14 Chapitre 14. Théorème du point fixe

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1 Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de l équatio f(x) = 0 sur u itervalle a; b par celle d ue équatio équivalete g(x) = x, dot o approxime la solutio par ue suite (a ), défiie par so premier terme a a b et la relatio de récurrece limite est. 0 ; a g a, et dot la Cette situatio la recherche et l approximatio d u poit fixe d ue foctio est suffisammet géérale pour être étudiée pour elle-même. Elle fait l objet d u théorème très importat d aalyse, le théorème du poit fixe. 1 Sommaire Chapitre 14. Théorème du poit fixe Suite récurrete associée à g Stabilité de l itervalle de défiitio Poit fixe Ses de variatio Ue coditio écessaire de covergece Covergece d ue suite récurrete Applicatio strictemet cotractate U théorème du poit fixe Majoratio de l erreur L exemple de l équatio de Fiboacci Calcul de si 1 par approximatios successives Nature des poits fixes Poit fixe attractif Poit fixe répulsif U cas douteux : g ' Étude d u exemple Christia Vassard (IUFM Roue)

2 308 Mathématiques et TI-Nspire Précisos les otatios que ous emploieros das ce chapitre. Nous cosidéreros ue foctio g défiie sur u itervalle I. Moyeat certaies hypothèses, que ous préciseros le momet veu, ous costruiros la suite (u ) défiie par : so premier terme u I ; 0 la relatio de récurrece, valable pour tout etier aturel, u g u. Nous pouvos espérer que cette suite, avec des hypothèses coveables, coverge vers u poit fixe de g, autremet dit ue solutio de l équatio g(x) = x Suite récurrete associée à g 1.1 Stabilité de l itervalle de défiitio Preos garde toutefois que les relatios précédetes, aussi simples soit-elle, e suffiset pas toujours à défiir effectivemet ue suite. Le calcul parfois e peut pas être poursuivis au delà d u certai rag. 1 Aisi e posat u 0 et 1 5 u u, il est bie clair qu u terme e peut être calculé que lorsque u 1 le terme qui le précède est différet de 1. Or les problèmes survieet assez rapidemet, comme le motre l écra suivat ( peser à utiliser as ) : Le problème est posé : à quelle coditio peut-o être sûr que la suite récurrete est défiie pour toute valeur de? Tout est affaire de stabilité Stabilité de l itervalle I par g O dit que l itervalle I est stable par g lorsque g I I. Théorème Lorsque I est u itervalle stable par g, alors la suite défiie par : u I 0 pour tout etier aturel, u g u est défiie pour tout etier aturel. 1 Démostratio O peut démotrer, par exemple par récurrece, que pour tout etier aturel, u est bie défii et est élémet de I : c est immédiat. T³ Frace 010 / Photocopie autorisée

3 Théorème du poit fixe 309 Défiitio Ue telle suite est appelée suite récurrete associée à g. Nous supposeros doréavat que l itervalle I est stable par la foctio g, pour garatir l existece de la suite (u ). La costructio graphique des termes successifs d ue telle suite est doée ci-après, das quelques situatios classiques. Costructio e toile d araigée Costructio e escalier Gardos-ous cepedat de croire que de telles suites sot toujours covergetes : elles peuvet avoir des comportemets divers, comme le motret les écras suivats : T³ Frace 010 / Photocopie autorisée

4 310 Mathématiques et TI-Nspire Au demeurat, la covergece d ue telle suite semble liée (mais cela e suffit pas!) à la présece d u poit d itersectio etre la courbe représetative de g et la droite d équatio y = x, autremet dit d ue solutio à l équatio g(x) = x. 1. Poit fixe Les observatios précédetes coduiset à défiir la otio de poit fixe d ue foctio. Défiitio Soit g : I ue foctio cotiue sur I. O dit que est u poit fixe de g lorsque g() =. E d autres termes, les poits fixes de g sot les solutios, lorsqu elles existet de l équatio g x x. T³ Frace 010 / Photocopie autorisée

5 Théorème du poit fixe 311 D u poit de vue graphique, les poits fixes de g correspodet aux poits d itersectio de la courbe représetative de g et de la droite d équatio y = x. Théorème : existece d u poit fixe lorsque I = [a ; b] Démostratio Soit g ue foctio cotiue sur l itervalle a; b et telle que a; b soit stable par g. Alors la foctio g admet au mois u poit fixe das l itervalle a; b. E effet cosidéros la foctio f défiie sur a; b par f(x) = x g(x). f est alors cotiue sur a; b. O a par ailleurs : f(a) = a g(a) 0 f(b) = b g(b) 0 car g(a) et g(b), par hypothèse, appartieet à a; b. D après le théorème des valeurs itermédiaires, o est sûr que l équatio f(x) = 0 possède au mois ue solutio 1 sur a; b. Il e est de même de l équatio g(x) = x et o peut affirmer que g possède au mois u poit fixe. Remarquos que la stabilité de l itervalle I e garatit pas l existece d u poit fixe, hormis le cas que ous veos d étudier d u itervalle fermé boré. Par exemple la foctio expoetielle est ue x foctio de I = das I =, mais o sait bie que l équatio e x a pas de solutio das. 1.3 Ses de variatio Théorème Démostratio Soit I u itervalle stable par g. Lorsque la foctio g est strictemet croissate sur I, alors la suite récurrete (u ) associée à g est mootoe. E effet, o peut écrire les égalités de siges suivates, liées à la stricte mootoie de la foctio g sur l itervalle I : u1 u g u g u1 u u 1 u1 u 0 sige sige sige... sige Par coséquet, la suite (u ) est bie mootoe. Plus précisémet, si u1 u 0, alors la suite (u ) est croissate et si u1 u 0, alors la suite (u ) est décroissate. Théorème Soit I u itervalle stable par g. Lorsque la foctio g est strictemet décroissate sur I, alors les suites extraites (u ) et (u +1 ) ot des ses de variatio cotraires. 1 Peut-être plusieurs... Et si u 1 = u 0, la suite (u ) est costate. T³ Frace 010 / Photocopie autorisée

6 31 Mathématiques et TI-Nspire Démostratio Posos pour tout etier aturel, v u et w u 1. Il est alors clair que : v gog v et 1 w gog w. 1 Comme gog est strictemet croissate sur I c est la composée de deux foctios strictemet décroissates sur I, d après le théorème précédet, les suites (v ) = (u ) et (w ) = (u + 1 ) sot l ue et l autre mootoes. Il reste à prouver qu elles ot des ses de variatio cotraires. Comme précédemmet, o peut écrire : sige u u sige u u et sige sige 0 u u u u Or comme g est décroissate sur I, si 0 g u g u 0 soit u3 u 1, et de même si u u 0, alors u3 u 1. O peut e coclure que les ses de variatio sot cotraires. u u, alors 1.4 Ue coditio écessaire de covergece Théorème Démostratio Soit g ue foctio cotiue défiie sur u itervalle I. O suppose de plus que l itervalle I est stable par g. Si la suite récurrete (u ) coverge, c est écessairemet vers u poit fixe de g. Effectivemet, si la suite (u ) coverge vers u ombre réel, e passat à la limite das l égalité qui défiit la récurrece : 1 lim u g lim u (car la foctio g est cotiue sur I) soit = g() ce qui prouve que est u poit fixe de la foctio g. Quelques remarques sur l utilisatio de ce théorème Le théorème précédet éoce ue coditio écessaire, malheureusemet pas suffisate, pour que la suite (u ) coverge : il e reseige e rie sur la covergece effective de cette suite. Tout au plus doe-t-il c est déjà u résultat importat ue, ou des, valeurs possibles pour la limite. Par cotre, si la foctio g e possède pas de poit fixe sur l itervalle d étude, o peut être sûr que la suite récurrete associée à g diverge. C est le cas par exemple de la suite défiie par so premier terme u 0 = 1 et par la relatio de récurrece u 1 1 u. Si o pose g x 1x pour x élémet de clairemet pas de solutio (car 1x x). 0,, stable par g, l équatio g x E coséquece, la suite (u ) e coverge pas. Comme elle est croissate, elle diverge vers l ifii. x a T³ Frace 010 / Photocopie autorisée

7 Théorème du poit fixe 313 Remarquos qu il existe aussi des cotre-exemples à ce théorème, avec des foctios présetat u ou des poits fixes sas que les suites récurretes associées coverget. C est le cas, par exemple, de la foctio défiie sur I = [0 ; 1] par g(x) = 1 x : elle possède bie u 51 poit fixe, solutio de l équatio 1x x soit. L itervalle I est stable par g. Pourtat la suite défiie par u 0 = 1 et la relatio de récurrece elle pred alterativemet les valeurs 0 et 1. u u est pas covergete : 1 1 T³ Frace 010 / Photocopie autorisée

8 314 Mathématiques et TI-Nspire. Covergece d ue suite récurrete Das le cas où l itervalle est boré, la suite elle-même est borée. Si l o sait de plus qu elle est mootoe, o peut e déduire qu elle coverge vers u des poits fixes de g. Bie que l o puisse souvet ivoquer des résultats de ce type 3 pour coclure sur la covergece de (u ), ous ous placeros quat à ous das u cadre plus gééral et rechercheros de plus à majorer l expressio u..1 Applicatio strictemet cotractate Défiitio Soit g ue applicatio défiie sur u itervalle I, o écessairemet boré de. Dire que g est ue applicatio strictemet cotractate sur I sigifie qu il existe u réel K apparteat à [0 ; 1[ tel que pour tout x et y das l'itervalle I, g( x) g( y) K x y. O dit aussi que g est lipschitziee de rapport K < 1. Remarquos qu ue telle applicatio est écessairemet cotiue sur I. Commet recoaître ue applicatio strictemet cotractate? Théorème Soit ue foctio g dérivable das u itervalle I, o écessairemet boré. Si la dérivée g vérifie max g '( x) K 1alors g est ue applicatio strictemet cotractate Démostratio sur l'itervalle I. xi Soiet x et y deux réels de l itervalle I. D après la théorème des accroissemets fiis, o peut écrire : Par suite : g x g y g ' x y avec, ' g x g y g x y K x y xy. ce qui prouve que g est bie strictemet cotractate sur l itervalle I. Exemple 1 1 x Aisi o peut affirmer que la foctio g défiie sur par g x sur. E effet, o a : g' x x 1 x La calculatrice permet alors de coclure que pour tout x réel :. est strictemet cotractate 3 3 max g'( x ) 1. xi 8 3 Au mois das les cas les plus classiques. T³ Frace 010 / Photocopie autorisée

9 Théorème du poit fixe 315. U théorème du poit fixe Il existe de très ombreuses versios de ce célèbre théorème d aalyse. Théorème du poit fixe sur u itervalle fermé I : Soit ue foctio g défiie sur u itervalle fermé I, pas écessairemet boré, de et vérifiat les coditios suivates : l itervalle I est stable par g ; g est strictemet cotractate sur l'itervalle I de rapport K < 1. Alors la foctio g admet u poit fixe uique et la suite (u ) défiie par so premier terme u g u coverge bie vers. Démostratio u 0 I et la relatio de récurrece La stabilité de l itervalle I motre que la suite (u ) est clairemet défiie. 1 Nous allos d abord démotrer que la suite (u ) est ue suite de Cauchy de ombres réels. Observos que pour tout etier aturel : u u g u g u k u u k u u... k u u O peut alors écrire : u u u u K u u K 1 K u u K u u p1 p1 p i p i1 i i0 i0 1K 1K. Comme K ted vers 0 quad ted vers l ifii (car 0K 1), o e coclut que u u peut être redu aussi petit que l o veut pourvu que soit suffisammet grad. Ceci prouve que la suite (u ) est ue suite de Cauchy. p La suite (u ) coverge doc vers u réel qui appartiet à I car I est u itervalle fermé de. Motros que est u poit fixe de g. Comme g est ue applicatio strictemet cotractate sur I, o e déduit que, pour tout etier aturel : g u g K u u T³ Frace 010 / Photocopie autorisée

10 316 Mathématiques et TI-Nspire ce qui prouve que la suite gu coverge vers g. Comme 1 vers, o peut e coclure que g doc que est u poit fixe de g 4. g u u coverge aussi Motros maiteat que ce poit fixe est uique. Supposos doc qu'il existe deux poits fixes de g, 1 et, sur l'itervalle I. O peut alors écrire : g g K ce qui est impossible. E coséquece, le poit fixe est écessairemet uique. Remarquos que l hypothèse I fermé iterviet que pour motrer que est bie das I. Si l o sait par d autres moyes que les poits fixes sot déjà das I, elle deviet alors obsolète et peut être omise. Par ailleurs, il résulte de la démostratio précédete l iégalité u K u 1, qui motre que la vitesse de covergece de la suite (u ) vers, si elle existe, est majorée par K : la covergece est doc, das le pire des cas, géométrique de rapport K. O mesure doc l importace qu il y a à travailler avec u coefficiet K, qui soit le plus petit possible..3 Majoratio de l erreur Les calculs précédets ot motré que pour tout etier aturel : u K u K u... K u. 1 0 Cette derière majoratio permet de faire u calcul d erreur, essetiel pour estimer la qualité du résultat revoyé. O peut raisoer de deux faços différetes. Tout d abord, si l o veut que u, il suffira que l o ait K u 0. Cette iéquatio e se résout facilemet e passat aux logarithmes. Elle équivaut alors à : l K l u l, 0 iégalité qui est réalisée dès que supérieur ou égal 5 à l l u l K 0. Mais ce derier calcul présete u icovéiet : elle fait iterveir la valeur précisémet celle que l o cherche à calculer Lorsque ; I a b, o peut s affrachir de ce problème e remarquat que u0 b a, d où l o déduit que u dès que : l lba l K O peut aussi obteir u autre majorat de l erreur commise, sas faire iterveir la valeur de, e repreat u résultat mis e évidece das la démostratio du théorème du poit fixe : 1 u p u K u u 1 K 1 0 pour et p etiers aturels quelcoques. 4 Nous avos démotré plus haut, et de faço plus «artisaale», que toute foctio g : [a,b] [a,b] possédait au mois u poit fixe. 5 O rappelle que K ]0 ; 1[, doc so logarithme est égatif. T³ Frace 010 / Photocopie autorisée

11 Théorème du poit fixe 317 Si est fixé, l iégalité est valable pour tout etier aturel p ; e faisat tedre p vers l ifii, o e tire : 1 u K u u 1 K 1 0 C est ue deuxième majoratio de l erreur e faisat pas cette fois iterveir la valeur de la limite..4 L exemple de l équatio de Fiboacci Reveos vers l équatio du troisième degré, proposée vers 15 par Fiboacci 6 : x 3 + x + 10x 0 = 0. Ue étude rapide de la foctio défiie sur par 3 équatio possède ue solutio réelle et ue seule sur l itervalle [1 ; ]. f x x x 10x 0 a motré que cette Pour résoudre cette équatio e utilisat le théorème du poit fixe, o doit se rameer à ue équatio de la forme g(x) = x. Plusieurs possibilités s offret à ous. Commeços par la plus simple L équatio équivaut à : e posat g(x) = 3 x 10x 11x 0 x 3 x 10x 11x 0 pour x [1 ; ]. Malheureusemet, le maximum de la dérivée de g sur l itervalle [1 ; ] vaut 31 et ous e pouvos pas utiliser les résultats qui précèdet. La suite d ailleurs diverge très rapidemet. Trasformos l écriture plus judicieusemet. L équatio équivaut à : x 3 + x + 10x = 0 xx x 10 0 x x 0 x10 et cette fois, ous poseros gx x 0 x10 pour x [1 ; ]. O peut costater sur l écra qui suit 7 que cette foctio remplit bie les hypothèses du théorème du poit fixe que ous veos d éocer : l applicatio est strictemet cotractate sur l itervalle [1 ; ] avec u coefficiet K égal à ; l itervalle [1 ; ] est stable par g. 6 Voir le chapitre précédet, sur la résolutio approchée des équatios. 7 Il faudrait le cofirmer bie sûr par u raisoemet rigoureux. T³ Frace 010 / Photocopie autorisée

12 318 Mathématiques et TI-Nspire O peut alors défiir la suite récurrete associée à g défiie par : u u u u l affichage des premiers termes de cette suite das l applicatio Tableur & Listes : et demader Cette suite figure das la coloe B : la foctio g a été défiie au préalable das l applicatio Calculs. Das la coloe C figure le premier calcul d erreur (ici K ) ; efi das la coloe D, figure 1 le deuxième calcul d erreur K u1 u0, légèremet supérieur au précédet. 1 K D après le théorème du poit fixe démotré plus haut, o sait que la suite (u ) coverge vers le poit fixe de f, doc la solutio de l équatio de Fiboacci. O remarque bie que la suite extraite des idices pairs est décroissate, tadis que la suite extraite des idices impairs est croissate. Malheureusemet, le calcul est meé de faço exacte que jusqu'au 10 e terme de la suite. À partir du 11 e terme, o passe e calcul approché. T³ Frace 010 / Photocopie autorisée

13 Théorème du poit fixe Calcul de si 1 par approximatios successives L idée a été évoquée das le chapitre précédet et etraie la résolutio approchée d ue équatio de degré 3. Repreos rapidemet l argumetatio développée. Depuis les premières tables de cordes des Grecs 8, les mathématicies ot toujours cherché à améliorer la précisio des tables trigoométriques, tout l ejeu état d obteir la valeur approchée de si 1 la plus précise possible, permettat esuite de costruire la table. Vers 1400, al-kashi, astroome à l observatoire de Samarkad, propose le calcul approché de cette solutio par ue méthode d approximatios successives. La méthode était radicalemet ouvelle à côté de laquelle les tetatives précédetes étaiet que des balbutiemets. E effet, à partir de la relatio trigoométrique bie coue : si 3x = 3 si x 4 si 3 x, al-kashi a l idée de résoudre l équatio si 3 = 3x 4x 3. où si 3 est coue, car accessible à partir des valeurs usuelles des sius, et où x l icoue doera ue valeur approchée de si 1, la plus précise possible pour costruire ue table. E effet, si 3 peut e effet se calculer par étapes, à partir des valeurs remarquables déjà coues : coaissat les liges trigoométriques de 7 et de 60, o e déduit celles de 1 ; par deux divisios par successives, o arrive aux liges trigoométriques de 3. L idée de géie d al-kashi cosiste à résoudre l équatio précédete par approximatios successives : c est sas doute la première fois das l histoire des mathématiques que l o utilise cette méthode. E lagage modere, il travaille avec la suite (u ) défiie par u 0 = 0 et u g u 3 si34x gx. 3 1 e posat : 8 C était leur seule lige trigoométrique, très proche du sius. T³ Frace 010 / Photocopie autorisée

14 30 Mathématiques et TI-Nspire Ue valeur approchée 9 de si 3 avec 0 décimales exactes est : Essayos maiteat avec l applicatio Tableurs & Listes de repredre le pricipe des calculs d al- Kashi. Tout d abord défiissos la foctio das ue page Calculs : Efi, calculos les termes de la suite (u ) : O costate qu e quelques itératios, la suite semble coverge vers si 1. Le théorème du poit fixe s applique pleiemet. Vérifios-e les hypothèses : la foctio g est clairemet strictemet croissate sur l itervalle 0 ; si1 ; par coséquet, si o a : 0 si1 0 g 0 g x g si1 si1, ce qui prouve que l itervalle 0 ; si1 est stable par g ; comme ' 4 iférieur à 1. g x x, o peut e déduire que : x, o e déduit que : x0;si1 K max g ' x 4si 1 qui est clairemet Remarquos de plus que la covergece sera itéressate car le coefficiet K est très proche de 0 à peu près 0,001, ce qui explique après coup le grad succès qu a obteu al-kashi. 9 Obteue avec u logiciel de calcul formel, gérat u ombre illimité de décimales, et u développemet e fractio cotiue. T³ Frace 010 / Photocopie autorisée

15 Théorème du poit fixe 31 La plus grade valeur exacte que l o récupère das le tableur est u 5. Précisos le calcul d erreur. O sait que : 5 u si1 K u si1 4si 1 si 1 4 si O peut préciser cette derière valeur, e serait-ce qu avec la valeur approchée doée par la calculatrice : Pour faire simple, o a doc u 5 si1 0, Stockos la «grosse» fractio de la cellule B6 das ue variable a. Notre foctio divex, créée das la bibliothèque div_dec, doe alors : valeur approchée à mois de 0, près. Presque aussi bie qu al-kashi qui, lui, a doé l équivalet de 18 chiffres après la virgule! 3. Nature des poits fixes Das tout ce qui suit, o cosidère que la foctio g est défiie et de classe C 1 sur l'itervalle ; a; b. I a b de. E particulier, la dérivée de g est cotiue sur Comme précédemmet, o ote a; b u poit fixe de la foctio g sur l'itervalle I. O peut alors distiguer trois cas. 3.1 Poit fixe attractif Théorème Si g () < 1, alors il existe u itervalle J coteu das I pour lequel la suite (u ) défiie par u 0 J pour tout etier aturel, u + 1 = g(u ) coverge vers. Autremet dit, pourvu que l o se place «suffisammet près de» mais o a pas a priori plus d iformatios o est assuré de la covergece de la suite (u ). Le poit fixe est alors dit poit fixe attractif, car il provoque la covergece de toutes les suites récurretes costruites à partir de f, pourvu que la valeur iitiale soit suffisammet proche de ce poit fixe. Démostratio Plaços-ous sur l'itervalle J = [ ; + ] où > 0 est choisi de telle sorte que : x [ ; + ], g'() < K < 1, choix toujours possible car g est cotiue sur I = [a ; b]. T³ Frace 010 / Photocopie autorisée

16 3 Mathématiques et TI-Nspire Motros que sur cet itervalle, la foctio g vérifie les hypothèses du théorème du poit fixe. Tout d abord, la foctio g est cotractate sur l itervalle J, et de rapport K < 1. D autre part, g([ ; + ]) [ ; + ] E effet soit x [ ; + ], ce que l o peut écrire x <. Doc, pour x élémet de J, g(x) g() = g(x) K x < x ce qui prouve bie que g x ;. O peut doc appliquer le théorème du poit fixe das l'itervalle J et la suite (u ) est bie covergete quel que soit so premier terme x 0 situé das J. Itéressos-ous au cas où g () = 0. Supposos que g soit de classe C sur [a ; b] et que g'' M sur l itervalle J. La formule de Taylor, appliquée à l itervalle limité par et x, doe : x g x g x g ' g '' c! x g '' c avec c ; x! D où l o déduit : M g x x. O a doc pour tout etier aturel, à coditio de choisir u 0 das l itervalle J : 1 M u u. Cela idique ue covergece dite quadratique, extrêmemet rapide. Cocrètemet, si l o sait que p u 10, o peut e déduire que 1 M p u 10 : cocrètemet, o peut dire que le ombre de décimales exactes à peu ou prou doublé e ue itératio. Le poit fixe, das ce cas, est qualifié de superattractif. O peut aussi écrire : soit M M M M u u1 u... u 0 u M 0 M 3. Poit fixe répulsif Théorème u. Si g () > 1, alors il existe u itervalle J coteu das I et tel que, pour tout u 0, u 0 J, la suite récurrete associée à g de premier terme u 0 e coverge pas vers. T³ Frace 010 / Photocopie autorisée

17 Théorème du poit fixe 33 Das ce cas, le poit fixe est dit poit fixe répulsif. Même si l o se place très près de, la suite (u ) est toujours divergete. Elle e peut coverger que lorsqu elle est costate et égale à. Démostratio Plaços-ous sur l'itervalle J = [ ; + ] où > 0 est choisi de telle sorte que : (choix possible car g est cotiue sur I = [a, b]) Alors mi g '( x) K 1 xj x [ ; + ] g'() > 1 Il est possible que la suite (u ) e soit pas défiie pour toute valeur de : das ce cas, elle e coverge pas vers. Sio o sait que pour tout x das J, g(x) K x La suite e peut pas coverger vers car pour tout etier aturel, u ak 1 avec K > U cas douteux : g ' 1 Étudios deux exemples, pour lesquels les coclusios serot différetes : c est e ce ses que le cas sera dit douteux. Pour chacu de ces deux exemples, o aura = 0 et g () = 1. g x si x pour x élémet de 0; La covergece e fait aucu doute si l o remarque pour tout x das l itervalle 0;, si x < x. Quel que soit so premier terme das 0;, la suite récurrete associée à g est alors décroissate, miorée par 0, doc elle coverge vers le poit fixe 0, qui est bie attractif. f x sih x pour x élémet de 0; T³ Frace 010 / Photocopie autorisée

18 34 Mathématiques et TI-Nspire O a cette fois pour tout x strictemet positif, sih x > x. Cette fois la suite (u ) est strictemet croissate et e peut doc pas coverger vers le poit fixe 0 qui est doc répulsif. Bila : La otio de poit fixe attractif ou répulsif simplifie quelque peu l approche du problème. Tout g ' reviet fialemet à estimer si g ' 1, alors o élimie la méthode, qui correspod à u poit fixe répulsif ; si g ' 1, la méthode coverge ; il reste cocrètemet à s approcher suffisammet de c est-à-dire à trouver u itervalle stable par g et das lequel le maximum de la dérivée est strictemet iférieur à Étude d u exemple Soit g la foctio défiie sur [ 1 ; 1] par g x 1 ]0 ; ]. O cosidère alors la suite récurrete défiie par : u0 u 1 1;1 g u ax avec a réel quelcoque de l itervalle Motros tout d abord que l itervalle [ 1 ; 1] est stable par g. Ue étude sommaire de la foctio g motre qu elle pred ses valeurs das l itervalle [1 a ; 1]. Dire que [1 a ; 1] [ 1 ; 1] équivaut à dire que a [0 ; ] ce qui est à peu de chose près otre itervalle d étude 10. Que la suite soit défiie était relativemet évidet état doée la formule proposée 11 par cotre, ous sommes sûr avec ces valeurs de a que la suite pred toutes ses valeurs das l itervalle [ 1 ; 1]. 10 Le cas a = 0 que ous écarteros de suite e présete pas u grad itérêt. 11 Pas de quotiet, pas de racie carrée bref aucu risque que le calcul e puisse se poursuivre idéfiimet! T³ Frace 010 / Photocopie autorisée

19 Théorème du poit fixe 35 À quelle coditio g est-elle cotractate? O sait que g ' x ax dot le maximum de la valeur 1 absolue sur [ 1 ; 1] vaut a. Ce maximum est iférieur strictemet à 1 lorsque 0 a. Efi les poits fixes de la foctio g sot obteus e résolvat l équatio g(x) = x. A priori, deux poits fixes apparaisset, mais lorsque 0 < a <, u seul ous itéresse 4a 1 1. Pour a =, les poits fixes 1 et 1 sot cette fois tous les deux das [ 1 ; 1]. a Ce, ou ces, poits fixes sot-ils attractifs? C est doc le cas lorsque répulsifs. 3 0; 4 a. Pour a =, f ' x 4x et les deux poits fixes 1 et 1 sot 1 Lorsque a 0;, l applicatio est strictemet cotractate et le théorème du poit fixe permet de coclure à la covergece de la suite (u ) vers le réel, quel que soit le premier terme choisi das l itervalle [ 1 ; 1]. T³ Frace 010 / Photocopie autorisée

20 36 Mathématiques et TI-Nspire 1 3 Lorsque a ; 4, le théorème du poit fixe e peut plus s appliquer car l applicatio est plus strictemet cotractate. Mais la covergece vers le poit fixe poit fixe attractif das ce cas semble cepedat ecore avoir lieu. Prouvos-le. Lorsque u 0 appartiet à [ 1 ; 1], o peut remarquer que u est das l itervalle [0 ; 1] pour 1. Comme la foctio g est décroissate sur cet itervalle, o sait que les suites extraites d idices pairs et impairs ot des ses de variatio cotraires à partir de = 1. Comme ce sot des suites mootoes et borées, o peut affirmer qu elles coverget Or, ces suites sot aussi des suites récurretes, associées o pas à g mais à g = gog. O a e effet : u g u et u g u. 1 1 Elles coverget doc l ue et l autre doc vers u poit fixe de g ; les poits fixes de g peuvet être détermiés avec la TI-Nspire. O retrouve les poits fixes de f c est immédiat à prouver et deux autres : 1 4 a 3 et 1 4a 3. a a Mais ces deux ouveaux poits fixes e sot pas das l itervalle [ 1, 1] pour des valeurs de a das 1 3 ; 4. Les suites d idices pairs et d idices impairs coverget doc vers le seul poit fixe attractif qui demeure, 4a 1 1 comme précédemmet. a T³ Frace 010 / Photocopie autorisée

21 Théorème du poit fixe 37 Pour a = 3 4 f ' 1. Il semble que la covergece vers le poit fixe demeure, mais elle se fait de plus e plus letemet (o a mis le ombre d itératios à 500 sur le graphique suivat )., o tombe das le cas douteux où U raisoemet semblable au précédet peut être repris. Sachat que et. 3 3 a, les poits fixes sot 4 Cette fois-ci, les suites costituées des termes d idices pairs et d idices impairs, qui sot toujours covergetes, e peuvet coverger que vers 3. Que se passe-t-il pour 3 a? 4 Le poit fixe de g de l itervalle [ 1,1] est répulsif doc la suite (u ) est plus covergete sauf si so terme iitial vaut précisémet ce poit fixe ; elle est alors costate et égale à ce poit fixe. Évetuellemet les poits fixes de g, détermiés plus haut, vot predre la relève À quelles coditios sot-ils attractifs? L écra suivat motre que c est le cas pour 3 a T³ Frace 010 / Photocopie autorisée

22 38 Mathématiques et TI-Nspire Si ;1 deux suites (u ) et (u +1 ) restet doc covergetes. a, o peut ecore affirmer que si u, 0 ;1 u pour supérieur ou égal à 1. Les Mais comme la suite (u ) e peut plus elle-même être covergete 1, o peut e coclure que (u ) coverge vers u des poits fixes de g et (u +1 ) vers l autre. Ce que l o observe évidemmet sur l exemple ci-dessous : la suite diverge e oscillat autour des valeurs 0,15 et 0,986, qui correspodet aux poits fixes de g dot la courbe a été tracée. O voit doc ici apparaître u cycle de logueur qui correspod aux deux poits fixes attractifs p 1 et p de g, qui e sot pas poits fixes de g. O a doc p g p et p g p, aisi que p g p et p g p. O e déduit que g p1 g g p1 g g p 1, autremet dit 1 Maifestemet, g p 1 e peut pas être u poit fixe de g, sio o aurait : g g p1 g p 1 soit g p g p p g p est u poit fixe de g. 1 Car elle covergerait écessairemet vers u poit fixe de f mais ce est plus possible avec ces valeurs de a T³ Frace 010 / Photocopie autorisée

23 Théorème du poit fixe 39 ce qui est absurde car p 1 est pas u poit fixe de g. Comme g p1 p 1, o e déduit que écessairemet g p g p p. 1 p et o démotrerait de même que 1 Apparaît doc ue ouvelle situatio qui permet de préciser la ature de la divergece de (u ) : ou bie u 0 = p 1 ou u 0 = p et la suite (u ) est périodique de période, ou bie u 0 est différet de ces deux valeurs et la suite (u ) diverge e s approchat alterativemet de p 1 et de p. Comme g' p 1 et 1 g' p 1, o dira das ce cas que le -cycle est attractif. Nous admettros que la situatio est idetique tat que le -cycle est attractif, c est-à-dire lorsque a 5 5 est tel que 1a. Il e est de même aussi pour a Au-delà de a, ces poits fixes de g après ceux de g vot deveir répulsifs. O repred le même 4 raisoemet qui après g a vu veir g : après g ous allos cosidérer les poits fixes de (g ) = g 4, à coditio qu ils soiet attractifs et qu ils figuret das l itervalle [ 1 ; 1]. Malheureusemet le calcul formel gééral e peut plus être meé comme ous l avos fait jusqu à maiteat : l observatio graphique est cepedat fructueuse. T³ Frace 010 / Photocopie autorisée

24 330 Mathématiques et TI-Nspire U cycle d ordre 4 s est bie mis e place autour de quatre poits fixes attractifs de g 4, qui e sot i poits fixes de g, i poits fixes de g : 0,336 ; 0,034 ; 0,849 et 0,998. Ue rapide étude permet de costater que ces ouveaux poits fixes sot attractifs. O dira que le 4- cycle est attractif. Si o appelle p 1, p, p 3 et p 4 le 4-cycle aisi mis e évidece, o a : 4 4 g p g g p g g p ce qui prouve que g p 1 est u poit fixe de g 4. De faço aalogue à ce qui a été fait plus haut, o peut motrer que : g p 1 e peut pas être u poit fixe de g (sio 1 1 g 4 p g p p ce qui est absurde car p 1 est pas u poit fixe de g ) g g p g p et doc T³ Frace 010 / Photocopie autorisée

25 Théorème du poit fixe 331 g p 1 e peut pas être u poit fixe de g (sio g p g p p puis g p g p soit pas u poit fixe de g). Fialemet, 1 E poursuivat, i g p est égal à p i, avec i 1. j 1 1 g p p avec j i et 1 g p1 p i o e déduirait que p 1 est u poit fixe de g. Efi g p p avec k i et k j mais aussi 1 j k g p p g g p g p ce qui est absurde g g p g p et doc p g p ce qui est absurde car p 1 est g p j : e effet, o e peut pas avoir i 1 3 k, sio o aurait 1 1 p car comme g p p mais comme Là ecore o peut préciser das cette zoe de valeurs de a la ature de la divergece de (u ) : ou bie u 0 est l ue des quatre valeurs du 4-cycle et la suite (u ) est périodique de période 4, ou bie u 0 est différet de ces quatre valeurs et la suite (u ) diverge e s approchat alterativemet de chacue des valeurs du 4-cycle. E augmetat ecore u peu la valeur de a, o pourrait mettre e évidece u cycle d ordre 8, puis d ordre 16, 3, etc. Aisi pour a = 1,4, o peut observer u cycle d ordre 8 : O démotre qu'il existe aisi ue suite ifiie de valeurs de a (dites catastrophiques) pour lesquelles se produit u doublemet de la période du cycle attracteur. Cette suite de valeurs de a ted vers 1,401 eviro (évidemmet, les doublemets de période ot lieu sur des itervalles de plus e plus petits). Esuite, si o cotiue d'augmeter a, le comportemet de la suite deviet difficile à prévoir, elle semble pouvoir predre toute valeur etre 1 et +1. O dit que so comportemet est chaotique, e ce ses qu il est particulièremet sesible aux coditios iitiales. Si l o choisit deux valeurs iitiales très proches l ue de l autre, les valeurs de u s écartet très rapidemet l ue de l autre. T³ Frace 010 / Photocopie autorisée

26 33 Mathématiques et TI-Nspire Curieusemet, au milieu de ce chaos, autour de 1,75 u havre de paix surgit avec l apparitio d u cycle d ordre 3 T³ Frace 010 / Photocopie autorisée

27 Théorème du poit fixe 333 T³ Frace 010 / Photocopie autorisée