BTS GPN 2EME ANNEE-MATHEMATIQUES-MATHS FINANCIERES MATHEMATIQUES FINANCIERES

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1 MATHEMATIQUES FINANCIERES I. Concepts généraux. Le référentel précse : Cette parte du module M4 «Acquérr des outls mathématques de base nécessares à l'analyse de données économques» est en relaton avec le module M55 «Démarche de projet d'aménagement et de valorsaton des espaces naturels» pour les objectfs 3 (étude des fasabltés économques) et 4 (évaluer le projet et les actons condutes). Objectf 3. : séres chronologques : chronques, coeffcent de varaton sasonnère. Objectf 3.2 : Mathématques fnancères : sutes géométrques (mse en œuvre des prncpaux résultats), actualsaton d'un captal, taux actuarel, calcul d'annutés. 2. L'essentel à savor : A) Calculatrce scentfque. C'est l 'équpement mnmum pour fare des exercces du nveau BTSA. On dot : savor utlser la touche x y pour calculer les pussances, même avec y fractonnare ou négatf. Exemple : Détermner tel que ( + )4 =,08 On a + = 4,08 + =,08 4 =,08 4 0,094 savor utlser les touches ln et exp ou e x Exemple : détermner n tel que,06 n =2,26 On applque la foncton «logarthme népéren» aux deux membres de l'équaton, ce qu donne ln (,06n ) = ln ( 2,26) ; par proprété de calcul du logarthme, on obtent n ln (,06) = ln (2,26) ln (2,26) 4 Donc n = ln (,06) B) Calculatrce fnancère Vous pouvez trouver des fonctons fnancères dans les calculatrces scentfques récentes. CASIO : MENU GENERAL...TVM TI :...2nde... x.calc ou VARIABLES C'est dans la mesure où la pratque de la calculatrce nous permettra de gagner du temps ou de l'effcacté que nous l'utlserons. On peut trater l'ensemble des Maths-F du programme sans les fonctons fnancères de la calculatrce. Vous devez être capable de maîtrser, par exemple, la constructon d'un tableau d'amortssement et ne pas seulement recoper des résultats de calculatrce. /57

2 II. Le calcul fnancer en ntérêt smple. On défnt l'ntérêt comme la rémunératon qu'un emprunteur verse au prêteur en contreparte de la mse à dsposton d'une somme d'argent appelé captal ou prncpal. Cette contreparte couvre le manque de lqudté du prêteur durant la durée du prêt, couvre auss une parte du rsque d'nsolvablté du débteur, etc... Il est calculé en applquant de façon plus ou mons drecte un taux d'ntérêt (exprmé en pourcentage) au captal. Le calcul en ntérêt smple régt majortarement les opératons d'une durée nféreure à un an (qualfées d'opératons à court terme) pour lesquelles l'ntérêt est versé en une seule fos au début (ntérêt précompté) ou à la fn (ntérêt postcompté) de l'opératon. Les applcatons prncpales se trouvent dans le domane bancare : calcul d'agos ou ntérêts débteurs sur compte courant placement en compte à terme d'une durée de quelques jours à un an escompte d'effets commercaux(trates,bllet à ordre,..) dans celu des marchés de captaux (ttres de créances négocables TCN : ttres de crédt éms par les entreprses, les établssements de crédt ou l'etat qu sont en général souscrts par les organsmes fnancers : les certfcats de dépôt (CD) éms par les établssements de crédt. Les bllets de trésorere (BT) éms par les entreprses ndustrelles et commercales. Les bons à moyen terme négocables (BMTN), éms par toute personne morale habltée à émettre des TCN ; leur échéance est supéreure à un an. Les bons du Trésor négocables (BTN) sont éms par l'etat : on dstngue depus le 0/0/999 : les Bons du Trésor à taux fxe et ntérêt précompté dont la durée de ve est égale à 3, 26 ou 52 semanes. Les Bons du Trésor annuels normalsés (BTAN) également à taux fxe et d'une durée à l'émsson comprse entre deux et cnq ans 2. Placement à ntérêt smple (sutes arthmétques) A) Il exste deux grandes catégores d'opératons à ntérêt smple : lorsque l'ntérêt est versé en fn d'opératon, l est dt postcompté, on parle également d'opératon à terme échu ou d'opératon à taux postcompté. Lorsque l'ntérêt est versé en début d'opératon, l est dt précompté, on parle également d'opératon à ntérêt payé d'avance, d'opératon à terme à échor ou d'opératon à taux précompté. B) L'ntérêt postcompté : l'ntérêt est payé par l'emprunteur au terme du contrat Les calculs de base : la durée et l'ntérêt Que l'ntérêt sot postcompté ou précompté, le calcul de la durée et de l'ntérêt sont dentques. Exemple : L'entreprse GASLIN emprunte la somme de C 0 = entre le 22 mars et le 30 avrl de l'année 203. Le taux d'ntérêt applqué à cette opératon est =5 % exprmé en base annuelle. Le taux d'ntérêt est donc =0,05 La durée de l'opératon est de 39 jours (on ne compte pas le premer jour, ce qu donne 9 jours plens en mars et 30 jours plens en avrl sot 39 jours) donc T = 39 Montant de l'ntérêt : I =C 0 T donc 39 I = ,05 54, L'entreprse GASLIN remboursera n fne la somme de 0054,67 à son créancer. 2/57

3 . Valeur acquse par un captal On appelle valeur acquse (ou valeur future) en date n, notée C n d'un captal ntal noté C 0 au taux la valeur obtenue à l'ssue du placement au taux sur la durée n, sot : C n = C 0 (+ n ) Démonstraton ntérêt annuel Captal ntal C 0 Captal acqus au terme de année : C 0 +C 0 = C 0 ( + ) Captal acqus au terme de 2 années : C 0 +C 0 + C 0 = C 0 ( +2 ) = C 0 ( +2 ) Par tératon, on obtent : Captal acqus au bout de n années : C 0 +C o +C C 0 =C 0 ( +n ) Exemple : Monseur Ratbert place pour neuf mos un montant de à ntérêt smple au taux annuel de 5 %. Calculer la valeur acquse par ce placement à l'échéance : C 0 = 2500 =0,05 n= 9 Attenton, le taux est annuel, l faut donc calculer la durée du placement en fracton d'année. 2 9 = 93,75 2 Valeur acquse par ce placement au terme des neuf mos : 2593,75. I =C 0 n ce qu donne I = ,05 2. Valeur actuelle d'un captal La valeur actuelle d'un captal peut s'nterpréter comme comme la somme qu'l faut placer au temps 0 pour obtenr le captal C n au bout de la durée n Comben dot-on placer aujourd'hu pour obtenr un captal C n au terme des n pérodes. C0 = Cn + n 3/57

4 Exemple : Quelle est la somme que peut emprunter Mr Ratbert aujourd'hu, au taux annuel de 7 %, s'l ne peut rembourser que dans mos? Il s'agt de calculer la valeur actuelle d'un captal qu aurat pour valeur acquse au terme de mos de placement : C n =5600 =0,07 n= On obtent : 2 C0 = , ,33 En fat, s Mr Ratbert avat placé 5262,33 l obtendrat 5600 au terme des mos de placement. C) L'ntérêt précompté : l'ntérêt est payé par l'emprunteur au début du contrat. Appelons le taux de l'ntérêt précompté. L'emprunteur pae l'ntérêt au moment de la mse à dsposton du captal (en fat, l emprunte un captal C mas l reçot une somme nféreure à C, C dmnué de l'ntérêt précompté.). Il reçot donc en date 0 le captal égal à C C n = C ( n) Il reçot donc C ( n) au départ de l'emprunt et rembourse C au terme.. Valeur acquse par un captal à ntérêt précompté Notons plus précsément C 0 le captal effectvement dsponble pour l'emprunteur en date 0 et C le captal remboursé au prêteur en fn d'opératon. Par une démonstraton smlare au cas de l'ntérêt postcompté, on montre que que la valeur acquse est C= C0 n 2. Valeur actuelle d'un captal à ntérêt précompté C 0 = C ( n ) 4/57

5 Exemple : consdérons une opératon d'emprunt d'un montant de , au taux d'ntérêt précompté de 6%, débutant le 8/03/203 pour se termner le 25//203. Quelle est la somme mse effectvement à dsposton de l'emprunteur le 8/03/203? Calcul de la durée (on exclut toujours une des deux bornes, le premer ou le derner jour) Mars : Avrl : Ma : Jun : Jullet : Août : Septembre : Octobre : Novembre : Total de jours : (on a donc exclus le 8/03) taux d'ntérêt annuel : =0,06 Intérêt à payer : , = On en dédut la valeur actuelle de l'emprunt : = L'emprunteur recevra dans ce cas la somme de le 8/03/203 L'emprunteur remboursera la somme de le 25//203. 5/57

6 CORRIGE de l'échelle d'ntérêt et tcket d'agos Consdérons l'entreprse MELCHTHAL, dont le compte bancare est tenu en euros. Les ntérêts du découvert sont facturés au TBB (Taux de Base Bancare) + 2%. La CPFD (Commsson sur le Plus Fort Découvert de chaque mos) est de 0,05 % et la commsson de mouvement de 0,025 %. Le TBB est à 8 %. Le tableau c-après présente, dans ses premères colonnes, l'évoluton des mouvements de ce compte sur les tros premers mos de l'année 203. Les deux dernères colonnes sont réservées au calcul des nombres débteurs (produt du solde débteur par le nombre de jours de découvert à ce solde). Le calcul des ntérêts s'obtent en applquant un taux proportonnel journaler à la somme des nombres débteurs. Compléter le tableau c-dessous Mouvements Date de valeur Débt Crédt Soldes Débteur 0/0/203 Nombres Crédteur Nombre de jours Nombres débteurs /0/ /0/ /0/ (*) /02/ /02/ (*) /02/ /03/ /03/ /03/ /03/ /03/ TOTAL (*) a) Explcatons pour remplr le tableau : le solde état crédteur au 0/0/203 de Le compte passe en découvert le 07/0 sute à de mouvements au débt et de mouvements au crédt. Le solde est donc : = Le solde à nouveau est donc débteur de Les autres soldes sont calculés selon cette méthode. La colonne «Nombre de jours» est calculée en ncluant le premer jour et en excluant le derner. Le produt du nombre de jours par le solde débteur donne le nombre débteur pour la pérode de découvert consdérée. En fat, on consdère que tout se passe comme s le compte avat présenté un solde débteur de durant une journée. b)calcul du tcket d'agos. Conformément à la conventon de compte passée entre la banque et l'entreprse, les ntérêts débteurs correspondent au total des nombres débteurs, sot multplé par le taux d'ntérêt applcable sot TBB+2% ce qu donne un taux d'ntérêt de 8%+2%=0% sot =0, (multplé par = jour) : , =203, /57

7 2. La commsson de mouvement s'applque unquement au total des mouvements débteurs, sot ,025 =288, Cette commsson est assujette à la TVA à 9,6 %, ce qu donne : 288,25 9,6 =56, La CPFD porte sur le plus fort découvert de chaque mos ( pour le mos de janver, pour le mos de févrer et pour le mos de mars) ce qu donne : ( ) 0,05 =63,00 00 Montant total du tcket d'agos : 203,06+288,25+56,50+63,00= 70,8 7/57

8 CALCUL D'UN TICKET D'AGIOS BANCAIRES Consdérons l'entreprse MELCHTHAL, dont le compte bancare est tenu en euros. Les ntérêts du découvert sont facturés au TBB (Taux de Base Bancare) + 2%. La CPFD (Commsson sur le Plus Fort Découvert de chaque mos) est de 0,05 % et la commsson de mouvement de 0,025 %. Le TBB est à 8 %. Le tableau c-après présente, dans ses premères colonnes, l'évoluton des mouvements de ce compte sur les tros premers mos de l'année 203. Les deux dernères colonnes sont réservées au calcul des nombres débteurs (produt du solde débteur par le nombre de jours de découvert à ce solde). Le calcul des ntérêts s'obtent en applquant un taux proportonnel journaler à la somme des nombres débteurs. Compléter le tableau c-dessous Mouvements Date de valeur Débt Crédt Soldes Débteur 0/0/203 Crédteur /0/ /0/ /0/ /02/ /02/ /02/ /03/ /03/ /03/ /03/ /03/ TOTAL Nombres Nombre de jours 6 Nombres débteurs a) Explcatons pour remplr le tableau : le solde état crédteur au 0/0/203 de Le compte passe en découvert le 07/0 sute à de mouvements au débt et de mouvements au crédt. Le solde est donc : = Le solde à nouveau est donc débteur de Les autres soldes seront calculés selon cette méthode. La colonne «Nombre de jours» est calculée en ncluant le premer jour et en excluant le derner. Le produt du nombre de jours par le solde débteur donne le nombre débteur pour la pérode de découvert consdérée. En fat, on consdère que tout se passe comme s le compte avat présenté un solde débteur du total des nombres débteurs durant une journée. Edter le tcket d'agos ntérêts débteurs : CPFD : Commsson de mouvement : TVA (9,60 %) sur la commsson de mouvement : TOTAL du tcket d'agos : 8/57

9 III. Le calcul fnancer à ntérêts composés (sutes géométrques) Dans les opératons à «ntérêts composés», à la dfférence de l'ntérêt smple, la rémunératon du prêteur est versée pérodquement. Elle peut être ncorporée au captal et l'on parle de «captalsaton des ntérêts» C'est le prncpe des placements sur les lvrets bancares les plus connus comme le lvret A, le lvret B, le CODEVI, le LEP, les contrats d'assurance-ve, etc... A) La captalsaton des ntérêts Le calcul à ntérêt composé suppose que sot défne une pérode de captalsaton qu peut être l'année, le mos, la journée,... Une fos la durée défne, l est mportant que le taux d'ntérêt sot exprmé dans la même base (taux en base annuelle pour des pérodes d'un an, taux semestrel sur des pérodes de sx mos, taux trmestrel pour des pérodes de tros mos, etc...). A la fn de chaque pérode, l'ntérêt acqus est addtonné au captal pour produre à son tour des ntérêts. B) La captalsaton en pérodes entères (l dot y avor concordance entre et n Exemple : Sot un captal C 0 placé pendant n années au taux d'ntérêt annuel Captal ntal : C0 Intérêts acqus à la fn de la premère pérode : I =C 0 Captal acqus au terme de la premère pérode : C =C 0 +I =C 0 +C 0 = C 0 (+) Intérêts produts lors de la seconde pérode : C =C 0 (+) Captal acqus au terme de la deuxème pérode : C 2=C 0( +)+C 0 (+) =C 0 (+)(+ )=C 0 (+)2 Intérêts acqus pendant le trosème pérode : 2 I 3 =C 2 =C 0 (+) Captal acqus au terme de la trosème pérode : C 3=C 2 +I 3=C 0 (+)2 +C 0 (+)2 =C 0 (+)3 Par tératons successves, on obtent Captal acqus au terme de n pérodes : C n=c 0 (+) n Au bout de n années, au taux annuel, l'nvestsseur qu a placé un captal ntal C 0 dspose d'un captal C n tel que : C n =C 0 (+)n 9/57

10 . Valeur acquse d'un captal On appelle valeur acquse ou captal acqus (ou encore valeur future) du captal C 0, au taux et à la date n le montant donné par la formule : C n=c 0 (+) n 2. Valeur actuelle (ou valeur actualsée) du captal C n le montant C 0 qu se dédut faclement de la formule précédente : C 0= Cn (+)n n C 0 =C n (+) ou On peut tradure la valeur actuelle comme la soluton du problème suvant : Quel est le captal que je dos placer aujourd'hu pour obtenr au terme de n pérodes le captal souhaté? 3. On appelle ntérêts acqus la dfférence entre la valeur acquse et la valeur actuelle I n=c n C 0 I n=c 0 (+)n C 0 n I n=c 0 [(+) ] I n =C 0 [(+)n ] 4. On peut également, à partr de cette formule, détermner un taux d'ntérêt connassant la valeur acquse, la valeur actuelle et la durée de placement. Ans : C n=c 0 (+) (+)n= Cn C0 Cn C0 += n n = 0/57 n Cn C0

11 Exemple : Monseur DREUS de Montdder décde d'nvestr son argent aux Etats-Uns où les ntérêts sont captalsés tous les semestres. Il dspose d'une somme de $ amércans qu'l place sur un horzon de 5 ans, au taux semestrel de 2,4 %.. Calculer la captal et les ntérêts acqus Captal de départ : C 0=20000 Taux d'ntérêt pérodque (semestrel) : =0,024 nombre de pérodes : n=5 2=0 semestres 0 Valeur acquse : C 0=20000 (+0,024) = 20000,0240 = 25353,0 $ Intérêts acqus : I 0=C 0 C 0=25353, =5353,0 $ 2. Monseur Dreus aurat souhaté dsposer de $ dans cnq ans. Comben aurat-l dû nvestr aujourd'hu? Il dot nvestr la valeur actuelle du captal de $ au taux semestrel de 2,4 % sot : C 0= =2299,24 $ (+0,024)0 3. A quel taux d'ntérêt semestrel ' Monseur Dreus aurat-l dû placer son captal de $ pour obtenr au terme des cnq ans la somme de $? C 0= C 0 0 (+' ) 0 ce qu donne (+ ') = C 0 C0 C 0 C '= =( ) C0 C0 0 ( ) C '= 0 C0 ( '= ) = 0,0305 Monseur Dreus aurat dû trouver un placement rémunéré au taux semestrel de 0,0305 sot 3,05 % /57

12 C) Le temps de placement n'est pas un nombre enter de pérodes (l n'y a pas concordance entre le taux d'ntérêt et le nombre de pérodes n : taux d'ntérêt annuel et nombre de pérodes de 5 ans et 4 mos par exemple). Exemple : Une somme de est placée à ntérêts composés au taux annuel de 6 % (captalsaton annuelle). Quelle est la valeur acquse au terme de 4 ans et 5 mos? Deux solutons sont possbles : a) Soluton «ratonnelle» : On calcule d'abord la valeur acquse à ntérêts composés en prenant comme pérode la parte entère pus on replace le captal ans acqus à ntérêt smple pour la parte fractonnare : Captal ntal : C 0=8700 Taux d'ntérêt : =0,06 Parte entère de la pérode : 4 4 Valeur acquse au bout de 4 ans : C 4=8700 (+0,06) =23608,32 Intérêt rapportés au bout de 5 mos : 23608,32 0,06 5 =590,2 2 Valeur acquse au terme des 4 ans et 5 mos : 23608,32+590,2=2498,53 ( 4 On peut résumer ans la calcul C =8700 (+0,06) +0, ) D'une façon générale, on utlse la formule : C n+ ( n p =C 0 (+) + m p m ) b) Soluton commercale : Dans la pratque, la soluton ratonnelle est peu utlsée au nveau des banques. On lu préfère une soluton approchée, fondée sur l'utlsaton drecte de la formule générale C n=c 0 (+) n où n devent un nombre fractonnare C =8700 (+0,06) 4+ 2 =2488,5 au leu de 2498,53. Cette formule de calcul est mons avantageuse que la formule ratonnelle mas plus smple d'utlsaton. 2/57

13 D) Taux proportonnels, taux équvalents. Noton de taux équvalent On cherche à exprmer une relaton entre des taux exprmés dans des bases dfférentes, par exemple, la relaton qu exste entre un taux annuel et un taux mensuel. a) Premère approche du problème : Cherchons le taux mensuel noté m qu, en captalsant les ntérêts chaque mos, permet d'obtenr le même captal acqus grâce à une opératon réalsée au taux annuel, captalsant les ntérêts annuellement. Cette opératon est basée sur une durée de 2 mos ( an). C n=c 0 (+ m )2 ou également C n=c 0 (+) Sur un an, cette égalté C 0 (+ m )2=C 0 (+) est équvalente à l'égalté suvante : (+ m )2=+ On dt que le taux m est le taux mensuel équvalent au taux annuel b) Généralsaton de cette approche : Sot A et B deux taux d'ntérêt composé exprmés respectvement sur une base (pérode) A et une base (pérode) B. Notons n A et n B les durées correspondantes aux pérodes A et B exprmées dans la même unté de temps. Ces deux taux sont équvalents sur une durée n s : (+ A)n =(+ B )n B A Cette formule donne la relaton entre deux taux équvalents exprmés dans des bases dfférentes. Cette formule permet également d'exprmer un taux en foncton de l'autre. Il vent par exemple que : nb na ou B=(+ A ) na nb A=(+ B ) Exemple : Recherchons quel est le taux équvalent journaler d'un taux bsannuel de 20 %. A=0,2 n A =2 365=730 (2 ans exprmés en jours) n B = ( jour) On obtent =(+0,2) 730 0,00025 sot un taux journaler de 0,025 % B Vérfcaton : Calculons la valeur acquse d'un captal de à ntérêt composé au taux bsannuel de 20% et ce même captal placé à ntérêt composé au taux journaler de 0,025% : (+0,2)= (+0,00025) =24003,74 Le taux journaler a été arrond, ce qu explque la légère dfférence entre les deux valeurs acquses. 3/57

14 Exemple : Détermner le taux trmestrel équvalent à un taux annuel de 8 % Sot A le taux correspondant à trmestre avec n A = B=0,08 c'est le taux annuel donc correspondant à 4 trmestres avec n B =4 Pour une durée de placement de an, on a donc : (+ A) 4=(+ B ) na ou encore =(+ ) n sot =(+0,08) 4 0,09427 A A B B Le taux trmestrel équvalent au taux annuel de 8% est le taux trmestrel de,9427 % Détermner le taux mensuel équvalent au taux annuel de 6 % Sot A le taux correspondant à mos avec n A = B=0,06, c'est le taux annuel correspondant donc à 2 mos donc n B =2 na On a donc l'égalté suvante : =(+ ) n A B B sot A=(+0,06)2 0, Le taux mensuel équvalent au taux annuel de 6 % est le taux mensuel de 0,4868 % Détermner le taux trmestrel équvalent à un taux semestrel de 3,25 % Sot A le taux correspondant à trmestre avec n A = B=0,0325 le taux semestrel correspondant donc à 2 trmestres sot n B =2 na On a donc l'égalté suvante : =(+ ) n sot encore =(+0,0325) 2 0,0620 A A B B Le taux trmestrel équvalent au taux semestrel de 3,25 % est égal à,620 % Détermner le taux mensuel équvalent au taux semestrel de 2,25 % Sot A le taux correspondant à mos avec n A = B=0,0225 est le taux semestrel correspondant à 6 mos donc n B =6 na On a donc l'égalté suvante : =(+ ) n sot encore =(+0,0225) 6 0,00375 A A B B Le taux mensuel équvalent au taux semestrel de 2,25 % est égal à 0,375 % 4/57

15 Exemple : en partant d'un taux annuel égal à 5 %, cherchons les taux équvalents suvants Taux équvalent au taux annuel Formule Exemple pour =0,05 bsannuel =(+) 2 =(+0,05)2 =0,025 sot 0,25 % 2 semestrel 2=(+) 4 trmestrel 3=(+) 2 mensuel 4 =(+) 52 hebdomadare 5=(+) 365 Journaler année de 365 jours 6=(+) Journaler année de 360 jours 7=(+) =(+0,05) 0, sot 2,4695 % 4 3=(+0,05) =0,02272 sot,2272 % 2 4 =(+0,05) 0, sot 0,4074 % 52 5=(+0,05) 0, sot 0,0939 % 365 6=(+0,05) 0,00034 sot 0,034 % 7=(+0,05) 360 0,00036 sot 0,036 % 2. Taux proportonnel Deux taux correspondant à des pérodes dfférentes sont dts «proportonnels»lorsque leur rapport est égal au rapport de leur pérode respectve Annuel bsannuel semestrel trmestrel mensuel Journaler Journaler année de 365 jours année de 360 jours t 2t t 2 t 3 t 2 t 365 t =0,05 0,0 0,025 0, , , ,00039 On remarque que les taux proportonnels sont supéreurs aux taux équvalents. 3. Comparason entre taux proportonnel et taux équvalent Consdérons l'nvestssement d'une somme de 000 placée sur un an au taux annuel de 0 %. Le captal acqus au bout d'un an est : 000(+0,)=00 Placé sur un an au taux proportonnel semestrel de 5 % avec captalsaton semestrelle des ntérêts le captal acqus au bout d'un an est : 000(+0,05)2=02,50 Le calcul en taux proportonnel donne un captal acqus supéreur au calcul en taux équvalent( le taux proportonnel semestrel équvalent au taux annuel de 0 % est égal à 5 %). Notons S le taux qu, applqué sur les deux semestres, permettrat d'obtenr le même captal acqus qu'un placement à 0 % sur un an. Ce taux est tel que =(+0,) 2 =0, S 4,8809 % est le taux semestrel équvalent au taux annuel de 0 %. Il est nféreur au taux proportonnel semestrel (5%) 5/57

16 E) Equvalence de captaux à ntérêts composés Deux captaux de valeurs nomnales et d'échéances dfférentes sont équvalents à ntérêts composés, à une date détermnée, s'ls ont à cette même date, la même valeur actuelle. Exemple : Sot un captal de payable dans 3 ans et un captal de payable dans 5 ans. Le taux d'ntérêt composé annuel est de 0 %. (NB : le captal acqus dans 3 ans à partr de la date d'équvalence sera de pour le premer placement et de pour le second placement dans 5 ans) Valeurs actuelles des deux captaux à la date d'équvalence : er captal : (+0,) 3=8782,87 2ème captal : 30250(+0,) 5=8782,87 Remarque : s on change la date d'équvalence, les valeurs actuelles restent nchangées Reprenons l'exemple c-dessus avec des durées de 2 ans et 4 ans respectvement pour les er et 2ème captal. Valeurs actuelles des deux captaux à la nouvelle date d'équvalence : er captal : (+0,) 2 =2066,6 2ème captal : 30250(+0,) 4=2066,6 F) Equvalence d'un captal à un ensemble de pluseurs captaux Un captal est équvalent, à ntérêts composés, à une date détermnée, à un ensemble de pluseurs autres captaux s la valeur actuelle de ce captal est égal à la somme des valeurs actuelles des autres captaux. Exemple : Montrer qu'un captal de payable dans 4 ans est équvalent, à ntérêts composés, au taux annuel de 9 %, à tros captaux : 2000 payable dans 2 ans 8000 payable dans 5 ans payable dans 7 ans Valeur actuelle du captal unque : 50075(+0,09) 4=35474,39 valeur actuelle du er captal : 2000(+0,09) 2=000,6 valeur actuelle du 2ème captal : 8000(+0,09) 5=698,76 valeur actuelle du 3ème captal : (+0,09) 7 =3675,86 En addtonnant les valeurs actuelles des 3 captaux, on obtent : 000,6+698, ,86=35474,78 Nonobstant les arronds effectués, on remarque que la valeur actuelle du captal unque est égale à la somme des valeurs actuelles des tros captaux consdérés. Le calcul peut évdemment être fat avec des taux d'ntérêt dfférents pour chaque placement. 6/57

17 FICHE D'EXERCICES SUR LES INTERETS COMPOSES Dans les exercces qu suvent, les placements ou prêts sont effectués à ntérêts composés.. Calculer la valeur acquse et le montant total des ntérêts pour chacun des placements suvants : Captal Durée de placement Taux Captalsaton ans 4 ans 5 ans 2 ans Annuel : 6 % Semestrel : 3,75 % Trmestrel :,50 % Mensuel : 0,70 % Annuelle Semestrelle Trmestrelle Mensuelle 2. Calculer la valeur acquse et le montant des ntérêts pour chacun des placements en utlsant la méthode ratonnelle pus la méthode commercale. Captal Durée de placement Taux Captalsaton ans 8 mos 3 ans 5 mos 4 ans 2 mos 3 mos 6 jours Annuel : 6,90 % Semestrel : 4,20 % Trmestrel :,50 % Mensuel : 0,40 % Annuelle Semestrelle Trmestrelle Mensuelle 3. Montrer qu'on peut remplacer tros règlements : 0684 à an, 2427 à 2 ans et 5432 à 5ans par un règlement unque à 4 ans que vous détermnerez, l'équvalence étant assurée au taux annuel de 2,20 %. 4. On remplace le remboursement de 5 dettes : payable dans an 2520 payable dans 2 ans payable dans 3 ans payable dans 4 ans payable dans 5 ans par un remboursement unque d'un montant de 800. Quelle est l'échéance de ce règlement unque, sachant que l'équvalence est assurée au taux annuel de,20 % 5. Le proprétare d'un mmeuble de rapport touche un loyer mensuel de 3500 qu'l place tous les mos au taux annuel de 4,50 %. Quelle sera la valeur de son captal dans 5 ans? 6. Un captal de est placé à ntérêts composés au taux annuel de 6 %. Sx ans après, on place un second captal dans les mêmes condtons. Détermner ce captal sachant que sa valeur acquse au bout de 0 ans est égale au double de la valeur acquse à la même date, par le premer captal. 7. Au bout de comben de temps un captal de 20000, placé à ntérêts composés au taux annuel de 9,50 %aura-t-l une valeur acquse de 4337,38? 8. Une personne a placé un captal à ntérêts composés le er janver La valeur de ce captal est de 224,4 le er janver 20 et de 428,9 le er janver 203. Calculer le taux annuel de ce placement. Calculer le captal ntal. A partr de quelle année le captal acqus sera-t-l supéreur à 2500? 7/57

18 CALCUL D'UN TICKET D'AGIOS BANCAIRES Consdérons l'entreprse MELCHTHAL, dont le compte bancare est tenu en euros. Les ntérêts du découvert sont facturés au TBB (Taux de Base Bancare) + 2%. La CPFD (Commsson sur le Plus Fort Découvert de chaque mos) est de 0,05 % et la commsson de mouvement de 0,025 %. Le TBB est à 8 %. Le tableau c-après présente, dans ses premères colonnes, l'évoluton des mouvements de ce compte sur les tros premers mos de l'année 203. Les deux dernères colonnes sont réservées au calcul des nombres débteurs (produt du solde débteur par le nombre de jours de découvert à ce solde). Le calcul des ntérêts s'obtent en applquant un taux proportonnel journaler à la somme des nombres débteurs. Compléter le tableau c-dessous Mouvements Date de valeur Débt Crédt Soldes Débteur 0/0/203 Crédteur /0/ /0/ /0/ /02/ /02/ /02/ /03/ /03/ /03/ /03/ /03/ TOTAL Nombres Nombre de jours 6 Nombres débteurs a) Explcatons pour remplr le tableau : le solde état crédteur au 0/0/203 de Le compte passe en découvert le 07/0 sute à de mouvements au débt et de mouvements au crédt. Le solde est donc : = Le solde à nouveau est donc débteur de Les autres soldes seront calculés selon cette méthode. La colonne «Nombre de jours» est calculée en ncluant le premer jour et en excluant le derner. Le produt du nombre de jours par le solde débteur donne le nombre débteur pour la pérode de découvert consdérée. En fat, on consdère que tout se passe comme s le compte avat présenté un solde débteur du total des nombres débteurs durant une journée. Edter le tcket d'agos ntérêts débteurs : CPFD : Commsson de mouvement : TVA (9,60 %) sur la commsson de mouvement : TOTAL du tcket d'agos : 8/57

19 CORRIGE de l'échelle d'ntérêt et tcket d'agos Consdérons l'entreprse MELCHTHAL, dont le compte bancare est tenu en euros. Les ntérêts du découvert sont facturés au TBB (Taux de Base Bancare) + 2%. La CPFD (Commsson sur le Plus Fort Découvert de chaque mos) est de 0,05 % et la commsson de mouvement de 0,025 %. Le TBB est à 8 %. Le tableau c-après présente, dans ses premères colonnes, l'évoluton des mouvements de ce compte sur les tros premers mos de l'année 203. Les deux dernères colonnes sont réservées au calcul des nombres débteurs (produt du solde débteur par le nombre de jours de découvert à ce solde). Le calcul des ntérêts s'obtent en applquant un taux proportonnel journaler à la somme des nombres débteurs. Compléter le tableau c-dessous Mouvements Date de valeur Débt Crédt Soldes Débteur 0/0/203 Nombres Crédteur Nombre de jours Nombres débteurs /0/ /0/ /0/ (*) /02/ /02/ (*) /02/ /03/ /03/ /03/ /03/ /03/ TOTAL (*) a) Explcatons pour remplr le tableau : le solde état crédteur au 0/0/203 de Le compte passe en découvert le 07/0 sute à de mouvements au débt et de mouvements au crédt. Le solde est donc : = Le solde à nouveau est donc débteur de Les autres soldes sont calculés selon cette méthode. La colonne «Nombre de jours» est calculée en ncluant le premer jour et en excluant le derner. Le produt du nombre de jours par le solde débteur donne le nombre débteur pour la pérode de découvert consdérée. En fat, on consdère que tout se passe comme s le compte avat présenté un solde débteur de durant une journée. b)calcul du tcket d'agos 2. Conformément à la conventon de compte passée entre la banque et l'entreprse, les ntérêts débteurs correspondent au total des nombres débteurs, sot multplé par le taux d'ntérêt applcable sot TBB+2% ce qu donne un taux d'ntérêt de 8%+2%=0% sot =0, (multplé par = jour) : , =203, /57

20 2. La commsson de mouvement s'applque unquement au total des mouvements débteurs, sot ,025 =288, Cette commsson est assujette à la TVA à 9,6 %, ce qu donne : 288,25 9,6 =56, La CPFD porte sur le plus fort découvert de chaque mos ( pour le mos de janver, pour le mos de févrer et pour le mos de mars) ce qu donne : ( ) 0,05 =63,00 00 Montant total du tcket d'agos : 203,06+288,25+56,50+63,00= 70,8 20/57