BTS GPN 2EME ANNEE-MATHEMATIQUES-MATHS FINANCIERES MATHEMATIQUES FINANCIERES

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1 MATHEMATIQUES FINANCIERES I. Concepts généraux. Le référentel précse : Cette parte du module M4 «Acquérr des outls mathématques de base nécessares à l'analyse de données économques» est en relaton avec le module M55 «Démarche de projet d'aménagement et de valorsaton des espaces naturels» pour les objectfs 3 (étude des fasabltés économques) et 4 (évaluer le projet et les actons condutes). Objectf 3. : séres chronologques : chronques, coeffcent de varaton sasonnère. Objectf 3.2 : Mathématques fnancères : sutes géométrques (mse en œuvre des prncpaux résultats), actualsaton d'un captal, taux actuarel, calcul d'annutés. 2. L'essentel à savor : A) Calculatrce scentfque. C'est l 'équpement mnmum pour fare des exercces du nveau BTSA. On dot : savor utlser la touche x y pour calculer les pussances, même avec y fractonnare ou négatf. Exemple : Détermner tel que ( + )4 =,08 On a + = 4,08 + =,08 4 =,08 4 0,094 savor utlser les touches ln et exp ou e x Exemple : détermner n tel que,06 n =2,26 On applque la foncton «logarthme népéren» aux deux membres de l'équaton, ce qu donne ln (,06n ) = ln ( 2,26) ; par proprété de calcul du logarthme, on obtent n ln (,06) = ln (2,26) ln (2,26) 4 Donc n = ln (,06) B) Calculatrce fnancère Vous pouvez trouver des fonctons fnancères dans les calculatrces scentfques récentes. CASIO : MENU GENERAL...TVM TI :...2nde... x.calc ou VARIABLES C'est dans la mesure où la pratque de la calculatrce nous permettra de gagner du temps ou de l'effcacté que nous l'utlserons. On peut trater l'ensemble des Maths-F du programme sans les fonctons fnancères de la calculatrce. Vous devez être capable de maîtrser, par exemple, la constructon d'un tableau d'amortssement et ne pas seulement recoper des résultats de calculatrce. /57

2 II. Le calcul fnancer en ntérêt smple. On défnt l'ntérêt comme la rémunératon qu'un emprunteur verse au prêteur en contreparte de la mse à dsposton d'une somme d'argent appelé captal ou prncpal. Cette contreparte couvre le manque de lqudté du prêteur durant la durée du prêt, couvre auss une parte du rsque d'nsolvablté du débteur, etc... Il est calculé en applquant de façon plus ou mons drecte un taux d'ntérêt (exprmé en pourcentage) au captal. Le calcul en ntérêt smple régt majortarement les opératons d'une durée nféreure à un an (qualfées d'opératons à court terme) pour lesquelles l'ntérêt est versé en une seule fos au début (ntérêt précompté) ou à la fn (ntérêt postcompté) de l'opératon. Les applcatons prncpales se trouvent dans le domane bancare : calcul d'agos ou ntérêts débteurs sur compte courant placement en compte à terme d'une durée de quelques jours à un an escompte d'effets commercaux(trates,bllet à ordre,..) dans celu des marchés de captaux (ttres de créances négocables TCN : ttres de crédt éms par les entreprses, les établssements de crédt ou l'etat qu sont en général souscrts par les organsmes fnancers : les certfcats de dépôt (CD) éms par les établssements de crédt. Les bllets de trésorere (BT) éms par les entreprses ndustrelles et commercales. Les bons à moyen terme négocables (BMTN), éms par toute personne morale habltée à émettre des TCN ; leur échéance est supéreure à un an. Les bons du Trésor négocables (BTN) sont éms par l'etat : on dstngue depus le 0/0/999 : les Bons du Trésor à taux fxe et ntérêt précompté dont la durée de ve est égale à 3, 26 ou 52 semanes. Les Bons du Trésor annuels normalsés (BTAN) également à taux fxe et d'une durée à l'émsson comprse entre deux et cnq ans 2. Placement à ntérêt smple (sutes arthmétques) A) Il exste deux grandes catégores d'opératons à ntérêt smple : lorsque l'ntérêt est versé en fn d'opératon, l est dt postcompté, on parle également d'opératon à terme échu ou d'opératon à taux postcompté. Lorsque l'ntérêt est versé en début d'opératon, l est dt précompté, on parle également d'opératon à ntérêt payé d'avance, d'opératon à terme à échor ou d'opératon à taux précompté. B) L'ntérêt postcompté : l'ntérêt est payé par l'emprunteur au terme du contrat Les calculs de base : la durée et l'ntérêt Que l'ntérêt sot postcompté ou précompté, le calcul de la durée et de l'ntérêt sont dentques. Exemple : L'entreprse GASLIN emprunte la somme de C 0 = entre le 22 mars et le 30 avrl de l'année 203. Le taux d'ntérêt applqué à cette opératon est =5 % exprmé en base annuelle. Le taux d'ntérêt est donc =0,05 La durée de l'opératon est de 39 jours (on ne compte pas le premer jour, ce qu donne 9 jours plens en mars et 30 jours plens en avrl sot 39 jours) donc T = 39 Montant de l'ntérêt : I =C 0 T donc 39 I = ,05 54, L'entreprse GASLIN remboursera n fne la somme de 0054,67 à son créancer. 2/57

3 . Valeur acquse par un captal On appelle valeur acquse (ou valeur future) en date n, notée C n d'un captal ntal noté C 0 au taux la valeur obtenue à l'ssue du placement au taux sur la durée n, sot : C n = C 0 (+ n ) Démonstraton ntérêt annuel Captal ntal C 0 Captal acqus au terme de année : C 0 +C 0 = C 0 ( + ) Captal acqus au terme de 2 années : C 0 +C 0 + C 0 = C 0 ( +2 ) = C 0 ( +2 ) Par tératon, on obtent : Captal acqus au bout de n années : C 0 +C o +C C 0 =C 0 ( +n ) Exemple : Monseur Ratbert place pour neuf mos un montant de à ntérêt smple au taux annuel de 5 %. Calculer la valeur acquse par ce placement à l'échéance : C 0 = 2500 =0,05 n= 9 Attenton, le taux est annuel, l faut donc calculer la durée du placement en fracton d'année. 2 9 = 93,75 2 Valeur acquse par ce placement au terme des neuf mos : 2593,75. I =C 0 n ce qu donne I = ,05 2. Valeur actuelle d'un captal La valeur actuelle d'un captal peut s'nterpréter comme comme la somme qu'l faut placer au temps 0 pour obtenr le captal C n au bout de la durée n Comben dot-on placer aujourd'hu pour obtenr un captal C n au terme des n pérodes. C0 = Cn + n 3/57

4 Exemple : Quelle est la somme que peut emprunter Mr Ratbert aujourd'hu, au taux annuel de 7 %, s'l ne peut rembourser que dans mos? Il s'agt de calculer la valeur actuelle d'un captal qu aurat pour valeur acquse au terme de mos de placement : C n =5600 =0,07 n= On obtent : 2 C0 = , ,33 En fat, s Mr Ratbert avat placé 5262,33 l obtendrat 5600 au terme des mos de placement. C) L'ntérêt précompté : l'ntérêt est payé par l'emprunteur au début du contrat. Appelons le taux de l'ntérêt précompté. L'emprunteur pae l'ntérêt au moment de la mse à dsposton du captal (en fat, l emprunte un captal C mas l reçot une somme nféreure à C, C dmnué de l'ntérêt précompté.). Il reçot donc en date 0 le captal égal à C C n = C ( n) Il reçot donc C ( n) au départ de l'emprunt et rembourse C au terme.. Valeur acquse par un captal à ntérêt précompté Notons plus précsément C 0 le captal effectvement dsponble pour l'emprunteur en date 0 et C le captal remboursé au prêteur en fn d'opératon. Par une démonstraton smlare au cas de l'ntérêt postcompté, on montre que que la valeur acquse est C= C0 n 2. Valeur actuelle d'un captal à ntérêt précompté C 0 = C ( n ) 4/57

5 Exemple : consdérons une opératon d'emprunt d'un montant de , au taux d'ntérêt précompté de 6%, débutant le 8/03/203 pour se termner le 25//203. Quelle est la somme mse effectvement à dsposton de l'emprunteur le 8/03/203? Calcul de la durée (on exclut toujours une des deux bornes, le premer ou le derner jour) Mars : Avrl : Ma : Jun : Jullet : Août : Septembre : Octobre : Novembre : Total de jours : (on a donc exclus le 8/03) taux d'ntérêt annuel : =0,06 Intérêt à payer : , = On en dédut la valeur actuelle de l'emprunt : = L'emprunteur recevra dans ce cas la somme de le 8/03/203 L'emprunteur remboursera la somme de le 25//203. 5/57

6 CORRIGE de l'échelle d'ntérêt et tcket d'agos Consdérons l'entreprse MELCHTHAL, dont le compte bancare est tenu en euros. Les ntérêts du découvert sont facturés au TBB (Taux de Base Bancare) + 2%. La CPFD (Commsson sur le Plus Fort Découvert de chaque mos) est de 0,05 % et la commsson de mouvement de 0,025 %. Le TBB est à 8 %. Le tableau c-après présente, dans ses premères colonnes, l'évoluton des mouvements de ce compte sur les tros premers mos de l'année 203. Les deux dernères colonnes sont réservées au calcul des nombres débteurs (produt du solde débteur par le nombre de jours de découvert à ce solde). Le calcul des ntérêts s'obtent en applquant un taux proportonnel journaler à la somme des nombres débteurs. Compléter le tableau c-dessous Mouvements Date de valeur Débt Crédt Soldes Débteur 0/0/203 Nombres Crédteur Nombre de jours Nombres débteurs /0/ /0/ /0/ (*) /02/ /02/ (*) /02/ /03/ /03/ /03/ /03/ /03/ TOTAL (*) a) Explcatons pour remplr le tableau : le solde état crédteur au 0/0/203 de Le compte passe en découvert le 07/0 sute à de mouvements au débt et de mouvements au crédt. Le solde est donc : = Le solde à nouveau est donc débteur de Les autres soldes sont calculés selon cette méthode. La colonne «Nombre de jours» est calculée en ncluant le premer jour et en excluant le derner. Le produt du nombre de jours par le solde débteur donne le nombre débteur pour la pérode de découvert consdérée. En fat, on consdère que tout se passe comme s le compte avat présenté un solde débteur de durant une journée. b)calcul du tcket d'agos. Conformément à la conventon de compte passée entre la banque et l'entreprse, les ntérêts débteurs correspondent au total des nombres débteurs, sot multplé par le taux d'ntérêt applcable sot TBB+2% ce qu donne un taux d'ntérêt de 8%+2%=0% sot =0, (multplé par = jour) : , =203, /57

7 2. La commsson de mouvement s'applque unquement au total des mouvements débteurs, sot ,025 =288, Cette commsson est assujette à la TVA à 9,6 %, ce qu donne : 288,25 9,6 =56, La CPFD porte sur le plus fort découvert de chaque mos ( pour le mos de janver, pour le mos de févrer et pour le mos de mars) ce qu donne : ( ) 0,05 =63,00 00 Montant total du tcket d'agos : 203,06+288,25+56,50+63,00= 70,8 7/57

8 CALCUL D'UN TICKET D'AGIOS BANCAIRES Consdérons l'entreprse MELCHTHAL, dont le compte bancare est tenu en euros. Les ntérêts du découvert sont facturés au TBB (Taux de Base Bancare) + 2%. La CPFD (Commsson sur le Plus Fort Découvert de chaque mos) est de 0,05 % et la commsson de mouvement de 0,025 %. Le TBB est à 8 %. Le tableau c-après présente, dans ses premères colonnes, l'évoluton des mouvements de ce compte sur les tros premers mos de l'année 203. Les deux dernères colonnes sont réservées au calcul des nombres débteurs (produt du solde débteur par le nombre de jours de découvert à ce solde). Le calcul des ntérêts s'obtent en applquant un taux proportonnel journaler à la somme des nombres débteurs. Compléter le tableau c-dessous Mouvements Date de valeur Débt Crédt Soldes Débteur 0/0/203 Crédteur /0/ /0/ /0/ /02/ /02/ /02/ /03/ /03/ /03/ /03/ /03/ TOTAL Nombres Nombre de jours 6 Nombres débteurs a) Explcatons pour remplr le tableau : le solde état crédteur au 0/0/203 de Le compte passe en découvert le 07/0 sute à de mouvements au débt et de mouvements au crédt. Le solde est donc : = Le solde à nouveau est donc débteur de Les autres soldes seront calculés selon cette méthode. La colonne «Nombre de jours» est calculée en ncluant le premer jour et en excluant le derner. Le produt du nombre de jours par le solde débteur donne le nombre débteur pour la pérode de découvert consdérée. En fat, on consdère que tout se passe comme s le compte avat présenté un solde débteur du total des nombres débteurs durant une journée. Edter le tcket d'agos ntérêts débteurs : CPFD : Commsson de mouvement : TVA (9,60 %) sur la commsson de mouvement : TOTAL du tcket d'agos : 8/57

9 III. Le calcul fnancer à ntérêts composés (sutes géométrques) Dans les opératons à «ntérêts composés», à la dfférence de l'ntérêt smple, la rémunératon du prêteur est versée pérodquement. Elle peut être ncorporée au captal et l'on parle de «captalsaton des ntérêts» C'est le prncpe des placements sur les lvrets bancares les plus connus comme le lvret A, le lvret B, le CODEVI, le LEP, les contrats d'assurance-ve, etc... A) La captalsaton des ntérêts Le calcul à ntérêt composé suppose que sot défne une pérode de captalsaton qu peut être l'année, le mos, la journée,... Une fos la durée défne, l est mportant que le taux d'ntérêt sot exprmé dans la même base (taux en base annuelle pour des pérodes d'un an, taux semestrel sur des pérodes de sx mos, taux trmestrel pour des pérodes de tros mos, etc...). A la fn de chaque pérode, l'ntérêt acqus est addtonné au captal pour produre à son tour des ntérêts. B) La captalsaton en pérodes entères (l dot y avor concordance entre et n Exemple : Sot un captal C 0 placé pendant n années au taux d'ntérêt annuel Captal ntal : C0 Intérêts acqus à la fn de la premère pérode : I =C 0 Captal acqus au terme de la premère pérode : C =C 0 +I =C 0 +C 0 = C 0 (+) Intérêts produts lors de la seconde pérode : C =C 0 (+) Captal acqus au terme de la deuxème pérode : C 2=C 0( +)+C 0 (+) =C 0 (+)(+ )=C 0 (+)2 Intérêts acqus pendant le trosème pérode : 2 I 3 =C 2 =C 0 (+) Captal acqus au terme de la trosème pérode : C 3=C 2 +I 3=C 0 (+)2 +C 0 (+)2 =C 0 (+)3 Par tératons successves, on obtent Captal acqus au terme de n pérodes : C n=c 0 (+) n Au bout de n années, au taux annuel, l'nvestsseur qu a placé un captal ntal C 0 dspose d'un captal C n tel que : C n =C 0 (+)n 9/57

10 . Valeur acquse d'un captal On appelle valeur acquse ou captal acqus (ou encore valeur future) du captal C 0, au taux et à la date n le montant donné par la formule : C n=c 0 (+) n 2. Valeur actuelle (ou valeur actualsée) du captal C n le montant C 0 qu se dédut faclement de la formule précédente : C 0= Cn (+)n n C 0 =C n (+) ou On peut tradure la valeur actuelle comme la soluton du problème suvant : Quel est le captal que je dos placer aujourd'hu pour obtenr au terme de n pérodes le captal souhaté? 3. On appelle ntérêts acqus la dfférence entre la valeur acquse et la valeur actuelle I n=c n C 0 I n=c 0 (+)n C 0 n I n=c 0 [(+) ] I n =C 0 [(+)n ] 4. On peut également, à partr de cette formule, détermner un taux d'ntérêt connassant la valeur acquse, la valeur actuelle et la durée de placement. Ans : C n=c 0 (+) (+)n= Cn C0 Cn C0 += n n = 0/57 n Cn C0

11 Exemple : Monseur DREUS de Montdder décde d'nvestr son argent aux Etats-Uns où les ntérêts sont captalsés tous les semestres. Il dspose d'une somme de $ amércans qu'l place sur un horzon de 5 ans, au taux semestrel de 2,4 %.. Calculer la captal et les ntérêts acqus Captal de départ : C 0=20000 Taux d'ntérêt pérodque (semestrel) : =0,024 nombre de pérodes : n=5 2=0 semestres 0 Valeur acquse : C 0=20000 (+0,024) = 20000,0240 = 25353,0 $ Intérêts acqus : I 0=C 0 C 0=25353, =5353,0 $ 2. Monseur Dreus aurat souhaté dsposer de $ dans cnq ans. Comben aurat-l dû nvestr aujourd'hu? Il dot nvestr la valeur actuelle du captal de $ au taux semestrel de 2,4 % sot : C 0= =2299,24 $ (+0,024)0 3. A quel taux d'ntérêt semestrel ' Monseur Dreus aurat-l dû placer son captal de $ pour obtenr au terme des cnq ans la somme de $? C 0= C 0 0 (+' ) 0 ce qu donne (+ ') = C 0 C0 C 0 C '= =( ) C0 C0 0 ( ) C '= 0 C0 ( '= ) = 0,0305 Monseur Dreus aurat dû trouver un placement rémunéré au taux semestrel de 0,0305 sot 3,05 % /57

12 C) Le temps de placement n'est pas un nombre enter de pérodes (l n'y a pas concordance entre le taux d'ntérêt et le nombre de pérodes n : taux d'ntérêt annuel et nombre de pérodes de 5 ans et 4 mos par exemple). Exemple : Une somme de est placée à ntérêts composés au taux annuel de 6 % (captalsaton annuelle). Quelle est la valeur acquse au terme de 4 ans et 5 mos? Deux solutons sont possbles : a) Soluton «ratonnelle» : On calcule d'abord la valeur acquse à ntérêts composés en prenant comme pérode la parte entère pus on replace le captal ans acqus à ntérêt smple pour la parte fractonnare : Captal ntal : C 0=8700 Taux d'ntérêt : =0,06 Parte entère de la pérode : 4 4 Valeur acquse au bout de 4 ans : C 4=8700 (+0,06) =23608,32 Intérêt rapportés au bout de 5 mos : 23608,32 0,06 5 =590,2 2 Valeur acquse au terme des 4 ans et 5 mos : 23608,32+590,2=2498,53 ( 4 On peut résumer ans la calcul C =8700 (+0,06) +0, ) D'une façon générale, on utlse la formule : C n+ ( n p =C 0 (+) + m p m ) b) Soluton commercale : Dans la pratque, la soluton ratonnelle est peu utlsée au nveau des banques. On lu préfère une soluton approchée, fondée sur l'utlsaton drecte de la formule générale C n=c 0 (+) n où n devent un nombre fractonnare C =8700 (+0,06) 4+ 2 =2488,5 au leu de 2498,53. Cette formule de calcul est mons avantageuse que la formule ratonnelle mas plus smple d'utlsaton. 2/57

13 D) Taux proportonnels, taux équvalents. Noton de taux équvalent On cherche à exprmer une relaton entre des taux exprmés dans des bases dfférentes, par exemple, la relaton qu exste entre un taux annuel et un taux mensuel. a) Premère approche du problème : Cherchons le taux mensuel noté m qu, en captalsant les ntérêts chaque mos, permet d'obtenr le même captal acqus grâce à une opératon réalsée au taux annuel, captalsant les ntérêts annuellement. Cette opératon est basée sur une durée de 2 mos ( an). C n=c 0 (+ m )2 ou également C n=c 0 (+) Sur un an, cette égalté C 0 (+ m )2=C 0 (+) est équvalente à l'égalté suvante : (+ m )2=+ On dt que le taux m est le taux mensuel équvalent au taux annuel b) Généralsaton de cette approche : Sot A et B deux taux d'ntérêt composé exprmés respectvement sur une base (pérode) A et une base (pérode) B. Notons n A et n B les durées correspondantes aux pérodes A et B exprmées dans la même unté de temps. Ces deux taux sont équvalents sur une durée n s : (+ A)n =(+ B )n B A Cette formule donne la relaton entre deux taux équvalents exprmés dans des bases dfférentes. Cette formule permet également d'exprmer un taux en foncton de l'autre. Il vent par exemple que : nb na ou B=(+ A ) na nb A=(+ B ) Exemple : Recherchons quel est le taux équvalent journaler d'un taux bsannuel de 20 %. A=0,2 n A =2 365=730 (2 ans exprmés en jours) n B = ( jour) On obtent =(+0,2) 730 0,00025 sot un taux journaler de 0,025 % B Vérfcaton : Calculons la valeur acquse d'un captal de à ntérêt composé au taux bsannuel de 20% et ce même captal placé à ntérêt composé au taux journaler de 0,025% : (+0,2)= (+0,00025) =24003,74 Le taux journaler a été arrond, ce qu explque la légère dfférence entre les deux valeurs acquses. 3/57

14 Exemple : Détermner le taux trmestrel équvalent à un taux annuel de 8 % Sot A le taux correspondant à trmestre avec n A = B=0,08 c'est le taux annuel donc correspondant à 4 trmestres avec n B =4 Pour une durée de placement de an, on a donc : (+ A) 4=(+ B ) na ou encore =(+ ) n sot =(+0,08) 4 0,09427 A A B B Le taux trmestrel équvalent au taux annuel de 8% est le taux trmestrel de,9427 % Détermner le taux mensuel équvalent au taux annuel de 6 % Sot A le taux correspondant à mos avec n A = B=0,06, c'est le taux annuel correspondant donc à 2 mos donc n B =2 na On a donc l'égalté suvante : =(+ ) n A B B sot A=(+0,06)2 0, Le taux mensuel équvalent au taux annuel de 6 % est le taux mensuel de 0,4868 % Détermner le taux trmestrel équvalent à un taux semestrel de 3,25 % Sot A le taux correspondant à trmestre avec n A = B=0,0325 le taux semestrel correspondant donc à 2 trmestres sot n B =2 na On a donc l'égalté suvante : =(+ ) n sot encore =(+0,0325) 2 0,0620 A A B B Le taux trmestrel équvalent au taux semestrel de 3,25 % est égal à,620 % Détermner le taux mensuel équvalent au taux semestrel de 2,25 % Sot A le taux correspondant à mos avec n A = B=0,0225 est le taux semestrel correspondant à 6 mos donc n B =6 na On a donc l'égalté suvante : =(+ ) n sot encore =(+0,0225) 6 0,00375 A A B B Le taux mensuel équvalent au taux semestrel de 2,25 % est égal à 0,375 % 4/57

15 Exemple : en partant d'un taux annuel égal à 5 %, cherchons les taux équvalents suvants Taux équvalent au taux annuel Formule Exemple pour =0,05 bsannuel =(+) 2 =(+0,05)2 =0,025 sot 0,25 % 2 semestrel 2=(+) 4 trmestrel 3=(+) 2 mensuel 4 =(+) 52 hebdomadare 5=(+) 365 Journaler année de 365 jours 6=(+) Journaler année de 360 jours 7=(+) =(+0,05) 0, sot 2,4695 % 4 3=(+0,05) =0,02272 sot,2272 % 2 4 =(+0,05) 0, sot 0,4074 % 52 5=(+0,05) 0, sot 0,0939 % 365 6=(+0,05) 0,00034 sot 0,034 % 7=(+0,05) 360 0,00036 sot 0,036 % 2. Taux proportonnel Deux taux correspondant à des pérodes dfférentes sont dts «proportonnels»lorsque leur rapport est égal au rapport de leur pérode respectve Annuel bsannuel semestrel trmestrel mensuel Journaler Journaler année de 365 jours année de 360 jours t 2t t 2 t 3 t 2 t 365 t =0,05 0,0 0,025 0, , , ,00039 On remarque que les taux proportonnels sont supéreurs aux taux équvalents. 3. Comparason entre taux proportonnel et taux équvalent Consdérons l'nvestssement d'une somme de 000 placée sur un an au taux annuel de 0 %. Le captal acqus au bout d'un an est : 000(+0,)=00 Placé sur un an au taux proportonnel semestrel de 5 % avec captalsaton semestrelle des ntérêts le captal acqus au bout d'un an est : 000(+0,05)2=02,50 Le calcul en taux proportonnel donne un captal acqus supéreur au calcul en taux équvalent( le taux proportonnel semestrel équvalent au taux annuel de 0 % est égal à 5 %). Notons S le taux qu, applqué sur les deux semestres, permettrat d'obtenr le même captal acqus qu'un placement à 0 % sur un an. Ce taux est tel que =(+0,) 2 =0, S 4,8809 % est le taux semestrel équvalent au taux annuel de 0 %. Il est nféreur au taux proportonnel semestrel (5%) 5/57

16 E) Equvalence de captaux à ntérêts composés Deux captaux de valeurs nomnales et d'échéances dfférentes sont équvalents à ntérêts composés, à une date détermnée, s'ls ont à cette même date, la même valeur actuelle. Exemple : Sot un captal de payable dans 3 ans et un captal de payable dans 5 ans. Le taux d'ntérêt composé annuel est de 0 %. (NB : le captal acqus dans 3 ans à partr de la date d'équvalence sera de pour le premer placement et de pour le second placement dans 5 ans) Valeurs actuelles des deux captaux à la date d'équvalence : er captal : (+0,) 3=8782,87 2ème captal : 30250(+0,) 5=8782,87 Remarque : s on change la date d'équvalence, les valeurs actuelles restent nchangées Reprenons l'exemple c-dessus avec des durées de 2 ans et 4 ans respectvement pour les er et 2ème captal. Valeurs actuelles des deux captaux à la nouvelle date d'équvalence : er captal : (+0,) 2 =2066,6 2ème captal : 30250(+0,) 4=2066,6 F) Equvalence d'un captal à un ensemble de pluseurs captaux Un captal est équvalent, à ntérêts composés, à une date détermnée, à un ensemble de pluseurs autres captaux s la valeur actuelle de ce captal est égal à la somme des valeurs actuelles des autres captaux. Exemple : Montrer qu'un captal de payable dans 4 ans est équvalent, à ntérêts composés, au taux annuel de 9 %, à tros captaux : 2000 payable dans 2 ans 8000 payable dans 5 ans payable dans 7 ans Valeur actuelle du captal unque : 50075(+0,09) 4=35474,39 valeur actuelle du er captal : 2000(+0,09) 2=000,6 valeur actuelle du 2ème captal : 8000(+0,09) 5=698,76 valeur actuelle du 3ème captal : (+0,09) 7 =3675,86 En addtonnant les valeurs actuelles des 3 captaux, on obtent : 000,6+698, ,86=35474,78 Nonobstant les arronds effectués, on remarque que la valeur actuelle du captal unque est égale à la somme des valeurs actuelles des tros captaux consdérés. Le calcul peut évdemment être fat avec des taux d'ntérêt dfférents pour chaque placement. 6/57

17 FICHE D'EXERCICES SUR LES INTERETS COMPOSES Dans les exercces qu suvent, les placements ou prêts sont effectués à ntérêts composés.. Calculer la valeur acquse et le montant total des ntérêts pour chacun des placements suvants : Captal Durée de placement Taux Captalsaton ans 4 ans 5 ans 2 ans Annuel : 6 % Semestrel : 3,75 % Trmestrel :,50 % Mensuel : 0,70 % Annuelle Semestrelle Trmestrelle Mensuelle 2. Calculer la valeur acquse et le montant des ntérêts pour chacun des placements en utlsant la méthode ratonnelle pus la méthode commercale. Captal Durée de placement Taux Captalsaton ans 8 mos 3 ans 5 mos 4 ans 2 mos 3 mos 6 jours Annuel : 6,90 % Semestrel : 4,20 % Trmestrel :,50 % Mensuel : 0,40 % Annuelle Semestrelle Trmestrelle Mensuelle 3. Montrer qu'on peut remplacer tros règlements : 0684 à an, 2427 à 2 ans et 5432 à 5ans par un règlement unque à 4 ans que vous détermnerez, l'équvalence étant assurée au taux annuel de 2,20 %. 4. On remplace le remboursement de 5 dettes : payable dans an 2520 payable dans 2 ans payable dans 3 ans payable dans 4 ans payable dans 5 ans par un remboursement unque d'un montant de 800. Quelle est l'échéance de ce règlement unque, sachant que l'équvalence est assurée au taux annuel de,20 % 5. Le proprétare d'un mmeuble de rapport touche un loyer mensuel de 3500 qu'l place tous les mos au taux annuel de 4,50 %. Quelle sera la valeur de son captal dans 5 ans? 6. Un captal de est placé à ntérêts composés au taux annuel de 6 %. Sx ans après, on place un second captal dans les mêmes condtons. Détermner ce captal sachant que sa valeur acquse au bout de 0 ans est égale au double de la valeur acquse à la même date, par le premer captal. 7. Au bout de comben de temps un captal de 20000, placé à ntérêts composés au taux annuel de 9,50 %aura-t-l une valeur acquse de 4337,38? 8. Une personne a placé un captal à ntérêts composés le er janver La valeur de ce captal est de 224,4 le er janver 20 et de 428,9 le er janver 203. Calculer le taux annuel de ce placement. Calculer le captal ntal. A partr de quelle année le captal acqus sera-t-l supéreur à 2500? 7/57

18 CALCUL D'UN TICKET D'AGIOS BANCAIRES Consdérons l'entreprse MELCHTHAL, dont le compte bancare est tenu en euros. Les ntérêts du découvert sont facturés au TBB (Taux de Base Bancare) + 2%. La CPFD (Commsson sur le Plus Fort Découvert de chaque mos) est de 0,05 % et la commsson de mouvement de 0,025 %. Le TBB est à 8 %. Le tableau c-après présente, dans ses premères colonnes, l'évoluton des mouvements de ce compte sur les tros premers mos de l'année 203. Les deux dernères colonnes sont réservées au calcul des nombres débteurs (produt du solde débteur par le nombre de jours de découvert à ce solde). Le calcul des ntérêts s'obtent en applquant un taux proportonnel journaler à la somme des nombres débteurs. Compléter le tableau c-dessous Mouvements Date de valeur Débt Crédt Soldes Débteur 0/0/203 Crédteur /0/ /0/ /0/ /02/ /02/ /02/ /03/ /03/ /03/ /03/ /03/ TOTAL Nombres Nombre de jours 6 Nombres débteurs a) Explcatons pour remplr le tableau : le solde état crédteur au 0/0/203 de Le compte passe en découvert le 07/0 sute à de mouvements au débt et de mouvements au crédt. Le solde est donc : = Le solde à nouveau est donc débteur de Les autres soldes seront calculés selon cette méthode. La colonne «Nombre de jours» est calculée en ncluant le premer jour et en excluant le derner. Le produt du nombre de jours par le solde débteur donne le nombre débteur pour la pérode de découvert consdérée. En fat, on consdère que tout se passe comme s le compte avat présenté un solde débteur du total des nombres débteurs durant une journée. Edter le tcket d'agos ntérêts débteurs : CPFD : Commsson de mouvement : TVA (9,60 %) sur la commsson de mouvement : TOTAL du tcket d'agos : 8/57

19 CORRIGE de l'échelle d'ntérêt et tcket d'agos Consdérons l'entreprse MELCHTHAL, dont le compte bancare est tenu en euros. Les ntérêts du découvert sont facturés au TBB (Taux de Base Bancare) + 2%. La CPFD (Commsson sur le Plus Fort Découvert de chaque mos) est de 0,05 % et la commsson de mouvement de 0,025 %. Le TBB est à 8 %. Le tableau c-après présente, dans ses premères colonnes, l'évoluton des mouvements de ce compte sur les tros premers mos de l'année 203. Les deux dernères colonnes sont réservées au calcul des nombres débteurs (produt du solde débteur par le nombre de jours de découvert à ce solde). Le calcul des ntérêts s'obtent en applquant un taux proportonnel journaler à la somme des nombres débteurs. Compléter le tableau c-dessous Mouvements Date de valeur Débt Crédt Soldes Débteur 0/0/203 Nombres Crédteur Nombre de jours Nombres débteurs /0/ /0/ /0/ (*) /02/ /02/ (*) /02/ /03/ /03/ /03/ /03/ /03/ TOTAL (*) a) Explcatons pour remplr le tableau : le solde état crédteur au 0/0/203 de Le compte passe en découvert le 07/0 sute à de mouvements au débt et de mouvements au crédt. Le solde est donc : = Le solde à nouveau est donc débteur de Les autres soldes sont calculés selon cette méthode. La colonne «Nombre de jours» est calculée en ncluant le premer jour et en excluant le derner. Le produt du nombre de jours par le solde débteur donne le nombre débteur pour la pérode de découvert consdérée. En fat, on consdère que tout se passe comme s le compte avat présenté un solde débteur de durant une journée. b)calcul du tcket d'agos 2. Conformément à la conventon de compte passée entre la banque et l'entreprse, les ntérêts débteurs correspondent au total des nombres débteurs, sot multplé par le taux d'ntérêt applcable sot TBB+2% ce qu donne un taux d'ntérêt de 8%+2%=0% sot =0, (multplé par = jour) : , =203, /57

20 2. La commsson de mouvement s'applque unquement au total des mouvements débteurs, sot ,025 =288, Cette commsson est assujette à la TVA à 9,6 %, ce qu donne : 288,25 9,6 =56, La CPFD porte sur le plus fort découvert de chaque mos ( pour le mos de janver, pour le mos de févrer et pour le mos de mars) ce qu donne : ( ) 0,05 =63,00 00 Montant total du tcket d'agos : 203,06+288,25+56,50+63,00= 70,8 20/57

21 CORRIGE DE LA FICHE D'EXERCICES SUR LES INTERETS COMPOSES Dans les exercces qu suvent, les placements ou prêts sont effectués à ntérêts composés. 2. Calculer la valeur acquse et le montant total des ntérêts pour chacun des placements suvants : Captal Durée de placement Taux Captalsaton ans 4 ans 5 ans 2 ans Annuel : 6 % Semestrel : 3,75 % Trmestrel :,50 % Mensuel : 0,70 % Annuelle Semestrelle Trmestrelle Mensuelle a) La durée de placement, le taux d'ntérêt et la captalsaton sont concordants pusque la pérode est l'année. C 0=32600, =0,06, n=2, on recherche la valeur acquse sot C C 2=36629,36 C 2=C 0( +) =32600(+0,06) =36629,36 Intérêts : I 2=C 2 C 0=36629, =4029,36 ou I 2=C 0 [(+)2 ]=32600[(+0,06)2 ]=4029,36 I 2=4029,36 b) La durée de placement dot être exprmée avec la même pérode que celle du taux d'ntérêt. C 0=8700, =0,0375, n=4 2=8 8 8 C 8=2504,20 C 8=C 0 (+) =8700(+0,0375) =2504,20 I 8=C 8 C 0=2504,2 8700=6404,20 ou I 8=C 0 [(+)8 ]=8700[(+0,0375)8 ]=6404,20 I 8=6404,20 c) La durée du placement dot être exprmée avec la même pérode que celle du taux d'ntérêt. C 0=2825, =0,05, n=5 4=20 C 20=7273,42 C 20=C 0 (+)20=2825(+0,05)20=7273,42 I 20 =C 20 C 0 =7273, ,00=4448,42 ou I 20 =C 0 [(+ )20 ]=2825[(+0,05)20 ]=4448,42 I 20=4448,42 d) La durée de placement dot être exprmée avec la même pérode que celle du taux d'ntérêt. C 0=4500, =0,007, n=2 2=24 C 24=742,54 C 24=C 0 (+)24=4500 (+0,007)24 =742,54 I 24 =C 24 C 0 =742, ,00=2642,54 ou I 24=C 0 [(+0007)24 ]=4500 [(+0,007) 24 ]=2642,54 2/57 I 24=2642,54

22 2. Calculer la valeur acquse et le montant des ntérêts pour chacun des placements en utlsant la méthode ratonnelle pus la méthode commercale. Captal Durée de placement Taux Captalsaton ans 8 mos 3 ans 5 mos 4 ans 2 mos 3 mos 6 jours Annuel : 6,90 % Semestrel : 4,20 % Trmestrel :,50 % Mensuel : 0,40 % Annuelle Semestrelle Trmestrelle Mensuelle C Formule de la méthode ratonnelle C Formule de la méthode commercale p n+ m ( =C 0 (+)n + p n+ m =C 0 (+) Méthode commercale a) C 0=7300, =0,069, n=2, m=2, p=8 8 C 8 =7300 (+0,069)2 +0, ( C ) ( C =20669,02 I =20669, ,00=3369, C ) c) C 0=2825, =0,05, n=4 4=6, m=3, p=2 2 C 2 =2825(+0,05)6 +0, ( C =34043, ) 6+ 2 =2825(+0,05) =6437,08 I =6437, ,00=362,08 I =6437, ,00=362,49 d) C 0=8900, =0,004, n=3, m=30, p=6 6 C 6 =8900(+0,004)3 +0, C ( =25700(+0,042) I =34043, 25700=8343, =6437, C =34047,07 I =34047, ,00=8347,07 C b) C 0=25700, =0,042 n=3 2=6, m=6 p=5 5 C 5 =25700(+0,042)6 +0, C =7300 (+0,069) 8 =20679,7 I =20679,7 7300,00=3379,7 C ) p n+ m Méthode ratonnelle C p m C ) C =0080,5 6 =8900(+0,004) =0080,49 I =0080, =80,49 I =0080,5 8900,00=80,5 22/57

23 3. Montrer qu'on peut remplacer tros règlements : 0684 à an, 2427 à 2 ans et 5432 à 5ans par un règlement unque à 4 ans que vous détermnerez, l'équvalence étant assurée au taux annuel de 2,20 %. Rasonnement : Il faut actualser chacun des 3 règlements, c'est à dre rechercher la valeur actuelle de chacun de ces 3 règlements. La nouvelle dette qu remplace les 3 effets devra avor la même valeur actuelle que la somme des valeurs actuelles des 3 règlements. Ensute on détermnera la valeur acquse par ce nouveau captal au bout de 4 ans. C'est le montant de la dette que s'engagera à rembourser le débteur à son créancer dans 4 ans. Il faut rechercher les valeurs actuelles de chacun des tros règlements. Il y a concordance entre la pérode du taux ntérêt (année) et les pérodes d'échéance ( an, 2 ans et 5 ans) et l'équvalence s'effectue au taux d'ntérêt annuel de 2,20 % donc =0,22 Cn On applque la formule C 0= ou C 0=C n (+) n (+)n Valeur actuelle du er règlement : C R =0684(+0,22) =9522,28 Valeur actuelle du 2ème règlement : C R 2=2427(+0,22) 2=987,44 Valeur actuelle du 3ème règlement : C R 3=5432(+0,22) 5=8678,77 Valeur actuelle du règlement unque à 4 ans : C=C R +C R 2+C R 3=9522,28+987, ,77=28072,49 Le débteur devra régler à l'échéance des 4 années la somme de 28072,49(+0,22) 4=44488,97 Les 3 trates seront remplacées par une trate unque de 44488,97 à échéance de 4 ans 4. On remplace le remboursement de 5 dettes : payable dans an 2520 payable dans 2 ans payable dans 3 ans payable dans 4 ans payable dans 5 ans par un remboursement unque d'un montant de 800. Quelle est l'échéance de ce règlement unque, sachant que l'équvalence est assurée au taux annuel de,20 % Rasonnement : Il est smlare au précédent, c'est à dre que nous devons rechercher les valeurs actuelles de chacun des règlements à remplacer. On devra ensute rechercher sur quelle durée on devrat placer la valeur actuelle de remplacement pour obtenr une valeur acquse de 800 Le taux d'ntérêt (=0,2) qu sert d 'équvalence et les pérodes sont concordants, donc : Valeur actuelle du er règlement : C R =24820(+0,2) =22320,4 Valeur actuelle du 2ème règlement : C R 2=2520 (+0,2) 2=20387,47 Valeur actuelle du 3ème règlement : C R 3=25480( +0,2) 3 =8530,4 Valeur actuelle du 4ème règlement : C R 4=26300(+0,2) 4=7200,32 Valeur actuelle du 5ème règlement : C R 5=28900(+0,2) 5=6997,06 La valeur actuelle de la dette globale est C=22320, , ,4+7200, ,06=95435,40 Désormas, l faut chercher sur quelle durée l faut placer le captal de 95435,40 pour obtenr une valeur acquse de 800, sot résoudre l'équaton 95435,40n = ,40n =800 ln(800) =,02 donc n= ln (95435,40n )=ln (800) sot n ln( 95435,40)=ln(800) sot n= ln(95435,40) Ces règlements seront remplacés par un effet unque de 800 payable à an. 23/57

24 5. Le proprétare d'un mmeuble de rapport touche un loyer mensuel de 3500 qu'l place tous les mos au taux annuel de 4,50 %. Quelle sera la valeur de son captal dans 5 ans? n=60 taux mensuel M équvalent au taux annuel de 4,50 % ( A=0,045) M =(+0,045) 2 sot M =0, sot 0, % Le flux fnancer F est constant et F =3500. La valeur acquse au terme de n pérodes est C n= F (+)n +F (+)n F (+)+F (+) n C n= F, C 60=3500 0, C 60=23447,5 La valeur acquse par ce captal dans 5 ans est 23447,5 6. Un captal de est placé à ntérêts composés au taux annuel de 6 %. Sx ans après, on place un second captal dans les mêmes condtons. Détermner ce captal sachant que sa valeur acquse au bout de 0 ans est égale au double de la valeur acquse à la même date, par le premer captal. Il faut détermner la valeur acquse par le captal de au terme de 6 ans (6ans + 0 ans), sot C 6=30000(+0,06)6 La valeur acquse par le deuxème captal C ' au terme de 0 ans est C ' 0=C ' (+0,06)0. On sat que cette valeur acquse est égale au double de la valeur acquse par le premer captal en 6 ans. On écrt donc : C ' 0=2 C 6 sot C ' (+0,06)0= (+0,06) (+0,06)6 On en dédut que : C ' = (+0,06)0 C ' =85,5 Le second captal est égal à 85,5 24/57

25 7. Au bout de comben de temps un captal de 20000, placé à ntérêts composés au taux annuel de 9,50 %aura-t-l une valeur acquse de 4337,38? =0,095 C n=c 0 (+) n C (+ )n= n C0 Cn Cn n En applquant la foncton «ln», on obtent : ln (+) =ln sot n ln(+)=ln C0 C0 ( ) ( ) ( ) Cn C0 n= ln (+) 4337,38 ln n= ln (+0,095) n 8 ln ( ) La durée du placement est de 8 ans 8. Une personne a placé un captal à ntérêts composés le er janver La valeur de ce captal est de 224,4 le er janver 20 et de 428,9 le er janver 203. Calculer le taux annuel de ce placement. Calculer le captal ntal. A partr de quelle année le captal acqus sera-t-l supéreur à 2500? Au 0/0/20, la durée de placement est égale à 4 ans donc s nous appelons C ce captal et le taux d'ntérêt annuel de ce placement, nous pouvons écrre : C (+)4=224,4 De même, au 0/0/203, la durée de placement est de 6 ans, donc C (+)6=428,9 C (+)6 428,9 = En effectuant les quotents de ces deux résultats, on a : C (+) 4 224,4 428,9 (+)6 428,9 2 = En smplfant par C, on a : ou encore (+) = 4 224,4 (+) 224,4 428,9 ; 224,4 428,9 = 224,4 =0,08 Le taux d'ntérêt annuel de ce placement est égal à 8 % += Le captal ntal est la valeur actuelle du captal dont la valeur acquse au terme de 2 ans est égale à 224,4. C 4=C 0 (+) 4 C4 C 0= 4 (+) 224,4 C 0= (,08)4 C /57

26 6 On aurat également pu fare C 6=C 0 (+) C6 C 0= 6 (+) 428,9 C 0=,086 C 0=900,00 Le captal ntal est égal à 900 n C 0 (+) >2500 n 900(+0,08) > ,08n > n ln (,08 )>ln n ln (,08)>ln ln 900 n> ln (,08) n>3,27 ( ) ( ) ( ) C'est au terme de 4 années de placement que le captal acqus dépassera /57

27 IV. LES ANNUITES A) Généraltés On appelle annutés une sute de versements effectués à ntervalles de temps égaux. L'ntervalle de temps séparant deux versements consécutfs est la pérode. Il peut s'agr d'une année, d'un semestre, d'un trmestre, d'un mos à condton toutefos de rester constante. Le montant de chaque versement consttue le terme de l'annuté. En toute rgueur, l serat préférable d'utlser le terme «annuté» pour des versements tous les ans et les termes «semestraltés», «trmestraltés» et «mensualtés» dans les autres cas. Selon le montant des termes, les annutés peuvent être constantes (termes tous égaux) ou varables (termes dfférents). Exemples : Les loyers versés par un locatare consttuent une sute d'annutés constantes (tout du mons entre deux révsons du montant du loyer). Le montant du loyer est en général révsé annuellement selon l'ndce des prx à l'mmobler. Selon le début des termes, les annutés peuvent être : de fn de pérode (ou à terme échu) : la date d'orgne précède d'une pérode la date du premer versement qu est donc donc effectué à la fn de la premère pérode. Exemple : ouverture d'un compte rémunéré avec un dépôt ntal le 0/03 et engagement d'un versement mensuel à compter du 0/04. de début de pérode : (ou à terme à échor) : la date d'orgne coïncde avec la date du premer versement qu est donc effectué au début de la premère pérode. Exemple : ouverture d'un compte Lvret le 0/07 avec un dépôt ntal et engagement d'un versement trmestrel à compter du 0/07. La valeur acquse d'une sute d'annutés est la somme des valeurs acquses de chaque versement. La valeur actuelle d'une sute d'annutés est la somme des valeurs actuelles de chaque versement. On suppose toujours que la captalsaton se fat à la fn de chaque pérode. B) Objectfs de calcul des annutés. On dstngue deux objectfs de l'étude des annutés : la consttuton d'un captal dans le futur en vue d'un nvestssement (on utlse dans ce cas la valeur acquse) le remboursement d'un prêt (on utlse généralement la valeur actuelle). C) Evaluaton à une date donnée d'une sute d'annutés varables. L'évaluaton, à une date donnée, d'une sute d'annutés varables ne peut être obtenue qu'en fasant la somme des valeurs calculées séparément à cette date de chacune des annutés, aucune formule ne permet de raccourcr les calculs. Exemple : On verse, en vue de la consttuton d'un captal, tros annutés varables : le 0/0/204 : 6500 le 0/0/205 : 4300 le 0/0/206 : 8600 Quel sera le captal ans consttué au 0/0/208 au taux de 2,25 %? Quelle est la valeur actuelle à la pérode 0 (date d'équvalence c'est à dre au 0/0/204)? 27/57

28 V /0/204 V /0/ /0/ /0/ /0/208 =0,0225, la pérode du taux concorde avec les durées de placement. V 4 =6500(+0,0225) (+0,0225)3+8600(+0,0225)2=20693,22 V 0 = (+0,0225) +8600(+0,0225) 2 =893,06 D) Evaluaton, à une date donnée, d'une sute d'annutés constantes. Annutés constantes de fn de pérode a) Valeur acquse V n Sot n annutés constantes d'un montant a et le taux d'ntérêt correspondant à la pérode de versement. 0 a a a a a a 2 3 n-2 n- n a a (+) 2 a (+) a (+)n 2 n a (+) V n =a +a (+)+a (+)2+...+a (+)n 2 +a(+)n V n est la somme des n premers termes d'une sute géométrque de premer terme a et de rason q=+ D'après la formule (programme de ère) q nombre de termes S n=( premer terme ) q (+)n (+) n (+)n Ce qu donne c : V n =a = a = a (+) (+)n V n =a 28/57

29 Exemple d'applcaton : On place, à ntérêts composés, chaque mos 000 pendant 48 mos. Quel est le montant du captal ans consttué au moment du derner versement? Taux annuel 2,5 %. La pérode des annutés est mensuelle : elle ne concorde pas avec la pérode du taux (annuelle). Taux mensuel équvalent au taux annuel de 2,5 % : =(+0,025) 2 =0, V 48= (+0, ) 0, V 48=50398,57 b) Valeur actuelle V 0 V0 a a a a a n- n a (+) 2 a (+) a (+) (n ) a (+) n on sat que V n =V 0 (+)n donc V 0 =V n (+) n (+)n V =a Or n n (+ ) ((+)n )((+) n ) (+) n V 0 =a (+) n = a = a n (+ ) V 0=a Exemple d'applcaton : Quelle somme d'argent pouvons nous-nous emprunter s, en accord avec le créancer, nous nous engageons à la rembourser par le paement de 0 trmestraltés égales à 5625 chacune, le premer remboursement ayant leu tros mos après la remse des fonds? Taux annuel : 8,90 % taux d'ntérêt trmestrel «équvalent» au taux annuel de 8,90 % : =(+0,089) 4 =0, (+0,02544) V 0 =5625 = 502,29 0,02544 On peut emprunter 502,29 dans les termes de cet engagement. 29/57

30 c) Détermnaton de l'annuté. en foncton de la valeur acquse a=v n n (+) 2. en foncton de la valeur actuelle a=v 0 n (+) d) Applcatons Exemple : recherche de valeur acquse Calculer la valeur acquse par une sute de 2 annutés de fn de pérode de 500 chacune placées au taux annuel de 3,2 % a=500 n=2 =0,032 (+)n Formule à applquer : V n =a, ce qu donne : (+0,032)2 V 2=500 0,032 V 2=777,8 Exemple 2 : recherche d'annuté connassant la valeur acquse Comben faut-l déposer le 3/2 de chaque année à partr du 3/2/203, dans un fonds rapportant 4,25 % l'an pour dsposer au moment du derner dépôt, le 3/2/208, d'un montant de 20000? Il s'agt en fat de 6 annutés de fn de pérode V 6=20000 n=6 =0,0425 Formule à applquer : a=v n a=20000 (+)n 0, (+0,0425) a=2996,35 30/57

31 Exemple 3 : recherche d'annuté connassant la valeur actuelle Lors de la mse en vente d'un mmeuble, une personne se porte acquéreur au prx de , payable comme sut : comptant le reste en 7 annutés constantes, calculées au taux annuel de 6 %, la premère étant payable à la fn de la premère pérode d'acquston. Calculer le montant de chacune des annutés. Il reste à payer : = n=7 =0,06 V 0 = Formule à applquer : a=v 0 a= (+) n 0,06 ( +0,06) 7 a=0748 Exemple 4 : recherche d'une durée Pluseurs annutés de fn de pérode de 000 chacune ont une valeur actuelle de 8863,25 au taux annuel de 5 %. Comben y a-t-l de versements? a=000 V 0 =8863,25 =0,05 Formule à applquer : V 0=a (+) n (+) n V 0 = a n (+0,05) 8863,25 = =8, , Soluton : avec la table : dans la colonne =5%, on lt la valeur 8, à l'ntersecton de la lgne n=2 Il y a donc 2 versements. Soluton : avec la calculatrce (+0,05) n=0,05 8,86325 n (+0,05) = 0,05 8,86325=0, ln((+0,05) n)=ln (0, ) n ln(+0,05)=ln (0, ) n= ln(0, ) =, ln(,05) Il y a donc 2 versements 3/57

32 Exemple 5 : recherche du taux d'ntérêt La valeur acquse par 7 annutés constantes de fn de pérode de 000 chacune est égale à 9487,7. Calculer le taux d'ntérêt annuel. a=000 n=7 V n =9487,7 (+)n Formule à applquer : V n =a (+)7 7 (+) 9487,7 = =9, ,7=000 Cette valeur est lue sur la table à l'ntersecton de la lgne n=7 et la colonne =0 Le taux d'ntérêt est de 0 % A la calculatrce, avec le menu EQUA de la CASIO ou le menu «math/solveur» de la TI. 32/57

33 2. Annutés constantes de début de pérode a) Valeur acquse a a a a a a a n-2 n- n a (+) a (+)2 a (+)3 a (+)n a (+)n V n =a (+)+a (+)2 +a(+) a (+)n +a (+)n Cette valeur correspond à la somme des n premers termes d'une sute géométrque de premer terme a (+) et de rason (+) n (+) V n=a (+) On remarque également, par rapport aux annutés de fn de pérode que chaque annuté de début de pérode produt un ntérêt pendant une pérode de plus, ce qu explque le résultat obtenu. a) Valeur actuelle V0 a a a a a 0 a a (+) 2 3 n- n 2 a (+) a (+) n V 0=a+a (+) +a (+) a (+) n = a (+(+) +(+) 2 + +(+) n ) En applquant la formule de la somme des n premers termes d'une sute géométrque de premer terme a et de rason (+ ), on obtent : n (+) n (+)n (+) = V 0 =a = or n (+)n (+) (+) 33/57

34 + = = et (+) = (+) + + V 0 =a n (+ )n + n (+) =a (+) (+) (+)n On remarque que la valeur actuelle d'une sute de n annutés constantes de début de pérode est la valeur actualsée à la date 0 de la valeur acquse V n par ces annutés. n V n =V 0 (+) V 0 =V n (+) n n (+) n V 0 =a (+) (+) n (+) n V 0 =a (+)(+) n (+) V 0=a (+ ) b) Valeur de l'annuté en foncton de la valeur acquse L'annuté constante a qu'l faut verser pendant n pérodes pour dsposer, une pérode après le derner versement d'un captal V n est : V n =a (+) (+)n a= Vn + (+)n c) Valeur de l'annuté en foncton de la valeur actuelle V 0=a (+) (+) n a= V0 (+) (+) n 34/57

35 d) Applcatons Exemple : Recherche de valeur acquse Calculer la valeur acquse par une sute de 5 annutés de début de pérode, de 200 chacune, placées au taux annuel de 2,75 % a=200 n=5 =0,0275 (+)n Formule à applquer : V n =a (+ ) V 5=200 (+0,0275) (+0,0275)5 0,0275 V 5=3752,80 Exemple 2 : recherche d'annuté connassant la valeur acquse Comben faut-l déposer le er janver de chaque année, à compter du 0/0/204, dans un fonds rapportant un taux d'ntérêt annuel de 4,5 %, pour dsposer le 3/2/208 d'un captal de 0000? n=5 : l y a effectvement 5 versements (0/0/204;0/0/205 ;0/0/206;0/0/207;0/0/208) =0,045 V n =0000 Vn Formule à applquer : a= + (+)n a= ,045 +0,045 (+0,045)5 a=767,40 Exemple 3 : recherche du taux d'ntérêt La valeur acquse par 7 annutés constantes de début de pérode de 000 chacune est égale à 0435,88. Calculer le taux d'ntérêt annuel proposé pour ce placement. a=000 n=7 V 7=0435,88 (+)n Formule à applquer : V n =a (+ ) V 7=000 (+) (+)7 (+)7 (+)8 sot 0435,88=000(+) ou 0435,88= (+) ] (+) = 0435,88 =0, (+) 0435,88 = +=,43588 donc ,88=000 [ A l'ade de la table, on lt la valeur,43588 à l'ntersecton de la lgne n+=8 et =0, le placement est à un taux d'ntérêt de 0 % l'an. 35/57

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37 FICHE D'EXERCICES SUR LES ANNUITES Exercce Calculer dans chacun des cas suvants, la valeur acquse par une sute de versements constants et pérodques, mmédatement après le derner versement (annutés constantes de fn de pérode). a) 5 annutés égales chacune à 2500 au taux annuel de 9,50 %. b) 2 semestraltés égales chacune à 4500 au taux semestrel de 4 %. c) 2 semestraltés égales chacune à 4500 au taux annuel de 8 %. d) 5 trmestraltés égales chacune à 2800 au taux trmestrel de 2,5 %. e) 5 trmestraltés égales chacune à 2800 au taux annuel de 9 %. f) 5 trmestraltés égales chacune à 2800 au taux semestrel de 4,50 %. Exercce 2 Calculer dans chacun des cas suvants, la valeur actuelle d'une sute de versements constants et pérodques, une pérode avant le er versement (annutés constantes de fn de pérode) a) 5 annutés égales chacune à 6200 au taux annuel de 9,50 %. b) 2 semestraltés égales chacune à 3500 au taux semestrel de 4,50 %. c) 2 semestraltés égales chacune à 3500 au taux annuel de 9,00 %. d) 5 trmestraltés égales chacune à 4800 au taux trmestrel de 2,50 %. e) 5 trmestraltés égales chacune à 4800 au taux annuel de 0 %. f) 5 trmestraltés égales chacune à 4800 au taux semestrele de 5,00 %. Exercce 3 8 annutés constantes, captalsées au taux de 6,50 %, donnent une valeur acquse au moment du derner versement de Détermner le montant de l'annuté. Exercce 4 Comben faut-l verser d'annutés de 200, captalsées au taux annuel de 6 % pour consttuer un captal de 0000 au moment du derner versement? Exercce 5 Comben faut-l verser de mensualtés de 803,0 pour rembourser un emprunt de 25000, calculé au taux mensuel de %, la premère mensualté étant payée un mos après la mse à dsposton des fonds? Exercce 6 Les offres fates à une entreprse pour un terran ms en vente sont les suvantes : a) payables comptant. b) payables dans 5 ans. c) Annutés de (chacune) payables pendant 5 ans, le premer versement ayant leu mmédatement. Quelle est l'offre la plus avantageuse pour le vendeur (l'entreprse)? L'équvalence est assurée au taux annuel de 4 %. Exercce 7 Une personne a souscrt un Plan Epargne Logement (PEL) le 0/0/200 au taux de 2,50 % l'an de la manère suvante : le 0/0/200, l effectue un versement ntal de En outre, à partr de ce même jour, et jusqu'au 0/0/209 nclus, elle verse à chaque er janver la somme de Calculer la valeur acquse le 3/2/209 par ce PEL. 2. Quel captal unque aurat-l dû placer le 0/0/200 pour obtenr le 3/2/999 le même montant d'épargne? 3. Dans le cadre de la légslaton actuelle, en cas de prêt pour l'acquston d'une résdence prncpale, l'etat verse une prme égale au montant des ntérêts acqus, plafonnée à 525. Quelle sera l'épargne totale ans consttuée par cette personne au terme du contrat? 37/57

38 CORRIGE DE LA FICHE D'EXERCICES SUR LES ANNUITES Exercce Calculer dans chacun des cas suvants, la valeur acquse par une sute de versements constants et pérodques, mmédatement après le derner versement (annutés constantes de fn de pérode). a) 5 annutés égales chacune à 2500 au taux annuel de 9,50 %. Les pérodes du taux et de la durée sont concordantes (année) (+ )n Formule à applquer : V n =a a =2500 n = 5 =0,095 ( +0,096)5 V 5 = ,096 V 5 = 38752,88 Table n 3 : V 5 = 30, =38752,88 b) 2 semestraltés égales chacune à 4500 au taux semestrel de 4 %. Les pérodes du taux et de la durée sont concordantes (semestre) (+ )n Formule à applquer : V n =a a =4500 n = 2 =0,04 (+ 0,04)2 V 2 =4500 0,04 V 2 =6766,2 Table n 3 : V 2 =5, = 6766,5 c) 2 semestraltés égales chacune à 4500 au taux annuel de 8 %. (+ )n Formule à applquer : V n =a Les pérodes du taux et de la durée ne sont pas concordantes. Attenton, l faut calculer le taux semestrel S équvalent au taux annuel de 8 % S =( + 0,08) 2 =0, ( an = 2 semestres) n = 2 semestres a =4500 (+ 0,039230)2 V 2 =4500 0, V 2 =6738,24 La table n'est pas utlsable. 38/57

39 d) 6 trmestraltés égales chacune à 2800 au taux trmestrel de 2,25 %. Les pérodes de durée et de taux sont concordantes (trmestre) (+ )n Formule à applquer : V n =a a =2800 =0,0225 n = 6 (+ 0,0225)6 V 6 =2800 0,0225 V 6 =5325, e) 6 trmestraltés égales chacune à 2800 au taux annuel de 9 %. (+ )n Formule à applquer : V n =a Les pérodes du taux et de la durée ne sont pas concordantes Attenton : l faut calculer le taux trmestrel t équvalent au taux annuel de 9 % t =( +0,09) 4 = 0,02778 ( an = 4 trmestres) n = 6 a =2800 (+ 0,02778)6 V 6 =2800 0,02778 V 6 =5296,58 f) 6 trmestraltés égales chacune à 2800 au taux semestrel de 4,50 %. (+ )n V =a Formule à applquer : n Les pérodes du taux et de la durée ne sont pas concordantes Attenton, l faut calculer le taux trmestrel t équvalent au taux semestrel de 4,50 % 2 t =( +0,045) = 0, ( semestre = 2 trmestres) n = 6 a =2800 (+ 0,022252)6 V 6 =2800 0, V 6 =53864,43 39/57

40 Exercce 2 Calculer dans chacun des cas suvants, la valeur actuelle d'une sute de versements constants et pérodques, une pérode avant le er versement (annutés constantes de fn de pérode) a) 5 annutés égales chacune à 6200 au taux annuel de 9,50 %. Il y a concordance entre les pérodes du taux et de la durée (année) (+) n Formule à applquer : V 0 =a a =6200 n = 5 =0,095 (+ 0,095) 5 V 0 =6200 0,095 V 0 = 48534,69 Avec la table n 4 : 7, = 48534,69 Vérfcaton : on dot obtenr la même valeur acquse pour un placement unque de 48534,69 que pour des annutés égales et successves de 6200 pendant 5 ans au taux annuel de 9,50 % : 5 Calcul par captal unque : C 5 = 48534,69 ( +0,095) =89349,43 ( +0,095)5 C = 6200 = 89349,43 Calcul par annuté 5 0,095 b) 2 semestraltés égales chacune à 3500 au taux semestrel de 4,50 %. Il y a concordance entre la pérode du taux d'ntérêt et celle de la durée (semestre) (+) n Formule à applquer : V 0 =a a =3500 =0,045 n = 2 2 (+ 0,045) V 0 =3500 0,045 V 0 =395,03 Table n 4 : 9, = 395,03 Vérfcaton : 395,03 ( + 0,045)2 =5424, 2 ( + 0,045) 3500 =5424, 0,045 c) 2 semestraltés égales chacune à 3500 au taux annuel de 9,00 %. Il n'y a pas concordance entre les pérodes du taux d'ntérêt (année) et la pérode de la durée (semestre) Il faut calculer le taux semestrel S équvalent à un taux annuel de 9,00 % n Formule à applquer : V 0 =a (+) S =( + 0,09) 2 = 0,04403 a =3500 n = 2 40/57

41 2 V 0 =3500 (+ 0,04403) 0,04403 V 0 = 32092,68 Vérfcaton : 32092,68 (+ 0,04403)2 =53822,85 ( + 0,04403) =53822,85 0,04403 d) 5 trmestraltés égales chacune à 4800 au taux trmestrel de 2,50 %. Il y a concordance entre pa pérode du taux et celle de la durée (trmestre) (+) n Formule à applquer : V 0 =a =0,025 a =4800 n = 5 ( +0,025)5 V 0 = ,025 V 0 =59430,6 Avec la table n 4 : V 0 = ,3838 =59430,62 Vérfcaton : ,6 (+ 0,025) =86073,24 (+ 0,025) = 86073,25 0,025 e) 5 trmestraltés égales chacune à 4800 au taux annuel de 0 %. Il n'y a pas concordance entre la pérode du taux (annuel) et celle de la durée (trmestre). Il faut calculer le taux trmestrel t équvalent au taux annuel de 0 % (+) n Formule à applquer : V 0 =a t =( +0,0) 4 =0,0244 ( an = 4 trmestres) a =4800 n = 5 5 ( +0,0244) V 0 = ,0244 V 0 =5989,8 Vérfcaton : ,8 (+ 0,0244) =85520,37 5 (+ 0,0244) 4800 =85520,37 0,0244 4/57

42 f) 5 trmestraltés égales chacune à 4800 au taux semestrel de 5,00 %. Il n'y a pas concordance entre la pérode du taux (semestrel) et celle de la durée (trmestre) Il faut détermner le taux trmestrel t équvalent au taux semestrel de 5,00 % (+) n Formule à applquer : V 0 =a 2 S =( + 0,05) = 0, ( semestre = 2 trmestres) n = 5 a = ( +0,024695) V 0 = , V 0 =59564,7 Vérfcaton : ,7 (+ 0,024695) =85882,44 (+ 0,024695) = 85882,44 0, Exercce 3 8 annutés constantes, captalsées au taux de 6,50 %, donnent une valeur acquse au moment du derner versement de Détermner le montant de l'annuté. Annutés constantes de fn de pérode : Formule à applquer : a=v n (+)n V 8 =00000 =0,065 n=8 0,065 a =00000 ( + 0,065)8 a =9923,73 table n 4 : =9923,73 0,07686 Exercce 4 Comben faut-l verser d'annutés de 200, captalsées au taux annuel de 6 % pour consttuer un captal de 0000 au moment du derner versement? Annutés de fn de pérode Vn V n (+)n (+)n n = Formule à applquer : V n =a sot ou (+) = a a V (+)n= n + a V n =0000 =0,06 a=200 42/57

43 (+0,06)n= , ,06n=0,5+=,5 n,06 = ln ((,06)n)=ln (,5) sot n ln(,06)=ln(,5) donc n= ln (,5) ce qu donne n=6, ln(,06) Il faudra verser 7 annutés de fn de pérode d'un montant de 200 pour obtenr un captal de Exercce 5 Comben faut-l verser de mensualtés de 803,0 pour rembourser un emprunt de 25000, calculé au taux mensuel de %, la premère mensualté étant payée un mos après la mse à dsposton des fonds? Annutés de fn de pérode («la premère mensualté est payée mos après la mse à dsposton...» Il y a concordance des pérodes (mensualté, taux mensuel) (+) n Formule à applquer : V 0=a =0,0 a=803,0 V 0 =25000 n (+0,0) 25000=803,0 0,0 n (+0,0) = 803,0 0, ,0 250 n (+0,0) = = 803,0 803,0 250 n,0 = 803,0 803, ,0 n,0 = = 803,0 803,0 553,0 ln ((,0) n)=ln 803,0 553,0 n ln (,0)=ln 803,0 553,0 553,0 ln ln 803,0 ; 803,0 n= n= ln (,0) ln (,0) ( ( ) ( ) ) ( ) n=4, Il faudra verser 5 mensualtés de 803,0 pour rembourser le prêt de /57

44 Exercce 6 Les offres fates à une entreprse pour un terran ms en vente sont les suvantes : a) payables comptant. b) payables dans 5 ans. c) Annutés de (chacune) payables pendant 5 ans, le premer versement ayant leu mmédatement. Quelle est l'offre la plus avantageuse pour le vendeur (l'entreprse)? L'équvalence est assurée au taux annuel de 4 %. Il faut évdemment fare la comparason des valeurs actuelles de ces 3 propostons a) V 0 ( a)= b) V 0 (b)= (+0,04) 5= c) Annutés constantes de début de pérode n Formule à applquer : V 0 =a ( +) (+) a= =0,04 n=5 (+0,04) 5 V 0 (c)= (+0,04) 0,04 V 0 (c)= C'est l'offre (c) d'un paement en 5 annutés de qu est la plus avantageuse. Exercce 7 Une personne a souscrt un Plan Epargne Logement (PEL) le 0/0/200 au taux de 2,50 % l'an de la manère suvante : le 0/0/200, l effectue un versement ntal de En outre, à partr de ce même jour, et jusqu'au 0/0/209 nclus, elle verse à chaque er janver la somme de Calculer la valeur acquse le 3/2/209 par ce PEL (clôture du compte le 3/2/209) Il faut consdérer d'une part la valeur acquse par le versement ntal et d'autre part la valeur acquse par les versements des annutés de début de pérode de 500 Valeur acquse par le versement ntal : V 0 =5000 =0,025 (l y a concordance des pérodes : année) n=0 le captal produt des ntérêts composés en 200, 20,, 208, V 9=5000(+0,025) =6400,42 Valeur acquse par des annutés de début de pérode de 500 du 0/0/200 au 0/0/209 sot 0 annutés (+)n Formule à applquer : V n =a (+) 0 (+0,025) V ' 0=500 (+0,025) 0,025 V ' 0=7225,20 44/57

45 Autre méthode : Valeur acquse par la ère annuté à la date du retrat 3/2/209: 2ème annuté : 3ème annuté : 4ème annuté : 5ème annuté : 6ème annuté : 7ème annuté : 8ème annuté : 9ème annuté : 0ème annuté : Valeur acquse par ces 0 annutés : 7225,5 Valeur acquse par le versement ntal: 6400,42 Valeur acquse par le PEL : 7225,5+6400,42=23625,57 500,0250=920,3 500,0259 =873,24 500,0258=827, ,025 =783, ,025 =739,54 500,0255=697, 500,025 4=655,72 500,0253 =65,34 500,025 2=575,94 500,025=537,50 2. Quel captal unque aurat-l dû placer le 0/0/200 pour obtenr le 3/2/999 le même montant d'épargne? Recherche de la valeur actuelle du captal acqus au terme de 0 ans de placement V 0 =V 0 (+) 0 0 V 0 =23625,57(+0,025) V 0 =8456,26 Il aurat dû placer 8456,26 pour obtenr le même captal au terme de 0 ans de placement. 3. Dans le cadre de la légslaton actuelle, en cas de prêt pour l'acquston d'une résdence prncpale, l'etat verse une prme égale au montant des ntérêts acqus, plafonnée à 525. Quelle sera l'épargne totale ans consttuée par cette personne au terme du contrat? Intérêt total acqus par le PEL : V 0 V 0=23625,57 ( )=23625, =3625,57 La prme de l'etat sera plafonnée à 525. Epargne totale dsponble : 23625,57+525,00=2550,57 45/57

46 TABLES FINANCIERES 46/57

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50 V. LES EMPRUNTS INDIVIS Année. Généraltés: Un emprunt ndvs est un emprunt accordé à une personne unque (le débteur, l'emprunteur) par un prêteur unque (généralement un organsme bancare). L'emprunteur peut être une personne physque ou une personne morale. Le prêt accordé à une personne physque peut servr par exemple à acquérr un bne mmobler (prêt mmobler) ou un ben de consommaton (voture, équpement ménager). Ce type de crédt est affecté : l dot être exclusvement utlsé pour l'acquston d'un ben clarement dentfé. Il exste également des crédts non affectés, en partculer certans crédts à la consommaton : le prêteur met une certane somme à la dsposton de l'emprunteur, celu-c utlse les fonds comme l l'entend (crédt personnel) Il exste également une autre forme de crédt, en plene expanson de nos jours : le crédt renouvelable ou crédt revolvng, une réserve d'argent est mse à dsposton de l'emprunteur et les l'amortssement du crédt réalmente la réserve. Cette forme de crédt est génératrce de soucs car elle est souvent la cause du surendettement des ménages. Les emprunts ndvs contractés par les personnes morales (entreprses, assocatons, collectvtés publques) peuvent servr à fnancer les nvestssements ou le cycle d'explotaton. Ils se dfférencent des emprunts oblgatares qu font ntervenr pluseurs prêteurs. Nous étuderons dans ce chaptre les emprunts ndvs à taux fxe, reposant sur la technque de l'ntérêt composé, c'est à dre ceux pour lesquels l'ntérêt est calculé avec un taux unque et dont le remboursement se fat en pluseurs fos. 2. Les relatons entre les dfférents éléments d'un emprunt ndvs. Exemple n : Examnons le tableau d'amortssement d'un emprunt ndvs de contracté le 0/0/200 remboursable sur 5 ans par annutés varables (progressves 4000,4200,6320,0200 les 4 premères années et le solde en 204, versées en fn d'année ; le taux annuel est de 8,00 %. NB : l y a concordance entre le remboursement annuel et la taux annuel (l n'y a pas de calcul de taux équvalent ou proportonnel à fare). Annuté à Captal (Dette) Intérêt à payer à la fn de Amortssement du Captal verser restant à amortr au l'année (de la Dette) en début de l'année fn d'année ,08= = = ,08= = = ,08= = = ,08= = = TOTAUX ,08= L'emprunteur s'engage : à payer, à la fn de chaque année, l'ntérêt au taux annuel de 8 %, sur le captal emprunté et non remboursé selon les modaltés suvantes (fxées dans les termes du contrat) : ère annuté : ème annuté : ème annuté : ème annuté : ème annuté : le solde restant dû. à rembourser, à la fn de chaque année, une parte du captal emprunté. Ce remboursement est appelé «amortssement du captal». 50/57

51 L'annuté à payer, à la fn de chaque année, est donc la somme de l'ntérêt et de l'amortssement. Nous constatons faclement les relatons suvantes : a) Relaton n : le montant de l'emprunt est égal à la somme de tous les amortssements. b) Relaton n 2 : la dernère annuté est égal au derner amortssement augmenté de son propre ntérêt. c) Relaton n 3 : le captal emprunté est égal à la somme des valeurs actuelles des annutés assurant le servce de l'emprunt. d) Relaton n 4 : le captal dû à la fn d'une pérode quelconque k est égal à la valeur actuelle des annutés non échues à ce jour. Ces quatre relatons restent valables quelles que soent les modaltés d'amortssement d'un emprunt ndvs. 3. Etude des systèmes d'emprunts les plus courants. a) Emprunts remboursables en une seule fos (remboursement n fne) Le captal emprunté est payé en ntégralté à la fn du contrat et les ntérêts sont payés annuellement. C'est un système courant aux Etats-Uns, qu est lourd en terme de décassement pusque très élevé au moment du paement pour le débteur et plus rsqué pour le créancer pusque le défaut de paement est le plus évdent. Sot une dette D0, remboursable n fne au taux annuel. L'ntérêt réglé à la fn de chaque pérode est : V 0 Exemple n 2 : Sot un emprunt de contracté le 0/0/203 au taux annuel de 6% remboursable n fne sur 4 ans. Elaborer le tableau d'amortssement. Intérêt à payer à la fn Dette restant due en début Pérode de l'année Année de pérode D k Ik Amortssemen t Annuté Ak Mk 203 D_0= ,06 = = ,06 = = ,06 = = ,06 = =06000 TOTAUX b) Emprunts remboursables à amortssements constants. Dans le cas du remboursement par amortssements constants, le captal emprunté D 0 est D remboursé par amortssements égaux à M k = 0 n Les annutés sont négales et consttuent une progresson arthmétque décrossante de rason r = D 0 n La premère annuté est donc égale à A = D0 + 5/57 D0 n

52 Exemple n 3: Sot un emprunt de contracté le 0/0/202 remboursable, par amortssement constant, sur 0 ans au taux annuel de 5 %. Elaborons le tableau d'amortssement de cet emprunt : D = = D = ,05 + = = Montant de la ère annuté : A = D0 + n 0 Montant de l'amortssement constant : M k = Le tableau d'amortssement se présentera sous la forme suvante : Année Dette restant due en début de pérode D k Intérêt à payer à la fn de Amortssement l'année Ik Mk Annuté ,05= = = ,05 = = = ,05 = = = ,05 = = = ,05 = = = ,05 = = = ,05 = = = ,05 = = = ,05= = = ,05= = 2000 TOTAUX Ak c) Emprunts remboursables par annutés constantes L'emprunteur pae, à la fn de chaque pérode, une annuté constante. Ce système pratqué par les établssements de crédt pour les prêts aux partculers, présente l'avantage pour l'emprunteur d'un remboursement par sommes égales à un rythme réguler (la pérode pouvant être l'année, le semestre, le trmestre ou le mos qu est le cas le plus général.) On vérfera toujours la concordance entre la pérode du taux et la pérode de remboursement : Taux annuel et remboursement par annuté ne pose pas de problème Taux annuel et remboursement mensuel oblge à calculer le taux proportonnel mensuel ( m = ) ou le taux mensuel équvalent ' =( +) 2, méthode qu m 2 a été étudée précédemment dans le cours sur les placements à ntérêts composés. ère lo des annutés (Relaton n 3): le captal emprunté est égal à la somme des valeurs actuelles des annutés assurant le servce de la dette (on entend souvent ce terme à propos de la Dette Publque de la France, où notre pays dot s'endetter pour couvrr le remboursement des dettes antéreures, pour assurer le servce de la dette). (+ ) n D 0 = A, ce qu donne également : A= D0 n (+) Il dot y avor concordance des pérodes entre et n (Taux annuel et annuté, taux mensuel et mensualtés, taux semestrel et semestralté, etc...) 52/57

53 2ème lo du captal restant (Relaton n 4) : le captal restant dû à la fn d'une pérode quelconque k est égal à la valeur actuelle des annutés non échues à cette date. Le montant du captal D k restant dû à la fn d'une pérode quelconque k est égal au montant du captal restant dû à la pérode précédente D k mons l'amortssement M k D k = Dk M k D = D 0 M 0 D 2 = D M, etc... 3ème lo des amortssements : dans le système des emprunts par annutés constantes, les amortssements successfs forment une progresson géométrque crossante de rason q = + M k = M k (+ ) l dot y avor concordance des pérodes pour et n ( + )n Exemple n 4 : Construre le tableau d'amortssement d'un emprunt de contracté le 0/0/203 au taux annuel de 6 % remboursables en 5ans, annutés constantes. Année Captal restant dû au début Intérêt de la pérode Amortssement de Annuté de la pérode la pérode Dk Ik Mk Ak er amortssement M = D0 203 D 0 = I = ,06 =6000 M = 23739, = 6739,64 ou 23739,64 0,06 M = = 6739,64 (+ 0,06) D = D0 M D = ,64= 83260,36 I 2 = 83260,36 0,06 = 4995,62 M 2 = 23739, ,62 =8744, , D2 = D M 2 I 3 = 6456,34 0,06 =3870,98 M 3 = 23739, ,98= 9868, , D3 = D 2 M 3 I 4 = 44647,68 0,06= 2678,86 M 4 = 23739, ,86 = 2060, , D 4 = D3 M 4 I 5 = 23586,90 0,06 = 45,2 M 5 = 23739,64 45,2= 22324, ,64 D 2 = 83260, ,02 = 6456,34 D3 = 6456, ,66 = 44647,68 D4 = 44647, ,78 = 23586,90 TOTAUX 8960, ,53 Il y a concordance entre la pérode du taux (année) et la pérode de remboursement (annuté) calcul de l'annuté : Captal emprunté D 0 =00000 =0,06 n=5 0,06 A = D 0 =00000 = 23739,64 n (+ ) ( + 0,06) 5 calcul du premer amortssement : 0,06 M = D0 = =7739,64 n 5 ( + ) ( +0,06) Vérfcaton : ,53 =8698,20 S l'égalté n'est pas parfate, on ajuste avec la dernère annuté. 53/ ,20

54 Exemple n 5 : construre le tableau d'amortssement d'un emprunt de 3500 contracté le 0/03/204 au taux annuel de 4,25 % remboursable en an par mensualtés constantes. Les questons prélmnares à se poser avant la constructon du tableau :. Y a-t-l concordance des pérodcté du taux et du remboursement? : NON Le taux d'ntérêt est annuel =0,0425 et le remboursement est mensuel. On chosra c de calculer la taux équvalent mensuel qu servra de base à tous les calculs : 2 m =(+ ) m =, = 0, on gardera le maxmum de décmales pour une précson fne. 2. Captal emprunté D0 = Montant de la mensualté constante : A =3500 A= D0 (+) n 0, = 298,30 (+ 0, ) 2 4. Montant du premer amortssement M = D 0 M = 3500 ( + )n 0, = 286,3 ( +0, )2 On préfèrera en général calculer le premer amortssement sous la forme M = A I Sot, dans le cas présent M = 298, , = 298,30 286,4 On ajustera la cohérence du tableau en corrgeant éventuellement la dernère lgne de celu-c. Mantenant, on peut construre «serenement» le tableau d'amortssement selon la structure connue : 54/57

55 Tableau d'amortssement du prêt de 3500 contracté le 0/03/204 au taux actuarel de 4,25 % remboursable sur an par mensualtés constantes. Mos Pérode Captal dû en début de Intérêt à payer en Amortssement de la k pérode D k fn de la pérode I k pérode M k Mensualté A 03/204 D0 =3500 I =2,6 M = 286,4 298,30 04/204 2 D =323,86 I 2 =,7 M 2 =287,3 298,30 05/204 3 D2 = 2926,73 I 3 =0,7 M 3 = 288,3 298,30 06/204 4 D3 = 2638,60 I 4 = 9,7 M 4 = 289,3 298,30 07/204 5 D 4 = 2349,47 I 5 =8,6 M 5 = 290,4 298,30 08/204 6 D5 =2059,34 I 6 = 7,6 M 6 = 29,4 298,30 09/204 7 D6 =768,20 I 7 = 6,4 M 7 = 292,6 298,30 0/204 8 D7 =476,04 I 8 =5,3 M 8 = 293,7 298,30 /204 9 D8 =82,87 I 9 = 4, M 9 = 294,9 298,30 2/204 0 D9 =888,68 I 0 =3,09 M 0 = 295,2 298,30 0/205 D0 =593,47 I =2,06 M = 296,24 298,30 02/205 2 D = 297,25 I 2 =,08 (ajusté) M 2 = 297,22 (ajusté) 298,30 TOTAUX 79, Coût du crédt : 2 298, =3579, = 79,60 : 79,60 Total des amortssements (ajusté) : captal emprunté : 3500 Total des ntérêts (ajusté ) : coût du crédt 55/ ,60

56 Exemple n 6 : Construre le tableau d'amortssement d'un emprunt de contracté le 0/02/204 au taux annuel de 5,75 % remboursable en 3 ans par trmestraltés constantes. On applquera s nécessare la noton de taux équvalent. 56/57

57 Exemple récaptulatf. Paul Emle LASCAR a ouvert un Plan Epargne Logement le 0/0/2007 en effectuant un versement ntal ce même jour de Il s'est engagé à verser mensuellement la somme de 50, le premer versement ayant leu le 3/0/2007. Le taux du PEL est fxé à la date d'ouverture à 2,50 % et n'a sub aucune modfcaton. Le clent a respecté scrupuleusement ses engagements.. Calculer la valeur acquse par le PEL au 3/2/203. Paul Emle souhate acquérr un appartement à ttre de résdence prncpale d'un montant de Bénéfcant de cesson de drots à prêt de la part de ses parents, cumulés avec ses propres drots, l obtent un Prêt Epargne Logement d'un montant de le 0/03/204 au taux hors assurance de 4,20 % remboursable par mensualtés constantes sur une durée de 0 ans. L'assurance décès-incapacté totale est au taux de 0,45 % Dresser les 5 premères lgnes du tableau d'amortssement. 3. Quel sera le coût total du crédt? 57/57