La Quantification du Risque Opérationnel des Institutions Bancaires

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1 HEC Montréal Afflée à l Unversté de Montréal La Quantfcaton du Rsque Opératonnel des Insttutons Bancares par Hela Dahen Département Fnance Thèse présentée à la Faculté des études supéreures en vue d obtenton de grade de Phlosophae Doctor (Ph.D) en Admnstraton Décembre, 2006 Copyrght, Hela Dahen, 2006

2 HEC Montréal Unversté de Montréal Cette thèse nttulée : La Quantfcaton du Rsque Opératonnel des Insttutons Bancares Présentée par : Hela Dahen est évaluée par le jury composé des personnes suvantes : Dr. Narjess Boubakr Présdent-rapporteur Dr. Georges Donne Drecteur de recherche Dr. Bruno Rémllard Co-drecteur de recherche Dr. Franços Bellavance Membre du jury Dr. Georges Hübner Examnateur externe

3 RÉSUMÉ Sute à l accord de Bâle II, les banques sont nvtées à développer leur propre méthode de mesure de captal pour le rsque opératonnel. Nous proposons dans cette thèse une méthode de quantfcaton du rsque opératonnel en ntégrant des données nternes et externes de pertes. Cette thèse est composée de tros partes : La premère parte propose des solutons quant au problème d utlsaton des données externes de pertes opératonnelles dans la mesure du captal avec une méthode avancée. Dans une premère étape, nous mettons en place un modèle explcatf des montants de pertes ncluant la talle de l entreprse, le leu de la perte, les lgnes d affares ans que les types de rsque. Les résultats de l estmaton par la méthode des mondres carrés ordnares (MCO) montrent que ces varables ont un pouvor statstquement sgnfcatf dans l explcaton des montants de pertes. Ces dernères vont être retenues pour le développement d une formule de normalsaton. Nous montrons ans comment l est possble de calculer la perte équvalente à une perte externe, qu pourrat être sube au nveau d une banque. D alleurs nous valdons notre méthode en prenant le cas de la banque Merrll Lynch et nous montrons que les statstques des pertes observées de cette banque sont sensblement proches de celles trouvées après mse à échelle. Dans une seconde étape, nous développons un deuxème modèle pour la mse à l échelle des fréquences des pertes qu pourraent avor leu durant une pérode détermnée à partr des données externes. Nous proposons deux modèles tronqués avec composante de régresson, à savor le Posson et le bnomal négatf. Des varables estmant la talle et la répartton géographque des actvtés des banques ont été ntrodutes comme varables explcatves dans le modèle. Les résultats montrent que la dstrbuton bnomale négatve domne la dstrbuton Posson. Ans, la mse à l échelle se fat en calculant les paramètres de la dstrbuton retenue à partr des coeffcents estmés et des varables propres à une banque donnée. Il est donc possble de générer les fréquences des pertes extrêmes sur un horzon détermné, même lorsque la banque étudée n a pas suffsamment de données.

4 Dans la seconde parte, nous étudons le degré d ajustement de dfférentes dstrbutons paramétrques aux données de pertes opératonnelles externes mses à l échelle d une banque canadenne. En effet, cette étape est très mportante pour le calcul de la VaR avec la méthode avancée, à savor Loss Dstrbuton Approach (LDA). Nous testons les dstrbutons exponentelle, lognormale, Webull et une famlle de dstrbutons à quatre paramètres : la GB2. Les résultats d estmaton des paramètres rejettent l ajustement de ces dstrbutons aux données. Par alleurs, nous valdons l exstence d une symétre pondérée dans les données que nous combnons avec le modèle GB2. La qualté d ajustement du modèle GB2 fractonné (ans construt) aux données est évaluée grâce à des tests d ajustement avec bootstrap paramétrque. Nous montrons que le modèle GB2 fractonné offre un excellent ajustement et décrt meux le comportement des pertes opératonnelles. Quant à la trosème parte, nous détermnons la valeur à rsque opératonnel (VaR) d une banque canadenne avec la méthode LDA. Nous développons cette méthode de mesure du captal opératonnel en chosssant la melleure dstrbuton de sévérté et de fréquence tout en tenant compte du seul de troncature, pusque les données sont collectées à partr d un certan seul. Nous testons la robustesse de notre modèle en le comparant au modèle standard, qu est construt à partr des dstrbutons fréquemment utlsées à savor la lognormale et la Posson et qu ne tent pas compte des pertes au-dessous du seul de collecte. Les résultats montrent que le modèle standard sous-estme sgnfcatvement la VaR. De plus, nous proposons un algorthme pour la combnason des données nternes et externes mses à l échelle. Ans, la VaR calculée consttue une bonne mesure de l exposton réelle face au rsque opératonnel d une banque. Mots clés : Rsque opératonnel, nsttutons bancares, mse à l échelle, modèles de comptage tronqués avec composante de régresson, approche de la dstrbuton des pertes, symétre pondérée, dstrbuton tronquée, GB2, valeur à rsque opératonnel, bootstrap paramétrque.

5 ABSTRACT Operatonal rsk has receved an ncreasng emphass n the recent years. The BIS 1, through Basel Accord II, has urged banks to develop ther own advanced captal measurement approach (AMA) to manage operatonal rsk. We propose n ths thess a method to quantfy operatonal rsk by combnng nternal and external loss data. Ths dssertaton s composed of three chapters: In the frst chapter, we propose a severty scalng model that allows us to estmate the equvalent operatonal loss amount that can occur n a bank, from an external data base. We take nto consderaton the sze of the nsttuton, the locaton, the busness lnes and the rsk types. The results demonstrate that these varables have a sgnfcant mpact to explan the observed losses. Consderng a normalzaton formula wth the sgnfcant varables, we show how we determne the equvalent loss amount that could occur n a bank. Secondly, we develop a frequency scalng model to determne the number of extreme losses that a bank could have durng a specfed perod. We suggest two count models: the truncated Posson regresson and the truncated negatve bnomal regresson. The explanatory varables of the regresson are the sze and the geographcal dstrbuton of the bankng actvtes. We show that the second model yelds to more accurate results. Therefore, the frequency scalng conssts on calculatng the parameters of the dstrbuton from the estmated coeffcents and the bank varables. We can, thus, generate a number of extreme losses durng a determned horzon, even f the bank doesn t have suffcent loss data. In the second chapter, we nvestgate the fttng of parametrc dstrbutons to the operatonal loss data. Indeed, the qualty of the fttng s very mportant to obtan accurate results of operatonal rsk captal. We propose four severty dstrbutons: exponental, lognormal, Webull and a four parameters famly dstrbuton, the GB2. We demonstrate that the goodness of ft tests reject the ft of all the estmated 1 Bank for Internatonal Settlements

6 dstrbutons to scaled external data. Moreover, we test the exstence of a weghted symmetry n the data. Then, we buld up a splt GB2 model by ntroducng the weghted symmetry n the GB2 dstrbuton. We test the goodness of ft of ths model by a Kolmogorov-Smrnov test wth parametrc bootstrap. The results show that the splt GB2 model offers an excellent ft to data and descrbe better the behavour of operatonal losses. The thrd chapter proposes a methodology to determne the operatonal value at rsk (VaR) wth the Loss Dstrbuton Approach (LDA), wth an emprcal study of a Canadan bank. We determne frst the best severty dstrbuton that fts the loss amounts, among the four dstrbutons tested. We take nto consderaton the truncaton ssue, snce the nternal losses are collected above a known threshold. Secondly, we consder two frequency dstrbutons and we select the one that offers the best fttng to the number of losses per day or per week. Moreover, we adjust the estmated parameters to take nto account the frequency of losses under the threshold. Then, we defne a standard model, often used n practce, whch s bult from an aggregaton of the lognormal and the Posson dstrbutons, wthout any consderaton of truncaton. We compare our model to the standard one and we show that the latter underestmates sgnfcantly the VaR comparatvely to our model. So, our model reflects better the bank exposure to operatonal rsk snce the VaR developed s more accurate and more realstc than the standard one. We also propose an algorthm to calculate the VaR by rsk type, by combnng nternal and scaled external loss data and by aggregatng the approprate severty and frequency dstrbutons. Key words : Operatonal rsk, bankng nsttutons, scalng models, truncated count model regresson, Loss Dstrbuton Approach, weghted symmetry, truncated dstrbuton, GB2, Operatonal Value at Rsk, parametrc bootstrap. v

7 TABLE DES MATIÈRES LISTE DES TABLEAUX... VIII LISTE DES GRAPHIQUES... IX REMERCIEMENTS... XI INTRODUCTION GÉNÉRALE MODÈLES DE MISE À L ÉCHELLE DES MONTANTS ET DES FRÉQUENCES DES DONNÉES DE PERTES OPÉRATIONNELLES EXTERNES INTRODUCTION MISE EN CONTEXTE Le cadre réglementare Les sources de données externes et leurs bas potentels Revue de la lttérature DESCRIPTION DES DONNÉES EXTERNES HYPOTHÈSES DU MODÈLE MODÈLE DE MISE À L ÉCHELLE DES MONTANTS DE PERTES EXTERNES Modèle théorque de mse à l échelle Descrpton des varables Régresson lnéare Résultats de la régresson Tests de robustesse sur la varable talle Formule de normalsaton Valdaton du modèle de mse à échelle MODÈLE DE MISE À L ÉCHELLE DES FRÉQUENCES DES PERTES EXTERNES Descrpton du modèle Descrpton des varables Modèle Posson tronqué avec composante de régresson Modèle bnomal négatf tronqué avec composante de régresson Présentaton et comparason des résultats CONCLUSION...40 ANNEXE v

8 2. MODÈLE GB2 FRACTIONNÉ POUR UN MEILLEUR AJUSTEMENT DE LA DISTRIBUTION DE SÉVÉRITÉ INTRODUCTION REVUE DE LA LITTÉRATURE DESCRIPTION DES DONNÉES MODÈLES D AJUSTEMENT Dstrbutons proposées Estmaton des paramètres Tests d ajustement Résultats UN MODÈLE GB2 FRACTIONNÉ Défnton de la symétre pondérée Estmaton des paramètres de la symétre pondérée Test de la symétre pondérée Modèle GB2 fractonné CONCLUSION...74 ANNEXE DÉTERMINATION DE LA VALEUR À RISQUE OPÉRATIONNEL D UNE BANQUE CANADIENNE INTRODUCTION REVUE DE LA LITTÉRATURE LES DONNÉES Descrpton des données Statstques descrptves sur les montants de pertes Statstques descrptves sur les fréquences des pertes LE MODÈLE LDA Condtons d applcaton du modèle Présentaton du modèle LDA ESTIMATION DE LA DISTRIBUTION DE SÉVÉRITÉ Dstrbutons testées Modélsaton de l ensemble des données Découpage de la dstrbuton Tests de bon ajustement Résultats de l estmaton des paramètres ESTIMATION DE LA DISTRIBUTION DE FRÉQUENCE Dstrbutons testées Estmaton des paramètres Correcton des paramètres Tests de bon ajustement Résultat de l estmaton des paramètres v

9 3.7. CALCUL DE LA VAR OPÉRATIONNEL PAR TYPE DE RISQUE Agrégaton des dstrbutons avec les données nternes Comparason de notre modèle avec le modèle standard Combnason des données nternes et données externes Détermnaton de la VaR Impact de la combnason des données nternes et externes sur les résultats CONCLUSION CONCLUSION GÉNÉRALE BIBLIOGRAPHIE v

10 LISTE DES TABLEAUX Tableau 1-1 : Statstques descrptves sur les données de la base externe Tableau 1-2 : Résultats de l estmaton des paramètres de la régresson lnéare Tableau 1-3 : Tests de robustesse Tableau 1-4 : Statstques sur les pertes mses à l échelle Tableau 1-5 : Impact des varables de mse à l échelle sur les montants des pertes.. 48 Tableau 1-6 : Statstques descrptves sur les varables ntrodutes dans le modèle de fréquence Tableau 1-7 : Résultats de l estmaton des coeffcents dans le modèle de fréquence Tableau 1-8 : Résultats de l applcaton de la mse à l échelle des fréquences Tableau 2-1: Dstrbutons étudées Tableau 2-2: Statstques descrptves sur les données Tableau 2-3 : Résultats de l estmaton des paramètres Tableau 2-4 : Résultats de l estmaton des paramètres du modèle GB2 fractonné.. 84 Tableau 3-1 : Statstques descrptves Tableau 3-2 : Estmaton des dstrbutons de sévérté pour les types de rsque FI, ATCE, EPSE Tableau 3-3: Estmaton des dstrbutons de sévérté pour le type de rsque CPPC 132 Tableau 3-4 : Estmaton des dstrbutons de sévérté pour le type de rsque GELP Tableau 3-5 : Estmaton des dstrbutons de sévérté pour le type de rsque FE Tableau 3-6 : Estmaton des dstrbutons de fréquences par type de rsque Tableau 3-7 : Comparason entre notre modèle et le modèle standard Tableau 3-8 : La VaR opératonnel par type de rsque Tableau 3-9 : Comparason entre la VaR opératonnel par type de rsque calculée avec le modèle Posson et celle calculée avec le modèle bnomal négatf Tableau 3-10 : Impact de l ntégraton des données de pertes externes sur la VaR. 142 v

11 LISTE DES GRAPHIQUES Graphque 2-1 : La GB2 et ses cas partculers Graphque 2-2 : Tests graphques de la dstrbuton exponentelle Graphque 2-3 : Tests graphques de la dstrbuton lognormale Graphque 2-4 : Tests graphques de la dstrbuton Webull Graphque 2-5 : Tests graphques de la dstrbuton GB Graphque 2-6 : Tests graphques du modèle GB2 fractonné x

12 À ma famlle, s lontane mas s proche de mon cœur, À Mehd pour son amour et souten ncondtonnel, À ma très chère pette flle Ines, Je vous ame profondément x

13 REMERCIEMENTS On dt souvent que le trajet est auss mportant que la destnaton. Les cnq années de doctorat m ont perms de ben comprendre la sgnfcaton de cette phrase toute smple. Ce parcours, en effet, ne s est pas réalsé sans défs et sans soulever de nombreuses questons pour lesquelles les réponses nécesstaent de longues heures de traval. Je tens tout d abord à exprmer ma profonde grattude à mon drecteur de recherche, Dr. Georges Donne, pour son encadrement exemplare, pour ses consels préceux et pour sa grande dsponblté J ameras remercer Dr. Bruno Rémllard, mon co-drecteur de recherche, pour ses commentares pertnents et pour tous les apprentssages mathématques et statstques qu l a su me fare transférer. Un grand merc à Dr. Franços Bellavance et Dr. Susan Chrstoffersen pour leurs dsponbltés et pour leurs commentares judceux. Je remerce également Dr. Georges Hübner, l examnateur externe, pour tous ses commentares et remarques très pertnents vsant à amélorer cette recherche. Un grand merc à Dr. Narjess Boubakr, présdent rapporteur, pour toute sa gentllesse et tous ses encouragements. Je sus hautement reconnassante à tout le personnel du département de geston du rsque opératonnel de la banque étudée. Grâce à l opportunté qu ls m ont offerte de travaller à la banque, j a pu réalser la parte emprque de cette thèse. J ameras remercer également le mnstère tunsen de l ensegnement supéreur, l Insttut de Fnance Mathématque (IFM2), le Centre de Recherche en E-Fnance (CREF), et le Fonds Québécos de la Recherche sur la Socété et la Culture (FQRSC) pour leur souten fnancer. x

14 Un grand merc à mon père qu m a nculqué la valeur du traval séreux. Grâce à ses encouragements, j a pu surmonter les moments dffcles de mon cursus doctoral. J espère que tu seras fer de mo, papa! Mes pensées vont à ma tendre maman qu n a pas arrêté de prer pour mon succès. Toutes les larmes qu elle a versées à cause de la longue séparaton m ont poussée encore à aller de l avant. Je remerce également mon frère et mes deux sœurs pour leurs encouragements et souten ncondtonnel. Je veux témogner ma profonde grattude à mon cher époux pour son amour, son souten et encouragement. C est la personne qu a plus enduré mes frustratons et mes sauts d humeur dans les moments dffcles de mon chemnement doctoral. Merc beaucoup pour ta patence et d être toujours à mes côtés. Merc à mon adorable pette flle Ines, qu malgré son jeune âge, m encourageat à contnuer d étuder. Je voudras remercer également ma belle famlle pour son ade préceuse et pour sa compréhenson. Elle m a beaucoup adé à concler traval, étude et famlle. Un grand merc à mes ams et collègues de la Chare du Canada en geston des rsques, pour leur souten et commentares judceux, notamment, Nada, Olfa, Khemas, Dentsa, Hakm, Oussama et Fatoumata. x

15 INTRODUCTION GÉNÉRALE Durant ces dernères années, nous remarquons un ntérêt crossant des nsttutons fnancères pour dentfer les pertes assocées au rsque opératonnel, et ce, sute à des consdératons réglementares d une part, et sute à l occurrence de pertes opératonnelles colossales dans le secteur fnancer d autre part. Ctons des exemples de pertes opératonnelles énormes subes dans le secteur fnancer : 2,4 mllards de dollars attrbuables aux poursutes subséquentes à l affare Enron et une perte de 690 mllons de dollars causée par une transacton non autorsée à Alled Irsh Bank. Ajoutons le cas de la plus velle banque du Royaume-Un (233 ans), la Barngs, qu a fat fallte à la sute d actvtés non autorsées ayant occasonné une perte de 1,3 mllard de dollars. Ces exemples montrent l ampleur de ce rsque. Ils consttuent également un sgnal pour alerter les nsttutons fnancères qu dovent mpératvement le défnr, le mesurer et le gérer afn d évter les éventuelles pertes colossales qu peuvent en découler. Outre ces pertes mportantes, le rsque opératonnel touche toutes les actvtés et les opératons des nsttutons fnancères de dfférentes manères. En effet, nous trouvons des événements opératonnels attrbuables aux personnes, aux processus, aux systèmes et aux événements externes. En revanche, les untés ne sont pas touchées de la même façon par le rsque opératonnel. L mpact vare selon la nature des actvtés et les dfférents ntervenants. Le rsque opératonnel prend donc de plus en plus d envergure et sa geston devent une nécessté. Conscentes de ce grand rsque, les autortés réglementares ont lancé le débat sur la défnton, l dentfcaton, la mesure et la geston du rsque opératonnel à partr de jun Elles ntrodusent ans de la presson sur les banques afn qu elles mettent en place un cadre de geston propre au rsque opératonnel (système de geston de rsque, senor management, suffsamment de ressources dédées à la geston du rsque opératonnel dans les lgnes d affares). Ce cadre permet, entre autres, l dentfcaton des pertes et la mesure d un captal opératonnel. Une façon de couvrr l exposton 1

16 au rsque opératonnel est de détenr un captal permettant de couvrr les pertes non antcpées, comme c est le cas pour le rsque de marché et de crédt. Pluseurs approches de mesure de captal rsque opératonnel ont été proposées par les autortés règlementares, sauf que les banques sont nvtées à développer leur propre méthode, une méthode de mesure avancée qu reflètera meux le nveau de rsque opératonnel. Le développement d une telle méthode de mesure est au centre de cette thèse. Nous étudons en effet dfférentes facettes de la quantfcaton du rsque opératonnel des nsttutons bancares dans le but de développer une mesure qu tent compte de l exposton réelle d une banque. Ans, l objectf de cette thèse est de proposer une méthode robuste pour le calcul de la valeur à rsque opératonnel qu sera la plus réalste et la plus représentatve du nveau de rsque opératonnel d une banque. Comme les recherches dans ce domane sont encore en phase embryonnare, tous les développements et les outls de quantfcaton que nous proposons dans cette thèse seront ans d une grande utlté pour les nsttutons fnancères à court terme, étant donné qu elles ont des exgences à remplr, mas également pour les autres ndustres qu, à moyen terme, trouveront que l exercce leur est proftable. Cette thèse portant sur la quantfcaton du rsque opératonnel et le développement d une mesure de captal comporte tros partes. La premère parte consste à développer des modèles pour mettre la sévérté et la fréquence des pertes externes de plus d un mllon de dollars à l échelle d une banque donnée. Le recours à des données de pertes opératonnelles externes s avère essentel pour compléter les données nternes et, surtout, pour aller chercher les pertes mportantes très rares qu, généralement, manquent dans les bases nternes des banques. Nous ntrodusons dans notre modèle des varables de leu, de lgne d affares où la perte a eu leu et de type de rsque en plus de la varable talle. Nous montrons ans que notre modèle vent amélorer les modèles exstants dans la lttérature qu se basent unquement sur la talle. D autre part, nous avons ms en place un modèle orgnal pour la mse à l échelle et l ajustement du nombre de pertes 2

17 externes de plus d un mllon de dollars sur une pérode détermnée. Les paramètres du modèle retenu à savor le bnomal négatf tronqué avec composante de régresson dépendent de la talle de l nsttuton fnancère et de la répartton géographque de ses actvtés. La deuxème parte de la thèse met l accent sur l estmaton de la dstrbuton de sévérté. Le chox de la dstrbuton est en effet d une mportance crucale pour ben décrre le comportement des pertes et estmer correctement la valeur à rsque opératonnel. Nous mettons en place à cet effet un modèle GB2 fractonné en ntrodusant la noton de symétre pondérée dans les données de pertes opératonnelles. Les résultats montrent que ce modèle offre un excellent ajustement à la dstrbuton emprque des pertes mses à l échelle d une banque canadenne. Alors que l ajustement des dstrbutons usuelles ans que celu de la dstrbuton GB2 à quatre paramètres n ont pas été retenues pour modélser ces pertes. Quant à la trosème parte, nous portons notre attenton à la Valeur à rsque opératonnel et nous procédons à toutes les étapes nécessares à son calcul. En effet, nous étudons l ajustement des dstrbutons paramétrques de sévérté et de fréquence tout en consdérant le montant et la fréquence des pertes au-dessous du seul de collecte, et ce, avec les données réelles d une banque canadenne. Ces éléments sont en effet néglgés dans le modèle standard fréquemment utlsé, construt à partr des dstrbuons lognormale et Posson. Une comparason des deux modèles montre que le modèle standard sous estme énormément la Valeur à rsque opératonnel par rapport à celle calculée avec notre modèle. De plus, dans le but d avor une mesure rgoureuse et réalste de la perte opératonnelle non antcpée, nous ntégrons des pertes opératonnelles externes mses à l échelle de la banque à l étude. Cec permet de tenr compte de certanes pertes extrêmes éventuelles n ayant pas encore été subes. En effet, une analyse de l mpact de la combnason des pertes externes et nternes sur le calcul de la VaR a été fate dans cette parte et a révélé que les VaR, à quantles élevés, sont consdérablement sous estmées lorsqu elles sont calculées avec les données de pertes nternes seulement. 3

18 1. MODÈLES DE MISE À L ÉCHELLE DES MONTANTS ET DES FRÉQUENCES DES DONNÉES DE PERTES OPÉRATIONNELLES EXTERNES 1.1. Introducton L une des approches proposées dans l accord de Bâle II pour la quantfcaton du rsque opératonnel est l approche avancée. Le développement d une telle approche exge une large base de données. Les données peuvent provenr de dfférentes sources. En fat, les données nternes sont d une grande utlté pour refléter le degré d exposton réelle face au rsque opératonnel. Cependant, l hstorque de collecte est court et les pertes opératonnelles observées sont lon d être représentatves des pertes qu une nsttuton bancare pourrat subr. En effet, les données nternes d une banque n ncluent pas suffsamment de pertes rares 2 avec une haute sévérté, d autant plus que le processus de collecte des pertes en est encore à ses débuts. Ans, le recours à des données de pertes opératonnelles externes s avère essentel pour compléter les données nternes et, surtout, pour aller chercher les pertes mportantes très rares qu, généralement, manquent dans les données nternes. Il y a leu donc d nclure ces éventuelles pertes mportantes dans la base nterne d une banque pour rédure l effet «surprse» (le non antcpé) et calculer le captal adéquat. Il est évdent que nous ne pouvons pas prédre les pertes extrêmes exactes lorsque celles-c ne sont pas survenues. Cependant, l nous est possble, à partr des pertes enregstrées dans le secteur bancare, de fare une projecton pour une banque en tenant compte de certans facteurs pour la mse à l échelle. 2 Une perte rare est défne comme étant une perte découlant d un événement à fréquence très fable. 4

19 Compte tenu de ce contexte et de la nécessté d utlser une base de données externe dans une approche avancée de calcul de captal, l objectf de ce chaptre est de développer une méthode robuste pour prévor, à partr des données externes, la sévérté ans que les fréquences des pertes qu une banque pourrat subr. Pluseurs facteurs seront prs en consdératon pour explquer les montants de pertes ans que leur nombre sur une pérode détermnée. Il s agt donc d une projecton des pertes externes survenues dans l ndustre au nveau d une banque. La méthode développée dans ce chaptre a été testée sur les données d une base externe de pertes opératonnelles de plus de 1 mllon de dollars. Cependant, elle reste applcable à n mporte quelle base de données externe. Une combnason des pertes externes mses à l échelle avec les données nternes d une banque permet de refléter l exposton face au rsque opératonnel. Ce chaptre est présenté comme sut. La deuxème secton décrt les dfférentes approches de mesure de captal, les sources de données, leurs caractérstques, ans qu un bref survol des méthodes de mse à l échelle dans la lttérature. Une descrpton des données de la base externe est présentée dans la trosème secton. La quatrème secton expose les hypothèses du modèle. Ensute, le modèle de mse à l échelle de la sévérté est développé dans la cnquème secton. L avant-dernère secton est consacrée au développement du modèle de mse à l échelle des fréquences. Enfn, une concluson et une dscusson sur les avenues possbles de recherches sont présentées à la fn de ce chaptre Mse en contexte Le cadre réglementare En 2001, le Comté de Bâle a défn le rsque opératonnel comme étant le rsque de pertes résultant de l nadéquaton ou de la défallance des processus, d ndvdus et de systèmes, ou résultant d événements externes. Le rsque jurdque est auss nclus, mas la défnton ne prend pas en compte le rsque de réputaton n le rsque d affares. 5

20 Les autortés réglementares ont dentfé tros approches dfférentes pour le calcul du captal du rsque opératonnel. Elles vont de l approche la plus smple à une autre plus complexe, plus sensble au rsque. Nous présentons c l approche avancée relée à notre problématque de recherche. Il s agt d une approche plus sophstquée qu repose sur des méthodes nternes de calcul de captal adoptées par les banques. Les autortés réglementares offrent une grande flexblté quant au chox de la méthode, pourvu qu elle combne adéquatement des crtères qualtatfs et quanttatfs et estme rasonnablement la perte non antcpée en se basant sur la combnason de données nternes, des données externes pertnentes, des analyses par scénaros ans que des facteurs nternes sur l envronnement de contrôle). La méthode retenue dot refléter le nveau d exposton aux rsques de l nsttuton fnancère et dot être approuvée par les régulateurs avant son mplantaton. Tros méthodes sont proposées dans le cadre de l approche avancée, à savor : 1) la méthode nterne de mesure (Internal Measurement Approach, IMA) ; 2) la méthode des dstrbutons des pertes (Loss Dstrbuton Approach, LDA) ; et 3) la méthode par carte de pontage (Scorecard). Nous nous ntéressons dans cette étude à la méthode des dstrbutons des pertes (LDA) qu est la plus populare. En effet, elle s nspre énormément des méthodes actuarelles développées dans le domane de l assurance. Elle repose sur l estmaton de la perte non antcpée à partr de la modélsaton des montants et des fréquences des pertes opératonnelles. La bonne combnason des données des pertes nternes et externes consttue donc une étape mportante à consdérer dans une approche avancée Les sources de données externes et leurs bas potentels Nous portons notre attenton sur l utlsaton des données externes. Une mse à l échelle de ces dernères permet de les combner avec les données nternes pour obtenr une base de données représentatve du rsque opératonnel d une banque. Cec 6

21 fat parte de l objectf de l mplantaton d une méthode avancée. Les sources de données externes sont encore lmtées. Nous ctons : - Des données publques obtenues à partr des rapports médatsés et des magaznes. Il s agt des pertes de plus de 1 mllon de dollars. Il exste deux bases de données externes sur le marché (tel que Ftch). Le problème, avec ce type de données, est que la base ne content que les pertes de haute sévérté survenues dans de grandes nsttutons fnancères. Le recours à cette base ne résout pas le problème de manque de données pour certans types de rsque (perturbaton des affares et défallance des systèmes), mas l permet de compléter la base avec des données extrêmes survenant rarement. Ces pertes formeront les queues des dstrbutons, pusque les données nternes de la plupart des nsttutons fnancères n ont pas un hstorque représentatf des pertes mportantes qu pourraent survenr. Le regroupement des données nternes et externes requert un certan tratement pour corrger le bas lé aux données. - Des données fournes par les courters d assurance (tel que Wlls, Aon et Marsh). Il s agt des pertes opératonnelles réclamées par les nsttutons fnancères. L avantage majeur de cette source est sa fablté. En effet, comme les données sont collectées drectement à partr des nsttutons fnancères, le bas de sélecton est mnme. Cependant, l nconvénent de cette source est la dfférence des seuls de collecte lés aux dfférentes franchses des polces d assurance, pas toujours observables. La deuxème lmte résde dans la spécfcté des types de rsque collectés. En effet, seules les pertes de nature assurable seront comprses dans la base. - Données non publques obtenues à partr d un rassemblement des données nternes des banques. Ces dernères se sont entendues pour partager des nformatons sur leurs données. Elles consttuent donc un consortum tel que ORX (Operatonal Rskdata exchange Assocaton). Cependant, vu la confdentalté des nformatons, les statstques et les analyses sur les pertes 7

22 ne sont dsponbles qu aux partcpants. L avantage de cette source de données est sa fablté. Le seul de collecte est beaucoup plus bas que celu des sources précédentes. Ans, les montants de pertes sont plus comparables, surtout s les banques membres sont de talle moyenne. Toutefos, l nconvénent majeur de cette source de données est qu l est mpossble d accéder aux pertes événement par événement. Il n est donc pas possble de construre une base avec les données nternes et externes. Les données externes contennent beaucoup de bas, parm lesquels : - Le bas de sélecton : Seules les pertes très mportantes sont publées. Ce bas est lé à la nature des bases dsponbles et l est donc dffcle à corrger. - Le bas de contrôle : Les pertes provennent des banques ayant dfférents envronnements de contrôle. Il n exste malheureusement pas de varables estmant la qualté de contrôle au nveau des banques dans les bases externes. Ans, avec les nformatons dsponbles, l n est pas possble de corrger ce bas. - Le bas de collecte : Lorsque les données provennent de dfférentes sources, des seuls dfférents peuvent entraîner des bas. Frachot et Roncall (2002) et Baud, Frachot et Roncall (2002) décrvent comment des données nternes peuvent être comparées avec des données externes ayant des dstrbutons de sévérté dfférentes. - Le bas d échelle : les pertes provennent de dfférentes banques avec dfférentes talles (actfs, revenus, nombre d employés ) et localsées dans dfférents pays. La correcton de ce bas fat l objet de notre recherche. Ans, nous proposons dans cette étude d amélorer la méthode de mse à échelle exstant dans la lttérature. Il est donc à sgnaler que nous ne vsons pas à corrger le bas de sélecton ou les autres bas éventuels 8

23 Revue de la lttérature Peu de recherches ont été fates pour trouver une soluton au problème d échelle. Shh, Samad-Khan et Medapa (2000) ont ntrodut la talle de l nsttuton comme prncpal facteur de mse à l échelle. Ils ont montré que la relaton entre les pertes opératonnelles et la talle de la frme est non lnéare. En effet, la relaton entre le logarthme du facteur d échelle et les montants des pertes est plus mportante que celle entre les pertes et la varable d échelle brute. D alleurs, une banque deux fos plus grande qu une autre ne va pas occasonner, en moyenne, des pertes deux fos plus mportantes que les pertes subes par l autre frme. Shh, Samad-Khan et Medapa (2000) supposent effectvement que la relaton est la suvante : L = R α F ( θ) où : L : le montant des pertes; R : le revenu total de la frme où la perte a eu leu; α : un facteur de mse à l échelle; θ : un vecteur représentant tous les facteurs de rsque non explqués par R. F ( θ) est donc un terme résduel multplcatf non explqué par les fluctuatons du revenu. En prenant le logarthme de cette équaton, nous obtenons une relaton lnéare. Il est donc possble d estmer le facteur de la mse à l échelle α et le logarthme de la foncton des autres facteurs F ( θ) qu consttue la constante de la régresson. Le seul facteur de rsque nclus dans le modèle et estmant la talle de la frme est le revenu total. Il est donc probable que la majorté de la varablté des pertes sot causée par d autres facteurs tels que le type de la lgne d affares, la qualté de la geston et l effcacté de l envronnement de contrôle. Dans cette même étude, l a été montré que la talle n explque qu une pette porton (5 % envron) des montants de pertes. 9

24 Dans la même lgnée, Hartung (2004) a développé une formule de normalsaton qu permet de calculer l équvalent d une perte externe pour une banque donnée. La formule utlsée est la suvante : où : Loss adj Loss adj b ( ) ( ) adj Scal.Param Loss = loss org. 1+ a. 1 Scal.Param Lossorg : le montant de la perte ajustée pour une banque donnée; Loss org : le montant orgnal de la perte pour une banque de référence; Scal.Param( Loss adj ) : un paramètre de mse à l échelle pour une banque donnée; Scal.Param( Loss org ) : un paramètre de mse à l échelle pour une banque de référence; a, b : des facteurs d ajustement tels que a [ 1;1 ], b [ 0;1]. Le paramètre de mse à l échelle a été attrbué selon la cause de l événement. Des exemples de ce paramètre sont les revenus, le nombre d employés ou la qualté de la geston des rsques. Concernant les facteurs d ajustement, des hypothèses ont été émses quant à leur valeur selon le paramètre de mse à l échelle. Les lmtes de ce modèle de mse à l échelle consstent, d une part, dans la non-justfcaton théorque de la formule utlsée, et, d autre part, dans l absence de méthode développée pour estmer les facteurs d ajustement. Par alleurs, le montant de la perte peut être décomposé en une composante commune et une composante dosyncratque, selon l étude de Na (2004). En effet, la composante commune à toutes les banques ou lgnes d affares capte tous les changements dans l envronnement macroéconomque, géopoltque et culturel, alors que la composante dosyncratque comprend tous les facteurs spécfques à la lgne d affares ou propres à l événement de perte. Une relaton de pussance (power relatonshp) a été mse en place entre cette dernère composante et un estmateur de talle. Une formule de normalsaton a été développée pour trouver le montant de 10

25 perte équvalent d une perte prse comme référence, dans une banque donnée au nveau des lgnes d affares B1 et B2. La formule est la suvante : où : L T,B1 ( R ) ( R ) λ dosyncratque λ = T,B1 dosyncratque L T,B : un montant de perte survenue à la date T, à la banque ou la lgne d affares B; ( R dosyncratque ) T, B sgnfcatf pour explquer la varablté du nombre de pertes. Cependant, la prncpale 11 L : le revenu de la banque ou de la lgne d affares B à la date T, et qu T,B2 T,B2 consttue le seul estmateur de la composante dosyncratque; λ : un facteur d échelle. Ce modèle peut être améloré en ntrodusant d autres facteurs pour la mse à l échelle, autres que la talle de l entreprse. Nous nous basons sur cette étude pour développer un modèle de mse à l échelle de la sévérté des pertes en prenant en consdératon la talle, le leu, la lgne d affares et le type de rsque de perte. Une fos que la mse à l échelle de la sévérté est accomple, l est également mportant de détermner la fréquence des pertes normalsées sur un horzon de temps détermné. Très peu de recherches ont essayé cette mse à l échelle. En effet, certanes études ont développé des modèles de normalsaton de la sévérté mas n ont fat aucune consdératon de mse à l échelle des fréquences (Shh, Samad- Khan et Medapa, 2001; Hartung, 2004). Hartung (2004) regroupe la fréquence des pertes de quatre banques sur un horzon de neuf ans. La banque prse comme référence aura une dstrbuton dentque à la dstrbuton des quatre banques regroupées ensemble. Or, cec n est pas toujours le cas, vu que toutes ces banques ne sont pas nécessarement comparables. Pluseurs facteurs entrent donc en jeu dans la détermnaton de la fréquence des pertes. Par alleurs, Na (2004) a développé un modèle de mse à l échelle des fréquences, équvalent à celu des sévértés. En effet, ce modèle stpule que, comme pour la sévérté, la fréquence des pertes peut être décomposée en composante commune et composante dosyncratque estmée par la talle. Il conclut que la talle est un facteur

26 lmte du modèle est qu l ne tent pas compte du caractère dscret des données de fréquences comparatvement aux données sur les montants de pertes. Il exste certanes méthodes d ntégraton des données nternes et externes qu ont été développées dans la lttérature telles que : Une estmaton séparée des deux dstrbutons basée sur des données nternes et des données externes. La combnason des deux dstrbuons est fate par des technques bayesennes (Alexander, 2003) Créaton d un échantllon large d observatons contenant des données nternes et des données externes (Frachot et al., 2002) Amélorer la précson de la queue de la dstrbuton basée sur l nformaton contenue dans la base externe (Chapelle et al., 2004) Les deux premères méthodes exgent un seul de collecte non élevé, Ce qu n est pas le cas des bases externes. Dans notre recherche, nous allons nous nsprer de la méthode développée par Chappelle et al. (2004) mas en utlsant les dstrbutons dentfées dans le premer et second chaptre de la thèse, estmant les montants et les fréquences des pertes mses à l échelle. Dans la présente étude, nous développons un modèle pour mettre à l échelle d une banque les fréquences de pertes extrêmes observées dans l ndustre. Nous proposons un modèle de comptage avec composante de régresson. Un tel modèle permet de tenr compte du caractère dscret et non négatf des données. Deux modèles, à savor Posson et bnomal négatf, seront donc testés (Klugman, Panjer et Wllmot, 1998; Cruz, 2001). La composante de régresson contenue dans le modèle permet de tenr compte de certans facteurs pour la mse à échelle. Dans les modèles consdérés dans la lttérature pour décrre les varables dscrètes (Cox et Lews, 1966; El Sayyad, 1973; Frome, Kutner et Beauchamp, 1973; Hausman, Hall et Grlches, 1984; Gouréroux, Monfort et Trognon, 1984), les varables endogènes sont supposées avor une dstrbuton Posson avec composante 12

27 de régresson. Le paramètre de cette dstrbuton est une foncton des valeurs des varables exogènes. Le chox de ce modèle est justfé lorsque la varable dépendante compte l occurrence d un événement donné durant une pérode détermnée et lorsque les hypothèses usuelles de la dstrbuton Posson sont satsfates. Pluseurs applcatons de ce modèle ont été fates dans la lttérature, telles que la modélsaton du nombre de brevets reçus par une frme (Hausman, Hall et Grlches, 1984), du nombre de consultatons d un médecn (Cameron, Trved, Mlne et Pggott, 1988) ou du nombre d accdents automobles ou aérens (Donne et Vanasse, 1989 et 1992; Donne et al. 1997). L applcaton de Donne et Vanasse (1989) est la premère à ntrodure une composante de régresson dans le domane de l assurance, un domane qu présente beaucoup de smltudes avec le rsque opératonnel. Le nombre d accdents par ndvdu est supposé suvre une dstrbuton Posson dont le paramètre vare d une unté d exposton à une autre. Ce derner dépend effectvement des caractérstques des untés exposées. Les coeffcents de ces varables sont estmés par la méthode du maxmum de vrasemblance telle que dscutée par Maddala (1983) et Cameron et Trved (1986). Le modèle Posson avec composante de régresson suppose l équdsperson (l égalté entre la moyenne et la varance condtonnelles). Cette restrcton peut être non compatble avec les données. Le recours à la dstrbuton bnomale négatve 3 permet de paller à ce problème, pusqu elle permet la surdsperson, caractérstque fréquemment observée dans les données. Les études de Donne et Vanasse (1989 et 1992) et Boyer, Donne et Vanasse (1991) ont montré la supérorté du modèle bnomal négatf avec composante de régresson par rapport au modèle Posson avec composante de régresson pour les accdents automobles. D alleurs, le modèle bnomal négatf avec composante de régresson est mantenant fréquemment utlsé dans la lttérature. Il est possble d estmer les paramètres des dstrbutons par maxmum de vrasemblance lorsque certanes condtons sont vérfées. Dans le cas où la densté 3 C est une dstrbuton Posson dont le paramètre est aléatore suvant une dstrbuton gamma. 13

28 est mal spécfée, les estmateurs trouvés par maxmum de vrasemblance ne sont pas cohérents. Goureroux, Monfort et Trognon (1984a et 1984b) ont proposé d autres méthodes pour paller à ce problème telles que la pseudo maxmum de vrasemblance (PML), la pseudo maxmum de vrasemblance quas-généralsée (QGPML). Ils ont spécfé les condtons sous lesquelles ces estmateurs PML et QGPML des modèles de famlle exponentelle lnéare sont cohérents, dans le cas de modèles non tronqués. Toutefos, s la densté de la bnomale négatve est correctement spécfée, les estmateurs du maxmum de vrasemblance seront plus effcents que PML et QGPML (Donne et Vanasse, 1992). Nous allons donc applquer ces modèles très utlsés dans la lttérature pour la modélsaton du nombre de pertes opératonnelles. Ces modèles permettront ans d ntrodure des nformatons sur l nsttuton fnancère où la perte a eu leu. Des varables exogènes de leu et de répartton géographque de l entreprse permettront la mse à l échelle. À notre connassance, c est la premère applcaton de ces modèles au rsque opératonnel et, plus précsément, pour la mse à l échelle des fréquences des pertes opératonnelles. Cependant, nous observons que les fréquences sont supéreures à zéro. Nous développons donc des modèles Posson et bnomal négatf tronqués au pont zéro avec composante de régresson. La présentaton des denstés tronquées de ces modèles a été fate par Cameron et Trved (1998) et les tests de surdsperson pour les mêmes modèles ont été développés par Gurmu (1991) et Gurmu et Trved (1992) Descrpton des données externes Il s agt de la base de données OpVaR de Ftch, consttuée de pertes opératonnelles de 1 mllon de dollars amércans et plus. La base de données content des pertes de toutes les ndustres. Une premère sélecton a donc été fate pour avor seulement les pertes opératonnelles provenant d nsttutons fnancères, pusque nous cblons seulement les banques. La base de données content les nformatons suvantes : 1. Le type d événement, nveau 1 : l s agt des types de rsque défns par les autortés réglementares. Cette rubrque comprend : 14

29 - fraudes externes; - fraudes nternes; - clents, produts et pratques commercales; - emplo, pratques et sécurté envronnementale; - geston de l exécuton, de la lvrason et des processus; - actfs tangbles et corporels endommagés; - perturbaton des affares et défallance des systèmes. Nous avons également les types d événements de nveau 2 et 3, qu offrent plus de précson et plus de granularté. Ctons à ttre d exemple : la dscrmnaton et la dversté comme sous-événement du type de rsque emplo, pratques et sécurté envronnementale. Comme événements de type 3 du sous-type de rsque dversté et dscrmnaton, nous ctons, à ttre d exemples la dscrmnaton due à l âge, au sexe, à la race, à l orentaton sexuelle et au harcèlement sexuel. 2. Le nom de la compagne mère et celu de la flale. 3. Une descrpton détallée de l événement de perte. 4. Le montant de la perte en devse locale, en dollars amércans et sa valeur actuelle (en tenant compte de l nflaton). 5. La date d événement. Cependant, nous retenons seulement l année de l événement, pusque nous avons des doutes quant à la date exacte de l événement (jour et mos). 6. L ndustre : l s agt sot des servces fnancers, sot de l admnstraton publque. 7. L unté d affares, nveaux 1, 2 et 3. Le premer nveau dstngue les nsttutons fnancères et non fnancères. Dans notre cas, nous nous ntéressons seulement au secteur fnancer. Le nveau 2 concerne les nsttutons fnancères, fasant la dstncton entre les banques, les assurances, les banques d nvestssement et les autres nsttutons. Quant au nveau 3 des 15

30 untés d affares, nous retrouvons les lgnes d affares défnes par le comté de Bâle. 8. Le leu, c est-à-dre le pays où la perte a eu leu. 9. Un code d dentfcaton propre à chaque perte. 10. Des nformatons sur l nsttuton où la perte a eu leu comme le total des actfs, le total des fonds propres, le total des dépôts, le total des revenus et le nombre d employés. Il est à mentonner qu l exste des observatons pour lesquelles les nformatons sur la frme manquent. Comme ces nformatons sont très mportantes pour le modèle de mse à l échelle plus lon, nous sommes oblgés de retenr seulement les données de pertes pour lesquelles des nformatons spécfques sur la frme sont dsponbles. De plus, 1,8 % des pertes sont survenues entre 1981 et 1994 et ont une moyenne de 130,31 M$ par événement, alors que les pertes ayant leu après cette date ont une moyenne de 67,15 M$. Nous écartons donc les événements ayant leu avant 1994 de la base externe à cause d un bas de collecte. Ans, observatons de pertes de plus d un mllon de dollars amércans sont retenues dans la base de données Hypothèses du modèle Nous applquons un modèle théorque de mse à l échelle pour les sévértés et les fréquences. L applcaton emprque des modèles de mse à l échelle sur les données externes est d une grande utlté pour montrer la smplcté du modèle et pour pouvor dégager des résultats. Il est clar que la base de données utlsée est sujette à pluseurs crtques pour les rasons ctées auparavant. Comme l n exste pas, à présent, de melleures sources de données, nous émettons les hypothèses suvantes pour pouvor mener notre recherche. Force est de constater que la méthodologe reste applcable à d autres bases, à condton qu elles contennent les nformatons requses. Nous supposons que les montants de pertes rapportés dans la base à partr des médas sont précs et factorels. L évaluaton des pertes est ans non basée sur des rumeurs ou des prédctons. 16

31 Nous supposons que tous les types de pertes ont la même probablté d être rapportés dans la base; l n y a donc pas d effet médatque relé à certans types de rsque. Nous supposons que nous dsposons de toutes les pertes de plus de 1 mllon de dollars dans la base externe pour les nsttutons fnancères exstantes dans la base. Nous supposons qu l n y a pas de corrélaton entre le montant de la perte et la probablté que cette dernère sot rapportée. De plus, les dstrbutons de la sévérté et des fréquences sont donc supposées être ndépendantes Modèle de mse à l échelle des montants de pertes externes Modèle théorque de mse à l échelle Le mécansme de mse à l échelle repose sur tros hypothèses fondamentales; la premère est la décomposton de la perte monétare en deux composantes communes et dosyncratques ou spécfques; la seconde stpule une relaton non lnéare entre la parte dosyncratque et les dfférents facteurs qu la composent; enfn, la dernère hypothèse énonce qu outre les facteurs que nous contrôlons pour la mse à l échelle, les autres facteurs non observables, telle que la qualté de l envronnement de contrôle, sont supposés être les mêmes entre les banques. Concernant la premère hypothèse, nous pouvons supposer que la perte opératonnelle peut se décomposer en deux composantes (Na, 2004): une composante commune à toutes les banques et une composante dosyncratque spécfque à chaque montant de perte. La composante commune content tous les facteurs ndépendants des actvtés de la banque et peut avor le même mpact sur toutes les banques; c est donc une composante constante pour tous les événements de perte. Elle fat référence à l envronnement macroéconomque, géopoltque, culturel ou à la nature humane en général (Na, 2004 et Na et al., 2006). Nous allons supposer cette composante 17

32 constante pour toutes les banques comme c est fat dans l étude de Na, (2004). Toutefos, l est toujours possble de consdérer cette commonalté comme une foncton de varables d état dentques pour toutes les banques, mas qu varent dans le temps. La composante dosyncratque, quant à elle, fat référence au rsque spécfque de l nsttuton fnancère ou à la lgne d affares. Certans éléments de cette composante sont observables. Ils pourraent ans être quantfables ou mesurables, comme la talle de la banque, le type de rsque, la lgne d affares ou le leu de l événement de perte. Par contre, l exste des éléments non observables relatfs à l envronnement de contrôle, qu sont donc dffcles à quantfer. Ces éléments ne font pas l objet d étude dans ce traval. Nous pouvons ans dentfer un montant de perte comme une foncton de ces deux composantes : Perte = f ((Comp commune ), (Comp dosyncratque ) ). (1) La deuxème hypothèse stpule que la foncton f est non lnéare. En effet, Na (2004) suppose que la foncton f est le produt d une foncton de la composante commune et d une foncton de la composante dosyncratque. Or, comme la composante commune est constante, nous pouvons la modélser par un paramètre. Perte = Comp commune g(comp dosyncratque ). (2) En ce qu concerne la foncton g, nous nous nsprons de l étude de Shh, Samad- Khan et Medapa (2000), qu suppose une relaton de pussance entre le montant de perte et la talle de la frme. Nous ne nous lmtons cependant pas à la talle, estmée par l actf total, comme facteur détermnant de la sévérté des pertes; nous ajoutons d autres facteurs exprmés dans la foncton h qu sut : g(comp dosyncratque ) = Actfs a h(facteurs). 18

33 Nous pouvons donc réécrre (2) comme sut : Perte = Comp commune (Actfs a h(facteurs )). Pour smplfer l étude, nous supposons que : h(facteurs ) = exp( j b facteur j ). j Ans, nous obtenons la relaton lnéare suvante : Log(Perte ) = Log(Comp commune ) + a Log(actfs ) + ( j b facteur j ). (3) j Afn d explquer la varablté des pertes et de construre le modèle de mse à l échelle, l faut dentfer les dfférents éléments de la composante dosyncratque, à savor les facteurs qu entrent en jeu pour explquer la sévérté des pertes Descrpton des varables La varable dépendante est le logarthme des pertes opératonnelles. Les statstques descrptves du tableau 1-1a montrent que la moyenne par événement de perte est évaluée à 67 mllons de dollars, avec un écart-type de 521 mllons de dollars. Le maxmum des pertes est de 16 mllards de dollars. Les valeurs du premer quantle (2,73 M $), de la médane (8,10 M $) ans que le trosème quantle (33,8 M $) montrent que la dstrbuton des pertes est très asymétrque Les montants de pertes varent ans beaucoup allant des pertes moyennement mportantes aux pertes catastrophques. Quant aux varables explcatves qu vont être ncluses dans le modèle pour explquer la varaton du logarthme des pertes, elles sont décrtes dans ce qu sut 4. Le tableau 1-1 présente des statstques descrptves des pertes en foncton de ces varables. 4 Nous avons testé également des varables bnares annuelles. Nous n avons pas présenté les résultats de l estmaton de ces dx varables pusque aucune de ces varables n a un mpact sgnfcatvement dfférent de zéro. 19

34 La talle : La base dspose des varables caractérsant la talle de la compagne. Selon les résultats de l étude de Shh, Samad-Khan et Medapa (2000), la talle est fablement relée au montant de la perte. D autres varables dovent explquer cette varablté. Pluseurs nformatons sur la talle sont dsponbles telles que le total des revenus, le total des actfs, le total des dépôts, le nombre d employés et le total des fonds propres. Cependant, toutes ces varables sont corrélées entre elles. Le chox d une d entre elles est suffsant pour capter l effet de talle. Nous avons chos le total des actfs comme estmateur de la talle (la varable la plus corrélée avec les pertes). Les nsttutons fnancères ayant eu des pertes reportées dans la base de données utlsée sont de talles très varables, allant de la plus pette banque, avec un total des actfs de 43 mllons de dollars, à la plus grande nsttuton, ayant un actf de mllons de dollars. Le total moyen des actfs est évalué à mllons de dollars. Dans le tableau 1-1b, nous avons calculé le nombre d événements, la moyenne et l écart type des pertes en foncton de la talle. Nous avons donc classé les banques en tros grandeurs : celles ayant des actfs de mons de 400 mllards (pette et moyenne talles), celles ayant des actfs entre 400 et 800 mllards (grande talle) et les très grandes banques, dont les actfs excédent 800 mllards (très grande talle). Les résultats du tableau montrent que la moyenne des pertes est beaucoup plus mportante dans les très grandes banques par rapport aux autres. Par contre, les nsttutons fnancères de grande talle ont une moyenne de pertes mons mportante que les pettes et moyennes banques. Nous nous attendons que plus une nsttuton fnancère sot grande, plus les pertes subes sont mportantes. En effet, une banque ayant un total d actfs plus élevé qu une autre pourrat subr des pertes de type dommages aux actfs plus mportantes sute à une catastrophe naturelle, 20

35 par exemple. La talle pourrat donc avor un mpact postf sur la sévérté des pertes. Le leu : Comme les pertes n ont pas toutes eu leu dans un même pays, l faut ans ncorporer une varable qu capte l effet du leu. En effet, nous nous attendons à ce que cette varable sot sgnfcatvement lée aux montants des pertes, vu la dfférence d envronnement, de légslaton, etc. Il est à remarquer que 60 % des pertes ont eu leu aux États-Uns, comparatvement à seulement 4 % au Canada. Cette varaton peut être explquée par le nombre de banques, beaucoup plus élevé aux États-Uns qu au Canada. L autre proporton des pertes a été partagée entre les pays de l Europe et le reste du monde. Le tableau 1-1c présente des statstques des pertes en foncton du leu. Nous remarquons que la moyenne des pertes opératonnelles dffère selon le leu de l occurrence de la perte, montrant ans des envronnements dfférents. Il est à mentonner que la moyenne des pertes aux États-Uns est plus élevée de celle au Canada (38 M$ versus 9 M$). De plus l envronnement autre (pays dfférents du Canada, États-Uns et de ceux stués en Europe) présente la moyenne des pertes la plus élevée (163 M$). Il consttuera donc l envronnement le plus rsqué. Dans l objectf de cerner le len entre la talle de l nsttuton fnancère et le leu, nous présentons dans le tableau 1-1d des statstques sur la talle des nsttutons en foncton du leu de l occurrence des pertes. Nous remarquons que le total des actfs moyen des nsttutons au Canada est mons élevé par rapport aux États-Uns et l Europe. Toutefos, ben que l envronnement représenté par les autres pays sot plus rsqué (moyenne des pertes la plus élevée), les nsttutons ayant sub ces pertes sont en moyenne plus pettes que celles localsées dans les autres envronnements. Ans, l n y a pas de len drect entre la talle de l nsttuton fnancère et le leu de l occurrence des pertes. 21

36 Des varables bnares (États-Uns, Canada, Europe, Autres) captent l effet de la localsaton des pertes dans l un des pays ou contnent cté précédemment. La lgne d affares : Nous nous attendons à ce que la nature de la lgne d affares at un mpact sur la sévérté des pertes. Certanes untés enregstrent, en moyenne, des pertes plus élevées que d autres. La mse en relef de la lgne d affares, où la perte a eu leu, peut explquer la sévérté des pertes extrêmes. D après les statstques présentées dans le 1-1e, nous remarquons que deux lgnes d affares, servces bancares commercaux (25 %) et servces bancares détal (33 %), sur sept contennent 58 % des pertes. De plus, la moyenne des pertes est beaucoup plus élevée dans la lgne d affares servces bancares commercaux par rapport aux autres untés. À partr des nformatons collectées du LDCE et QIS-4 5 de 27 nsttutons fnancères, la lgne d affares servces bancares détal content 44 % des pertes opératonnelles des 177 données de plus de un mllon de dollars collectées sur la pérode , alors que la lgne d affares servces bancares commercaux n en content que 9 %. Cet écart peut être explqué par la pérode de collecte (l étude de LDCE couvre 4 années de pertes, alors que la base externe couvre 11 années d hstorque) ou par le nombre dfférent d nsttutons fnancères où les pertes ont eu leu. Ans, des varables dchotomques pour chaque lgne d affares capteront l effet de la nature de l actvté de chacune dans la détermnaton des montants de pertes. Les types de rsque : Certans types de rsque sont à fable fréquence et à haute sévérté, alors que d autres sont à haute fréquence et à sévérté 5 Loss Data Collecton Exercse (LDCE) et Quanttatve Impact Study 4 (QIS-4) : deux études menées par la Banque Fédérale Amércane et des agences de réglementaton économque dans le but d évaluer l mpact de Bâle II sur le captal mnmum réglementare requs. 22

37 relatvement fable. Le tableau 1-1f montre que 44 % des pertes sont de type clents, produts et pratques commercales et que plus de 40 % des pertes sont répartes entre les fraudes nternes et fraudes externes. Toutefos, mons de 0,5 % des pertes sont de type actfs tangbles, corporels et endommagés et 0,5 % des pertes sont de type perturbaton des affares et défallance des systèmes. La moyenne des pertes est la plus élevée pour le type de rsque actfs tangbles, corporels et endommagés (115 M$) alors qu elle est la plus fable pour perturbaton des affares et défallance des systèmes (5 M$). Les résultats des études LDCE et QIS-4 montrent une très grande dfférence par rapport à cette répartton. En effet, 49 % des pertes sont de type geston d exécuton, 31 % sont des pertes de type clents, produts et pratques commercales, 7 % des fraudes externes, et 3 % sont des fraudes nternes. Quant aux types de rsque dommages aux actfs et perturbaton des affares et défallance des systèmes, la proporton des pertes est auss fable que celle dans la base externe. L ntroducton de varables dchotomques captant cet aspect des types de rsque, peut être pertnente dans l explcaton de la varablté des montants de pertes. Ans, 7 varables capteront l effet type de rsque dans notre modèle. Il état préférable de consdérer le modèle de mse à l échelle par lgne d affares et/ou par type de rsque au leu de prendre des varables bnares. Cependant, pour certans types de rsque et/ou lgne d affares, les données sont peu nombreuses ne nous permettant pas de fare la régresson Régresson lnéare Pour explquer le degré de varablté des montants de pertes externes, nous allons estmer les coeffcents de la régresson suvante, qu nous permettront d évaluer les 23

38 composantes communes et spécfques pour chaque montant de perte. La régresson suvante découle de l équaton (3). Y = a 0 + a 1 Talle + a 2 ÉU + a 3 Canada + a 4 Europe + a 11 j= 5 UA 17 a j TR j j + j j= 12 +e (4) avec : Y : Log(pertes) ; a 0 : Log(composante commune); Talle : Log(actfs) ; ÉU : varable bnare qu prend la valeur 1 s la perte a eu leu aux États-Uns, 0 snon; Canada : varable bnare qu prend la valeur 1 s la perte a eu leu au Canada, 0 snon; Europe : varable bnare qu prend la valeur 1 s la perte a eu leu en Europe, 0 snon; C est la varable Autres qu est la catégore de référence; UA j : varable bnare qu prend la valeur 1 s la perte a eu leu dans l unté d affares j, 0 snon; C est la varable relatve à la lgne d affares Paements et règlements qu est la catégore de référence; TR j : varable bnare qu prend la valeur 1 s la perte est de type de rsque j, 0 snon; C est la varable relatve au type de rsque Perturbaton des affares et défallance des systèmes qu est la catégore de référence; e : varable d écart qu représente la composante spécfque non observable supposée 2 suvre une lo normale (, ) 0 σ Résultats de la régresson L estmaton des paramètres est fate par la méthode des mondres carrés ordnares. Les résultats de l estmaton sont présentés dans le tableau 1-2. Le coeffcent de détermnaton ajusté R 2 ajusté est de l ordre de 10,63 %. Ben que le coeffcent sot fable, l est melleur que celu de 5 % trouvé dans la lttérature jusqu à date (Shh et 24

39 al, 2000). Rappelons qu l est dffcle de capter certans facteurs non observables qu ne sont pas présents dans la base externe. La varable talle, estmée par le logarthme du total des actfs, est sgnfcatvement dfférente de 0. Le coeffcent est postf, confrmant le fat que plus une frme est grande, plus le nveau des pertes est mportant. Les coeffcents des varables bnares ÉU et Canada sont sgnfcatvement dfférentes de 0. Le sgne négatf dot être nterprété par rapport au coeffcent Autres (catégore de référence). En comparant les coeffcents ÉU et Canada, nous remarquons que les États-Uns consttuent un envronnement plus rsqué que le Canada. De plus, pour s assurer que cette dfférence est statstquement sgnfcatve, nous avons refat la régresson mas en prenant la varable ÉU comme catégore de référence. Les résultats montrent effectvement que le coeffcent de la varable bnare Canada est négatf et statstquement dfférent de 0. Ce constat confrme notre affrmaton à savor que le Canada consttue un envronnement mons rsqué que les États-Uns. La varable Servces bancares commercaux est la seule varable lée à la nature de la lgne d affares ayant un mpact sgnfcatvement non nul à un degré de confance de 99 %. Le coeffcent, nterprété par rapport à celu de la varable paements et règlements (varable omse), est postf, montrant que les pertes de ce type sont plus mportantes en montants que pour les autres lgnes d affares. Enfn, le type de rsque Clents, produts et pratques commercales a un pouvor explcatf statstquement sgnfcatf à un seul de 10%. Cec montre que les pertes sont plus mportantes pour ce type de rsque comparatvement aux autres Tests de robustesse sur la varable talle Nous commençons par une régresson smple ncluant seulement la varable talle, modèle semblable à celu de Shh et al (2000). Nous ajoutons chaque fos une catégore de varable à ce même modèle pour capter l effet addtonnel éventuel de chaque catégore et pour tester la stablté des paramètres. Les résultats montrent que 25

40 la talle n explque qu une très fable parte du nveau des pertes. En effet, le modèle 1 du tableau 1-3 montre un R 2 ajusté de 0,6 %. Cette statstque est nettement amélorée (4,32 %) sute à l ntroducton des catégores de la varable de leu. Il est à mentonner que les valeurs des coeffcents estmés restent stables et demeurent sgnfcatvement dfférentes de 0 et ce, par rapport au modèle de base. Le modèle 3 ajoute des varables estmant la nature des lgnes d affares où la perte a eu leu. Le coeffcent de détermnaton ajusté passe de 4,32 % (modèle 2) à 7,16 % (modèle 3). La varable servces bancares commercaux reste toujours sgnfcatvement dfférente de 0. Ans, chaque catégore de varable a un pouvor statstquement sgnfcatf pour explquer la sévérté des pertes opératonnelles. Les coeffcents des varables sont relatvement stables. Dans un deuxème temps, nous retenons seulement les varables statstquement non nulles à un degré de confance de 90 % et plus. Ensute, nous fasons la régresson du log des pertes sur les 5 varables retenues. Le modèle ans construt permet de tester s les varables sgnfcatves dans le modèle de base conservent leur pouvor explcatf lorsqu elles sont testées seules. Les résultats présentés dans le modèle 4 du tableau 1-3 montrent que toutes les varables restent sgnfcatvement non nulles à un degré de confance de 90 %. Le coeffcent de détermnaton ajusté est de l ordre de 9,38 %. Les sgnes et l ampleur des varables ne changent pas. Ces 5 varables statstquement sgnfcatves seront retenues pour développer la formule de normalsaton Formule de normalsaton Nous nous ntéressons à une banque A donnée et nous voulons trouver la valeur équvalente d une perte ayant leu dans une autre nsttuton fnancère. Une formule de normalsaton permet ans de mettre une perte survenue dans une banque B à l échelle d une banque A. Selon l équaton 2, une perte est le produt d une composante commune et d une foncton de la composante spécfque. L analyse par régresson fate précédemment nous a perms d dentfer ces deux composantes. 26

41 Log(perte ) = â 0 log( Comp. Comm) + â 1Talle + â 2ÉU + â 3Canada + â 4SBC + â 5CPPC. log g(comp Idosyncra tque) où : SBC : fat référence à la lgne d affares Servces bancares commercaux CPPC : fat référence au type de rsque Clents, produts et pratques commercales Comme la composante commune est constante pour tous les montants de pertes, l est possble de réécrre l équaton 2 comme sut : Perte Perte Comp = g Perte A B N comm = = =.... (5) ( Compdo ) g( Compdo ) g( Comp do ) A B N Supposons que nous avons une perte survenue dans une banque B et que nous voulons connaître sa valeur équvalente s elle survenat à une banque A. De l analyse précédente, l nous est possble de détermner la composante dosyncratque de la perte B ans que celle de A. En effet, nous multplons les coeffcents déjà estmés par la valeur correspondante des dfférentes varables pour trouver la composante dosyncratque ou spécfque. avec ( Compdo ) ( Comp ) g = Perte (6) A Perte A g do B ( Comp ) expâ ( Talle + â ÉU + â Canada + â SBC â CPPC ) g = +. do A 1 A 2 A 3 A B 4 A 5 A L équaton (6) suppose qu outre les varables retenues pour fare la mse à l échelle, la parte non explquée par le modèle de régresson qu peut être attrbuable aux facteurs qualtatfs non observables tels que la qualté de geston, l envronnement de contrôle, etc., est supposée être la même entre la banque A et la banque B (trosème hypothèse). Ans, pour calculer le montant équvalent d une perte survenue dans l ndustre bancare pour une banque donnée, l faut tout d abord calculer les composantes dosyncratques des deux pertes avec l équaton précédente. Ensute, nous 27

42 applquons la formule (6) pour trouver la perte équvalente pour la banque A. En applquant cette même méthode à toute la base externe, nous aurons une base de pertes extrêmes ayant eu leu dans d autres nsttutons bancares mas mses à l échelle d une banque donnée. Ans, la sévérté des pertes a été ajustée en tenant compte de pluseurs facteurs tels que la talle, le leu, la lgne d affares et le type de rsque Valdaton du modèle de mse à l échelle Afn de concrétser le modèle de mse à l échelle, nous chosssons la banque amércane Merrll Lynch 6 de la base externe dont le nombre d événements de pertes sur la pérode est de 52. Nous allons tout d abord détermner les pertes opératonnelles de la base externe mses à l échelle de cette banque. Nous allons ensute comparer les statstques des pertes réellement observées à celles trouvées après la mse à l échelle. Dans une premère étape, nous allons détermner l équvalent des événements de pertes de la base externe pour la banque Merrll Lynch. Nous calculerons donc le montant de perte qu pourrat survenr à Merrll Lynch découlant d un même type de rsque, survenant à une même lgne d affare et à la même année d occurrence que celle de la base externe. Par contre, nous prendrons le total des actfs de la banque Merrll Lynch relatf à l année de l événement pour toutes les pertes. De plus, nous prendrons les États-Uns comme seul leu d occurrence de toutes les pertes externes vu que toutes les pertes observées de Merrll Lynch ont eu leu aux États-Uns. Une fos que nous aurons dentfé les varables explcatves de la régresson (4), nous calculerons la composante dosyncratque équvalente à chaque perte dans la base externe, tel que montré dans l annexe 1, et ce, avec les coeffcents des varables estmés précédemment. La formule de normalsaton présentée à la secton précédente nous permet de détermner la perte mse à l échelle de la banque en queston. 6 Nous avons chos cette banque parce que c est celle qu a eu le maxmum de pertes de plus de 1mllon de dollars sur la pérode dans la base externe. 28

43 Ensute, nous comparons des statstques calculées, d une part, sur l échantllon de 52 pertes réellement observées à la Merrll Lynch, et sur les pertes qu pourraent avor leu à la même banque, équvalentes à celles de la base externe, d autre part. Ces statstques sont présentées au tableau 1-4. Elles montrent que les moyennes des deux échantllons sont sensblement proches. En effet, un test d hypothèse confrme ce constat et montre que les deux moyennes ne sont pas statstquement dfférentes à un seul de 95 %. Il est également à remarquer que les écarts type des deux échantllons sont proches (83,1 versus 84,3). Dans une deuxème étape de l analyse, nous regardons l mpact des varables prses en consdératon dans la mse à l échelle sur les montants de pertes après normalsaton. Le tableau 1-5 présente un exemple d événement de perte extrat de la base externe ayant leu à la banque de New York, ans que les montants de pertes ms à l échelle de banques fctves. Nous modfons tout d abord une seule caractérstque de l événement à la fos, pour vor son mpact monétare sur la perte. Nous analysons ensute l effet agrégé de pluseurs varables sur le montant de perte. Nous remarquons que s l événement a eu leu dans une banque plus grande, tout autre facteur étant égal par alleurs, le montant de la perte serat légèrement plus élevé (de 8,26 mllons de dollars à 9,27 mllons, alors que le total des actfs a plus que quadruplé). Toutefos, s le même événement avat leu au Canada plutôt qu aux États-Uns, la perte aurat une ampleur mondre (elle passerat de 8,26 mllons à 4,97 mllons). Comme nous l avons déjà montré, le Canada présente donc un envronnement mons rsqué que les États-Uns. Nous remarquons également que la lgne d affares servces bancares commercaux où l événement de perte a eu leu, présente plus de rsque d occasonner des pertes mportantes que les autres lgnes d affares. La perte passera d alleurs de 8,26 mllons à 16,06 mllons s elle a leu dans la lgne d affares servces bancares commercaux au leu de la lgne d affares servces bancares détal. D autre part, le 7 Nous avons exclus 6 pertes de l analyse parce qu elles présentent des valeurs trop extrêmes outlers. 29

44 type de rsque a un mpact mportant sur l ampleur des pertes. En effet, s la perte est de type clents, produts et pratques commercales, le montant passera à 15,56 mllons de dollars, vu que ce type de rsque a un mpact sgnfcatf sur la sévérté des pertes, tel que conclu précédemment à la secton 4.4. Nous présentons enfn, dans les tros dernères lgnes du tableau 1-5, l mpact agrégé de deux ou pluseurs varables. Nous fasons la mse à l échelle en modfant la talle de la banque et le leu de l événement. Il est à remarquer que même s la talle de la banque est plus mportante, l mpact du leu (Canada) l emporte et la mse à l échelle donne un montant mons élevé que l événement d orgne. En modfant auss la lgne d affares et le type de rsque, nous trouvons que la perte a plus que doublé. Il est à remarquer que la perte qu en résulte est très dfférente de celle trouvée sute à la seule modfcaton de la talle. Ans, cette analyse nous montre que l effet de la talle est peu mportant comparatvement aux autres facteurs de la mse à échelle. Notre modèle vent donc amélorer les modèles exstants dans la lttérature qu se basent unquement sur la talle Modèle de mse à l échelle des fréquences des pertes externes Rappelons que notre objectf est de corrger le bas d échelle afn de combner les données nternes et externes dans le but de mesurer le captal opératonnel. Nous avons détermné, à la secton précédente, la mse à l échelle des montants de pertes. Il est ans possble de détermner pluseurs pertes extrêmes susceptbles d arrver à notre banque de référence A. La queston qu reste à poser est : À quelles fréquences une banque subra-t-elle ces pertes? La mse à l échelle des fréquences est une noton peu abordée dans la lttérature. En effet, certans chercheurs ont développé des modèles pour la mse à l échelle des sévértés, mas le nombre de pertes externes à combner avec les données nternes n est pas encore modélsé. Nous proposons dans ce qu sut un modèle permettant d ajuster le nombre de pertes externes par banque et de le ramener à l échelle d une banque A. 30

45 Descrpton du modèle Le modèle développé dans cette secton permet, d une part, la mse à l échelle du nombre des pertes externes et, d autre part, la détermnaton de la dstrbuton théorque s ajustant aux fréquences. Nous nous attendons à ce que le nombre de pertes par nsttuton fnancère sur un horzon détermné dépende de certans facteurs décrvant les caractérstques de l nsttuton fnancère. La talle de l nsttuton peut effectvement jouer un rôle mportant dans la détermnaton des fréquences des pertes. Il est à remarquer que plus une banque est grande, plus elle sera exposée à des rsques opératonnels. En effet, s une banque fat plus de transactons, a plus d actfs, d employés et de revenus qu une autre banque, elle aura probablement plus de pertes opératonnelles de dfférents types (fraudes, dommages aux actfs, etc.) De plus, la répartton géographque des actvtés de l nsttuton peut nous donner une dée sur le degré d effcacté des contrôles. En effet, plus les actvtés sont répartes sur pluseurs pays, plus les mesures de contrôles sont dspersées et mons effcaces. Il est donc possble d explquer le nombre de pertes par une régresson sur les dfférentes varables ctées c-dessus. Cependant, comme l s agt de fréquences, donc de varables dscrètes, l est plus opportun de modélser ces nombres par des dstrbutons de comptage telles que la Posson et la bnomale négatve. Ans, l applcaton de modèles de comptage avec composante de régresson est approprée dans ce contexte. Ces modèles ont l avantage de trouver la dstrbuton paramétrque s ajustant aux données de fréquences, mas également d avor des paramètres flexbles propres à chaque observaton. En d autres termes, les paramètres de la dstrbuton dépendent des varables dentfant les caractérstques de l nsttuton fnancère où la perte a eu leu. Une fos l estmaton des paramètres fate, l est possble de calculer ceux propres à une banque donnée. D autre part, comme nous dsposons seulement d nsttutons qu ont sub des pertes, les fréquences sont donc non nulles. Il y a alors leu de corrger ce bas, en prenant des dstrbutons tronquées au pont zéro. Dans ce qu sut, nous allons décrre les varables qu seront ncluses dans le modèle, pour ensute présenter et tester chacun 31

46 des deux modèles, à savor le modèle Posson tronqué avec composante de régresson et le modèle bnomal négatf tronqué avec composante de régresson Descrpton des varables Nous créons une varable décrvant le nombre de pertes de plus d un mllon de dollars par nsttuton fnancère sur la pérode de 1994 jusqu à Nous avons donc un échantllon de 323 nsttutons fnancères ayant sub des pertes de plus de un mllon de dollars rapportées dans la base externe. Nous explquerons la fréquence par la talle de la banque, ans que le degré de répartton géographque de ses actvtés. En effet, nous nous attendons à ce que plus la talle de la banque est grande, plus le nombre de ses pertes augmente. D autre part, plus les actvtés d une nsttuton fnancère sont répartes géographquement, plus les coûts de contrôle sont élevés, engendrant des pertes d effcacté et plus le nombre de pertes est élevé. La talle sera donc estmée par le logarthme du total moyen des actfs de l entreprse sur la pérode La répartton géographque sera estmée par des varables bnares telles que : - ÉU : varable bnare prenant la valeur 1 s l nsttuton a eu des pertes aux États-Uns sur la pérode , 0 snon; - Canada : varable bnare prenant la valeur 1 s l nsttuton a eu des pertes au Canada sur la pérode , 0 snon; - Europe : varable bnare prenant la valeur 1 s l nsttuton a eu des pertes en Europe sur la pérode , 0 snon; - Autres : varable bnare prenant la valeur 1 s l nsttuton a eu des pertes dans un autre pays ou contnent sur la pérode , 0 snon. Contrarement au modèle de sévérté, ces varables ne sont pas mutuellement exclusves. Le tableau 1-6a présente des statstques descrptves sur le nombre de pertes par banque, ans que le total des actfs par nsttuton fnancère sur la pérode Le nombre moyen des pertes de plus d un mllon est de 3,3 événements par 8 Nous retenons cette pérode durant laquelle la collecte des pertes a été plus exhaustve. 32

47 nsttuton sur un horzon de 11 années, avec un maxmum de 52. La talle des nsttutons fnancères est très varable, le total moyen des actfs étant mllons de dollars. Quant à la répartton géographque des actvtés des banques, nous trouvons que les pertes sont plus concentrées aux États-Uns et dans les pays autres que le Canada, États-Uns et ceux de l Europe. Le tableau 1-6b montre que les banques de pette et moyenne talles (la moyenne des actfs est nféreure à M$) ont sub en moyenne mons de pertes sur la pérode par rapport aux grandes banques (la moyenne des actfs est entre M$ et M$). De plus, les très grandes banques, dont la moyenne des actfs excède les M$, ont eu un nombre moyen de pertes (19) plus élevé que les autres banques. Ces statstques descrptves montrent donc un len entre la talle de l nsttuton fnancère et le nombre de pertes de plus de 1 mllon de dollars. Le tableau 1-6c présente des statstques descrptves sur le nombre de pertes par banque selon la répartton géographque des actvtés de l nsttuton en queston. Les résultats montrent que s les actvtés sont concentrées dans un même pays, la moyenne du nombre de pertes est de 2 par banque; par contre, elle vare entre 8 et 10 lorsque les actvtés sont répartes sur deux ou tros pays. Le nombre moyen des pertes par nsttuton bancare attent 28 lorsque les actvtés sont très dspersées géographquement. Il est donc ntéressant de tenr compte de la répartton géographque des actvtés de la banque dans la modélsaton des fréquences Modèle Posson tronqué avec composante de régresson S Y, le nombre de pertes par compagne sur la pérode , sut une dstrbuton Posson, alors la probablté d avor y pertes sera : P λ y e λ y! ( Y = y) = y = 0,1, 2... et λ 0 > où λ est le paramètre de la Posson. La caractérstque prncpale de cette dstrbuton est ( Y ) Var( Y ) = λ = E. 33

48 Toutefos, comme nous sommes en présence de données tronquées au pont zéro, l faut donc estmer la probablté du nombre de pertes condtonnelle au fat que les fréquences observées sont strctement supéreures à zéro. La probablté condtonnelle est : P ( Y y Y > 0) e y! λ λ y = = y = 1, 2... et λ > λ ( 1 e ) D autre part, nous pouvons permettre au paramètre λ de varer d une observaton à une autre. Sot λ = exp ( X β) 0., où X est un vecteur de (1 m) varables exogènes (caractérstques des entreprses où la perte a eu leu) et β un vecteur de (m 1) coeffcents. La foncton exponentelle permet d assurer la non-négatvté du paramètre λ. Dans notre contexte, le paramètre λ est de la forme : λ = exp ( β + β log( Actfs) + β ÉU + β Canada + β Europe + β Autre ) (7) Ans, la probablté qu une nsttuton fnancère at y pertes sur un horzon de 11 années, connassant les caractérstques qu lu sont propres, est : ( X β ) exp ( X β ) exp e Pr ( Y = y Y > 0, X ) =. (8) y! exp ( X β ) ( 1 e ) Il est à remarquer que la dstrbuton Posson tronquée ne présente pas d équdsperson comme c est le cas de la Posson. En effet, la moyenne et la varance sont : y E E ( y y > 0, X ) ( y y > 0, X ) = u = λ λ = 1 e λ + γ 34

49 et 2 ( y > 0, X ) = σ = λ γ ( u 1) ( y > 0, X ) = u ( 1 γ ) V y V y avec γ = λ e λ 1 γ est appelé un facteur d ajustement. Il est nterprété comme étant la dfférence entre les moyennes des dstrbutons tronquées et non tronquées. La moyenne de la dstrbuton tronquée est en effet plus élevée que celle de la dstrbuton non tronquée. Toutefos, la varance de la dstrbuton tronquée est plus pette, comme le montrent les expressons précédentes. Le vecteur des paramètresβ peut être estmé par la méthode du maxmum de vrasemblance (vor Maddala, 1983 et Cameron et Trved, 1986, pour une dscusson détallée sur les méthodes d estmaton des modèles Posson avec composante de régresson). Il s agt donc d estmer les sx coeffcents de l équaton (7) et de calculer le paramètre λ pour chaque unté d exposton (entreprse dans notre cas). Il est ans possble de calculer le paramètre λ propre à une banque donnée. Nous retenons donc les coeffcents estmés et nous prenons les varables de talle et de répartton géographque de la banque en queston Modèle bnomal négatf tronqué avec composante de régresson Dans le modèle précédent, l espérance condtonnelle de y étant donné les varables exogènes X et la varance condtonnelle correspondante ne peuvent pas varer ndépendamment. Pour paler à cette restrcton, nous ntrodusons un terme d erreur à la défnton du paramètre de la Posson qu s écrra : λ * = exp ( β + β log( Actfs) + β ÉU + β Canada + β Europe + β Autre + ε ) (9) 35

50 Le terme ε consttue l erreur de spécfcaton due à des varables explcatves omses non observées et ndépendantes des varables exogènes X du modèle. Contrarement au modèle précédent, λ * est une varable aléatore. La dstrbuton condtonnelle de Y devent : Pr e = = ( Y y Y > 0, X ) + exp ( X β+ ε ) exp ( X β + ε ) y! exp ( X β+ε ) ( 1 e ) y g ( ε ) dε y = 1,2,... avec g( ε ) la foncton de densté de ε. Dans un objectf de commodté, nous supposons, dans ce qu sut, que μ = ( ) sut une dstrbuton gamma de paramètre α telle que; avec E( μ ) = 1 et ( ) = α V. μ 1 μ exp α 1 α α Γ α 1 μ α f ( μ ) = α > 0 1 exp ε La dstrbuton condtonnelle de Y, ans obtenue, est donc une bnomale négatve tronquée dont la densté est : Pr ( Y = y Y > 0, X ) 1 Γ y + α = 1 Γ α ( y + 1) Γ ( 1 + α exp( X β) ) 1 1 α α exp α exp ( X β) ( X β) y (10) La moyenne et la varance de la dstrbuton bnomale négatve tronquée avec composante de régresson sont les suvantes : E ( y y > 0, X ) = u * = λ + γ * 36

51 et V *2 * * ( y y > 0, X ) = σ = λ + αλ γ ( u 1) avec γ * = λ 1 λ [( 1+ α) 1] α. De même que la dstrbuton Posson, la moyenne de la dstrbuton bnomale négatve tronquée est plus élevée de celle de la dstrbuton non tronquée. Alors que la troncature au pont zéro a rédut la varance par le facteur d ajustement γ. Ben que la dstrbuton Posson tronquée ne présente plus la caractérstque d équdsperson ( E ( y y 0 et X ) V( y y > 0 et X )) >, le modèle bnomal négatf tronqué ntrodut la surdsperson dans le sens où sa varance est plus élevée de celle de la Posson. Sous l hypothèse que la densté est correctement spécfée et d autres condtons usuelles, une estmaton par maxmum de vrasemblance des paramètresβ et α peut être fate. Il s agt donc d estmer les sx coeffcents de l équaton (9) ans que le coeffcent α. Il est ans possble de calculer le paramètre λ * pour une banque donnée. Nous retenons donc les coeffcents estmés et nous prenons les varables de talle et de répartton géographque de la banque en queston. Cependant, s la densté est mal spécfée, les estmateurs par maxmum de vrasemblance du modèle bnomal négatf avec composante de régresson ne seront pas cohérents Présentaton et comparason des résultats Les résultats de l estmaton des paramètres pour les deux modèles sont résumés dans le tableau 1-7. Il est à remarquer que les coeffcents estmés ont les mêmes sgnes pour les deux modèles. Leurs sgnes confrment nos attentes. En effet, des coeffcents de talle et de répartton géographque postfs montrent que le nombre de pertes augmente avec la talle de la banque et la répartton des actvtés dans des envronnements dfférents. 37 *

52 Dans le modèle Posson tronqué avec composante de régresson, toutes les varables explcatves ntrodutes dans la régresson sont statstquement sgnfcatves à des degrés de confance stués entre 90 % et 99 %. Elles ont donc un mpact explcatf sur le nombre de pertes. Quant au modèle bnomal négatf tronqué avec composante de régresson, les coeffcents des varables Europe et Autres ne sont pas statstquement dfférents de zéro. Dans l objectf de comparer les deux modèles et de tester l hypothèse de l exstence de la surdsperson dans les données, nous mplantons un test de surdsperson propre aux modèles tronqués avec composante de régresson tel que développé par Gurmu (1991). Le test consste alors à tester l hypothèse nulle H 0 : α = 0 contre l hypothèse alternatve H 1 : α > 0. Soent β ρ = le vecteur des coeffcents et α βˆ ρ ˆ = l estmateur par maxmum de 0 vrasemblance de ρ sous l hypothèse nulle. Le symbole ^ ndque dans ce qu sut que les paramètres sont évalués au pont ρˆ sous l hypothèse stpulant que α = 0. La statstque du score test ou du multplcateur de Lagrange qu vse à tester la surdsperson dans le modèle Posson tronquée avec composante de régresson est calculée comme sut : τ = 2 N = 1 λˆ 1 2 [ υˆ y + ( υˆ + y ) γˆ ] 1 [ I ( ρˆ ) I ( ρˆ ) I ( ρˆ ) I ( ρˆ αα αβ ββ βα )] 1 2 a ~ N( 0,1) où : υ ˆ = y û ; a ~ : ndque que cette statstque est asymptotquement dstrbuée comme la dstrbuton normale centrée rédute. 38

53 ( ρ) Iββ ( ρ) Iβα ( ρ) ( ) ( ) = ' Iαβ ρ Iαα ρ 2 δ L I( ρ) = E est la matrce de l nformaton 9. δρδρ H 0 sous l hypothèse H 0 : α = 0. La valeur de la statstque τ basée sur la dstrbuton bnomale négatve tronquée au pont zéro est 34,637. Le test permet donc de rejeter l hypothèse nulle. Ans, le résultat montre l exstence d une surdsperson sgnfcatve dans les données qu l est plus adéquat de la modélser avec la dstrbuton bnomale négatve. Pour trouver les paramètres de la dstrbuton retenue relatfs à une banque donnée, l sufft de calculer le paramètre * λ selon l équaton (9) en prenant les coeffcents déjà estmés et la valeur des varables relatves à cette banque sur la pérode en queston. Il est ans possble de générer un nombre de pertes de plus de 1 mllon de dollars qu une banque pourrat subr à partr de sa propre dstrbuton de fréquences. Afn de concrétser la mse à l échelle des fréquences, nous prenons un exemple d une banque dont le total actf est de M$ et dont les actvtés sont répartes entre le Canada et les États-Uns sur la pérode Nous calculons le paramètre de la dstrbuton Posson selon l équaton (7), en prenant les coeffcents déjà estmés et les valeurs approprées des varables. Le tableau 1-8a présente le résultat ans que les détals du calcul du paramètre. Ans, s nous chosssons le modèle Posson, le nombre de pertes de plus de 1 mllon de dollars pour la banque en queston sut une dstrbuton Posson de paramètre 7,35 sur 11 années. S nous supposons que les nombres annuels de pertes de plus de 1 mllon de dollars sont ndépendants et dentquement dstrbués, le nombre annuel de pertes suvra alors une dstrbuton Posson de paramètre 0,67 (7,35/11 années). Concernant la dstrbuton bnomale négatve, l est possble d en calculer les paramètres, tel que décrt dans le tableau 1-8b. L équaton (9) permet effectvement de calculer le nombre moyen des pertes sur un horzon de 11 années pour la banque 9 Se référer à l étude de Gurmu (1991) pour plus de détals sur l évaluaton de la matrce d nformaton au pont ρˆ. 39

54 prse en exemple, à savor 8,97. De plus, s les nombres de pertes annuelles sont ndépendants et dentquement dstrbués, la fréquence des pertes de plus de 1 mllon de dollars suvra une dstrbuton bnomale de paramètres r=0,23 et p=0,002 (p=0,025/11 années). Ans, grâce à la dstrbuton de fréquence retenue pour une banque donnée, nous pouvons générer un nombre de pertes au-dessus de 1 mllon de dollars que cette banque pourrat avor annuellement. Nous pouvons ensute fare un trage aléatore de montants de pertes de plus de 1 mllon de dollars à partr de la base mse à l échelle de la banque en queston, et ce, selon la fréquence générée. En calculant la perte totale annuelle et en répétant ces étapes pluseurs fos, nous générons ans une dstrbuton des pertes extrêmes annuelle qu une banque pourrat subr. Il est ans possble de calculer des statstques sur la dstrbuton agrégée, telles que la moyenne et les dfférents quantles Concluson L utlsaton de données externes est une exgence réglementare pour les banques désrant développer une méthode avancée de calcul de captal. Cette utlsaton dot cependant être pertnente et non basée. Comme nous croyons que les banques sont toutes exposées à des pertes opératonnelles peu fréquentes mas potentellement lourdes, l est donc prmordal de compléter les données de pertes nternes par des pertes externes extrêmes. Cec permet donc d avor une melleure estmaton des queues des dstrbutons. L objectf de cette étude état de mettre en place un modèle de mse à l échelle de la sévérté et de la fréquence des pertes externes afn de corrger le bas d échelle, et ce, pour une melleure utlsaton des pertes externes. Les résultats de l estmaton par MCO ont montré que la talle, le leu (États-Uns et Canada) ans que la lgne d affares (servces bancares commercaux) et le type de rsque (clents, produts et pratques commercales) entrent en consdératon dans l explcaton d une parte des montants de pertes externes. Une formule de normalsaton permet de donner l équvalent d une perte observée dans l ndustre à l échelle d une banque prse 40

55 comme référence. Nous avons valdé notre modèle en comparant les pertes réellement observées dans une banque avec celles obtenues après mse à l échelle. Les résultats montrent que les deux échantllons ont des moyennes statstquement égales et des écart-types très proches. D autre part, un modèle de mse à l échelle et d ajustement des fréquences a été développé. En effet, l orgnalté de ce modèle, non abordé auparavant dans la lttérature, est qu l permet la mse des fréquences externes à l échelle d une banque donnée sur un horzon détermné. De plus, ce même modèle permet de générer un nombre aléatore de pertes de plus de 1 mllon qu une banque pourrat subr. Deux modèles de comptage tronqués avec composante de régresson ont été testés, à savor le Posson et le bnomal négatf. Les résultats montrent que ce derner domne le premer. La mse à l échelle des fréquences se fat en calculant les paramètres de la dstrbuton propres à la banque en queston. Ces paramètres dépendent effectvement des caractérstques de l nsttuton fnancère telles que sa talle et la répartton géographque de ses actvtés. 41

56 Tableau 1-1: Statstques descrptves sur les données de la base externe Les tableaux suvants présentent des statstques descrptves des pertes en foncton de la talle de l nsttuton fnancère, du leu de l événement, du type de rsque de la perte et de la lgne d affares où l événement a eu leu. Tableau 1-1a : Statstques descrptves de l ensemble des pertes de la base externe en mllons de dollars. Pertes externes Moyenne (M$) 1 er quantle (M$) Médane (M$) 3 ème quantle (M$) Écart-type (M$) Nombre de pertes 67,15 2,73 8,10 33,8 521, Tableau 1-1b : Statstques des pertes en foncton de la talle de l nsttuton fnancère estmée par le total des actfs en mllons de dollars. Nous avons classé les banques en tros catégores : celles ayant des actfs nféreurs à M$, celles dont les actfs sont entre M$ et M$ et celles de très grande talle, avec un total des actfs de plus de 800 mllards. Total des actfs (Mllons de dollars) Moyenne des pertes (M $) Nombre des pertes Écart-type des pertes (M $) Actfs < Actfs < Actfs ,08 51,42 115, ,90 114,63 408,97 Tableau 1-1c : Statstques des pertes opératonnelles en foncton du leu de l événement. Nous avons classé les leux en quatre catégores : États-Uns, Canada, Europe et Autres pays. Leu Moyenne des pertes (M $) Nombre de pertes Écart type des pertes (M $) États-Uns Canada Europe Autres pays 38,42 8,96 75,20 162, ,22 14,99 168, ,55 42

57 Tableau 1-1d : Statstques des actfs totaux des nsttutons fnancères en foncton du leu de l événement. Nous avons classé les leux en quatre catégores : États-Uns, Canada, Europe et autres pays. Leu Moyenne des actfs (M $) Écart-type des actfs (M $) États-Uns Canada Europe Autres pays , , , , , , , , 72 Tableau 1-1e : Statstques des pertes opératonnelles en foncton des lgnes d affares où l événement de perte a eu leu. Nous retenons la classfcaton proposée par Bâle II, à savor 8 lgnes d affares : CD, PR, FC, GA, NV, SA, SBC, SBD *. Lgnes d affares CD PR FC GA NV SA SBC SBD Moyenne des pertes (M $) Nombre de pertes Écart type des pertes (M $) 23,23 35,08 87,50 50,55 89,29 29,43 133,33 39, ,16 79,55 361,28 90,87 280,86 41,79 993,64 131,20 * CD : Courtage détal / PR : Paements et règlements / FC : Fnance corporatve / GA : Geston d actfs / NV : Négocaton et vente / SA : Servces d agence / SBC : Servces bancares commercaux / SBD : Servces bancares détal. Tableau 1-1f : Statstques des pertes opératonnelles en foncton du type de rsque des pertes. Nous retenons la classfcaton proposée par Bâle II, à savor 7 types de rsque : ATCE, CPPC, EPSE, FE, FI, GELP, PADS **. Types de rsque ATCE CPPC EPSE FE FI GELP PADS Moyenne des pertes (M $) Nombre de pertes Écart type des pertes (M $) 114,60 61,01 11,59 97,86 64,20 67,53 4, ,83 179,29 18, ,49 194,35 306,82 4,02 ** ATCE :Actfs tangbles Corporels endommagés / CPPC : Clents, produts et pratques commercales / EPSE : Emplo, pratques et sécurté envronnementale / FE : Fraude externe / FI : Fraude nterne / GELP : Geston d exécuton et lvrason des processus / PADS : Perturbaton des affares et défallance des systèmes. 43

58 Tableau 1-2 : Résultats de l estmaton des paramètres de la régresson lnéare Le tableau suvant présente les résultats de l estmaton des coeffcents de la régresson lnéare par la méthode des mondres carrés ordnares MCO. Les chffres en talques sont les seuls expérmentaux (p-values). La régresson est la suvante : Y = a 0 + a 1 Talle + a 2 ÉU + a 3 Canada + a 4 Europe + a j UA j + a j TRj +e Constante Log (actfs) États-Uns Canada Europe Courtage détal Fnance corporatve Geston d actfs Négocaton et ventes Varables Servces bancares commercaux Servces bancares détal Servce d agence Actfs tangbles corporels endommagés Clents, produts et pratques commercales Emplo, pratques et sécurté envronnementale Fraudes externes j= 5 j= 12 Modèle de base 0,799 (0,273) 0,077 *** (0,005) -0,541 *** (0,000) -1,087 *** (0,000) -0,053 (0,755) 0,115 (0,641) 0,386 (0,199) 0,398 (0,184) 0,417 (0,140) 0,797 *** (0,001) 0,043 (0,858) 0,478 (0,213) 1,300 (0,196) 1,123 * (0,079) 0,088 (0,895) 0,360 (0,578) Fraudes nternes 44 0,731 (0,257)

59 Geston de l exécuton, de la lvrason des processus 0,577 (0,381) 8,38 F(18, 1037) (0,000) R 2 12,07 % R 2 ajusté 10,63 % *** coeffcent sgnfcatf à un degré de confance de 99 % ** coeffcent sgnfcatf à un degré de confance de 95 % * coeffcent sgnfcatf à un degré de confance de 90 % 45

60 Tableau 1-3 : Tests de robustesse Ce tableau présente les résultats des tests de robustesse. Les modèles (1) à (3) permettent de tester la stablté de chaque catégore de varable dans le modèle de base. Le modèle (4) content seulement les catégores des varables sgnfcatvement non nulles dans le modèle de mse à l échelle. Les chffres en talques sont les seuls expérmentaux (p-values). Les équatons des modèles sont les suvantes : Constante Log (actfs) États-Uns Canada Europe Modèle (1) : Y = a 0 + a 1 Talle +e Modèle (2) : Y = a 0 + a 1 Talle + a 2 ÉU + a 3 Canada + a 4 Europe +e 11 Modèle (3) : Y = a 0 + a 1 Talle + a 2 ÉU + a 3 Canada + a 4 Europe + a Modèle (4) : Y = a 0 + a 1 Talle + a 2 ÉU + a 3 Canada + a 4 SBC + a 5 CPPC +e Courtage détal Fnance corporatve Geston d actfs Négocaton et ventes Servces bancares commercaux Servces bancares détal Servce d agence CPPC F 46 j= 5 j UA Modèle 1 Modèle 2 Modèle 3 Modèle 4 1,495 *** (0,000) 0,076 ** (0,007) 7,6 (0,000) 1,797 *** (0,000) 0,084 *** (0,003) -0,583 *** (0,000) -1,219 *** (0,000) 0,020 (0,907) 12,91 (0,000) 1,713 *** (0,000) 0,077 *** (0,006) -0,446 ** (0,001) -1,055 *** (0,000) 0,083 (0,624) -0,275 (0,271) 0,423 (0,166) 0,369 (0,225) 0,148 (0,599) 0,455 * (0,062) -0,200 (0,398) 0,383 (0,327) 8,39 (0,000) j 1,379 *** (0,000) 0,082 *** (0,001) -0,595 *** (0,000) -1,102 *** (0,000) 0,665 *** (0,000) 0,633 *** (0,000) 22,84 (0,000) R 2 0,69 % 4,68 % 8,12 % 9,81 % R 2 ajusté 0,60 % 4,32 % 7,16 % 9,38 % *** coeffcent sgnfcatf à un degré de confance de 99 % ** coeffcent sgnfcatf à un degré de confance de 95 % * coeffcent sgnfcatf à un degré de confance de 90 % +e

61 Tableau 1-4 : Statstques sur les pertes mses à l échelle Ce tableau présente les statstques relatves aux 52 pertes réellement observées à la banque Merrll Lynch. Nous présentons également, dans la trosème colonne, des statstques calculées sur les montants des pertes de la base externe ms à l échelle de la banque en queston. L annexe 1 montre en détal comment la mse à l échelle a été effectuée. Pertes observées de Merrll Lynch Pertes de la base externe mses à l échelle de Merrll Lynch Moyenne (M$) 38,868 35,359 Médane (M$) 11,053 7,941 Écart type (M$) 83,106 84,298 Coeffcent d'aplatssement 21,112 35,733 Coeffcent d'asymétre 4,282 5,272 Mnmum (M$) 1,081 0,591 Maxmum (M$) 506, ,126 Nombre d'échantllons

62 Tableau 1-5 : Impact des varables de mse à l échelle sur les montants des pertes Dans ce tableau, nous présentons un événement de perte extrat de la base externe ans que des pertes équvalentes mses à l échelle. Chaque fos, nous modfons une varable de la mse à échelle pour vor son mpact sur le montant des pertes. La cellule en gras et en talque présente la varable qu a été modfée par rapport à l événement extrat de la base. Banque Montant de la perte Total des actfs Leu Événement extrat de la base externe Bank of New 8,26 M$ M$ États-Uns York Événements ms à l échelle Banque fctve 1 9,27 M$ M$ États-Uns Banque fctve 2 4,97 M$ M$ Canada Banque fctve 3 16,06 M$ M$ États-Uns Banque fctve 4 15,56 M$ M$ États-Uns Banque fctve 5 5,58 M$ M$ Canada Banque fctve 6 10,86 M$ M$ Canada Banque fctve 7 20,46 M$ M$ Canada Lgne d affares Servces bancares détal Servces bancares détal Servces bancares détal Servces bancares commercaux Servces bancares détal Servces bancares détal Servces bancares commercaux Servces bancares commercaux Type de rsque Fraude externe Fraude externe Fraude externe Fraude externe Clents, produts et pratques commercales Fraude externe Fraude externe Clents, produts et pratques commercales 48

63 Tableau 1-6 : Statstques descrptves sur les varables ntrodutes dans le modèle de fréquence Les tableaux suvants présentent des statstques descrptves du nombre des pertes par banque selon la talle de l nsttuton fnancère et la répartton géographque de ses actvtés sur la pérode Tableau 1-6a : Statstques calculées sur le nombre de pertes par banque et le total des actfs par banque sur la pérode Moyenne Écart type 1 er quantle Médane 3 ème quantle Mn Max Nombre de pertes par banque Total des actfs par banque (M$) 3,27 6, Tableau 1-6b : Statstques du nombre des pertes par banque en foncton de la talle de l nsttuton fnancère estmée par le total des actfs en mllons de dollars. Nous avons classé les banques en tros catégores : celles dont la moyenne des actfs sur la pérode est nféreure à M$, celles dont la moyenne des actfs est entre M$ et M$ et celles de très grande talle, avec une moyenne d actfs de plus de 800 mllards sur la pérode en queston. Total des actfs (mllons de dollars) Actfs < Actfs < Actfs Nombre moyen des pertes par banque Nombre de banques Écart type du nombre de pertes par banque 2,587 8, ,647 10,879 18,166 Tableau 1-6c : Statstques du nombre des pertes opératonnelles en foncton du degré de répartton géographque des actvtés. On dstngue 4 envronnements dfférents : États-Uns, Canada, Europe et Autres pays. Les colonnes du tableau suvant montrent s les actvtés sont concentrées dans un même envronnement ou répartes entre 2, 3 ou 4 envronnements. Nombre moyen des pertes par banque Un envronnement Répartton géographque Deux envronnements Tros envronnements Quatre envronnements , Nombre de banques Écart type du nombre de pertes par banque 2,957 12,661 4,559 13,077 49

64 Tableau 1-7 : Résultats de l estmaton des coeffcents dans le modèle de fréquence Le tableau suvant présente les résultats de l estmaton des coeffcents dans le modèle de mse à l échelle des fréquences. La méthode d estmaton utlsée est le maxmum de vrasemblance. La dernère lgne donne le résultat du score test ou le test du multplcateur de Lagrange qu permet de comparer les deux modèles. Les chffres en talques représentent les t de Student. Constante Log (actfs) États-Uns Canada Europe Autres pays α Log (foncton de vrasemblance) Modèle Posson tronqué avec composante de régresson 10-5,876 *** (-15,28) 1,176 *** (15,30) 1,432 *** (14,20) 0,559 *** (5,51) 0,141 * (1,73) 0,191 ** (2,43) Modèle bnomal négatf tronqué avec composante de régresson 9-10,439 *** (-8,35) 1,783 *** (8,45) 2,000 *** (6,60) 1,721 *** (2,83) -0,111 (-0,34) 0,457 (1,52) 4,347 (1,53) -695, ,414 Score test 34,637 *** coeffcent sgnfcatf à un degré de confance de 99 % ** coeffcent sgnfcatf à un degré de confance de 95 % * coeffcent sgnfcatf à un degré de confance de 90 % 10 L estmaton de ces paramètres est fate par les logcels Matlab et Lmdep 50

65 Tableau 1-8 : Résultats de l applcaton de la mse à l échelle des fréquences Ce tableau présente une applcaton du modèle de la mse à l échelle des fréquences. Nous consdérons une banque dont le total moyen de ses actfs sur la pérode est évalué à 100 mllards de dollars. Ses actvtés sont répartes prncpalement entre les États-Uns et le Canada. Dans ce qu sut, nous détermnons les paramètres de la dstrbuton Posson et la bnomale négatve propre à cette banque. Tableau 1-8a : Modèle Posson avec composante de régresson. Constante β 0 Log (actfs) β 1 États-Uns β 2 Canada β 3 Europe β 4 Autres pays Coeffcents -5,876 1,176 1,432 0,559 0,141 0,191 Varables Log(100000) ( + β ÉU + β Canada + β Europe + β Autre ) * λ = exp β + β log( Actfs) β 5 Paramètre de Posson 7,352 * Tableau 1-8b : Modèle de la bnomale négatve avec composante de régresson. Constante β 0 Log (actfs) β 1 États- Uns β 2 Canada β 3 Europe β 4 Autres β 5 Paramètre de la gamma α Coeffcents -10,439 1, ,721-0,111 0,457 4,347 Varables Log (100000) Paramètres de la bnomale négatve (r,p) (0,23; 0,025) ** ** r = 1 α p = 1+ α exp 1 ( β + β log( Actfs) + β ÉU + β Canada + β Europe + β ) Autre 51

66 Annexe 1 Dans ce qu sut, nous présentons tros exemples de pertes extrats de la base externe et nous montrons en détal comment la mse à l échelle est fate. Banque BankAmerca Corp. Banque de France Banque de Montréal Perte observée (M$) Année Total des actfs (M$) Leu 4, États-uns 34, Europe 10, Canada Lgne d affares Négocaton et ventes Servces bancares détal Servces bancares commercaux Type de rsque Clents, produts et pratques commercales Fraude nterne Fraude nterne Nous mettons ces pertes à l échelle de la banque Merrll Lynch. Nous conservons la lgne d affares, le type de rsque et l année d occurrence des pertes de la base de données et nous remplaçons les varables total des actfs et leu par celles propres à la banque Merrll Lynch. Banque Perte mse à l échelle (M$) Année Total des actfs (M$) Leu Lgne d affares Type de rsque Merrll Lynch Merrll Lynch Merrll Lynch À détermner États-Uns Négocaton et ventes À détermner États-Uns À détermner États-Uns Servces bancares détal Servces bancares commercaux Clents, produts et pratques commercales Fraude nterne Fraude nterne 52

67 Pour détermner la perte équvalente, nous devons détermner les composantes dosyncratques des pertes de la base externe ans que celles de Merrll Lynch à partr de la régresson (4). Banque BankAmerca Corp. Perte observée (perte externe) (A) Composante dosyncratque (perte externe) (B) Composante dosyncratque (Merrll Lynch) (C) Perte mse à l échelle (Merrll Lynch) (D)=(A)x(C/B) 4,70 2,80 a 2,79 d 4,69 Banque de France 34,32 2,61 b 1,51 e 19,86 Banque de Montréal 10,83 1,73 c 3,13 f 19,59 a 2,78 = exp (0,082 log (Actfs) 0,595 ÉU 1,102 Canada + 0,665 SBC + 0,633 CPPC) = exp (0,082 log ( ) 0, , , ,633 1) b 2,61 = exp (0,082 log (Actfs) 0,595 ÉU 1,102 Canada + 0,665 SBC + 0,633 CPPC) =exp (0,082 log ( ) 0, , , ,633 0) c 1,73 = exp (0,082 log (Actfs) 0,595 ÉU 1,102 Canada + 0,665 SBC + 0,633 CPPC) = exp (0,082 log ( ) 0, , , ,633 0) d 2,79 = exp (0,082 log (Actfs) 0,595 ÉU 1,102 Canada + 0,665 SBC + 0,633 CPPC) = exp (0,082 log ( ) 0, , , ,633 1) e 1,51 = exp (0,082 log (Actfs) 0,595 ÉU 1,102 Canada + 0,665 SBC + 0,633 CPPC) = exp (0,082 log ( ) 0, , , ,633 0) f 3,13 = exp (0,082 log (Actfs) 0,595 ÉU 1,102 Canada + 0,665 SBC + 0,633 CPPC) = exp (0,082 log ( ) 0, , , ,633 0) 53

68 2. MODÈLE GB2 FRACTIONNÉ POUR UN MEILLEUR AJUSTEMENT DE LA DISTRIBUTION DE SÉVÉRITÉ 2.1. Introducton La «Loss Dstrbuton Approach» (LDA) consttue une méthode avancée de calcul de la perte non antcpée dans le contexte du rsque opératonnel. Cette méthode a été nsprée des méthodes déjà utlsées dans le domane de l assurance pour estmer les prmes ou le MPY 11 (Cummns et Frefelfer, 1978, Cummns et Wltbank, 1983). Cette méthode consste, tout d abord, à estmer la dstrbuton de sévérté ans que celle des fréquences. Ensute, l faut agréger les deux dstrbutons pour détermner les montants des pertes annuelles. Enfn, la smulaton de ces pertes permet de calculer le 99.9 ème centle de la dstrbuton agrégée qu consttue la perte annuelle non antcpée ou la valeur à rsque à un nveau de confance de 99.9%, tel que recommandé par Bâle II.. L avantage prncpal d adopter une telle approche est de refléter le degré d exposton de la banque face au rsque opératonnel. Cependant, pour aboutr à un résultat fable et précs, l est mportant de ben chosr la dstrbuton paramétrque susceptble de ben décrre le comportement des pertes. Cette étape est crucale dans le développement de la méthode pusqu une mauvase spécfcaton de la dstrbuton entraîne une sur ou une sous évaluaton du captal rsque opératonnel. L approche perdra ans son avantage majeur de refléter le nveau de rsque opératonnel d une nsttuton. Malheureusement, la dstrbuton de sévérté est généralement mal chose. En effet, en pratque, la plupart des nsttutons bancares supposent que la dstrbuton lognormale est la bonne canddate sans justfer leur chox. Dans ce chaptre, nous 11 MPY : Maxmum Probable Yearly aggregate loss. 54

69 allons mettre l accent sur l ajustement des dstrbutons paramétrques aux données de pertes. Nous allons donc décortquer le processus d ajustement et proposer un modèle permettant de ben décrre le comportement des pertes. L objectf de notre étude est de proposer une méthodologe robuste pour ben estmer la dstrbuton de sévérté. Nous proposons dans un premer temps quatre dstrbutons à tester ncluant une famlle de dstrbuton à quatre paramètres très flexble. Nous construsons, par la sute, un test Kolmogorov-Smrnov avec bootstrap paramétrque permettant de valder l hypothèse du bon ajustement. Par alleurs, nous ntrodusons la noton de symétre pondérée que nous valdons par des tests non paramétrques (Abdous, Ghoud et Rémllard, 2003). Ensute, nous construsons un modèle GB2 fractonné, qu consste à combner le modèle GB2 avec la symétre pondérée. Les résultats montrent que le modèle ans construt offre un excellent ajustement aux données de pertes. Ce chaptre est structuré comme sut. Après cette ntroducton, nous passons en revue, dans la premère secton, les prncpales études fates à ce sujet. Dans la secton 2, nous décrvons les données de pertes opératonnelles. Nous proposons dans la trosème secton les dstrbutons, susceptbles de décrre le comportement des pertes, que nous testons. Nous ntrodusons la noton de la symétre pondérée et nous proposons un modèle GB2 fractonné dans la quatrème secton. Enfn, la dernère secton est réservée à la concluson et à la suggeston d extensons ntéressantes au modèle que nous consdérons Revue de la lttérature Une mauvase spécfcaton de la dstrbuton s ajustant aux données de sévérté peut surévaluer ou sous-évaluer la perte non antcpée. Chernoba, Menn, Rachev et Truck (2005c) consdèrent pluseurs dstrbutons pour estmer la dstrbuton de sévérté. La perte antcpée ans que la valeur à rsque (VaR) à un degré de confance de 95 et 99 % ont été calculées avec ces dfférentes dstrbutons. Il est à constater que les résultats sont très dfférents selon la dstrbuton chose. La valeur de la perte non 55

70 antcpée dépend énormément de l épasseur de la queue de dstrbuton. Les dstrbutons de sévérté à queues épasses donnent effectvement des valeurs très élevées du captal contrarement aux dstrbutons à queues fnes. C est pourquo, l est très mportant de trouver la melleure dstrbuton qu décrt le comportement des pertes opératonnelles. La VaR ans calculée reflétera l exposton réelle de la banque face à ce rsque. Ce chaptre mettra l accent sur une melleure estmaton de la dstrbuton de sévérté. Fontnouvelle et Rosengren (2004) ajustent pluseurs dstrbutons de sévérté (à un et deux paramètres), avec des épasseurs de queues varables, à des données de pertes nternes de sx banques. Les résultats montrent que les dstrbutons à queues épasses telles que la Pareto s ajustent ben aux données. Cependant, dans certans cas, les résultats des tests d ajustement ne sont pas concluants et aucune des dstrbutons testées ne décrt le comportement des pertes opératonnelles. Il y a leu donc de trouver un modèle qu s ajuste aux données lorsque les dstrbutons usuelles sont rejetées. D autre part, la théore des valeurs extrêmes (TVE) a été fréquemment utlsée par de nombreux auteurs pour la quantfcaton du rsque opératonnel. La TVE consste à modélser seulement les événements extrêmes de pertes. En effet, Medova (2001), Ebnother, Vann, McNel et Antolnez-Fehr (2001) et Moscadell (2004) utlsent la GPD (Generalzed Pareto Dstrbuton) pour modélser l excédent des pertes opératonnelles par rapport à un seul élevé. D un autre coté, l y a des études qu ont rems en queston l utlsaton de cette théore dans le contexte du rsque opératonnel. Dans ce sens, les travaux de Debold, Schuermann et Stroughar (1998), de Embrechts, Furrer et Kaufmann (2003), de Embrechts, Kaufmann et Samorodntsky (2004) et de Nešlehová, Embrechts et Chavez-Demouln (2006) montrent effectvement les condtons requses pour l applcaton de la TVE et ses lmtes dans le contexte du rsque opératonnel. Les données dovent, en fat, être statonnares, répéttves et nombreuses. Toutefos, ces crtères ne sont pas satsfats par les données de pertes opératonnelles. Vu ces lmtes, nous écartons l applcaton de la TVE de notre étude sur l ajustement des dstrbutons aux pertes. 56

71 Dans la présente étude, nous proposons l utlsaton d une dstrbuton flexble à quatre paramètres, la Béta Généralsée de second type ou la GB2, et la noton de symétre pondérée pour modélser la sévérté des pertes opératonnelles. La GB2 est une famlle de dstrbuton à quatre paramètres. Cette dstrbuton est extrêmement flexble. Elle comprend pluseurs dstrbutons usuelles selon la valeur de ces paramètres. Nous ctons la lognormale, Log-t, Gamma, Burr2 et Log-Cauchy comme cas partculers, vor graphque 2-1. Sa flexblté permet de modélser dfférentes épasseurs de queues de dstrbutons. La GB2 a été ntrodute par McDonald (1984) et a montré jusqu à présent des excellents résultats de modélsaton dans pluseurs applcatons. En effet, elle a été utlsée pour modélser les pertes assurables dues à des ncendes (Cummns, Donne, McDonald et Prtchett, 1990), ou dues à des ouragans et des tremblements de terre (Cummns, Lews et Phllps, 1999). Cette famlle de dstrbuton a été utlsée également pour modélser les rendements et les prx des ttres (Bookstaber et McDonald, 1987, Dutta et Babbel, 2002 et Tunaru, Kadam et Albota, 2005). Il a même été montré par McDonald et Xu (1995) que la GB2 est la melleure parm tous les cas de dstrbutons étudés (GB, GB1, GB2, B, B1, B2, GG, Burr3, Burr12, GA, LN) 12 pour s ajuster aux dstrbutons de revenus et de rendements des actons. Ayant démontrée sa grande flexblté, nous allons utlser cette dstrbuton comme canddate pour l ajustement aux données de pertes opératonnelles. Il est à noter que cette dstrbuton a été effectvement utlsée par Dutta et Perry (2006) pour la modélsaton des pertes opératonnelles. Cependant, les auteurs ont soulgné la complexté de la modélsaton et la dffculté de générer des varables aléatores selon cette dstrbuton. Nous allons donc montrer dans ce chaptre comment l est possble de générer des varables à partr de la GB2. Par alleurs, les pertes opératonnelles ne sont pas symétrques. En effet, nous observons que les événements à perte extrême sont mons fréquents que les 12 GB : Beta généralsée, GB1 : Beta Généralsée de premer type, GB2 : Beta Généralsée du second type, B : Beta, B1 : Beta de premer type, B2 : Beta de second type, GG : Gamma généralsée, GA : Gamma, LN : lognormale 57

72 événements à pette perte. La noton de symétre pondérée a été abordée dans la lttérature pour s accommoder à ce type de données qu présentent une certane asymétre. Il s agt d une généralsaton de la noton classque de symétre où les queues des dstrbutons sont smlares, à un facteur près. Une proprété mportante de ce concept consste à dvser ou fractonner la dstrbuton en deux modèles qu peuvent être construts en attrbuant dfférents pods aux partes drote et gauche de la même dstrbuton. Ces modèles fractonnés ont été applqués par Lefranços (1989) et Scallan (1995) et, plus récemment, par Gouréroux et Monfort (2002) dans l évaluaton des optons. Abdous, Ghoud et Rémllard (2003) ont développé des statstques permettant de tester l exstence de la symétre pondérée. Ils ont notamment valdé statstquement l hypothèse de la symétre pondérée pour deux études dont l une porte sur les fluctuatons des prx de l essence à la pompe alors que l autre porte sur les fluctuatons des rendements des ndces TSE300 et Dow Jones. Dans ce chaptre, nous nous basons sur ces statstques pour tester la présence de la symétre pondérée dans les données de pertes opératonnelles. Comme nous l avons mentonné précédemment, l est mportant de trouver la dstrbuton qu s ajuste le meux aux données. La seule estmaton des paramètres n est pas suffsante pour chosr la bonne dstrbuton. Parfos la valeur des paramètres estmés n est pas rasonnable (Fontnouvelle et Rosengren, 2004). Des tests de bon ajustement sont donc nécessares pour nous permettre de décder s l ajustement est pertnent ou pas. Pluseurs tests graphques et formels exstent dans la lttérature pour l ajustement des dstrbutons contnues (Klugman, Panjer et Wllomot, 1998 et Cruz, 2002). Parm les tests formels, nous retenons le test de Kolmogorov-Smrnov. Cependant pour obtenr un melleur résultat, nous allons construre ce test avec bootstrap paramétrque. En effet, une façon de calculer la p- value et les valeurs crtques est par smulaton Monte Carlo, pour chaque dstrbuton ajustée hypothétque, Ross (2001) et Chernoba, Rachev et Fabozz (2005b). 58

73 2.3. Descrpton des données Nous allons prendre la base de données externe OpVaR de Ftch, mse à l échelle d une banque canadenne. La mse à échelle a été fate en se basant sur le modèle développé au chaptre précédent. En fat, l ajustement des dstrbutons aux données de pertes permet de chosr la bonne dstrbuton qu décrt meux le comportement des pertes. Une fos la dstrbuton chose, l nous est possble de générer des montants de pertes extrêmes qu pourraent survenr à la banque en queston. Nous écartons de la base des données de pertes mses à l échelle, les pertes trop extrêmes ou outlers. En effet, garder ces pertes trop mportantes va fausser l estmaton de la dstrbuton des données de plus de 1M$. Ans, l dée d écarter les outlers selon les études de Hampel et al. (1986), Huber (1981) et McLachlan et Basford (1988) est d avor une estmaton plus robuste de la dstrbuton. Dans le contexte du rsque opératonnel, Chernoba et Rachev (2006) montrent que l estmaton des paramètres est plus robuste lorsque les pertes très extrêmes ou outlers de la base de données sont écartées. D alleurs, les auteurs ont prs deux échantllons de pertes opératonnelles de plus d un mllon de dollars, l un comprend toutes les données alors que le deuxème exclut 5% des pertes les plus extrêmes. Ils ont montré que les statstques et les paramètres des dstrbutons estmées à partr du premer échantllon sont basés pusque les quelques pertes extrêmes vont mpacter la moyenne, l écart type, les coeffcents d aplatssement et d asymétre. Ils ont montré également que le premer échantllon surévalue la VaR de 61% par rapport au deuxème. Ans, en gardant les pertes très extrêmes, la forme de la dstrbuton paramétrque rsque d être nfluencée par les quelques grosses pertes et ne va pas nécessarement ben décrre le corps de la dstrbuton. De plus, à cause du bas de sélecton, les pertes trop extrêmes ont une probablté plus élevée d être rapportées. En gardant les outlers, nous allons leur attrbuer un pods encore plus mportant. Ans, nous excluons 5% des pertes les plus élevées de la base de données, ce qu correspond à 52 observatons. Nous écartons ans toutes 59

74 les pertes au-dessus de 100 mllons $ consdérées comme étant des outlers. Il est à mentonner toutefos qu l est possble de générer des pertes au dessus de la perte maxmale (100 M $) avec la dstrbuton que nous retendrons lors de ce chaptre. Le tableau 2-1 présente des statstques descrptves des pertes opératonnelles. Nous remarquons que les pertes sont très dspersées, elles varent de $ à 97,8 mllons $. Par alleurs, nous remarquons que les données ne sont pas symétrques. Une smple comparason entre la moyenne et la médane montre un grand écart (10,5 mllons versus 3,7 mllons), confrmant l asymétre dans les données. De plus, ce constat est appuyé par un coeffcent d asymétre postf de l ordre de 2,65 et un coeffcent d aplatssement de 7,7. Ans, l est évdent que les données ne peuvent pas être modélsées par une dstrbuton normale. Dans ce qu sut, nous proposons d dentfer le modèle qu pourrat modélser le comportement de ces pertes Modèles d ajustement Comme nous l avons ndqué précédemment, le bon ajustement de la dstrbuton aux données est très mportant pour le calcul du captal rsque opératonnel. C est pourquo nous proposons pluseurs dstrbutons à tester. Par alleurs, la noton de symétre pondérée est également testée plus tard dans le chaptre pour offrr plus de possbltés d ajustement aux données Dstrbutons proposées Nous commençons par chosr laquelle des dverses dstrbutons paramétrques s ajustera le meux aux données de pertes. Théorquement, toutes les dstrbutons contnues, dont le domane de défnton est postf, se présentent comme canddates à la modélsaton de la dstrbuton de sévérté. Nous allons tester tros dstrbutons usuelles (exponentelle, lognormale et Webull), en plus de la famlle de dstrbuton GB2. Nous décrvons les caractérstques de chacune d elles et nous présentons leur foncton de densté et de répartton dans le tableau récaptulatf suvant. 60

75 Tableau 2-1: Dstrbutons étudées Dstrbuton Fonctons de densté Fonctons de répartton exponentelle x θ e θ θ f ( x θ) = F ( x θ) = 1 e x lognormale ( x μ, σ) 1 = e xσ 2π log( x) μ où z = σ 2 f F( x μ, σ) = Φ( z) z 2 log( x) où z = μ σ Webull f x β β ( x, ) α α β = F ( x α, β) x e x β α = 1 e β x α GB2 ( x a, b, p, q) f = a p + q β ( p, q) x a b ap x x 1 + b F ( x a, b, p, q) = B ( z p, q) où z = 1 + x b a x b a Inc avec x 0 et b, p et q >0 avec B Inc : foncton de Beta Incomplète Tout d abord, nous testons la dstrbuton exponentelle qu offre l avantage d être smple ayant un seul paramètre. Ensute, la dstrbuton lognormale est testée. Cette dstrbuton à deux paramètres est largement utlsée en pratque. D alleurs, cette dstrbuton est prse, par hypothèse, comme dstrbuton s ajustant aux montants de pertes dans pluseurs études (Chernoba, Menn, Truck et Rachev, 2005b, Frachot, Moudoulaud et Roncall, 2003). Cette dstrbuton ans que la dstrbuton exponentelle sont caractérsées par des queues moyennement épasses. D autre part, la dstrbuton Webull est également testée. Elle est dotée de deux paramètres. 61

76 Contrarement aux deux précédentes, c est une dstrbuton à queue fne. Ans, ces tros dstrbutons offrent des épasseurs de queues dfférentes. Enfn, nous testons également, une famlle de dstrbuton à quatre paramètres, mons utlsée en pratque que les autres certes, mas elle offre une grande flexblté. En effet, le nombre élevé de ses paramètres lu permet d avor de nombreuses formes ans que dfférentes épasseurs de queue. Le graphque 2-1 montre des cas partculers de la famlle GB2 qu correspondent à des dstrbutons usuelles. Comme l s agt d une dstrbuton mons utlsée en pratque, nous allons fare un survol sur certanes de ses caractérstques Certanes caractérstques de la GB2 Génératon de varables : Il est possble de générer des varables suvant la GB2 à partr de la dstrbuton beta comme sut. Sot Y une varable aléatore non nulle suvant la dstrbuton beta(p,q), nous défnssons la varable X telle que X = b 1 Y 1 1 a ~ GB2 ( a,b, p,q) Moments d ordre h : Quant aux moments d ordre h de la GB2, ls ne sont défns que lorsque aq > h. Ils ont l expresson suvante : h ( ) E X = b h h B p +,q a B p,q ( ) Ans, seuls les paramètres a et q sont mplqués dans la détermnaton du nombre de moments fns de la dstrbuton. Ces mêmes paramètres nous donnent une ndcaton sur le comportement de la queue du côté drot. En effet, plus le produt a*q est grand, plus la queue est pette. h a 62

77 Après ce bref survol sur les dstrbutons proposées à des fns de modélsaton des pertes opératonnelles, nous passons à l estmaton des paramètres de ces quatre dstrbutons à la secton suvante Estmaton des paramètres Nous proposons dans ce qu sut une estmaton des paramètres de chacune des dstrbutons décrtes c-haut. Ensute, nous mplantons dans la prochane secton des tests d ajustement qu vont nous permettre de chosr quelle dstrbuton décrt le meux la varablté des pertes opératonnelles. Deux prncpales approches sont proposées dans la lttérature pour estmer les paramètres. La premère consste à estmer les paramètres à partr d un système d équatons égalsant le nombre de paramètres. Tros méthodes populares composent cette approche : la méthode des moments, la méthode des centles ou la méthode des moments pondérés. La lmte de cette approche est son ncapacté de ben ajuster la dstrbuton à toutes les données. Elle se concentre plutôt à ajuster les moments ou les quantles. La deuxème approche consste à estmer les paramètres par optmsaton ou maxmum de vrasemblance. Dans ce cas, la foncton de vrasemblance d un ensemble de n observatons ndépendantes x est estmée par : L n ( θ) = f ( x j; θ) j= 1 où f est la foncton de densté dont les paramètres sont représentés par le vecteur θ. Les paramètres estmés sont la soluton du programme de maxmsaton de la foncton de vrasemblance précédente. Le tableau 2-2 présente les résultats de l estmaton des paramètres pour les quatre dstrbutons défnes c-haut. Une fos l estmaton des paramètres est accomple, l est mportant de restrendre notre chox à un seul modèle et à des paramètres estmés unques. 63

78 Tests d ajustement Dans ce qu sut, nous allons mettre en place des tests d ajustement afn de permettre de tester l acceptablté des dfférents modèles et de les classer pour pouvor sélectonner le melleur. Un test d hypothèse permettra de tester l acceptablté de la dstrbuton. En effet, l hypothèse nulle et l hypothèse alternatve peuvent être formulées de la sorte : H H 0 1 : F : F X X ( x) = F( x; θ) ( x) F( x; θ) Avec : F X ( x) : la foncton de répartton emprque F ( x;θ) : une des fonctons de répartton des dstrbutons étudées Ans, le modèle offre un bon ajustement dans le cas où l hypothèse nulle ne serat par rejetée. Nous commençons par des tests nformels ou graphques qu nous permettent d avor une dée globale du degré d ajustement de la dstrbuton paramétrque à la dstrbuton emprque. Nous commençons par le graphque des quantles (Q-Q plot). Il s agt de fare le graphque des quantles de la dstrbuton paramétrque versus les quantles emprques. Un bon ajustement consste en une courbe lnéare proche de la drote de 45 degrés. Ensute, un graphque de la foncton de répartton théorque versus la foncton de répartton emprque peut être fat afn de vor s les deux dstrbutons ont le même comportement. Généralement, s ces tests montrent que l ajustement est bon, l vaut meux confrmer l évdence vsuelle par un test plus formel basé sur le calcul d une statstque. Par contre, s les graphques montrent que la dstrbuton emprque est lon d être dérvée de la dstrbuton paramétrque testée, alors l est nvrasemblable que les tests formels donnent des résultats dfférents. Ans, des tests formels vennent confrmer ou nfrmer les tests graphques. Nous construsons un test Kolmogorov-Smrnov (KS) pour nous assurer des résultats des tests graphques. Le test KS consste à mesurer l écart maxmal absolu entre la 64

79 foncton de répartton emprque et celle du modèle. La statstque KS se calcule comme sut : ( x) F( x; θ) KS = n sup F ˆ x X où θˆ désgne le vecteur des paramètres estmés. Cette statstque est comparée à une valeur crtque tabulée. S la statstque calculée est nféreure à la statstque tabulée, alors l hypothèse nulle ne sera pas rejetée. Cependant pour des résultats plus fables du test, nous proposons une méthode KS avec bootstrap paramétrque. Cette méthode, contrarement au test classque, consste à calculer une p-value et les valeurs crtques par smulaton Monte Carlo. La valeur de la p-value nous permet de décder s nous rejetons ou non l hypothèse nulle stpulant le bon ajustement de la dstrbuton aux données. Ans, les valeurs crtques vont être calculées à partr d échantllons générés. Il s agt d accomplr donc les étapes de l algorthme suvant pour le calcul de la p-value : 1- Calculer la statstque KS 0, telle que défne précédemment, avec la foncton de répartton dont les paramètres déjà estmés sontδˆ. 2- Générer, à partr des paramètres estmés de la dstrbuton à tester, un échantllon de montants de pertes de même talle que l échantllon de départ. 3- À partr de l échantllon généré, estmer les paramètres ~ θ de la même dstrbuton avec la méthode du maxmum de vrasemblance. 4- Calculer la statstque KS avec la foncton de répartton dont les paramètres nouvellement estmés sont ~ θ. 5- Comparer les statstques KS 0 et KS. S KS 0 < KS alors un compteur j s ncrémente de 1. 65

80 6- Répéter les étapes 2, 3, 4 et 5 un grand nombre de fos N (ex. N=10000) 7- Calculer la p-value comme étant pv = j N 8- Rejeter l hypothèse nulle, s la p-value (pv) est plus pette que le nveau de confance (5 %) Résultats Nous résumons les résultats de l estmaton des paramètres pour les quatre dstrbutons étudées dans le tableau 2-2. Il est à remarquer que nous avons eu des solutons unques au programme de maxmsaton de la foncton de vrasemblance. Les valeurs des paramètres de chacune des dstrbutons sont rasonnables. À ce stade, l est mportant de tester la valdté de chacun des modèles grâce aux tests graphques et des tests formels tel que le test KS défn précédemment. Les tests nformels sont présentés dans les graphques 2-2, 2-3, 2-4 et 2-5 pour l ajustement respectf des dstrbutons exponentelle, lognormale, Webull et GB2 aux données. À partr de ces graphques, l est clar que les dstrbutons exponentelle et Webull ne s ajustent pas à la dstrbuton emprque. En effet, les graphques des quantles ne sont pas lnéares et lon de la drote de 45 degrés vsuellement. De plus, les dstrbutons de répartton emprque et paramétrque ne sont pas proches l une de l autre. À ce stade, l hypothèse d un bon ajustement de ces dstrbutons aux données semble être rejetée. Ben que les graphques des quantles semblent êtres plus lnéares pour le cas des dstrbutons lognormale et GB2, les dstrbutons paramétrques ne s ajustent pas ben à la queue de la dstrbuton emprque vsuellement. En effet, nous remarquons que la courbe s écarte de la drote de 45 degré lorsque les pertes sont supéreures à 50 mllons $. Il est mportant de valder ces résultats par des tests formels basés sur le calcul de statstque robuste. Les tests graphques donnent donc un aperçu sur la qualté de l ajustement qu l faut appuyer par le test KS. 66

81 Les résultats du test KS sont présentés au tableau 2-2, à la dernère lgne. La valeur de la p-value sera un crtère d acceptablté et de sélecton du modèle. En effet, plus la p-value est élevée, dépassant le seul de confance de 5%, melleur est l ajustement. Nous remarquons que les dstrbutons exponentelle, lognormale et Webull ne sont pas acceptables, pusque leur p-value est nulle. De même, la dstrbuton GB2 dont la valeur du test est trop fable (0.004) ne permet pas de décrre le comportement des montants de pertes. D autre part, les modèles peuvent être classés en se basant sur la valeur du logarthme de la foncton de vrasemblance. Les résultats montrent que la dstrbuton GB2 a la valeur la plus élevée du log de vrasemblance (-3156,695) par rapport aux autres dstrbutons. Toutefos, le modèle n est pas accepté à un nveau de confance de 5% Un modèle GB2 fractonné Nous ntrodusons dans ce qu sut la noton de symétre pondérée. En effet, comme les données sont lon d être symétrques 13, nous proposons un modèle pour l ajustement des données de pertes, en ntrodusant le concept de symétre pondérée. Ces résultats confrment nos attentes concernant la flexblté de la GB2 par rapport aux autres dstrbutons. Nous consdérons la dstrbuton GB2 que nous combnons avec la noton de symétre pondérée pour construre un modèle fractonné. Nous avons chos la GB2 à cause de sa flexblté par rapport aux autres dstrbutons. De plus, nous rappelons que le graphque des quantles emprques versus ceux de la GB2 a révélé que cette dernère ne s ajustat pas en partculer aux grosses pertes. Nous nous attendons à ce que ce modèle fractonné que nous allons construre s ajuste meux aux données de pertes, dans le cas où une symétre pondérée serat détectée. Nous allons donc, dans une premère étape, défnr le concept de symétre pondérée et tester sa présence dans les données de pertes opératonnelles. Dans le cas 13 Vor la secton sur les statstques descrptves pour une comparason entre la moyenne et la médane des données d une part et pour la valeur du coeffcent d asymétre d autre part. 67

82 où l hypothèse de la présence de cette symétre est valdée, nous estmons, dans une deuxème étape, les paramètres du modèle GB2 fractonné où la dstrbuton GB2 est dvsée en deux partes Défnton de la symétre pondérée Une varable aléatore X ayant une foncton de dstrbuton F présente une symétre pondérée par rapport à θ s et seulement s l exste deux constantes pr ( 0,1) et ω > 0 telles que pour tout x > 0 où ( y ) prf ( θ x ) = ( 1 pr) 1 F( θ + ωx) F désgne la lmte gauche de F en y. { } Ans, une symétre pondérée est caractérsée par 3 paramètres à détermner; à savor θ le seul de symétre, pr la probablté que les observatons X dépassent le seul θ et ω le pods de la symétre. Il est à remarquer que la symétre parfate classque est un cas partculer de la symétre pondérée avec pr=½ et ω =1. La symétre pondérée est équvalente à un modèle fractonné en deux partes. Ce derner peut être construt en assemblant les deux partes d une même dstrbuton, pondérées dfféremment. Il est possble de générer ces deux partes comme sut. Sot Z une varable aléatore postve et consdérons une varable aléatore X donnée par : X 1 = θ Z avec une probablté (1-pr) X= X 2 = θ + ωz avec une probablté pr Avec R, pr ( 0,1) et ω > 0 θ des paramètres déjà détermnés. 68

83 Estmaton des paramètres de la symétre pondérée Nous allons estmer smultanément les paramètres nconnus de la symétre pondérée en supposons que F satsfat la condton d dentfcaton 14. Abdous, Ghoud et Rémllard (2003) proposent une méthode d estmaton de ( θ,ω,pr) comme sut : ( θˆ, ωˆ,pˆr ) = arg mn T ( θ, ω,pr) n n n θ, ω,pr n où : T n ( θ, ω,pr) = { prι( x θ) ( 1 pr) Ι( x > θ) } 1 n n n = 1 j= 1 x { ( ) ( ) ( ) } ω j ω prι x θ Ι > θ j 1 pr x j mn, ω ω avec X θ ω = X θ{ Ι( X > θ) + ωι( X θ) } θ x θ Ans, un programme de mnmsaton de la foncton T nous permet d estmer smultanément les paramètres de la symétre pondérée. Une fos les paramètres estmés, nous allons tester l exstence de la symétre pondérée par rapport à θ Test de la symétre pondérée Nous allons nous baser sur l étude de Abdous, Ghoud et Rémllard (2003) pour mettre en place les tests adéquats permettant de valder ou non l hypothèse de la symétre pondérée. Il s agt de calculer des statstques Kolmogorov-Smrnov et Cramér-von Mses relatves à la symétre pondérée. En effet, dans l étude de Abdous, Ghoud et Rémllard (2003), les auteurs proposent une approche plus robuste pour construre ces tests en utlsant des processus emprques basés sur des pseudo- 14 Abdous, Ghoud et Rémllard (2003) résument la condton d dentfcaton de F comme sut : «Sot F une symétre pondérée, contnue et admet une densté avec des dscontnutés fnes et des mnma ou des maxma locaux non nuls fns dans son domane, alors F est dentfable. 69

84 observatons tels que défns par Ghoud et Rémllard (1998). Nous détallons en annexe comment ces statstques sont calculées. Le tableau 2-3a présente les résultats de l estmaton des paramètres de la symétre pondérée à partr du logarthme 15 des pertes. Il est à remarquer que l estmé du seul de la symétre θ est θˆ =2,2892. L estmaton de pr, la proporton des observatons au-dessus du seul est pˆ r =0,2661, alors que l estmé du pods ωest ωˆ =0,6129. Pour valder l hypothèse de la symétre pondérée ans estmée, les données ont été aléatorement répartes en deux échantllons. Un premer échantllon de pertes a serv pour estmer les paramètres de la symétre pondérée. Le deuxème a été utlsé pour calculer les statstques KS et CvM en tratant les paramètres θˆ, ωˆ et pˆ r comme étant connus. Nous répétons ce processus (génératon d échantllons aléatores, estmaton des paramètres et calcul des statstques KS et CvM) au mons fos. Nous calculons les probabltés que les statstques calculées de Kolmogorov-Smrnov ans que de Cramér-von Mses soent nféreures aux valeurs crtques 16 de ces statstques (KS crtque =2,241 et CvM crtque =1,68, approxmatons respectves des 95% quantles de KS n et CvM n pour un grand échantllon) Le tableau 2-3a présente les résultats des tests. Les statstques permettent de trancher en faveur d une symétre pondérée par rapport au seul ωˆ. En effet, nous remarquons que les valeurs des probabltés sont assez élevées montrant que les valeurs calculées des statstques sont nféreures aux valeurs crtques dans 97% des cas pour le test KS et dans 87 % pour le test CvM. Ans, les deux tests ms en place permettent de valder l hypothèse de l exstence d une symétre pondérée dans les données. Dans ce qu sut, nous allons retenr ce résultat et l ntégrer dans la modélsaton des pertes opératonnelles avec la dstrbuton GB2. 15 Nous prenons le logarthme des pertes, pour avor des valeurs postves et négatves. 16 Se référer aux tableaux contenant les valeurs crtques pour dfférents quantles dans l artcle de Abdous, Ghoud et Rémllard (2003) 70

85 Modèle GB2 fractonné Rappelons que la dstrbuton GB2 est la dstrbuton la plus flexble. Son ajustement aux données a été rejeté certes, mas le graphque des quantles montre que l ajustement n état pas adéquat prncpalement pour les grosses pertes. De plus, la GB2 présentat la foncton de vrasemblance la plus élevée parm les dstrbutons testées dans ce chaptre. Nous consdérons donc cette dstrbuton en ntrodusant éventuellement la noton de symétre pondérée pour avor un bon ajustement aux données. Comme les tests nous ont montré la valdté de cette hypothèse, l est ans possble de construre un modèle combnant la dstrbuton GB2 avec la symétre pondérée. Nous mettons en place un modèle GB2 en deux partes ou GB2 fractonné. Pour ce fare, nous défnssons à partr des données une nouvelle varable Z telle que : Z 1 = θˆ X pour X < θ ˆ Z = X θˆ Z 2 = pour X θ ˆ, ωˆ où, X est le logarthme des pertes. La varable ans défne est donc postve et peut être modélsée par la dstrbuton GB2. Nous estmons les paramètres de cette dstrbuton avec la méthode du maxmum de vrasemblance, à partr du vecteur de données Z=[Z 1, Z 2 ], d où apparaît le modèle en deux partes pondérées dfféremment ou le modèle GB2 fractonné. Le tableau 2-3b présente les résultats des estmés des paramètres de ce modèle. Une fos les paramètres de la GB2 estmés, l y a leu de tester le degré d ajustement de ce modèle à la dstrbuton emprque. Un test Kolmogorov-Smrnov avec bootstrap paramétrque permet de rejeter ou non l hypothèse nulle stpulant un bon ajustement entre la dstrbuton emprque et le modèle construt. Ans, au leu de comparer la statstque calculée à la statstque tabulée comme c est le cas pour le test 71

86 KS classque, nous proposons de comparer la statstque calculée à d autres calculées à partr d échantllons générés de la même dstrbuton. Les paramètres de la symétre pondérée ans que ceux de la GB2 vont être réestmés à partr de ces échantllons générés. Ce test est donc plus robuste que le test classque, et la valeur de la p-value calculée permettra de conclure quant à la qualté de l ajustement. Nous présentons l algorthme suvant pour accomplr le bootstrap paramétrque du test d ajustement. 1- Défnr la foncton de répartton F z de la varable transformée Z=[Z 1, Z 2 ]. 2- Calculer la statstque KS 0, telle que défne précédemment, avec la foncton de répartton F z ( â,bˆ,pˆ,qˆ ). 3- Générer un échantllon de varables W suvant la lo GB2 ( â,bˆ,pˆ,qˆ ), de même talle que l échantllon de départ. 4- Défnr la varable Y telle que : Y = Y 1 Y 2 = θˆ W avec une probablté (1- p rˆ ) = θ ˆ + ωˆ W avec une probablté p rˆ 5- À partr du vecteur Y=[Y 1, Y 2 ], estmer les paramètres de la symétre ~ θ, ω ~,p ~ r. pondérée ( ) 6- Tester la valdté de l hypothèse de la symétre pondérée pour l échantllon généré, avec des tests KS et CvM tels que défns à la secton précédente. 7- Défnr la varable V telle que : V 1 ~ = θ Y pour Y < ~ θ V = ~ Y θ V 2 = ω ~ pour Y ~ θ 72

87 8- À partr du vecteur V=[V 1, V 2 ], estmer les paramètres ( ~ a, ~ b, ~ p, ~ q) dstrbuton GB2 avec la méthode du maxmum de vrasemblance. de la 9- Détermner la foncton de répartton F V de la varable V=[V 1, V 2 ]. 10- Calculer la statstque KS avec la foncton de répartton F V ( ~ a, ~ b, ~ p, ~ q). 11- Comparer les statstques KS 0 et KS. S KS 0 < KS alors un compteur j s ncrémente de Répéter les étapes 3 à 11 un grand nombre de fos N (ex. N=10 000). 13- Calculer la p-value comme étant j pv =. N 14- Rejeter l hypothèse nulle, s la p-value (pv) est plus pette que le nveau de confance (5 %). Force est de constater que nous estmons à chaque tératon les paramètres de la symétre pondérée ans que ceux de la GB2 d une façon smultanée. Cette façon de fare permet de détermner un résultat plus robuste du test KS classque. Ans, plus la p-value est élevée, meux est l ajustement. Nous allons également applquer les tests formels d ajustement Anderson Darlng (AD) et Cramér-von Mses (CvM) avec la procédure bootstrap paramétrque. Ces tests sont meux adaptés aux données appartenant à des dstrbutons aux queues très épasses. Les statstques AD et CvM se calculent respectvement comme sut : AD = N S N 2k 1 avec S = N k = 1 [ ln F( x,ˆθ ) + ln( 1 F( x,ˆ )] k N + 1 k θ et CvM = 1 12N + N k = 2k 1 F 1 2N 73 ( ) 2 x, ˆ θ k

88 avec F : la foncton cumulatve de la dstrbuton testée. θˆ : le vecteur des paramètres estmés. Comme pour le premer modèle, l est possble de tester au préalable l ajustement du modèle GB2 fractonné par des tests graphques. En effet, un graphque des quantles de ce modèle versus la dstrbuton emprque donnera un premer aperçu du degré d ajustement. De même, le graphque des dstrbutons de répartton permet d avor une dée sur la qualté d ajustement. Le graphque 2-6a montre en effet, que la courbe fasant le len entre les quantles (emprques versus paramétrque) est clarement lnéare et très proche de la drote de 45 degrés. De plus, les deux dstrbutons de répartton sont très proches l une de l autre (graphque 2-6b). Ans, en se basant sur ces tests, le modèle s ajuste ben aux données. Il faut toutefos confrmer ce constat avec les tests formels d ajustement tels que décrts précédemment. Les résultats présentés au tableau 2-3b montrent que les valeurs des p-value (0,65 pour le test KS, 0,81 pour le test AD et 0,77 pour le test CvM) des tests d ajustement calculées avec bootstrap paramétrque permettent de ne pas rejeter l ajustement du modèle GB2 fractonné aux données emprques. Ans, grâce à la noton de symétre pondérée, nous avons construt un modèle qu décrt ben le comportement des pertes, alors que nous n avons pas réuss à avor un ajustement aux données avec les dstrbutons paramétrques, même avec celle à quatre paramètres la GB Concluson L objectf de ce chaptre état de proposer un modèle qu permet de meux décrre le comportement des pertes opératonnelles et ce, dans le but de meux calculer un captal opératonnel. En effet, pluseurs études ont montré l mportance du chox de la dstrbuton. Une mauvase spécfcaton de cette dernère entraîne névtablement une sous ou une sur évaluaton du captal. 74

89 Dans un premer temps, nous avons testé l ajustement aux données, de tros dstrbutons usuelles (exponentelle, lognormale et Webull) ans qu une famlle de dstrbuton à quatre paramètres la GB2. Les résultats montrent qu aucune des dstrbutons paramétrques testées ne s ajustaent aux données de pertes externes mses à l échelle d une banque canadenne. Malgré sa grande flexblté, la GB2 n a pu s ajuster aux données et plus partculèrement à la queue de la dstrbuton emprque. Par alleurs, l ntroducton de la noton de symétre pondérée au modèle précédent vent offrr un excellent ajustement. Étant démontrée que les données ne sont pas symétrques, nous avons testé l exstence d une symétre pondérée et les résultats ont effectvement montré la valdté de cette hypothèse. Nous avons ans construt un modèle orgnal GB2 fractonné, en combnant le modèle GB2 et la symétre pondérée ensemble. Nous avons également proposé une manère orgnale de tester le bon ajustement du modèle aux données grâce aux tests Kolmogorov-Smrnov, Anderson Darlng et Cramér-von Mses avec la procédure bootstrap paramétrque en estmant d une façon smultanée, lors des tests, les paramètres de la symétre pondérée et ceux de la GB2. Les résultats ont montré que l ntroducton de la symétre pondérée a améloré sgnfcatvement le degré d ajustement de ce modèle aux données. Ans, en amélorant la qualté de l ajustement, nous augmentons notre confance dans le calcul du captal. En effet, plus la dstrbuton chose décrt la tendance et le comportement des pertes, plus la valeur à rsque calculée après agrégaton et smulaton nous donne une melleure dée sur l exposton réelle d une banque face au rsque opératonnel. 75

90 Graphque 2-1: La GB2 et ses cas partculers Source: Cummns, J. D., G. Donne, J. B. McDonald and B. M. Prtchett (1990) 76

91 Tableau 2-2: Statstques descrptves sur les données. Ce tableau présente des statstques descrptves des données de pertes mses à l échelle d une banque canadenne. 5% des données sont consdérées comme des outlers et sont écartées de la base afn d avor une estmaton robuste des paramétres. (Chernoba et al., 2006) Moyenne (M$) Médane (M$) Mode (M$) Écart-type (M$) Varance de l'échantllon Coeffcent d'aplatssement Coeffcent d'asymétre Mnmum (M$) Maxmum (M$) Somme (M$) Nombre d'observatons 10,490 3,670 0,926 16, ,984 7,727 2,653 0,304 97, ,

92 Graphque 2-2 : Tests graphques de la dstrbuton exponentelle Graphque 2-2a présente le graphque des quantles emprques versus les quantles de l exponentelle. Graphque des quantles de la dstrbuton exponentelle 100 Quantles paramétrques Quantles emprques Graphque 2-2b présente le graphque des fonctons de répartton emprque versus exponentelle. 1 Foncton de répartton emprque vs. exponentelle Probablté Foncton de répartton emprque Foncton de répartton exponentelle Pertes 78

93 Graphque 2-3: Tests graphques de la dstrbuton lognormale. Graphque 2-3a présente le graphque des quantles emprques versus les quantles de la lognormale. Graphque des quantles de la dstrbuton lognormale Quantles paramétrques Quantles emprques Graphque 2-3b présente le graphque des fonctons de répartton emprque versus lognormale.. 1 Foncton de répartton emprque vs. lognormale Probablté Foncton de répartton emprque Foncton de répartton lognormale Pertes 79

94 Graphque 2-4 : Tests graphques de la dstrbuton Webull. Graphque 2-4a présente le graphque des quantles emprques versus les quantles de la Webull. Graphque des quantles de la dstrbuton Webull 120 Quantles paramétrques Quantles emprques Graphque 2-4b présente le graphque des fonctons de répartton emprque versus Webull. 1 Foncton de répartton emprque vs. Webull Probablté Foncton de répartton estmée Foncton de répartton Webull Pertes 80

95 Graphque 2-5 : Tests graphques de la dstrbuton GB2. Graphque 2-5a présente le graphque des quantles emprques versus les quantles de la GB Graphquee des quantles de la dstrbuton GB2 600 Quantles paramétrques Quantles emprques Graphque 2-5b présente le graphque des fonctons de répartton emprque versus GB2. 1 Foncton de répartton emprque vs.gb Probablté Foncton de répartton paramétrque Foncton de répartton GB Pertes 81

96 Tableau 2-3 : Résultats de l estmaton des paramètres Les paramètres estmés par maxmum de vrasemblance sont présentés dans le tableau c-dessous. L avant dernère lgne ndque la valeur du log de vrasemblance pour les quatre dstrbutons testées. La dernère lgne montre les valeurs du p-value du test de Kolmogorov-Smrnov avec bootstrap paramétrque. Paramètres estmés Log de vrasemblance exponentelle lognormale Webull GB2 10,4897 1,4161 8,3506 0,5440 1,3799 0,7321 0, ,6630 2, , , , ,695 p-value KS ,004 82

97 Graphque 2-6 : Tests graphques du modèle GB2 fractonné. Graphque 2-6a présente le graphque des quantles emprques versus les quantles du modèle GB2 fractonné. Graphque des quantles du modèle GB2 fractonné Quantles paramétrques Quantles emprques Graphque 2-6b présente le graphque des fonctons de répartton emprque versus le modèle GB2 fractonné. 1 Fonctons de répartton emprque vs. GB2 fractonné Probablté Foncton de répartton emprque Foncton de répartton du GB2 fractonné Pertes 83

98 Tableau 2-4 : Résultats de l estmaton des paramètres du modèle GB2 fractonné. Le tableau 2-4a présente les estmés des paramètres de la symétre pondérée. Les deux dernères lgnes présentent les résultats des tests d ajustement. Les chffres en talques consttuent la probablté que les statstques calculées soent nféreures aux valeurs crtques des tests (95 ème quantle) Symétre pondérée Le seul de symétre θˆ La probablté de dépasser le seul Valeurs 2,2892 pˆ r 0,2661 Le pods de la symétreωˆ 0,6129 Test Kolmogorov-Smrnov 1,23 0,97 Test Cramér-von Mses 0,26 0,87 Le tableau 2-4b présente les paramètres estmés du modèle GB2 en tenant compte de la symétre pondérée, ans que la p-value du test de Kolmogorov-Smrnov accompl avec bootstrap paramétrque. GB2 Valeurs â 10,2202 bˆ 3,3724 pˆ 0,0981 qˆ 2,3962 Log de vrasemblance -1228,7 p-value Kolmogorov-Smrnov 0,67 p-value Anderson Darlng 0,81 p-value Cramér-von Mses 0,77 84

99 Annexe 2 Abdous, Ghoud et Rémllard (2003) ont développé des tests non paramétrques pour valder ou non l hypothèse de la symétre pondérée. Nous présentons dans ce qu sut comment les tests Kolmogorov-Smrnov et Cramér-von Mses sont calculés, dans les cas où les paramètres de la symétre pondérée sont connus. Ils ont défn l nférence qu sera basée sur des fonctons du processus de la symétre pondérée données par : Κ n ( t,p) = n [ K n ( t) E{ K n ( t) }] p( 1 p), t [-1,1], où K n 1 n n () t = Ι( e n, t) = 1 Les pseudo-observatons e n, sont défnes par : e n, 1 sgn n ( X θ) rang( X θ ), 1 n = ω S A 1,..., A n correspondent aux ant-rangs, c est-à-dre, A =k s et seulement s ( X θ ) rang ω =, alors : où ε = ( X θ) sgn. n+ 1 A K n 1 n () t Ι( ε ) = n 1 + nt Sot δ = Ι ( ε = 1 ) = Ι( X < θ) A n

100 Nous pouvons vérfer faclement que : Κ n ( t,p) Wn 1+ = Wn 1 1 n [ nt] [ nt] + n, n, -1 t 0, 0 t 1, où [x] est la parte entère de x. avec W n ( u) ( p) [ nu] 1 = np 1 = 1 { δ ( 1 p) } = S [ nu] ( p) np 1 k où k = { δ ( 1 p) } S est la somme partelle et S 0 = 0. = 1 Sot R, pr ( 0,1) et ω > 1 θ sont constants, on suppose que la dstrbuton F présente une symétre pondérée ( p,ω) par rapport à θ, alors () La statstque Kolmogorov-Smrnov KS n = sup Κ 1 t 1 ( t,p) converge en lo à n = sup W t 0 t 1 1 max S j ( p) 1 j n (), quand n np 1 () La statstque Cramér-von Mses CvM n = converge { Κ n ( t, p) } dt = 2 n p( 1 p) j= 1 en lo à S 2 { W( u) } du, quand n n 1 2 j 86

101 3. DÉTERMINATION DE LA VALEUR À RISQUE OPÉRATIONNEL D UNE BANQUE CANADIENNE 3.1. Introducton La valeur à rsque (VaR) est un concept assez récent et de plus en plus utlsé en fnance (Joron, 2000). Cette noton a été, d alleurs, déjà applquée depus des décennes dans le domane de l assurance sous le nom de MPY 17 (Cummns et Frefelder,1978). Ben que cette mesure ne sot pas toujours jugée cohérente (Artzner et al., 1999), nous parlons de plus en plus de VaR de marché, de VaR de crédt et récemment de VaR opératonnel. Cette mesure est effectvement facle à calculer et à mplanter en pratque. Nous portons notre attenton à la VaR opératonnel et nous procédons à toutes les étapes nécessares à son calcul dans ce chaptre. Le rsque opératonnel présente pluseurs partculartés par rapport aux rsques de marché et de crédt. En effet, la structure des pertes, peu fréquentes et à ampleurs potentellement très élevées, rend sa modélsaton plus dffcle et parfos complexe. Certanes études émettent des hypothèses assez fortes et peu réalstes qu vont smplfer la méthodologe certes, mas perdent énormément en termes de précson et de rgueur quant au calcul de la VaR ou du captal opératonnel. L objectf de ce chaptre est de développer une mesure précse et rgoureuse de la VaR opératonnel d une banque. Nous comparons notre modèle au modèle standard, fortement utlsé en pratque, construt à partr des dstrbutons lognormale et Posson et qu ne tent pas compte des données au-dessous du seul de troncature. Nous montrons la supérorté de notre modèle à fournr des résultats plus réalstes contrarement au modèle standard qu sous-évalue énormément l exposton au rsque d une banque. 17 MPY : maxmum probable yearly aggregate loss 87

102 Ce chaptre met l accent sur le bon ajustement des dstrbutons paramétrques à l ensemble des données et vse à montrer l mportance du chox des dstrbutons de sévérté et de fréquence des pertes. Ces éléments sont en effet néglgés dans le modèle standard. De plus, notre mesure de rsque fat ntervenr des pertes opératonnelles externes mses à l échelle d une banque. Cec permet en effet de tenr compte de certanes pertes extrêmes éventuelles n ayant pas encore été subes. Nous analysons d alleurs l mpact de l ntégraton des données de pertes extrêmes sur le calcul de VaR. Ce chaptre est structuré comme sut. La secton suvante présente un bref aperçu de la lttérature récente relatve à la modélsaton du rsque opératonnel. Ensute, une descrpton des données utlsées dans notre analyse est présentée à la secton 3. Nous présentons le modèle Loss Dstrbuton Approach (LDA) ans que ses hypothèses à la quatrème secton. La secton 5 développe le modèle de sévérté alors que le modèle de fréquence est présenté à la sxème secton. Le calcul de la VaR par type de rsque est détallé à la secton 7. Enfn, la dernère secton résume les prncpaux résultats et présente les extensons et les avenues de recherche Revue de la lttérature Pluseurs méthodes de calcul du captal rsque opératonnel ont été proposées par les autortés réglementares. La méthode de mesure avancée est la méthode la plus représentatve du nveau d exposton de rsque opératonnel d une nsttuton fnancère. De nombreuses études ont émergé développant des méthodologes quanttatves et des outls qu peuvent être applqués dans l approche de mesure avancée (Cruz, 2002, Alexander, 2003, Kng, 2001). La méthode LDA est l approche de mesure avancée la plus populare. Cette approche s nspre énormément de la méthode actuarelle utlsée dans le domane de l assurance pour la modélsaton des pertes (Cummns et Frefelder, 1978, Cummns et Wltbank, 1983, Cummns et al, 1990, Panjer et Wllmot, 1992). Klugman, Panjer et Wllmot (1998) ont ben développé les dfférentes étapes de la méthode. Cependant, la modélsaton des pertes opératonnelles présente certanes dvergences par rapport à ces modèles actuarels de pertes. 88

103 Tout d abord, les pertes opératonnelles sont, dans la plupart des cas, collectées à partr d un certan seul (1 000 $, $, $, etc.). Pluseurs études ont gnoré ces pertes et n ont donc pas tenu compte du seul de troncature (Dutta et Perry, 2006, Böcker et Klüppelberg, 2005, Fontnouvelle, Rosengren et Jordan, 2004). Cette approche telle que défne par Chernoba et al. (2006) consste à ajuster les dstrbutons non condtonnelles de sévérté et de fréquence aux données de pertes au-dessus du seul de troncature. Elle suppose en effet que seules les queues des dstrbutons agrégées entrent en compte dans le calcul de la VaR. Il exste des études qu ne consdèrent que la modélsaton de la queue de la dstrbuton agrégée. Elles ne tratent que les pertes extrêmes en utlsant la théore des valeurs extrêmes (TVE) (Embrechts et al., 1997, Ebnother, Vann, McNel et Antolnez-Fehr, 2001). En revanche, la structure des données opératonnelles ne satsfat pas nécessarement les hypothèses standards de la modélsaton avec la TVE. Cec est dû prncpalement au nombre restrent des pertes extrêmes peu fréquentes (Embrechts et al., 2003, Moscadell, 2004). Les pertes au-dessous du seul de collecte peuvent avor un mpact sgnfcatf sur le nveau du captal surtout lorsque le seul est assez élevé et la fréquence de ces pertes est mportante (Frachot, Moudoulaud et Roncall, 2003). Il est à remarquer que la modélsaton des données tronquées rend la méthodologe d estmaton plus complexe surtout pour les dstrbutons à pluseurs paramètres. Les travaux de Baud et al. (2002), Frachot et al. (2003), de Fontnouvelle et al. (2003), Chapelle et al. (2004) et Chernoba et al. (2005a, 2005c) ont montré l mportance de la prse en consdératon du seul de troncature dans la modélsaton des pertes opératonnelles. D alleurs, des tests d ajustement pour des échantllons tronqués à gauche ont été développés par Chernoba, Rachev et Fabozz (2005b). Nous allons consdérer dans notre étude le seul de collecte et modélser les pertes opératonnelles en conséquence. De plus, nous consdérons l estmaton des queues en découpant la dstrbuton en corps et queue d une manère semblable à celle fate par Chapelle, Crama, Hübner et Peters (2004). 89

104 Par alleurs, le chox des dstrbutons de sévérté est également très mportant. En effet, la mauvase spécfcaton de cette dstrbuton peut entraîner une sous ou une sur évaluaton du captal comme l a montré l étude de Chernoba et al. (2005c). Il est à noter que la dstrbuton la plus utlsée pour l estmaton des montants de pertes est la lognormale vu la faclté de son mplantaton et l épasseur relatve de sa queue. D alleurs, les travaux de Frachot et al. (2003), Chernoba et al. (2005a) et Bee (2006) se sont basés unquement sur cette dstrbuton pour modélser les montants de pertes opératonnelles sans même s assurer de la qualté de l ajustement de cette dstrbuton aux données. Nous allons tester quatre dstrbutons à savor l exponentelle, la lognormale, la Webull et la dstrbuton GB2 à quatre paramètres pour le corps de la dstrbuton, et la dstrbuton Pareto pour la queue. Dutta et Perry (2006) ont testé également pluseurs dstrbutons dont la GB2 et la dstrbuton g et h à quatre paramètres. Ils ont montré que la dstrbuton g et h consttue le melleur modèle pour la sévérté. Par contre, ls ont trouvé que les paramètres estmés de la GB2 n étaent pas rasonnables tout en soulgnant la complexté de l estmaton de ces paramètres et la dffculté de générer des nombres aléatores selon cette dstrbuton. Nous allons présenter dans cette étude les paramètres estmés de la GB2 et nous allons montrer que la GB2 est la melleure dstrbuton parm celles que nous testons. Quant à l occurrence des pertes, peu de recherches ont été fates pour raffner le degré d ajustement des dstrbutons de fréquence aux données. La plupart des travaux (Dutta et Perry, 2006, Chapelle et al., 2004, Chernoba et al., 2005a, de Fontnouvelle et al., 2003, Frachot et al., 2003) supposent que les fréquences sont modélsées selon la dstrbuton Posson. Böcker et Klüppelberg (2005) ont développé une approxmaton de la VaR où seule l espérance du nombre des pertes est prse en compte dans la formule. Ans, la surdsperson des fréquences des pertes n a pas d mpact sur la formule de la VaR. Cependant, la dstrbuton Posson est caractérsée par l équdsperson c est-à-dre l égalté entre la moyenne et la varance, ce qu est rarement le cas en rsque opératonnel. Nous allons tester dans la présente étude les modèles Posson et bnomal négatf pour un melleur ajustement des fréquences. Le 90

105 test sera fat par un test χ 2 avec bootstrap paramétrque que nous allons mettre en place. D autre part, nous allons corrger les paramètres des dstrbutons de fréquence pour tenr compte du fat que seul le nombre des pertes supéreures au seul est connu. À notre connassance, seule l étude de Frachot, Moudoulaud et Roncall (2003) a détermné de façon approprée le paramètre de la dstrbuton Posson. Aucun traval smlare n a été fat pour la dstrbuton bnomale négatve. Nous ajustons donc les paramètres tout en utlsant la dstrbuton qu s ajuste le meux aux données. Chernoba, Menn, Rachev, Truck et Moscadell (2006) ont présenté les dfférentes approches de tratement des données tronquées. L approche la plus utlsée en pratque, consste à gnorer les observatons manquantes et à trater l échantllon tronqué comme étant complet. La deuxème approche consste à estmer la dstrbuton non condtonnelle de sévérté, mas corrger les paramètres de la dstrbuton de fréquence seulement pour tenr compte du nombre de pertes audessous du seul. La trosème approche consste à tenr compte de la troncature seulement dans la dstrbuton de sévérté. Le bas lé à cette approche est mondre, mas la méthode content encore des lacunes pusque les paramètres de la dstrbuton de fréquence n ont pas été corrgés. Enfn, la dernère approche consste à ajuster la dstrbuton condtonnelle de sévérté et à corrger les paramètres de la dstrbuton de fréquence. Cette méthode est statstquement plus adéquate. Elle rédut effectvement le bas relatf au calcul du captal par rapport aux autres approches. Nous allons donc suvre cette approche dans ce chaptre. Une fos les modèles de sévérté et de fréquence détermnés, l y a leu de les agréger pour calculer la valeur à rsque. Les modèles d agrégaton des pertes ont été déjà développés dans le domane de l assurance pour le calcul du montant de toutes les réclamatons payées pendant une pérode détermnée pour le portefeulle d un assureur ben défn. Klugman, Panjer et Wllmot (1998) ont ben détallé les méthodes d agrégaton des pertes. Pour la plupart des modèles de sévérté et de fréquence retenus, la dstrbuton agrégée ne peut être obtenue que numérquement. 91

106 Cependant pour certanes combnasons de dstrbutons, telles que l exponentellegéométrque ou l exponentelle-bnomale négatve, un résultat analytque est dsponble ; cec rédut consdérablement les problèmes lés au calcul. Il est possble d utlser également la méthode récursve ou les méthodes d nverson pour évaluer rapdement la dstrbuton agrégée (Klugman et al., 1998, Embrechts et al., 2003). Ces méthodes analytques sont fondées sur les hypothèses d ndépendance entre la sévérté et la fréquence et de montants de pertes dentquement dstrbués. D autre part, l exste la méthode par smulaton pour agréger les dstrbutons. Contrarement aux autres méthodes, elle n exge pas les hypothèses ctées précédemment pour le calcul de la perte agrégée (Ross, 2001). Cette méthode consste à générer des varables pseudo-aléatores de sévérté et de fréquence selon les modèles déjà connus et à calculer la perte agrégée. La foncton cumulatve emprque des pertes annuelles peut être estmée par la dstrbuton cumulatve de l échantllon pseudo aléatore de pertes agrégées. Cette technque est très utlsée dans le contexte du rsque opératonnel pour agréger les pertes étant donné le degré de précson des résultats (Cruz, 2002, Frachot, Frachot et Roncall, 2001). Nous allons donc utlser cette technque d agrégaton dans notre étude. Une fos que les pertes ont été agrégées grâce à l une des méthodes défnes précédemment, la VaR, dans le contexte opératonnel, est calculée comme étant le 99.9 ème centle de la dstrbuton. Böcker et Klüppelberg (2005) développent une approxmaton sous forme fermée de la VaR opératonnel dans le cas où la sévérté est modélsée selon une dstrbuton Pareto. Nous rappelons que les données de pertes nternes sont nsuffsantes pour modélser la VaR à un nveau de confance de 99,9 %, pusqu elles ne reflètent pas l ampleur réelle des pertes. Les autortés réglementares ont exgé l utlsaton des données externes pour compléter les données nternes dans le cas où ces dernères ne sont pas exhaustves. Nous combnons donc les données nternes et externes avant de calculer la perte non antcpée. Peu de recherches ont développé la méthode LDA en tenant compte auss ben des données nternes que des données externes (Chapelle, Crama, Hübner et Peters, 2004). 92

107 3.3. Les données Descrpton des données Nous allons applquer les dfférentes méthodes d'ajustement et d'estmaton des paramètres sur les données de pertes d'une banque canadenne jumelées à des données externes. Nous modélsons les pertes selon leur type de rsque. Les dfférents types de rsque défns par les autortés réglementares sont : - actfs tangbles, corporels et endommagés (ATCE) - fraude externe (FE) - clents, produts et pratques commercales (CPPC) - fraude nterne (FI) - geston de l'exécuton et de la lvrason des processus (GELP) - emplo, pratques et sécurté envronnementale (EPSE) - perturbaton des affares et défallance des systèmes (PADS) Nous ne fasons pas un découpage par unté d'affares tel que recommandé par les autortés règlementares dans le cadre de l accord de Bâle II, et ce, pour garder un nombre suffsant de données dans les cellules à l'étude. De plus la modélsaton des pertes par type de rsque présente l avantage que les processus de pertes sont homogènes. Une excepton fate pour le type de rsque perturbaton des affares et défallance des systèmes où la quantté de données de pertes relatves à ce rsque n'est pas mportante même à l'échelle de la banque. Il sera donc exclu de l étude. Les données de pertes couvrent une pérode de 3 ans du 1 er novembre 2001 jusqu'au 31 octobre Le seul de collecte étant fxé à s pour tous les types de rsque excepté pour les fraude externe et fraude nterne pour lesquelles nous dsposons de toutes les pertes ayant leu à la banque 18. Nous allons, dans la prochane secton, chercher la dstrbuton qu s'ajuste le meux aux montants de pertes pour les sx types de rsque. Vu les dfférences de nombre et 18 s est un seul de collecte connu. Pour préserver la confdentalté de la banque à l étude nous le désgnons par s tout le long de ce chaptre. 93

108 de caractérstques entre les 6 échantllons (un échantllon par type de rsque), dfférentes méthodes seront mplantées. Il est à mentonner que nous avons exclu toutes les pertes nternes de plus d un mllon de dollars amércans 19 de notre échantllon. En fat, ces pertes seront ajoutées à la base externe qu content des pertes extrêmes de plus d un mllon de dollars amércans. Ans, nous avons deux échantllons ndépendants, le premer est consttué de pertes de mons d un mllon alors que le second content des pertes externes mses à l échelle de la banque canadenne en queston, de plus d un mllon. Il est donc plus facle de combner ces deux échantllons lors du calcul de la VaR opératonnel par type de rsque Statstques descrptves sur les montants de pertes Le nombre de données par type de rsque est très varable. En effet, le tableau 3-1a montre que nous dsposons de seulement 53 événements de type actfs tangbles, corporels et endommagés en dessus de s dans toute la banque sur les la pérode de 3 ans, alors qu'l y en a événements de fraudes externes, dont au dessous de s, prncpalement lés à des fraudes de cartes (cartes de crédt et cartes débt). Quant à la moyenne des pertes par événement, nous notons que les moyennes les plus élevées sont lées aux types de rsque clents, produts et pratques commercales et emplo, pratques et sécurté envronnementale. En effet, ces pertes sont généralement dues à des poursutes fates respectvement par des clents et des employés. Tands que la perte moyenne en fraude externe est de l'ordre de $ s nous tenons compte de toutes les données. Ans, nous remarquons que la fraude externe consttue un rsque à haute fréquence et basse sévérté contrarement au type de rsque emplo, pratques et sécurté envronnementale où le nombre de pertes est seulement 97 alors que la moyenne est de $. Ce constat confrme le fat que les montants de pertes par type de rsque présentent des caractérstques dfférentes justfant la répartton par type de rsque. 19 Nous supposons un taux de change de 1USD=1,15 CAD. 94

109 Force est de constater que les données de pertes sont lon de présenter une dstrbuton symétrque. En effet, une smple comparason entre la moyenne et la médane nous ndque que la médane est, dans tous les cas, beaucoup mons élevée que la moyenne, montrant ans des dstrbutons asymétrques. Ce constat est confrmé par le calcul du coeffcent d'asymétre qu est postf dans tous les cas favorsant ans des queues plus épasses. De plus, des coeffcents d aplatssement très élevés montrent l exstence de dstrbuton leptocurtque à queues épasses. Nous ctons l exemple du type de rsque fraude externe où le coeffcent d aplatssement est de l ordre de et le coeffcent d asymétre est évalué à 46. En effet, nous remarquons que 98 % des pertes sont nféreures à $. Contrarement au rsque de marché où l est acceptable d assumer que les varatons des prx, des taux, etc. sont normales, les pertes opératonnelles ne peuvent en aucun cas être modélsées par des dstrbutons normales, comme le montrent ces statstques. Il y a donc leu de tester d autres dstrbutons plus flexbles Statstques descrptves sur les fréquences des pertes Nous présentons, dans une premère étape des statstques descrptves sur les fréquences des pertes par jour. Nous avons chos la pérode jour dans le but d avor plus d observatons possbles sur l hstorque de 3 ans. En effet, l est mportant d avor un nombre élevé de données pour avor des estmatons robustes des dstrbutons. Le tableau 3-1b présente les statstques descrptves des fréquences des pertes par jour, et ce, par type de rsque. Nous remarquons que la fréquence moyenne par jour est de mons d un événement pour tous les types de rsque excepté pour fraude externe et geston d exécuton et de la lvrason des processus où le nombre de pertes est assez mportant. Il est à noter également que les fréquences maxmales par jour pour ces deux types de rsque sont respectvement de 226 et 66. Par alleurs, la comparason entre les moyennes et les varances nous montre que la varance excède la moyenne pour tous les types de rsque. Ce constat nous lasse crore qu à pror une 95

110 dstrbuton favorsant la surdsperson modélserat meux les fréquences que la dstrbuton Posson. Dans une deuxème étape, nous nous ntéressons aux fréquences par semane. Une analyse détallée du nombre de pertes par jour nous montre effectvement que les fréquences de ces pertes sur les jours de semane ne sont pas dentquement dstrbuées. Le tableau 3-1c présente les fréquences moyennes par type de rsque selon le jour de semane. En effet, nous remarquons que les fréquences sont mons élevées pendant les fns de semane. Il est possble que le nombre de pertes sot mons mportant les jours de fermeture des nsttutons bancares. Cependant, l est dffcle d admettre qu l y at mons d événements de pertes relatves à certans types de rsque (tel que fraude externe ) les fns de semane par rapport aux autres jours. Il est évdent que cec est dû à un bas dans la date de comptablsaton de la perte. Ans, une manère de paller à ce problème est de consdérer le nombre de pertes par semane. Nous allons toutefos perdre des observatons pusque nous lmtons notre échantllon à 106 fréquences. Une autre façon d aborder ce problème est de désasonnalser les données. Nous ne tratons pas cette méthode dans ce chaptre mas elle pourrat être envsagée comme extenson. Le tableau 3-1d présente les statstques descrptves relatves aux fréquences des pertes par semane. Nous remarquons que les moyennes sont nféreures aux varances favorsant le chox de dstrbutons caractérsées par la surdsperson pour la modélsaton des fréquences. Il est à mentonner également que nous avons vérfé s l y at une concentraton aux fns de mos ou à la fn de l année, ce qu peut fausser toute la modélsaton des fréquences. Il est dffcle de déceler l exstence d une éventuelle concentraton dans les fns des années pusque nous dsposons de 3 ans d hstorque seulement. Par contre, nous avons remarqué une légère concentraton des pertes de type geston d exécuton et de la lvrason des processus aux fns de mos. La répartton des pertes des autres types de rsque est unforme sur les jours ou les semanes du mos. 96

111 3.4. Le modèle LDA Condtons d applcaton du modèle Voc quelques hypothèses d'ordre général sous-jacentes à l'utlsaton de la méthode LDA : Le passé est une bonne approxmaton du futur : La structure organsatonnelle, les poltques et les contrôles changent rapdement dans une nsttuton fnancère. Une des hypothèses de base est que quoque la cause d'un événement de rsque opératonnel pusse être corrgée (par l'ajout de contrôles supplémentares par exemple), la lgne d'affares représente un rsque nhérent tel qu'une perte de même ampltude peu se reprodure. En d'autres mots, nous supposons que les pertes passées représentent une bonne estmaton des pertes futures, en termes de fréquence et de sévérté. L'hstorque des données de pertes est suffsamment long : La BRI défnt qu'une «fenêtre» de données hstorques suffsamment longue serat de tros ans, et préférablement, de cnq ans. La pérode consdérée dans notre étude est de 3 ans. Pour les types de rsque où nous observons une haute fréquence d'événements de rsques opératonnels, cette fenêtre est acceptable. Inversement, pour les types de rsque où nous observons une basse fréquence d'événements de rsques opératonnels, la fenêtre d'analyse devrat être plus longue. Tous les types de rsque à l'étude contennent suffsamment d'événements de grande ampleur ($) pour assurer une modélsaton adéquate de la dstrbuton de sévérté : Nous supposons que le nombre d observatons mnmal requs pour effectuer la modélsaton est de 50. Ans, seuls les types de rsque contenant plus de 50 événements de perte sont couverts par cette méthodologe. Le type de rsque perturbaton des affares et défallance des systèmes contenant peu de données est exclu. Une autre méthode, à savor 97

112 l'analyse par scénaros, est prévue pour le calcul du captal de ce type de rsque. Les données collectées sont de qualté (données ntègres et ntégrales) : L'nformaton collectée relatve à un événement de rsque opératonnel est juste et fable de sorte qu'aucun bas de collecte (par exemple : l'utlsaton de la date de comptablsaton de la perte au leu de la date d'événement) n'est ntrodut dans la méthodologe. Certanes améloratons sont toujours à effectuer au nveau des données collectées. Les pertes opératonnelles sont ndépendantes et dentquement dstrbuées. La dstrbuton de sévérté est ndépendante de celle des fréquences Présentaton du modèle LDA Une perte opératonnelle L est un montant d argent déboursé par une unté quelconque de la banque sute à un événement opératonnel tel que défn précédemment. Seules les pertes opératonnelles drectes 20 sont collectées et sont ntégrées dans le calcul du captal opératonnel. Les pertes ndrectes telles que les modfcatons apportées à un processus ou ajout de contrôles post événementels, les coûts d opportunté et les manques à gagner sont donc exclus. Une perte agrégée S sur une pérode de temps est mesurée de la façon suvante : S = N L = 1 où N est un nombre aléatore représentant la fréquence des pertes ayant leu pendant une pérode. Comme nous l avons ndqué dans les hypothèses, nous supposons l ndépendance entre la dstrbuton de L (dstrbuton de sévérté) et celle de N (dstrbuton de fréquence). 20 Une perte est drecte dans la mesure où elle n aurat jamas été constatée s l événement opératonnel ne s état pas matéralsé. Les pertes drectes ncluent : les radatons, le pertes de recours, les pertes réglementares, les pertes légales et les resttutons. 98

113 Le modèle LDA consste donc à estmer la dstrbuton de sévérté, celle des fréquences et à détermner un certan quantle de la dstrbuton des S (dstrbuton agrégée). La perte agrégée par pérode est obtenue sot par la transformaton de Fourer telle que proposée par Klugman et al. (2004) sot par smulaton Monte Carlo ou par approxmaton analytque. Dans cette étude, la dstrbuton agrégée est générée par smulaton Monte Carlo comme nous allons le montrer plus lon dans ce chaptre. Dans ce qu sut, nous allons estmer chacune des dstrbutons de sévérté et de fréquence et détermner la VaR opératonnel Estmaton de la dstrbuton de sévérté La premère étape de l'mplantaton de la méthode LDA pour le calcul du captal consste à chercher les dstrbutons paramétrques qu s'ajustent le meux aux données hstorques des montants de pertes. L'estmaton sans bas des paramètres de ces dstrbutons va nfluencer énormément les résultats du captal opératonnel. Nous allons, dans cette secton, explorer pluseurs méthodes d estmaton de la dstrbuton de telle sorte que nous arrvons à un melleur ajustement de l ensemble des données hstorques. La méthode, en fat, dffère selon la nature des données et leurs caractérstques. Nous procédons au préalable à l estmaton de la dstrbuton à partr de l ensemble des données de pertes. Cependant, s les tests d ajustement que nous mettons en place, rejettent ces dstrbutons, nous devrons donc adopter une autre méthode. En effet, l est possble dans ce cas de découper la dstrbuton, surtout s la talle de l échantllon nous le permet, et d ajuster par conséquent une dstrbuton à chaque parte de la dstrbuton emprque. Outre le comportement des pertes et le nombre de données qu entrent en consdératon dans le chox de la méthode d ajustement des dstrbutons de sévérté, le seul de collecte des données s'avère d'une grande mportance. En effet, en rsque opératonnel, la plupart des nsttutons fnancères ont chos un nveau de pertes à partr duquel les pertes opératonnelles vont être collectées. Ce nveau vare d'une banque à une autre, la plupart des banques canadennes l'ont fxé à $ alors 99

114 qu'l exste dans l'ndustre des seuls mons élevés (1 000 $) ou plus grands ( $). Le fat d'avor des données tronquées change la méthode usuelle d'estmaton des paramètres. Il faut donc tenr compte de ce seul lors de l estmaton des paramètres. Pluseurs méthodes sont proposées dans la lttérature pour l'estmaton des paramètres. Nous ctons le maxmum de vrasemblance et la méthode des moments entre autres. Cependant, cette dernère s'avère plus dffcle dans le cas de données tronquées pusque la détermnaton des moments d'une dstrbuton tronquée est plus complquée que l estmaton des paramètres d une dstrbuton dont les données sont non tronquées. Il est toujours possble cependant d'estmer les paramètres de la dstrbuton des excédents des pertes par rapport au seul de collecte (Dutta et Perry, 2006). Cette façon de fare nous ramène à l'estmaton usuelle des paramètres de la dstrbuton certes, mas elle gnore les pertes nféreures au seul de collecte vu que la dstrbuton n'en tent pas compte. Nous ne pouvons donc générer que les excédents des pertes grâce à la dstrbuton chose. Cette méthode pose un problème de sous estmaton ou sur estmaton du captal surtout s le seul est assez élevé et le volume des pettes pertes est non néglgeable. Une correcton de ce bas est donc nécessare dans le cas d'utlsaton de cette méthode. Nous dentfons dans une premère étape les dstrbutons qu seront testées. Ensute, nous décrvons les dfférentes méthodes d estmaton selon la nature des données. Nous présentons enfn les résultats de l estmaton pour chaque type de rsque, et ce, pour les quatre dstrbutons testées Dstrbutons testées Dans le but d avor un bon ajustement des dstrbutons emprques par des dstrbutons paramétrques, nous testons pluseurs dstrbutons pour pouvor en chosr la melleure. Il ne faut pas se lmter à une seule dstrbuton comme le font la plupart des pratcens dans l'ndustre. Il vaut meux commencer par tester des dstrbutons smples (à un seul paramètre) comme l'exponentelle, des dstrbutons usuelles comme la lognormale ou la Webull (à deux paramètres) et des dstrbutons 100

115 plus complexes, mas plus flexbles comme la GB2 (à quatre paramètres). Nous estmerons les paramètres de ces quatre dstrbutons. Les caractérstques ans que les fonctons de densté et de répartton de ces fonctons ont été déjà présentées au tableau 2-1 du chaptre 2. D autre part, nous proposons la dstrbuton Pareto pour l estmaton des queues, dans des cas partculers. Sa foncton de densté f de paramètre α > 0 est donnée par l expresson suvante : α f ( x, α ) = pour x 1 α + 1 x Sa foncton cumulatve est donnée par : F 1 x ( x, ) = 1 pour x 1 α α Il est à remarquer que la foncton de densté est décrossante pour tout x 1. De plus, elle décroît plus rapdement lorsque α augmente. L utlsaton de cette foncton est approprée pour la modélsaton des dstrbutons asymétrques à queue épasse. D alleurs, la moyenne, la varance et les autres moments ne sont fns que pour des valeurs suffsamment élevées du paramètre de forme α. La Pareto peut être généralsée en ntrodusant un paramètre d échelleβ. Supposons que Z sut une dstrbuton Pareto de paramètre α, la varable aléatore X = βz sut une dstrbuton Pareto de paramètre de forme α et de paramètre d échelleβ. Les fonctons de densté f et de répartton F sont respectvement les suvantes : αβ α x ( x,, β) = pour x β f α + 1 F α β x ( z, α, β) = 1 pour x β Modélsaton de l ensemble des données La modélsaton des montants de pertes dffère selon la nature des données et leurs caractérstques. Nous allons dans une premère étape modélser l ensemble des données de pertes. Cependant, vu que certanes pertes relatves à certans types de α 101

116 rsque sont tronquées alors que d autres ne le sont pas, l est mportant de dstnguer les deux méthodes d estmaton. Nous allons ans présenter d abord la méthode d estmaton des paramètres dans le cas où les données sont complètes. Nous développons ensute la méthode d estmaton dans le cas de données tronquées Cas de données complètes Cette méthode consste à utlser les méthodes usuelles d'estmaton des paramètres telles que la méthode par maxmum de vrasemblance et la méthode des moments. Comme les données sont complètes, l s agt donc de fare une estmaton non condtonnelle des paramètres. Soent : x : les montants de pertes. D : une dstrbuton contnue de sévérté dont les paramètres sont représentés par le vecteur θ. f ( x,θ) : la foncton de densté de la dstrbuton D de paramètres θ. F ( x,θ) : la foncton de répartton de la dstrbuton D de paramètres θ. Pour le maxmum de vrasemblance, l s'agt de trouver les paramètres θ qu maxmsent la foncton de vrasemblance. La soluton optmale θ MLE solutonne : θ MLE = arg max L θ ( x, θ) avec : L n ( x, θ) = Log[ f ( x, θ) ] = 1 (1) Il s agt des types de rsque fraude nterne et fraude externe pour lesquels toutes les données de pertes opératonnelles sont collectées. Les résultats de l estmaton seront présentés seulement pour le type de rsque fraude nterne. Nous n allons pas présenter les résultats de l estmaton des paramètres relatve aux pertes de type fraude externe pusque les tests d ajustement n ont perms de retenr aucune des dstrbutons testées. 102

117 Nous allons donc proposer une autre méthode de modélsaton de ces pertes à la secton Cas de données tronquées Comme nous l'avons décrt précédemment, la collecte des pertes opératonnelles se fat dans la plupart des cas au-dessus d'un certan seul. Pour tenr compte des pertes non collectées, nous procédons à une estmaton des paramètres condtonnelle au fat que nous n observons que les pertes supéreures au seul de collecte. Soent : s : seul de collecte, y : les montants de pertes observés, avec y s, n : le nombre de pertes collectées, D : une dstrbuton contnue de sévérté dont les paramètres sont représentés par le vecteur θ. La foncton de densté de la dstrbuton D condtonnelle au fat que nous n'observons que y excédant le seul s s écrt : f ( y, θ y s) f = 1 ( y, θ) F( s, θ) pour y s La foncton de répartton de la dstrbuton D condtonnelle au fat que nous n'observons que y excédant le seul s est la suvante : F ( y, θ y s) = F ( y, θ) F( s, θ) 1 F( s, θ) pour y s La méthode d'estmaton des paramètres que nous retenons est par optmsaton du maxmum de vrasemblance qu est plus facle à mplanter, dans ce cas, que les autres méthodes, vu que les dstrbutons sont tronquées. La soluton optmale θ MLE solutonne : θ MLE = arg max L θ ( y, θ) 103

118 avec L n ( y, θ) = Log[ f ( y, θ y s) ] = = = 1 n = 1 n = 1 f Log 1 Log ( y, θ) F( s, θ) ( f ( y, θ) ) nlog( 1 F( s, θ) ) (2) Parm les pertes dont nous dsposons dans notre base, nous avons celles relatves aux types de rsque actfs tangbles, corporels et endommagés, emplo, pratques et sécurté envronnementale, geston d exécuton et de la lvrason des processus et clents, produts et pratques commercales qu sont tronquées. Les tests d ajustement que nous avons ms en place ont rejeté l ajustement de toutes les dstrbutons proposées pour les deux derners types de rsque ctés précédemment. Nous n allons pas présenter ces résultats. En revanche, nous allons les modélser par une autre méthode que nous développons à la prochane secton Découpage de la dstrbuton Dans certans cas, les dstrbutons paramétrques testées ne s ajustent pas à l ensemble des données. Cec se présente généralement lorsque les pertes sont très nombreuses ou lorsque leur dstrbuton emprque possède deux sommets, etc. Nous proposons dans ce cas de découper la dstrbuton emprque en partes et de fare l ajustement des dstrbutons par partes. Pluseurs artcles dans la lttérature tratent l'ajustement des queues des dstrbutons avec prncpalement la théore des valeurs extrêmes. Cependant, ajuster seulement la queue de la dstrbuton suppose la néglgence du corps de la dstrbuton. Alors que cec devrat entrer en compte dans le calcul du captal et pourrat avor un mpact non néglgeable. Il n'y a pas un seul et unque découpage d une dstrbuton, l'mportant étant de trouver un bon ajustement. Le découpage devrat aller au par avec l'objectf de l'ajustement. En d'autres termes, s nous fasons l ajustement dans le but d'estmer un 104

119 captal à un nveau de 99.9 %, les queues des dstrbutons vont donc entrer en jeu. La qualté d ajustement est essentelle pour évter une sous ou une sur évaluaton du captal. Ans dans notre cas, l est mportant de ben estmer la queue ou l'ale drote de la dstrbuton des pertes. Une fos la dstrbuton des queues estmée, l y a leu d estmer le corps de la dstrbuton. S nous n arrvons pas à avor un bon ajustement avec les dstrbutons testées, nous allons découper le corps de la dstrbuton en deux ou pluseurs partes. Nous allons dans ce qu sut présenter une méthode d'estmaton de la parte gauche, du centre et de la queue de la dstrbuton. C est le cas des pertes de type clents, produts et pratques commercales, geston d exécuton et de la lvrason des processus et fraude externe où la modélsaton par une seule dstrbuton paramétrque n a pas donné des résultats concluants. Nous recourons par conséquent au découpage de la dstrbuton. Il est à sgnaler qu l est mportant d avor un nombre suffsamment élevé d observatons pour accomplr cette méthode. En effet, nous devons avor assez de données 21 dans chaque parte pour pouvor estmer les paramètres des dstrbutons. Cette condton est ben satsfate pour les types de rsque que nous allons modélser dans cette secton Estmaton de la queue de la dstrbuton : Dans ce qu sut, nous proposons de modélser les queues des dstrbutons emprques. Nous chosssons, au préalable, pluseurs seuls s q de pertes correspondants à dfférents quantles élevés (0,75; 0,8 ; 0,85 ). Ensute, nous estmons le paramètre de la dstrbuton Pareto pour chacun des échantllons de pertes supéreures aux dfférents seuls s q. Enfn, nous retenons le seul pour lequel la Pareto donne un melleur ajustement (la dstrbuton pour laquelle la p-value du test d ajustement est la plus élevée). Cette méthode est semblable à celle développée par Peters et al. (2004). 21 Nous ne nous ntéressons pas dans cette étude à détermner le nombre mnmal d observatons que nous devons avor pour pouvor modélser le paramètre de la dstrbuton. Cec pourrat fare l objet d autres recherches. 105

120 Nous avons chos des quantles élevés afn d avor un ajustement unquement pour la queue. Cependant, l est mportant de garder un nombre suffsant d observatons pour pouvor fare l estmaton. Nous avons jugé qu l faut garder un mnmum de 50 observatons pour l estmaton du seul paramètre de forme α de la lo Pareto pour chacun des types de rsque. Soent : s q : seul de perte correspondant au quantle q, ce seul correspondra au paramètre d échelle de la Pareto généralsée. En effet, nous allons supposer à chaque fos le paramètre d échelle égal au seul s q et nous estmons le seul paramètreα. z : les montants de pertes supéreures au seul s q n q : le nombre d'observatons z dans l échantllon défn par z z s, = 1,2... n ) ( q q P : la dstrbuton Pareto à tester La foncton de densté de la dstrbuton P est donc : αs α avec z sq z q ( z,,sq ) = α 1 f + Pour le maxmum de vrasemblance, l s'agt de trouver le paramètre α qu maxmse la foncton suvante pour les dfférents seuls s q α MLE = arg max α n α q = 1 Log f [ ( x, α s )] q α MLE = n q = 1 n q x Log s q (3) Nous avons donc estmé le paramètre α correspondant à chaque seul s q, et ce, pour chacun des tros types de rsque ctés auparavant. Les tests d ajustement nous permettent de chosr le seul qu permet d avor le melleur ajustement de la queue. 106

121 Estmaton du corps de la dstrbuton : Une fos que nous avons modélsé la queue de la dstrbuton, l faut estmer la dstrbuton qu s ajuste le meux au corps de la dstrbuton. Sachant que ce derner est représenté par toutes ou une parte des pertes au dessous du seul de quantle retenu à la secton précédente, nous allons commencer par dfférentes dstrbutons : exponentelle, lognormale, Webull et GB2 pour l ensemble de l échantllon de pertes. Soent : s q : seul de queue de perte retenu correspondant au quantle q z ' : les montants de pertes nféreures au seul s q n ' : le nombre d'observatons z ', c est le nombre des D : la dstrbuton à tester z ' z' < s, = 1,2... n La foncton de densté f de la dstrbuton D des pertes nféreures au seul de queue retenu est la suvante : f f ( ) ( z', θ) z', θ z' < s q = F( s, La foncton cumulatve F de la dstrbuton D des pertes nféreures au seul de queue q q q retenu est donc : ( θ z' < s ) F z', q = ( z', θ) F F s (, θ) q Pour le maxmum de vrasemblance, l s'agt de trouver les paramètres θ qu maxmsent la foncton suvante : θ MLE avec, après substtuton et réécrture, = arg max L θ ( z', θ) 107

122 L n' ( z', θ) = Log[ f ( z', θ z' < s q )] = = = 1 n' = 1 n' = 1 f Log F s Log ( z', θ) (, θ) ( f ( z', θ) ) n' Log F( s, θ) q ( ) (4) q Cette formule est utlsée également lorsque les données sont censurées, ou nféreures à n mporte quel seul. Toutefos, lorsque les données de pertes sont tronquées comme nous l avons vu précédemment, l faut en tenr compte dans l estmaton du corps de la dstrbuton. Soent : s : seul de collecte s q : seul de queue retenu correspondant au quantle q z '': les montants de pertes nféreures au seul de queue s q et supéreures au seul de collecte s. n '': le nombre d'observatons z '', c est le nombre des D : la dstrbuton à tester z '' s < z'' < s, = 1, q 2... n La foncton de densté de la dstrbuton D des pertes comprses entre le seul s et le seul de queue s q retenu est la suvante : f f ( ) ( z'', θ) z' ', θ s z'' < s q = F( s, θ) F( s, θ) La foncton de répartton de la dstrbuton D des pertes comprses entre le seul s et le seul de queue s q retenu s écrt : F ( ) ( z'', θ) F( s, θ) θ s z'' < sq = F( s, θ) F( s, θ) F z'', Pour le maxmum de vrasemblance, l s'agt de trouver les paramètres θ qu maxmsent la foncton suvante : θ MLE = arg max L θ q q ( z'', θ) q 108

123 où: L n'' ( z'', θ) = Log[ f ( z'', θ s z'' < s q )] = = = 1 n'' = 1 n'' = 1 f Log F s q Log f ( z' ', θ) (, θ) F( s, θ) [ ] (5) [ ( z'', θ) ] n'' Log F( s, θ) F( s, θ) q Cette formule peut être utlsée lorsque les données sont comprses entre deux seuls ou bornes. Pour le type de rsque clents, produts et pratques commercales, nous avons modélsé les pertes comprses entre le seul de collecte et le seul de queue retenu. Les résultats de l estmaton seront présentés à la secton 5.5. Quant aux types de rsque fraude externe et geston d exécuton et de la lvrason des processus, la modélsaton du corps de la dstrbuton avec les dstrbutons paramétrques proposées s est avérée non concluante, pusque les tests d ajustement n ont perms d en retenr aucune 22. Dans ce cas, nous proposons un découpage dfférent de la dstrbuton. Nous ctons l exemple du type de rsque fraude externe où aucune des dstrbutons testées ne s ajustat aux données. Une analyse mnuteuse des pertes de fraudes externes montre effectvement que la dstrbuton emprque des données présente deux sommets, dont le deuxème au nveau de la perte 5000 $. Nous découpons ans la dstrbuton au nveau de ce pont. Nous estmons l ale gauche de la dstrbuton avec la méthode du maxmum de vrasemblance selon l équaton (4). Par alleurs, le centre de la dstrbuton emprque est estmé par une autre dstrbuton paramétrque selon la foncton (5) du maxmum de vrasemblance, vu que les pertes sont comprses entre deux seuls. Quant au type de rsque geston d exécuton et de la lvrason des processus, l estmaton de l ale gauche de la dstrbuton emprque est fate avec la foncton de 22 Nous n avons pas présenté les résultats de cette estmaton, mas ls sont dsponbles à la demande. 109

124 vrasemblance (5) pusque les données sont tronquées au seul de collecte, de même pour le centre de la dstrbuton Tests de bon ajustement Il est possble d estmer n mporte quelle dstrbuton paramétrque de domane de défnton postve. Cependant, seules quelques dstrbutons offrent un bon ajustement. Il est possble d évaluer le degré d ajustement des dstrbutons grâce aux méthodes graphques et aux tests formels. Il exste pluseurs tests formels développés dans la lttérature tels que le test de Kh deux, le test d Anderson Darlng, de Cramérvon-Mses, de Kolmogorov-Smrnov, etc. ans que des tests graphques tels que le graphque des quantles (Q-Q plot), ou le graphque de la foncton cumulatve versus celle emprque. Nous avons tout d abord applqué ces tests graphques pour avor une dée préalable sur le degré d ajustement. Les résultats des tests graphques dovent être confrmés par des tests formels basés sur le calcul d une statstque. Cependant, s les graphques montrent que la dstrbuton emprque est lon d être dérvée de la dstrbuton paramétrque testée, alors l est nvrasemblable que les tests formels donnent des résultats dfférents. Ensute, nous mettons en place les tests Kolmogorov-Smrnov, Anderson Darlng et Cramér-von Mses avec la procédure bootstrap paramétrque tel que défn dans le chaptre 2. Il est à noter que nous devons tenr compte des caractérstques de l échantllon dans l mplantaton du test. En d autres termes, s les données sont tronquées ou comprses entre deux seuls, l faut générer un échantllon respectant la même condton dans la procédure bootstrap paramétrque avant de calculer la statstque Résultats de l estmaton des paramètres Les tests graphques pour chacun des types de rsque montrent en général que seule la dstrbuton GB2 offre un bon ajustement aux données. En effet, les graphques des 110

125 quantles sont non lnéares pour les dstrbutons lognormale, exponentelle et Webull. Ce constat devrat être approuvé par les tests statstques. Le tableau 3-2 présente les résultats de l estmaton des dstrbutons pour les types de rsque fraude nterne, actfs, tangbles, corporels et endommagés et emplo, pratques et sécurté envronnementale. Contrarement aux autres types de rsque dont les pertes sont tronquées, les pertes relatves au type de rsque fraude nterne sont ntégrales. Les résultats de ce type de rsque synthétsés dans le tableau 3-2a montrent que les dstrbutons lognormale et GB2 s ajustent ben aux données de pertes alors que nous rejetons l ajustement des dstrbutons exponentelle et Webull. Cependant, la dstrbuton lognormale a une valeur de p-value plus élevée de celle de la GB2. Nous retenons ans la dstrbuton lognormale comme la dstrbuton de sévérté qu décrt le meux le comportement des fraudes nternes dans la banque étudée. Les tableaux 3-2b et 3-2c présentent les résultats des types de rsque actfs, tangbles, corporels et endommagés et emplo, pratques et sécurté envronnementale. Rappelons que ces pertes sont tronquées au nveau de s. Seules les dstrbutons lognormale et GB2 offrent un bon ajustement aux données de pertes tronquées. Nous n avons pas pu accomplr les tests de Kolmogorov-Smrnov, Anderson Darlng et Cramér-von Mses pour la dstrbuton Webull pour les deux types de rsque. En effet, la modélsaton des pertes en tenant compte de la troncature complque beaucoup l estmaton des dstrbutons et les tests standards ne pourraent être applquées. Pour les types de rsques actfs, tangbles, corporels et endommagés et emplo, pratques et sécurté envronnemental, nous remarquons que les résultats des tests d ajustement sont smlares pour les dstrbutons lognormale et GB2. Nous retenons dans ce qu sut la lognormale vue sa smplcté par rapport à la GB2. Quant aux autres types de rsque, nous procédons au découpage de la dstrbuton emprque vu que la premère méthode n a perms de retenr aucune dstrbuton. De plus, le nombre d observatons est assez élevé pour les tros échantllons, le découpage est donc possble, tel que décrt à la secton précédente. Pour le type de rsque clents, produs et pratques commercales, nous estmons tout d abord la queue de la dstrbuton en testant la dstrbuton Pareto sur pluseurs échantllons de 111

126 queue correspondants à des quantles élevés. Les résultats du tableau 3-3a nous permettent de retenr le seul de $. En d autres termes, les pertes supéreures à ce seul suvent une Pareto de paramètre 1,18. Les pertes au dessous de ce seul ont été modélsées par les quatre dstrbutons ctées à la secton 5.1. Les résultats des tests Kolmogorov-Smrnov, Anderson Darlng et Cramér-von Mses rejettent toutes les dstrbutons excepté la GB2. Nous retenons donc cette dstrbuton pour la modélsaton des pertes stuées au-dessous du seul $. De même pour le type de rsque geston d exécuton et de la lvrason des processus, nous commençons par la modélsaton de la queue. Pluseurs seuls correspondant à dfférents quantles ont été choss. Le melleur ajustement de la Pareto, en se basant sur le test de Kolmogorov-Smrnov, Anderson Darlng et Cramér-von Mses est obtenu pour le seul de $ correspondant au quantle de 96 % (tableau 3-5a). Le paramètre de la Pareto est estmé 1,11. Ensute, nous avons estmé le corps de la dstrbuton avec les dstrbutons proposées. Aucune des dstrbutons ne s ajustat aux données emprques au-dessous du seul de queue. Nous avons par conséquent découpé le corps de la dstrbuton en deux partes qu consttuent l ale gauche et le centre de la dstrbuton. Les résultats du tableau 3-5b, portant sur l estmaton de l ale gauche (données entre s et s ) de la dstrbuton, montrent que seule la GB2 offre un bon ajustement aux données hstorques selon la p-value du test de Kolmogorov-Smrnov. Il est à mentonner que l estmaton des dstrbutons lognormale et Webull ne donnent pas de paramètres cohérents. Les tests de Kolmogorov-Smrnov, Anderson Darlng et Cramér-von Mses n ont pu donc être établ. Quant au centre de la dstrbuton, nous avons modélsé les pertes par les mêmes dstrbutons. Les résultats du test d ajustement montrent que les dstrbutons lognormale et GB2 offrent un bon ajustement. La comparason des p-values des deux dstrbutons favorse le modèle GB2. La même méthode a été applquée pour le type de rsque fraude externe. Pour l estmaton de la queue, nous avons testé pluseurs seuls correspondant à de nombreux quantles (entre 0,85 et 0,997), pusque la talle de l échantllon nous le permet (22 179). Nous avons retenu le seul de $ et le paramètre de la Pareto 112

127 est estmé à 1,33. Nous avons ensute découpé le corps de la dstrbuton emprque pusque l ajustement de l ensemble des données au-dessous du seul de queue n a pas donné de résultats concluants. Nous avons ans estmé l ale gauche de la dstrbuton consttuée par les pertes au-dessous de s. Les résultats présentés dans le tableau 3-6b permettent de retenr unquement la GB2. En effet, les tests Kolmogorov-Smrnov, Anderson Darlng et Cramér-von Mses rejettent l ajustement des autres dstrbutons. Enfn, le centre de la dstrbuton emprque est modélsé également par une dstrbuton GB2. Il est à remarquer que dans aucun cas, les dstrbutons exponentelle et Webull n ont offert un bon ajustement aux données. La dstrbuton GB2 état, dans la plupart des cas, la melleure canddate pour la modélsaton des montants de pertes opératonnelles. Cec confrme notre hypothèse de départ stpulant que la GB2 offre un bon ajustement aux données vu sa grande flexblté. Nous notons, par alleurs, que l estmaton de cette dstrbuton, surtout dans le cas tronqué, est assez ardue Estmaton de la dstrbuton de fréquence L objectf de cette secton est de modélser le nombre de pertes opératonnelles sur une pérode détermnée. En effet, comme nous l avons déjà montré précédemment, la VaR opératonnel dépend de la sévérté des pertes et de leur fréquence. La bonne estmaton de la dstrbuton des fréquences condut à une melleure estmaton du captal opératonnel. La plupart des études précédentes n ont pas donné une grande mportance au chox de la dstrbuton de fréquence, et ce, en prenant la dstrbuton Posson comme étant la bonne canddate sans fare de tests. Force est de constater que le modèle Posson présente la caractérstque de l équdsperson ce qu n est pas le cas dans les données de fréquences opératonnelles. Nous allons dans ce qu sut proposer deux dstrbutons et tester le degré d ajustement de chacune. Comme pour certans types de rsque la collecte de pertes se fat à partr d un certan seul, l y a leu de corrger le bas qu en résulte sur les données de fréquences. 113

128 Dstrbutons testées Nous proposons les dstrbutons Posson et bnomale négatve pour estmer le nombre de pertes opératonnelles. Pluseurs études ont déjà modélsé les fréquences des pertes opératonnelles avec la Posson alors que peu de recherches l ont fat avec le modèle bnomal négatf. Sot Y une varable aléatore postve dscrète : Y ~ Posson( λ) alors P( Y = y ) λ e λ = y! Y ~ Bnomale négatve( α,β) alors P( Y = y ) Estmaton des paramètres y Γ = Γ ( α + y ) ( α) y! 1 β + β y 1 1+ β Nous estmons les paramètres de chacune des deux dstrbutons par maxmum de vrasemblance, et ce, pour chacun des sx types de rsque. Comme nous l avons déjà sgnalé, nous modélsons les fréquences par jour et les fréquences par semane afn de corrger un éventuel bas de collecte. Rappelons que pour certans types de rsque (actfs tangbles, corporels et endommagés, emplo, pratques et sécurté envronnementale, clents, produts et pratques commercales et geston d exécuton et de la lvrason des processus), les pertes ne sont collectées qu à partr d un certan seul. Nous avons tenu compte de ce seul de troncature lors de l estmaton de la dstrbuton de sévérté. Il faut fare de même pour la modélsaton des fréquences. Il est à précser qu l ne s agt pas de dstrbutons de fréquences tronquées. En effet, nous dsposons du nombre de pertes supéreures au seul de collecte. Il faut donc corrger les paramètres estmés pour tenr compte du nombre des pertes au-dessous du seul de troncature. α 114

129 Correcton des paramètres Pour la dstrbuton Posson, la correcton du paramètre λ a été déjà proposée par Frachot et al. (2003); et ce, pour tenr compte du nombre de pertes opératonnelles non collectées. Nous explorons le cas où le paramètre λ est aléatore. Soent : y obs : le nombre de pertes collectées, y réel : le nombre de pertes réelles, X : montant des pertes, s : seul de collecte, F : foncton cumulatve de la dstrbuton de sévérté, avec : F F () s = Pr[ X s] () s = 1 F() s Supposons que la dstrbuton de fréquence de toutes les pertes est Posson de paramètre aléatore λ réel. Nous allons dans ce qu sut détermner la dstrbuton des fréquences observées. La probablté d observer pertes opératonnelles dont le montant est supéreur à s est : 115

130 P ( y = ) = E P[ y = k et nombre ( X s) = ] obs = E = E = = k= j= 0 k= k= k=! F = E = E e P e réel [ y = k] F() s F() s k! réel ( k ) k réel () s F() s j () F() s λréel + j E( e λ ) λréel () s e F() s! estmé réel F s!j! λ λ k! F! λ λ estmé! λ k k F réel j= 0 k () s F() s e E réel j j! λ λ réel j réel k k λ k! k réel avec j = k - avec j= 0 j j () λ λ F( s) F s j! réel = e réel où λ = () s. estmé λf Pour le cas partculer où λ est non aléatore, nous trouvons que la dstrbuton des fréquences des pertes au-dessus du seul est une Posson de paramètre λ pouvons donc estmer λ estmé par la sute le vra paramètre estmé. Nous à partr des données de fréquence observées et détermner λ réel de la dstrbuton, tel que : λ estmé λ réel = (6) F () s Cette équaton sert à corrger le paramètre estmé λ de pertes au-dessous du seul de collecte. estmé pour tenr compte du nombre Dans le cas où λ Γ( α, β) ~ qu correspond au cas 1 où Y ~ bnomale négatve α,, les paramètres estmés, à partr des données 1 + β ( ) observées, est λ ~ Γ α, βf( s) estmé. Le nombre de pertes collectées sut donc une 116

131 1 dstrbuton bnomale négatve de paramètres () α,. Ans, une fos les 1+ βf s paramètres du modèle bnomal négatf estmés, nous corrgeons ces paramètres pour tenr compte des fréquences non observées des pertes au-dessous du seul de collecte. Les paramètres réels ( ) α réel,δ réel 23 sont donc : α δ réel réel = α estmé δ = 1 δ estmé F estmé () s F() s (7) Tests de bon ajustement Il est mportant à ce stade de tester le degré d ajustement des dstrbutons estmées, pour les dfférentes pérodes choses (jour et semane) et pour chacun des types de rsque. Comme nous sommes en présence de données dscrètes, l nous est mpossble d applquer les mêmes tests utlsés auparavant pour tester les dstrbutons de sévérté. Nous mettons donc en place un test χ 2 avec bootstrap paramétrque, de la même façon que le test de Kolmogorov-Smrnov est construt. Ce test exge que les données soent groupées en classes ou groupes. La statstque du test est calculée comme sut (Klugman, Panjer et Wllmot, 1998) : avec : Q = k ( n j E j ) n j : le nombre d observatons dans le groupe j, avec j=1, k, = 1 E E j : le nombre d observatons espéré dans chaque groupe étant donné que le modèle est correct et les paramètres ont leurs valeurs estmées. Il est calculé : où n est la talle de l échantllon. ème ( X j groupe; θ) E = n Pr ˆ j pour j=1 k j 2 23 Le paramètre δ est défn tel que 1 δ = 1 + β 117

132 Cette statstque est comparée à une valeur crtque tabulée. En effet, s Q excède χ 2 d, α (où d=k-r-1 est le nombre de degrés de lberté et α est le seul de sgnfcatvté) alors l hypothèse nulle est rejetée. Cependant pour des résultats plus fables du test, nous proposons la méthode avec bootstrap paramétrque pour le calcul de la p-value du test. Cette méthode, contrarement au test classque, consste à calculer une p-value et les valeurs crtques par smulaton Monte Carlo. La valeur de la p-value nous permet de décder s nous rejetons ou non l hypothèse nulle stpulant le bon ajustement de la dstrbuton aux données. Ans, les valeurs crtques vont être calculées à partr d échantllons générés. Il s agt d applquer donc l algorthme suvant pour le calcul de la p-value : 9- Construre les groupes (se référer à Klugman et al., 1998). 10- Calculer le nombre de pertes n j dans chaque groupe. 11- Calculer E j ( θˆ ) pour chaque groupe, où θˆ sont les paramètres estmés de la dstrbuton à tester (Posson ou bnomale négatve). 12- Calculer la statstque Q 0, telle que défne précédemment. 13- Générer, à partr des paramètres estmés de la dstrbuton à tester, des fréquences de pertes de même échantllon que notre échantllon de départ. 14- À partr de l échantllon généré, estmer les paramètres ~ θ de la même dstrbuton avec la méthode du maxmum de vrasemblance. ~ E j θ et la statstque Q. 15- Calculer n j, ( ) 16- Comparer les statstques Q 0 et Q. S Q 0 < Q alors un compteur h s ncrémente de Répéter les étapes 5 à 8 un grand nombre de fos N (ex. N=10 000). h 18- Calculer la p-value comme étant pv =. N 19- Rejeter l hypothèse nulle, s la p-value (pv) est plus pette que le nveau de confance (5 %). 118

133 D autre part, nous pouvons applquer le test de rato de vrasemblance. Ce test permet de comparer les résultats des deux modèles (Posson versus bnomal négatf). Il nous permet également de valder le résultat trouvé précédemment avec la p-value du test de 2 χ. Le rato de vrasemblance est : LR=-2*(LL Posson LL Bn Neg ) avec : LL : la valeur du log de vrasemblance du modèle. 2 La valeur du rato est comparée à χ ( 5%,1) =3,8414. Ans, nous rejetons l hypothèse nulle stpulant que le coeffcent de sur dsperson est nul lorsque le rato de 2 vrasemblance excède la statstque de ( 5%,1) χ Résultat de l estmaton des paramètres Le tableau 3-6 présente les résultats de l estmaton des dstrbutons Posson et bnomale négatve pour chacun des sx types de rsque. Il est à remarquer que dans 2 tous les cas, la dstrbuton Posson est rejetée par le test χ. Cec confrme nos attentes pusque les données présentent une surdsperson qu l faut modélser par une autre dstrbuton. Ce constat met en cause toutes les études sur le calcul du captal opératonnel qu se basent sur le modèle Posson pour l estmaton des fréquences des pertes. La dstrbuton bnomale négatve offre un bon ajustement aux nombres de pertes par jour ou par semane. Concernant la pérode de fréquence, nous remarquons que pour les types de rsque de fraude externe, fraude nterne et geston d exécuton et de la lvrason des processus (tableaux 3-6a, 3-6b, 3-6f) la modélsaton est melleure en chosssant les fréquences par semane. Cec est conforme à notre analyse de départ montrant un bas potentel dans la comptablsaton de certanes pertes. Pour les autres types de rsque, nous retenons les fréquences par jour en nous basant sur les valeurs des p-values du test de 2 χ (tableaux 3-6c, 3-6d, 3-6e). 119

134 2 D'autre part, le test du rato de vrasemblance est supéreur à ( 5%,1) χ dans tous les cas. Ce résultat montre que nous rejetons l hypothèse nulle stpulant que le coeffcent de surdsperson est nul. Ans, ce constat confrme les résultats trouvés précédemment affrmant le rejet du modèle Posson. Nous retenons ans le modèle bnomal négatf comme le modèle qu s ajuste le meux aux données de fréquences. Nous avons procédé également à la correcton des paramètres pour prendre en consdératon le nombre de pertes au-dessous du seul, et ce, pour tous les types de rsque excepté pour fraude externe et fraude nterne. Il est à mentonner que nous avons fxé F(s) d une façon exogène en nous basant sur l expertse et le jugement des drgeants de la banque étudée Calcul de la VaR opératonnel par type de rsque Agrégaton des dstrbutons avec les données nternes Nous rappelons que notre objectf est d estmer la valeur à rsque annuelle à un nveau de confance de 99,9 % tel que recommandé par les autortés réglementares. Nous avons détermné précédemment la dstrbuton qu modélse la sévérté des pertes opératonnelles par événement, et ce, pour chacun des types de rsque. Dans un deuxème temps, nous avons détermné la dstrbuton qu s ajuste le meux aux données de fréquences. Il y a leu, à ce stade d analyse, d agréger les deux dstrbutons pour détermner la dstrbuton agrégée des pertes annuelles. Pluseurs méthodes d agrégaton, que nous avons déjà décrtes auparavant, exstent dans la lttérature. Nous chosssons la méthode de smulaton Monte Carlo pour dérver la dstrbuton non paramétrque des pertes annuelles. Cette méthode n est pas la plus rapde mas elle a l avantage d être assez précse. La méthode a déjà été détallée par Cruz (2002) dans le contexte du rsque opératonnel. En effet, l s agt de : 1. Générer un nombre n de pertes par jour ou par semane selon la dstrbuton de fréquence estmée; 120

135 2. Générer n montants de pertes X selon la dstrbuton de sévérté estmée, et ce, par jour ou par semane; 3. Répéter les étapes 1 et 2 pour N=365 (pertes par jour) ou N=52 (pertes par semane). Fare la sommaton de tous les montants X générés pour avor le montant de perte annuelle; 4. Répéter les étapes 1, 2 et 3 un grand nombre de fos ( par exemple) pour avor la dstrbuton des pertes annuelles; 5. La VaR est détermnée comme étant le quantle d ordre 99,9 % de la dstrbuton agrégée emprque. La VaR est en effet défne comme étant : où : 1 F agrégé VaR = F 1 agrégé ( 0,999) est la dstrbuton cumulatve agrégée nverse Comparason de notre modèle avec le modèle standard Nous défnssons le modèle standard comme étant le modèle smple répandu dans la lttérature et obtenu à partr de la dstrbuton lognormale et la dstrbuton Posson. De plus aucune prse en consdératon des pertes manquantes n est fate. En fat, nous avons chos ce modèle, car l est fréquemment utlsé en pratque et ayant fat l objet de pluseurs recherches. Nous allons donc tester le degré de robustesse de ce modèle en le comparant au modèle que nous avons développé. Nous nous attendons à ce que la mauvase spécfcaton des dstrbutons ans que le non ajustement des dstrbutons à l ensemble des données font baser le calcul du captal requs. Nous avons chos unquement tros types de rsque pour mener cette analyse à savor fraude nterne, emplo, pratques et sécurté envronnementale et fraude externe. Ces types de rsque vont nous permettre de fare des comparasons entre notre modèle et le modèle standard. Nous présentons dans le tableau 3-7a les résultats de l estmaton non condtonnelle de la dstrbuton lognormale. De plus, nous présentons les résultats de la modélsaton du nombre de pertes par semane par la dstrbuton Posson. Aucun test d ajustement n est fat pusqu l s agt du modèle standard. 121

136 Le tableau 3-7b présente les pourcentages de varaton des résultats de la perte annuelle moyenne ans que la VaR (nveaux de confance à 90; 95; 99 et 99,9%) du modèle standard par rapport au modèle développé lors de cette étude. Nous remarquons que les résultats sont très dfférents dans la plupart des cas. Le modèle standard sous estme énormément la moyenne annuelle des pertes et la VaR. Pour le type de rsque fraude nterne, les données ne sont pas tronquées et la dstrbuton de sévérté est la même dans les deux modèles. Ans, l écart dans les résultats des deux modèles mesure l mpact de la mauvase spécfcaton de la dstrbuton de fréquence, pour ce type de rsque. Les pertes annuelles moyennes sont presque égales alors qu un écart allant jusqu à 2% a été constaté entre les VaR des deux modèles. Pour le type de rsque emplo, pratques et sécurté envronnementale, les données sont tronquées et la dstrbuton de sévérté est la même dans les deux modèles. Ans, l écart dans les résultats des deux modèles mesure l mpact de la mauvase spécfcaton de la dstrbuton de fréquence et la non consdératon du seul de troncature, pour ce type de rsque. Ans, la sous-estmaton de la perte annuelle moyenne (-5%) et de la VaR (-27%) montre l mportance de ben chosr la dstrbuton de fréquence et de consdérer les données au dessous du seul. Quant au type de rsque fraude externe, les dstrbutons de sévérté et de fréquences ne sont pas les mêmes dans les deux modèles. Les résultats vont donc mesurer l mpact du mauvas chox des dstrbutons sur la moyenne annuelle des pertes et sur la VaR. En effet, la VaR à 99,9% calculée avec le modèle standard est sous-estmée de (82%) par rapport à celle calculée avec notre modèle. Cec confrme donc nos attentes. Il est mportant de ben chosr les dstrbutons qu s ajustent aux données de pertes pour avor un nveau de captal reflétant la vrae exposton au rsque opératonnel d une banque. De plus, nous remarquons que la sous estmaton est plus mportante lorsque le seul de confance de la VaR est élevé. En effet, pour le type de rsque fraude externe, la dfférence entre les moyennes des pertes annuelles des deux modèles est mnme, 122

137 alors qu elle est de l ordre de 6% entre les VaR à 90% et attent 82% entre les VaR à 99.9%. Cec montre donc que le modèle standard sous estme l épasseur de la queue de la dstrbuton agrégée. Ans, cette analyse montre que la mauvase spécfcaton des dstrbutons de sévérté et de fréquence entraîne des bas mportants dans le calcul du captal. La VaR calculée avec le modèle standard ne reflète aucunement l exposton réelle de la banque. De plus, la non consdératon des pertes non collectées condut à une estmaton ncorrecte et basée du captal. Notre méthode est donc une bonne alternatve au modèle standard pusqu elle permet de ben décrre les queues des dstrbutons de sévérté sans gnorer le corps Combnason des données nternes et données externes Le contexte actuel du rsque opératonnel mpose l utlsaton des données externes pour le calcul de la valeur à rsque. En effet, les pertes collectées ne reflètent pas l exposton réelle de la banque pusque certanes pertes peu fréquentes, mas potentellement lourdes ne sont pas nécessarement captées dans la base de données nterne. Elles peuvent, par contre, nfluencer beaucoup le captal rsque opératonnel. Ce constat est prncpalement explqué du fat que l hstorque des pertes est court et la collecte n est pas encore exhaustve. Tous ces facteurs sont en faveur de la combnason des pertes nternes et externes. Comme nous l avons ben explqué au chaptre 1, nous devons procéder à une mse à l échelle des pertes externes avant leur utlsaton. Nous avons détermné les pertes externes mses à l échelle de la banque canadenne étudée ans que la dstrbuton qu modélse leur sévérté dans le chaptre 2. En effet nous avons montré que le melleur modèle décrvant le comportement de ces pertes est le GB2 fractonné. D autre part, nous avons montré dans le premer chaptre comment l est possble de détermner les paramètres de la dstrbuton de fréquences qu permettent la mse à l échelle et l ajustement des données. Nous allons ans retenr le modèle bnomal négatf avec composante de régresson. Ce modèle présente une caractérstque avantageuse à savor : 123

138 Théorème (Larsen et Marx, 2001) S ~ X bnomale négatve (,p) négatve n r, p = 1. r ndépendants pour =1,2,, n, alors X ~ bnomale Il en découle de ce théorème que s les fréquences des pertes de plus d un mllon de dollars sont ndépendantes et dentquement dstrbuées selon un modèle bnomal négatf, alors les paramètres de la dstrbuton bnomale négatve annuelle sont n = 1,p 11 r avec (,p ) les paramètres de la bnomale négatve détermnés dans le premer chaptre pour la modélsaton du nombre de pertes sur un horzon de 11 années. Connassant la dstrbuton de sévérté et de fréquence, nous allons les agréger de la même façon que nous avons fat pour les données nternes. Nous avons ms en place l algorthme suvant qu permet d agréger les données nternes et externes dans le but de détermner la dstrbuton emprque des pertes annuelles et d en calculer le 99,9 ème centle. Comme nous désrons calculer la VaR par type de rsque, nous répétons donc cet algorthme pour chacun d eux. 1. Générer un nombre n de pertes par jour ou par semane selon la dstrbuton de fréquence des données nternes; 2. Générer n montants de pertes X (=1 n) selon la dstrbuton de sévérté estmée des données nternes, et ce, par jour ou par semane. Nous contragnons les pertes générées d être au-dessous de l équvalent d un mllon de dollars amércans; 3. Répéter les étapes 1 et 2 pour N=365 (pertes par jour) ou N=52 (pertes par semane). Fare la sommaton de tous les montants X générés pour avor S 1 la parte de la perte annuelle provenant des montants de mons de 1M $US; 4. Générer un nombre n * de pertes par année selon la dstrbuton Posson modélsant les données externes; 5. Générer n * montants de pertes X * (=1 n * ) selon la dstrbuton de sévérté des données externes. Nous contragnons les pertes générées d être au-dessus de l équvalent d un mllon de dollars amércans. La somme des montants r 124

139 générés donne S 2 la parte de la perte annuelle provenant des montants de plus de 1M $US; 6. La perte annuelle totale S est égale à S 1 + S 2 ; 7. Répéter les étapes 1 à 6 un grand nombre de fos ( par exemple) pour avor la dstrbuton des pertes annuelles; 8. La VaR est calculée en prenant le 99.9 ème centle de la dstrbuton emprque des pertes annuelles Détermnaton de la VaR Le tableau 3-8 présente les résultats des pertes annuelles moyennes et la VaR calculées à des nveaux de confance de 95%, 99% et 99,9%. Ces résultats tennent compte des pertes nternes collectées au sen de la banque ans que les pertes externes mses à l échelle de l nsttuton fnancère à l étude. Dans le but de conserver la confdentalté des nformatons de la banque étudée, les résultats sont présentés comme un pourcentage du total des actfs de la banque étudée à l année Nous présentons les résultats par type de rsque et nous montrons que le type de rsque clents, produts et pratques commercales présente la valeur à rsque opératonnel la plus mportante. Ce constat confrme le résultat trouvé par Dutta et Perry (2006) lors d une étude basée sur des données de 7 banques. Les types de rsque fraude externe et geston d exécuton et de la lvrason des processus vennent respectvement en deuxème et trosème poston en terme d ampleur de la VaR. Le type de rsque qu présente le mons de rsque est actfs tangbles, corporels et endommagés. Il est à remarquer que ce classement des types de rsque n est pas respecté lorsque nous observons les valeurs des pertes annuelles moyennes. Nous avons également construt un autre modèle en fasant l ajustement et la mse à l échelle des fréquences des pertes externes avec le modèle Posson. De la même manère que nous avons généré des fréquences de pertes externes avec le modèle bnomal négatf, nous allons le fare avec la dstrbuton Posson. Cette dernère présente une proprété avantageuse comme c est le cas de la bnomale négatve. En effet, lorsque les nombres annuels de pertes de plus de 1 mllon $ sont ndépendants 125

140 λ et suvent la même lo Posson alors son paramètre annuel est égal à, avec λ le 11 paramètre détermné dans le premer chaptre pour la modélsaton du nombre de pertes sur un horzon de 11 années. Nous mesurons ans la varaton de la perte annuelle moyenne et la VaR entre les deux modèles. Nous nous attendons à ce que le modèle construt à partr de la dstrbuton Posson pour la mse à l échelle sous estme la VaR à un nveau de confance élevé car le modèle bnomal négatf présente une varance plus mportante. En effet, la probablté de générer des fréquences élevées avec la dstrbuton bnomale négatve est plus mportante qu avec le modèle Posson. Le tableau 3-9 présente les résultats de la comparason des deux modèles. Ces résultats sont conformes à nos attentes. En effet, nous remarquons que la dfférence entre les pertes moyennes annuelles est fable comparatvement aux VaR, cec s explque prncpalement par le fat que les deux dstrbutons ont des moyennes égales. Toutefos, les VaR aux nveaux de 90% et 95% sont plus élevées lorsqu elles sont calculées avec le modèle construt avec la dstrbuton Posson. En effet, comme la Posson est caractérsée par l équdsperson alors les fréquences sont générées autour de la moyenne, contrarement à la dstrbuton bnomale négatve. Les fréquences générées avec cette dernère sont effectvement plus dspersées ce qu explque les valeurs plus élevées des VaR au nveau de confance de 99,9% Impact de la combnason des données nternes et externes sur les résultats Nous consdérons tros types de rsque à savor actfs tangbles, corporels et endommagés, emplo, pratques et envronnement de traval et fraude nterne pour mettre en relef l mpact de l ntégraton des données externes dans le calcul de la VaR. Nous avons chos ces types de rsque parce que nous n avons pas de pertes extrêmes de plus d un mllon de dollars de ces types dans la base nterne. Ans, une comparason entre les VaR calculées avec seulement les données nternes et celles 126

141 calculées à partr de la combnason des données nternes et externes nous montrera l mportance des données externes pour compléter les queues des dstrbutons. Nous calculons la perte annuelle moyenne ans que la VaR à dfférents quantles à partr d un premer échantllon consttué de données de pertes nternes seulement alors que le deuxème échantllon fat ntégrer les données de pertes externes, et ce, pour les tros types de rsque ctés précédemment. Les résultats présentés au tableau 3-10 montrent que la VaR est largement sous estmée lorsque nous nous basons seulement sur les données nternes. La sous estmaton attent 99% pour le type de rsque fraude nterne (VaR à 99,9%). En effet, les pertes relées à ce type de rsque peuvent être trop élevées telles que les pertes subes à Alled Irsh Bank et Barngs sute à des transactons non autorsées. Rappelons que l hstorque des pertes pour ces tros types de rsque ne content pas d événements extrêmes. L ncluson d événements de plus d un mllon de dollars pouvant être subs permettra de meux décrre les queues des dstrbutons agrégées et reflétera ans le nveau des pertes non antcpées Concluson La méthode LDA vse à dentfer les rsques opératonnels et à modélser la dstrbuton des pertes de la banque. Le but est de mesurer l exgence de fonds propres pour la couverture des pertes opératonnelles. Le régulateur, dans un souc d assurer la stablté et la sécurté du système fnancer, ncte les grandes banques à opter progressvement pour l approche AMA. L objectf de ce chaptre état de mettre en place une méthode robuste de mesure de captal opératonnel. Nous avons rems en queston certanes pratques assez fréquentes à savor : - l utlsaton des dstrbutons lognormale et Posson sans s assurer de leur bon ajustement aux données. - la non consdératon des pertes au-dessous du seul de collecte. - la non ncluson des pertes externes dans le calcul de la VaR 127

142 Nous avons donc présenté une méthode qu consste à ben chosr la dstrbuton de sévérté en s assurant de tenr compte des pertes non collectées. Les résultats ont montré que dans la majorté des cas la dstrbuton GB2 s ajuste ben à l ensemble des données ou au corps des dstrbutons emprques. Ans, la GB2 s avère une bonne canddate à prendre en consdératon lors de la détermnaton de la dstrbuton de sévérté des pertes opératonnelles. Après avor été applquée récemment dans pluseurs domanes de la fnance, ce chaptre met en valeur son applcaton pertnente dans la modélsaton du rsque opératonnel. Quant aux queues des dstrbutons, nous avons chos la dstrbuton Pareto. De plus, nous avons testé les dstrbutons Posson et bnomale négatve pour modélser les fréquences des pertes. Nous avons montré que dans aucun cas le modèle Posson n est retenu, contrarement au modèle bnomal négatf. Afn de prendre en consdératon le nombre de pertes au-dessous du seul de collecte, une correcton des paramètres estmés a été fate. Dans le but de montrer la robustesse de notre modèle, nous l avons comparé au modèle standard construt à partr des dstrbutons les plus utlsées (lognormale et Posson) tout en gnorant le seul de troncature. Les résultats ont montré que le modèle standard sous-estme énormément la valeur à rsque opératonnel. D autre part, nous avons ms en place un algorthme afn de combner les pertes nternes et externes mses à l échelle de la banque canadenne étudée. Les résultats de la VaR reflètent meux la réalté pusque les données nternes n ncluent pas des pertes à ampleur très élevée. D alleurs, une analyse de l mpact de l ntégraton des données externes sur la VaR a révélé que cette dernère est largement sous estmée lorsque les calculs sont basés unquement sur les données nternes. D où l mportance de la combnason des données nternes et externes dans le calcul de la perte non antcpée d une banque. 128

143 Tableau 3-1 : Statstques descrptves Nous présentons des statstques descrptves des montants et les fréquences des pertes opératonnelles d une banque canadenne sur la pérode de 1/11/2001 jusqu au 31/10/2004 Tableau 3-1a : Ce tableau présente les statstques descrptves des montants de pertes par événement et par type de rsque sur une pérode de tros ans. ATCE * CPPC * EPSE * FE * FI * GELP * Moyenne $ $ $ 2 049$ $ 7 479$ Médane 7 728$ 3 169$ $ 677$ 2 975$ 2 000$ Écart-type $ $ $ $ $ $ Coeffcent 9,25 47, 66 12, ,29 78,57 341,00 d aplatssement Coeffcent 2,80 6,25 3,22 46,12 8,80 15,94 d asymétre Maxmum $ $ $ $ $ $ Nombre d observatons * ATCE :Actfs tangbles Corporels endommagés / CPPC : Clents, produts et pratques commercales / EPSE : Emplo, pratques et sécurté envronnementale / FE : Fraude externe / FI : Fraude nterne / GELP : Geston d exécuton et lvrason des processus. Tableau 3-1b : Ce tableau présente les statstques descrptves des fréquences des pertes par jour et par type de rsque sur une pérode de tros ans. ATCE * CPPC * EPSE * FE * FI * GELP * Moyenne 0,0484 0,4644 0, ,2354 0,0739 1,4115 Médane Mode Varance 0,0643 1,0617 0, ,7491 0,1069 9,3693 Mnmum Maxmum * ATCE :Actfs tangbles Corporels endommagés / CPPC : Clents, produts et pratques commercales / EPSE : Emplo, pratques et sécurté envronnementale / FE : Fraude externe / FI : Fraude nterne / GELP : Geston d exécuton et lvrason des processus. 129

144 Tableau 3-1c : Ce tableau présente les fréquences moyennes par type de rsque selon le jour de la semane. ATCE * CPPC * EPSE * FE * FI * GELP * Lund 0,06 0,56 0,15 25,20 0,13 1,68 Mard 0,11 0,52 0,12 28,49 0,08 1,79 Mercred 0,03 0,63 0,08 29,19 0,10 1,64 Jeud 0,04 0,72 0,14 28,44 0,10 1,82 Vendred 0,07 0,72 0,09 26,41 0,10 2,56 Samed 0,01 0,03 0,04 2,62 0,00 0,20 Dmanche 0,02 0,06 0,01 1,43 0,00 0,20 * ATCE :Actfs tangbles Corporels endommagés / CPPC : Clents, produts et pratques commercales / EPSE : Emplo, pratques et sécurté envronnementale / FE : Fraude externe / FI : Fraude nterne / GELP : Geston d exécuton et lvrason des processus. Tableau 3-1d : Ce tableau présente les statstques descrptves sur les fréquences des pertes par semane et par type de rsque sur une pérode de tros ans. ATCE * CPPC * EPSE * FE * FI * GELP * Moyenne 0,3376 3,2420 0, ,2611 0,5159 9,8535 Médane Mode Varance 0, ,3513 0, ,7070 0, ,8566 Mnmum Maxmum * ATCE :Actfs tangbles Corporels endommagés / CPPC : Clents, produts et pratques commercales / EPSE : Emplo, pratques et sécurté envronnementale / FE : Fraude externe / FI : Fraude nterne / GELP : Geston d exécuton et lvrason des processus. 130

145 Tableau 3-2 : Estmaton des dstrbutons de sévérté pour les types de rsque FI, ATCE, EPSE. Tableau 3-2a : Résultats de l estmaton des 4 dstrbutons paramétrques testées pour le type de rsque fraude nterne. La premère lgne présente les paramètres estmés, ensute nous présentons les valeurs du log de vrasemblance. La dernère lgne présente les p-values des tests Kolmogorov- Smrnov avec bootstrap paramétrque. Nous dsposons de 84 observatons non tronquées. Exponentelle Lognormale Webull GB2 6308,72 0,59 Paramètres 13881,70 8,03 1,36 1, ,21 2,35 1 Log de -853,60-790,48-808, ,48 vrasemblance p-value KS 0 0,37 0 0,25 p-value AD 0 0,44 0 0,27 p-value CvM 0 0,54 0 0,30 Tableau 3-2b : Résultats de l estmaton des dstrbutons paramétrques pour le type de rsque actfs tangbles, corporels et endommagés. La premère lgne présente les paramètres estmés, ensute nous présentons les valeurs du log de vrasemblance. La dernère lgne présente les p-values des tests Kolmogorov-Smrnov avec bootstrap paramétrque. Nous dsposons de 53 observatons de plus de s. Exponentelle Lognormale Webull GB2 8316,94 0,52 Paramètres 19797,22 8,75 1,59 0,04 113,55 446,36 373,93 Log de -577,34-569,18-568,21-569,20 vrasemblance p-value KS 0 0,46 NaN 0,46 p-value AD 0 0,22 NaN 0,25 p-value CvM 0 0,29 NaN 0,31 Tableau 3-2c : Résultats de l estmaton des dstrbutons paramétrques pour le type de rsque emplo, pratques et sécurté envronnementale. La premère lgne présente les paramètres estmés, ensute nous présentons les valeurs du log de vrasemblance. La dernère lgne présente les p-values des tests Kolmogorov-Smrnov avec bootstrap paramétrque. Nous dsposons de 97 observatons de plus de s. Exponentelle Lognormale Webull GB ,52 0,57 Paramètres 33220,14 9,40 1,48 0,05 7,56 418,31 285,33 Log de -1106, , , ,64 vrasemblance p-value KS 0 0,69 NaN 0,69 p-value AD 0 0,51 NaN 0,37 p-value CvM 0 0,45 NaN 0,48 131

146 Tableau 3-3: Estmaton des dstrbutons de sévérté pour le type de rsque CPPC Tableau 3-3a : Estmaton de la queue de la dstrbuton pour le type de rsque clents, produts et pratques commercales. Nous prenons dfférents quantles de la dstrbuton emprque (premère colonne) dont les seuls correspondants ans que la talle de l échantllon sont ndqués respectvement dans la deuxème et la trosème colonne. Ensute, nous estmons le paramètre de la dstrbuton Pareto pour chacun des échantllons selon la formule 3. La dernère colonne du tableau donne la p-value du test du Kolmogorov-Smrnov avec bootstrap paramétrque. La lgne en gras et talque représente le quantle, le seul et le nombre d observatons correspondants ans que le paramètre de la Pareto. Nous avons chos cet échantllon parce qu l nous donne la p-value du test d ajustement la plus élevée. Quantles Seuls Talle de Pareto l échantllon Coeffcent p-value KS p-value AD p-value CvM 0, $ 179 0, , $ 153 0, , $ 128 0, , $ 102 0, , $ 77 1,010 0,11 0,05 0,04 0, $ 51 1,1810 0,37 0,14 0,14 Tableau 3-3b : Résultats de l estmaton du corps de la dstrbuton pour le type de rsque clents, produts et pratques commercales. Il s agt de pertes entre s et $. L échantllon comprend 461 observatons. L estmaton des paramètres pour chacune des dstrbutons est fate avec la méthode du maxmum de vrasemblance selon la formule 5. Exponentelle Lognormale Webull GB2 Paramètres 6615,32-70,05 11, ,11 4,52 1,3 x ,65 1 0,13 Log de -4486, , , ,50 vrasemblance p-value KS 0 0 NaN 0,05 p-value AD 0 0 NaN 0,24 p-value CvM 0 0 NaN 0,01 132

147 Tableau 3-4 : Estmaton des dstrbutons de sévérté pour le type de rsque GELP Tableau 3-4a : Estmaton de la queue de la dstrbuton pour le type de rsque geston d exécuton et de la lvrason des processus. Nous prenons dfférents quantles de la dstrbuton emprque (premère colonne) dont les seuls correspondants ans que la talle de l échantllon sont ndqués respectvement dans la deuxème et la trosème colonne. Ensute, nous estmons le paramètre de la dstrbuton Pareto pour chacun des échantllons selon la formule 3. La dernère colonne du tableau donne la p-value du test du Kolmogorov-Smrnov avec bootstrap paramétrque. La lgne en gras et talque représente le quantle, le seul et le nombre d observatons correspondants ans que le paramètre de la Pareto. Nous avons chos cet échantllon parce qu l nous donne la p-value du test d ajustement la plus élevée. Quantles Seuls Talle de Pareto l échantllon Coeffcent p-value KS p-value AD p-value CvM 0, $ 387 0,9916 0,37 0 0,19 0, $ 309 1,0243 0,37 0,6 0,46 0, $ 233 1,0537 0,55 0,4 0,48 0, $ 155 1,0168 0,06 0,14 0,09 0, $ 78 1,1901 0,48 0,09 0,14 0, $ 62 1,1065 0,74 0,21 0,49 Tableau 3-4b : Résultats de l estmaton de l ale gauche de la dstrbuton pour le type de rsque geston d exécuton et de la lvrason des processus. Il s agt des pertes entre s et s. L échantllon comprend 800 observatons. L estmaton des paramètres pour chacune des dstrbutons est fate avec la méthode du maxmum de vrasemblance selon la formule 5. Exponentelle Lognormale Webull GB2 Paramètres 801,62-46,11 7, ,54 3,47 x ,50 301,38 4,53 0,06 Log de -5469, , , ,70 vrasemblance p-value KS 0 NaN NaN 0,08 p-value AD 0 NaN NaN 0,24 p-value CvM 0 NaN NaN 0,01 133

148 Tableau 3-4c : Résultats de l estmaton du corps de la dstrbuton pour le type de rsque geston d exécuton et de la lvrason des processus. Il s agt de pertes entre s et $. L échantllon comprend 685 observatons. L estmaton des paramètres pour chacune des dstrbutons est fate avec la méthode du maxmum de vrasemblance selon la formule 5. Exponentelle Lognormale Webull GB2 Paramètres 4226,01 1,26 3, ,5 1 4,25 x ,18 87,50 0,95 Log de -6388, , , ,99 vrasemblance p-value KS 0 0,27 NaN 0,38 p-value AD 0 NaN 0,38 p-value CvM 0 NaN 0,49 134

149 Tableau 3-5 : Estmaton des dstrbutons de sévérté pour le type de rsque FE Tableau 3-5a : Estmaton de la queue de la dstrbuton pour le type de rsque fraude externe. Nous prenons dfférents quantles de la dstrbuton emprque (premère colonne) dont les seuls correspondants ans que la talle de l échantllon sont ndqués respectvement dans la deuxème et la trosème colonne. Ensute, nous estmons le paramètre de la dstrbuton Pareto pour chacun des échantllons selon la formule 3. La dernère colonne du tableau donne la p-value du test du Kolmogorov-Smrnov avec bootstrap paramétrque. La lgne en gras et talque représente le quantle, le seul et le nombre d observatons correspondants ans que le paramètre de la Pareto. Nous avons chos cet échantllon parce qu l nous donne la p-value du test d ajustement la plus élevée. Quantles Seuls Talle de Pareto l échantllon Coeffcent p-value KS p-value AD p-value CvM 0, $ ,4705 0, , $ , , $ ,4310 0,002 0,10 0 0, $ 888 1, ,03 0 0, $ 665 1, , $ 444 1,2711 0, , $ 222 1, , $ 196 1, ,01 0, $ 178 1,2349 0, ,04 0, $ 156 1,1114 0,14 0,14 0,14 0, $ 134 1,1450 0,159 0,27 0,17 0, $ 111 1,1550 0,107 0,13 0,10 0, $ 89 1,3298 0,57 0 0,34 0, $ 67 1,3017 0,567 0,07 0,23 0, $ 45 1,1665 0,500 0,84 0,73 Tableau 3-5b : Résultats de l estmaton de l ale gauche de la dstrbuton pour le type de rsque fraude externe. Il s agt de pertes nféreures à 5 000$. L échantllon comprend observatons. L estmaton des paramètres pour chacune des dstrbutons est fate avec la méthode du maxmum de vrasemblance selon la formule5. Exponentelle Lognormale Webull GB2 1078,48 0,82 Paramètres 1082,66 6,84 1,88 0, ,58 1,45 8,80 Log de , , , ,43 vrasemblance p-value KS 0 0 NaN 0,56 p-value AD 0 0 NaN 0,18 p-value CvM 0 0 NaN 0,61 135

150 Tableau 3-5c : Résultats de l estmaton du corps de la dstrbuton pour le type de rsque fraude externe. Il s agt de pertes entre 5 000$ et $. L échantllon comprend 1364 observatons. L estmaton des paramètres pour chacune des dstrbutons est fate avec la méthode du maxmum de vrasemblance selon la formule 4 Exponentelle Lognormale Webull GB2 Paramètres 4634,40-20,16 4, ,58 6,73 2,98 x ,68 24,69 0,25 Log de , , , ,74 vrasemblance p-value KS 0 NaN NaN 0,18 p-value AD 0 NaN NaN 0,03 p-value CvM 0 NaN NaN 0,11 136

151 Tableau 3-6 : Estmaton des dstrbutons de fréquences par type de rsque Nous présentons les paramètres estmés par maxmum de vrasemblance pour chacun des types de 2 rsque, ans que la valeur de la foncton du log de vrasemblance et la p-value du test χ. Nous présentons pour les quatre derners types de rsque la valeur des paramètres corrgés afn de tenr compte de la troncature des données. Tableau 3-6a : Estmaton de la dstrbuton de fréquence pour le type de rsque fraude nterne Fréquences par jour Fréquences par semane Posson Bnomale négatve Posson Bnomale négatve Paramètres 0,0739 0,1810 0,7100 0,5159 1,0034 0,6604 Log de -304, , , ,6294 vrasemblance Rato de 33, ,2376 vrasemblance 2 p-value (test χ ) 0 0,177 0,013 0,846 Tableau 3-6b : Estmaton de la dstrbuton de fréquence pour le type de rsque fraude externe Fréquences par jour Fréquences par semane Posson Bnomale négatve Posson Bnomale négatve Paramètres 20,2350 0,7760 0, ,2611 8,7775 0,0585 Log de , , , ,9793 vrasemblance Rato de 14813, ,7987 vrasemblance 2 p-value (test χ ) ,269 Tableau 3-6c : Estmaton de la dstrbuton de fréquence pour le type de rsque actfs tangbles, corporels et endommagés Fréquences par jour Fréquences par semane Posson Bnomale négatve Posson Bnomale négatve Paramètres 0,0484 0,1280 0,3376 1,1366 0,7260 Paramètres corrgés 0,0569 0,1280 0,6925 0,7710 0,3972 1,1366 0,7411 Log de -220, , , ,6158 vrasemblance Rato de 22,5492 4,3341 vrasemblance 2 p-value (test χ ) 0,001 0,589 0,06 0,

152 Tableau 3-6d : Estmaton de la dstrbuton de fréquence pour le type de rsque emplo, pratques et sécurté envronnementale Fréquences par jour Fréquences par semane Posson Bnomale Posson Bnomale négatve Paramètres 0,0885 0,2304 0,7225 Paramètres corrgés 0,0983 0,2304 0,7009 Log de vrasemblance Rato de vrasemblance p-value (test 2 négatve 0,6170 1,6894 0,7322 0,6856 1,6894 0, , , , , ,3825 7,4622 χ ) 0 0,459 0,026 0,416 Tableau 3-6e : Estmaton de la dstrbuton de fréquence pour le type de rsque clents, produts et pratques commercales Fréquences par jour Fréquences par semane Posson Bnomale négatve Posson Bnomale négatve Paramètres 0,4644 0,4282 3,2420 1,5917 0,4797 Paramètres corrgés 0,5464 0,4282 0,4394 0,3293 3,8141 1,5917 0,2944 Log de -1114, , , ,0661 vrasemblance Rato de 260, ,6224 vrasemblance 2 p-value (test χ ) 0 0, ,166 Tableau 3-6f : Estmaton de la dstrbuton de fréquence pour le type de rsque geston d exécuton et de la lvrason des processus Fréquences par jour Fréquences par semane Posson Bnomale négatve Posson Bnomale négatve Paramètres 1,4115 0,6131 9,8535 2,0069 0,3028 Paramètres corrgés 2,3525 0,6131 0,2067 0, ,4225 2,0069 0,1089 Log de -2363, , , ,3689 vrasemblance Rato de 1180, ,9626 vrasemblance 2 p-value (test χ ) 0 0, ,

153 Tableau 3-7 : Comparason entre notre modèle et le modèle standard. Nous présentons le modèle standard pour lequel les modèles de sévérté et de fréquence sont prs par hypothèse comme étant lognormal et Posson, respectvement. De plus aucune consdératon des pertes au-dessous du seul de collecte n est fate. Les résultats sont présentés pour les types de rsque actfs tangbles, corporels et endommagés, emplo, pratques et sécurté envronnementale et fraude nterne. Tableau 3-7a : Nous présentons les paramètres estmés par maxmum de vrasemblance de la dstrbuton lognormale et la dstrbuton Posson; et ce, pour les types de rsque actfs tangbles, corporels et endommagés, emplo, pratques et sécurté envronnementale et fraude nterne. Types de rsque Lognormale Posson FI * 8,03 1,36 EPSE * 9,55 1,35 FE * 6,41 1,60 * FI : Fraude nterne / EPSE : Emplo, pratques et sécurté envronnementale / FE : Fraude externe 0,52 0,62 141,26 Tableau 3-7b : Nous comparons les pertes annuelles moyennes ans que les VaR annuelles, aux nveaux de confance de 90; 95; 99 et 99,9%, calculées à partr du modèle standard et celu que nous avons ms en place dans ce chaptre, sans les données externes; et ce, pour les types de rsque fraude nterne, emplo, pratques et sécurté envronnementale et fraude externe. Nous présentons la varaton en pourcentage des résultats du modèle standard par rapport à ceux de notre modèle. Types de rsque Varaton des pertes /an Varaton du modèle standard par rapport à notre modèle (%) Varaton des VaR annuelles à 90% Varaton des VaR annuelles à 95% Varaton des VaR annuelles à 99% Varaton des VaR annuelles à 99.9% FI * -0,06-2,06-2,18-1,68-1,34 EPSE * -4,67-9,40-11,89-17,07-27,32 FE * 0,95-5,62-13,50-40,28-81,59 * FI : Fraude nterne / EPSE : Emplo, pratques et sécurté envronnementale / FE : Fraude externe 139

154 Tableau 3-8 : La VaR opératonnel par type de rsque Nous présentons les résultats de l estmaton des pertes annuelles moyennes et les valeurs à rsque annuelles aux nveaux de confance de 90%, 95%, 99% et 99,9%, et ce par type de rsque. Ces résultats résultent de la combnason des données nternes et des données externes mses à l échelle. Les résultats sont présentés comme un pourcentage du total des actfs de la banque étudée, à l année Types de rsque Perte annuelle moyenne (%) VaR annuelle à 90% (%) VaR annuelle à 95% (%) VaR annuelle à 99% (%) VaR annuelle à 99.9% (%) ATCE * 0,0005 0,0007 0,0009 0,0015 0,0331 CPPC * 0,0079 0,0064 0,0076 0,1123 0,3887 EPSE * 0,0016 0,0021 0,0024 0,0038 0,0774 FE * 0,0178 0,0182 0,0191 0,0727 0,2159 FI * 0,0005 0,0004 0,0005 0,0023 0,0760 GELP * 0,0064 0,0058 0,0066 0,0753 0,2614 * ATCE :Actfs tangbles Corporels endommagés / CPPC : Clents, produts et pratques commercales / EPSE : Emplo, pratques et sécurté envronnementale / FE : Fraude externe / FI : Fraude nterne / GELP : Geston d exécuton et lvrason des processus 140

155 Tableau 3-9 : Comparason entre la VaR opératonnel par type de rsque calculée avec le modèle Posson et celle calculée avec le modèle bnomal négatf Nous comparons dans ce tableau la perte annuelle moyenne et les VaR à pluseurs nveaux de confance calculées en utlsant le modèle Posson pour l ajustement et la mse à l échelle des fréquences des pertes externes avec celles calculées en utlsant le modèle bnomal négatf pour l ajustement et la mse à l échelle des fréquences des pertes externes. Nous présentons les varatons des statstques calculées avec le modèle Posson par rapport à celles calculées avec la dstrbuton bnomale négatve. Types de rsque Perte annuelle moyenne (%) VaR annuelle à 90% (%) VaR annuelle à 95% (%) VaR annuelle à 99% (%) VaR annuelle à 99.9% (%) ATCE * 0,23 0,08 0,16 0,56-1,72 CPPC * -2,95 20,27 327,43-34,31-70,19 EPSE * -1,68 0,78 1,25 4,81-11,92 FE * -3,67 1,58 3,75 20,18-11,51 FI * -0,52 1,71 3,22-6,14-47,88 GELP * -1,99 9,75 22,65-17,53-58,99 * ATCE :Actfs tangbles Corporels endommagés / CPPC : Clents, produts et pratques commercales / EPSE : Emplo, pratques et sécurté envronnementale / FE : Fraude externe / FI : Fraude nterne / GELP : Geston d exécuton et lvrason des processus 141

156 Tableau 3-10 : Impact de l ntégraton des données de pertes externes sur la VaR Nous présentons les résultats de la comparason entre les pertes annuelles moyennes et les valeurs à rsque annuelles aux nveaux de confance de 90%, 95%, 99% et 99,9%, calculées à partr des données nternes et celles calculées à partr des données de pertes nternes et externes. Types de rsque Varaton du modèle avec données nternes par rapport au modèle avec données nternes et externes (%) Perte annuelle moyenne (%) VaR annuelle à 90% (%) VaR annuelle à 95% (%) VaR annuelle à 99% (%) VaR annuelle à 99.9% (%) ATCE * -11,83% 1,46% 3,11% 15,24% -88,73% EPSE * -18,42% 0,67% 3,68% -1,08% -91,26% FI * -57,30% -5,31% -8,98% -72,29% -98,63% * ATCE :Actfs tangbles Corporels endommagés / EPSE : Emplo, pratques et sécurté envronnementale / FI : Fraude nterne. 142

157 CONCLUSION GÉNÉRALE La geston du rsque opératonnel consttue une des préoccupatons majeures des drgeants des nsttutons bancares pendant ces dernères années. En effet, pluseurs champs de sa geston sont encore à explorer et à découvrr alors que les autortés réglementares mettent de la presson pour une quantfcaton rgoureuse du captal rsque opératonnel. Dans cette thèse, nous avons répondu à pluseurs questons relées à la mesure de la perte non antcpée. Cette recherche sera effectvement d une grande utlté aux nsttutons bancares qu désrent adopter une approche avancée de mesure de captal, pusqu elle fournt tous les outls pour le calcul d une mesure précse de la valeur à rsque. Son applcaton emprque pour le cas d une banque canadenne montre quels sont les défs à relever lors de son mplantaton. L objectf de cette thèse état ans la quantfcaton du rsque opératonnel des nsttutons bancares. Nous avons développé une méthode robuste pour mesurer la valeur à rsque opératonnel qu reflétera l exposton réelle au rsque d une banque. D alleurs, nous avons combné des données de pertes nternes et externes de plus d un mllon de dollars afn de prendre en consdératon les pertes extrêmes qu ne sont pas nécessarement contenues dans la base nterne, et ce, dans le but d évter une sous estmaton du captal rsque opératonnel. Dans une premère parte, nous avons corrgé le bas d échelle dû à l utlsaton des données externes de pertes opératonnelles dans la mesure du captal avec une méthode avancée. Nous avons développé un modèle permettant de mettre les montants de pertes observées dans le secteur bancare à l échelle d une banque donnée. Nous avons montré que la talle, le leu, la lgne d affares où la perte a eu leu ans que le type de rsque sont des facteurs mportants à prendre en consdératon dans le modèle de mse à l échelle de la sévérté. Nous avons prouvé également que l effet de la talle est peu mportant comparatvement aux autres facteurs de la mse à échelle. Notre modèle vent donc amélorer les modèles exstants dans la lttérature qu se basent unquement sur la talle. Par alleurs, nous avons valdé notre méthode en prenant le cas de la banque Merrll Lynch et nous avons constaté que les 143

158 statstques des pertes observées de cette banque sont sensblement proches de celles trouvées après mse à échelle. Par alleurs, nous avons ms en place un modèle de mse à l échelle des fréquences de pertes externes de plus d un mllon de dollars, et ce, dans le but de détermner le nombre de pertes extrêmes mses à l échelle qu une banque pourrat avor. Nous avons consdéré des modèles de comptage tronqués avec composante de régresson dont les varables sont la talle et la répartton géographque des actvtés d une banque. Les résultats ont montré que le modèle bnomal négatf domne le Posson. Il sera donc retenu pour fare l ajustement et la mse à l échelle des fréquences des pertes externes. Il est à mentonner que nous avons supposé que nous dsposons de tous les événements de pertes de plus d un mllon de dollars des banques ctées dans la base externe. Ce qu n est pas nécessarement le cas vu que seules les pertes qu ont été médatsées et publées sont rapportées dans la base. Il serat ans ntéressant de vor s les prncpaux résultats de cette étude changent lorsqu une base plus fable serat dsponble sur le marché. Nous notons également que nous n avons pas nclus des varables estmant la qualté de l envronnement de contrôle des banques dans le modèle de mse à l échelle de la sévérté. Cette varable est très mportante certes, mas aucune nformaton caractérsant le nveau de contrôle n est ncluse dans la base externe. La seconde parte consttue une exploraton des méthodes d ajustement des dstrbutons paramétrques aux montants de pertes mses à l échelle d une banque canadenne. Nous avons effectvement testé des dstrbutons usuelles à savor la lognormale, l exponentelle et la Webull et une dstrbuton à quatre paramètres la GB2. D autre part, en valdant l exstence d une symétre pondérée dans les données de pertes, nous avons construt un modèle GB2 fractonné. Les résultats ont montré que ce derner offre un excellent ajustement aux données de montants de pertes. Un tel modèle permet ans de ben décrre le comportement des pertes opératonnelles et 144

159 d avor plus de précson et de rgueur à la mesure de la VaR que nous explorons dans la dernère parte. Il serat ntéressant de tester le degré d ajustement de ce modèle aux données nternes d une banque. Toutefos, la grande partcularté des données nternes c est qu elles ne sont collectées qu à partr d un certan seul de matéralté. La modélsaton des données tronquées avec ce modèle pourrat être une extenson ntéressante. La dernère parte de cette thèse porte sur le développement d une valeur à rsque opératonnel en nous basant sur la méthodologe actuarelle. Nous avons effectvement estmé les dstrbutons de sévérté et de fréquence, tout en chosssant la dstrbuton qu offre le melleur ajustement. Nous avons également consdéré les montants des pertes au-dessous du seul de collecte ans que leur fréquence, et ce, pour une mesure plus correcte, non basée de la VaR. D alleurs, nous avons comparé notre modèle à un modèle standard, construt à partr des dstrbutons fortement utlsées en pratque (lognormale et Posson) et sans tenr compte du seul de troncature. Les résultats ont été conformes à nos attentes pusque le modèle standard sous estme énormément la VaR opératonnel. Par alleurs, nous avons proposé un algorthme permettant la combnason des données de pertes nternes et externes. De plus, Nous avons analysé l mpact de l ntégraton des données externes sur la VaR. Les résultats ont effectvement montré l mportance de l utlsaton des données externes afn d évter une sous estmaton substantelle de la perte non antcpée. Ans, ce modèle, tel que développé et applqué sur des données réelles d une banque canadenne, peut être mplanté à n mporte quelle nsttuton fnancère. Cependant, l est à sgnaler qu l est nécessare d avor un nombre suffsant de données pour la modélsaton paramétrque des dstrbutons. Nous avons fxé ce nombre d une façon arbtrare pusqu l ne fat pas l objet de la thèse. Une étude statstque permettant la détermnaton du nombre mnmal requs pour la modélsaton des dstrbutons permettrat donc de justfer notre chox. 145

160 Nous rappelons que nous avons fat le calcul de la perte non antcpée pour seulement sx types de rsque. Pour le septème type de rsque perturbaton des affares et défallances des systèmes, le nombre d observatons est lmté, ne nous permettant pas d estmer la perte avec la méthode LDA. Nous pensons ans que d autres méthodes basées sur des facteurs qualtatfs peuvent être applquées telle que l analyse de scénaros (Scandzzo, 2006). Il serat donc ntéressant de vor comment cette méthode pourrat être mplantée en pratque. De plus, l serat également ntéressant de calculer le captal agrégé de toute la banque. La prse en consdératon de la dépendance entre les types de rsque permet de trouver la valeur exacte du captal agrégé. L utlsaton de la théore des copules peut être utlsée à cette fn et peut donc consttuer une avenue de recherche ntéressante (Frachot, Roncall et Salomon, 2004 et Chavez-Demouln, Embrechts et Nešlehová, 2006). Par alleurs, l étude de cas fate dans le trosème chaptre peut fare l objet d un busness case. En effet, s nous dsposons du captal rsque opératonnel alloué à tous les types de rsque ncluant le type de rsque perturbaton des affares et défallances des systèmes, l sera possble de calculer le captal agrégé au nveau de la banque en utlsant la théore des copules. Nous pouvons, par conséquent, comparer le captal trouvé avec la méthode avancée par rapport au captal calculé avec la méthode standardsée ou de base. Il est attendu que le captal estmé avec la méthode avancée sot mons élevé que celu trouvé avec les autres méthodes, et ce, lorsque la vrae dépendance entre les types de rsque, est ben évaluée. 146

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