MODÈLE D ISING À UNE ET DEUX DIMENSIONS.

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1 Chapter MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS.. ITRODUCTIO. ous commençons, dans ce chaptre, létude dun problème de mécanque statstque de la matère condensée où leffet des nteractons est mportant. Le modèle que nous avons dabord chos de dscuter c est connu sous le nom de Modèle disng[?]. Ce modèle très smple est dén de la façon suvante : on consdère un réseau réguler dont les stes sont numérotés dune certane façon, et sur chaque ste, on dént une varable scalare qu peut prendre deux valeurs. Ces varables sont couplées à un champ extéreur h, et entre elles par une nteracton de pares ; lhamltonen sécrt : H = J h (.) >j j j Ce chox, qu peut, a pror, paraître arbtrare, présente les avantages suvants : Il sagt dun modèle extrêmement smple, mas non trval. Contrarement au cas du gaz parfat, l peut donner leu à des effets coopératfs que nous allons dscuter. Or ces effets peuvent être étudés dans le cadre dune soluton exacte. En effet, alors qul exste très peu dexemples de problèmes exactement solubles en mécanque statstque, le modèle disng est lun de ceux-là, à une dmenson (calcul élémentare) et à deux dmensons (soluton de Lars Onsager, 944[?]). A tros dmensons, l nexste que des solutons approchées. Le fat qul exste une soluton exacte nous permettra dntrodure, souvent de façon élémentare, des concepts de mécanque statstque mportants 4

2 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 5 et très généraux, tels que les fonctons de corrélaton, la noton dordre à courte et grande dstance, de longueur de corrélaton, de pont crtque, de symétre spontanément brsée, etc. ous en proterons également pour ntrodure de façon très smple des méthodes utles de mécanque statstque, telles que les développements de haute et basse température, la matrce de transfert, la dualté, etc. Lexstence dune soluton exacte nous permettra, évdemment, de comparer les proprétés de cette soluton exacte avec celles de solutons approchées, qu seront exposées plus lon, notamment celle obtenue dans lapproxmaton de champ moyen (chaptre III), mas auss une autre, obtenue en utlsant la méthode du groupe de renormalsaton et dscutée plus lon dans cet ouvrage (chaptre V) Il est toutefos bon de précser que lntérêt de ce problème ne résde pas seulement dans le fat qul exste une soluton exacte à une et deux dmensons. Le modèle disng permet de décrre, de façon plus ou mons approchée, toute un large classe de systèmes physques. Il présente donc, en lu-même, un ntérêt consdérable. ous nous contenterons, c, de donner quelques exemples, évdemment non lmtatfs, de systèmes physques susceptbles dêtre valablement décrts par un modèle disng... Systèmes magnétques ansotropes La motvaton ntale qu a condut à étuder le modèle disng, état, au départ, de décrre des problèmes de magnétsme. Le magnétsme de certans soldes solants peut être décrt par des opérateurs de spns S à tros composantes couplés par une nteracton déchange, dans le cadre du modèle dhesenberg[?], comme nous le dscuterons plus lon dans létude du magnétsme localsé (chaptre VII) : J j S S j (.) En présence dun champ magnétque extéreur h, lhamltonen de spn sera de la forme : H = J S S g h S (.3) j j B >j Lune des dffcultés de ce modèle dhesenberg tent à la nature quantque du problème, cest-à-dre à la non-commutaton des composantes des opérateurs de spn S. Une approxmaton smple consdérablement le problème : on ne retent dans lnteracton déchange que les composantes

3 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 6 des spns le long du champ extéreur applqué au système : z z z H = J S S g h S >j j j B z (.4) Tous les opérateurs, dans cet hamltonen, commutent entre eux, de sorte que les valeurs propres de H sont obtenues en donnant aux dfférents z S leurs valeurs propres respectves égales à. Ce modèle, ben que très smplé, permet de décrre un certan nombre de systèmes magnétques. Il se peut, en effet, que lansotrope sot telle que les composantes du spn dans les deux drectons perpendculares soent gelées et ne partcpent pas à la transton magnétque. Par exemple, l peut exster une ansotrope magnétque axale, qu mpose un axe de facle amantaton dans la drecton z, qu peut être décrte par le terme : x H = E ( S ) +( S ) (.5) a a x Dans la lmte dune très forte ansotrope, cest-à-dre E a >> Jj, seuls les états propres où les spns sont orentés parallèlement à z ont une énerge accessble, de sorte que lhamltonen se rédut effectvement à un hamltonen disng.. Gaz sur réseau. Dans ce modèle, on magne que lespace a été dvsé en cellules de volume unté, centrées sur les stes dun réseau réguler. On dént la quantté n = 0 ou, selon que la ème cellule est vde ou occupée par une partcule de gaz; chaque cellule peut être occupée au plus par une partcule de gaz. Les occupatons multples de cellule ne sont pas autorsées. Les conguratons sont spécées par la donnée des n pour chaque cellule. Lénerge potentelle U ne dépend que des n. Le système est susceptble déchanger des partcules avec un réservor. On se place donc dans lensemble grand-canonque. La grande foncton de partton classque (ensemble grand-canonque) est donnée par : Z = exp H (.6) G { n} où H = U n (.7)

4 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 7 étant le potentel chmque dans la cellule. En supposant que les cellules nnteragssent que par des nteractons de pares, on écrt : U = ϕ n n (.8) >j j j où ϕj est le potentel de pare. Le gaz sur réseau et le système de spns sont relés de façon évdente par ldentcaton : = n ce qu sgne que =+ correspond à une cellule vde et = à une cellule remple par une partcule. Les deux systèmes sont donc équvalents. Le modèle de gaz sur réseau permet de décrre des problèmes dadsorpton sur une surface pouvant échanger des atomes ou des molécules avec un gaz, déptaxe etc...3 Modèle dallages bnares Consdérons un modèle sur réseau pour des solutons ou des allages bnares, où les stes du réseau peuvent être occupés sot par des atomes A, sot par des atomes B. On constate une dfférence dénerge selon quune pare datomes AA, AB, ou BB occupent les stes et j. Soent εj( AA ), εj( AB) = εj( BA ), εj( BB) ces énerges dnteracton de pares. Posons p( A) =, s le ste est occupé par un atome A et 0 s le ste nest pas occupé par un atome A et p( B) = s le ste est occupé par un atome B et 0 s le ste nest pas occupé par un atome B. Pusque nous mposons que chaque ste du réseau sot occupé par un atome et un seul (ce qu exclut la présence de lacunes et dnterstcels, dont lénerge est supposée très grande et donc très peu probable), cec mpose la condton : (.9) p ( A)+ p ( B) = (.0) Lénerge dnteracton sécrt : avec H = ϕ n n >j j j (.) ϕ = ε ( AA) p ( A) p ( A)+[ ε ( AB) p ( A) p ( B)+ ε ( BA) p ( B) p ( A)]+ j j j j j j j + ε ( BB) p ( B) p ( B) } j j (.)

5 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 8 ce qu peut se réécrre, en utlsant la condton (. 0) sous la forme H = [ ε ( AB) ε ( AA) ε ( BB)] p ( A) p ( B) (.3) >j J = ε ( AA) ε ( AB)+ ε ( BB) h = [ ε ( AA) ε ( BB)] ous nous sommes contentés de ne donner c que quelques exemples. Il exste, en fat, un grand nombre de systèmes physques très varés décrts par des varables locales résultant dun chox entre deux solutons (spn + ou spn, ste vde ou ste occupé, atome A ou atome B, etc...) susceptbles dêtre décrts par un modèle disng. Cec confère à ce modèle un ntérêt très général en Physque de la matère condensée... Foncton de partton j j j j Dans cette expresson, on na pas écrt explctement des termes addtonnels ndépendants des conguratons datomes A et B sur le réseau. Ce modèle est donc équvalent à un modèle de spns disng avec : et j j j j j j. LE MODÈLE DISIG À UE DIME- SIO. CAS DES FORCES À COURTE PORTÉE. j (.4) (.5) ous commençons par létude du modèle undmensonnel. Un calcul élémentare permet dans ce cas, où le réseau est une chaîne lnéare, de détermner la foncton de partton sans approxmaton. Les forces sont à courte portée. Ce pont a une mportance partculère, notamment pour détermner sl exste une phase ordonnée et une transton de phase à température ne. De plus, par souc de smplcté, nous spéc- ons que les nteractons sont non nulles entre premers vosns seulement. Cette lmtaton aux premers vosns smple les calculs, mas ne mod- e pas qualtatvement les proprétés physques essentelles du modèle par rapport à un cas mons smplé, mas où la portée des nteractons reste ne. Par exemple, un modèle où lon étendrat les nteractons au delà des

6 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 9 premers vosns, en ncluant les nteractons entre deuxème vosns ou entre trosèmes vosns, garderat essentellement les mêmes proprétés, à des modcatons quanttatves près, qu ne changerat pas de façon essentelle la physque. Lhamltonen du système en champ nul se rédut à : H = J (.6) c = exp K = = <,j> où K = J, ce qu se réécrt, en mettant en évdence la parte pare et la parte mpare de lexponentelle : Z = (cosh K + snh K) (.8) c = = <,j> umérotons les spns,..., de gauche à drote. ous consdérons que les deux extrémtés sont ouvertes : nous posons + =0. La chaîne comporte donc spns et lasons de spns premers vosns. Z =( chk) (+ thk) c = = <,j> En effectuant le produt sur toutes les pares <,j>, on obtent une somme de termes comprenant chacun un produt de facteurs, chacun de ces facteurs pouvant être sot, sot tanh K. Pus on dot effectuer la trace sur les spns de ces produts de termes. Dans le calcul de cette trace sur, tous les termes qu sont proportonnels à (ou plus généralement à toutes pussance mpare de ) donneront 0 : = <,j> où la pare <,j > est prse entre stes premers vosns. Dans ce qu sut, nous supposerons J > 0, de sorte que les spns tendent à être parallèles entre eux, (plus précsément à avor le même sgne). La foncton de partton dans lensemble canonque sécrt : Z k j j =0 Le seul terme de trace non non nulle, obtenu quand le produt sur les pares <,j> est effectué, est celu où lon prend, dans chacun des facteurs =,...,, le terme. Alors, j j j (.7) Z c = (cosh K) (.9)

7 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 0 S, au leu de prendre des extrémtés ouvertes, on mpose des condtons aux lmtes pérodques + =, nous obtendrons un autre terme de trace non nulle. En effet, s au leu de prendre dans les facteurs le terme, on prend, à chaque fos, au contrare, le terme jtanh Kcec rajoute le terme supplémentare : ( ).( ).( )...( )(tanh K) qu, sommé sur les, ne donne pas 0 mas la contrbuton non nulle car chaque spn ce qu condut à : ( snh K) se trouve alors élevé au carré. Or, ( ) = = (.0) (.) c Z = ( cosh K) + ( snh K) otons que, dans le cas de la chaîne fermée, les termes en ( cosh K) et en ( snh K) se trouve à la pussance, car l y a mantenant lasons (.)

8 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. de spns premers vosns et non plus, comme dans le cas de la chaîne ouverte. Pusque cosh K > snh K, les deux fonctons de partton Zc et Zc tendent vers la même lmte quand tend vers lnn. Quand la talle du système tend vers lnn, lnuence des effets de bord tend vers zéro. La foncton de partton est une foncton analytque de K ou de la température. On sattend donc à ce que toutes les fonctons thermodynamques qu en découlent le soent auss. Il ny a pas de transton de phase. Cec est un résultat général des systèmes à une dmenson quand les nteractons sont à courte portée, lée à la topologe partculère des systèmes à une dmenson et des défauts détrusant lordre à longue portée dans ces systèmes... Matrce de transfert Le calcul élémentare du paragraphe précédent reste possble en rason de la smplcté du modèle, mas dffclement généralsable à des systèmes plus complexes. Cest pourquo nous étuderons dans ce paragraphe une méthode de calcul en général pussante à une ou deux dmensons, même s elle est dffcle à utlser pour des dmensonaltés plus élevées. On consdère une chaîne lnéare de spns disng, refermée sur un cercle et on mpose des condtons aux lmtes pérodques: = = + Lhamltonen du système, en présence dun champ magnétque extéreur sécrt : H = J h (.3) + = Décomposons exp H par la méthode suvante : K+ h K3+ h K+ h exp H = e e e (.4) + = T T T 3 Les coeffcents à deux ndces T, où chaque ndce j peut prendre valeurs, peuvent être consdérés comme les éléments dune matrce. Cette matrce T est déne de la façon suvante: + K+ h K+ h T++ T+ e e T = = (.6) Kh + Kh T T e e (.5)

9 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. otons que : T T = T 3 3 où T est la matrce carrée de T, par dénton même du produt de deux matrces. On peut ans sommer de proche en proche sur... On obtent, par cette méthode, la foncton de partton canonque pour spns : Z = T T T = T (.8) Cest-à-dre : 3,, (.7) Z = Tr( T ) Les valeurs propres de la matrce T sont les racnes de léquaton : (.9) K e cosh h+ snh K = 0 (.30) dont les racnes sont : et par conséquent, = e cosh h [ e snh h+ e ] K K K (.3) On sntéresse à la lmte thermodynamque, cest-à-dre quon veut calculer lénerge lbre par spn, dans la lmte où le nombre de spns tend vers lnn. Dans cette lmte, lénerge lbre par ste sobtent par : F = lm LnZ Pusque on consdère la lmte où est grand, l est commode de fare apparaître le rapport < : + [ ] + LnZ Ln Ln = + + (.33) + Le deuxème terme décroît exponentellement avec car reste strctement nféreur à +, quels que soent la température et le champ applqué, à lexcepton du pont snguler ( T = 0,h = 0), de sorte que : F [ ] K K K lm = Ln e cosh h + e snh h + e + Z =( ) +( ) (.3) (.34)

10 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 3 On en dédut asément la susceptblté magnétque en champ nul : M F = = = exp K (.35) h h h=0 qu reste ne à toute température non nulle. Comme nous lavons vu au paragraphe précédent, toutes les fonctons thermodynamques sont régulères. Il ne peut apparaître de sngularté à température ne. h=0..3 Fonctons de corrélatons A partr de lénerge lbre par ste F/, obtenue au paragraphe précédent, on peut calculer lamantaton moyenne par ste : snh h snh h + exp 4K Lamantaton spontanée, cest-à-dre dans la lmte du champ tendant vers zéro ( h 0+ ), est nulle à toute température non strctement nulle. Lnteracton J entre spns tend à rendre ces spns parallèles entre eux, mas les uctuatons thermques sont suffsantes pour détrure toute amantaton moyenne, tout ordre à grande dstance. La moyenne < > est nulle, mas l est ntéressant de calculer comment les spns sur des stes dfférents k et l sont corrélés; cest-à-dre de calculer les valeurs moyennes du type < >. La quantté : k l = F M = h kl = < k l > < k >< l > (.37) appelée foncton de corrélaton à deux spns, nous rensegne sur ces corrélatons. Cette foncton de corrélaton de pare mesure essentellement le degré dordre dans le réseau, en champ nul. Mas l est nécessare de consdérer la lmte des grandes dstances. Ans, s (.36) lm lm < > = 0 rkl k l (.38) où rkl dénote la dstance entre spn k et spn l, l est évdent que les spns à grande dstance ne sont pas corrélés, ou, plus précsément, la corrélaton entre spns tend vers 0 quand la dstance entre ces spns tend vers lnn et nous dsons qul ny a pas dordre à longue dstance. Même dans ce cas, la foncton de corrélaton à dstance ne est en général non nulle. Cec est une mesure de lordre à courte dstance qu subsste dans le réseau. Dans notre modèle très smple, ces fonctons de corrélaton peuvent se calculer asément.

11 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 4 Pour calculer ces corrélatons à dstance ne, commençons par consdérer un cas un peu plus complqué où J,+ = K dépend du ste. Dans ce calcul précs, nous consdérons à nouveau le cas dune chaîne ouverte, ce qu, à la lmte thermodynamque, ne joue aucun rôle. La foncton, de partton sécrt alors : ) Z( K,K, K ) = exp K (.39) =, = = + La somme sur = peut être effectuée de façon exacte : Z( K,K, K ) = ( cosh K ) Z( K,K, K ) (.40) et par tératon : Z( K,K, K ) = ( cosh K ) = (.4) Calculons mantenant la foncton de corrélaton : = < > < >< > = < > kl k l k l k l (.4) pusque les valeurs moyennes des spns sont nulles. Pour r> 0 et k+ r<: [ ] = < > exp K (.43) Z cest-à-dre, en utlsant =: { } k l < > = ( )( ) ( )( ) Z k k+ r k k+ k+ k+ k+ r k+ r k+ r k+ r { } [ ] exp K k l + = K= K= K= K doù = () r <k k+ r > ( ) Z K K K Z K,K, K k+ r k+ k = + (.44) K= K= K= K (.45)

12 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 5 Avec lexpresson précédente de Z, on obtent : [ ] + < > = k r Z( K,K, K ) tanh K Z k k+ r = (tanh K) r x <k k+ r > =( x)=exp { } k l = k K= K= K= K S a est la dstance entre spns premers vosns, la foncton de corrélaton entre spns dstants de x = ra décroît exponentellement avec x : k l En ntrodusant la matrce de transfert T : < > = T T T T T T Z k l { } k k k kk+ l l l ll+ (.49) Après sommaton sur tous les = excepté j = k et j = l, on obtent + = l k l k < > T T Z k l k { } j k l l l k s où ( T ) dénote lélément de la matrce T portée à la pussance s On peut écrre = + = (.46) avec a = (.47) Ln tanh K est la longueur de corrélaton, qu décrt comment décroît exponentellement lordre à courte dstance, en labsence dordre à longue dstance. Lapparton de lordre à longue dstance se tradurat par la dvergence de la longueur de corrélaton, ce qu, dans ce modèle, ne se produt jamas à température non strctement nulle. Voyons cec dans le langage de la matrce de transfert, pour une chaîne fermée, en présence dun champ extéreur. On peut écrre, pour k<l: [ ] < > = exp K + h (.48) Z : (.50) s ( T ) = ( ) ( ) ( ) j= j s j j (.5)

13 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 6 T. où et sont les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrce j j Par exemple, en champ nul, et En général, en utlsant = cosh K = snh K = = (.5) (.53) nous avons : [ ] l+ k < > = ( ) +( ) ( ) ( ) k l lk k=,l=,j= j lj ( l [ ] ) j ( k) l+ k lk j = +, j,j= Z =( ) +( ) k k l (.54) (.55) où, = ( ) ( ) = Pour k et l xés, pusque < pour tout K n : l+ k lm = j De même, pusque : lm = 0 lk j c kl = lm < k l > = (, ) En champ nul : j= 0 s j =, j = s j = j s = 0 s = (.56) (.57) (.58)

14 CHAPTER. MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 7 Donc, lk lk ckl = = (tanh K) (.59) Sous cette forme, nous voyons que, s a est la dstance entre deux spns premers vosns : x ( x) = exp ou = lk kl a Ln cest-à-dre que la longueur de corrélaton dverge s et seulement s la plus grande valeur propre devent asymptotquement dégénérée. Cec sgnale lapparton dun pont crtque. Dans ce cas, l y a apparton dordre à grande dstance : [ ] lm lm c = (, ) = 0 (.6) En général, à chaque fos quon peut écrre une expresson telle que léquaton (.58) pour la foncton de corrélaton, nous pouvons dédure quun ordre à longue dstance exste s et seulement s la plus grande valeur propre ( ) est asymptotquement dégénérée (pourvu, évdemment, que lélément de matrce (.56) sot non nul). Ce mécansme pour lapparton dune transton de phase a été étudé en détal par Kac[?]. (.60)..4 Absence de transton de phase à une dmenson La symétre de lhamltonen disng, qu reste nvarant dans un changement de sgne global de tous les spns, montre ben que deux états possèdent une énerge mnmale E0 : ls correspondent aux deux conguratons où tous les spns sont de même sgne, tous postfs (ce quon décrt parfos en dsant abusvement que tous les spns sont algnés vers le haut) ou tous négatfs (tous algnés vers le bas). Ce sont les deux phases pures possbles du système. À cause de cette dégénérescence, lée à la symétre de lhamltonen, la valeur moyenne de lamantaton est nécessarement nulle. Pour qul exste une amantaton spontanée non nulle, l est nécessare que cette symétre sot brsée dune façon ou dune autre. Supposons que les condtons aux lmtes soent telles que lun de ces deux états seulement sot possble, en mposant que sur les bords du système (deux ponts à une dmenson) les spns soent orentés vers le haut. Cette condton va évdemment brser cette symétre, pusque un des états purs devent mpossble car l ne remplt pas les condtons aux lmtes. À température ne, toutes les

15 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 8 conguratons contrbuent à la foncton de partton : Z = exp E( c) {} c (.6) qul est commode de réécrre sous la forme : Z = W ( c) exp E( c) {} c (.63) où la nouvelle somme ne porte que sur les conguratons dénerge dstncte. S on ntrodut lentrope des conguratons dénerge Ec () S()= c kblnw () c (.64) Lentrope calculée c est lentrope dans lensemble mcrocanonque, pusquon consdère lensemble des conguratons dont lénerge est xée égale à E() c. Doù : Z = exp [ E( c) TS( c)] {} c À température xée, cette somme est domnée par les conguratons qu mnmsent lénerge lbre ( Ec ( ) TSc ( )). Il y a donc compétton entre énerge et entrope. S, à température nulle, la mnmsaton de lénerge lbre se rédut à celle de lénerge, à température ne, des conguratons dénerge supéreure peuvent être favorsées s leur entrope est suffsamment grande pour compenser la dfférence dénerge. Dans notre système de spns undmensonnels, les conguratons peuvent être classées selon leur énerge. État Fondamental : Energe E0 ers états exctés Énerge E = E + ( J) Entrope S = k LnC k Ln 0 B B (.65) èmes états exctés

16 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 9 Énerge E = E0 + 4( J) Entrope S 4kLn Énerge lbre : F E0 + 4( J) 4kT Ln On vot donc quà toute température non nulle, auss pette sot elle, les conguratons où les spns sont retournés sont plus probables que létat fondamental ordonné pour très grand. On peut poursuvre un peu plus lon le rasonnement et calculer lénerge lbre Fp dune séquence de p blocs de spns parallèles à lntéreur dun même bloc, chaque bloc étant alternatvement + et ( p est nécessarement mpar à cause des condtons aux lmtes ; dans les états schématsés c-dessus, p =, 3ou 5). Pour p>> et >> : F = E +( p ) J k T LnC p 0 B p (.66) F p Eo +4 pj k T { Ln plnp ( p) Ln( p) } B (.67) Le terme le plus probable de la foncton de partton est obtenu en mnmsant F par rapport à p. On obtent : p p = (.68) + exp 4J cest à dre une fracton très pette à basse température et crossante jusquà la valeur / à température nne. Chaque bloc a une longueur l dont la moyenne est : = + exp 4J (.69) p et par conséquent, lamantaton moyenne par ste vaut : < > = < > = [ < l > < l > + < l > + < l > ] = = + exp 4 J p 3 À toute température non nulle, lamantaton moyenne par ste, non nulle à cause des condtons aux lmtes que nous avons mposées, se rédut à ces effets de bord. Elle est proportonnelle à / et tend vers 0 quand. Il ne subsste aucune phase ordonnée. Le rôle de la dmenson apparaît nettement dans ces consdératons qualtatves. En effet, à une dmenson, l sufft de créer deux défauts localsés à une pare de spns premer vosns, chacun, pour retourner un nombre p (.70)

17 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 0 quelconque de spns : laugmentaton dénerge est la même quon retourne un seul spn ou k spns consécutfs. À plus dune dmenson, partant dun état ordonné à température nulle, les premers états exctés sont obtenus en renversant un seul spn et ls ne changent qunntésmalement lamantaton par ste. S on veut retourner une fracton x des spns, la façon de dépenser une énerge mnmale consste à prendre ces spns dans un cube /d darête ( x) où d est la dmenson despace. En comptant le nombre de spns à la surface du cube, on obtent laugmentaton dénerge par rapport à létat ordonné, égale à lénerge dun défaut localsé à une pare J, ( d ) /d multplée par le nombre de pares de spns à la surface ( x) E = J( x) ( d ) /d ( d ) /d Lentrope de ces conguratons exctées est dordre kbln (en effet, la poston du centre du cube peut être chose arbtrarement sur le réseau parm stes). De sorte que, pour créer une conguraton damantaton moyenne par ste : lénerge lbre nécessare est : [ ( ) ] = x x x F = J( x) kbt Ln (.7) Cette énerge lbre est donc très grande pour tout x non nul à basse température, pusquelle augmente comme une pussance postve de avec la talle du système. Contrarement au cas très spécque des systèmes undmensonnels, létat ordonné reste donc favorsé à température non nulle pour d>. La spéccté est de nature topologque. À une dmenson, l sufft pour casser les corrélatons dans une chaîne parfatement ordonnée, de casser deux lasons de spns premers vosns. Ces défauts localsés sont en fat de dmenson 0 et ne concerne quun nombre n de spns ( dans le modèle précs dscuté c), même quand la talle du système devent nn. Il est clar que cet aspect est qualtatvement dfférent dès le cas de la dmenson, car la topologe de lespace est dfférente, et la dmenson des défauts nest plus Interactons à longue portée Les calculs de ce chaptre et partculèrement largument du paragraphe précédent supposent que les nteractons sexercent seulement entre premers vosns. Toutefos, cet argument ne serat à moder que très légèrement s les forces entre spns sétendaent quelque peu au-delà des premers

18 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. vosns, en ncluant des nteractons par exemple J,+ +. Lessentel de largument reposat sur le fat quavec une dépense ne dénerge on peut retourner une fracton macroscopque des spns, mas ce résultat resterat nchangé pourvu que les forces soent à courte portée. Cec nest plus le cas pour des forces de portée nne. Dans ce derner cas, lnteracton peut donner leu à une transton de phase. Pour vor cec, consdérons un système où lnteracton entre deux spns dstants de na est J( n), où a est lunté de dstance nteratomque. Quand J( n) est ndépendant de n dans un réseau, lénerge totale sécrt : E = J = J ( ) = J,j j (.7) Cec montre que lénerge totale est proportonnelle à et ne satsfat pas la condton dextensvté de lénerge. S lon veut que lénerge totale demeure une quantté extensve, donc proportonnelle à la talle du système, on peut reméder à cette dffculté à condton de consdérer que lnteracton entre deux spns nest pas J, mas J/. (Ce modèle est en fat équvalent à une approxmaton qu sera dscutée au chaptre III et connue sous le nom dapproxmaton de Bragg-Wllams [?] ). Lhypothèse dune dstrbuton unforme de partcules sur le volume permet dobtenr une transton de phase quelle que sot la dmenson despace. Ce modèle suppose que lnteracton at une portée nne et une ampltude nntésmale. Consdérons mantenant la condton pour lexstence dune transton de phase, selon la dépendance en foncton de n de J( n) pour n grand. Supposons J > 0 et posons : M 0 = J ( r) r= (.73) S M0 devent nn, la dfférence entre lénerge de létat fondamental (cest-à dre létat où tous les sont égaux à +) et celle des premers états exctés (les états où seulement un est égal à ) est nnment grande. Le système est alors toujours dans son état fondamental et ne peut pas subr de transton de phase, (cette fos c parce que la phase désordonnée nest jamas stable). M0 dot rester n pour quune transton de phase pusse exster. De plus R. Ruelle[?] a montré que s : M = rj ( r) r= (.74)

19 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. état n, le système état toujours dans un état désordonné et ne pouvat, par conséquent, subr une transton de phase. On peut comprendre ntutvement cette proprété de la façon suvante : la frontère entre deux domanes ordonnés de longueur nne et a une énerge de créaton ne M. Par conséquent, les frontères de deux états ordonnés de longueur ne et ont une énerge nféreure à M. Alors, selon largument développé pour le cas des forces à courte portée, le système ne peut rester dans la phase ordonnée à toute température ne, pusque lentrope stablsera toujours la créaton de défauts. Dyson[?] a montré que, s Jn ( ) ( 0) état monotone décrossant en foncton de n, et que M0 et K dén par Ln [ Ln ( r + 4)] K = (.75) rj 3 () r r= restaent ns, alors une transton de phase se produsat à température ne. De plus, même dans le cas où M est nn, aucune transton ne se produt s [ Ln ( Ln)] r= nj ( n) 0 quand Par exemple, Baker[?] a consdéré un modèle où lnteracton est déne par : Jn ( ) = exp( n) (.76) où M0 et M sont ns pour postf. S on pose = 0 et quon fat tendre vers zéro, alors M0 =, mas M devent nn. Par conséquent, une transton de phase peut se produre..3 LE MODÈLE DISIG À DEUX DI- MESIOS. Les arguments qu précèdent montrent ben le caractère partculer du cas undmensonnel. On sattend à des résultats qualtatvement dfférents à des dmensonaltés plus élevées et à la possblté dexstence dune phase ordonnée et dune transton à température ne. ous allons donc étuder le cas bdmensonnel où exste une soluton exacte[?], en labsence de champ magnétque. ous consdèrerons, dans ce paragraphe, un modèle disng bdmensonnel avec nteractons à courte portée

20 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS Matrce de transfert Cette méthode sapplque encore à deux dmensons. On consdère un réseau bdmensonnel sur un tore construt en emplant des anneaux de n spns et cec de façon pérodque, de sorte que le ( m+) ème anneau sot dentque au premer. Lénerge totale est de la forme : (, )+ (, )+.. + (, ) 3 m où, (qu est un vecteur à ncomposantes) dénote létat de spn du ème anneau et (, j) est lénerge dnteracton entre le ème et le jème anneau dans létat de spn et j respectvement. ous supposerons que (,j) nest non nul que s les anneaux et j sont premers vosns. Dénssons la matrce de transfert U : (.77) U(, ) = exp (, ) (.78) n n La matrce U est donc une matrce, pusque chaque est un vecteur à n composantes, chacune de ces composantes pouvant prendre valeurs. La foncton de partton sexprme en foncton de la matrce de transfert : Z m = Tr{ U } Soent et les deux plus grandes valeurs propres (éventuellement dégénérées) de la matrce de transfert : >... On peut alors écrre un développement de la foncton de partton pour m grand. m m Z =( ) + + (.79) A la lmte thermodynamque, Il sagt encore de calculer la plus grande valeur propre dune matrce, m m mas la dmenson de celle-c est et tend vers lnn à la lmte thermodynamque. Ce problème a cependant été résolu exactement[?]. Cette soluton nest, toutefos, pas assez smple pour être reprodute c. On peut également montrer, comme à une dmenson, que s et sont non dégénérées la corrélaton entre et 0 quand r et LnZ = mln + r (.80)

21 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 4 que lapparton de lordre à grande dstance suppose que quand m. Onsager a effectvement montré que cétat le cas en dessous dune certane température T. c.3. Exstence dune transton de phase - méthode de Peerls ous allons montrer quà température suffsamment basse, lamantaton spontanée Ms = lm h 0+ M ( h) est non nulle. À cause de la symétre par retournement global des spns, l est ben sûr nécessare de brser cette symétre pour quune amantaton non nulle pusse exster. Cette symétre peut être brsée en ntrodusant un champ extéreur, ce qu va prvléger un des deux états fondamentaux dégénérés, pus on fat tendre lampltude de ce champ extéreur vers 0, de façon que lénerge apportée par ce champ tende elle auss vers 0. En fat, l est plus smple, sur le plan théorque, au leu dmposer un champ extéreur nntésmal, de supposer que sur la frontère du réseau tous les spns sont orentés vers le haut (par exemple): cest également une façon de brser la symétre en ntrodusant un terme dénerge dont la valeur relatve tende vers 0 quand le nombre de spns tend vers lnn. En fat, ces deux façons de brser la symétre de lhamltonen sont équvalentes, à la lmte thermodynamque. ous admettrons cette équvalence, sans toutefos la démontrer. Largument qu sut est dû à Rudolph Peerls[?], améloré par Grffths[?]. Son but est de prouver que dans le modèle disng en dmenson, et pour des nteractons à courte portée, à suffsamment basse température, lamantaton spontanée Ms est strctement supéreure à 0 et que, donc, un état ordonné exste. Cec sufft à prouver lexstence dune transton de phase dans le cas dnteractons à courte portée. En effet, dans une phase totalement désordonnée, on perdra, par rapport à la phase ordonnée, une énerge par spn de lordre de zj, où z est le nombre de premers vosns dun ste donné, alors quon gagnera un terme dentrope par spn de lordre de kbt Ln. À suffsamment haute température, lentrope stablsera toujours la phase désordonnée. S on peut pouver lexstence dune phase ordonnée à suffsamment basse température, on aura établ lexstence dune transton de phase. Cest lobjet de ce paragraphe. Consdérons une conguraton C donnée de spns disng, localsés sur les stes dun réseau carré. ous adoptons la condton aux bords qu contrant les spns à être postfs sur les frontères extéreures de léchantllon, de façon à brser la symétre de renversement global des spns par un terme dénerge nntésmale. La conguraton C content des îlots de spns mmergés

22 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 5 dans la mer des spns + et on trace les frontères séparant ces îlots. Ces frontères ne sont dalleurs pas nécessarement connexes, car un îlot de spn peut contenr un lac de spns +. La donnée de lensemble des frontères que content la conguraton de spns C sufft à détermner complètement cette conguraton. b Une frontère de longueur b content au plus ( ) ponts, pusque le 4 polygone de longueur donnée b qu possède la plus grande are est le carré b de côté. 4 () j b On note F les frontères de longueur b : lndce j vare de à ( b), où b () est le nombre de gures qul est possble de tracer sur le réseau, dont le pérmètre total est b et qu sont exclusvement formées de polygones fermés. Rappelons que ces gures, de pérmètre total b, ne sont pas nécessarement connexes. Un dénombrement élémentare montre que : b () 3 (.8) Pour démontrer cette lmte supéreure pour () b, l est possble de procéder de la façon suvante : on chost le pont nféreur gauche de polygone, ce qu correspond à chox possbles, où est le nombre total de stes du réseau carré, et, à partr de ce sommet, on décrt le polygone en effectuant b pas sur le réseau carré. À chacun des b premers pas, 3 chox sont possbles, le quatrème étant mpossble, car on snterdt de revenr en arrère pour évter des doubles comptages. Le b ème et derner pas nntrodut pas de chemns supplémentares, car l ny a quune façon de revenr au pont de départ. Ben entendu, ce dénombrement ne fat que donner une lmte supéreure pour () b, car un grand nombre de chemns ans engendrés ne seront pas formés exclusvement de polygones fermés.. ( j) ( jk) Une conguraton de spn C content des frontères Fb, F b. k () j On dént la varable Xb de la façon suvante : () j s C content la frontère Fb () j Xb ( C) = (.8) () j 0 s C ne content pas F b Une conguraton C content ( C) spns et on a : b b () [ ] () j () j ( C) X ( C) nb de ponts ntereurs a F b j= b b (.83) Il sagt dune négalté (et non pas dune négalté), car s un lac content des lôts, tous les spns ntéreurs ne sont pas négatfs. Par con-

23 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 6 Fgure.: Conguraton de spns dans le modele disng sur un reseau bdmensonnel carre.les spns postfs sont representes par des dsques blancs et les spns negatfs par des dsques nors. La symetre de renversement global des spns est brsee par les condtons aux bords, qu mpose que sur la surface extereure de lechantllon, tous les spns soent postfs. La con- guraton de spn est specee en ndquant quels spns sont negatfs, ou, ce qu revent au meme, quelles sont les fronteres qu separent les lots de spns negatfs dans la mer de spns postfs. Ces fronteres peuvent ne pas etre connexes : des lacs postfs peuvent etre nclus dans les lots negatfs.

24 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 7 séquent : b () b ( C) X 4 La valeur moyenne de Xb sécrt : () j <X > = ( j) cfb où la somme qu apparaît au numérateur ne comporte que les conguratons qu contennent la frontère Fb, alors que la somme qu apparaît au () j dénomnateur comprend toutes les conguratons de spn. À chaque conguraton C apparassant dans la somme du numérateur () j (et donc comprenant la frontère Fb ), on peut assocer la conguraton C () j dédute de celle-c en renversant tous les spns ntéreurs à Fb. Lensemble des conguratons { C } nest quun sous-ensemble de toutes celles qu apparassent dans la somme au dénomnateur. Donc, nous pouvons écrre : { } ( j) exp H cf () j b <X b > (.86) exp H () j b { C} exp H exp H Sot EC ( Fb ) lénerge dune conguraton C ncluse dans la somme du numérateur et EC ( ) lénerge de la conguraton C du dénomnateur obtenue à partr de C : () j b EC ( ) = EC ( F ) Jb () j b <X > exp bj Par conséquent, le nombre moyen de spns peut être majoré par lexpresson: b b bj < > 3 e (.89) 4 b =4, 6, La somme sur b converge pourvu que 3 exp J <. En prenant une température suffsamment basse, on peut rendre le rapport < >/ arbtrarement pett. On peut obtenr en partculer: C j= () j b () j b ( C) Cette égalté étant exacte pour toutes les conguratons C du numérateur, on en dédut : (.84) (.85) (.87) de la somme (.88) < > < (.90)

25 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 8 ce qu entraîne pour lamantaton spontanée par spn M, déne par : s = < > M ( < + > < > ) = (.9) que Ms est strctement postf à toute température T nféreure à T0 déne par la relaton :.3.3 Dualté p p= 4pJ 3 exp k T p B 0 = s (.9) Cette équaton nest en aucune façon une expresson approchée dune température de transton (car les majoratons successves utlsées pour létablr sont trop grossères), mas elle établt lexstence, à suffsamment basse température dune phase où lamantaton spontanée est non nulle. Comme explqué plus haut, l est physquement évdent quà haute température et, notamment dans la lmte kbt J, lentrope lemportera toujours sur lénerge pour favorser un état désordonné. La concluson de ce paragraphe sera donc quune phase ordonnée exste toujours à suffsamment basse température, alors quà suffsamment haute température, la phase désordonnée est toujours la plus stable. Cec mplque donc lexstence dune transton de phase à température non nulle, contrarement au cas undmensonnel. Les hamltonens dun grand nombre de modèles sur réseau peuvent être exprmés comme la somme, sur toutes les pares de stes, dénerges de lason, ne dépendant que des dfférences entre les valeurs que prennent des varables dynamques sur les pares de stes dénssant les lasons. Dans ces cas là, l est possble deffectuer une transformaton de Fourer du potentel de lason. Les fonctons de partton peuvent alors être exprmées, sot comme des sommes sur les varables dynamques orgnelles dénes sur les stes du réseau, sot comme des sommes sur les varables transformées de Fourer dénes sur les lasons, mas sujettes à certanes contrantes. La transformaton dénssant les varables transformées de Fourer est appelée une transformaton de dualté. La dualté, ans que les transformatons assocées jouent un rôle mportant dans létude des transtons de phase à deux dmensons. Cest notamment le cas du modèle disng à deux dmensons, comme nous allons le montrer. Le modèle disng à deux dmensons est un exemple où la transformaton de dualté est une méthode mportante, qu apporte de façon très smple des nformatons physques préceuses.

26 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 9 Réseau Dual Sot un réseau bdmensonnel, dén par des stes dont la poston est déne par les vecteurs x, ce qu dént également des lasons de stes premers vosns À chaque lason du réseau ntal on dént x,x. x,x, une lason R,R du réseau dual, de façon que le vecteur R,R sot médateur du vecteur x,x et vce versa. À chaque lason x,x, cest à dre à chaque pare de stes du réseau ntal, on assoce une pare de stes premers vosns R,R dun nouveau réseau appelé réseau dual du réseau ntal. Par constructon, le réseau dual du dual est le réseau ntal. Il est ans possble, pour tout réseau bdmensonnel, de construre le réseau dual assocé, en utlsant la constructon que nous venons de dénr. Donnons quelques exemples de réseaux bdmensonnels et de leurs résaux duaux. Dans un réseau b-dmensonnel carré, on dént de nouveaux stes, repérés par les sgnes, placés au centre de chaque malle du réseau. Ces nouveaux stes consttuent un nouveau réseau qu est le réseau dual du réseau carré ntal. On vot faclement que le réseau dual dun réseau carré est lu-même un réseau carré de la même forme et de même paramètre de malle, et que le réseau dual dun réseau hexagonal ( en nd dabelle ) est un réseau trangulare et vce-versa. Le réseau orgnal et le réseau dual sont récproques lun de lautre. ous allons mantenant applquer des arguments de dualté au modèle disng bdmensonnel. Consdérons le cas dun réseau carré. La foncton de partton sécrt : s Z = (cosh K) ( + tanh K) (.93) <,j> où s est le nombre total de pares de premers vosns <,j > et est égal à z/ s on gnore les effets de bords ( z étant le nombre de stes premers vosns dun ste donné et le nombre total de stes). otons que larrangement pérodque en nd dabelle (encore dénommé hexagonal)ne consttue pas un réseau de Bravas, car l content deux atomes non équvalents par malle. Larrangement pérodque trangulare nest pas non plus un réseau de bravas. j

27 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 30 Fgure.: Le reseau carre (en trats plens) et son dual (en tretes), obtenu en placant un nouveau ste au centre de chaque malle du reseau orgnel, sont dentques. Les lasons entre stes premers vosns du reseau dual sont les medatrces des lasons entre stes premers vosns du reseau ntal, et vce versa.

28 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 3 Fgure.3: Le reseau dual du reseau nd dabelle est le reseau trangulare et recproquement. Comme dans la gure precedente, chaque lason entre stes premers vosns du resau dual est medatrce dune lason entre stes premers vosns du reseau ntal, et vce versa.

29 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 3 Fgure.4: Exemple de chemn de trace nulle, qu ne contrbue pas a lexpresson de la foncton de partton. Ce chemn correspond a un facteur fasant ntervenr 7 pares de spns premers vosns. Il est proportonnel a (tanh ) mas la trace sur le spn 9 est nulle. 7 K, Développement de haute température Dans cette expresson (.93), les produts de facteurs jdonnent une contrbuton nulle quand on prend la trace sur { }, s tous les spns nntervennent pas au carré. Pour que la contrbuton sot non nulle, l faut donc que la sute des stes, j... qu se retrouvent quand on effectue ces produts de facteurs sot telle que chaque ste sy retrouve deux fos, car =. Cec peut snterprèter en dsant que la chaîne formée par les mallons <,j> de stes premers vosns partcpant à ces produts de facteurs dot dessner une gure exclusvement formée de polygones fermés sur le réseau pour donner une contrbuton non nulle. Ces polygones peuvent être non connexes. [ ] s n Z = (cosh K) + (tanh K) (.94) n n> 0 où n est le nombre de gures de n lasons consttuées exclusvement de polygones. A une dmenson = 0 pour tout n> 0, à lexcepton de n=, pour n

30 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 33 Fgure.5: Exemple de chemn perms qu contrbue a lexpresson de la foncton de partton. En effet, dans ce terme tous les spns ntervennent a une pussance, sauf les spns 4 et 6, qu ntervennent a la pussance 4. La trace est donc non nulle.

31 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 34 lequel = pour une chaîne fermée de mallons. Cette expresson est jusquà présent exacte formellement. Toutefos, pour être utlsée en pratque, elle exge des calculs de dénombrement des quanttés n, de complexté rapdement crossante avec n. Cest pourquo, ben souvent, lexpresson précédente dot être consdérée comme un développement lmté aux premers termes. Dans ce cas, l consttue un développement de haute température, cest à dre valable pour tanh K. Développement de basse température Pour obtenr un développement de basse température, on réécrt Z dfféremment : Sot r le nombre de pares de spns antparallèles [ +, ] et srle nombre de pares de spns parallèles ([+, +] ou [, ]) : =( sr) r= sr (.95) <,j> j Z = exp K <,j> Doù [ ] Z = exp ( sk) + ω exp Kr où ωr est le nombre de conguratons avec r pares de spns antparallèles. Cec est un développement de basse température. r= r j (.96) (.97) Correspondance auto-duale A chaque polygone de n côtés tracé sur le réseau réel, on peut fare correspondre une conguraton de spns sur le réseau dual comprenant n pares de spns antparallèles : nous plaçons des spns aux stes du réseau dual ntéreurs aux polygones correspondant aux gures de n lasons consdérées en (.9) et des spns + sur les stes du réseau dual extéreurs aux polygones (Fgure.6 ) = ω où lastérsque repère les grandeurs du réseau dual. De même : ω n n = n n (.98) (.99)

32 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 35 Fgure.6: A chaque chemn de n pas sur le reseau, exclusvement forme de polygones, est assocee une conguraton de spn du reseau dual comportant n pares de spns antparalleles et vce-versa. Pour cela, on place des spns postfs sur les stes du reseau dual extereur au chemn et des spns negatfs sur les stes ntereurs.

33 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 36 Fgure.7: La denton des stes ntereurs demande quelques precautons pour des chemns qu se recoupent. Lexemple montre c, ou n=0, correspond au chemn de la gure (.5).

34 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 37 à cause de la récprocté des deux réseaux. On a évdemment s = s. La foncton de partton du réseau orgnal est donnée par : [ ] s n Z( T) = (cosh K) + (tanh K) n n (.00) K et la foncton de partton du réseau dual par : [ ] Z ( T ) = exp ( sk) + exp ( nk) On se restrent au cas J> 0 ( K> 0) et on dént la nouvelle varable T et la température correspondante par : n n (.0) exp K = tanh K kbt = J K qu est détermnée de façon unque pour K> 0. On a alors les relatons suvantes : exp K = tanh K snh K snh K = tanh cosh = tanh cosh K K K K (.0) (.03) (.04) En foncton de, on obtent : T s ZT ( ) = (cosh K) exp( sk) Z( T) ce qu se réécrt de façon symétrque pour : ( ) Z T Z ( T ) s = + s (cosh K) (cosh K ) (.05) (.06) où on a utlsé le théorème deuler + = s (.07) Abasser T correspond à augmenter T. S en élevant la température, on obtent une sngularté de ZT ( ) à T = Tc, alors Z( T) présentera une

35 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 38 sngularté à T = Tc, Tc étant la température correspondant à Tc selon la relaton (.0). Pusque le réseau dual du réseau carré est le même réseau carré, Z est égal à Z et s on admet qul nexste quun seul pont snguler (on sat qul en exste au mons ), alors léquaton Tc = Tc donne la température crtque, dte Température de Cure: doù exp K = tanh K c c snh K = La température crtque T est donnée par : c c (.08) (.09) k T B c = J, J Ln + = 69 Lauto-dualté nous a perms de calculer de façon exacte la température crtque. Mas, de façon plus générale, cette méthode se revèle extrêmement préceuse, car elle nous permet détablr une correspondance bunvoque T T entre les proprétés du système aux températures et relées par : J tanh k T B J = exp k T B (.0) Il sufft donc détuder, par exemple, la phase haute température, cestà-dre T [ T c, [, pour détermner les proprétés de la phase basse température, T [0,T c[. Or, la phase haute température est toujours beaucoup plus smple à étuder. Cest, en effet, la phase la plus symétrque, celle ou la valeur moyenne de lamantaton est nulle par rason de symétre. La phase basse température ne peut être décrte quen ntrodusant une varable thermodynamque supplémentare, qu complque en général la descrpton physque de cette phase. Grâce à la méthode de la dualté, cette dffculté est contournée. Le cas dun réseau carré est partculèrement smple, car l sagt dun réseau auto-dual. Cependant, l est possble détendre la méthode au cas de réseaux qu ne possèdent pas cette proprété dautodualté, comme par exemple, les réseaux nd dabelle et trangulare. Lun est le dual de lautre. Pour le réseau nd dabelle, l est possble de montrer que la température crtque exacte est donnée par cosh K = c (.)

36 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 39 Fgure.8: Relaton de dualte entre les temperatures T, dene sur le reseau drecte, et Tetole, dene sur le reseau drect, foncton monotone decrossante de T pour J> 0. La temperature crtque est dene par la relaton T=Tetole. La proprete de dualte dent une correspondance entre la phase haute temperature et la phase ordonnee.

37 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 40 sot, k BT c =, 586J Pour le réseau trangulare : (.) B c = 4 J k T 3 = 3, Ln 6403 J (.3) On remarquera que la température dordre croît avec le nombre de spns premers vosns dun spn donné : 3 pour le réseau nd dabelle, 4 pour le réseau carré et 6 pour le réseau trangulare. Ordre Antferromagnétque sur un réseau alterné ous avons supposé, dans ce qu précède que lordre état ferromagnétque ( J> 0), cest-à-dre que lnteracton entre spns favorsat un algnement entre spns ou, plus précsément, que les sgnes des spns en nteracton soent les mêmes. Dans ce cas, les deux fondamentaux possbles, qu sont dégénérés, correspondent aux conguratons où tous les spns sont postfs ou tous négatfs. Le cas antferromagnétque ( J< 0) favorse des valeurs opposées des spns en nteracton. Le cas où J< 0 et où les nteractons ne sont non nulles quentre spns premers vosns se ramène très smplement au cas ferromagnétque s le réseau sur lequel les spns sont localsés est alterné. On dt quun réseau est alterné, ou encore b-partte, sl peut être décomposé en deux sous-réseaux Aet B, de façon que tous les stes premers vosns de tout ste du sous-réseau A appartennent au sous-réseau B, et que, de même, tous les stes premers vosns de tout ste du sous-réseau B appartennent au sous-réseau A. Ans, à deux dmensons, le réseau carré de paramètre de malle a est alterné : les deux sous-réseaux A et B sont également des réseaux carrés de paramètre de malle a, et dont les axes se dédusent de ceux du réseau ntal par une rotaton de / 4. Mas les réseaux trangulare et nd dabelle ne le sont manfestement pas. A tros dmensons, les réseaux cubques smples et cubques centrés sont alternés, mas le réseau cubque faces centrées ne lest pas. Cest un argument de symétre du modèle disng sur un réseau alterné qu permet de dédure la soluton du cas antferromagnétque de celle du cas feromagnétque. En effet, s on effectue la transformaton suvante : s A s j B (.4) J j j J

38 CHAPTER. MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 4 on obtent un système rgoureusement dentque au système ntal, mas qu représente une phase antferromagnétque. S le système ntal est dans une phase ferromagnétque, avec une amantaton moyenne par spn m, le système transformé sera dans une phase où lamantaton moyenne par ste sur le sous-réseau A est ma =+ m et où lamantaton moyenne par spn sur le sous-réseau B est mb = m. Lamantaton totale est nulle, contrarement au cas ferromagnétque, mas le système est ben dans une phase ordonnée, caractérsée par une amantaton alternée non nulle, m = m m = 0 AF A B La température crtque exacte du modèle disng antferromagnétque ( J< 0), avec nteracton entre spns premers vosns seulement, sur un réseau carré, est évdemment donnée par J k BTc =, J Ln + = 69 (.5) Contrarement au cas ferromagnétque, l nest pas possble détendre smplement le résultat du réseau carré à celu du réseau trangulare. En effet, le modèle disng antferromagnétque sur ce réseau trangulare présente le phénomène de frustraton: Consdérons une malle trangulare de ce réseau. Il nest pas possble de placer 3 spns aux sommets de ce trangle de façon à satsfare en même temps les tros nteractons antferromagnétques entre spns premers vosns. Cec complque séreusement la détermnaton de létat fondamental et des exctatons de ce système magnétque frustré..3.4 Quelques résultats sur Isng D On peut calculer la foncton de partton en champ nul et lamantaton spontanée, obtenue en ntrodusant un champ magnétque nntésmal. Contentons nous c de rapporter quelques résultats : LnZ Ln K x ϕ = cosh + + (4 ) sn Ln dϕ (.6) 0 où on a posé : On en dédut lénerge : K x = tanh cosh K LnZ E = (.7) (.8)

39 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS. 4 et la chaleur spécque : kbk LnZ C = K La chaleur spécque devent sngulère pour x =4 /, mas lénerge nterne reste ne. La chaleur spécque dverge de façon logarthmque des deux côtés de la transton C ALn T Tc (.9) et le coeffcent A est le même au-dessus et en dessous de Tc. Lamantaton spontanée est donnée par le premer terme du développement de lénerge lbre par rapport au champ magnétque. M M = 0 pour T > T = 4 snh K Près de la température de Cure M ( T T) c c 8 / 8 pour T<T (.0) On dént un exposant crtque pour lamantaton =/ 8. c

40 MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS Quelques caractérstques de la transton Importance de la lmte thermodynamque Il a été nécessare de consdérer la lmte thermodynamque pour deux rasons. La premère est de garantr lhomogénété du système, cest-àdre rendre néglgeables les effets de bords. La seconde est de fournr des sngulartés de la foncton de partton ou des quanttés thermodynamques qu donnent leu à une vrae transton de phase. En effet la foncton de partton J Z = exp j k T,, est une foncton de T qu est toujours analytque, excepté en T =0, parce quune somme comportant un nombre n de termes, chacun de ces termes étant une foncton exponentelle ( donc analytque ), est analytque. Tant que reste n, aucune sngularté, donc aucune transton de phase ne peut exster. Dans les systèmes réels, qu sont toujours de talle ne, l ny a jamas de vra pont snguler au sens mathématque. Par sngularté, l faut comprendre sngularté du système à la lmte thermodynamque. B <,j>