Dénombrement. Chapitre Enoncés des exercices

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1 Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet. Les ouvelles plaques fraçaises sot formées de la faço suivate : elles comportet 2 lettres, puis 3 chiffres, puis 2 lettres. 1. Combie u départemet pouvait-il immatriculer de véhicules avec l acie système? 2. Das u départemet, combie y avait-il de plaques dot les 4 chiffres étaiet différets? 3. E supposat que la Frace a 96 départemets, combie pouvait-o immatriculer de véhicules? 4. Combie le ouveau système permet-il d immatriculer de véhicules? Exercice 2 Ue etreprise fabrique des stylos qui, sortis des chaîes, sot ragés par lots de 100 das des cartos qui comportet tous 3 stylos défectueux parmi les 100. Le service qualité de l usie choisit alors stylos das u carto pour vérifier s il y a des stylos défectueux. Le but de l exercice est de calculer la probabilité de découvrir au mois u stylo défectueux. 1. Doer le résultat. 2. U étudiat a doé à cette questio la répose suivate :

2 8 Chapitre 1 : Déombremet ( ) 100 Il y a résultats possibles. U résultat favorable est u tirage qui ( 3 cotiet au mois u stylo défectueux, il y a faços de le choisir et 1) ( ) 99 faços de choisir les 1 autres stylos. La probabilité cherchée 1 ( )( ) est doc ( ). L étudiat se trompe-t-il, et si oui e quoi? Exercice 3 O rappelle le pricipe du Loto : ue série de 6 uméros, choisis au hasard parmi 49 ombres, est le tirage gagat. O tire u autre ombre, différet des 6 premiers : c est le uméro complémetaire. Chaque joueur coche quat à lui 6 uméros, sas que l ordre des 6 uméros cochés soit importat. Esuite, d après le règlemet de la Fraçaise des Jeux, o a : Les gagats de 1 er rag sot ceux dot les 6 uméros cochés sot les 6 bos uméros. Les gagats de 2 e rag sot ceux dot les 6 uméros cochés sot le complémetaire + 5 des 6 bos uméros. Les gagats de 3 e rag sot ceux dot les 6 uméros cochés comportet exactemet 5 des 6 bos uméros. les gagats de 5 e rag sot ceux qui ot 4 des 6 bos uméros. 1. Quelle est la probabilité d être u gagat de premier rag? 2. Quelle est la probabilité d être u gagat de 2 e rag? 3. Quelle est la probabilité d être u gagat de 3 e rag? 4. S il est possible de faire ue grille à 8 uméros, combie y a-t-il de grilles à 8 uméros cochés comportat exactemet 4 bos uméros? Exercice 4 U éditeur souhaite orgaiser so stad das u salo. Il a 22 livres, 12 livres (différets) de maths et 10 livres (différets) de physique. Les livres serot ragés côte à côte, comme sur ue étagère. 1. Combie y a-t-il de ragemets possibles s il souhaite rager ses livres de faço à ce que les livres de maths soiet groupés esemble et les livres de physique esemble? 2. Combie y a-t-il de ragemets possibles si la seule chose qui compte est que les livres de maths soiet groupés esemble?

3 Eocés 9 Exercice 5 O cosidère u groupe de persoes. 1. Quelle est la probabilité que deux d etre elles aiet le même jour d aiversaire, e supposat qu il y a pas d aées bissextiles? 2. Predre =30et calculer cette probabilité. Exercice 6 Le Chevalier de Méré, adepte des jeux de hasard, posa u jour cette questio à Pascal : Quel est le plus probable : obteir au mois u 6 e laçat 4 fois de suite u dé, ou obteir au mois u double 6 e laçat 24 fois de suite 2 dés? Que répodre au Chevalier de Méré? Exercice 7 Le Chevalier de Méré retoure voir Pascal. Voici le ouveau problème qu il lui pose : Deux joueurs jouet à u jeu de hasard e plusieurs parties : celui qui, le premier, gage trois parties gage le jeu et la totalité de la mise. Malheureusemet, le jeu est iterrompu alors que le premier a déjà gagé 2 parties, et le deuxième joueur 1 partie. Commet répartir équitablemet la mise? Que répodre au Chevalier de Méré? Exercice 8 4 persoes participet à ue course. Combie peut-il y avoir de classemets possibles, e admettat qu il puisse y avoir des ex-aequo? Exercice 9 O dispose d u lot de objets sortis d ue usie. Das ce lot, m objets possèdet u défaut, les autres sot coformes. O effectue u tirage sas remise de r objets das le lot. Calculer la probabilité de tirer k objets défectueux das u tel tirage : 1. Sas predre e compte l ordre das lequel ot été tirés les objets. 2. E preat e compte l ordre das lequel ot été tirés les objets.

4 10 Chapitre 1 : Déombremet Exercice 10 U joueur de Poker reçoit ue mai de 5 cartes d u jeu de 32. Quelle est la probabilité que sa mai cotiee : 1. Ue seule paire? (La mai comporte seulemet 2 cartes de même valeur et 3 autres de valeurs différetes.) 2. Deux paires? (2 cartes de la même valeur, et 2 autres cartes d ue autre valeur, et ue carte d ue troisième valeur.) 3. U brela? (3 cartes de la même valeur, et 2 cartes e format pas ue paire.) 4. U carré? Exercice 11 Ue etreprise de cosmétiques souhaite créer à l itetio de ses vedeurs u paier test de démostratio. L etreprise a 4 gammes de produits : La gamme 1 qui comporte 7 produits. La gamme 2 qui comporte 3 produits. La gamme 3 qui comporte 5 produits. La gamme 4 qui comporte 4 produits. U paier est u esemble de 4 boites, pour être valable, la i-ème boite du paier doit coteir u produit de la gamme i. 1. Combie y a-t-il de paiers valables possibles? 2. U employé peu scrupuleux costitue u paier e choisissat 4 produits différets au hasard das le catalogue. Calculer, par 2 méthodes, la probabilité qu il costitue u paier valable. 3. Le service qualité de l usie, peu scrupuleux lui aussi, pour vérifier qu u paier sortat de l usie soit correct, regarde les 2 premiers produits et valide le paier si ces produits appartieet bie à la gamme 1 et à la gamme 2. Quelle est la probabilité qu u paier soit validé par erreur? Exercice 12 Ue etreprise fabrique des mousquetos pour l escalade. Pour être das les ormes iteratioales, les mousquetos doivet résister à certaies forces qui leur sot appliquées. Ue série de 100 prototypes de mousquetos, tous idépedats, sot soumis aux tests. O atted d eux qu ils résistet à ue force de 22 kn. Il y a 4 issues lorsqu o teste u mousqueto : Catégorie 1 : il casse alors que la force est iférieure à 10 kn. Catégorie 2 : il casse alors que la force est comprise etre 10 kn et 20 kn. Catégorie 3 : il casse alors que la force est comprise etre 20 kn et 22 kn. Catégorie 4 : il résiste à ue force supérieure à 22 kn.

5 Eocés 11 Si o cosidère u mousqueto, o otera C i ="le mousqueto est das la catégorie i". O suppose que pour u mousqueto, o a :P (C 1 )=0.1, P (C 2 )=0.1, P (C 3 )=0.5, P (C 4 )= Quelle est la probabilité que sur les 100 mousquetos, tous résistet à ue force supérieure à 22kN? 2. Quelle est la probabilité de l évéemet A= "sur la série de 100 mousquetos, 20 sot das la catégorie 1, 30 das la catégorie 2, 40 das la catégorie 3 et le reste das la catégorie 4"? Exercice 13 O cosidère les lettres du mot : "ANNIVERSAIRE". 1. Combie de mots peut-o former avec ces lettres? (o e se préoccupera pas du ses des mots formés.) 2. Combie de mots commeçat et fiissat par ue voyelle peut-o former? 3. Combie de mots peut-o former si o veut que toutes les voyelles soiet groupées esemble? Exercice 14 Robert fait ses affaires pour aller skier. So armoire est remplie de 10 paires de gats. Il décide de predre 4 gats, mais, état das la lue, il choisit les gats au hasard. Quelle est la probabilité qu il tire : 1. Deux paires complètes? 2. Au mois ue paire? 3. Ue paire et ue seule? Exercice 15 Soiet A 1,A 2,...,A des évéemets. 1. Démotrer la formule classique P (A 1 A 2 )=P (A 1 )+P (A 2 ) P (A 1 A 2 ). 2. E déduire ue formule similaire pour P (A 1 A 2 A 3 ). 3. Démotrer par récurrece sur la formule P (A 1 A 2... A )= ( 1) k+1 k=1 1 i 1<i 2<...<i k P (A i1... A ik ).

6 12 Chapitre 1 : Déombremet 4. Applicatio. U groupe de amis fot ue soirée esemble et poset leur veste das ue chambre à leur arrivée. Au momet du départ, l esprit plus très clair, o suppose qu ils choisisset leur veste au hasard das le tas. Quelle est la probabilité qu au mois u étudiat ait récupéré sa propre veste? 5. Vérifier le résultat obteu. Exercice 16 Le service après vete d ue etreprise possède 3 cetres téléphoiques pour répodre aux cliets. O suppose que persoes, de faço idépedate, cherchet à joidre le SAV de cette etreprise et que leurs appels sot routés au hasard sur u cetre. 1. Quelle est la probabilité que les appels soiet dirigés vers le même cetre? 2. O pred =5. Calculer, par 2 méthodes, la probabilité que les 3 cetres reçoivet au mois u appel. 3. Gééralisatio : ici, est quelcoque. Calculer la probabilité que les 3 cetres reçoivet au mois u appel. Exercice 17 Après leur match historique à Wimbledo e 2010, les teisme Joh Iser et Nicolas Mahut ot vu le sort les opposer à ouveau lors du 1 er tour e Le but est de calculer la probabilité de cet évéemet. 1. O suppose que le tirage au sort du 1er tour (64 matches pour 128 cocurrets) s effectue etièremet au hasard. (a) Combie y a-t-il de tableaux possibles du 1er tour, du poit de vue du spectateur? (Pour u spectateur, deux tableaux sot idetiques si les matches proposés sot les mêmes!) (b) Combie y a-t-il de tableaux possibles au 1er tour, du poit de vue de l orgaisateur cette fois? (Pour l orgaisateur, l ordre des matches est importat, car il détermiera l edroit où aura lieu le match ; l ititulé de la recotre est aussi importat, u match Joueur 1-Joueur 2 est pas le même que Joueur 2-Joueur 1, pour des raisos de vestiaires par exemple.) (c) E déduire, par deux méthodes, la probabilité pour qu il y ait u tableau opposat Iser et Mahut. 2. O suppose maiteat que parmi les 128 joueurs, il y a 32 têtes de série (les meilleurs joueurs) qui e s affrotet pas au 1 er tour.nimahut,iiser, état tête de série, quelle est la probabilité qu ils s affrotet?

7 Corrigés Correctio des exercices Correctio de l exercice 1 1. Il y a 10 choix pour chacu des chiffres, et 26 choix pour chacue des lettres. Par cotre, le uméro du départemet est pas à choisir. Les choix se multipliet etre eux (structure d arbre). U départemet pouvait doc immatriculer =6, véhicules. 2. Il y a plus 10 4 chiffres possibles mais = 5040 possibilités pour les 4 chiffres. Il y avait doc = plaques possibles avec les 4 premiers chiffres différets. 3. O pouvait doc immatriculer 96 2, = 264, véhicules. 4. Avec le ouveau système, o peut immatriculer = 456, véhicules. Correctio de l exercice 2 1. L expériece aléatoire cosiste ( à) choisir ue partie à élémets de l esemble 100 des 100 stylos. Il y a doc résultats possibles. U résultat favorable ( est ue partie qui ( cotiet ) 1, 2 ou 3 stylos défectueux Ilya parties avec u stylo 1) 1 }{{} } {{ } choix du stylo défectueux choix des stylos foctioat défectueux. ( ( ) 3 97 Ilya parties avec deux stylos défectueux. ( ) 2) 2 }{{} } {{ } choix des 2 stylos défectueux choix des stylos foctioat 3 3) Ilya }{{} choix des 3 stylos défectueux ( 97 3 } {{ } choix des stylos foctioat parties avec trois stylos défectueux. Le ombre total de résultats favorables est doc la somme des résultats précédets, car ce sot des évetualités disjoites. E effet, il existe pas de partie coteat e même temps u stylo défectueux et deux stylos défectueux. La probabilité cherchée est doc ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

8 14 Chapitre 1 : Déombremet Remarque : 97 O peut aussi utiliser l évéemet cotraire, o trouve alors La solutio éocée est fausse... parce qu elle e doe pas les mêmes résultats que la solutio doée ci-dessus! (Predre par exemple =3, o trouve que la probabilité est , alors que l étudiat trouve ) Mais il est importat, et pas si évidet, de compredre pourquoi l étudiat se trompe. E fait, avec sa techique, l étudiat compte certais "tirages" plusieurs fois. Preos u exemple pour bie compredre. Avec = 3, otos D 1,D 2,D 3 les 3 stylos défectueux et C 1,C 2,...,C 97 les stylos corrects. L étudiat compte les tirages favorables e imagiat u choix à 2 étapes (u arbre) : lors de la première étape, il choisit u stylo défectueux, puis esuite u esemble de 2 autres stylos quelcoques choisis parmi les 99 stylos restats. Avec cette techique, le tirage {D 1,D 2,C 1 }, par exemple, est compté 2 fois : lorsque le stylo défectueux choisi est D 1, et lorsque esuite les deux autres stylos sot {D 2,C 1 }. Ue autre fois, lorsque le stylo défectueux choisi est D 2, et lorsque esuite les deux autres stylos sot {D 1,C 1 }. Néamois, si l étudiat se red compte du problème, il peut retomber sur le bo résultat e retrachat à ce qu il a obteu (14553 tirages favorables) les tirages qu il a comptés 2 fois (les tirages à 2 stylos défectueux, il y e a 291) et e retrachat 2 fois ceux qu il a comptés 3 fois (les tirages avec 3 stylos défectueux, il y e a 1). Or = 14260, lecompteestbo! Cet exercice met e évidece ue erreur classique e déombremet, assez pericieuse : compter plusieurs fois u même objet.. Correctio de l exercice 3 1. Calculos d abord le ombre de grilles pouvat être cochées par le ( joueur ) : il 49 choisit 6 uméros par hasard, l ordre état idifféret. Il y a doc grilles 6 possibles. Par ailleurs, il y a qu ue seule grille de 6 uméros formée par les uméros gagats. La probabilité cherchée est doc ( ). Soit ue chace sur