Échantillonnage et estimation

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1 Stage «Nouveaux programmes de Termiale S» - Ho Chi Mih-Ville Novembre 202 Échatilloage et estimatio Partie C - Frédéric Barôme page Échatilloage et estimatio Partie C : Capacités et exercices-types. Rappelos tout d'abord les trois pricipales capacités mises e œuvre : Capacité A : Utiliser u itervalle de fluctuatio pour décider oui ou o d ue coformité. Capacité B : Utiliser u itervalle de cofiace pour estimer ue proportio (ou ue probabilité) icoue. Capacité C : Décider oui ou o de la fiabilité d ue proportio aocée. 2. Rappelos esuite les outils à dispositio. Les trois modes de calcul d'u itervalle de fluctuatio : Niveau 2 de : Si 25 et 0,2 p 0,8, alors u itervalle de fluctuatio est [ p ; p + ]. Niveau ère : U itervalle de fluctuatio est [ a ; b ] avec a est le plus petit etier tel que P( X a ) > 2,5 % b est le plus petit etier tel que P( X b ) 97,5 %. Niveau T ale : Si 30 et p 5 ( p ) 5, alors u itervalle de fluctuatio est [ p,96 p ( p ) ; p +,96 p ( p ) ]. Pour les itervalles de cofiace, u seul mode de calcul : Niveau T ale : Si 30 et f 5 ( f ) 5, alors u itervalle de cofiace est [ f ; f + ]. À so propos : Programme de Secode : Sesibiliser les élèves à la fluctuatio d échatilloage, aux otios d itervalle de fluctuatio et d itervalle de cofiace et à l utilisatio qui peut e être faite. Aucue metio das les Programmes de Première Programme de Termiale : Estimer par itervalle ue proportio icoue à partir d u échatillo.

2 Stage «Nouveaux programmes de Termiale S» - Ho Chi Mih-Ville Novembre 202 Échatilloage et estimatio Partie C - Frédéric Barôme page 2 3. Voici maiteat ue série d'exercices-types. Attetio, ce e sot pas des exercices à destiatio des élèves! Ils ot été rédigés de faço miimaliste pour travailler le repérage de la capacité e œuvre. Pour chacu, classer e foctio de la capacité mise e œuvre (A, B ou C ) et du iveau miimal requis (2 de, ère ou T ale ). Puis, proposer ue rédactio-type de la répose. Remarque : À propos de la Capacité A : - o pourra choisir ou o de rédiger e utilisat l hypothèse de coformité H 0, - das le cas où f I F, o choisira etre trois types de réposes : ) l icapacité à juger la o-coformité, 2) le jugemet de coformité avec risque d erreur icou (ou o maîtrisé). 3) le jugemet de coformité sas parler de l'erreur commise. Niveau Capacité Exercice Das ue populatio, la proportio d'u certai caractère est 0,45. Das u groupe de 50 persoes de cette populatio, o e compte 60 qui possèdet le caractère. Peut-o peser que le caractère est mal représeté (*) das ce groupe? La rédactio suivate est le miimum attedu (et suffisat...). Ne pas oublier de faire vérifier les coditios d'utilisatio. p = 0,45 et = 50 { 25 0,2 p 0,8 doc, les coditios d utilisatio d u itervalle de fluctuatio sot respectées. 0, , ,532 doc, u itervalle de fluctuatio est I F = [ 0,368 ; 0,532 ]. f = = 0,4 I F Trois types de répose serot acceptés : ) doc, o e peut pas peser que le caractère est mal représeté. 2) doc, o peut peser que le caractère est pas mal représeté, avec u risque d'erreur o maîtrisé. 3) doc, o peut peser que le caractère est pas mal représeté. 2 de A O propose ici ue versio erichie de la otio d'hypothèse H 0 : très utilisée das le milieu professioel, il faut habituer les élèves à la fréqueter. Mais c'est peut être prématuré e 2 de, cela 'apporte rie à l'objectif essetiel : compredre le mode de raisoemet. Cela peut même gêer e ajoutat ue tâche. Posos l hypothèse H 0 : le caractère est coforme das ce groupe, i.e. le caractère est pas sous représeté. p = 0,45 et = 50 { 25 0,2 p 0,8 doc, les coditios d utilisatio d u itervalle de fluctuatio sot respectées. 0, , ,532 doc, u itervalle de fluctuatio est I F = [ 0,368 ; 0,532 ]. f = = 0,4 I F doc, o accepte l hypothèse H 0 avec u risque d erreur o maîtrisé : o peut peser que le caractère est pas mal représeté.

3 Stage «Nouveaux programmes de Termiale S» - Ho Chi Mih-Ville Novembre 202 Échatilloage et estimatio Partie C - Frédéric Barôme page 3 Exercice 2 Das ue populatio, la proportio d'u certai caractère est 0,45. Das u groupe de 500 persoes de cette populatio, o e compte 95 qui possèdet le caractère. Peut-o peser que le caractère est mal représeté das ce groupe? p = 0,45 et = 50 { 25 0,2 p 0,8 doc, les coditios d utilisatio d u itervalle de fluctuatio sot respectées. 0, , ,495 doc, u itervalle de fluctuatio est I F = [ 0,405 ; 0,495 ]. f = = 0,39 I F doc, o peut peser que le caractère est mal représeté, avec u risque d erreur de 5 %. Versio erichie de la otio d'hypothèse H 0 : Posos l hypothèse H 0 : le caractère est coforme das ce groupe, i.e. le caractère est pas sous représeté. p = 0,45 et = 50 { 25 0,2 p 0,8 doc, les coditios d utilisatio d u itervalle de fluctuatio sot respectées. 0, , ,495 doc, u itervalle de fluctuatio est I F = [ 0,405 ; 0,495 ]. f = = 0,39 I F doc, o rejette l hypothèse H 0 avec u risque d erreur d'au plus 5 % : o peut peser que le caractère est mal représeté. 2 de A Exercice 3 Das ue populatio, o veut estimer la proportio d'u caractère. Das u groupe de 250 persoes issues de cette populatio, o e compte 70 qui possèdet le caractère. Doer ue estimatio de la proportio de ce caractère das la populatio. f = 70 et = , ,743 doc, u itervalle de cofiace au seuil 95% est I C = [ 0,67 ; 0,743 ]. Doc o peut estimer la proportio etre 6,7 % et 74,3 %, avec u risque d'erreur d'au plus 5 %. L'utilisatio de l'itervalle de cofiace e tat que sujet d'évaluatio 'apparaît qu'e T ale. T ale B

4 Stage «Nouveaux programmes de Termiale S» - Ho Chi Mih-Ville Novembre 202 Échatilloage et estimatio Partie C - Frédéric Barôme page 4 Exercice 4 O aoce que, das ue populatio, 45 % des idividus possèdet u certai caractère. Das u groupe de 000 persoes issues de cette populatio, o e compte 360 qui possèdet le caractère. Peut-o peser que cette proportio aocée est fausse? Supposos que p est 0,45. p = 0,45 et = 000 { 25 0,2 p 0,8 doc, les coditios d utilisatio d u itervalle de fluctuatio sot respectées. 0, , ,482 Alors u itervalle de fluctuatio serait I F = [ 0,48 ; 0,482 ]. et alors 95 % des fréqueces appartiedraiet à I F. Or, la fréquece du caractère f = = 0,36 I F. Doc, avec u risque d erreur de 5 %, l hypothèse que p est 0,4 est fausse : o peut peser que cette proportio aocée est fausse. C'est de l'hypothèse du raisoemet par l'absurde dot o parle, pas de H 0... Noter l'utilisatio du coditioel. 2 de C Exercice 5 O aoce que, das ue populatio, 45 % des idividus possèdet u certai caractère. Das u groupe de 800 persoes issues de cette populatio, o e compte 376 qui possèdet le caractère. Peut-o peser que cette proportio aocée est fausse? f = 376 et = , doc, u itervalle de cofiace au seuil 95% est I C = [ 0,435 ; 0,505 ] ,505 Doc o peut estimer la proportio etre 43,5 % et 50,5 %, avec u risque d'erreur d'au plus 5 %. Doc, il y a pas de doute sur la proportio 45 % aocée. Même éocé que l'exercice 4, mais l'utilisatio de l'itervalle de cofiace le place e T ale. T ale C Exercice 6 Das ue populatio ormale, la proportio d'u certai caractère est 0,85. Das u groupe de 70 persoes, o e compte 50 qui possèdet le caractère. À l'aide de la loi biomiale, détermier si o peut peser que le caractère est mal représeté das ce groupe. O utilise la loi biomiale de paramètres p = 0,85 et = 70. Le plus petit etier a tel que P( X a ) > 2,5 % est 53. Le plus petit etier b tel que P( X b ) 97,5 % est , ,929 doc, u itervalle de fluctuatio est I F = [ 0,757 ; 0,929 ] f = ,74 I F doc, o peut peser que le caractère est sous représeté, avec u risque d erreur de 5 %. Aucu chagemet de fod, seule la techique de calcul est modifiée et est imposée par l'éocé. ère A

5 Stage «Nouveaux programmes de Termiale S» - Ho Chi Mih-Ville Novembre 202 Échatilloage et estimatio Partie C - Frédéric Barôme page 5 Exercice 7 Das ue populatio ormale, la proportio d'u certai caractère est 0,05. Das u groupe de 200 persoes, o e compte 9 qui possèdet le caractère. Peut-o peser que le caractère est mal représeté das ce groupe? 30 p = 0,05 et = 200 doc p = 0 5 ( p) = 4 5 doc, les coditios d utilisatio d u itervalle de fluctuatio asymptotique sot respectées. 0,05,96 0,05 0,95 0, ,05 0,95 0,05 +,96 0, doc, u itervalle de fluctuatio asymptotique est [ 0,097 ; 0,0802 ]. f = = 0,095 I F doc, o peut peser que le caractère est sous représeté, avec u risque d erreur de 5 %. Aucu chagemet de fod, seule la techique de calcul est modifiée et est imposée par les coditios ( p très faible). T ale A (*) O eted par " mal représeté " le fait de e pas être coforme à la proportio de 0,45 de la populatio. Il faut compredre " sous représeté ou sur représeté ". Attetio à bie coserver la ature bilatérale de la répartitio e cloche. N'evisager que la sous représetatio, par exemple, e permettrait d'étudier que la moitié de la o-coformité et serait de ature uilatérale. 4. Extrait des Programmes de Termiale : [AP] Prise de décisio lors de la comparaiso de deux proportios (par exemple lors d u essai thérapeutique). Sas écessairemet traiter les exercices suivats, retrouver la capacité cocerée. Pour les trois exercices suivats, la capacité cocerée est la même : Capacité B : Utiliser u itervalle de cofiace pour estimer ue proportio (ou ue probabilité) icoue. L'Exercice 8 est u classique, le procédé mathématique est d'ailleurs parfois repris das certaies presses objectives pour préveir de coclusios hâtives à la lecture de sodages. L'Exercice 9 est u itermédiaire : il utilise le même ressort logique que l'exercice 8 mais sur deux cadidats. Il prépare à l'exercice 0, pour lequel le cotexte est différet : o veut choisir etre deux médicamets. Il illustre l'extrait des programmes : (AP) Prise de décisio lors de la comparaiso de deux proportios (par exemple lors d u essai thérapeutique). Exercice 8 Juste avat le secod tour d'ue électio, u derier sodage auprès de 000 persoes représetatives doe ue cote de popularité de 52 % à l u des deux cadidats. Peut-o prévoir qui va être élu? Traitemet : 0,52 0, , ,55 La fréquece de cofiace 0,52 doe l'itervalle de cofiace [ 0,488 ; 0,55 ]. Doc, la proportio d'électeurs de M se trouve etre 48, 8 % et 55, % avec u risque d'erreur de mois de 5 %. Il est possible que M réuisse mois de 50 % des voix et e soit pas élu. Exercice 9 Avat u premier tour d'électios, o a effectué u sodage sur 500 persoes. U cadidat A et u cadidat B ot été crédités respectivemet de 22,8 % et 8,9 % des itetios de vote. Motrer qu'o e peut prévoir l'ordre d'arrivée de ces deux cadidats.

6 Stage «Nouveaux programmes de Termiale S» - Ho Chi Mih-Ville Novembre 202 Échatilloage et estimatio Partie C - Frédéric Barôme page 6 Exercice 0 O compare l'efficacité de deux médicamets. Sur 00 malades, le premier doe 63 guérisos et le secod 67 guérisos. Le secod est-il meilleur que le premier, ou bie ses meilleurs résultats sot-ils dus aux fluctuatios de l'échatillo? Traitemet : 0, ,53 0, ,73 La fréquece du er médicamet doe l'itervalle de cofiace [ 0,53 ; 0,73 ]. Doc, la probabilité de guérir avec ce er médicamet est etre 53 % et 73 % avec u risque d'erreur de mois de 5 %. 0, ,57 0, ,77 La fréquece du 2 ème médicamet doe l'itervalle de cofiace [ 0,57 ; 0,77 ]. Doc, la probabilité de guérir avec le 2 ème médicamet est etre 57 % et 77 % avec u risque d'erreur de mois de 5 %. O e déduit qu il est possible que le taux de guériso du er médicamet soit le meilleur : o e peut pas décider du médicamet le plus efficace avec cette equête. Remarque : Suite à cet exercice, o peut demader u critère permettat de comparer l efficacité de deux médicamets. La comparaiso est possible lorsque les deux itervalles de cofiace sot disjoits. 5. Les situatios suivates décrivet des cas historiques. O les retrouve facilemet sur Iteret et peuvet évetuellemet faire l objet d ue recherche et d exposé. Exercice Claudio CASTANEDA, Sheriff, Petitioer, v. Rodrigo PARTIDA E Novembre 976 das u comté du sud du Texas, Rodrigo Partida était codamé à huit as de priso. Il attaqua ce jugemet au motif que la désigatio des jurés de ce comté était discrimiate à l égard des Américais d origie mexicaie. Alors que 79,% de la populatio de ce comté était d origie mexicaie, sur les 870 persoes covoqués pour être jurés lors d ue certaie période de référece, il y eut que 339 persoes d origie mexicaie. Devat la Cour Suprême, u expert statisticie produisit des argumets pour covaicre du bie fodé de la requête de l accusé. E vous situat das le rôle de cet expert, pouvez-vous décider si les Américais d origie mexicaie étaiet alors sous-représetés das les jurys de ce comté? Exercice 2 The Aamjiwaag First Natio is a First Natios commuity of about 850 Chippewa (Ojibwe) Aborigial peoples. They live o the shores of the St. Clair River i southwester Otario, Caada. The people of the Aamjiwaag First Natio are cocered that a abormal birth rate is due to adverse effects of materal ad fetal exposure to the effluet ad emissios of the earby chemical plats. A review of birth records foud there are't very may boys beig bor i the southwester Otario commuity, ad the umber is droppig. Accordig to a study published i the America joural Evirometal Health Perspectives, oly about a third of babies bor o the reserve betwee 999 ad 2003 were male. Goig back to iclude aother five years, oly 4 per cet of babies bor i the decade were boys. The ratio is ormally somethig closer to 50:50. Residets of the 850-member Chemical Valley ative group started askig questios i 2003 whe they realized there were three allgirl softball teams ad oly oe for boys. «Is it what we're breathig i o a daily basis? Is it where we played as kids? Is it somethig our parets did? Is it these small exposures or is it because we've bee livig here our whole lives?» asked Ada Lockridge, a member of the bad's evirometal committee. Is it really worryig? Or could it be due to chace? Remarque : Voir aussi l étude des cas de leucémie chez des mois de 5 as à Wobur, Massachussetts, durat les aées 70, qui a permis de découvrir le sydrome du trichloréthylèe.

7 Stage «Nouveaux programmes de Termiale S» - Ho Chi Mih-Ville Novembre 202 Échatilloage et estimatio Partie C - Frédéric Barôme page 7 6. Les exercices suivats 'évaluet pas l'ue des capacités A, B ou C. Pour chacu, vous pouvez évetuellemet traiter l'exercice et vous devez ommer la capacité requise. Exercice 3 U magasi estime que das so bassi d'ifluece il peut compter eviro cliets réguliers. L'objectif de qualité est d'avoir u taux de satisfactio etre 90 % et 98 %. O commade alors à u istitut de sodage ue equête auprès de ces cliets réguliers pour mesurer le taux de satisfactio réel. Par souci de précisio, le magasi exige u résultat fiable à plus ou mois 2 % avec u risque d'erreur d'au plus 5 %. Combie de persoes au miimum doit-o iterroger? Remarque : Les 90 % et 95 % sot des leurres. Remarque : Ne pas cofodre l'amplitude et le risque d'erreur. La ouvelle capacité est exigible au iveau T ale : Capacité : Détermier ue taille d échatillo suffisate pour obteir, avec ue précisio doée, ue estimatio d ue proportio au iveau de cofiace 0,95. Traitemet : Le sodage fourira ue fréquece de cofiace f puis u itervalle de cofiace [ f ; f + ]. La logueur de cet itervalle est doc 2 et doit être iférieure ou égale à celle demadée par le magasi 2 2 %. O e déduit : % 0,02 0, O doit iterroger au miimum persoes. Exercice 4 E Frace, il y a eviro 43 % de la populatio dot le groupe sagui est O. Sur ue base militaire fraçaise, u hôpital maque de sag de ce groupe. Il a besoi de 20 L. O orgaise ue collecte sur 800 persoes de la base e prélevat 450 ml de sag sur chaque doeur. Doer u ecadremet de la quatité de sag du groupe O qu'o peut attedre avec au plus 5 % d erreur? Remarque : Plus cocrètemet, o peut demader la quatité miimale de sag attedue pour répodre au besoi de 20 L. Mais, o est alors das ue situatio d'uilatéralité. Capacité : Utiliser u itervalle de fluctuatio pour doer u ecadremet de fréquece, d effectif ou autre. Traitemet : p = 0,43 et = 800 doc 25 et 0,2 p 0,8 doc, les coditios d utilisatio d u itervalle de fluctuatio sot respectées. 0,43 0, , ,47 doc, u itervalle de fluctuatio est I F = [ 0,39 ; 0,47 ]. Doc, avec u risque d'erreur de 5%, : - la fréquece des doeurs O pour cette collecte est etre 0,39 et 0,47, - le ombre de doeurs O pour cette collecte est etre 0, = 32 et 0, = 376, - la quatité de sag O est etre ml = 40,4 L et ml = 50,4 L.

8 Stage «Nouveaux programmes de Termiale S» - Ho Chi Mih-Ville Novembre 202 Échatilloage et estimatio Partie C - Frédéric Barôme page 8 Exercice 5 Ue etreprise livre des objets sujets à ue certaie fragilité. O compte e gééral 3,5 % des objets cassés à la livraiso. Combie faut-il e commader pour être sûr à 95 % d e avoir 420 o cassés? Capacité : Utiliser u itervalle de fluctuatio pour doer u ecadremet de fréquece, d effectif ou autre. Traitemet : 30 p = 0,035 et 420 doc p 4,7 5 ( p ) 405,3 5 doc, les coditios d utilisatio d u itervalle de fluctuatio asymptotique sot respectées. 0,035,96 0,035 ( 0,035 ) 0,035 ( 0,035 ) 0,035 +,96 0,035 0,36 0, ,36 doc, u itervalle de fluctuatio asymptotique est [ 0,035 0,36 0,36 ; 0,035 + ], doc, o peut peser que, pour u échatillo de taille, la fréquece maximale f max d objets cassés sera de 0, ,36. Alors : f max = 420 ( 0,035 0,36 ) = 420 ( 0,965 0,36 ) = 420 0,965 ( )² 0, = 0 = ( 0,36)² 4 0,965 ( 420) = 62,3296 0,36 62,3296 0, ,3296 doc : = 20,6765 (impossible) ou = 2 0, ,965 et doc : 2,0496² 443, 2,0496 O e déduit qu il faut commader 444 objets pour e avoir 420 o cassés, avec u risque d erreur de 5 %.