hal , version 1-14 Aug 2009

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1 Manuscrt auteur, publé dans "MOSIM' 008, Pars : France (008)" 7 e Conférence Francophone de MOdélsaton et SIMulaton - MOSIM 08 - du mars au avrl Pars - France «Modélsaton, Optmsaton et Smulaton des Systèmes : Communcaton, Coopératon et Coordnaton» HEURISTIQUES POUR LE MEILLEUR DES CAS DANS UN ORDONNANCEMENT DE GROUPES Gullaume Pnot, Nasser Mebark IRCCyN UMR CNRS 6597, rue de la Noé 44 Nantes gullaume.pnot@rccyn.ec-nantes.fr, nasser.mebark@rccyn.ec-nantes.fr RÉSUMÉ : L ordonnancement de groupes est une méthode d ordonnancement du problème de job shop ben étudée. Le but de cette méthode est de proposer de la flexblté séquencelle pendant l exécuton de l ordonnancement et de garantr une qualté mnmale correspondant au pre des cas. Mas la qualté dans le melleur des cas d un ordonnancement de groupe serat également utle. En s appuyant sur une relaxaton de l ordonnancement de groupe, cet artcle présente des heurstques basées sur les règles de prorté et sur le shftng bottleneck pour ce problème. Les expérmentatons effectuées sur ces heurstques donnent de bonnes performances. MOTS-CLÉS : Ordonnancement, job shop, ordonnancement de groupes, heurstques, shftng bottleneck, ordonnancement sous ncerttudes. hal , verson - 4 Aug 009 INTRODUCTION Le problème du job shop avec contrantes de précédence multples (J r,prec f d après la classfcaton de [Graham et al., 979]) est un problème d optmsaton combnatore composé de ressources, d opératons et de contrantes. Les opératons (O ) sont exécutées sur les ressources (M, auss appelées machnes) pendant un temps d exécuton p avec des contrantes de précédences (les prédécesseurs (resp. successeurs) de O sont données par Γ ( ) (resp. Γ + ( ))). Une ressource ne peut exécuter qu une opératon à la fos. Une opératon a une date de dsponblté r, sa date de début est notée t, et sa date de fn est notée C. Généralement, le job shop utlse une foncton objectf régulère qu est une foncton monotone des C. Le but est de mnmser cette foncton objectf. Le makespan, noté C max, calculé maxc, qu correspond au temps total de l exécuton de l ordonnancement, est un objectf réguler classque. En pratque, les problèmes d ordonnancement sont souvent soums à une ncerttude sur les données : ncerttude sur les durées et les dates de dsponblté des opératons, opératons urgentes ou mprévues à réalser, dsponblté ncertane des ressources [Artgues, 004]. Pour paller ces ncerttudes, une méthode d ordonnancement reposant sur l ntroducton de flexblté séquentelle dans les opératons a été proposée [Erschler and Roubellat, 989]. Cec est réalsé en détermnant, plutôt qu un ordonnancement unque, un ordonnancement de groupes, c est-à-dre en défnssant une séquence de groupes d opératons permutables sur chaque machne. L évaluaton d un ordonnancement de groupes s obtent par rapport à la qualté dans le pre des cas de l ensemble d ordonnancement réalsable. Mas la qualté dans le melleur des cas d un ordonnancement de groupes peut également être ntéressante pour dfférentes rasons. Elle donne des nformatons sur l ordonnancement avant son exécuton. Elle peut également être utle pour évaluer une décson pendant l exécuton de l ordonnancement. Dans cet artcle, après une présentaton succncte de l ordonnancement de groupes, nous présentons rapdement la méthode permettant de détermner une relaxaton de l ordonnancement de groupe. Cette relaxaton est par alleurs décrte dans [Pnot and Mebark, 008]. Cette relaxaton est ensute utlsée dans des heurstques d ordonnancement classques, afn d amélorer leurs performances. Nous décrvons ces dfférentes heurstques basées sur les règles de prorté et sur la méthode du shftng bottleneck. Enfn, la dernère parte de cet artcle trate des expérmentatons réalsées sur un ensemble d nstance très utlsé dans la lttérature. Ces expérmentatons montrent des résultats prometteurs. LES GROUPES D OPÉRATIONS PERMUTABLES On trouve dans [Erschler and Roubellat, 989] une premère présentaton des groupes d opératons permutables. Le but de cette méthode est de fournr de la flexblté séquentelle pendant l exécuton de l ordonnancement ans que de garantr une qualté mnmale correspondant au pre des cas. Cette méthode est largement étudée depus vngt ans, notamment dans [Erschler and Roubellat, 989, Bllaut and Roubellat, 996, Wu et al., 999, Artgues et al., 005]. Ce derner artcle fournt une descrpton théorque de la méthode. Un groupe d opératons permutables est un ensemble d opératons à exécuter sur une certane ressource dans

2 MOSIM 08 du mars au avrl Pars - France un ordre arbtrare. Il est noté G k. Le groupe contenant l opératon O est noté g ( ). Un ordonnancement de groupes est une lste ordonnée de groupes (d opératons permutables) sur chaque machne, à exécuter dans cet ordre. Sur une machne, le groupe après (resp. avant) G k est noté G + k (resp. G k ) et est appelé le groupe successeur (resp. prédécesseur) de G k. En utlsant les mêmes conventons, le groupe après (resp. avant) g ( ) est noté g + ( ) (resp. g ( )). Un ordonnancement de groupes est réalsable s chaque permutaton sur les opératons d un même groupe donne un ordonnancement réalsable (c est-à-dre un ordonnancement qu ne vole pas de contrantes). Ans, un ordonnancement de groupes décrt un ensemble d ordonnancement valde, sans les énumérer. M M j M,j p,j 4 (a) Un problème de job shop, hal , verson - 4 Aug 009 Les descrpteurs de qualté d un ordonnancement de groupes sont les même que pour un ordonnancement classque. Ans, la qualté d un ordonnancement de groupes correspond à la pre qualté présente dans l ensemble des ordonnancements sem-actfs, comme défn dans [Artgues et al., 005]. Pour llustrer ces défntons, étudons un exemple. Pour smplfer la lecture, nous utlsons c le job shop sans contrantes de précédence multples (J f d après la classfcaton de [Graham et al., 979]). Les opératons sont ndexées par un couple (O,j ) et les opératons dovent être exécutées dans l ordre du deuxème ndce (C,j t,j + ). Sur les fgures, nous ne mettons que le premer ndce pour faclter la lsblté. La fgure b représente un ordonnancement de groupes admssble résolvant le problème de la fgure a. Il est consttué de sept groupes : deux groupes de deux opératons et cnq groupes d une opératon. Cet ordonnancement de groupes défnt quatre ordonnancements sem-actfs correspondants (fgure ). On remarquera que ces ordonnancements ont des qualtés dfférentes : la qualté dans le melleur des cas est C max = 0 et la qualté dans le pre des cas est C max = 7. L ordonnancement de groupes possède une proprété ntéressante : le calcul de la qualté d un ordonnancement de groupes dans le pre des cas se fat en temps polynomal (vor [Artgues et al., 005] pour la descrpton de l algorthme). Ans, l est possble de calculer sans problème la qualté dans le pre des cas, même pour les ordonnancement de groupes de très grande talle. Par conséquent, cette méthode peut être utlsée pour calculer la qualté dans le pre des cas en temps réel pendant l exécuton de l ordonnancement. Grâce à cette proprété, l est possble de surveller la qualté d un ordonnancement de groupes dans un système d ade à la Un ordonnancement sem-actf est un ordonnancement où l on exécute les opératons au plus tôt. Pour une séquence d opératons, l exste un unque ordonnancement sem-actf. M, (b) Un ordonnancement de groupe résolvant le problème décrt dans la fgure a FIG. : Un problème de job shop résolu par un ordonnancement de groupes M M M M M M M M M M M M FIG. : Ordonnancements sem-actfs décrts par la fgure b

3 MOSIM 08 du mars au avrl Pars - France Mas cette borne peut être amélorée grâce à une proprété de l ordonnancement de groupes : une opératon dans un groupe donné ne peut être exécutée avant que toutes les opératons du groupe prédécesseur ne soent exécutées. Ans, une opératon ne peut commencer qu après la plus pette date de fn du groupe prédéhal , verson - 4 Aug 009 décson de manère dynamque. Cette méthode permet donc de décrre un ensemble d ordonnancement de manère mplcte (c est-à-dre sans énumérer les ordonnancements) tout en garantssant une certane qualté. Lors de l exécuton d un tel ordonnancement, l est possble de chosr la séquence d opératons adapté à l état réel de l ateler. De plus, la flexblté ajoutée à l ordonnancement devrat permettre d absorber des ncerttudes. Tros études ont essayé de vérfer cette proprété. [Wu et al., 999] étude l mpact de la perturbaton des temps d exécuton sur la somme pondérée des retards par rapport à des heurstques statques et dynamques. Quand les temps d exécutons ne sont pas trop perturbés, l ordonnancement de groupes donne de melleures performances. [Esswen, 00] étude l mpact de la perturbaton des temps d exécutons, des dates de lvrason et des dates de dsponblté sur un problème à une machne, et fat des comparasons avec une heurstque statque. En moyenne, les performances sont melleures avec l ordonnancement de groupes. [Pnot et al., 007] étude l mpact sur un système réel de la non modélsaton de temps de transport entre deux opératons dans l ordonnancement de groupes. La méthode montre de bonnes performances, même quand les temps de transport du système réel sont comparables aux temps d exécuton. UNE RELAXATION DE L ORDONNANCEMENT DE GROUPES. Le one-machne problem, relaxaton du job shop Dans le problème de job shop avec comme crtère le makespan, des outls très utles sont les têtes (heads) et les queues (tals) des opératons. La tête d une opératon correspond à une borne nféreure de sa date de début au plus tôt, alors que la queue d une opératon correspond à une borne nféreure au temps mnmal entre la fn de l opératon et la fn de l ordonnancement. Ces outls sont généralement utlsés pour la relaxaton du job shop en one-machne problem [Carler, 98]. Cette relaxaton consste à ne consdérer qu une machne, en utlsant les têtes comme des dates de dsponbltés et les queues comme des temps de traval à effectuer après l opératon, le but étant d optmser le makespan. Ce problème est équvalent à un problème à une machne avec dates de dsponblté dont le but est de mnmser le retard algébrque maxmum (sot le problème r L max ). Ce problème est NP-dffcle, mas [Carler, 98] fournt une méthode exacte effcace. Cette relaxaton est utlsée dans le calcul des bornes nféreures du job shop [Carler and Pnson, 989, Carler and Pnson, 990, Carler and Pnson, 994, Brucker et al., 994] ans que pour le calcul d heurstques comme le shftng bottleneck [Adams et al., 988] et les heurstques utlsées dans [Brucker et al., 994]. La qualté des têtes et queues sont des facteurs crucaux pour la performance de ces bornes et heurstques. Obtenr une relaxaton de l ordonnancement de groupes en one-machne problem serat un outl préceux pour la résoluton de l ordonnancement de groupe dans le melleur des cas. C est ce que nous proposons dans la sute de cette secton.. Têtes pour l ordonnancement de groupes Notre but dans cette secton est de calculer la date de début d une opératon dans le melleur des cas, qu correspond à la plus pette valeur de t dans chaque ordonnancement sem-actf décrt par un ordonnancement de groupes. Comme ce problème est NP-dffcle, l peut être très utle d obtenr une borne nféreure sur ces dates de début dans le melleur des cas en temps polynomal. Une telle borne nféreure serat une tête valde de l opératon O. Il est facle de calculer une borne nféreure à notre problème en utlsant une relaxaton sur les ressources (C est-à-dre en consdérant les ressources comme des ressources à capacté nfne). Dans ce cas, la borne nféreure de la date de début d une opératon dans le melleur des cas (θ ) est calculée comme le maxmum (des bornes nféreures) des dates de fn au plus tôt (χ ) de tous ses prédécesseurs. Pour l opératon O, les prédécesseurs correspondent aux prédécesseurs donnés par le problème (Γ ( )) mas également aux opératons du groupe prédécesseur (les opératons du groupe g ( )). Par exemple, dans l exemple décrt fgure, les prédécesseurs de l opératon O, (exécuté sur M ) sont l opératon O, (exécutée sur M ) à cause de la contrante de précédence, et les opératons O, et O, (exécutées sur la même machne M ) car elles sont dans le groupe prédécesseur (g (,)). Nous avons donc : ( ) θ = max r, max χ j g j, max χ ( ) j Γ j ( ) () χ = θ + p Calculer θ en utlsant () est équvalent au calcul de la tête de l opératon O comme décrt dans [Carler and Pnson, 989].

4 MOSIM 08 du mars au avrl Pars - France 4 cesseur. hal , verson - 4 Aug 009 Il est donc nécessare de calculer la plus pette date de fn d un groupe ou une borne nféreure de cette date. Nous avons précédemment calculé les θ du groupe, qu sont des bornes nféreures aux dates de dsponblté des opératons. Pour calculer une borne nféreure de la plus pette date de fn d un groupe, nous pouvons générer un problème du type r C max qu correspond à notre problème, avec r = θ. Ce problème est résolu en temps polynomal en ordonnant les opératons par ordre crossant de date de dsponblté [Brucker and Knust, 007, Lawler, 97]. Ans, nous pouvons calculer une borne nféreure de la date de début d une opératon dans le melleur des cas (θ ), une borne nféreure de la date de fn d une opératon dans le melleur des cas (χ ), et une borne nféreure de la date de fn d un groupe dans le melleur des cas (γ ) : ( ) θ = max r,γ g ( ), max χ j Γ j ( ) χ = θ + p () γ k = C max de r C max, O G k,r = θ. Exemple de l exécuton de l algorthme Voyons un exemple pour llustrer ces algorthmes. Pour garder cet exemple compréhensble, nous utlserons un problème smple de type flow shop. Le problème, l ordonnancement de groupes ans que les valeurs calculées par les algorthmes sont présentés dans le tableau. Une représentaton dans le pre des cas de l ordonnancement de groupes est dsponble fgure. Les quatre ordonnancements sem-actfs décrts par l ordonnancement de groupes sont représentés sur la fgure 4. Ils sont utlsés pour calculer la valeur optmale dans le tableau. La fgure 5 est une représentaton sous forme de graphe du calcul de (), qu montre les dépendances entre les dfférentes enttés. M M,, FIG. : L ordonnancement de groupes décrt par le tableau. M M M M M M M M FIG. 4: Les ordonnancements sem-actfs décrts par la fgure Nous pouvons remarquer l améloraton de () par rapport à () pour l opératon O,. Le calcul du makespan du groupe G amélore la borne nféreure θ, jusqu à sa valeur optmale. θ, χ, χ, θ, γ χ, χ, θ, χ, L équaton () ne donne pas la valeur optmale pour θ, : la valeur optmale est 6, mas () trouve 5. Cette approxmaton est causée par le fat que deux dates de début dans le melleur des cas n apparassent pas forcément dans le même ordonnancement sem-actf. Dans notre exemple, l ne peut y avor d ordonnancement sem-actf avec t, = θ, = (premer ordonnancement de la fgure ) et t, = θ, = (quatrème ordonnancement de la fgure ). En effet s t, =, alors t, ne peut être nféreur à 4 à cause des contrantes de précédences. Ans, γ G n est pas égale au makespan optmal θ, γ θ, θ, γ γ 4 χ, FIG. 5: Une représentaton sous forme de graphe de l exécuton de () pour le problème présenté dans le tableau

5 MOSIM 08 du mars au avrl Pars - France 5 Descrpton du problème Équaton () Équaton () Val. optmale j M,j p,j G k θ,j χ,j θ,j χ,j γ g (,j ) θ,j χ,j G G 5 G G G G TAB. : Exemple d un flow shop du groupe G (6, comme dans le premer ordonnancement de la fgure ), mas à une borne nféreure (5). Par la sute, l erreur se propage aux groupes successeurs. plus effcace pour le makespan. C est pourquo nous prenons cette règle comme heurstque de référence. Cette heurstque sera par la sute nommée MWR. hal , verson - 4 Aug Relaxaton de l ordonnancement de groupe en one-machne problem Nous possédons déjà une tête pour l ordonnancement de groupes : θ en utlsant (). Pour obtenr une queue, nous pouvons renverser (), c est-à-dre plutôt que de commencer le calcul au début de l ordonnancement, le commencer par la fn. Ans, en remplaçant les prédécesseurs par les successeurs, nous obtenons : ) θ (γ = max g + ( ), max j Γ + ( ) χ j χ = θ + p γ k = C max de r C max, O G k,r = θ avec θ une queue valde. Pour l ordonnancement de groupes, la relaxaton se fera naturellement au nveau des groupes plutôt qu au nveau des machnes (comme c est le cas dans le problème du job shop). Les problèmes seront alors plus petts, ce qu facltera leur résoluton exacte. Cette relaxaton peut être utlsée pour la réalsaton d heurstques. C est ce que nous décrvons dans la secton suvante. 4 HEURISTIQUES À BASE DE RÈGLES DE PRIORITÉ Les heurstques basées sur les règles de prorté des fles d attente sont parm les méthodes les plus smples et les plus utlsées en pratque pour ordonnancer un ateler de type job-shop. [Blackstone et al., 98] défnt une règle de prorté comme une méthode permettant de sélectonner parm tous les travaux en attente de tratement sur une ressource, le prochan traval à trater, selon une prorté prédéfne. 4. Règles de prorté () Nous proposons une règle de prorté basée sur la queue de l opératon. L dée est de donner une prorté mportante à une opératon possédant une grande queue, c est-à-dre une opératon rsquant de perturber le makespan. Comme les queues des opératons sont parfos égales, la règle est combnée avec Smallest Processng Tme (SPT). La règle s écrt donc ans : mn p θ O Cette heurstque sera par la sute nommée SQUTAIL. 4. Utlsaton d une règle de prorté avec une borne nféreure Dans [Pnot and Mebark, 008], nous défnssons une borne nféreure effcace pour le makespan en utlsant la méthode décrte dans la secton. Un ordonnancement partel possédant une borne nféreure plus pette donnera généralement un ordonnancement fnal de melleure qualté. Pour cette rason, l utlsaton d une telle borne nféreure dans une règle de prorté semble judceuse. Cette règle de prorté est défne de la façon suvante :. pour chaque opératon présente dans la fle d attente, on génère un ordonnancement (de groupes) partel où cette opératon est sélectonnée mmédatement ;. on calcule la borne nféreure pour ces ordonnancements partels générés ;. on sélectonne l opératon ayant aboute à la plus pette borne nféreure. Néanmons, cette règle de prorté condut à de nombreuses égaltés de prorté (.e. des opératons donnat la même borne nféreure). L utlsaton de la borne nféreure seule n est donc pas suffsante. La règle de prorté most work remanng, qu correspond à exécuter le traval possédant le plus long temps d exécuton restant, est la règle de prorté classque la C est pourquo nous proposons de combner la borne nféreure avec une autre règle de prorté. Dans un premer temps, les opératons dont l exécuton donne une

6 MOSIM 08 du mars au avrl Pars - France 6 borne nféreure mnmale sont sélectonnées. Dans un second temps, l opératon à exécuter est sélectonnée par une règle de prorté parm les opératons sélectonnées précédemment. Les règles de prorté utlsées sont celles décrte dans la secton 4.. L utlsaton de MWR avec la borne nféreure sera par la sute nommée LB+MWR (LB pour lower bound). De la même façon, l utlsaton de SQUTAIL avec la borne nféreure sera nommée LB+SQUTAIL 5 UN SHIFTING BOTTLENECK POUR L ORDON- NANCEMENT DE GROUPES 5. Le shftng bottleneck La relaxaton au nveau des groupes permet d évter le rsque de cycle présent dans l algorthme orgnal : comme le chox des séquences est effectué au nveau des groupes, et que toutes les permutatons des opératons dans un groupe donne par défnton un ordonnancement valde, l ne peut y avor de volaton de contrante. Cette heurstque sera par la sute nommée SB. Dans la secton suvante, nous comparons ces heurstques sur un ensemble d nstances très utlsé dans la ltterature du job shop. 6 EXPÉRIMENTATION hal , verson - 4 Aug 009 Le shftng bottleneck, décrt dans [Adams et al., 988], est une heurstque très connue et effcace pour le problème de job shop avec comme objectf le makespan. Nous présentons c une dée globale de l algorthme. Pour une explcaton détallée de l algorthme, vor [Adams et al., 988]. À chaque tératon, la machne goulot est sélectonnée, l ordre d exécuton des opératons sur cette machne est alors fxé. Les machnes déjà séquencées sont ensute réoptmsées. Cette procédure est répétée jusqu à ce que toutes les machnes soent séquencées. On obtent alors l ordonnancement. Pour le chox de la machne à séquencer, ans que pour son séquencement, la relaxaton en one-machne problem est utlsée. L algorthme de Carler [Carler, 98] est utlsé pour séquencer les machnes. Théorquement, cet algorthme peut donner des ordonnancements non réalsables. En effet, la relaxaton en one-machne problem ne prend pas en compte les contrantes de précédence. L algorthme peut donc donner un ordonnancement volant des contrantes, ce qu donnerat un ordonnancement non réalsable. Pour paller ce défaut, les auteurs tratent ce cas rare comme une excepton. 5. Adaptaton pour l ordonnancement de groupes Pour réalser un shftng bottleneck pour l ordonnancement de groupes, nous pouvons utlser la relaxaton en one-machne problem décrt secton. L algorthme n est alors plus effectué au nveau des machnes mas au nveau des groupes. Le nombre de réoptmsatons est alors beaucoup plus mportant que dans le shftng bottleneck classque. Nous nous attendons donc à de melleures performances, mas également à un temps de calcul plus grand. 6. Protocole Le but de ces expérmentatons est de comparer les dfférentes heurstques présentées dans cet artcle pour l ordonnancement de groupes. Nous utlsons un ensemble d nstance très utlsée nommé la0 à la40 de [Lawrence, 984]. Ce sont des nstances de job shop classques, avec m opératons pour chaque traval (m le nombre de machnes), chaque opératon d un traval s exécutant sur une machne dfférente. Cet ensemble est composé de 40 nstances de talles dfférentes (5 nstances pour chaque talle). Pour chaque nstance, nous générons un ordonnancement de groupes avec une qualté optmale connue et une très grande flexblté. Pour générer ces ordonnancements, nous utlsons un algorthme glouton qu fusonne deux groupes successeurs en foncton de dfférents crtères jusqu à ce qu l n y at plus de fuson de groupes possble. Cet algorthme commence avec un ordonnancement de groupes à une opératon par groupe calculé par l algorthme exact décrt dans [Brucker et al., 994] (donc, par constructon, le makespan optmal de ces ordonnancements de groupes est le makespan de cet ordonnancement de groupes à une opératon par groupe). L algorthme glouton est décrt dans [Esswen, 00]. Le code source du programme utlsé pour réalser ces expérmentatons peut être téléchargé à ec-nantes.fr/~pnot/. Pour chaque ordonnancement de groupes, nous calculons l écart entre le makespan de chaque heurstque et le makespan optmal de l ordonnancement de groupes. Les résultats sont présentés sous la forme de boîtes à moustache (boxplots) dans la fgure 6. Les résultats et les temps d exécutons correspondant aux talles des nstances sont présentés dans le tableau.

7 MOSIM 08 du mars au avrl Pars - France 7 MWR SQUTAIL LB+MWR LB+SQUTAIL SB Talle Écart Tps (s) Écart Tps (s) Écart Tps (s) Écart Tps (s) Écart Tps (s) 0 5 0,04 0,0005 0,0905 0,007 0,00 0,054 0,085 0,054 0,0 0, ,097 0,0007 0,0075 0,00 0,06 0,77 0,04 0,74 0,0046 0, ,47 0,000 0,0000 0,099 0,000 0,9 0,007 0,7 0,0000 0, ,4509 0,009 0,956 0,0 0,074 0,866 0,08 0,86 0,08 0, ,94 0,00 0,807 0,086 0,046 0,55 0,046 0,5506 0,097, ,094 0,009 0,56 0,70 0,040,96 0,0668,888 0,00 4, ,847 0,0050 0,066 0,4559 0,06,808 0,069,775 0,0000 0, ,644 0,0065 0,7 0,996 0,0758,66 0,0749,7 0,0 0,75 Moyenne 0,0 0,006 0,69 0,66 0,050 0,940 0,069 0,964 0,045,684 La talle est notée n m avec n le nombre de travaux et m le nombre de machnes. TAB. : Écarts moyens et temps d exécuton des dfférentes heurstques par rapport à la talle du problème hal , verson - 4 Aug 009 FIG. 6: Écarts des heurstques par rapport à l optmal 6. Dscusson MWR possède des performances décevantes par rapport aux autres heurstques avec un écart moyen à 0,. Elle est par contre très rapde. SQUTAIL est ben melleure que MWR avec une moyenne à 0,4. Par contre, ben qu elle ne sot qu une smple règle de prorté, elle est beaucoup plus coûteuse que MWR. En effet, l équaton permettant de calculer θ dot être exécutée à chaque décson, ce qu donne beaucoup de calculs supplémentares. LB+MWR et LB+SQUTAIL ont des performances et des temps d exécuton comparables. La borne nféreure seule comme décrt secton 4. serat donc une bonne règle de prorté. Par contre, la règle de prorté assocée à la borne nféreure semble avor mons d mpact sur les résultats, ben que LB+MWR sot légèrement melleure que LB+SQUTAIL. Cec est peut-être du au fat que la borne nféreure utlse abondamment les queues θ, et donc MWR apporterat une nformaton supplémentare. Les deux heurstques ont des temps de calcul équvalent, mas ben supéreurs aux temps d exécuton de SQUTAIL et MWR. En effet, la borne nféreure dot être calculée pour chaque opératon dans la fle d attente. SB est de lon la melleure heurstque. Avec 7 valeurs optmales trouvées sur 40 et un écart moyen de 0,05, ses performances sont plus de deux fos supéreures à celles de LB+MWR et LB+SQUTAIL et 50 fos supéreures à celle de SQUTAIL. Son temps d exécuton est ben sûr également plus mportant : elle est envron 4 fos plus coûteuse que LB+SQUTAIL. Globalement, on remarque que les nstances longues (.e. les nstances possédants un rapport n/m élevé, n le nombre de travaux, m le nombre de machnes) donnent des écarts fables. Cela est cohérent avec le fat que les nstances longues de job shop semblent être plus smples dans [Brucker et al., 994]. 7 CONCLUSION Dans cet artcle, nous avons présenté une méthode de relaxaton de l ordonnancement de groupe adapté au makespan dans le melleur des cas. Cette relaxaton est combnée à des heurstques d ordonnancement très utlsées comme la méthode du shftng bottleneck. Les expérmentatons réalsées en utlsant ces nouvelles heurstques présentent de très bons résultats, notamment l adaptaton du shftng bottleneck qu a en moyenne un écart à l optmal de,5%. Après les bornes nféreures proposées par [Pnot and Mebark, 008] et les heurstques proposées par cet artcle, l serat ntéressant de proposer des méthodes exactes pour calculer la qualté dans le melleur des cas. REFERENCES [Adams et al., 988] Adams, J., Balas, E., and Zawack, D. (988). The shftng bottleneck procedure for job shop schedulng. Management Scence, 4() :9 40. [Artgues, 004] Artgues, C. (004). Optmsaton et robustesse en ordonnancement sous contrantes de ressources. Habltaton à drger des recherches, Unversté d Avgnon.

8 MOSIM 08 du mars au avrl Pars - France 8 hal , verson - 4 Aug 009 [Artgues et al., 005] Artgues, C., Bllaut, J.-C., and Esswen, C. (005). Maxmzaton of soluton flexblty for robust shop schedulng. European Journal of Operatonal Research, 65() :4 8. [Bllaut and Roubellat, 996] Bllaut, J.-C. and Roubellat, F. (996). A new method for workshop real-tme schedulng. Internatonal Journal of Producton Research, 4(6) : [Blackstone et al., 98] Blackstone, J. H., Phllps, D. H., and Hogg, G. L. (98). A state of the art survey of dspatchng rules for manufacturng job shop operatons. Internatonal Journal of Producton Research, 0 :7 45. [Brucker et al., 994] Brucker, P., Jursch, B., and Severs, B. (994). A branch and bound algorthm for the jobshop schedulng problem. Dscrete Appled Mathematcs, 49(-) :07 7. [Brucker and Knust, 007] Brucker, P. and Knust, S. (007). Complexty results for schedulng problems. research/or/class/. [onlne ; retreved on ]. [Carler, 98] Carler, J. (98). The one-machne sequencng problem. European Journal of Operatonal Research, () :4 47. [Carler and Pnson, 989] Carler, J. and Pnson, E. (989). An algorthm for solvng the job-shop problem. Management Scence, 5() : [Carler and Pnson, 990] Carler, J. and Pnson, E. (990). A practcal use of jackson s preemptve schedule for solvng the job shop problem. Annals of Operatons Research, 6(-4) : [Carler and Pnson, 994] Carler, J. and Pnson, E. (994). Adjustment of heads and tals for the job-shop problem. European Journal of Operatonal Research, 78() :4 47. [Erschler and Roubellat, 989] Erschler, J. and Roubellat, F. (989). An approach for real tme schedulng for actvtes wth tme and resource constrants. In Slownsk, R. and Weglarz, J., edtors, Advances n project schedulng. Elsever. [Esswen, 00] Esswen, C. (00). Un apport de flexblté séquentelle pour l ordonnancement robuste. Thèse de doctorat, Unversté Franços Rabelas Tours. [Graham et al., 979] Graham, R. L., Lawler, E. L., Lenstra, J. K., and Rnnooy Kan, A. G. H. (979). Optmzaton and approxmaton n determnstc sequencng and schedulng : a survey. Annals of Dscrete Mathematcs, 5 :87 6. [Lawler, 97] Lawler, E. L. (97). Optmal sequencng of a sngle machne subject to precedence constrants. Management Scence, 9(5) : [Lawrence, 984] Lawrence, S. (984). Resource constraned project schedulng : an expermental nvestgaton of heurstc schedulng technques (supplement). Techncal report, Graduate School of Industral Admnstraton, Carnege-Mellon Unversty, Pttsburgh, Pennsylvana. [Pnot et al., 007] Pnot, G., Cardn, O., and Mebark, N. (007). A study on the group sequencng method n regards wth transportaton n an ndustral FMS. In Proceedngs of the IEEE SMC 007 Internatonal Conference. [Pnot and Mebark, 008] Pnot, G. and Mebark, N. (008). Best-case lower bounds n a group sequence for the job shop problem. In Proceedngs of the 7th IFAC World Congress. [Wu et al., 999] Wu, S. D., Byeon, E.-S., and Storer, R. H. (999). A graph-theoretc decomposton of the job shop schedulng problem to acheve schedulng robustness. Operatons Research, 47() : 4.