfate l nformaton prvée détenue par l agent. En matère de fraude à l assurance, l audt parfat sgnfe la détecton systématque de la fraude par l assureur. En revanche, certans travaux théorques montrent qu l s avère parfos dffcle pour l assureur de détecter et/ou de prouver la fraude même s ls dsposent de moyens de contrôle de plus en plus effcaces. En effet, Donne et St.Mchel (1991) et Donne et al (1992) ont effectué des études économétrques portant sur l assurance du traval. ls montrent que le type de fraude qu consste à exagérer la gravté de la malade ou tout smplement à la smuler, est partculèrement fréquent pour les malades dffcles à dagnostquer (dffculté d avor l nformaton sur les patents). En résumé, la premère hypothèse à développer pour modélser le problème de fraude à l assurance consste à défnr la nature des relatons entre les ndvdus (les assurés et les assureurs). Notamment, l s agt de précser s les deux contractants sont asymétrquement nformés quant à l état de snstralté (survenance et ampleur du dommage) et de défnr les dfférentes actons prses par les deux partes plus partculèrement l engagement de l assureur dans une procédure d audt. Cec permet de caractérser le contrat d assurance optmal L hypothèse d engagement dans une stratége d audt : L hypothèse d engagement sgnfe que l assureur peut s engager dès la sgnature du contrat dans une stratége d audt. En effet, l assureur annonce dès le début qu l va vérfer la déclaraton de snstre de l assuré avec une probablté d audt prédéfne. Compte tenu de ce contrat proposé et de la probablté d audt, l assuré chost de révéler ou pas son nformaton prvée. En outre l hypothèse de non engagement sgnfe que l assureur n est pas capable d annoncer sa stratége d audt dés le départ. Sa décson d audt n est prse qu une fos que la déclaraton de dommage est effectuée.

68 Chaptre 2 65 Sous le paradgme «d état de vérfcaton coûteuse», l assureur s engage dès le départ dans une stratége d audt et l n aura aucune nctaton à mener un audt ex post. Par conséquent, le contrat optmal ndut l assuré à ne pas fare de déclaratons frauduleuses, et l assureur préfère par conséquent ne pas mener un audt ex post et économser les coûts de vérfcaton. En revanche, sous l hypothèse de non-engagement, le contrat optmal prend la forme suvante : l assuré est ncté à ne pas déclarer un snstre frauduleux et l assureur est motvé à mener un audt. Sans engagement, la stratége d audt représente la melleure réponse aux stratéges de fraude des opportunstes 8. u-delà de l audt en assurance, Beaudry et Potevn (1995) présentent une étude sur l audt fnancer, décrvant la relaton entre un emprunteur et un prêteur. Pour explquer le problème de non engagement, Khall (1997) s ntéresse à une approche concernant le régulateur monopolste. Pour Pcard (1996b), l engagement produt un avantage de Stacelberg 9 à l assureur, comme dans la lttérature portant sur les mpôts sur les revenus, où l admnstraton fscale joue comme un «Stacelberg Leader», lorsqu l s agt de chosr sa stratége d audt fscal (vor Renganum et Wlde [1985 1, ] ; Border et Sobel 12, 1987 et Mooherjee et png, 1989). En revanche, être ncapable à s engager supprme tous les avantages d être un leader. 8 Greenberg (1984), Renganum et Wlde (1985), Graetz et al. (1989), Erard et Fensten (1994) se sont focalsés sur le jeu d audt coûteux. Khall (1997) et Choe (1998) consdère de plus le problème de caractérsaton du contrat. Le résultat le plus mportant est que l audt est effectué avec une probablté postve (équlbre en stratéges mxtes dans le jeu d audt-fraude). 9 En cas d engagement dans une stratége d audt, la compagne d assurance a un avantage de Stacelberg dans le jeu d audt : la probablté de vérfcaton est chose de façon à mnmser le coût espéré étant donnée la foncton de réacton des assurés opportunstes. En revanche, sous l hypothèse de non engagement, le résultat du jeu d audt est assocé à un équlbre Bayesen parfat où : premèrement, la stratége des opportunstes est optmale étant donnée la polce d audt, deuxèmement, l audt est optmal étant donnée les croyances des assureurs sur la probablté de fraude ; et enfn les croyances des assureurs dépendent des probabltés de perte et des stratéges des opportunstes utlsant la règle de Bayes. 1 Renganum et Wlde (1985) présentent un modèle où l admnstraton fscale (collecteur d mpôt) maxmse son revenu net et utlse un programme de somme forfatare d mpôt. Les auteurs montrent que le programme optmal est détermnste. 11 Renganum et Wlde (1986) montrent que le seul équlbre possble représente un équlbre en stratéges mxtes, tel que la probablté d audt est aléatore et la fraude ne peut pas être totalement élmnée. 12 Border et Sobel (1987) s ntéressent à l étude de la relaton prncpal agent dans un contexte d mpôt avec asymétre d nformaton sur le revenu de l agent. ls supposent que le prncpal nformé unquement sur la dstrbuton de probablté de la rchesse de la populaton dspose de moyens coûteux pour parvenr à découvrr la rchesse réelle des contrbuables. Les auteurs tennent compte des programmes de révélaton drecte, c est-àdre les programmes où l agent déclare sa vrae rchesse et contrbue aux paements nécessares à son prncpal dont le montant de ces transferts est calculé sur la base de la déclaraton de revenu. Le prncpal est supposé s engager dans une procédure de contrôle stochastque. l chost ans la probablté d audt avec laquelle l contrôlera la déclaraton de revenu du contrbuable. Leur modèle montre qu un programme effcent est

69 Chaptre 2 66 En absence d engagement, la stratége d audt dot représenter la melleure réponse face à la stratége de fraude (Graetz et al., 1986 et Melumad et Mooherjee, 1989). De même dans les papers de Sanchez et Sobel (1993) et Graetz, Renganum et Wlde (1986), les auteurs montrent qu en cas de non engagement dans une procédure d audt fscal, l exste des agents qu réussssent à frauder et payer des mpôts mons élevés que ce qu ls dovent réellement payer au trésor publc. Wlson (1977) et Pcard (1996b), consdèrent que les polces d assurance sont échangées sur un marché concurrentel à lbre entrée, que les échanges sont affectés par des problèmes de sélecton adverse, et que les compagnes d assurances ne peuvent pas fare la dstncton entre les assurés honnêtes et les assurés opportunstes. Selon Rothschld et Stgltz (1976) et Wlson (1977), la nature de l équlbre qu peut émerger dans un marché compéttf avec problème d autosélecton, dépend de la façon avec laquelle les frmes antcpent les réactons des concurrents. La défnton de l équlbre avancée par Pcard (1996b) sut celle de Wlson (1977) : l est supposé que les frmes antcpent que les polces qu devennent non proftables seront retrées du marché 13. L équlbre est ans caractérsé par un contrat de poolng qu maxmse l utlté espérée des assurés honnêtes, sous la contrante que ces assurés quttent le marché lorsqu ls sont affectés par les opportunstes. En d autres termes, les compagnes d assurance dovent attrer la clentèle honnête sous la contrante addtonnelle que les opportunstes ne peuvent jamas ntervenr. La soluton à laquelle aboutt Pcard (1996b) est qu l exste deux stratéges optmales pour la compagne d assurance : ou ben empêcher les snstres frauduleux par l audt avec une probablté égale au seul d ndfférence 14, ou au contrare s abstenr totalement d une stratége d audt. En contreparte, dre la vérté représente une stratége optmale pour les opportunstes (lorsque la probablté d audt est égale au seul d ndfférence). En partculer, dssuader la fraude par audt aléatore est optmal s le coût est suffsamment fable et la proporton des opportunstes est suffsamment grande. En revanche, dre la vérté (non fraude) ne peut pas être une stratége d équlbre dans le cas de non engagement. Par conséquent, une caractérsé par la crossance monotone de l mpôt (transfert de l agent au prncpal) et la décrossance de la probablté d audt en foncton de la rchesse déclarée par l agent. 13 L équlbre défn dans le paper de Pcard (1994), et dans le paper de Wlson (1977) contredt celu défn par Rothschld et Stglz (1976), et dans lequel les frmes possèdent des espérances statques et respectent les offres de leurs concurrents. Pcard montre auss que l équlbre de R-S est ben l équlbre de Wlson et que l équlbre de R-S peut ne pas exster lorsque les coûts d audt sont très élevés. 14 Probablté d audt seul : représente le seul pour lequel l assuré est juste ndfférent entre la fraude et dre la vérté. Cette probablté est calculée de façon à égalser l utlté espérée de l assuré en cas de fraude et celle en cas d honnêteté.

70 Chaptre 2 67 expertse qu empêche totalement la fraude est non crédble. En d autres termes, à l équlbre d un jeu d audt en cas de non engagement, l y aura nécessarement quelques degrés de fraude pour que l audt sot crédble, et ces snstres frauduleux font accroître le coût d assurance et pénalsent les assurés honnêtes. Sur ce sujet, Boyer (1999) a formulé un modèle où l consdère que l assureur ne peut pas s engager dans une stratége d audt. l montre que l ncapacté d engagement de l assureur amène au fat que le problème prncpal agent ne peut être résolu. Cela veut dre que la stratége optmale de l assuré est de ne pas dre la vérté. l est ans optmal pour l assuré de déclarer un faux snstre afn de bénéfcer d une ndemnté plus généreuse (vor auss Sanchez et Sobel, 1993 ; Graetz, Reganum et Wlde, 1986 et Boyer, 1998). Dans le modèle de Boyer (1999) l nctaton de l assuré à fare une déclaraton fausse exste. Ce modèle est établ de façon à ntrodure l dée que l assuré et l assureur agssent dans un jeu avec asymétre d nformaton auquel est assocé un seul équlbre de Nash en stratége mxte. Les résultats de Boyer sont les suvants : ) Le fraudeur préfère garantr plus que l assurance complète (l chose un nveau de couverture qu lu rembourse plus que le montant de sa perte réelle) ; ) Le contrat de poolng est tel que le fraudeur fnt par avor le même contrat que dans une économe où l n exste pas de gens honnêtes ; ) S l exste suffsamment de gens fraudeurs dans l économe, alors la probablté de déclarer de faux snstres est ndépendante de la proporton exacte de chaque type d agents dans l économe. Cette probablté est égale à la probablté de déclarer un snstre frauduleux dans une économe où l n exste pas de gens honnêtes. Plus récemment, Boyer (21), propose une caractérsaton du contrat d assurance sous le paradgme d état de vérfcaton coûteuse. l suppose que l assureur, ne peut pas s engager dans une stratége d audt. l consdère sur un marché compéttf, qu un assuré averse au rsque et prudent, contracte avec un assureur neutre au rsque. l suppose que l occurrence de la perte est connassance commune et que la dstrbuton des pertes est dscrète. Le coût d audt parfat et la pénalté applquée au fraudeur étant fxes. Boyer, caractérse le seul équlbre possble du jeu d audt, sous pluseurs hypothèses : ) la régon de non audt correspond à l extrémté la plus basse de la dstrbuton de pertes, ) une ndemnté fxe dot être payée aux snstres non vérfés, ) l ndemnté d assurance ne dot pas décroître lorsque les déclaratons de dommages augmentent. Pour l assuré, la stratége optmale est de déclarer la plus grande perte non contrôlée dans la régon de non audt et de déclarer la vérté dans la régon d audt. Le contrat d assurance optmal est tel que, les plus grandes pertes sont surcompensées et les plus pettes pertes sont en moyenne, sous-compensées. Par conséquent, avec un taux de chargement assez élevé, aucune surcompensaton ne peut avor leu et le

71 Chaptre 2 68 contrat d assurance optmal se base sur certans nstruments : le contrat optmal est caractérsé par une franchse pour la régon de non audt, et par un plafond de remboursement et une provson de coassurance (la compensaton, plus pette que le dommage, croît mas mons vte que la perte) pour les grandes pertes. Ce résultat contredt l dée selon laquelle la franchse et la coassurance ne représentent pas la manère optmale de contrôler la fraude à l assurance (vor Donne et Gagné, 1997). En comparant les résultats obtenus dans les deux cas d audt (avec et sans engagement), Pcard (1996b) en tre pluseurs proprétés communes : - Une grande proporton d assurés opportunstes ne fat pas décroître le coût d assurance. - l équlbre, une grande proporton d assurés fraudeurs pousse la compagne à mener plus fréquemment un audt. - l équlbre lorsque l utlté espérée est plus grande pour les opportunstes que pour les assurés honnêtes, les opportunstes fraudent systématquement. - L utlté espérée des opportunstes ne peut être plus grande qu en cas de couverture postve Quelle soluton au problème de non engagement? Pcard (1996b) caractérse l équlbre d un marché concurrentel à lbre entré, dans un contexte de fraude et en présence d un problème de sélecton adverse, à l ade d un contrat unque qu maxmse l utlté espérée des assurés honnêtes sous la contrante que les opportunstes ne peuvent pas être exclus. l montre que l utlté espérée des assurés honnêtes en cas d engagement sur la stratége d audt est plus mportante qu en cas de non engagement. Pour approfondr son analyse, Pcard montre que la fraude à l assurance entraîne quelques degrés d neffcence 15 du marché, même s les compagnes agssent comme des leaders de Stacelberg dans un jeu d audt. L ampleur de cette neffcence est plus mportante lorsque la pénalté payée par les opportunstes est fable. Pcard met l accent sur le coût socal spécfque dû à l ncapacté de s engager dans une stratége d audt. Comme soluton concevable au 15 Pcard (1996a, 2) développe un modèle d'équlbre sur un marché d'assurance avec fraude et audt, proche de celu étudé par Graetz, Renganum et Wlde (1986) portant sur l évason fscale. Dans son modèle, l'équlbre obtenu dépend de la capacté de l'assureur à s'engager ou non dans une stratége d'audt crédble. l montre comment, parce que la fraude ne peut être totalement élmnée, l'absence d'engagement contrbue à pénalser les assurés honnêtes et à remettre en cause l'assurance elle-même. Dans leurs travaux tratant des problèmes d engagement, Khall et Parg (1994) montrent qu l y a une perte d effcacté lée à l ncapacté pour l assureur de s engager dans une procédure d audt crédble. En effet, le contrat optmal avec engagement n est déjà qu un contrat de second rang. Lorsque l engagement n est pas possble, l subsste un taux de fraude dont le coût est répercuté sur l assuré, entraînant ans une perte de ben être.

72 Chaptre 2 69 problème d engagement l auteur propose de déléguer l audt à un agent ndépendant 16 qu se charge des nvestgatons 17. Cet agent peut être un organsme commun à toutes les compagnes d assurance et aura comme foncton la prse en charge de la totalté ou d une parte des coûts de contrôle. l y aura en fat, un partage de coût et non pas une délégaton de prse de décson. Cet organsme est fnancé par des drots de partcpatons de l ensemble des compagnes d assurance qu bénéfceront d une certane subventon d audt. u delà de la fraude à l assurance, on rejont c les travaux sur la fraude fscale. Faure-Grmaud et al. (1999) et celu de Melumad et Mooherjee (1989), s ntéressent à la délégaton du pouvor d nvestgaton, comme étant un mécansme d engagement dans le domane de l audt fscal (mpôts sur les revenus). La délégaton ne représente un mécansme d engagement, que lorsque les contrats nctatfs des nvestgateurs ne peuvent pas être renégocés d une façon dscrète. Cette renégocaton peut être antcpée par les opportunstes et par conséquent le préengagement n aura aucun effet. Cet argument suppose que les contrats nctatfs sont établs en nformaton parfate concernant le type de l nvestgateur. C est ans que, Dewatrpont (1988) et Callaud et al. (1993) montrent que lorsque l nvestgateur détent l nformaton prvée, les effets du pré-engagement peuvent avor leu. Désormas, Pcard (1996b) mentonne que l acton collectve peut ader à faclter la lutte effcente contre la fraude à l assurance, par la décrossance du coût margnal de vérfcaton de snstres. En partculer, les organsmes communs sont utles parce qu ls fournssent l nformaton aux assureurs et aux ntermédares, concernant la melleure façon permettant d dentfer les snstres soupçonnés et de détecter de façon crédble les manœuvres frauduleuses. Sur le même sujet, Boyer (2), analyse l mpact d une agence d nvestgaton commune à toutes les socétés d assurance, nommée «nsurance Fraud Bureau (FB)» 18. D après l auteur l étude du rôle de l FB est nécéssare pour tros rasons. Premèrement, ce bureau a été récemment créé à cause du développement rapde de la fraude dans les dx dernères années, 16 Pour l analyse économque de la délégaton de l actvté d audt à un agent externe, vor Melumad et Mooherjee (1989) et Faure-Grmaud et al. (1999). 17 L honorare de l nvestgateur peut être une foncton crossante du nombre de snstres vérfés. Cependant les conséquences du pré-engagement dovent être obtenus en annonçant publquement qu un contrat nctatf a été sgné avec l nvestgateur. Pour ce qu est de la délégaton du pouvor d nvestgaton, comme étant un mécansme d engagement dans le domane d audt des mpôts sur les revenus, on peut cter les travaux de Melumad et Mooherjee (1989). 18 Boyer (2) utlse le terme «nsurance Fraud Bureau» comme étant une expresson générque pour fare référence à une agence chargée de l nvestgaton et la lutte contre la fraude à l assurance. l dt que ce n état pas son ntenton d utlser ce terme pour référer drectement à une agence partculère comme le «nsurance Fraud Bureau of Massachusetts».

73 Chaptre 2 7 qu est devenue, entre autre, un secteur d actvté (vor Dornsten, 1996). La deuxème rason est qu une grande parte de la lttérature a (au mons mplctement) néglgé le rôle de ce bureau. Enfn, l est typquement présumé que ce bureau exste pour frener la fraude en économe. En effet, sa présence est toujours bénéfque. Boyer a utlsé la même approche que Townsend (1979), avec la seule dfférence que le prncpal n est pas autorsé à s engager ex ante dans une stratége d audt. l suppose de plus qu l exste deux types d assureurs dans l économe : ceux avec des coûts d audt élevés et ceux avec des coûts d audt fables. Boyer utlse une approche de la théore des jeux, où l consdère que l assuré détent l nformaton prvée quant à la réalsaton du dommage. L équlbre du jeu est en stratéges mxtes, bayesen parfat. L agent qu subt un dommage chost entre déclarer ou pas le snstre, tands que le prncpal qu reçot une déclaraton chost entre contrôler ou pas ce dommage. Le résultat le plus ntéressant de ce paper, est de supposer l exstence d un bureau de fraude à l assurance qu se charge des nvestgatons. L auteur montre que ce bureau mplque un coût d audt égal au coût moyen de l ndustre, et que l utlté espérée des assurés dot être crossante. Contrarement à Townsend (1979), dans le modèle de Boyer, la fraude exste à l équlbre à cause de l mpossblté de résoudre le problème prncpal-agent. D une part, parce qu l peut ne pas être possble pour la compagne d assurance de pénalser d une façon consdérable le fraudeur : la sancton est toujours fxée par la légslaton et elle est jugée typquement pette 19. D autre part, le prncpe de révélaton ne peut pas être utlsé, du fat que l assureur ne peut pas s engager dans une stratége d audt crédble. Ce qu l faut mentonner à ce stade, est que cette parte externe engagée pour effectuer les nvestgatons, dot prendre en charges d autres fonctons. Par exemple, elle dot partcper à fnancer l actvté d audt sans pour autant qu elle sot elle-même chargée de la prse de la décson d audt. En effet, d après Pcard (1996b), le rôle de l agence commune fnancée par les cotsatons des compagnes d assurance est de subventonner les coûts d audt. l montre que ce mécansme allège le problème d engagement et évte l neffcence du marché, pusqu l n y a pas d asymétre d nformaton entre l agence et l ensemble des assureurs en ce qu concerne les coûts d audt. Certans travaux montrent encore plus que cette subventon des 19 Dans la lttérature étudant les mpôts sur les revenus, ce problème n est pas rencontré. Le gouvernement peut fxer une pénalté pour résoudre le problème prncpal-agent et cec en bassant l utlté du fraudeur. Cette approche mplque que la pénalté tend vers l nfn plus vte que la probablté d audt tend vers zéro. Pour plus de détals vor Becer (1968) et Ehrlch (1972). ns, lorsqu on fat appel à la cour, alors c est au juge de fxer cette pénalté. En effet, les membres de jury ne consdèrent pas la fraude comme un vértable crme, comme tout autre crme. Cummns et Tennyson (1996) présentent les résultats d une étude où la fraude est consdéré comme un acte acceptable. Wesberg et Derrg (1991) trouvent que unquement 2,6% des snstres frauduleux mplquent suffsamment de preuves pour être jugés par la lo.

74 Chaptre 2 71 coûts d audt peut condure à des degrés d effcence du marché plus élevés. En effet, Boccard et Legros (22) prouvent que l agence de centralsaton de l audt, créée de façon coopératve par les compagnes d assurance, représente une source de rchesse lorsque le marché d assurance mplque un degré ntermédare de concurrence. Une autre foncton ndspensable qu dot être accomple par cette agence commune en tant que parte externe, consste à transmettre l nformaton concernant les snstres. Schller (22), analyse l mpact des systèmes de détecton de la fraude offerts par une terce parte externe, sur l actvté d audt ans que sur le contrat d assurance à l équlbre. Le type de fraude consdéré est la déclaraton de faux snstre. Le système de détecton de la fraude, fournt une nformaton ndrecte sur l état de nature qu représente une nformaton statstque exogène sur la fraude, que l assuré est ncapable d nfluencer et qu ade l assureur à formuler ses soupçons de fraude. Egalement, Schller montre qu à l équlbre, le contrat d assurance mplque une surcompensaton (ndemnté plus grande que le dommage). L ndemnté est plus grande lorsque la probablté de fraude est plus pette. Donne, Gulano et Pcard (23) défnssent la stratége d nvestgaton optmale de l assureur dans un contexte smlare à celu représenté par Schller (22). Le type de fraude consdéré correspond à la déclaraton d une perte nexstante en réalté. L assureur perçot un sgnal (déclaraton de snstre) qu ne peut être contrôlé par le fraudeur. La stratége d nvestgaton de l assureur consste en une prse de décson (probablté) concernant la transmsson des snstres suspects à une unté d nvestgaton spécalsée (qu ls notent SU 2 ), chargée d effectuer les expertses nécessares. ls appellent cette règle d audt «la stratége d ndcateurs de fraude». En effet, la décson des assureurs est basée sur un seul de suspecton à partr duquel tous les snstres sont transms à la SU. L objectf des auteurs est d établr un len entre les résultats théorques et la réalté. ls utlsent la méthode du «scorng» 21 comme procédure d mplantaton d une stratége d audt optmale. Théorquement, ls montrent que la classfcaton des ndcateurs de fraude correspond à un ordre crossant de la probablté de fraude et cette forme d audt représente une stratége optmale même lorsque les budgets d nvestgatons sont contrants. ns, la poltque d audt optmale dot contenr un élément nctatf qu pousse les ndvdus à ne pas frauder. 2 SU : Specal nvestgaton Unt 21 La méthode de «scorng» représente une approche alternatve à l audt qu dffère de la méthodologe standard d audt détermnste et d audt aléatore. Cette méthode contrbue à travers l dentfcaton des déclaratons soupçonnées à ce qu elles soent audtées en prorté. Elle est mantenant utlsée par les banque pour le management des rsques de crédt, par les corporatons pour les décsons d embauche, par les admnstratons fscales pour les mpôts et enfn par les assureurs pour détecter la fraude.

75 Chaptre 2 72 En contreparte des avantages offerts par de tels organsmes, Boyer et Schller (23) voent qu l faut assocer un certan coût à la créaton du bureau de coordnaton des snstres suspects (CSC). ls ajoutent auss, qu l est ndspensable de montrer que le gouvernement est capable de fnancer cette réglementaton. Une premère pensée consste à ce que les compagnes d assurance réalsent des profts espérés nuls et par conséquent les assurés supportent les coûts assocés à la fraude. Comme le démontre Boyer (21a), la melleure façon de fnancer ces dépenses est de taxer les ndemntés plutôt que les prmes car les taxes ont un effet à la fos sur la décson de fraude de l assuré et sur la décson d audt de l assureur. En effet, d une part, la taxe sur l ndemnté fat basser l ndemnté nette d mpôt que l assuré perçot en cas de survenance de snstre et par conséquent, l gagne mons en déclarant un snstre frauduleux, toute chose étant égale par alleurs. D autre part, la taxe sur l ndemnté fat accroître l nctaton des assureurs à mener un audt pusque les snstres frauduleux devennent plus coûteux pour eux. Pour Boyer et Schller (23), l exste un autre avantage lé à la taxaton de l ndemnté. Cette dernère mplque un effet de redstrbuton pusque, c est unquement les assurés déclarants des snstres qu fnancent ce système ans que les coûts d audt dans cette économe. Par conséquent, l y aura proportonnellement plus de taxes à payer par les agents qu déclarent des snstres frauduleux. Le CSC qu est fnancé par les taxes sur les ndemntés et qu a pour but de rédure le coût d audt des assureurs, peut consdérablement, rédure le montant de la fraude dans l économe. Ce rasonnement est vra lorsque le CSC se charge de toutes les nvestgatons ou même lorsqu l fournt des éléments pouvant guder les compagnes à détermner les snstres qu dovent être audtés. Secton 2 : L audt détermnste L objectf de cette secton est de présenter un modèle économque nspré de la lttérature qu trate le phénomène de fraude à l assurance dans un contexte d audt détermnste. travers ce modèle, nous vsons à étuder les comportements ndvduels des agents économques. D une part, l s agt de soulever le problème de fraude et d en retrer les problèmes mplctes rencontrés par les assureurs, et d autre part, l s agt d analyser les contrats d assurances optmaux et d étuder la crédblté de la procédure d audt détermnste. Nous commençons par la présentaton des dfférentes approches théorques dans un premer temps, ensute le

76 Chaptre 2 73 cadre d analyse du modèle, et enfn nous procédons à la défnton et l analyse du contrat d assurance optmal Les dfférentes approches théorques : L hypothèse d asymétre de l nformaton : L étude de l mpact de l nformaton prvée sur le fonctonnement des marchés d assurance a beaucoup ntéressé les économstes. C est erlof (197) qu fut le premer à montrer comment les phénomènes d antsélecton (lés à des nformatons cachées à certans agents économques) peuvent entraver le fonctonnement du marché. travers son étude du «Maret of Lemons», l auteur consdère que la présence d asymétre d nformaton sur un marché peut engendrer l échec de ce derner. Les marchés d assurance représentent un contexte prvlégé pour l étude de tels phénomènes. Les modèles de Rothschld et Stgltz (1976) et Wlson (1977) 22 fournssent la descrpton la plus smple d un marché soums à des phénomènes d antsélecton. Ces travaux ont donné leu à une lttérature théorque abondante 23. Plus récemment, les problèmes assocés au phénomène de fraude à l assurance ont orenté les économstes vers l analyse d une forme alternatve de l asymétre d nformaton à savor la détenton par l assuré de l nformaton prvée concernant l ampleur et la réalsaton des snstres. Les résultats de ces analyses ont été dchotomsés en deux 22 Basées sur la présentaton ntale du problème contenu dans l étude de erlof (197) du marché de «Lemons», les analyses concernant les stuatons où les assurés possèdent l nformaton asymétrque sur la probablté de survenance des pertes assurables, se focalsent sur les problèmes de sélecton adverse (Rothschld and Stgltz [1976] ) et les problèmes de rsque moral ( Shavell [1979] ). 23 Rotschld et Stgltz (1976) et Wlson (1977) ont été les premers à s ntéresser au problème d asymétre d nformaton dans le contexte d assurance. Ces auteurs s ntéressent à un produt d assurance non oblgatore offert à une populaton d assurés potentels homogène du pont de vue des caractérstques observables. La source des problèmes d antsélecton est l hétérogénété de cette populaton du pont de vue du rsque de snstre : coexstence de «bons» rsques et de «mauvas» rsque, ndspensables à pror. Comme l a soulgné erlof (197), l asymétre d nformaton peut engendrer l échec de tous les marchés, notamment les marchés d assurance. Pluseurs solutons ont été proposées pour paller cet échec. En partculer l ntroducton des contrats de franchse dans le cadre des marchés d assurance. En effet, au leu d offrr un seul contrat d assurance pour tous les ndvdus, les assureurs peuvent offrr un menu de contrats d assurance parm lequel chaque ndvdu pourra chosr une polce d assurance. L apparton des contrats de franchse a pour conséquence l exstence de deux catégores d équlbre à savor : un équlbre de poolng où les ndvdus de toutes les catégores achètent le même contrat ou encore un équlbre séparateur où chaque catégore d ndvdus s auto sélectonne et achète le contrat qu lu est destné.

77 Chaptre 2 74 catégores, connues dans la lttérature sous les dénomnatons respectves : «Le paradgme d état de vérfcaton coûteuse» et «le paradgme d état de falsfcaton coûteuse». ns, lorsqu l s agt d analyser le problème de fraude à l assurance, les questons relatves à l effet dssuasf des procédures d audt et des sanctons sont centrales. La lttérature sur le sujet est abondante. Nous commençons par cter les travaux de Townsend (1979) qu représentent la base théorque de tous les travaux de ses successeurs en ce qu concerne les coûts de vérfcaton. Plus récemment, nous trouvons les études effectuées par Donne et Vala (1992), Kaplow (1994) et Bond et Crocer (1997). Le contexte générque consdéré par ces études est celu dans lequel, unquement l assuré connaît l ampleur de la perte réelle et l assureur ne peut avor cette nformaton qu en supportant un coût de contrôle exogène. En effet, Townsend (1979) présente un modèle dans lequel les agents économques sont asymétrquement nformés sur l état de nature actuel et où l nformaton ne peut être transmse qu à un certan coût 24. Sa caractérsaton des contrats optmaux est consdérée comme une extenson des dfférentes lttératures étudant les polces d assurance optmales. En effet, rrow (1971, 1973) et Ravv (1975) ont montré que sous les contrantes de nonnégatvté du proft et en présence de chargement, le contrat d assurance optmal peut être un contrat de franchse. En outre, dans un contexte de consommaton, Spence et Zechauser (1971), Shavell (1977) et Harrs et Ravv (1979), prouvent que l output aléatore de consommaton de bens n est pas exogène, mas dépend de l acton de l agent. Pour ces auteurs, la forme du contrat optmal dépend de l hablté du prncpal à vérfer l état de nature, de l acton de l agent et de l output de consommaton du ben. Shavell et Harrs et Ravv, se sont focalsés sur le cas où cet output de consommaton de ben est connu à la fo par l agent et le prncpal (contrarement au modèle présenté par Townsend,1979), mas dans lequel, l acton de l agent peut être observée ou non. Contrarement au paper de Townsend, dans lequel le contrôle est parfat 25, Shavell et Harrs et Ravv tennent compte de la possblté d observer l acton de l agent avec erreur. Shavell, affrme que le contrôle 24 rrow (1974) a montré que l absence de transactons contngentes est étrotement lée aux problèmes de rsque moral et d asymétre d nformaton. ns, pour qu un contrat sot contngent, l faut absolument que le fat qu un événement est survenu ou pas sot connu. Cependant, lorsque cette nformaton n est connue que par un seul contractant, alors la sére de contrats possbles et contngents est lmtée à ceux où la vérfcaton est facle pour les deux contractants. Radner (1968), a formalsé cette noton par la lmtaton exogène des contrats entre les agents, à ceux qu sont contngents en ce qu concerne les événements dans le partage d nformaton entre les deux agents. Radner suggère que la structure d nformaton dans une économe dot être coûteuse et endogène. Le paper de Townsend (1979) représente ans une extenson des thèmes suggérés par rrow et Radner. 25 Pour ce qu est perfecton de contrôle, l dot être supposé que la décson de vérfer peut être prse ex ante à un certan coût fxe et que ultéreurement, toutes les réalsatons dovent être observées. Cette proposton llustre le modèle de Khlstrom et Pauly (1971) et mplque que l un des deux agents économques, offre sot un contrat d assurance complète à l autre agent, sot aucune couverture d assurance.

78 Chaptre 2 75 sogneux est coûteux et peut être effectué sot avant, sot après la réalsaton de l output. En revanche, le modèle de Townsend (1979) a pour but de mettre l accent sur la nature coûteuse des contrôles et ne se préoccupe pas de l étude de la queston de synchronsaton des observatons La descrpton de la relaton entre les contractants : Une premère voe de l analyse de Townsend (1979) porte sur une économe d échange pure, composée de deux agents. l suppose que l un des deux agents (agent 2) est averse au rsque et qu l dspose d une dotaton de ben de consommaton aléatore qu ne peut être connue par l autre agent (agent 1) qu à un certan coût. Le contrat établ entre les deux ndvdus défnt tout d abord l échange contngent ans que les transferts nets de consommatons de bens blatéraux. Sous d autres nterprétatons, l échange est motvé par des consdératons de partage de rsque. lternatvement, l agent 2 peut être consdéré comme un ndvdu qu souffre d une perte aléatore et veut acheter une assurance de l agent 1. La réalsaton de cette perte représente une nformaton prvée pour l assuré à mons qu l y at vérfcaton. Townsend suppose que l audt est parfat : s l y a vérfcaton, la réalsaton de l état de nature est connue sans erreur par l agent 1. Une premère parte de cette analyse fat recours à l audt détermnste. L auteur consdère une régon de vérfcaton, c est-à-dre un ntervalle dans lequel toute déclaraton de l agent 2 est contrôlée par l agent 1. Le contrat établ entre les deux ndvdus représente une spécfcaton contngente du transfert net de l agent 2 à l agent 1 (en assurance ce transfert correspond à la prme) et de la régon de vérfcaton. Le coût d audt peut être consdéré comme une varable exogène (une constante ndépendante de la réalsaton actuelle de la dotaton de ben de consommaton de l agent 2), ou ben peut dépendre de la réalsaton de la dotaton de ben (drectement ou alternatvement à travers le transfert (la prme)). Le contrat est dt révélateur 26 s et seulement s la régon de vérfcaton et le transfert correspondent ben aux valeurs prédéfnes par le contrat. Cependant, aucune nctaton ne poussera l agent 2 à frauder. Le résultat auquel aboutt Townsend est que le transfert 26 «Le prncpe de révélaton énonce qu on peut se lmter à des mécansmes drects (où l agent annonce son nformaton) et révélateur (où l est de l ntérêt de l agent de fare des annonces vérdques). Le prncpe de révélaton : s l allocaton y*(θ) peut être mse en œuvre par un mécansme quelconque, on peut auss la mettre en œuvre par un mécansme drect révélateur, où l agent révèle son nformaton θ» Cté dans : Bernard SLNE (1994) : «Théore des Contrats», p 12.

79 Chaptre 2 76 (l ndemnté) représente une constante ndépendante de la réalsaton effectve de la dotaton (dommage), pour toute déclaraton appartenant à la régon complémentare à la régon de vérfcaton. Egalement, la somme du transfert net de ben de consommaton et du coût de vérfcaton dot être nféreure à cette constante en cas de contrôle. En matère d assurance, la soluton de Townsend correspond à une ndemnté nulle en cas de non audt. Et dès qu l y a vérfcaton de la déclaraton de l assuré, pour que le contrat sot nctatf, l faut que la somme de l ndemnté et le coût sot nféreure à la prme La caractérsaton du contrat optmal : Pour défnr les contrats optmaux, Townsend s est référé à la résoluton d un programme de maxmsaton de l espérance d utlté de l agent 2 sous certanes contrantes : une restrcton relatve au fat que l utlté espérée de l agent 1 ne dot pas être nféreure à une constante K, une deuxème restrcton qu représente la contrante d nctaton et enfn une dernère contrante de non négatvté du proft de l agent 1. En se fondant sur l analyse de Townsend, Pcard (1996a, 2) trate le problème de fraude à l assurance en ntégrant la possblté d audt détermnste 27 coûteux. La modélsaton qu l a adoptée pour formalser ce problème, repose sur la détermnaton des contrats d assurance optmaux qu permettent l arbtrage entre deux objectfs conflctuels : partager le rsque entre l assureur et l assuré et mnmser les coûts de vérfcaton. La procédure d audt détermnste permet à l assureur d avor l nformaton parfate sur l état de snstralté qu représente une nformaton prvée pour l assuré. Pcard a défn la polce d assurance comme un contrat spécfant le remboursement non négatf d une ndemnté d assurance en contreparte du paement d une prme. l suppose que le dommage est connu unquement par l assuré à mons qu l y a vérfcaton. cet égard, l assureur supporte un coût d assurance composé d un coût admnstratf fxe, s le dommage est déclaré et d un coût d audt s la déclaraton est vérfée. Conformément aux crtères de l espérance utlté, les assurés sont averses aux rsques et cherchent à maxmser leurs utltés espérées. De plus, Pcard défnt la régon de vérfcaton comme un ntervalle dans lequel toute déclaraton est expertsée. Le contrat d assurance optmal est, un contrat nctatf défn, 27 Pour des rasons de smplfcaton, Pcard (1996a, 2) lmte son étude à l analyse de l audt détermnste, dans lequel les snstres sont vérfés avec certtude ou non vérfés du tout. Cette smplfcaton de la procédure d audt a perms l auteur de se focalser sur la relaton entre l audteur et l assureur. Pour l audt aléatore, vor Townsend (1979), Baron et Besano (1984) et Mooherjee et Png (1989).

80 Chaptre 2 77 par la vérfcaton de toute déclaraton qu excède un seul de snstre prédéfn par l assureur. La soluton de Pcard, consste en un contrat de franchse pure (couverture complète au delà de la franchse) qu ncte les assurés à ne pas frauder. Cette proposton représente une extenson des résultats obtenus par Hubermann, Mayers et Smth (1983) 28, et fournt un nouveau motf pour les contrats de franchse, autre que l nterprétaton habtuelle en terme de coûts de transacton (rrow, 1971) ou de rsque moral (Holmstrom, 1979). Pour Pcard, l ndemnté d assurance dot être égale à l utlté margnale de la rchesse fnale dans chaque état où l y a vérfcaton. Cec sgnfe que toute crossance de l ndemnté d assurance dans un ntervalle nclus dans la régon de vérfcaton dot être compensée par une crossance de la prme. Un autre paper ntéressant et allant dans le même sens que la modélsaton de Pcard (1996a, 2) est celu de Bond et Crocer (1997). Les auteurs ont essayé de caractérser les contrats d assurance optmaux dans un envronnement d état de vérfcaton coûteuse avec coûts de contrôle endogènes. En se basant sur l approche de Townsend (1979), les auteurs ont consdéré un contexte dans lequel les assurés détennent l nformaton prvée quand à leurs pertes actuelles. près avor observé sa perte économque, chaque assuré dot chosr de s engager ou pas dans des manœuvres évasves. l s agt en fat, de l étude de l effcence d un contrat d assurance dans un contexte d asymétre d nformaton et de rsque moral. Une premère parte de leur analyse est dédée à l étude des contrats optmaux lorsque les coûts d audt détermnste sont exogènes. Le contrat d assurance représente une spécfcaton de l ndemnté d assurance et de la régon de vérfcaton. Pour caractérser l équlbre, les auteurs ont adopté le programme d optmsaton habtuel, à savor la maxmsaton de l utlté espérée de l assuré sous la contrante d nctaton et la contrante de ressources de l assureur (proft non négatf). Ces deux contrantes condusent toutes les deux ) à des contrats caractérsés par des ndemntés constantes ; ) à la non nécessté de l audt pour des nvaux de perte bas ; ) et à la nécessté de l audt, avec assurance complète pour des pertes plus grandes. près avor présenté les dfférentes approches du problème de fraude à l assurance, en présence d audt détermnste, nous allons dans le paragraphe suvant adopter un modèle smple composé de deux agents économques (l assureur et l assuré). Nous commençons dans une premère étape par la présentaton du cadre d analyse, ensute nous essayons dans une seconde étape de caractérser le contrat d assurance optmal. 28 La démonstraton de Hubermann, Mayers et Smth (1983) est plutôt nformelle, alors que Pcard (1996) montre l optmalté d un contrat de franchse standard, en utlsant un argument de contrôle optmal.

81 Chaptre Le cadre d analyse : La modélsaton que nous avons adoptée 29 pour formalser le problème de fraude dans un contexte d audt détermnste est la suvante. Nous consdérons deux agents : une compagne d assurance, neutre au rsque et un assuré qu fat preuve d averson pour le rsque. Les préférences de l assuré sont représentées par une foncton d utlté u de type Von-Neumann Morgenstern, strctement crossante et deux fos contnûment dfférentable et strctement concave ( u ' > et u" < ). L assuré dspose d une rchesse ntale w et l est confronté à un rsque de perte assurable noté x. La nature défnt deux états possbles : perte avec une probablté π et pas de perte avec une probablté (1-π). Pour des rasons de smplfcaton, nous supposons que le montant de la perte ne pusse prendre que deux valeurs aléatores possbles : M avec une probablté L avec une probablté q 2 / π. ns l utlté de réserve de l assuré s écrt : ( w L )] (1 ) u (w) = π[q1 / π u(w M) q2 πu π U / vant la réalsaton de la perte x, l assuré et l assureur se mettent d accord sur un échange contngent. En cas de dommage, une ndemnté d assurance dot être versée à l assuré, contre paement d une prme d assurance. L échange est ans motvé par des consdératons de partage de rsque. Nous consdérons c que la réalsaton et l ampleur de la perte représentent une nformaton prvée détenue par l assuré à mons qu l y at vérfcaton par l assureur. En effet, une régon de vérfcaton R (avec complément R ) représente une sére de réalsatons de la perte x, telle que l assureur procède à une vérfcaton de la déclaraton de dommage. La relaton assureur-assuré peut être décrte comme un jeu d audt à tros étapes : à la premère étape, la nature détermne s l assuré a sub un dommage et s l est du type opportunste ou du type honnête ; c q1 / π et 29 Cette modélsaton est nsprée de la lttérature tratant le problème de fraude et en présence d audt détermnste, notamment les papers de Pcard (1996a, 2) et celu de Bond et Crocer (1997). Notre objectf est de présenter un modèle économque smple permettant d explquer comment on peut formalser le phénomène de fraude et analyser les comportements stratégques de l assuré et de l assureur. Cette modélsaton nous servra de base pour élaborer une extenson théorque, que nous présentons dans le chaptre 3.

82 Chaptre 2 79 à la seconde étape, l assuré chost le montant de dommage qu l va déclarer à l assureur. L assuré honnête déclare toujours la vérté. En revanche, l assuré fraudeur 3 déclare un snstre qu n a en réalté jamas eu leu, ou augmente le montant du dommage ; à la trosème étape, et lorsque le dommage est déclaré à la seconde étape, relatvement à la réalsaton de x, l assureur décde de contrôler ou pas. Le contrat d assurance représente une spécfcaton des transferts effectués entre l assureur et l assuré (ndemnté et prme), de la régon de vérfcaton R et du coût d audt exogène c. L assuré qu subt une perte x peut chosr de frauder et déclarer L ou M à l assureur. Ce derner procède à une vérfcaton à partr d un seul de snstre L. la régon de vérfcaton R est ans défne par [L,M] [,x]. ns, s l y a vérfcaton, le dommage x est connu sans erreur par l assureur. Pour le premer état de nature (perte), l assuré se trouve devant deux rsques de perte probables : M et L. S l assuré subt un dommage d un montant M, sa stratége optmale consste alors à déclarer la vérté : d = M. L assureur procède à une vérfcaton de cette déclaraton (pusque M R). L assuré est honnête, l reçot alors le remboursement d assurance M qu lu procure une utlté égale à u(w P M M) dans ce cas. S l assuré subt un dommage x = L, sa stratége est défne par la probablté β de frauder et déclarer d = M > L et la probablté (1 β) d être honnête et déclarer d = L. La déclaraton d = M est vérfée par l assureur. L audt est parfat : la fraude est systématquement détectée. cette déclaraton frauduleuse, correspond l ndemnté d assurance M, ans que la sancton S 1. Dans ce cas l utlté de l assuré s écrt : (w P L S ). u M 1 S par contre l assuré décde de ne pas frauder, l déclare d = L à son assureur. Cette déclaraton lu procure une ndemnté L et son utlté devent égale à u(w P L L). Pour le deuxème état de nature (non perte), la stratége de l assuré est défne par les deux possbltés de fraude suvantes : déclarer d = L avec une probablté αl ou ben déclarer 3 Nous supposons mplctement que la fraude ne génère aucun coût pour l assuré. l exste néanmons pluseurs modèles qu ntègrent les coûts de falsfcaton. Nous ctons les travaux de Lacer et Wenberg (1989) et Crocer et Tennyson (1996).

83 Chaptre 2 8 d = M avec une probablté α M, tel que α M αl α = 1, et où α probablté de dre la vérté. représente la Pour la déclaraton de perte d = L, l assureur sanctonne l assuré par S 2 après une détecton de la fraude par expertse. Dans ce cas, son utlté prend la valeur suvante u(w P L S2). l le sanctonne par S 3, lorsqu l fraude et déclare d = M. Cette éventualté lu procure une utlté égale à (w P S ). Nous schématsons ce jeu comme sut : u M 3 q 1 / π M non fraude: d=m audt u(w P M ) M Perte π N q 2 / π β L (1-β) fraude:d=m audt (w P L S ) u M 1 non fraude: d=l audt u(w P L ). non fraude : d= u(w P) L (1 π) α Pas de perte α fraude : d=l audt (w P S ) L u L 2 α M fraude d = M audt (w P S ) u M 3 Fgure.1: Les stratége de fraude en cas d audt détermnste à partr d un seul L

84 Chaptre Contrat optmal en cas d audt détermnste : Le contrat d assurance optmal dot ncter l assuré à déclarer toujours l état de perte réel. Pour ce fat, l faut que l utlté de l assuré en cas de fraude ne sot jamas supéreure à son utlté lorsqu l est honnête. Nous défnssons ans la contrante d nctaton. Nous pouvons écrre le système (1) suvant : (w P L S ) < u(w P L ) u M 1 (w P S ) < u(w P) u L 2 (w P S ) < u(w P) u M 3 Cec se tradut par le fat que : L En cas de perte, et lorsque l assuré fat face à un dommage d un montant L < M, la fraude (déclarer un dommage M au leu de L), entraîne un gan nféreur en terme d utlté par rapport à la stuaton d honnêteté (déclarer la vrae perte L). En cas de non perte, déclarer un snstre sans l avor réellement sub n est pas bénéfque pour l assuré. En effet, l utlté de celu-c, lorsqu l déclare un dommage (L ou M) alors qu en réalté, l n a pas sub de perte, est nféreure à son utlté s l ne déclare pas de snstre. Par conséquent, le contrat d assurance offert par l assureur (l ndemnté d assurance et la sancton), dot permettre d empêcher toute tentatve de fraude. l faut que l assureur établsse son contrat de sorte que l utlté de l assuré en cas de fraude ne pusse jamas excéder son utlté lorsqu l déclare la vérté. Ce contrat est dt révélateur c est-à-dre compatble avec la contrante d nctaton. De surcroît, déclarer toujours sa perte réelle, représente la stratége optmale de l assuré. La foncton d utlté de l assuré étant du type Von-Neumann Morgenstern, strctement crossante et concave. La contrante d nctaton se rédura ans au système (2) suvant : S 1 S S 3 > 2 M > > L M L Cela revent à dre que pour dssuader toute manœuvre frauduleuse, l assureur dot mposer un système de sancton, de telle sorte que l assuré n aura aucun ntérêt à frauder. ns, la sancton dot être fxée à un nveau plus élevé que le gan espéré de la fraude. Ce résultat nous permet de dre, qu un refus de remboursement du dommage, n est pas suffsant pour ncter l assuré à être honnête.

85 Chaptre 2 82 En effet, réfuter tout comportement de fraude se tradut par le fat que les pénaltés applquées par l assureur amènent à avor des probabltés de fraude toutes nulles. utrement dt, l faut β = que : α M = α L = ntégrons cette contrante dans notre jeu, d après le prncpe de «bacward nducton», l arbre de décson sera rédut à ce qu sut: q 1 / perte π M non fraude : d=m u(w P M ) M π q 2 / π N L non fraude : d=l u(w P L ) L (1-π) non perte α = 1 non fraude : d= u(w P) Fgure 2 : L équlbre près ntégraton de la contrante d nctaton ( β =, α, α ) dans notre modèle, l utlté espérée de l assuré s écrt : M = L = EU = π π π q1 / u (w P M M) π q2 / u (w P L L) (1 π) u(w P) Le contrat d assurance est un optmum de premer rang. Ce contrat est tel qu l maxmse l espérance d utlté de l assuré sous la contrante de proft non négatf de l assureur. Cette contrante de partcpaton (CP) s écrt : P π q1 / M π q2 / L [ π (1 π)( αl αm)]c π π

86 Chaptre 2 83 Le programme de l assureur est de détermner * L, * M et * P qu maxmsent l espérance d utlté de l assuré sous la contrante de partcpaton de l assureur. La résoluton de ce programme 31 permet de conclure que: M M = Etant M > L, d après ce qu précède, nous pouvons en conclure que M L L >. Le résultat précédent montre que : Lorsque l audt détermnste est parfat et que l assuré n a aucun ntérêt à frauder, une polce d assurance avec ndemnté crossante en foncton de la perte est optmale. De plus les condtons de 1 er ordre du programme d optmsaton, nous permettent d avor le système suvant : u(w P L u(w P M L M ) = u(w P) ) = u(w P) donc M L = M = L Cette constataton prouve que l assurance avec couverture complète est optmale. D où la proposton suvante : L Proposton 1 : Un contrat d assurance optmal avec audt détermnste satsfat les condtons suvantes : du dommage. ) M > L pour tout M > L : l ndemnté d assurance est une foncton crossante ) x = pour tout x < L : l ndemnté est nulle pour tout dommage nféreur à L. ) M = M = L L l assurance complète est optmale, au-delà du seul d expertse. 31 Le Lagrangen du programme d optmsaton s écrt :,,P = EU µ { πq1 / π M πq2 / πl [ π (1 π)( αl αm)]c P } M L ( ) L µ étant le multplcateur de Lagrangen assocé à la contrante de partcpaton de l assureur. Les condtons de premer ordre nous donnent : L = u ' (w P) = P µ (1) L = u' (w P L L) = µ L (2) L = u' (w P M M) = µ M (3) Nous pouvons ans dédure d après ce système que : u ' (w P) = u' (w P L L ) = u' (w P M M) = µ u(w P L L ) u(w P M ) Donc = M

87 Chaptre 2 84 Cette proposton est llustrée par le graphque suvant : ) M L 45 L M x Fgure. 3 : ndemnté d assurance optmale Ce résultat est équvalent à celu de Pcard 32 (1996a, 2) et Bond et Crocer 33 (1997). l s agt d un contrat de franchse pure : ssurance complète au-delà de la franchse-expertse (le seul de snstre L). Rappelons que pour parvenr à empêcher totalement l assuré de frauder, le système de sancton applqué dot satsfare la condton suvante : S 1 > M S2 > L S3 > M L 32 Pcard (1996a, 2) montre que le contrat d assurance optmal satsfat les condtons suvantes : ) t)= s x<=m, avec t) l ndemnté d assurance et m le seul de snstre à partr duquel l y a vérfcaton. ) t)=xz m s x>m avec m>, <z<m et M=(m, x ] ; M est la régon de vérfcaton. Le contrat d assurance optmal est un contrat de «franchse pure» : t)=sup{, x m} avec m> et M=(m, x ]. Le résultat de Pcard sgnfe qu aucune déclaraton de snstre n est déposée s la perte est nféreure au seul m>. lors que, toute déclaraton supéreure à m est vérfée par l assureur et l ndemnté d assurance optmale est la couverture partelle. Cette proposton s nterprète de la façon suvante : pour des rasons de mnmsaton de coût, l est optmal de chosr un seul postf m, pour décroître les coûts admnstratfs et les coûts d audt. ns t(.) dot égalser l utlté margnale de la rchesse fnale pour chaque état où l y a vérfcaton et l utlté margnale espérée de la rchesse fnale. 33 Bond et Crocer (1997) trouvent que le contrat d assurance optmal assoce une ndemnté fxe α avec non vérfcaton à toutes les pertes nféreures à la valeur seul m. Tands que l assuré contrôlé reçot une ndemnté complète lorsque le dommage excède le seul m. Ce contrat llustre une dscontnuté de l ndemnté au nveau m de la régon de vérfcaton.

88 Chaptre 2 85 En cas de perte, s l assuré fat face au dommage x = L, et déclare d = M > L (afn de récupérer une ndemnté non mértée > ), l assureur qu procède à un audt pour toute déclaraton de snstre dans la régon de vérfcaton R = [ L, M] sancton S 1 M L M L, dot applquer une >. Cette sancton dépend de l ampleur de la fraude (la dfférence entre la déclaraton et le dommage réel). En cas de non perte, l assuré qu tente d obtenr une ndemnté en déclarant un dommage sans l avor réellement sub (déclarer d=m ou d=l alors que x=), sera pun respectvement par une sancton S 2 (correspondant à d=l) ets 3 (correspondant à d=m). En effet, S2 est strctement supéreure à L et S 3 est strctement supéreure à M sgnfe qu un refus de remboursement n est pas suffsant pour dssuader la fraude. S1 = M L ns : S2 = L avec > S3 = M. Cela () étant une constante postve qu représente le montant d une amende fxe que le fraudeur détecté dot payer à son assureur. Nous pouvons résumer nos résultats dans la proposton suvante : Proposton 2 : En cas de fraude et en présence d audt détermnste parfat, un système de sancton optmal dot répondre aux crtères suvants : ) La sancton dot coller à la fraude : la sancton est crossante en foncton de l ampleur de la fraude ; ) Un refus de remboursement n est pas tout seul suffsant pour dssuader la fraude, d où la nécessté de l amende. D autre part, la contrante de partcpaton de l assureur exprme le fat que le proft de l assureur n est jamas négatf : P [ πq 1 / π πq [ π (1 π)( α 2 / π L β (1 π) α α M )]c πq M ] 2 / π M βs [ πq 1 2 / π (1 π) α (1 β) (1 π) α L S 2 (1 π) α L M ] S 3 L

89 Chaptre 2 86 l équlbre cette contrante est saturée 34. Cec nous permet d écrre : P = [ πq 1 / π πq [ π (1 π)( α 2 / π L α β (1 π) α M )]c πq M ] 2 / π M βs 1 [ πq 2 / π (1 π) α (1 β) (1 π) α L S 2 (1 π) α La prme ans que les amendes collectées par l assureur dovent compenser les remboursements d assurance versés aux assurés, et le coût d audt encouru. Nous pouvons à cet égard conclure que : M L S ] 3 L Proposton 3 : L assureur dot ajuster la prme à la hausse, lorsque ) les coûts d audt augmentent à cause de l augmentaton des probabltés de fraude, ) le coût d ndemnsaton augmente. Par conséquent, à coût d audt (c) fxe, toute augmentaton de β, compensée par une augmentaton de la prme. α M ou α L dot être Lorsque l assuré peut augmenter le coût d audt à travers les probabltés de fraude, pour équlbrer ses ressources avec ses emplos, l assureur dot ajuster la prme d assurance à la hausse. ns une augmentaton des probabltés de fraude et/ou de la fréquence de survenance des snstres entraîne une hausse des ndemntés d assurance espérées. Cec oblge l assureur à procéder à une majoraton de la prme d assurance (applcaton du système Bonus Malus) Le coût d audt : Comme approfondssement de leurs travaux effectués sur l audt détermnstes, certans auteurs ont étudé les coûts de vérfcaton endogènes et ont ntégrer la possblté pour l assuré d augmenter ces coûts. Comme le démontre Pcard (1996a, 2) dans ses papers tratant l audt détermnste, l exste des stuatons, où l assuré arrve à gonfler le montant de son dommage lors de la déclaraton du snstre, à travers «la manpulaton» du coût d audt. L objectf de l assuré est de rendre l actvté de contrôle plus dffcle. En effet, l assureur n est pas toujours capable 34 Un contrat d assurance optmal est établ de sorte que l assureur fera un proft nul. Cela sgnfe que la prme payée par l assuré va être exactement égale à l ndemnté espérée plus le coût de fraude, c'est-à-dre le coût de détecton de la fraude plus les ndemntés versées s la fraude n est pas détectée.

90 Chaptre 2 87 d observer le coût encouru par son audteur : est-l un consultant physque, un expert, un nvestgateur ou un manpulateur de snstre? De son coté, l assuré supporte des coûts, surtout lorsque cela nécesste une colluson avec un ntermédare (garagstes, avocats ) qu est capable de falsfer le dommage et le rendre plus coûteux. Cec permet de créer des dommages supplémentares et donc d affecter le coût d audt. Ces dépenses font accroître pour l audteur le coût d avor l nformaton clare et vértable sur la perte. ns, un problème de rsque moral s établt entre l assureur et l audteur. Ce problème est lé au fat qu l s avère dffcle pour l assureur de surveller les coûts d audt. Le contrat d assurance est contrant par la partcpaton de l audteur (la non négatvté de son proft). Ce derner n accepte le contrat que s son utlté espérée dépasse son utlté de réserve. La soluton optmale proposée par Pcard consste en un contrat de franchse avec coassurance pour les nvaux de dommages élevés. La contrante de lutte contre la manpulaton des coûts d audt mplque une lason étrote entre le paement d ndemnté à l assuré et les honorares versés à l audteur. De surcroît, les ntermédatons élevées dovent entraîner des transferts fables pour l audteur afn que l assuré sot dssuadé de manpuler les coûts d audt. Un audteur averse au rsque dot recevor une compensaton sous forme de prme de rsque pour que sa contrante de partcpaton sot satsfate. Cependant, le taux de coassurance 35 pour les nvaux de dommages élevés fat décroître la prme de rsque ce qu est en fn de compte bénéfque pour l assuré. D autre part, Bond et Crocer (1997) s ntéressent à l étude des contrats d assurance optmaux lorsque les coûts de contrôle sont endogènes. Les auteurs défnssent l effcence des programmes d assurance comme étant un arbtrage entre l obtenton de l nformaton prvée concernant la perte (pour permettre l assurance contre les fluctuatons de la rchesse), et le beson d atténuer les nctatons des assurés (pour ne plus accroître le coût socal). Les auteurs montrent que le contrat d assurance optmal réconcle ces conflts à travers une combnason d nctatons. Les hypothèses du modèle, concernent le fat que les agents peuvent effectuer des actons ayant un effet sur ces coûts. Ces actons, qu ls appellent coûts d évason 36, sont supposées correspondre à des coûts prvés, mas qu font bénéfcer d une 35 Ces résultats peuvent être comparés à d autres cas de coassurance tratés dans la lttérature. En effet, Ravv (1979) montre que la coassurance est optmale s l assureur est averse au rsque ou ben lorsque les coûts d assurance représentent une foncton convexe de la couverture. Egalement, Hubermann, Mayers et Smth (1983) montrent que les règlements de fallte peuvent condure l assureur à offrr une sous-couverture pour les grandes pertes. l s agt en fat, d une explcaton complémentare de la coassurance et du plafond de remboursement, qu résulte de l mperfecton de l actvté d audt menée par l assureur 36 La noton d évason avancée par Bond et Cocer (1997) dffère substantellement de l approche d état de falsfcaton coûteux adoptée par Lacer et Wenberg (1989). Ces derners présentent un envronnement dans

91 Chaptre 2 88 réducton de la régon de vérfcaton et de l accrossement de l ndemnté quand l n y a pas d audt. Spécfquement, pour cette deuxème formulaton, les auteurs supposent qu après avor observé la perte, l assuré peut chosr un nveau de fraude parm deux nveaux probables. Ces deux actons peuvent affecter les coûts de vérfcaton à travers les fonctons de probablté. Les auteurs assocent à chaque acton de fraude possble une probablté décrvant le fat d avor les coûts d audt les plus élevés ou respectvement les plus fables. Les résultats de Bond et Crocer (1997), fournssent la formulaton de base qu sert à meux comprendre le problème d exagératon des dommages rencontré par les assureurs. Un tel problème, peut entraîner l ntensfcaton du dommage, comme par exemple, en cas d assurance malade, le fat d établr une fracture dffcle à vérfer, ou une entorse ou tout autre préjudce du même genre. Des études emprques sur l assurance des accdents corporels (Wesberg et Derrg, 1991) et sur les coûts médcaux (Marter et Wesberg, 1991), ont montré que l exagératon des snstres est dffcle à réfuter, surtout pour les blessures des muscles, les tratements de chropraxe, et les rétablssements prolongés. Smlarement, dans la lttérature s ntéressant à la compensaton des travalleurs, à savor Donne et St-Mchel (1991), et Donne et al. (1992), les snstres exagérés, apparassent comme étant des accdents dffcles à dagnostquer tels que les problèmes de la colonne vertébrale et les maux de dos. Pour Bond et Crocer (1997), le fat d avor des coûts de vérfcaton endogènes, soulève le problème de rsque moral lors de la caractérsaton du contrat optmal, et lorsque la structure des «payoffs» peut affecter l nctaton de l assuré à frauder. Ce contexte de rsque moral, dffère substantellement de celu traté dans les travaux de Croer et Snow (1986) et Bond et Crocer (1991). La dfférence est que dans ces deux derners papers, les auteurs s ntéressent à la catégorsaton du rsque, et leur pont de départ correspond au cas où les agents détennent au moment de la sgnature du contrat l nformaton prvée en ce qu concerne le rsque de subr une perte assurable. u contrare, pour Bond et Crocer (1997), les agents font face ntalement à la même dstrbuton de probablté des pertes, mas devennent après, des détenteurs de l nformaton prvée en ce qu concerne la magntude de leurs pertes. Le problème de rsque moral affecte ans les coûts de vérfcaton. Les résultats théorques du modèle de Bond et Crocer correspondent à ce qu est prédt par la réalté des marchés d assurance. Les assureurs peuvent récompenser les snstres à fables valeurs et combattre les snstres à fortes valeurs. Les contrats d assurance optmaux lequel un ndvdu contrôlé peut nvestr dans des dépenses de falsfcaton de façon à présenter le dommage avec ambguïté à l assureur. u contrare, l approche de Bond et Crocer consste à supposer que l assureur peut toujours établr l état de perte actuel, mas l assuré peut auss manpuler les coûts d audt pour rendre la vérfcaton plus dffcle.

92 Chaptre 2 89 permettent d atténuer les nctatons de fraude telles que les dommages facles à contrôler sont surpayées et les dommages fasant preuve de coûts très élevés sont sous-payés. Les contrats optmaux défns par Bond et Crocer (1997) dffèrent de ceux caractérsés par Lacer et Wenberg (1989) dans leur modèle portant sur les coûts de falsfcaton. En effet, pour Bond et Crocer, les contrats avec vérfcaton coûteuse mplquent un remboursement constant des pettes pertes et une couverture complète des grandes pertes. En revanche, le contrat optmal défn par Lacer et Wenberg en cas de non falsfcaton, mplque un remboursement constant des grandes pertes et une coassurance pour les pettes pertes. Secton 3 : L audt aléatore L objectf de cette secton est d étuder une deuxème verson de l audt à savor, l audt aléatore. Notre but consste à caractérser le contrat d assurance optmal que l assureur dot offrr afn de lutter contre la fraude. Nous consacrons le premer paragraphe à l étude des dfférentes approches théorque qu ont traté ce sujet. Ensute, nous proposons une formulaton du problème de fraude avec possblté d audt aléatore, à l ade d un modèle nspré de la lttérature Les dfférentes approches théorques : Dans ce paragraphe, nous allons présenter les dfférentes approches théorques qu s ntéressent au phénomène de fraude avec possblté d audt aléatore. La majorté de ces travaux fat recours à la théore des jeux en asymétre d nformaton et utlse un modèle de la théore des contrats à savor le modèle Prncpal-gent pour décrre les relatons entre les ndvdus. Le pont commun à l ensemble de ces théores est qu elles sont toutes basées sur le prncpe de révélaton. Dans un contexte d assurance, le prncpal est l assureur et l agent est l assuré. Ce derner détent l nformaton prvée quant à la réalsaton et/ou l ampleur de son dommage. L assureur ne peut obtenr cette nformaton qu en s appuyant sur un audt coûteux. Toutefos, l assuré peut frauder lors de la déclaraton de sa perte. Selon le prncpe de révélaton, le prncpal dot offrr un contrat d assurance, tel que son proft n est jamas négatf (la contrante de partcpaton) et tel que l agent aura toujours ntérêt à révéler son nformaton prvée (la contrante d nctaton). Le contrat optmal est établ en maxmsant

93 Chaptre 2 9 l utlté espérée de l assuré sous la contrante de partcpaton de l assureur et la contrante d nctaton de l assuré. La lttérature sur le sujet est abondante. Le paper sur lequel se fondent tous ses successeurs, est celu de Townsend (1979) qu montre que l audt aléatore domne l audt détermnste au sens de Pareto (vor auss, Townsend, 1988). Dans ce paper, l auteur a supposé que la dotaton de ben de consommaton de l agent 2 est assocée à deux réalsatons probables. Le cadre d analyse adopté pour formuler le contexte d audt aléatore est dentque à celu utlsé en cas d audt détermnste. l s agt de maxmser l espérance d utlté de l agent 2 sous la contrante d nctaton (l espérance d utlté de l agent 2 lorsqu l fraude n est jamas supéreure à son espérance d utlté lorsqu l dt la vérté), la contrante de non négatvté du proft de l agent 1 et les contrantes de plausblté du contrat (la probablté d audt est strctement comprse entre et 1, l espérance d utlté de l agent 1 est supéreure à une constante K). fn de généralser ses résultats et d examner leur robustesse, Townsend a orenté le modèle dans pluseurs drectons. l a essayé d étuder les proprétés d un équlbre compéttf pour une économe composées de m agents avec m>2. l a aboutt au résultat qu un contrat n est révélateur que s, ) dre la vérté représente une stratége domnante pour chaque agent économque, et ) le transfert net de ben de consommaton correspond ben à la valeur prédéfne par le contrat. Sous ce contrat, la foncton de transfert ne peut pas dépendre de l nformaton connue unquement par un seul agent. D où la nécessté de l audt. En guse de concluson, Townsend a montré qu un équlbre compéttf exste et que l allocaton d équlbre représente un optmum contrant. l a défn l équlbre satsfasant au sens de Pareto, par le fat que l allocaton d équlbre est optmale et que l allocaton optmale représente une allocaton d équlbre. Reprenant le modèle de Townsend (1979), et dans un contexte «d état de vérfcaton coûteuse», Mooherjee et Png (1989) montrent qu'un audt aléatore est suffsant pour combattre la fraude. Les auteurs s ntéressent à l étude des caractères généraux des contrats optmaux lorsque l audt est aléatore. ls cherchent à établr les condtons d équlbre en cas d audt aléatore et à analyser l optmalté des contrats afn d examner la robustesse des résultats de Townsend en présence d audt aléatore. Les auteurs supposent que tout au début l agent chost une acton nobservable par le prncpal et selon laquelle l reçot un revenu. Leur formulaton du rsque moral est nsprée du modèle de Grossman et Hart 37 (1983). En 37 Dans un contexte de rsque moral pur, c est-à-dre lorsque le prncpal peut observer la réalsaton de revenu de l agent sans coût, Grossman et Hart (1983), ont montré que dans un programme optmal, la consommaton peut

94 Chaptre 2 91 effet, le nveau de revenu réalsé représente une nformaton prvée pour l agent et ne peut être connu par le prncpal qu en procédant à une expertse coûteuse. Plus généralement, l hablté du prncpal à offrr l assurance à l agent est contrante par l nobservablté de l acton prse par l agent et par l mperfecton de l observablté de la réalsaton de revenu 38. La modélsaton adoptée est la suvante : l agent observe d une façon prvée la réalsaton de son revenu et va déclarer cette réalsaton au prncpal. Ce derner ne peut avor l nformaton complète sur ce revenu qu en procédant à une expertse aléatore et en supportant un coût postf qu dépend du nveau réel du revenu réalsé. Sur la base de sa déclaraton, l agent dot transférer un certan montant au prncpal. S l s avère après vérfcaton que l agent est fraudeur, une certane pénalté postve lu est applquée. Pour dssuader tout comportement frauduleux, l objectf du prncpal est donc d offrr un contrat permettant de maxmser l utlté espérée de l agent, sous la contrante de proft espéré mnmum (pour le prncpal) et la contrante d nctaton approprée. Le contrat d'assurance optmal est un contrat révélateur: la stratége optmale de l'assuré, compte tenu du contrat d'assurance, est de toujours déclarer la vérté. En effet, pour que la déclaraton de revenu sot non frauduleuse, le contrat optmal dot offrr à l agent une utlté espérée postéreure à l audt, plus grande que celle procurée en cas de non audt. Par conséquent, la stratége de contrôle optmale est une stratége aléatore qu assocée à un nveau de sancton suffsamment élevé, ncte les agents à toujours déclarer la vérté. L audt aléatore est optmal, s à l équlbre et pour tous les états de nature, l assuré peut être sanctonné en cas de déclaraton frauduleuse. De plus, les auteurs proposent de récompenser les assurés honnêtes en leur versant des ndemntés plus généreuses que celles payées en cas de non vérfcaton des snstres 39. être non monotone dans le revenu. Selon ces auteurs, l est possble de montrer que les transferts optmaux peuvent être non monotone. ls ont montré auss qu l est mpossble pour la consommaton d être décrossante en foncton du revenu. 38 u-delà des consdératons de rsque moral, l analyse de Mooherjee et Png, dffère de celle de Renganum et Wlde (1985) et Border et Sobel (1987) dans deux aspects essentels. Dans les deux modèles, l objectf du prncpal est de maxmser les revenus collectés sans tenr compte de la contrante de partcpaton de l agent. Deuxèmement, ls consdèrent que l agent est neutre vs-à-vs du rsque. Comme le démontre Border et Sobel, une polce optmale ne va pas typquement exster lorsque l agent peut être ndut à déclarer la vérté avec une perte aléatore lourde à sa charge. Par conséquent, Border et Sobel mposent un plafond aléatore sur la talle de la récompense payée pour les déclaratons honnêtes et qu ont été vérfées. 39 Dans cette proposton Mooherjee et Png, se lmtent aux transferts non arbtrares. En effet, dans un contexte d mpôt sur les revenus, cec peut être justfé par les condtons d équté horzontale. ns, l exstence d un programme optmal est drecte et smple lorsque on lmte la consommaton de l agent à un nombre fn de valeurs alternatves, telles que dans les travaux de Prescott et Townsend (1984) et Townsend (1988).

95 Chaptre 2 92 Mooherjee et Png ont essayé d orenter leur modèle dans pluseurs drectons. L une des nterprétatons les plus pertnente est d essayer d étuder la relaton prncpal-agent dans un contexte d mpôt. ls applquent ans, leur modèle à une populaton de contrbuables dentques assez mportante pour pouvor applquer la lo des grands nombres. Le programme du prncpal est donc de maxmser la foncton de ben être socal. Cette optmsaton permet de défnr les taxes, les probabltés d audt ans que les pénaltés sous la contrante d nctaton pour les contrbuables, la contrante de revenu mnmum pour le planfcateur et les contrantes de non négatvté des consommatons. Dans des consdératons d assurance, cette formulaton de l équlbre est représentée par la maxmsaton de la foncton d utlté espérée de l assuré sous la contrante de proft mnmum de l assureur. Les auteurs montrent de plus que cette formulaton est équvalente au problème dual de la maxmsaton du proft du prncpal sous la contrante de partcpaton ex ante de l agent. Notons auss que le traval de Mooherjee et Png (1989) est étrotement lé au traval de Baman et Dems (198) et Dye (1986) qu se sont ntéressés à analyser les contrats optmaux entre un agent averse au rsque et un prncpal neutre au rsque. Ces auteurs présentent un contexte où l agent et le prncpal observent le revenu réalsé. Sur la base du revenu observé, le prncpal peut effectuer une nvestgaton sur l effort fourn par l agent, et supporter un coût de contrôle. Cependant, dans les modèles de Baman et Dems et Dye, les stratéges d nvestgaton sont désgnées pour amélorer les nctatons à l effort pour l agent, alors que pour Mooherjee et Png, la vérfcaton affecte à la fos les nctatons à l effort ans que les nctatons à dre la vérté. Comme extenson des travaux ctés c-dessus, Fagart et Pcard (1999) essaent de caractérser le contrat d assurance optmal (ndemnté et audt) lorsque la procédure d expertse est aléatore. ls montrent que la probablté d audt est crossante en foncton de la talle de la déclaraton de snstre, et que cette probablté est nulle pour les dommages de pette talle. Le contrat d assurance optmal est un contrat de franchse à laquelle est ajoutée une franchse «évanescente» lorsque la déclaraton est non vérfée. L approche avancée par Fagart et Pcard représente une analyse normatve des contrats d assurance avec état de vérfcaton coûteuse, ntalement élaborée par Townsend (1979). Les deux auteurs se sont focalsés sur une queston posée mas non entamée par Mooherjee et Png (1989). Notamment, que devraent être le taux de couverture et la probablté d audt lorsque ce derner est aléatore? La caractérsaton obtenue sous averson absolue au rsque constante est ntutve. La couverture d assurance est nulle, lorsque le dommage est nféreur à

96 Chaptre 2 93 un certan seul. lors que, s le dommage excède ce seul, l assuré reçot une ndemnté avec franchse. Cette franchse est constante lorsque la déclaraton est vérfée, et dsparaît lorsque les déclaratons sont très élevées. En revanche, lorsque l averson absolue au rsque est décrossante, à cause de l effet de rchesse, l est optmal d applquer une couverture postve pour les pettes pertes, afn de pouvor alléger l ntensté des contrantes d nctaton. Dans un tel cas, le taux de couverture dot être non monotone, ce qu confrme la conjecture de Mooherjee et Png (1989) Le cadre d analyse : Le cadre d analyse est smlare à celu représenté dans le paragraphe précédent avec audt détermnste. Essayons de rappeler brèvement les notatons utlsées. vant tout l assureur offre un contrat d assurance qu peut être accepté ou refusé par l assuré. S ce derner accepte le contrat, le jeu se déroule comme sut. Tout d abord, l état de la nature se réalse. ux états «perte», «pas de perte» sont assocées les probabltés respectves π et (1 π). L assuré peut ensute chosr de fare une déclaraton frauduleuse de façon à maxmser son espérance d utlté, sachant qu l peut être contrôlé. En cas de perte, lorsque l assuré subt un dommage x = L avec une probablté q 2 / π, l n a aucun ntérêt à ne pas déclarer sa perte. L audt est parfat et ne génère aucun coût pour l assuré. Son seul comportement stratégque consste alors à décder de frauder ou non en déclarant d = M avec M > L. La stratége de l assuré est représentée par la probablté β de frauder lorsque x = L avec β 1. S l est honnête, l déclare d = L à son assureur. Lorsque l assureur reçot la déclaraton d = M ou d = L, l ne peut pas savor s l assuré est du type honnête ou fraudeur. Le seul moyen de le savor est de vérfer cette déclaraton. La stratége de l assureur est représentée par la probablté λ de vérfer la déclaraton de l assuré, avec λ 1. En cas de perte, s l assuré fraude, déclare d = M, et l assureur contrôle cette déclaraton, l audt est parfat, la fraude est détectée et l assuré est sanctonné : l paye la sancton S 1, avec S 1. Son utlté est alors égale à u(w P L M S1). Dans le cas où cette

97 Chaptre 2 94 déclaraton n est pas vérfée, l assureur lu verse l ndemnté (non mértée) M, ce qu lu procure une utlté égale à u(w P L ). M S par contre, l assuré décde de ne pas frauder, l subt le dommage x = L, et déclare la vérté (d = L) à son assureur. Ce derner peut auss procéder à une vérfcaton de la déclaraton. L assuré reçot l ndemnté d assurance quelque sot la stratége de l assureur (audt ou pas d audt). Son utlté sera dans les deux cas égale à u(w P L ). De plus, s l assuré se trouve face au deuxème rsque de perte x = M, sa stratége consste à déclarer le dommage réel (d = M) à son assureur. Que ce derner procède à une vérfcaton ou pas de la déclaraton, l assuré reçot l ndemnté M, qu lu procure une utlté L u(w P M ). M Lorsque l assuré ne subt pas de dommage x =, et l sat qu l peut être contrôlé, l peut comme même décder de frauder. La fraude dans ce cas, consste à déclarer un snstre qu n a en réalté jamas eu leu. L assuré fraudeur peut déclarer un faux snstre à son assureur : * sot l déclare d = L avec une probablté α L, telle que αl [,1] ; * sot l déclare d = M avec une probablté α M, telle que α M [,1]. Lorsque l assureur reçot d = L ou d=m, l peut dentfer le type de l assuré (fraudeur ou honnête) en s appuyant sur une expertse. S l s avère après vérfcaton que l assuré est fraudeur, l assureur décde systématquement de le sanctonner par S 2 pour la déclaraton d = L et S 3 pour la déclaraton d = M. L utlté de l assuré est dans le premer cas égale à (w P S ) et dans le second cas égale à (w P S ). u L 2 u M 3 Mas s l assureur ne vérfe pas la déclaraton de l assuré, l ne peut pas détecter la fraude. L assuré reçot une ndemnté (non mértée) L s l déclare d = L, ce qu lu procure une utlté u(w P L) u(w P M. l reçot M, s l déclare d=m et son utlté sera égale à ) dans ce cas. S par contre, l assuré est du type honnête, l ne fat pas de déclaraton auprès de l assureur lorsqu l ne subt pas de snstre. L utlté de l assuré s écrt alors u(w P). L arbre de la fgure 3 permet de résumer la structure du jeu :

98 Chaptre 2 95 M non fraude: d=m λ audt u(w P M M) (1-λ ) q 1 / π pas d audt u(w P M M) N perte audt u(w P L M S1) λ fraude: d=m q 2 / π β π (1- λ) pas d audt u(w P L M) L audt u(w P L L) (1-β) λ non fraude: d=l (1-λ) pas d audt u(w P L L) (1 π) α non fraude : d = u(w P) Pas de perte αl fraude : d=l λ audt u(w P L S2) α M fraude d = M λ (1-λ) pas d audt u(w P L) audt u(w P M S3) (1-λ) pas d audt u(w P M) Fgure.4: Les stratéges de fraude en cas d audt aléatore 3.3. Le contrat optmal en cas d audt aléatore : Dans la majorté des analyses économques fondées sur la théore Prncpal-gent, (vor Myerson, 1981 ; Harrs et Townsend, 1981 ; Mooherjee et Png, 1989 ; Border et Sobel, 1987), les auteurs montrent qu en se basant sur le prncpe de Révélaton 4, le prncpal peut, 4 Le prncpe de révélaton stpule que le prncpale offre des contrats acceptés par l agent (sous la contrante de partcpaton) et tels que l agent sera toujours ncté à révéler son nformaton prvée (Sous la contrante d nctaton).

99 Chaptre 2 96 lmter l ensemble des contrats possbles aux contrats révélateurs. Ces contrats sont dts nctatfs 41, et ls sont établs de telle sorte que l agent sot toujours amené à révéler son nformaton prvée. Lorsqu l est possble pour l assureur de s engager sur toutes les clauses du contrat, notamment sur la fréquence de l audt et la talle de la sancton, l assuré ne se trouve plus devant une ncerttude vs-à-vs du comportement de l assureur. Par conséquent, lorsqu l chost sa déclaraton optmale, l connaît parfatement tous les termes du contrat, y comprs ses chances d être sanctonné s l fraude. Nous défnssons le contrat nctatf comme étant un contrat tel que, la melleure stratége de l assuré est alors de déclarer l état de perte réel et de révéler son nformaton prvée à l équlbre. Nous supposons que l assureur propose un contrat révélateur (, P, S, λ) qu spécfe pour chaque déclaraton de dommage, une ndemnté d assurance qu ne dépend que de l état de la nature («perte» ou «non perte») et de la probablté de contrôle. Le contrat d assurance optmal est défn tel que l espérance d utlté de l assuré sot maxmsée sous les contrantes suvantes : (1) l assuré n aura jamas ntérêt à frauder (2) le proft de l assureur est toujours postf Formellement, l espérance d utlté de l assuré s écrt: EU = π q π q 2 / π (1 π) α (1 π) α 1 / π u (w P M M ) πq β (1 λ) u (w P L M u (w P) (1 π) α λ u(w P M L M 2 / π ) πq S ) (1 π) α 3 β λ u(w P L 2 / π λ u(w P M M S ) (1 β)u(w P L L S ) (1 π) α 2 L (1 λ) u (w P ) 1 L ) (1 λ)u(w M P L ) Ensute, l faut noter que le système dot obér au prncpe de ratonalté ndvduelle de l assuré. En effet, on dot ajouter à ce programme d optmsaton, la condton d acceptaton du contrat par l assuré. l s agt de la contrante de ratonalté ndvduelle de l assuré, représentée à l ade de l expresson suvante : EU U 41 Contrats nctatfs : contrats compatbles avec la contrante d nctaton. Dans notre contexte, la contrante d nctaton représente la contrante pour laquelle l utlté de l assuré en cas de fraude n est jamas supéreure à son utlté en cas d honnêteté.

100 Chaptre 2 97 La contrante de proft non négatf de l assureur s écrt: P πq [ πq πq β α (1 π) ] [ πq (1 β) (1 π) α ] 2 / 1 / π π β λ S 1 2 / π (1 π) α L M λ S 2 M (1 π) α M 2 / π λ S 3 λ L [ π (1 π)( α α )] c L L M (CP) cette contrante de non-négatvté des profts de l assureur (CP) s ajoute la contrante nctatve propre à la constructon du contrat. l s agt d une contrante permettant de décentralser l nformaton et d ncter l assuré à révéler toujours son nformaton prvée (ne pas frauder). La contrante d nctaton (C) s écrt : π q (1 π) α (1 π) α πq 2 / 1 / π β λ u (w P L L M λ u (w P λ u (w P π u(w P M M L M M ) πq S ) π q S ) (1 π) α 2 S ) (1 π) α 2 / / π β (1 λ) u (w P L M (1 λ) u (w P (1 λ) u (w P π (1 β)u(w P L L L L ) M ) ) (1 π) α M ) u (w P) (C) Cette contrante d nctaton sgnfe que l espérance d utlté de l assuré s l fraude n est jamas supéreure à son espérance d utlté s l dt la vérté. Nous avons ben défn toutes les équatons permettant de mettre en place le programme d optmsaton. Le contrat d assurance optmal (, Î, Î, Ŝ, Ŝ, Ŝ ) d utlté de l assuré : Pˆ maxmse l espérance L M Max EU S/C cceptaton du contrat d assurance par l assuré : EU U Contrante de partcpaton de l assureur (CP) Contrante d nctaton de l assuré (C) La talle de la pénalté : S La probablté d audt λ 1 S Cette formulaton est équvalente au problème dual de la maxmsaton du proft de l assureur sous la contrante de partcpaton ex ante de l assuré (Vor Mooherjee et Png [1989]).

101 Chaptre 2 98 Les condtons de premer 42 ordre donnent : L 1) = P 2) L = L L M 3) = u' (w θ P) = 1 1 θ2 (4) L = S 1 L S2 L S2 (5) = (6) = u' (w u' (w u' (w θ P L 1 M S 1) = 1 θ2 θ P 1 L S2) = 1 θ2 θ P 1 M S3) = 1 θ2 La résoluton de ce problème permet de conclure que : S 3 = M L S2 s M > L. Nous obtenons que S3 > S2 et cec nous permet d écrre la proposton suvante : Proposton 4 : l est optmal ) d expertser les snstres avec une probablté nféreure à 1 s, après expertse, on peut pénalser l assuré ; ) d mposer des pénaltés plus que compensatore des ndemntés payées aux assurés (Plus l assureur ndemnse plus l a ntérêt à augmenter les sanctons) ; ) d accroître les sanctons lorsque l ampleur de la fraude 43 est mportante. 42 Le Lagrangen du programme s écrt alors : L(P, S 1, S2, S3, c, L, M, θ 1, θ2) = [ πq1/ π πq2 / π β αm(1 π) ] M [ πq2 / π (1 β) (1 π) αl] L πq βλs (1 π) α λs (1 π) α λs λ[ π (1 π)( α α )] c P EU θ1 2 / π 1 L 2 M 3 L M πq2 / π βλ u (w P L M S 1) πq2 / π β(1 λ) u (w P L M) (1 π) αl λ u (w P L S2) (1 π) αl(1 λ) u (w P L) θ2 (1 π) αm λ u (w P M S 3) (1 π) αm(1 λ) u (w P M) πq1 / π u(w P M M) πq2 / π (1 β)u(w P L L) (1 π) αu (w P) 43 S3 = S 1 L donc S3 > S1 : S 3 représente la sancton en cas de non perte et lorsque l assuré déclare un dommage M à l assureur = et d=m). S 1 représente la sancton en cas de perte et lorsque l assuré augmente le montant du dommage lors de sa déclaraton de snstre = L et d = M). Nous pouvons également conclure que plus la dfférence entre la perte réelle et la déclaraton de l assuré est grande (M > M L) plus la sancton est grande S3 > S1.

102 Chaptre 2 99 l est ntéressant d ajouter, qu en cas de non perte, pour dssuader l assuré de frauder, l faut que le montant de la sancton dépasse le montant de l ndemnté d assurance espérée. En effet, s S 2 = L ou S 3 = M (refus d ndemnsaton), l assuré chost de frauder, pusque la détecton de la fraude ne lu fat ren perdre, l tentera ses chances et déclare une perte qu n a en réalté jamas exsté pour récupérer une ndemnté non mértée s l ne sera pas prs par l assureur. En cas de perte, nous trouvons que S1 M < L. L ndemnté d assurance nette de la sancton est partelle, le contrat optmal est donc un contrat à couverture partelle 44. Proposton 6 : Quelque sot la stratége de fraude de l assuré, déclaraton de faux snstre ou exagératon du montant de dommage, une polce d audt aléatore optmale, dot : ) pénalser la fraude par une amende crossante en foncton de l ampleur de la fraude ; ) applquer une sancton assez mportante pour compenser les ndemntés payées ans que le coût d audt ; ) offrr une couverture d assurance partelle. S nous consdérons mantenant que l assuré est ndfférent entre frauder et dre la vérté, alors la contrante d nctaton sera vérfée en égalté. Nous pouvons écrre que : π q (1 π) α (1 π) α πq 2 / 1 / π β λ u (w P L L M λ u (w P λ u (w P π u(w P M M L M M ) πq S ) π q S ) (1 π) α 2 1 S ) (1 π) α 3 2 / 2 / π β (1 λ) u (w P L L (1 λ) u (w P M (1 λ) u (w P π (1 β)u(w P L L) (1 π) α L ) M ) M ) = u (w P) 44 La comparason des ssues de fraude avec celle de non fraude nous permet d écrre les résultats suvants : *) u' (w P) < u' (w P L M S1) donc u(w P) > u(w P L M S 1 ) pusque u <. D où S1 > M L *) u' (w P) < u' (w P L S2) donc u(w P) > u(w P L S 2 ) pusque u <. D où S 2 > L *) u' (w P) < u' (w P M S3) donc u(w P) > u(w P M S3) pusque u <. D où S 3 > M

103 Chaptre 2 1 sot λ la probablté d audt qu vérfe cette égalté : α u (w P) (1 β)u (w P L ) πq πu (w P M ) πq L 1 / M 2 / π (1 π) α u (w P ) βu (w P L ) L L M αmu (w P M) λ = u (w P L S ) u (w P S ) u (w P S ) πq β M 1 π α π α π (1 ) L 2 (1 ) M 3 2 / u (w P L ) L u (w P ) M M L u (w P M) λ est la probablté d audt pour laquelle l assuré est juste ndfférent entre frauder et dre la vérté. Cette probablté représente le rapport entre le gan à frauder en terme d utlté lorsque l assureur ne procède pas à un audt et la désutlté lée à la fraude s un audt est effectué. l s agt d une «probablté seul» en dessous de laquelle, l n est pas possble que l assuré sot honnête. Comme le montrent dans leurs travaux, Polns et Shavell (1979), cette probablté ne peut exster que lorsque la talle de la sancton est lmtée. Sah (1991) utlse la dénomnaton «gan relatf à frauder». l montre également, que plus la sancton est sévère ou plus l ndemnté est grande, plus ce rato est fable. λ λ Dans notre modèle > et >, nous pouvons par conséquent, conclure que : M L Proposton 7 : L accrossement du gan de la fraude dû à l accrossement de l ndemnté d assurance, entraîne l augmentaton de λ. Cette proposton soulgne l dée qu l devent de plus en plus dffcle à l assureur d empêcher l assuré de fare une déclaraton frauduleuse, lorsque le gan à frauder augmente. Dans ce cas, l faut augmenter la fréquence d audt. λ λ λ De plus, >, > et >. Ce qu confrme que : S S S1 2 3 Proposton 8 : probablté d audt fxée, augmenter le nveau de la sancton permet de rédure le nveau de fraude. Nous retrouvons ans, le résultat de Becer (1968) : parce que l audt est parfat, l est possble de dssuader l agent d accomplr un acte crmnel en le menaçant d une sancton extrême avec une fréquence d audt très fable.

104 Chaptre Sancton et répresson : l exste de nombreux scénaros dans lesquels l assuré arrve à manfester un comportement frauduleux lors de la déclaraton du snstre, ce qu lu permet d en retrer un proft à la percepton de l ndemnté. L assureur se dot donc de détecter et de sanctonner ces comportements dont les conséquences fnancères sont néfastes. L objectf central de ce derner paragraphe est d'analyser les problèmes de répresson ans que les dfférentes réflexons théorques relatves à l'effet dssuasf des sanctons. u-delà de la fraude en assurance, on rejont c d autres domanes d'analyse tels que l'évason fscale et les comportements crmnels. Becer (1968) est le premer à avor analysé l'mpact des mesures répressves sur le comportement crmnel des ndvdus. L auteur a supposé que ces derners sont ratonnels, et a conclu que la stratége optmale, à l'égard de toute forme de crmnalté, consste à adopter des sanctons dssuasves, assocées à une fréquence de contrôle fable, mas suffsante pour que personne ne se sente totalement à l'abr des contrôles. Pour lu, l est mons coûteux pour la compagne d'nflger des sanctons sévères que d'effectuer des contrôles fréquents. Sur le même sujet, Border et Sobel (1987) proposent de sanctonner toute tentatve de fraude (fausse déclaraton de revenu) et de récompenser en contreparte toute déclaraton honnête par le bas des rabas. Cette proposton ncte l agent honnête à préférer que sa déclaraton sot contrôlée. En effet, les agents honnêtes peuvent être récompensés auss, par une probablté de contrôle fable permettant d économser les coûts d audt. ns, s le prncpal veut maxmser son revenu espéré net, l dot alors payer de fortes récompenses avec de fables probabltés. De plus, certans travaux montrent que, s certans types d agents dsent toujours la vérté sans tenr compte de la contrante d nctaton (sont honnêtes par nature), tands qu l est mpossble pour le prncpal d observer drectement cette honnêteté, alors les autres contrbuables peuvent trouver qu l est optmal de trcher, malgré les conséquences encourues lors de la découverte de leur malhonnêteté. Face à ce problème, le gouvernement peut fxer une pénalté pour résoudre le problème prncpal-agent et cec en bassant l utlté du fraudeur. Cette approche mplque que la pénalté tend vers l nfn plus vte que la tendance de la probablté d audt vers zéro. Pour plus de détals vor Becer (1968) et Ehrlch (1972).

105 Chaptre 2 12 Contrarement à Becer (1968) et Ehrlch (1972), Boyer et Schller (23) ne supposent pas que la pénalté est nfne et par conséquent, la probablté d audt tend vers zéro. Ce sont ans, les jurstes et les juges qu fxent cette pénalté, et donc sa talle ne peut être explcte dans le contrat. Toutefos, dans ce cas la fraude peut ne pas être consdérée comme un vértable crme. Cummns et Tennyson (1996) présentent une étude où la fraude est admse comme un acte acceptable. Wesberg et Derrg (1991) trouvent que unquement 2,6% des snstres frauduleux mplquent suffsamment de preuves pour être jugés par la lo. Plus partculèrement, ndreon (1991) consdère le cas où les erreurs judcares peuvent être commses par un juge devant décder de condamner ou non, au delà de tout doute rasonnable, un accusé. l montre que les pénaltés maxmales unformes (c-à-d dentques quelque sot l ampleur du crme), peuvent encourager le crme plutôt que le contrare. l en dédut que le nveau de la sancton dot dépendre de l ampleur du crme. En revanche, d après Crocer et tennyson (22) les pénaltés légales assocées aux snstres frauduleux sont non trvales. Dans leur étude, effectuée au «nsurance Fraud Bureau of Massachusetts», à la pérode 1991 et 1999, Derrg et Zco (2) trouvent que pour 3,1 cas des snstres suspects, unquement 1,9 qu ont été poursuvs. Par contre pour Cremer, Marchand et Pesteau (199), lasser une parte du crme non pune s avère optmal. En effet, cette proposton mplque un nveau de ben être plus élevé que celu résultant d une mse en vgueur totale. De plus, Wesber et derrg (1991) montrent que, unquement une très pette proporton des snstres soupçonnés de fraude (2,6%) est poursuve. Pour eux, la lutte contre la fraude est plus effcace lorsqu l s agt d expertse et d nvestgaton que de poursute des crmnels. Egalement, selon Boyer et Schller (23), la créaton d un bureau spécalsé de suspcon des snstres (CSC : Coordnated Suspcous nsurance Clams bureau) représente le moyen le plus effcent pour attendre de tels objectfs. Pour Crocer et Tennyson (1999), en pratque, les assureurs sont contrants par le respect des pénaltés qu ls peuvent unlatéralement mposer aux fraudeurs. Cependant, le recours aux négocatons des ndemntés représente un moyen de dssuason effcace pour combattre la falsfcaton des snstres.

106 Chaptre 2 13 Secton 4 : Les extensons théorques 4.1. L mplémentaton de la stratége d audt optmale : le «scorng» Donne, Gulano et Pcard (23, 25) ont défn le «scorng», comme étant une méthodologe ou un nstrument d mplémentaton de la stratége d audt optmale. Cette approche de «scrorng» se base sur le modèle de Tonnsend (1979) et Gale et Hellwg (1985) concernant l audt détermnste au sen du paradgme d état de vérfcaton coûteuse, et qu dffère de l approche d audt aléatore : le «scorng» permet de savor s la déclaraton dot fare l objet d nvestgatons plus approfondes. Par exemple, «Moody s nvestors Servce» (2) a développé le modèle de «RsClac» pour les frmes prvées. Dans ce modèle, on utlse des varables fnancères pour accéder aux rsques de carence des clents en se servant du moyen nformatque en ce qu concerne les scores des ndvdus. Ce type de modèle peut de même être applqué pour la modélsaton des crédts octroyés par les consommateurs (Donne et al., 1996) et pour les décsons d audt prses par les frmes en ce qu concerne l élaboraton de projet d nvestssement ou de la valeur résduelle d une frme en fallte. L objectf de Donne, Gulano et Pcard est de formuler un model d audt optmal qu est étrotement relé aux procédures d audt utlsées en pratque par les assureurs, par les banquers ou par les admnstratons fscales. Notamment, ls veulent montrer que la méthode de «scorng» représente un élément essentel de la stratége optmale d audt. Elle permet de savor quand est ce qu un audt dot être effectué selon les sgnaux reçus. La fraude à l assurance représente un cas prvlégé pour l étude de la théore d audt optmal et en partculer, de la méthode de «scorng». Récemment, les analyses économques de la fraude à l assurance ont été développées selon deux catégores : La premère approche est théorque ; ses fondatons remontent à la théore d audt optmal. Elle vse à analyser la stratége des assureurs en cas de snstres frauduleux (vor Pcard, 2). Cette premère approche se focalse essentellement sur les questons suvantes : Que dot être la fréquence d audt optmale et comment les opportunstes réagssent-ls face à la stratége d audt? Quelle est la conséquence de la fraude potentelle sur la caractérsaton du contrat d assurance, et spécalement sur l ndemnté d assurance? Quel est l effet dssuasf de la polce d audt?

107 Chaptre 2 14 l s agt d une approche fondée sur le paradgme d état de vérfcaton coûteuse, où les assurés détennent l nformaton prvée en ce qu concerne leurs pertes et les assureurs peuvent vérfer les snstres en supportant un coût d audt. Ces modèles s ntéressent aux effets de dssuason des stratéges d audt et aux conséquences de la fraude sur les contrats d assurance. Des hypothèses mportantes ont été fondées sur la possblté pour les assureurs de s engager dans une polce d audt ans que sur la capacté des fraudeurs à manpuler les coûts d audt et à rendre la vérfcaton des snstres plus dffcle (Crocer et Morgan, 1998 ; Townsend, 1979 ; Crocer et Tennyson, 1999 et Pcard, 1996, 2). La seconde catégore est plutôt statstque. Elle se focalse sur la sgnfcatvté de la fraude dans les portefeulles d assurance et en partculer, comment la fraude peut être détectée. Elle vse auss à étuder les mécansmes de détecton automatque qu permettent de mnmser les coûts de fraude. Pour plus de détals, vor Derrg (22) et Donne (2). Et vor auss Donne et Gagné (21, 22), Derrg et Wesberg (23), rts et al. (22) et Crocer et Tennyson (22) pour les dfférentes applcatons économétrques. ns, la méthode de «scorng» représente l un des éléments clefs de cette approche statstque. Comme le démontre Derrg (22) et Tennyson et Salmsa-Forn (22), lorsqu l exste des soupçons de fraude, les snstres sont toujours tratés selon une procédure à deux étapes : après vérfcaton mnuteuse, le dommage est sot remboursé suvant la démarche d ndemnsaton habtuelle, sot l fera l objet d nvestgaton plus approfonde. Cette nvestgaton peut prendre dfférentes formes : se référer à une unté d nvestgaton spécale, chercher des témognages enregstrés ou des avoues donnés avec serment de la part de l assuré ou d un témon à l accdent, ou encore fare des enquêtes sur place. Encore plus, Donne, Gulano et Pcard (23) ont voulu établr la lason entre ces deux branches de la lttérature économque. ls ont construt un modèle basé sur le paradgme d état de vérfcaton coûteuse et qu présente une stratége d nvestgaton smlare à la méthode de «scorng». ls ont formulé une hypothèse mportante concernant l accès des assureurs à l nformaton : ls supposent que les assureurs sont capables de percevor des sgnaux relatfs aux snstres frauduleux. De plus, les auteurs consdèrent que les assurés ne peuvent n observer n manpuler ces sgnaux, car les assureurs les gardent avec dscréton. En utlsant les donnés d une compagne d assurance européenne mportante, en assurance automoble, les

108 Chaptre 2 15 auteurs arrvent à calbrer leur modèle et dégager la stratége d audt optmale 45. ls confrment en concluson que leur analyse procure une procédure facle et automatque pour la détecton de la fraude à l assurance. ls prouvent dans leur parte emprque ) qu ls sont capables de calculer un ndce crtque de suspcon 46 ; ) que s l assureur mplémente cette stratége d audt, alors 68% des snstres frauduleux sont audtés et unquement 4% des snstres non frauduleux seront vérfés ; ) que l assureur qu applque cette méthode peut sauver plus que 22 mllons d euros alors qu l a déjà payé 51 mllons d euros pour les snstres frauduleux Falsfcaton et dffculté de l audt : La lutte contre la fraude à l assurance représente l occupaton majeure des compagnes d assurance. Ces dernères essaent avec tous leurs moyens de rédure l ncdence des snstres frauduleux, vu les coûts prohbtfs qu ls mplquent. Les assureurs ont par conséquent adopté des los et des procédures de plus en plus sévères et ont consacré le maxmum de leurs ressources pour pouvor cerner et dssuader ce phénomène à travers l audt et les nvestgatons approfondes. Généralement on dstngue deux types de stratéges adoptées par les assureurs pour rédure l ncdence des snstres frauduleux. La premère consste à audter les snstres qu présentent des caractérstques observables de la fraude potentelle et à élmner ceux jugés non valdes. Selon Crocer et Tennyson (22), lorsqu l est possble de mener des audts coûteux et des nvestgatons, et de sanctonner les fraudeurs par refus d ndemnsaton, on peut dre que les assureurs dsposent de moyens effcaces pour rédure les coûts de fraude. Désormas, lorsqu l s agt d accdents à caractérstques physques non observables, la procédure d audt devent plus dffcle à réalser et perd son effet dssuasf. Cette éventualté mplque la nécessté de la seconde catégore de stratége de lutte contre la fraude. l s agt de la sous-ndemnsaton des snstres, qu représente un moyen effcace pour dssuader les gens snstrés d nvestr dans des actvtés prvées et coûteuses désgnées à gonfler les dommages. 45 Les auteurs montrent que la stratége d audt optmale, prend la forme de ce qu ls appellent «red flags strategy» qu consste à se référer à une unté d nvestgaton spécale lorsque certans ndces de fraude sont observés. La classfcaton des ndces de fraude correspond à un ordre crossant des probabltés de fraude, et une telle stratége parat optmale lorsque la polce d nvestgaton est contrante par le budget. 46 ndce de suspcon : seul à partr duquel toute déclaraton dot être audtée.

109 Chaptre 2 16 L aggravaton du phénomène de fraude se dstngue notamment dans le secteur d assurance ve et cec pour deux rasons essentelles. D une part, apporter la bonne preuve est très dffcle du coup où l on attent à un domane sensble de la santé et de la ve prvée. En effet, le secret médcal représente un obstacle devant les enquêtes effectuées pour vérfer les snstres. D autre part, l observaton physque du dommage est parfos dffcle vor mpossble. ttre d exemple on peut cter les snstres lés aux accdents automobles, de vol ou d ncende. En partculer, dans le domane de la santé, les experts n arrvent pas faclement à dstnguer les vras malades ou même à dagnostquer la malade. Ce sujet a été très ben apprécé par les théorcens. Dans ce domane, nous pouvons cter les travaux de Donne et St Mchel (1991) et Donne et al. (1992) qu ont effectué des études économétrques sur l assurance du traval. Les auteurs ont montré que la fraude qu consste à exagérer la gravté de la malade est très fréquente surtout pour les cas dffcles à dagnostquer. Cette lttérature nous fat nsprer une étude mportante, qu dot côtoyer l analyse du phénomène de fraude. Notamment, l s agt de mettre l accent sur la qualté de l audt et la dffculté d apporter la bonne preuve à la fraude. Par la falsfcaton, les assurés réussssent à rendre l actvté de contrôle dffcle et mparfate. Sur ce sujet, Puelz et Snow (1995) s ntéressent à l analyse du problème de la fraude à l assurance avec audt mparfat. ls supposent que l assureur a le chox entre deux technques d audt toutes les deux mparfates. Les auteurs montrent que l assureur utlse la technque la plus fable, mas auss la plus coûteuse, pour des dommages mportants et d autres technques pour des dommages plus fables. Baron et Besano (1984) et Laffont et Trole (1986) présentent des modèles dans lesquels l audt est possble mas ne peut pas être effectué parfatement. Comme nous l avons déjà mentonné dans les paragraphes précédents, les analyses économques tratant le problème de fraude avec possblté d audt sont dchotomsées en deux paradgmes dfférents, «l état de vérfcaton coûteuse» et «l état de falsfcaton coûteuse». Le premer paradgme a été étudé au début par Townsend (1979) et a été récemment reprs dans un contexte d assurance par Donne et Vala (1992), Kaplow (1994) et Bond et Crocer (1997). Ce paradgme stpule qu unquement l assuré est nformé de l état de perte actuel et l assureur ne peut observer cette perte qu en supportant un coût d audt fxe. L assureur peut ans élmner l avantage nformatonnel de l assuré mas en réservant une parte de ses ressources au coût de vérfcaton. Le problème central de cette lttérature est de trouver la façon la plus effcente à accorder à la stratége de contrôle coûteuse.

110 Chaptre 2 17 Le deuxème paradgme : «état de falsfcaton coûteuse» auquel on s ntéresse dans ce paragraphe, consste à ce qu l n exste pas de technologe de contrôle mplémentée par l assureur pour apaser cette asymétre d nformaton. L hypothèse centrale sur laquelle est basée cette analyse ntée par Lacer et Wenberg (1989) et récemment approfonde par Crocer et Morgan (1998) et Crocer et Tennyson (22), est que l nformaton prvée détenue par l assuré est naltérable. L état de falsfcaton coûteuse peut survenr pusque l assuré est capable de supporter des coûts afn de créer un snstre observable et dont le montant excède celu du dommage réel. Dans ce contexte, un contrat effcent dot permettre d arbtrer entre l utlté de l assurance (pour fare correspondre les ndemntés aux dommages) et l nctaton des assurés à ne pas falsfer les snstres. Lacer et Wenberg (1989) ont étudé les contrats d assurance optmaux avec possblté de falsfcaton des dommages par les assurés. ls ont montré qu à l optmum, le contrat d assurance peut en général pousser à la falsfcaton, mas pour les nveaux de dommages élevés, les assurés n ont pas ntérêt à falsfer. Crocer et Tennyson (1999) se sont ntéressés aux contrats d assurance optmaux correspondants à ce type de problème nformatonnel. Leur modèle est fondé sur l approche de Crocer et Morgan (1998). En effet, les auteurs ont étudé la structure d un contrat optmal en présence d état de falsfcaton coûteuse. ls ont présenté les prédctons théorques du modèle qu ls ont testé à travers les donnés des snstres corporels en assurance automoble. Le résultat central de leur étude, est qu en cas de falsfcaton, le contrat d assurance optmal dot mplquer la surcompensaton des petts snstres et le sous-paement des grands snstres. En plus, ls ont trouvé que tous les assurés, sauf ceux avec les plus petts snstres ou les plus grands snstres, s engagent dans des manœuvres de falsfcaton. Dans la parte emprque, les auteurs prouvent que l assurance automoble représente un domane prvlégé pour l établssement des actes de fraude et l exagératon des snstres, comme le démontre auss d autres travaux emprques sur le sujet (Mooney et Salvatore, 199 ; Wesberg et Derrg, 1991 ; Cummns et Tennyson, 1996 ; brahamse et Carroll, 1998, Donne et Gagné, 1997). l est de même montré que les accdents corporels en assurance automoble sont partculèrement exposés à la fraude surtout à cause des nctatons mplquées par les demandes des dommages-ntérêts (Wesberg et Derrg, 1991 ; et Cummns et Tennyson, 1992). D autre part, le résultat le plus mportant de Crocer et Tennyson (1999) est de montrer que le modèle d état de falsfcaton coûteuse est plus appropré que le modèle d état de vérfcaton coûteuse pour meux explquer le contexte d assurance automoble. En effet, ls trouvent qu l est dffcle en pratque d dentfer les snstres frauduleux ou exagérés, et l est par conséquent extrêmement dffcle de prouver la fraude. De surcroît, l utlsaton d une

111 Chaptre 2 18 approche basée sur la négocaton des ndemntés peut avor un effet dssuasf mportant comme elle peut représenter la melleure soluton adaptée à ce genre de problème (vor Lacer et Wenberg, 1989 ; Crocer et Tennyson, 1999 et Crocer et Morgan, 1998). Dans leurs travaux, ces auteurs suggèrent que la melleure façon d étuder le phénomène de fraude est d établr un modèle où l agent peut cacher le vra état de nature, mas à un certan coût. Ce type d approche mplque l exstence de quelques degrés de fraude à l équlbre. En partculer, Lacer et Wenberg (1989) étudent les arrangements optmaux de partage de rsque entre deux agents, (le premer est neutre au rsque et le second est averse au rsque) sous la contrante de la capacté de l agent 2 à falsfer le dommage à un certan coût. ls montrent que les contrats de non-falsfcaton optmaux sont domnés par des contrats qu mplquent quelques degrés de falsfcaton. Plus récemment, Crocer K.J. et Tennyson S. (22) ont réalsé une étude emprque sur l assurance automoble et portant sur la fraude avec possblté de falsfcaton coûteuse. Les auteurs ont développé un modèle vsant à détermner l ndemnsaton optmale. Leur modèle sut celu de Crocer et Morgan (1998) qu caractérsent les contrats d assurance optmaux dans un contexte où l assuré peut s engager dans une stratége de falsfcaton coûteuse pour pouvor augmenter le montant du dommage réel. Crocer et Tennyson consdèrent que l assuré subt une perte assurable dont l ampleur représente une nformaton prvée 47. L assureur peut observer unquement la talle du dommage, qu peut être plus grande que celle du snstre réel et cec lorsque l assuré peut chosr d nvestr dans des fras de falsfcaton pour gonfler le montant de la perte. Face aux snstres frauduleux, l assureur dot chosr une stratége de remboursement, qu consste en un «profl d ndemnsaton» lé à la talle du dommage. La stratége d ndemnsaton optmale mplque un conflt entre les tentatves de l assureur (à travers la sous-ndemnsaton) pour dssuader les assurés de falsfer et le désr de l assureur d évter les coûts causés par le ltge concernant ce sous-paement. En effet, l objectf de ce paper est d étuder le sous-paement des snstres comme étant un mécansme de dssuason de la fraude. ns, les auteurs consdèrent un contexte dans lequel les assureurs font face à des assurés snstrés qu nvestssent des ressources pour falsfer les dommages et les rendre plus élevés. ls arrvent à la concluson que lorsque les snstres peuvent être dchotomsés en deux catégores avec des coûts de falsfcaton dfférents, alors 47 Le paradgme d état de falsfcaton coûteuse adopté par Crocer et Tennyson (22) suppose que l asymétre d nformaton (l ampleur de la perte actuelle) est naltérable, à l encontre de l approche d audt (état de vérfcaton coûteuse) qu permet à l agent non nformé d obtenr cette nformaton prvée en supportant un coût d audt.

112 Chaptre 2 19 la stratége d ndemnsaton optmale consste en une ndemnté d assurance élevée pour une certane classe de snstres et basse pour l autre. Systématquement, l s agt de sous payer les gens ayant des fras de falsfcatons bas. Pour approfondr leur analyse, les auteurs se sont orentés vers l étude des données concernant les ndemntés d assurance des accdents corporels en assurance automoble. ls ont trouvé que la catégore de snstres jugés facles à falsfer et susceptbles à l nflaton, est systématquement sous-compensée en comparason avec la catégore de snstres dffcles à falsfer. Ce traval est étrotement lé à certans travaux antéreurs de la lttérature sur l assurance et les ltges entre les contractants. En effet, Cooter et Rubnfeld (1989) représentent une vue d ensemble sur les dfférentes approches tratant ce problème. Plus récemment, des études emprques effectuées par Farber et Whte (1991) ont porté sur l effet de la qualté des sons médcaux sur la responsablté des mauvases pratques. cet égard, Kessler (1995) s est ntéressé à l étude de l effet de la néglgence sur les ndemntés. l a utlsé des données sur les ndemnsatons en assurance automoble et a trouvé que les remboursements sont plus élevés en cas de néglgence relatve qu en cas de néglgence contrbutve (faute de la vctme). D autre part, Syes (1996) a étudé l mpact de la mauvase fo et a montré que les ltges coûteux peuvent servr comme procédure de sélecton pour l assureur l adant à dentfer les snstres frauduleux. Le contexte consdéré, est celu dans lequel les experts peuvent construre des soupçons de fraude sur la base de certanes caractérstques spécfques des snstres. En supposant que l assureur est contrant de couvrr complètement le dommage ou refuser de l ndemnser totalement, Syes montre que la stratége optmale de l assureur est de refuser les snstres soupçonnés avec une probablté postve, et que le ltge coûteux amenant parfos à refuser des vras snstres qu sont soupçonnés par erreur, peut contrandre la proporton de snstres rejetés. Dans notre contexte, cec sgnfe que les fraudeurs peuvent supporter des fras de falsfcaton pour valder leurs snstres. Concluson et Dscusson : L objectf de ce chaptre est de présenter les dfférentes approches théorques qu ont traté le phénomène de fraude à l assurance avec possblté d audt. L hypothèse centrale sur laquelle se focalsent ces études, est celle lée au problème d asymétre d nformaton entre l assureur et l assuré. En effet, la réalsaton et/ou l ampleur du dommage représente une nformaton prvée pour l assuré, et l assureur ne peut obtenr cette nformaton qu en s appuyant sur une

113 Chaptre 2 11 procédure d audt. L actvté d audt revêt généralement deux formes dfférentes : l audt détermnste et l audt aléatore. La premère forme représente le fat que toute déclaraton de snstre sot systématquement vérfée par l assureur, alors que la seconde forme mplque le fat que l assureur chost une probablté d audt avec laquelle l s engage à contrôler les dommages. La lttérature sur ce sujet fat utlsaton ntensve de la théore des jeux pour formalser le problème et les relatons entre les deux contractants sont décrtes à partr d un modèle smple de la théore des contrats à savor le modèle prncpal agent. De plus, la majorté des modélsatons sont fondées sur le paradgme d état de vérfcaton coûteuse qu stpule, que l assureur supporte des coûts généralement fxes pour contrôler les déclaratons. Une hypothèse alternatve et à laquelle se sont ntéressés pluseurs auteurs est celle portant sur le problème d engagement de l assureur dès la sgnature du contrat dans une stratége d audt crédble. l est ans montré qu en cas de non engagement, le problème prncpal-agent ne peut être résolu et qu à l équlbre l exste toujours quelques degrés de fraude. La soluton proposée par les théorcens est de déléguer le pouvor d nvestgaton à un organsme commun à toutes les compagnes d assurance. ns, l acton collectve permet d apaser ce problème de fraude et de dssuader l évason. Le programme d optmsaton repose sur la maxmsaton de l utlté espérée de l assuré sous la contrante de partcpaton de l assureur, la contrante d nctaton de l assuré et les contrantes de fasablté du contrat. Comme llustraton des dfférentes modélsatons de notre revue de lttérature, nous avons ms en œuvre deux modèles: celu avec audt détermnste et celu avec audt aléatore. Nous avons montré que le refus d ndemnsaton n est pas suffsant pour élmner la fraude. l est donc ndspensable de sanctonner le fraudeur par une amende crossante en foncton du degré de fraude. En cas d audt aléatore, nous avons montré de plus, que l assurance partelle est optmale. Nos résultats sont smlares prncpalement à ceux de Pcard (1999) et Moherjee et Png (1989). l exste encore un deuxème courant de pensées qu s est focalsé sur le paradgme d état de falsfcaton coûteuse. Ce deuxème paradgme suppose que l assuré peut nvestr dans une actvté de falsfcaton afn de rendre l actvté d audt plus dffcle. L assureur ne peut, par conséquent, détecter la fraude avec certtude. L audt est dans ce cas dt mparfat : la fraude n est pas systématquement détectée lorsqu un audt est mené. L étude bblographque des dfférentes approches théorques tratant le problème de fraude et d audt va nous servr de base pour notre prochan traval, dans lequel nous modélsons la fraude dans un contexte d audt (parfat et mparfat).

114 Chaptre ntroducton Générale: Secton 1 : udt détermnste probablste versus audt aléatore parfat (Le modèle) Le cadre d analyse : udt léatore Parfat (P): udt Systématque Probablste (SP): Quelle procédure faut-l mener? udt léatore Parfat (P) ou udt Systématque Probablste (SP) : Secton 2 : L expérmentaton Le desgn expérmental : Les questons testées : La descrpton de l expérmentaton: La descrpton du protocole : Objectf de chaque pérode : L analyse des résultats expérmentaux : L audt aléatore : udt systématque probablste : Quelle procédure faut-l mener? udt léatore Parfat (P) ou udt Systématque Probablste (SP) : Concluson Générale: nnexe 3.1. : nnexe nnexe nnexe nnexe nnexe nnexe

115 Chaptre ntroducton Générale: Combattre la fraude à l assurance représente un problème majeur qu concerne l ensemble des socétés d assurance. En effet, l accent est ms non seulement sur la quantfcaton de ce phénomène mas surtout sur la geston et le contrôle de cette fraude. Un courant de travaux récents s est ntéressé à l analyse du contrôle de la fraude en len avec les possbltés d nvestgaton (vor Pcard, 1996 ; Boyer, 2 et Schller, 23). Tands qu une majorté de cette lttérature a prs comme pont de départ, l asymétre d nformaton entre l assureur et l assuré en s appuyant sur le prncpe de révélaton (vor Townsend, 1979 ; Mooherjee et Png, 1989 et Bond et Crocer, 1997). En partculer, lorsque les assurés détennent l nformaton prvée en ce qu concerne leurs dommages, les contrats d assurance dovent souvent mplquer des procédures d expertse permettant aux assureurs de vérfer l ampleur et la survenance effectve des snstres déclarés par les assurés. La procédure d expertse, encore appelée audt, revêt de multples formes. Nous en dstnguerons deux : l audt détermnste et l audt aléatore. L audt détermnste spécfe s une vérfcaton du snstre a leu ou pas, en foncton de l ampleur des dommages (Townsend, 1979). Tands qu avec l audt aléatore, la vérfcaton des snstres est non systématque ; l assureur contrôle les dommages avec une probablté qu dépend de l ampleur de la perte déclarée. l s agt dans ce chaptre, de présenter et de comparer ces deux formes d audt et d assocer une proprété partculère à l audt détermnste pour avor ce qu on appelle «l audt systématque probablste». L dée est que lorsque l assureur reçot la déclaraton de snstre, l procède systématquement à une vérfcaton de celle-c, mas l est possble que l audt n arrve pas à détecter la fraude avec certtude. Plus précsément, l exste une probablté p telle que le fraudeur ne sot pas prs par son assureur et échappe par conséquent à la sancton ; d où la dénomnaton «probablste». Nous vsons à ntégrer dans notre analyse le rôle de la qualté de l audt dans la détecton de la fraude. En effet, les moyens dont dsposent les fraudeurs pour organser la mse en scène ou la falsfcaton d un snstre sont tels que les enquêteurs et les experts se trouvent souvent face à un manque de moyens répressfs et une ncapacté d apporter les bonnes preuves. Nous développons dans une premère secton, un modèle théorque décrvant la procédure d audt en assurance et nous montrons comment la procédure aléatore peut domner la

116 Chaptre procédure détermnste. Nous mettons l accent sur l équvalence potentelle de ces deux formes du pont de vue des chances de détecton de la fraude. Cette équvalence s observe lorsqu avec l audt aléatore, l assuré a p chances d être contrôlé (audt aléatore parfat), tands qu avec l audt détermnste, ben qu l sot toujours contrôlé, l a p chances d être détecté en cas de fraude (audt détermnste mas mparfat). Dans la secton 2 de ce chaptre, nous présentons une étude expérmentale s ntéressant à l analyse des comportements ndvduels des assurés face aux deux formes d audt : l audt aléatore parfat et l audt systématque probablste. Le but de cette étude est de tester la robustesse de nos résultats théorques et de comparer les deux versons d audt à travers les données expérmentales.

117 Chaptre Secton 1 : udt détermnste probablste versus audt aléatore parfat (Le modèle) 1.1. Le cadre d analyse : La modélsaton que nous adoptons pour formalser le problème de fraude avec possblté d audt consste à dstnguer deux formes d audt : l audt détermnste probablste et l audt aléatore parfat. Potentellement, l s agt de deux formes équvalentes, mas nous cherchons toutefos, à établr et démontrer l effcacté de l une par rapport à l autre. La queston centrale qu orente notre recherche est la suvante : faut-l mener un audt aléatore de très bonne qualté ou un audt détermnste de qualté mondre? Pour cec nous consdérons un assuré averse au rsque, dsposant d une rchesse ntale (W) lu permettant de payer la prme d assurance (P) pour être couvert contre un rsque de perte ). Cette assurance lu garantt une ndemnté () en cas de dommage. L assuré a la possblté de frauder et déclarer un faux snstre ou en exagérer le montant. Nous supposons que la fraude ne génère aucun coût pour l assuré. L assureur de son coté, est neutre au rsque, dspose d une dotaton ntale (V), encasse la prme d assurance et rembourse l ndemnté en foncton de la déclaraton reçue. l ne peut savor s l assuré est fraudeur ou honnête qu en s appuyant sur une expertse. L expertse, encore appelée audt, est détermnste probablste s l assureur contrôle systématquement toute déclaraton de dommage mas l n arrve pas avec certtude à détecter la fraude. Par contre, on parle d audt aléatore parfat, lorsque l assureur contrôle les déclaratons avec une certane probablté et arrve systématquement à détecter la fraude udt léatore Parfat (P): Nous étudons un contrat d assurance qu s établt entre un assuré averse au rsque et un assureur neutre au rsque. Contre paement d une prme P, l assuré peut obtenr une couverture d assurance contre un rsque de perte x X = { x, x, x,..., x } dspose d une rchesse ntale W et subt un dommage n que q = = 1 1 x avec une probablté 2 n. L assuré q, telle. Nous supposons de plus que l ampleur et la réalsaton du snstre représentent une nformaton prvée pour l assuré. Ce derner dot déclarer le snstre à l assureur et peut

118 Chaptre frauder, en déclarant un faux snstre ou en exagérant le montant du dommage. Déclarer un faux snstre, revent à déclarer un dommage sans l avor réellement sub ; exagérer le montant du dommage, revent à déclarer un montant supéreur à la valeur réelle du snstre. L assureur de son coté, peut se fonder sur une expertse pour vérfer la réalsaton effectve ans que l ampleur du snstre. l dspose d une dotaton ntale V et supporte un coût d audt C, que nous supposons constant. La procédure d audt est supposée c, aléatore et parfate. Cec veut dre que l assureur chost une probablté avec laquelle l vérfe les déclaratons et que la détecton de la fraude est systématque. Lorsque l assuré subt un dommage x { x, x, x,..., x } d X, avec d 1 2 n, l peut chosr de déclarer x. L assureur s engage à contrôler cette déclaraton avec une probablté λ. L audt est supposé parfat : toute déclaraton frauduleuse vérfée est systématquement détectée. On note par,d ), l ndemnté d assurance en cas d audt et (d ) le transfert de l assureur à l assuré en cas de non audt. l assuré fraudeur est applquée une sancton monétare notée S. Cec veut dre que lorsque pour un snstre x { x, x, x,..., x } déclare d X, avec d > x, alors,d ) = S. Le jeu peut être caractérsé à l ade du schéma suvant : 1. tout d abord, la nature défnt un état de perte x { x, x, x,..., x } ; 2. ensute, l assuré effectue sa déclaraton à l assureur : d, avec d x ; n 2 n, l assuré 3. enfn, ayant reçue cette déclaraton l assureur procède à un audt avec une probablté λ. Ce jeu est llustré par le schéma suvant : λ udt Perte : x X Déclaraton : d X udt léatore Nature ssuré ssureur (1- λ ) Non audt Sot W = W x P,d ) la rchesse fnale de l assuré en cas d audt, et lorsqu l f fat face à un dommage fnale en cas de non audt. x X et déclare d X, et W = W x P (d ) sa rchesse f

119 Chaptre L arbre de décson de ce jeu: d > x ssureur λ udt N q (1 - λ ) x X ssuré Non audt udt λ La matrce des gans: d = x ssureur (1- λ ) Non audt ssuré ssureur udt λ Non audt (1- λ ) ( P S C) V Fraude d > x ( V P (d )) ( W P x S) ( W P x (d )) Non fraude d = x ( W P x ( x )) ( V P ( x ) C) ( W P x ( x )) ( V P ( x )) S on s ntéresse au rasonnement fat par l assureur lorsqu l reçot, la déclaraton de snstre, on peut dstnguer qu l exste une relaton étrote entre la stratége de l assureur et ses croyances vs-à-vs de la réalsaton ans que de la talle du dommage. En effet, q étant la probablté d avor l événement x {,..., }. Lorsque l assureur reçot la déclaraton d, x n sa croyance ntale sur le fat que l événement x sot survenu est q. En revanche, vu que l assuré peut être ncté à frauder, alors l assureur révse ses croyances de la façon suvante :

120 Chaptre q q 1 q q 2... q = q = q 1 q = 1 q q1 q2... q q = q 2 q = 2 q q1 q2... q q = q que l assuré sot honnête : le dommage réel est x que l assuré fraude : le dommage réel est x 1 que l assuré fraude : le dommage réel est x 2 q 2 q = 2 que l assuré fraude : le dommage réel est x q q1 q2... q 2 q = q 1 q = 1 que l assuré fraude : le dommage réel est x q q1 q2... q 1 q = q q = que l assuré fraude : le dommage réel est x q q1 q2... q q = Plus précsément, lorsque l assureur reçot une déclaraton de dommage d = x, l ne peut savor qu l s agt d une déclaraton honnête ou frauduleuse que sur la base d une vérfcaton de cette déclaraton. Pour chosr sa stratége d audt optmale, l assureur procède au rasonnement suvant : l est possble que l assuré sot honnête, c'est-à-dre que le dommage réel sot x (comme cela a été déclaré). Cette éventualté peut survenr avec q = q chances. Ce rato de vrasemblance qu représente la croyance de l assureur sur le fat que le dommage x sot survenu, lorsqu l reçot la déclaraton probablté d avor l événement d = x d = x, n est autre que le rapport entre la x, sot q, et la probablté que la déclaraton de snstre sot. Cette dernère est égale à q, car une déclaraton n mporte quel snstre fraudeur et déclare = x, avec x {, x, x,..., x } 1 2 d = x peut correspondre à. l est possble donc que l assuré sot d = x, alors que le snstre réel est dans l ensemble {, x, x,..., }. 1 2 x 1

121 Chaptre Nous remarquons ans, que plus le montant du dommage déclaré augmente plus l y a de chance que la déclaraton sot frauduleuse c est-à-dre mons l assureur y crot. Proposton 1 : L assureur est ncté à contrôler plus fréquemment les grandes déclaratons de snstres, car la fablté des déclaratons est nversement proportonnelle au montant déclaré 1. Dans ce qu sut nous schématsons la stuaton de l assureur lorsqu l reçot une déclaraton d = x. Nous représentons toutes les possbltés qu peuvent survenr ans que les gans correspondants. On rappelle que V représente la rchesse ntale de l assureur, P est la prme d assurance, C est le coût de l audt, (d ) est l ndemnté d assurance et S est la sancton applquée en cas de fraude. En cas d audt : L assureur reçot d = x Les éventualtés possbles q q = q 1 q = q 1 q = : que x : que x 1 : que x 1 = V P C S G = V P C S G = V P C S G q q = : que x G = V P C (d ) 1 Pour explquer la proposton 2, l sufft juste de donner un exemple. S l assuré déclare un dommage dont le montant est x 2, alors pour l assureur, l est possble que cette déclaraton sot honnête, comme l est possble auss qu elle sot frauduleuse. En effet, le dommage réel peut être également x 2, ou ben peut être x ou x 1 ou x 3.ou encore x 19. l exste ans, 2 éventualtés de fraude et unquement une seule éventualté d honnêteté. C est ce qu explque le fat, que les petts montants de snstres sont mons douteux, c est-à-dre ont mons de chances d être frauduleux, alors que les grands montants de dommages sont plus douteux, c est-à-dre ont beaucoup plus de chances d être frauduleux et dovent par conséquent être contrôlés plus fréquemment. Par conséquent, la fablté de la déclaraton est nversement proportonnelle au montant déclaré.

122 Chaptre Lorsque l assureur reçot une déclaraton x d =, d après lu, l n y a que = q q chances que x sot le montant de dommage réel et = = = = 1 q q q q 1 chances que ça sot une déclaraton frauduleuse (c'est-à-dre le vra montant de dommage a une valeur dans l ensemble { } x x x x,...,,, ). De surcroît, le gan de l assureur en cas de fraude est égal à S C P V G =, alors qu en cas de non fraude, ce gan est égal à ) (d C P V G =. Cec veut dre que l assureur reçot la prme d assurance, supporte le coût d audt, sanctonne le fraudeur s la fraude exste et ndemnse l assuré honnête. On en dédut alors, que s l assureur décde de mener un audt lorsqu l reçot la déclaraton x d =, alors l espérance de son gan sera égale à : ) (d q q S q q C P V )) (d C P (V q q S) C P (V q q G 1 1 = = = = = = = =.

123 Chaptre 3 12 En cas de non audt : = q q : que x ) (d P V G = L assureur reçot x d = = 1 q q : que 1 x ) (d P V G = = 1 q q : que 1 x ) (d P V G = = q q : que x ) (d P V G = S l assureur ne procède pas à une vérfcaton de la déclaraton, alors quelle que sot la stratége de l assuré (fraude ou non fraude), le gan de l assureur est toujours égal à ) (d P V G =. Sot λ la probablté que l assureur procède à une vérfcaton de la déclaraton (joue ) et (1- λ ) la probablté que l assureur joue (pas de vérfcaton). La stratége de l assureur est de chosr λ, telle que l espérance de son proft sot postve : E π [ ] ) (d ) (1 )] (d [C q q S) C ( q q P V E 1 λ λ = = = = Les éventualtés possbles

124 Chaptre q q = V P λc λ S (d ) q q = = [ 1 λ] (d ) Quant à l assuré, ce derner chost la déclaraton d = x, s l fat face à l une des deux cas suvants : x est l état de perte réel : l assuré ne fraude pas. l état de perte réel est dans l ensemble { x, x,..., } déclare un dommage supéreur à la perte réelle. 1 2 x 1 En effet, pour l état de perte x, l assuré a ntérêt à déclarer, : l assuré décde de frauder. l d > x s et seulement s : λ(w (1 λ) λ P x [ (d ) S ) )] λ < [ (d ) S ) )] S) (1 λ)(w (d ) λs > (1 λ) (d ) ) P x λ(w < ) λ = λ (d ) [d ]) > P x ) )) (1 λ)(w ) P x )) Proposton 2 : fn de dssuader la fraude, l assureur a ntérêt à vérfer les déclaratons de dommage avec une probablté λ > λ. Ce seul λ représente une probablté lmte pour laquelle l assuré est juste ndfférent entre la fraude et l honnêteté. C est le rapport entre le gan de la fraude en cas de non audt et la perte lée au fat de supporter une sancton S, s la fraude est détectée. Dans le paper de Sah (1991), ce rato est appelé «gan relatf à la fraude», mas l est exprmé en terme d utlté et non pas en terme de gan. Cet auteur montre auss que plus la sancton est élevée ou plus l ndemnté est grande, plus ce rato est fable. Polnsy et Shavell (1979) montrent que cette probablté ne peut exster que lorsque la talle de la sancton est lmtée.

125 Chaptre On peut ans, défnr ce qu on appelle la contrante d nctaton de l assuré qu tradut le fat que l assuré est toujours amené à déclarer la vérté. Cec veut dre que l espérance de gan de l assuré lorsqu l fraude n est jamas supéreure à son espérance de gan lorsqu l est honnête. Nous pouvons, ans conclure que l objectf de l assureur est de chosr une fréquence d audt λ * optmale qu : Maxmse son gan espéré (non négatf) Sous la contrante que l assuré ne fraude jamas Mathématquement, cec est équvalent au système suvant : Max S/ C avec E = W P λc λ λ λ < λ < 1 = (d ) 1 = = S = [ (d ) S ) )] q q ) q q (d ) pour tout d [ 1 λ] > x (d avec x ) { x, x,..., x } 1 n [, x n ] La maxmsaton du proft espéré de l assureur dépend étrotement de la crossance ou de la décrossance de ce proft en foncton de la fréquence d audt λ. En effet, le proft espéré de l assureur s écrt comme sut : E = W P λ 1 q = avec ω = q = [ ω S (1 ω ) (d ) C (d )] Deux cas se présentent : 1 er cas : S { ω S (1 ω ) (d ) (d )} > C Pour ce premer cas, le proft espéré de l assureur est crossant en foncton de λ. Or, l assureur dot fxer la fréquence d audt de façon à ncter l assuré à ne pas frauder. Pour fare face à tous les événements de pertes possbles, l assureur dot fxer cette fréquence à son nveau maxmal, sot : λ * = max (d ) ) [ (d ) S ) )] [ ) S ) )] [ ) S] = n (d n ) ) ) = n n )

126 Chaptre ( x n ) λ* = < 1 : représente le seul maxmal de la fréquence d audt. ( x ) S n Ce résultat est ntutf et tradut l dée que lorsque la sancton mposée par l assureur est suffsamment élevée, de façon à ce que le gan espéré de l audt sot supéreur au coût, alors l augmentaton de la fréquence d audt entraîne la crossance du proft de l assureur. D autre part, on peut conclure auss que pour les grands montants de snstres, dont les ndemntés correspondantes dépassent le coût d audt, l assureur a ntérêt à augmenter sa fréquence de contrôle. Cec veut dre, que pour l assureur, s le coût d ndemnsaton est supéreur au coût de contrôle, alors l a ntérêt à vérfer la déclaraton. 2 ème cas : S { ω S (1 ω ) (d ) (d )} < C En revanche, pour ce second cas, l augmentaton de la fréquence d audt entraîne au contrare la décrossance du proft de l assureur. Pour cec, ce derner qu cherche à maxmser son proft tout en étant contrant par l nctaton de l assuré à ne jamas frauder ( λ < λ 1), dot < fxer la probablté d audt à un nveau légèrement supéreur à λ. Cela se produt pour les pettes déclaratons, pour lesquelles les chances de fraude sont basses. Pour cette classe de dommage la fréquence d audt ne dot pas être très élevée, l sufft juste qu elle dépasse légèrement la probablté seul λ, pour laquelle l assuré est ndfférent entre la fraude et l honnêteté. Par conséquent, avec cette stratége, l assureur arrve à ndure un comportement non frauduleux du coté de l assuré. L dée est tout smplement que les petts montants de dommages (qu sont nféreurs au coût d audt), coûtent beaucoup plus pour l assureur lorsqu l les vérfe que lorsqu l les rembourse sans les contrôler. La dstncton des deux cas précédents revent au fat de dstnguer deux classes de dommages : les grands dommages et les petts dommages. Selon cette dstncton, nous avons montré que les montants de snstre élevés sont plus sujets à une expertse que les petts montants de snstre. En matère de coût d assurance, l est de l ntérêt de l assureur d augmenter la fréquence du contrôle lorsqu l s avère que l ndemnté à payer est plus mportante que le coût d expertse. De même, l a ntérêt à dmnuer la fréquence de contrôle lorsque le montant de l ndemnté d assurance est nféreur au coût d audt. Nous résumons ce résultat dans le corollare 1.

127 Chaptre Corollare1 : La stratége optmale de l assureur est de fxer la fréquence d audt de façon à ncter l assuré à ne jamas frauder : ) n ) à un nveau λ * telle que : λ < λ* = < 1 pour les grands snstres : ) S contrôle très fréquent s l ndemnté d assurance est supéreure au coût d audt. ) à un nveau légèrement supéreur à λ pour les petts snstres : contrôle peu fréquent s l ndemnté d assurance est nféreure au coût d audt. n udt Systématque Probablste (SP): Le cadre d analyse est smlare à celu représenté dans le paragraphe précédent. La seule dfférence est que nous consdérons c, que la procédure d audt est détermnste au leu qu elle sot aléatore et que la détecton de la fraude est probable et non systématque. Rappelons brèvement les notatons utlsées. Nous supposons qu un assuré averse au rsque contracte avec un assureur neutre au rsque pour être couvert contre une perte x { x, x, x,..., x } [, x ] X = 1 2 n n. l dspose d une rchesse ntale W et paye une prme d assurance P, qu lu garantt une ndemnté en cas de dommage. Nous admettons que l assuré détent l nformaton prvée quant à la réalsaton et l ampleur de la perte et qu l dove effectuer une déclaraton auprès de l assureur. Ce derner ne peut obtenr cette nformaton qu en vérfant la déclaraton du dommage à l ade d une expertse. l dspose d une dotaton ntale V et supporte ans un coût C que nous supposons constant. Lorsque l assuré subt une perte x X = { x, x, x,..., x } 1 2 n, l peut chosr de déclarer d x sans supporter un coût. utrement dt, nous supposons que la fraude ne génère aucun coût pour l assuré 2. L assureur s engage à contrôler systématquement cette déclaraton. En revanche, l assureur ne peut pas détecter la fraude avec certtude, à cause de la mauvase qualté de l audt. Ce derner est dans ce cas mparfat ou encore «systématque probablste». La fraude ne peut donc être détectée qu avec une probablté p. Sot (d ), l ndemnté d assurance. ce nveau, l a fallu fare une dstncton entre l ndemnté d assurance correspondante au cas de détecton de la fraude par l audt et celle 2 Dans cette premère étape de l analyse, nous supposons que la fraude est non coûteuse. Dans le chaptre 5, nous ntrodusons la possblté que l assuré nvestsse en fras de falsfcaton (fraude coûteuse).

128 Chaptre correspondante au cas de non détecton de la fraude. Mas, vu que l assureur ne peut pas observer s l audt mené est parfat ou pas, alors on gnore cette dstncton et on consdère que l ndemnté d assurance est tout smplement dépendante de la déclaraton du dommage. Le jeu peut être caractérsé à l ade du schéma suvant : 1. la nature défnt un état de perte x X 2. l assuré chost de déclarer d x à l assureur ; avec une probablté q ; 3. ayant reçu cette déclaraton de dommage, l assureur procède systématquement à une vérfcaton de celle-c, mas l n a que p chances de détecter la fraude. Perte : x X Déclaraton : d x udt Systématque Nature ssuré ssureur p Détecton (1 p) Non détecton Sot W = W x P,d ) la rchesse fnale de l assuré, lorsqu l subt un dommage f x X et déclare d à l assureur. En cas de détecton de la fraude, l assuré est pénalsé par une sancton monétare, sot,d ) = S. W = W x P ) représente la rchesse f fnale de l assuré en cas d audt et de non détecton de la fraude 3. L arbre de décson : d > x ssureur p Détecton N q (1-p) x {,..., x n } ssuré Non détecton Détecton p d = x ssureur (1-p) Non détecton 3 On ne consdère que le cas où l assureur n arrve pas à détecter la fraude. C est-à-dre, à cette étape de l analyse, l mperfecton de l audt ne concerne pas le fat de condamner un assuré honnête de fraude.

129 Chaptre La matrce des gans de l assuré et de l assureur : ssuré Fraude Non fraude ssureur d > x d = x Détecton ( W P x S) ( W P x ( x )) p udt détermnste N (1 p) ( P S C) V ( W P x (d )) ( V P ( x ) C) ( W P x ( x )) Non détecton V P (d ) C) ( ( V P ( x ) C) L espérance de gan de l assuré lorsqu l fraude est : EG F = p(w = W P x P x S) (1 p)(w ps (1 p)(d ) P x (d L espérance de gan de l assuré lorsqu l ne fraude pas est : EG NF = p(w = W = W P x P x P x p ) (1 p) ) )) (1 p)(w ) P x )) Nous pouvons consdérer que l assuré fat face aux deux loteres L1 et L2 pour chosr sa stratége optmale. Son but est de maxmser son gan. La lotere L1 consste à déclarer le vra dommage (honnêteté) et la lotere L2, tradut le cas de fraude. On les présente comme sut : L1 avor x ) avec certtude ( )) avor ( S) avec une probablté p L2 avor (d ) avec une probablté (1-p)

130 Chaptre Nous pouvons conclure, que lorsque le gan de la fraude[ (d ) )] augmente, et la probablté de non détecton (1-p) augmente, l assuré devent ncté à frauder (chosr la lotere L2). En revanche, plus la qualté de l audt est melleure, et plus la sancton est sévère, plus l assuré est dssuadé de la fraude. Le résultat qu on peut retrer est llustré dans la proposton suvante : Proposton 3 : l est de l ntérêt de l assureur de mener un audt de bonne qualté et de fxer une sancton monétare élevée, pour dssuader la fraude. S nous supposons mantenant que l assuré est ndfférent entre la fraude et l honnêteté, alors son gan espéré assocé au cas de fraude sera égal à celu assocé au cas de non fraude. ns: EG F = EG W NF P x (d ) ) p = = p S (d ) ps (1 p)(d ) = W P x p représente la probablté seul de détecton de la fraude, pour laquelle l assuré est juste ndfférent entre la fraude et l honnêteté. ns, l assuré préfère ne pas frauder s peut par contre être ncté à frauder s p < p ) p > p et. Le résultat est ntutf et tradut le fat que, plus la qualté de l audt est melleure (p est élevé), plus l audt a un effet dssuasf sur la fraude. Nous remarquons de plus, que cette probablté p tend à augmenter lorsque la dfférence entre le snstre réellement survenu et celu déclaré est grande. Plus précsément, plus le snstre déclaré a une valeur élevée, plus l a de chance d être frauduleux à l égard de l assureur, et donc plus l y aura de chances de détecter la fraude. maxmale lorsque, l assuré déclare un faux snstre d un montant égal à ns : p max ( x n ) ( x ) ( x n ) = = S ( x ) S ( x ) n n p attent une valeur x n.

131 Chaptre Toutefos, pour cette verson de l audt, la stratége de fraude de l assuré dépend étrotement de la qualté de cet audt. Plus précsément, lorsque cette dernère est mauvase ( p < p ), la détecton de la fraude est peu fréquente, et par conséquent, l assuré est de plus en plus ncté à la fraude. La probablté de la fraude prend des valeurs extrêmement élevées : ren n empêche l assuré d exagérer le montant d un dommage ou de déclarer un faux snstre s même en vérfant sa déclaraton, l n a que de très fables chances d être détecté. En revanche, lorsque l assureur amélore la procédure d expertse, le taux de détecton de la fraude est élevé ( p > p ) et l assuré est motvé à déclarer la vérté. Même en terme de maxmsaton de gan, l est de l ntérêt de l assuré de chosr de déclarer le vra snstre à l assureur, car dans ce cas l est plus probable d avor une ndemnté d assurance que de payer une sancton (en cas de détecton de la fraude). L assureur attent l optmum lorsque la probablté de détecton de la fraude est maxmale ( p = ). pmax Proposton 4 : L audt systématque probablste est effcace (dssuasf de la fraude) s et seulement s la probablté de détecton de la fraude attent une valeur maxmale p max ( x n ) = S ( x Nous désgnons par l effcacté de l audt systématque probablste, le pouvor dssuasf de de la fraude d une part, et la maxmsaton du gan de l assureur d autre part. l est vra qu l sufft que la probablté de détecton de la fraude sot supéreure au seul d ndfférence n ) p > p, pour que l assuré sot ncté à l honnêteté, mas pour attendre l optmum, l est de l ntérêt de l assureur que l audt mené sot de très bonne qualté, c est-à-dre que p = pmax. Nous dstnguons de plus, que pmax est en relaton négatve avec la sancton S. En effet, plus on augmente S, plus l est possble de dmnuer p max. Ce résultat tradut le fat que l assureur qu fat appel à un audt mparfat, peut menacer l assuré par une sancton très sévère. Cette poltque, lu permet d atténuer l ampleur de la fraude et de compenser la mauvase qualté de l audt. utrement dt, s l assureur n arrve pas à attendre la valeur optmale de la probablté de détecton de la fraude ( p max ), l peut alors fxer la sancton à sa valeur maxmale pour ndure l assuré à âtre honnête. Nous pouvons ans conclure que lorsque l audt est systématque probablste, l assureur se trouve devant deux stratéges possbles : la premère consste à amélorer au maxmum la qualté de l audt pour qu l sot dssuasf, en augmentant

132 Chaptre au maxmum la probablté de détecton de la fraude ( p = pmax ) et la seconde consste à menacer l assuré d une sancton maxmale (très sévère) s l s avère dffcle d augmenter p. Corollare 2 : Lorsque l audt est mparfat, l assureur dot recourr à l une des deux stratéges substtuables suvantes : amélorer au maxmum la qualté de l audt menacer l assuré par une sancton maxmale en cas de fraude La sancton peut être fxée à un nveau maxmal mas ne dot pas dépasser une certane lmte. Cependant, et en réalté, un fraudeur est sanctonné par le remboursement des ndemntés ndûment reçues. C est pour cette rason que nous supposons que la sancton S, reste toujours nféreure à un montant maxmal. Dans d autres travaux sur la fraude à l assurance, tels que Pcard (2) par exemple, la sancton est supposée fxée par la lo ou tout smplement sujette à la contrante de lqudté de l assuré Quelle procédure faut-l mener? udt léatore Parfat (P) ou udt Systématque Probablste (SP) : l s agt dans ce trosème paragraphe de comparer les deux procédures d audt présentées dans les deux paragraphes précédents. Notamment, nous cherchons à montrer laquelle des deux formes d audt est la plus effcace à l égard de l assureur, en matère de coût d assurance et de gan, et à l égard de l assuré, en matère de dssuason de la fraude. La queston centrale qu orente notre analyse est la suvante : faut-l mener un audt aléatore de très bonne qualté ou un audt détermnste de qualté mondre? Potentellement, l parat que les deux procédures sont équvalentes, notamment le cadre d analyse tradut exactement les mêmes hypothèses: la nature défnt un état de perte assurable, l assuré observe ce dommage et le déclare à l assureur avec possblté de fraude. Ensute s l audt est aléatore alors l y aura λ chances de détecter la fraude ( λ est la probablté d audt) et s l audt est détermnste alors l y aura p chances de détecter la fraude (audt mparfat et p est la probablté de détecton de la fraude). l s agt en fat, du même prncpe s p = λ. En revanche, s on se focalse sur le programme de l assureur, l est clar qu l s agt du même objectf à savor la maxmsaton du proft espéré de l assureur sous la

133 Chaptre 3 13 contrante d nctaton de l assuré. Cette dernère qu tradut le fat que l assuré sot toujours amené à déclarer la vérté, est exactement la même pour les deux programmes. En effet, en comparant le gan de l assuré avec fraude avec celu sans fraude, nous trouvons que pour l audt aléatore parfat, l assureur dot fxer la fréquence d audt entre le seul d ndfférence de l assuré et 1. Pour l audt systématque probablste, la probablté de détecton de la fraude qu reflète la qualté de l audt dot de même avor une valeur comprse entre le nveau seul d ndfférence de l assuré et 1. Par contre, la comparason des deux profts respectfs de l assureur respectvement en cas d P et en cas d SP, prouve qu l ne s agt pas de la même valeur. Cec revent au fat que le coût par audt n est pas le même. En effet, pour l audt aléatore, l assureur ne supporte le coût d audt que s l contrôle la déclaraton de dommage. ns, contrôler avec une probablté λ, sgnfe supporter le coût d audt avec une probablté λ. Par contre, lorsque l audt est détermnste, la vérfcaton des dommages est systématque. Cela sgnfe que l assureur supporte le coût d audt avec une probablté égale à 1 > λ. Plus précsément, le coût d audt espéré est plus grand en cas d audt détermnste qu en cas d audt aléatore. Les profts de l assureur en P et en SP s écrvent respectvement : EΠ EΠ P SP = λ(v P λc = V P λ = V P C p (d )) (1 λ)(v { C (d )} (1 λ) (d ) D (d ) (1 p) D (d ) P En cas de fraude, ces profts s écrvent respectvement : EΠ P = V P λ { C S} (1 λ) (d ) (d )) D : détecton avec D : non détecton EΠ SP = V P C ps (1 p)(d ) S on consdère que l assureur utlse le même système d ndemnsaton 4, pour le cas d audt aléatore, c'est-à-dre (.) = (.) (.), alors ce résultat est ben confrmé et on aura : = EΠ SP < EΠ P. Cette négalté prouve que du coté de l assureur, l est préférable de mener un audt aléatore de bonne qualté que de mener un audt détermnste mparfat, même s les deux procédures amènent au même résultat (mêmes chances de détecton p = λ ). 4 Consdérer que (.) = (.) (.), nous sert juste de moyen pour smplfer les calculs, à la lmte on peut = prouver que, en cas d audt aléatore on a (.) (.) <. Ce résultat avancé par Moherjee et Png (1987) et prouvé par notre modèle présenté dans le chaptre suvant, tradut le fat que l assureur peut récompenser l assuré honnête, en lu versant une ndemnté plus généreuse lorsqu l vérfe sa déclaraton. Cependant, on ne s ntéresse pas à la défnton des profls d ndemnsaton optmaux dans cette étape de l analyse, on reste focalsé juste sur les stratéges d audt pour en défnr la plus effcace.

134 Chaptre D autre part, d après la proposton 3, pour maxmser son proft, l assureur dot contrôler plus fréquemment les grands dommages qu dépassent le coût de l audt et contrôler mons fréquemment les petts dommages dont le montant reste nféreur à celu du coût d audt. C est à l assureur de défnr quel snstre contrôler et quel snstre ne pas contrôler. ns, λ ( x n ) est fxée à son nveau maxmal sot λ* = < 1, lorsque les déclaratons sont trop ( x ) S élevées, et l sufft qu elle dépasse λ lorsque les déclaratons sont relatvement pettes. En revanche, lorsque l audt est systématque probablste, l assureur procède toujours à un audt, mas l n arrve pas avec certtude à détecter la fraude. Cec dépend de la qualté de cet audt. Plus ce derner est de bonne qualté, plus la probablté de détecton est grande. La seule stratége de l assureur est donc d essayer d amélorer la qualté de l audt au maxmum pour pouvor maxmser son proft et pouvor dssuader la fraude. Notamment, pour attendre l optmum, p dot être égale à p max ( x n ) =. S ( x ) n n Nous trouvons que p max = λ max. Cec veut dre, que nous pouvons avor le même taux de détecton de la fraude avec les deux poltques, sauf que l P est plus effcace que l SP, d une part parce qu l permet à l assureur d avor un plus grand proft et d autre part, l est plus facle à manpuler (augmenter ou dmnuer la fréquence de contrôle selon le cas). Proposton 5 : l est plus effcace pour l assureur de mener un audt aléatore de bonne qualté qu un audt détermnste de mondre qualté.

135 Chaptre Secton 2 : L expérmentaton (Mars-vrl 22) 2.1. Le desgn expérmental : La deuxème parte de ce chaptre est dédée à la présentaton d une expérmentaton plote que nous avons réalsée entre les mos de mars et avrl 22. l s agt dans cette secton de défnr le cadre de l expérmentaton 5 (l envronnement, l nsttuton et les comportements) et d exposer le protocole et les résultats expérmentaux permettant de tester nos résultats théorques. Plus précsément, nous cherchons à analyser les comportements ndvduels des assurés face aux deux types d audt : l audt systématque probablste et l audt aléatore parfat Les questons testées : L étude expérmentale, présentée dans ce chaptre a pour objectf de comprendre les décsons ndvduelles dans un contexte de fraude à l'assurance et d audt. Nous envsageons c, de poursuvre à dfférents nveaux l analyse expérmentale du rôle que peuvent jouer les deux procédures d audt (les procédures détermnstes et les procédures aléatores) dans la détecton de la fraude. Nous voulons ntrodure dans cette étude, les dffcultés de preuves rencontrées par les assureurs. Nous supposons à présent que la technque de contrôle détermnste ne permet pas de vérfer de façon certane l exacttude de la déclaraton de l assuré et que la procédure aléatore est parfate, c est-à-dre, la détecton de la fraude est systématque. l s agt tout smplement, de comparer ces deux formes d audt et de montrer à travers les résultats expérmentaux, la supérorté de l une par rapport à l autre. En effet, nous avons retenu les cnq questons suvantes que nous cherchons à vérfer pour défnr notre protocole expérmental : 1. Contrôler plus fréquemment les dommages mportants et mons fréquemment les dommages plus fables, permet-l d atténuer l ampleur de la fraude? 5 L envronnement représente l ensemble des caractérstques de l expérence, le nombre de partcpants, les dotatons ntales, le nombre ans que le types de bens ms en jeu L nsttuton représente les moyens de communcaton entre les partcpants (les règles de décson). Et enfn les comportements représentent les dfférentes actons prses par les joueurs.

136 Chaptre Sanctonner les fraudeurs par refus d ndemnsaton et paement d une amende permet-l d avor un effet dssuasf assez effcace? 3. En quo l audt, qu l sot aléatore ou systématque, peut-l affecter le comportement de l assuré quant à sa stratége de fraude? 4. Pour ndure un comportement d honnêteté, peut-on assocer une sancton très sévère à un audt aléatore parfat peu fréquent ou à un audt systématque de mauvase qualté? 5. Faut-l mener une expertse aléatore de bonne qualté ou une expertse détermnste de mondre qualté? Ces questons ont été retenues pour étuder les stratéges de fraude et l effcacté des procédures d audt. Cette analyse est nécessare pour au mons deux rasons : d une part pour cerner de façon précse les comportements frauduleux des assurés dans un contexte d expertse (parfate et mparfate) et d autre part pour vérfer les prédctons théorques La descrpton de l expérmentaton: Les sujets : Vngt quatre sujets volontares ont partcpé à cette expérmentaton. L âge moyen des partcpants est de 24 ans. Les sujets sont des étudants qu préparent des thèses de toutes les dscplnes (langue, économe et geston, comptablté ). 17 sujets sont des résdents à la cté unverstare nternatonale de pars et les 7 autres sont des étudants au département d Econome et de Geston de l ENS de cachan. En effet, nous nous sommes adressés à des étudants et non pas de vras assurés pour la smple rason qu ls sont plus dsponbles et plus facles à jondre. Une annonce décrvant l expérmentaton, sa durée et son ntérêt a été dstrbuée dans les botes au lettres des étudants. Les ntéressés ont répondu par smple paper, sur lequel, ls ont communqué leurs coordonnées téléphonques et leurs dsponbltés pour partcper. Nous les avons contacté pour fxer les rendez-vous. Le recrutement des sujets état smple du fat que dans cette expérmentaton, on fat passer les sujets un par un.

137 Chaptre Les technques utlsées : Les sujets ont été convoqués pour passer chacun tout seul et jouer contre l ordnateur sur lequel nous avons programmé l expérmentaton. l s agt d une feulle Excel comprenant toutes les nformatons nécessares pour répondre aux questons. Chaque partcpant sut une seule catégore de rôle (assuré) et l est placé devant un ordnateur dsposé de manère à ce que l expérmentateur ne pusse pas vor l écran. tout moment, le joueur a la possblté de consulter l hstorque des tours déjà joués. La sesson content 3 répéttons et dure entre 45 et 6 mnutes. Les nstructons (vor annexe 3.1.) ont été lues par l expérmentateur, devant chaque partcpant, afn qu l pusse poser des questons avant de commencer le jeu. l s agt d explquer le jeu et le contenu de l écran pour évter toute confuson et pour évter auss que le joueur se trouve devant une stuaton ambguë et ne pusse par conséquent, répondre correctement au jeu. Nous avons nssté auss sur le fat de consdérer ces stuatons hypothétques comme des stuatons réelles. Pour ce fare, nous avons donné des exemples concrets qu ont perms d ncter les joueurs à révéler leurs vras comportements. La rémunératon : Les partcpants à cette expérmentaton ont été rémunérés à la fn de la sesson en argent lqude, d une part pour que la rémunératon des efforts sot mmédate et d autre part, parce que l mpact vsuel de l argent est plus mportant que tout autre moyen de paement. Selon sa performance pendant les tros phases de l expérmentaton, chaque assuré reçot une rémunératon proportonnelle à son gan expérmental moyen. Cec permet de garantr que les joueurs consdèrent toutes les pérodes du jeu et de rédure la varance dans les réponses La descrpton du protocole : l s agt dans cette expérmentaton de jouer le rôle d un assuré devant un assureur fctf (l ordnateur). Chaque sujet est consdéré être proprétare d un ben d une valeur de 1. l est ans confronté à des stuatons de rsque qu l oblgent à souscrre auprès de son assureur, et contre paement d une prme, un contrat d assurance qu l ndemnse en cas de

138 Chaptre dommage. Cette souscrpton comprend des garantes spécfques qu ntervennent en cas de snstre. u début de la premère pérode, l assuré est doté d un captal ntal (9 ), lu permettant d acheter son contrat d assurance. chaque pérode, l assuré est confronté à des pertes probables qu s échelonnent entre et 7. l lu est demandé de fare une déclaraton auprès de son assureur et l peut décder de frauder ou non. La pratque de fraude revêt une multtude de formes dfférentes. Nous dstnguons les deux hypothèses suvantes: 1. Celle où l assuré déclare un faux snstre : déclarer un montant de dommage alors qu l n a pas réellement sub de snstre (perte = et déclaraton = L > ). 2. Celle où après la survenance du snstre, l assuré tente d obtenr une ndemnsaton plus généreuse : la fraude consste à augmenter le montant de dommage sub (perte = L et déclaraton = M > L). La fraude ne peut être détectée que sur la seule base de déclaraton de snstre effectuée par l assuré. l convent de dstnguer deux procédures d expertse: les procédures détermnstes et les procédures aléatores. L udt léatore : La stratége d audt est défne par une probablté λ, de vérfer la déclaraton de l assuré. L audt est supposé parfat : la fraude est systématquement détectée lorsqu un audt est effectué. Une fos que l assuré a effectué sa déclaraton de snstre, l est probable, avec λ chances, que celle-c sot vérfée. Le fraudeur détecté est par conséquent sanctonné. Cette pénalsaton peut passer par une clause du contrat d assurance qu spécfe qu aucune ndemnté ne sera due à l ntéressé et qu éventuellement une amende sera applquée en cas de fausse déclaraton. L audt aléatore fera l objet d une premère phase expérmentale. L udt Systématque Probablste : Dans une deuxème phase de l expérence, le jeu est établ avec l audt détermnste ou encore appelé systématque : Chaque déclaraton de dommage est contrôlée. En revanche, nous supposons que l audt sot mparfat. ns, l n est pas toujours possble que la fraude sot détectée. L mperfecton de l audt revent au fat que l assureur n est pas toujours capable de détecter la fraude. Par conséquent, l exste une probablté p pour que le fraudeur passe entre les malles du flet et ne sot pas sanctonné.

139 Chaptre Objectf de chaque pérode : Premère parte de l expérence : fraude et audt aléatore La premère parte de notre expérmentaton a été consacrée à l audt aléatore et comprend 15 partcpants. Chaque sesson est composée de 3 phases, chacune comprend 1 pérodes ou répéttons (rounds) : Premère phase (les 1 premères pérodes) Chaque pérode est marquée par les tros étapes suvantes : premère étape : survenance du snstre et déclaraton de l assuré. L assuré est confronté à des pertes probables qu s échelonnent entre et 7. l a 3% de chance de subr une perte. l dspose d un captal ntal pour acheter son assurance. l paye une prme P, pour bénéfcer d un remboursement en cas de snstre. L assuré dot, déclarer le dommage à l assureur. l peut frauder, sot en déclarant un snstre qu n a en réalté jamas eu leu, sot en augmentant le montant du dommage. deuxème étape : audt aléatore parfat mené par l assureur. Une fos que l assuré a effectué sa déclaraton lors de la premère étape, cette déclaraton est ensute vérfée avec une probablté λ égale à 1%. L audt est supposé parfat : la fraude est systématquement détectée lorsqu un contrôle est effectué. trosème étape : ndemnsaton et sancton. L audt permet de révéler deux résultats : fraude ou non fraude. Un fraudeur contrôlé est sanctonné par un refus d ndemnsaton et par une amende S = 1. Un fraudeur non contrôlé échappe à la sancton et reçot l ndemnté correspondant à sa déclaraton et à laquelle l n a pas drot. L audt est aléatore. l se peut que la déclaraton d un assuré honnête sot auss vérfée. L assuré honnête reçot une ndemnté quelle que sot la stratége de l assureur (audt ou non audt). Deuxème phase : (les 1 pérodes qu suvent) On garde les mêmes nstructons mas on change unquement la probablté d audt qu devent égale à 3 %. Trosème phase : (les 1 dernères pérodes) On garde les mêmes nstructons mas on augmente encore la probablté d audt qu devent égale à 5 %.

140 Chaptre Deuxème parte de l expérence : audt systématque probablste Neuf sujets ont partcpé à cette deuxème phase de l expérmentaton. Les nstructons sont smlares à celles de la premère phase. Mas c est l étape relatve à l audt qu change. Pour cec nous consdérons le jeu à tros étapes suvant : premère étape : survenance et déclaraton du snstre par l assuré. L assuré paye la prme P. l est confronté (3% de chance) à des états de pertes probables (qu s échelonnent entre et 7 ). l dot déclarer le dommage à l assureur et peut chosr de frauder. deuxème étape : audt systématque probablste mené par l assureur. l s agt d un audt détermnste: toute déclaraton de snstre est vérfée systématquement. L audt est supposé mparfat : la fraude n est pas systématquement détectée. Pour chaque fraudeur l exste une probablté p pour qu l sot détecté par l assureur. Pour les 1 premères pérodes, cette probablté est de 1%. On la fat augmenter à 3% pour les 1 pérodes qu suvent et à 5% pour les 1 dernères pérodes. trosème étape : ndemnsaton et sancton. Le fraudeur contrôlé mas non détecté, échappe à la sancton et reçot l ndemnté correspondant à sa déclaraton. Le fraudeur parfatement contrôlé sera sanctonné par un refus de remboursement et par une amende S L analyse des résultats expérmentaux : Dans ce paragraphe, nous étudons d une part les stratéges des assurés lorsque l audt est aléatore et d autre part leurs comportements lorsque l audt est systématque. Cette étude nous permettra de juger de quelle procédure, l assureur dot se servr pour dssuader les fraudeurs L audt aléatore : l s agt dans cette premère secton d analyser les décsons de fraude lorsque la procédure d audt est aléatore, c est-à-dre lorsque les déclaratons des assurés sont contrôlées avec une probablté λ = 1%, ensute λ = 3% et enfn λ = 5%. Plus précsément, nous comptons vérfer les prédctons théorques, stpulant que :

141 Chaptre ) les déclaratons élevées dovent être contrôlées plus fréquemment car elles sont plus sujettes à la fraude (proposton 1) ; ) l ampleur de la fraude dmnue lorsque la probablté d audt est supéreure à la probablté d audt seul (proposton 2) ; ) les déclaratons ayant un montant supéreur au coût d audt sont contrôlées avec une probablté maxmale et les déclaratons ayant un montant nféreur au coût d audt sont contrôlées avec une probablté légèrement supéreure au seul d ndfférence (corollare 1). D après la proposton 2, l assureur a ntérêt à vérfer les déclaratons de dommage avec une probablté λ > λ pour dssuader la fraude. Pour tester cette hypothèse avec les résultats de notre expérmentaton, nous avons calculé pour chaque dommage et pour chaque déclaraton respectve ce seul d ndfférence λ (théorque), ans que le taux de fraude assocé à chaque probablté d audt λ, avec λ { 1%,3%,5% }. Nous présentons nos résultats dans le tableau 1, c-dessous. Nous tenons à rappeler que le chox des fréquences d audt 1%, 3% et 5% n état pas arbtrare. Lors de l élaboraton du protocole expérmental, nous avons calculé la probablté seul maxmale la probablté seul mnmale λ mn λ max (théorque), que nous avons trouvée égale à 88% 6 et (théorque) égale à 6%. C est sur cette base que nous avons fxé les taux 1%, 3% et 5%. De plus, le but de cette expérmentaton est l étude des comportements des assurés dans un contexte de fraude. Pour cec, dans certans cas, on dépasse les probabltés seuls pour tester s on peut ndure des comportements honnêtes et dans d autres, on reste en dessous de λ pour tester auss s les gens fraudent. Fxer des fréquences d audt au-delà de 5% fat converger certanement la majorté des partcpants vers une seule stratége (non fraude). En effet, les plus grandes valeurs de λ s explquent par des écarts très grands entre les snstres réellement survenus et les déclaratons effectuées par les assurés. Cec est ntutf et tradut le fat que plus le gan de la fraude augmente, plus l assureur a ntérêt à augmenter la fréquence de contrôle. S nous regardons dans le tableau 1, nous trouvons que le taux de fraude s échelonne entre % et 13% même pour une fréquence d audt de 1%. La stratége 6 λmax correspond au cas où l assuré ne subt pas de dommage et déclare un faux snstre avec une valeur maxmale égale à 8. Nous trouvons que cas où l assuré subt le plus grand snstre. λmax ) n 8 = ) S 8 1 = =88%. λmn correspond au n

142 Chaptre d audt aléatore parat ans dssuasve et permet d atténuer l ampleur des fausses déclaratons. l est vra auss qu l s avère dffcle à l assuré d apporter la bonne preuve pour une déclaraton de snstre n ayant jamas eu leu ou pour réclamer une valeur de dommage beaucoup plus élevée que la valeur du dommage réel. Même s la fréquence d audt est peu élevée (1% ou 3%), beaucoup d assurés fraudeurs ne cherchent qu à récupérer le montant de la prme d assurance. C est pour cette rason que le taux de fraude est assez élevé pour les déclaratons légèrement supéreures aux snstres réels et pour lesquelles le seul d ndfférence λ est proche des fréquences d audt. Constat 1 : Le taux de fraude dmnue lorsque la probablté d audt seul (seul d ndfférence) augmente. Varaton du Taux de fraude pour un dommage nul Taux de Fraude 35% 3% 25% 2% 15% 1% 5% % -5% % 2% 4% 6% 8% 1% probablté seul p=1% p=3% p=5% Taux de fraude varaton du taux de fraude pour un dommage =1 5% 4% 3% 2% 1% % -1% % 2% 4% 6% 8% 1% probablté seul p=1% p=3% p=5%

143 Chaptre 3 14 Taux de fraude varaton du taux de fraude pour un dommage =2 3% 25% 2% 15% 1% 5% % -5% % 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% probablté seul p=1% p=3% p=5% Graphque 1 : Quelques exemples de la varaton du taux de fraude par rapport à la probablté d audt seul Cec vérfe notre résultat théorque, que les assurés sont ndfférents entre la fraude et l honnêteté lorsque la fréquence d audt est égale au seul λ et chosssent de frauder s cette fréquence d audt est nféreure à λ. Dans le tableau 1, nous montrons que le taux de fraude s échelonne entre 27% et 4% pour tous les cas où la fréquence d audt est nféreure ou égale à λ. En revanche, pour les fraudes mportantes (dfférence mportante entre le snstre réel et la déclaraton), le taux de fraude ne dépasse pas les 13% et égale % dans la majorté des cas. Cec confrme le fat que, s l assureur augmente sa fréquence de contrôle au-delà du seul d ndfférence, l arrve à ndure des comportements honnêtes de la part des assurés. Le pett nombre de fraudeurs qu on peut qualfer de fraudeurs malns et qu déclarent des faux snstres ou encore des montants très élevés pour des petts dommages, ont suv le rasonnement suvant. Pour eux, la décson du montant à déclarer revent tout smplement à chosr de frauder ou pas et s on fraude alors on déclare le maxmum 7. Constat 2 : ugmenter la fréquence d audt au delà du seul d ndfférence permet d ndure des comportements honnêtes. 7 utrement dt, c est comme s ls font face à un jeu de lotere, tel que par exemple pour un pett snstre (1, ou même ), déclarer un montant maxmal (8 ), ne fat perdre à l assuré que le montant du dommage (1 ou ) et une amende de 1 7. ns, même s la fréquence d audt est élevée, le fraudeur n aura que très peu de chances de gagner les 8 devant perdre 1. Par contre, s le snstre réel est d un montant élevée, nous trouvons qu l y a très peu de fraudeurs qu essayent d augmenter leurs déclaratons. Pour eux, ça peut être consdéré comme une surestmaton du dommage et non pas une fraude.

144 Chaptre Tableau 1 8 : Varaton du taux de fraude par rapport à la probablté seul λ Perte Déclaraton proba seul Taux de fraude audt 1% audt 3% audt 5% ], 1] 9% 33% 27% 27% ]1, 2] 52% 27% 33% 13% ]2, 3] 68% 27% 27% 27% ]3, 4] 76% 7% 7% 7% ]4, 5] 8% 2% 2% 13% ]5, 6] 84% % 7% 13% ]6, 7] 86% % % 7% ]7, 8] 88% 13% 13% 13% ]1, 2] 24% 33% 4% 27% ]2, 3] 48% 2% 2% 7% ]3, 4] 61% % 13% % 1 ]4, 5] 69% 7% 7% 13% ]5, 6] 74% % % % ]6, 7] 77% % % % ]7, 8] 8% 13% % % ]2, 3] 16% 27% 27% 27% ]3, 4] 37% 7% % 13% ]4, 5] 49% 13% 13% 7% 2 ]5, 6] 57% % % % ]6, 7] 63% % % % ]7, 8] 68% 7% 13% % ]3, 4] 12% 27% 27% 2% ]4, 5] 29% 7% 7% 7% 3 ]5, 6] 41% 7% % % ]6, 7] 49% % % % ]7, 8] 56% % 7% 7% ]4, 5] 1% 13% 7% 2% ]5, 6] 25% 13% % 13% 4 ]6, 7] 35% % % % ]7, 8] 43% % 7% % ]5, 6] 8% 13% 2% 2% 5 ]6, 7] 21% 7% % % ]7, 8] 31% 7% 7% % 6 ]6, 7] 7% 13% 13% % ]7, 8] 19% 13% % 7% 7 ]7, 8] 6% 33% 2% 13% 8 Légende du tableau 1 : proba seul = Probablté d audt seul = λ = S (d ) (d ) ) ) Taux de fraude = nombre de fraudeurs / nombre d assurés (15 assurés). Nombre de fraudeur = comben d assuré ont déclaré au taux d audt X %, entre x et y pour un snstre L )

145 Chaptre D après le test Shapro et Wl (1965) 9, la varable F t (ampleur de la fraude à chaque pérode t et pour chaque assuré ) semble ne pas respecter la condton de normalté 1. Pour chacune des varables (F), assocées respectvement aux probabltés d audt λ = 1%, λ = 3% et λ = 5%, nous rejetons l hypothèse nulle selon laquelle F est dstrbuée selon la lo normale (vor table c-dessous). Shapro-Wl W test for normal data Varable Obs W V z Pr > z F F F Nous optons pour le test des rang sgnés de Wlcoxon (1945) 11, où nous comparons les 3 tratements ( λ = 1%, λ = 3% et λ = 5%). Sous l hypothèse nulle nous admettons que les deux tratements sont smlares, c est-à dre que l ampleur de la fraude est la même pour deux probabltés d audt dfférentes. ns nous écrvons : Test 1 : H : mpleur de fraude (pour λ = 1%) = mpleur de fraude pour ( λ = 3%) H : mpleur de fraude (pour λ = 1%) > mpleur de fraude pour ( λ = 3%) Test 2 : H : mpleur de fraude (pour λ = 3%) = mpleur de fraude pour ( λ = 5%) H : mpleur de fraude (pour λ = 3%) > mpleur de fraude pour ( λ = 5%) Test 3 : H : mpleur de fraude (pour λ = 1%) = mpleur de fraude pour ( λ = 5%) H : mpleur de fraude (pour λ = 1%) > mpleur de fraude pour ( λ = 5%) 9 Nous supposons sous l hypothèse nulle que la varable F sut la lo normale. Nous rejetons H, lorsque Pr>z est nféreure à 5%. 1 les tests non paramétrques sont très utles lorsque la condton de normalté est volée. La queston qu se pose dès lors est «Comment peut-on savor s la dstrbuton d une populaton est normale?». partr de la dstrbuton des données dans les échantllons et en utlsant un test statstque adéquat, l est possble, par nférence, de se fare une dée quant à la normalté de la dstrbuton des scores dans la populaton. l exste pluseurs tests statstques qu permettent de vérfer s des données sont normalement dstrbuées. Ctons par exemple le test W de Shapro et Wl (1965) ou le test K2 de D gostno et Pearson (1971). 11 Vor le détal de ce test en annexe 3.2.

146 Chaptre Test 1: Wlcoxon sgned-ran test sgn obs sum rans expected postve negatve zero all unadjusted varance adjustment for tes adjustment for zeros adjusted varance Ho: F1 = F3 z = Prob > z =.5766 Test 2: Wlcoxon sgned-ran test sgn obs sum rans expected postve negatve zero all unadjusted varance adjustment for tes adjustment for zeros adjusted varance Ho: F3 = F5 z = Prob > z =.79 Test 3: Wlcoxon sgned-ran test sgn obs sum rans expected postve negatve zero all unadjusted varance adjustment for tes adjustment for zeros adjusted varance Ho: F1 = F5 z = Prob > z =.581 Pour le premer test ( λ = 1% contre λ = 3%), nous acceptons l hypothèse H, pusque la Prob > z est supéreure à 5%. Les assurés ne sont pas affectés par l augmentaton de la probablté d audt, lorsqu elle passe de 1% à 3%. Nous pouvons conclure que l audt aléatore est non effcace, lorsqu l est peu fréquent. Par contre, le test de wlcoxon, montre

147 Chaptre une dfférence sgnfcatve à 1% pour les tratements (1 5) et (3 5) 12. L ampleur de la fraude est plus mportante, lorsque la fréquence d audt est basse. Constat 3 : L augmentaton de la probablté d audt permet d atténuer l ampleur de la fraude. Ce résultat est llustré par le graphque 2 c-dessous : mpleur de la fraude FM 1% FM 3% FM 5% Graphque 2 : Varaton de l ampleur de la fraude moyenne (FM) par rapport à la fréquence d audt Concernant le résultat théorque (proposton 1) stpulant que l assureur a ntérêt à contrôler plus fréquemment les grandes déclaratons de snstres, car elles ont plus de chance d être frauduleuses (elles sont plus douteuses), l est commode de consdérer la régresson suvante : F t = α θ dommage 1 t θ 2 Sdom t θ SR 3 t θ 4 G t θ 5 Det t ν ε t Dans cette régresson, nous étudons l ampleur de la fraude ( F ) en foncton de certanes varables explcatves que nous détallons dans le tableau qu sut: t 12 Tratement 1 5 correspond à la comparason de l ampleur de la fraude lorsque λ = 1% et λ = 5% Tratement 3 5 correspond à la comparason de l ampleur de la fraude lorsque λ = 3% et λ = 5%

148 Chaptre Nom de la varable F t Descrpton de la varable mpleur de la fraude, représente pour chaque assuré ( = 1 15) l ampleur de la fraude à la pérode t (t = 1 1), c est-à-dre la dfférence entre la déclaraton et le dommage réellement survenu. dommage Représente le dommage sub par l assuré à la pérode t. t Sdom t SR t G t Det t Survenance de dommage pour l ndvdu à la pérode t. C est une varable muette (dummy) qu prend la valeur s l ndvdu fat face à un dommage et 1 snon. Sancton relatve à la déclaraton effectuée par l assuré, à la pérode t (refus d ndemnsaton amende). Gan, représente le gan espéré de la fraude pour l assuré à la pérode t. Détecton, représente une varable muette (dummy) qu prend la valeur 1 s l assuré a été détecté en tant que fraudeur précédemment et snon. Dans ce modèle ( ν ε t ) représente le résdu avec ν le paramètre ndvduel aléatore et εt la varable aléatore portant les proprétés usuelles (moyenne, non corrélée avec ellemême, non corrélée avec les varables explcatves, non corrélée avec ν et homoscédastque). Les résultats de cette régresson 13 (par GLS) sont donnés respectvement dans les tros tables suvantes : 13 Dans la table, on désgne par sgma_u = σ ν et par sgma_e = rho = 2 σν ρ = σ σ 2 ν 2 ε lorsque rho =, la composante de la varance assocée au nveau de panel n est pas mportante, et l estmateur de panel ne dffère pas de l estmateur groupé (pooled estmator). Sot y = α β υ ε le modèle à estmer. t x t t l ajustement dans une régresson ordnare. Les estmateurs de y y = x t / T =. t t / T et x t 2 R overall correspond à l équaton : y ˆ t = α ˆ x βˆ t σ ε 2 R représente la mesure habtuelle de la qualté de α et β sont respectvement αˆ et βˆ. (estmateur de la regresson groupée)

149 Chaptre Pour p = 1% Random-effects GLS regresson Number of obs = 15 Group varable () : assure Number of groups = 15 R-sq: wthn =.2442 Obs per group: mn = 1 between =.4951 avg = 1. overall =.295 max = 1 Random effects u_ ~ Gaussan Wald ch2(5) = 58.5 corr(u_, X) = (assumed) Prob > ch2 = F Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. nterval] dommage sdom SR G det _cons sgma_u sgma_e rho.9121 (fracton of varance due to u_) Pour p = 3% Random-effects GLS regresson Number of obs = 15 Group varable () : assure Number of groups = 15 R-sq: wthn =.1918 Obs per group: mn = 1 between =.8238 avg = 1. overall =.2775 max = 1 Random effects u_ ~ Gaussan Wald ch2(5) = 55.3 corr(u_, X) = (assumed) Prob > ch2 = F Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. nterval] dommage sdom SR G Det _cons sgma_u sgma_e rho (fracton of varance due to u_) 2 R between correspond à l équaton : par groupe) 2 R wthn correspond à l équaton : y ˆ~ t y ˆ = α ˆ βˆ t x = (ˆ y yˆ ) = ( x x ) βˆ t (estmateur nter-groupes ou estmateur des moyennes t (estmateur ntra-groupes)

150 Chaptre Pour p = 5% Random-effects GLS regresson Number of obs = 15 Group varable () : assure Number of groups = 15 R-sq: wthn =.376 Obs per group: mn = 1 between =.32 avg = 1. overall =.314 max = 1 Random effects u_ ~ Gaussan Wald ch2(5) = corr(u_, X) = (assumed) Prob > ch2 = F Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. nterval] dommage sdom SR G det _cons sgma_u sgma_e rho (fracton of varance due to u_) D après les tros régressons précédentes, nous constatons que le modèle est globalement sgnfcatf (cf. test de Wald, Prob > ch2 =.), ans que les coeffcents des dfférentes varables explcatves (dont certanes varables ne sont sgnfcatves qu à 1%). Les estmateurs des varables (dommage et SR) sont affectés d un sgne négatf et celu de la varable sdom est affecté d un sgne postf, dans les tros cas. Ce résultat ndque que l ampleur de la fraude dmnue lorsque le montant du dommage augmente, lorsque l assuré subt un dommage, lorsque la sancton relatve augmente. Ce résultat ndque que les assurés ont mons tendance à fare gonfler leurs déclaratons lorsque le montant du dommage réel est assez élevé. En effet, à cause de la sévérté de la sancton, l n est pas ntéressant à l assuré de frauder lorsque le dommage survenu est mportant, pusque dans ce cas, l rsque supporter lu-même le dommage, en plus du paement d une amende à l assureur. Par contre, lorsque le dommage est de pette talle, ou nul, la déclaraton frauduleuse détectée amène unquement au paement de l amende. En revanche, le gan de la fraude est mportant s l assuré échappe à la détecton. D où le constat suvant :

151 Chaptre Constat 4 : La fraude est mons mportante en cas de dommage de grande talle que de dommage de pette talle. Ce résultat est en accord avec la théore (proposton 1), dans la mesure où les grandes déclaratons peuvent correspondre au cas où l assuré subsse un pett dommage et gonfle le montant de la déclaraton (fraude plus mportante). En plus de la sévérté de la sancton, pour les snstres de montants élevés, le fraudeur a mons de marge de manœuvre pour gonfler sa déclaraton. Constat 5 : La fraude est mons mportante lorsque la sancton est assez sévère. Ce constat s explque, en plus du sgne négatf de la varable SR (sancton relatve), auss par le sgne postf du coeffcent de la varable G (gan espéré de la fraude). Cec dt que lorsque le gan de la fraude augmente, l ampleur de la fraude augmente auss. En effet, d après le tableau 2 c dessous, nous constatons que pour les cas où la fréquence d audt est de 1% ou de 3%, le taux de fraude s échelonne entre 7% et 13%. Ce taux reste relatvement bas, explquant le fat que seulement une mnorté d assurés prennent le rsque de fare des déclaratons élevés pour de petts snstres et en présence d audt. Pour eux, la fraude est une source de gan, et consste à chosr entre perdre l ndemnté d assurance (relatvement pette pour des dommages petts) et payer l amende avec une fable chance, ou ben gagner une ndemnté non mértée, assez élevée (correspondant à une déclaraton élevée) avec forte chance. Nous avons remarqué auss, que cette classe d assurés correspond à ceux qu dsposent d un captal de début de pérode assez mportant leur permettant de fare face aux pertes en cas de détecton, ou ben ceux qu voent qu ls ont beaucoup perdu du fat de payer des prmes d assurance sans être snstrés et veulent profter de la fraude pour récupérer ce qu ls ont payé sans en bénéfcer. Ce comportement concerne surtout le cas de déclaraton de faux snstre 14, ou celu d exagératon de dommage pour les grands montants de snstre. Pour le premer cas, la fraude détectée ne fat perdre à l assuré que le montant de l amende et pour le second cas, le montant de la fraude est relatvement pett par rapport au dommage réel, et donc l assuré peut être pardonnée par l assureur, en consdérant cette fraude comme une 14 Faux snstre : déclarer un dommage qu n a jamas eu leu.

152 Chaptre surestmaton du snstre. vec cette manœuvre, le fraudeur tente se fare payer par son assureur un ancen dommage non réclamé ou non remboursé, ou ben récupérer le montant de la prme. Cec explque encore plus le sgne postf du coeffcent de la varable Det. En effet, lorsque l assuré est détecté précédemment, et lorsque la probablté d audt n est pas très élevée, l assureur peut encore tenter d augmenter son gan par la fraude. Constat 6 : Lorsque le gan de la fraude augmente, l assureur a ntérêt à augmenter la fréquence de contrôle. Ce résultat confrme le corollare 1, où l assureur dot augmenter la fréquence de contrôle surtout lorsqu l applque une amende peu sévère relatvement au coût d ndemnté à rembourser. La stratége optmale de l assureur est donc, de fxer la fréquence d audt à sa valeur maxmale pour les grands snstres et qu l sufft qu elle sot légèrement supéreure au seul d ndfférence λ pour les petts snstres. Cette suggeston soulgne l dée que, s l assureur estme que le coût d audt est plus élevé que l ndemnté, alors l vaut meux qu l rembourse le snstre sans vérfcaton. Par contre, s l ndemnté d assurance à payer est assez élevée, alors une expertse des déclaratons est nécessare dans ce cas 15. Tableau 2 : Taux de fraude réelle pour les grandes déclaratons : taux de fraude réelle Snstre Déclaraton audt 1% audt 3% audt 5% ]5, 6] % 7% 13% ]6, 7] % % 7% ]7, 8] 13% 13% 13% ]5, 6] % % % 1 ]6, 7] % % % ]7, 8] 13% % % ]5, 6] % % % 2 ]6, 7] % % % ]7, 8] 7% 13% % 3 ]6, 7] % % % ]7, 8] % 7% % 5 ]6, 7] 7% % % ]7, 8] 7% 7% % 6 ]7, 8] 13% % 7% 7 ]7, 8] 33% 2% 13% 15 Vor encore le tableau 2-bs1 et le tableau 2-bs2 en annexe 3.4.

153 Chaptre udt systématque probablste : Ce second paragraphe, est dédé à la descrpton ans qu à l analyse de nos résultats expérmentaux concernant l audt détermnste. Nous vsons également à tester les propostons 3 et 4 présentées dans la parte théorque de ce chaptre et à vérfer les hypothèses suvantes : L assureur dot mener un audt détermnste de bonne qualté et applquer une sancton élevée pour dssuader la fraude (proposton 3) ; L audt systématque probablste est effcace lorsque la probablté de détecton est maxmale (proposton 4) ; Lorsque la procédure d audt est mparfate, l assureur dot amélorer au maxmum la qualté de cet audt et menacer les fraudeurs par une sancton sévère (corollare 2). l convent tout d abord, après la vérfcaton de la condton de normalté à l ade du test d gostno et al. (199) 16, de comparer à travers le test des rangs sgnés de Wlcoxon (1945) 17, les tros tratements suvants : udt Systématque probablste avec p = 1% udt Systématque probablste avec p = 3% udt Systématque probablste avec p = 5% (p étant la probablté de détecton de la fraude) L dée c consste à tester l évoluton du taux de fraude moyen 18 en foncton de l évoluton de la probablté p. Pour cec, nous avons beson des 3 tests suvants : Test 1 : H : Taux de fraude (pour p = 1%) = taux de fraude pour (p = 3%) H : Taux de fraude (pour p = 1%) > taux de fraude pour (p = 3%) 16 vant d opter pour le test non paramétrque de Wlcoxon, l convent de vérfer la condton de normalté. D après le test d gostno, la condton de normalté est volée. Pour la varable TFM (pour λ = 1%, λ = 3% et λ = 5%), nous rejetons l hypothèse nulle selon laquelle cette varable sut la lo normale. 17 Pour plus de détal sur ce test, vor annexe Le taux de fraude moyen, représente pour chaque assuré le taux de fraude sur les 1 pérodes jouées.

154 Chaptre Test 2 : H : Taux de fraude (pour p = 3%) = taux de fraude pour (p = 5%) H : Taux de fraude (pour p = 3%) > taux de fraude pour (p = 5%) Test 3 : H : Taux de fraude (pour p = 1%) = taux de fraude pour (p = 5%) H : Taux de fraude (pour p = 1%) > taux de fraude pour (p = 5%) Les résultats de ces tros tests fgurent respectvement dans les 3 tables suvantes : Test 1: Wlcoxon sgned-ran test sgn obs sum rans expected postve negatve zero all unadjusted varance adjustment for tes. adjustment for zeros adjusted varance Ho: TFM1 = TFM3 z = 1.7 Prob > z =.3139 Test 2: Wlcoxon sgned-ran test sgn obs sum rans expected postve negatve zero all unadjusted varance adjustment for tes -.12 adjustment for zeros adjusted varance 7.88 Ho: TFM3 = TFM5 z = Prob > z =.8586 Test 3: Wlcoxon sgned-ran test sgn obs sum rans expected postve negatve zero all unadjusted varance adjustment for tes. adjustment for zeros adjusted varance Ho: TFM1 = TFM5 z =.77 Prob > z =.4413

155 Chaptre Pour les tros tests, nous acceptons l hypothèse nulle, selon laquelle les deux tratements sont semblables pusque Prob > z est supéreure à 5%. Constat 7 : Malgré l accrossement des chances de détecton de la fraude, l audt systématque probablste n est pas parfatement dssuasf. Evoluton du TFM 1,2 1,8,6,4, TFM 1% TFM 3% TFM 5% Graphque 3 : Evoluton du taux de fraude moyen (TFM) en foncton de p Ce constat tradut l dée que le taux de fraude moyen sut la même varaton pour les 3 cas, avec de légères dmnutons lorsque la probablté de détecton de la fraude (p) augmente, comme le montre le graphque 3 c-dessus. C est pour cette rason que nous trouvons que les tros tratements sont semblables, selon le test de wlcoxon 19. Ce résultat est en accord avec la théore (proposton 3 et 4), dans la mesure où p = 5% n est pas suffsante pour que la procédure d audt sot dssuasve. l est de l ntérêt de l assureur de mener un audt de bonne qualté, pour pouvor ndure des comportements honnêtes. 19 Le même test applqué pour comparer l ampleur de la fraude dans les 3 cas (p = 1%, p = 3% et p = 5%), montre auss que les tros tratements sont semblables. Ce qu confrme qu en cas d audt systématque probablste, l augmentaton des chances de détecton, n affecte pas le comportement de l assuré. (vor les résultats de ce test en annexe 3.7.

156 Chaptre Tableau 3 : Taux de Fraude Réel (TFR) pour p max audt 1% audt 3% audt 5% Snstre p max TFR TFR TFR 88% 33% 22% 44% 1 8% 11% 22% 11% 2 68% 22% 22% 22% 3 56% 22% 22% 33% 4 43% 33% 11% 33% 5 31% 22% 11% 11% 6 19% 11% % % 7 6% 33% 33% 22% Nous remarquons de plus, d après le tableau 3, que même s la probablté de détecton est plus mportante que la probablté de détecton seul maxmale (p> p max théorque) 2, l exste toujours un taux de fraude postf. Ce qu prouve encore plus que l audt est non effcace. En effet, les petts dommages sont plus sujets à la fraude pusque la sancton relatve est pette. Pour ces snstres, même 5% de chance de détecton n est pas suffsant pour dssuader totalement la fraude (les taux de fraude sont assez élevés). Ces taux tendent à basser pour les snstres de plus grands montants, auxquels correspondent des p max mons élevés 21. Cec confrme ben notre proposton 4. Pour les petts snstres dont la probablté de détecton (1%, 3% et 5%) est en dessous de p max, le taux de fraude réel est assez élevé. Nous en dédusons que l audt détermnste mparfat n est pas dssuasf, s le taux de détecton n attent pas son nveau maxmal. En revanche, le taux de fraude tend à décroître, lorsque les snstres sont de montants élevés et ne lassent pas trop de chances pour frauder. ces snstres correspondent des probabltés seul p max basses ( p max <1% pour un dommage = 7), ce qu prouve d une part la décrossance du taux de fraude et d autre part l effcacté de l audt (dssuasf) malgré son mperfecton. Cette nterprétaton donne leu au constat suvant : 2 pmax représente la valeur maxmale que peut attendre la probablté de détecton seul p, pour chaque snstre (d ) ) pmax = avec (d ) l ndemnté correspondant à la déclaraton ( d ), ) (d ) S éventuel. l ndemnté correspondant au dommage ( x ) et S la sancton. Probablté seul : probablté de détecton pour laquelle l assuré est juste ndfférent entre la fraude et l honnêteté. Pour plus de détal, vor secton 1 (audt systématque probablste). p 21 Exemple : pour un snstre de 6, max = 19% qu est < 3% et à 5%, c est ans que le taux de fraude pour ces deux nveaux de détecton est nul.

157 Chaptre Constat 8 : L ampleur de la fraude dmnue lorsque : les dommages réellement survenus sont mportants ; lorsque la probablté de détecton de la fraude augmente ; et lorsque la sancton est élevée partr de ces dfférentes constatatons, nous avons construt le modèle suvant 22 : F t = α θ dommage 1 t θ 2 SR t θ 3 G t θ 4 Det t ν ε t Nous désgnons par F l ampleur de la fraude (= déclaraton dommage), pour l assuré t ( = 1 9) à la pérode t (t = 1.1), SR la sancton relatve, G le gan de la fraude et Det le fat que l assuré sot détecté ou non précédemment (1 s détecté et alleurs). ( ν ε ) représente le résdu avec ν le paramètre ndvduel aléatore et εt la varable aléatore portant les proprétés usuelles (moyenne, non corrélée avec elle-même, non corrélée avec les varables explcatves, non corrélée avec ν et homoscédastque). L estmaton de ce modèle pour les 3 cas (p = 1%, p = 3% et p = 5%) par GLS, nous donne les résultats suvants : t 22 Nous admettons le même modèle que dans le paragraphe précédent (audt aléatore), nous gardons ans les mêmes hypothèses ans que les mêmes notatons.

158 Chaptre Pour p = 1% Random-effects GLS regresson Number of obs = 9 Group varable () : assure Number of groups = 9 R-sq: wthn =.874 Obs per group: mn = 1 between =.7755 avg = 1. overall =.2988 max = 1 Random effects u_ ~ Gaussan Wald ch2(4) = corr(u_, X) = (assumed) Prob > ch2 = F Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. nterval] dommage SR G Det _cons sgma_u sgma_e rho (fracton of varance due to u_) Pour p = 3% Random-effects GLS regresson Number of obs = 9 Group varable () : assure Number of groups = 9 R-sq: wthn =.246 Obs per group: mn = 1 between =.7781 avg = 1. overall =.3596 max = 1 Random effects u_ ~ Gaussan Wald ch2(4) = corr(u_, X) = (assumed) Prob > ch2 = F Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. nterval] dommage SR G Det _cons sgma_u sgma_e rho (fracton of varance due to u_)

159 Chaptre Pour p = 5% Random-effects GLS regresson Number of obs = 9 Group varable () : assure Number of groups = 9 R-sq: wthn =.2586 Obs per group: mn = 1 between =.263 avg = 1. overall =.2328 max = 1 Random effects u_ ~ Gaussan Wald ch2(4) = corr(u_, X) = (assumed) Prob > ch2 = F Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. nterval] dommage SR G Det _cons sgma_u sgma_e rho (fracton of varance due to u_) Ces tros régressons montrent que le modèle est globalement sgnfcatf pour les tros cas (cf. test de Wald, Prob > ch2 =.). Les estmateurs des dfférentes varables sont auss sgnfcatfs, à l excepton de la varable Det qu est non sgnfcatve dans le cas où p = 3%, et la varable G qu est non sgnfcatve dans le cas où p = 5%. Les coeffcents des varables dommage et SR sont affectés d un sgne négatf alors que ceux des varables G et Det sont postfs. Cec montre que, la fraude est d autant plus mportante pour les petts dommages et lorsque la sancton est basse. En effet, pour les petts snstres, les sujets, sot déclarent des montants très grands pour la smple rason que l amende est relatvement pette par rapport au gan de la fraude et les chances de détecton ne sont pas très élevées, sot essayent de gonfler un peu la déclaraton pour récupérer juste la prme payée. Pour cette classe de dommages, les assurés comparent les gans de la fraude (ndemntés non mértés) aux pertes lées au fat d être détecté et sanctonné. Lorsqu ls estment que les chances de détecton sont mnmes et que la sancton n est pas auss mportante par rapport au gan, les gens chosssent sans doute de frauder (chosr par exemple entre gagner 8 avec 9% de chances et perdre 1 avec 1% de chances). lors que, pour les snstres de plus grandes talles, l ampleur de la fraude tend à basser, pusque la sancton devent élevée (refus de remboursement du snstre amende). En concluson, nous confrmons qu l est de l ntérêt de l assureur d amélorer au maxmum la qualté de sa stratége d audt, et d applquer une amende qu dépend de l ampleur de la

160 Chaptre fraude (l écart entre le dommage réel et la déclaraton) 23. Ces constatatons sont conformes aux propostons théorques. En concluson, nous tenons à ajouter une dernère constataton relatve à la dstncton de deux catégores de fraudeurs 24 : Une premère catégore, correspond aux assurés que nous qualfons de «fraudeurs peu opportunstes». Pour ces sujets, l ampleur de la fraude n est pas très mportante. Cec explque le comportement d assurés qu cherchent à récupérer la prme d assurance payée sans en bénéfcer, par manœuvres frauduleuses. Une deuxème catégore de sujets, correspond aux assurés que nous qualfons de «fraudeurs trop opportunstes». Ces sujets ont tenté d obtenr des ndemntés auxquelles ls n ont pas drot en augmentant le montant du dommage déclaré. ls ont ans déclaré des dommages beaucoup plus mportants que leurs pertes réelles, pour la smple rason de maxmsaton de gan. Pour eux, frauder c est gagner de l argent et leur décson revent tout smplement à chosr de frauder ou pas et s c est frauder alors c est déclarer le maxmum pour gagner le maxmum. Dans les graphques c-dessous, nous présentons pour chaque snstre, les taux de fraude réelle (en ordonné) correspondant à chaque sére de déclaraton (en abscsse) et nous montrons les écarts entre les dommages réels et les déclaratons 25. Egalement, nous montrons pour les tros phases de l expérmentaton (p=1%, p=3% pus p=5%), comment nous pouvons dstnguer la classe des fraudeurs peu opportunstes de celle des fraudeurs trop opportunstes l est vra que dans notre expérmentaton, l a fallu utlser une amende non fxée de façon exogène, mas pour des rasons de smplfcaton du protocole expérmental, l n état pas possble pour nous de pouvor tester pluseurs proprétés à la fos. Cec revent au fat que le temps consacré pour chaque sesson ne dot pas être encore plus long et que les partcpants sont des étudants et n ont que quelques connassances dans le domane de l assurance et ne sont pas en mesure de pouvor tout gérer à la fos. On état juste satsfat par l étude de leurs comportements face aux deux formes d audt pour pouvor par la sute les comparer. 24 Vor tableau 3-bs1 et tableau 3-bs2 en annexe Les grands écarts entre les déclaratons et les pertes sont apparus surtout pour les pertes de pettes talles. Cec s explque par le fat que la sancton (refus d ndemnsaton et amende) encourage à augmenter au maxmum le montant de dommage à déclarer, lorsque le dommage réel est d un montant relatvement bas. En effet, nous avons applqué une amende constante et ndépendante du gan de la fraude. Cec a poussé certans sujets à rasonner de la façon suvante : pour une perte relatvement pette (entre et 2), déclarer un montant maxmal (8) revent exactement à décder entre gagner 8 en cas de non détecton de la fraude et perdre au plus 3 (non ndemnsaton de la perte 2 et l amende 1) en cas de contrôle très parfat. S la probablté de détecter la fraude avec exacttude est relatvement pette (1% ou même 3%), un sujet trop opportunste chost sans doute de frauder et déclare un montant de dommage maxmum. 26 Les fraudeurs trop opportunstes occupent l extrémté drote de l hstogramme (déclaraton très mportante par rapport au dommage réel) et les fraudeurs peu opportunstes occupent l extrémté gauche de l hstogramme (déclaraton proche du dommage réel).

161 Chaptre taux de fraude pour déclaraton de faux snstre 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% % audt 1% audt 3% audt 5% ], 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] taux de fraude pour un dommage= 1 4% 3% 2% 1% % audt 1% audt 3% audt 5% ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] 6% 5% 4% 3% 2% 1% % taux de fraude pour un dommage=2 ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] audt 1% audt 3% audt 5% 5% 4% 3% 2% 1% % taux de fraude pour un dommage= 3 ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] audt 1% audt 3% audt 5% taux de fraude pour un dommage= 4 5% 4% 3% 2% 1% % ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] audt 1% audt 3% audt 5%

162 Chaptre taux de fraude pour un dommage= 5 6% 4% 2% % ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] audt 1% audt 3% audt 5% Graphque 4 : Varaton du taux de fraude par sére de déclaraton et par snstre Quelle procédure faut-l mener? udt léatore Parfat (P) ou udt Systématque Probablste (SP) : Nous arrvons au pont central de notre étude, à savor la comparason des deux formes d audt : l audt aléatore parfat (P) et l audt systématque probablste (SP). ns, d après la proposton 5, l audt aléatore parfat est plus effcace que l audt systématque probablste. l convent à ce nveau de comparer les taux de fraude réelle correspondant à chaque forme d audt (vor tableau 4 et graphque 5 c-dessous). Tableau 4 : TFR Moyens pour l SP et l P SP (1%) P (1%) SP (3%) P (3%) SP (5%) P (5%) Snstre TFR Moyen TFR moyen TFR moyen 15% 16% 14% 17% 19% 15% 1 8% 1% 11% 11% 6% 7% 2 15% 9% 11% 9% 13% 8% 3 17% 8% 13% 8% 16% 7% 4 22% 7% 14% 3% 17% 8% 5 22% 9% 11% 9% 15% 7% 6 22% 13% 11% 7% 11% 3% 7 33% 33% 33% 2% 22% 13%

163 Chaptre 3 16 TFR Moyen (SP/P) TFR Moyen (SP/P) 4% 4% 3% 2% 1% SP(1%) P(1%) 3% 2% 1% SP (3%) P (3%) % % Snstre Snstre TFR Moyen (SP/P) 25% 2% 15% 1% 5% % Snstre SP (5%) P (5%) Graphque 5 : Varaton du TFR Moyen par snstre (SP/P) Vu que la condton de normalté 27 est volée, nous optons pour le test U de Mann Whtney (1947) 28, permettant de comparer les deux tratements suvants : Tratement : le comportement de fraude lorsque l audt est systématque probablste. Tratement 1 : le comportement de fraude lorsque l audt est aléatore. Pusque nous dsposons de tros sénaros : p=1% et λ =1% p=3% et λ =3% p=5% et λ =5% l est commode d effectuer respectvement pour chaque cas le test suvant : H : Taux de fraude moyen (SP) = taux de fraude moyen (P) H : Taux de fraude moyen (SP) > taux de fraude moyen (P) 27 D après le test d gostno et al (199) 28 Pour plus de détal sur ce test, vor annexe 3.3.

164 Chaptre Les résultats des tros tests sont donnés respectvement, dans les tros tables suvantes : Test 1 (1%): Two-sample Wlcoxon ran-sum (Mann-Whtney) test Treat obs ran sum expected combned unadjusted varance 9.67 adjustment for tes adjusted varance 89.6 Ho: TFM(Treat==) = TFM(Treat==1) z = Prob > z =.13 Test 2 (3%): Two-sample Wlcoxon ran-sum (Mann-Whtney) test Treat obs ran sum expected combned unadjusted varance 9.67 adjustment for tes adjusted varance Ho: TFM(Treat==) = TFM(Treat==1) z = Prob > z =.141 Test 3 (5%) : Two-sample Wlcoxon ran-sum (Mann-Whtney) test Treat obs ran sum expected combned unadjusted varance 9.67 adjustment for tes adjusted varance Ho: TFM(Treat==) = TFM(Treat==1) z = Prob > z =.266

165 Chaptre Pour les tros cas nous rejetons l hypothèse nulle selon laquelle les deux tratements sont équvalent pusque Prob > z est nféreure à 5%. Cec sgnfe que le taux de fraude moyen en cas d audt systématque probablste est plus mportant que le taux de fraude moyen en cas d audt aléatore parfat, pourtant les chances de détecton de la fraude sont les même. Nous pouvons conclure que l audt aléatore parfat est plus effcace que l audt systématque probablste. Constat 9 : L audt aléatore parfat est plus effcace que l audt systématque probablste. Ce constat est en accord avec la proposton 5 de la parte théorque (vor encore tableau 4-bs en annexe 3.6).

166 Chaptre Concluson Générale: Dans ce chaptre, nous avons présenté deux formes d audt : l audt aléatore et l audt détermnste. Par audt aléatore, nous désgnons toute procédure d expertse menée de façon non systématque et nous supposons qu elle est parfate (la détecton de la fraude est systématque). Nous avons montré que pour cette premère forme : la probablté d audt dot être fxée à un nveau dépassant le nveau seul pour lequel l assuré est juste ndfférent entre la fraude et l honnêteté ; l est de l ntérêt de l assureur de contrôler plus fréquemment les grandes déclaratons de snstre car elles sont plus douteuses 29 ; la probablté d audt peut être fxée à son nveau maxmal pour les déclaratons dépassant le coût d audt, alors qu l sufft qu elle dépasse légèrement le seul d ndfférence pour les déclaratons nféreures au coût. Pour ce qu est de l audt détermnste, appelé audt systématque probablste, toute déclaraton de snstre est contrôlée par l assureur, mas la qualté de cet audt n est pas auss bonne pour que la fraude sot détectée avec certtude. L assureur n arrve pas toujours à détecter les fraudeurs. Pour cette deuxème forme, nous montrons auss que : l audt n est effectf (crédble et dssuasf de fraude) que s l est de bonne qualté ; l exste un seul de probablté de détecton maxmal que l assureur dot attendre pour ndure l assuré à ne pas frauder ; la sancton monétare mposée par l assureur peut représenter un substtut à un audt de bonne qualté, s elle est très sévère. En effet, l assureur qu n arrve pas à garantr un audt de melleure qualté, peut menacer l assuré par une sancton élevée pour l ncter à l honnêteté. Enfn, dans une dernère parte, nous dressons une comparason entre l audt aléatore parfat et l audt systématque probablste. Nous montrons que même s ces deux types d audt confrontent l assuré aux mêmes arbtrages (mêmes chances de détecton), l s avère plus proftable à l assureur, de recourr à l audt aléatore car l est plus effcace (le taux de la fraude est plus fable). 29 Déclaratons douteuses sgnfe qu elles ont plus de chances d être frauduleuses.

167 Chaptre l est commode que cette comparason, sot complétée par une analyse plus approfonde en ce qu concerne la qualté de l audt. En effet, nous avons consdéré dans ce chaptre que la fraude est non coûteuse à l assuré et que l audt est mparfat sans que nous donnons la cause prncpale à cette mperfecton. Nous objectons dans les deux chaptres suvants à ntrodure, la possblté de falsfcaton des dommages (fraude coûteuse) par l assuré pour rendre l actvté d audt mparfate. Notamment, par rapport à la verson d audt aléatore présentée dans ce chaptre, nous consdérons des nteractons entre des assurés et des assureurs 3, et que la fréquence d audt (parfat) dépende des décsons des assureurs et qu elle n est pas fxée de façon exogène (chaptre 4). Ensute, nous ntégrons dans notre analyse, l mperfecton de l audt à travers la falsfcaton, et nous comparons ce contexte à celu de l audt parfat (chaptre 5). 3 Dans ce chaptre, nous avons consdéré dans la parte expérmentale que la fréquence d audt est fxe et que les sujets sont des assurés qu jouent contre un assureur fctf (l ordnateur). Par contre dans le chaptre 4, nous consdérons un contexte plus concret, où les sujets sont des assurés et des assureurs qu nteragssent pendant un certan nombre de pérode.

168 Chaptre nnexe 3.1. : Les nstructons udt aléatore Vous partcpez à une expérmentaton en économe qu s nscrt dans un programme de recherche. Cette sesson est dvsée en 3 pérodes. On suppose que vous êtes proprétare d un ben d une valeur de 1. Vous êtes ans confronté à des stuatons de rsques qu vous oblgent à souscrre auprès de votre assureur, et contre paement d une prme, un contrat d assurance multrsque qu vous ndemnse en cas de dommage. Vous êtes ans confronté à 8 événements de pertes qu font ntervenr des garantes spécfques. Les pertes s échelonnent entre et 7. u début de chaque pérode, vous êtes doté d un captal ntal vous permettant d acheter votre assurance. Objectf de chaque pérode : chaque pérode, l ordnateur vous affecte aléatorement une perte d un montant comprs entre et 7. Vous devez ans effectuer votre déclaraton de snstre. De plus vous avez la possblté de frauder de deux façons dfférentes. Déclarer un montant de snstre alors que vous n avez pas sub de perte (l s agt donc d un faux snstre : perte = et vous déclarez un montant de perte postf sot 4 par exemple) Ou ben augmenter le montant de snstre (par exemple votre perte est de 1 et vous déclarez 35 ). Votre déclaraton est susceptble d être contrôlée par l assureur. L ordnateur chost aléatorement s on vérfe votre déclaraton. S vous êtes fraudeur on vous sanctonne lorsque on vous contrôle. S vous n êtes pas contrôlé, vous recevez l ndemnté correspondant à votre déclaraton et aucune pénalté ne vous est applquée. Le gan de la pérode dépend ans des varables suvantes : le captal ntal, la perte, la déclaraton, la prme, et la sancton éventuelle.

169 Chaptre Déroulement de chaque sesson : u début de la 1 ère pérode vous recevez sur l écran de votre ordnateur : le montant de votre captal ntal qu vous permet de souscrre un contrat d assurance, sot 9. le montant de la prme que vous devez payer, sot P= 5. le montant du dommage (entre et 7 ). Vous devez également rensegner votre déclaraton de snstre. partr de la 2 ème pérode et ça sera de même pour toutes les pérodes qu suvent : S vous êtes fraudeur pendant la pérode précédente, deux cas de fgure se présentent : sot vous êtes contrôlé, auquel cas vous serez sanctonné par un refus d ndemnsaton et d une amende de 1, sot vous ne l êtes pas et vous recevez la totalté de l ndemnté dans ce cas; L ordnateur vous calcule vos gans et vous affecte la nouvelle perte, Le montant de cette perte vous est ndqué, Vous devez taper le montant de votre déclaraton dans la case correspondante et attendre la sute. L ordnateur établt aléatorement s vous êtes contrôlé, pus recommence les calculs des gans La sesson s étale sur 3 pérodes dentques mas la fréquence de contrôle vare tous les dx pérodes. Pour les dx premères pérodes, vous avez 1% de chances d être contrôlé (à chaque pérode) ; pour les 1 pérodes qu suvent, vous avez 3% de chances d être contrôlé et pour les dx dernères pérodes, vous avez 5% de chance d être contrôlé. NB : au moment du déroulement de l expérence, l est mpossble pour l expérmentateur de vous dentfer, et d observer vos comportements. S vous avez des questons concernant ces nstructons, nous vous remercons de les poser avant de commencer le jeu. Merc pour votre partcpaton.

170 Chaptre Pour vous famlarser avec les nstructons qu peuvent vous paraître dffcles, commençons par l exemple suvant : Now playng round N 1 Votre perte est de 6 Vous devez payer une prme de 5 Votre captal ntal est de 9 Tapez votre déclaraton et attendez la sute Tme Feed-bac nformaton : Pérode Captal ntal 9 Prme 5 Perte 6 Déclaraton ndemnté Sancton Gan fnal L assuré dot taper la déclaraton Sancton = ndemnté 1 (s fraude) Sancton = (s non fraude) Gan fnal = Captal ntal perte prme ndemnté sancton

171 Chaptre udt Systématque probablste Vous partcpez à une expérmentaton en économe qu s nscrt dans un programme de recherche. Cette sesson est dvsée en 3 pérodes. On suppose que vous êtes proprétare d un ben d une valeur de 1. Vous êtes ans confronté à des stuatons de rsques qu vous oblgent à souscrre auprès de votre assureur, et contre paement d une prme, un contrat d assurance multrsque qu vous ndemnse en cas de dommage. Vous êtes ans confronté à 8 événements de pertes qu font ntervenr des garantes spécfques. Les pertes s échelonnent entre et 7. u début de chaque pérode, chacun parm vous est doté d un captal, lu permettant d acheter son assurance. Objectf de chaque pérode : chaque pérode, l ordnateur vous affecte aléatorement une perte d un montant comprs entre et 7. Vous devez ans rensegner votre déclaraton de snstre. De plus vous avez la possblté de frauder de deux façons dfférentes. Déclarer un montant de snstre alors que vous n avez pas sub de perte (l s agt donc d un faux snstre : perte = et vous déclarez un montant de perte postf sot 4 par exemple) Ou ben augmenter le montant de snstre (par exemple votre perte est de 1 et vous déclarez 35 ). Votre déclaraton est systématquement contrôlée à chaque pérode, mas l est possble que la fraude ne sot pas détectée. L assuré fraudeur est sanctonné lorsqu l est parfatement contrôlé. S l n est pas détecté malgré un contrôle, l reçot l ndemnté correspondant à sa déclaraton et aucune pénalté ne lu est applquée. Le gan de la pérode dépend ans des varables suvantes : le captal ntal, la perte, la déclaraton, la prme, et la sancton éventuelle. Déroulement de chaque sesson : u début de la 1 ère pérode vous recevez sur l écran de votre ordnateur :

172 Chaptre le montant de votre captal ntal qu vous permet de souscrre un contrat d assurance, sot 9. le montant de la prme que vous devez payer, sot P= 5. le montant du dommage (entre et 7 ). Vous devez également rensegner votre déclaraton de snstre à l assureur. partr de la 2 ème pérode et ça sera de même pour toutes les pérodes qu suvent : S vous êtes fraudeur pendant la pérode précédente, deux cas de fgure se présentent : sot vous êtes parfatement contrôlé, auquel cas vous serez sanctonné par un refus d ndemnsaton et d une amende de 1, sot vous ne l êtes pas et vous recevez la totalté de l ndemnté dans ce cas; l ordnateur vous calcule vos gans et vous affecte la nouvelle perte, Le montant de cette perte vous est ndqué ; Vous devez taper le montant de votre déclaraton dans la case correspondante et attendre la sute. L ordnateur établt aléatorement s vous êtes parfatement contrôlé ou pas pus recommence les calculs des gans La sesson s étale sur 3 pérodes dentques mas la probablté de détecton de la fraude vare tous les dx pérodes. Pour les dx premères pérodes, chacun parm vous a 1% de chances d être détecté (à chaque pérode) ; pour les 1 pérodes qu suvent, l a 3% de chances d être détecté et pour les dx dernères pérodes, l a 5% de chances d être détecté. (être détecté veut dre être parfatement contrôlé) NB : au moment du déroulement de l expérence, l est mpossble pour l expérmentateur de vous dentfer, et d observer vos comportements. S vous avez des questons concernant ces nstructons, nous vous remercons de les poser avant de commencer le jeu. Merc pour votre partcpaton. Pour vous famlarser avec les nstructons qu peuvent vous paraître dffcles, commençons par l exemple suvant :

173 Chaptre 3 17 Now playng round N 1 Votre perte est de 6 Vous devez payer une prme de 5 Votre captal ntal est de 9 Tapez votre déclaraton et attendez la sute Tme Feed-bac nformaton : Pérode Captal ntal 9 Prme 5 L assuré dot taper la déclaraton Perte 6 Déclaraton ndemnté Sancton Gan fnal Sancton = ndemnté 1 (s fraude) Sancton = (s non fraude) Gan fnal = Captal ntal perte prme ndemnté sancton

174 Chaptre nnexe 3.2. Test des rangs sgnés de Wlcoxon (1945) l exste une catégore de tests statstques qu ne se basent pas sur l estmaton de paramètres et qu n mposent pas de condtons d applcatons strctes concernant la forme de la dstrbuton d échantllonnage. Ces tests sont appelés «tests non paramétrques» ou «tests ndépendants de toute dstrbuton». Le test des rangs sgnés de Wlcoxon est utle pour analyser les décsons des ndvdus. l permet d apporter un jugement tel que «supéreur à» lorsqu l s agt de comparer deux échantllons relés. Les dfférentes étapes du test : Calculer les dfférences ( D ) entre des pares de scores provenant de deux séres D d observatons X et Y. X et la ème observaton de la sére Y. = X Y Classer les D est égale à la dfférence entre la ème D postfs par ordre crossant. Classer les mas sans tenr compte du sgne. ttrbuer un rang à chaque D postf et à chaque observaton de la sére D négatfs par ordre crossant, D négatf. nterclasser les deux séres en tenant compte unquement de la valeur absolue des dfférences (s deux Résultats du test : D ou plus sont égales, on leurs attrbue le même rang). S les deux séres d observatons sont équvalentes (H est vrae : Prob > z est supéreure à 5%), alors la somme des rangs ayant un sgne postf et la somme des rangs ayant un sgne négatf, ne sont pas très dfférentes. On rejette H lorsque les sommes des rangs sont très dfférentes (Prob > z est nféreure à 5%) et on conclue que les deux séres d observatons ne sont pas équvalentes.

175 Chaptre nnexe 3.3. Test U de Mann-Whtney (1947) l s agt pour ce test de comparer deux tratements T1 et T2 pour deux populatons P1 et P2 dfférentes. On mesure 2 varables X et Y quanttatves contnues: X mesure pour la populaton P1 et Y mesure pour la populaton P2. Sous l hypothèse H, nous supposons que les 2 tratements sont équvalents, c-à-d que les scores X et Y ont des valeurs globalement dstrbuées de la même manère. Nous écrvons : H : X et Y ont la même lo Ha : les scores de X globalement supéreurs aux scores Y H : X Y Ha : X > Y Sot n1 la talle de l échantllon tré de P1 et n2 celle de l échantllon tré de P2. lors la talle totale des deux échantllons est n = n1 n2. Nous pouvons effectuer ce test avec les statstques de Wlcoxon notées les statstques de Mann et Whtney notées U x et W x et W y ou avec U x. Les deux méthodes ont été mses en place parallèlement et elles sont équvalentes. La méthode de Mann et Whtney est plus smple d utlsaton. W x est la somme des rang des mesures rangs des mesures W U x x W y = W y. n(n 1) = 2 Le prncpe de x n1(n1 1) 2 domanes de varatons de et U y = W x dans l ensemble d ndvdus et y n U x et U x est le même que pour U x et U x démarrent à. 2 (n 2 1) 2 W x et W y la somme des W y, mas on fat en sorte que les

176 Chaptre nnexe 3.4. Tableau 2 bs1 31 : Taux de fraude réelle / Taux de fraude détectée. Snstre Déclaraton audt 1% audt 3% audt 5% TFR TFD TFR TFD TFR TFD ],3] 87% 8% 87% 46% 67% 5% ]3,5] 27% % 27% 25% 2% 67% ]5,8] 13% 5% 2% 67% 33% 6% ]1,3] 53% % 6% 33% 33% 4% 1 ]3,5] 7% % 2% % 13% % ]5,8] 13% % % % % % ]2,3] 27% 5% 27% % 27% 75% 2 ]3,5] 2% % 13% 5% 2% % ]5,8] 7% % 13% 1% % % ]3,4] 27% 25% 27% 5% 2% 33% 3 ]4,6] 13% % 7% % 7% 1% ]6,8] % % 7% % 7% % ]4,5] 13% % 7% 1% 2% 33% 4 ]5,6] 13% % % % 13% 5% ]6,8] % % 7% 1% % % 5 ]5,6] 13% % 2% 33% 2% 33% ]6,8] 13% % 7% % % % 6 ]6,7] 13% % 13% % % % ]7,8] 13% % % % 7% % 7 ]7,8] 33% % 2% 67% 13% 5% Tableau 2 bs2 : taux de fraude réelle Déclaraton Snstre audt 1% audt 3% audt 5% 87% 87% 67% <=3 1 53% 6% 33% 2 27% 27% 27% 5% 47% 53% 1 2% 2% 13% 2 27% 26% 2% ]3,8] 3 4% 4% 34% 4 26% 13% 33% 5 26% 27% 2% 6 26% 13% 7% 7 33% 2% 13% 31 Légende du tableau 2 : TFR = Taux de Fraude Réelle. Représente comben d assurés sur 15 ont déclaré entre x et y pour un snstre L. TFD = Taux de Fraude Détectée Représente comben de fraudeurs parm ceux qu pour un snstre L ont fat une déclaraton frauduleuse entre x et y, ont été détectés.

177 Chaptre nnexe 3.5. Tableau 3-bs 1: Varatons du seul de détecton p, de la sancton et du taux de fraude par snstre audt 1% audt 3% audt 5% Proba seul p TFR TFD TFR TFD TFR TFD Snstre Déclaraton ], 1] 9% 33% 67% 44% 25% 67% 33% ]1, 2] 52% 33% % 11% % 22% 5% ]2, 3] 68% % % 11% % % % ]3, 4] 76% % % 11% % 11% 1% ]4, 5] 8% 11% % % % 11% % ]5, 6] 84% % % 11% % % % ]6, 7] 86% 11% % % % % % ]7, 8] 88% 33% % 22% 5% 44% 25% ]1, 2] 24% 33% % 22% 5% 22% % ]2, 3] 48% % % 22% % 11% % ]3, 4] 61% 11% % 11% % % % 1 ]4, 5] 69% % % % % % % ]5, 6] 74% % % % % % % ]6, 7] 77% % % % % % % ]7, 8] 8% 11% % 22% % 11% 1% ]2, 3] 16% 33% 33% 44% 75% 56% 4% ]3, 4] 37% % % % % % % ]4, 5] 49% % % % % % % 2 ]5, 6] 57% % % % % % % ]6, 7] 63% % % % % % % ]7, 8] 68% 22% 5% 22% % 22% 1% ]3, 4] 12% 33% % 44% 25% 44% 1% ]4, 5] 29% % % % % % % 3 ]5, 6] 41% % % % % % % ]6, 7] 49% % % % % % % ]7, 8] 56% 22% % 22% 1% 33% 33% ]4, 5] 1% 33% 33% 44% 5% 33% 1% ]5, 6] 25% % % % % % % 4 ]6, 7] 35% % % % % % % ]7, 8] 43% 33% 33% 11% 1% 33% 67% ]5, 6] 8% 44% % 22% 5% 33% 33% 5 ]6, 7] 21% % % % % % % ]7, 8] 31% 22% 5% 11% % 11% 1% 6 ]6, 7] 7% 33% 33% 22% 5% 22% % ]7, 8] 19% 11% % % % % % 7 ]7, 8] 6% 33% 33% 33% % 22% 5%

178 Chaptre Tableau 3-bs2 : Varaton du TFR en foncton de l ndemnté d assurance et de la sancton audt 1% audt 3% audt 5% Snstre Déclaraton ndemnté Sancton TFR TFR TFR ], 1] ],6] 33% 44% 67% ]1, 2] ]6,16] 33% 11% 22% ]2, 3] ]16,26] % 11% % ]3, 4] ]26,36] % 11% 11% ]4, 5] ]36,46] 1 11% % 11% ]5, 6] ]46,56] % 11% % ]6, 7] ]56,66] 11% % % ]7, 8] ]66,76] 33% 22% 44% ]1, 2] ]6,16] 33% 22% 22% ]2, 3] ]16,26] % 22% 11% ]3, 4] ]26,36] 11% 11% % 1 ]4, 5] ]36,46] 2 % % % ]5, 6] ]46,56] % % % ]6, 7] ]56,66] % % % ]7, 8] ]66,76] 11% 22% 11% ]2, 3] ]16,26] 33% 44% 56% ]3, 4] ]26,36] % % % ]4, 5] ]36,46] % % % 2 ]5, 6] ]46,56] 3 % % % ]6, 7] ]56,66] % % % ]7, 8] ]66,76] 22% 22% 22% ]3, 4] ]26,36] 33% 44% 44% ]4, 5] ]36,46] % % % 3 ]5, 6] ]46,56] 4 % % % ]6, 7] ]56,66] % % % ]7, 8] ]66,76] 22% 22% 33% ]4, 5] ]36,46] 33% 44% 33% ]5, 6] ]46,56] % % % 4 ]6, 7] ]56,66] 5 % % % ]7, 8] ]66,76] 33% 11% 33% ]5, 6] ]46,56] 44% 22% 33% 5 ]6, 7] ]56,66] 6 % % % ]7, 8] ]66,76] 22% 11% 11% 6 ]6, 7] ]56,66] 7 33% 22% 22% ]7, 8] ]66,76] 11% % % 7 ]7, 8] ]66,76] 8 33% 33% 22%

179 Chaptre nnexe 3.6. Tableau4-bs : TFR (SP/P) SP (1%) P (1%) SP (3%) P (3%) SP (5%) P (5%) Snstre Déclaraton TFR TFR TFR ], 1] 33% 33% 44% 27% 67% 27% ]1, 2] 33% 27% 11% 33% 22% 13% ]2, 3] % 27% 11% 27% % 27% ]3, 4] % 7% 11% 7% 11% 7% ]4, 5] 11% 2% % 2% 11% 13% ]5, 6] % % 11% 7% % 13% ]6, 7] 11% % % % % 7% ]7, 8] 33% 13% 22% 13% 44% 13% ]1, 2] 33% 33% 22% 4% 22% 27% ]2, 3] % 2% 22% 2% 11% 7% ]3, 4] 11% % 11% 13% % % 1 ]4, 5] % 7% % 7% % 13% ]5, 6] % % % % % % ]6, 7] % % % % % % ]7, 8] 11% 13% 22% % 11% % ]2, 3] 33% 27% 44% 27% 56% 27% ]3, 4] % 7% % % % 13% ]4, 5] % 13% % 13% % 7% 2 ]5, 6] % % % % % % ]6, 7] % % % % % % ]7, 8] 22% 7% 22% 13% 22% % ]3, 4] 33% 27% 44% 27% 44% 2% ]4, 5] % 7% % 7% % 7% 3 ]5, 6] % 7% % % % % ]6, 7] % % % % % % ]7, 8] 22% % 22% 7% 33% 7% ]4, 5] 33% 13% 44% 7% 33% 2% ]5, 6] % 13% % % % 13% 4 ]6, 7] % % % % % % ]7, 8] 33% % 11% 7% 33% % ]5, 6] 44% 13% 22% 2% 33% 2% 5 ]6, 7] % 7% % % % % ]7, 8] 22% 7% 11% 7% 11% % 6 ]6, 7] 33% 13% 22% 13% 22% % ]7, 8] 11% 13% % % % 7% 7 ]7, 8] 33% 33% 33% 2% 22% 13%

180 Chaptre nnexe 3.7. Test de wlcoxon applqué en cas d audt systématque détermnste, pour comparer l ampleur de la fraude dans les 3 cas (p =1%, p = 3% et p = 5%) : Test 1: p = 1% contre p = 3% Wlcoxon sgned-ran test sgn obs sum rans expected postve negatve zero all unadjusted varance adjustment for tes adjustment for zeros adjusted varance Ho: F1 = F3 z =.238 Prob > z =.8121 Test 2: p = 3% contre p = 5% Wlcoxon sgned-ran test sgn obs sum rans expected postve negatve zero all unadjusted varance adjustment for tes adjustment for zeros adjusted varance Ho: F3 = F5 z = Prob > z =.622

181 Chaptre Test 1: p = 1% contre p = 5% Wlcoxon sgned-ran test sgn obs sum rans expected postve negatve zero all unadjusted varance adjustment for tes adjustment for zeros adjusted varance Ho: F1 = F5 z =.287 Prob > z =.7738

182 Chaptre ntroducton Générale :...18 Secton1 : Fraude à l assurance et audt aléatore parfat (le modèle) Le cadre d analyse : Le contrat d assurance optmal: Probablté d audt et ndemnté d assurance: La probablté d audt optmale lorsque U est CR : Le profl d ndemnsaton optmal: Secton 2 : L expérmentaton Le desgn expérmental : L objectf de l expérmentaton : La descrpton de l expérmentaton : La descrpton du protocole expérmental : Les résultats expérmentaux : Dscusson prélmnare : La stratége de l assuré :...26 a/ la décson de fraude :...26 b/ L ampleur de la fraude : La stratége de l assureur: a/ Décson d audt : b/ La fréquence de l audt : Confrontaton des résultas expérmentaux et des hypothèses théorques: Tableau récaptulatf : Les constatatons expérmentales sont-elles conformes aux prédctons théorques? : a) Quelle ndemnté d assurance offrr? b) Quelle est la poltque d audt optmale? Concluson générale : nnexe nnexe 4.2 : nnexe 4.3 : nnexe nnexe

183 Chaptre 4 18 ntroducton Générale : l exste de nombreuses stuatons dans lesquelles l assuré cherche à présenter le snstre à l assureur de manère ambguë. L objectf ultme de cet assuré est de garantr une ndemnsaton plus généreuse. L assuré peut sot déclarer un snstre qu n a en réalté jamas eu leu, sot exagérer le montant du dommage survenu. Dans la premère secton de ce chaptre, nous exposons un modèle smple de la théore des contrats dans lequel, le prncpal est ncarné par l assureur et l agent par l assuré. L dée poursuve, est d analyser le phénomène de fraude, à l ade d un modèle économque, permettant de caractérser le contrat d assurance optmal et d étuder les stratéges de fraude des assurés et les stratéges d audt des assureurs. Notre démarche est smlare à celle de Schller (25) 1. La fraude à l assurance est complexe par sa nature, notamment sa mesure et sa détecton représentent deux tâches très dffcles à accomplr. Comme le démontrent Wesberg et Derrg (1991), Cummns et Tennyson (1996) et Nelson et Kleffner (23), la fraude est facle à produre mas dffcle à contrôler à cause des coûts prohbtfs qu elle mplque. Pour cette rason, la fraude à l assurance a été longtemps consdérée comme étant une charge nécessare pour les socétés d assurance. Un changement de ce pont de vue est récemment apparu, fasant prévalor qu l est ndspensable de la gérer et de la combattre (vor The Whte paper on nsurance fraud, 2). Suvant cette voe, notre modèle trate le cas d un assuré averse au rsque qu contracte avec un assureur neutre au rsque et contre paement d une prme, l garantt une ndemnsaton en cas de dommage. L assuré fat face à des événements de perte probables et a la possblté de frauder pour avor une ndemnté d assurance plus mportante. L assureur s engage de son coté à vérfer la déclaraton de snstre à l ade d un audt que nous supposons c aléatore. L audt est parfat : toute déclaraton de snstre frauduleuse est systématquement détectée. Le fraudeur prs est sanctonné par une pénalté monétare. Pluseurs études économques nous ont précédé dans l analyse de la fraude et dans la recherche de solutons dssuasves. Nous ctons prncpalement, le traval de Pcard et Fagart (1999) et celu de Moherjee et Png (1987). Les deux résultats majeurs ssus de ces deux 1 Schller (25) explore un modèle basé sur l engagement dans une actvté d audt au sen du paradgme d état de vérfcaton coûteuse. L auteur consdère que le système de détecton de la fraude fourne une nformaton sur l état de perte réelle. l suppose que cette nformaton ne peut pas être manpulée par l assuré. L dée centrale de son paper consste à : chercher quel effet exerce le système de détecton sur le jeu d audt ans que sur le contrat d assurance optmal ; explorer les condtons sous lesquelles, le système de détecton avec coût fxe est mplémenté dans un marché compéttf.

184 Chaptre travaux ctés, consstent en ce que ) l audt aléatore est optmal et ) qu l est de l ntérêt de l assureur de récompenser l assuré honnête en cas de vérfcaton de sa déclaraton. Cec soulgne l dée qu l est optmal de payer une ndemnté plus généreuse en cas d audt. Cette lttérature a prs comme pont de départ le problème d asymétre d nformaton (vor Chappor, Jullen, Salané et Salané, 24) 2 entre l assureur et l assuré qu peut être résolu grâce au prncpe de révélaton (vor Townsend, 1979 ; Mooherjee et Png, 1989 et Bond et Crocer, 1997). En partculer, lorsque les assurés détennent l nformaton prvée sur leurs dommages, les contrats d assurance dovent souvent mplquer des procédures d expertse permettant aux assureurs de vérfer l occurrence des snstres. Selon Fagart et Pcard (1999), ces contrats assurent l arbtrage entre deux objectfs conflctuels : le partage de rsque entre l assuré et l assureur d un coté et la mnmsaton du coût de vérfcaton espéré d un autre coté. Cet arbtrage permet l apparton de la polce d audt qu assoce un nveau de couverture d assurance à la procédure de vérfcaton. Dans ce contrat, la vérfcaton des snstres n est pas systématque. L assureur contrôle les dommages avec une probablté qu dépend de l ampleur de la perte déclarée. l faut noter auss, que la plupart des modèles économques tratant le problème de fraude se fondent sur le paradgme «d état de vérfcaton coûteuse» (vor Schller, (25), Schller (23) et Stadler et Castrllo, (22)), que nous utlsons -nous même- comme comme mécansme théorque pour notre modèle présenté dans ce chaptre. Ce paradgme présente un contexte partculer pour les modèles économques tratant l asymétre d nformaton. Nous consdérons une économe composée de deux partes, dont l une est plus nformée que l autre. La parte la mons nformée ne peut obtenr l nformaton qu en supportant un certan coût. D où la dénomnaton d état de vérfcaton coûteuse. En partculer, dans un contexte d assurance, la vérfcaton concerne les déclaratons de snstre et le coût n est autre que le coût d audt. Pour plus de détals sur ce sujet, nous ctons les travaux de Coester et Fombaron (23) et Boyer (23). L une des hypothèses les plus mportantes de ce paradgme est celle de l engagement de l assureur dans une stratége d audt dès la sgnature du contrat. Cec sgnfe que l assureur annonce dès le début qu l va vérfer les déclaratons de dommage avec une probablté prédéfne. Pour Pcard (1996b), l engagement produt un avantage de Stacelberg pour l assureur, exactement comme dans le contexte de l mpôt sur le revenu, où l admnstraton fscale joue comme un leader de Stacelberg en matère de stratége d audt 2 Dans ce paper les auteurs présentent une étude emprque sur l assurance automoble en France. Cette étude a pour objectf de tester les prédctons théorques concernant l exstence d une corrélaton postve entre la couverture d assurance et le rsque ex post. ls montrent ans que cette corrélaton estmée n est pas sgnfcatvement postve.

185 Chaptre fscal. De nombreux travaux économques se sont ntéressés à l étude de ce cas. Nous ctons à ttre d exemple ceux de Renganum et Wlde (1985, 1986), Border et Sobel (1987) et Mooherjee et Png (1989). Dans notre cas, nous supposons que l assureur s engage dans une stratége d audt et notre traval consste à défnr la probablté d audt optmale. Cette stratége est défne de façon à ce que l actvté d audt sot parfate et dssuasve. Un derner pont central de notre traval s ntéresse au sujet de l effcacté des mesures répressves et des sanctons applquées. Le paper de Becer (1968) est le premer à avor analysé l mpact des sanctons sur le comportement crmnel des ndvdus. L auteur prouve qu l est optmal d adopter des sanctons sévères assocées à une fréquence de contrôle fable mas suffsante pour dssuader la fraude. Suvant cette dée, nous cherchons à caractérser l arbtrage entre l ampleur de la sancton adoptée et la fréquence d audt utlsée. Cette modélsaton fat l objet de la premère parte du chaptre et est suve d une deuxème parte expérmentale servant à tester les résultats théorques ms en exergue. u plan expérmental, l s agt au travers d un échantllon d étudants acceptant volontarement de partcper à cette expérmentaton, d analyser la fraude avec possblté d audt. L expérence s est effectuée en laboratore, sur ordnateurs, et à l ade d un logcel spécfque REGTE 3 à partr duquel nous avons programmé le protocole ssu des hypothèses du modèle théorque. L objectf essentel de cette expérmentaton est de valder ou de rejeter certanes propostons théorques en garantssant et en contrôlant la cohérence entre la réalté expérmentale et la théore de référence. Pour cec, nous avons eu recours à un jeu d assurance entre des assurés et des assureurs, en les confrontant à un vra problème de fraude à l assurance avec possblté d audt. 3 REGT : logcel expérmental, Roman Zelger, GTE, Unversté de Lyon 2.

186 Chaptre Secton1 : Fraude à l assurance et audt aléatore parfat (le modèle) 1.1. Le cadre d analyse : La modélsaton que nous adoptons pour formalser le problème de fraude avec possblté d audt aléatore est la suvante. Nous consdérons un contrat d assurance entre un prncpal, ncarné par l assureur, supposée neutre au rsque et un agent, qu est c l assuré, et qu fat preuve d averson pour le rsque. Les préférences de l assuré sont représentées par une foncton d utlté notée U, de type Von-Neumann Morgenstern, strctement crossante et deux fos contnûment dfférentable et strctement concave (U > et U < ). L assuré dspose d une rchesse ntale W notées x. Sot { x, x, x..., }, x1, x2..., xn et fat face à des événements de perte assurables X =, x ], tel que x = et 1 2 xn [ n x < x1 < x2 <... < xn. chaque rsque de perte x est assocée une probablté représentant la probablté de survenance du snstre. La nature défnt deux types d états possbles : perte avec une probablté π = q et pas de perte avec une = 1 probablté ( 1 π) = q. Contre paement d une prme P, l assuré souscrt un contrat d assurance lu garantssant une ndemnté en cas de dommage. l peut être ncté à frauder. En effet, l assureur connaît la probablté de survenance de la perte, mas seul l assuré dspose de l nformaton prvée sur la réalsaton et la talle de cette perte. Le jeu se déroule comme sut. Tout d abord, l état de nature (perte ou non perte) se réalse. L assuré peut ensute chosr de fare une déclaraton frauduleuse de façon à maxmser son espérance d utlté. Nous élaborons une classfcaton en dstnguant les deux hypothèses suvantes : Celle où l assuré organse le snstre, que ce derner sot magnare ou réel. Le snstre déclaré à l assureur n a en réalté jamas eu leu. Mas une mse en scène est organsée par l assuré, pour fare crore à la survenance du dommage : l s agt d un faux snstre ; Celle où après la survenance du snstre, dont la cause est extéreure à l assuré, celu-c vctme d un préjudce, tente obtenr une ndemnsaton à laquelle l n a pas drot : l s agt de l exagératon du montant de snstre. n q

187 Chaptre Lorsque l état de perte ( x X ) survent, le seul comportement stratégque de l assuré consste alors à décder de frauder ou non en déclarant d = d ) X avec d ) x. L assureur ne peut savor s l assuré est fraudeur ou honnête que sur la base de l expertse de la déclaraton. En foncton de cette déclaraton, l chost la fréquence de contrôle λ d ) = λ(d )) qu lu parat pertnente ( λ(d ) 1). ( L audt est supposé aléatore et parfat. La fraude est systématquement détectée lorsque la déclaraton de snstre est contrôlée. L audt génère un coût pour l assureur. Sot C, le coût d audt que nous supposons constant. On note par (d ) = l ndemnté d assurance lorsque la déclaraton est non vérfée, et, d ) = le transfert de l assureur à l assuré en cas d audt., d) dépend à la fos de la déclaraton d et de la vrae valeur du snstre x. La détecton de la fraude mplque une sancton pour l assuré. On note cette pénalté S avec S S. Pour des rasons de cohérence avec la réalté, nous supposons que la sancton ne peut pas attendre des valeurs extrêmement élevées. Cec tradut le fat que la fraude à l assurance amène souvent l assuré à rembourser les ndemntés reçues et au pre des cas à une sentence de prson lmtée. Ce sont unquement les actes crmnels qu sont sanctonnés par une pene d emprsonnement. C est pour cette rason que nous consdérons que la sancton S ne dot pas dépasser un nveau maxmum S. Pour Pcard (2), S < S tradut le fat que l assuré est sot affecté par une contrante de lqudté, sot que cette sancton est fxée par la légslaton. Nous supposons de plus que l assureur a la possblté de sanctonner drectement le fraudeur et qu l peut chosr lu-même le nveau de la sancton. Conformément à la réalté, l a fallu fare appel à un trosème agent qu joue le rôle du juge et qu a la charge d applquer la pénalté au fraudeur. Pour smplfer notre modèle, nous supposons que l assureur peut jouer lu-même le rôle du juge. L expert et l assureur se fondent dans un seul agent économque, l assureur. Nous schématsons c-dessous le jeu d assurance. l s agt d un jeu à nformaton mparfate: les agents connassent les caractérstques pertnentes du jeu mas l assuré est le seul à détenr l nformaton quant à la survenance et la talle du snstre. Ce jeu comporte quatre étapes comme l ndque la fgure c-dessous:

188 Chaptre Etape1 Etape2 Etape3 Etape4 Nature ssuré ssureur ssureur Survenance Déclaraton Décson ndemnsaton du snstre du dommage d audt ou sancton avec possblté de fraude En premère étape, la nature défnt s l assuré subt un snstre ou pas: { x, x,..., x } x, x ] 1 n [ n avec une probablté q. En deuxème étape, l assuré décde de déclarer la vrae valeur du snstre ou de frauder: d ) = d x pour tout x { x, x,..., x }. À l étape 3, l assureur procède à un audt avec une probablté λ = d ). 1 n λ( À l étape 4, en se basant sur le rapport d audt, l assureur chost l ndemnté 4 d assurance correspondante : * *en en cas d'audt : cas de non audt : S s d,d ) = ) s d (d ) d x > x = x Nous avons présenté la forme normale d un jeu séquentel. l nous reste à défnr les gans des deux joueurs et tracer l arbre de décson. 4 l est possble que lorsqu l ne subt pas de snstre, l assuré pusse tenter d avor une ndemnsaton par le bas de la fraude. On envsage c le cas de faux snstre qu tradut le fat que l assuré déclare un dommage à l assureur alors qu en réalté aucun snstre n a eu leu. Cec est llustré par le cas ntal qu correspond à l événement de perte x auquel est assocé la probablté q. L assuré chost ans une déclaraton d ) { x 1, x 2,..., x n }. Selon la déclaraton reçue, l assureur chost la probablté d audt λ[ d)] pour savor s le dommage déclaré correspond ben au dommage réel ou pas. En foncton du résultat de l audt, l ndemnté d assurance est défne. En cas de fraude, la sancton S est applquée. D une façon générale, lorsque la nature défnt l état de perte x avec une probablté q, la stratége de l assuré consste à chosr le montant de la déclaraton dans l ensemble{ x, x 1, x 2,..., x n }. Déclarer d ) = x représente le cas d ) > x mplque une fraude qu se tradut par une exagératon du montant du d honnêteté, alors que déclarer dommage. Pusque la talle de la perte représente une nformaton prvée pour l assuré, alors l assureur ne peut obtenr cette nformaton qu en s appuyant sur une expertse de la déclaraton. La stratége de l assureur est défne ans par la probablté λ( d ) de vérfer la déclaraton d de l assuré. En cas d audt, l assuré reçot l ndemnté, d) qu dépend à la fos du snstre survenu et de la déclaraton de l assuré. Par contre en cas de non audt, le transfert de l assureur à l assuré est (d) et dépend unquement de la déclaraton d.

189 Chaptre Pour garantr une ndemnté, l assuré paye la prme P. l dspose d une rchesse ntale W et ses préférences sont défnes à l ade d une foncton d utlté concave. Nous supposons que l assuré n accepte le contrat d assurance que lorsque son utlté espérée (avec assurance) est supéreure à son utlté de réserve (sans assurance): EU (avec assurance) U = n = q x U(W ) Cette condton représente la contrante de ratonalté ndvduelle de l assuré. Sot W la rchesse fnale de l assuré. En cas d audt, W = W P x, d ), par f f contre lorsque la déclaraton de dommage est non vérfée, cette rchesse fnale s écrt W = W P x ). L utlté espérée de l assuré lorsqu l fat face à un snstre x f et déclare d s écrt : EU = λ(d ) U [ W P x, d )] (1 λ(d )) U[ W P x (d )]

190 Chaptre L arbre de Kuhn de ce jeu est présentée comme sut : N ssureur d ) = ( P; P) x d ) = x 1 W ( W P S; P S C) q ssuré W P ); P )) x x ssureur ( 1 1 ( W P S; P S C) d ) = ( P ); P )) x n W ( W P S; P S C) d ) = ( P n ) ; P )) 1 x 1 W n W P );P ) C) ( 1 1 d ) = W P x ); P )) ( q 1 ssuré ( W P x1 S;P S C) d ) = x 1 1 x2 1 x ssureur W P x ); P )) ( ( W P x1 S;P S C) d ) = W P x ); P )) d ) = 1 x n ( 1 ( W P x1 S;P S C) W P x ); P )) ( 1 n n x ssureur ( W P x );P ) C) d ) = W P x );P )) ( q ssuré ( W P x S; P S C) x d ) = x 1 q n x n ssuré d ) x 2 ( W P x 1);P 1)) = W P x S; P S C) d ) = x n d ) = n ssureur x n ( ( W P x 2);P 2)) W P x S; P S C) ( W P x );P )) ( n n ( W P xn n );P n ) C) W P x );P )) ( n n n

191 Chaptre Le contrat d assurance optmal: Probablté d audt et ndemnté d assurance: Comme nous l avons noté précédemment, W représente la rchesse fnale de l assuré. En cas f d audt, W = W P x, d ) ; par contre lorsque la déclaraton de dommage est f non vérfée, cette rchesse fnale s écrt W = W P x ). L assuré est averse au f rsque. l maxmse l utlté espérée de sa rchesse fnale. Formellement, l utlté espérée de l assuré s écrt: EU = n = q { λ(d ) U[ W P x, d )] (1 λ(d )) U[ W P x (d ]} ) L assureur est neutre au rsque. Son proft espéré est défn comme sut: E = P n = q { λ(d )[ C,d )] (1 λ(d )) (d } ) l faut noter que le proft de l assureur dot être non négatf pour que celu-c accepte le contrat d assurance. travers cette modélsaton, nous cherchons à défnr les nveaux optmaux de sancton et de probablté d audt qu peuvent dssuader la fraude. Pour cec, nous supposons que le contrat d assurance optmal maxmse l utlté espérée de l assuré sous la contrante de partcpaton (CP) de l assureur (l assureur réalse toujours un proft postf) et les contrantes d nctaton (C) de l assuré (l assuré a toujours ntérêt à déclarer la vérté). Ces contrantes d nctaton sont propres au contrat révélateur et tradusent le fat que l utlté espérée de l assuré en cas de fraude n est jamas supéreure à son utlté espérée en cas d honnêteté. Formellement, ces contrantes s écrvent: { λ ) U(W P x, x )) (1 λ )) U (W P x )) } { λ(d ) U(W P x, d )) (1 λ(d )) U (W P x (d ))} pour tout d > x dans { x, x,..., x } 1 n

192 Chaptre n (n 1) l exste contrantes d nctaton prenant cette forme 5. 2 l faut noter que les montants de mondre valeurs ( x < x ) sont évdemment exclus du champ des fausses déclaratons 6 ( d > x ). lternatvement, nous ajoutons les contrantes d nctaton suvantes à notre programme : { λ) U(W P x, x)) (1 λ)) U (W P x )) } { λ ) U(W P x, x )) (1 λ )) U (W P x ))} pour tout x > x dans { x, x,..., x } 1 n n (n 1) De la même façon nous montrons qu l exste contrantes de cette forme 7. 2 En cas de fraude ( d > x),,d ) S = Sans perte de généralté, on consdère que, x) = ). Le contrat d assurance optmal est tel que l espérance d utlté de l assuré est maxmsée sous les deux contrantes suvantes : 5 Pour l état de perte x, la déclaraton de l assuré peut avor une valeur dans l ensemble{ x, x 1, x 2, x 3,..., x n }, alors pour cet état l exste n contrantes d nctaton. Pour l état de perte x 1, la déclaraton de l assuré peut avor une valeur dans l ensemble { x 1, x 2, x 3,..., x n }, alors pour cet état l exste (n-1) contrantes d nctaton. Pour l état de perte x, la déclaraton de l assuré peut avor une valeur dans l ensemble { x, x 1, x 2, x 3,..., x n }, alors pour cet état l exste (n-) contrantes d nctaton. En fn, Pour l état de perte x n 1, la déclaraton de l assuré peut avor une valeur dans l ensemble { x n 1, x n }, alors pour cet état l exste une seule contrante d nctaton. En totalté, l exste n(n 1) n (n 1) (n 2)... 1 = contrantes d nctaton. 2 6 Nous désgnons par cette contrante alternatve, le fat que le montant x ne dot pas fare lu-même l objet d une déclaraton frauduleuse. C'est-à-dre, l n est pas optmal de déclarer x lorsque le dommage réel est x < x 7 Pour la déclaraton (frauduleuse) de perte x 1, la perte réelle de l assuré peut avor une valeur dans l ensemble { x }, alors pour cette déclaraton l exste 1 seule contrante d nctaton. Pour la déclaraton (frauduleuse) de perte x 2, la perte réelle de l assuré peut avor une valeur dans l ensemble { x, x 1 }, alors pour cette déclaraton l exste 2 contrantes d nctaton. Pour la déclaraton (frauduleuse) de perte x, la perte réelle de l assuré peut avor une valeur dans l ensemble { x, x 1, x 2, x 3,..., x 1 }, alors pour cette déclaraton l exste contrantes d nctaton. En fn, Pour la déclaraton (frauduleuse) de perte x n, la perte réelle de l assuré peut avor une valeur dans l ensemble { x, x 1, x 2,..., x n 1 }, alors pour cette déclaraton l exste n contrantes d nctaton. En totalté, l exste n(n 1) n (n 1) (n 2)... 1 = contrantes d nctaton. 2

193 Chaptre 4 19 l assureur ne fat pas de proft négatf : EΠ l assuré ne fraude jamas : d = x est la stratége optmale de l assuré En tenant compte du prncpe de révélaton, dans la défnton du contrat optmal, la sancton n est pas encassée par l assureur du fat que l assuré est amené toujours à dre la vérté. Par conséquent cette sancton n apparaît pas dans la contrante de proft, n pour la même rason dans la foncton objectve. Le contrat optmal est défn à l ade du programme d optmsaton suvant : Maxmser EU = Sous Contrantes: P n = n = q { λ ) U(W P x )) (1 λ )) U(W P x } )) { λ )[ C )] (1 λ )) )} q (CP) { λ ) U(W P x )) (1 λ ))U(W P x ))} { λ(d ) U(W P x S) (1 λ(d ))U(W P x (d ))} pour tout d > x avec x { x,x,...,x } (C ) { λ ) U(W P x )) (1 λ ))U(W P x ))} { λ ) U(W P x S) (1 λ ))U(W P x ))} S S et ) S et λ ) 1 pour tout x pour tout > x x ) S pour tout x avec x 1 { x,x,...,x } (C ) Les deux dernères condtons représentent les condtons de fasablté du contrat. Par alleurs, l est optmal que la contrante de partcpaton de l assureur sot saturée. Pour le prouver supposons qu elle ne l est pas : P n = n = n = n = q { λ )[ C )] (1 λ )) )} { λ )[ P C )] (1 λ ))[P )]} q > q q > { λ )[ P )] (1 λ ))[ P )]} n λ )C q < = { λ )[ P )] (1 λ ))[ P )]} < 1 n n 1 2

194 Chaptre { λ )[ W x P )] (1 λ ))[W x P )]} n n q < q (W x ) = = Sachant que U est crossante et concave, alors on peut écrre : { λ )U[ W x P )] (1 λ ))U[W x P )]} n n q < q U(W x ) = = Or : n = q U(W x ) = U ns, nous montrons que s la contrante de partcpaton de l assureur n est pas saturée à l optmum, alors l utlté espérée de l assuré est nféreure à son utlté de réserve 8. La contrante de ratonalté ndvduelle de l assuré ( EU U) est donc, ntégrée mplctement dans le programme, à travers la contrante de partcpaton de l assureur. En résumé, la caractérsaton du contrat d assurance optmal permet de répondre aux deux questons suvantes : ) Quelle est la probablté optmale que l assureur dot chosr pour dssuader les déclaratons frauduleuses? ) Quel est le profl d assurance optmal que l assureur dot utlser pour avor un contrat dssuasf? Nous défnssons le contrat d assurance comme étant la spécfcaton des tros fonctons suvantes : λ(.) :[, x (.) :[, x (.,.) n :[, x ] [,1] n ] [ S, [ n ] [, x n ] [ S, [ La résoluton du programme d optmsaton nous permet d avor la proposton 1, dont les démonstratons fgurent en annexe 4.2 de ce chaptre. Proposton1 : Le contrat d assurance optmal possède les proprétés suvantes : ) λ( x) < 1 pour tout x s on a : { λ x ) U(W P x )) (1 λ ))U(W P x ))} > U(W P x S) ( ) ) > ) pour tout x tel que λ( x ) ) s > λ( d ) > pour une déclarato n d alors l exste un dommage x tel que : { λ ) U(W P x )) (1 λ ))U(W P x ))} = { λ(d ) U(W P x S) (1 λ(d ))U(W P x (d ))} 8 Cec veut dre que l assuré n accepte pas le contrat d assurance : s son utlté de réserve est supéreure à son utlté espérée en cas où l achète le contrat d assurance, alors l préfère la non assurance.

195 Chaptre La proposton 1 est smlares aux résultats de Moherjee et Png (1987) et ceux de Fagart et Pcard (1999). Dans cette proposton, la condton C fgurant dans () et qu stpule que pour tout x, l utlté espérée de l assuré en cas d honnêteté est supéreure à son utlté en cas de fraude détectée, est llustrée par l néquaton suvante : { λ x )U(W P x )) (1 λ ))U(W P x ))} > U(W P x S) ( Cec ndque qu une pénalté sgnfcatve peut être mposée aux fraudeurs détectés pour avor déclaré des snstres frauduleux. En effet, Moherjee et Png (1987) supposent que W x = P S. Cec sgnfe que la rchesse fnale ( W = W P x S ) est nulle ( W f = ) pour tout assuré fraudeur détecté, et qu elle est postve à l optmum pour tout assuré honnête. D autre part, Fagart et Pcard (1999) ont supposé que f P S S, c est-à-dre que la pénalté possède une lmte supéreure sot à cause de la contrante de lqudté de l assuré ou encore à cause de la fxaton de cette sancton par la légslaton. Pour ces deux auteurs, la condton C n est étable que s la sancton S est fxée à un nveau suffsamment élevé. Dans la proposton 1, la premère hypothèse (), mplque que l audt dot être aléatore s l utlté espérée de l assuré en cas d honnêteté est supéreure à son utlté en cas de fraude. Cec llustre l dée que l assuré préfère ne pas frauder lorsque l audt est détermnste (la probablté d audt est égale à 1). Dans ce cas, le fat de décroître légèrement la probablté d audt, permet de rédure le coût espéré pour l assureur. Par conséquent cela permet de décroître la prme P, et mplctement accroître l utlté espérée de l assuré, sans ndure ce derner à frauder. La deuxème hypothèse () montre que l ndemnté d assurance d un assuré honnête en cas d audt, dot être plus généreuse que celle versée en cas de non audt. Cette proposton llustre l dée que l assureur dot récompenser l assuré honnête en cas de vérfcaton de sa déclaraton. Ce résultat a été ntalement avancé par Mooherjee et Png (1987). En effet, s pour un dommage x on a ) < ) et on augmente ) légèrement et on dmnue ) légèrement, alors le coût espéré λ x ) ) [1 λ )] ) ne sera pas changé. Ce changement n affecte pas la contrante ( d nctaton et permet par contre d accroître l utlté espérée de l assuré, ce qu contredt l optmalté du contrat ntal. En outre, s ) = ), la même varaton n exerce aucun effet de premer ordre sur l utlté espérée et cela permet à l assureur de rédure la probablté

196 Chaptre d audt ( λ x ) ) sans perturber la contrante d nctaton. Le coût espéré décroît, ce qu ( mplque une décrossance de la prme P et par conséquent une crossance de l utlté espérée. Ce qu contredt auss l optmalté du contrat ntal. Enfn, l hypothèse () montre que pour une déclaraton d vérfée avec une probablté postve λ ( d ) >, l exste un nveau de perte x, tel que l assuré est ndfférent entre dre la vérté ou frauder. En d autres termes, lorsqu une déclaraton d est contrôlée avec une probablté postve, une décrossance de la probablté d audt λ d ) peut ncter l assuré à frauder pour au mons un nveau de dommage ( x. Egalement, s ce n est pas le cas, alors une basse de cette probablté n affecte pas la contrante d nctaton. Cette varaton permet à l assureur d économser en coût de l audt et s ensut par une basse de la prme d assurance. ns, ce phénomène amène à accroître l utlté espérée de l assuré, et ce qu contredt l optmalté du contrat ntal La probablté d audt optmale lorsque U est CR : Dans ce paragraphe, nous vsons à smplfer le problème en supposant que la foncton d utlté est du type CR. l ade du lemme 1, nous remplaçons les [n(n1)] contrantes d nctaton par une seule. Cette smplfcaton permet de meux caractérser les termes du contrat et d approfondr les résultats. Lemme 1 : Lorsque la foncton d utlté de l assuré est CR, et s on a : ) > ) ˆ ) avec ˆ) nf{, ), x X} et que : = (1) > U(W P ˆ )) (1 λ ))U(W P )) λ )U(W P S) x X (2) alors toutes les contrantes d nctaton sont vérfées. (vor preuve en annexe 4.3) xˆ étant la déclaraton de snstre à laquelle correspond la plus pette ndemnté d assurance. La condton (2) tradut le fat que l assuré est dssuadé de déclarer un snstre frauduleux quel

197 Chaptre que sot le montant du dommage réel, s et seulement s, l est dssuadé de frauder lorsqu l a le drot d avor la plus pette ndemnté d assurance 9. De surcroît, le nouveau programme d optmsaton s écrt comme sut : Maxmser EU = Sous Contrantes: U(W P n = P n = q { λ ) U(W P x )) (1 λ )) U(W P x } )) { λ )[ C )] (1 λ )) )} q (CP) ˆ )) (1 λ ))U(W P )) λ )U(W x X (C) P S) La résoluton de ce programme d optmsaton nous permet d avor la proposton 2 dont la démonstraton fgure en annexe 4.3. Proposton 2 : La probablté d audt représente une foncton strctement crossante et concave avec l ndemnté d assurance versée en cas de non audt. λ ) = U(W P U(W P )) U(W )) U(W P ˆ )) P S) avec < λ < 1, λ ' et λ" > < λ 1 Fgure1 : La probablté d audt optmale 9 Cec sgnfe que l utlté de l assuré lorsqu l reçot la plus pette ndemnté est plus mportante que son utlté espérée, lorsqu l déclare n mporte quel montant de dommage x, avec ) > ) ˆ ) >

198 Chaptre La proposton 2, montre que la procédure d audt optmale est aléatore et que la probablté d audt représente le rapport entre le gan de la fraude en terme d utlté lorsque l assuré est non contrôlé, et la désutlté lée au fat d être sanctonné en cas de détecton de la fraude. La varaton de cette probablté par rapport à l ndemnté d assurance versée en cas de non audt est postve, ce qu mplque la crossance de λ (.) en foncton de. Cec est ntutf et tradut le fat que, lorsque le coût d ndemnsaton augmente pour l assureur, ce derner devent ncté à augmenter la probablté de vérfcaton des déclaratons. En effet, lorsque le gan de la fraude augmente, l devent de plus en plus dffcle à l assureur de dssuader l assuré de fare une déclaraton frauduleuse. Par conséquent, l dot le contrôler plus fréquemment. S nous étudons la varaton de cette probablté en foncton de la sancton S alors nous pouvons écrre : λ = S [ U(W P ) U(W P ˆ ))] 2 [ U(W P ) U(W P S) ] U'(W P S) < l s agt à ce nveau de trouver l arbtrage optmal entre la poltque d audt à adopter et la sancton à applquer. Corollare 1 : Pour dssuader la fraude, l assureur peut fare appel à l une des deux poltques suvantes : mposer une sancton extrêmement élevée et contrôler mons fréquemment les déclaratons de dommage à l ade de l audt ; mposer une sancton plus lmtée assocée à un audt plus fréquent Le profl d ndemnsaton optmal: Dans ce derner paragraphe, nous présentons le profl d ndemnsaton optmal offert par l assureur, lorsqu l est possble pour l assuré de frauder et lorsqu l est possble auss de le détecter à l ade de l audt. Nous résumons nos résultats dans la proposton 3 (vor preuve, en annexe 4.4) :

199 Chaptre Proposton 3 : En tenant compte du prncpe de révélaton, un contrat nctatf dot avor le profl d ndemnsaton suvant : En cas d audt, le contrat d assurance optmal est l assurance complète : ) = x x X En cas de non audt, le contrat d assurance optmal est le contrat de franchse : ) = x f x X, avec < f < f1 < f2 <... < f n La proposton 3, sgnfe que l assurance complète est optmale en cas de vérfcaton des déclaratons avec audt aléatore parfat et quand l est possble pour l assureur de sanctonner le fraudeur en lu applquant une sancton maxmale S. Par contre, en cas de non audt, le contrat d assurance optmale est le contrat de franchse : à chaque dommage x est assocée une franchse < < < < <. f telle que : f f1 f2... f n c a b S x 1 x 2 3 x x 1 x xn 1 x n Fgure 2 : ndemnté d assurance optmale Le cas d audt llustre le contrat d assurance complète. Toutes les ndemntés relatves aux ponts x se trouvent sur la drote. Cependant, pour le cas de non audt, le nuage de ponts désgné par sur la fgure 2, llustre les ndemntés d assurance avec franchse, assocées à tous les ponts x de l ensemble{ x, x 1,..., x..., x n }. Dans ce qu précède, nous avons montré

200 Chaptre que l ndemnté d assurance est crossante en foncton du dommage et que la franchse pour un état est plus mportante que celle relatve à l état ( -1). Mathématquement nous ) > 1) écrvons : f) > f1) Donc nous pouvons en dédure que : 1) = x1 f 1 < ) < x f 1 Le schéma suvant llustre les dfférents scénaros auxquels l assuré est confronté. udt Sancton : S déclaraton: d = x > x j 1 perte : x Non udt ndem : d f j udt ndem : x déclaraton: d = x Non udt ndem : x f Pour comprendre la logque du contrat révélateur, nous pouvons consdérer ce problème comme étant celu du chox entre deux loteres L 1 et L 2. L 1 tradut les gans de l assuré, s l chost de frauder (c est-à-dre déclarer d > x ), lorsque le snstre survenu est x. En outre, L 2 représente la stuaton où l assuré chost de dre la vérté (déclarer perte réelle est x. avor (-S) avec une probablt é λ j) L1 avor j f ) avec une probablt é j [ 1- λ )] avor ) avec une probablt é ë ) L 2 avor f ) avec une probablt é ) [ 1- λ ] j d = x ), lorsque la 1 La valeur de l ndemnté ) correspond à un pont du segment]a b[. Ce derner correspond à l ntersecton de la drote x et l are comprse entre le segment [c a] (son équaton respectve est: x f 1 ) et le segment [c b] (son équaton respectve est: 1) ).

201 Chaptre D après la proposton 2, λ ( x ) > λ ) pour tout x > x. Par conséquent, en chosssant de j j fare une déclaraton frauduleuse, l est plus probable que l assuré sot sanctonné et paye la pénalté (S) que d avor une ndemnté d assurance postve. De plus, s l n est pas contrôlé, la franchse assocée à une déclaraton plus élevée est plus mportante. On en dédut que pour les deux cas (audt et non audt), l assuré est toujours ncté à dre la vérté. Le contrat d assurance applquant ce profl d ndemnsaton est révélateur (l amène l assuré à dre la vérté). En concluson à cette parte, nous retenons les quatre proprétés suvantes : 1. L optmalté de l audt aléatore. 2. L effcacté de l audt et l ntérêt qu l y a à verser une ndemnté plus généreuse en cas de vérfcaton des déclaratons (bonus versé aux assurés honnêtes). 3. La crossance de la fréquence d audt en foncton du coût d ndemnsaton. 4. L applcaton de sanctons sévères afn de dmnuer la fréquence d audt. l est commode de vérfer la valdté de ces dfférentes prédctons théorques dans des envronnements naturels. Pour cec, nous avons opté pour une expérmentaton, permettant de reconsttuer en laboratore ces stuatons économques. Cette expérmentaton, que nous présentons dans la secton suvante a pour objet, de tester d une part, s ces hypothèses théorques décrvent ben les comportements ndvduels, et d autre part, de donner une valdaton plus concrète au modèle théorque.

202 Chaptre Secton 2 : L expérmentaton Mars-vrl Le desgn expérmental : L objectf de l expérmentaton : La dffculté de vérfer les prédctons théorques dans des envronnements naturels a été à l orgne de l apparton de l économe expérmentale. l s agt de la reconsttuton en laboratore d une stuaton économque pour laquelle l ensemble des varables est contrôlé par l expérmentateur (vor Shawn M.D. et Dana Y.H. (25) 11 ). Selon Donne G. (1998), une autre dffculté dans la mesure emprque, résde dans le fat que les chercheurs n'ont pas plus d'nformaton que les décdeurs. l propose tros solutons pour paller cette dffculté: 1) utlser des sondages confdentels; 2) développer des stratéges économétrques permettant d'soler l'effet voulu ; 3) ou encore se fonder sur une approche expérmentale. notre avs, même des analyses emprques par questonnares, telles que les travaux de Carassus D. et Cormer D. (22), ne permettent pas de donner une vson plus réalste des comportements ndvduels. Ces deux auteurs présentent une étude qu a pour objectf d analyser les normes et les comportements des commssares aux comptes franças en matère d évaluaton du rsque de fraude. L analyse du questonnare recensé, est fondée sur les réponses de quatre-vngts commssares aux comptes, représentant près de 1 % de la populaton nterrogée. Leurs résultats montrent que les facteurs organsatonnels des cabnets d audt sont relés au fat d être confronté à des cas de fraude et au fat de découvrr la fraude. En outre, l apparaît que les audteurs qu ntègrent le rsque de fraude dans leur msson d audt externe légal, démarche préconsée par les nouvelles normes nternatonales d audt, sont davantage susceptbles de découvrr les cas de fraude. L évoluton engagée en matère de préventon et de détecton de la fraude au plan nternatonal pourrat donc trouver un terran d applcaton favorable chez les commssares aux comptes franças. l est vra que cette étude emprque, permet d explorer de nouvelles méthodes pour amélorer la lutte contre la fraude, mas à notre égard, elle ne donne qu une dée générale sur la pratque d audt et ne permet pas d étuder le phénomène à travers les décsons ndvduelles. 11 Les auteurs présentent une approche expérmentale, permettant de tester en laboratore, l effet des honorares de non audt sur la percepton de l ndépendances des audteurs par les nvestsseurs.

203 Chaptre 4 2 En effet, la majorté des travaux emprques, tels que, Donne, Gulano et Pcard (25), Vaene, yuso et Gullen (25), Van Shou Yang et San Yh Hwang (26), Vaene, Dedene et Derrg (25), Rejussus (23), rts, yuso et Gullen (22), se sont ntéressées à l étude du phénomène de fraude et d audt, en utlsant des bases de données recuelles auprès de certanes compagnes d assurance. En revanche, ces études emprques, ne permettent pas d examner les nteractons des agents dans des condtons contrôlées. Sur cette voe, my K. Choy et Ronald R. Kng (23) jognent deux types de théores («Mental model theory» en psychologe cogntve (Johnson Lard 1983) et «General Systems theory» de Bertalanffy 1968). Les auteurs formulent certanes hypothèses qu ls appellent «System- Medated Mental Model» permettant de prouver comment la connassance des systèmes, amélore la prse de décson. Parallèlement, ces auteurs ont testé en laboratores ces prédctons théorques en applquant le contexte d audt présenté dans l approche de Bell et al. (1997). L économe expérmentale, représente donc une approche permettant à l expérmentateur de : maîtrser les règles nsttutonnelles 12 et de mettre l accent sur la pertnence des hypothèses de comportements 13 et sur leurs changements générés par des modfcatons au nveau de l envronnement 14 ou de l nsttuton ; contrôler l ensemble du processus de producton des données (Hey et Marateresa, 1991) ; et enfn de ne dépendre d aucun organsme pour accéder aux données (Fredman et Sunder, 1994). Dans cette secton, nous présentons une étude expérmentale, qu a pour objectf de comprendre les décsons ndvduelles dans un contexte de fraude à l'assurance. On envsage c de poursuvre à dfférents nveaux, l analyse du rôle que peut jouer la procédure d audt aléatore dans la détecton de la fraude. l ade d une expérence en laboratore, nous cherchons à mesurer le phénomène de fraude qu reste très mal appréhendé par les assureurs. Notre objectf est de détermner la fréquence d audt optmale ans que le profl d ndemnsaton, permettant de combattre la fraude et la falsfcaton. Cette nformaton est nécessare pour au mons deux rasons : d une part pour cerner de façon précse les comportements évasfs des assurés dans un contexte d expertse et d autre part pour vérfer les prédctons théorques. 12 L nsttuton représente l ensemble des moyens de communcaton et de règles de décson des joueurs. 13 Les comportements reflètent les actons des joueurs. 14 L envronnement représente les dfférentes caractérstques de l expérmentaton, nombre de joueurs, le ben ms en jeu, les dotatons

204 Chaptre La descrpton de l expérmentaton : Les sujets : Nous avons organsé 12 sessons expérmentales avec des étudants (soxante douze étudants) du département d économe et de geston, de l Ecole Normale Supéreure de Cachan. L âge moyen des partcpants est de 21 ans et 66% sont des garçons. Les sujets sont des étudants en Lcence Econome et Geston, de nveau DEUG. Le recrutement des sujets a été fat à l ade d une annonce affchée au département et qu décrt, l objet de l expérmentaton, sa durée ans que son ntérêt. Les étudants ntéressés ont prs contact avec nous, pour s nscrre sur des fches, ndquant, leurs noms et leurs coordonnées téléphonques. Nous les avons contacté par la sute, pour convenr d un rendez-vous et leur précser, l heure exacte, et les leux du déroulement de l expérmentaton. chaque sesson, partcpent sx sujets, dont l un joue le rôle de l assureur et les cnq autres, le rôle d assurés. Le chox que les sujets soent des étudants et non pas de vras assurés ou assureurs revent tout smplement à la faclté de les jondre, et à leurs dsponbltés. Les technques utlsées : Nous avons programmé l expérmentaton à l ade du logcel spécfque «REGTE», qu utlse des protocoles d nternet (TCP/P), à partr duquel nous avons programmé notre protocole expérmental. Nous avons répart les partcpants aléatorement en deux catégores de rôle et nous les avons placés dans une salle équpée d ordnateurs connectés sur un réseau local. Ces machnes sont dsposées de manère à ce que chaque partcpant ne pusse vor que l écran de sa propre machne. u début de la sesson, un code de connexon au réseau est affecté de manère aléatore et anonyme à chaque partcpant. Ce code permet d assurer les condtons de double anonymat des décsons de chaque joueur, et celu de leurs rémunératons. Un premer écran apparaît devant chaque assuré pour l nformer de sa stuaton actuelle (qu l est assuré, son captal ntal, la prme à payer, le snstre survenu ). On lu demande de remplr sa déclaraton de dommage dans une rubrque ben spécfque. Entre temps, l assureur patente jusqu à recevor sur son écran toutes les déclaratons des assurés. cette étape, on lu demande de mener les contrôles qu lu parassent pertnents. Ensute, chaque joueur est

205 Chaptre 4 22 nformé du résultat du round joué : L assuré est nformé du résultat de l expertse (s l est fraudeur, s l a été détecté ou pas, son gan de la pérode et la sancton monétare). Par contre, l assureur est nformé du degré de la fraude concernant les déclaratons contrôlées, sans pour autant qu l n arrve à dentfer les personnes. tout moment, les joueurs ont la possblté de consulter un écran secondare contenant l hstorque des tours déjà joués. Descrpton de la sesson : Chaque sesson est d une durée de 6 mnutes en moyenne, et comprend un groupe de 5 assurés qu jouent avec un seul assureur (6 partcpants par sesson). Les nstructons (vor annexe 4.5) ont été dstrbuées avant le début de la sesson et un exemple d entraînement a été essayé collectvement afn d établr une connassance commune entre les sujets. La lecture des nstructons par l expérmentateur à haute vox, a perms de ben appréhender les dfférentes phases de l expérmentaton et de rassurer l ensemble des sujets sur l homogénété des nformatons. Nous avons annoncé auss aux sujets qu l est nterdt durant toute la sesson de parler entre eux. De surcroît, l expérmentateur est prêt à répondre à toutes leurs questons avant de débuter l expérence. Une fos toutes ces condtons sont remples, la sesson peut commencer. Cette dernère comprend 17 pérodes (rounds), durant lesquelles, chaque joueur conserve son rôle et ne peut pas savor qu parm les autres partcpants est assuré ou assureur. l sat tout smplement qu l joue dans un groupe composé de 5 assurés et un seul assureur. Chaque sujet nstallé devant son écran, reçot une premère nformaton sur le rôle qu l va jouer (assuré ou assureur). Ensute, se sont les assurés qu jouent en premer, et effectuent leurs déclaratons de snstre en chosssant de frauder ou non. Entre temps, l assureur patente. Une fos toutes les déclaratons reçues, l chost de mener les contrôles qu lu parassent pertnents. Toutes ces nformatons sont envoyés, par le réseau au serveur qu fat les calculs des gans, renvo les résultats et nforme les joueurs sur l étape suvante. Sur l écran de chaque partcpant, apparaît une parte d nformaton (feedbac nformaton) le rensegnant sur les tours déjà joués. Une fos les 17 pérodes termnées, un écran de velle apparaît devant chaque joueur, et les ordnateurs sont verroullés pour que l expérmentateur enregstre les données sur le serveur.

206 Chaptre 4 23 Rémunératon : Quand la sesson est termnée, chaque joueur est rémunéré de manère ndvduelle et anonyme. La somme fnale gagnée par chaque partcpant dépend de ses propres décsons. Cette rémunératon comprend deux éléments : une partcpaton forfatare de 8, à laquelle s ajoute une prme lée à la performance du joueur. Cette prme est proportonnelle à la moyenne des captaux détenus à la fn de chaque pérode. Les gans fnaux sont ans, comprs entre 1 et 2. En effet, dans un contexte de fraude à l assurance, l s avère très délcat de chosr quel mode de rémunératon on dot utlser. D une part, la rémunératon des sujets en foncton de leurs gans expérmentaux, peut les ncter à frauder et d autre part, payer une même et seule somme pour tous les partcpants ne permet pas de révéler leurs vras comportements. Pour tenr compte de cet arbtrage, nous avons opté pour une rémunératon composée d une parte forfatare (récompense pour la partcpaton) et d une autre parte varable, dépendant de la performance de chaque joueur (la moyenne de ses gans). Cette rémunératon a été fate en argent lqude, pour que la récompense des efforts sot mmédate. En plus, payer les sujets proportonnellement à leur gan moyen, permet de les ncter à consdérer toutes les pérodes du jeu et de rédure la varance dans les réponses La descrpton du protocole expérmental : Chaque assuré est proprétare d un ben. l est confronté à des stuatons de rsque qu l oblgent à souscrre auprès de son assureur et contre paement d une prme un contrat d assurance qu l ndemnse en cas de dommage. u début de chaque pérode, l assuré est doté d un captal, lu permettant d acheter sa polce d assurance. Cette dotaton ntale permet aux joueurs de ne pas se retrouver avec des gans négatfs en fn de pérode 15. Une fos l état de nature réalsé, l assuré déclare le montant de dommage à l assureur, et peut décder de frauder : sot déclarer un snstre qu n a en réalté jamas eu leu, sot augmenter le montant du dommage. 15 Dans notre parte théorque, nous supposons que les assurés sont caractérsés par une même foncton d utlté qu est concave, et donc par une même averson au rsque. Se placer dans les condtons exactes de la théore, s avère dffcle vor mpossble dans un contexte expérmental. Pour paller ce problème, nous avons confronté les sujets aux mêmes rsques de pertes (pas de dstncton de haut rsque et de bas rsque). En plus, le fat que l utlté des assurés avec assurance, sot supéreure à son utlté sans assurance, le pousse à s assurer. Pour les assureurs, pour ndure la neutralté au rsque, nous avons opté pour l octro d une dotaton ntale élevée.

207 Chaptre 4 24 L assureur ne peut détecter le comportement frauduleux que sur la seule base des déclaratons de snstres effectuées par l ensemble des assurés. Sa stratége est ans, défne par le chox de mener les contrôles qu lu parassent pertnents. La détecton de la fraude mplque l applcaton d une sancton : refus d ndemnsaton et paement d une amende. Plus précsément, chaque pérode est marquée par les tros étapes suvantes : Premère étape : survenance du snstre et déclaraton de l assuré. L assuré est confronté à des pertes probables qu s échelonnent entre et 5. l a une chance sur tros de subr une perte. l dspose d un captal ntal pour acheter son contrat d assurance. l paye la prme P, pour bénéfcer d un remboursement en cas de snstre. L assuré dot déclarer sa perte à l assureur. Deuxème étape : audt aléatore parfat mené par l assureur. Une fos que les assurés ont effectué leurs déclaratons lors de la premère étape, l assureur peut procéder à une vérfcaton de ces déclaratons. L audt est supposé parfat : la fraude est systématquement détectée en cas de contrôle. Trosème étape : ndemnsaton et sancton. L audt permet de révéler deux résultats : fraude ou non fraude. Un fraudeur contrôlé est pun par un refus d ndemnsaton et par une amende. Un fraudeur non contrôlé échappe à la sancton et reçot l ndemnté correspondant à sa déclaraton et à laquelle l n a pas drot. l se peut que la déclaraton d un assuré honnête sot vérfée. L assuré honnête reçot une ndemnté quelle que sot la stratége de l assureur (audt ou non audt) à laquelle est ajouté un bonus récompensant son honnêteté Les résultats expérmentaux : Dscusson prélmnare : Les études statstques et les démarches économétrques d explotaton des données représentent des procédures modernes du processus de lutte contre la fraude (Brocett et al., 22; Belhadj et al., 2; rts et al., 1999; Vaene et al., 22). Les modèles emprques s ntéressant aux nvestgatons des snstres frauduleux, sont émergés vers les années 9 avec essentellement l organsaton des bases de données et les stratéges de sélecton (Major et Rednger, 1992), l analyse par grappes confus (Derrg et Ostaszewsy, 1995), les régressons

208 Chaptre 4 25 smples des modèles de «scorng» 16 (Wesberg et Derrg, 1998, Brocett et al. 1998) et les modèles Logt et Probt (Vaene, Dedene et Derrg, 25, rts et al. 1999, Belhadj et al. 2). Suvant cette voe de recherche, nous présentons dans ce paragraphe, une approche expérmentale qu a pour objectf de valder ou réfuter les prédctons théorques présentées dans la premère secton de ce chaptre. En effet, l analyse expérmentale permet, à côté de la vérfcaton des hypothèses du modèle, de mettre en évdence les régulartés des comportements et d explorer d autres résultats non prédtes par la théore. Toutefos, l s avère parfos dffcle de pouvor tester drectement ces propostons à travers les observatons expérmentales. Pour cec, nous avons retenus les quatre questons suvantes : Queston n 1 : Est-ce que l audt aléatore est effcace pour ndure des comportements honnêtes de la part des assurés? Queston 2 : Est-l dssuasf de verser une ndemnté plus généreuse en cas d audt (récompenser les assurés honnêtes par un bonus)? Queston 3 : Quel est l effet de l ndemnté d assurance sur la fréquence d audt? Queston 4 : Est-l possble pour l assureur d mposer une sancton très sévère et dmnuer la fréquence de contrôle? Pour répondre à cette sére de questons, nous nous reposons sur les deux axes suvants : D une part, nous étudons les stratéges des assureurs, notamment, la décson d audt, son effet dssuasf, et les éléments sur lesquels se fonde l assureur pour fare son chox. D autre part, nous mettons l accent sur les stratéges des assurés, et notamment sur la décson de fraude et l ampleur de la fraude (la dfférence entre la déclaraton et le dommage réel) à travers certanes composantes, telles que, la snstralté, la fréquence de l audt, la détecton de la fraude, le taux de couverture Cette analyse nous permet de cerner le phénomène de la fraude et d étuder l effcacté de l audt. 16 Pour plus de détal sur les modèles de «scorng», vor chaptre 2, secton 4, paragraphe 4.1.

209 Chaptre La stratége de l assuré : a/ la décson de fraude : l s agt dans ce paragraphe d exploter un modèle Probt 17 de panel avec effets aléatores, permettant d explquer la décson de fraude prse par l assuré. Cette estmaton est proche de celle présentée dans le paper d yuso M., Gullén M. et Pnquet J.(26), qu adoptent une approche statstque se basant sur l estmaton d un modèle à deux équatons sur la fraude et l audt (probt bvaré avec censure) 18, et de celle de Vaene et al. (25), qu exposent une estmaton de la décson de fraude, en foncton de certanes varables (âge du conducteur, Sexe, nombre de snstres survenus au passé, wee-end, montant du dommage ), à partr de base de données de l assurance automoble en Espagne. Dans notre modèle, la varable latente ( Fraude ) ndque la propenson à frauder d un ndvdu ( =1..6), à la pérode (round) t (t =1 17). * t * Fraude t est explquée par un vecteur de varables observables X, un vecteur de paramètreβ, un paramètre ndvduel aléatore noté η et une varable aléatore u t. Les termes résduels η et u t représentent des varables aléatores ndépendantes et ont comme dstrbuton statstque la lo de Gauss (dstrbuton normale), centrée et rédute. Fraude = βx η u * t t t 17 Dans la pratque, les modèles probt et Logt sont très smlares en termes d ajustement statstque. En effet, les dstrbutons normale et logstque font parte de la même famlle de los exponentelles. On note des dfférences unquement dans le cas de très grands échantllons, car le comportement de ces deux dstrbutons de probablté ne dffère qu aux extrémtés du support (fables et fortes valeurs de la foncton de répartton F). Pour la lo normale, les probabltés extrêmes sont mons pondérées, la foncton de répartton tendant plus vte vers ou vers 1. (pour plus de détals, vor LBN THOMS «Econométre des varables qualtatves», DUNOD, 2). 18 Les bas de sélecton sont créés par des dspartés entre le domane d'estmaton d'un modèle statstque et son domane d'applcaton. C'est le cas pour les modèles évaluant le rsque de fraude, qu sont estmés sur les seuls snstres audtés mas applqués sur tous les snstres entrants. Or les snstres audtés sont une mnorté, étant choss sute à une sélecton sévère effectuée par des experts. Ce paper présente une approche statstque qu contrebalance le bas de sélecton sans recourr à une stratége d'audt aléatore. Les auteurs estment un modèle à deux équatons sur l'audt et la fraude (un modèle probt bvaré avec censure), sur une parte d'une base de snstres où les experts sont lassés lbres de leur décson d'audter. ls corrgent ans la surestmaton attendue du rsque de fraude en cas d'estmaton d'une seule équaton. Les résultats sont proches de ceux obtenus par audt aléatore, au prx d'une nstablté des résultats par rapport à l'ensemble des composantes de régresson. ls comparent ensute des poltques d'audt à partr des dfférentes approches.

210 Chaptre 4 27 La varable latente * Fraude t est nobservable, mas nous pouvons observer s l ndvdu fraude ou non. De façon plus rgoureuse, le modèle s écrt : Fraude t * 1 s Fraudet > = alleurs tel que Fraude t = 1 s l ndvdu fraude et Fraude t = snon. Dans les deux tableaux suvants nous présentons respectvement, la sére des varables explcatves (défntons et notatons respectves) et leurs descrptons statstques (moyenne, écart-type, valeur maxmale, valeur mnmale). Nom de la varable Dom t F t CTR t T det t Descrpton de la varable Dommage sub par l ndvdu ( = 1.6) à la pérode t (t = 1 17). Fréquence d audt, représente le nombre de fos où l ndvdu a été contrôlé de la pérode 1 jusqu à la pérode (t 1), dvsé par le nombre de déclaratons effectuées par l ndvdu de la pérode 1 jusqu à la pérode (t 1). Contrôle, représente une varable muette (dummy) qu prend la valeur 1 s l ndvdu a été contrôlé en (t 1) et snon. Taux de détecton, représente le nombre de fos où l assuré a été détecté en tant que fraudeur de la pérode 1 jusqu à la pérode (t 1), dvsé par le nombre de fos où l ndvdu a fraudé de la pérode 1 jusqu à la pérode (t 1). Varable Obs Mean Std. Dev. Mn Max Dom F CTR Tdet

211 Chaptre 4 28 Les résultats de cette régresson 19 (estmateurs, écart-types ) sont présentés dans la table suvante: Random-effects probt Number of obs = 12 Group varable () : assure Number of groups = 6 Random effects u_ ~ Gaussan Obs per group: mn = 17 avg = 17. max = 17 Wald ch2(4) = Log lelhood = Prob > ch2 = Fraude Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. nterval] Dom F CTR Tdet _cons /lnsg2u sgma_u rho Lelhood rato test of rho=: ch2(1) = 24.7 Prob > ch2 =. La régresson montre que le modèle est globalement sgnfcatf (cf. test de Wald, Prob > ch2 =.) et que les coeffcents des dfférentes varables explcatves sont auss sgnfcatfs (à l excepton de la varable Tdet). Cette estmaton nous a perms de retrer les constatatons suvantes : Constat 1: Les assurés ont tendance à frauder mons lorsqu ls font face à des dommages de talle mportante. En effet, le sgne négatf du coeffcent de la varable Dom t, ndque que lorsqu ls subssent des dommages de talles mportantes, les assurés préfèrent déclarer la vérté, car la fraude est 19 Lnsg2u : représente le log de l écarttype : ln( σ ), sgma_u représente l écart-type ( σ ) et 2 σ u rho ρ = 2 σ 1 =, lorsque rho est égal à zéro, cec sgnfe que la composante de la varance du nveau de u panel (panel-level varance) est non mportante et que l estmateur de panel (panel estmator) n est pas dfférent de l estmateur de la regresson groupée (pooled estmator). Un test de rapport de vrasemblance sur le fat que rho =, est nclus en bas de la table. Ce test compare l estmateur de la regresson groupée (probt) avec l estmateur de panel. u u

212 Chaptre 4 29 plus rsquée dans ce cas (rsque de non ndemnsaton est plus mportant). Cec est relé au fat que pour les snstres mportants, la sancton (refus d ndemnsaton amende) devent assez sévère et donc dssuasve. Tands que pour les petts dommages, ou pour les cas où l assuré ne subsse pas de snstre, ce derner ne rsque perdre que le montant de l amende qu peut être néglgeable devant une fausse déclaraton mportante et garantssant une ndemnsaton en cas de non détecton. 1,2 1,8 TFM,6,4, Dommage TFM Fgure 3 : Varaton du taux de Fraude Moyen en foncton du dommage Constat 2: Un audt parfat assez fréquent permet d avor un effet dssuasf sur les fraudeurs. Ce deuxème constat llustre le sgne négatf du coeffcent de la varable F t. En effet, lorsque la procédure d audt est parfate, c est-à-dre que la détecton des fraudeurs est systématque, une augmentaton de la fréquence de contrôle ( F ) permet de dmnuer la probablté de fraude. t

213 Chaptre ,2 TFM 1,8 TFM,6,4,2,2,4,4,5,53,56,59,6,63,65,67,7,72,75,78,85 1 FM Fgure 4 : Varaton du Taux de Fraude Moyen (TFM) en foncton de la Fréquence d udt Moyenne (FM) Constat 3 : être contrôlé par l assureur en (t-1) peut encourager l assuré à frauder en t. D après le sgne postf du coeffcent de la varable CTR t (sgnfcatve à 1%), nous pouvons conclure que le fat d être contrôlé par l assureur à la pérode (t-1) peut encourager l assuré à frauder en t. En effet, ce derner révse à la basse ses croyances en ce qu concerne la vérfcaton de sa déclaraton, pusqu elle a été vérfée à la pérode précédente. Encore plus, la varable T det t est non sgnfcatve, prouvant le fat que la détecton de la fraude précédemment, n a pas d effet dssuasf sur l assuré. b/ L ampleur de la fraude : Pour l assuré, la décson de fraude révèle la prse de deux décsons successves : chosr de frauder ou non et chosr auss quel montant déclarer à l assureur. De surcroît, nous avons opté pour l étude de la régresson suvante : F t = α θ Sdom 1 t θ 2 SN t θ 3 Det t θ 4 BR t θ 5 G t ν ε t où nous étudons l ampleur de la fraude en foncton de certanes varables explcatves que nous détallons dans le tableau qu sut.

214 Chaptre Dans ce modèle ( ν ε t ) représente le résdu avec ν le paramètre ndvduel aléatore et εt la varable aléatore portant les proprétés usuelles (moyenne, non corrélée avec ellemême, non corrélée avec les varables explcatves, non corrélée avec ν et homoscédastque). Nom de la varable F t Sdom t SN t Det t BR t G t Descrpton de la varable mpleur de la fraude, représente pour chaque assuré ( = 1 6) l ampleur de la fraude à la pérode t (t = 1 17), c est-à-dre la dfférence entre la déclaraton et le dommage réellement survenu. Survenance de dommage pour l ndvdu à la pérode t. C est une varable muette (dummy) qu prend la valeur 1 s l ndvdu subt un dommage et snon. Sancton, représente la sancton relatve à cette déclaraton (refus d ndemnsaton amende). Détecton, représente une varable muette (dummy) qu prend la valeur 1 s l ndvdu a été détecté précédemment et snon. Bonus relatf, représente pour chaque assuré (honnête) le bonus relatf à sa déclaraton, lorsqu elle est contrôlée par l assureur à la pérode t (BR = en cas de fraude). BR t = Bonus Déclaraton Gan, représente le gan espéré de la fraude, pour l assuré à la pérode t. La descrpton statstque de ces varables (moyenne, écart-type, valeur maxmale, valeur mnmale) est donnée dans la table suvante : Varable Obs Mean Std. Dev. Mn Max F Sdom SN Det BR G

215 Chaptre Les résultats 2 de cette régresson sont les suvants : Random-effects GLS regresson Number of obs = 12 Group varable () : assure Number of groups = 6 R-sq: wthn =.7377 Obs per group: mn = 17 between =.7763 avg = 17. overall =.738 max = 17 Random effects u_ ~ Gaussan Wald ch2(5) = corr(u_, X) = (assumed) Prob > ch2 = F Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. nterval] Sdom SN Det G BR _cons sgma_u sgma_e rho (fracton of varance due to u_) Le modèle est globalement sgnfcatf (cf. test de Wald, Prob > ch2 =.) ans que les dfférents estmateurs. Le bonne qualté de l ajustement. 2 R (wthn, between et overall) 21 est de l ordre de,75 prouvant la Le test de Multplcateur de Lagrange pour les effets aléatores (var ( ν ) = ) de Breusch et Pagan (198) et le test de spécfcaton de Hausman (1978) 22, montrent que le modèle est ben spécfé. 2 Dans la table, on désgne par sgma_u = σ ν et par sgma_e = rho = 2 σν ρ = σ σ 2 ν 2 ε σ ε, lorsque rho =, la composante de la varance assocée au nveau de panel n est pas mportante, et l estmateur de panel ne dffère pas de l estmateur de la régresson groupée (pooled estmator). 21 Sot yt = α x t β υ εt le modèle à estmer. l ajustement dans une régresson ordnare. Les estmateurs de y y = x t / T =. t t / T et x t 2 R overall correspond à l équaton : y ˆ 2 R between correspond à l équaton : par groupe) 2 R wthn correspond à l équaton : y ˆ~ t t = α ˆ x βˆ t y ˆ = α ˆ βˆ t x 2 R représente la mesure habtuelle de la qualté de α et β sont respectvement αˆ et βˆ. (estmateur de la régresson groupée) = (ˆ y yˆ ) = ( x x ) βˆ t (estmateur nter-groupes ou estmateur des moyennes t (estmateur ntra-groupes)

216 Chaptre Breusch and Pagan Lagrangan multpler test for random effects: F[assure,t]= Xbu[assure] e[assure,t] Estmated results: Var sd = sqrt(var) F e u Test: Var(u) = ch2(1) = Prob>ch2 =. Hausman specfcaton test ---- Coeffcents ---- Fxed Random F Effects Effects Dfference Sdom SN Det G BR Test: Ho: dfference n coeffcents not systematc ch2( 5) = (b-b)'[s^(-1)](b-b), S = (S_fe - S_re) =. Prob>ch2 = 1. Les estmateurs des varables Det et G, sont de sgne postf, par contre les coeffcents des varables Sdom, SN et BR (BR est sgnfcatve unquement à 1%) présentent un sgne négatf. Nous constatons que l ampleur de la fraude dépend négatvement de la varable (Sdom). Cec soulgne l dée que l augmentaton de la déclaraton de dommage est préférable beaucoup plus pour les petts montants de snstres que pour les grands montants, à cause de l mportance de la sancton dans le second cas par rapport au premer. Lorsque l assuré ne subt pas de dommage, le fat de déclarer un montant élevé (ampleur de la fraude élevée) ne lu fat rsquer que l amende. Par contre, pour un snstre de talle relatvement mportante, la fraude devent plus rsquée, lorsqu elle est détectée (elle entraîne, en plus de l amende un refus d ndemnsaton). D où le constat 4 : Constat 4 : L ampleur de la fraude est plus élevé lorsqu l s agt de déclaraton de faux snstre que d augmentaton du montant du dommage. 22 Ces deux tests s effectuent à la sute de l estmaton du modèle. Le test de mulltplcateur de lagrange, vérfe s var ( ν ) =. Lorsque prob > ch2 =., on rejette l hypothèse nulle, ce qu confrme que ν est non corrélé avec les varables explcatves x. Ensute, le test de Breuch Pagan, permet de tester s le modèle est ben t spécfé et s l présente des résultats sgnfcatfs. l s agt de tester la dfférence entre les estmateurs du modèle à effet aléatore et ceux du modèle à effet fxe. Le modèle est ben spécfé s cette dfférence est non sgnfcatve.

217 Chaptre FM ,71 544,76 55, ,59 622, , , , , , Dommage moyen Fgure 5 : Evoluton de l ampleur de la fraude par rapport aux dommages L estmateur de la varable Det est de sgne postf. Cec ndque que, lorsque l assuré est détecté par l assureur et sanctonné en conséquence, l essae dans la pérode qu sut de récupérer sa perte (sancton). Ce qu prouve que l assureur tend à accroître sa déclaraton lorsque le gan espéré de la fraude augmente (le sgne du coeffcent de la varable G est postf). D autre part, la varable SN a un effet négatf sur la varable F. Ce résultat tradut l dée que l ampleur de la fraude dmnue lorsque la sancton applquée à l assuré augmente. D où le constat suvant : fraude. Constat 5 : L applcaton d une sancton sévère permet d atténuer l ampleur de la mpleur de la Fraude ,6 28,24 213,53 214,47 216,18 228,68 266,94 313,88 359,17 368,76 497,26 69,53 Sancton Moyenne Fgure 6 : Evoluton de l ampleur de la fraude par rapport à la sancton

218 Chaptre Enfn, le coeffcent de la varable BR (sgnfcatve à 1%) est négatf, ce qu prouve que l ampleur de la fraude dmnue lorsque l assureur s engage à verser un bonus pour un assuré honnête contrôlé. Par conséquent, récompenser les assurés honnêtes par versement d ndemnté plus généreuse en cas d audt permet d atténuer les manoeuvres frauduleuses. Ce résultat est llustré par le constat 6. Constat 6 : Récompenser les assurés honnêtes par versement d ndemnté plus généreuse, permet d atténuer l ampleur de la fraude La stratége de l assureur: a/ Décson d audt : Pour étuder la stratége de l assureur, nous devons en premer leu vérfer l optmalté de l audt aléatore, lorsque les profls d ndemnsaton et de sancton permettent de dssuader l assuré de tout comportement frauduleux. En second leu, nous mettons l accent sur la décson de fraude en foncton de certans paramètres. D après le tableau 1 et la fgure 7, c-dessous, nous remarquons que, la fréquence d audt (F) est toujours nféreur à 1. Cec prouve, que les assureurs, n ont pas eu recours à l audt détermnste (contrôle systématque des déclaratons), et ont préféré, de mener un audt aléatore. Constat 7: Les sujets optent pour l audt aléatore.

219 Chaptre Tableau 1 : Fréquence d audt dans les dfférents groupes (1.12) Round G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G9 G1 G11 G12 1,4,4,6,4,6,8,4,6,6 1 1,4 2,6,2,4,6,4,8,8,8,2,6,6 3,6,4,6,6,6 1,6,8,6,4 4,6,4,6,6,8,8,4,6,8,6,4,6 5,6,4,4,4,6,4,4,2,8,6,6,4 6,6,4,4,4 1,6,2,8,6,8,8,2 7,4,6,4,6,4,4,6,6,6,2,8,4 8,4,4,6,2,6 1,6,6,4,6 9,6,2,4,4,6,8,6,6 1,2,6,4 1,6,6,6,2,6,4,8 1,6,8,6 11,4,4,6,4,4,8,8,8 1,8,6,4 12,4,4,6,6,4,4,6,2,2,8,4,4 13,4,2,2,4,6,4,6,4,4,2,6,4 14,4,2,2,2,6,2,8,6,4,6,4,4 15,4,2,8,4,2,4,8,4,8,4,4,4 16,2,2,4,6,2,4,4,4,8,4,6 17,4,2,8,6,8,6,6,8 1,6,8,6 Fréquence d'udt F 1,2 1,8,6,4, groupe F F=1 Fgure 7 : fréquence d audt dans les dfférents groupes D après le test de Shapro et Wl (1965), la condton de normalté est volée pour la varable (F). En effet, nous rejetons l hypothèse nulle selon laquelle (F) sut la lo normale (Pr > z =.85) comme le montre la table c-dessous :

220 Chaptre Shapro-Wl W test for normal data Varable Obs W V z Pr > z F Nous optons ans, pour un test des rang sgnés de Wlcoxon 23 (1945). Sous l hypothèse H, nous admettons que les assureurs optent pour l audt détermnste. ns : H : La fréquence d audt = 1 H : La fréquence d audt 1 Les résultats de ce test (donnés dans la table suvante), montrent que nous ne pouvons accepter l hypothèse nulle. En effet, Prob > z =.. De plus la somme des rangs négatfs (F < 1) est très mportante par rapport à la somme des rangs nuls (F = 1). La somme des rangs postfs (F > 1) est nulle. Nous confrmons ben que les assureurs optent pour un audt aléatore (F < 1). Wlcoxon sgned-ran test sgn obs sum rans expected postve negatve zero all unadjusted varance adjustment for tes adjustment for zeros adjusted varance Ho: F = 1 z = Prob > z =. Pour approfondr notre analyse, nous explotons un modèle Probt, permettant d explquer la décson d audt prse par l assureur. La varable latente ( udt ) ndque la propenson à audter de l assureur ( = 1 12) à la pérode t (t = 1.17). * t * udt t est explquée par un vecteur de varables observables X, un vecteur de paramètres δ et un terme aléatore noté v t 23 Vor les détals de ce test en annexe 3.2 chaptre 3.

221 Chaptre ayant comme dstrbuton statstque la lo de Gauss (dstrbuton normale), avec une moyenne et une varance 2 σ. udt = δx v * t La varable latente udt est nobservable, mas nous pouvons observer s l ndvdu procède * t à un audt ou non. De façon plus rgoureuse, le modèle s écrt : t t udt t * 1 s udt t > = alleurs tel que udt t = 1 s l ndvdu procède à un audt et udt t = snon. Dans le tableau suvant nous présentons la sére des varables explcatves, et leurs notatons respectves : Nom de la varable Descrpton de la varable Dec Déclaraton reçue par l assureur à la pérode t. t T det t CR t Taux de détecton, représente pour chaque assuré le nombre de fraudes détectées jusqu à (t 1), dvsé par le nombre de contrôles qu lu sont effectués jusqu à (t-1). Coût d udt Relatf, représente le coût d audt supporté par l assureur à la pérode t, dvsé par le montant de la déclaraton. La descrpton statstque (moyenne, écart-type, valeur maxmale, valeur mnmale) de ces varables est donnée dans la table suvante : Varable Obs Mean Std. Dev. Mn Max Dec Tdet CR La varable Dec t permet d étuder l effet de l ndemnté d assurance sur la décson d audt. La varable T det t représente un ndce de confance pour l assureur qu reflète le comportement de fraude de l assuré. Et enfn, la varable l assureur réagt face aux coûts d audt. CR t permet de juger comment

222 Chaptre Les résultats de l estmaton du modèle sont résumés dans le tableau suvant : Random-effects probt Number of obs = 12 Group varable () : ssureur Number of groups = 6 Random effects u_ ~ Gaussan Obs per group: mn = 17 avg = 17. max = 17 Wald ch2(3) = Log lelhood = Prob > ch2 = udt Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. nterval] Dec Tdet CR _cons /lnsg2u sgma_u rho Lelhood rato test of rho=: ch2(1) = Prob > ch2 =. L estmaton montre que le modèle est globalement sgnfcatf (cf. test de Wald, prob > ch2 =.) ans que les coeffcents des dfférentes varables explcatves. Nous pouvons en retrer les constatons suvantes : Constat 8 : L audt devent systématque pour les grandes déclaratons. Ce constat soulgne l dée que la probablté d audt dépend postvement du montant de la déclaraton du dommage. En effet, pour les dommages mportants l audt devent systématque dans la mesure où une déclaraton mportante sgnfe un remboursement d ndemnté mportante. Par conséquent, l assureur décde de procéder à un contrôle lorsqu l estme que le montant à rembourser est assez élevé. C est ce qu explque le sgne postf du coeffcent de la varable Dec.

223 Chaptre 4 22 Fréquence d'audt / déclaraton F 1,2 1,8,6,4,2 944,44 128,7 161,7 1253,6 1311,5 1379,5 1411,5 1447,1 153,3 1814,7 1845,4 4564,9 déclaraton F Fgure 8 : Varaton de la Fréquence d audt en foncton des déclaratons de dommages confance. Constat 9 : L audt est plus sallant pour les assurés auxquels l assureur fat mons Ce constat tradut l hypothèse que lorsque le taux de détecton de la fraude augmente, sute à une augmentaton du taux de fraude, l assureur augmente la probablté de contrôler (pusqu l ne fat plus confance en cet assuré). Ce qu ndque le sgne négatf du coeffcent de la varable Tdet (sgnfcatf à 1%). Plus précsément, lorsque sur un certan nombre de pérodes, le taux de détecton des déclaratons frauduleuses contrôlées augmente, l assuré en queston prend une mauvase réputaton (fraudeur) et son assureur ne fat plus confance en lu. l dot par conséquent accroître la probablté de le contrôler. Enfn, le coeffcent de la varable CR (coût d audt relatf) est de sgne postf. On s attend normalement à ce que ce coût d audt at un effet négatf sur la décson d audt. Toutefos, tout en ayant comme objectf la maxmsaton de ses gans, l assureur se trouve très souvent devant l mpossblté de pouvor mnmser ces coûts. En effet, lorsque le taux de la fraude augmente, l est beaucoup plus bénéfque pour l assureur de vérfer les déclaratons des assurés et supporter ans des coûts, que de rembourser des ndemntés non mértés sans les contrôler. Ce comportement se manfeste surtout pour les déclaratons de montants élevés. Par contre, pour les pettes déclaratons, le coût de l audt est parfos plus élevé que l ndemnté. Dans ce cas, même s l assureur est sûr qu l s agt d une déclaraton frauduleuse, l décde de n engager aucune actvté de contrôle. Du coté des assurés, on a remarqué que pluseurs d entre eux, font des déclaratons de montant très proche du coût d audt (mas tout en étant nféreur). Ce résultat se résume dans le constat suvant :

224 Chaptre Constat 1: La probablté d audt est mons élevée pour les petts dommages (dont le montant est nféreur au coût d audt), ben que le taux de fraude sot plus élevé (par rapport aux dommages de montant élevé). b/ La fréquence de l audt : Pour meux étuder l actvté de l audt, nous avons utlsé la régresson par GLS suvante, où nous explquons la fréquence d audt, à l ade de certanes varables explcatves (le taux de fraude détectée, l ndemnté d assurance, le coût de l audt et le gan de l assureur). Sot le modèle suvant : F = α α TFD α Sdec α C α G w t 1 2 t 3 t 4 t 5 t t La lste des varables ncluses dans ce modèle est représentée dans le tableau suvant : Nom de la varable F t Sdec t C t G t w t Descrpton de la varable Fréquence d udt pour l assureur ( = 1 12) à la pérode t (t = 1 17). Nombre d' assurés contrôlés par l'assureur à la pérode t F t = Nombre de déclarato ns reçues par l'assureur à la pérode t La somme des ndemntés à payer par l assureur à la pérode t, s l ne procède pas à une vérfcaton des déclaratons. Coût d udt total, représente ce que coûte à l assureur les contrôles effectués à la pérode t. Gan fnal de l assureur à la pérode (t-1) Terme d erreur Dans ce modèle ( w = ν u ) représente le résdu, composé d un paramètre ndvduel t t aléatore ( ν ) et d une varable aléatore ( u t ) portant les proprétés usuelles (moyenne, non corrélée avec elle-même, non corrélée avec les varables explcatves, non corrélée avec le paramètre ndvduel et homoscédastque). La descrpton statstque (moyenne, écart-type, valeur max, valeur mn) des dfférentes varables explcatves est donnée dans la table c-dessous : Varable Obs Mean Std. Dev. Mn Max F Sdec C G

225 Chaptre Les résultats de l estmaton par GLS sont résumés dans le tableau suvant : Random-effects GLS regresson Number of obs = 24 Group varable () : ssureur Number of groups = 12 R-sq: wthn =.383 Obs per group: mn = 17 between =.8998 avg = 17. overall =.5675 max = 17 Random effects u_ ~ Gaussan Wald ch2(3) = corr(u_, X) = (assumed) Prob > ch2 = F Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. nterval] Sdec e C G e e _cons sgma_u sgma_e rho (fracton of varance due to u_) L estmaton montre que le modèle est globalement sgnfcatf (cf. test de Wald, Prob > ch 2 =.) et que les dfférentes varables explcatves ont un effet sgnfcatf sur la varable à explquer. Le 2 R ntergroupe (between) et le 2 R de la régresson groupée (overall), sont respectvement égaux à.8998 et.5675, ce qu soulgne la bonne qualté de l ajustement. Le test de Multplcateur de Lagrange pour les effets aléatores (var ( ν ) = ) de Breusch et Pagan (198) et le test de spécfcaton de Hausman (1978), montrent qu l n exste pas de dfférence sgnfcatve entre les estmateurs du modèle à effet fxe et celu à effet aléatore. Cec prouve que notre modèle est ben spécfé. Breusch and Pagan Lagrangan multpler test for random effects: F[ssureur,t]=Xbu[ssureur]e[ssureur,t] Estmated results: Var sd = sqrt(var) F e u Test: Var(u) = ch2(1) = Prob>ch2 =. Hausman specfcaton test ---- Coeffcents ---- Fxed Random F Effects Effects Dfference Sdec e-6 C G 8.61e e-6 Test: Ho: dfference n coeffcents not systematc ch2(3)=(b-b)'[s^(-1)](b-b), S =(S_fe - S_re) =. Prob>ch2 = 1.

226 Chaptre La varable Sdec a un effet postf sur la varable F. Ce qu prouve que lorsque l assureur estme que le montant d ndemnté d assurance à rembourser est assez élevé, l augmente la fréquence d audt, dans le sens où l est plus ntéressant à lu, de supporter des coûts d audt que de rembourser des ndemntés mportantes. C est ce qu explque auss l effet postf des varables C (coût d audt) et G (gan de l assureur en fn de pérode) sur la fréquence de l audt. Nous constatons que malgré la hausse des coûts, l assureur contnue à augmenter la fréquence de contrôle. Cec ndque que pour les déclaratons élevées, l assureur trouve plus opportun de les vérfer (supporter des coûts d audt en conséquence) que de les rembourser sans contrôle. D où le constat 11 : Constat 11 : La fréquence d audt est crossante en foncton de l ndemnté d assurance versée en cas de non audt Confrontaton des résultas expérmentaux et des hypothèses théorques: Nous vsons dans ce paragraphe à précser comment les constatons emprques ssues de la parte expérmentales, permettent de valder les prédctons théorques de notre modèle théorque. Nous procédons dans un premer temps, à dresser un tableau récaptulant les dfférents résultats, et dans un deuxème temps, à exposer les dfférentes nterprétatons Tableau récaptulatf : Constats 7 Résultats emprques Les sujets optent pour un audt aléatore. Propostons Résultats théorques 3 Etre contrôlé par l assureur en (t-1) peut encourager l assuré à frauder en t. Prop 1 ) L audt aléatore est optmal 9 L audt est plus sallant pour les assurés auxquels l assureur fat mons confance.

227 Chaptre Récompenser les assurés honnêtes par versement d une ndemnté plus généreuse permet d atténuer l ampleur de la fraude. Prop 1 Prop 2 ) ndemnté plus généreuse en cas d audt ssurance complète en cas d audt et contrat de franchse en cas de non audt 1 Les assurés ont tendance à frauder mons lorsqu ls font face à des dommages de talle mportante. 2 Un audt parfat assez fréquent permet d avor un effet dssuasf sur les fraudeurs. 4 L ampleur de la fraude est plus élevée lorsqu l s agt de déclaraton de faux snstre que d augmentaton du montant du dommage. Corollare 1 Sancton élevée et audt mons fréquent 5 L applcaton d une sancton sévère permet d atténuer l ampleur de la fraude. 8 L audt devent systématque pour les grandes déclaratons 1 11 La probablté d audt est mons élevée pour les petts dommages (dont le montant est nféreur au coût d audt) ben que le taux de fraude est plus élevé (par rapport aux dommages de montant élevé). La fréquence d audt est crossante en foncton de l ndemnté d assurance versée en cas de non audt. Prop 3 La fréquence d audt est foncton crossante et concave de l ndemnté d assurance versée en cas de non audt Les constatatons expérmentales sont-elles conformes aux prédctons théorques? : L dée centrale de cette analyse est de défnr la procédure d audt optmale permettant de dssuader la fraude. Notamment, l s agt de mettre l accent sur l ndemnté optmale à verser

228 Chaptre aux assurés, sur la fréquence d audt optmale utlsée par l assureur et sur la sancton optmale applquée aux fraudeurs. Ce paragraphe a pour but de confronter les prédctons théorques et les constatatons expérmentales afn de donner une caractérsaton plus spécfque au contrat d assurance optmale. Cette synthèse est dchotomsée en deux partes fondamentales : La premère s ntéresse à défnr l ndemnté d assurance optmale, dans un contexte de fraude et d audt aléatore parfat. La seconde, concerne la caractérsaton de la poltque d audt optmale - fréquence d' audt permettant de dssuader la fraude. - Sancton a) Quelle ndemnté d assurance offrr? l s agt à ce nveau d admettre deux résultats majeurs : Le premer résultat majeur, concerne le fat que le versement d une ndemnté plus généreuse en cas d audt, est nctatf à l honnêteté [proposton 1, ()]. Le contrat d assurance optmal est l assurance complète en cas d audt et l assurance avec franchse crossante, en cas de non audt (proposton 3). L dée que nous exposons c, consste à récompenser les assurés honnêtes par un bonus, pour avor vérfer leurs déclaratons (constat 6). Cec permet de les dstnguer de l ensemble des fraudeurs. Le deuxème résultat majeur, stpule que la fréquence d audt est crossante en foncton de l ndemnté d assurance versée en cas de non audt (proposton 2). Cec soulgne l dée que l assureur est ncté à contrôler plus fréquemment les déclaratons, lorsque le coût d ndemnsaton augmente (constat 1). Notamment, pour les dommages de talle mportante, l audt devent systématque (constat 8). b) Quelle est la poltque d audt optmale? L hypothèse centrale qu dstngue cette étape de l analyse, est que l audt aléatore est optmale [proposton 1, ()]. D alleurs, cette proposton a été plenement vérfée par le constat 7, où nous dstnguons que les sujets de notre expérence optent pour l audt aléatore : d une part, l audt systématque peut ncter à la fraude (constat 3), et d autre part l audt aléatore permet de fare face aux assurés auxquels on fat mons confance (constat 9).

229 Chaptre Une deuxème réflexon majeure concerne l arbtrage entre la sancton à adopter pour pénalser les fraudeurs et la fréquence d audt qu lu est assocée pour les dssuader. En effet, l assureur peut avor le chox entre deux poltques : d une part, l peut utlser une sancton très sévère et dmnuer la fréquence d audt, et d autre part, l peut adopter une sancton plus lmtée mas tout en augmentant la fréquence de contrôle (corollare 1). Cette hypothèse a été plenement confrmée par les constats expérmentaux. La probablté de fraude dmnue lorsque les dommages sont de talle mportante (constat 1). De surcroît, l ampleur de la fraude est plus élevée lorsqu l s agt de déclaraton de faux snstre que d augmentaton du montant du dommage (constat 4). Cec est relatf au fat que la sancton applquée par l assureur devent plus sévère (refus d ndemnsaton amende), lorsque le montant de la déclaraton augmente (constat 5).

230 Chaptre Concluson générale : Pluseurs manœuvres frauduleuses permettent aux assurés de trer des gans llégtmes. Nous consdérons une classfcaton en dstnguant les deux classes de fraude suvantes : La déclaraton d un faux snstre ; L exagératon du montant du dommage. Pour combattre cette fraude, l assureur dot s engager dans une procédure d audt crédble. La procédure d audt optmale est la procédure aléatore. l s agt de chosr la fréquence d audt pertnente pour dssuader la fraude. Cette fréquence d audt est dépendante de l ampleur du dommage déclaré. Par conséquent, les déclaratons de talle mportante sont plus fréquemment contrôlées. lternatvement, l assureur a la possblté de décroître la fréquence de contrôle, et applquer en contreparte, une sancton très sévère aux fraudeurs. Expérmentalement, nous avons montré que cette poltque est effcace en matère de dssuason. Pour ncter les assurés à être honnêtes, l assureur verse des ndemntés plus généreuses en cas d audt. Plus précsément, l s agt de récompenser les assurés honnêtes pour avor vérfer leurs déclaratons. Cette analyse concerne le paradgme d «état de vérfcaton coûteuse», selon lequel, la fraude ne génère pas de fras pour l assuré. Par contre, le contrôle des déclaratons, fat supporter à l assureur un coût. De plus, l audt est supposé parfat, de sorte que la fraude sot systématquement détectée. l est encore mportant d ntégrer dans cette étude, la possblté pour l assuré d engager des fras pour frauder. Cela, lu permet de rendre l actvté d audt plus dffcle, de sorte que l assureur n arrve pas à détecter la fraude avec certtude. Ce paradgme est connu sous la dénomnaton d «état de falsfcaton coûteuse». Cette réflexon fat l objet du chaptre suvant.

231 Chaptre nnexe 4.1 Maxmser EU = Sous Contrantes: P n = n = q { λ ) U(W P x )) (1 λ )) U(W P x } )) { λ )[ C )] (1 λ )) )} q (CP) { λ ) U(W P x )) (1 λ ))U(W P x ))} { λ(d ) U(W P x S) (1 λ(d ))U(W P x (d ))} pourtoutd > x dans { x,x,...,x } (C) { λ ) U(W P x )) (1 λ ))U(W P x ))} { λ ) U(W P x S) (1 λ ))U(W P x ))} pourtout x > x dans 1 n { x,x,...,x } (C) 1 n Le Lagrangen pour ce programme s écrt sous la forme suvante : L = n = q n θ P q = n { λ ) U(W P x )) (1 λ ))U(W P x } )) { λ )[ C )] (1 λ )) } 1 ) = n θ 2 n { λ( x ) U(W P x )) (1 λ ))U(W P x ))} { λ(d ) U(W P x S) (1 λ(d ))U(W P x (d ))} = = 1 θ 3 { λ( x ) U(W P x )) (1 λ ))U(W P x ))} { λ ) U(W P x S) (1 λ ))U(W P x ))} θ, θ θ 1 2, 3 sont les multplcateurs de Lagrange. Les condtons de premer ordre s écrvent :

232 Chaptre = θ = θ = θ = λ = = (6) L (5) L (4) L (3) L (2) L (1) L [ ] [ ] q q )) x P U'(W q )) x P U'(W q ) q )) x P U'(W ) ) q )) x P )U'(W ) q )) x P )U'(W q (1) θ θ = = θ θ λ = θ λ θ λ = λ θ λ θ λ [ ] )) x P U'(W q )) x P U'(W )) x P U'(W )) x P U'(W q q q )) x P U'(W )) x P U'(W q )) x P U'(W q )) x P )]U'(W [1 )) x P )]U'(W [1 )] [1 q )) x P )]U'(W [1 q (2) θ θ = θ θ θ θ = θ =θ θ = λ θ λ θ λ θ λ { } [ ] { } { } { } [ ] { } { } [ ] { } ) x P U(W S) x P U(W q ) ) C q q )) x P U(W )) x P U(W ) x P U(W S) x P U(W ) ) C q )) x P U(W )) x P U(W ] [q ) x P U(W S) x P U(W )) x P U(W )) x P U(W ) ) C q )) x P U(W )) x P U(W q (3) θ θ θ θ = θ θ = θ θ θ θ [ ] { } = λ λ = n ) )) (1 ) C ) q P 4) (

233 Chaptre 4 23 { } { } B ) (d. ) )) x P U(W )) x P U(W )) x P U(W )) (d x P U(W )) x P U(W )) x P U(W )) (d x P U(W S) x P U(W ) (d ) )) (d x P ))U(W (d (1 S) x P ) U(W (d )) x P ))U(W (1 )) x P ) U(W (5) λ = λ = λ λ λ λ = λ λ { } { } B' ) '. ) )) x P U(W S) x P U(W )) x P U(W )) x P U(W )) x P U(W S) x P U(W )) x P U(W )) x P U(W ) ) )) x P ))U(W (1 S) x P ) U(W )) x P ))U(W (1 )) x P ) U(W (6) λ = λ = λ λ λ λ = λ λ

234 Chaptre nnexe 4.2 : Preuve de la proposton 1 24 Preuve de () : λ( x ) < 1 pour tout x s on a : { λ x ) U(W P x )) (1 λ ))U(W P x ))} > U(W P x S) ( ppelons cette condton C : cette condton sgnfe que l utlté espérée de l assuré en cas de non fraude et quand l est possble pour l assureur de contrôler la déclaraton de dommage est supéreure à son utlté lorsqu l subt un snstre et l est sanctonné. Ecrvons : V ) = { λ ) U(W P x )) (1 λ )) U (W P x ))} Montrons tout d abord que s cette condton n est pas étable alors la stratége d audt optmale est détermnste (Townsend, 1979). utrement dt, s la condton C est vérfée λ. alors x ) {,1} pour tout x X ( Pour cec, supposons que la condton C n est pas vérfée lorsque la stratége d audt est détermnste ( λ ( x ) = 1 pour tout x ). Supposons auss que C n est pas vérfée à l optmum : (*). Sot x' X, tel que V * ') = U(W P x' S) S ") * > Spour x" dans X, alors λ *") = 1. lleurs la contrante d nctaton n est pas * vérfée pour x = x' et d = x". ns, on peut consdérer que ) = S pour tout x. Le contrat optmal{ λ*, * } maxmse : EU = S/ C q P ) S n = { λ )U(W P x )) (1 λ ))U(W P x S) } n = q et { λ )[ ) C] (1 λ ))S} λ ) 1 pour tout x X Sot θ le multplcateur de Kuhn Tucer ; les condtons de 1 er ordre s écrvent : (1) L q λ λ [ U'(W P x )) θ] = ) = )U'(W L (2) = λ ω ) = U(W P x P x )) q λ ) θ = )) U(W P x S) θ [ ) C S] = 24 Cette démonstraton est nspré de celle de Fagart et Pcard (1999).

235 Chaptre avec ω ) s λ ) = ω ) = s < λ ) < 1 ω ) s λ ) = 1 pour tout x D après le résultat de (1), on peut écrre que X où T est une constante telle que T x > S s λ ). On obtent : ω x ) = U'(W sot xˆ tel que P x S) U'(W ) = T x pour tout x tel que λ ) >, > P T) > ω ( xˆ) = avec xˆ > S T. S x > xˆ, on a ω ( x ) >, ce qu mplque que λ ( x ) = 1. S x < xˆ, alors ω( x ) < et λ ( x ) =. De plus, on a ω ( ) <, ce qu mplque que xˆ >. Chosr λ ( x ) = 1, lorsque x > xˆ et λ( x ) = s x xˆ est optmal. Nous avons ans montré, que lorsque s la condton C n est pas étable alors la stratége d audt optmale est détermnste. Prouvons mantenant que la stratége d audt optmale est aléatore λ( x ) < 1 pour tout x X Supposons que pour un contrat d assurance, on a { a,...,a } X λ ( x ) = 1 pour tout x dans 1 2, avec a 1 < a 2. Sot : un deuxème contrat d assurance défne par { (.), (.), λ (.)} Nous supposons que est confondu avec lorsque x { a,..., a } ) = ) = ) Cπ et λ ) = 1 π s x { a 1,..., a 2 }. est compatble avec la contrante d nctaton. De plus, le contrat génère le même coût espéré que le contrat. 1 2 et que Le contrat procure une utlté plus grande (nvarable) que le contrat, lorsque x { a,..., a }( ( x { a,..., a }) Ce qu contredt le fat que est le contrat optmal. Preuve de () ) > ) pour tout x tel que λ( x ) D après les résultats de (1) et (2) on a : >

236 Chaptre U'(W U'(W P x P x De plus on sat que : q et θ 3 θ 2 U'(W > θ1q )) = q θ )) = U'(W P x donc on peut écrre que : 2 P x )) > U' (W P x )) > U' (W P x θ3 )) q θ )) 2 U'(W P x La foncton d utlté U étant du type Von-Neumann Morgenstern avec U > et U <, nous obtenons ans, le résultat suvant : U(W P x )) < U(W P x et par conséquent : ) ) < )) En cas d honnêteté de l assuré, l assureur dot lu verser un bonus s l lu vérfe sa déclaraton. )) Preuve de () s λ( d ) > pour une déclarato n d alors l exste un dommage x tel que : { λ ) U(W P x )) (1 λ ))U(W P x ))} = { λ(d ) U(W P x S) (1 λ(d ))U(W P x (d ))} Cette proposton sgnfe que lorsque la probablté d audt assocée à une déclaraton d est postve, alors l exste un dommage x tel que l assuré est ndfférent entre frauder et déclarer la vérté. utrement dt, la contrante d nctaton est saturée. Supposons que pour un contrat d assurance optmal, on a λ( d ) > et que : { λ ) U(W P x )) (1 λ ))U(W P x ))} > { λ(d ) U(W P x S) (1 λ(d ))U(W P x (d ))} pour toute déclaraton d { a,...,b} X aveca < b Sot un contrat défn par { (.), (.), (.)} et tel que : ) = ), et pour tout snstre x X. ) = λ et qu est confondu avec lorsque x { a,..., b} ) ε ), λ ) = λ ) µ ) s x { a,..., b}

237 Chaptre λ ( > µ > ε = η µ avec x ) ) x { a,..., b} et ) ( ), x ) η µ ) S x ) ( [ ) C )] 1 λ ) µ µ est suffsamment pette pour tout x { a,..., b} contrante d nctaton. De plus pour tout { a,..., b} x on a :, avec [ ) C] [ 1 λ )] ) = λ )[ ) C] [ 1 λ )] ) λ ( x ) et par conséquent et génèrent le même coût. Sot :, alors est compatble avec la [ 1 λ ) µ ] U( W P x ) η( µ, x )) [ λ ) µ ] U( W P x )) V( µ ), x ) = représente l utlté espérée d un assuré avec le contrat. V µ µ= ( P x )) U( W P x )) [ ) C )] U' ( W P x )) > = U W ns, on peut chosr une foncton x ) µ qu est postve et contnue sur { a,..., b} l utlté espérée d un assuré honnête crot lorsque x { a,..., b} contrat est optmal. ( telle que, ce qu contredt le fat que le

238 Chaptre nnexe 4.3 : Preuve de la proposton 2 preuve du lemme 1 : Sot xˆ la déclaraton de snstre pour laquelle l assuré aura la plus pette ndemnté. Nous écrvons ans : ˆ) nf{, ), x X} Supposons qu on a : U(W P = (1) ˆ )) (1 λ ))U(W P )) λ )U(W x X (2) P S) Le terme à gauche de l négalté, représente l utlté de l assuré en cas où l ne subt pas de snstre et l reçot la plus pette ndemnté, et la parte de drote représente l espérance d utlté de l assuré fraudeur qu déclare un snstre x alors qu l n a pas sub de dommage. U est CR. La condton (2) peut ans s écrre : U(W P x D après (1) et (2) : ˆ )) (1 λ ))U(W P x j x, x j X avec x )) λ )U(W j j x { λ ) U(W P x )) (1 λ )) U (W P x ))} j (3) pour tout x dans P x U(W S) P x d où toutes les contrantes d nctaton sont vérfées. { x, x,..., x } (4) L négalté (4) tradut le fat que l espérance d utlté de l assuré honnête est supéreure à son utlté dans le cas où l reçot la plus pette ndemnté, et qu est elle-même supéreure l espérance d utlté de l assuré fraudeur. Preuve de la proposton 2 : Le nouveau programme d optmsaton P2 s écrt ans : L = n = q n θ P q = θ { λ ) U(W P x )) (1 λ ))U(W P x } )) { λ )[ C )] (1 λ )) } 1 ) { (W P ˆ )) (1 λ ))U(W P )) λ )U(W P S) } 2 U l assureur chost la probablté d audt de façon à saturer la contrante d nctaton. ns : (W P ˆ )) = (1 λ ))U(W P )) λ )U(W P S) U 1 n ˆ))

239 Chaptre U(W P )) U(W P ˆ )) λ ) = U(W P )) U(W P S) U'(W P λ ) = ))[ U(W P ˆ )) U(W P S) ] [ U(W P )) U(W P S) ] ' > 2 λ ' > donc λ(.) est crossante en foncton de λ ' ' < donc λ(.) est concave. Plus l assureur ndemnse en cas de non audt, plus l a ntérêt à augmenter la probablté d audt.

240 Chaptre nnexe 4.4 Preuve de la proposton 3 : ndemnté optmale ndemnté optmale en cas d audt : Commençons par écrre les condtons de premer ordre du nouveau programme P2 : L et = q λ )U' (W U' (W U' (W U(W U(W q λ )U' (W P x P x P x P x P x P x )) )) )) )) = = = θ U(W U(W 1 = U' (W )) θ q λ ) = )) = θ q λ ) P) P x P x (1) )) =... = U' (W )) =... = U(W 1 1 P x P x n n n )) n )) = θ 1 L assurance complète est ans optmale en cas d audt L = q (1 λ ))U' (W P x )) θ q (1 λ )) 1 θ (1 λ ))U' (W 2 P )) = U' (W P x )) = θ 1 θ q 2 U' (W P )) U' (W P x )) = (1) et (2) prouvent que > U' (W P x )) θ q 2 U' (W P )) (2) L ndemnté d assurance en cas d audt est plus mportante que l ndemnté d assurance en cas de non audt. ndemnté optmale en cas de non audt : Pour un snstre { x, x,..., x } x, la contrante d nctaton s écrt : 1 n { λ ) U(W P x )) (1 λ ))U(W P x ))} { λ(d ) U(W P x S) (1 λ(d ))U(W P x (d ))} pourtoutd > x dans Pour un snstre x 1, la contrante d nctaton s écrt : { x,x,...,x } (C) 1 n

241 Chaptre { λ 1) U(W P x 1 1)) (1 λ 1))U(W P x 1 1)) } { λ(d ) U(W P x S) (1 λ(d ))U(W P x (d ))} 1 1 pourtoutd 1 1 > x 1 dans { x,x,...,x } (C) Sot d* la melleure déclaraton mensongère pour un snstre x alors on a : { λ (d*)u(w P x SL ) (1 λ(d*))u(w P x (d*))} { λ(d ) U(W P x S) (1 λ(d ))U(W P x (d ))} * { x, x..., x } d 1 2, n Sot d** la melleure déclaraton mensongère pour un snstre x 1alors on a : { λ(d**)u(w P x 1 S) (1 λ(d**))u(w P x 1 (d**))} { λ(d 1) U(W P x 1 S) (1 λ(d 1))U(W P x 1 (d 1)) } * * { x, x..., x } d 2 3, n 1 1 n 1 Deux cas se présentent : 1 er cas : d** = d* Ce premer cas se tradut par le fat que la melleure déclaraton mensongère est la même pour deux états de pertes consécutfs x et x 1. Cette éventualté permet d avor : EU(d*) = EU(d **) { λ(d*)u(w P x S) (1 λ(d*))u(w P x (d*))} = { λ(d **)U(W P x S) (1 λ(d**))u(w P x (d**))} 1 1 pour d * * = d* = d on a (d * *) = (d*) = (d) λ(d * *) = λ(d*) = λ(d) cec nous donne < EU(d*) pour tout 1 EU (d * *) x > x or d après la contrante d nctaton on a : EU (d*) EU ) pour tout d* > L assureur chost la probablté d audt de façon à saturer la contrante d nctaton. On peut alors écrre : { λ ) U(W P x )) (1 λ ))U(W P x ))} = { λ(d*)u(w P x S) (1 λ(d*))u(w P x (d*))} x { λ 1) U(W P x 1 1)) (1 λ 1))U(W P x 1 1)) } = { λ(d*)u(w P x S) (1 λ(d*))u(w P x (d*))} 1 1

242 Chaptre on a ans : EU(d*, x 1) < EU(d*, x) EU) = EU(d*, x) EU 1) = EU(d*, x 1) on peut alors conclure que EU 1) EU) < Essayons mantenant de formuler ce problème comme étant le chox entre des loteres, Lotere L** 1 λ λ * * W P x 1 S W P x 1 C saturée : L * * L 1 (d*) λ( x 1) Lotere L1 λ ) 1 1 W P x 1 1) W P x 1 1) Lotere L* λ * 1 λ C saturée : * L * W P x S W P x L (d*) λ( x ) Lotere L λ ) 1 W P x W P x ) ) (d * *) = (d*) = (d) Pour le système, la lotere L** L*. λ(d * *) = λ(d*) = λ(d) On a ans : L** L* L* ~L L** ~L1 et par conséquent L1 L (d après l axome de transtvté

243 Chaptre 4 24 W P x ) W P x 1 1) λ ( x ) λ( x 1) Lotere L domne Lotere L1 λ ) 1 λ 1) 1 W P x ) W P x 1 1) 2eme cas : s d** d* Hypothèses : d* est la melleure déclaraton mensongère pour l état d** est la melleure déclaraton mensongère pour l état 1 d * * d * d** domne d* pour l état 1, pusque d** est la melleure déclaraton mensongère pour l état 1 d* domne d** pour l état, pusque d* est la melleure déclaraton mensongère pour l état. on a donc : (1) { λ ) U(W P x )) (1 λ ))U(W P x ))} = { λ(d*)u(w P x S) (1 λ(d*))u(w P x (d*))} (2) { λ 1) U(W P x 1 1)) (1 λ 1))U(W P x 1 1)) } = { λ(d**)u(w P x S) (1 λ(d**))u(w P x (d**))} 1 et encore (d** domne d* pour l état 1): (3) { λ(d **) U(W P x 1 S) (1 λ(d **)) U (W P x 1 (d **))} > { λ(d*) U(W P x S) (1 λ(d*)) U (W P x (d*))} (4) { λ(d*) U(W P x S) (1 λ(d*)) U (W P x (d*))} > { λ(d **) U(W P x S) (1 λ(d **)) U (W P x (d*))}

244 Chaptre W P x S W P x S λ * λ * * Lotere L* est préférée à Lotere L** 1 λ * 1 λ * * W P x (d*) W P x (d * *) (1) P x S P x S W 1 λ * * λ * Lotere L1** est préférée à Lotere L1* 1 λ * * 1 λ * W W 1 P x 1 (d * *) W P x 1 (d*) (2) D après l axome de contnuté et de transtvté de VNM, s on ajoute la même quantté postve ( x 1 x ) à chacune des conséquences et pour les deux loteres, on dot conserver les préférences : (2) permet d avor : W P x S W P x S λ * * λ * Lotere L1** est préférée à Lotere L1* 1 λ * * 1 λ * W P x (d * *) W P x (d*) (3) (3) contredt (1) donc on conclut que : l exste une seule melleure déclaraton mensongère pour les deux états et 1. c est-à-dre : d** = d* et d* > x1 car l s agt d une déclaraton mensongère. Résumons nos résultats : ) l exste une seule melleure déclaraton mensongère pour les états et 1 ) λ x ) < λ ) ( 1

245 Chaptre ) ) x = 1) x 1 d après CO (1) v) La lotere L domne la lotere L1 W P x ) W P x 1 1) λ ( x ) λ( x 1) Lotere L domne Lotere L1 λ ) 1 λ 1) 1 W P x ) W P x 1 1) Nous pouvons ans conclure que : ) x > 1) x 1 l ndemnté d assurance en cas de non audt est le contrat de franchse. chaque déclaraton de snstre x X est assocée une franchse f telle que f < f <... < f... < f. 1 En effet : f ) x f < f 1 > ) x 1 > 1 n ) x 1 f 1 ) x 1 Par récurrence, on prouve que f < f <... < f... < f 1 n

246 nnexe 4.5. Les nstructons : Vous partcpez à une expérmentaton en économe. Lors de cette sesson, vous allez gagner une certane somme d argent. Vos gans dépendent de vos décsons. Cette rémunératon comprend deux éléments : une partcpaton forfatare de 8 à laquelle s ajoute une prme lée à votre performance. Cette prme est proportonnelle à la moyenne des captaux détenus à la fn de chaque pérode. Les gans fnaux seront comprs entre 1 et 2. Cette sesson comprend 17 pérodes. Votre groupe est composé de 6 partcpants : un assureur et 5 assurés ssureur ssuré5 ssuré1 ssuré4 ssuré2 ssuré3 Les rôles d assureur ou d assuré seront affectés aléatorement. Vous garderez les mêmes rôles et vous jouerez avec les mêmes personnes durant ces 17 pérodes. Les assurés : On suppose que vous êtes proprétare d un ben d une valeur de 5. Vous êtes ans confronté à des stuatons de rsques qu vous oblgent à souscrre auprès de votre assureur, et contre paement d une prme, un contrat d assurance multrsque qu vous ndemnse en cas de dommage. 243

247 chaque pérode, vous avez une chance sur 3 de subr un dommage dont la valeur est comprse entre 1 et 5. Le schéma suvant llustre les dfférentes possbltés auxquelles vous serez confrontés. 2/3 Non Dommage 1/3 1/1 Dommage 1/1 1 1/1 5 Vous dsposez d un captal ntal de 1 à chaque pérode. Le contrat d assurance qu on vous propose est l assurance complète : l assureur vous rembourse le montant de dommage exact que vous avez sub. Pour être assuré, vous devez payer une prme de 6 à chaque pérode. Une fos le dommage survenu, vous devez déclarer cette perte à l assureur. Vous avez la possblté de frauder de deux manères dfférentes : sot vous déclarez un dommage qu n a jamas eu leu (par exemple, votre dommage est nul et vous déclarez 15 ) sot vous augmentez le montant du dommage sub (par exemple votre dommage est de 1 et vous déclarez 4 ) (ttenton : votre déclaraton ne dot pas dépasser 5 [la valeur du ben assuré], elle dot être comprse entre 1 et 5 ) L assureur : Vous êtes un assureur de cnq clents. Vous dsposez d un captal ntal de 3. Vous devez rembourser les dommages déclarés par les assurés et en contre parte vous recevez les prmes d assurance sot 3 (5*6). 244

248 Sachant que les assurés peuvent frauder, vous avez la possblté de les contrôler. utrement dt vous pouvez vérfer s la déclaraton fate par l assuré correspond ben à son dommage réel. Toutefos cette procédure de contrôle est coûteuse. Le coût de vérfcaton est dépendant de l ampleur du dommage déclaré : Coût d audt 4 8 Déclaraton < 1 =1 (ttenton : l est nutle de contrôler une déclaraton nulle) En cas de détecton de la fraude vous pouvez sanctonner l assuré fraudeur : vous ne lu remboursez pas sa perte et vous lu fates payer une amende en plus : Déclaraton < 1 =1 mende 5 2 Objectf de chaque pérode : u début de la sesson, l ordnateur vous affecte aléatorement l un des deux rôles (assuré ou assureur). Pour les assurés, au début de chaque pérode, vous devez payer la prme d assurance (6 ), et l ordnateur vous ndque le dommage que vous avez sub. Vous devez par la sute fare votre déclaraton de snstre. De plus vous avez la possblté de frauder. Votre déclaraton est susceptble d être contrôlée par votre assureur. S vous êtes fraudeur et que votre assureur vous a contrôlé, vous serez oblgatorement sanctonné. S vous êtes fraudeur et non contrôlé vous recevrez l ndemnté correspondante à votre déclaraton et aucune pénalté ne vous sera applquée. S vous êtes honnête, vous recevrez votre ndemnté d assurance (remboursement de votre dommage) un bonus (5 ) Pour l assureur, au début de chaque pérode vous recevez les déclaratons de snstre des cnq assurés. Vous décdez de menez les contrôles qu vous parassent pertnents. fn de vérfer s les déclaratons correspondent ben aux dommages effectfs, vous pouvez contrôler de à 5 assurés. N oublez pas que pour chaque contrôle vous supportez un coût. 245

249 Déroulement de la sesson : ssuré 1 : Son captal ntal est de 1 Paye la prme 6 Subt un dommage (, 5) Fat sa déclaraton (avec possblté de fraude) ssuré 2 : K= 1 Prme 6 Dommage ssuré 3 : K= 1 Prme 6 Dommage ssuré 4 : K= 1 Prme 6 Dommage ssuré 3 : K= 1 Prme 6 Dommage Déclaraton 1 Déclaraton 2 Déclaraton 3 Déclaraton 4 Déclaraton 5 ssureur Captal ntal 3 Les Prmes reçues : 3 (6 x 5) Reçot les déclaraton : Déc1 Déc 2 Déc3 Déc4 Déc5 Chost qu contrôler : ssuré1 ssuré2 ssuré3 ssuré4 ssuré5 Subt un coût untare (4, 8 ) Sanctonne les fraudeurs (non remboursementamende) ndemnse les assurés non contrôlés (honnêtes ou non) Ordnateur Fat les calculs des gans de chaque pérode et les renvoe aux assurés et à l assureur 246

250 NB : Lors du déroulement de l expérence, l expérmentateur est ncapable d observer vos comportements. En effet, sute au trage au sort, l ne sat pas dentfer, qu est assureur, qu est assuré n 1, n 2, ect... l est nterdt de communquer durant la totalté de la sesson expérmentale. S vous avez des questons concernant ces nstructons, nous vous remercons de lever la man ; nous vendrons répondre en prvé à vos questons. Merc pour votre partcpaton. Pour vous famlarser avec les nstructons, commençons par l exemple suvant : 247

251 Ecran de l ssuré : Now playng round N 1 Ecran de l assuré : Vous êtes un assuré Vous dsposez d un captal ntal de 1 pour vous assurer Vous devez payer une prme de 6 Vous avez sub un snstre de 1 Tapez le montant de votre déclaraton de snstre et valdez par OK Feed-bac nformaton : 3 OK Pérode Captal ntal 1 1 Prme 6 6 Dommage 1 Déclaraton 3 ndemnté 3 mende 35 Gan fnal 25 ndemnté = déclaraton Sancton =non ndemnté mende (s contrôle) Sancton = (s non contrôle) Gan fnal = Captal ntal perte prme ndemnté sancton Contrôlé OU S vous étez contrôlé par l assureur «OU», snon, «NON» 248

252 Ecran de l assureur : Now playng round N 1 Vous êtes un ssureur * Patentez SVP Feed-bac nformaton : Pérode Captal ntal 3 Prmes obtenues 3 Σ Prmes : 5*6=3 ndemntés payées Coût de contrôle mendes obtenues Gan fnal Gan de la pérode= Cap ntalprmes-cout-ndemntésamendes ssuré1-fraudeur ssuré2-fraudeur ssuré3-fraudeur ssuré4-fraudeur Ecran ssuré5-fraudeur l assureur : 249

253 Now playng round N 1 L assuré1 a déclaré 3 L assuré2 a déclaré L assuré3 a déclaré 1 L assuré4 a déclaré 325 L assuré5 a déclaré N 2..N 3.N 4. N 5 Le coût de contrôle = 4 s la déclaraton <1 et coût de contrôle = 8 s la déclaraton >= 1 * Voulez vous contrôler l assuré N 1? Feed-bac nformaton : Ecran de l assuré : Ou Non Pérode Captal ntal 3 Prmes obtenues 3 ndemntés payées 365 Coût de contrôle 16 mendes obtenues = =448 l y a un seul fraudeur : ssurén 1 Sancton= non ndemmende=35 Gan fnal 254 ssuré1-fraudeur Ou 254= ssuré2-fraudeur ssuré3-fraudeur ssuré4-fraudeur ssuré5-fraudeur Non Non Non Non S l assuré est fraudeur «Ou», s l n est pas fraudeur «Non» 25

254 Chaptre ntroducton Générale : Secton 1 : Falsfcaton des dommages et audt mparfat (le modèle) Le cadre d analyse : Proprétés Générales d un contrat d assurance optmal : Contrat optmal lorsque U est CR : Probablté d audt optmale : udt parfat versus audt mparfat : Secton 2 : L expérmentaton Le desgn expérmental : L objectf de l expérmentaton : La descrpton de l expérmentaton : La descrpton du protocole : Les résultats expérmentaux : La stratége de l assuré : a/ La décson de fraude et/ou de falsfcaton: b/ L ampleur de la fraude : La procédure d audt : stratége de l assureur a/ Décson d audt : b/ La fréquence d audt : Confrontaton des résultas expérmentaux et des hypothèses théorques: Tableau récaptulatf : Les constatatons expérmentales sont elles conformes aux prédctons théorques? : a) Quelle ndemnté d assurance offrr? b) Dot-on contrôler très fréquemment les assurés? et de quelle sancton les menacer? udt parfat versus udt mparfat : a) Tester la relaton entre les deux versons d audt ( λ F > λ NF ) : b) Tester les comportements des fréquences d audt par rapport à la sancton :...31 Concluson Générale :...34 nnexe nnexe nnexe nnexe nnexe nnexe

255 Chaptre ntroducton Générale : Dans la stuaton où les assurés peuvent frauder lors de la déclaraton de leurs pertes et quand la vérfcaton de ces dommages est coûteuse pour l assureur, la polce d assurance optmale dot trouver une soluton aux deux objectfs conflctuels : partager le rsque entre l assureur et l assuré d une part, et mnmser les coûts d autre part. Nous vsons, dans ce chaptre, à caractérser le contrat d assurance optmal dans un contexte de fraude coûteuse ou encore appelée c «falsfcaton», lorsque la procédure d audt est aléatore. Nous supposons qu l est possble pour l assuré de gonfler le montant de sa perte lors de la déclaraton, à l ade de la falsfcaton du snstre. Cette falsfcaton est coûteuse pour l assuré surtout lorsqu elle nécesste une colluson avec un ntermédare, qu peut l ader à présenter le dommage avec ambguïté à l assureur. Cette procédure a pour but de rendre l audt plus dffcle. L assureur devent par conséquent, ncapable de vérfer de façon certane l exacttude de la déclaraton de l assuré. Ce contexte est connu dans la lttérature sous la dénomnaton «d état de falsfcaton coûteuse» (vor Rejessus 1 (23) et Pcard (2)). Sur ce sujet, l étude emprque de Donne et St Mchel (1991), a montré que l assurance traval représente un domane prvlégé pour ce genre de fraude (falsfcaton). En effet, en assurance ve ou en assurance malade, l s avère souvent dffcle d apporter la bonne preuve à la fraude, comme l est parfos, mpossble même, d observer physquement le snstre déclaré. D autre part, au sen du paradgme «d état de falsfcaton coûteuse», une analyse ntée par Lacer et Wenberg (1989) et approfonde par Crocer et Morgan (1998) pus par Crocer et Tennyson (22), repose sur l dée que l assuré a la possblté de supporter des coûts, pour créer un dommage observable. Les auteurs montrent qu à l optmum, le contrat génère toujours un certan degré de fraude. Pour eux, l actvté d audt ne peut être plenement dssuasve. Comme le montre auss, Puelz et Snow (1995), lorsque l audt devent mparfat 2, 1 Ce paper présente une étude emprque sur l assurance corporelle aux Etats-Uns. l s agt d étuder l étendue auquel le profl d ndemnsaton de cette assurance est conforme aux prédctons théorques ssues des deux modèles, «état de vérfcaton coûteuse» et «état de falsfcaton coûteuse». Plus précsément l auteur cherche à spécfer lequel des deux mécansmes est plus appropré pour dssuader le problème d hasard moral. 2 Une autre voe de recherche s ntéressant à l étude de la qualté de l audt (vor M. van Dj, 25, Schwartz.1982; Kreutzfelt et Wallace, 1986; Knney and McDanel, 1989, Loebbece et al., 1989), repose sur des études emprques, montre que les compagnes qu font face à des problèmes fnancers commettent plus d erreurs comptables. Encore plus, s les audteurs n arrvent pas à découvrr ces erreurs, alors la compagne

256 Chaptre l assureur est ncté à utlser les technques d expertse les plus fables pour les dommages de talle mportante. lternatvement, une autre voe de recherche, repose sur l dée qu l exste une deuxème stratége, autre que l audt pour lutter contre la fraude. En effet, lorsque les dommages présentent un caractère observable, l est possble de les audter et donc de sanctonner les fraudeurs détectés. Par contre, lorsque ces dommages sont présentés d une façon ambguë à l assureur (par le bas de la falsfcaton), ce derner est ncté à suvre une poltque de sous-ndemnsaton. Notamment, pour Crocer et Tennyson (1999, 22), l s agt de surcompenser les petts dommages et sous payer les dommages de talle mportante. Pour Rejessus (23), l étude emprque sur l assurance corporelle aux Etats-Uns, montre que le profl d ndemnsaton optmal pour dssuader la fraude est plus conforme aux prédctons théorques du paradgme d état de vérfcaton coûteuse. Cec soulgne l dée que ce paradgme est plus appropré que le paradgme d état de falsfcaton coûteuse, pour défnr le profl d ndemnsaton optmal dans ce secteur d assurance. En effet, au dessous d un certan seul de snstre, aucune ndemnté n est versée à l assuré, et au delà de ce seul, la couverture d assurance est complète. Le résultat de Rejessus (23) est en accord avec celu de Hyde and Vercammen (1997). En se basant sur cette lttérature, nous vsons dans ce chaptre, à ntrodure dans notre analyse l mperfecton de l audt lée à la possblté pour l assuré d nvestr dans une actvté de falsfcaton. Nous voulons en partculer, ntégrer les dffcultés de preuve rencontrées par les assureurs lors de l expertse des snstres. Pour cela, nous supposons qu en cas de falsfcaton, la technque de contrôle ne permet pas de vérfer de façon certane la survenance et l ampleur du dommage sub par l assuré. L mperfecton de l audt revent au fat que l assureur n est pas toujours capable de détecter systématquement la fraude. Par rapport à la lttérature sur le sujet de fraude, nous consdérons une fuson des deux paradgmes «état de vérfcaton coûteuse» 3 et «état de falsfcaton coûteuse». l s agt dans ce chaptre, de consdérer que l assuré a la possblté de chosr entre la fraude coûteuse et la fraude non coûteuse. La premère mplque une procédure d audt mparfat, tands que la seconde mplque une procédure d audt parfat. L dée centrale de cette analyse est de comparer ces deux versons d audt, afn de dégager les melleures stratéges que les assureurs dovent adopter pour combattre la fraude. audté peut tomber en fallte (dégradaton de sa stuaton fnancère), (Stce, 1991; Lys and Watts, 1994 and Pratt and Stce, 1994). 3 Le paradgme d «état de vérfcaton coûteuse» suppose que l assuré peut frauder sans qu l n engage de fras, alors que l assureur peut le contrôler (vérfer les déclaratons) en supportant un coût d audt.

257 Chaptre Ce chaptre s artcule autour de deux axes fondamentaux : Un axe théorque, présentant la modélsaton adoptée pour formalser le problème de fraude et de falsfcaton et explquant comment ces manœuvres rendent l audt mparfat. Plus précsément, dans cette premère secton, nous donnons des solutons théorques à ces phénomènes, et notamment, la caractérsaton du contrat d assurance optmal (ndemnté offerte, probablté d audt, sancton monétare ). Un axe expérmental permettant de tester nos prédctons théorques à travers une expérmentaton en laboratore. Cette étude représente la deuxème secton de ce chaptre, dans laquelle, nous décrvons le protocole expérmental utlsé et nous présentons les prncpaux résultats.

258 Chaptre Secton 1 : Falsfcaton des dommages et audt mparfat (le modèle) 1.1. Le cadre d analyse : Comme nous l avons déjà mentonné dans l ntroducton, Notre apport théorque consste à fusonner les deux paradgmes : «état de vérfcaton coûteuse» et «état de falsfcaton coûteuse». Notamment, l s agt de consdérer un contexte où la fraude peut être étable à coût nul ou à coût postf. Le cadre d analyse est dentque à celu décrt dans le chaptre 4. Rappelons brèvement les notatons utlsées et les hypothèses posées. l s agt d une économe composée des deux agents suvants : un assureur neutre au rsque et un assuré averse au rsque. Les préférences de l assuré sont représentées par une foncton d utlté U de type Von-Neumann Morgenstern, strctement crossante et deux fos contnûment dfférentable et strctement concave ( U ' > et U " < ). L assuré dspose d une rchesse ntale W. l fat face à des événements de pertes x Sot { x, x,..., x } [, x ] X = 1 n n tels que x < x1 < x 2 <... < x n et x =. q la probablté d avor l événement x La réalsaton et le nveau de perte possble représentent une nformaton prvée pour l assuré. En cas de snstre, ce derner dot déclarer le dommage à l assureur. l peut être ncté à frauder. l chost un nveau d X [, x n ] qu l réclame à l assureur ( d x ). fn d augmenter ses chances de ne pas être prs en cas d audt, l assuré peut nvestr en fras de falsfcaton afn de pouvor gonfler le montant du dommage. l supporte des fras F. Dans la lttérature tratant les coûts d assurance, D rcy et Derrg (25) adoptent un modèle qu combne les coûts des snstres, les coûts d nvestgatons et les fras éventuels encourus pour rédure les coûts des snstres. Pour ces auteurs, le snstre déclaré à l assureur comporte une composante relatve au dommage réel (qu dot être remboursée), une composante représentant une charge excessve pour l assureur (jugée comme étant non rasonnable), une composante relatve à un servce non couvert et une dernère composante relatve à un ncdent non couvert par la polce d assurance (comme en assurance automobles : les fras médcaux, les accdents corporels ). Dans notre modèle, nous consdérons que ces fras

259 Chaptre supplémentares représentent le coût de la fraude. Nous supposons que F = f (d x ) tel que : F > d > x Sot h = (d x ) et F = f (h ) = α h tel que < α < 1. α étant un paramètre de coût de falsfcaton. Cec tradut le fat que les dépenses de falsfcaton sont proportonnelles à l ampleur de la fraude. Lorsque l assuré chost un nveau de fras F > pour falsfer le dommage, l actvté de contrôle devent plus dffcle pour l assureur. l est possble que ce derner n arrve pas à détecter la fraude avec certtude. l exste donc une probablté ( p ) que l audt sot mparfat : la fraude n est pas systématquement détectée. Nous supposons que : 2 (,[d x ]) = α expβ(h ) p α avec β <. Nous admettons que cette probablté d mperfecton de l audt sot strctement crossante et convexe en foncton de α, et strctement décrossante et convexe en foncton de l ampleur de la fraude (la dfférence entre la déclaraton et le snstre réel). p( α ) p(h ) α x n Varaton de p en foncton de α Varaton de p en foncton de h h pour d x h pour α = α = Fgure 1 : La varaton de la probablté d mperfecton de l audt en foncton de et de h Cette hypothèse sgnfe qu à un montant de fraude donné ( d x = h ), plus on augmente le paramètre du coût de falsfcaton, plus la probablté d mperfecton de l audt augmente. utrement dt, pour un certan montant de gan espéré de la fraude ( h ), le fat d nvestr plus en fras de falsfcaton (augmenter α ) permet de ben organser la fraude et par conséquent, la

260 Chaptre détecton devent plus dffcle (p augmente). De surcroît, p représente une foncton crossante de α. Pour α =, c est-à-dre lorsque les fras de falsfcaton sont nuls, on ne parle plus d mperfecton de l audt. p = dans ce cas. Cec tradut le fat que, lorsque l assuré n nvestt pas en fras de falsfcaton, toute tentatve de fraude peut être systématquement détectée par l audt qu est dans ce cas parfat. Par contre, lorsque α = 1, cec veut dre que l assuré nvestt le montant total de gan de fraude pour avor une plus grande ndemnté. Dans ce cas, l audt est complètement nutle du fat que p = 1 : la probablté de non détecton de la fraude est égale à 1. D autre part, pour une même proporton de fras de falsfcaton ( α donnée), augmenter la déclaraton du dommage par rapport à sa valeur réelle, rend la fraude plus facle à détecter. En effet, deux assurés qu font face à un même snstre et qu paent le même pourcentage de fras ( α = α ) pour falsfer ce dommage, tout en ayant deux déclaratons dfférentes, n auront pas les mêmes chances d être détectés par l assureur. Celu déclarant un plus grand montant de dommage aura plus de chance d être prs, et celu déclarant un plus pett montant de dommage aura plus de chance de passer entre les malles du flet et échapper à la sancton. Ce qu explque le fat que p est décrossante en foncton de ( h ). Pour F =, l assuré peut frauder sans encourr des dépenses de falsfcaton. L audt est dans ce cas parfat et la détecton de fraude est systématque. ns, conformément à l expresson de la probablté de non détecton de la fraude, lorsque les fras de falsfcaton sont nuls cette probablté est nulle : p(f = ) =. F n = max =..n { F } = α n x ) = αx n représente le cas extrême, où l assuré utlse les fras de falsfcaton les plus élevés. Cette éventualté correspond au cas de non survenance de snstre, auquel l assuré déclare un montant de dommage maxmal. ce montant de fras de falsfcaton correspond la probablté d mperfecton d audt la plus élevée p(fn ) = 1. D autre part, l assureur ne peut savor s l assuré est fraudeur ou honnête que sur la seule base de la déclaraton de snstre. l chost une fréquence d audt λ = d ) pour vérfer la λ( déclaraton de dommage. En cas d audt, l supporte le coût C. Lorsque le dommage n est pas contrôlé par l assureur, le remboursement d assurance est (d ). En cas d audt, le transfert, d), dépend à la fos de la vrae valeur du dommage et de la valeur de la déclaraton. Notons par, d ) le remboursement en cas de détecton de la fraude à l ade de l audt et D D, d) le remboursement en cas de non détecton.

261 Chaptre Lorsque l assuré fraudeur est prs par l assureur pénalsée par une sancton monétare S.,d ) = S avec S S. La fraude est Les décsons éventuelles de l assuré et les ssues correspondant peuvent être résumées à l ade du schéma suvant : p Non détecton : D udt mparfat λ ( 1 p) Falsfcaton : F > Fraude Détecton : D ( 1 λ) Non audt Non détecton : udt parfat Détecton : λ Fraude ( 1 λ) Non audt Non détecton : Non falsfcaton : F = udt parfat ndemnté : λ Non Fraude ( 1 λ) Non audt ndemnté : La parte nféreure du schéma, correspondant au cas de non falsfcaton, représente notre modèle présenté dans le chaptre 4. En cas de non falsfcaton, l est possble que l assuré fraude sans nvestr en fras de falsfcaton et par conséquent la procédure d audt est parfate et la détecton de la fraude est systématque. Pour toute déclaraton d x dans X, et pour tout F, l utlté espérée de l assuré s écrt :

262 Chaptre pu n λ j) EU = q (1 = (1 λ (d ( W P x F,d )) D p) U( W P x F D,d )) )) U( W P x F (d )) L assureur est neutre au rsque. Son proft espéré est E Π = P n = q E Π : pour d x X { λ(d )[ p,d ) (1 p),d ) C] (1 λ(d )) (d } D D ) Le contrat d assurance est alors défn par les fonctons suvantes : λ(.) :[, x (.) :[, x (.,.) n :[, x ] n [,1] [ S, ] ] n ] [, x n ] [ S, ] D D (.,.) (.,.) :[, x :[, x n n ] [, x ] [, x n n ] ] [ S, ] [ S, ] Un contrat d assurance optmal maxmse l espérance d utlté de l assuré sous la contrante de proft de l assureur EΠ, étant donnée d = x, la stratége optmale de l assuré Proprétés Générales d un contrat d assurance optmal : Sur la base du prncpe de révélaton, on se lmte aux contrats nctatfs, où l assuré déclare la vrae valeur du dommage : d x avec F = est la stratége optmale de l assuré. la contrante de partcpaton de l assureur s ajoutent les contrantes d nctaton de l assuré qu tradusent le fat que l assuré est toujours amené à déclarer la vérté et à ne pas falsfer le dommage. Par conséquent, l espérance d utlté de l assuré lorsqu l est honnête est toujours supéreure à son espérance d utlté lorsqu l fraude. Ces contrantes d nctaton prennent la forme suvante : λ (1 λ λ (d ) ) (1 λ [ p U( W P x F, x )) (1 p ) U( W P x F, x ))] D D )) U( W P x F )) [ p U( W P x F,d )) (1 p ) U( W P x F D,d ))] D (d )) U( W P x F (d )) pour tout d, x dans X Sans perte de généralté,,d ) = S lorsque d x, est optmal. En d autres termes, la sancton est ndspensable lorsque la déclaraton de snstre est fausse. Dans ce qu sut, nous écrvons ), x). Néanmons, l événement de perte x ne dot pas fare lu auss l objet d une déclaraton frauduleuse, pour tous les états de nature qu lu sont nféreures. Cec veut dre que pour un

263 Chaptre 5 26 état de perte x < x, l espérance d utlté de l assuré lorsqu l déclare la vérté ( x d = ) dot être toujours supéreure à son espérance d utlté lorsqu l falsfe le dommage[ F = α(d x ) > avec d = x > x ] et déclare d = x > x. Cette contrante s écrt : λ λ ) (1 λ [ U ( W P x ))] (1 λ ))U ( W P x )) [ pu( W P x F )) (1 p)u( W P x F S) ] ) ))U ( W P x F )) pour tout x X, x Par conséquent, le contrat d assurance optmal maxmse l espérance d utlté de l assuré sous, la contrante de partcpaton de l assureur et les contrantes d nctaton. Mathématquement on écrt : Maxmser EU : n EU = q = x { λ )U ( W P x )) (1 λ )) U ( W P x ))} (1) Sous les contrantes : n P q = { λ )[ ) C] (1 λ )) )} (2) λ ) λ(d ) [ U ( W P x ))] (1 λ ))U ( W P x )) [ p U( W P x F (d )) (1 p)u( W P x F S) ] (1 λ (d ))U ( W P x F (d )) pour tout x X,d x avec F = α(d x ) (3) 4 λ λ ) (1 λ [ U ( W P x ))] (1 λ ))U ( W P x )) [ p U( W P x F )) (1 p)u( W P x F S) ] ) ))U ( W P x F )) pour tout x X, x x, avecf = α x ) (4) ) S pour tout x (5) ) S pour tout x (6) λ) 1 pour tout x (7) 4 En cas de fraude, pour F on a :, d ) = (d ) = S et, d ) = (d ) (d ) D D D D =

264 Chaptre La condton (2) est la contrante de partcpaton de l assureur. La condton (3) représente la contrante d nctaton : l assuré est ncté à ne pas falsfer et à déclarer la vrae valeur du dommage. Notons qu l exste n (n 1) contrantes d nctatons ayant cette forme 5. La 2 condton (4) représente une deuxème forme de contrante d nctaton, pour laquelle, x ne n (n 1) dot pas fare l objet d une déclaraton frauduleuse. l exste auss contrantes de 2 cette forme 6. Enfn, (5), (6) et (7) sont les contrantes de plausblté du contrat. La résoluton de ce programme d optmsaton nous a perms d établr la relaton entre la probablté d mperfecton de l audt (p) et le profl d ndemnsaton. 5 Pour l état de perte x, la déclaraton de l assuré peut avor une valeur dans l ensemble{ x, x 1, x 2, x 3,..., x n }, alors pour cet état l exste n contrantes d nctaton. Pour l état de perte x 1, la déclaraton de l assuré peut avor une valeur dans l ensemble{ x 1, x 2, x 3,..., x n }, alors pour cet état l exste (n-1) contrantes d nctaton. Pour l état de perte x, la déclaraton de l assuré peut avor une valeur dans l ensemble{ x, x 1, x 2, x 3,..., x n }, alors pour cet état l exste (n-) contrantes d nctaton. En fn, Pour l état de perte x n 1, la déclaraton de l assuré peut avor une valeur dans l ensemble { x n 1, x n }, alors pour cet état l exste une seule contrante d nctaton. En totalté, l exste n(n 1) n (n 1) (n 2)... 1 = contrantes d nctaton. 2 6 Pour la déclaraton (frauduleuse) de perte x 1, la perte réelle de l assuré peut avor une valeur dans l ensemble { x }, alors pour cette déclaraton l exste 1 seule contrante d nctaton. Pour la déclaraton (frauduleuse) de perte x 2, la perte réelle de l assuré peut avor une valeur dans l ensemble { x, x 1 }, alors pour cette déclaraton l exste 2 contrantes d nctaton. Pour la déclaraton (frauduleuse) de perte x, la perte réelle de l assuré peut avor une valeur dans l ensemble { x, x 1, x 2, x 3,..., x 1 }, alors pour cette déclaraton l exste contrantes d nctaton. En fn, Pour la déclaraton (frauduleuse) de perte x n, la perte réelle de l assuré peut avor une valeur dans l ensemble { x, x 1, x 2,..., x n 1 }, alors pour cette déclaraton l exste n contrantes d nctaton. En totalté, l exste n(n 1) n (n 1) (n 2)... 1 = contrantes d nctaton. 2

265 Chaptre Proposton 1 : Le profl d ndemnsaton possède les proprétés suvantes : s pour une déclaraton de dommage x X ) l assureur offre toujours la même ndemnté =, alors p = 1 ) l assureur offre >, alors ) l assureur offre <, alors U' U' U' ( W P x F )) p < U' ( W P x F )) ( W P x F )) < p < 1 ( W P x F )) Dans la proposton 1 (vor preuve en annexe 5.1.), nous montrons que ) lorsque l assureur offre la même ndemnté en cas d audt et en cas de non audt, alors la probablté non détecton de la fraude est égale à 1. Dans ce cas, l assureur n a pas ntérêt à mener un audt. Ce derner n aura aucune valeur nformatonnelle, pusque quelle que sot la stratége de l assureur (audt ou pas), la fraude est non détectée. lors que ) s l assureur offre une ndemnté plus généreuse en cas d audt, alors la probablté d mperfecton de l audt sera dans l ntervalle U', U' ( W P x F )) ( ) W P x F ). Et fnalement, ) lorsque l assureur offre une ndemnté plus généreuse en cas de non audt, alors la probablté de non détecton de la fraude sera dans l ntervalle que : U' U' ( W P x F )), 1 ( W P x F )). La concluson est Corollare 1 : Quel que sot le profl d ndemnsaton offert, en cas de falsfcaton, le contrat d assurance génère une mperfecton de l audt. Ce corollare est en accord avec le résultat de Crocer et Tennyson (22). Pour basser la probablté de non détecton de la fraude, l assureur est ncté à rembourser une ndemnté plus mportante en cas d audt. l s agt de récompenser l assuré honnête pour avor vérfé sa déclaraton.

266 Chaptre Corollare 2 : l est optmal de récompenser l assuré par une ndemnté plus généreuse, en cas d audt. De plus, lorsque p = 1, l n est plus effcace de vérfer les déclaratons de dommage, pusque l audt est de mauvase qualté et génère un coût pour l assureur sans qu l ne lu permette de détecter la fraude. L audt est donc neffectf et n a aucune valeur nformatonnelle. cause de la falsfcaton des dommages, l assureur devent ncapable d observer la fraude et l audt s avère donc nutle. Chosr λ = est donc optmal. De surcroît, aucun contrat d assurance ne sera offert. Corollare 3 : Lorsque p = 1, la stratége d audt est neffectve. Dans ce cas, l assureur n aura jamas ntérêt à contrôler la déclaraton de snstre de l assuré, n à offrr un contrat d assurance. De plus p( α,[d x ]) = α 2 expβ(d x ) = 1 α = 1 ss et expβ(d x ) = 1 ) α = 1, le pourcentage de gan de la fraude dépensé est de 1%. L assuré qu tente de falsfer le snstre dot dépenser le même montant qu l veut gagner en fras de falsfcaton. Ce qu est llogque. ) expβ (d x ) 1, cela veut dre que d x, la déclaraton est égale au snstre = réellement survenue. Donc l n y a pas de fraude. = 1.3. Contrat optmal lorsque U est CR : Pour le reste de l analyse, nous supposons que les préférences de l assuré sont représentées par une foncton d utlté du type CR 7. Le but de cette hypothèse est de smplfer le programme d optmsaton à travers la caractérsaton des contrantes d nctaton. Lorsque U 7 CR : averson au rsque constante : Cec sgnfe que = avec < pusqu on a >. U ' et U" < U" U'

267 Chaptre est CR, nous montrons dans ce qu sut qu l est possble de meux défnr certans paramètres du modèle et d étuder leurs varatons les uns par rapport aux autres. Commençons par poser le lemme suvant (vor preuve en annexe 5.2.): Lemme 1 : Pour une foncton d utlté U du type CR, S on a : ˆ ) nf{ (.), (.), x X} et U(W (1 λ ))U(W P F = (1) P F ˆ )) )) λ ) x X, avec F = F alors toutes les contrantes d nctaton sont vérfées. [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] = α x ) (2) xˆ étant la déclaraton de snstre à laquelle correspond la plus pette ndemnté d assurance. travers le lemme 1, nous cherchons à smplfer le programme d optmsaton, en remplaçant les [n(n1)] contrantes d nctatons par une seule condton. Cette dernère représentée par l équaton (2) tradut le fat que l assuré est dssuadé de déclarer un snstre frauduleux quel que sot le montant du dommage réel, s et seulement s, l est dssuadé de frauder lorsqu l a le drot d avor la plus pette ndemnté d assurance. F = F = α x ) = αx étant les fras de falsfcaton correspondant à un dommage réel x et une déclaraton d = x { x, x,..., }. 1 x n En effet, s on consdère le cas extrême où l assuré ne subt pas de snstre ( = x ) et qu l déclare un montant de dommage postf : d x > x x { x, x,..., } 1 2 x n x = =, le lemme 1 montre que lorsque l utlté de l assuré en acceptant la plus pette ndemnté est supéreure à son utlté espérée en cas de fraude, alors toutes les contrantes d nctaton sont vérfées. L dée est que s l assuré est dssuadé de ce cas de fraude (qu est le cas extrême) alors l le sera pour tous les autres cas. Utlsant le lemme 1, le nouveau programme d optmsaton s écrt alors comme sut :

268 Chaptre Maxmser EU : EU = n q = { λ )U ( W P x )) (1 λ )) U ( W P x ))} (1) Sous les contrantes : n P q = { λ )[ ) C] (1 λ )) )} (2) U(W P F ˆ)) (1 λ ))U(W P F )) λ ) [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] x X, et F = F = αx (3) La résoluton de ce programme d optmsaton, nous a perms de dégager la proposton suvante : Proposton 2 : Lorsque U est CR et U " = U' ) s > alors ) s < alors p < θ θ 2 exp ) s = alors p = 1 (vor preuve en annexe 5.3.) 8 q 2 exp q [ x (1 α) ] [ x (1 α) ] < p < 1 8 En effet, U étant une foncton d utlté du type CR, alors = avec <. U" U' LogU = = ns nous pouvons dre que : ' t B et U' exp(t B) D après les condtons de premer ordre du programme d optmsaton, nous avons : U' θ 2 θ2 ( W P x ) 1 pexp[ x (1 α) ] = U' ( W P x ) 1 exp[ x (1 α) ] r, p 1 q θ q 2 2 alors on peut dre que : pexp[ x (1 α) ] 1 exp[ x (1 α) ] θ q 1 q

269 Chaptre Conformément au cas général, cette proposton montre, que lorsque U est CR, l est optmal d offrr une ndemnté plus généreuse en cas d audt. Cec permet de basser la probablté de non détecton de la fraude. S par contre, l assureur offre la même couverture d assurance pour le cas d audt et celu de non audt, alors cette probablté sera égale à 1 et l actvté d audt n aura aucune utlté Probablté d audt optmale : Dans ce paragraphe, nous mettons l accent sur la stratége d audt optmale permettant de dssuader la fraude. l s agt d établr la relaton entre l audt d une part, et les chances de détecton de la fraude d autre part. Ensute, nous défnssons l arbtrage optmal entre la fréquence de contrôle et le profl d ndemnsaton. l convent tout d abord, de donner l expresson de cette probablté d audt à partr des condtons de premer ordre du programme d optmsaton et d établr par la sute la varaton de celle-c en foncton de l ndemnté d assurance et de la probablté d mperfecton de l audt. Ces résultats sont résumés dans la proposton 3 (vor preuve en annexe 5.4.). Proposton 3 : S ˆ ) nf{ (.), (.), x X} λ ) = avec : =, alors la probablté d audt prend la forme suvante : U(W P F U(W P F )) ) λ ' et λ " : λ(.) > < )) U(W P F ˆ )) [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] est crossante et concave en foncton de ) λ ' et λ " : λ(.) est crossante et convexe en foncton de p p > p > La probablté d audt représente le rapport entre le gan de la fraude en terme d utlté lorsque l assuré est non contrôlé par l assureur et sa désutlté lée au fat d être contrôlé et sanctonné en cas de détecton de la fraude. ) Cette probablté λ (.) est crossante et concave en foncton de l ndemnté d assurance, ( λ ' et λ " ). Cec tradut le fat que, plus l assureur ndemnse (plus exactement paye des ndemntés non mértées), plus l a ntérêt à augmenter la fréquence de contrôle. Nous représentons cette relaton dans la fgure 2, c-dessous.

270 Chaptre S la polce d assurance garantt un remboursement ˆ ) avec certtude à l assuré, λ(.) représente la probablté d audt optmale dssuasve de tout comportement de fraude. Lorsque la foncton d utlté de l assuré est CR, alors cette probablté λ (.) ne dépend plus de la vrae valeur du dommage, mas elle est crossante et concave en foncton de. Pusqu on a : ˆ ) nf{ (.), (.), x X} lorsque tend vers n = et Max n =...n, avec : =, alors λ(.) tend vers λ < 1 λ = U(W P F n U(W P F n ) n ) U(W P F ˆ)) n [ pu(w P F ) (1 p)u(w P F S) ] 1 n n n n < λ(.) 1 λ ˆ ) n Fgure 2 : L évoluton de la probablté d audt optmale en foncton de l ndemnté versée en cas de non audt ) La fréquence d audt est crossante et convexe en foncton de la probablté de non détecton de la fraude. Cec ndque que, lorsque l actvté de contrôle n aboutt pas à détecter la falsfcaton avec certtude (p est suffsamment élevée), l assureur dot contrôler plus fréquemment les déclaratons. En effet, l accrossement de p, entraîne la dégradaton de la qualté de l audt et la dffculté de détecton des fraudeurs. Cec pousse l assureur à accroître λ pour compenser la mauvase qualté de l expertse.

271 Chaptre Lorsque p =, F = U(W P )) U(W P λ x ) = U(W P )) ˆ )) = λ ( mn > [ U(W P S) ] = = = α Lorsque p 1, F Max{ x } x n α U(W P αx n n )) U(W P αx n ˆ )) λ ( x ) = = λ max U(W P αx )) n < n n [ U(W P αx n S) ] 1 Nous présentons, dans la fgure 2 c-dessous, l évoluton de λ(.) en foncton de p. λ(.) 1 λ max λ mn 1 p Fgure3 : L évoluton de la probablté d audt optmale en foncton de la probablté d mperfecton de l audt En ce qu concerne l arbtrage entre la stratége d audt et la sancton mposée au fraudeur, l assureur a la possblté de dmnuer la fréquence d audt, lorsque cette sancton est suffsamment élevée et dssuasve. Corollare 4 : l est possble d utlser une fréquence de contrôle fable mas suffsante, assocée à une sancton monétare très élevée pour dssuader l assuré de frauder. Ce corollare soulgne l dée que la menace d une sancton élevée représente une poltque dssuasve qu on peut assocer à un audt mons fréquent.

272 Chaptre udt parfat versus audt mparfat : Dans ce paragraphe, nous vsons à établr une comparason entre les résultats du chaptre 4, où l audt est parfat et la fraude ne coûte ren à l assuré, et les résultats de ce chaptre où nous supposons que l audt est mparfat lorsqu l est possble pour l assuré d nvestr en fras de falsfcaton (fraude coûteuse). Notamment, nous mettons l accent sur les stratéges d audt et sur les sanctons applquées pour dssuader la fraude. Notons par λ F la probablté d audt en cas de falsfcaton (audt mparfat) et par λ NF la probablté d audt en cas de non falsfcaton (audt parfat). En effet : λ F U(W P F = U(W P F ) ) U(W P F ˆ )) [ pu(w P F ) (1 p)u(w P F S) ] et λ NF U(W P ) U(W P ˆ )) = U(W P ) U(W P S) Leurs varatons respectves par rapport à la sancton s écrvent : λ F S λ NF S = = [ U(W P F ) U(W P F ˆ ))](1 p)u' (W P F S) 2 [ U(W P F ) [ pu(w P F ) (1 p)u(w P F S) ] [ U(W P ) U(W P ˆ ))] U'(W P S) < 2 [ U(W P ) U(W P S) ] < Proposton 4 : Par rapport à la stuaton où l audt est parfat, la falsfcaton des dommages provoquant l mperfecton de l audt mplque que : ) la fréquence d audt augmente sute à l augmentaton du taux de fraude : λ x ) > λ ) pour tout x X. F ( NF ) les varatons de λ x ) et λ ) par rapport à la sancton sont telles que : F ( NF λ S λ S NF NF λ F < S λ F > S s s λ p > 1 λ λ p < 1 λ NF F NF F 2 2 (vor preuve en annexe 5.5.)

273 Chaptre 5 27 Dans la proposton 4, nous montrons ) que par rapport à la stuaton où l audt est parfat, l mperfecton de l audt résultant de la falsfcaton des dommages, entraîne l augmentaton de la fréquence de l audt sute à l augmentaton du taux de fraude. En effet, lorsqu l est possble que l actvté d audt sot plus dffcle à l assureur et lorsque la vérfcaton des déclaratons de dommages ne permet pas de révéler la vérté avec certtude, la tendance de fraude des assurés augmente systématquement. Cette augmentaton du taux de fraude par le bas de la falsfcaton des snstres, oblge l assureur à augmenter la fréquence du contrôle pour pouvor compenser la mauvase qualté de l audt. Plus précsément, en cas de non falsfcaton (fraude non coûteuse), la probablté d audt correspond à la probablté de détecton de la fraude, pusque l audt est parfat. Par contre, en cas de falsfcaton, la détecton de la fraude est non systématque. Par conséquent, la probablté de détecton de la fraude est égale au produt de la probablté d audt et de la probablté complémentare d mperfecton de l audt (1 p). Ce qu explque le fat que dot être plus mportante que attendre le même degré de détecton de la fraude. λ F (probablté d audt mparfat) λ NF (probablté d audt parfat) pour que l assureur arrve à ) La fréquence d audt (qu l sot parfat ou mparfat) est foncton décrossante de la sancton monétare. Ce qu mplque qu l est dssuasf d assocer une sancton élevée à un audt peu fréquent, mas suffsant pour qu aucun assuré ne se sente totalement à l abr du contrôle. De plus, lorsque la probablté d mperfecton de l audt dépasse un certan seul λ p > 1 λ augmente. NF F 2 λ alors S NF λ F < S, c est-à-dre λ NF décroît plus vte que λ F lorsque S Respectvement, lorsque λ p < 1 λ NF F 2 λ alors S NF λ F > S, c est-à-dre que λ NF décroît mons vte que λ F lorsque S augmente. Cec explque le fat que s la probablté d mperfecton de l audt est élevée, alors la décrossance de la fréquence d audt à cause de l augmentaton de la sancton est plus mportante en cas d audt mparfat qu en cas d audt parfat. Ce résultat ndque que lorsqu l devent très dffcle à l assureur de détecter la fraude, la menace d une sancton sévère avec audt mons fréquent dot jouer au maxmum. Pusque l audt n a plus d effet dssuasf (audt devent mparfat), la melleure poltque pour l assureur est donc d applquer une pénalté assez élevée pour les fraudeurs. D autre part, lorsque la probablté de non détecton de la fraude est relatvement fable, la décrossance de

274 Chaptre la fréquence d audt est plus mportante en cas d audt parfat. Cec prouve le fat que lorsque la qualté de l audt s amélore, ce derner devent crédble et l assureur peut l utlser pour dssuader les fraudeurs. Une poltque de sancton sévère et d audt peu fréquent est ntéressante beaucoup plus pour le cas d audt parfat. Dans la fgure 4 c-dessous, nous présentons les tendances approxmatves des varatons des deux probabltés ( λ, λ ) en F NF foncton de la sancton et en foncton du nveau d mperfecton de l audt. λ F, λ NF λ F λ NF S λ p < 1 λ NF F 2 λ p > 1 λ NF F 2 Fgure 4 : Varatons des probablté d audt en foncton de la sancton En concluson, nous tenons à rappeler les dfférentes proprétés ssues de notre modèle théorque : 1. En ce qu concerne l ndemnté d assurance optmale : Verser une ndemnté plus généreuse en cas d audt est nctatf à l honnêteté. L augmentaton du coût d ndemnsaton, nécesste une augmentaton de la fréquence de contrôle. 2. En ce qu concerne la poltque d audt optmale : Vu l mperfecton de l audt, la fréquence d audt dot augmenter pour compenser la mauvase qualté de ce derner.

275 Chaptre l est possble d assocer une sancton sévère à un audt mons fréquent, mas suffsant pour que les fraudeurs ne se sentent pas à l abr du contrôle. l est commode de tester ces hypothèses et de vérfer leurs valdtés. Pour cec, nous présentons dans la secton suvante, une expérmentaton, reconsttuant en laboratore, le contexte de notre modèle théorque.

276 Chaptre Secton 2 : L expérmentaton Mars-vrl Le desgn expérmental : L objectf de l expérmentaton : L étude expérmentale présentée dans ce derner chaptre représente la deuxème phase de notre expérmentaton réalsée dans le cadre du chaptre 4. Le prncpe de cette expérence, consste à convoquer des sujets (étudants) pour partcper à un jeu (d assurance). chacun parm eux est affecté un rôle (assuré ou assureur) dont les caractérstques sont défnes par le protocole expérmental. Les chox et les décsons prses, permettent à ces sujets de bénéfcer de gans monétares. Cette expérmentaton est conforme aux dfférents prncpes de la théore de la valeur ndute de Smth (1976), à savor, l nsatablté 9, la proémnence 1, la domnance 11, le secret 12 et le parallélsme 13. Plus précsément, nous étudons dans cette parte les décsons ndvduelles dans un contexte de fraude à l'assurance avec possblté de falsfcaton des snstres. La falsfcaton consste pour l assuré à dépenser des fras pour pouvor augmenter le montant du dommage lors de la déclaraton (fraude coûteuse). De surcroît, l actvté d audt devent plus dffcle, vor même mparfate et la détecton de la fraude n est que probable. Nous vsons en partculer, à tester les prédctons théorques de la secton 1 de ce chaptre, à mettre en place les régulartés comportementales des ndvdus et à explorer certans résultats non prédts par la théore. Pour cec nous avons utlsé un protocole expérmental permettant de répondre à la sére de questons suvante: 9 nsatablté : le fat d attrbuer des gans aux joueurs permet d ndure des fonctons d utltés monotone et crossante en foncton de ces gans. 1 Proémnence : ce prncpe dstngue l économe expérmentale des autres types d études emprques (enquêtes, smulatons ). L économe expérmentale reprodut en laboratore des comportements naturels. 11 La domnance : les gans permettent d explquer les actons prses par les joueurs. 12 Le secret : tradut l anonymat des gans et des dotatons des dfférents joueurs (chaque joueur connaît seulement ses propres gans et dotatons), ce qu garantt l autonome des chox. 13 Le parallélsme : fonctonnement et valdté des données malgré le changement du contexte.

277 Chaptre Queston 1 : L offre d une ndemnté d assurance plus généreuse en cas de vérfcaton des déclaratons honnêtes permet-elle d atténuer l ampleur de la falsfcaton et mplctement celle de l mperfecton de l audt? Queston 2 : Quels sont les effets de l ndemnsaton et de la probablté de non détecton de la fraude sur la fréquence d audt? Queston 3 : Est-l effcace, en cas de falsfcaton, d assocer une sancton très sévère à un audt mons fréquent? Queston 4 : Par rapport à la stuaton où l audt est parfat, dot-on augmenter la fréquence d audt lorsque le taux de fraude augmente à cause de la falsfcaton des dommages? Queston 5 : Relatvement au degré d mperfecton de l audt lé à la falsfcaton des dommages par les assurés, quel est l arbtrage optmal entre l audt et la sancton? La descrpton de l expérmentaton : Les sujets : Les sujets (soxante-douze partcpants) qu ont partcpé à cette expérmentaton sont des étudants en économe et geston de l ENS de Cachan. Leur recrutement a été fat à l ade d une annonce affchée au département et qu les nforme de l objectf de l expérmentaton, sa durée, ans que le mode de son déroulement. Les étudants ntéressés ont prs contact avec nous pour s nscrre. chaque sesson, nous avons beson de 6 partcpants, dont 5 parm eux sont des assurés et l autre est un assureur. u moment du recrutement, aucune nformaton concernant l expérmentaton n a été fourne aux partcpants. ls savent juste, qu l s agt d une expérmentaton en assurance qu dure envron 6 mnutes, qu s effectue sur ordnateurs et qu elle est rémunérée. Les technques utlsées : Nous avons programmé le protocole expérmental sur le logcel REGTE. Ce programme affecte les rôles aléatorement aux partcpants. L dentfcaton des sujets lors de

278 Chaptre l nterprétaton des résultats se fat à l ade d un code de connexon affecté à chaque machne. Cec nous a faclté la tâche d analyser les observatons ndvduelles. Les assurés reçovent un premer écran les nformant de la stuaton actuelle (qu l est assuré, le montant du captal ntal, la prme, le snstre ). Nous leur demandons à cette premère étape s ls acceptent de falsfer ou pas (boutons ou et non). Une fos ls ont fat leurs chox, un deuxème écran apparaît pour qu ls effectuent leurs déclaratons. Entre temps, On demande à l assureur de patenter jusqu à recevor sur son écran les dfférentes déclaratons des assurés. l chost par la sute de mener les contrôles qu lu parassent pertnents. Ensute, un autre écran apparaît pour touts les partcpants les rensegnant du résultat du round joué. Pour les assurés, on leur dt s ls ont été contrôlés ou pas, détectés ou pas, sanctonnés ou pas et comben ls ont gagné à cette pérode. Pour l assureur, on l nforme des assurés fraudeurs et détectés et de son gan de fn de pérode. En plus, à tout moment, les joueurs ont la possblté de consulter un écran secondare contenant l hstorque des tours déjà joués. Descrpton de la sesson : La durée moyenne de cette expérmentaton est d envron 6 mnutes. Les nstructons (vor annexe 5.6.), ont été dstrbuées avant le début de la sesson (12 sessons ont été organsée) et lues à haute vox par l expérmentateur afn de rassurer les sujets quant à l homogénété des nformatons. Ensute, un questonnare d entraînement a été rempl collectvement afn d établr une connassance commune entre les sujets. Chaque sesson comprend 6 partcpants (un assureur et 5 assurés) qu nteragssent pendant 17 pérodes ou répéttons (rounds). Ce sont les assurés qu jouent en premer. En effet, au début de chaque pérode, on communque à chaque partcpant, l nformaton qu l joue le rôle d un assuré, et on le rensegne du montant de sa dotaton ntale, de la prme à payer et du snstre survenu. On lu demande ensute de chosr s l veut falsfer ou non. Ben sûr, la falsfcaton (paement de fras) lu permet d augmenter ses chances de ne pas être détecté en cas de contrôle (audt mparfat). Par contre, l a la possblté de frauder sans falsfer (fraude non coûteuse) et en cas de contrôle, la détecton est systématque (audt parfat). Une fos l a fat son chox, l dot par la sute effectuer sa déclaraton de dommage. L assureur de son coté, patente, et dot attendre la récepton de toutes les déclaratons des assurés. Son rôle consste à chosr qu contrôler parm les 5 assurés. l n a pas la possblté de connaître s l y a eu falsfcaton ou pas. C est l ordnateur qu se charge de fare la sélecton des fraudeurs qu ont falsfé et ceux qu n ont pas falsfé pour défnr la qualté de l audt (parfat ou mparfat). Ensute, une fos

279 Chaptre ces étapes effectuées, toutes les nformatons sont envoyées au serveur du réseau, pour qu l fasse les calculs des gans et renvoe les résultats aux joueurs. ns de sute, se déroulent les 17 répéttons. la fn, un écran de velle apparaît devant chaque joueur, et les ordnateurs sont verroullés jusqu à ce que l expérmentateur pusse enregstrer les données sur le serveur. La rémunératon : La rémunératon des joueurs représente la dernère étape de cette expérmentaton. Les théores économques posent des hypothèses concernant les comportements des agents. Notamment, des hypothèses concernant les préférences des ndvdus qu ls représentent à l ade des fonctons d utlté. Sur ce sujet, l économe expérmentale ne peut que mettre en place des nctatons (coûts, gans ) smlares à celles présentées dans la théore. En effet, les modèles d assurance supposent que les agents ont des préférences pour les gans et que les actons sont orentées par la maxmsaton de la foncton d utlté de l assuré et la maxmsaton du proft de l assureur. C est pour cette rason, que nous rémunérons nos partcpants en monnae réelle et en foncton de leurs gans moyen. Cette rémunératon est fate de façon ndvduelle et anonyme. D après les codes affectés aux dfférents ordnateurs, nous arrvons à dentfer les joueurs. Nous leur demandons de garder leur place jusqu à la fn de la sesson. Le serveur du réseau calcule pour chaque partcpant son gan total de l expérmentaton. Ce derner comprend une parte forfatare (ndemnté de partcpaton) et une parte varable et dépendante de la performance de chacun. Ces gans monétares ont été converts suvant un taux de change des gans expérmentaux. Le paement relatf aux gans moyens garantt que les joueurs consdèrent toutes les pérodes du jeu et rédut la varance dans les réponses La descrpton du protocole : Chaque assuré est proprétare d un ben. l est confronté à des stuatons de rsque qu l oblgent à souscrre auprès de son assureur et contre paement d une prme un contrat d assurance qu l ndemnse en cas de dommage. u début de chaque pérode, l assuré est doté d un captal, lu permettant d acheter sa polce d assurance. Une fos l état de nature réalsé, l assuré se trouve devant une premère prse de décson, qu correspond à chosr de falsfer ou non le dommage (nvestr dans des dépenses de falsfcatons qu permettent de rendre l audt mparfat). Lorsque l assuré engage les fras,

280 Chaptre la détecton de la fraude n est plus systématque. l exste ans une probablté postve que le fraudeur ne sot pas prs par l assureur. Toutefos, un assuré qu refuse de falsfer peut chosr ensute de frauder. Dans ce cas, la détecton de la fraude est systématque (audt parfat). L assureur ne peut détecter le comportement frauduleux que sur la seule base des déclaratons de snstres. Sa stratége est défne par le chox de mener les contrôles qu lu parassent pertnents. La détecton de la fraude mplque l applcaton d une sancton : refus d ndemnsaton et paement d une amende. En résumé, chaque pérode est marquée par les tros étapes suvantes : Premère étape : survenance et déclaraton du snstre par l assuré. Cette étape est marquée par deux décsons que l assuré dot prendre. Tout d abord on lu demande s l est prêt à nvestr dans des dépenses de falsfcaton pour dmnuer ses chances d être détecté. Ensute, ayant prs cette décson, l dot effectuer sa déclaraton. Deuxème étape : audt aléatore mparfat. L assureur reçot toutes les déclaratons de dommage. l dot effectuer les contrôles qu lu parassent pertnents. En cas de falsfcaton, l audt ne permet pas de détecter systématquement la fraude. Par contre, s l n y a pas de falsfcaton, l audt est parfat. En cas d expertse, l assureur supporte un coût. Trosème étape : ndemnsaton et sancton. Le fraudeur contrôlé mas non détecté, échappe à la sancton et reçot une ndemnté correspondant à sa déclaraton. Le fraudeur parfatement contrôlé est sanctonné par un refus de remboursement et par une amende Les résultats expérmentaux : l s agt à ce nveau d étuder en plus de la décson de fraude, la décson de falsfcaton et son effet sur la procédure d audt. Pour tester nos prédctons théorques, à travers les comportements ndvduels, nous étudons à la fos, les stratéges des assurés et celles des assureurs.

281 Chaptre La stratége de l assuré : a/ La décson de fraude et/ou de falsfcaton: Dans cette expérmentaton, la décson prse par l assuré consste à chosr dans une premère étape de falsfer ou pas et dans une deuxème étape de frauder ou pas. On rappelle que la falsfcaton ou encore la fraude coûteuse permet de rendre l actvté d audt mparfate. Toutefos, un assuré qu décde de ne pas falsfer peut tout de même frauder, mas dans ce cas l audt devent parfat (détecton systématque de la fraude). Ce processus peut être résumé par le schéma suvant : Non détecton udt mparfat Falsfcaton Fraude Détecton Non audt Non détecton udt parfat Détecton Fraude Non audt Non détecton Non falsfcaton Non Fraude udt ou non ndemnté Pour étuder la décson de l assuré, nous défnssons le modèle multnomal suvant : Pour un assuré, avec = , la varable à explquer y ( falsfraud ) peut prendre 3 : ne pas falsfer et ne pas frauder modaltés : 1: ne pas falsfer mas frauder 2 :falsfer et frauder Nous supposons que les modaltés j sont mutuellement exclusves pour chaque ndvdu, c est-à-dre : 2 j= Prob(y = j) = 1. La probablté assocée à chaque réponse est : Prob(y = j) = Fj(X, β) = 1,...6 et j =,1, sujets ont partcpé à cette expérmentaton qu content 12 sessons. Dans chaque sesson, l y a 1 assureur et 5 assurés.

282 Chaptre F j est la foncton de répartton utlsée pour calculer la probablté que l assuré chost la modalté j. C est une foncton des varables explcatves X et du vecteur de paramètresβ. Nous défnssons les varables bnares y j comme sut : y j = 1 = s y snon = j = 1,2,...6 et j =,1,2 On peut écrre la vrasemblance du modèle comme le produt des probabltés assocées aux dfférentes modaltés, cec pour tous les assurés : 36 L = F ( X, β) = 1 2 j= j yj l s agt donc, d un «Probt Multnomal Ordonné» (vor Caudll, Steven, yuso et Mercedes (25) 15 ), où la varable à explquer ( falsfraud ) est codée comme sut : Falsfraud = s l assuré décde de ne pas falsfer et de ne pas frauder à la pérode t. Falsfraud = 1 s l assuré décde de ne pas falsfer et de frauder à la pérode t. Falsfraud = 2 s l assuré décde de falsfer et de frauder à la pérode t. t Cette varable ( falsfraud ) est foncton de la sére des varables explcatves suvantes : ( Sn t, Dom t, F t, t T det t, FFR t, CTR t ). Dans les deux tableaux suvants, nous présentons respectvement, les défntons et les descrptons statstques (moyenne, écart-type, valeur mnmale, valeur maxmale) des dfférentes varables explcatves : Nom de la varable Sn t Descrpton de la varable Snstralté, représente pour l assuré le nombre de snstres subs de la pérode 1 jusqu à la pérode t, dvsé par le nombre de pérode (t). Dom Dommage subt par l assuré à la pérode t. t F t Fréquence d audt, représente le nombre de fos où l assuré a été contrôlé de la pérode 1 jusqu à la pérode (t 1), dvsé par le nombre de déclaratons effectuées par cet assuré de la pérode 1 jusqu à la pérode (t 1). 15 Dans leur paper, les auteurs présentent une estmaton du modèle (G) de rts, yuso et Gullen (22) à l ade d un logt multnomal. La verson contrante de ce modèle est utlsée pour réexamner, les données d une assurance espagnole. Les résultats ndquent comment on peut dentfer les dommages frauduleux, en utlsant l approche de G.

283 Chaptre 5 28 T det t Taux de détecton, représente le nombre de fos où l assuré a été détecté en tant que fraudeur de la pérode 1 jusqu à la pérode (t 1), dvsé par le nombre de fos où cet assuré a fraudé de la pérode 1 jusqu à la pérode (t 1). FFR t Fras de Falsfcaton Relatfs : représente ce que coûte à l assuré la falsfcaton du dommage par rapport à sa déclaraton. FFR = t (Fras de Falsfcat on) (Déclaraton) t t CTR t Contrôle, représente une varable muette (dummy) qu prend la valeur 1 s l assuré a été contrôlé en (t 1) et snon. Varable Obs Mean Std. Dev. Mn Max Falfr sn Dom F Tdet FFR CTR Le résultat de l estmaton est donné dans ce qu sut: Ordered probt estmates Number of obs = 12 LR ch2(6) = Prob > ch2 =. Log lelhood = Pseudo R2 = Falfr Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. nterval] sn Dom F CTR Tdet FF _cut (ncllary parameters) _cut Falfr Probablty Observed Pr( xbu<_cut1) Pr(_cut1<xbu<_cut2).51 2 Pr(_cut2<xbu).4863

284 Chaptre La régresson montre que le modèle est globalement sgnfcatf (cf. test de rapport de vrasemblance (LR), Prob > ch2 =.) et que les coeffcents des varables (Sn, Dom, CTR et FF) sont auss sgnfcatfs. Toutefos, les paramètres des varables F et Tdet sont non sgnfcatfs. Le «pseudo 2 2 R» ( R de Mcfadden) est de l ordre de.6187 prouvant la bonne qualté de l ajustement. Nous constatons de plus, que les proportons des sujets qu chosssent les modaltés et 2 (sot ne pas falsfer n frauder (), sot falsfer et frauder (2)), sont respectvement de l ordre de.4627 et.4863, par contre la proporton des sujets qu fraudent sans falsfer (modalté 1) est très basse (=.51). Cette estmaton nous a perms de retrer les constatatons suvantes : Constat 1: Les assurés ont tendance à ne pas falsfer et à ne pas frauder lorsque le nombre de snstres subs augmente et lorsqu ls font face à des dommages de talle mportante. En effet, le sgne postf des coeffcents des varables Sn t et Dom t ndque que lorsque l assuré fat face à des snstres fréquemment, l a de mons en mons tendance à falsfer et à frauder. De plus la varable FF (fras de falsfcaton) est affectée d un sgne postf. Cec prouve d une part, que les fras de falsfcaton permettent aux assurés de ben organser la fraude, et d autre part, que ces assurés ne sont pas trop nfluencés par l augmentaton de ces fras dans leurs décsons. Lorsque l état de snstralté est mportant, la probablté de falsfer et de frauder tend à basser. Cec prouve qu l est plus facle à l assuré de falsfer lorsqu l ne subt pas de dommage, d une part, parce que les fras relatfs ne sont pas trop élevés pour qu ls soent dssuasfs, et d autre part, parce qu en cas de détecton de la fraude par l assureur, le fraudeur ne rsque perdre que le montant de l amende. Par contre, en cas de survenance effectve du dommage, le fraudeur rsque supporter lu-même le dommage (refus d ndemnsaton en cas de détecton). Par alleurs, et dans le même sens que ce qu précède, pour les montants de dommage élevés, la probablté de falsfcaton et la probablté de fraude sont de mons en mons mportantes. Constat 2 : Même s l audt fréquent peut avor un effet dssuasf sur les fraudeurs, sa mauvase qualté peut le rendre non crédble et neffectf.

285 Chaptre En effet, l estmateur de la varable F est non sgnfcatf (P> z =.843). Nous en dédusons, que lorsque l audt devent mparfat à cause de la falsfcaton, l assureur a ntérêt à fare augmenter la fréquence de contrôle, pour pouvor compenser la mauvase qualté de l audt et augmenter par conséquent la probablté de détecter les fraudeurs. Néanmons, la mauvase qualté de l audt (non crédble), fat que ce derner n at aucun effet sur les fraudeurs (neffectf). D autre part, le paramètre de la varable CTR est postf. Cec prouve qu un assuré contrôlé à la pérode (t-1), a plus tendance à falsfer et frauder à la pérode t. L explcaton donnée à cette constataton est que, certans assurés rasonnent de la façon suvante : s après expertse de leur déclaraton, l s est avéré qu ls sont honnêtes, alors ls peuvent profter de la pérode qu sut pour frauder. Pour eux, l assureur dot fare confance en eux, pusqu ls étaent honnêtes aux pérodes précédentes, et donc, l ne va pas les contrôler après. Enfn, la varable Tdet est non sgnfcatve (P> z =.744). En effet, ce taux ne reflète pas le taux réel de la fraude, pusque la procédure d audt est mparfate, c'est-à-dre que la détecton de la fraude est non systématque. Par conséquent, cette varable ne peut avor d effet sur l assuré dans la mesure où, ben que l audt sot fréquent, la détecton de la fraude ne peut être que probable. Cec confrme encore plus la non crédblté de l audt. b/ L ampleur de la fraude : Comme nous l avons déjà mentonné dans les paragraphes précédents, la décson de l assureur est double : l s agt tout d abord de chosr entre falsfer ou pas, frauder ou pas, et ensute de chosr quel montant déclarer. Pour cec, nous jugeons qu l est ntéressant d étuder l effet de certanes varables (survenance de dommage, sancton applquée, détecton de la fraude, gan espéré de la fraude ) sur l ampleur de la fraude. ns, nous utlsons la régresson suvante : F t = α θ Falsf 1 t θ 2 Sdom t θ 3 BR t θ 4 San t θ 5 Det t θ 6 G t ν ε t Dans ce modèle ( ν ε t ) représente le résdu avec ν le paramètre ndvduel aléatore et εt la varable aléatore portant les proprétés usuelles (moyenne, non corrélée avec elle-même, non corrélée avec les varables explcatves, non corrélée avec ν et homoscédastque).

286 Chaptre Les défntons et les descrptons statstques (moyenne, écart-type, valeur mnmale, valeur maxmale) des dfférentes varables sont résumées dans les deux tableaux suvants : Nom de la varable F t Falsf t Sdom t BR t San t Det t G t Descrpton de la varable mpleur de la fraude, représente pour chaque assuré ( = 1 6), l ampleur de la fraude à la pérode t (t = 1 17), c est-à-dre la dfférence entre la déclaraton et le dommage réel. Falsfcaton, représente une varable Dummy qu prend la valeur 1, s l assuré falsfe en t et alleurs. Survenance de dommage pour l assuré à la pérode t. C est une varable muette (dummy) qu prend la valeur 1 s l assuré subt un dommage et snon. Bonus Relatf, représente le taux de couverture pour un assuré honnête contrôlé. l est égal au montant du bonus dvsé par la déclaraton de l assuré à la pérode t. Bonus BR t =, BR = en cas de fraude. (Déclaraton) t Sancton, représente la sancton relatve à la déclaraton effectuée par l assuré à la pérode t. Détecton, représente une varable muette (dummy) qu prend la valeur 1 s l assuré a été détecté en (t 1) et snon. Gan, représente le gan espéré de la fraude pour l assuré à la pérode t Varable Obs Mean Std. Dev. Mn Max F falsf Sdom BR San Det G

287 Chaptre Le résultat de l estmaton est donné dans ce qu sut : Random-effects GLS regresson Number of obs = 12 Group varable () : ssurer Number of groups = 6 R-sq: wthn =.4542 Obs per group: mn = 17 between =.8749 avg = 17. overall =.6156 max = 17 Random effects u_ ~ Gaussan Wald ch2(6) = corr(u_, X) = (assumed) Prob > ch2 = F Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. nterval] falsf Sdom BR San Det G _cons sgma_u sgma_e rho (fracton of varance due to u_) L estmaton de ce modèle montre que ce derner est globalement sgnfcatf (cf. test de Wald, avec Prob > ch2 =.), ans que les paramètres des dfférentes varables explcatves, à l excepton du coeffcent de la varable Det qu présente un P> z =.2 (varable non sgnfcatve). Le 2 R nter-groupe 16 2 est de l ordre de.8749 et le R de la régresson groupée est de l ordre de.6156, prouvant la bonne qualté de l ajustement surtout pour le modèle utlsant la moyenne des groupes d ndvdus. Le test de Multplcateur de Lagrange pour les effets aléatores (var ( ν ) = ) de Breusch et Pagan (198) et le test de spécfcaton de Hausman (1978), montrent que notre modèle est ben spécfé, du moment où les estmateurs du modèle à effet fxe et celu à effet aléatore sont statstquement les mêmes R représente la mesure habtuelle de la qualté de l ajustement dans une régresson ordnare. Les estmateurs de α et β sont respectvement α βˆ y = y T et x x / T. 2 R overall correspond à l équaton : 2 R between correspond à l équaton : 2 R wthn correspond à l équaton : ˆ et. t t / = t t y ˆ = α ˆ βˆ t x t y ˆ = α ˆ βˆ t x y ˆ~ = (ˆ y yˆ ) = ( x x ) βˆ t t (estmateur de la régresson groupée) (estmateur nter-groupes) t (estmateur ntra-groupes)

288 Chaptre Breusch and Pagan Lagrangan multpler test for random effects: F[ssurer,t]=Xbu[ssurer]e[ssurer,t] Estmated results: Var sd = sqrt(var) F e u Test: Var(u) = ch2(1) = Prob>ch2 =. Hausman specfcaton test ---- Coeffcents ---- Fxed Random F Effects Effects Dfference falsf Sdom BR San Det G Test: Ho: dfference n coeffcents not systematc ch2(6)=(b-b)'[s^(-1)](b-b),s=(s_fe- S_re) =. Prob>ch2 = 1. Nous pouvons en retrer les constatatons suvantes : Constat 3 : La fraude est plus mportante en cas de faux snstre falsfé 17. En effet, le sgne négatf de l estmateur de la varable Sdom, ndque que l ampleur de la fraude est mons mportante lorsque l assuré subt un dommage. u cas contrare (pas de dommage), le fraudeur préfère déclarer un faux snstre d un montant élevé (l ampleur de la fraude est plus mportante en cas de faux snstre). Cec est lé à la sancton : le fraudeur ne rsque perdre dans ce cas, que le montant de l amende. En plus, à cause de la mauvase qualté de l audt, l expertse devent neffectve et perd de plus en plus sa crédblté, ce qu encourage les fraudeurs à augmenter de plus en plus leurs déclaratons. Ce résultat est encore confrmé par le sgne postf de la varable Falsf. En effet, lorsque l assuré chost de falsfer le dommage dans une premère étape, nous constatons qu l a plus tendance par la sute, à augmenter le montant de la déclaraton. La falsfcaton entraîne l mperfecton de l audt et donc la possblté de non détecton de la fraude. C est ce qu pousse les assurés à en profter pour retrer des gans mportants, en déclarant des montants élevés, pusque la détecton probable de la fraude ne leur fat perdre que le montant de l amende. 17 Faux snstre, sgnfe la déclaraton d un dommage qu n a pas eu leu en réalté, et falsfé sgnfe que l assuré supporte des fras (de falsfcaton) pour rendre l actvté d audt mparfate (la détecton de la fraude n est pas systématque).

289 Chaptre Constat 4 : Récompenser les assurés honnêtes par versement d ndemnté plus généreuse permet d atténuer l ampleur de la fraude. Ce constat est établ sur la base que le paramètre de la varable BR est de sgne négatf. En effet, le fat de verser un bonus pour les assurés honnêtes, permet d atténuer l ampleur de la fraude. Le but d une telle poltque est d encourager les gens honnêtes à contnuer à déclarer toujours la vérté. Ce bonus représente une récompense permettant de dstnguer les assurés honnêtes des assurés fraudeurs. Cela permet auss d ncter les fraudeurs à devenr honnêtes. Ce résultat est encore en accord avec la constataton suvante : Constat 5 : Pénalser les fraudeurs par refus d ndemnsaton et paement d une amende est dssuasf. FM ,41 282,35 31,82 48,24 534,71 545,6 587,65 74,12 871, ,4 1582,4 2358,2 Sancton moyenne Fgure 5 : Evoluton de l ampleur de la fraude (FM) en foncton de la sancton Cette constataton relatve à l effet dssuasf de la sancton est llustrée par le sgne négatf de l estmateur de la varable San. En effet, pénalser les fraudeurs détectés par refus d ndemnsaton et par paement d une amende, a un mpacte négatf sur l ampleur de la fraude. ns, lorsque l assuré fat face à un dommage et décde de le falsfer la déclaraton, l sat que même s l audt est mparfat, l assureur peut lu applquer une sancton très sévère en cas de détecton. Par conséquent pour les dommages de talle mportante, l assuré n est pas ncté à frauder car en cas de détecton, l rsque de supporter en plus des fras de réparaton du dommage (refus d ndemnsaton) une amende. D autre part, l estmaton du modèle montre auss que le coeffcent de la varable G est affecté d un sgne postf. Cette constataton ndque le comportement type des opportunstes

290 Chaptre qu n ont pas été détectés pluseurs fos auparavant, et essayent de trer proft de la fraude. C est ce qu confrme encore plus, que la varable Det sot non sgnfcatve, dans la mesure où malgré qu elle pusse avor un effet négatf sur l ampleur de la fraude, elle ne représente aucune nfluence sur le comportement des assurés. Cec s explque auss, par l mperfecton et l neffectvté de l audt. Ces assurés opportunstes rasonnent de la façon suvante : s ls étaent détectés auparavant, cela ne sgnfe pas qu ls pourront l être à coup sûr ultéreurement, pusqu ls ont la possblté de falsfer les dommages et rendre la détecton de la fraude non systématque. Cec nous amène au constat 6 suvant : Constat 6 : Lorsque l actvté d audt est mparfate à cause de la falsfcaton des dommages, la détecton passée de la fraude n a pas d effet sur le comportement futur de l assuré La procédure d audt : stratége de l assureur a/ Décson d audt : l s agt à ce nveau d étuder le comportement de l assureur à travers un modèle Probt, permettant d explquer la décson d audt à l ade de certanes varables. La varable latente ( udt ) ndque la propenson à audter, de l assureur ( = 1 12), à la pérode t (t = * t 1 17). * udt t est explquée par un vecteur de varables observables X, un vecteur de paramètre δ et un terme aléatore noté v t ayant comme dstrbuton statstque la lo de Gauss (dstrbuton normale), avec une moyenne et une varance udt = δx v * t La varable latente udt est nobservable, mas nous pouvons observer s l ndvdu * t t t 2 σ. procède à un audt ou non. De façon plus rgoureuse, le modèle s écrt : udt t * 1 s udt t > = alleurs tel que udt t = 1 s l ndvdu procède à un audt et udt t = snon.

291 Chaptre Dans les deux tableaux suvants nous présentons respectvement la sére des varables explcatves (défntons et notatons respectves) et leurs descrptons statstques (moyenne, écart-type, valeur mnmale, valeur maxmale) : Nom de la varable Dec t T det t Descrpton de la varable Déclaraton reçu par l assureur à la pérode t. Chaque assureur reçot 5 déclaratons à chaque pérode (5 assurés dfférents). Taux de détecton de la fraude, représente pour chaque assuré le nombre de fraudes détectées jusqu à (t 1), dvsé par le nombre de fos où l a été contrôlé. T det t = nombre de fraudes détectées jusqu' à nombre de controle jusqu' à (t -1) (t -1) CR t Coût d udt Relatf, représente le montant du coût d audt supporté à la pérode t, dvsé par le montant de la déclaraton à la pérode t. Varable Obs Mean Std. Dev. Mn Max udt Dec Tdet CR Les résultats de la régresson sont donnés dans le tableau suvant : Random-effects probt Number of obs = 12 Group varable () : ssureur Number of groups = 6 Random effects u_ ~ Gaussan Obs per group: mn = 17 avg = 17. max = 17 Wald ch2(3) = Log lelhood = Prob > ch2 = udt Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. nterval] Dec Tdet CR _cons /lnsg2u sgma_u rho Lelhood rato test of rho=: ch2(1) = 1.49 Prob > ch2 =.

292 Chaptre L estmaton montre que le modèle est globalement sgnfcatf (cf. test de Wald, Prob > ch2 =.) ans que les varables (Dec et CR). Par contre, la varable Tdet est non sgnfcatve. Cette estmaton, nous a perms de dégager certanes constatatons : Constat 7 : Les déclaratons élevées ont plus de chance d être contrôlées. Ce constat est en lason avec le sgne postf du coeffcent de la varable Dec. En effet, lorsque la déclaraton de dommage est mportante, nous remarquons que la probablté d audt est plus mportante. Pusque l audt est de mauvase qualté, à cause de la falsfcaton des dommages par les assurés, l assureur est ncté à amélorer sa poltque de contrôle afn de pouvor compenser cette défallance au nveau de la détecton de la fraude. Ben que ce contrôle fréquent lu fat supporter des coûts, l s avère plus ntéressant à l assureur de vérfer les dommages (surtout de grandes talles) avant de les rembourser. Constat 8 : La décson d audt ne dépend pas du taux de détecton de la fraude. La varable Tdet est non sgnfcatve (P> z =.646). premère vue ce résultat nous parat bzarre, dans le sens où l audt dot être étrotement lé à la détecton de la fraude. Néanmons, dans cette parte, l audt est supposé de mauvase qualté, c'est-à-dre qu l ne permet pas de détecter la fraude à coup sûr, à cause de la possblté pour l assuré de falsfer les dommages avant de les déclarer. Par conséquent, le taux de détecton de la fraude ne représente pour l assureur qu une parte du taux de fraude réel. D une part, parce que l actvté d audt est mparfate (la détecton de la fraude est non systématque) et d autre part, parce que certans fraudeurs réussssent à ben falsfer les dommages de façon à ce qu l sot mpossble pour l assureur d observer la fraude. Constat 9 : Malgré l augmentaton des coûts d audt, l assureur contnue toujours à contrôler. Le coeffcent de la varable CR est affecté d un sgne postf. Ce qu explque l dée que malgré que le coût d audt sot assez élevé, l assureur décde tout de même de vérfer les

293 Chaptre 5 29 déclaratons. ns, pusque l actvté de l audt est mparfate et ne permet pas de détecter les fraudeurs avec certtude, l assureur trouve qu l est plus ntéressant de supporter des coûts supplémentares et de dmnuer les chances de payer des ndemntés non mértés, surtout lorsque les déclaratons sont mportantes (le coût d ndemnsaton est beaucoup plus élevé que le coût d audt). b/ La fréquence d audt : Dans cette régresson, nous explquons la fréquence d audt ( F ) dans chaque groupe (assocée à chaque assureur ) à la pérode t, en foncton de certanes varables explcatves. t F = α α p α MN α C α G w t 1 2 t 3 t 4 t 5 t t Nom de la varable Descrpton de la varable F Fréquence d udt pour l assureur à la pérode t. t Nombre d' assurés contrôlés par l'assureur à la pérode t F t = Nombre de déclarato ns reçues par l'assureur à la pérode t pt = 1 TFD t p est la probablté d mperfecton de l audt et TFD est le Taux de Fraude Détectée par l assureur en t-1, avec Nombre de fraudeurs détectés en (t -1) TFD t = Nombre d' assurés contrôlés en (t -1) MN ndemnté Moyenne en cas de Non udt ou coût moyen t d ndemnsaton, représente ce que l assureur dot payer à la pérode t, s l ne procède pas à un audt. Somme des détectons en t MN t = C t G t w t Nombre de déclaratons en t Coût d udt total, représente ce que coûte à l assureur les contrôles effectués à la pérode t. Gan fnal de l assureur à la pérode (t-1) Terme d erreur composé d un paramètre ndvduel aléatore ( ν ) et d une varable aléatore ( ε t ) portant les proprétés usuelles (moyenne, non corrélée avec elle-même, non corrélée avec les varables explcatves, non corrélée avec ν et homoscédastque). La descrpton statstque (moyenne, écart-type, valeur mnmale, valeur maxmale) de ces varables est donnée dans le tableau suvant :

294 Chaptre Varable Obs Mean Std. Dev. Mn Max F p MN C G Le résultat de l estmaton est donné dans le tableau suvant : Random-effects GLS regresson Number of obs = 24 Group varable () : ssureur Number of groups = 12 R-sq: wthn =.4119 Obs per group: mn = 17 between =.6678 avg = 17. overall =.586 max = 17 Random effects u_ ~ Gaussan Wald ch2(4) = 175. corr(u_, X) = (assumed) Prob > ch2 = F Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. nterval] p MN e-6 C G 8.19e e e _cons sgma_u sgma_e rho (fracton of varance due to u_) L estmaton montre que le modèle est globalement sgnfcatf, par contre certanes varables explcatves sont non sgnfcatves. Le 2 R nter-groupes et le 2 R de la régresson groupée sont respectvement égaux à.6678 et.586, prouvant la bonne qualté de l ajustement. Le test de Multplcateur de Lagrange pour les effets aléatores (var ( ν ) = ) de Breusch et Pagan (198) et le test de spécfcaton de Hausman (1978), montrent que notre modèle est ben spécfé, pusqu l n exste pas de dfférences sgnfcatves entre les estmateurs du modèle à effet fxe et celu à effet aléatore.

295 Chaptre Breusch and Pagan Lagrangan multpler test for random effects: F[ssureur,t] = Xb u[ssureur] e[ssureur,t] Estmated results: Var sd = sqrt(var) F e u Test: Var(u) = ch2(1) = Prob>ch2 =. Hausman specfcaton test ---- Coeffcents ---- Fxed Random F Effects Effects Dfference p MN C G 2.51e e e-6 Test: Ho: dfference n coeffcents not systematc ch2( 4) = (b-b)'[s^(-1)](b-b), S = (S_fe - S_re) =. Prob>ch2 = 1. La varable p t, représente le taux d mperfecton de l audt. Ce taux ne donne qu une valeur approxmatve pour l assureur quant à l effcacté de l expertse. En effet, lorsqu l procède à une vérfcaton des dommages, l assureur ne peut pas connaître le nombre exact de fraudeurs n les personnes précses qu ont fraudé. Ce qu l peut détermner c est unquement le taux de détecton de la fraude (TFD) d après les contrôles effectués. Par alleurs, le coeffcent de la varable p t est non sgnfcatf, prouvant le fat que ben que l assureur observe le résultat de l expertse (les fraudeurs détectés), après la vérfcaton des déclaratons, l ne peut pas toutefos, se baser sur cette varable pour défnr sa fréquence de contrôle. ns, même s cette probablté tend à dmnuer (la détecton de la fraude augmente), l contnue toujours à augmenter la fréquence de contrôle pour pouvor combler l mperfecton de l audt (augmenter les chances de détecton des fraudeurs). D où le constat suvant : Constat 1 : La probablté d mperfecton de l audt n a pas d effet sur la décson de l assureur. Lorsqu elle devent élevée, l audt est neffectf et l assureur n a plus ntérêt à contrôler. Cec sgnfe, que grâce à la falsfcaton des dommages, les fraudeurs réussssent à rendre l actvté d audt neffectve. Par conséquent, l assureur est ncté à ne pas contrôler, pusque cela, lu fat encourr des coûts supplémentares sans qu l n arrve à détecter la fraude. Le coeffcent de la varable C est postf. Ce qu prouve que même s le coût de l audt est mportant, l assureur contnue à augmenter la fréquence d audt. Ce résultat est en accord avec

296 Chaptre la non sgnfcatvté du coeffcent de la varable G (sgnfcatf unquement à 1%). Le gan de fn de pérode de l assureur n a pas d effet sur la fréquence d audt. Cec confrme encore plus le constat 9. Constat 11 : L assureur contrôle plus fréquemment les assurés, lorsque le coût d ndemnsaton augmente. Ce constat tradut le sgne postf de la varable MN. En effet, l augmentaton de la somme d ndemnté à rembourser, pousse l assureur à vérfer plus fréquemment les déclaratons. l est plus ntéressant, de mener une expertse avant de rembourser les assurés, surtout pour les déclaratons de talle mportante. FM 1,2 1,8,6,4, MN Fgure 6: Evoluton de la fréquence d audt moyenne (FM) en foncton de l ndemnté Moyenne versée en cas de Non udt (MN) Vu que certanes varables sont non sgnfcatves, pour amélorer la qualté de l estmaton, nous avons effectué une régresson sur les moyennes des groupes. Plus précsément, nous avons estmé l équaton de la forme : ŷ = α ˆ x βˆ t t, avec y t la varable à explquer (F moyenne), x le vecteur des varables explcatves, etβ le vecteur des paramètres à estmer. Le résultat de cette estmaton par GLS a donné les résultats suvants :

297 Chaptre Between regresson (regresson on group means) Number of obs = 24 Group varable () : ssureur Number of groups = 12 R-sq: wthn =.1296 Obs per group: mn = 17 between =.9623 avg = 17. overall =.2322 max = 17 F(4,7) = sd(u_ avg(e_.))= Prob > F = F Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. nterval] p MN 4.47e C G _cons Constat 12: La fréquence d audt est crossante en foncton du taux d mperfecton de l audt. Le coeffcent de la varable p est postf, ce qu prouve que l assureur tend à augmenter la fréquence d audt moyenne lorsque le taux d mperfecton de l audt augmente. L dée est que l assureur cherche à maxmser ses chances de détecter les fraudeurs, pusque l actvté d audt est mparfate. De surcroît, en augmentant la fréquence de contrôle, l augmente la probablté de détecton de la fraude (compenser la mauvase qualté de l audt). Fréquence d'audt moyenne 1,2 1,8,6,4,2,3245,429,4127,5794,5922,6118,668,6618,6667,696, probablté de non détecton Fgure 7: Evoluton de la fréquence d audt moyenne (FM) par rapport à la probablté de non détecton de la fraude (p)

298 Chaptre Confrontaton des résultas expérmentaux et des hypothèses théorques: Ce paragraphe a pour objet de précser comment les constatons emprques ssues de la parte expérmentales, permettent de valder les prédctons théorques de notre modèle. Dans un premer temps, nous présentons un récaptulatf de ces dfférents résultats, et dans un deuxème temps, nous exposons les dfférentes nterprétatons Tableau récaptulatf : Résultats emprques Résultats théorques Constats Propostons Les assurés ont tendance à ne pas falsfer et à ne pas frauder lorsque le nombre de snstres subs augmente et lorsqu ls font face à des dommages de talle mportante. Même s l audt fréquent peut avor un effet dssuasf sur les fraudeurs, sa mauvase qualté peut le rendre non crédble et sans effet. Récompenser les assurés honnêtes par versement d ndemnté plus généreuse permet d atténuer l ampleur de la fraude. Malgré l augmentaton des coûts d audt, l assureur contnue toujours à contrôler. La probablté d mperfecton de l audt n a pas d effet sur la décson de l assureur. Lorsqu elle devent élevée, l audt est neffectf et l assureur n a plus donc ntérêt à contrôler. Proposton 1 Corollares (1,2,3) Proprétés du profl d ndemnsaton : * s * s * s =, alors p = 1 >, alors p < θ <, alors θ < p < 1 * Quel que sot le profl d ndemnsaton offert, le contrat d assurance mplque une mperfecton de l audt en cas de falsfcaton. * l est optmal de récompenser l assuré en cas d audt : offrr une ndemnté plus généreuse. * Lorsque p = 1, la stratége d audt est neffectve. Dans ce cas, l assureur n aura jamas ntérêt à contrôler la déclaraton de snstre de l assuré, n à offrr un contrat d assurance postf.

299 Chaptre Les déclaratons élevées ont plus de chance d être contrôlées 8 12 La décson d audt ne dépend pas du taux de détecton de la fraude La fréquence d audt est crossante en foncton du taux d mperfecton de l audt. Proposton 3 * λ(.) est crossante et concave en foncton de * λ(.) est crossante et convexe en foncton de p 11 L assureur contrôle plus fréquemment les assurés, lorsque le coût d ndemnsaton augmente 3 La fraude est plus mportante en cas de faux snstre falsfé. 5 6 Pénalser les fraudeurs par refus d ndemnsaton et paement d une amende est dssuasf. Lorsque l actvté d audt est mparfate à cause de la falsfcaton des dommages, la détecton passée de la fraude n a pas d effet sur le comportement futur de l assuré. Corollare 4 l est possble d utlser une fréquence de contrôle fable mas suffsante, assocée à une sancton monétare très élevée pour dssuader l assuré de frauder Les constatatons expérmentales sont elles conformes aux prédctons théorques? : L dée centrale de cette analyse est de défnr le contrat d assurance optmal, lorsqu l est possble pour l assuré de frauder et éventuellement de falsfer les dommages. Nous sommes ans, arrvés dans les partes théorque et expérmentale à défnr les dfférentes clauses du contrat et notamment, l ndemnté optmale, la fréquence d audt optmale et la sancton optmale. Ces tros varables centrales représentent la rason pour laquelle le chaptre présent s artcule autour de deux axes prncpaux : Le premer axe, s ntéresse à la défnton de l ndemnté d assurance optmale, dans un contexte de fraude coûteuse et d audt mparfat. Le second, concerne la caractérsaton de la poltque d audt optmale - fréquence d' audt permettant de fare face à la fraude et à la falsfcaton. - Sancton

300 Chaptre a) Quelle ndemnté d assurance offrr? Les prédctons théorques quant à l ntérêt d offrr une ndemnté plus généreuse en cas d audt afn d atténuer l ampleur de l mperfecton de l audt, ont été plenement vérfées, dans la mesure où : d une part, les assurés ont tendance à ne pas falsfer et à ne pas frauder lorsque le nombre de snstres survenus augmente et lorsqu ls font face à des dommages de talle mportante. Cette constataton tradut l dée que, le fat de fare face à des dommages fréquemment, pousse les assurés à être honnêtes surtout que l audt leur fat bénéfcer d un bonus pour leur honnêteté. En outre, lorsque ces dommages sont élevés, la fraude s elle est détectée peut leur fare perdre le drot à l ndemnsaton. C est pour cette rason, que les assurés n ont pas ntérêt à frauder dans ce cas (dommages mportants). d autre part, et du coté de l assureur, malgré l augmentaton du coût de l audt, nous constatons, qu l contnue toujours à contrôler dans le but d augmenter ses chances de détecter les fraudeurs et de ne pas payer d ndemntés non mértés. En outre, même s l audt fréquent peut avor un effet dssuasf sur les fraudeurs, sa mauvase qualté peut le rendre non crédble et neffectf. Néanmons, cette poltque permet d amélorer la qualté de l audt en matère de détecton de la fraude, mas elle est toujours génératrce de fraude à cause de la falsfcaton des dommages. b) Dot-on contrôler très fréquemment les assurés? et de quelle sancton les menacer? Ce paragraphe concerne la poltque d audt optmale adoptée par l assureur pour pouvor dssuader les fraudeurs. Notamment, l s agt d une part de précser la fréquence d audt nécessare pour compenser l mperfecton de l audt et d autre part, d analyser le système de sancton déal permettant de rendre l audt effectf. Pour qu l sot optmal, l audt dot présenter une relaton postve (crossante) entre la fréquence de contrôle et l ndemnté d assurance d une part et la probablté d mperfecton de l audt d autre part. Cec veut dre, comme nous l avons déjà mentonné dans le paragraphe précédent, que lorsque le coût d ndemnsaton augmente pour l assureur, ce derner a ntérêt à contrôler plus fréquemment plutôt que de payer des ndemntés non mértés. C est ce qu prouve que les déclaratons élevées (ndemntés élevées) ont plus de chance d être contrôlées.

301 Chaptre Egalement, à cause de la mauvase qualté de l audt, lée à la falsfcaton des dommages, la détecton de la fraude n est plus certane, ce qu pousse l assureur à augmenter la fréquence d audt pour pouvor augmenter les chances de détecton des fraudeurs et compenser la mauvase qualté de l audt. En outre, pour ce qu est de la sancton optmale adoptée, nous avons constaté à la fos dans les partes expérmentale que théorque, que le fat de pénalser les fraudeurs par refus d ndemnsaton et paement d une amende est dssuasf. Cec soulgne l dée, que la fraude est d autant plus mportante en cas de faux snstre falsfé 18. Par conséquent, l assureur dot augmenter la fréquence de contrôle, lorsque la sancton basse. Dans le cas nverse, la menace d une sancton très sévère, peut permettre à l assureur de révser la fréquence de l audt à la basse. Ce résultat a été prouvé auss par le fat que les tendances de fraude et de falsfcaton dmnuent lorsque les assurés font face à des dommages mportants udt parfat versus udt mparfat : l s agt de comparer les résultats de l expérmentaton présentés dans le chaptre 4 avec ceux du chaptre 5. Notamment, l objectf de ce paragraphe est d étuder l mpact de la fraude coûteuse (falsfcaton) sur les comportements ndvduels des assurés et des assureurs. Plus précsément, l s agt dans ce paragraphe de tester les prédctons théorques suvantes : La fréquence d audt est plus mportante en cas d audt mparfat ( λ F ) qu en cas d audt parfat ( λ NF ). En effet, à cause de l augmentaton du taux de fraude par la falsfcaton des dommages, l assureur dot accroître la fréquence des contrôles. Lorsque la probablté d mperfecton de l audt est élevée, l audt devent neffectf, une poltque menaçant d une sancton (S) sévère assocée à un audt peu fréquent peut avor un effet dssuasf (s λ NF décroît plus vte que λ F lorsque S augmente). Lorsque la probablté d mperfecton de l audt est basse, l audt est dans ce cas dssuasf, une poltque menaçant d une sancton sévère assocée à un audt peu fréquent est très effcace ( λ NF décroît mons vte que λ F lorsque S augmente). 18 Cec découle du fat qu l n est pas de l ntérêt de l assuré de frauder en cas où l fat face à un snstre, parce que la détecton de la fraude lu fat supporter la charge de ce dommage (refus d ndemnsaton) en plus du paement de l amende. Par contre, la fraude devent plus bénéfque en cas de déclaraton de faux snstre (dommage qu n a pas eu leu), dans la mesure où s l est détecté, l assuré ne rsque de perdre que le montant de l amende.

302 Chaptre L dée centrale qu orente cette comparason, consste à étuder l effcacté d une poltque de menace de pénalté sévère en cas où l audt devent neffectf. Plus précsément, l s agt de tester la sensblté de la fréquence d audt par rapport à une varaton postve de la sancton (et vce versa), dans le cas où l audt est parfat (fraude non coûteuse) et dans le cas où l audt est mparfat (fraude coûteuse). Pour cec, nous effectuons les deux tests non paramétrques suvants : a) Tester la relaton entre les deux versons d audt ( λ F > λ NF ) : Tout d abord, nous effectuons un test de normalté de Shapro Wl (1965), pour chosr entre les tests usuels et les tests non paramétrques. Les résultats de ce test de normalté sont donnés dans la table suvante: Shapro-Wl W test for normal data Varable Obs W V z Pr > z Ff Fnf Pour les deux varables (Ff : fréquence d audt en cas de falsfcaton, et Fnf : fréquence d audt en cas de non falsfcaton), nous rejetons l hypothèse nulle, selon laquelle la varable en queston sut la lo normale. Pour cec, nous optons pour les tests non paramétrques afn de comparer la fréquence d audt en cas d audt mparfat ( λ ) avec la fréquence d audt en cas d audt parfat ( λ NF ). Notamment, nous utlsons le test U de Mann Whtney (1947) 19. Nous consdérons les deux tratements ndépendants suvants : Tratement (Treat ) : udt (parfat) en cas de non falsfcaton. Tratement 1 (Treat 1) : udt (mparfat) en cas de falsfcaton. Les hypothèses de ce test sont les suvantes : H H a : λ : λ F F = λ > λ NF NF Sous l hypothèse nulle, nous admettons que l assureur n est pas affecté par la falsfcaton des dommages par les assurés. l contrôle les déclaratons des assurés avec la même fréquence dans les deux cas. Par contre, sous l hypothèse alternatve F H a, nous consdérons que 19 Pour plus de détal concernant ce test, vor annexe 3.3. chaptre 3

303 Chaptre 5 3 l assureur accroît la fréquence de contrôle en cas d audt mparfat. Les résultats de ce test sont donnés dans le tableau suvant : Two-sample Wlcoxon ran-sum (Mann-Whtney) test treat obs ran sum expected combned unadjusted varance adjustment for tes adjusted varance Ho: F(treat==) = F(treat==1) z = Prob > z =. Nous ne pouvons accepter l hypothèse nulle H, selon laquelle les deux fréquences sont égales 2. Ce résultat est en accord avec la théore et prouve que l assureur a ntérêt à augmenter la fréquence de contrôle, lorsqu l est possble pour les assurés de falsfer les dommages (le taux de fraude augmente). 1,2 1,8,6 FM (falsf) FM (non falsf),4, Sesson Fgure 8 : Comparason des fréquences d audt moyennes (FM) selon les deux versons d audt (parfat et mparfat) 2 On rejette H car d après les résultats du test, on a trouvé que Prob > z =. qu est largement nféreure à 5%.

304 Chaptre 5 31 b) Tester les comportements des fréquences d audt par rapport à la sancton : λ S λ S NF NF λ F < S s λ F > S s λ p > 1 λ λ p < 1 λ l s agt dans ce paragraphe, d effectuer auss le test U de Mann Whtney. Toutefos, nous avons deux négaltés à vérfer : chacune dépend de la valeur de la probablté d mperfecton de l audt (p). Pour cec, nous procédons comme sut : Tout d abord, nous calculons 21 : Ensute, nous classons les nféreure à 1 λ NF. λf 2 λ NF S λ NF S NF F NF F λ F,, p et S 1 λ NF λf 2 2 λ F et les selon le fat que p sot supéreure ou S Enfn, nous effectuons un premer test de U de Mann Whtney pour le premer cas p λ λ F 2 NF > 1 et un deuxème test de U pour le second cas 2 p λ λ NF < 1. Conformément aux procédures de ce test, nous consdérons les deux tratements ndépendants suvants : Tratement (Treat ) : varaton de la fréquence d audt en cas de non falsfcaton λ par rapport à la sancton ( S NF ). Tratement 1 (Treat 1) : varaton de la fréquence d audt en cas de falsfcaton par λf rapport à la sancton ( ). S F 2 * 1 er cas : Pour cette premère phase, l s agt d effectuer le test pour vor s la varaton de la fréquence d audt λ par rapport à la sancton S est plus mportante en cas de 21 λ NF représente la varaton de la fréquence d audt en cas de non falsfcaton, entre deux pérodes successves. λ F représente la varaton de la fréquence d audt en cas de falsfcaton, entre deux pérodes successves. S représente la varaton de la sancton, entre deux pérodes successves

305 Chaptre 5 32 falsfcaton. Sous l hypothèse nulle, nous admettons que l assureur adopte la même poltque de menace de sancton sévère pour pouvor dmnuer la fréquence de contrôle. l n est pas affecté par la falsfcaton des dommages par les assurés. En effet, nous écrvons : H H a λ F : S λ F : S λ = S λ > S NF NF Les résultats du test U de de Mann Whtney sont résumés dans le tableau suvant : Two-sample Wlcoxon ran-sum (Mann-Whtney) test Treat obs ran sum expected combned unadjusted varance adjustment for tes adjusted varance Ho: vfa(treat==) = vfa(treat==1) z = Prob > z =.22 Nous rejetons l hypothèse H et nous acceptons le fat que la varaton de la fréquence d audt par rapport à la sancton est plus mportante en cas d audt mparfat (falsfcaton) qu en cas d audt parfat. La somme des rangs est plus mportante pour le tratement 1 (Treat 1) λf correspondant à. S Ce résultat confrme ben notre hypothèse théorque pour laquelle λ S λ < S > NF F ss p 1 λ λ NF F 2 et tradusant l dée que la poltque d audt peu fréquent assocé à une sancton sévère n est pas assez effcace pour être dssuasve de fraude, lorsque l audt est mparfat. * 2 ème cas : Pour cette deuxème phase du test, l s agt d effectuer le test pour vor s la varaton de la fréquence d audt λ par rapport à la sancton S est plus mportante en cas de non falsfcaton. En effet, nous écrvons :

306 Chaptre 5 33 H H a λ F : S λ : S NF λ NF = S λ F > S Les résultats du test U de Mann Whtney sont résumés dans le tableau suvant : Two-sample Wlcoxon ran-sum (Mann-Whtney) test Treat obs ran sum expected combned unadjusted varance adjustment for tes adjusted varance Ho: VF(Treat==) = VF(Treat==1) z = Prob > z =.62 Prob > z =.62 ; l hypothèse H est rejetée au seul 1%, mas elle ne l est pas au seul de 5%. Ce résultat ndque que les deux varatons ne sont pas statstquement dfférentes à un seul nféreur à 6%. Ce résultat n est pas plenement en accord avec notre hypothèse théorque pour laquelle λ NF S λ F > S ss λ p < 1 λ NF F 2. Théorquement, nous avons montré que lorsque la probablté d mperfecton de l audt est basse, l audt mparfat peut être dssuasf. Pour cec, l est possble pour l assureur de contrôler mons fréquemment les déclaratons des assurés mas tout en fxant une sancton monétare assez élevée. Néanmons, dans l expérmentaton, lorsque la probablté d mperfecton de l audt est basse, la dmnuton de la fréquence de contrôle, proportonnelle à l augmentaton de la sancton, parat être équvalente dans les deux cas (audt parfat et audt mparfat). Cec est lée au fat que les assureurs préfèrent toujours une poltque d audt très fréquent, les permettant d augmenter les chances de détecton de la fraude. Pour eux cette poltque est plus effcace que celle assocant des sanctons élevées à un audt peu fréquent.

307 Chaptre 5 34 Concluson Générale : Ce derner chaptre a fat l objet d une confrontaton des prédctons théorques aux résultats expérmentaux. Nous avons pu retenr certanes constatatons quant à la défnton du contrat d assurance optmal, et l arbtrage entre la sancton adoptée et la fréquence d audt nécessare pour dssuader la fraude. Nous avons ans montré qu l est optmal de payer une ndemnté plus généreuse récompensant les assurés honnêtes. Cette poltque permet d atténuer l ampleur de la fraude et d apaser la probablté d mperfecton de l audt (probablté de non détecton de la fraude) lée à la falsfcaton des dommages. l est de l ntérêt de l assureur d augmenter la fréquence d audt, lorsque le coût d ndemnsaton est jugé mportant. Ce résultat mplque qu l est préférable de supporter des coûts d audt supplémentares que de rembourser des ndemntés non mértées. De même, lorsqu l est mparfat, l audt fréquent peut permettre d augmenter les chances de détecton de la fraude. D autre part, l assureur dot chercher l arbtrage optmal entre la fréquence d audt utlsée et la sancton adoptée. Sur ce pont, nous avons montré qu l est possble d assocer une sancton sévère à un audt peu fréquent mas suffsant pour que les assurés ne se sentent pas totalement, à l abr du contrôle. Cette poltque peut ne pas être effcace, surtout lorsque les chances de non détecton de la fraude augmentent à cause de l mperfecton de la procédure d audt. Enfn, à ttre comparatf, entre l audt mparfat et l audt parfat ou plus précsément, entre la fraude coûteuse et la fraude non coûteuse, nous avons constaté que l assureur est oblgé d augmenter la fréquence d audt lorsque ce derner est mparfat. utrement dt, sute à l accrossement du taux de fraude à cause de la falsfcaton des dommages, l augmentaton de la fréquence d audt permet de récompenser sa mauvase qualté. Comme extenson de notre traval, présenté dans ce chaptre, l serat ntéressant de tester les mêmes hypothèses théorques à l ade des bases de données de certanes compagnes d assurance et dans certans domanes, tels que, l assurance malade, l assurance ve, et l assurance des accdents corporels, où la fraude et la falsfcaton sont plus répandues.

308 Chaptre 5 35 Pour enrchr cette étude, basée sur la caractérsaton de la poltque d audt optmale nécessare pour dssuader la fraude, nous avons l ntenton de poursuvre cette recherche, en consdérant les deux axes suvants : D une part, adopter une deuxème soluton de lutte contre la fraude, à savor la sousndemnsaton des snstres. Notamment, l s agt au nveau de la parte théorque, d mplémenter une poltque de réglementaton partculère, vsant à sous payer les snstres dont la falsfcaton est facle à établr. Plus exactement, lorsqu l est possble pour l assuré de cacher les caractères observables du snstre, la sous-ndemnsaton des dommages ncte à ne pas nvestr dans des actvtés prvées (falsfcaton) permettant de créer de nouveaux snstres ou de gonfler la valeur de ceux-c. Egalement, nous objectons à tester cette hypothèse, à travers une expérmentaton en laboratore, où l on consdère les nteractons entre des assurés et des assureurs, tout en mettant l accent sur la poltque d ndemnsaton plutôt que sur la poltque d audt. D autre part, étuder une deuxème poltque de sancton, à savor le réajustement de la prme d assurance. l s agt de consdérer que l assureur qu détecte la fraude, peut réajuster la prme d assurance selon le coût d ndemnsaton. Cette poltque dot dscrmner entre les assurés honnêtes et les assurés fraudeurs, de façon à dssuader la fraude. Cette étude s ensut d une expérmentaton qu reconsttue en laboratore ces hypothèses théorques et vérfe leur valdté.

309 Chaptre 5 36 nnexe 5.1. Preuve de la proposton 1 : Le programme d optmsaton s écrt : Maxmser l EU de l assuré: n EU = q = { λ )U ( W P x )) (1 λ )) U ( W P x ))} (1) Sous les contrantes : n P q = { λ )[ ) C] (1 λ )) )} (2) λ λ j ) ) (1 λ [ U ( W P x ))] (1 λ ))U ( W P x )) [ p U( W P x Fj j) ) (1 p) U( W P x Fj S) ] ))U( W P x F )) j j pour tout x X,x j j x (3) λ λ ) (1 λ [ U ( W P x ))] (1 λ ))U ( W P x )) [ p U( W P x F )) (1 p) U( W P x F S) ] ) ))U ( W P x F )) pour tout x X,x x (4) ) S pour tout x (5) ) S pour tout x (6) λ) 1 pour tout x (7) n (n 1) l exste contrantes du type (3) et 2 Le Lagrangen du programme s écrt : L = n (n 1) contrantes du type (4). 2 n q ) = n θ P q = { λ )U ( W P x )) (1 λ )) U ( W P x )} { λ )[ ) C] (1 λ )) } 1 )

310 Chaptre 5 37 n = j 1 n = [ U ( W P x ))] (1 λ ))U ( W P x )) λ( x ) n θ2j λ j) [ p U( W P x Fj j) ) (1 p)u( W P x Fj S) ] = ( ) (1 λ j))u W P x Fj j) λ( x ) [ U ( W P x ))] (1 λ ))U ( W P x )) n θ3 λ )[ p U( W P x F )) (1 p)u( W P x F S) ] = ( ) 1 (1 λ ))U W P x F ) θ,θ (pour =,1,,n et j = 1, 2,.,n) et 1 2j θ 3 les multplcateurs de Lagrange. Les condtons de premer ordre s écrvent : L = (1) L = (2) L = (3) λ L = (4) θ1 L = (5) θ 2j L = (6) θ3 (1) (2) θ (3) 2j q λ [q [q θ (4) θ 3 θ )U' λ 2j (1 λ ]U' q (1 λ q 3 θ θ 2j ]U' (pour = 1,2,n et = 1,.,n)sont ( W P x )) θ1q λ ) θ2jλ )U'( W P x )) ( W P x F )) = ( W P x )) =θ q θ pu' ( W P x F )) )pu' 1 3 )) U' ( W P x )) θ1q (1 λ )) ( W P x )) θ3 (1 λ ))U'( W P x F )) ( W P x )) = θ q θ U' ( W P x F )) ))U' { U( W P x )) U( W P x ))} θ q [ ) 1 2j{ U( W P x )) U( W P x ))} p U( W P x F )) (1 p) U( W P x F S) U( W P x F )) P n = q { λ )[ ) C] (1 λ )) )} = 1 3 = C = )]

311 Chaptre 5 38 (5) (6) λ λ j ) ) (1 λ λ λ ) (1 λ [ U ( W P x ))] (1 λ ))U ( W P x )) [ p U( W P x Fj j) ) (1 p)u( W P x Fj S) ] ))U( W P x F )) j j ) [ U ( W P x ))] (1 λ ))U ( W P x )) [ p U( W P x F )) (1 p) U( W P x F S) ] ))U ( W P x F )) j = = D après (1) et (2) : [q [q θ2j]u' ( W P x )) =θ1q θ3pu' ( W P x F )) θ2j]u' ( W P x )) = θ1q θ3u' ( W P x F )) θ1q = [q θ2j]u' ( W P x )) θ3pu' ( W P x F )) [q θ2j]u' ( W P x )) = θ3u' ( W P x F )) [q θ2j]u' ( W P x )) θ3pu' ( W P x F )) [q θ2j] { U' ( W P x )) U' ( W P x ))} = θ3{ U' ( W P x F )) pu' ( W P x F ))} { U' ( W P x )) U' ( W P x ))} = [q θ 3 θ 2j ] { U' ( W P x F )) pu' ( W P x F ))} Cherchons la relaton entre et : 1 er cas : = = U' U' ( W P x )) U' ( W P x )) = U' ( W P x )) = U' ( W P x )) U' ( W P x F )) = U' ( W P x F )) ( W P x F )) = pu' ( W P x F )) p = 1 La probablté que l audt sot mparfat est égale à 1. L audt est dans ce cas n a aucune valeur nformatonnelle. l n est pas de l ntérêt de l assureur de mener un audt s l offre la même ndemnté en cas d audt et en cas de non audt.

312 Chaptre ème cas : > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) F x P W U' ) F x P W U' p ) F x P W pu' ) F x P W U' ) F x P W U' ) F x P W U' ) x P W U' ) x P W U' ) x P W U' ) x P W U' < > > > > > 3 ème cas : < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) F x P W U' ) F x P W U' ) x P W U' ) x P W U' ) x P W U' ) x P W U' < < < < or, s on a : ( ) ( ) ) x P W U' ) x P W ' U < et on a auss : ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } ) F x P W pu' ) F x P W U' ] [q ) x P W U' ) x P W U' 2j 3 θ θ = alors pusque q j 2 3 > θ θ, on peut conclure que : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) F x P W U' ) F x P W U' p 1 ) F x P W pu' ) F x P W U' ) F x P W pu' ) F x P W U' > > < <

313 Chaptre 5 31 nnexe 5.2. Preuve de Lemme 1 : S on a : ˆ ) nf{ (.), (.), x X} et U(W (1 λ ))U(W P F = (1) P F ˆ )) )) λ ) [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] x X,avecF = α de plus U(W P ˆ )) U(W P F ˆ )) donc : U(W P ˆ )) (1 λ ))U(W P F )) λ ) (3) peut encore s écrre : (1 λ ))U(W P x U(W P x j F ˆ )) j x [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] )) λ ) j j x X (3) ) (2) [ pu(w P x F )) (1 p)u(w P F S) ] x, x X avec x j j j x, F j j = α (4) D après (1) : U(W P x ˆ)) (1 λ ))U(W P x )) λ )U(W x X (5) (4) et (5) permettent d écrre : j (1 λ ))U(W P x F j j )) λ ) j (1 λ ))U(W P x )) λ )U(W P x )) j x ) P x j [ pu(w P x F )) (1 p)u(w P F S) ] j x, x X avec x d où toutes les contrantes d nctaton sont vérfées. j j x j j ))

314 Chaptre nnexe 5.3. Preuve de la Proposton 2 : Maxmser EU : EU = n q = { λ )U ( W P x )) (1 λ )) U ( W P x ))} (1) Sous les contrantes : n P q = { λ )[ ) C] (1 λ )) )} (2) U(W P F ˆ )) (1 λ ))U(W P F )) λ ) Le Lagrangen du programme s'écrt: L = n = q [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] x X (3) { λ )U( W P x )) (1 λ )) U( W P x ))} n θ1 P q = U(W P F θ2 λ ) { λ )[ ) C] (1 λ )) )} ˆ)) (1 λ [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] ))U(W P F )) Les condtons de premer ordre : L = L = L = λ L = θ1 L = θ2 (1) (2) (3) (4) (5)

315 Chaptre (1) q λ )U' q U' (2) q (1 λ (3) θ 2 q U' ( W P x )) θ1q λ ) θ 2λ )pu'(w P ( W P x )) = θ1q θ 2 pu' (W P F ))U'( W P x )) θ1q (1 λ )) θ 2 (1 λ ( W P x )) = θ q θ U' (W P F )) 1 2 F )) ))U'(W )) = P F )) = q { U( W P x )) U( W P x ))} θ1q { ) C L )} { U(W P F )) [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S )]} = (4) P (5) n = q U(W (1 λ ))U(W P F λ ) = { λ )[ ) C] (1 λ )) )} = P F U(W P F ˆ )) = )) λ ) U(W P F )) [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] )) U(W [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] P F U" U étant une foncton d utlté du type CR, alors = avec <. U' ns : LogU ' = x B et U' = exp B) D après les condtons de 1 er ordre (1) et (2) on peut écrre : U' ( W P x ) U' ( W P x ) θ 2 = [ pu' (W P F ) U' (W P F )] q θ = q θ = q 2 2 ˆ )) [ pu' (W P αx ) U' (W P αx )] Or, U ' z) = exp([x z] B) = exp B) exp(z) donc : U' [ pu' (W P x x (1 α)) U' (W P x x (1 α)) ] ( W P x ) U' ( W P x ) θ 2 = [ pu' (W P x ) exp[ x (1 α) ] U' (W P x ) exp[ x (1 α) ] U' q 2 2 ( W P x ) 1 p exp[ x (1 α) ] = U' ( W P x ) 1 exp[ x (1 α) ] θ q θ q L (1) 2 2 alors pexp[ x (1 α) ] 1 exp[ x (1 α) ] or, p 1 θ θ (2) q q 1

316 Chaptre θ q 1 er 2 cas : s > exp[ x (1 α) ] (1) U' pour p = 1 = 1 ( W P x ) = U' ( W P x ) pour p < 1 θ q α 2 2 alors pexp[ x (1 )] 1 exp[ x (1 )] θ q 1 > α (1) et (2) donnent : U '( W P x ) < U' ( W P x ) > et pusque U est décrossante, alors > pour p < θ 2 exp q [ x (1 α) ] θ q 2 ème 2 cas : s < exp[ x (1 α) ] (1) U' pour p = 1 = 1 ( W P x ) = U' ( W P x ) pour p < 1 θ q α θ q 2 2 alors exp[ x (1 )] 1 p exp[ x (1 )] 1 θ2 θ 1 pexp q q < 2 [ x (1 α) ] < 1 exp[ x (1 α) ] α (1) et (2) donnent : U '( W P x ) > U' ( W P x ) et pusque U est décrossante, alors θ q 3 ème 2 cas : s exp[ x (1 )] 1 θ q α 2 alors exp[ x (1 )] 1 α = = < pour θ q < p > θ 2 exp α = q [ x (1 α) ] 2 par conséquent : U' ( W P x ) 1 p exp[ x (1 )] θ q 2 Or, U est strctement crossante (U >), donc pexp[ x (1 )] 1 α =

317 Chaptre pour p = 1 : l équaton (1) est vérfée quelque sot et pour p < 1 : l équaton (1) ne peut être vérfée car U >

318 Chaptre nnexe 5.4. Preuve de la proposton 3 : L assureur chost la probablté d audt de façon à saturer la contrante d nctaton. D après la 5 ème condton: (5) U(W P F (1 λ ))U(W P F ˆ )) = )) λ ) [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] λ ) = U(W P F U(W P F )) )) U(W P F ˆ )) [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] Varaton de λ en foncton de : λ '(.) = U' (W P F [ U(W P F ˆ )) [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S L ) ] F )) [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] [ U(W P ] 2 on sat que : ˆ ) nf{, ; x X} )) = donc : λ 1donc on peut en dédure que : U(W P F U(W P F U(W P F ˆ )) U(W P F U(W P F U(W P F )) U(W P F )) U(W P F ˆ)) ˆ)) ˆ ) ˆ )) )) [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] D où λ '(.) : λ est crossante en foncton de Sot : = U(W B = alors [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] U'(W P F ))[ B] λ'(.) = P F [ U(W P F )) B] 2 ˆ )) La dérvée seconde de λ par rapport à s écrt :

319 Chaptre λ "(.) = 2 { U"(W P F ))[ B] }[ U(W P F )) B] 4 [ U(W P F )) B] [ P F )) B] U'(W P F )){ U'(W P F ))[ B] } [ U(W P F )) B] 4 2 U(W U " < donc on conclut que λ" *) Lorsque = ˆ ), U(W P F )) U(W P F ˆ )) λ ) = = U(W P F )) *) λ(.) = 1 s et seulement s : [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] U(W P F ˆ )) = or à l équlbre, on a : U(W (1 λ ))U(W P F P F ˆ )) = )) λ ) [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] on en dédut alors que : U(W P F ˆ )) = U(W P F )) ce qu mplque que d après son expresson que λ (.) =, ce qu est contradctore donc λ(.) < 1 Varaton de λ en foncton de p : λ ) = = U(W P F U(W P F )) )) U(W [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] U(W P F P F )) U(W P F [ U(W P F )) U(W P F S) ] p[ U(W P F )) U(W P F S) ] ˆ )) ˆ )) Sot : = U(W B = C = [ U(W P F )) U(W P F S) ] [ U(W P F )) U(W P F S) ] alors λ ) = B pc λ'(.) = P F [ B pc] 2 C )) U(W P F ˆ))

320 Chaptre λ' (.) = Or, et [ U(W P F )) U(W P F ˆ ))][ U(W P F )) U(W P F S] [ U(W P F )) U(W P F S) ] p[ U(W P F )) U(W P F S) ] 2 [ U(W P F )) U(W P F S) ] [ U(W P F )) U(W P F ˆ ))] donc : λ'(.) λ est crossante en foncton de p λ' (.) = C 2 2C B p C λ"(.) = 4 B pc Or, [B pc] donc λ"(.) 2 [ B pc] 2 [ ] 2C = [ ] [ B pc] 3 λ ) = U(W P F U(W P F )) )) U(W P F ˆ )) [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] Lorsque p =, F = U(W P )) U(W P λ x ) = U(W P )) ˆ )) = λ ( mn > [ U(W P S) ] = = = α Lorsque p 1, F Max{ x } x n α U(W P αx n n )) U(W P αx n ˆ )) λ ( x ) = = λ max U(W P αx )) n < n n [ U(W P αx n S) ] 1

321 Chaptre nnexe 5.5. Preuve de la proposton 4 : ) Dfférence entre probablté d audt avec et sans falsfcaton : λ λ en cas de falsfcaton (F) : U(W P F )) U(W P F ( x ) = = λ U(W P F )) en cas de non falsfcaton (NF) : U(W P )) U(W ( x ) = = λ NF U(W P )) U(W P S) ˆ )) F [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] P ˆ )) U" La foncton d utlté U étant CR avec = avec < U' LogU' = t K U' = exp(t K) = exp t.exp K = B'exp(t) B' U = exp(t) C U(t) = C Bexp(t) avec B <, Montrons que pour une foncton U CR on a : < et C > U(X F ) U(Y F ) U(X) U(Y) = U(X F ) pu(z F ) (1 p)u(t F ) U(X) pu(z) (1 p)u(t) U(X) = C B exp(x) U(X) U(Y) = B exp(x) U(X) U(Y) = C B exp(x) C B exp(y) [ exp(y) ] et U(X) pu(z) (1 p)u(t) = C B exp(x) p[ C B exp(z) ] (1 p) [ C B exp(t) ] [ p exp(z) (1 p) exp(t) ] = B exp(x) U(X) U(Y) exp(x) exp(y) = U(X) pu(z) (1 p)u(t) exp(x) p exp(z) (1 p) exp(t) D autre part on a :

322 Chaptre [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] p)u(t) (1 pu(z) U(X) U(Y) U(X) ) F p)u(t (1 ) F pu(z ) F U(X ) F U(Y ) F U(X p) exp(t) (1 p exp(z) exp(x) F ) B exp( exp(y) exp(x) F ) B exp( ) F p)u(t (1 ) F pu(z ) F U(X ) F U(Y ) F U(X où : D' p) exp(t) (1 p exp(z) exp(x) F ) B exp( F ) B exp(t) exp( C p) (1 F ) B exp(z) exp( p C F ) B exp(x) exp( C ) F p)u(t (1 ) F pu(z ) F U(X et exp(y) exp(x) F ) B exp( ) F U(Y ) F U(X F ) B exp(y) exp( C F ) B exp(x) exp( C ) F U(Y ) F U(X F ) B exp(x) exp( C ) F U(X = = = = = = = D après ce qu précède on peut écrre : [ ] [ ] ) S P p)u(w (1 )) P pu(w )) P U(W ˆ )) P U(W )) P U(W ) S F P p)u(w (1 )) F P pu(w )) F P U(W ˆ )) F P U(W )) F P U(W L L = or : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] X x tout pour ) ) S) P U(W )) P U(W ˆ )) P U(W )) P U(W S) F P p)u(w (1 )) F P pu(w )) F P U(W ˆ )) F P U(W )) F P U(W S) P U(W )) P U(W ˆ )) P U(W )) P U(W S) P p)u(w (1 )) P pu(w )) P U(W ˆ )) P U(W )) P U(W S) P U(W )) P U(W 1 S) P p)u(w (1 )) P pu(w )) P U(W 1 S) P U(W )) P U(W S) P p)u(w (1 )) P pu(w )) P U(W S) P U(W S) P p)u(w (1 )) P pu(w S) P U(W S) P p)u(w (1 )) P pu(w NF F > λ λ > > > < < >

323 Chaptre 5 32 ) Varaton de la probablté d audt en foncton de la sancton S : λ NF S λ F S = = [ U(W P ) U(W P ˆ ))] U'(W P S) < 2 [ U(W P ) U(W P S) ] [ U(W P F )) U(W P F ˆ ))](1 p)u' (W P F S) 2 [ U(W P F )) [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] < Lorsque U est CR : U(X) U(Y) B[ exp(x) exp(y) ] = [ U(X) U(T) ] B [ exp(x) exp(t) ] [ U(X) U(Y) ] U'(T) B[ exp(x) exp(y) ].Bexp(T) = 2 2 [ U(X) U(T) ] B [ exp(x) pexp(z) (1 p) exp(t) ] exp(t) [ exp(x) exp(y) ] = [ exp(x) exp(t) ] 2 car : U(T) = C Bexp(T) U'(T F ) d autre part : = Bexp(T) U(X F ) U(Y F ) = U(X F ) pu(z F ) (1 p)u(t F ) Bexp( 2 [ U(X F ) pu(z F ) (1 p)u(t F )] De plus on a : U(X F ) U(Y F ) U(T F ) = C Bexp(T F ) U'(T F ) = Bexp(T) exp( F ) donc : = = Bexp( Bexp( F ) [ exp(x) exp(y) ] F ) [ exp(x) pexp(z) (1 p)exp(t) ] Bexp( F ) [ exp(x) exp(y) ] 2 2 [ Bexp( F ) ] [ exp(x) pexp(z) (1 p)exp(t) ] [ exp(x) exp(y) ] F) [ exp(x) pexp(z) (1 p)exp(t) ] 2 [ U(X F ) U(Y F )](1 p)u' (T F ) [ exp(x) exp(y) ](1 p)bexp(t) exp( F ) = 2 [ U(X F ) pu(z F ) (1 p)u(t F )] Bexp( F )[ exp(x) p exp(z) (1 p) exp(t) ] [ exp(x) exp(y) ](1 p) exp(t) = [ exp(x) p exp(z) (1 p) exp(t) ] 2 l s agt donc de comparer : [ exp(x) exp(y) ] 2 [ exp(x) exp(t) ] exp(t) et [ exp(x) exp(y) ](1 p) exp(t) 2 [ exp(x) pexp(z) (1 p) exp(t) ] 2 2

324 Chaptre pusque < alors on conclut que : [ exp(x) exp(y) ] [ exp(x) exp(t) ] exp(t) en effet : < [ exp(x) exp(y) ] exp(t) [ exp(x) pexp(z) (1 p) exp(t ] 2 2 ) exp(x) exp(t) > exp(x) pexp(z) (1 p) exp(t) 2 2 [ exp(x) exp(t) ] > [ exp(x) pexp(z) (1 p) exp(t) ] exp(t) [ exp(x) exp(y) ] [ exp(x) exp(y) ] exp(t) < [ exp(x) exp(t) ] 2 [ exp(x) pexp(z) (1 p) exp(t) ] 2 1 er cas : exp(t) [ exp(x) exp(y) ] (1 p) [ exp(x) exp(y) ] exp(t) pour avor : > [ exp(x) exp(t) ] 2 exp(x) pexp(z) (1 p) exp(t ) exp(t) [ exp(x) exp(y) ] 2 [ exp(x) exp(t) ] l faut que : (1 p) < exp(x) exp(y) exp(t) (1 p) < (1 p) < p > 1 2 ème cas : pour avor [ ] [ exp(x) p exp(z) (1 p) exp(t) ] 2 [ exp(x) pexp(z) (1 p) exp(t) ] 2 [ exp(x) exp(t) ] [ exp(x) p exp(z) (1 p) exp(t) ] 2 [ exp(x) exp(t) ] 2 [ exp(x) p exp(z) (1 p) exp(t) ] [ exp(x) exp(t) ] 2 [ exp(x) exp(y) ] [ exp(x) exp(t) ] exp(t) l faut que : (1 p) > < [ ] (1 p) [ exp(x) exp(y) ] exp(t) [ exp(x) pexp(z) (1 p) exp(t ] 2 2 ) exp(t) [ exp(x) exp(y) ] 2 [ exp(x) exp(t) ] [ exp(x) exp(y) ] exp(t) [ exp(x) pexp(z) (1 p) exp(t) ] 2

325 Chaptre (1 p) > (1 p) p < 1 [ exp(x) p exp(z) (1 p) exp(t) ] 2 [ exp(x) exp(t) ] [ exp(x) p exp(z) (1 p) exp(t) ] > 2 [ exp(x) exp(t) ] 2 [ exp(x) pexp(z) (1 p) exp(t) ] [ exp(x) exp(t) ] pplquons cette concluson à notre cas : 1 er cas : pour avor [ U(W P ) U(W P ˆ ))] U'(W P S) > 2 [ U(W P ) U(W P S) ] [ U(W P F )) U(W P F ˆ ))](1 p)u'(w P F S) [ U(W P F )) [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] 2 or : [ U(W P F )) U(W P F ˆ ))](1 p)u'(w P F S) = 2 [ U(W P F )) [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] [ U (W P )) U(W P ˆ ))](1 p)u'(w P S) [ U(W P )) [ pu(w P )) (1 p)u(w P S) ] 2 donc pour avor : [ U(W P ) U(W P ˆ ))] U' (W P S) > 2 [ U(W P ) U(W P S) ] [ U(W P )) U(W P ˆ ))](1 p)u' (W P S) [ U(W P )) [ pu(w P )) (1 p)u(w P S) ] 2 l faut que : p > 1 2 ème cas : pour avor 2 [ U(W P )) [ pu(w P )) (1 p)u(w P S) ] [ U(W P ) U(W P S) ] 2 [ U(W P ) U(W P ˆ ))] U'(W P S) < 2 [ U(W P ) U(W P S) ] [ U(W P F )) U(W P F ˆ ))](1 p)u'(w P F S) [ U(W P F )) [ pu(w P F )) (1 p)u(w P F S) ] 2 l faut que :

326 Chaptre [ ] [ ] [ ] 2 2 S) P U(W ) P U(W S) P p)u(w (1 )) P pu(w )) P U(W 1 p < De plus : [ ] S) P U(W )) P U(W ˆ )) P U(W )) P U(W S) F P p)u(w (1 )) F P pu(w )) F P U(W ˆ )) F P U(W )) F P U(W NF F = λ λ Pour U CR : p)u(t) (1 pu(z) U(X) U(T) U(X) U(T) U(X) U(Y) U(X) p)u(t) (1 pu(z) U(X) U(Y) U(X) U(T) U(X) U(Y) U(X) F ) p)u(t (1 F ) pu(z F ) U(X F ) U(Y F ) U(X = = lors : [ ] S) P p)u(w (1 )) P pu(w )) P U(W S) P U(W )) P U(W NF F = λ λ et [ ] [ ] [ ] [ ] F NF F NF S) P U(W )) P U(W S) P p)u(w (1 )) P pu(w )) P U(W S) P U(W )) P U(W S) P p)u(w (1 )) P pu(w )) P U(W = λ λ = λ λ Concluson : ) 2 F NF F NF 1 p ss S S λ λ > λ < λ ) 2 F NF F NF 1 p ss S S λ λ < λ > λ

327 nnexe 5.6. nstructons : Vous partcpez à une expérmentaton en économe. Lors de cette sesson, vous allez gagner une certane somme d argent. Vos gans dépendent de vos décsons. Cette rémunératon comprend deux éléments : une partcpaton forfatare de 8 à laquelle s ajoute une prme lée à votre performance. Cette prme est proportonnelle à la moyenne des captaux détenus à la fn de chaque pérode. Les gans fnaux seront comprs entre 1 et 2. Cette sesson comprend 17 pérodes. Votre groupe est composé de 6 partcpants : un assureur et 5 assurés ssureur ssuré5 ssuré1 ssuré4 ssuré2 ssuré3 Les rôles d assureur ou d assuré seront affectés aléatorement. Vous garderez les mêmes rôles et vous jouerez avec les mêmes personnes durant ces 17 pérodes. Les assurés : On suppose que vous êtes proprétare d un ben d une valeur de 5. Vous êtes ans confronté à des stuatons de rsques qu vous oblgent à souscrre auprès de votre assureur, et contre paement d une prme, un contrat d assurance multrsque qu vous ndemnse en cas de dommage. 324

328 chaque pérode, vous avez une chance sur 3 de subr un dommage dont la valeur est comprse entre 1 et 5. Le schéma suvant llustre les dfférentes possbltés auxquelles vous serez confrontés. 2/3 Non Dommage 1/3 1/1 Dommage 1/1 1 1/1 5 Vous dsposez d un captal ntal de 1 à chaque pérode. Le contrat d assurance qu on vous propose est l assurance complète : l assureur vous rembourse le montant de dommage exact que vous avez sub. Pour être assuré, vous devez payer une prme de 6 à chaque pérode. Une fos le dommage survenu, vous devez déclarer cette perte à l assureur. Vous avez la possblté de frauder de deux manères dfférentes : sot vous déclarez un dommage qu n a jamas eu leu (par exemple, votre dommage est nul et vous déclarez 15 ) sot vous augmentez le montant du dommage sub (par exemple votre dommage est de 1 et vous déclarez 4 ) ttenton : votre déclaraton ne dot pas dépasser 5 [la valeur du ben assuré], elle dot être comprse entre 1 et 5. En plus, vous avez la possblté d nvestr dans une actvté de falsfcaton, afn de rendre le contrôle plus dffcle. vec une dépense de falsfcaton, l assuré fraudeur, rédut ses chances d être prs par l assureur en cas de contrôle. ns, au début de chaque pérode on vous demande s vous voulez supporter des fras de falsfcaton, qu dépendent de votre déclaraton. S vous acceptez cette dépense, l n y aura que p chance d être prs par l assureur, s jamas vous êtes contrôlé. (p vous sera communqué à chaque fos) 325

329 ttenton : l est llogque de falsfer sans frauder; (la falsfcaton sert à dmnuer la chance de détecton de la fraude). L assureur : Vous êtes un assureur de cnq clents. Vous dsposez d un captal ntal de 3. Vous devez rembourser les dommages déclarés par les assurés et en contre parte vous recevez les prmes d assurance sot 3 (5*6). Sachant que les assurés peuvent frauder, vous avez la possblté de les contrôler. utrement dt vous pouvez vérfer s la déclaraton fate par l assuré correspond ben à son dommage réel. Toutefos cette procédure de contrôle est coûteuse. Le coût de vérfcaton est dépendant de l ampleur du dommage déclaré : Coût d audt 4 8 Déclaraton < 1 =1 (ttenton : l est nutle de contrôler une déclaraton nulle) En cas de détecton de la fraude vous pouvez sanctonner l assuré fraudeur : vous ne lu remboursez pas sa perte et vous lu fates payer une amende en plus : Déclaraton < 1 =1 mende 5 2 Objectf de chaque pérode : u début de la sesson, l ordnateur vous affecte aléatorement l un des deux rôles (assuré ou assureur). Pour les assurés, au début de chaque pérode, vous devez payer la prme d assurance (6 ), et l ordnateur vous ndque le dommage que vous avez sub. Vous chosssez au début de falsfer ou pas, ensute, vous devez effectuer votre déclaraton de snstre. Votre déclaraton est susceptble d être contrôlée par votre assureur. S vous êtes fraudeur et que votre assureur vous a contrôlé, vous avez p chance d être sanctonné (détecté). S vous êtes fraudeur et non contrôlé vous recevrez l ndemnté correspondante à votre déclaraton et aucune pénalté ne vous sera applquée. S vous êtes honnête, vous recevrez votre ndemnté d assurance (remboursement de votre dommage) un bonus (5 ) Pour l assureur, au début de chaque pérode vous recevez les déclaratons de snstre des cnq assurés. Vous décdez de menez les contrôles qu vous parassent pertnents. fn de vérfer s les déclaratons correspondent ben aux dommages effectfs, vous pouvez contrôler de à 5 assurés. N oublez pas que pour chaque contrôle vous supportez un coût. 326

330 Déroulement de la sesson : ssuré 1 : Son captal ntal est de 1 Paye la prme 6 Subt un dommage (, 5) Fat sa déclaraton (avec possblté de fraude) ssuré 2 : K= 1 Prme 6 Dommage ssuré 3 : K= 1 Prme 6 Dommage ssuré 4 : K= 1 Prme 6 Dommage ssuré 3 : K= 1 Prme 6 Dommage Déclaraton 1 Déclaraton 2 Déclaraton 3 Déclaraton 4 Déclaraton 5 ssureur Captal ntal 3 Les Prmes reçues : 3 (6 x 5) Reçot les déclaraton : Déc1 Déc 2 Déc3 Déc4 Déc5 Chost qu contrôler : ssuré1 ssuré2 ssuré3 ssuré4 ssuré5 Subt un coût untare (4, 8 ) Sanctonne les fraudeurs (non remboursementamende) ndemnse les assurés non contrôlés (honnêtes ou non) Ordnateur Fat les calculs des gans de chaque pérode et les renvoe aux assurés et à l assureur 327

331 NB : Lors du déroulement de l expérence, l expérmentateur est ncapable d observer vos comportements. En effet, sute au trage au sort, l ne sat pas dentfer, qu est assureur, qu est assuré n 1, n 2, ect... l est nterdt de communquer durant la totalté de la sesson expérmentale. S vous avez des questons concernant ces nstructons, nous vous remercons de lever la man ; nous vendrons répondre en prvé à vos questons. Merc pour votre partcpaton. Pour vous famlarser avec les nstructons, commençons par l exemple suvant : 328

332 Ecran de l assuré : Now playng round N 1 Vous êtes un assuré Vous dsposez d un captal ntal de 1 pour vous assurer Vous devez payer une prme de 6 Vous avez sub un snstre de 1 Voulez vous supporter des fras de falsfcaton pour avor unquement 1 chance sur 2 d être prs par l assureur? ou Non Feed-bac nformaton : Ecran de l assuré : Pérode Captal ntal 1 1 Prme 6 6 Dommage 1 Fras de falsfcaton 3 Déclaraton 3 ndemnté 3 Sancton 35 Gan fnal 25 Contrôlé OU ndemnté = déclaraton Sancton =non ndemnté mende (s contrôle) Sancton = (s non contrôle) Gan fnal = Captal ntal perte prme ndemnté sancton S vous étez contrôlé par l assureur «OU», snon, «NON» 329

333 Ecran de l ssuré : Now playng round N 1 Ecran de l assuré : Vous êtes un assuré Vous dsposez d un captal ntal de 1 pour vous assurer Vous devez payer une prme de 6 Vous avez sub un snstre de 1 Tapez le montant de votre déclaraton de snstre et valdez par OK Feed-bac nformaton : 3 OK Pérode Captal ntal 1 1 Prme 6 6 Dommage 1 Déclaraton 3 ndemnté 3 mende 35 Gan fnal 25 ndemnté = déclaraton Sancton =non ndemnté mende (s contrôle) Sancton = (s non contrôle) Gan fnal = Captal ntal perte prme ndemnté sancton Contrôlé OU S vous étez contrôlé par l assureur «OU», snon, «NON» 33

334 Ecran de l assureur : Now playng round N 1 Vous êtes un ssureur * Patentez SVP Feed-bac nformaton : Pérode Captal ntal 3 Prmes obtenues 3 Σ Prmes : 5*6=3 ndemntés payées Coût de contrôle mendes obtenues Gan fnal Gan de la pérode= Cap ntalprmes-cout-ndemntésamendes ssuré1-fraudeur ssuré2-fraudeur ssuré3-fraudeur ssuré4-fraudeur ssuré5-fraudeur 331

335 Ecran de l assureur : Now playng round N 1 L assuré1 a déclaré 3 L assuré2 a déclaré L assuré3 a déclaré 1 L assuré4 a déclaré 325 L assuré5 a déclaré N 2..N 3.N 4. N 5 Le coût de contrôle = 4 s la déclaraton <1 et coût de contrôle = 8 s la déclaraton >= 1 * Voulez vous contrôler l assuré N 1? Feed-bac nformaton : Ecran de l assuré : Ou Non Pérode Captal ntal 3 Prmes obtenues 3 ndemntés payées 365 Coût de contrôle 16 mendes obtenues = =448 l y a un seul fraudeur : ssurén 1 Sancton= non ndemmende=35 Gan fnal 254 ssuré1-fraudeur Ou 254= ssuré2-fraudeur ssuré3-fraudeur ssuré4-fraudeur ssuré5-fraudeur Non Non Non Non S l assuré est fraudeur «Ou», s l n est pas fraudeur «Non» 332

336 Concluson Générale 333 Concluson générale L objectf de cette thèse consste à analyser dans un contexte de fraude à l assurance avec possblté d audt coûteux, les stratéges et les comportements ndvduels des assureurs et des assurés. Pour attendre notre but, et répondre aux questons de notre problématque, nous avons procédé à une approche expérmentale combnant les tros partes suvantes: L analyse théorque: l s est ag de formuler le problème de fraude et d audt à l ade d un modèle théorque, décrvant les dfférentes stratéges des assureurs et des assurés, et vsant à caractérser les termes du contrat d assurance optmal pour dssuader les comportements frauduleux et ndure des comportements honnêtes. Notre apport théorque, par rapport à la lttérature exstante, a conssté dans un premer temps, à comparer les deux formes d audt, l audt aléatore parfat et l audt systématque probablste. La queston centrale qu a orenté notre recherche a été la suvante : faut-l mener un audt aléatore de très bonne qualté ou un audt détermnste de qualté mondre? Nous avons trouvé que l audt aléatore domne l audt détermnste, du côté de l assureur, car le coût par audt est mondre et du côté de l assuré parce que cela produt un effet dssuasf plus mportant. En second leu, notre approche théorque a vsé à ntrodure dans cette analyse la possblté pour l assuré d nvestr en fras de falsfcaton (fraude coûteuse). Cette actvté a pour but de rendre l actvté d audt plus dffcle. Par conséquent, l assureur n est plus toujours capable de détecter la fraude avec certtude. l est possble que l assuré passe entre les malles du flet et échappe à la sancton mposée par l assureur pour pénalser les fraudeurs. L étude de l audt aléatore mparfat dû à la falsfcaton des dommages s est fondée sur la confrontaton des deux paradgmes suvants : «état de vérfcaton coûteuse» et «état de falsfcaton coûteuse». Pour la verson d audt aléatore parfat, à l équlbre ) l ndemnté d assurance dot être plus généreuse en cas de vérfcaton des déclaratons honnêtes ; ) la probablté d audt est crossante en foncton de l ndemnté d assurance ; ) le contrat de franchse est optmal en cas de non audt, la franchse étant crossante avec l ampleur de la fraude. Lorsque l audt est mparfat, ) le contrat d assurance génère toujours un taux de fraude lorsque la falsfcaton des dommages est possble ; ) l est de l ntérêt de l assureur de payer des ndemntés plus généreuses en cas d audt, pour pouvor accroître les chances de détecton de la fraude ; ) et fnalement, la probablté d audt dot être crossante en foncton de l ndemnté d assurance et de la probablté d mperfecton de l audt.

337 Concluson Générale 334 Enfn, pour les deux versons de l audt, l assureur peut menacer les fraudeurs par une sancton très sévère qu l assoce à un audt mons fréquent. Ce derner dot être suffsant pour que personne ne se sente totalement à l abrs du contrôle. Néanmons, cette poltque est mons crédble quand l audt est mparfat. La comparason des deux optques amène à conclure que l audt dot être plus fréquent lorsqu l est possble pour l assuré d nvestr en fras de falsfcaton. L expérence : Nous avons mené une expérmentaton en laboratore vsant à valder ou rejeter les prédctons théorques. L orgnalté de ce traval a conssté à étuder les comportements ndvduels dans des condtons contrôlées par l expérmentateur. Notons que toutes les études emprques tratant la fraude, s ntéressent à analyser les bases de données des compagnes d assurances et vsent à cerner et quantfer ce phénomène dans ce secteur. Sur ce sujet, la confdentalté des données est très strcte, d une part pour conserver l mage de marque de la compagne, et d autre part, parce que la crculaton des nformatons se fat entre les compagnes elles mêmes et n est pas mse à la dsposton du publc. La dffculté, vore l mpossblté d accéder à ces données pour réalser une étude emprque, nous a poussé à recourr à l économe expérmentale. D un autre côté, les observatons expérmentales permettent en plus de la valdaton des prédctons théorques, la mse en évdence des régulartés comportementales et l exploraton des stuatons non prédtes par la théore. Dans cette parte, nous avons présenté le protocole expérmental, décrvant l envronnement utlsé, le mode de recrutement des partcpants, la procédure de rémunératon, le déroulement et les objectfs des sessons. cette étape descrptve, nous jognons une parte analytque, assurant une certane cohérence entre la réalté expérmentale et les proprétés théorques. travers les résultats de l expérmentaton, l observaton des comportements ndvduels permet d exclure ou de valder les propostons du modèle. Cette synthèse a pour but d extrare les explcatons nécessares pour mettre en évdence les chox décsonnels des partcpants. Cec peut servr à élaborer les modèles économétrques et à classer les données, afn d effectuer les tests statstques. L explotaton statstque des résultats : Nous nous sommes efforcé de valder les résultats expérmentaux à l ade de tests non paramétrques. Nous avons eu recours à deux partes :

338 Concluson Générale 335 une analyse agrégée des données : l s est ag de regrouper les observatons pour par exemple explquer la varaton de la fréquence d audt en foncton du taux de fraude dans l échantllon, ou encore exprmer le comportement frauduleux en foncton de l effcacté de l audt et de la sancton. une analyse des données par sesson : qu a conssté à trater les observatons séparément, pour pouvor affner l analyse et étuder les comportements ndvduels. partr de cette analyse, nous avons pu dégager les cnq conclusons majeures suvantes : 1. L audt aléatore parfat domne l audt détermnste mparfat, dans le sens où le premer permet d avor un effet dssuasf plus mportant. 2. Lorsque la qualté de l audt se dégrade, l est possble pour l assureur de recourr à une sancton très sévère pour pouvor ndure des comportements honnêtes de la part des assurés. 3. Le contrat d assurance, en cas de falsfcaton des dommages (fraude coûteuse), génère toujours un taux de fraude, quelle que sot la stratége dssuasve de l assureur. 4. L assureur a ntérêt à payer une ndemnté plus généreuse en cas d audt, d une part pour récompenser les assurés honnêtes, et d autre part, pour atténuer l ampleur de la non détecton de la fraude due à l mperfecton de l audt. 5. L assureur dot augmenter la fréquence de contrôle en cas de fraude coûteuse, pour pouvor compenser la mauvase qualté de l audt due à la falsfcaton des dommages par les assurés. De plus, l analyse des comportements ndvduels des partcpants à nos expérmentatons nous a perms de jondre à ces cnq ponts prncpaux, d autres conclusons. En effet, nous avons constaté que certans fraudeurs ont essayé, à pluseurs reprses, de récupérer le montant de la prme d assurance, en gonflant le montant réel du dommage lors des déclaratons. Ce pont pourrat fare l objet d une étude complémentare. l est ntéressant de mettre l accent sur les dfférents paramètres nctatfs à la fraude, telle que la prme d assurance et la franchse. l ade d un modèle dynamque, nous pourrons formuler l hypothèse suvante : le coût des ndemntés payées à la pérode t, permet de révser à la pérode suvante, la prme d assurance, à la hausse s ce coût augmente, et à la basse s ce coût dmnue. Tester cette

339 Concluson Générale 336 hypothèse par une expérmentaton permettra de juger les comportements frauduleux et honnêtes des ndvdus face aux varatons des prmes d assurance. Parallèlement, nous avons consdéré dans ce traval, que les coûts d audt sont fxes. Nous avons observé que certans fraudeurs déclarent de faux snstres d un montant légèrement nféreur au coût d audt, car ls savent que l audt coûte plus à l assureur que l ndemnté ellemême. Nous pourrons ans, fare varer ces coûts en foncton des efforts fourns, tel que le temps ms pour une nvestgaton. Cec nous permettra d étuder l effcacté de l audt lorsque les nvestgatons sont plus mnuteuses et plus précses. l mporte dans ce cas de fare appel à un trosème agent, ncarné par l audteur. D autre part, pour la parte concernant l audt mparfat, nous avons toujours supposé avec la falsfcaton des dommages, que l assureur n arrve pas à détecter la fraude avec certtude. Cependant, l serat auss utle d étuder l mperfecton de l audt lée au fat de sanctonner un assuré honnête. l s agt, d une autre forme d erreur d audt, où la qualté de ce derner ne permet pas de révéler la bonne nformaton. l est par conséquent possble, qu un assuré honnête sot consdéré comme un fraudeur, par erreur. Ce rsque d erreur, compte tenu des conséquences commercales qu l pourrat avor, a peut être de fortes mplcatons sur la stratége d audt des assureurs.

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353 Wnton,. (1995): «Costly State Verfcaton and Multple nvestors: The Role of Senorty», The Revew of Fnancal Studes, vol. 8, pp Ouvrages: 1. lban THOMS : «Econométre des varables qualtatves», édton DUNOD, (2) 2. Bernard SLNE: «Théore des Contrats», édton ECONOMC (1994) 3. C. MONTET, et D. SERR: «Game Theory and Economcs», Palgrave Macmllan (23) 4. Domnque HENRET et Jean Charles ROCHET : «Mcroéconome de l assurance», édton Economca, (1991) 5. Georges DONNE and Clare LBERGE NDEU : «utomoble nsurance : Road Safety, New Drvers, Rss, nsurance Fraud and Regulaton», édton KLUWER CDEMC PUBLSHERS, (1999) 6. Georges. DONNE : «Handboo of nsurance», edton KLUWER cademc Publshers. (2) 7. Georges Donne: «Contrbutons to nsurance Economcs» Norwell, Mass.: Kluwer cademc Publshers, (1991) 8. J. KUGEL, and. ROTH: «Handboo of Expermental Economcs», édton New Yor OXFORD 9. Wllam GREENE : «Econométre», édton françase drgée par Dder Schlacther, Théophle zomahou, Ncolas Couderc, Stéphane Monjon et Phu Nguyen Van, PERSON Educaton, 5 ème édton (25).

354 Tables des matères ntroducton Générale. 1 Chaptre 1 : Fraude à l assurance et expertse : quelques éléments d analyse..1 ntroducton :...11 Secton 1 : Etude analytque des dfférentes formes de fraude L organsaton du snstre par l assuré : Le faux snstre : La provocaton du snstre par l assuré : La fraude après la survenance du snstre :...18 Secton 2 : L expertse des snstres et la détecton de la fraude La preuve de la mauvase fo et de la rétcence: La vérfcaton de la réalté des déclaratons par l Expert: Le pouvor d nvestgaton des enquêteurs d assurances : La créaton d un organsme professonnel : L gence pour la Lutte contre la Fraude à l ssurance (LF) Le bureau central d nvestgaton des assurances : Le bureau central d nformaton nter-assurances: Le commssare de polce, chargé de msson :...32 Secton 3 : La poltque de préventon et de dssuason de la fraude Sancton et pénalté : La préventon de la fraude : La nécessté de l nformaton et du contact entre assureurs et assurés : La nécessté d une poltque rgoureuse de règlement de snstre :...41 Secton 4 : La nécessté de confrontaton des problèmes de fraude mplctes : L nsuffsance de l nformaton : Le ltge experts assureurs : Le problème d nctaton à la fraude : Le manque de moyens de répresson des enquêteurs :...47 Secton 5 : Crtques et réflexons à promouvor Le développement de la centralsaton des données : L accrossement de la crculaton de l nformaton : L ntérêt de l homogénété des actons des assureurs : La nécessté des études et des statstques : La nécessté de rédure le problème d aléa moral :...51 Concluson et dscusson :...53

355 Chaptre 2 : Les dfférentes approches théorques 56 ntroducton générale :...57 Secton 1 : Dscusson des hypothèses de base L hypothèse d asymétre d nformaton : Rsque Moral et Sélecton dverse L hypothèse d engagement dans une stratége d audt : Quelle soluton au problème de non engagement?...68 Secton 2 : L audt détermnste Les dfférentes approches théorques : L hypothèse d asymétre de l nformaton : La descrpton de la relaton entre les contractants : La caractérsaton du contrat optmal : Le cadre d analyse : Contrat optmal en cas d audt détermnste : Le coût d audt :...86 Secton 3 : L audt aléatore Les dfférentes approches théorques : Le cadre d analyse : Le contrat optmal en cas d audt aléatore : Sancton et répresson :...11 Secton 4 : Les extensons théorques L mplémentaton de la stratége d audt optmale : le «scorng» Falsfcaton et dffculté de l audt :...15 Concluson et Dscusson :...19 Chaptre 3 : Faut-l mener un audt aléatore de bonne qualté ou un audt détermnste de qualté mondre?.111 ntroducton Générale: Secton 1 : udt détermnste probablste versus audt aléatore parfat (Le modèle) Le cadre d analyse : udt léatore Parfat (P): udt Systématque Probablste (SP): Quelle procédure faut-l mener? udt léatore Parfat (P) ou udt Systématque Probablste (SP) : Secton 2 : L expérmentaton Le desgn expérmental : Les questons testées : La descrpton de l expérmentaton: La descrpton du protocole : Objectf de chaque pérode : L analyse des résultats expérmentaux : L audt aléatore : udt systématque probablste : Quelle procédure faut-l mener? udt léatore Parfat (P) ou udt Systématque Probablste (SP) : Concluson Générale: nnexe 3.1. :...165

356 nnexe nnexe nnexe nnexe nnexe nnexe Chaptre 4 : Fraude à l assurance et audt aléatore parfat.179 ntroducton Générale :...18 Secton1 : Fraude à l assurance et audt aléatore parfat (le modèle) Le cadre d analyse : Le contrat d assurance optmal: Probablté d audt et ndemnté d assurance: La probablté d audt optmale lorsque U est CR : Le profl d ndemnsaton optmal: Secton 2 : L expérmentaton Le desgn expérmental : L objectf de l expérmentaton : La descrpton de l expérmentaton : La descrpton du protocole expérmental : Les résultats expérmentaux : Dscusson prélmnare : La stratége de l assuré :...26 a/ la décson de fraude :...26 b/ L ampleur de la fraude : La stratége de l assureur: a/ Décson d audt : b/ La fréquence de l audt : Confrontaton des résultas expérmentaux et des hypothèses théorques: Tableau récaptulatf : Les constatatons expérmentales sont-elles conformes aux prédctons théorques? : a) Quelle ndemnté d assurance offrr? b) Quelle est la poltque d audt optmale? Concluson générale : nnexe nnexe 4.2 : nnexe 4.3 : nnexe nnexe Chaptre 5 : Falsfcaton et audt mparfat 251 ntroducton Générale : Secton 1 : Falsfcaton des dommages et audt mparfat (le modèle) Le cadre d analyse : Proprétés Générales d un contrat d assurance optmal :...259

357 1.3. Contrat optmal lorsque U est CR : Probablté d audt optmale : udt parfat versus audt mparfat : Secton 2 : L expérmentaton Le desgn expérmental : L objectf de l expérmentaton : La descrpton de l expérmentaton : La descrpton du protocole : Les résultats expérmentaux : La stratége de l assuré : a/ La décson de fraude et/ou de falsfcaton: b/ L ampleur de la fraude : La procédure d audt : stratége de l assureur a/ Décson d audt : b/ La fréquence d audt : Confrontaton des résultas expérmentaux et des hypothèses théorques: Tableau récaptulatf : Les constatatons expérmentales sont elles conformes aux prédctons théorques? : a) Quelle ndemnté d assurance offrr? b) Dot-on contrôler très fréquemment les assurés? et de quelle sancton les menacer? udt parfat versus udt mparfat : a) Tester la relaton entre les deux versons d audt ( λ F > λ NF ) : b) Tester les comportements des fréquences d audt par rapport à la sancton :...31 Concluson Générale :...34 nnexe nnexe nnexe nnexe nnexe nnexe Concluson Générale.333 Bblographe

358 Résumé : Ce traval propose une approche expérmentale de la fraude à l assurance. Nous présentons d abord les deux prncpaux paradgmes qu ont été développés dans la lttérature économque pour analyser la fraude à l assurance d un pont de vue théorque : les mécansmes de vérfcaton coûteuse et les mécansmes de falsfcaton coûteuse. Selon l hypothèse de vérfcaton coûteuse, l assureur vérfe les déclaratons de dommages en supportant un coût d audt. Cette procédure peut être détermnste ou aléatore. Selon l hypothèse de falsfcaton, c est l assuré qu engage certans fras vsant à rendre l audt mparfat. L assureur est, par conséquent, ncapable de détecter la fraude avec certtude. Parallèlement à cette modélsaton, l expérmentaton menée dans ces contextes, confrme que l audt aléatore domne l audt détermnste et que l applcaton d une sancton sévère permet de dssuader la fraude, d atténuer l ampleur de la falsfcaton et de compenser la mauvase qualté de l audt. Mots clefs : Fraude, udt parfat, udt mparfat, Falsfcaton. bstract: Ths wor provdes an expermental approach to nsurance fraud. We Study the lns between the two man paradgms of the lterature: the costly state verfcaton and the costly state falsfcaton. Under costly verfcaton, clams may be nvestgated at some cost by the nsurer, va audt strateges. udt can be determnstc or random. Under costly falsfcaton, polcyholders nvest n prvate actvtes n order to ncrease the mperfecton of audt. t s mpossble for the nsurer to detect fraud wth certanty. We also have recourse to an expermental study to test theoretcal predctons. Our experments confrm that random audt domnates determnstc audt, and that nsurance companes attempt to reduce (or even elmnate) fraud wth a penalty mposed upon defrauders. These poltc ams to allevate the falsfcaton magntude and to compensate the bad qualty of audt. Key Words: Fraud, Perfect udt, mperfect udt, Falsfcaton.