BUREAU D'APPLICATION DES METHODES STATISTIQUES ET INFORMATIQUES

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1 BUREAU DAPPLICATION DES METHODES STATISTIQUES ET INFORMATIQUES BAMSI REPRINT 04/2003 Introducton à l analyse des données Samuel AMBAPOUR BAMSSI I BAMSI B.P Brazzavlle

2 BAMSI REPRINT 04/2003 Introducton à l analyse des données (*) Samuel AMBAPOUR (**) Ce caher n est pas un cours. On y nsste sur le tratement pratque des données et sur les applcatons des dfférentes méthodes d analyse. Un même exemple llustratf est utlsé tout au long de l exposé et sert de base pour la comparason des méthodes utlsées. Pour des exposés théorques complets de ces méthodes, le lecteur est nvté à consulter les ouvrages de base ctés en référence. Grâce à l outl nformatque et notamment à de nombreux logcels commercalsés sur mcro-ordnateurs, l utlsateur de l analyse des données peut désormas se consacrer aux tâches essentelles à savor, le chox de la méthode et l nterprétaton des résultats. Dans ce caher, l est fat usage du logcel ADDAD dffusé par l assocaton du même nom (***) Données ). ( Assocaton pour le Développement et la Dffuson de l Analyse des (*) Ce texte a été publé dans les cahers du CASP n 3-4, décembre 1992 (**) Ensegnant au CASP (***) Ce caher s nspre, au nveau de la forme et du langage, des travaux de cette assocaton.

3 TABLE DES MATIERES 1. INTRODUCTION 2. UN PEU D HISTOIRE 3. TYPES DE TABLEAUX ANALYSABLES 4. ANALYSE GENERAL 5. L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES 5.1. Les données Les obectfs 5.2. La méthode Le tableau de données Analyse des ponts ndvdus de N ( I) dans R Analyse des ponts ndvdus de N ( J) dans R Relaton entre les ponts de N ( I) et de N ( J) Analyse des ponts supplémentares 5.3. Interprétaton de l Analyse en Composantes Prncpales Tableau des données de base Matrce de corrélatons des varables Vecteurs et valeurs propres de la matrce de corrélaton Tableau des facteurs sur I Tableau des facteurs sur J Représentatons graphques J J I I P n

4 6. L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES 6.1. Les données Les obectfs 6.2. La méthode Le tableau de données Analyse des ponts de N J ( I) dans p R Analyse des ponts de N ( J) dans R I Relatons entre les ponts de N ( I) et les ponts de N ( J ) Eléments supplémentares 6.3. Interprétaton d une analyse factorelle des correspondances Tableau des données de base Vecteurs et valeurs propres Tableaux des facteurs sur I et sur J : ades à l nterprétaton Représentatons graphques 6.4. Analyse des correspondances multples Tableau dsonctf complet Tableau de Burt Equvalence entre les deux analyses précédentes Calcul de contrbutons dans le tableau dsonctf complet Interprétaton d une analyse des correspondances multples Tableau des données de base Valeurs propres Tableaux des facteurs sur et J Représentaton graphque J n I

5 7. CLASSIFICATION ASCENDANTE HIERARCHIQUE 7.1. Prncpes généraux Partton et hérarche Classfcaton ascendante et classfcaton descendante Constructon d une classfcaton ascendante hérarchque Crtères d agrégaton 7.2. L nterprétaton d une classfcaton ascendante hérarchque Le tableau des données Hstogramme des ndces de nveau de la hérarche Le tableau du contenu des classes Représentaton de la classfcaton ascendante hérarchque Calcul de contrbutons Etude des classes par rapport à des axes. Formulare Etude des classes par rapport à des axes. Exemple Etude des dpôles par rapport à des axes. Formulare Etude des dpôles par rapport à des axes. Exemple Contrbutons relatves mutuelles entre classes et facteurs Introducton des nœuds de la classfcaton dans le graphque de l analyse factorelle REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

6 Avec l Analyse des Données fondée sur l usage de l ordnateur, c est une nouvelle méthodologe que la statstque apporte à la scence et notamment aux scences de l homme. J-P. Benzécr L Analyse des Données n est certes pas smplement un ensemble de technques nouvelles et, sans être le vecteur phlosophque de la recherche du sens de toute chose, c est quand même une nouvelle manère d être, face à un tableau de données. J-P. Fenelon. Les servces rendus montrent ben que l Analyse des Données consttue auourd hu, et de lon, la parte la plus mmédatement rentable de la statstque. G. Morlat 1. Introducton Il n y a pas très longtemps, on ne pouvat pas trater un tableau de 3000 lgnes et 300 colonnes. L apparton et le développement des ordnateurs a du coup levé cet obstacle de calcul, et a perms la conservaton et l explotaton des grandes masses de données. Cette améloraton contnue de l outl nformatque a fortement contrbué au développement et à la vulgarsaton de nombreuses méthodes statstques, devenues mantenant d usage assez courant. Auourd hu, des vastes données d enquêtes sont dépoullées et, fournssent de grands tableaux qu se prêtent asément à l nterprétaton. Des données ssues d nvestgatons spécfques sont rassemblées et consttuent une masse mportante et apparemment ndéchffrable d nformatons mas, qu on peut désormas trater sans dffcultés. Cependant, comment extrare les phénomènes, les los, les connassances que recèlent ces données que nous ne pouvons appréhender drectement [ 8 ]? 6

7 La statstque classque nous a habtué à étuder les varables les unes après les autres, de construre autant d hstogrammes que de varables. Comment fare pour que, à ces nombreux graphques se substtue un seul graphque, une carte plane? Comment devant, la profuson des descrptons parcellares fournes par l analyse varable par varable, donner une vson globale de l ensemble des résultats? Les technques dtes d analyse des données permettent de répondre à ces questons. Pour J-P. Fénelon l analyse des données est un ensemble de technques pour découvrr la structure, éventuellement complquée, d un tableau de nombres à pluseurs dmensons et de tradure par une structure plus smple et qu la résume au meux. Cette structure peut le plus souvent, être représentée graphquement 31. [ ] Ces technques qu sont essentellement descrptves, ont pour but de décrre, de rédure, de classer et de clarfer les données en tenant compte de nombreux ponts de vue et d étuder, en dégageant les grands trats, les lasons, les ressemblances ou les dfférences entre les varables ou groupes de varables. Les documents fourns sont qualfés de synthétques et percutants et valent souvent meux qu un long dscours. Cette approche descrptve et multdmensonnelle permet de dre que l Analyse des Données, c est de la statstque descrptve perfectonnée. L analyse des données recouvre prncpalement deux ensembles de technques : les premères qu relèvent de la géométre eucldenne et condusent à l extracton de valeurs et de vecteurs propres, sont appelées analyses factorelles ; les secondes, dtes de classfcaton automatque sont caractérsées par le chox d un ndce de proxmté et d un algorthme d agrégaton ou de désagrégaton qu permettent d obtenr une partton ou arbre de classfcaton [ 53 ]. Parm ces deux technques, les premères occupent une place de chox, car elles sont utlsées sot seules, sot conontement avec les secondes, alors que ces dernères sont rarement applquées seules [ 28 ]. On s ntéressera surtout aux analyses factorelles dont on ne décrra que les deux méthodes les plus employées. Il s agt de l analyse en composantes prncpales (beaucoup utlsée dans les pays anglo-saxons) et de l analyse factorelle des correspondances (très prsée en France). La classfcaton automatque sera ntrodute comme ade à l nterprétaton d une analyse factorelle. Ce qu permet de compléter et d enrchr les résultats de cette dernère. Cependant, vu la dversté des méthodes, on 7

8 regardera comment se présentent les résultats pour l une d entre elles : la classfcaton ascendante hérarchque, qu est la plus élaborée des méthodes de classfcaton. 8

9 2. Un peu d hstore Ben que l étude de la structure de vastes ensembles de données sot récente, les prncpes dont les méthodes d analyse de données s nsprent sont ancens. En ce qu concerne l analyse factorelle, l faut remonter aux travaux de Ch. Spearman (1904) qu ntrodut pour la premère fos le concept de facteur ; l cherche, derrère les notes obtenues par de nombreux suets à de nombreux tests, une varable explcatve cachée : le facteur général d apttude (analyse factorelle au sens des psychologues). C est vers les années 30 que se pose le problème de la recherche de pluseurs facteurs (travaux de C. Burt et de L.L Thurstone) ; on cherche deux pus pluseurs facteurs : mémore, ntellgence, etc. non observables drectement mas susceptbles d explquer au sens statstque du terme les nombreuses notes obtenues par les suets. Comme on le constate l s agssat déà de résumer à l ade d un pett nombre de facteurs une nformaton multdmensonnelle. De nos ours on ne fat guère appel à l analyse factorelle au sens des psychologues parce qu elle suppose un modèle a pror. Pus, l analyse factorelle en composantes prncpales développée par H. Hotellng (1933), mas dont on peut fare remonter le prncpe à K. Pearson (1901) : les ndvdus colonnes du tableau à analyser étant consdérés comme des vecteurs d un espace à p dmensons, on proposat de rédure la dmenson de l espace en proetant le nuage des ponts ndvdus sur le sous-espace de dmenson k (k pett fxé) permettant d auster au meux le nuage [ 53 ]. D un pont de vue plus récent écrt L. Lebart, l analyse au composantes prncpales est «une technque de représentaton des données, ayant un caractère optmal selon certans crtères algébrques et géométrques spécfés et que l on utlse en général sans référence à des hypothèses de nature statstque ou à un modèle partculer [ 43 ]. Enfn, l analyse factorelle des correspondances ntrodute par J.P Benzécr (1962), est actuellement en vogue. Elle fournt, sans hypothèses a pror des représentatons smplfées dans un certan sens à l nterprétaton. Lassons sur ce pont la parole au Professeur J.P Bensécr : l analyse des correspondances telle qu on la pratque en 1977 ne se borne pas à extrare des facteurs de tout tableau de nombres postfs. Elle donne pour la préparaton des données des règles telles que le codage sous-forme dsonctve complète ; ade à crtquer la valdté des résultats, prncpalement par des calculs de 9

10 contrbuton ; fournt des procédés effcaces de dscrmnaton et de régresson ; se conugue harmoneusement avec la classfcaton automatque [ 6 ]. Sa logque est clare : le modèle dot suvre les données non l nverse ; le modèle probablste est ugé trop contragnant : statstque n est pas probablté. Les deux méthodes précédentes et celles qu en ont été dérvées, comme l analyse factorelle dscrmnante (ntée par Fsher en 1936, qu permet de décrre la lason entre une varable qualtatve et un ensemble de varables quanttatves) et l analyse canonque (ntrodute par Hotellng en 1936 et dont l obectf ntal état d exprmer au meux à l ade d un pett nombre de couples de varables la lason entre deux ensembles de caractères quanttatfs) dépendent d un même corps de résultats mathématques qu on exposera dans le paragraphe analyse générale. S agssant de la classfcaton automatque, compte tenu de la multplcté des technques exstantes et l effervescence qu règne autour de ce domane, car selon R.M. Cormack (cté par Lebart) plus de 1000 artcles sont publés par an sur ce thème, l est vrament dffcle de fare l hstorque de ces méthodes ; en effet nombreux sont les chercheurs qu ont contrbué à leur mse en œuvre et dont les précurseurs sont : Buffon (1749), Adanson (1757) et Lnné (1758). Je me contentera de rapprocher les obets, suvant le plus grand nombre de degrés de leurs rapports et leur de leurs ressemblances Les obets ans réuns formeront pluseurs pettes famlles que e réunra encore ensemble afn d en fare un tout dont les partes soent unes et lées ntmement écrvat Adanson [ 47 ]. Pour termner cette page d hstore, mentonnons l analyse des données non métrques ntrodute par une nouvelle école de statstcens amércans sous le nom de «multdmensonal scalng» (J.D. Carrol, J.B. Kruskal, R.N. Shepard, ) et dont les prncpales méthodes sont : - l analyse des proxmtés ; - l analyse des préférences ; - l analyse de mesure cononte (qu permet d explquer une varable qualtatve ordnale à l ade des varables nomnales). Ces méthodes ont trouvé leurs applcatons surtout dans le domane du marketng[ 9 ]. 10

11 3. Types de tableaux analysables Les données se présentent généralement sous la forme d un tableau rectangulare, dont les lgnes correspondent à des ndvdus ou untés statstques et les colonnes à des varables appelées caractères ou caractérstques. Les valeurs des varables peuvent être : - quanttatves ordnales (ugement human, température) ; - quanttatves mesurables (pods d un ndvdu, revenu) ; - qualtatves ordnales (classe d âge, le rang) ; - qualtatves nomnales (sexe, stuaton matrmonale). Lorsque dans un tableau, toutes les varables choses sont quanttatves, on peut établr un tableau de données quanttatves ; c est le cas par exemple où l on observe sur un ensemble de suets I, un certan nombre de mesures J : pods, talle, âge. Ce tableau est encore appelé tableau de mesures. A partr de deux varables qualtatves, on peut défnr un tableau de contngence crosant les modaltés de deux varables, l ensemble des lgnes correspond aux modaltés de la premère varable et l ensemble des colonnes aux modaltés de la deuxème varable ; par exemple le tableau qu répartt la populaton congolase recensée en 1974 selon les deux caractères régon et classe d âge. S l on dvse chaque valeur du tableau précédent par le cardnal de la populaton, on obtent le tableau de fréquences relatves que l on appellera smplement tableau de fréquence. S l on crose plus de deux varables qualtatves entre elles défnes sur une même populaton, on peut construre un tableau contenant l ensemble des tableaux de contngence entre les varables prses deux à deux. Le tableau ans obtenu est appelé tableau de Burt. C est un tableau symétrque qu comporte sur sa dagonale des résultats qu en terme de dépoullement d enquête on appellerat des trs à plats, alors qu alleurs on a tous les tableaux des trs crosés des varables deux à deux. 11

12 On rencontre auss des tableaux de préférence. Un ensemble I d ndvdus donne des ugements de préférence globale sur un ensemble J d obets ; on demande par exemple à chaque personne nterrogée de noter de 1 à 4 l ordre de préférence pour quatre marques de bère : prmus, kronenbourg, ngok, amstel. A l ntersecton de la ème lgne et de la èmecolonne, on trouve le rang attrbué par la personne à la bère. Le tableau de préférence est dfférent du tableau de rang. Reprenons le tableau de contngence qu répartt la populaton congolase selon les deux caractères régon et classe d âge. On obtent un tableau de rang s à l ntersecton de la régon et de la classe d âge, on y nscrt le rang de la régon sur toutes les régons, relatvement à l effectf de la classe d âge. Dans le tableau de préférence rencontré c-haut, la lgne est une permutaton de 4 obets alors que dans le tableau de rang c est la colonne qu est une permutaton de nombres de 1 à 9 (les 9 régons du Congo). Les tableaux de proxmtés évoluent la smlarté ou la dssmlarté entre chaque couple d ndvdus par un ndce de proxmté ou de dstance (tableau de dstance nter-vlles). Souvent, on observe des varables qu ne prennent que deux valeurs codées généralement 0 et 1 ; elles condusent à des tableaux bnares : par exemple un ndvdu dot répondre par ou ou par non à une queston ; le ou est codé 1, le non est codé 0 ; on peut auss cter le cas des tableaux de présence-absence où l s agt du relevé de la présence ou de l absence d un caractère. Tel ménage possède ou ne possède pas le caractère : avor un poste télévseur : la présence est codé 1, l absence est codé 0. D une manère générale, un tableau rempl unquement de 0 et de 1 est appelé tableau logque. C est le cas des tableaux précédents. Nous verrons au 6.4.1, qu on peut transformer un tableau de données quanttatves en un tableau de descrpton logque par découpage en classes des varables quanttatves. En fat, parler de tableau logque, c est désgner un certan format de codage, qu peut recouvrr des domanes très [ ] dfférents 31. On peut également mentonner les tableaux de notes. Il s agt dans le cas qu nous ntéresse des notes scolares (type de tableaux analysé dans ce caher) comprses entre deux bornes (0 et 20). Ce tableau peut être analysé comme tel (c est ce que nous ferons dans les chaptres suvants). Dans ben de cas, pour donner la même mportance à chaque observaton, on dédoublera chaque colonne du tableau, c est-à-dre qu à 12

13 chaque matère d orgne on lu fat correspondre une matère dte duale : avor 15/20 en statstque, c est avor 5/20 en la matère duale. L analyse factorelle d un tableau de notes dédoublé semble d un pont de vue pratque donner des résultats plus clars et plus faclement nterprétables que l analyse du tableau ntal[ 12 ]. Le tableau de descrpton logque décrt précédemment peut être consdéré comme un tableau de notes partculer dans lequel toutes les notes ne peuvent prendre que l une des valeurs 0 ou 1. Pour termner, on peut cter les tableaux de correspondance chronologque ou tableaux ternares ou encore tableaux multples. C est par exemple le cas du tableau où, I est l ensemble d ndustres (ou produts), d époques, kijt (ou à destnaton) du pays un ensemble de pays, T un ensemble désgnant les échanges pour le produt, à l nstant t en provenance obtent un tableau de la forme exportateurs, J J. Une généralsaton au cas quaternare a été étudée et on kijpt où I est par exemple l ensemble des pays l ensemble des mêmes pays consdérés comme exportateurs, P est un ensemble des classes de produts et T un ensemble d époques : k IJPT est donc la valeur des mportatons du pays en provenance du pay s (ou des exportatons du pays destnaton du pays ), rentrant dans la classe de produts p et effectuées en l année t. Pour l étude de ces types de tableaux, on utlse très largement la technque des ponts supplémentares (cf 5.2.5)[ 14 ]. à Le tableau soums à l analyse dot posséder certanes qualtés : pertnence, homogénété, exhaustvté. Il ne faut retenr dans la masse hétérogène des fats que ce qu se rapporte à un seul pont de vue (pertnence), et ne pas mélanger les quanttés exprmées en klogrammes et en mètres (homogénété). L exhaustvté mplque que les dfférentes zones du domane d nvestgaton sont ben représentées. A ces tros exgences l faut aouter une condton assez évdente, mas parfos oublée : le tableau de données dot être vaste et en statstque, l nfn est parfos de l ordre de 30 [ 42 ]. 13

14 4. Analyse générale On part d un tableau rectangulare relant deux ensembles fns I et J. On a Ca rdi observatons sur lesquelles sont mesurées CardJ varables : varable de J sur l ndv du de I. ( CardI n, CardJ p) obtenue par l étud ant à l épreuve. Le tableau X peut admettre deux représentatons [ 35 ] : x est la mesure de l a = =. x peut être la note - l une dans un espace vectorel R n avec un nuage de p ponts correspondant chacun à une lgne ; - l autre dans un espace vectorel R p avec un nuage de n ponts correspondant chacun à une colonne. L analyse factorelle revent à fare la recherche des axes prncpaux d nerte (ou axes factorels) des deux nuages. On cherche donc à auster le nuage des ponts par un sous-espace vectorel de R p, mun de la dstance eucldenne usuelle (c est-à-dre que le carré de la dstance entre deux ponts est égal à la somme des carrés des dfférences de leurs coordonnées). On commence par détermner une drote n passant par l orgne et austant au meux le nuage à étuder, en mnmsant la somme des carrés des dstances des ponts à la drote. Ce calcul condut à un vecteur untare porté par cette drote dt auss vecteur propre relatf à une valeur propre. De façon analogue on peut contnuer l austement et trouver dans R p un certan nombre de vecteurs propres et de valeurs propres toutes postves décrossant avec le rang. X étant la matrce du tableau, et la matrce transposée, u α les vecteurs propres et λ α les valeurs propres seront solutons de l équaton : X Xuα λαuα = dans R p Le vecteur u est norme par la relaton : uu= 1 Le premer axe factorel est donc le vecteur u 1 correspondant λ 1 la plus grande valeur propre de X X. L nerte explquée par cet axe est λ 1. En prolongeant le problème on trouve que le sous-espace qu explque la plus grande nerte content les q premers vecteurs propres u 1,..., uq de X X. L nerte explquée par ce sous-espace est égale à la somme des valeurs propres correspondant à ces vecteurs propres. On aura les formules correspondantes dans R n. En effet, l est démontré que [ 43 ] : - s v α est vecteur propre untare de u = X v est vecteur untare de 1/2 α λ α α F 1 X XX relatf à la valeur propre α 0 X X relatf à la même valeur propre. λ, 14

15 -récproquement, s u α est vecteur untare de vecteur untare de XX relatf à λ α. X X relatf à α 0 λ, 1/2 vα = λ α Xuα est u α est appelé α ème axe factorel dans p R. v α est appelé α ème axe factorel dans n R. 15

16 5. Analyse en composantes prncpales 5.1. Les données les obectfs En analyse en composantes prncpales, l ensemble I est décrt à l ade de p varables quanttatves, contnues, homogènes ou non a pror corrélées entre elles deux à deux. On cherche à répondre à des questons du type suvant : quelles sont les varables qu sont lées postvement entre elles? Quelles sont celles qu s opposent? A propos des ndvdus on cherchera à évaluer leur ressemblance et leur dssemblance, à mettre en relef des groupes homogènes d ndvdus. En résumé l analyse en composantes prncpales (ACP) consste à transformer les p varables quanttatves, ntales en p nouvelles varables non corrélées, appelées composantes prncpales (ou facteurs) La méthode On ne décrra c, que l une des varantes de cette méthode et qu est de lon la plus employée : l analyse en composantes prncpales normées. On suppose que les données de départ sont non seulement hétérogènes quant à leur moyenne, mas le sont également quant à leur dsperson et à leur nature (dsparté des untés de mesure). Pour ramener chaque varable à un cadre commun de comparablté, on opérera sur chacune d elle une transformaton lnéare ramenant sa moyenne à zéro et sa varance à l unté (varable centrée rédute) Le tableau de données On a les mêmes ensembles I et {, } X = x I J x J de l analyse générale x... On calcule : )- La moyenne de la varable x : m = M avec M = { m I} x x I 16

17 1 où m est le pods affecté à l ndvdu ; m = et CardI { m I} = M = 1 )- La varance de la varable x : 2 m var( ) ( ) 2 σ = x = x x I M ) La varable centrée et rédute qu a pour composantes sur l ensemble I : X x x = σ où σ est l écart type de x moy( X ) = { X I} = 0 et = ( ) 2 { } var( X ) X moy X I = 1 v)- Le coeffcent de corrélaton lnéare entre deux varables m r = X X I M qu prend les valeurs entre 1 et +1. x et x : Analyse des ponts ndvdus de N ( I) dans On se placera au centre de gravté du nuage des ponts de base (normalsaton centréerédute). Le ème ndvdu sera représenté dans l espace des varables normées un pont ayant pour coordonnée la valeur note par : J p R X et affecté de masse (pods) m NJ( I) = ( X; ) I le nuage des ponts I ; M ) Le centre de gravté G de ce nuage a pour ème coordonnée : m M = 1 m m x I x I 0 σ = M M X GJ = X I ; c est donc l orgne du système d axes dans lequel est placé le nuage des ndvdus. ) La dstance entre deux ponts de 2 {( X X ) J } 2 d (, ) = N ( I) s écrt dans p R : m X par. S l on x x 2 = ( ) J σ (c est la dstance eucldenne usuelle ). Ans chaque varable aura une contrbuton égale à la dsperson totale du nuage NJ ( I ). ) La dstance d un pont de au centre de gravté G du nuage N ( I) vaut : 17

18 { } d G = ρ = X J (, ) () v) L nerte d un pont par rapport au centre de gravté est : m 2 In( I) ( ) M ρ et l nerte du nuage N ( I) sera égal à : m 2 In( NJ( I)) ( ) I M ρ = m 2 = ( X ) I M m 2 = X I, J M Var( X ) J or var( X ) = 1 = { } I = ( N ( I)) = CardJ n J J L nerte du nuage des ponts est donc égale au nombre de varables ; cette nerte est auss égale à la somme des termes dagonaux (trace) de la matrce de corrélaton entre les varables dont le terme général est dagonalser pour la recherche des vecteurs et valeurs propres. r. C est donc cette matrce qu l faudra v) Les facteurs et axes factorels-coordonnées des observatons dans l espace factorel. Soent { Fα () I} les facteurs assocés à l analyse en composantes prncpales normées. Les facteurs sont de moyenne nulle, de varance égale à λ α, et sont deux orthogonaux. En effet : m F α () I = 0 M m F 2 λ α = α () I M et m F () F () I = 0 M α β s α β On sat déà que la somme de toutes les valeurs propres est égale au nombre varables. Et donc : I ( N ( I)) = = CardJ n J λ α CardJ de Analyse des ponts varables de N ( J) dans I n R 18

19 En ACP, l orgne des axes n est pas le centre de gravté du nuage des varables ; les axes factorels ssus du nuage des ndvdus ne sont pas les axes prncpaux d nerte du nuage des varables. On a vu que Var( X ) = 1 c est-à-dre que d 2 (0, ) = 1 ; les varables X sont donc stuées sur une sphère de rayon 1 ce ntrée en 0, orgne ntale des axes. L ntersecton de la sphère et d un plan factorel est un cercle dt cercle de corrélaton. La dstance eucldenne usuelle entre deux ponts de N ( J) dans { } (, ) ( ) d 2 = X X 2 I I n R : En tenant compte du fa t que Var( X ) = Var( X ) = 1 et X X = r, On trouve que : (, ) 2(1 ) 2 d = r où r, est le coeffc ent de corrélaton lnéare entre les varables et. Ans, les proxmtés entre ponts varables s exprment en termes de corrélatons : r = 1 les ponts et sont confondus ; r = 1 les ponts et r = 0 les ponts et 90. sont damétralement opposés sur la sphère (0,1) ; sont orthogonaux et se trouvent aux extrémtés d un arc de Relaton entre les ponts de N ( I) et de N ( J ) Nous avons vu au chaptre 4 les relatons qu exstent entre les matrces J I X X et XX en ce qu concerne les vecteurs et les valeurs propres. En utlsant ces proprétés, on peut établr les relatons de transton entre les facteurs Fα () de I et Gα ( ) de J. On a : α λ 1/2 F () = XGα( ) et 1/2 Gα( ) = λ XFα( ) Il faut sgnaler que ces formules ne sont pas barycentrques comme celles du de l analyse factorelle des correspondances ; les X pouvant être négatfs Analyse des ponts supplémentares On profte de ce paragraphe pour parler éléments supplémentares qu présentent un grand ntérêt en analyse de données et plus partculèrement en analyse factorelle des correspondances. On utlse les éléments supplémentares en analyse de représenter [ 14 ] : données pour - sot une observaton relevée dans des condtons douteuses (ou dfférentes des autres observatons) ou encore une varable sur laquelle la précson est mondre que sur les autres varables mesurées ; - sot un élément aberrant, ou ayant perturbé une analyse prélmnare ; 19

20 - sot un cas nouveau ; - sot des éléments de nature dfférente de ceux analysés. On peut auss utlser des éléments supplémentares pour représenter un groupe de varables ou un groupe d ndvdus. Exemple 1 : un questonnare a été soums à l ensemble des étudants du CASP ; après analyse, on recuelle les réponses d un étudant absent (cas nouveau) : on cherchera naturellement à le placer sur les axes factorels sans refare l analyse. Exemple 2 : on a réalsé une enquête sur l mage de marque de la S.N.E. Chaque clent enquêté répond à un questonnare comportant deux partes : une fche soco- (âge, sexe, professon, revenus, ) ; et une battere d opnons relatves à démographque la socété. S l on analyse la battere d opnons, on mettra par exemple les varables soco-démographques en supplémentares. Consdérons la fgure suvante : J J s X X s I s X s S l on effectue l analyse en composantes prncpales du tableau X (tableau prncpal), on peut proeter sur les axes factorels ans trouvés les ensembles I s (ensemble des ndvdus supplémentares) et J s (ensemble des varables supplémentares). Les coordonnées des ndvdus supplémentares s I s sont les composantes du vecteur ( ) X s u α et, celles des varables supplémentares s J s les composantes du vecteur ( X ) v α (vor 4). Technquement, mettre des éléments en supplémentares dans s l analyse consste à attrbuer une masse nulle à ces éléments et à calculer leurs coordonnées dans l espace factorel. 20

21 5.3. Interprétaton de l Analyse en Composantes Prncpales Tableau des données de base Tratons par cette méthode le recuel d nformatons qu est donné par le tableau 1. Nous y trouvons les notes moyennes par matère obtenues par les étudants du CASP promoton pendant la premère année de leur scolarté. ABDO BANZ BATA BOUK BOYE GOYI LIK LIK LOUZ MAKI MALO MAMP MATO MBIK MPOU NGUI NKOK NSEM NSON NZAK ONDZ SAFO SAM SAM TSIB Tableau.1 : Notes des étudants Le chef de la scolarté du CASP peut être amené à se demander : - s les étudants ont systématquement des résultats melleurs que ceux de leurs collègues ; - s les flles et les garçons obtennent des résultats comparables ; - s un étudant bon en mathématque l est également en démographe ; - etc. Dsons tout smplement qu l veut analyser les données dont l dspose. Le tableau que nous allons étuder crose 25 étudants (en lgnes) et 19 matères (en colonnes) : le 21

22 nombre x se trouvant à la crosée de la lgne par l étudant à l épreuve. et de la colonne est la note obtenue Ensemble J (dans l ordre des colonnes du tableau) STAT MSTA STAS STAE MATH PROB ECON DEMO INFO GEOE COME COMN TEXP ANGL HIST SPOR STAG APPG MOYG Cours de statstque et organsaton de la statstque Méthodes statstques Statstque de la santé Statstque de l éducaton et de l emplo Mathématques Probabltés Econome Démographe Informatque Géographe économe Comptablté d entreprse Comptablté natonale Technques d expresson Anglas Hstore du Congo Actvtés sportves Stage pratque Apprécaton du Drecteur Général du Casp Moyenne générale Ensemble I (des lgnes) Les étudants sont repérés par leurs noms (sgle de 4 caractères). Dans l analyse on mettra SPOR et MOYG en éléments supplémentares, pour la smple rason que la note de sport n ntervent pas dans le système de pondératon et que la moyenne générale n est en fat qu un résumé de toutes les notes. Il n y a pas d ndvdus supplémentares dans l analyse. 22

23 Matrce de corrélatons des varables Tous les coeffcents du tableau 2 ont été multplés par C est une matrce symétrque, seul le trangle nféreur est édté. STAT MSTA STAS STAE MATH PROB ECON DEMO INFO GEOE COME COMN TEXP ANGL STAT 1000 MSTA STAS STAE MATH PROB ECON DEMO INFO GEOE COME COMN TEXP ANGL HIST STAT APPG HIST STAG APPG HIST 1000 STAG APPG Tableau 2 : matrce de corrélaton entre les varables 23

24 L examen de cette matrce fat apparaître, avant toute analyse, les assocatons entre varables. Nous remarquons que le coeffcent le plus élevé vaut 0.751, c est celu de la comptablté d entreprse (COME) avec les méthodes statstques (MSTA) ; ensute vent celu de stage pratque (STAG) avec l apprécaton générale (APPG) qu est égal à On peut sgnaler des coeffcents de corrélaton moyens entre la démographe (DEMO) et l économe (ECON) sot et entre statstque (STAT) et probabltés (PROB) sot De façon générale on constate entre les varables, des coeffcents de corrélaton fables : un coeffcent de corrélaton nul entre la démographe (DEMO) et le stage pratque (STAG) et un coeffcent quas nul entre les mathématques (MATH) et la démographe (DEMO). En d autres termes connassant la valeur DEMO, on ne peut ren dre des valeurs STAG et MATH. Dans le nuage où les ponts sont des varables et les drotes des ndvdus, DEMO fat un angle drot avec STAG et avec MATH. Il faut néanmons rappeler qu un coeffcent de corrélaton est un ndce qu l faut nterpréter avec beaucoup de précautons. C est donc en défntve cette matrce de corrélaton entre varables qu l faut dagonalser pour obtenr une représentaton eucldenne des ponts varables Vecteurs et valeurs propres de la matrce de corrélaton Les vecteurs propres contennent les nformatons à affecter aux varables ntales et qu permettent le calcul des facteurs. Le tableau 3 rend donc compte de ce passage de l ancen repère (facteurs). R J des ancennes varables au nouveau repère R F des nouvelles varables Comme on l a déà noté la somme des valeurs propres est égale au nombre Card J de varables. Dans le cas d un nuage sans drecton d allongement (nuage sphérque), toutes les valeurs propres seraent égales à 1. Ce cas lmte permet de retenr comme axe à pror à étuder ceux dont les valeurs propres sont supéreures à l unté (les sx premères dans le cas présent). La valeur 1 consttue donc un pont de repère pour apprécer une valeur propre. Dans l nterprétaton d un facteur assocé à une valeur propre proche ou nféreure à 1 l est consellé d être très prudent. Ce qu vent d être dt n est valable que s on travalle sur les données centrées et rédutes (ACP normée c est-à-dre la méthode usque c développée). 24

25 NUMERO! VAL PROPRE 1! VAL PROPRE 2! VAL PROPRE 3! VAL PROPRE! ! ! ! ! ! OBJET 1! !.06183! !.32050! OBJET 2! ! ! ! ! OBJET 3! ! 01539! 17381! 08163! OBJET 4! ! 45327! 02122! 10787! OBJET 5! 12295! 20650! 31472! 27844! OBJET 6! ! 21435! ! 37095! OBJET 7! 29212! ! 05790! ! OBJET 8! 22630! 21435! 00401! 37095! OBJET 9! 00108! 48566! 14409! ! OBJET 10! ! 20351! 38798! ! OBJET 11! ! ! 05832! ! OBJET 12! ! 40369! ! ! OBJET 13! ! 14701! 39255! ! OBJET 14! ! ! 33802! ! OBJET 15! ! ! 46651! 01130! OBJET 16! ! ! ! ! OBJET 17! 27514! 10600! ! ! Tableau 3 : Les quatre premers vecteurs et valeurs propres. On donne c-dessous l hstogramme des valeurs propres qu permet de vsualser l mportance et la décrossance des valeurs propres. On note une décrossance lente des valeurs propres. On peut fare remarquer que : ( λ λ ) / λ = ( ) / = ( λ λ ) / λ = ( ) / = ( λ λ ) / λ = ( ) / = S l écart relatf entre λ α et λ α + 1 est fable, une légère fluctuaton dans le tableau des données peut avor pour conséquence la permutaton des facteurs d ordre α et α + 1. En règle générale s des valeurs propres successves sont proches l une de l autre, on consdérera le sous-espace défn par les axes assocés à ces valeurs propres, et non les axes séparément. En effet, l s agt dans un tel cas pratquement d un sous-espace propre, et la poston des axes dans ce sous-espace n est pas sgnfcatve : elle est défne à une rotaton près [ 60 ]. 25

26 LES VALEURS PROPRES VAL (1) = !NUM! VAL PROPRE! POURC.! CUMUL! VARIAT.! *!HISTOGRAMME DES VALEURS PROPRES ! 1! ! ! ! *******! *! ***************! ***************!! 2! ! ! ! 2.426! *! ***************! ***********! 3! ! ! ! 2.011! *! ***************! ********! 4! ! ! ! 2.071! *! ***************! ****! 5! ! 8.713! ! 2.864! *! **************! 6! ! 7.751! !.962! *! *************! 7!.90442! 5.320! ! 2.431! *! *********! 8!.80785! 4.752! !.568! *! ********! 9!.59308! 3.489! ! 1.263! *! ******! 10!.56950! 3.350! !.139! *! ******! 11!.44687! 2.629! !.721! *! ****! 12!.27241! 1.602! ! 1.026! *! ***! 13!.23710! 1.395! !.208! *! **! 14!.14339!.843! !.551! *! *! 15!.10191!.599! !.244! *! *! 16!.06428!.378! !.221! *! *! 17!.03548!.209! !.169! *! Tableau 4 : Hstogramme des valeurs propres Les deux premères valeurs propres représentent envron 34% de l nerte et les sx premères envron 75%. Notons que ces taux sont fables. Du fat des fables coeffcents de corrélaton entre les varables on ne pouvat pas s attendre à trouver des valeurs propres très élevées. Il faut avouer qu l est dffcle de donner une réponse générale à la queston : à partr de quel pourcentage d nerte peut-on néglger les facteurs restants? Cela dépend en général du nombre de varables : un % de 100% n a pas le même ntérêt sur un tableau de 20 varables et sur un tableau de 100 varables[ 57 ]. Cependant des taux d nerte fables peuvent auss donner des représentatons de bonne qualté. On s assurera néanmons qu un fort pourcentage d nerte est presque une garante d nterprétablté au premer sens du terme. Nous essayerons de résumer les données par les tros premers facteurs. 26

27 Tableau des facteurs sur I Le tableau 5 est en fat un tableau d ade à l nterprétaton d une analyse en composantes prncpales (comme d alleurs les tableaux 6 et 7).! I! QLT POID INR! 1#F COR CTR! 2#F COR CTR! 3#F COR CTR! 1! ABDO! ! ! ! ! 2! BANZ! ! ! ! ! 3! BATA! ! ! ! ! 4! BOUK! ! ! ! ! 5! BOYE! ! ! ! ! 6! GOYI! ! ! ! ! 7! LIK1! ! ! ! ! 8! LIK2! ! ! ! ! 9! LOUZ! ! ! ! ! 10! MAKI! ! ! ! ! 11! MALO! ! ! ! ! 12! MAMP! ! ! ! ! 13! MATO! ! ! ! ! 14! MBIK! ! ! ! ! 15! MPOU! ! ! ! ! 16! NGUI! ! ! ! ! 17! NKOK! ! ! ! ! 18! NSEM! ! ! ! ! 19! NSON! ! ! ! ! 20! NZAK! ! ! ! ! 21! ONDZ! ! ! ! ! 22! SAFO! ! ! ! ! 23! SAM1! ! ! ! ! 24! SAM2! ! ! ! ! 25! TSIB! ! ! ! !!! 1000! 1000! 1000! 1000! Tableau 5 : Facteurs sur I Pour chacun des 25 étudants on lt d abord : ) POID (masse statstque) : on constate que tous les ndvdus ont reçu le même pods. m 1 m = 1 ; M = m = 25 ; p = = = 0,04 (c 40 exprmé en mllèmes). M 25 ) INR (nerte) ; les ndvdus ayant le même pods, cette nerte vare comme la dstance au centre de gravté : 2 n() = ρ () I p 27

28 ) QLT, sa qualté de représentaton par sa proecton dans l espace factorel consdéré comme sgnfcatf. Ensute on trouve pour chaque facteur : v) # F( F ( )), coordonnées des ndvdus ; l examen de ces coordonnées permet de α connaître comment se répartssent les ndvdus, ceux qu ntervennent sur l axe du côté postf ou du côté négatf. v) CTR, contrbuton relatve de l ndvdu et à l nerte explquée par l axe α. 2 (, α ) α ()/ CTR = p F λ ; α on remarque que CTR vare comme 2 ( ) : les ponts les plus contrbutfs sont les plus excentrés et récproquement. La contrbuton relatve de l étudant LOUZ à l nerte explquée par l axe 1 est égale à 177. En d autres termes s on appelle 1000 le facteur 1, LOUZ en explque 177. Pour l nterprétaton des axes, on classera les ndvdus en deux groupes ; les uns de contrbuton relatve forte avec une coordonnée négatve, les autres de contrbuton forte avec une coordonnée postve (l est consellé de chosr les ndvdus de contrbuton relatve supéreure à la moyenne des contrbutons au mons). v) F α COR qu mesure la qualté de la représentaton de l ndvdu par sa proecton sur l axe α. COR peut être nterprétée comme le cosnus de l angle formé par un pont avec sa proecton sur le plan. G ρ () θ Fα () co F () ρ () 2 2 α s θ = 2 En prenant touours le cas de l étudant LOUZ on vot que 2 cos (, 1) 453 s addtonnent en lgne ; sommés sur les 17 facteurs, o n trouverat 1000 ; sommés sur les 5 (on a extrat 5 facteurs, seulement tros sont mprmés) facteurs, on trouve LOUZ F = ; s on appelle 1000 la stuaton de LOUZ, on en trouve 453 sur le facteur 1. On peut vérfer faclement que : pour LOUZ.. p QLT = COR ( ) = 1000 (en mllème). Comme on le constate les COR α = 1 α QLT =

29 5.3.5 Tableaux de facteurs sur J.! J1! QLT POID INR! 1#F COR CTR! 2#F COR CTR! 3#F COR CTR! 1! STAT! ! ! ! ! 2! MSTA! ! ! ! ! 3! STAS! ! ! ! ! 4! STAE! ! ! ! ! 5! MATH! ! ! ! ! 6! PROB! ! ! ! ! 7! ECON! ! ! ! ! 8! DEMO! ! ! ! ! 9! INFO! ! 2 0 0! ! ! 10! GEOE! ! ! ! ! 11! COME! ! ! ! ! 12! COMN! ! ! ! ! 13! TEXP! ! ! ! ! 14! ANGL! ! ! ! ! 15! HIST! ! ! ! ! 16! STAG! ! ! ! ! 17! APPG! ! ! ! !!! 1000! 1000! 1000! 1000! Tableau 6 : Facteurs sur J. On a donné à chaque pont varable une masse égale à l unté et que les coordonnées factorelles de ces ponts sont assmlables aux coeffcents de corrélaton. On a 2 COR( α, ) = G ( ). On nterprètera donc l axe en foncton des varables qu lu sont α corrélées. Comme le nuage N ( ) est stué dans une sphère de rayon 1, l usage des CTR I n est pas vrament nécessare. On retendra seulement que plus la varable se proette près du cercle dans le plan prncpal, meux cette varable est représentée par sa proecton.! JSUP! QLT POID INR! 1#F COR CTR! 2#F COR CTR! 3#F COR CTR! 18! SPOR! ! ! ! ! 19! MOYG! ! ! ! !! 118! 0! 0! 0! Tableau 7 : Facteurs sur J supplémentares. 29

30 Représentatons graphques Le but essentel de l analyse factorelle est de représenter les ponts de N ( I) et de N ( J ) dans un espace de fable dmenson par rapport aux dmensons d orgne. Ces représentatons se font dans la plupart des cas dans un espace à deux dmensons : J J Représentaton graphque assocée aux ponts Les graphques 1 et 2 donnent une représentaton des ndvdus dans l espace factorel (1,2) et (1,3). S l on s est fxé comme obectf la répartton des ndvdus, on peut nterpréter rapdement les résultats de la façon suvante : l axe 1 oppose les ndvdus BANZ, MBIK et LOUZ à l ndvdu TSIB (vor leurs coordonnées, tableau 5). Cet axe oppose en fat les étudants reçus et non reçus. Une excepton : l étudant MALO qu est reçu mas qu se retrouve avec les non reçus. On retrouve la même répartton sur l axe 2 : opposton entre BOYE, LIK1, ONDZ (groupe des non reçus) et GOYI, BOUK, LIK2 et SAM1 (groupes des reçus). On peut donc consdérer ces axes comme des axes de réusste. Ensute, non lon de l orgne des axes, on constate des groupements d ndvdus selon touours le crtère réusste : NZAK avec NKOK (reçus), NGUI avec BATA (non reçus), MAKI, ABDO et MATO (reçus). On peut le vérfer auss pour les ponts superposés ndqués en bas du graphque. Cependant compte tenu des remarques fates au on est tenté d analyser le plan (1,3). A quelques exceptons près on retrouve la même nterprétaton. Notons que dans cette analyse des ndvdus, l orgne des axes représente l ndvdu moyen, dont les notes sont les moyennes calculées sur l ensemble des étudants. Le cas que nous venons d examner est celu où les ndvdus présentent de l ntérêt en euxmêmes. L nformaton essentelle est contenue dans les coordonnées. Dans d autres cas, en partculer lorsque les ndvdus consttuent un échantllon (stuaton typque des enquêtes) on est en présence des êtres anonymes n ayant d ntérêt que par leur ensemble et non par leur ndvdualté [ 10 ]. L attenton sera alors attrée par l allure générale de la répartton de l ensemble des ndvdus Représentaton graphque assocée aux ponts Les graphques 3 et 4 donnent une représentaton des ponts varables dans les plans factorel (1,2) et (1,3). On peut se fxer comme l obectf la structuraton des varables : quelles sont celles qu sont assocées? Quelles sont celles qu s opposent? 30

31 Un smple regard de leurs coordonnées sur le premer axe nous ndque que la plupart des varables sont d un même côté (côté négatf). Deux varables sont ben corrélées avec le premer facteur : l s agt de STAG et COME. Des varables moyennement corrélées avec le premer facteur : STAT, MSTA et APG. Du côté postf de l axe on peut retenr la varable ECON moyennement corrélée avec le premer facteur. De façon générale, l axe 1 peut donc être consdéré comme axe de la pratque. Le deuxème facteur est corrélé postvement avec l nformatque (INFO), les statstques de l éducaton (STAE) et la Comptablté natonale (COMN). Du côté négatf de l axe, se trouve la varable anglas (ANGL). Le trosème facteur peut être consdéré comme facteur de culture générale. Sont effectvement corrélées avec ce facteur les varables hstore (HIST), anglas (ANGL), technques d expresson (TEXP) et la géographe (GEOE) Représentaton smultanée des ponts et des ponts. Ben que des ndvdus et varables soent des éléments d espaces dfférents, on peut par un certan artfce superposer la représentaton des ndvdus (plan prncpal) et celles des varables (cercle de corrélaton). Une telle superposton avec des précautons d nterprétaton, rend plus vvante la vsualsaton. Le graphque 5 est donc ssu des graphques 1 et 3. Ans, s l on regarde smultanément les deux graphques, un ndvdu sera du côté des varables pour lesquelles l a de fortes valeurs et à l opposé des varables pour lesquelles l a de fables valeurs. 31

32 AXE HORIZONTAL (1) AXE VERTICAL (2). Nombre de ponts : 25 Echelle : 4 caractères = lgne =.147 Nombre de ponts superposés : 3 NSEM(LIK2) NSON(MAKI) SAFO(MPOU) Graphque 1 : Représentaton des ponts ndvdus dans l espace factorel (1,2). 32

33 AXE HORIZONTAL (1) AXE VERTICAL (3). Nombre de ponts : 25 Echelle : 4 caractères = lgne =.147 Nombre de ponts superposés : 2 NSEM(LIK2) ONDZ(LIK2) Graphque 2 : Représentaton des ponts ndvdus dans l espace factorel (1,3). 33

34 AXE HORIZONTAL (1) AXE VERTICAL (2). Nombre de ponts : 31 Echelle : 4 caractères = lgne =.046 Graphque 3 : Représentaton des ponts varables dans l espace factorel (1,2) 34

35 AXE HORIZONTAL (1) AXE VERTICAL (3). Nombre de ponts : 31 Echelle : 4 caractères = lgne =.046 Nombre de ponts superposes: 1 MSTA (STAT) Graphque 4:. Représentaton des ponts varables dans l espace factorel (1,3) 35

36 AXE HORIZONTAL (1) AXE VERTICAL (2). Nombre de ponts : 44 Echelle : 4 caractères = lgne =.176 Nombre de ponts superposés : 2 SAM1 (BOUK) NSON(MAKI) Graphque 5: Représentaton smultanée des ndvdus et des varables dans l espace factorel (1,2). 36

37 6. L analyse factorelle des correspondances 6.1. Les données Les obectfs L analyse factorelle des correspondances a d abord été conçue pour trater les tableaux de contngence ; depus, son domane s est très vte étendu à d autres tableaux de données : les tableaux de notes, les tableaux de rang etc. Et récemment elle s applque à des tableaux de descrpton logque rempls exclusvement de 1 et de 0 ; c est par exemple le cas des tableaux ms sous forme dsonctve complète. En effet, s l on consdère un ensemble Q, de questons (ou de varables qualtatves), pour toute queston q de Q, on note J l unon dsonte des J q : J = { J q Q} (avec CardJ = p ). q Sot I ( CardI = n) un ensemble d ndvdus ayant répondu à toutes les questons de Q. Pour tout et de I, et pour toute queston q de Q, on suppose que l ndvdu a adopté une seule modalté de réponse à q, et l on code par 1 s l ndvdu a chos la modalté de répons e J de J q, et par 0 snon. Le tableau ans obtenu est appelé dsonctf complet : Dsonctf, car deux modaltés et d une même queston s excluent mutuellement : s l ndvdu a chos la modalté de J q, l n a pas adopté une modalté Complet, car à tout ndvdu queston q. ( ) d e J q. correspond effectvement une modalté de réponse à toute Contrarement à l analyse en composantes prncpales, en analyse factorelle des correspondances (AFC) le tableau à analyser est symétrque par rapport aux ndces. Deux lgnes sont consdérées comme proches s elles s assocent de la même façon à l ensemble des colonnes. Symétrquement, deux colonnes sont proches s elles s assocent de la même façon à l ensemble des lgnes. L AFC permet donc de trater smultanément les ensembles I et J et de les confronter en vue de découvrr l ordre général. Enfn, comme l ACP, l analyse factorelle des correspondances permet de réalser un (ou pluseurs) graphques, à partr du tableau de données, en rédusant les dmensons de l espace de représentaton des données, tout en essayant de ne pas perdre trop d nformaton au moment de cette réducton. et 6.2. La méthode Nous ne drons ren sur la méthode ; nous bornant seulement à cter J.P Benzécr : ans une méthode unque dont le formulare reste smple est parvenue à ncorporer des dées et des problèmes nombreux apparus d abord séparément, depus pluseurs décennes [ 6 ]. 37

38 Le tableau des données Soent deux ensembles fns I et J en correspondance : on a : k IJ = { k I, J}, un tableau homogène de nombres sur le produt de ces deux ensembles I et J (CardI k effectf de la case (, ) ; k 0 ; = n,cardj = p ). On pose : k = { k J} l effectf de la lgne ; la colonne des éléments k est la colonne margnale ; k = { k I} est l effectf de la colonne ; la lgne des éléments k est la lgne margnale ; est la somme du tableau. On a k = { k I} = { k J} = { k I, J} le schéma suvant : Colonne de marge k k total de la lgne lgne de marge k K total général total de la colonne Dvsons mantenant chaque valeur du tableau précédent par populaton). f = k / k : fréquence d un couple (, ). f = { f J } = k / k k (cardnal de la est la fréquence d une lgne ; la colonne des f est la colonne des fréquences margnales. f = { f I} = k / k est la fréquence de la colonne ; la lgne des f est la lgne des fréquences margnales. Par constructon on a évdemment : { f I } = { f J } = 1. 38

39 D éfnssons mantenant le profl d un élément une dmenson, noté respectvement suvante : f et f de I et d un élément de J le tableau à et dont le contenu est détermné de la façon fj = { f = 1,..., CardJ }, avec f = f / f = k / ket f 0 ; k 0 ; condtonnelle du couple (, ) connassant. I { 1,..., } f = f = CardI avec f = f / f = k / k et f 0 ; k 0 ; condtonnelle du couple (, ) connassant Le tableau lgne ; le tableau f est la fréquence f est la fréquence f J correspond au tableau des pourcentages en lgnes. C est donc le profl de la de profl de la colonne. O n a : I : f = 1 ; J : f 1 = f I correspond au tableau des pourcentages en colonnes ; on parle alors Analyse des ponts de N ( I) dans J p R Dans l espace des colonnes, le pont sera mun de la masse f et représenté par son profl f (sa composante sur la N () I = {( f, f ) I}, le nuage des ponts I J ) Le centre de gravté, de ce nuage est ème varable est f = f / f ) ; on notera par : f = { f ; J} Comme le centre de gr avté (ou barycentre) G d un système, de ponts {( m, x ) I} est le pont moyen du système, de la èmecomposante X tel que pour tout : { m( x x ) I} = 0 G On a donc pour tout : f f ( f f ) f ( f ) = f f f f d où { f ( f f ) I} = { f I} f { f I} = 0 étant donné que { f I } = f, et { f I} = 1 )- La dstance entre ponts de NJ ( ) d (, ) = { ( f f ) J} f Cette dstance mesure les proxmtés de forme entre lgnes (ou entre colonnes) compte tenu 2 de leurs pods dfférents. Elle est appelée dstance du χ (ch-2) et vérfe ce qu on appelle le prncpe d équvalence dstrbutonnelle : S deux lgnes (ou deux colonnes) du tableau k IJ sont proportonnelles et qu on les remplace par une seule lgne (ou par une seule colonne) qu en sot la somm e colonne par colonne J G 39

40 (ou la somme lgne par lgne), les dstances entre colonnes (ou entre lgnes) ne sont pas changées au sen du nuage (N(J) (ou N(I)). En effet, s l on consdère deux éléments 1 et 2 de tels que leurs profls sur soent 1 2 dentques ( fi = fi ) ; s on substtue aux colonnes 1 et une colonne 2 s telle que : f = f + f, s 1 2 f = f + f, alors la dstance entre éléments de I n est pas modfée. En s 1 2 d autres termes on ne modfe pratquement pas les résultats d une analyse des correspondances s on regroupe deux rubrques très vosnes en aoutant leurs pods. )- La dstance d un pont au centre de gravté du nuage N ( I) est : 1 () { ( f f ) J} 2 2 ρ = f v) De même on peut calculer l nerte de ce pont f et par son pods f. On a : 2 n() = ρ () I f v) L nerte du nuage N ( I) sera égale à I ( N ( I) = { I ( ) I} n d où = n 1 f f f I = 2 { ( ) } f f f f f f f f f 2 { ( ), } I J 1 I N I = f f f I J 2 n( J( )) { ( ), } ff compte tenu de la symétre entre les ndces nuage On a donc : de s ponts. I ( N ( I)) = I ( N ( J)) n J n I et J caractérsé par son profl cette formule donc auss l nerte du Remarque : Les profls peuvent être consdérés comme de coordonnées eucldennes. S l on consdère la transformaton suvante : 1/2 J, I, on assoce à f la quantté f f alors la dstance eucldenne usuelle entre deux ponts et vaut :, 2 1/2 1/ (, ) = ( ) = ( f ) f d f f f f f et on vot qu elle coïncde ben avec la dstance du ch-2. Avec cette transformaton le centre de gravté du no uveau nuage que l on note N ( I) = {( f f, f ) I} est : 1/2 40

41 f f J 1/2 = { ; } De tout ce qu précède, on est condut à dagonalser la matrce T des covarances, dont le terme général s é crt : t = f ( f f f )( f. f f ) ; 1/2 1/2 1/2 1/2 ce qu condut à la recherche des vecteurs propres et valeurs propres de la matrce des varances-covarances T qu oue le rôle de X X dans l analyse générale Analyse des ponts de N ( J) dans n R Les ensembles I et J ouant un rôle parfatement symétrque, l analyse des ponts de NI ( J) se dédut de l analyse des ponts de NJ ( I ) par permutaton des ndces et des ensembles I et J. et Relatons entre les ponts de NJ ( I ) et les ponts de NI ( J ) Comme en ACP, les facteurs sont de moyenne nulle et les axes factorels sont deux à deux orthogonaux (au sens de la métrque du ch-2). On rappelle que l nerte du nuage proeté sur l axe α est égale à celle du nuage N ( J ) proeté sur l axe α (c est la valeur propre de rang α ). On a entre les éléments de I et de J les relatons suvantes : 1/2 Fα() = (1/ λα ) { f Gα( ) J} : proecton de la lgne sur l axe de rang α de NJ ( I ) ; 1/2 Gα( ) = (1/ λα ) { f Fα( ) I} : proecton de la colonne sur l axe de rang α de NI ( J ) ; λ α : valeur commune de l nerte assocée à chacun de ces axes. I NJ ( I ) Ces formules sont appelées formules de transton et permettent la représentaton smultanée des deux ensembles I et J et l adoncton à l un ou l autre des deux ensembles supplémentares de masse nulle. Cette expresson d une formule de transton est appelée proprété barycentrque : les éléments «lourds» attrant le barycentre, une colonne attre d autant plus une lgne que la valeur f est élevée. Sur les plans factorels, les ponts élognés de l orgne, retennent partculèrement l attenton, car ce sont les profls les plus dfférents du profl moyen. Enfn, on peut recalculer les valeurs du tableau ntal en foncton des marges et des facteurs. En effet, connassant les los margnales f I et f J, la sute des facteurs F α et G α usqu à l ordre p, et les valeurs propres λ 1,..., λ p, on trouve que : 1/2 f = ff (1 + {(1/ λα ) Fα( G ) α( ) α [1, p]} ; c est la formule de reconsttuton du tableau des données de départ. 41

42 Eléments supplémentares Sot s une lgne supplémentare. Pour vsualser s sur le α ème axe factorel on proette le profl de s sur cet axe. L abscsse Fα ( s ) de cette proposton s écrt : 1/2 s F ( ) = (1/ λ ) { f G ( ) J} α s α α De même pour une colonne supplémentare s, l abscsse Gα ( s ) de la proecton du profl s sur l axe α s écrt : G λ f F I 1/2 ( ) (1/ ) { s α s = α α( ) } 6.3- Interprétaton d une analyse factorelle des correspondances Tableau des données de base Reprenons no tre exemple de le tab leau1. Le chef de la scolarté du CASP décde alors de mettre en place un système pour repérer les étudants en foncton du profl de leurs notes dans les dfférentes matères concernées. Le fcher à analy ser est donc un tableau où chaque étudant représente une lgne et chaque matère une colonne Vecteurs et valeurs propres. NUMERO! VAL PROPRE 1! VAL PROPRE 2! VAL PROPRE 3! VAL PROPRE 4!! !.00750!.00515!.00327! OBJET 1! !.12390! !.07969! OBJET 2! !.15444!.14066!.00110! OBJET 3! !.12723! !.35144! OBJET 4! ! ! ! ! OBJET 5! ! ! ! ! OBJET 6! !.03318! !.02703! OBJET 7! ! !.08272!.13412! OBJET 8! ! !.33829! ! OBJET 9! ! ! ! ! OBJET 10! ! ! ! ! OBJET 11! !.52647!.33496! ! OBJET 12! ! !.21780! ! OBJET 13! !.12983! !.07794! OBJET 14! !.03713! !.26574! OBJET 15! !.13427! !.26705! OBJET 16! !.06293!.15184!.14257! OBJET 17! ! !.13425!.12087! Tableau 8 : Vecteurs et valeurs propres de l AFC. 42

43 En analyse factorelle des correspondances, toutes les valeurs propres sont comprses entre 0 et 1. En effet, on extrat p valeurs propres, avec p nf( cardi, cardj ) 1] ; on a : 1 λ1 λ2... λp. Le vecteur propre assocé à la valeur propre 1, est dénommé «vecteur propre trval» car l n apporte ren pour l analyse factorelle de NJ ( I) et NI ( J ). La premère valeur propre à consdérer dans notre exemple est en l occurrence λ 1 = On a ensute λ 2 = et λ 3 = ; chacune des 3 colonnes correspond à un vecteur propre (.e les coordonnées des axes factorels dans l espace des 17 varables). Comme en ACP, l hstogramme (tableau 9) représente les valeurs propres par des longueurs qu leurs sont proportonnelles, ce qu perm et d apprécer d un regard la décrossance des valeurs propres quand leur rang augmente. Sur notre exemple, on vot que chacune des deux premères valeurs propres est nettement séparée de celle qu la sut : λ 1 vaut près de 1.5 fos λ 2 ; λ2 = 1.6λ3. En règle générale, une valeur propre ben séparée de celle qu la précède et de celle qu la sut est le sgne que l axe qu lu correspond est ben ndvdualsé, et l on cherchera à l nterpréter cet axe ; deux valeurs propres vosnes l une de l autre, mas ben séparées des autres, sont le sgne que le plan des axes qu leur correspond est ben ndvdualsé. On rappelle enfn que des valeurs propres élevées ndquent des oppostons tranchées dont l nterprétaton est souvent à la fos évdente et attendue. Des valeurs propres fables peuvent correspondre à des corrélatons plus dscrètes que l analyse aura révélées. LES VALEURS PROPRES VAL (1) = !NUM! VAL PROPRE! POURC.! CUMUL! VARIAT.! *! HISTOGRAMME DES VALEURS PROPRES !!!! 2! 3! 4! 5! ! !! !! !! ! ! ! ! ! *******! *! ***************! ***************! 8.529! *! ***************! ****** 6.854! *! ************* 1.390! *! ************!!! 6! 7! 8! !!! 9.236! 7.340! 3.831! ! ! ! 1.263! *! ***********.1.836! *! ******** 3.510! *! ****! 9!.00086! 3.146! !.685! *! ***! 10!.00069! 2.503! !.643! *! ***! 11!.00048! 1.752! !.751! *! **! 12!.00039! 1.419! !.332! *! **! 13!.00027!.979! !.441! *! *! 14!.00017!.624! !.355! *! *! 15!.00010!.375! !.249! *!! 16!.00007!.266! !.109! *!! 17!.00003!.125! !.140! *! Tableau 9 : Hstogramme des valeurs propres 43

44 6.3.3 Les tableaux des facteurs sur I et sur J : ades à l nterprétaton. Dans les tableaux c-dessous (tableaux 10 et 11) et pour chaque colonne (comme en ACP) on rappelle les notons suvantes : ) Le pods (POID) qu donne pour chaque étudant (ou pour chaque matère ) la part qu l a dans le total du tableau. Le total de la colonne pods pour chacun des tableaux vaut f = k / k ; f = k / k ) L nerte (INR) qu donne en mllèmes la valeur de l nerte de chaque pont NJ ( I ) (profl de la lgne afférente à l étudant ) ou I f J de f de N ( J )(profl de la colonne afférente à la note ) par rapport au centre de gravté du nuage, rapporté à l nerte totale du nuage. INR() = f d (, G) = f ρ () 2 2! I! QLT POI D INR! 1#F COR CTR! 2#F COR CTR! 3#F COR CTR! 1! ABDO! ! ! ! ! 2! BANZ! ! ! ! 8 3 1! 3! BATA! ! ! ! ! 4! BOUK! ! ! ! ! 5! BOYE! ! ! ! ! 6! GOYI! ! ! ! ! 7! LIK1! ! ! ! ! 8! LIK2! ! ! 3 0 0! 3 0 0! 9! LOUZ! ! ! ! ! 10! MAKI! ! ! ! ! 11! MALO! ! ! ! ! 12! MAMP! ! ! ! ! 13! MATO! ! ! ! ! 14! MBIK! ! ! 8 1 0! ! 15! MPOU! ! 9 4 0! ! ! 16! NGUI! ! ! ! ! 17! NKOK! ! ! ! 6 3 0! 18! NSEM! ! ! ! ! 19! NSON! ! 1 0 0! ! ! 20! NZAK! ! ! ! ! 21! ONDZ! ! ! ! ! 22! SAFO! ! ! ! ! 23! SAM1! ! ! ! ! 24! SAM2! ! ! ! ! 25! TSIB! ! ! ! !!! 1000! 1000! 1000! 1000! Tableau 10 : Facteurs sur I I 44

45 ) La qualté de représentaton (QLT) qu s nterprète comme le carré du cosnus de l angle que fat un pont avec sa proecton sur l espace factorel engendré par les axes factorels : plus le cosnus est élevé, plus le pont est corrélé avec l axe et donc ben représenté sur cet axe. On a ensute, pour chaque facteur un groupe de tros colonnes. v) Le facteur lu-même ; on sat que chaque pont du plan est défn par ses deux coordonnées ou facteurs. Seuls sont mprmés c les tros premers facteurs (1#F, 2#F et 3#F) sur les cnq extrats. v) COR qu mesure la qualté de la représentaton d un pont par sa proecton sur l axe. La somme des COR est égale à QLT cos = F ( ) / ρ ( ) v) La contrbuton relatve d un pont à un axe ( CTR ) permet de repérer les éléments qu font l axe, c est-à-dre les éléments qu ont le plus de part à l nerte du nuage proeté sur l axe. CT R = f 2 F ( )/ λ α! J1! QLT POI D INR! 1#F COR CTR! 2#F COR CTR! 3#F COR CTR! 1! STAT! ! ! ! ! 2! MSTA! ! ! ! 0 0 0! 3! STAS! ! ! ! ! 4! STAE! ! ! ! ! 5! MATH! ! ! ! ! 6! PROB! ! ! ! 6 4 1! 7! ECON! ! ! ! ! 8! DEMO! ! ! ! ! 9! INFO! ! ! ! ! 10! GEOE! ! ! ! ! 11! COME! ! ! ! ! 12! COMN! ! ! ! ! 13! TEXP! ! ! ! ! 14! ANGL! ! ! ! ! 15! HIST! ! ! ! ! 16! STAG! ! ! ! ! 17! APPG! ! ! ! !!! 1000! 1000! 1000! 1000! Tableau 11 : Facteurs sur J 45

46 En examnant ces tableaux on peut repérer : - les ponts excentrés pour lesquels INR est nettement supéreur à POID comme LOUZ, NZAK (pour les ndvdus) et DEMO, COME et MATH (pour les varables) ; cela ne peut être dû qu à leur dstance élevée à l orgne ; - les ponts centraux, pour lesquels POID est nettement supéreur à INR comme ABDO, BANZ (pour les ndvdus), ST AG et APPG (pour les varables) ; - les ponts correspondant aux CTR les plus forts. L nterprétaton des axes reposera sur l examen de ces ponts qu font l axe. Dans notre exemple on sélectonnera pour le premer axe LOUZ, MBIK et NZAK (pour les ndvdus), DEMO et COME (pour les varables) ; - les axes qu explquent l écart des ponts au centre de gravté : ce sont ceux pour - lesquels COR a une forte valeur ; Les ponts ben représentés comme ONDZ, LIK1 et BOYE pour les ndvdus et MATH, COME et DEMO pour les varables Représentatons graphques En AFC, on utlse la représentaton smultanée de NJ ( I) et NI ( J) sur les plans de coordonnées, rapportés chacun à deux axes factorels. On sat, d après les formules de transton (cf 6.4.2) que, au coeffcent 1/2 λ près, les ponts représentatfs d un nuage sont sur un axe, les barycentres des ponts représentatfs de l autre. On constate que ce coeffcent est supéreur à 1, et le nuage est d autant plus dlaté dans la drecton d un axe que la valeur propre correspondante est fable. Deux ponts de N ( I) proches révèlent un comportement semblable des caractères lgnes correspondant les ponts de NI ( J ). J pour ces deux axes de proecton (l est de même pour les proxmtés entre L nterprétaton des proxmtés entre les proectons des ponts de NJ ( I) et de NI ( J) est plus délcate ; le seul cas dans lequel on puss e tenr comp te de la proxmté entre les proectons de deux ponts appartenant l un à NJ ( I ), l autre à NI ( J ), est celu où ces deux ponts sont stués à la pérphére du nuage Lorsqu l s agt par contre des ponts stués à l ntéreur du nuage, les proxmtés sont un vértable pège pour l ntuton [ 60 ]. Dans notre exemple, par rapport aux facteurs mprmés (c 3) les représentatons possbles sont les plans (1,2), (1,3) et (2,3). Nous n examnerons que les plans (1,2) et (1,3) (graphques 6 et 7). 46

47 AXE HORIZONTAL (1) AXE VERTICAL (2). Nombre de ponts : 44 ECHELLE : 4 caractères = lgne =.011 Nombre de ponts superposés : 7 ONDZ(LIK1) MSTA(NKOK) STAG(BOUK) STAE(ABDO) TEXP(NGUI) STAS(MAKI) GEOE(NSON) Graphque 6 : Représentaton smultanée des ndvdus et des varables dans l espace factorel (1,2). En prenant en compte tous les éléments c-dessus énumérés on peut rapdement nterpréter les résultats de la façon suvante : l axe 1 oppose les ndvdus LOUZ et MBIK aux ndvdus NZAK, TSIB, et LIK1, la varable DEMO à la varable COME. En combnant l analyse des deux ensembles, on peut constater que LOUZ et MBIK qu ont une bonne note en démographe, et ont une mauvase note en comptablté d entreprse. Par contre, les ndvdus NZAK, TSIB et LIK1 qu sont bons en comptablté d entreprse, sont médocres en démographe. 47

48 L axe 2 peut être consdéré comme l axe des mathématques. En bas et à gauche de cet axe, on trouve effectvement les melleurs étudants dans cette dscplne : ce sont SAM2, MALO et SAM1. Sur l axe 3 les oppostons ne sont pas très tranchées. Cet axe est néanmons domné par COME. On trouve ce pont à la pérphére du nuage à côté de NZAK ; cette proxmté peut être explquée par le fat que la melleure note en comptablté d entreprse a été obtenue par cet étudant. AXE HORIZONTAL (1) AXE VERTICAL (3). Nombre de ponts : 44 ECHELLE : 4 caractères = lgne =.011 Nombre de ponts superposes:5hist(ngui) TEXP(STAT) NKOK(MAKI) SPOR(BANZ) STAE(ABDO) Graphque 7 : Représentaton des ndvdus et des varables dans l espace factorel (1,3). Note : Le lecteur pet être tenté de comparer les résultats graphques ssus d une ACP de ceux d une AFC. En effet, la tentaton est grande, car on peut consdérer l analyse factorelle des correspondances comme une ACP classque sur des données transformées (profls) utlsant une dstance partculère, la dstance du ch-2. S l on tente cette comparason écrt PH Cbos on s aperçot que les résultats sont comparables à cette dfférence qu en analyse en composantes prncpales, seules les lgnes et colonnes les plus fortes en effectf sont prses en compte ce qu n est pas le cas en analyse des correspondances où une pondératon est ntrodute [ 17 ]. En tenant compte du fat que, le premer facteur extrat en analyse factorelle des correspondances est un facteur trval (cf. 48

49 6.3.2), λ = 1 et que l on ne numérote pas, l poursut : s l on veut donc comparer les facteurs équvalents et en prenant la numérotaton usuelle des facteurs l faut donc comparer le facteur 2 de l analyse en composantes prncpales avec le facteur 1 de l analyse des correspondances et ans de sute Il est d alleurs un cas où les deux méthodes donnent les mêmes résultats graphques, c est dans la stuaton où les marges du tableau sont dentques et où de ce fat, la pondératon de l AFC ne modfe ren. 6.4 L analyse des correspondances multples L analyse des correspondances multples (ACM), est consdérée comme l applcaton la plus féconde de l analyse des correspondances et dont les fchers d enquêtes soco-économques consttuent le champ d applcaton prvlégé ; elle est l applcaton de l analyse factorelle des correspondances à l étude des tableaux logques (cf 6.1) Tableau dsonctf complet Reprenons la descrpton du tableau sous forme dsonctve complète commencée au paragraphe 6.1. en conservant les mêmes notatons. Les marges du tableau sont notées : = nombre de questons k q = k = { k J} = { { k } q Q} = CardQ q avec { } 1 k = { k J } = nombre d ndvdus ayant fourn la réponse à la queston q. donc { k J } = CardI = n q = k { k I, J} = { k I} = ncardq J 1 = 2 J 2 = 4 J 3 = 5 J 4 = k = CardQ k k = ncardq 49

50 On note les fréquences margnales comme sut : f = k / k = CardQ / ncardq = 1/ CardI Sot p la proporton des ndvdus ayant fourn la réponse à la queston q : P = k / CardI. ( { p J q} = 1). On a alors : f = p / CardQ Le nombre d ndvdus ayant fourn la réponse est se trouve I p ; cela veut dre que le chffre 1 I p fos dans la colonne ; et le chffre 0 se trouve I (1 p ) fos. Le tableau précédent peut être nterprété de la manère suvante : dans une enquête comprenant quatre questons, l ndvdu a chos la modalté 1 de la premère queston (queston à deux modaltés de réponses), la modalté 3 de la deuxème queston (queston à quatre modaltés de réponses), la modalté 5 de la trosème queston (queston à cnq modaltés de réponses) et la modalté 2 de la quatrème queston (queston à tros modaltés de réponses). On vérfe ben que la lgne de marge k est égale au nombre de questons c est-à-dre 4. Le tableau ans construt est formé par la uxtaposton de 4 tableaux logques et content autant de fos la valeur 1 qu l y a de ces tableaux (c 4 ben sûr). Les tableaux dsonctfs complets ont le défaut d être grands et leur analyse coûteuse : une varante consste à effectuer l analyse factorelle des correspondances sur le tableau de Burt Tableau de Burt S l on crose l ensemble des modaltés du tableau dsonctf complet avec elles-mêmes, on obtent le tableau de Burt. J, { q } B J = k { } J : B = B J = k CardQ {, } ( B = { kk I } = et nombre d ndvdus ayant adopté à la fos les modaltés. B = B J J = n CardQ) 2 50

51 J J 1 J J J J J 3 0 J B = k CardQ ncardq ( ) 2 Il faut fare remarquer que : s et appartennent au même sous-ensemble modaltés, on a : : B = 0s, Jq = k s = (nombre d ndvdus ayant adopté la modalté ). Le tableau de Burt ans construt, est donc formé d une uxtaposton des tableaux de contngence entre les varables prses deux à deux. Les tableaux contenant la dagonale crosent chaque varable avec elle même et sont rempls de 0 à l excepton de leurs dagonales, remples des effectfs de chaque modalté. q de Equvalence entre les deux analyses précédentes On consdère les deux tableaux k et IJ k = { k I, J} et IJ JJ B = B J J avec {, } B = { kk / k I} On a alors : B JJ défns par : = = / ( / ) = = = k = = = =, B B k k k k k k k B B B k k Pour procéder à l analyse factorelle du tab leau de Burt, l faut dagonalser les matrces UU et UU étant la matrce de terme général défn par : = ( B B B / B)/( B B 1/2 u ) u 51

52 En tenant compte du fat que B = k ; B = k ; B= k: u = { k k / k} k k / k /( k k ) 1/2 On a donc u = t = terme général de la matrce de varances-covarances T du Ans l analyse factorelle de B JJ revent à dagonalser la matrce L analyse des correspondances de k IJ fournt les mêmes facteurs que celle du tableau mas, les valeurs propres correspondantes sont dfférentes : à la valeur propre λ de k IJ l analyse de correspond la valeur propre 2 λ de l analyse de 2 T. B JJ. B JJ Calculs de contrbutons dans l analyse du tableau dsonctf complet. ) Le carré de la dstance au centre de gravté d un pont s écrt dans R n : ρ ( ) = d G = / f f f f I (, ) {1 (( / ) ) } Comme : f = 1/ CardI et f = p / CardI on a en défntve : ρ CardQ 1 ( ) = { CardI( f ) I} 2 2 p CardI On peut décomposer cette somme selon les valeurs prses par f ; on trouve que : 1 f = ( CardI p ) CardQ CardI 1 p 2 2 ρ ( ) = p ( ) + (1 p ) p ρ 2 ( ) = (1 p ) p fos et 0 CardI (1 p ) fos ; ce qu donne : ) La contrbuton de la modalté vaut donc : CTR f d G p CardQ d G 2 2 ( ) = (, ) = ( / ) (, ) CTR( ) = (1 p )/ CardQ L nerte due à une modalté est d autant plus grande que l effectf dans cette modalté est fable. On évtera de défnr les modaltés que l on peut supposer a pror trop rares. )- La contrbuton d une queston q est : CTR( q) = {(1 p )/ CardQ } Comme { p q} = 1 on a : CTR( q) = ( Card / CardQ) 1 q q Elle est proportonnelle au nombre de modaltés de la queston. Du pont de vue du codage des données cela suppose que, le nombre de modaltés de chaque queston dot être vosn pour avor des pods équvalents pour chaque queston. v)- L nerte totale est égale à : I n I ( N ( J)) = ( CardJ / CardQ) 1 52

53 On remarque que cette nerte ne dépend pas des lasons exstant entre les varables. Elle vaut 1 s boutes les questons ont deux modaltés de réponse Interprétaton d une analyse des correspondances multples Tableau des données de base. A partr du tableau des varables quanttatves (tableau1), on peut construre un tableau de descrpton logque. La procédure est la suvante : - on rend toutes les délmter les bornes des classes. varables qualtatves par découpage en classes. Le découpage peut se fare sot en classes d effectfs égaux, sot en classes d ampltudes égales ; - la connassance du domane à étuder peut auss condure l utlsateur à fxer lu-même les bornes de classes ; - dans tous les cas, l est consellé avant tout découpage, de construre les hstogrammes des varables pour l ensemble des ndvdus. Ces derners sont une ade préceuse pour De tout ce qu précède, on retendra tout smplement qu en analyse de vos propres données auss l faudrat «parfos» consdérer la statstque comme une scence expérmentale [ 31 ]. Dans l exemple chos, on a découpé chaque varable-matère en tros classes d ampltudes égales. On a 19 3 = 57 varables nouvelles ssues des 19 varables d orgne. Ans par exemple, pour la varable STAT, on aura les tros modaltés STA1, STA2, et STA3. Le tableau dsonctf complet k IJ assocé au découpage précédent est donc un tableau Cependant, on sat que l ACM est très sensble aux modaltés rares qu peuvent perturber l analyse (.e rendre nstable les axes) et reléguer sur des axes ultéreurs des phénomènes plus ntéressants. On peut donc provsorement abandonner ces modaltés et par la sute les postonner en éléments supplémentares[ 49 ]. Fort de ce qu précède, sx varables seront postonnées en éléments supplémen tares. Ce sont : PROB, ANGL, HIST, SPOR, A PPG et MOYG. Le tableau des varables actves est donc de dmenson et celu des varables supplémentares de dmenson Valeurs propres En AC M chaque valeur propre est nféreure ou égale à 1 et leur somme est égale à l nerte totale du nuage, sot : ( CardJ CardQ) / CardQ = (39 13) /13 = 2 dans notre exemple. Dans ces condtons, aucune valeur propre ne peut représenter plus que 100/nerte totale, sot : 100 CardQ /( CardJ CardQ) 53

54 LES VALEURS PROPRES VAL (1) = NUM! VAL PROPRE! POURC! CUMUL! VARIAT.!! HISTOGRAMME DES VALEURS PROPRES! 2!.26448! ! ! *******! *! ***************! **************! 3!.23987! ! ! 1.230! *! ***************! *********** 4!.21365! ! ! 1.311! *! ***************! ********* 5!.17759! 8.880! ! 1.803! *! ***************! ***** 6!.16227! 8.113! !.766! *! ***************! *** 7!.14655! 7.327! !.786! *! ***************! ** 8!.13548! 6.774! !.553! *! ***************! 9!.12249! 6.124! !.650! *! ************** 10!.08959! 4.479! ! 1.645! *! ********** 11!.07595! 3.797! !.682! *! ********* 12!.06882! 3.441! !.356! *! ******** 13!.06724! 3.362! !.079! *! ******** 14!.05017! 2.509! !.854! *! ****** 15!.04701! 2.351! !.158! *! ***** 16!.03601! 1.801! !.550! *! **** 17!.03142! 1.571! !.229! *! **** 18!.01971!.985! !.586! *! ** 19!.01881!.940! !.045! *! ** 20!.01462!.731! !.209! *! ** 21!.00950!.475! !.256! *! * 22!.00530!.265! !.210! *! * 23!.00309!.155! !.110! *! 24!.00040!.020! !.135! *! 25!.00000!.000! !.020! *! 26!.00000!.000! !.000! *! 27!.00000!.000! !.000! *! 28!.00000!.000! !.000! *! 29!.00000!.000! !.000! *! 30!.00000!.000! !.000! *! 31!.00000!.000! !.000! *! 32!.00000!.000! !.000! *! 33!.00000!.000! !.000! *! 34!.00000!.000! !.000! *! 35!.00000!.000! !.000! *! 36!.00000!.000! !.000! *! 37!.00000!.000! !.000! *! 38!.00000!.000! !.000! *! 39!.00000!.000! !.000! *! 2 Tableau 12 : Hstogramme des valeurs propres de l ACM 54

55 On peut dre que les valeurs propres ssues d une ACM sont donc un peu partculères et dffclement nterprétables (taux d nerte fables). Elles donnent une dée très pessmste de l nformaton extrate[ 43 ] Tableaux des facteurs sur I et sur J Les coordonnées factorelles des ponts de N( I) et de N( J) sont données par les mêmes formules que celles de l AFC ans que les résultats numérques et les paramètres assocés. Cependant on peut fare constater les résultats suvants dans le tableau des facteurs sur J : - toutes les questons ont le même pods sot 1/13=0.077 (77 en mllème) ; la somme des pods des modaltés d une même varable vaut donc (en mllème) 77 ; - les questons ayant le même nombre de modaltés CardJ q = 3, les contrbutons à l nerte de toutes les questons sont égales : CT R( q) = ( CardJ 1) / CardQ = 2 /13 = 0.154! I1! QLT POID INR! 1#F COR CTR! 2#F COR CTR! 3#F COR CTR! 1! ABDO! ! ! ! ! 2! BANZ! ! ! ! ! 3! BATA! ! ! ! ! 4! BOUK! ! ! ! ! 5! BOYE! ! ! ! ! 6! GOYI! ! ! ! ! 7! LIK1! ! ! ! ! 8! LIK2! ! ! ! ! 9! LOUZ! ! ! ! ! 10! MAKI! ! ! ! ! 11! MALO! ! ! ! ! 12! MAMP! ! ! ! ! 13! MATO! ! ! ! ! 14! MBIK! ! ! ! ! 15! MPOU! ! ! ! ! 16! NGUI! ! ! ! ! 17! NKOK! ! ! ! ! 18! NSEM! ! ! ! ! 19! NSON! ! ! ! ! 20! NZAK! ! ! ! ! 21! ONDZ! ! ! ! ! 22! SAFO! ! ! ! ! 23! SAM1! ! ! ! ! 24! SAM2! ! ! ! ! 25! TSIB! ! ! ! ! q 1000! 1000! 1000! 1000! Tableau 13 : Facteurs sur I L nerte d une queston INR( q ) la queston q ramenée à l nerte totale vaut donc : INR( q) = CTR( q )/nerte totale = 0,154/2=0,077 (77 en mllème). La somme des nertes des modaltés d une même varable vaut (en mllème)

56 ! J1! QLT POID INR! 1#F COR CTR! 2#F COR CTR! 3#F COR CTR! 1! STA1! ! ! ! ! 2! STA2! ! ! ! ! 3! STA3! ! ! ! ! 4! MST1! ! ! ! ! 5! MST2! ! ! ! ! 6! MST3! ! ! ! ! 7! STS1! ! ! ! ! 8! STS2! ! ! ! ! 9! STS3! ! ! 9 0 0! ! 10! STE1! ! ! ! ! 11! STE2! ! ! ! ! 12! STE3! ! ! ! ! 13! MAT1! ! ! ! ! 14! MAT2! ! ! ! ! 15! MAT3! ! ! ! ! 16! ECO1! ! ! ! ! 17! ECO2! ! ! ! ! 18! ECO3! ! ! ! ! 19! DEM1! ! ! ! ! 20! DEM2! ! ! ! ! 21! DEM3! ! ! ! ! 22! INF1! ! ! ! ! 23! INF2! ! ! ! ! 24! INF3! ! ! ! ! 25! GEO1! ! ! ! ! 26! GEO2! ! ! ! ! 27! GEO3! ! ! ! ! 28! COE1! ! ! ! ! 29! COE2! ! ! ! ! 30! COE3! ! ! ! ! 31! CON1! ! ! ! ! 32! CON2! ! ! ! ! 33! CON3! ! ! ! ! 34! TEX1! ! ! ! ! 35! TEX2! ! ! ! ! 36! TEX3! ! ! ! ! 37! STG1! ! ! ! ! 38! STG2! ! ! ! ! 39! STG3! ! ! ! ! 1000! 1000! 1000! 1000! Tableau 14 : Facteurs sur J 56

57 Représentaton graphque Essayons d nterpréter le plan (1,3). Essayer parce que l ntérêt d une telle étude est relatvement lmtée. Parce que auss ces méthodes ont été conçues pour l analyse de très grands tableaux. En soumettant ce tableau (vu son format) à une analyse de correspondances multples, nous avons voulu avant tout, favorser le côté pédagogque. La spécfcté c, contrarement aux méthodes précédentes, résde dans le fat que l étude ne porte plus sur les varables elles-mêmes, mas sur les modaltés de ces varables. On réalse une analyse par nveaux de varable, plus poussée que celles des varables ntales. L axe 1 (graphque 8) : les varables les plus contrbutves à la formaton de cet axe sont GEO2, TEX2, STS2, TEX1, STA2, ECON2 et CON1. Cet axe est donc essentellement domné par les modaltés 2 et 1 de ces varables. Du côté postf de l axe on trouve des varables GEO2 et TEX2 ; du côté négatf, les varables STS2, TEX1, STA2, ECO2 et CON1. On peut dre que l axe 1 oppose entre elles les varables dont les modaltés ont des valeurs moyennes (modaltés 2). En ce qu concerne les ndvdus, l axe 1 oppose les ndvdus MBIK, LIK2, BOUK et NSEM aux ndvdus LIK1, ONDZ, NSON et ABDO. S on rasonne en termes de groupe d ndvdus, on trouve du côté postf de l axe, les étudants ayant un nveau moyen en culture générale (GEO2, TEX2) et du côté négatf, les étudants moyens dans certanes dscplnes comme la statstque et l économe et ayant obtenu des mauvas résultats dans d autres matères telles que la comptablté ou les technques d expresson. L axe 3 est domné par les valeurs élevées des modaltés de certanes varables. Ce sont, du côté postf de l axe MST3, CON3 et COE3 et du côté négatf STS3, STE3 et MAT3. L opposton de ces varables sur cet axe consttue le trat domnant. On peut, comme pour l axe 1, trer les conclusons smlares en ce qu concerne les ndvdus ou groupe d ndvdus. Ben que ne partcpant pas à la formaton des axes, on peut utlement nterpréter les dfférentes postons des varables supplémentares sur les axes (comme les postons respectves de MOY3 et APG3 sur l axe 1). Enfn, sgnalons que pour rendre l nterprétaton plus facle, l est consellé de ondre par un trat les modaltés successves d une même varable. Cela est très mportant surtout lorsque les modaltés des varables sont assez nombreuses (cas des enquêtes). 57

58 AXE HORIZONTAL (1) AXE VERTICAL (3). Nombre de ponts : 82 Echelle : 4 caractères = lgne =.067 Graphque 8 : Représentaton des ndvdus et des varables dans l espace factorel (1,3) 58

59 7. La classfcaton ascendante hérarchque 7.1. Prncpes généraux Dsons d emblée qu une classfcaton n est amas unque. Elle dépend des obets à classer, et de la méthode pratque de classfcaton utlsée. On ne présente dans ce caher qu une méthode de classfcaton, parce que la plus connue et la plus éprouvée : la classfcaton ascendante hérarchque (CAH). Défnssons au préalable quelques notons Partton et hérarche Le terme de classfcaton sert à désgner sot une partton sot une hérarche. On obtent une partton s l on partage un ensemble I en un système de classes non vdes, de telle sorte que tout ndvdu appartenne à une classe et une seule. S l ensemble I est dvsé en un nombre fn de classes, dont chacune est dvsée en un nombre fn de classes, etc., on parle alors d une hérarche de classes emboîtées. L exemple de classfcaton hérarchque le plus connu et sans doute le plus cté est celu fourn par les scences naturelles : les êtres vvants sont partagés en deux règnes : le règne anmal et le règne végétal ; chacun de ces deux règnes est lu-même subdvsé. Par exemple, parm les anmaux, on dstngue : vertébrés, nvertébrés ; pus parm les vertébrés : mammfères, oseaux, reptles, batracens et possons [ 5 ] Classfcaton ascendante et classfcaton descendante La constructon d une hérarche de classes peut se fare de deux façons : pour la premère, à partr de la base en formant des pares d obets qu se ressemblent beaucoup ; pus on adont à une pare un trosème obet ou une autre pare ; ans, se construsent progressvement des classes de plus en plus grandes mas de mons en mons homogènes. Ce mode de constructon s appelle la classfcaton ascendante hérarchque. Pour la seconde, on part du tout qu on scnde en deux classes ; à nouveau on scnde chacune de celles-c en deux et ans de sute usqu aux éléments composant cet ensemble. Ce procédé est appelé classfcaton descendante hérarchque Constructon d une classfcaton ascendante hérarchque. Supposons que les ndvdus à classer soent au nombre de 5. C est-à-dre que I ={1,2,3,4,5}. On construt la classfcaton ascendante hérarchque (CAH), à partr d un ensemble J, selon le processus suvant : - on calcule les dstances entre les ndvdus prs deux à deux. - on chost un crtère qu permet d agréger les dfférents éléments pour former des classes. 59

60 Après avor défn la dstance et le crtère d agrégaton, le processus se poursut selon les étapes suvantes (vor schéma c-dessous) : - on cherche les deux éléments de I les plus proches. Sur la fgure, ce sont par exemple les éléments (4) et (2) que l on agrège en un seul élément noté (6). Cet nouvel élément est appelé nœud. Il est défn par ses deux successeurs : l aîné et le benamn (éléments (4) et (2)), son pods (nombre d éléments) et son ndce de nveau (c le nombre ) qu n est autre que la dstance entre les éléments ((4) et (2)). - selon le même crtère d agrégaton chos, on calcule les dstances entre le nouvel élément (c (6)) et les éléments restants. On se retrouve dans les condtons de l étape précédente, mas cette fos-c, avec 4 éléments seulement à classer. - on renouvelle le processus usqu à ce qu l n y at plus qu un seul élément (élément (9)). nveau v 6 V 9 (9) V 8 (8) V 7 (7) (6) V 6 0 (4) (2) (1) (5) (3) Par rapport à l exemple c-dessus mentonné on peut fare le récaptulatf suvant : I = {1,2,3,4,5} est l ensemble des éléments sur lesquels est édfé la classfcaton ; N = {6, 7,8,9} est l ensemble des nœuds, ou des classes construtes ; ce sont : 6 = {4,2} ; 7 = {5,3} ; 9 = {1,2,3,4,5} S l on note respectvement par A( n ) et B( n) l aîné et le benamn on a : A (9) = 8 ; A (8) = 6 ; A (7) = 5 ; A (6) = 4 B (9) = 7 ; B (8) = 1 ; B (7) = 3 ; B (6) = 2 L ensemble des classes termnales de la classfcaton est l ensemble de ses éléments mnmaux (composés de classes rédutes à un élément) : T = {(1),(2),(3),(4),(5)}. Les éléments termnaux sont numérotés de 1 à CardI 1. Les nœuds de la classfcaton sont numérotés de CardI + 1 à 2CardI 1. 60

61 Crtères d agrégaton La constructon de la CAH dépend de la formule chose pour le crtère d agrégaton, ce qu revent à défnr une dstance entre classes. On expose c quatre crtères classques, en nsstant sur l un d entre eux : le crtère de l nerte que l on adoptera dans la sute. )- Le crtère du saut mnmum (d saut) ) : entre les ensembles de ponts q et q d saut ( qq, ) est la dstance mnma entre un pont de q et un pont de q. Le crtère du saut mnmum consste donc à chosr la plus pette des dstances qu permet de passer d une classe à une autre. )- Le crtère du damètre (d dam ) : d dam ( qq, ) est la dstance maxma entre un pont de q et un pont de q. On prend pour dstance entre les classes, la plus grande de toutes les dstances. )- Le crtère de la dstance moyenne (d moy ) : d moy ( qq, ) est la moyenne des dstances entre un pont de q et un pont de q. Ce crtère apparaît comme un comproms des deux crtères précédents. v)- Le crtère selon la varance (ou crtère de l nerte) : pour le calcul de ce crtère, on suppose que l ensemble I est consdéré comme un nuage de ponts muns de masse dans un espace euclden. C est ustement le cas de l exemple traté dans ce caher où les étudants sont repérés en foncton du profl de leurs notes. Ce tableau peut donc être consdéré comme un tableau de contngence ou comme un tableau de mesures). Sot I un ensemble fn ; N ( I) le nuage des éléments de I et affectés de masse. On J rappelle qu une nerte est le produt d une masse par le carré d une dstance. L nerte du nuage N ( I) s écrt : J n( J( )) = { n ( ) } I N I I I I = mρ I I} 2 { ( ) 2 2 où ρ () = d (, G) mesure le carré de la dstance au centre de gravté G du pont. Sot q une parte de I, on notera par m sa masse totale, et G ou smplement q son centre de gravté. - L nerte d une classe q s écrt : 2 In( q) = { md (, q) q } ; et l nerte d une partton Q de I sera égale à : In( Q) = { In( q) q Q} 2 = { md q ( qg, ) q Q } ; mq = { m q} A toute partton de I en un ensemble Q de classes q correspondant une décomposton de l nerte du nuage NJ (relaton de Huygens) : ( I) en nerte nterclasses et nertes ntra-classes suvant la formule m 61

62 In( NJ( I)) = In( Q) + { In ( q) q Q} L nerte ntra-classe est d autant plus fable que les classes obtenues sont plus compactes ; et l nerte nterclasse est d autant plus élevée que les classes de la partton sont ben séparées. En d autres termes, l nerte ntra-classe est une bonne mesure de l homogénété d une classe, de même l nerte nterclasse est une bonne mesure de la dfférence entre les classes. Soent mantenant deux classes a et b de Q 1 respectvement de masse que l on agrège en une seule classe n de de masse Qn ma mb n ma et m b +. Le crtère qu condut aux chox de a et b est celu qu rend mnmum la perte d nerte réalsée en passant de Qn 1 à Q : n ν ( n) = [ I ( Q ) I ( Q )] mnmum. n n 1 n n Ce qu équvaut à maxmser l nerte de la partton centré d ordre 2 de la partton). A chaque (ou encore à maxmser le moment l nerte ntra-classe de la partton construte. La quantté ν ( n) est également appelée ndce de nveau (cf ). m. m ν n = m + m a b 2 ( ) (, ) a b d a b L nerte totale de la classe n Q n pas, on mnmse peut selon la relaton de Huygens être décomposée en nerte des deux classes a et b dont la réunon est n et ν ( n), terme proportonnel au carré de la dstance entre aîné et benamn du nœud n : I = I + I + ν ( n) n a b Les ν ( n) fournssent la décomposton totale du nuage. On a : { ν ( n) n N} = In( NJ( I)) Interprétaton d une classfcaton ascendante hérarchque Le tableau des données Comme au 6.3.1, on consdère le tableau 1 comme un tableau de correspondance et on désre édfer une CAH sur l ensemble : - la masse de l élément de I : m = f = k / k ; - la dstance de ch-2 entre profls : 2 2 = d (, ) {1/ f ( f f ) J} - l nerte de l élément : I f f f f J 2 n() = {1/ ( ) } - la masse de la classe q : f = { f q} q - le profl de la classe q : I des étudants. On rappelle quelques formules du 62

63 f f f q q q = = fq f q - l nerte du centre de gravté de la classe q par rapport au centre de gravté du nuage : 2 I ( q) = f ρ ( q) ; avec ρ ( q) = {1/ f ( f f ) J} n q - l ndce de nveau du nœud n : 2 q 2 f f ν n = d a b = f f f + a b 2 a b 2 ( ) (, ) {1/ ( ) } fa fb J Hstogramme des ndces de nveau de la hérarche Chaque lgne donne successvement : le n uméro du nœud, l ndce de nveau I( J ), exprmé en mllème, les numéros de l Aîné A( J ) et du Benamn B( J ), le taux d nerte T( J ) afférent au nœud qu est le rapport de l nerte du nœud I( J ), à l nerte totale du nuage (exprmé en mllème) et le taux d nerte cumulé SOMME DES INDICES DE NIVEAU E-01 TQ. ( )! J! I(J)! A(J)! B(J)! T(J)! T(Q)! HISTOGRAMME DES INDICES DE NIVEAU! 49! 4! 46! 48! 150! 150! ******************************************! 48! 3! 32! 47! 118! 268! *********************************! 47! 3! 42! 45! 86! 354! ************************! 46! 2! 26! 43! 79! 433! **********************! 45! 2! 40! 44! 72! 505! ********************! 44! 2! 31! 39! 56! 560! ****************! 43! 2! 20! 41! 52! 612! ***************! 42! 1! 37! 34! 43! 655! ************! 41! 1! 38! 33! 42! 697! ************! 40! 1! 36! 27! 39! 736! ***********! 39! 1! 13! 35! 31! 767! *********! 38! 1! 29! 19! 28! 795! ********! 37! 1! 5! 16! 24! 819! *******! 36! 1! 28! 25! 24! 843! *******! 35! 1! 2! 30! 23! 866! *******! 34! 1! 24! 23! 23! 889! *******! 33! 1! 18! 4! 20! 909! *****! 32! 1! 9! 14! 19! 928! *****! 31! 1! 11! 12! 19! 947! *****! 30! 0! 8! 1! 16! 963! ****! 29! 0! 22! 17! 13! 976! ****! 28! 0! 10! 3! 12! 988! ***! 27! 0! 15! 6! 12! 1000! ***! 26! 0! 21! 7! 0! 1000! * Tableau 15 : Hstogramme des ndces de nveau 63

64 Av ec le crtè re de l nert e adoptée, la somme des ndces de nveau est égale à l nerte totale d u nuag e des ndvdus.! J! I(J)! A(J)! B(J)! P(J)! DESCRIPTION DES CLASSES DE LA HIERARCHIE! 49! 4! 46! 48! 25!! 48! 3! 32! 47! 17! LOUZ MBIK BOYE NGUI SAM2 SAM1 MAKI BATA TSIB MPOU GOYI MALO MAMP MATO BANZ LIK2 ABDO! 47! 3! 42! 45! 15! BOYE NGUI SAM2 SAM1 MAKI BATA TSIB MPOU GOYI MALO MAMP MATO BANZ LIK2 ABDO! 46! 2! 26! 43! 8! ONDZ LIK1 NZAK SAFO NKOK NSON NSEM BOUK! 45! 2! 40! 44! 11! MAKI BATA TSIB MPOU GOYI MALO MAMP MATO BANZ LIK2 ABDO! 44! 2! 31! 39! 6! MALO MAMP MATO BANZ LIK2 ABDO! 43! 2! 20! 41! 6! NZAK SAFO NKOK NSON NSEM BOUK! 42! 1! 37! 34! 4! BOYE NGUI SAM2 SAM1! 41! 1! 38! 33! 5! SAFO NKOK NSON NSEM BOUK! 40! 1! 36! 27! 5! MAKI BATA TSIB MPOU GOYI! 39! 1! 13! 35! 4! MATO BANZ LIK2 ABDO! 38! 1! 29! 19! 3! SAFO NKOK NSON! 37! 1! 5! 16! 2! BOYE NGUI! 36! 1! 28! 25! 3! MAKI BATA TSIB! 35! 1! 2! 30! 3! BANZ LIK2 ABDO! 34! 1! 24! 23! 2! SAM2 SAM1! 33! 1! 18! 4! 2! NSEM BOUK! 32! 1! 9! 14! 2! LOUZ MBIK! 31! 1! 11! 12! 2! MALO MAMP! 30! 0! 8! 1! 2! LIK2 ABDO! 29! 0! 22! 17! 2! SAFO NKOK! 28! 0! 10! 3! 2! MAKI BATA! 27! 0! 15! 6 2! MPOU GOYI! 26! 0! 21! 7 2! ONDZ LIK1 Tableau 16 : Descrpton des classes de la hérarche 64

65 L hstogramme des ndces de nveau est édté pour permettre à l utlsateur de vor comment varent les ndces de nveau, et d ndquer à quel nveau on peut couper l arbre de classfcaton pour avor une partton convenable (classes stables). S la décrossance est très forte, cec symbolse le fat qu l n exste que quelques séparatons prncpales. Les nveaux les plus bas de la hérarche peuvent être consdérés comme des ntermédares de calcul comme cela se présente pour les axes de l analyse des correspondances. On prendra cependant son d examner des séparatons à des nveaux fables Le tableau du contenu des classes On a construt CardI 1 classes, c est-à-dre 25-1=24 classes. Les classes de la hérarche sont numérotées de 26 à 49. Chaque classe est décrte par : son numéro nveau I( J ), ses successeurs A( J ) et B( J ), le nombre de ses éléments J, son ndce de et la lste des éléments de chaque classe. Ces éléments sont rangés dans l ordre où ls sont mprmés en marge de l arbre. Prenons par exemple la classe classe 36 c est-à-dre B (40) = 27 A (40) = 36 (MPOU et GOYI). PJ ( ) 40 ; on a d abord les tros ndvdus de la (MAKI, BATA et TSIB), pus les deux éléments de L arbre de classfcaton hérarchque Du tableau du contenu des classes, on dédut l arbre de classfcaton (Graphque 9) qu, comme on l a déà dt, défnt un système emboîté de classes. La lecture descendante de l arbre, dans le sens nverse de sa constructon, permet d examner les parttons comprenant peu de classes. S on coupe l arbre au nveau le plus élevé, on obtent deux classes. En effet, en partant du sommet, le nœud 49 se scnde en ses deux successeurs mmédats A (49) = 46 et B (49) = 48. S on coupe mantenant l arbre légèrement au dessus du nveau du nœud 48, on obtent une partton en tros classes. En coupant ensute l arbre entre les nœuds 46 et 47, on obtent une partton en quatre classes. De toute évdence, ces classes, seront d autant plus nombreuses que la coupure de l arbre sera proche des éléments termnaux. L examen de l arbre amène en fat le pratcen à prvléger certanes parttons, ugées «bonnes», et à en reeter d autres, ugées «mauvases» [60]. On retrouve c, à quelques exceptons près, la typologe suggérée par l analyse factorelle des correspondances (cf ). Les deux approches sont donc complémentares et nous allons mantenant examner leur nterprétaton cononte. 65

66 Graphque 9 : Représentaton de classfcaton hérarchque 66

67 Calcul de contrbutons L arbre de classfcaton établ au permet de dstnguer les classes les unes des autres, mas ne permet pas de connaître comment ces classes se sont formées et comment elles se séparent. Les calculs des contrbutons sont effectués pour le savor. L obectf de ces calculs est de précser : - en quo une classe q s écarte du centre de gravté du nuage : c est l étude de l excentrcté des classes par rapport à des axes. Cette étude des classes se fat sot par rapport à des varables (axes ntaux des varables assocés à un tableau de données), sot par rapport à des axes factorels ; - en quo dffèrent les deux successeurs an ( ) et bn) ( en lesquels se scnde la classe n. Comme précédemment, cette étude sera réalsée d abord dans l espace rapporté au système d axes factorels, ensute dans l espace rapporté au système des axes défns par les varables ; - les contrbutons mutuelles entre classes et facteurs Etude des classes par rapport à des axes. Formulare Sot k IJ, un tableau de correspondance. On a effectué sur ce tableau une analyse factorelle des correspondances et une classfcaton ascendante hérarchque sur un ensemble de facteurs et un système de classes. Sot q une parte de I. On a donc sur I, I et on note par f q sa masse. Sur les axes de l analyse factorelle des correspondances, on peut placer la classe q ; q étant un barycentre de ponts, on a : F ( q) = { f F ( )/ f q}, avec f = { f q} q Pour une classe q, on calcule : - le cosnus carré de l angle formé entre le rayon vecteur de la classe q et l axe α : COR ( q) = Cos ( q) = F ( q)/ ( q). C est la contrbuton relatve de l axe α à l excentrcté α α α ρ 2 de la classe q, ( rho( q) = ρ ( q) ) étant l excentrcté de la classe q par rapport au centre du nuage). CORα ( q) #0 α ntervent peu dans l écart de q au centre du nuage. CORα ( q) #1 α explque l écart de q au centre du nuage. La somme des COR donne la qualté de la représentaton de la classe q dans l espace des facteurs retenus : COR = QLT 2 - la contrbuton relatve de la classe q au facteur α : CTR ( q) = f F ( α)/ λ. α α α q α α CTR est la contrbuton relatve de la classe q à l nerte nterclasse par rapport à l nerte totale de l axe α. CTRα ( q) #0 q n explque pas l nerte de l axe α ; q 67

68 CTRα ( q) #1 α n explque pas l nerte de l axe α Etude des classes par rapport à des axes. Exemple a) Etude des classes par rapport à des axes factorels Les deux tableaux relatfs aux classes, concernent pour l un, les cnq classes les plus hautes de la hérarche (tableau 17) et pour l autre, les classes termnales de cette hérarche restrente (tableau 18). Cette étude des classes est fate par rapport à des axes factorels. On a extrat cnq facteurs ; seuls les deux premers facteurs sont ndqués. Pour le premer tableau la premère lgne n est pas utlsable (sauf la colonne pods) pusque le ρ 2 ( q) égal à zéro. Le pods total du nuage étant normalsé à 1, le centre du nuage 49 à pour pods 1000/1000=1. est AXES FACTORIEL S 1 A 2 (TOUTES LES VALEURS SONT MULTIPLIEES PA R 1000) CLASSE AINE BNJMN! POIDS INR QLT! F 1 COR CTR! F 2 COR CTR ! ! 0 0 0! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !! 248! 501 Tableau 17 : Facteurs pour les 5 classes les plus hautes de la hérarche Dans cette étude de la poston des classes par rapport aux axes factorels, on note que le premer facteur est moyennement corrélé avec la classe 48 et 46 (0.401) ; le deuxème facteur est corrélé avec la classe 47 (0.630). Pour le reste des lgn es, l nterprétaton se base sur la défnt on des formules c-dessus ndquées comme en ACP o u en AFC. AXES FA CTORIELS 1 A 2 (TOUTES LES VALEURS SONT MULTIPLIEES PA R 1000) CLASSE AIN E BNJM N! POI DS INR Q LT! F 1 CO R CTR! F 2 COR CTR 32 LOUZ MBIK! ! ! ! ! ! ONDZ LIK1! ! ! NZAK 41! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 693! 637 Tableau 18 : Facteurs pour les sx classes de la partton. 68

69 En ce qu concerne le tableau 18, l faudra relever les spécfctés suvantes : - pour les sx classes de la partton, un ndvdu appartent à une classe et une seule ; dans ce cas, la somme des pods des dverses classes est égale au pods total du nuage : 1000/1000 ; - par contre, l nerte relatvement à l orgne 0 du centre d une classe q n est pas la somme des nertes des ponts consttuant la classe ; mas elle est égale à cette somme dmnué de l nerte nterne de la classe q. Volà pourqu o le total de la colonne INR est nféreur à 1 ; ce total représente l nerte nterclasse de la partton retenue (c ex prmé en mllème) et l nerte ntra-classes, le complémentare à 1 de ce total. De façon analogue la somme des CTR sur un facteur donne la part d nerte nterclasse à l nerte du facteur. b) Etude des classes par rapport à des varables Dans cette deuxème analyse, on recherche quelles sont les varables responsables de la dstance d une classe des profls sur l ensemble des q au centre de gravté du nuage. On se place donc c dans l espace CardJ varables : à chaque varable correspond un axe, la c oordonnée sur cet axe étant la composante du profl relatve à la varable. Ben que le nombre de varables ne soent pas élevées, les résultats mprmés sur le lstage, occupe une mportante surface de paper mprmé. On a donc lassé au programme de ne retenr que les varables ayant les plus fortes contrbutons aux nœuds supéreurs (tableau 19). Les coordonnées du centre de gravté du nuage sont celles de la lgne 49, aux colonnes STAS, MATH, GEOE, etc. (profl sur J de la lgne de marge du tableau k ). On peut donc comparer les lgnes suvantes : classes 48, 47, 46, et 45 (aux colonnes ndquées) avec la lgne 49 pour savor en quo ces classes dffèrent de la classe 49 (centre du nuage). On dra par exemple que la classe 46 s écarte du centre pour un taux moyen en comptablté d entreprse et un taux fable en technques d expresson. On confrme ces résultats en lsant la colonne COR. On fn par établr une lste des varables responsables de l écartement d une classe au centre du nuage. IJ Notons que s, toutes les varables avaent été retenues, nous aurons obtenu pour toutes les lgnes, QLT = Le fat de n avor retenu que quelques varables, cette valeur de la qualté de représentaton est descendue au dessous de 1000 et ce, pour toutes les classes. On vérfe que les valeurs des colonnes POIDS et INR sont les mêmes que dans le tableau 17. On peut fare édter les résultats smlares pour les centres de gravté des sx classes de la partton, déf nes à partr des c nq nœuds les p lus hauts. 69

70 (TOUTES LES VALEURS S ONT MULTIPL IEES PAR 1000, A L EXCEPTION DE RHO2 QUI EST MULTIPLIE PAR 10** ( 5)) CLASSE AINE BNJM! POIDS INR QLT RHO2! S TAS COR CTR! MATH COR CTR ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!! 398! 163 CLASSE AINE BNJM! POIDS INR QLT RHO2! GEOE COR CTR! COME COR CTR ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!! 106! 86 CLASSE AINE BNJMN! POIDS INR QLT RHO2! TEXP COR CTR! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!! 78! Tableau 19 : Etude des classes par rapport aux varables ntales (varables ayant les plus fortes contrbutons aux nœuds supéreurs) Etude des dpôles par rapport à des axes. Formulare. A chaque nœud n d une classfcaton, est assocé un dpôle ( an ( ), bn ( )) formé par les centres de ses deux successeurs mmédats. Dans l espace rapporté au système d axes factorels, on cherche à précser la stuaton des segments ognant dpôles. On calcule : dans les - la dfférence D ( n) = F ( a( n) b( n)) ; elle rensegne sur la poston relatve de an ( ) par rapport à bn ( ). - α α 2 2 α( ) = ( α( ( ) α( ( ))) / ( ) ( ) COD n F an F bn an bn = D 2 α ( n)/ a( n) b( n) 2 an ( ), bn ( ) 70

71 avec : COD ( n) α = QD 2 ( n)/ ν ( n) Q f f f n n / n = a( n) b( n) n est le cosnus carré de l angle formé par l axe α et la drote ognant les centres des classes an ( ) et bn ( ) : s CODα ( n) #1 α explque en quas totalté la séparaton entre an ( ) et bn ( ); s CODα ( n) #0 α n explque pas la séparaton entre an ( ) et bn ( ) - l nerte du dpôle an ( ) bn ( ) sur l axe α rapporté à l nerte totale sur cet axe (ou contrbuton relatve du nœud à l axe) : CTD = Q D 2 ( n)/ λ n α α s CTD ( n) #1 α la dsperson du nuage sur l axe α est due exclusvement aux éléments α des classes an ( ) et bn ( ) Etude des dpôles par rapport à des axes. Exemple a) Etude des dpôles par rapport à des axes factorels On donne dans le tableau 20 les résultats de cette étude. On rappelle que cnq facteurs ont été extrats, deux seulement sont présentés. On constate que, seul le nœud 48 a un COD assez fort (0.679) sur l axe 1. Sur l axe 1, la séparaton entre A (48) = 32 et B (48) = 47 est donc assez nette. De plus, on a sur le plan (1,2) COD1 + COD2 = = (qualté de représentaton) : le dpôle est assez proche du plan (1,2). L nerte totale du nuage sur l axe 1 est explqué à 29% ( CTD (48)=291) par la dchotome entre les deux classes A (48) = 32 et B (48) = 47 formant la classe 48. En proecton sur l axe 1, la partton de I en deux classes : 32 et 47 a une n erte nterclasse de : 291 λ1 (et une nerte ntra -classe de 709 λ 1). On v érfe que le total d e la colonne CTD du tableau 20 est égal à celu de la colon ne CTR du t ableau 18 ( cl asses de la partton). Il en est de mê me pou r le total de la colon ne IND (total IND =tota l INR =504). AXES FACTORIELS 1 A 2 (TOUTES LES VALEURS SONT PULTIPLIES PA R 1000) NŒUD AINE BNJMN! POIDS IND QLD! D 1 COD CTD! D 2 COD CTD ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!! 693! 637 Tableau 20 : Etude des dpôles par rapport aux axes factorels. 71

72 b) Etude des dpôles par rapport à des varables ; Cette étude complète la précédente. Elle permet de détermner les varables responsables de la séparaton des classes. Comme précédemment, on a retenu que les varables ayant les plus fortes contrbutons aux nœuds supéreurs de la hérarche (tableau 21). On sgnale la présence de la colonne D2AB : c est le carré de la dstance entre les centres de classe an ( ) et bn ( ). Pour l nterprétaton, on cherche à repérer les valeurs élevées de la colonne dpôle (46,48) est explqué par la var able COME (comptablt é d entreprse) ; le dpôle (32,47) est exp lqué par ST AS ( Stats tque de la sa nté) ; le dpôle (26,43) par MATH (mathématques) ; le reste des dpôles n a pas d explcatons partcul ères. TOUTES LES VALEURS SONT MULTIPL IEES PAR 1000, A L EXCEPTION DE D2AB QUI EST MULTIPLIE PA R 10**(4) COD. Le NŒUD AINE BNJMN! POIDS IND QLD D2AB! STAS COD CTD! MATH COD CTD ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!! 598! 410 NŒUD AINE BNJMN! POIDS IND QLD D2AB! GEOE COD CTD! COME COD CTD ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!! 581! 740 NŒUD AINE BNJMN! POIDS IND QLD D2AB! TEXP COD CT D ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!! 254 Tableau 21 : Etude des dpôles par rapport aux varables ntales. 72

73 ( Contrbutons relatves mutuelles entre classes et facteurs Notons par I ( N ( I )) ou par 2 n J M NJ ( I) l nerte totale du nuage. On sat déà que : 2 n( J( )) = ( J( )) = { ν ( ) } I N I M N I n n N = { λ α A} ( N ensemble des nœuds et A ensemble des facteurs) M 2 ( N ( I)) = { ν( n; α) α A; n N} avec J 2 ( n; ) QnDα ( n) ν α = ν ( n; α ) est la contrbuton absolue mutuelle de n et α. α On peut auss noter que : λ = {(; ν n α) n N} α ν ( n ) = { ν( n ; α) α A} On peut e nfn calculer les contrbutons relatves mutuelles entre classes et facteurs. C est le rap port : ν ( n ; α )/ M 2 (NJ ( I)) TABLEAU DES CONTRIBUTIONS RELATIVES MUTUELLES SUR LES FACTEURS 1 A 5 NŒUD AINE BNJMN! Q(N) IND INCUM! F 1 F 2 F 3 F 4 F ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Tableau 22 : Contrbutons mutuelles : étude des facteurs. Dans le tableau 21, on a lmté le nombre des varables dans l étude des dpôles. Cette étude est c complétée (tableau 23) par le tableau des contrbutons mutuelles relatves entre dpôles et varables. La dernère lgne donne pour chaque varable l nerte relatve de M 2 J ( I ) par rapport à l axe α. Les tableaux 22 et 23 n appellent aucun commentare partculer. 73

74 TABLEAU DES CONTRIBUTIONS MUTUELLES (TOUTES LES VALEURS SONT MULTIPLIEES PAR 10 **(4)) LA DERNIERE COLONNE DONNE LA PART DE L INERTIE D UNE VARIABLE A L INERTIE TOTALE. NŒUD AINE BNJMN! IN(N) STAT MSTA STAS! STAE MATH PROB ECON DEMO ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!! ! NŒUD AINE BNJMN! IN(N) INFO GEOE COME! CON TEXP ANGL HIST STAG ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!! ! Tableau 23 : Contrbutons mutuelles : étude des varables Introducton des nœuds de la classfcaton dans le graphque de l analyse factorelle. Une synthèse pratque des procédures factorelles et celles de classfcaton, consste à stuer les classes obtenues par la CAH sur l espace factorel. Les coordonnées de ces classes sont les barycentres des éléments qu la composent. Dans l espace factorel on peut représenter, sot les fourches (le trplet ssues des classes supéreures, sot encore les classes de la partton retenue (successeurs des classes supéreures). On a chos c de ne représenter que les classes supéreures, pour évter une trop grande densté de ponts dans l espace factorel. n, an ( ), bn ( ) On donne dans le tableau 3.12 les coordonnées des classes dans l espace factorel de dmenson 5. L examen de la poston de ces classes par rapport aux facteurs permet d affner l nterprétaton des axes factorels. 74

75 AXES FACTORIELS N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N Tableau 24 : Coordonnées des classes dans l espace factorel x 1000 Le graphque 10 donne la représentaton de l ensemble des 25 étudants, des cnq fourches prncpales extrates de la classfcaton, dans l espace factorel (1,2). On a relé par un segment de drote les nœuds que la classfcaton a agrégés ensemble. Ben que tous les nœuds ne soent pas représentés, on retrouve les mêmes oppostons rencontrées lors de l analyse factorelle des correspondances. 75

76 AXE HORIZONTAL (1) AXE VERTICAL (2). Nombre de ponts : 35 Echelle : 4 caractère(s)= lgne =.009 Nombre de ponts superposés : 3 LIK1(26) ONDZ(26) NGUI(BATA) Graphque 10 : Représentaton dans l espace factorel (1,2) des fourches ssues des classes supéreures. 76

77 Bblographe [1] Benzécr, J.-P., & Coll., (1980). L analyse des données, Tome 1 : la taxnome, Dunod [2] Benzécr, J.-P., & Coll., (1980). L analyse des données, Tome 2 : l analyse des correspondances, Dunod [3] Benzécr, J.-P., Benzécr F., (1980). Pratque de l analyse des données, Tome 1 : Analyse des correspondances. Exposé élémentare, Dunod [4] Benzécr, J.P., Bastn, CH., Bougart, CH., Cazes, P., (1980). Pratque de l analyse des données, Tome 2 : Abrégé théorque. Etudes de cas modèles, Dunod [5] Benzécr, J.-P., & Coll., (1981). Pratque de l analyse des données, Tome 3 : Lngustque et lexcologe, Dunod [6] Benzécr, J.-P., (1982). Hstore et préhstore de l analyse des données, Dunod [7] Benzécr, J.-P., & Coll., (1986). Pratque de l analyse des données, Tome 5 : Econome, Dunod [8] Berter, P., Bouroche, J.M., (1975)- Analyse des données multdmensonnelle, PUF [9] Bouroche, J.M., (1977). Analyse des données en marketng, Masson [10] Bouroche, J.M., Saporta, G., (1980). l analyse des données, Collecton Que sas-e? PUF. [11] Callez, F. Pages J.P., (1976). Introducton à l analyse des données, Smash. [12] Cazes, P., Lecoutre, J.P., (1977). Etude de quelques problèmes de codage en analyse des correspondances, Cahers du Bureau unverstare de recherche opératonnelle, n 27 pp [13] Cazes, P., (1980). L analyse de certans tableaux rectangulares décomposés en blocs : généralsaton des proprétés rencontrées dans l étude des correspondances multples. II Questonnare : varantes de codages et nouveaux calculs de contrbutons, Cahers de l Analyse des données, Vol 5 n 4 pp [14] Cazes, P., (1982). Note sur les éléments supplémentares en analyse des correspondances : I Pratque et utlsaton, Cahers de l Analyse des données, Vol 7 n 1 pp II Tableaux multples, Cahers de l Analyse des données, Vol 7 n 2, pp [15] Cazes, P., (1983). L analyse des correspondances multples. Applcaton à l étude des questonnares, Bulletn de l ADDAD n 12. [16] Cehessat, R., (1976). Exercces commentés de statstque et nformatque applquée, Dunod 77

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