Régulation analogique industrielle ESTF- G.Thermique

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1 Chapitre 5 Stabilité, Rapidité, Précisio et Réglage Stabilité. Défiitio Coditio de stabilité. Critères de stabilité.. Critères algébriques.. Critère graphique ou de revers das le pla de Nyquist Rapidité 3 Précisio 3. Précisio dyamique 3. Précisio Statique 3.. Ecart de positio ou erreur statique dû à u échelo de cosige e l absece de perturbatio. 3.. Ecart de positio ou erreur statique e présece d ue perturbatio : rejet de perturbatio 3..3 Ecart de vitesse et d accélératio 4 Réglage 4. Régulateur idustriel 4.. Régulateur PID 4.. Ses d actio 4..3 Avatages et icovéiets des actios P, I et D

2 4. Méthodes de réglage expérimetales 4.. Méthodes e boucle ouverte 4.. Méthodes e boucle fermée 4.3 Réglage das le domaie fréquetielle 4.3. Choix de l algorithme de cotrôle ou loi de commade 4.3. Détermiatio algébrique du réglage Détermiatio graphique du réglage 4.4 Régulatio TOR

3 Stabilité. Défiitio coditio de stabilité Défiitio U procédé asservi ou o est stable si à ue variatio borée du sigal d etrée correspod ue variatio borée du sigal de sortie. Ue variatio d u sigal est dite borée lorsqu elle est costate e régime permaet. Coditio de stabilité Cosidéros u procédé e boucle fermée à retour uitaire de foctio de trasfert réglate H(s) et perturbatrice L(s) (déjà vu au chapitre ). 3

4 Avec : H(s) : FT réglate L(s) : FT perturbatrice E(s) Y c (s) % ou ma ou volts % ou ma ou volts H R (s) U(s) % ou ma ou volts H (s) Perturbatio % ou ma ou volts L(s) P(s) % ou ma ou volts Y(s),%, % ou ma ou volts Avec : FTBF(s) Y(s) FTBF(s).Yc (s) LBF(s)P(s) FTBO(s) FTBO(s) ; L(s) LBF(s) FTBO(s) Et FTBO(s) H R (s).h(s) ; 4

5 O costate que les deux foctios de trasfert FTBF(s) et LBF(s) ot les mêmes déomiateurs et par coséquet les mêmes pôles. Nous avos vu au chapitre 3 que la répose idicielle e régime trasitoire d u procédé du secod ordre déped des pôles de sa foctio de trasfert : pour z >, les pôles sot à partie réelle égative et la répose temporelle est covergete c estàdire stable. Lorsque les pôles sot à partie positive (z < ), la répose est divergete c estàdire istable et pour z les pôles sot imagiaires cojugués purs ( ± w o j)et das ce cas la répose du système est oscillate. 5

6 La gééralisatio à u système ou procédé quelcoque coduit à la défiitio suivate : U système dyamique liéaire cotiu et ivariat est stable si et seulemet si les pôles de sa foctio de trasfert sot à parties réelles strictemet égatives. Or les pôles d u procédé e BF sot les zéros de l équatio caractéristique FTBO(s). Doc la défiitio de la stabilité d u système asservi ou e BF s éoce : U procédé e BF à retour uitaire est stable si so équatio caractéristique FTBO(s) e possède que des zéros à partie réelle égative. 6

7 Poit critique de stabilité (,) Lorsque u procédé asservi (e BF) etre e oscillatios (sigal de sortie siusoïdal) pour ue variatio d etrée borée ou même ulle, le procédé est à la limite de stabilité ( l u des pôles ou deux pôles cojugués imagiaires purs s ± jw c devieet pôles de sa FTBF ou zéros de so équatio caractéristique FTBF(s). A oter que l axe imagiaire est la frotière etre le pla gauche des pôles à parties réelle égative et le pla droit des pôles à parties réelle positive). Das ce cas w c, est la pulsatio d oscillatio. La résolutio de l équatio caractéristique permet d obteir les coditios limites de stabilité (gai critique de boucle c ) : FTBO(s jω ) Þ FTBO(jωc ) et Arg(FTBO(jωc )) c π 7

8 Das le pla de Nyquist, le poit sigulier de module et d argumet p est appelé poit critique de stabilité.. Critères de stabilité.. Critères algébriques Coditio a) Méthode de résolutio : d'amplitude Coditio de phase : : FTBO(jω Arg(FTBO(jω c ) )) π c O détermie la pulsatio w c à partir de la coditio de phase. O calcule le gai critique c à l aide de w c et de la coditio d amplitude. Le système e BF est stable si pour w w c o a FTBO(jω c) p Le système e BF est istable si pour w w c o a FTBO(j ω c ) f 8

9 Exemple 4.: FTBO(s) H R (s).h(s) R. ( Ts) 3 R ( Ts) 3 FTBO( jω soit et c Arg(FTBO( jω das () Þ ) ( T 8 R R H ω R c c ( jω ) 3 c ).H( jω c () )) 3arcta( ω ) Þ ( Tjω ( coditio limite de stabilité) c R c T) π Þ ω ) c 3 T 3 Doc pour que le système soit stable, il faut impérativemet que le gai du régulateur R soit strictemet iférieur à RC 8 9

10 b) Critère de Routh Le critère de Routh permet de détermier le ombre de racies d u polyôme et doc les pôles de la FTBO ou de la FTBF ayat leurs parties réelles positives, sas calculer ces racies ou ces pôles. Critère : soit D ( s ) a s a s... a s a le polyôme caractéristique (déomiateur) de la FT d u procédé ou système asservi ou o. Si l u des coefficiets a i est ul, le système est istable. Si tous les coefficiets a i sot différets de zéro, il suffit qu ils e soiet pas tous de même sige pour coclure à l istabilité. Si tous les coefficiets a i sot de même sige, l exame de la première coloe du tableau de Routh permet de coclure à la stabilité du système.

11 Tableau de Routh : ( s ) : a ( (s (s s... 3 (s) () ) ) ) : : : : : a b c... r s 3 a a b c a a b a a a Coloe des pivots Où les liges 3 à sot calculées par :

12 ... ; ; ; b a b b a c b a b b a c a a a a a b a a a a a b a a a a a b s : () r : (s) c c : ) (s... b b b : ) (s... a a a a : ) s ( a... a a a a : ) s ( Le ombre de racies ayat leurs parties réelles positives est égal au ombre de chagemet de sige das la première coloe de cette matrice (coloe des pivots). coloe des pivots

13 Exemple 4. : H(s) N(s) D(s) avec : () D(s) s 3 3s () D(s) s 3 s 3s ; (3) D(s) s 4 s 3 5s s 4 (4) D(s) s 4 s 3 5s 6s 4 ; (5) D(s) s 4 s 3 5s 4s 4 (6) D(s) s 4 s 3 s s () est istable car le déomiateur e cotiet pas le terme a s. () est istable car so déomiateur cotiet u coefficiet (a ) de sige opposé aux autres coefficiets. 3

14 (3) D(s) s 4 s 3 5s s 4 ; ( s ( s (s 3 4 ) ) ) (s ) () : : : : : 3 / Il y a pas de chagemet de sige das la coloe des pivots, doc il y a pas de racie à partie réelle positive. (4) D(s) s 4 s 3 5s 6s 4 ( s ( s (s 3 4 ) ) ) (s ) () : : : : : Il deux chagemets de sige das la coloe des pivots, doc il y a deux racies à parties réelles positives. (les zéros sot :.86 ±.444j et.686 ±.637j ). 4

15 (5) D(s) s 4 s 3 5s 4s 4 ( ( s s 3 4 ) ) : : La lige 4 est ulle : le polyôme correspodat est s 4, o cotiue avec sa dérivée s. (s ) : 4 (s ) : 4 (s ) : (s) : () :? () : 4 Il y a pas de chagemet de sige das la coloe des pivots, mais il y a deux racies simples imagiaires pures (s ± j), solutios de (s 4 ). 5

16 (6) D(s) s 4 s 3 s s ( s ( s (s 3 4 ) ) ) : : : La coloe des pivots cotiet u. Ce qui e permet pas de poursuivre. le système est istable. (s ) :?? () :? Les zéros sot :.7±.366j ;.67 ±.446j 6

17 .. Critère graphique ou de revers das le pla de Nyquist Le déomiateur ou le polyôme caractéristique de la FTBF s obtiet e écrivat FTBO(s) ou FTBO(s). Le poit est appelé poit critique. Le critère du revers éoce que le système est stable e boucle fermée si : la FTBO(s) a pas de pôle à partie réelle strictemet positive ; e parcourat le lieu de Niquist de la FTBO, das le ses des v croissats, o laisse le poit critique (,) sur la gauche. 7

18 Istable Oscillateur Im(FTBO(jv)) Stable O A p M j j Re(FTBO(jv)) A A v croissate Poit critique 8

19 Le vecteur OA représete le complexe FTBO(jv) et j so argumet. E pratique, il e faut pas trop s approcher du poit critique (,). Pour cela, o défii les marges de sécurité : marge du gai Mg et marge de phase Mj. Soit le poit A, s il existe, tel que OA FTBO( jω ) et le poit Ap tel que Arg( FTBO(jvp)) 8. La marge de phase est défiie par l agle orieté Mj (OA π, OA ), positioat le poit A par rapport au poit critique et doit être positive. Au poit Ap o doit avoir OA p π et doc.log(oap)< db, soit ecore.log(oap)> db. La marge de gai est défiie, e db, par Mg.log(OAp) et doit être positive. E pratique o fixe souvet Mj 45 et Mg 6dB à db. 9

20 Istable Mg < FTBO(jv) e db Oscillateur M j < Stable db 7 8 M j > Mg > Critère de revers das le plas de Black Oscillateur Istable Mg < Stable db w w w Mg > 8 M j > Critère de revers das le pla de Bode M j <

21 Rapidité Le critère stadard de rapidité utilisé est le temps de répose à 5% de la sortie lorsque le système est soumis à ue etrée e échelo. Pour u système bouclé c est la FTBF(s) qu il faut cosidérer, l etrée est la cosige y c (t) et la sortie est la mesure y(t) : gradeur réglée. La répose à ue etrée e échelo d u système dyamique liéaire stable se présete e gééral sous la forme suivate : y (t) 5% de Dy c y c Dy c y c (t) t M y (t) Dy c 5% de Dy c t M : est le temps de motée. y c t e t 5%

22 Le système régulé est d autat plus rapide que le temps de répose à 5% est court. Bade passate et rapidité Das le pla de Bode, o sait (chapitre 3) que la pulsatio de coupure ω c (bade passate) à 3dB d u système de premier ordre est : et celle d u secod ordre est : Avec t 5% f ( ζ ω» 3 ω c ω 3dB T t5% ωc ω3db ω ζ ( ζ ) ) Doc o voit clairemet, pour u premier ordre, si ω c augmete ( bade passate augmete) t 5% dimiue. De même pour le secod ordre et pour u ζ doé, si ω c augmete ( bade passate augmete) ω augmete aussi et par coséquet t 5% dimiue.

23 E coclusio, ue augmetatio de la bade passate provoque, e gééral, ue augmetatio de la rapidité. U système du premier ordre de foctio de trasfert e boucle ouverte : FTBO (s) Y(s) E(s) Ts placé das ue boucle de régulatio à retour uitaire aura comme foctio de trasfert e boucle fermée : Y(s) FTBO(s) FTBF (s) Yc (s) FTBO(s) Ts Ts Doc la FTBF(s) est aussi u premier ordre dot le gai et la pulsatio de coupure à 3dB sot respectivemet : 3

24 ω (3dB)(BF) Et ωc ω(3db)(bf) T plus grade que celle de la FTBO ( /T) et augmete si o augmete E plus la fréquece de coupure à db de la FTBO(s) obteue e résolvat ½FTBO(jω)½ est (db )( BO ) O peut costater pour suffisammet grad >> o a : ω» ( 3dB)(BF) ω(db)(bo) D ue maière géérale (approximatio assez grossière). ω T 4

25 Pour les systèmes physiquemet réalisables, la bade passate à 3dB de la FTBF peut être approximée par la bade passate à db de la FTBO. C'estàdire u système dot la FTBO à ue large bade passate à db sera doc rapide e boucle fermée. Si o augmete le gai de la FTBO o augmete la rapidité du système e boucle fermée. Or ue augmetatio importate de ce gai peut provoquer ue istabilité du système bouclé (voir réglage). 5

26 U système du secod ordre de foctio de trasfert e boucle ouverte : FTBO(s) Y(s) E(s) a s b a s a s ω ζω s ω. ζ ω s s ω placé das ue boucle de régulatio à retour uitaire aura comme foctio de trasfert e boucle fermée : Y(s) FTBO(s) FTBF(s) Y (s) FTBO(s) ζ. ω BF BF c BF s s ω BF. ζ ω s s ω ζ. s ( ) ω s ( ) ω 6

27 Cette foctio de trasfert possède ue forme similaire à celle de la FTBO avec : BF, ω BF ω ( ), ζ BF ζ ( ) Das ce cas o motre, si >>, que : e plus de w (db)(bo) w BF, si.< z BF <.8 alors t MBF (temps de moté e boucle fermée est 3 t MBF» ω (db)(bo) Mφ ζ BF» où Mφ est la marge de phase 7

28 3 Précisio y (t) y c Dy c D : précisio dyamique Dy c y c (t) y (t) e : précisio statique y c Procédé asservi : Répose à u échelo de cosige 8

29 y (t) D : précisio dyamique e : précisio statique y y c p(t) : gradeur perturbatrice Procédé régulé : Répose à u échelo de perturbatio 9

30 3. Précisio dyamique La précisio dyamique est caractérisée par le dépassemet D lors du régime trasitoire de la répose de la gradeur réglée suite à u échelo de cosige ou de perturbatio. Cette précisio est liée directemet au degré de stabilité du procédé ; c est u critère de performace qui peut être défii par les marges de gai et de phase. 3

31 3. Précisio Statique Cosidéros le procédé asservi suivat : Nous avos : FTBO(s) H R (s).h(s) Y(s) FTBF(s).Yc (s) LBF(s)P(s) Perturbatio L(s) P(s) Y c (s) E(s) H R (s) U(s) H (s) Y(s Avec : FTBF(s) FTBO(s) FTBO(s) ; LBF(s) L(s) FTBO(s) 3

32 Soit e(t) l écart etre la cosige y c (t) et la mesure de la gradeur réglée y(t). O a aussi E(t) Y c (t) Y(t). Doc l écart résiduel ou écart statique, e régime permaet est : ε lim E ( t ) lim t ¾¾ s ¾¾ se (s ) Or E(s) Y Y c c (s) Y(s) (s)( FTBF(s)) soit E(s) Y c FTBO(s) (s) (FTBF(s).Y L(s) P(s) FTBO(s) Y c c (s) L(s) (s) FTBO(s) P(s) L(s) FTBO(s) P(s)) 3

33 3.. Ecart de positio ou erreur statique dû à u échelo de cosige e l absece de perturbatio. O suppose que la perturbatio est ulle (P(s)), doc : E(s) Y (s) Y (s) Y(s) c é s. Y (s ) ù c ε lim c ê ú FTBO(s) ë FTBO(s) û O pose : FTBO(s) α est la s calsse.n(s) α.d(s) de avec la s ¾¾ N() FTBO et D () D où: ε lim s ¾¾ é s.y ê c(s) ê FTBO(s) ë s.y α c(s)s.d(s).n(s) s α.d(s) lim s ¾¾ Y α ù c(s).s ú. s α. ú û 33

34 Pour u chagemet de cosige e échelo a (etrée Y c (t)a), Y c (s) a/s et o déduit alors : Si la FTBO est de classe, a positio est. ε p a, l écart statique ou de qui ted vers si o augmete Si la FTBO(s) est de classe supérieure ou égale à, a, l écart de positio est ul e p et la précisio du système e BF est de %. E coclusio : Pour avoir u écart de positio ou erreur statique ul e boucle fermée, il faut au mois u itégrateur (a ) das la FTBO. Si la FTBO a pas d itégrateur, l écart de positio ou l erreur statique décroit (précisio augmete) si le gai de la FTBO augmete. 34

35 3.. Ecart de positio ou erreur statique e présece d ue perturbatio : rejet de perturbatio Si o suppose Y c (t) (pas de chagemet de cosige) mais la perturbatio a varie d u échelo b P(t), d où P(s)b/s. Doc : L(s) L(s) b soit E(s) P(s) ( ) FTBO(s) FTBO(s) s O pose : FTBO (s) ; α s.n(s).d(s) L(s) s L α L avec N () ; N L () ; D() ; D L (). Doc :.N.D L L (s) (s) ε p lim s ¾¾ lim s ¾¾ L é L (s)b ê ( ê FTBO(s) ë.s (α α L ) b. s α ) (α s α L (.N(s) ).D(s) L.N s α.d(s))d L L (s)b (s) ù ú ú û 35

36 E coclusio : b. Si a a L, l écart de positio ou erreur statique est ε L p ted.. vers si est grad. b. Si a a L ¹ alors ε L p Si a > a L La FTBO(s) cotiet plus d itégrateurs que L(s), l erreur statique est ul e et la précisio du système e BF est de %. Si a < a L La FTBO(s) cotiet mois d itégrateurs que L(s), l erreur statique est ifii Ecart de vitesse et d accélératio Le sigal d etrée est ue rampe Y c (t) a t ou P(t) bt. doc : Y c (s) a/s ou P(s) b/s. Das ce cas l écart e est appelé l écart de vitesse que l o ote e v. 36

37 Le sigal d etrée est ue Y c (t) a t ou P(t) bt. doc : Y c (s) a/s 3 ou P(s) b/s 3. Das ce cas l écart e est appelé l écart d accélératio que l o ote e a. L écart de positio, de vitesse et d accélératio sot résumés das le tableau suivat : 37

38 e al e ac e vl e vc e pl e pc e a e v e p a a L a.. b. L b. L a a b. L b. L a a b. L b. L a b. L b. L b. L

39 4 Réglage Le réglage d ue boucle de régulatio (choix de structure et calcul des paramètres du régulateur ) doit permettre de répodre au plus grad ombre de cotraite exigées par le cahier des charges du procédé à réguler. De ombreuses méthodes de réglage d ue boucle sot possible selo les besois e régulatio ou e asservissemet. Les exigeces du cahier des charges sot décrites soit das le domaie temporel, soit das le domaie fréquetiel. Le critère de réglage est alors fixé à partir soit de la forme de la répose temporelle souhaitée pour u type d etrée ( par exemple u échelo), soit à partir des marges de stabilité ( marge de gai et de phase, facteur de résoace). 39

40 Le critère de précisio est, bie etedu, itrisèquemet lié à celui du réglage. Le bo réglage est celui qui répodra au meilleur compromis global du cahier des charges. 4. Le régulateur idustriel Le régulateur idustriel est u appareil qui a pour rôle essetiel de cotrôler le procédé, c estàdire de garatir les comportemets dyamique et statique du procédé coformes au cahier des charges défii. Ceci est réalisé par réglage et adaptatio des paramètres de sa foctio de trasfert au procédé à cotrôler. 4

41 y c Comparateur e(t) Correcteur Algorithme de cotrôle : u(t)f(y c y) u y Régulateur Cosige e (%), ma ou volts Mesure (%), ma ou volts Correctio ou Commade e (%), ma, volts Schéma foctioel d u régulateur 4

42 Il faut distiguer deux aspects du régulateur idustriel : sa foctio mathématique ou loi de commade ou ecore algorithme de cotrôle; les foctios pratiques d utilisatio : u sigal ormalisé e etrée et e sortie visualisables e % e gééral mais de ature: 4mA, V, ; ue cosige réglable et visualisable ; u réglage des paramètres de l algorithme de cotrôle et du ses d actio; des sélecteurs de commade automatiquemauelle, de cosige itere ou extere ; des réglages d alarme basse et d alarme haute de la mesure ou de l écart mesurecosige; des limiteurs des valeurs ou des vitesses de variatio de la cosige et de la commade. 4

43 4.. Régulateur PID Il existe trois types d algorithme PID, le PID série, le PID parallèle et le PID mixte. Les termes série, parallèle et mixte traduiset l orgaisatio itere des modules de calcul du régulateur et caractériset la loi de commade. P R : est l actio proportioelle, sur la plupart des régulateurs, o règle la Bade Proportioelle au lieu de régler le gai du régulateur : BP (%) R I /T i ( mi e gééral ) : est l actio itégrale D T d ( s e gééral ) : est l actio dérivée 43

44 PID parallèle : ± (y c y) P I D u o u Valeur cetrale : c est la commade que l o evoie à l actioeur lorsque toutes les gradeurs physiques sot à leur valeur omiale. E particulier y y c et les gradeurs perturbates à leur valeur ormale. C est la commade omiale. ì u u ± í R.(y c y). T ò î i e(t) (y y) Þ E(t) Y (t) U(t) U(s) E (s ) u c u R T s i T d s c (y Y(t) c y).dt T d. d(y c dt y) ü ý þ 44

45 PID parallèle : ± (y c y) P I D u o u Ses d actio : Détermie le ses d évolutio de la commade. Direct () : u augmete quad y passe au dessus de y c Iverse () : u dimiue quad y passe au dessous de y c ì u u ± í R.(y c y). T ò î i e(t) (y y) Þ E(t) Y (t) U(t) U(s) E (s ) u c u R T s i T d s c (y Y(t) c y).dt T d. d(y c dt y) ü ý þ 45

46 PID série : ± (y c y) P I D u u ì (T T ) u u. i d.(y y) R ± í R c. y Ti T ò î i e(t) (y y) Þ E(t) Y (t) Y(t) U(t) U(s) E(s) c u u R ( T s i )( T c d s) c y).dt R.T d d(y. c dt y) ü ý þ 46

47 PID mixte : ± (y c y) I u P u D d(y u u.(y y) R. (y y).dt.t. c ± í ì R c T ò c R d î i dt e(t) (y y) Þ E(t) Y (t) Y(t) FT : c U(s) E(s) R ( T s i c T d s) y) ü ý þ 47

48 E pratique l actio dérivée (T d.s) est irréalisable physiquemet, o la remplace par : Où est u filtre d ordre, il itroduit u filtrage sur l actio dérivée (filtre passebas). Il affecte pas les performaces du régulateur car est petit de l ordre de.5 à.. Doc pour u régulateur PD série, ous auros : T N d H s R (s) U(s) E(s) R N T s ( d T d N ) s T d s T d N s 48

49 Le réglage de la costate de filtrage T d /N permet d amortir et de limiter la sortie du régulateur (voir figure). Le coefficiet N correspod au gai du module dérivé filtrée. E d autres termes, le bruit de mesure ou le chagemet de cosige sot amplifiés au plus par u coefficiet N. u T d s t t t u t t T N d T d N ( T d s ) y T d d(tt ) N y(t) t t Ne t N Td t 49

50 4.. Ses d actio Soit u régulateur proportioel (P) : u u ± (y R c y) Ce régulateur est à actio directe si la mesure et la commade variet das le même ses soit : u u (y y) u R c R (yy c ) Ce régulateur est à actio iverse si la mesure et la commade variet e ses iverse soit : u u (y y) u R c R (yy c ) 5

51 Si la vae est FPMA ou NF Actio Proportioelle seule Qa LIC u u ± R (y y Le ses doit être Iverse pour que le iveau reviet à sa valeur iitiale c ) h Qs Qs dimiue Niveau mote Exemple de réglage du ses d actio 5 Diapo 5

52 Si la vae est OPMA ou NO Actio Proportioelle seule Qa LIC u u ± R (y y Le ses doit être directe pour que le iveau reviet à sa valeur iitiale c ) h Qs Qs dimiue Niveau mote Exemple de réglage du ses d actio 5 Diapo 5

53 Actio Proportioelle seule u u ± (y R c y) Qa E mauel, l opérateur règle la commade de la vae pour que le iveau se stabilise à LIC la cosige. h Quad le iveau est stable à sa valeur omiale, alors la commade evoyée à la vae est la valeur cetrale. Qs O fige Qs à sa valeur omiale Exemple de réglage de la valeur cetrale 53 Diapo 53

54 Le ses d actio est fodametal pour la sécurité Il est e gééral verrouillé physiquemet sur les régulateurs. Le ses d actio se détermie théoriquemet et il doit être JUSTE. 54

55 4..3 Avatages et icovéiets des actios P, I et D Avatages et limites de l actio proportioelle E augmetat le gai R cela provoque l augmetatio du gai de la FTBO car FTBO(s) H R (s).h(s) R H(s) et o obtiet: u système plus précis (l écart statique e dimiue) ; u système plus rapide (augmetatio de la bade passate) système mois stable : e effet par augmetatio du gai de la FTBO, cela etraie u goflemet du Digramme de Niquist et ue traslatio vers le haut du Digramme de Black (Figure). O s approchera du poit critique doc o obtiet mois de stabilité. 55

56 56

57 Avatages et icovéiets de l actio itégrale L actio itégrale permet de rameer la mesure à sa valeur de cosige et doc de supprimer l écart résiduel ou l erreur statique. L icovéiet de cette actio est qu elle est uisible visàvis de la marge de phase. E effet, le déphasage itroduit par le correcteur PI (série) par exemple est qui tedra vers 9 lorsque Ti est petit. Ce déphasage supplémetaire dimiuera la marge de phase Mj et doc le poit A sera proche du poit critique (,) et ceci dimiuera la stabilité du système e BF. 57

58 Pour limiter au maximum cet icovéiet o fixe ue marge de phase égale à 45, mais la pulsatio de coupure à db de la FTBO(s)H R (s).h(s) corrigé, se trouve dimiuée ce qui redra le système e BF mois rapide. Das le pla de Balck (Figure), o costate ue motée de tous les poits et déplacemet à gauche (plus importat pour les faibles fréqueces) ce qui implique ue dimiutio de la robustesse (dimiutio de la marge de phase et de la marge de gai). 58

59 Déplacemet de H(s) F.T d u système par l actio itégrale (PI avec R ) das le pla de Black. 59

60 Avatages et icovéiets de l actio dérivée L'actio dérivée costitue u accélérateur de correctio. Cotrairemet à l actio itégrale, le déphasage itroduit par l actio dérivée seule : T s d» T T d d s N est φ» Arc ta g ( ω Td ) qui varie de à 9 quad ω varie de à doc toujours positif. Ce déphasage supplémetaire et positif est favorable pour augmeter la marge de phase Mj et doc de s éloiger suffisammet du poit critique (,) das le pla de Nyquist. s 6

61 Cet avatage permet aussi d obteir ue pulsatio de coupure à db de la FTBO(s)H R (s).h(s) corrigé plus grade que celle la FTBO o corrigé et doc d augmetatio la bade passate et par suite la rapidité du système e BF. L icovéiet de l actio dérivée et que le terme présete u gai e db à haute fréquece T d très importat doc tous les bruits parasites émis à hautes fréqueces et qui accompaget souvet le sigal de mesure, seraiet très largemet amplifiés log( (T d s ω ) ) 6

62 Déplacemet de H(s) F.T d u système par l actio l actio dérivée (PD avec R ) das le pla de Black. 6

63 Das le pla de Black (Figure) o ote : Motée de tous les poits doc dimiutio de la robustesse (dimiutio de la marge de gai). Déplacemet à droite plus importat pour les fortes fréqueces doc augmetatio de la robustesse (augmetatio de la marge de phase). Ces deux effets cotraires au iveau de la stabilité impliquet u choix judicieux du temps d actio dérivée. 63

64 4. Méthodes de réglage expérimetales 4.. Méthodes e boucle ouverte Approximatio de ZieglerNichols C'est la méthode la plus aciee (94). Elle a pour objet la détermiatio du réglage d'u régulateur PID à partir de la répose à u échelo du procédé. Les paramètres du régulateur ot été détermiés de maière à miimiser le critère de qualité IAE. Soit J ò e(t) dt avec e(t) y c (t) y(t). L idée cosiste à approximer la répose du procédé à u échelo uitaire, que l o suppose apériodique, par u τs e modèle très simple de FT réglate : H(s) Ts 64

65 O dispose de la répose Y(t) (variatio de la sortie) suite à u échelo d etrée U(t)Du. Sas poit d iflexio. Dy Pete : t T Dy. Du a T T Avec R T T. Du(%/s) R. Du 65

66 O dispose de la répose Y(t) (variatio de la sortie) suite à u échelo d etrée U(t)Du. Avec poit d iflexio. Y(t) Dy Du Poit d iflexio I Pete : Dy. Du a T T Doc R T T. Du(%/s) R. Du t T t 66

67 Les valeurs des paramètres sot doées sur le tableau cidessous. Le PID proposé est u PID mixte. Ce réglage permet d obteir ue répose e BF satisfaisate caractérisé par u rapport etre deux dépassemets (positifs) et successives de.5. Type régulateur de Gai R T i T d Proportioel P R.τ PI.9 R.τ 3.3t PID.7 R.τ.t.5t 67

68 A.5 A.5 A y c A Dy c y c Cas d ue perturbatio Cas d u chagemet de cosige Critère de performace pour ZieglerNichols 68

69 Cette approche est aussi valable pour u processus R e itégrateur. Le modèle recherché est de la forme : H(s) s Répose système Y(t) Dy a et R Dt t t τs Modèle itégrateur retard Dy Dt Dy (s Courbes réelle approchée par u itégrateur retardé ) 69

70 Cette approche est itéressate et facile à mettre e œuvre : ue simple répose idicielle suffit, le calcul des paramètres est aisé et e écessite pas de tâtoemets. Exemple (échageur de chaleur ): Le réglage sera : Type de régulateur Proportioel P PI H(s).8 Gai R e s 54.3s T i 3.3.(7.)4s R T T d (s ) PID (7.)4s.5(7.)3.6s 7

71 Méthode de Chie Hroes Reswick Les essais s effectuet e BO, mais les auteurs distiguet le cas où le système travaille e régulatio ou e poursuite. Le tableau suivat doe le réglage proposé pour ue répose e BF à amortissemet z.7 (temps de répose miimum). Le PID proposé est u PID mixte, le plus utilisé. Régulateur P PI PID R R régulatio R.6 R.τ.95 R.τ.3 R.τ p,3 ; T i 4t T i,4t ; T d,4t Poursuite R R R.35 R.τ.6 R.τ.3 R.τ ; T i. T T i T ; ; T d,5t 7

72 4.. Méthodes e boucle fermée Das u certai ombre de cas, il est impossible de laisser le procédé évoluer e BO. Pour ces systèmes, il est impossible de détermier le modèle e BO du système. O est ameé à régler le régulateur e BF. Réglage par essai erreur Le réglage e lige peut se faire de faço empirique e utilisat ue procédure qu o peut résumer aisi : Le système est e régime omial (cosigemesure), Mettre le régulateur e mode mauel. Elever l actio itégrale et dérivée (mettre T i au maximum T d ). 3 Mettre le gai à ue faible valeur. 7

73 4 Mettre le régulateur e mode automatique. 5 Faire ue petite variatio de cosige et observer la répose de la variable cotrôlée. Comme le gai est petit, la répose sera très amortie. 6 Doubler le gai et refaire ue variatio de cosige. Cotiuer aisi de suite jusqu'à ce que la répose deviee oscillate. Cette valeur du gai est otée RC. 7 Mettre le gai RC /. 8 Faire la même opératio e réduisat T i par u facteur de, jusqu'à obteir ue répose oscillate pour ue petite variatio de cosige. 9 Mettre T i au double de cette valeur. Procéder de même pour la costate de dérivée : augmeter Td jusqu à obteir ue répose oscillate, puis mettre Td à /3 de cette valeur. 73

74 Approximatio de Ziegler et Nichols Lorsqu'il 'est pas possible d'étudier le système e boucle ouverte, o réalise u essai de pompage. Pour cela, o fait T i ; T d et o augmete R jusqu'à sa valeur critique RC, qui a ameé le système e limite de stabilité ( comme la méthode précédete). O mesure la période des oscillatios T osc. y(t) T osc y c t 74

75 Ziegler et Nichols proposet alors les valeurs de réglage du tableau suivat : P PI PI parallèle PID série PID parallèle PID mixte RC T i T d T i maxi ou aulée RC RC RC RC RC T osc..t osc RC T osc 4.85T RC T osc RC T osc osc RC T osc T osc 8 75

76 Exemple : Pour le même procédé que précédemmet c estàdire l échageur de chaleur, ous avos trouvé RC 3.8 et T osc 8.7s. D où le réglage pour u régulateur mixte : Type de régulateur Gai R T i T d Proportioel P 3.8 PI (8.7)4s PID (mixte)

77 4.3 Réglage das le domaie fréquetielle L idée de base est de régler les paramètres du régulateur qui vot assurer ue stabilité suffisate au système asservi ou régulé. E imposat, das le domaie fréquetiel, ue marge de gai ou ue marge de phase du système asservi, l allure de la répose temporelle se trouve égalemet défiie. Pour cela il faut disposer du la FT réglate H(s) puis fixer l expressio de celle du correcteur ou régulateur H R (s). Doc dispose e fi de la FTBO(s)H R (s).h(s). Le calcul des paramètres du régulateur ( de HR(s)) peut alors se faire soit par calcul soit graphiquemet. 77

78 4.3. Choix de l algorithme de cotrôle ou loi de commade O cosidère u régulateur PID de structure série et les deux modèles de Broïda (système stable) et itégrateur ( système istable), modèles les plus utilisés idustriellemet : H (s) τs e Ts, τs k e H (s) s E foctio des costates de la foctio de trasfert du procédé, l échelle de choix de type de régulatio à mettre e place est préseté cijoit : 78

79 Stable à répose proportioelle : 5 PID PI P T Leteur τ Iertie Zoe où la dyamique est très ierte. La boucle fermée seule a atteit sa limite : Boucles multiples Correcteurs umériques PID PI P k. t,5,,,5 Istable à répose itégrale : Zoe où la dyamique est très lete. Du P seul avec u grad Gai ou du TOR suffiset. 79 Diapo 79

80 4.3. Détermiatio algébrique du réglage O défiit ue marge de gai ou ue marge de phase, et par coséquet u coefficiet d amortissemet z pour la chaie fermée si o l assimile à celle d u secod ordre ( Pôles domiats). Si o fixe ue marge de gai Mg, o écrit deux équatios : FTBO(jw p ) db Mg ou FTBO(jw p ) (Mg/) et Arg( FTBO(jwv p )) 8 Si o fixe ue marge de phase Mj, o écrit deux équatios : FTBO(jw ) db ou FTBO(jw ) et Arg( FTBO(jw )) Mj 8. 8

81 Réglage de Broïda Le critère fixe ue marge de gai Mg 6dB soit FTBO(jw p ) (6/).5. Le régulateur employé est de structure série : H U(s) R (s ) R ( )( E (s ) T s i T d s) Supposos par exemple que le rapport coduit à choisir l algorithme PI. Soit : T τ ous a H U(s) R (s ) R ( E (s ) T i s ) 8

82 La FT réglate est : H (s) e τs Ts D où: FTBO (s) e τs Ts R ( T s i ) soit : Et doc : FTBO( jω ω Arg(FTBO( jω FTBO (s) π ) ω π R ( T T ω i R i π ω ( Tis) T s π π )) arcta(ti ω i ( T π τs e Ts ω π.5 ) arcta(tω π ) τω π π 8

83 Comme il y a trois icoues R, T i et w p pour deux équatios, o choisit de régler T i T afi de compeser le pôle de la foctio de trasfert réglate et bie sûr de supprimer ue icoue. Les équatios devieet : FTBO(jω ω π Arg(FTBO( jω O obtiet : ) ω π R ω Tω π π )) π R π 4 π τ.5 τω T τ π π 83

84 Le réglage PI de Broïda est doc : T i R T.78 T τ Supposos par exemple que le rapport coduit à choisir l algorithme PID. Soit : T τ ous a H U(s) R (s ) R ( E ( s ) T i s ) 84

85 La FT réglate est : D où: soit : Et doc : FTBO FTBO ( jω FTBO (s) Arg(FTBO ( jω arcta( Tω π ω (s) π ) ω H (s) π ) τω π )) R e R π τs Ts e ( Tis) T s π τs Ts i ( T T i ω i π R ( T s i ( Tds)e Ts ω π arcta( T i ( T ( T ω π ) )( τs d ω ω π π T arcta( T d.5 d s) ω π ) 85

86 Comme il y a 4 icoues R, T i T d et w p pour deux équatios, la méthode choisit de régler T i T afi de compeser le pôle de la foctio de trasfert réglate puis elle précoise que l actio dérivée etraîe ue avace de phase de p/4 pour la pulsatio w p, soit Arcta(T d w p ) p/4 Þ T d w p Les équatios devieet alors : FTBO(jω ω π Arg(FTBO(jω ) ω π R ( T Tω π π )) π 4 d ω π τω π.5 π O obtiet : 86

87 ω R π.5.3. π 4 3 π 4 τ T τ ; T d 4 τ 3 π Le réglage PID série de Broïda est doc : T d R.83.4 τ T τ ; T i T 87

88 Remarque : E pratique o règle ue valeur T d légèremet plus petite que.4 t Les tableaus suivats doe les différets réglages de Broïda pour les autres structures de régulateur et pour les deux types de procédés stable et istable. 88

89 Stable à répose proportioelle : R P PI PID Série Mixte Paral..78.T.τ Série Mixte Paral. Série Paral. Mixte.78.T.τ.78.T.τ.83.T.τ.4.. T τ.4.. T τ T i T.τ.78 T.τ.75 T,4.τ T d,4.t,35. T T.τ,5. T τ 89

90 Procédé istable à répose itégrale : P PI PID Série Série Mixte Paral. Série Mixte Paral. Paral. Mixte R,8 k. t,8 k. t,8 k. t,85 k.t,9 k. t,9 k. t T i 5.t k. t,5 4,8.t k. t,5 5,.t T d,4.t,35 k,4.t 9 Diapo 9

91 4.3.3 Détermiatio graphique du réglage 9

92 4.4 Régulatio Tout ou Rie (TOR) La plus simple des régulatios est la régulatio par tout ou rie. Elle est utilisée quad la dyamique du procédé est très lete (grade costate du temps).c est ue régulatio discotiue. Sa réalisatio impose de se fixer ue limite iférieure et ue limite supérieur de la gradeur réglée. Lorsque la mesure atteit la limite iférieure, l'actioeur, commadé par le régulateur TOR ou tout simplemet u relais, pred ue positio particulière (arrêt ou marche pour ue pompe, ouvert ou fermé pour ue vae). De faço aalogue, le fait d'atteidre la limite supérieure place l'actioeur das la positio cotraire. La mesure oscille doc etre ces deux valeurs extrêmes et sa variatio pred ue l'allure e dets de scie. Ce réglage simple, bo marché présete l'icovéiet d'être peu précis. 9

93 93

94 Ce type de régulatio est très utilisée pour la régulatio de température des systèmes thermique stables à grade iertie thermique et de faible puissace. Le régulateur ecleche % de la puissace de chauffe, puis la coupe (%) lorsque la cosige est atteite ou dépassée de quelques degrés. La chauffe est réeclechée lorsque l'o repasse de quelques degrés edessous de la cosige. Résultat : la température oscille autour de la cosige mais avec ue plus grade fourchette (écart). Cet écart déped de la gradeur de l'hystérésis choisi. Plus celuici est grad plus la fourchette est grade. Le système est mois précis. L'orgae de puissace et le régulateur commutet mois souvet. Plus celuici est petit plus la fourchette est petite. Le système est plus précis. L'orgae de puissace et le régulateur commutet plus souvet. 94

95 Ce système est tout à fait acceptable pour les systèmes thermiques stables de faible puissace ou de forte iertie thermique. Il e résulte des permutatios mois ombreuses du régulateur et de l'orgae de puissace mais le système est mois précis. 95