OBLIGATION DU SECTEUR PRIVE : EVALUATION ET OUTIL DE GESTION DU RISQUE DE TAUX D INTERET

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1 Jea-Claude AUGROS Professeur à l Uversté Claude Berard LYON I et à l Isttut de Scece Facère et d Assuraces ISFA Mchel QUERUEL Docteur e Gesto Igéeur de Marché Socété de Bourse AUREL Résumé : Cet artcle propose u modèle d évaluato d ue oblgato du secteur prvé et de sa durato effectve celle-c représetat l élastcté du prx de l oblgato à ue varato des taux d térêt sas rsque de défaut. A cette f u modèle gééral d évaluato d u actf cotget aux taux d térêt et à u actf rsqué reposat à la fos sur le modèle de Ho et Lee gééralsé et sur celu de Kshmoto est ms e oeuvre. Le spread d ue oblgato rsquée est esute étudé e focto des dfférets paramètres régssat le prx de l oblgato. Ef l étude de la durato effectve dédute du modèle motre que la durato de Macaulay surestme le rsque de taux d térêt. Abstract : Ths paper proposes a cotget-clams-based model to valug corporate debt ad ts effectve durato that represets the bod value elastcty to the rskless terest rate varato. The model corporates both default rsk ad terest rate rsk usg geeralsed Ho ad Lee s ad kshmoto s frameworks. We aalyse the rsky bods spreads ad ther sesblty to the varatos of model s parameters. Fally we observe that the effectve durato deduced from the model s smaller tha Macaulay durato. Mots-clés : évaluato spread durato effectve gesto du rsque de taux d térêt Keywords : valuato spread effectve durato terest rate rsk magemet OBLIGATION DU SECTEUR PRIVE : EVALUATION ET OUTIL DE GESTION DU RISQUE DE TAUX D INTERET La durato de Hcks-Macaulay [938] peut se défr comme l élastcté du prx d u actf par rapport à ue varato de so redemet actuarel. Elle est courammet employée e gesto de portefeulle ou de bla comme dcateur de la sesblté d u portefeulle d actfs aux varatos des taux d térêt. L utlsato effcace de cet strumet e gesto de portefeulle suppose cepedat que les codtos d applcato de la règle de sommato des duratos soet respectées. Selo cette règle la durato d u portefeulle composé de pluseurs actfs est égale à la moyee podérée des duratos de ces actfs. E réalté cette règle est valde que s les taux actuarels des dfférets actfs varet du même motat et ce quels que soet leur profl de flux et le rsque de défaut de leur émetteur. Cette codto revet doc à admettre qu l exste autat de gammes de taux que de veaux de rsque de défaut dfférets que ces structures de taux sot plates et qu elles se déplacet toutes parallèlemet du même motat. Af d amélorer la défto de la durato Fsher et Wel [97] ot magé ue formule qu s accommode d ue forme quelcoque de la structure des taux. La mesure de la durato qu ls proposet représete alors pour u veau de rsque doé l élastcté BULLETIN FRANÇAIS D ACTUARIAT Vol. N 997 pp. -5

2 J.C. AUGROS & M. QUERUEL du prx d u actf par rapport à ue varato uforme de la courbe des taux des zérocoupo. Lorsque le portefeulle est composé de ttres de rsque de défaut hétérogèe la valdté de la règle de sommato des duratos de type Fsher et Wel suppose toujours comme das le cas des duratos de Macaulay u déplacemet parallèle et de même motat des dfféretes gammes de taux correspodat chacue à u veau de rsque de défaut. Cette hypothèse revet par coséquet à cosdérer que le spread représetat la dfférece etre le taux de redemet d u actf rsqué et le taux de redemet d u actf sas rsque de défaut est costat quel que sot le veau des taux d térêt. Or l étude emprque de Sarg et Varga [989] a cofrmé l hypothèse selo laquelle le rsque de défaut et le rsque de taux d térêt sot corrélés et motré que le spread des oblgatos du secteur prvé déped du veau des taux et de la maturté des oblgatos. L hypothèse d u déplacemet parallèle des dfféretes gammes de taux semble doc devor être remse e cause. Le rejet de cette hypothèse codut à trodure u ouvel outl de gesto du rsque de taux d térêt : la durato effectve 3. Cette derère représete l élastcté du prx d ue oblgato par rapport à ue varato de la gamme des taux sas rsque de défaut. Cette défto de la durato permet d exprmer la sesblté de la valeur d u portefeulle aux modfcatos d ue varable commue à tous les actfs qu le composet. La règle d addtvté des duratos s applque alors sas qu l sot écessare de formuler d hypothèse partculère sur les varatos des redemets des élémets costtutfs du portefeulle. L uvers rsque-eutre fourt le cadre aturel de détermato de la durato effectve. E effet la valeur d u actf peut se défr comme l espérace sous la probablté rsque-eutre de ses flux futurs actualsés au taux sas rsque. Das cet uvers de probablté le calcul de la durato effectve est doc faclemet réalsable. Cet artcle propose d évaluer ue oblgato du secteur prvé d e dédure la mesure de sa durato effectve pus d aalyser le comportemet de cette durato et du spread de l oblgato e focto des valeurs des dfférets paramètres du modèle. Il est orgasé de la faço suvate : das la premère secto le modèle d évaluato de l oblgato et de sa durato effectve est préseté ; ue étude de smulato du modèle est esute réalsée das la secode secto. SECTION. EVALUATION DE L OBLIGATION ET DE SA DURATION EFFECTIVE Les premers travaux sur l évaluato d ue oblgato du secteur prvé ot été tés par Black et Scholes [973] et par Merto [974]. Ces auteurs postulet que la frme émettrce a éms qu ue seule dette - ue oblgato zéro-coupo - et que l émetteur est e stuato de défallace lorsqu au momet du remboursemet de sa dette la valeur des actfs de la frme est féreure à ses egagemets. La règle de prorté e faveur des oblgatares codut à exprmer le prx d ue dette rsquée comme la dfférece etre la valeur d ue oblgato sas rsque et celle d u put sur les actfs de la frme. Cette approche a fat l objet de pluseurs développemets avec les travaux de Black et Cox

3 3 [976] d Igersoll [977] et de Geske [977]. Le prcpal défaut de ces modèles est de géérer des spreads ou prmes de défaut plus fables que ceux observés e pratque. Des travaux plus récets ot fat progresser l évaluato d ue dette rsquée e permettat de predre e compte tout à la fos la possblté d ue défallace de l émetteur à tout stat et l exstece de taux d térêt stochastques. Deux types d solvablté ot été proposés : la «flow-based solvecy» résulte de l mpossblté de la frme à fare face grâce à ses reveus au paemet de ses coupos Km Ramaswamy et Sudaresa [KRS 989] ; la «stock-based solvecy» se produt quat à elle lorsque la valeur des actfs de la frme tombe e dessous d u certa seul ce derer pouvat être costat Logstaff et Schwartz [LS 995] ou évoluer de maère stochastque Nelse Saa-Requejo et Sata-Clara [NSS 993] Lelad [994] et Brys et de Varee [BdV 995]. E cas de défallace de l émetteur les oblgatares reçovet alors ue fracto de la valeur des oblgatos sas rsque équvaletes NSS et LS ou be ue fracto de la valeur des actfs Lelad 4 et BdV 5. As grâce à cette formulato la règle de prorté applcable aux remboursemets lors d ue fallte peut coformémet à la pratque e pas être respectée de maère absolue les oblgatares obteat das ce cas qu ue parte seulemet de ce qu ls seraet e drot de percevor. Les processus d évoluto stochastque des taux d térêt gééralemet reteus das les modèles récets d évaluato d ue dette rsquée sot ceux de Vascek [977] ou de Cox Igersoll et Ross [985]. Or les études emprques 6 7 de performace des dfféretes mesures de durato ot ms e évdece les lmtes pour la gesto du rsque de taux d térêt d u portefeulle oblgatare des duratos calculées à partr de ces processus. Ces résultats ot doc mlté pour le chox das cette étude d u autre processus d évoluto des taux d térêt. D évdece certas des modèles développés jusqu'à ce jour présetet des avatages mas auss des covéets. Aucu e permet de satsfare toutes les cotrates de l évaluato d ue dette rsquée : à côté des exgeces déjà soulgées l est souhatable que le modèle recherché permette d évaluer ue oblgato à coupos et sot auss susceptble d admettre l exstece de clauses de remboursemet atcpé. Le modèle préseté c vse à satsfare le maxmum de ces exgeces. Il s appue sur u modèle dscret d évaluato d u actf cotget aux taux d térêt et à pluseurs actfs préseté par alleurs Augros et Queruel [997]. Après u rappel de ce cadre gééral d évaluato cette modélsato est applquée à l évaluato d ue dette rsquée et de sa durato effectve e présece d ue clause de remboursemet atcpé au gré de l émetteur.. LE MODELE GENERAL D EVALUATION Le modèle développé das l artcle d Augros et Queruel [997] permet l évaluato d u actf cotget à la fos aux taux d térêt et à deux actfs rsqués. Il repose sur la combaso de deux modèles de base celu de Ho et Lee gééralsé développé par Boasseux et Bruel [993] pour modélser l évoluto de la structure des taux et celu de Cox Ross et Rubste [979] pour la modélsato du prx des actfs rsqués. La démarche séquetelle proposée costtue ue gééralsato du modèle de Kshmoto [989]. Cette approche octoomale permet de predre e compte la corrélato des varatos du prx des deux actfs rsqués sous-jacets avec les taux d térêt. E outre

4 4 J.C. AUGROS & M. QUERUEL à la dfférece du modèle de Kshmoto. Ce modèle permet de dfférecer la volatlté des taux d térêt e focto de la maturté à laquelle ls se rapportet. Compte teu de l applcato qu est fate de ce modèle gééral d évaluato u seul actf rsqué sous-jacet est reteu c. Les hypothèses relatves au processus d évoluto de l actf sous-jacet sot les suvates : H Le temps restat à courr jusqu à la maturté de l actf cotget est subdvsé e N pérodes de logueurs detques. Chaque pérode est elle-même subdvsée e deux sous pérodes la secode état très courte par rapport à la premère. Les trasactos s opèret à chaque début de sous-pérode. H Le marché est sas frcto. Il y a pas de taxe pas de coût de trasacto et pas de restrcto sur les vetes à découvert. Tous les ttres sot parfatemet dvsbles. H3 Le marché est supposé complet das le ses qu l exste ue oblgato zéro-coupo sas rsque de défaut pour toute maturté τ avec τ N. H4 Durat chaque premère sous-pérode le rsque de taux d térêt pred place et à la f de cette sous-pérode chaque facteur d actualsato a deux valeurs possbles. Durat chaque secode sous-pérode les facteurs d actualsato restet chagés et les taux d térêt e varet doc pas. H5 Les taux d térêt suvet le processus de Ho et Lee gééralsé 8. La courbe des taux est supposée se déformer selo u arbre bomal comparable à celu de Ho et Lee. La structure des taux tale est détermée par les facteurs d actualsato pour dfféretes maturtés exprmées e ombre de pérodes. Sot Pτ le prx d u zérocoupo rapportat F à l échéace et dot la maturté tervet das τ pérodes. A la date l exste + valeurs possbles de la structure des taux. Chaque structure des taux est detfée par la date et par le ombre de hausses des facteurs d actualsato oté ; cette structure est otée P.. As à ue date et pour u état de la ature la valeur d ue oblgato rapportat F das τ pérodes est doée par P τ. O pose P P. L u des prcpaux apports du modèle est de permettre au redemet de l actf sous-jacet de dépedre du veau des taux d térêt. A cette f le mouvemet du prx de l actf est décomposé e deux phases. La premère pedat la premère sous-pérode capture la composate dépedate des taux d térêt et la secode pedat la secode sous-pérode décrt la varato de la composate spécfque de l actf. Cec se tradut par les deux hypothèses suvates : H6- Pedat la premère sous-pérode de l stat à l stat + s ue hausse de la structure par terme 9 se produt le prx de l actf est multplé par u facteur u P et s ue basse se produt le prx de l actf est multplé par d P. Les facteurs u et d permettet de décrre l évoluto de l actf dépedat des taux d térêt. Ces facteurs dépedet de la focto d actualsato à l stat et à l état. Les termes u / P et d P représetet + le redemet de l actf rsqué sur la pérode lé aux varatos des taux d térêt.

5 5 H6- Pedat la secode sous-pérode s ue hausse de l actf se produt le prx de l actf est multplé par u facteur u ; s ue basse se produt le prx est multplé par ue facteur d. Ces deux facteurs représetet la composate d évoluto spécfque de l actf et sot supposés dépedats de l stat-état 0. H7 Le prx de l actf à l stat est etèremet détermé par le ombre de hausses de la structure par terme et par le ombre de hausses spécfques du prx de l actf qu se sot produtes avat l stat. L évoluto du prx de l actf sous-jacet au cours de la pérode [+] est doc décrte par le schéma suvat : Fgure. Evoluto de la valeur de l actf sous-jacet E l absece d opportuté d arbtrage etre l actf rsqué et mporte quelle oblgato sas rsque de défaut o e dédut le prx d équlbre de l actf sous-jacet à toute date future pour tout état de la ature vor aexe. U rasoemet smlare à celu développé par Ho et Lee [986] permet d établr la relato récurrete défssat le prx d u actf cotget aux taux d térêt et à u seul actf rsqué sous-jacet à la date e focto des valeurs possbles à la date +. Elle est doée par : C j P [ π qc + + j + + π q C + + j + π qc + j + + π q C + j] où π et q désget respectvemet les probabltés rsque-eutre de hausse des facteurs d actualsato et de hausse de la composate spécfque de l actf sous-jacet. E spécfat les codtos termales et les flux et codtos termédares l est possble d évaluer des actfs de atures dverses dot les oblgatos du secteur prvé. De plus ce modèle costrut sur la base du processus d évoluto des taux d térêt de Ho et Lee gééralsé répod aux exgeces mposées pour le calcul d ue durato effectve.

6 6 J.C. AUGROS & M. QUERUEL. APPLICATION A L EVALUATION D UNE OBLIGATION DU SECTEUR PRIVE Af de valorser ue oblgato du secteur prvé l reste à défr les codtos termales et à précser le processus de défallace de l etreprse. Les hypothèses suvates sot reteues : H8 La valeur V des actfs de la frme sut le processus d évoluto décrt par la fgure. Sot σ V la volatlté du redemet des actfs de la frme à l stat préset. Cette hypothèse mplque que le redemet des actfs de la frme est corrélé avec les taux d térêt. Sot ρ cette corrélato à l stat préset. H9 Pour que la valeur des actfs de la frme pusse suvre le processus précédet o dot supposer que les paemets de coupos ou de captal ot pas d effet sur V. Cec est satsfat s le paemet de ces flux s effectue e émettat ue ouvelle dette. H0 Comme Black et Cox [976] ous supposos qu l exste u veau K de la valeur des actfs de la frme e deçà duquel la frme est déclarée e fallte. Comme das Logstaff et Schwartz [993] ce veau est supposé costat. H E cas de défaut celu-c est décleché pour toutes les dettes de la socété. Le déteteur d ue oblgato reçot à la date de défaut ue fracto -ω de la valeur de marché d u ttre sas rsque de défaut équvalet. E cas de fallte d ue etreprse l approche classque suppose que les règles de prorté das les paemets sot applquées. Mas pluseurs études ot motré que ces règles étaet pas toujours respectées ; Fraks et Torous [989] otammet ot trouvé qu elles étaet trasgressées das 78% des cas. Notre approche cosdère comme exogèe le processus de égocato des plagats e cas de baqueroute. De plus le défaut état costaté smultaémet pour toutes les dettes l évaluato d ue dette à coupos se rédut alors à celle d u paer de zéro-coupo. E résumé otre approche correspod à la trasposto e temps dscret de l approche de Logstaff et Schwartz à la dfférece près que otre modèle suppose u processus d évoluto des taux d térêt de type Ho et Lee gééralsé alors que le modèle de Logstaff et Schwartz LS utlse u processus d Orste-Ulhebeck. De plus otre approche dscrète permet de valorser drectemet ue oblgato à coupos et comme ous le verros fra d tégrer faclemet ue clause de remboursemet atcpé - ce qu a pas été réalsé par LS -. Soet B RD la valeur de la dette avec rsque de défaut N la maturté de l oblgato et C le coupo de cette oblgato pour u omal de. La codto fale s écrt alors : B RD V N j K N j + C ω. pour tout j {0..N}. Le calcul de la valeur B de l oblgato sas rsque de défaut équvalete cosste à actualser les flux cotractuels avec des taux o rsqués. Celle-c se dédut doc drectemet du processus d évoluto du prx des oblgatos zéro-coupo de Ho et Lee gééralsé. Sot u stat quelcoque et C la prochae tombée de coupo après la date.

7 7 La pérodcté de versemet est supposée auelle. 0 correspod au ombre de pérodes par a. Celu-c est chost de telle faço que les dates de tombée de coupo coïcdet avec des oeuds de l arbre. La valeur de l oblgato équvalete sas rsque de défaut à la date pour u état de la ature est doée par : N B C k C / 0 P 0 C + k0 + P N. La focto de paemet à ue date pour l état j e cas de défaut s écrt alors : φ j B ω La formule de récurrece permettat d obter la valeur actuelle de la dette se dédut à l ade de la relato rsque eutre. Elle est doée par : B RD j C. { Et c / 0 0 c} + P [ π qb RD + + j + + π q B RD + + j. V j > K + π qb RD + j + + π q B RD + j] + B ω. V j K où Et. désge la parte etère d u ombre. Cette formule se dédut de la formule e ajoutat les flux termédares correspodat aux coupos 3 et e ajoutat les codtos défssat le défaut. S l y a pas de défaut o calcule la valeur de la dette à l stat e utlsat la relato récurrete et e ajoutat les coupos. A l verse s l y a défaut la valeur de la dette à l stat est égale à ue fracto de l oblgato sas rsque équvalete coformémet à l hypothèse H. Sot OP RD la valeur de l opto de défaut. La valeur de la dette avec rsque de défaut est équvalete à u portefeulle composé de l achat de l oblgato sas rsque de défaut et de la vete de l opto de défaut. O a alors : OP B. RD B RD 3. PRESENCE D UNE CLAUSE DE REMBOURSEMENT ANTICIPE AU GRE DE L EMETTEUR 4 H S la socété rembourse so oblgato par atcpato elle est supposée rembourser le omal plus les térêts courus depus la derère tombée de coupo. Le remboursemet s effectuera s et seulemet s la valeur de marché de l oblgato est supéreure au prx de remboursemet de l oblgato 5 plus u paramètre représetat les coûts de gesto. Sot Ft le prx global d exercce de l opto. La premère étape cosste à évaluer ue dette avec rsque de défaut et sas opto de remboursemet atcpé RA. Il sufft esute pour obter la valeur globale de la dette d ajouter ue opto de remboursemet atcpé au gré de l émetteur. Cette opto a u sous-jacet qu est la dette comportat u rsque de défaut.

8 8 J.C. AUGROS & M. QUERUEL La focto de paemet à ue date pour l état j e cas de défaut s écrt : φ j B ω La focto de paemet à ue date pour l état j e cas de remboursemet est F. Le remboursemet sera costaté s : B RD j F La valeur de la dette B RD sas opto de RA est doée par la formule. O dédut la formule de récurrece permettat d obter la valeur actuelle de la dette avec opto de RA e présece de rsque de défaut ; sot : B RD+ RA j C. + { Et c / 0 0 c} P [ π qb + + j + + π q B + + j. RD+ RA RD+ RA B RD j < F + π qb + j + + π q B + j ] RD+ RA RD+ RA + F. B RD j F + B ω. V j K. V j > K La codto termale est doée par : BRD+ RA N j + C ω. V N j K L opto jote de remboursemet et de défaut peut être estmée par la relato suvate: B N j + C ω. V N j RD+ RA 4. CALCUL DE LA DURATION EFFECTIVE K L étude emprque réalsée par Queruel [997] a révélé que parm toutes les méthodes de mesures de la durato celle de Fsher et Wel avec choc multplcatf sur les facteurs d actualsato permet d mmuser au meux u portefeulle. Le choc assocé à cette mesure de la durato correspod à u choc addtf sur les taux cotus. Le modèle proposé e codut pas à ue formule explcte de calcul de cette durato. E revache l est possble de la mesurer e utlsat l approxmato suvate : B D. λ B

9 9 où D désge la durato effectve et λ le motat de la traslato supposée affecter la courbe des taux sas rsque. E réécrvat cette formule l vet : B D λ B Etat doés le caractère dscret du modèle et l approxmato de la durato la durato à drote obteue e chosssat λ> et la durato à gauche λ< sot dfféretes. Nous proposos d évaluer la durato effectve e preat la moyee de ces deux duratos sot : D d + D g D E chosssat λ + ε avec ε>0 pour le calcul de la durato à drote et λ ε pour celu de la durato à gauche le calcul approxmé de la durato devet : B D ε où B g et B d désget respectvemet la valeur de la dette avec λ< et λ> et B la valeur tale de la dette avat déplacemet de la gamme des taux. g SECTION. ETUDE DE SENSIBILITE DU MODELE. SENSIBILITE DU SPREAD AUX DIFFERENTS PARAMETRES DU MODELE Nous evsageos das ce paragraphe d aalyser la valeur du spread de taux etre ue oblgato sas coupo rsquée et l oblgato sas rsque de défaut équvalete e focto des paramètres suvats : le quas rato d edettemet V/K la perte attedue e cas de défaut la volatlté du prx des actfs de la frme le veau des taux d térêt la corrélato etre le prx des actfs et les taux d térêt et les paramètres défssat le processus d évoluto des taux d térêt. Les résultats fours par otre modèle sot cofrotés à ceux produts par celu de Logstaff et Schwartz. U esemble de valeurs cetrales est utlsé pour les paramètres à savor : V/K ω0.5 σ V 0. ρ-0.5 π0.5 σ TI σ TI Af de faclter les comparasos la gamme des taux d térêt sas rsque est la même que celle reteue par Logstaff et Schwartz. Cette derère est défe par le modèle de Vascek 6. Le taux à court-terme est égal à 4% sa volatlté est égale à et le taux à logterme s établt à 6%. La volatlté du taux court σ TI trodute das otre modèle est doc égale à celle utlsée par LS. La volatlté du taux log σ TI dute par le processus de Vascek état très féreure à celle du taux court ous l avos fxé à 0.5%. Les volatltés pour les autres maturtés ot été léaremet terpolées etre celle du taux court et celle du taux log. Le pas reteu pour les calculs correspod à 0 pérodes. a - Le «quas rato d edettemet» V/K B B d

10 30 J.C. AUGROS & M. QUERUEL Le quas rato d edettemet est u paramètre mportat de la valorsato de l oblgato. Il doe u premer dcateur de la structure du passf de l etreprse. Le spread d ue oblgato rsquée est calculé e focto de ce rato. Les résultats obteus à partr de otre modèle coduset au graphque c-dessous : Spread Maturté V/K.5 V/K V/K.5 Fgure. Evoluto du spread e focto du quas rato d edettemet V/K. Le modèle de Logstaff et Schwartz produt par alleurs les résultats suvats :

11 3 Spread Maturté V/K.5 V/K V/K.5 Fgure 3. Modèle de LS : Evoluto du spread e focto du quas rato d edettemet V/K. Ces deux graphques ot de très grades smltudes tat au veau des formes des courbes qu au veau des valeurs des spreads. Ils révèlet u spread crossat avec l edettemet décrossat avec V/K. E effet be que K dffère das u marché réel de la valeur des dettes l e reste cepedat vos. K représete le veau mmal de la valeur des actfs de la frme e dessous duquel la frme est déclarée e fallte. Le spread est doc d autat plus mportat que la valeur des actfs est proche du veau K. Les graphques précédets cofrmet ces résultats. La courbe des spreads peut être ue focto mootoe crossate de la maturté ou e bosse. Ce résultat corrobore les coclusos d ue étude emprque réalsée par Sarg et Warga 989 selo laquelle la courbe des spreads est mootoe crossate pour des oblgatos avec ue otato élevée et e bosse pour des oblgatos avec ue otato ratg fable. Pour ue oblgato de maturté 0 as sas coupo et u rato V/K otre modèle fourt u spread de 55 pots de base qu est proche de la moyee de 48 pots de base observée pour les oblgatos otées Aaa par Moody s pedat la pérode Le modèle de Logstaff et Schwartz codut quat à lu à u spread de 60 pots. Idépedammet du veau du spread produt par otre modèle la valeur de la dette rsquée ted vers la valeur d ue dette sas rsque de défaut quad le rato V/K ted vers l f. Le graphque suvat llustre cette remarque pour ue oblgato zéro-coupo de maturté 5 as.

12 3 J.C. AUGROS & M. QUERUEL Valeur de la dette Rato V/K Dette sas rsque de défaut Dette rsquée Fgure 4. Covergece de la valeur de la dette rsquée e focto du quas rato d edettemet Ue covergece du même type est observée avec le modèle de Logstaff et Schwartz. Avec ce derer la valeur d ue dette rsquée de maturté 5 as est égale à celle d ue dette sas rsque lorsque le rato V/K est égal à evro b - La perte attedue e cas de défaut La perte attedue e cas de défaut costtue u des paramètres mportat du processus de défallace de l'etreprse. Le graphque préseté c-dessous motre la courbe des spreads obteue e focto de dfféretes valeurs de ω le pourcetage de perte attedue e cas de défaut.

13 33 Spread Maturté ω0. ω0.5 ω0.7 Fgure 5. Evoluto du spread e focto de la perte attedue e cas de défaut Le veau des spreads est e accord avec celu produt par le modèle de Logstaff et Schwartz. Les courbes motret que le spread est ue focto crossate de la perte attedue e cas de défaut. Ce résultat est pas surpreat la dette état d autat plus rsquée que ω est élevé. Par alleurs pour ue même etreprse ω déped du degré de subordato de la dette. Les dfféreces de veau des spreads peuvet alors s aalyser e terme de prorté de la dette. Plus la dette est prortare e cas de défaut ω fable melleures sot les chaces de l vestsseur d être remboursé et plus le spread est fable. La justfcato mathématque de cette proprété provet du fat que l espérace de perte est égale au produt de la perte attedue e cas de défaut par la probablté de défaut. E augmetat ω o accroît l espérace de perte. Cette augmetato s accompage d ue hausse du spread comme le graphque précédet l a motré. c - La volatlté du redemet des actfs de la frme La volatlté du redemet des actfs de la frme est à l star des deux précédets u paramètre mportat de l évaluato d ue dette rsquée. Elle codtoe claremet la probablté que l etreprse fasse défaut.

14 34 J.C. AUGROS & M. QUERUEL Spread Maturté σ v 0. σ v 0.3 Fgure 6. Evoluto du spread e focto de l écart-type du redemet des actfs O observe que le spread est crossat avec la volatlté du redemet des actfs de la frme. Plus la volatlté de ce redemet est élevée plus l etreprse est rsquée ; le spread augmete doc avec le rsque coformémet au comportemet du marché. d - La corrélato etre le redemet des actfs de la frme et les taux d térêt La fgure 7 permet d aalyser l évoluto du spread e focto du coeffcet de corrélato etre le redemet des actfs et les taux d térêt. Spread Maturté ρ0.5 ρ0 ρ0.5 Fgure 7. Evoluto du spread e focto de la corrélato Ce graphque révèle que le prx de l oblgato est très sesble à la valeur de la corrélato. Cec légtme la mse e place d u modèle preat e compte ce facteur.

15 35 Le spread est ue focto crossate de ρ. Cette proprété mos évdete à sasr est justfée par le processus de la valeur V de la frme qu das l uvers rsque eutre déped des taux d térêt sas rsque. E effet la varace du redemet stataé de V déped de la corrélato etre le redemet des actfs de la frme et les taux d térêt. Quad ρ est postf la volatlté des taux d térêt accroît la volatlté totale des actfs de la frme et doc la probablté de défaut. Le spread devet alors plus élevé. e - Les paramètres du processus d évoluto des taux d térêt Notre modèle dffère essetellemet de celu de Logstaff et Schwartz par le chox du processus d évoluto des taux d térêt. L aalyse qu sut est doc mportate quat à la comparaso des deux modèles. Notre modèle reposat sur le processus de Ho et Lee gééralsé autorse toute forme de varato de la gamme des taux et de leur volatlté. A l verse le modèle de Logstaff et Schwartz déf à partr du processus d évoluto des taux de Vascek autorse pas toutes les varatos de ces paramètres. Das ce modèle e effet la structure des taux est etèremet détermée par le veau du taux stataé et par les seuls paramètres de so processus d évoluto processus d Orste Ulhebeck. La fgure 8 permet d aalyser les coséqueces sur le spread d ue augmetato de % de la volatlté du taux log d ue part et de celle du taux court d autre part 7. Spread Maturté Stablté des volatltés Hausse volatlté taux log Hausse volatlté Taux court Fgure 8. Evoluto du spread e focto de la volatlté des taux d térêt Les courbes obteues revèlet que le spread doé par otre modèle est d autat plus sesble à ue hausse de la volatlté du taux log que la maturté de l oblgato est grade. Cette sesblté gradssate résulte du fat que la volatlté des taux à log terme codtoe la volatlté future des taux à court terme. Cette derère agt à deux veaux das le processus d évoluto des actfs de la frme :

16 36 J.C. AUGROS & M. QUERUEL au travers du taux à court terme qu décrt la tedace du processus das l uvers rsque eutre au veau de la volatlté des actfs de la frme pusque ceux-c sot corrélés avec les taux d térêt. E augmetat la volatlté actuelle des taux à log terme o augmete la volatlté future des taux courts et doc la volatlté du redemet des actfs de la frme. Le spread s e trouve alors d autat plus élevé. Le modèle de LS e pred e compte la volatlté du taux à log terme que das ue modre mesure. Ce paramètre semble pourtat mportat. L aalyse d ue hausse de la volatlté des taux à court terme motre que le spread est d autat mos sesble à cette varato que l oblgato est logue. La fgure 9 permet pour sa part d aalyser les coséqueces sur les spreads d ue varato de la valeur tale des taux d térêt. Cette varato pred la forme d u déplacemet parallèle de l esemble de la gamme des taux. Naturellemet les coséqueces d ue telle varato e peuvet pas être examées das le cadre du modèle de LS pusque le processus d évoluto du taux stataé sur lequel ce modèle repose autorse pas ce type de déplacemet. Spread Maturté Gamme tale des taux Gamme précédete +3% Fgure 9. Evoluto du spread e focto du veau des taux d térêt La valeur du spread de l oblgato décroît avec les taux d térêt. A l star du modèle de Logstaff et Schwartz la tedace du processus d évoluto du redemet des actfs de la frme déped das l uvers rsque eutre du veau des taux d térêt sas rsque de défaut. E augmetat la gamme tale des taux o augmete cette dérve. Ce fasat la valeur des actfs de la frme s éloge plus rapdemet du veau de défaut K. La probablté de défaut et par coséquet le spread s e trouvet alors dmués.

17 37. INCIDENCE D UNE CLAUSE DE REMBOURSEMENT ANTICIPE AU GRE DE L EMETTEUR O cosdère das cette aalyse ue oblgato à coupos. Le taux de coupo est fxé à 45%. La pérodcté du versemet est supposée auelle. Le rato V/K est chos égal à.5. La dette est alors mos rsquée et les comportemets sot plus marqués. Les coûts de trasacto sot églgés et l émetteur rembourse l oblgato dès que so prx dépasse le omal augmeté des térêts courus. Prx de la dette Maturté Dette avec rsque de défaut RD Dette avec RD et opto de RA

18 38 J.C. AUGROS & M. QUERUEL Fgure 0. Icdece de l troducto d ue opto de RA sur la valeur de la dette La fgure précédete révèle la réducto de valeur de l oblgato due à l troducto d ue opto de remboursemet atcpé exerçable à tout momet au gré de l émetteur. Cette opto péalsat l vestsseur l est doc logque que sa présece réduse le prx de l oblgato. 3. SENSIBILITE DE LA DURATION EFFECTIVE La durato effectve d ue dette rsquée est calculée avec otre modèle pus comparée à celle dédute du modèle de Logstaff et Schwartz et à la durato de Macaulay. La sesblté de sa valeur aux prcpaux paramètres du modèle est aalysée. Les paramètres prs e compte sot : le quas rato d edettemet V/K et la perte attedue e cas de défaut. a - Sesblté aux varatos du rato V/K L esemble des paramètres reteus est celu utlsé das le paragraphe précédet à savor : ω0.5 σ V 0. ρ-0.5 π0.5 σ TI σ TI Ue étude de la sesblté de la durato d u zéro-coupo aux varatos du rato V/K à partr de otre modèle codut au graphque suvat : Durato Maturté V/K.5 V/K.5 V/K.75 V/K Maturté Fgure. Durato d ue oblgato zéro-coupo e focto du rato V/K Cette fgure permet deux coclusos mportates : la durato effectve d u zéro-coupo est féreure à sa maturté. Ce résultat corrobore doc ceux de Chace [990] établs à partr du modèle de Merto de Lelad [ ] obteus avec des taux d térêt costats et de

19 39 Babbel Merrll et Pag [997] défs à partr du processus d évoluto des taux de Cox-Igersoll-Ross. Ces coclusos d ordre théorque rejoget ue étude emprque réalsée par Fos [990] qu coclut que la durato effectve d ue oblgato rsquée est féreure à celle de Macaulay. Nos travaux se dstguet cepedat des dfféretes études théorques précédemmet ctées par u cotexte d évaluato plus gééral et u processus d évoluto des taux plus adapté cf. fra au calcul d ue durato effectve. La dfférece porte plus sur le veau de la durato que sur so comportemet gééral. la durato effectve est ue focto crossate du quas rato d edettemet V/K. Cette proprété rejot e parte la précédete. Elle sgfe e effet que la durato est d autat plus fable que la dette est rsquée. La durato d ue dette sas rsque est doc supéreure à la durato d ue dette avec rsque de défaut. Il est possble de reler ces résultats à l observato fate précédemmet selo laquelle le spread dmue lorsque les taux d térêt sas rsque augmetet. Sot B le prx d u zéro-coupo de maturté T de redemet actuarel cotu j. Sor R le taux sas rsque de défaut cotu pour la maturté T. La durato de Macaulay de ce zéro-coupo s écrt : db D. B dj tads que la durato effectve de ce ttre est doée par : db D E. B dr E trodusat le redemet actuarel du ttre l vet : D E D. db B dj dj dr dj dr. La durato effectve d u zéro-coupo est doc égale au produt de sa durato de Macaulay par la varato stataée du redemet actuarel rapportée à celle du taux sas rsque de même maturté. Le redemet actuarel de ce ttre état égal au taux sas rsque R plus u spread oté sp la formule précédete s écrt alors:

20 40 J.C. AUGROS & M. QUERUEL D E d R + sp D. dr d sp D. + dr Cette formulato permet de vérfer que la varato stataée du spread est détermate das le calcul de la durato effectve. Comme le spread est ue focto décrossate des taux le terme dsp 8 dr est doc égatf. O e dédut que la durato effectve est féreure à la durato de Macaulay. E rappelat que la durato de Macaulay d u zéro-coupo est égale à sa maturté o retrouve la cocluso étable précédemmet : la durato effectve d u zéro-coupo rsqué est féreure à sa maturté. Le modèle de Logstaff et Schwartz cf. aexe codut à des coclusos géérales voses comme e témoge le graphque suvat : Durato Maturté V/K.5 V/K V/K.5 Maturté Fgure. Modèle de LS : Durato effectve e focto du quas rato d edettemet S la durato effectve d u zéro-coupo est be féreure à sa maturté les valeurs obteues par LS sot e revache sesblemet dfféretes des ôtres. Les deux modèles reposat sur des modèles d évoluto de la structure des taux dfférets cette dvergece est pas surpreate. Le modèle de LS s appue sur le processus de Vascek. Or comme le révèle la fgure 3 représetat des courbes de taux géérées par ce modèle ue varato de % du taux à court terme dut pour les paramètres utlsés qu ue varato extrêmemet fable des taux de maturté élevée.