II - Notions de probabilité. 19/10/2007 PHYS-F-301 G. Wilquet 1

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1 II - Notos de probablté 9/0/007 PHYS-F-30 G. Wlquet

2 Ue varable aléatore est ue varable dot la valeur e peut être prédte avec certtude mas dot la probablté d occurrece d ue valeur (varable dscrète) ou d u domae de valeurs (varable cotue) est coue. Uprocessus aléatore est décrt par ue ou pluseurs varables aléatores. Aomes de base du calcul des probabltés P( ) / 0 P s certaemet vra: P = / Addto et ecluso s certaemet fau: = 0 ( ) = + ( y) y P( y) = P( y) = P( ) + P( y) P y P P y P s et sot eclusfs: 0 3/ Multplcato et dépedace ( ) = = edats: P( y ) = P( ) P( y ) = P( y) P( y) = P( ) P( y) P y P P y P y P y s et y sot dép Chaptre II

3 Foctos de fréquece, de desté de probablté, de dstrbuto, caractérstque Focto de fréquece d ue varable dscrète Sot ue populato fe de élémets caractérsés par ue proprété (varable) pouvat predre valeurs possbles,,... eemple: talle eprmée e cm mesurée au mm près d'ue populato Sot, =, le ombre d'occureces de la valeur f() f = p = = = Normalsato p = = Cas d'ue populato fe f ( ) = lm eemple : et d' u dé Chaptre II 3

4 Focto de desté de probablté (fdp) d ue varable cotue Eemple: spectre d'émsso e logueur d'ode d'u sctllatteur orgaque = ( < + ) f lmδ P Δ / Δ 0 f() = ( < + ) = [ + ] f d P d P, d Normalsato : la probablté totale = f d = ( < ) = ( ) P f a b b a d Sute du cours: focto de desté de probablté ou fdp pour des varables cotues et des varables dscrètes a b Chaptre II 4

5 Focto de dstrbuto F() varable dscrète pouvat predre valeurs: varable cotue = F f y dy = df f d F = 0 F + = ( ) ( ) F = f =, = F() e pratque F = 0 F = m ma Focto caractérstque Trasformée de Fourrer de la fdp φ t t () t = E e = e f ( ) t f ( ) = e φ () t dt π φ α ( α ) t ( ) = e f d d Chaptre II 5

6 Espérace mathématque, momets o-cetrés et cetrés Espérace mathématque: moyee podérée par la fdp E g( ) = g( ) f ( ) d E a g ( ) = a E g ( ) = = Momets o-cetrés [ ] moyee μ = E = f d μ = μ = f d Momets cetrés ( μ ) ( μ ) varace = σ = ( μ ) m = E = f d m f d σ ( E ) = μ μ = E dévato stadard, écart type: σ= σ Relato avec la focto caractérstque φ ( t ) t t = e f ( ) d e f ( ) d = μ = et φ(t ) = t = 0 = 0 t t t pusque = de mêm e = 0! e m = φ(t) φ μ t ( t ) μ (t) Chaptre II 6 t = 0!

7 Equvalece etre la focto de desté de probablté f ( ) = ou la focto de dstrbuto F f df t ou la focto caractérstque φ () t f ( ) = e φ () t dt π ou tous les momet μ o uls = 0 ( t) μ t f ( ) = e dt π! La plupart des fdp décrvat les grades classes de processus aléatores sot détermées par leur forme aalytque et les valeurs de μ et σ. Soet u esemble de varables aléatores dépedates dstrbuées suvat des fdp de moyee μ et varace σ =, s y = a + b = alors μ = a μ + b y = et σ y = a σ = et o σ = a = σ Chaptre II 7

8 Dstrbuto de pluseurs varables aléatores,=, Focto de desté de probablté ote = = [ + ] f,,... d d...d f d P, d ormalsato f d = moyees varaces covaraces [ ] μ = E = f d Ω Ω σ = E μ = μ f d Ω ( μ )( μ) σ = V = cov(, ) = E μ μ = f d de même que σ E E dépedace des varables et ( [ ]) o a σ = [ ] = E E E = ( ) ( ) factorsato f f,... f,... [ ] E = E E σ = 0 Ω le fat que pree ue valeur partculère parm ses valeurs possbles 'affecte pas la probablté qu'à de predre ue parm ses valeurs possbles. Chaptre II 8

9 coeffcet de corrélato etre varables et ρ σ = = σσ ( μ )( μ) E E E ( μ ) ( μ) s dépedace: σ ρ = 0 s dépedace léare: = a + b μ = aμ + b ρ = y ρ > 0 y y ρ = - ρ = 0 Chaptre II 9

10 Focto de desté margale cas de varables, eteso trvale au cas de varables proecto de f, sur les ae et = et = f (, ) h f, d h = f ( ) s et sot dépedates: f, f f h Focto de desté codtoelle 0 fdp de pour la valeur partculère prse par et récproquemet 0 ( ) d 0 ( ) 0 0 f, f, 0 0 g ( = ) = et g ( = ) = h h s et sot dépedates: f (, ) = f ( ) f ( ) et h ( ) f ( ) ( 0 ) ( 0 ) g = f h g = f h Chaptre II 0

11 Focto caractérstque t + t + =...t φ t,t,...t... e f,,... d d...d Varables dépedates: factorsato de la focto caractérstque f,,... = f f...f ( t,t,...t ) = ( t ) ( t )... ( t ) φ φ φ φ t avec φ (t ) = e f d Chaptre II

12 Chagemet de varable = sot dstrbué suvat f sot y dstrbué suvat f y sot y = y ue trasformato bectve etre et y Coservato de la probablté: f d f y dy Cas gééral de varables d f ( y) = f ( ) dy f y, y,...y = J f,,... J = y Chaptre II