TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 )

Transcription

1 RAIRO Operatios Research RAIRO Oper. Res. 34 (2000) TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) Commuiqué par Berard LEMAIRE Résumé. L étude présetée ici modélise u trasfert de charge sur u réseau de processeurs totalemet coectés. Chaque processeur peut accueillir au plus tâches. Ue différece de deux charges etre deux processeurs est ue situatio iterdite, et u trasfert immédiat et istataé est décleché dès que cette situatio se produit. Les performaces du système sot évaluées par les idices suivats : probabilité de rejet, ombre moye de tâches traitées par uité de temps, temps de répose moye, probabilité statioaire pour u processeur d accueillir tâches. Le but de cette étude est de mesurer les répercussios du trasfert de charge e comparat les valeurs des idices obteues avec trasfert avec celles obteues sas trasfert. E particulier, le comportemet asymptotique pour des systèmes massivemet parallèles est étudié et iterprété. Calculées das ue situatio idéale, ces comparaisos permettet d obteir des bores supérieures sur les bééfices que l o peut attedre d u réel trasfert. Elles permettet égalemet d étudier l opportuité du trasfert selo les valeurs des paramètres du système. Le ombre moye de trasferts effectués par uité de temps et le ombre moye de trasferts pour ue tâche doée sot calculés. L asymptotique quad ted vers l ifii est égalemet étudiée. Mots clés : Évaluatios de performaces, trasfert de charge, système massivemet parallèle, processus de Markov, processus de aissace et de mort. Abstract. I this paper, a model of the load trasfer o a fully coected et is preseted. Each processor ca accept at most tasks. A load differece of two tasks betwee two processors is a prohibited situatio ad whe it may appear, a immediat ad istataeous trasfer is decided. The performaces of the system are evaluated by the followig idices: the reject probability, the throughput, the mea respose time, the statioary probability distributio for a processor to host tasks. The aim of this study is to evaluate the load trasfer ipact thaks to the compariso betwee the values of the idices without trasfer ad with trasfer. I particular the asymptotic behaviour for massively parallel systems is studied ad iterpreted. Calculated with a ideal situatio, these comparisos yield upper bouds o the beefits that ca be expected from a trasferrig policy. Beyods, the opportuity of the trasfer accordig to the values of the parameters ca be studied. The mea umber of trasfers executed withi a time uit ad the mea umber of trasfers of a give task are calculated. At last values of the idices whe the umber of accepted tasks grows to ifiity is studied. eywords: Performace evaluatio, load trasfer, massively parallel system, Markov process, death ad birth process. (*) Reçu e décembre ( 1 ) SMS-LMC-IMAG, BP. 53, Greoble Cedex, Frace. Recherche opératioelle/operatios Research, /00/01/$ 7.00 EDP Scieces, 2000

2 100 M. BÉGUIN 1. INTRODUCTION Le développemet relativemet récet des multi-calculateurs permet de traiter des problèmes complexes issus de domaies divers et écessitat de très grosses puissaces de calcul. Comme das les systèmes répartis, se poset des problèmes cruciaux comme l utilisatio optimale des ressources dispoibles et plus particulièremet des processeurs. Nous e coaissos pas ecore de doées permettat d estimer la durée de vie et la loi des tâches géérées par des machies parallèles, mais par similitude avec les travaux effectués sur les réseaux de statios de travail, il semble idispesable que le système d exploitatio gère l allocatio des tâches sur les différets processeurs afi d éviter les situatios où certais processeurs sot surchargés alors que d autres sot oisifs (cf. [11]). Cette gestio implique ue distributio de la charge globale sur les différets processeurs pouvat etraîer des trasferts de charge d u processeur à u autre. La prédictio du comportemet futur de la charge est complexe et justifie ue étude stochastique. Cette problématique est aciee et je rappellerai ici les études récetes de modélisatio qui ot été proposées. E 1993, Evas et Butt [5] ot étudié par la théorie des files d attete et des simulatios la probabilité de trasfert etre deux sites d u algorithme d équilibrage de charge avec péalisatio du trasfert. E 1994, Squillate et Nelso [15] ot fait ue étude aalytique par les matrices stochastiques du temps de répose moye pour u trasfert de charge basé sur des politiques de seuils. Das la même aée, Malyshev et Robert [9] ot obteus des valeurs asymptotiques de la probabilité de perte par des processus de Markov et des foctios de Lyapouov d algorithmes de trasfert de charge global et local pour ue ifiité de sites de capacité. E 1995, Guyeet et al. [14] ot comparé des résultats aalytiques et des simulatios doat la valeur d u idice d efficacité d u modèle markovie d équilibrage de charge etre des sites de capacité ifiie. Néamois le cas des systèmes massivemet parallèles de sites de capacité a pas été étudié. Nous proposos ici la modélisatio et l évaluatio d u algorithme de trasfert de charge basé sur ue évolutio markoviee de la cofiguratio des charges des processeurs. L objectif de cette étude est de compredre commet opère l algorithme de balace global sur les idices classiques d évaluatio de performace (cf. [3]), et de comparer les valeurs de ces idices avec et sas politique de trasfert. L article sera orgaisé de la faço suivate : la descriptio formelle du modèle est doée das la sectio 2. Les méthodes aalytiques et les Recherche opératioelle/operatios Research

3 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS 101 résultats obteus pour le calcul des idices reteus pour cette étude sot explicitées das la sectio 3. Pour u ombre doé de sites, les évolutios des idices e foctio des paramètres du système sot étudiées e sectio 4. Le comportemet des systèmes massivemet parallèles, et la comparaiso des valeurs théoriques avec les valeurs obteues pour u ombre raisoable de sites das u réseau sot aalysés das la sectio 5. Das la sectio 6 les bores supérieures sur le bééfice que l o peut attedre d u réel trasfert sot déduites et l aalyse de quelques problèmes d optimisatio est proposée. Ue estimatio du coût des trasferts est étudiée et aalysée das la sectio 7. La sectio 8 fourit les résultats obteus pour cet algorithme lorsque la capacitémémoire de chaque site peut être cosidéré comme ifiie. Efi la sectio 9 tire les coclusios et les perspectives qui peuvet être déduites de cette étude. 2. DESCRIPTION DU MODÈLE Le cotexte est le suivat : o dispose de processeurs qui reçoivet chacu u flot de requêtes gérée grâce à ue file d attete selo la politique FIFO. Le comportemet moye d ue applicatio de grade taille est modélisé, et o suppose pour cela qu ue uité detâche est défiie, et que les cotraites de précédece etre les tâches sot oyées das l esemble des tâches qui sot exécutées par le réseau. La capacité mémoire associée à chaque processeur est de tâches, et l esemble du processeur de sa file d attete et du cotrôleur le reliat au réseau d itercoectio sera désigé par u «site». Les sites d u réseau iformatique peuvet être cosidérés comme les sommets d u graphe, dot les arêtes représetet les coexios physiques etre ces sites. Les hypothèses de modélisatio sot alors les suivates : das ce modèle, le graphe est supposé complet, doc chaque processeur commuique avec l esemble des autres. La durée d exécutio des tâches sur chaque site suit ue loi expoetielle de paramètre, et le processus d arrivée des tâches par site est u processus de oisso de paramètre. La charge de chaque site est défiie par le ombre de tâches qu accueille ce site. À chaque istat, ce ombre est u etier etre 0 et, et ue tâche géérée par u site de charge est rejetée. Deux sites se trasfèret istataémet des tâches das les deux situatios suivates. Quad ue tâche arrive sur u site dot la charge deviet, cette tâche est trasférée sur u site de charge s il existe. Parmi les sites de charge, le site qui reçoit la tâche supplémetaire est choisi au hasard. vol. 34, 1, 2000

4 102 M. BÉGUIN Quad ue tâche se termie sur u site dot la charge deviet, ue tâche e proveace d u site de charge est trasférée. Parmi les sites de charge, celui qui trasfère sa derière tâche arrivée est choisi au hasard. Pour que le trasfert ait u ses, la cotraite sur la capacité mémoire est d être supérieure à. Das la situatio sas trasfert, les sites se comportet comme files idépedates de taux d arrivée, et de taux de service (cf. [13]). Par comparaiso avec les files, le système sera dit «saturé» lorsque le taux de service sera iférieur au taux d arrivée. Das la situatio avec trasfert, le processus étudié est le processus t, qui à chaque istat fait correspodre le -uplet dot la -ème coordoée représete la charge du ème site. La différece avec ue file d attete (cf. [4]) tiet au respect du comportemet local de chaque site. E effet, das la modélisatio présetée ici, il y a pas de file d attete partagée par l esemble des sites et u site de charge accepte plus et e géère plus de ouvelles tâches. Quad il y a partage de l espace mémoire, le protocole de trasfert istataé de la surcharge sur des sites sous-chargés coduit à u modèle de file d attete multiserveurs ayat serveurs et ue capacité globale de tâches. Ce type de files d attete ( ) s aalyse avec des techiques classiques de traitemet des processus aléatoires de aissace et de mort (cf. [7]). Les idices suivats qui apparaisset pertiets pour la plupart des problèmes posés serot étudiés. E effet ces idices répodet à la demade des évaluatios de performace pour les machies parallèles et redet comptet du bo foctioemet d u système (cf. [3]). Débit du système. C est le ombre moye de tâches traitées par uité de temps par l esemble du système (cf. [16]). Saturatio mémoire. C est la probabilité sat que l espace mémoire d u site soit saturé ( tâches présetes) et que, par coséquet, toute ouvelle géératio de tâche par l applicatio sur ce site soit rejetée par le système. Cette probabilité peut être iterprétée comme ue mesure de la dégradatio du système, et cette probabilité doit être miimisée pour garatir ue utilisatio optimale de l esemble des mémoires du système. Charge de travail. C est le ombre moye de tâches présetes sur l esemble des sites pedat ue uité de temps. Recherche opératioelle/operatios Research

5 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS 103 Temps de répose moye. C est le temps moye écoulé etre l istat où latâche est géérée par l applicatio, et l istat où latâche est termiée. Du poit de vue de l utilisateur, et e l absece de toute autre spécificatio, cet idice doit être miimisé (cf. [7]). Mesure statioaire de charge. C est la probabilité i pour u site doé d avoir ue charge égale à. Pour u ombre doé de sites, ces probabilités représetet la proportio de sites ayat ue charge égale à. Ces probabilités e sot doc pas à propremet parler des idices de performace, mais représetet les lois margiales de la mesure produit sur l espace des états. Leurs évolutios selo les paramètres du système permettet de redre compte du comportemet global de celui-ci, et permettet de mieux compredre commet opère le trasfert de charge. 3. RÉSULTATS FORMELS AVEC ET SANS TRANSFERT Le processus t défii à la sectio 2 est u processus de Markov admettat ue uique mesure statioaire. Tous les idices explicités das la sectio 2 sot calculés e régime statioaire das les situatios avec et sas trasfert. Pour les distiguer, toutes les quatités relatives à la situatio sas trasfert serot otées avec u astérisque Propriétés structurelles das les deux situatios Das u premier temps, ous ous itéressos aux probabilités statioaires pour u site doé d avoir ue charge. Compte teu des rôles symétriques joués par chacu des sites, ces quatités e dépedet pas du site. Pour chaque iveau de charge les probabilités statioaires de chaque site d avoir ue charge avec et sas trasfert respectivemet serot otées i et 3 i. Das les deux situatios, avec et sas trasfert, des équatios de ature algébrique reliet certaies valeurs des i. PROPOSITION 1 : Les propriétés suivates sot vérifiées das les deux situatios avec et sas trasfert : Propriété de symétrie : i 0i vol. 34, 1, 2000

6 104 M. BÉGUIN Propriété d équilibre : 0 Commetaires : la première partie de cette propositio reviet à l observatio suivate. Remplacer par reviet à remplacer la capacité mémoire occupée d u site par sa capacité mémoire libre. Le processus qui à chaque istat fait correspodre le -uplet dot la -ème coordoée représete la capacité mémoire libre du ème site a exactemet la même dyamique que le processus t, e iversat les rôles de et. La deuxième partie de la propositio est ue équatio d équilibre ou de balace. La partie gauche représete le ombre moye de tâches acceptées par chaque site par uité de temps, tadis que la partie droite représete le ombre moye de tâches traitées par chaque site par uité de temps. Néamois, la démostratio de ces résultats avec et sas trasfert, aticipe sur les résultats obteus das la sectio 3.3 et la sectio 3.2 mais ils peuvet être vérifiés par des techiques d algèbre classique. La détermiatio des lois margiales i suffit pour calculer les valeurs de tous les idices de performace reteus das ce modèle grâce aux relatios algébriques doées das la propositio 2. PROPOSITION 2:Les idices de performace et les lois margiales sot liés par les équatios algébriques suivates : i sat j=1 j j=2 j Commetaire : la derière équatio exprime le temps de répose moye d ue tâche comme la somme du temps de service moye et du temps d attete moye. Recherche opératioelle/operatios Research

7 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS 105 Démostratio. Les trois premières équatios sot aisémet obteues (cf. [13]). La derière formule de la propositio 2 s obtiet e vérifiat que les hypothèses de validité de la formule de Little (cf. [8] démotrée par exemple das [16] p. 100) sot effectivemet vérifiées das ce cotexte, et e utilisat la propriété d équilibre. La suite de cette sectio utilise les résultats classiques sur les processus de aissace et de mort pour lesquels ue référece est par exemple Barucha-Reid [1]. Pour alléger les otatios, et sas perte de gééralité, les calculs sot effectués avec u temps moye d exécutio égal à, ce qui reviet à fixer l uité de temps 1 à Résultats sas trasfert Sas trasfert, les sites se comportet comme files idépedates, d où les résultats. PROPOSITION 3:Pour le modèle sites de capacité de taux d arrivée, les valeurs des idices de performace sas politique de trasfert sot les suivates : 3 j j +1 3 sat vol. 34, 1, 2000

8 106 M. BÉGUIN 3.3. Résultats avec trasfert Pour étudier le système avec trasfert, il est utile de rappeler que la taille de l espace des états est, et il est doc opportu d utiliser les procédés d agrégatio (cf. [12]). L observatio clé est de costater que le ombre total t de tâches présetes à l istat das le système évolue comme u processus de aissace et de mort sur avec des taux de aissace (de à ), otés, et des taux de mort (de à ), otés. Ces taux sot explicités das le tableau ci-dessous et comparés avec ceux obteus pour le modèle. Modèle avec trasfert Modèle pour pour pour pour pour pour Pour vérifier ces résultats (par exemple pour les taux de aissace pour le modèle avec trasfert), il suffit de remarquer que tat qu il y a mois de tâches das le système, tous les sites ot mois de tâches et doc toute ouvelle tâche géérée par le système est acceptée. S il y a plus de tâches, tous les sites ayat ue charge égale à provoquet des rejets. Soit j j=0... la mesure statioaire du processus de aissace et de mort t. Cette mesure statioaire suffit àdétermier celles des lois margiales du processus t,grâce à la propositio 4. PROPOSITION 4:Les probabilités i i=0... sot reliées aux j j=0... de la faço suivate : i=0 i i=0 0i 01 j i=0 (j01)+i i=1 j+i Recherche opératioelle/operatios Research

9 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS 107 Démostratio. Preos et. Ces équatios découlet de la costatatio suivate. Lorsqu il y a tâches das le système, sites ot tâches, et ot tâches. Il est doc écessaire d exprimer la valeur de chaque j e foctio des paramètres, et du système. Sas perte de gééralité et, pour des raisos de symétrie, la valeur de est supposée paire, égale à. Ceci est ue cotraite extrêmemet faible, puisque les architectures parallèles disposet le plus souvet d u ombre pair de sites. E respectat la symétrie du système, et par les techiques habituelles, o obtiet alors les formules algébriques suivates. j j j 0 j q0j q 0 0j j j j q0j q j 0j j 0 j q q0j 0 q0j q Posos q q 0 Notos et les sommes 02 j q0j q01 j=01 E utilisat les relatios évidetes j=0 q0j q 01 j= j=0 k et! q (01)!, o obtiet, vol. 34, 1, 2000

10 108 M. BÉGUIN D où, puis 0 puis la mesure statioaire, puis les probabilités j d après la propositio 4, puis la valeur des idices de performace d après la propositio COMPARAISONS POUR FIXÉ Das cette sectio ous allos doer, pour fixer les idées, les résultats obteus pour des valeurs particulières du ombre de sites et de la capacité mémoire, par exemple, ou et ou. L observatio du comportemet du sytème pour ces valeurs particulières permet d extrapoler celui obteu pour les autres valeurs. Les étude umériques ot été effectuées avec Mathematica Comparaisos des probabilités statioaires Pour des valeurs de et fixées, les probabilités statioaires i évoluet e foctio de la valeur du taux d arrivée, et les valeurs de ces probabilités statioaires sot très différetes selo qu ue politique de trasfert est mise ou o e place. Les figures 1 et 2 motret par exemple les évolutios relatives des probabilités avec trasfert pour, et. Figure 1. Évolutios de foctio de pour puis sites de capacité. La valeur de ces probabilités chage brutalemet autour de et ce chagemet est d autat plus accetué que le ombre de sites est grad. Das le cas particulier de et, ces résultats motret que 98 % des sites ot ue charge égale à ou à. Autremet dit, le trasfert ted à homogééiser la charge des sites et ue proportio de l ordre de d etre eux ot ue charge égale à. Recherche opératioelle/operatios Research

11 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS 109 Figure 2. Évolutios de foctio de pour sites de capacité. La différece des comportemets du système obteus avec et sas politique de trasfert semble doc assez ette et il semble itéressat d e mesurer l icidece sur les idices de performace. Cette étude sera limitée à celle de la probabilité de saturatio mémoire et du temps de répose moye, l étude sur les autres idices pouvat s e déduire grâce à la propositio Comparaisos des probabilités de saturatio mémoire Pour des valeurs de et fixées, la probabilité de saturatio mémoire sat évolue e foctio de la valeur du taux d arrivée,et de même que précédemmet, la valeur de cette probabilité est très différete selo que la politique de trasfert est mise ou o e place. La valeur de la capacité altère pas les différeces de comportemet obteues. La figure 3 motre Figure 3. Évolutios de la probabilité de saturatio mémoire pour sites, puis. vol. 34, 1, 2000

12 110 M. BÉGUIN les évolutios des probabilités de saturatio obteues avec et sas trasfert pour, et pour des sites de capacité mémoire, et les mêmes évolutios obteues pour ue capacité. Le trasfert améliore sigificativemet cet idice, et la différece 3 sat sat est d autat plus petite que le ombre de sites augmete. Nous reviedros sur l étude de cette différece lors de l étude du comportemet asymptotique e sectio Comparaisos des temps de répose moyes Rappelos que sas trasfert, les sites sot idépedats et le temps de répose moye d ue tâche e déped pas du ombre de sites. Avec trasfert e revache le temps de répose moye d ue tâche est fortemet dépedat du ombre total de sites i.e. de. De plus, pour u ombre doé de sites, le comportemet du temps de répose moye déped de la capacité mémoire de chaque site. Il coviet e effet de distiguer les valeurs et. La figure 4 motre les évolutios des temps de répose moyes avec et sas politique de trasfert pour sites de capacité, et les mêmes évolutios obteues pour ue capacité. La figure 5 motre celles obteues pour ue capacité. Figure 4. Évolutios du temps de répose moye foctio de pour sites de capacité,. Ces graphiques appellet quelques commetaires. E effet, il apparaît que le temps de répose moye d ue tâche est doc pas écessairemet amélioré par le trasfert, et il coviet ici d expliciter les comportemets observés selo les valeurs des paramètres et. Pour. La politique de trasfert dimiue le temps de répose moye d ue tâche par rapport à celui obteu das la situatio sas trasfert et Recherche opératioelle/operatios Research

13 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS 111 Figure 5. Évolutios du temps de répose moye. ce, pour toutes les valeurs de la capacité. L explicatio ituitive de ce comportemet est simple. E effet, pour u taux d arrivée des tâches iférieur (strictemet) au taux de service, le système est o saturé et d après les études faites sur les probabilités margiales, u site a très probablemet ue charge égale soit à 0 soit à 1. Autremet dit, ue tâche acceptée das le système sera vraisemblablemet trasférée sur u site libre, et sera doc traitée plus rapidemet par le système doté d ue politique de trasfert que par celui sas politique de trasfert. Pour. Pour toutes les valeurs de la capacité et du ombre de sites, la politique de trasfert dimiue le temps de répose moye d ue tâche. Le tableau 1 doe les valeurs de différets temps de répose obteus avec et sas trasfert pour les différetes valeurs pertietes des paramètres et. TABLEAU 1 Table de valeurs du temps de répose moye pour , , Pour. Il coviet das ce cas de distiguer les différets comportemets du système selo la valeur de la capacité mémoire. vol. 34, 1, 2000

14 112 M. BÉGUIN Pour. Bie que le système soit saturé, la politique de trasfert dimiue le temps de répose moye d ue tâche. Ituitivemet, cela s explique par le fait que le trasfert d ue tâche e peut être effectué que pour ue tâche géérée par u site de charge 1 qui la trasfère sur u site libre, et la politique de trasfert e modifie le comportemet du système que das cette situatio. La valeur moyee du temps de répose d ue tâche est doc plus faible avec la politique de trasfert que celle obteue sas trasfert. Notos éamois que lorsque la valeur du taux d arrivée augmete, cette situatio deviet de mois e mois probable car la proportio de sites oisifs deviet voisie de. Pour. Le système est toujours saturé, et la politique de trasfert das ce cas augmete le temps de répose moye d ue tâche. Autremet dit, le temps de répose moye d ue tâche géérée et acceptée par le système est péalisé par la politique de trasfert. Pour lever cet apparet paradoxe, il faut oter que das la situatio sas trasfert, ue tâche acceptée par le système a ue probabilité o ulle d être das les premières à être traitée. La politique de trasfert permet e fait d augmeter le ombre total de tâches acceptées par le système, mais chaque tâche acceptée e sera pas trasférée sur u site sous-chargé et attedra que toutes les tâches qui la précèdet soiet traitées. La politique de trasfert permet doc de privilégier et d augmeter l idice, mais le temps de répose d ue tâche doée est, e moyee, péalisé. 5. COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES SYSTÈMES MASSIVEMENT PARALLÈLES Les études précédetes laisset supposer que le système totalemet coecté doté de cette politique de trasfert admet u comportemet limite lorsque le ombre de sites deviet grad. Les formules obteues aalytiquemet permettet e effet d obteir le comportemet asymptotique de ces systèmes dits massivemet parallèles. Le théorème de covergece doat les valeurs limites des lois margiales et des idices de performace obteues aalytiquemet pour tedat vers l ifii est préseté sous forme de tableau das la sectio 5.1. La sectio 5.2 compare ces résultats asymptotiques avec les résultats umériques obteus pour des valeurs classiques de (par exemple ). Recherche opératioelle/operatios Research

15 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS Théorème de covergece Pour u taux d arrivée doé, et ue capacité mémoire fixée pour chaque site, les probabilités statioaires i tedet vers ue limite quad ted vers l ifii. Les idices de performace sat et état reliés aux probabilités statioaires par les relatios de la propositio 2 admettet aussi des valeurs limites. Toutes ces limites sot doées das le théorème 1. THÉORÈME 1:Avec la politique de trasfert, les lois margiales i et les idices de performace sat et admettet les limites suivates lorsque le ombre de sites deviet ifii Commetaires : pour, ces limites présetet ue discotiuité e. U tel comportemet irrégulier a déjà été observé das u modèle différet étudié das [9], et ces résultats sot cohérets avec ceux qu ils obtieet. Ce comportemet asymptotique révèle doc u basculemet de comportemet itéressat. Lorsque le taux de service est supérieur au taux d arrivée, ue tâche arrivat das le système est presque toujours acceptée. Elle est presque toujours géérée ou trasférée sur u site sous-chargé, et so temps de répose moye est doc égal à so temps de service moye, ici égal à 1. vol. 34, 1, 2000

16 114 M. BÉGUIN Lorsque le taux de service est égal au taux d arrivée, ue tâche arrivat das le système est égalemet presque toujours acceptée, mais elle va, e moyee avoir u temps de répose égal à. 2 Lorsque le taux de service est iférieur au taux d arrivée, ue tâche peut être refusée, et quad elle est acceptée, elle va presque toujours avoir à attedre beaucoup de temps avat d être complètemet traitée. Plus le taux d arrivée est grad, plus le temps de répose moye d ue tâche est proche du temps maximum et, das ce cas, la politique de trasfert apporte aucue amélioratio par rapport à celle sas trasfert. Démostratio. Voici ue démostratio du théorème 1. Compte teu de la propositio 1, il suffit de démotrer ce théorème pour. Rappelos que le ombre de sites est supposé pair et que. Pour 0, o obtiet, 0 01 i=0 i 1 Il s agit doc de détermier le comportemet asymptotique de. Écrivos q 0! j=02! j Ceci est la valeur au poit de Poisso de paramètre!+1 q j=0 de la foctio de répartitio d ue loi. D après le théorème cetral limite, il viet 0 Il coviet doc de distiguer les 2 situatios possibles et. Pour, o obtiet (formule de Stirlig), Recherche opératioelle/operatios Research

17 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS 115 Pour, o obtiet, 01 D où et par suite Or, pour,!+1!+1! q0+1 Doc!+1 Ces résultats permettet de coclure : Pour : le terme domiat de 0 est au déomiateur, et par suite!+1 0 Pour le terme domiat du umérateur et du déomiateur de 0 est. D où Pour 1, o obtiet,! i=0 01 i i=1 1 +i!! 1 1 i=1 q0(+i) E utilisat les mêmes argumets, o obtiet vol. 34, 1, 2000

18 116 M. BÉGUIN Pour : le terme domiat des umérateurs et du déomiateur de 1 est. D où!+1 1 Pour : après calculs, pour, o obtiet 1!! Or, Et par suite, pour,!+1!!+1 1 Autres résultats : les autres résultats obteus pour découlet de ceux obteus pour 0 et 1. Efi, pour, lasymétrie du graphe de trasitio du processus de aissace et de mort du processus agrégé t et les relatios algébriques de la propositio 2 permettet d écrire les équatios suivates, (02) D où les autres résultats obteus pour avec ou. Remarque : ue justificatio plus ituitive de ce théorème peut être doée de la faço suivate. Le processus de aissace et de mort t se comporte sur l itervalle comme ue file, avec u taux d arrivée et u taux de service. La mesure statioaire de cette file suit ue loi de Poisso de paramètre. Pour, la probabilité que t dépasse ted vers quad augmete. Aisi la mesure statioaire du processus t ted vers ue distributio de Poisso dot l espérace est. Pour des systèmes massivemet parallèles ( grad), la plupart des sites ot ue charge égale à0ouà 1. E moyee, ue proportio d etre Recherche opératioelle/operatios Research

19 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS 117 eux ot ue charge égale à 1. D où les résultats das le cas des systèmes o saturés ( ). Das le cas, le même argumet cocerat la distributio de Poisso permet de déduire que la probabilité qu u site soit libre ted vers 0. Les mêmes argumets que ceux utilisés das la démostratio permettet alors de coclure Comparaisos etre les résultats umériques et les résultats asymptotiques Les résultats umériques de cette sectio ot été obteus avec mathematica. Le but de ces calculs est de motrer que les résultats théoriques obteus das le théorème 5.1 doet ue boe approximatio du comportemet du système pour les ombres classiques de sites mis e réseau das les machies parallèles, à savoir ou plus Probabilité de saturatio Pour toutes les valeurs du taux d arrivée doées, la probabilité de saturatio mémoire est ue foctio décroissate du ombre de sites. Autremet dit, avec la politique de trasfert, ajouter u site das u réseau totalemet coecté dimiue toujours la probabilité de saturatio du système lim et ted à la stabiliser vers sa valeur limite sat. Les résultats umériques motret que la covergece vers cette valeur limite est très rapide, et que la covergece la plus lete est obteue pour. La figure 6 motre l évolutio de cette probabilité de saturatio e foctio du ombre de sites de capacité. Pour plus de précisio, le tableau 2 doe par exemple les valeurs das cette situatio. sat lim sat Figure 6. Probabilité de saturatio pour foctio du ombre de sites (capacité ). vol. 34, 1, 2000

20 118 M. BÉGUIN Table de la différece sat TABLEAU 2 lim sat pour sites de capacité Autremet dit, quad o dispose de sites, ajouter u site augmete ecore la probabilité qu ue tâche soit acceptée das le système, mais de faço mois sigificative, puisque le gai obteu est iférieur à Temps de répose moye Le temps de répose moye pour u taux d arrivée et ue capacité doés est ue foctio mootoe de, dot le ses déped des valeurs de et de. Pour, augmeter le ombre de sites dimiue le temps de répose moye et ce temps moye ted rapidemet vers ce qui correspod au temps de service moye. Pour, le temps de répose moye dimiue quad le ombre de sites augmete, et ted vers. La figure 7 motre, par exemple, les 2 courbes obteues pour des taux d arrivée et avec sites de capacité. Figure 7. Temps de répose moye foctio du ombre de sites (capacité ) pour puis. Pour, comme il a déjà été metioé au 4.3, l évolutio du temps de répose moye e foctio de déped de la capacité mémoire. Recherche opératioelle/operatios Research

21 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS 119 Le temps de répose moye est ue foctio mootoe de qui est décroissate si la capacité mémoire est et est croissate das tous les autres cas. La figure 8 doet par exemple les résultats obteus pour u taux d arrivée avec les capacités, et e foctio du ombre de sites. Figure 8. Temps de répose moye foctio du ombre de sites,,, et. Das tous les cas, la stabilité autour de la limite est aussi rapidemet lim atteite. Le tableau 3 doe les valeurs pour u ombre de sites de capacité et u taux d arrivée doé, avec. TABLEAU 3 lim Table de la différece (capacité ) De même que pour la probabilité de saturatio mémoire, la valeur est celle pour laquelle le système coverge le plus letemet, mais même pour cette valeur et pour u système ayat au mois sites, le temps de répose moye d ue tâche peut être estimé, avec l approximatio obteue lim das le tableau 3, par sa valeur asymptotique. 6. CALCULS D OPTIMISATION 6.1. Bores supérieures sur le bééfice obteu avec le trasfert Ituitivemet, la politique de trasfert étudiée correspod à ue situatio idéale et les gais obteus das cette situatio peuvet être cosidérés comme des bores supérieures sur le bééfice que l o peut attedre d u vol. 34, 1, 2000

22 120 M. BÉGUIN réel trasfert de charge. D autres bores itéressates sot celles obteues avec la file qui modélise aussi u partage idéal. Comme das la sectio 4, cette étude sera limitée à celle de sat et. Probabilité de saturatio mémoire. Le gai obteu sur la probabilité de 3 saturatio mémoire grâce à la politique de trasfert est sat sat. Pour des sites de capacité doée, et pour u taux d arrivée doé, le meilleur gai est obteu pour ifii, et la valeur de ce gai est P max +1 si si +1 si Pour ue capacité et vaut doée, le meilleur gai est doc obteu pour P max C est doc lorsque le taux de service est égal au taux d arrivée que la politique de trasfert permet e moyee de mieux gérer l esemble des mémoires du système. Le gai obteu sur la probabilité de saturatio mémoire est d autat plus importat que la capacité des sites est petite. Ce gai est doc au mieux égal à, lorsque la capacité mémoire est égale à. Temps de répose moye. Comme ous l avos déjà costaté, le gai obteu pour le temps de répose moye grâce à la politique de trasfert déped de de, et de, et il coviet de distiguer les résultats selo les valeurs de ces paramètres. Pour et ue capacité doés, le gai obteu est le meilleur gai, obteu pour ifii, est 3,et R max Le meilleur gai est doc obteu pour et vaut R max Recherche opératioelle/operatios Research

23 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS 121 Autremet dit, plus la capacité est grade, plus le gai sur le temps de répose moye d ue tâche est importat. Ce résultat est ituitif car pour très proche de 1 mais e régime o saturé ( ), ue tâche géérée das le système sas trasfert de capacité va attedre beaucoup, tadis qu elle va e moyee être traitée la première quad la politique de trasfert est mise e œuvre. Pour, le gai obteu pour ue capacité est toujours et le meilleur gai obteu pour ifii est 3, R max Notos que cette limite est idépedate de la capacité mémoire. Das la situatio sas trasfert, la file est saturée. Le trasfert améliore doc le temps de répose moye d ue tâche, mais e permet pas de gager plus de du temps de service moye, quelle que soit la capacité des sites du système. Pour, le temps de répose moye d ue tâche géérée par le système avec ue politique de trasfert peut être supérieur à celui d ue tâche géérée par le système sas trasfert. Pour ue capacité doée et u ombre ifii de sites, la différece 3 est vol. 34, 1, 2000 et cette différece peut être positive ou égative selo les valeurs de la capacité mémoire de chaque site. Il apparaît que pour, le trasfert dimiue toujours le temps de répose moye tadis que pour, le temps de répose moye avec ue politique de trasfert deviet supérieur au temps de répose moye sas trasfert dès que le taux d arrivée deviet supérieur au taux de service (ici ). Das cette situatio, la différece etre les temps de répose moye obteus sas trasfert et avec ue politique de trasfert accuse doc u brusque chagemet de comportemet e, et ce chagemet est d autat plus sigificatif que la capacitémémoire est grade. Le meilleur bééfice possible sur le temps de répose moye d ue tâche grâce à la politique de trasfert est doc obteu pour des valeurs du taux d arrivée proche du taux de service, e régime 01 o saturé. Das cette situatio, le bééfice maximum est, 2

24 122 M. BÉGUIN et celui-ci est doc d autat plus importat que la capacité est grade, et le temps d attete d ue tâche est alors cosidérablemet réduit grâce à la politique de trasfert. Pour souliger ces différeces de comportemet, la figure 9 motre le gai obteu pour la probabilité de saturatio mémoire pour et les évolutios 3 de la différece e foctio du taux d arrivée, pour u ombre ifii de sites de capacitémémoire, et. Figure 9. Gai sur sat pour puis différece pour, et Optimisatio du taux d arrivée Ue applicatio possible de cette modélisatio est par exemple, de comparer les valeurs miimales que doit avoir le taux d arrivée pour obteir u débit global fixé pour chaque site. Ce débit global (throughput das la littérature aglaise) pour chaque site est le ombre moye de tâches traitées par uité de temps (cf. [3]). Avec ou sas politique de trasfert, lorsque le temps de service moye est pris comme uité de temps, ce débit global, oté ici est : 0. Afi de garatir ue efficacité maximum ou u redemet doé importat de chaque site, il faut assurer u taux d arrivée des tâches suffisammet importat, et ces valeurs diffèret selo que la politique de trasfert est mise e place ou o. Pour 32 sites de capacité, et pour quelques débits particuliers, le tableau 4 doe les valeurs miimales que doit avoir le taux d arrivée pour garatir ce débit das les situatios avec et sas trasfert. Afi d assurer u débit moye costat doé pour chaque site, proche de l efficacité maximum de ce site ( ), il est doc écessaire, d assurer u taux d arrivée sigificativemet élevé (par rapport au taux de service) sas trasfert, tadis qu avec trasfert, u taux d arrivée égal au débit moye Recherche opératioelle/operatios Research

25 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS 123 TABLEAU 4 Valeurs miimales du taux d arrivée pour u débit souhaité avec sites de capacité. débit souhaité miimale sas trasfert miimale avec trasfert souhaité est suffisat. Sas politique de trasfert, il y a doc beaucoup de pertes de tâches par rapport au ombre de tâches géérées, tadis qu avec la politique de trasfert, la perte de tâches est ifime, même pour des valeurs du taux d arrivée proches du taux de service moye Dimesioemet de la capacité mémoire Ue autre problématique itéressate est de trouver ue valeur de la capacité mémoire permettat de garatir ue probabilité de saturatio mémoire faible pour les valeurs du taux d arrivée iférieures au taux de service (ici pour ). Pour u ombre de sites et ue valeur du taux d arrivée doés, la probabilité de saturatio mémoire est ue foctio décroissate de la capacité mémoire. Pour obteir ue probabilité de saturatio mémoire iférieure à u seuil doé la capacité mémoire requise est d autat plus grade que le taux d arrivée est proche du taux de service. Das les deux situatios, avec et sas politique de trasfert, et das le cas où le taux de service est égal au taux de service de moye, ici,le tableau 5 doe les valeurs de la capacité mémoire écessaire pour obteir ue probabilité de rejet iférieure à TABLEAU 5 Dimesioemet de la capacité mémoire pour obteir sat. sas trasfert avec trasfert, avec trasfert, Pour obteir ue probabilité de saturatio mémoire raisoablemet proche de zéro, la politique de trasfert permet doc de réduire cosidérablemet la taille de la capacité mémoire de chaque site. vol. 34, 1, 2000

26 124 M. BÉGUIN 7. ESTIMATION DU COÛT DES TRANSFERTS 7.1. Nombre moye de trasferts par uité de temps Das la modélisatio étudiée ici, le temps des protocoles des commuicatios qui précèdet le trasfert et celui du trasfert lui-même ot été égligés par rapport au temps de service moye. Il est toutefois opportu, pour u système doté de cette politique de trasfert d estimer le ombre moye de trasferts effectués par uité de temps. Avec d autres hypothèses de modélisatios, certaies études permettet de teir explicitemet compte de certais délais de commuicatios (cf. [10]). Soit t la variable aléatoire égale au ombre de trasferts iterveus etre l istat iitial et l istat. Le processus t est u processus de Poisso à eviroemet Markovie oté das la littérature MMPP (Markov modulated Poisso process). Quad sites ot ue charge égale à et les autres sites ot ue charge égale à ( ). Avec u temps d exécutio moye égal à le taux de passage de à de ce processus est Le théorème exposé das la sectio the coutig fuctio de [6] permet d obteir le ombre moye de trasferts par uité de temps e foctio des probabilités statioaires j j=0... du processus t. Ce ombre moye de trasferts par uité de temps, tra s exprime par la relatio suivate (avec les otatios de 3.3). tra t!+1 t j=1 j=1 01 i=1 01 i=1 (j01)+i (j01)+i Les tableaux 6 et 7 doet les valeurs obteues pour ce ombre de trasferts moye pour des sites de capacité mémoire et avec des valeurs variables du taux d arrivée et du ombre de sites. TABLEAU 6 Nombre moye de trasferts par uité de temps pour ue capacité mémoire Recherche opératioelle/operatios Research

27 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS 125 TABLEAU 7 Nombre moye de trasferts par uité de temps pour ue capacité mémoire Ce ombre moye de trasferts par uité de temps déped assez peu de la capacité mémoire. A coditio que le temps de trasfert d ue tâche soit petit devat sa durée moyee d exécutio, o remarque aussi que ce ombre moye de trasferts par uité de temps est de l ordre de la taille du système. Par suite, la surcharge du réseau de commuicatio due à la politique de trasfert reste acceptable. Les cotetios das les réseaux ifluerot que très peu sur les performaces globales du système Nombre moye de trasferts pour ue tâche doée Avec cette politique de modélisatio de la politique de trasfert, ue tâche géérée et acceptée par le système, peut être trasférée plusieurs fois d u site à u autre. Il est doc utile d estimer le ombre moye de trasferts que cette tâche va subir pedat so séjour das le réseau. Ce ombre, que ous oteros tts, peut s obteir à partir du ombre moye de trasferts tra et du temps moye de répose d ue tâche,etdudébit moye du système. Le ombre moye de trasferts tts que subit ue tâche pedat so séjour das le système est e effet : tts tra Les tableaux 8 et 9 doet les valeurs obteues pour ce ombre moye de trasferts que subit ue tâche pedat so séjour pour des capacités mémoire et avec des valeurs variables du taux d arrivée et du ombre de sites. TABLEAU 8 Nombre moye de trasferts d ue tâche doée pour sites de capacité mémoire vol. 34, 1, 2000

28 126 M. BÉGUIN Avec ue capacité mémoire égale à 2, rappelos qu ue tâche arrivat das le système est trasférée si et seulemet si elle arrive sur u site de charge tadis qu il existe u site libre. Das ue telle situatio, ue charge subit doc au plus u trasfert, et le ombre de trasferts que subit ue tâche semble doc acceptable. Notos la décroissace de ce ombre particulièremet quad, mais rappelos que das cette situatio, même pour de petites valeurs de, la probabilité qu u site soit oisif est voisie de zéro, et la situatio de trasfert d ue tâche est d autat mois probable que est grad. TABLEAU 9 Nombre moye de trasferts d ue tâche doée pour sites de capacité mémoire Pour ue capacité mémoire, ue tâche etrat das le système peut subir etre et trasferts avat d être traitée. Pour des valeurs du taux d arrivée iférieures au taux de service, elle va subir e moyee très peu de trasferts. Pour u taux d arrivée égal au taux de service, ici,le ombre moye de trasferts de cette tâche reste «raisoable» de l ordre de deux. Par cotre, pour des valeurs du taux d arrivée supérieures au taux de service, ici, ce ombre moye de trasferts d ue tâche est importat, de l ordre de, voire trasferts, c est-à-dire proche du maximum de trasferts possibles. Notos efi que pour cette capacité et, ce ombre augmete quad le ombre de sites augmete car la probabilité de trasfert d ue tâche augmete. Le coût de la politique de trasfert das cette situatio peut alors s avérer importat. 8. COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE POUR UNE CAPACITÉ MÉMOIRE NON LIMITÉE Il peut être itéressat d étudier le comportemet du système doté de cette politique de trasfert lorsque la capacité mémoire de chaque site est idéalemet o limitée. Le régime d équilibre a alors de ses que lorsque le taux d arrivée est strictemet iférieur au taux de service, ici. Sas politique de trasfert, o retrouve alors les résultats classiques de files idépedates. Recherche opératioelle/operatios Research

29 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS 127 Avec ue politique de trasfert, le système se comporte alors comme ue file pour laquelle le temps iter-arrivées suit ue loi expoetielle de paramètre. La probabilité de saturatio mémoire a plus de ses das ce cotexte, et le temps de répose moye s exprime de la faço suivate (avec les otatios du 3.3) : PROPOSITION 5:Pour ue capacité mémoire =, le temps de répose moye e foctio du taux d arrivée et du ombre de sites est :! 10! 10 (10) Pour u système massivemet parallèle, o obtiet :!+1 Ue tâche arrivat das u tel système va doc presque sûremet être traitée immédiatemet. Cela correspod à u comportemet limite idéal pour lequel la politique de trasfert est émiemmet bééfique. 9. CONCLUSION Le trasfert de charge est ue pratique essetielle pour obteir les meilleures performaces possibles d ue machie parallèlle, mais compte teu du coût e temps et e commuicatio d u réel trasfert, celui-ci doit être effectué à bo esciet. E imagiat ue situatio idéale où le trasfert est décleché dès que la différece de charge etre 2 sites est supérieure à deux, et e admettat que le trasfert est immédiat et istataé, ous e traduisos pas toute la complexité des problèmes posés par le trasfert, mais ce modèle d équilibrage global de la charge permet de mesurer (e terme d espérace) l impact du trasfert sur les idices de performaces utilisés das le domaie (proportio de sites ayat tâches, probabilité de saturatio mémoire, temps de répose moye). O peut aisi obteir les bores supérieures des bééfices que l o peut attedre d u réel trasfert, compredre das quelles situatios le trasfert de charge peut être mois itéressat que la politique qui cosiste à les iterdire et examier e foctio de la valeur des paramètres du modèle l opportuité du trasfert. Avec u temps d exécutio moye pris comme uité de temps, cette étude permet de motrer les résultats suivats. Pour obteir de réels bééfices vol. 34, 1, 2000

30 128 M. BÉGUIN grâce au trasfert il est opportu d effectuer les trasferts pour des valeurs de comprises etre 0.70 et E effet, e dessous de ces valeurs, le trasfert améliore pas cosidérablemet les performaces du système, et au dessus de ces valeurs, le système est de toute faço surchargé etlecoût réel du trasfert risque de cotre-balacer les évetuels bééfices apportés par le trasfert. Pour s assurer que l o est das les fourchettes propices au trasfert, o peut utiliser la proportio de sites libres. E effet, celle-ci reste très élevée tat que, puis avoisie zéro quad le taux d arrivée dépasse cette valeur. Le fait le plus marquat que l o peut observer grâce aux courbes obteues das la sectio 4 est que le passage de 8 à 32 sites améliore pas de maière sigificative les résultats sur les idices de performaces sat et. Ceci laisse à peser qu e ayat des cotraites de localité faible (par exemple quad chaque site est coecté à 8 autres sites seulemet) des performaces similaires à celle d u réseau totalemet coecté peuvet être espérées. Avec u graphe idéalemet complet, le ombre de sites peut être limité à puisque les meilleures performaces sot pratiquemet atteites pour ce ombre de sites et que les gais obteus grâce au trasfert au-delà de sites e justifiet sas doute pas de ouveaux ivestissemets. Ue politique de trasfert idéale etre 32 sites permet alors de dimesioer la capacité des files d attete de faço raisoable afi de miimiser la probabilité de saturatio mémoire e régime o saturé. Ajouter u délai pour teir compte du temps de décisio d u trasfert et u délai pour le trasfert a été fait das le cas de deux sites pour (cf. [2]), mais les calculs semblet prohibitifs das le cas gééral. Citos éamois les modèles de Malyshev et Robert [9] qui péaliset le trasfert mais avec des capacités égales à, et ceux de Mirchaaey et al. [10] qui péaliset égalemet le trasfert das des cas particuliers. Das u cadre gééral cette prise e compte s avèrera sas doute délicate àrésoudre aalytiquemet, mais des simulatios peuvet doer des iformatios très pertietes. O peut aussi evisager l étude de cet algorithme pour d autres lois de distributio du temps de service et du processus d arrivée des tâches sur chaque site. O peut ecore faire évoluer ce modèle e imagiat d autres architectures de sites (par exemple des réseaux toriques à ue ou deux dimesios). Les outils théoriques utilisés serot alors issus de la théorie des systèmes de particules. RÉFÉRENCES 1. A. T. BARUCHA-REID, Elemets of the theory of Markov processes ad their Applicatios, Mc Graw-Hill, Lodres, Recherche opératioelle/operatios Research

31 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS M. BÉGUIN, Trasfert de charge das les machies parallèles, Rapport techique 6, MAI-IMAG, Greoble, Octobre D. P. BERTZEAS et J. N. TSITSILIS, Parallel ad distributed computatio, Pretice- Hall, P. BRÉMAUD, Itroductio aux chaîes de Markov et aux files d attete, Polycopié de l ENSTA, D. J. EVANS et W. U. N. BUTT, Dyamic Load Balacig usig Task-trasfer Probabilities, Parallel Computig, 1993, 19, p W. FISHER et. MEIER-HELLSTERN, The Markov-modulated Poisso process (MMPP) cookbook, Performace Evaluatio, 1993, 18, p L. LEINROC, Queueig systems: Theory, volume 1, J. Wiley & Sos, J. D. C. LITTLE, A proof of the queueig formula, Oper. Res., 1961, 9, p V. MALYSHEV et P. ROBERT, Phase trasitio i a loss load sharig model, A. Appl. Probab., 1994, 4, p R. MIRCHANANEY, D. TOWSLEY et J. A. STANOVIC, Aalysis of the effects of delays o load sharig, IEEE Tras. o Computers, 1989, C-38, p B. PLATEAU, Algorithmique parallèle et partage de charge, Rapport techique, APACHE-IMAG, M. ROSENBLATT, Fuctios of a Markov process that are Markovia, Joural of Mathematics ad Mechaics, 1959, 8, p S. M. ROSS, Itroductio to probability models, fourth editio, Academic Press, INC, Lodres, F. SPIES, H. GUYENNET et M. TREHEL, Modelig ad simulatio of dyamic load balacig usig queueig theory, Parallel Algorithms ad Applicatios, Gordo ad Breach sciece publishers, 1995, 5, p M. S. SQUILLANTE et R. D. NELSON, Aalysis of task migratio i shared-memory multiprocessors, I Proceedigs of the ACM SYGMETRICS Coferece o Meassuremet ad Modelig of Computer Systems, 1991, p J. WALRAND, Itroductio to Queueig Networks, Pretice-Hall, vol. 34, 1, 2000