Partie 1 Automatique 1 et 2 (Asservissements Linéaires Continus)

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1 Réublique Algériee Démocratique et Poulaire Miistère de l'eseigemet Suérieur et de la Recherche Scietifique Uiversité Djillali Liabès Sidi Bel-Abbès Faculté de Techologie Déartemet d'electrotechique Partie Automatique et (Asservissemets Liéaires Cotius) Niveau : 3 ème Aée Licece ère Aée Master Parcours : Automatisme idustriel Derière mise à jour : Novembre 3 Préaré et eseigé ar : Prof. Mohammed-arim FELLAH Professeur de l'eseigemet Suérieur [email protected]

2 AVANT PROPOS Ce documet s'adresse aux étudiats de la formatio d'igéieur, de Licece et de Master das le cadre des rogrammes officiels. Mais bie etedu il eut être étudié ar tous ceux e er cycle, e ème cycle, ou même e ost-graduatio, qui désiret arofodir leurs coaissaces ou avoir u documet de base e matière d'asservissemet. La commade et l'iterrétatio du comortemet de rocédés idustriels ou de héomèes hysiques aturels fot artie des tâches qui icombet à l'igéieur. Ce derier est cofroté à ue réalité qu'il lui faudra domestiquer et/ou comredre our e tirer le meilleur arti. Au cetre de cette coaissace se trouve le cocet de système, cocet que l'o retrouve das u grad ombre de discilies et techiques : cotrôle de rocédé, techiques d'otimisatio, traitemet du sigal, filtrage, mathématique des équatios différetielles, etc. Das le cadre de ce cours, ous ous itéressos ricialemet à l'étude des "systèmes" à la fois cotius et liéaires, qui sot rerésetés sous forme de foctio de trasfert (rerésetatio extere, dite ecore de la "boîte oire") ; ces trois coditios volotairemet limitatives ermettet d'itroduire de faço simle les riciaux cocets de l'automatique. Ce texte costitue la trascritio fidèle d'u cours oral magistral traité au déartemet d'electrotechique, à l'uiversité de Sidi Bel-Abbès our les étudiats e formatio de Licece et Master (différets arcours). Le but recherché 'est doc as d'éuiser le sujet, mais d'essayer d'e dégager les idées essetielles, simlifiées, quad cela est écessaire, das u but didactique. E coséquece, l'accet est mis sur les exlicatios hysiques et les exemles, lutôt que sur les démostratios, mais celles-ci sot égalemet traitées e détail surtout lorsqu'elles sot idisesables à la boe comréhesio du résultat. Pr. FELLAH Mohammed-arim Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..)

3 Chaitre : INTRODUCTION AUX ASSERVISSEMENTS - - Itroductio à l automatique L'automatique est gééralemet défiie comme la sciece qui traite des esembles qui se suffiset à eux-mêmes et où l'itervetio humaie est limitée à l'alimetatio e éergie et e matière remière. L'objectif de l'automatique est de remlacer l'homme das la luart des tâches (tâches réétitives, éibles, dagereuses, tro récises, tro raides) qu'il réalise das tous les domaies sas itervetio humaie. Les systèmes automatiques ermettet doc : * de réaliser des oératios tro comlexes ou délicates e ouvat être cofiés à l'homme, * de se substituer à l'oérateur our des tâches réétitives, * d'accroître la récisio, * d'améliorer la stabilité d'u système et sa raidité. De tels disositifs se recotret fréquemmet das la vie courate, deuis les mécaismes biologiques du cors humai jusqu'aux usies etièremet automatisées. Ue telle sciece eglobe u grad ombre de discilies et, ar coséquet, u automaticie devrait être à la fois : * Mathématicie * Electricie * Mécaicie * Ecoomiste -. - Exemle Nous sommes etourés d'u grad ombre de systèmes automatiques, machie à laver, asceseur, distributeur de boisso, robot, suivi de trajectoire d u missile Classificatio Le domaie des alicatios de l'automatique est très vaste et varié, mais l'observatio de l'idustrie cotemoraie coduit à ue certaie classificatio qui se résume e deux grades familles selo les doées que traitet ces systèmes : * Les automatismes séquetiels * Les asservissemets Ces deux arties de l'automatique sot ettemet différetes, elles s'auiet sur des otios théoriques qui 'ot que de loitais raorts etre elles et les techiques qui ermettet de les réaliser sot, aussi, très différetes. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 3

4 -..a - Les automatismes séquetiels C'est la brache de l'automatique qui orgaise le déroulemet des différetes oératios relatives au foctioemet d'u esemble comlexe. U automatisme à séquece imose l'ordre das lequel les oératios se déroulet, s'assure que chaque oératio est bie termiée avat d'aborder la suivate, décide de la marche à suivre e cas d'icidets. Bie etedu, u automatisme séquetiel eut avoir à cotrôler des asservissemets et des régulateurs (voir -..b) armi les esembles qu'il gère. Ce tye d'automatisme est utilisé ar exemle das la mise e route et l'arrêt d'istallatios comlexes (cetrales automatiques), sur les machies outils et, e gééral, das resque toutes uités de roductio automatisées. Il faut oter égalemet que toutes les séqueces d'alarme et de sécurité idustrielle fot artie des alicatios de ce tye d'automatisme. Les automatismes sot des systèmes logiques qui e traitet que des doées logiques (/, vrai/faux, marche/arrêt,...). Ils utiliset les moyes de commutatio offerts ar l'électroique (circuit logique) et la mécaique (logique eumatique). Le calcul de ces automatismes imose de coaître l'algèbre de Boole et la théorie des circuits séquetiels. Ils sot classés e braches : * Systèmes combiatoires : les sorties du système e déedet que des variables d etrées. * Systèmes séquetiels : les sorties déedet bie sûr de l évolutio des etrées mais aussi de l état récédet des sorties. Exemle : Machie à laver, maiulateur eumatique, asceseur, distributeur de boissos. -..b - Les asservissemets U système asservi est u système qui red e comte, durat so foctioemet, l'évolutio de ses sorties our les modifier et les maiteir coforme à ue cosige. Cette brache de l automatique se décomose e deux autres sous braches (séarées artificiellemet ar l'usage) : * Régulatio : maiteir ue variable détermiée, costate et égale à ue valeur, dite de cosige, sas itervetio humaie. Exemle : Régulatio de temérature d'ue ièce. * Systèmes asservis : faire varier ue gradeur détermiée suivat ue loi imosée ar u élémet de comaraiso. Exemle : Régulatio de la vitesse d'u moteur, Suivi de trajectoire d'u missile. L asservissemet est essetiellemet aalogique et utilise la artie aalogique des trois moyes de base dot o disose : mécaique, électrotechique et électroique. La théorie des asservissemets écessite ue boe base mathématique classique. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 4

5 -.3 - Systèmes cotius et ivariats * Système cotiu : u système est dit cotiu lorsque les variatios des gradeurs hysiques le caractérisat sot des foctios du tye f(t), avec t ue variable cotiue, le tems e gééral. O oose les systèmes cotius aux systèmes discrets (ou échatilloés), ar exemle les systèmes iformatiques. * Système ivariat : O dit qu u système est ivariat lorsque les caractéristiques de comortemet e se modifiet as avec le tems Evolutio de l'automatique Ces derières aées, l automatique s est cosidérablemet moderisée, surtout deuis l avèemet des calculateurs umériques. Les systèmes automatiques coduits ar calculateurs assuret la quasi-totalité des tâches : * ils collectet et traitet les iformatios issues des cateurs qui fourisset l'esemble des variables d'etrée. * ces variables d'etrée costituet les doées sur lesquelles des calculs umériques serot effectués. Ils corresodet à la résolutio umérique de systèmes d'équatios qui costituet le "modèle mathématique". * le résultat de ce traitemet fouri e biaire est coverti e variables cotiues et est ijecté das le rocessus, afi de modifier so évolutio das u ses désiré. E lus de ces tâches qui sot classiques e automatique, le calculateur joue u rôle otimalisateur. C'est-à-dire qu'il exécute le travail à faire aux meilleures coditios écoomiques e miimisat les déchets, e teat comte du caret de commade, etc. Cet asect, lui, est ouveau. Ce gere de roblème était traité séarémet. Ce rocédé ermet de teir comte d'u ombre cosidérable de variables, doc de traiter des roblèmes jusqu'alors imossibles. E lus, il fait iterveir directemet les variables écoomiques au iveau de chaque orgae (moteur, ome, etc...). Or, jusqu'à réset, les variables écoomiques 'iterveaiet que globalemet. Il ermet doc de traiter ce roblème de faço beaucou lus ratioelle. Les systèmes automatiques coduits ar calculateurs écessitet ue boe coaissace de la rogrammatio e lagage machie, de fortes coaissaces mathématiques (our élaborer le modèle) et surtout ue coaissace arfaite du rocessus à réguler, ce qui est le lus délicat. Ceci écessite ecore de boes coaissaces e théorie de l'iformatio, e statistique et e recherche oératioelle. - - Boucle de régulatio -. - Notio d'asservissemet L'objectif d'u système automatisé est de remlacer l'homme das ue tâche doée. Nous allos, our établir la structure d'u système automatisé, commecer ar étudier le foctioemet d'u système das lequel l'homme est la " artie commade ". Exemle : coducteur au volat d'u véhicule Le coducteur doit suivre la route. Pour cela, Il observe la route et so eviroemet et évalue la distace qui séare so véhicule du bord de la route. Il détermie, e foctio du cotexte, l'agle qu'il doit doer au volat our suivre la route. Il agit sur le volat (doc sur le système) ; uis de ouveau, il recommece so observatio edat toute la durée du délacemet. Si u cou de vet dévie le véhicule, arès avoir observé et mesuré l'écart, il agit our s'ooser à cette erturbatio. Si l o veut qu u asservissemet remlace l'homme das diverses tâches, il devra avoir u comortemet et des orgaes aalogues à ceux d'u être humai. C'est-à-dire qu'il devra être caable d'arécier, de comarer et d'agir. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 5

6 Exemle : ouverture de orte our accès à ue maiso. U autre exemle d'asservissemet très simle est celui d'u homme qui veut etrer das ue maiso : à chaque istat, ses yeux "mesuret" l'écart qui existe etre sa ositio et la orte. So cerveau commade alors aux jambes d'agir, e sorte que cet écart dimiue, uis s'aule. Les yeux jouet alors le rôle d'orgaes de mesure (ou de cateurs), le cerveau celui de comarateur et les jambes celui d'orgae de uissace. Tout asservissemet comortera ces trois catégories d'élémets qui remlisset les 3 grades foctios écessaires à sa boe marche (fig. ) : * Mesure (ou observatio) * Comaraiso etre le but à atteidre et la ositio actuelle (Réflexio) * Actio de uissace Tâche à réaliser Réflexio Actio Effet de l'actio Observatio Fig. : Cocet gééral d u asservissemet -. - Systèmes bouclés et o bouclés -..a - Exemle : Tir au cao Pour mieux saisir la otio de système bouclé, reos u exemle avec cas. Das le remier, ous cosidéros u système o bouclé et ous mettros e évidece ses faiblesses. Das le secod, ous motreros les avatages qu'aorte le bouclage. Premier cas : tir au cao sur ue cible. O cosidère ue cible à détruire et u cao. Pour atteidre le but que l'o s'est roosé, o règle l'agle de tir du cao et la charge de oudre de l'obus e foctio des coordoées de la cible et d'autres aramètres cous à l'istat du tir. Ue fois l'obus arti, si ces aramètres extérieurs vieet à chager, ar exemle si la cible se délace, o e eut lus agir sur sa directio : l'obus est abadoé à lui-même. Deuxième cas : tir au cao sur ue cible avec ue fusée téléguidée et u radar. Cosidéros la même cible et ue fusée téléguidée. Das ce cas, même si la cible se délace ou u vet latéral fait dévier la fusée de sa trajectoire iitiale, elle atteidra quad même so but. E effet, à chaque istat, u radar doera les ositios resectives de la fusée et de la cible. Il suffira de les comarer our e déduire l'erreur de trajectoire et agir sur les gouveres de la fusée our rectifier cette erreur. Das ce cas, le système 'est lus abadoé à lui-même car il comorte ue boucle de retour qui est costituée ar le radar, qui "mesure" la ositio de la fusée et qui e iforme l'oérateur, et ar ue télétrasmissio qui ermet de modifier la trajectoire ar actio sur les gouveres. La boucle de retour aorte doc, au rix d'ue comlicatio certaie, u gai de récisio éorme. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 6

7 -..b - Exemle : Asservissemet de vitesse d ue voiture Suosos que l'o veuille maiteir costate la vitesse (V) d'ue voiture. A la valeur (V) de la vitesse corresod ue valeur (e) de la course de l'accélérateur. Il suffirait doc, e ricie, de maiteir (e) costat our que (V) le soit. Chacu sait que la réalité est différete. E effet, le vet, les variatios de ete et le mauvais état de la route modifiet (V). Ces aramètres extérieurs qui ifluet sur la vitesse sot aelés gradeurs erturbatrices ou erturbatios. Si elles 'existaiet as, la boucle de régulatio serait iutile. Pour que la vitesse reste costate, il faut utiliser u tachymètre qui mesure la vitesse réelle. Le chauffeur comare à tout istat cette vitesse réelle et la vitesse rescrite; Il e déduit u écart lus ou mois grad et efoce lus ou mois l'accélérateur e foctio de cet écart. Si o aelle gradeur de sortie (ou sortie) la vitesse réelle et gradeur d'etrée (ou etrée) la vitesse imosée, le chauffeur et le tachymètre assuret ue liaiso etre l'etrée et la sortie, ils costituet doc ue chaîe de retour. O eut doer u schéma très simle our illustrer cet exemle (fig. ) : Etrée vitesse imosée Chauffeur Accélérateur Moteur Voiture Tachymètre Perturbatios Sortie vitesse (V) réelle Fig. : Exemle d asservissemet de vitesse d u véhicule Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 7

8 -.3 - Défiitios Costitutios élémetaires O eut doc défiir u asservissemet comme u système bouclé ou à boucle fermée comortat ue amlificatio de uissace, ue mesure et ue comaraiso. A artir de ces 3 otios, o eut défiir u schéma foctioel valable our tous les systèmes résetat ces caractéristiques (fig. 3) : * Le triagle : rerésete la foctio amlificatio de uissace. * Le cercle : rerésete la foctio comaraiso (qui s'effectue e faisat ue différece). * Le rectagle : rerésete la foctio mesure et trasformatio. Foctio comaraiso E _ S ' A B S Foctio amlificatio de uissace Foctio mesure et trasformatio Fig. 3 : Schéma foctioel d u asservissemet S Gradeur de sortie E Gradeur d'etrée ou référece ou cosige erreur ou écart etrée - sortie S' Mesure de la sortie La sortie régulée rerésete le héomèe hysique que doit régler le système, c est la raiso d être du système. Il eut s'agir d'ue tesio, d'u délacemet, d'u agle de rotatio, d'u iveau, d'ue vitesse, etc... La cosige, est l etrée d actio, c est la gradeur réglate du système. Sa ature eut être différete de celle de (S). Seule imorte sa valeur umérique. Si (E) et (S) sot de atures différetes, il suffit de défiir ue corresodace umérique etre ces deux gradeurs. Par exemle, o dira qu'u volt à l'etrée rerésete tours/m. O aelle écart ou erreur, la différece etre la cosige et la sortie. Cette mesure e eut être réalisée que sur des gradeurs comarables, o la réalisera doc e gééral etre la cosige et la mesure de la sortie. Elle est fourie ar le comarateur et est roortioelle à la différece ( E S' ). Elle eut être de ature dif férete. Par exemle, E et S' état des tesios, o ourra avoir sous forme de courat tel que = ( E S' ) / R (R est ue résistace). Elle est fourie ar la chaîe de retour, gééralemet arès trasformatio. S' doit obligatoiremet avoir même ature hysique que E. Ce qui est évidet si o veut doer u ses à la différece ( E - S' ). U des rôles de la chaîe de retour est doc d'assurer la coversio de la mesure de S das la gradeur hysique de E. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 8

9 D'ue maière géérale, le système comred (fig. 4) : Erreur ou Ecart Chaîe directe (ou d'actio) Perturbatios évetuelles Régulateur Etrée de référece (cosige) Correcteur Actioeur rocessus Sortie asservie Comarateur Mesure Cateur Chaîe de retour (ou d'observatio) Fig. 4 : Orgaisatio foctioelle d'u système asservi (schéma foctioel) Chaîe directe ou d'actio Chaîe de retour ou de réactio Comarateur ou détecteur d'écart * Eglobe tous les orgaes de uissace (écessitat u aort extérieur d'éergie) et qui exécute le travail. * Comorte gééralemet ombreux élémets, otammet des amlificateurs. * La ature de ces élémets 'est as sécifiée sur le schéma, il eut s'agir aussi bie d'egis électriques, mécaiques, eumatiques, etc * Aalyse et mesure le travail effectué et trasmet au comarateur ue gradeur hysique roortioelle à ce travail. * Elle comred gééralemet u cateur qui doe ue mesure de la gradeur S, qui est esuite amlifiée et trasformée avat d'être utilisée. * Comare le travail effectué à celui qui était à faire et délivre u sigal d'erreur roortioel à la différece etre ue gradeur de référece (E) et la gradeur hysique issue de la chaîe de retour. * Ce sigal d'erreur, arès amlificatio, agira sur les orgaes de uissace das u ses tel que l'erreur tedra à s'auler. Régulateur Actioeur Cateur Perturbatio Le régulateur se comose d'u comarateur qui détermie l'écart etre la cosige et la mesure et d'u correcteur qui élabore à artir du sigal d'erreur l'ordre de commade. C'est l'orgae d'actio qui aorte l'éergie au système our roduire l'effet souhaité. Le cateur rélève sur le système la gradeur réglée (iformatio hysique) et la trasforme e u sigal comréhesible ar le régulateur. La récisio et la raidité sot deux caractéristiques imortates du cateur. O aelle erturbatio tout héomèe hysique iterveat sur le système qui modifie l état de la sortie. U système asservi doit ouvoir maiteir la sortie à so iveau idéedammet des erturbatios Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 9

10 -.4 - Régulatio et systèmes asservis Nous avos fait la distictio das l'itroductio etre régulatio et asservissemet. Nous ouvos maiteat réciser de faço ette cette différece : * U régulateur : maitiet l'erreur etre l'etrée E et la sortie S ulle, quelles que soiet les erturbatios, la gradeur d'etrée E restat costate ou variat ar alier. E est alors aelée cosige ou référece. * U système asservi : maitiet l'erreur ulle ou miimale quelles que soiet les variatios de E. Gééralemet, E est ue foctio du tems qui eut être ériodique, mais qui doit toujours rester cotiue et fiie. Il faut remarquer que les cotraites sot lus grades our u système asservi que our u régulateur, uisque aucue cotraite de vitesse de variatio 'est imosée our E Proriétés des systèmes liéaires Quad u système est liéaire, il jouit de roriétés imortates qui ermettet ue étude lus commode, e articulier le «ricie de suerositio liéaire» qui se traduit ar les relatios : Etrée Sortie Additivité : e(t) e (t) e(t) e(t) s (t) s (t) s (t) s (t) où e(t) et s(t) sot les gradeurs d'etrée et de sortie Homogééité : e(t).e(t) s(t).s(t) Ce ricie traduit le fait que les effets sot roortioels aux causes et que les causes ajoutet leurs effets Régimes trasitoires des asservissemets Défiitios Etrée Permaete Régime Permaet Régime Trasitoire Etrée d'u système dot l'exressio, e foctio du tems, est du tye costate, liéaire, arabolique ou ériodique Il est atteit ar u système quad, soumis à ue etrée ermaete, sa sortie est du même tye que l'etrée c'est-à-dire costate, liéaire, arabolique ou ériodique. Ce régime est aussi aelé régime forcé. Il corresod au foctioemet du système quad il asse d'u tye de régime ermaet à u autre. Pratiquemet, u asservissemet travaille toujours e régime trasitoire ; e effet, même u régulateur dot l'etrée est costate doit costammet reveir au régime ermaet, car des erturbatios qui costituet des etrées secodaires l'e écartet. Il e est de même our les asservissemets. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..)

11 L'atitude du servomécaisme à reveir au régime ermaet sera caractérisée ar ses erformaces dyamiques Performaces d'u système asservi * E régime ermaet : la gradeur de sortie doit être aussi voisie que ossible de la valeur désirée. E réalité, il subsiste toujours ue légère erreur. Cette erreur est aelée : - erreur statique ou écart ermaet quad la gradeur d'etrée est ue costate ; our u système idéal, elle doit être ulle. - erreur de traîage quad la gradeur d'etrée est ue foctio liéaire du tems. * E régime trasitoire : le système évoluat etre deux régimes ermaets, le tems mis ar le système our aller de l'u à l'autre et la faço dot il arviet à l'état fial, sot très imortats. - Le tems de réose est le tems au bout duquel la sortie du système a atteit, à 5 % (ou % selo la récisio voulue), sa valeur de régime ermaet et y reste (Fig. 5). - L'amortissemet : la sortie du système déasse gééralemet la valeur qu'elle doit avoir das le régime ermaet fial et elle oscille quelques istats autour de cette valeur. Les oscillatios doivet être amorties, le lus raidemet ossible. L'amortissemet est mesuré ar le coefficiet de l'exoetielle eveloe (Fig. 6). Fig. 5 : Tems de réose Fig. 6 : Amortissemet Mise e équatio d'u système - Résolutio Mise e équatio Nous avos dit récédemmet que ous ous borios à l'étude des systèmes liéaires. Doc, les équatios recotrées serot des équatios différetielles liéaires à coefficiets costats. Cosidéros u système quelcoque A, le lus gééral ossible, ossédat ue etrée e(t) et ue sortie s(t) (fig. 7). e(t) A s(t) Fig. 7 : Rerésetatio d u système quelcoque à etrée sortie Si o alique u sigal à l'etrée, o recueillera, à la sortie, u sigal qui sera liée au sigal d'etrée ar ue équatio différetielle de tye : d s ds d e de a... a a s bk... b b e dt dt k dt dt k Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..)

12 * Les coefficiets ai et bj sot les aramètres du système et ils sot sesés être cous, ce qui est le cas das la ratique our la luart des systèmes courats. Ils rerésetet diverses costates de tems et divers coefficiets de roortioalité accessibles à la mesure. * La difficulté de la mise e équatio réside surtout au iveau de la coaissace du rocessus luimême. E réalité, l'équatio différetielle à laquelle o arrive 'est souvet qu'ue aroximatio qui cosiste à égliger des termes d'ordre lus élevé. Cette récisio suffit das la luart des cas, bie qu'ue étude lus oussée soit quelque fois écessaire. * Ue fois l'équatio du système établie, il faut exrimer la valeur de la sortie e foctio du tems our coaître les régimes ermaets et trasitoires. Pour cela, il existe méthodes (voir fig. 8) : Méthode Classique Méthode Oératioelle Cosiste à résoudre l'équatio différetielle décrivat ce système, c'est à dire trouver ue réose forcée et ue réose libre our le système. Mais cette méthode e ermet as toujours de trouver ue solutio et eut ameer à ue difficulté de résolutio dès que l'ordre de l'équatio différetielle déasse. Basée sur le calcul oératioel ou, essetiellemet, sur la trasformée de Lalace qui mettra e relatio, ue foctio de la variable du tems f(t) avec ue foctio de la variable comlexe F() déedat de la ulsatio. Notatio : L [ f(t) ] = F() avec = a j.b (ombre comlexe) e(t) Méthode classique (ordre ) s(t) = L - [S()] Trasformée de Lalace du sigal d'etrée Calcul oératioel Trasformée iverse de Lalace du sigal de sortie L [e(t)] = E() S() = L [s(t)] Fig. 8 : Détermiatio de la sortie du système ar la méthode classique et ar le calcul oératioel Pour u rael sur l utilisatio de la trasformée de Lalace, voir l aexe A Utilisatio de la trasformée de Lalace E aelat S() et E() les trasformées de s(t) et de e(t), si o red la Trasformée de Lalace des deux membres de l'équatio différetielle : O aura : d s ds d e de a... a a s bk... b b e dt dt k dt dt k a S()... a S() a S() bk E()... b E() b E() b d'où : S() = a k k... b b. E()... a a k Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..)

13 Si l'o coaît l'image E() de e(t), il est facile, grâce aux tables de trasformées de Lalace, de reveir à l'origial de S(). D'ue maière géérale, cette otatio 'est valable que si : * le système est liéaire à coefficiets costats, * toutes les variables et leurs dérivées sot ulles our t < (le système art du reos absolu), * le système est dissiatif, doc sa réose ted, lus ou mois, vers u régime ermaet idéedat des coditios iitiales. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 3

14 Chaitre : NOTION DE FONCTION DE TRANSFERT - - Itroductio Raelos que : * SI ous cosidéros u système quelcoque A, le lus gééral ossible, ossédat ue etrée e(t) et ue sortie s(t) (fig. ) : e(t) A s(t) Fig. : Rerésetatio d u système quelcoque à etrée sortie * ALORS, Si o alique u sigal à l'etrée, o recueillera, à la sortie, u sigal qui sera liée au sigal d'etrée ar ue équatio différetielle de tye : d s(t) ds(t) d e(t) de(t) a... a a s bk... b b e(t) dt dt k dt dt k E aelat S() et E() les trasformées Lalace de s(t) et de e(t), si o red la Trasformée de Lalace des deux membres de l'équatio différetielle, o aura : a S()... a S() a S() bk E()... b E() b E() k b d'où : S() = a k k... b b... a a. E() Par défiitio, la FONCTION DE TRANSFERT du système de la figure ( ) est le quotiet : F() = b a k k... b b... a a C'est aussi le raort de la trasformée de Lalace de la sortie à la trasformée de Lalace de l'etrée quad toutes les coditios iitiales sot ulles. Das ce cas, o a : S() = F(). E() La Foctio de Trasfert caractérise la dyamique du système. Elle e déed que de ses caractéristiques hysiques. Aisi, doréavat, u système sera décrit ar sa foctio de trasfert et o ar l'équatio différetielle qui le régit. Notos efi, que cette foctio de trasfert est aussi aelée trasmittace ar aalogie avec l'imédace das les systèmes électriques. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 4

15 - - Foctio de trasfert d'u esemble d'élémets -. - Elémets e série (ou cascade) Soit élémets de foctio de trasfert G ()...G () mis e série (la sortie du remier est reliée à l'etrée du secod, etc...) (fig. ). E E E 3 E S S G () G () G () H() E Fig. : Coexio e série (ou cascade) de foctios de trasfert La foctio de trasfert de l'esemble est égale au roduit des foctios de trasfert de chaque élémet : H() = S() E () = G (). G ()..... G () Ceci est évidet uisque, ar défiitio, o a : G () = E (),..., G () = E () S() E () et que H() = S() E () -. - Elémets e arallèle Soiet élémets de foctio de trasfert G ()...G () mis e arallèle (fig. 3). G () E S E H() S G () Fig. 3 : Coexio e arallèle de foctios de trasfert La foctio de trasfert équivalete H() a our exressio : H() = S() E() = G () G ()... G () O eut cosidérer que S() est le résultat de la suerositio des sorties des élémets, c'est-àdire que : S() = S () S ()... S () (e vertu de la liéarité du système, les effets s'ajoutet) Doc : Chaque élémet ris, idéedammet, doera ue sortie Si () quad o lui alique l'etrée E(). Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 5

16 S() = i Si () = G (). E() G (). E()... G (). E() S() = [ G () G ()... G () ]. E() d'où : H() = G () G ()... G () Cas d'u système à etrées idéedates E E G () E Système S E G () S Fig. 4 : Système à etrées idéedates La foctio de trasfert 'a de ses qu'etre la sortie et ue etrée. Le système de la fig. 4 ourra doc se décomoser e costituats ayat la sortie e commu et our etrée chacue des etrées. O calculera les foctios de trasfert Gi () de chaque élémet e suosat ulles les etrées autres que Ei (). Ceci 'est ossible que si les différetes équatios du système e sot as coulées etre elles. Das ce cas, o eut écrire : S() = i G i (). E i () Il 'y a as de foctio de trasfert globale our le système Foctio de Trasfert e Boucle Fermée ( FTBF ) Soit u système asservi, le lus gééral, reréseté ar le schéma de la fig. 5. E _ S ' A() S B() Fig. 5 : Schéma foctioel d u système asservi (Boucle Fermée) Soit A() et B(), resectivemet, les foctios de trasfert des chaîes directe et de retour. Cherchos la foctio de trasfert du système comlet : H() = Nous avos les relatios suivates : S() E() Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 6

17 S() = A(). (), S ' () = B(). S(), () = E() S ' () S() = A(). [ E() S ' () ] = A(). [ E() B(). S() ] d'où S() = A() A().B() E() La foctio de trasfert d'u système bouclé ou e Boucle Fermée (FTBF) est doc le raort de la foctio de trasfert de sa chaîe directe à A(). B(.: H() = A() A().B() Foctio de trasfert e boucle ouverte ( FTBO ) La Foctio de Trasfert e Boucle Ouverte (égalemet aelée F.T.B.O.) est la foctio de trasfert qui lie les trasformées de Lalace de la sortie de la chaîe de retour S ' () à l'erreur (). Elle corresod à l'ouverture de la boucle (Fig. 6 ): E _ A() S B() S ' B() Fig. 6 : Schéma foctioel d'u système asservi e Boucle Ouverte Das ce cas, = E uisque le comarateur e reçoit lus qu'ue seule iformatio. O a doc : S ' () = B(). S() = B(). A(). () = B(). A(). E() d'où : S ' () () = () = A(). B() La Foctio de Trasfert e Boucle Ouverte (ou FTBO) d'u asservissemet est le roduit des foctios de trasfert de la chaîe directe ar la chaîe de retour. La foctio de trasfert e boucle ouverte a ue grade imortace das l'étude de la stabilité des systèmes ; de lus, elle est directemet accessible à la mesure. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 7

18 - 5 - Foctio de trasfert d'u système à boucles multiles Il existe des systèmes comlexes où l'o recotre, o seulemet ue chaîe de retour riciale, mais u grad ombre de chaîes de retour secodaires. Das ces asservissemets, il y a lusieurs régulateurs ou servomécaismes das ue chaîe. La figure 8 e doe u exemle. Y Y Y3 E _ A _ A _ A3 _ A4 A5 S B B4 B6 B5 Fig. 8 : Exemle de système asservi à boucles multiles Le calcul de la foctio de trasfert d'u tel système eut araître comliqué. Pour meer à bie ce calcul, il faut utiliser l'artifice suivat : au lieu de cosidérer la foctio de trasfert globale Y(), o cosidère so iverse / Y(). Y() = A() =B() A().B() Y() A() Das otre cas : B() = B 6 () trasmittace de la chaîe de retour A() trasmittace de la chaîe directe A() = A (). Y (). Y () E aliquat la même rocédure, o a : = B Y, = B 5 Y A A 3Y3 A5, = B 4 Y 3 A 4 = A AY Y = B B5 B4 A A A3A5 A4 Soit : Y() = B 6 B B5 B4 A A A3A5 A4-6 - Formes géérales de la Foctio de Trasfert d'u système liéaire Soit u système asservi reréseté ar sa foctio de trasfert de forme géérale suivate : Si N() et D() ot des racies alors : F() = B m A m... B... A N() D() N() = Bm [( z)( z).( zm)] ou N() = Bm ( z i ) D() = A [( )( ).( )] ou D() = A ( j ) m i j Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 8

19 F() s'écrit alors : F() = B A m m i j ( z ) ( ) i j Avec : m < our u système réel * les racies du umérateur sot aelées " zéros de la foctio de trasfert ", * les racies du déomiateur sot aelées " ôles de la foctio de trasfert ", Règles de trasformatio des schémas foctioels D'ue maière géérale, our simlifier u bloc foctioel il est souvet lus judicieux de délacer les oits de coexio et les comarateurs (ou additioeurs), d'iter-chager ces deriers, uis de réduire les boucles iteres. N Schéma foctioel origial Schéma foctioel équivalet. A B A B C A BC A C AC B A BC. A C B A BC A B A B C A BC 3. A G A.G G A.G.G A G A.G G A.G.G 4. A G A.G G A.G.G A G.G A.G.G 5. A G G A.G A.G A.GA.G A GG A.GA.G 6. A G A.G B A.G B A A G B B G G G A.G B B Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 9

20 7. A B A B G A.G B.G A B G G A.G B.G A.G B.G A G A.G A G A.G 8. A.G G A.G 9. A G A.G A A G A.G G A A.G A A B B A B. B A B A B A B. A G G A.G A.G A.(GG) A G A.G A G A.G A.(GG) A.G. A G G B A G G G B 3. A G G B A G G.G B 4. A G G B A G G.G B Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..)

21 - 7..a - Exemle de réductio successive d'u schéma foctioel Soit à réduire le schéma foctioel suivat : H R G H G G3 C E aliquat la règle 6, uis la règle, o obtiet : H G R G G G3 C H Règle 4 : H G R G.G G.G.H G3 C Règle 3 : R G.G 3 G.G.H G.G.H.G 3 C Règle 3 : R G.G.G3 G.G.H G.G.H 3 G.G.G 3 C Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..)

22 Chaitre 3 : METHODES D'ETUDES DES ASSERVISSEMENTS 3- - Itroductio Nous avos vu, das le chaitre récédet, qu'il était ossible coaissat les équatios différetielles, de détermier la foctio de trasfert d'u système. Mais il existe de ombreux cas où le système est u système idustriel mal défii et dot, à fortiori o e coaît as les équatios différetielles. Or, la coaissace de sa foctio de trasfert est très imortate our détermier ses erformaces et surtout sa stabilité. Il est doc imortat de mettre au oit des méthodes caables de résoudre le roblème. E gééral, o alique cette rocédure our détermier les foctios de trasfert des élémets qui etret das ue chaîe. La coaissace exérimetale ou mathématique de toutes les foctios de trasfert des élémets ermet alors de détermier la foctio de trasfert de l'esemble. Ces méthodes sot basées sur l'utilisatio d'etrées dites caoiques, faciles à mettre e œuvre das toutes les techiques (électrique, mécaique, hydraulique). O e déduit alors les différetes costates de la foctio de trasfert. Certais aareils dit aalyseurs de foctio de trasfert facilitet les mesures Etrées caoiques Echelo uité C'est ue foctio ulle our t < et costate et égale à our < t < (fig. 3 ). Cette foctio est aelée quelquefois u(t) (uité). Elle 'est as défiie our t = uisqu'il y a discotiuité à cet edroit. u(t) t Fig. 3 : Foctio Echelo Sa trasformée de Lalace est : L { u(t) } = Echelo de vitesse ( rame uité ) C'est ue foctio ulle our t < et qui varie liéairemet avec t our t (fig. 3 ). O l'exrime arfois sous la forme r(t) = t. u(t). Cette foctio est aelée échelo de vitesse ou rame, car sa vitesse de variatio est costate et égale à. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..)

23 t.u(t) 45 t Fig. 3 : Foctio Rame O vérifie aisémet que sa trasformée de Lalace est égale à : L { r(t) } = E effet : L { r(t) } = t e t e.t. dt, o ose : u = t dv = dt du = dt v = e t Doc L { r(t) } = t e f (t) = e - t = Echelo d'accélératio Soit f(t) la foctio échelo d'accélératio, défiie ar (voir fig. 3 3) : f(t) = f(t) t u(t) our t < our t Fig. 3 3 : Foctio Accélératio t L { f(t) } = t t t e.. dt, o ose : u = dv = e t dt du = t.dt v = e t Doc L { f(t) } = D'où : t e f (t) =. L { r(t) } = 3 L { f(t) } = 3 Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 3

24 Imulsio uitaire Ue imulsio est ue foctio du tems de durée très courte mais dot l'amlitude est suffisammet grade our que l'effet e soit sesible. L'imulsio est dite uitaire si la surface est égale à. O la ote (t) (fig. 3 4). (t) (t) = our t et t lim our < t < / t Fig. 3 4 : Foctio Imulsio (t) Toutes les imulsios, dot la durée égale umériquemet l'iverse de l'amlitude, sot uitaires si cette durée ted vers zéro. Pour t =, l'amlitude est théoriquemet ifiie. (t) est défiie ar : (t). dt = Elle est aelée aussi imulsio de DIRAC. (ce qui est équivalet à la surface uitaire) Calculos sa trasformée de Lalace. Pour cela, défiissos la foctio f(t) (fig. 3 5) telle que : f(t) f(t) = our our t < < t et < t > t Fig. 3 5 : Foctio f(t) f(t) eut être cosidérée comme la différece etre deux échelos uitaires dot l'u est décalé de : f(t) = u(t) u(t ) L { f(t) } = L { u(t) } L { u(t ) } = ( e ) Or : f(t) (t) = lim Doc ; L { (t) } = lim ( e ) = d ( e d lim d ( ) d ) D'où : L { (t) } = Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 4

25 Etrée harmoique Elle est défiie ar (Voir fig. 3 6): f(t) f(t) = our t < A si( t ) our t A t Fig. 3 6 : Sigal harmoique Sa trasformée de Lalace est : L { f(t) } =. si. cos car L {si t} = et L {cos t } = (Voir aexe B) Réose d'u système asservi aux etrées caoiques Réose du système à ue imulsio uitaire : réose imulsioelle Soit u système de foctio de trasfert H(). Aliquos sur so etrée ue foctio, e(t) = (t), c'est-à-dire ue imulsio uitaire. Sa sortie sera doée ar : S() = H(). E() Or : E() =, uisque L { (t) } =. Doc la trasformée de Lalace S() de la sortie corresod exactemet à la foctio de trasfert H(). S() = H() C'est aussi ue autre défiitio de la foctio de trasfert. O voit doc qu'ue méthode our coaître H() est de mesurer la réose à ue imulsio uité. La Fig. 3 7 motre deux tyes de réoses imulsioelles (selo la ature du système à exciter). s(t) s(t) t t Fig. 3 7 : Exemles de réoses imulsioelles Du oit de vue ratique, cette méthode résete quelques difficultés, car il est ratiquemet imossible de réaliser hysiquemet ue etrée (t). O se cotete, e gééral, d'ue imulsio de durée aussi courte que ossible mais fiie, d'où ue certaie imrécisio. Arès avoir evoyé cette etrée (t) arochée, o doit eregistrer, e foctio du tems, la réose s(t). Ce qui doe ue courbe qu'il faut Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 5

26 esuite iterréter. Si o veut l'exressio mathématique de la foctio de trasfert, o aroche cette courbe ar des morceaux de courbes corresodat à des foctios coues. Il faut alors redre la trasformée de ces foctios du tems our obteir la foctio de trasfert. Cette oératio, facile à décrire, est icotestablemet délicate à réaliser. Elle est bie etedu etachée d'erreurs, mais aucue autre méthode 'est arfaite Réose du système à u échelo uité : réose idicielle Pour allier aux icovéiets de la réose imulsioelle, il est lus facile, ratiquemet, d'utiliser comme etrée, u échelo uité. L'etrée du système est doc : e(t) = u(t), d'où E() = Sa sortie est alors : S() = H() C'est l'itégrale de la foctio de trasfert. Pratiquemet, l'essai est très raide, il suffit de faire asser l'etrée de à ue valeur costate edat u tems (doé) T uis de cette valeur à, et d'eregistrer la sortie e foctio du tems. E ricie, cette sortie doit être du même tye que l'etrée si le système est liéaire, c'est-à-dire qu'au bout d'u certai tems corresodat à la durée du régime trasitoire, la sortie doit rester costate. S'il e est autremet, le système 'est as liéaire (la réciroque 'est as forcémet vraie). Doc ce test ermet de savoir si o est e résece d'u système liéaire ou o. La Fig. 3 8 motre deux tyes de réoses idicielles (selo la ature du système à exciter). s(t) s(t) t t Fig. 3 8 : Exemles de réoses idicielles L'exloitatio des résultats our détermier la foctio de trasfert est beaucou lus laborieuse : Il faut décomoser l'échelo d'etrée e série de Fourier aisi que la réose de sortie e suosat que le héomèe a ue ériode T. Pour chaque fréquece élémetaire, o coaîtra les amlitudes de l'etrée et de la sortie, aisi que leur déhasage. O e déduit, à chaque fréquece, le " gai " et la " hase " du système. A ce stade, o se retrouve das le cas de la réose fréquetielle que ous allos étudier. Cette méthode écessite eu d'essais, mais beaucou de calculs. La méthode suivate (réose fréquetielle) écessite beaucou d'essais et eu de calculs. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 6

27 Réose fréquetielle Plutôt que de faire ue décomositio mathématique des sigaux d'etrée et de sortie e foctios siusoïdales élémetaires, il est aaru lus simle d'aliquer à l'etrée du système ue etrée harmoique et de relever la sortie corresodate, ue fois le régime ermaet établi. O réète cette oératio e artat des fréqueces les lus basses jusqu'à des fréqueces suffisammet élevées our que la sortie du système soit égligeable. E effet, à artir d'ue certaie fréquece le système e " suit " lus les oscillatios que l'o voudrait lui imoser, exactemet comme le tyma qui e vibre lus audelà d'ue certaie fréquece. De ces mesures, o déduit, e foctio de la fréquece : les amlitudes d'etrée et de sortie, doc le "gai" du système, qui est le raort S G( ) E (S et E amlitudes maximales des sigaux siusoïdaux d'etrée et de sortie à la fréquece ). la hase (). O rerésete esuite ces foctios de la fréquece ar des courbes qui sot, soit : e coordoées logarithmiques (la de Bode) e coordoées olaires (la de Nyquist) la courbe de hase (la de Black) De ces courbes, o eut déduire la foctio de trasfert et bie d'autres aramètres Rerésetatio de la réose fréquetielle Courbes de Bode et diagrammes asymtotiques La foctio de trasfert ouvat être assimilée à u gai comlexe, il suffit de tracer les courbes de variatio du module (ou gai) et du déhasage e foctio de la fréquece (ou de la ulsatio). E effet, tout ombre comlexe G() = G( ).e j( ) a our logarithme : log {G()} = log { G( ). e j ( ) } = log G( ) j () Le logarithme d'u ombre comlexe se rerésetera doc ar deux valeurs : le logarithme du module qui sera la artie réelle et l'argumet la artie imagiaire. C'est sur ce ricie qu'est basée la courbe de Bode. Par exemle, si la foctio de trasfert est : Alors, e régime siusoïdal, = j, et o aura : G() = T G() = j( ) G( ).e = jt avec : G() = ( T) module ou gai et : G() = arctg (T) hase ou déhasage Pour ue rerésetatio de Bode, o tracera les courbes suivates : Courbe de gai (Fig. 3 9) : Log G() = log ( T) e foctio de (log ) Courbe de gai (Fig. 3 ): G() = arctg (T) e foctio de (log ) Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 7

28 log G = log G = log G() Gai = log = log Affaiblissemet G = log G = Fig. 3 9 : exemle de courbe de gai our ue rerésetatio de Bode G() G log G 9 Fig. 3 : Exemle de courbe de hase our ue rerésetatio de Bode 3-4..a - Diagramme asymtotique Das la luart des cas (ous réciseros ar la suite), il est iutile de tracer comlètemet la courbe de Bode (oit ar oit). O eut se coteter des asymtotes. O aelle diagramme asymtotique d'ue foctio de trasfert l'esemble des asymtotes à la courbe quad et quad. Les oits d'itersectio de ces asymtotes etre elles sot aelés oits de cassure. Etat doé l'utilisatio des logarithmes comme échelle, la récisio est suffisammet boe our que l'o uisse assimiler la courbe à ses asymtotes sauf au voisiage des oits de cassure. Si la courbe de gai eut être avatageusemet remlacée ar ses asymtotes, il 'e est as de même our la courbe de hase qui s'e écarte beaucou lus b - Raels : O aelle octave, l'itervalle qui séare ue fréquece f d'ue fréquece f =. f. Frachir ue octave c'est doubler la fréquece iitiale. O aelle décade, l'itervalle qui séare ue fréquece f d'ue fréquece f. =. f Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 8

29 Courbe de Nyquist ou lieu de Nyquist Le roblème est toujours le même, il s'agit de reréseter u ombre comlexe, variable avec la fréquece, c'est-à-dire trouver le lieu du oit d'affixe G( ). e j ( ) quad varie de à. Cette courbe défiit etièremet les roriétés du système. O la trace gééralemet e coordoées olaires. Comme our les courbes récédetes, il faut mesurer le gai et le déhasage du système. gai : O orte alors, our chaque valeur de, u rayo vecteur dot la logueur est égale au module du E G( ) et qui fait u agle () avec l'axe des réels (Fig. 3 ). Quad varie, o obtiet ue S courbe graduée e. Imag. = = G() = () Réel = = 6 Fig. 3 : Courbe de Nyquist O comlète gééralemet cette courbe ar symétrie ar raort à l'axe réel our avoir sa rerésetatio quad varie de à. Cette artie de la courbe 'a, hysiquemet, aucu ses, mais il est écessaire de la tracer si o veut étudier mathématiquemet la stabilité de l'asservissemet. O eut aisi comléter la courbe arce que les coefficiets de l'équatio différetielle qui régit le héomèe sot suosés costats et réels. Comme les courbes de Bode, le lieu de Nyquist eut se tracer soit exérimetalemet, soit à artir de la foctio de trasfert si elle est coue, c'est ourquoi o l'aelle aussi " lieu de trasfert das le la de Nyquist " Courbe amlitude hase ou lieu de Black (ou Black Nichols) Le lieu de Black cocilie les avatages des courbes de Bode et ceux du lieu de Nyquist : la foctio de trasfert est rerésetée ar ue seule courbe et les échelles sot logarithmiques (Fig. 3 ). log G 8 = = 9 9 = 4 = Fig. 3 : Courbe de Black-Nichols Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 9

30 Ce derier avatage est très imortat du oit de vue ratique car, gééralemet, le module du gai varie das des roortios éormes ce qui oblige our le lieu de Nyquist à redre des échelles assez grades, surimat toute récisio our les gais faibles. Cet icovéiet disaraît avec des échelles logarithmiques. Le lieu de Black se trace de la faço suivate : O orte e ordoée le module du gai { log G( ) }, et e abscisse le déhasage { () }. O obtiet ue courbe aramétrée ar. Cette rerésetatio est la lus emloyée das l'idustrie. L'itérêt ratique de cette rerésetatio est évidet : coaissat les foctios de trasfert de lusieurs élémets e cascade, o aura la foctio de trasfert de l'esemble ar ue simle additio vectorielle : Soit : G = G. G. G 3 G. e j = G. e j. G e j.. G 3 e j. 3 d'où: log G = log G log G log G 3 et = 3 Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 3

31 3-5 - Etude des systèmes du remier ordre Défiitio O aelle système du er ordre, u système régi ar ue équatio liéaire différetielle du remier ordre telle que : T. ds(t) s(t).e(t) dt ou ecore, u système dot la foctio de trasfert est du tye : S() E() T retard. Ces systèmes sot ecore aelés systèmes à ue seule costate de tems, ou système à Ils sot très ombreux e hysique. E dehors des circuits RC ou RL e électricité, o eut cosidérer qu'u amlificateur est u système du er ordre. E mécaique, tous les assemblages comortat u ressort et u amortisseur sot du er ordre. Nous les asseros e revue à la fi de ce aragrahe Réose idicielle La réose idicielle ous reseigera sur le comortemet du système e régime trasitoire. S() E() ici E() = / S() = T ( T) E cosultat ue table de Trasformée de Lalace, o voit que l'origiale s(t) de S() est : s (t) = ( e t / T ) Lim s (t) = t O costate doc que la sortie s (t) (Fig. 3 3) atteit ratiquemet le régime ermaet au bout d'u tems qui déed de la costate T. Cette costate T, aelée costate de tems, caractérise doc la raidité du système à atteidre so régime ermaet. e(t) s(t) etrée 95% sortie E() T S() 86.5% 63% T T 3T t Fig. 3 3 : Réose idicielle d'u système du er Ordre La ete de la tagete à l'origie est /T, lus le système a ue costate de tems faible, lus il "réod" vite. Au bout d'u tems t = T, la sortie est s (T) = ( /e), ce qui rerésete eviro 63% de. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 3

32 Tems de réose : Nous avos vu que le tems de réose était le tems au bout duquel la sortie avait atteit so régime ermaet à 5% rès. Das le cas du système du remier ordre, ce tems corresod à 3T eviro Réose à ue rame ( échelo de vitesse) Das ce cas, ous avos : e(t) = t.u(t) où u(t) : échelo uitaire E() = / Doc S() = S = () ( T) avec S() : trasformée de la réose idicielle d'u er Ordre. d où : t s(t) = t s(t) dt = ( e t / T ) dt s(t) = { t T ( e t / T ) } La figure 3 4 doe la réose à ue rame d'u système du er Ordre. e(t) s(t) T Fig. 3 4 : Réose d'u système du er Ordre à ue rame (tracée our =) E régime ermaet : t, alors s(t) = ( t T ) O met, aisi, e évidece le retard T qui costitue ue erreur ermaete. Das le cas où =, l erreur T etre l etrée et la sortie est costate e foctio du tems. C est l erreur de "traîage". Doc, u système du er ordre suit les variatios liéaires de l'etrée avec u certai retard, d'où leur om de système à retard Réose à ue imulsio uité Das ce cas, ous avos : e3(t) = (t) où (t) : imulsio uitaire E3() = Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 3

33 Doc S3() = = T T T, d où : s3(t) = T e t / T O met aisi e évidece la costate de tems sur le grahique (Fig. 3 5). / T s3(t) T Fig. 3 5 : Réose imulsioelle d'u système du er Ordre Réose fréquetielle a - Courbe de Bode Courbe de Gai : E régime ermaet siusoïdal, la foctio de trasfert a our exressio : S E j( ) G( ) e jt avec G( ) T et tg ( ) - T e(t) E s(t) S cos( t) cos( t ) Traços la courbe de gai G() e coordoées cartésiees et e coordoées logarithmiques (Fig. 3 6) G() ete Log Log G() Asymtotes ete G = Log =Log (/T) Log = Log Log Log (/T) Fig. 3 6 : Courbe de gai e coordoées cartésiees et e coordoées logarithmiques d'u système du er Ordre Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 33

34 O voit que la courbe est fortemet dilatée our les valeurs faibles de, et codesée our les valeurs élevées. O remarque égalemet que la courbe diffère très eu de ses asymtotes qui sot ici : Pour, log G() = log log T log Pour, log G() = log log T = log (/T) log log Puisque l'abscisse est doée ar log, quad, alors log G() log, c'est à dire vers ue asymtote de ete ( ), qui : coue l'horizotale ( log ) our = /T et coue l'axe des (log ) our = /T. Quad, alors log G() log = Costate, c'est à dire vers ue droite de ete (). Les asymtotes se couet e : Log = log /T log = /T (oit de cassure) L'axe des log (our u gai uitaire) est coué e : Log /T log = log = /T Courbe de Phase : Il faut reréseter = Arctg ( T) e foctio de log (Fig. 3 7) :, =, = 9 = /T, = 45 () Log /T Log 45 9 Poit d'iflexio corresodat au chagemet d'asymtote Fig. 3 7 : Courbe de hase d'u système du er Ordre La courbe (Fig. 3 7) est loi d'être assimilable aux asymtotes surtout our = /T. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 34

35 3-5.5.b - Courbe de Nyquist Il est facile de trouver les différets oits de cette courbe (Fig. 3 8) :, G() =, () =, G() =, () = 9 Imag = /T = = G() G() = Réel = /T Fig. 3 8 : Courbe de Nyquist d'u système du er Ordre D'autre art, si o séare les arties réelles et imagiaires de la foctio de trasfert, o a : S = E jt = T X T j T Y Or : ( X / ) Y = ( / ) équatio d'u cercle de rayo / et de cetre (/, ). O a reréseté u demi cercle e trait lei our idiquer qu'il corresod au foctioemet réel du système quad la ulsatio croît de à, et e oitillés our les ulsatios "égatives" de à c - Courbe de Black O trace cette fois log G() e foctio de (). La courbe a l'allure de la figure 3 9. O eut, égalemet, la déduire des courbes d'amlitude et de hase du diagramme de Bode. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 35

36 Log G() = /T = Log () 9 45 Arctg( ) =/T Fig. 3 9 : Courbe de Black d'u système du er Ordre Exemles de systèmes du er ordre a - Filtre "asse bas" C'est u motage qui laisse asser les fréqueces basses et attéue fortemet les fréqueces élevées. R V V s e RC T=RC ve C vs ve L R vs V V s e L R T=L/R J f = J d f dt f J f T=J/f f : coefficiet de frottemet visqueux b - Filtre "asse haut" Ces disositifs attéuet les fréqueces basses et laisset asser itégralemet les fréqueces élevées. Ils jouet doc le rôle iverse des filtres asse bas. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 36

37 C ve R vs V V s e RC RC T=RC ve L R vs V V s e L R L R T=L/R Ces foctios de trasfert sot du tye : G() = T T Das ce cas : T G( ) T tg ( ) T, et le diagramme asymtotique est celui de la figure 3. Log G() Log 9 () Log /T 45 Log Fig. 3 : Courbe de Bode d'u système du er Ordre de tye Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 37

38 Pour : log G() = log T log T log log T log (asymtote de ete ) tg (), () = 9 Pour : Log G() = log T log T (asymtote de ete ) tg (), () = O remarque que ces systèmes attéuet les fréqueces basses et laisset asser itégralemet les hautes fréqueces. Le diagramme de Nyquist (Fig. 3 ) est le même que our les filtres asse-bas, mais il est gradué e ses iverse. Imag = = /T = Réel Fig. 3 : Courbe de Nyquist d'u système du er Ordre de tye T T Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 38

39 3-6 - Etude des systèmes du secod ordre Défiitio Les systèmes du secod ordre sot régis ar des équatios liéaires différetielles à coefficiets costats du ème ordre, du tye : B d s(t) B dt A e(t) t ds(t) Bs(t) A e(t)dt dt de(t) A dt Leurs foctios de trasfert serot du tye : S() E() B A B B. / Le comortemet du système sera extrêmemet différet suivat que le degré qui figure au déomiateur aura des racies réelles ou imagiaires. O itroduit les aramètres suivats : Gai statique : = A B C est le raort s(t) ds(t) e régime statique ( = ; e(t) dt d s(t) =) dt Pulsatio rore o amortie : = B B rad/s Facteur d amortissemet (sas dimesio) : = B B B = (valeur critique) Costate de tems : T = La foctio de trasfert s écrit e foctio des aramètres aisi défiis : H() = S() E() =. / Preos le cas de H() = et étudios les différetes réoses. Le comortemet dyamique d u tel système déed de la valeur des deux costates et surtout de. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 39

40 Si > : Le olyôme est décomosable, le déomiateur a racies réelles ( et ) : = ( ) = ( ) Si < < : Le olyôme est as décomosable, le déomiateur a racies comlexes * cojuguées ( et ) (Fig. 3 ) : = ( j ) * = ( j ) Imag j Pôles Réel * Fig. 3 : Relatios etre les aramètres d'u système du d ordre das le la Comlexe Remarque : = cos = : coefficiet d'amortissemet Si = : Les racies sot égales (, ):, =, = = / Réose à u échelo uité E() = / S() = Si < < : Les racies imagiaires coduiset à ue solutio oscillatoire amortie. Le régime ermaet est ici s(t) = (lim s(t) = lim S() = ) t Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 4

41 La solutio est : S() = = ( ) ( ) ( ) ( ) Or L - t = e cos( ) t ( ) ( ) et L - t = e si( ) t ( ) ( ) (t ) (t ) s(t) = L - {S()} s(t) = e t cos( )t si( )t si(a).cos(b) cos(a).si(b) si(ab) (t ) E osat : si a = (<) et Cos a = (<) tg a = a = arctg ( ) b = ( ) t O aura : s(t) = e.si t arctg t (t ) Si = : Les racies (ôles) sot égales : système amorti critique. S() = = ( t O aura s(t) = e ( t) ) (t ) Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 4

42 Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 4 Si > : Les racies (ôles) sot égatives et iégales : système aériodique. S() = s(t) = e e t t (t ) s(t) = t a t a a e a e (t ) avec a a La Figure 3 3 doe les réoses idicielles (D et 3D) d'u système du secod ordre e foctio du coefficiet d'amortissemet. Fig. 3 3 : Réoses idicielles d'u système du d ordre e foctio de = = Tems Amlitude.5 Tems Amortissemet Amlitude

43 Réose à ue imulsio uité E() = S() = t Si < < : s(t) = e si t t t Si = : s(t) = te t t t Si > : s(t) = e e t La Figure 3 4 doe les réoses imulsioelles (D et 3D) d'u système du secod ordre e foctio du coefficiet d'amortissemet. = Amlitude = Tems Amlitude Amortissemet 5 Tems 5 Fig. 3 4 : Réoses imulsioelles d'u système du d ordre e foctio de Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 43

44 Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) Réose fréquetielle a - Diagramme de Bode O se lace e régime ermaet siusoïdal : e(t) = E.si(t) s(t) = S.si(t) uisque le système est cosidéré liéaire. E() S() = G() = = j G() = G() ) ( j e, avec : G() = ) ( E ) ( S = j j = j = () =G() = arctg Module : log G() = log log our <<, log G() log (asymtote horizotale). our >>, log G() log log = (log log ) log (asymtote de ete ). Les asymtotes se couet e : log = log log our = Phase : () = arctg

45 our, () = à =, () = 9 our, () = 8 La figure 3 5 doe le diagramme de Bode e foctio du coefficiet d'amortissemet. Bode Diagram =. Phase (deg) Magitude -9 Pete ()..3.6 Pete ( ). = = Frequecy (rad/sec) Fig. 3 5 : Diagramme de Bode d'u système du d ordre e foctio de Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 45

46 Phéomèe de résoace : Pour amorti : =, le module eut tedre vers des valeurs très grades quad le système est as très G() = Si, alors G() O voit doc que das ce cas articulier, la courbe est très loi de l asymtote et que G() a ue valeur bie suérieure à celle révue ar le diagramme asymtotique. Il faut doc teir comte d u héomèe ouveau aelé " résoace " qui se roduit das certaies coditios. Cette résoace a lieu à la ulsatio R our laquelle G(R) est maximum. O eut calculer R e aulat la dérivée du déomiateur de G(). O trouve : R = ( our.77 ) R : ulsatio de résoace. Das ce cas, le gai maximum vaut : GM = O défiit le coefficiet de résoace Q ar le raort du gai maximum au gai our les fréqueces très basses ( ) : Q = GM / = b - Courbe de Nyquist O trace cette fois G() e j ( ) e coordoées olaires. L'allure de la courbe (Fig. 3 6) eut être déduite des courbes de Bode. O voit otammet que : Pour =, G() = et () = Pour, G() et () = 8 Il est difficile de mettre e équatio la courbe, car elle 'a as ue forme classique coue. Pour u système très eu ou as amorti, la résoace a lieu our = /T, doc our tg =, soit = 9 Plus est grad, lus la courbe est " etite " et se raroche de celle d'u système du er ordre (demi cercle). Quad, 8. Les courbes sot doc tagetes à l'axe réel. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 46

47 Imagiary Axis =. Real Axis Fig. 3 6 : Lieu de Nyquist d'u système du d ordre e foctio de Remarque : Nous avos mis e évidece différetes fréqueces ou ulsatios ; il coviet de e as les cofodre: Pulsatio rore o amortie = /T (ulsatio de cassure) Pulsatio rore amortie = Pulsatio de résoace R = Das le cas d'u système très eu amorti ( très etit), les 3 ulsatios euvet être cofodues c - Courbe de Black Les courbes de Black ermettet de mettre facilemet e évidece la résoace car elle corresod à u maximum de la courbe ; Plus le système est amorti, lus le maximum est faible. L'allure du lieu de Black est doée sur de la figure 3 7. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 47

48 = Gai Phase (deg) Fig. 3 7 : Lieu de Black d'u système du d ordre e foctio de d - Exemles de systèmes du ème ordre R L R C L C ve C vs ve L vs ve R vs Vs() V () RC LC e Vs() RC V () RC LC e Vs() LC V () RC LC e ici : LC et R C L Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 48

49 Chaitre 4 : STABILITE DES SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES 4- - Notio de stabilité d'u système Défiitio de la stabilité O dira qu'u système liéaire est stable si, arès avoir soumis so etrée à ue brusque variatio (échelo uité, ar exemle) : le mouvemet amorcé ar sa sortie reste boré e amlitude (c'est à dire que la sortie garde ue valeur fiie) ce mouvemet s'amortit lus ou mois vite et la sortie ted vers u état d'équilibre. Les réoses idicielles des figures 4 et 4 corresodet à celles de systèmes stables. Nous retrouvos les critères cités ci-dessus. s(t) s(t) Fig 4 : Système oscillatoire amorti (stable) Fig 4 : Système o oscillatoire amorti (stable) La figure 4 3 est u cas de système istable. Les oscillatios sot de lus e lus imortates et le système e retrouve as so état d équilibre. Physiquemet, u système istable dot la réose croit sas limite eut se causer des dommages ou e causer à autrui (dager our l être humai). E ratique, la majorité des systèmes sot coçus avec des disositifs de limitatio. Si o cosidère le cas où des oscillatios ersistet idéfiimet (cas du omage de la figure 4 4), o eut cosidérer le système comme stable (système margialemet stable) uisque sa sortie garde ue valeur fiie, à coditio que l'amlitude e soit as tro grade. s(t) s(t) Fig 4 3: Système oscillatoire diverget (istable) Fig 4 4: Système oscillatoire (margialemet stable) Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 49

50 La stabilité est ue coditio imérative. Pour que les systèmes soiet utilisables e asservissemet, il est absolumet écessaire que les foctios de trasfert e boucle fermée FTBF soiet stables. Ceci imlique toutefois as que les FTBO soiet stables Asect mathématique de la stabilité Cosidéros u système asservi quelcoque dot la foctio de trasfert est : A() H() = A().B() Si o evoie sur l'etrée u échelo uité E()=/, alors : S() = A() A().B() tye Nous avos vu au chaitre 3, que S() ouvait se mettre sous la forme d'u quotiet de olyômes du N() et que celui-ci ouvait se décomoser e ue somme de fractios ratioelles : D() S() = N() D() = C C... où les i sot les racies réelles ou comlexes de D(). Preos, ar exemle, le cas où le déomiateur cotiet des racies ulles (ôles multiles), des racies réelles (ôles réels) et des racies comlexes. C'est-à-dire qu'il est de la forme : D() = ( )...( ) ( )...( ) La décomositio de S() e fractios ratioelles sera : S() = i k j Ai Bk i i k k j C D ( ) j j j j Les racies comlexes état j j j (j artie réelle, j artie imagiaire), cherchos l'origial s(t) de S() qui est la réose du système à u échelo uité. O trouve : s(t) = A i (i) k j Ait kt Bk.e i (i )! k j F.e j t j.si( t ) j j O costate doc que la sortie garde ue valeur fiie quad t, si les coditios suivates sot remlies : Les k et les j doivet être égatifs our que les exoetielles corresodates soiet décroissates. Les Ai doivet être uls sauf A. Nous verros das la suite que our certaies foctios de trasfert, la résece de ôles multiles uls 'etraîe as forcémet ue augmetatio ifiie de la sortie. E effet, les termes e / ot ue actio d'itégratio, leur ifluece eut être combattue ar des actios de dérivatio roveat de terme e au umérateur. S'il 'e est as aisi, le système ossédat des Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 5

51 ôles multiles à l'origie au déomiateur de sa foctio de trasfert est dit " itrisèquemet istable ", c'està-dire qu'aucue modificatio des coefficiets e eut le redre stable Coditios de stabilité U système liéaire est stable si aucue des racies du déomiateur de sa foctio de trasfert 'a de artie réelle ositive. Cela exclut : Les racies réelles ositives. Les racies comlexes à arties réelles ositives. O eut formuler ceci autremet : U système asservi bouclé est stable si tous les ôles de la FTBF sot localisés das le demi-la gauche du la comlexe. U système asservi bouclé est istable si sa FTBF comred, au mois, u ôle localisés das le demi-la droit du la comlexe et/ou des ôles de multilicité > sur l axe imagiaire. Si le système comred ue seule aire de ôle sur l axe imagiaire ou u ôle uique à l origie, le système est dit margialemet stable. Sa réose sera oscillatoire o amortie ou o oscillatoire à variatio costate lorsque t. La figure 4 5 récaitule les cas ossibles suivat le sige et la ature des racies. Imagiaire Système oscillatoire amorti ( racies comlexes à artie réelles < ) Régime oscillatoire diverget ( racies comlexes à artie réelles > ) X X X X X X Réel X X X Régime o oscillatoire amorti ( racie réelle < ) Régime o oscillatoire diverget ( racie réelle > ) Régime oscillatoire o amorti ( racies imagiaires ures) Régime o oscillatoire diverget ( racie réelle ulle) Fig. 4 5 : Récaitulatif des comortemets des systèmes selo la ositio et le sige des ôles (selo les réoses idicielles). Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 5

52 Mais les coditios de stabilité aisi défiies e sot as suffisates our caractériser u système asservi : u système très mal amorti sera iutilisable, il faudra doc toujours défiir des marges dites de sécurité sur les coefficiets d'amortissemet. Remarque à roos des systèmes istables : Quad o a affaire à u système istable, sa sortie ted théoriquemet vers l'ifii si o soumet so etrée à ue brusque variatio. E réalité, sa sortie e ted as vers l'ifii, mais vers ue valeur qui corresod à la saturatio. Cette valeur eut être très grade et coduire à la destructio du système. E tout état de cause, das le cas où la foctio de trasfert a des ôles à arties réelles ositives, le système sort raidemet de so domaie de liéarité et ses équatios e sot lus valables Etude de la stabilité d'u système bouclé Le système asservi bouclé de la figure 4 6 a our foctio de Trasfert : S() E() A() A().B() E _ A() S B() Fig. 4 6 : Schéma foctioel d u système asservi bouclé Sa stabilité est coditioée ar le sige des arties réelles des racies du déomiateur. Il suffira, doc, d'étudier l'équatio : A().B() =, et de chercher le sige de ses racies. Plusieurs moyes sot ossibles our y arriver : a) er moye : Calculer les racies de A().B() = Cette méthode est boe uisqu'elle ous doe égalemet les valeurs des racies e lus de leurs siges. Mais elle est ratiquemet ialicable à cause de la grade difficulté qu'elle résete si le degré du olyôme est imortat. L'usage d'u ordiateur eut simlifier le travail, car il eut aussi tracer le lieu des racies quad o fait varier les aramètres. C'est ue méthode très uissate. b) ème moye : Discuter le sige des racies sas les calculer, à artir des coefficiets du déomiateur (critère de Routh-Hurwitz ) Malheureusemet, si le système trouvé est istable, o e sait as sur quel aramètre il faut agir our le redre stable. Il faut e lus coaître la foctio sous sa forme mathématique. c) 3 ème moye : Utiliser le critère de Nyquist (méthode grahique). Cette méthode est itéressate car elle 'a as les icovéiets du critère de Routh. A savoir, o eut utiliser directemet les résultats exérimetaux sas coaître les équatios du système et elle motre grahiquemet sur quels aramètres o eut agir our redre le système stable. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 5

53 4- - Critère de Routh - Hurwitz Eocé du critère Soit P() le déomiateur de la foctio de trasfert e boucle fermée. P() eut être écrit sous la forme : P() = A().B() = a a -.. a - a (Équatio caractéristique de la foctio de trasfert e boucle fermée) Pour que le système soit stable, il faut et il suffit que les racies de P() 'aiet as de arties réelles ositives. 4-..a - Critère d Hurwitz Ce critère (écessaire mais as suffisat) idique que le système est istable si les a i sot de siges différets ou certais sot uls. 4-..b - Critère de Routh-Hurwitz La coditio écessaire et suffisate de stabilité est alors que tous les termes de la ère coloe du tableau de Routh soiet de même sige. O costruit le tableau de Routh de la maière suivate : Pour P() = a a -.. a- a, le tableau de Routh est simlemet ue matrice carrée avec ue lige our chaque uissace de das le olyôme de l équatio caractéristique. : : : 3 : : ère lige : coefficiets des termes e k (avec k =,,, ) ème lige : coefficiets des termes e (k) (avec k =,,, ) 3ème lige : combiaiso des liges récédetes 4ème lige : combiaiso des liges récédetes derière lige : combiaiso des liges récédetes Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 53

54 Si, ar exemle, P() = a 7 a 6 a 5 a3 4 a4 3 a5 a6 a7, alors le tableau de Routh se costruit comme suite : 7 : a a a4 a6 6 : a a3 a5 a7 a 5 a aa : b = a 3 b3 = a a 4 a a a 5 b5 = a a 6 a a a 7 b 4 a 3 ab : c = b 3 c3 = b a 5 a b b 5 c5 = b a 7 a. b = a7 c 3 b 3 bc : d = c 3 d3 = c b 5 b c c 5 d c 3 cd : e = d e d3 de : f = e 3 3 e3 = d c 5 c. d = c5 f e : g = 3 e. f = e3 Routh a démotré que le ombre de " ôles istables " (c'est -à-dire le ombre de ôles à artie réelle ositive) de la foctio de trasfert e boucle fermée est égal au ombre de chagemet de sige que comorte la ère coloe, lue de haut e bas. Si ce ombre est différet de zéro, alors le système est istable. Remarques : Cette méthode a l'avatage d'être raide est exacte, mais elle e doe as ue mesure de la stabilité comme les autres critères ; car elle se bore à dire si le système est stable ou o. De lus, elle est ialicable si o e coaît as l'exressio mathématique de la foctio de trasfert. Le critère de Routh est itéressat our coaître le ombre de racies réelles ositives, mais il est icaable de doer des reseigemets sur l'amortissemet du système quad celui-ci est stable. La méthode est ceedat e défaut das les cas suivats : Si tous les coefficiets d'ue lige sot uls. Si u terme de la ère coloe de gauche est ul à l'exclusio des autres termes de la même lige. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 54

55 4-. - Exemle P() = ( gai variable) ère coditio (critère d Hurwitz) : > > - ème coditio (critère de Routh-Hurwitz) : tableau de Routh 3 : 3 : 3 : 9 ( ) 3 : Pour que le système soit stable, il faudrait que : 9 ( ) 3 C'est-à-dire : - < < 8 (coditio écessaire et suffisate de stabilité) Si cette coditio 'est as vérifiée, c'est-à-dire, si : < -, il y a seul chagemet de sige das la ère coloe; doc u seul ôle istable. > 8, il y a chagemet de sige das la ère coloe; doc ôles istables. Si ( = - ou = 8), (frotière etre la stabilité et l'istabilité) o dit que le système est oscillat (margialemet stable) Exemle (lige comlète de zéros) Nous avos dit que si ue lige comlète était comosée de zéro, la méthode était e défaut. E fait, il est quad même ossible d'e tirer des coclusios moyeat certais améagemets. Si P() = Alors, le tableau de Routh est : 5 : : Divisio de la lige ar 7 3 : : - - : - : - Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 55

56 La 3 ème lige est ulle. O substitue alors à cette lige les coefficiets obteus e différetiat ue foctio fictive, aelée olyôme auxiliaire, costruite sur la lige récédat la lige ulle. Le olyôme auxiliaire our l exemle e cours s écrit : Q() = Si ous le dérivos, ar raort à, ous obteos alors : dq () = 43 d Les coefficiets de ce olyôme remlacemet ceux de la lige ulle das le tableau iitial. Le tableau deviet alors : 5 : : : 4 3 : 3 8 : /3 : 8 Il y a aucu chagemet de sige sur la ère coloe du tableau, doc aucue racie à artie réelle ositive. Le système est doc stable Exemle 3 (u zéro sur la remière coloe) Si le remier élémet de la lige est ul, la lige suivate e ourra as être calculée car il y aurait ue divisio ar zéro. Pour éviter cela, o utilise u ombre de valeur très faible (esilo) our remlacer le zéro de la remière coloe. eut tedre vers zéro ar valeur ositive ou égative, our ermettre ar la suite le calcul du ombre de chagemet de sige de la remière coloe. Cosidéros le système dot la FTBF G() = P() = Alors, le tableau de Routh est : 5 : : : 7/ : : : 3 Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 56

57 Cosidéros uiquemet le chagemet de sige das la remière coloe et calculos le sige de chaque lige das les cas ( et ) : ère coloe 5 : 4 : 3 : : : : 3 Si est choisi ositif, il y a chagemets de sige. S il est choisi égatif, il y a égalemet chagemets de sige. Le système a doc ôles das le demi-la droit du la comlexe ( ôles istables) et ce est as imortat si ous choisissos d arocher le zéro ar valeur ositive ou égative. Ceci est toujours le cas Critère de Nyquist Le critère de Nyquist ermet de détermier la stabilité d u système bouclé sur la base de sa réose harmoique e boucle ouverte Éocé du critère de Nyquist La coditio écessaire et suffisate de stabilité d'u système asservi liéaire est que so lieu de trasfert e boucle ouverte, arcouru de = à =, etoure le oit critique (,) das le ses trigoométrique u ombre de fois égal au ombre de ôles istables de la foctio de trasfert e boucle ouverte. État doé u système asservi, FTBO() = A().B(). défii ar sa foctio de trasfert e boucle ouverte La relatio : Z = P N doe le ombre Z de zéros istables de l'équatio caractéristique FTBO() = et doc de ôles istables de la FTBF(), avec : P : Nombre de ôles istables de la FTBO(), N : Nombre de tours que fait le lieu comlet de Nyquist ( variat de à ) autour du oit critique (,) das le ses trigoométrique ( ses ati-horaire ). E articulier, le système asservi est stable, à coditio que : Z = P = N Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 57

58 E ratique, o retiedra les étaes suivates our aliquer le critère de Nyquist : Étudier la stabilité de la FTBO P: ombre de ôles istables de la FTBO. Tracer le lieu de Nyquist comlet de la FTBO ( variat de - à ). Calculer le ombre de tours (comtés algébriquemet das le ses trigoométrique), soit N, que fait le lieu comlet de Nyquist ( variat de - à ), autour du oit critique (-,). E déduire Z = P N = ombre de ôles istables de la FTBF Exemle Soit u système asservi à retour uitaire dot la FTBO est : G() = Discutos sa stabilité suivat les valeurs de. T (T > ) > (fig. 4 7) La FTBO() a u ôle istable = /T. P = Imag. Le ombre de tours autour du oit (-,) est : N = Z = P N = ôle istable de la FTBF = = Réel Système istable e boucle fermée. Ce système est istable e boucle ouverte et istable e boucle fermée. Fig. 4 7 < (fig. 4 8) P = Imag. N = Z = P N = Pas de ôle istable de la FTBF Système stable e boucle fermée. = = Réel Ce système est istable e boucle ouverte et stable e boucle fermée. Fig. 4 8 < < (fig. 4 9) P = Imag. N = Z = P N = ôle istable de la FTBF Système istable e boucle fermée. = - = - Réel Ce système est istable e boucle ouverte et istable e boucle fermée. Fig. 4 9 Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 58

59 Vérificatio la stabilité ar le critère de Routh : FTBO() = T FTBF() = T ( retour uitaire) Équatio caractéristique : T = : T : Pour que le système soit stable, il faudrait que : < < Critère de Nyquist simlifié (critère du Revers) Il est déduit du critère de Nyquist : U système stable e Boucle Ouverte, est stable e Boucle Fermée, si le tracé du lieu de Nyquist de la FTBO, décrit das le ses des ulsatios croissates ( variat de à ), laisse le oit critique (,) à sa gauche. Il est istable das le cas cotraire. Le critère du Revers est d'u emloi lus commode que le critère de Nyquist, car il e met e œuvre que le lieu hysique de la FTBO (corresodat aux ulsatios ositives) Par cotre, le critère du Revers est mois gééral, et il e eut s'aliquer sas dager que lorsque la otio de "gauche" 'est as ambiguë (Fig. 4 ). Imag. Réel Fig. 4 : Cas d'ambiguïté das l alicatio du critère du revers Marges de stabilité Pour u système stable e Boucle Ouverte, ous veos de voir que la stabilité e Boucle Fermée déed de la ositio du lieu de Nyquist de la FTBO ar raort au oit critique (-,). Le critère de Nyquist sécifie que le lieu de Nyquist doit laisser le oit à gauche lorsqu o le arcourt das le ses croissat des. Le cas où il existerait ue ulsatio à laquelle le lieu traverserait exactemet ce oit est u cas limite corresodat à u système e boucle fermée dot la stabilité serait margiale. Mais la tedace vers l istabilité est graduelle : lus le lieu de Nyquist est roche du oit critique, mois le degré de stabilité est bo, et lus o aura ar exemle d oscillatios avat stabilisatio e boucle fermée. De faço à quatifier le degré de stabilité d u système asservi, il est doc utile de chiffrer la distace etre le lieu de Nyquist et le oit critique (, ). La mesure effective de la distace miimum état as chose aisée d u oit de vue mathématique, o réfère, de maière traditioelle, évaluer idirectemet cette distace ar les mesures des marges de hases et de gai G. Ces marges rerésetet des marges de sécurité ar raort à l'état istable. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 59

60 Ces gradeurs sot défiies de la maière suivate : La marge de hase d u système est mathématiquemet la différece etre la hase de FTBO(c) c'est-à-dire (c), et 8 : = (c) 8 La marge de hase ermet de réserver la stabilité e déit de la résece de retards arasites ar exemle dus à la trasmissio des sigaux dot o 'a as teu comte au momet de l'étude de la stabilité. La marge de gai G a our exressio : G = FTBO( ) Elle ermet de réserver la stabilité e déit des fluctuatios de gai, qui affectet, e articulier, les amlificateurs de la chaîe de uissace. Pour qu'u système soit stable, il faudrait que : > et G > Ces marges sot illustrées sur le lieu de Nyquist des figures 4 et 4. c Imag. Imag. G Réel FTBO() G Réel FTBO() c FTBO( ) G Fig. 4 : Illustratio des marges de gai et de hase sur le lieu de Nyquist (cas d u système stable) Fig. 4 : Illustratio des marges de gai et de hase sur le lieu de Nyquist (cas d u système istable) Valeurs usuelles de et G Les marges défiies ci-dessus ermettet d évaluer la distace etre le oit critique et le lieu de Nyquist e boucle ouverte. Imoser leurs valeurs reviet à s assurer que l o ait jamais FTBO() =, c'est-àdire jamais simultaémet (our la même ulsatio) : FTBO( ) 8 FTBO( ) L exériece motre que our des systèmes classiques (otammet à hase miimale), u bo degré 45 6 de stabilité e boucle fermée est obteu si l o est caable d imoser : G 8 5 db Avec ces valeurs, o obtiet das la luart des cas ue aire de ôles domiats e boucle fermée caractérisés ar u coefficiet d amortissemet,5,77. Pour régler la stabilité d'u système, il est souvet délicat de raisoer e teat comte des deux marges à la fois. Das ce cas, o rivilégie, e gééral, la marge de hase. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 6

61 Critère de Stabilité utilisat les courbes de Bode et de Black Les marges de gai et de hase défiie récédemmet euvet égalemet être rerésetées sur le diagramme de Bode (figures 4 3 et 4 4) et sur le lieu de Black-Nichols (fig. 4 5 et 4 6). G() G() c G > G < c 8 8 > < Fig. 4 3 : illustratio des marges de gai et de hase sur le diagramme de Bode (cas d u système stable : G > et > ) Fig. 4 4 : illustratio des marges de gai et de hase sur le diagramme de Bode (cas d u système istable : G < et < ) 8 G() G() G c () G c () FTBO() -8 FTBO() Fig. 4 5 : illustratio des marges de gai et de hase sur le lieu de Black-Nichols (cas d u système stable : G > et > ) Fig. 4 6 : illustratio des marges de gai et de hase sur le lieu de Black-Nichols (cas d u système istable : G < et < ) Marge de stabilité aliquée à la ositio des ôles de la FTBF La otio de marge de stabilité aliquée à la FTBF coduit à s iterdire u domaie our la ositio des ôles das le la comlexe. O s imose, e gééral, avec = cos =.5) (fig. 4 7). 6 (ce qui corresod à u système du deuxième ordre Imag = 6 Réel Fig. 4 7 : illustratio de la marge de stabilité imosée sur la ositio des ôles das le la comlexe. Zoe iterdite Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 6

62 Chaitre 5 : PERFORMANCES DES ASSERVISSEMENTS 5- - Itroductio Nous suoseros das l étude qui suit que les systèmes asservis étudiés sot stables. La récisio d u système est défiie à artir de l erreur etre la gradeur de cosige E et la gradeur de sortie S (fig. 5 ). Nous distigueros la récisio statique qui caractérise la limite de l erreur au bout d u tems ifii our ue etrée doée, c est-à-dire le régime ermaet, et la récisio dyamique qui tiet comte des caractéristiques d évolutio du rocessus e régime trasitoire Performaces Statiques des Systèmes bouclés Erreur statique La récisio d u asservissemet, e régime ermaet, est défiie ar l écart ermaet (t) qui existe etre la sortie réelle et celle que l o désire obteir. Par défiitio, o dira qu u système est d autat lus récis que le sigal d erreur (t) est lus faible. L idéal serait que l o ait : (t) =, t E ratique, il e est autremet, car : La cosige eut varier : la recherche de la miimisatio de (t), e déit de ces variatios, costitue u roblème de suivi (ou de oursuite). U sigal de erturbatio aléatoire (exemle : u bruit) eut veir de sueroser au sigal utile e u oit de la chaîe : le maitie de (t), e déit de la erturbatio, costitue u roblème de régulatio. E - _ R A S B Fig. 5 : Schéma gééral d'u asservissemet Calculos l'erreur statique : () = E() R() Or R() = S(). B() et S() = (). A() () = E() - (). A(). B() () = E() A().B() (5 ) D arès le théorème de la valeur fiale { lim f(t) lim.f( ) }, l erreur statique s (ou ecore ) est t doée ar la relatio : s = lim (t) lim. () t Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 6

63 s = E() lim. A().B( ) = E() lim. FTBO() Erreur statique (5 ) s déed doc à la fois : du système cosidéré {résece de A().B()}, du sigal d etrée aliqué {résece de E()}. Adotos la otatio suivate : : le ombre d itégrateurs que comorte la FTBO() FTBO() = A(). B() = a a. b b = etier est aelé classe du système m : l ordre du sigal d etrée caoique E E() = m m = etier Si m = échelo Si m = rame Si m = 3 Accélératio 5-..a - Erreur statique our ue etrée échelo C est l erreur qui subsiste e régime ermaet sur la réose idicielle (fig. 5 ). Etrée de référece e(t) = E.u(t) Erreur s costate Sortie s(t) Fig. 5- : Erreur statique our ue etrée échelo t Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 63

64 Si l etrée vaut : E() = E s = s = E() lim. FTBO() = E e E lim FTBO() Avec e = FTBO() lim = Costate d erreur statique d échelo ou gai statique e Boucle ouverte a a Pour les systèmes de classe : e = lim. b b = s = E = cte Pour les systèmes de classe > : e = lim a a. b b = s = 5-..b - Erreur statique ( ou erreur de traîage ) our ue etrée rame (ou vitesse) C est l erreur qui subsiste e régime ermaet sur la réose à ue rame (fig. 5 3). Etrée de référece e(t) = E.t.u(t) Erreur s Sortie s(t) t Fig. 5 3 : Erreur statique our ue etrée rame Si l etrée vaut : E() = E s = E() E lim. = lim FTBO(). FTBO() E = lim.ftbo() s = E v Avec v = lim.ftbo() = Costate d erreur statique de vitesse a a Pour les systèmes de classe : v = lim.. b b = s = a a Pour les systèmes de classe : v = lim.. b b = s = E = cte a a Pour les systèmes de classe > : v = lim.. b b = s = Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 64

65 5-..c - Erreur statique our ue etrée arabolique (ou accélératio) C est l erreur qui subsiste e régime ermaet sur la réose à ue etrée accélératio (fig. 5 4). Etrée de référece Erreur s t e(t) = E..u(t) Sortie s(t) t Fig. 5 4 : Erreur statique our ue etrée accélératio Si l etrée vaut : E() = E 3 s = E() lim. FTBO() = lim E. FTBO() E = lim.ftbo() s = E = cte Avec a = lim. FTBO() a = Costate d erreur statique d accélératio Pour les systèmes de classe : a = lim a a.. b b = s = Pour les systèmes de classe : a = lim Pour les systèmes de classe : a = lim a a.. b b a a.. b b = s = = s = E = cte Pour les systèmes de classe > : a = lim a a.. b b = s = 5-..d - Récaitulatif des erreurs statiques Le tableau 5 récaitule les valeurs de l erreur statique e foctio : de la classe du système de l ordre du sigal d etrée caoique du gai de la FTBO du système Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 65

66 Classe du système Costates d'erreur statique e v a Etrée Echelo E e Erreur statique s Etrée Vitesse E v Etrée accélératio E a E E E 3 Tableau 5 : Récaitulatif des erreurs statiques Remarques imortates: Les costates d erreurs e, v, et a décrivet l atitude du système asservi à réduire ou élimier l erreur statique. Elles reseiget, ar coséquet, sur les erformaces du système e régime ermaet. Il est gééralemet référable d accroître les costates d erreurs, tout e maiteat la réose trasitoire das des roortios accetables ; E effet, l erreur statique, lorsqu elle est fiie et o ulle, décroît lorsque le gai e boucle ouverte croît. Mais cette croissace du gai eut détériorer la stabilité du système. Cette roriété est coue sous le om de " Dilemme Stabilité Précisio ", qui écessite souvet u comromis. Il est à oter égalemet que our améliorer les erformaces e régime statique, ous ouvos augmeter la classe du système e ajoutat u ou des itégrateur(s) das la chaîe directe du système. Ceci eut, ceedat, egedrer des roblèmes de stabilité sulémetaires Gai statique e boucle fermée Pour u système stable, le gai statique e boucle fermée est défii ar : lim s = t s(t) e(t) = lim FTBF() Exemle Soit le système asservi de la figure 5 5. Calculos ses différetes erreurs statiques our différetes etrées caoiques : Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 66

67 E - _ 4 ( ) S Fig. 5 5 : Exemle d u système asservi Il faut s'assurer, tout d'abord, de la stabilité du système. Utilisos our cela le critère de Routh : 4 FTBO() = = ( ) ( ) : /4 ( ) FTBF() = = ( ) 4 : / Tous les termes de la ère coloe sot de même sige : système stable Gai statique e boucle fermée : s = lim FTBF() = E() Etrée échelo : s = lim. = avec E() = / (E = ) FTBO() Ou alors : e =, uisqu'il s'agit d'u système de classe. s = E e = / = E() Etrée vitesse : s = lim. = / avec E() = / (E = ) FTBO() Ou alors : v = =, uisqu'il s'agit d'u système de classe. s = E = / v E() Etrée accélératio : s = lim. = avec E() = / 3 (E = ) FTBO() Ou alors : a =, uisqu'il s'agit d'u système de classe. s = E a = Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 67

68 5-3 - Performaces Dyamiques des Systèmes bouclés Das la majorité des cas ratiques, les caractéristiques de erformaces désirées our les asservissemets sot exrimées relativemet au tems. Les systèmes qui emmagasiet de l'éergie e euvet réodre istataémet et résetet des réoses trasitoires à chaque fois qu'ils sot soumis à des etrées ou erturbatios. Gééralemet, le comortemet dyamique d'u système eut être etièremet caractérisé ar la réose temorelle de ce système suite à ue etrée échelo uisqu'elle est facile à géérer (Fig 5 6). s(t) s( %. s( d s( 5 % - 5 % 5%. s( t s( td s( tr s( t s( ts s( Fig 5 6 : caractéristiques de la réose trasitoire La réose trasitoire d'u système suite à ue etrée échelo déed des coditios iitiales. Par commodité das la comaraiso des réoses trasitoires de différets systèmes, il est lus ratique d'utiliser les coditios iitiales stadards (système au reos à l'istat iitial et toutes les dérivées ar raort au tems sot ulles). Les caractéristiques des réoses euvet alors être comarées. La réose trasitoire des systèmes asservis ratiques résete souvet des oscillatios amorties avat d'atteidre le régime ermaet. Les critères de erformaces, commuémet utilisés our la caractérisatio des systèmes asservis liéaires das le domaie temorel, sot défiis comme suit : Tems de retard (time delay), t d : il est défii comme état le tems écessaire our que la réose atteige la moitié de sa valeur fiale. Tems de motée (rise time), tr : tems écessaire à la réose our évoluer de à 9%, de 5 à 95%, ou de à % de sa valeur fiale. Pour les systèmes du d ordre eu amorti, le tems de motée de à % est lus gééralemet utilisé. Pour les systèmes très amortis, l'évolutio de à 9% est lus souvet choisie. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 68

69 Tems de ic (eak time), t : tems écessaire our atteidre le er ic de déassemet. Déassemet maximum, d : c'est la valeur du ic maximal de la réose mesurée relativemet à l'uité. Si la valeur fiale du régime ermaet diffère de l'uité, o utilise lus souvet le déassemet maximal exrimé e ourcetage. Il est défii ar : d % = s(t ) s( ) s( ) % (5 3) L'imortace de ce déassemet maximum (e %) est qu il reseige directemet sur la relative stabilité du système. Tems de réose ou d'établissemet (settlig time), t s : c'est le tems requis our que la courbe de sortie atteige et reste à l'itérieur d'ue bade, exrimée e ourcetage (gééralemet 5%), relativemet à sa valeur fiale. Ces 5 gradeurs doet ue mesure directe de la caractéristique trasitoire du système asservi relativemet à sa réose idicielle. Cela veut dire que le système doit être modifié jusqu'à ce que la réose trasitoire soit satisfaisate. Il est à oter que ses gradeurs e sot as toutes, écessairemet, alicables à 'imorte quel système. Pour u système très amorti (o oscillat), t et d e sot as défiis Remarques sur les caractéristiques de la réose trasitoire Exceté our certaies alicatios our lesquelles les oscillatios e sot as tolérables, il est référable que la réose soit suffisammet raide et suffisammet amortie. Aisi, our ue réose trasitoire accetable d'u système du d ordre, le coefficiet d'amortissemet doit avoir ue valeur.4.8 : De faibles valeurs de ( <.4) roduiset u déassemet excessif de la réose trasitoire. Des valeurs imortates de ( >.8) doet ue réose très lete. Nous verros, lus loi, que le déassemet maximum et le tems de motée e euvet as être faibles tous les deux, simultaémet. Si l'u d'eux est dimiué, le secod croît écessairemet Caractéristiques de la réose trasitoire des systèmes du d ordre Das la suite, ous allos détermier le tems de motée, le tems de ic, le déassemet et le tems de réose ou d'établissemet d'u système du d ordre e foctio de et de. Le système est cosidéré comme état eu amorti a - Tems de motée t r (rise time) Le système cosidéré résete ue sortie s(t) telle que (voir 3 6 ) : s(t) = cos(t. ) si(t. ) e t (5 4) Pour tr, la sortie vaut : s(tr) = Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 69

70 r cos(t. ) si(t. ) = uisque e t tg tr. = tr = arctg (5 5) Avec, et défiis sur la figure 5 7, il viet : tr = arctg tr = (5 6) Il est clair que our de faibles valeurs de tr, doit être imortate. Imag = Pôle - = j Réel cos() = Fig 5 7 : défiitio de, et A artir de l'équatio 5 6, la figure 5 8 motre les variatios de (.tr) e foctio de..tr Fig 5 8 : Variatios de.tr e foctio de. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 7

71 5-3..b - Tems de ic t (eak time) Le tems de ic corresod au maximum de la sortie s(t). Il est obteu e écrivat que la dérivée de s(t) ar raort au tems est ulle e ce oit. s(t) = cos(t. ) si(t. ) e t ds(t) dt = e t cos(.t) si(.t) e t. si(.t) cos(.t) ds(t) dt = e t si(.t) ds(t) dt = si :. t = (cette solutio corresod au maximum uiquemet lorsque ). si(.t) = si(.t) =.t =. =,,, t = =,,, (5 7) Le tems de ic corresod au remier déassemet ( = ), doc : t = = (5 8) smax s(t) s( s( Déassemet maximum d s( smi s( T : seudo ériode T t t 3 4 s( Fig. 5 9 : Périodicité des maximas et miimas de la réose idicielle Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 7

72 E se référat à l équ.(5 7) et à la fig. (5 9), les maximas de la réose trasitoire aaraisset aux valeurs imaires de. Les miimas, à celles aires. Remarque : Il est à oter que bie que la réose idicielle our e soit as ériodique, les maximas et les miimas de la réose aaraisset à des itervalles ériodiques de ériode T (fig. 5 9) c - Déassemet maximum d (maximum overshoot) Ce déassemet aaraît à t = t = s(t ) s( ) d = = s( ) s (t ) = : = cos(t. ) si(t. ) e t = cos( ) si( ) e ( / ) ( ) d = e d % = ( ) e % (5 9) La figure 5 doe les variatios du déassemet d (exrimé e ourcetage) relativemet au coefficiet d'amortissemet. d% Fig. 5 : Déassemet d% e foctio du coefficiet d'amortissemet. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 7

73 5-3..d - Tems de réose ou d'établissemet t s (settlig time) La sortie s(t) du système cosidéré eut être écrite sous la forme suivate (voir 3 6 ) : s(t) = e t sit. arctg (5 ) Les courbes t e sot les courbes eveloes de la réose idicielle (fig. 5 ). La sortie demeure toujours à l'itérieur de cette aire d'eveloes. La costate de tems de ces eveloes est T =. Amlitude e t T 5 % - 5 % e t T 3 4 Tems t/t Fig. 5 : Paire d'eveloes de la réose idicielle d'u système du d ordre La vitesse de décroissace de la réose trasitoire déed de la costate de tems T. Pour u doé, le tems d'établissemet ts est ue foctio du coefficiet d'amortissemet. Les systèmes très légèremet amortis, résetet u ts lus imortat que celui our les systèmes correctemet amortis. Pour les systèmes très amortis ( > ), le tems d'établissemet deviet imortat à cause du déart très let de la réose (voir réoses idicielles e foctio de, 3 6 ). La descritio aalytique exacte du tems d'établissemet est difficile à obteir. Il est ceedat démotré que, our u critère de 5 % et < <.9, ce tems ts varie légèremet et reste aroximativemet égal à 3 fois la costate de tems T. Il atteit u miimum autour de.68 uis augmete, resque liéairemet, our les grades valeurs de. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 73

74 Par covetio das la comaraiso des réoses trasitoires des systèmes, o adote gééralemet le tems d'établissemet suivat : ts = 3.T = 3 (critère de 5 %) (5 ) A titre d'iformatio, si le critère adoté est celui de %, alors : ts = 4.T Il faudrait oter que ts est iversemet roortioel au roduit du coefficiet d'amortissemet ar la ulsatio rore o amortie. Puisque la valeur de est gééralemet détermiée comte teu des exigeces sur le déassemet maximum admissible, ts est détermié essetiellemet ar la ulsatio rore o amortie. Cela veut dire que la durée du trasitoire eut être variée e ajustat uiquemet, sas modifier le déassemet maximum. A artir de cette aalyse, il deviet évidet que our ue réose raide, doit être imortat. Pour limiter le déassemet maximum d et our réduire ts, le coefficiet d'amortissemet e doit as être tro faible (fig. 5 ). Si.4 < <.8, alors 5 % > d >.5 % 5-3..e - Exemle Cosidéros le système asservi à retour uitaire de la figure 5 dot les aramètres sot : =.6 = 5 rd/s E - _ ( ) S Fig. 5 : Système de d ordre Détermier tr, t, d, et ts lorsque le système est sujet à ue etrée échelo. = = 4 rd/s =. = 3 tems de motée tr : tr = tems de ic t : t = or = arctg =.93 rd ou ecore = arcos ( ) =.93 rd doc tr = =.55 s = 4 =.785 s déassemet d : d % = ( ) e % = 9.5 % tems d'établissemet ou de réose ts à 5% rès : ts = 3 = 3 = s Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 74

75 Relatios Boucle Ouverte Boucle Fermée à retour uitaire a - Système du er ordre Soit le système asservi à retour uitaire de la fig. 5 3, dot la FTBO() = BO Avec : BO et BO resectivemet le gai et la Costate de tems e boucle ouverte. BO E - _ BO BO S Fig. 5 3: Système du er ordre FTBF() = BF BF Avec : BF et BF resectivemet le gai et la Costate de tems e boucle fermée. Alors : BF = BF = BO BO BO BO < Gai e boucle fermée (5 ) < BO Costate de tems e boucle fermée (5 3) La figure 5 4 motre les réoses idicielles e Boucles ouverte et fermée (ex. our BO > ). Ste Resose BO s(t) e BO Amlitude BF s(t) e BF BF BO Time (sec) Fig. 5 4 : réoses idicielles e BO et e BF d'u système du er ordre à retour uitaire Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 75

76 Remarques : Le système e boucle fermée est doc lus raide qu'e boucle ouverte. La ete à l'origie est la même e BO qu'e BF. U système du er ordre e BO (BO, BO) reste u système du er ordre e BF (BF, BF) b - Système du d ordre Soit le système asservi à retour uitaire de la fig. 5 5, dot la FTBO() = BO BO BO BO Avec : BO, BO, et BO resectivemet le gai, le coefficiet d'amortissemet, et ulsatio rore o amortie e boucle ouverte. E - _ BO BO BO BO S Fig. 5 5 : Système du d ordre FTBF() = BF BF BF BF Avec : BF, BF, et BF resectivemet le gai, le coefficiet d'amortissemet, et ulsatio rore o amortie e boucle fermée. Alors : BF = BF = BO BO BO BO < Gai e boucle fermée (5 4) < BO Coefficiet d'amortissemet e boucle fermée (5 5) BF = > BO Pulsatio rore o amortie e boucle fermée (5 6) BO BO La figure 5 6 motre les réoses idicielles e boucles ouverte et fermée (ex. our BO > ). Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 76

77 Ste Resose s(t) e BO BO Amlitude s(t) e BF BF Time (sec) Fig. 5 6 : réoses idicielles e BO et e BF d'u système du ème ordre à retour uitaire Remarques : Le système e boucle fermée est doc lus oscillat qu'e boucle ouverte (BF < BO), le système e boucle fermée est lus raide qu'e boucle ouverte (td, t, tr sot lus faibles), le tems d'établissemet à 5% rès est idetique, car le roduit (.) reste costat. U système du ème ordre e BO (BO, BO, BO) reste u système du ème ordre e BF (BF, BF, BF) c - Relatios d'aroximatios E rerésetatio asymtotique de Bode, le gai d'u système du ème ordre a l'allure suivate : Gai (échelle log) BO () (-) (échelle log) Fig. 5 7 : Diagramme du module (rerésetatio asymtotique de Bode) B co Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 77

78 Pete = = Ce qui doe : log log log log BO co co = (5 7) BO BO Remarque : Cette relatio est aroximative uisqu'elle est obteue à artir d'u diagramme asymtotique. Si ce système est à retour uitaire, alors d'arès (5 6) : BF = BO BO. Gééralemet, est grad, de sorte que l'o eut écrire : BF = d'où : BO BO BO BO co BF co (5 8) La marge de hase est : = (co) Or :. BO ( co ) arctg BO co BF BO BO BO co (co) =. BO BO arctg = BO. arctg BO BO BO Si BO est grad, alors : (co). BO arctg arctg. BF BO (Car BO BF ) BO (co) - arctg. = arctg. D'où : = arctg. = arctg. BF BF BF BF Coversio e degrés :. 36 D'où : =. arctg.bf BF BF (5 9) Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 78

79 5-4 - Effets de l'additio de ôles et de zéros aux foctios de trasfert Il a été motré das les chaitres récédets que le comortemet dyamique des systèmes asservis déed éormémet de la ositio des racies de l'équatio caractéristique das le la comlexe (ôles de la FTBF). Ceedat, e ratique, u asservissemet réussi e eut déedre uiquemet du choix des valeurs des aramètres du système de faço que les racies de l'équatio caractéristique soiet correctemet lacées. Nous allos voir que : Bie que les racies de l'équatio caractéristique, qui sot les ôles de la FTBF, affectet la réose trasitoire des systèmes asservis liéaires, e articulier la stabilité, les zéros de la foctio de trasfert, s'il y e a, sot égalemet imortats. Aisi le rajout et /ou la suressio de ôles et de zéros idésirables de la foctio de trasfert est souvet écessaire our obteir des erformaces temorelles satisfaisates. Das ce chaitre, ous verros que l'additio de ôles et zéros aux foctios de trasfert e boucle fermée eut avoir des effets différets sur la réose trasitoire des systèmes bouclés Additio d'u ôle sulémetaire à la chaîe directe d'u système asservi à retour uitaire Pour étudier l'effet de l'additio d'u ôle à la chaîe directe d'u système asservi à retour uitaire, cosidéros le système du secod ordre de la figure 5 8, auquel ous rajoutos u ôle ( = / T) sulémetaire sur la chaîe directe (fig. 5 9). E - _ ( ) S E S Fig. 5 8 : système asservi de d ordre à retour uitaire E - _ T ( ) S E T 3 ( T ) S Fig. 5 9 : Rajout d'u ôle sulémetaire à la chaîe directe d'u système asservi de d ordre Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 79

80 La FTBO deviet : G() = ( )( T ) (5 ) La FTBF s'écrit alors : F() = FTBF() = G() = G() T 3 ( T ) (5 ) La figure 5 illustre les réoses idicielles d'u système e boucle fermée lorsque : = rd/s, =, et T =,,, et 5 s.5 Ste Resose T = 5 T = T = Amlitude T = Time (sec) Fig. 5 : Réose idicielle de F() (additio d'u ôle à la chaîe directe). Ex : = rd/s, =, et T =,,, et 5 s Ces réoses motret que : L'additio d'u ôle à la chaîe directe d'u système asservi augmete, gééralemet, le déassemet maximum de la FTBF, aisi que le tems de motée t r (rise time). Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 8

81 Additio d'u ôle sulémetaire à la foctio de trasfert e boucle fermée Cosidéros la foctio de trasfert e boucle fermée d'u système du secod ordre auquel o rajoute u ôle ( = / T ) sulémetaire (Fig. 5 ) : E ( T ) - _ ( ) S E ( )( T) S Fig. 5 : Rajout d'u ôle sulémetaire à la foctio de trasfert d'u système asservi de d ordre F() = FTBF() = ( )( T) (5 ) La figure 5 illustre les réoses idicielles du système e boucle fermée lorsque : = rd/s, =.5, et T =,.5,,, et 4 s.4 Ste Resose. T =.5 T = Amlitude.8.6 T = T = T = Time (sec) Fig. 5 : Réose idicielle de F() (additio d'u ôle à la FTBF). Ex : = rd/s, =.5, et T =,.5,,, et 4 s Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 8

82 Ces réoses motret que : L'additio d'u ôle à la foctio de trasfert e boucle fermée décroît, gééralemet, le déassemet maximum de la FTBF, mais fait augmeter le tems de motée t r (rise time). Si l'o e cosidère que le déassemet, ajouter u ôle à ue foctio de trasfert e boucle fermée a u effet oosé à celui obteu lorsque le ôle est ajouté à la chaîe directe Additio d'u zéro sulémetaire à la foctio de trasfert e boucle fermée Cosidéros la foctio de trasfert e boucle fermée d'u système du secod ordre auquel o rajoute u zéro ( = / Tz ) sulémetaire (Fig. 5 3) : E ( Tz ) - _ ( ) S E ( ( T ) z ) S Fig. 5 3 : Rajout d'u zéro sulémetaire à la foctio de trasfert d'u système asservi de d ordre F() = FTBF() = ( ( T ) z ) (5 3) La figure 5 4 motre les réoses idicielles du système e boucle fermée lorsque : Avec = rd/s, =.5, et Tz =,, 3, 6, et s. Ces réoses motret que : L'additio d'u zéro à la foctio de trasfert e boucle fermée décroît le tems de motée t r (rise time) et augmete le déassemet maximum de la réose idicielle. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 8

83 6 Ste Resose Tz = 5 4 Tz = 6 Amlitude 3 Tz = 3 Tz = Tz = 5 5 Time (sec) Fig. 5 4 : Réose idicielle de F() (additio d'u zéro à la FTBF). Ex : = rd/s, =.5, et Tz =,, 3, 6, et s Additio d'u zéro sulémetaire à la chaîe directe d'u système à retour uitaire Cosidéros qu'u zéro /Tz est ajouté à la chaîe directe d'u système asservi de 3 ème ordre de FTBO G() (Fig. 5 5). E - _ ( Tz ) 6 ( )( ) S E 3 3 6( T ) z ( 6T ) 6 z S Fig. 5 5 : Rajout d'u zéro sulémetaire à la foctio de trasfert d'u système asservi de 3ème ordre G() = 6( Tz) ( )( ) FTBF() = F() = 3 3 6( T ) z ( 6T ) 6 z (5 4) Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 83

84 La différece etre ce cas et celui d'ajouter u zéro à la foctio de trasfert e boucle fermée est que das le cas réset, le terme (Tz ) aaraît o seulemet au umérateur de F() mais le déomiateur de F() cotiet égalemet Tz. Le terme (Tz ) au umérateur de F() augmete le déassemet maximum, mais Tz aaraît das le coefficiet du terme e au déomiateur, ce qui a our effet d'améliorer l'amortissemet ou réduire le déassemet maximum. La figure 5 6, illustre les réoses idicielles lorsque Tz =,.,.5,, 5, et s..8 Tz = Ste Resose.6.4. Tz = Tz = 5 Tz = Tz =. Tz =.5 Amlitude Time (sec) Fig. 5 6 : Réose idicielle de F() (additio d'u zéro à la chaîe directe d'ue FT). Ex : Tz =,.,.5,, 5, et s Il est à oter que lorsque Tz =, le système est au bord de l'istabilité. Lorsque Tz =. et.5, les déassemets maximums sot réduits, ricialemet à cause de l'amélioratio de l'amortissemet. Lorsque Tz croît au delà de, bie que l'amortissemet cotiue à être amélioré, le terme (T z ) au umérateur deviet de lus e lus domiat, et le déassemet maximum deviet de lus e lus imortat au fur et à mesure que Tz augmete. Ue coclusio imortate est à tirer de cette discussio : Bie que les racies de l'équatio caractéristique soiet gééralemet utilisées our étudier le relatif amortissemet et la relative stabilité des systèmes asservis liéaires, les zéros de la foctio de trasfert e doivet as être égligés quat à leurs effets sur les erformaces trasitoires du système. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 84

85 5-5 - Pôles domiats des foctios de trasfert A artir des discussios récédetes, il deviet clair que la ositio des ôles de la foctio de trasfert das le la de Lalace affecte éormémet la réose trasitoire du système. Pour les besois d'aalyse et de sythèse, il est imortat de trier les ôles ayat u effet domiat sur la réose trasitoire. O les aellera ôles domiats. Puisque la majorité des systèmes de cotrôle recotrés das la ratique sot d'u ordre suérieur à deux, il deviet utile d'établir des idicatios quat à l'aroximatio des systèmes d'u ordre imortat ar des systèmes d'u ordre lus faible aussi logtems que la réose trasitoire est cocerée. E sythèse, ous ouvos utiliser les ôles domiats our cotrôler les erformaces dyamiques du système, tadis que les ôles égligeables ou isigifiats sot utilisés afi d'assurer que la foctio de trasfert du régulateur eut être réalisée ar des comosats hysiques. Pour tous les besois ratiques, ous ouvos sectioer, qualitativemet, le la de Lalace e régios das lesquelles les ôles domiats et les ôles isigifiats sot séarés comme sur la figure 5 7. Nous avos, délibérémet, choisi de e as assiger des valeurs sécifiques aux coordoées, uisqu'elles sot toutes relatives au système cosidéré. Les ôles qui sot roches de l'axe imagiaire du côté gauche du la comlexe doet lieu à des réoses trasitoires qui vot s'amortir relativemet doucemet. Les ôles qui se trouvet loi de l'axe (relatif au ôles domiats), corresodet à des amortissemets raides des réoses. La distace D etre la régio domiate et la régio eu sigifiate eut être sujet à discussio : il est établi e ratique et das la littérature que si le module de la artie réelle d'u ôle vaut 5 à fois celle d'u ôle domiat ou d'ue aire de ôles comlexes de ôles domiats, le ôle sera cosidéré comme état égligeable relativemet à la réose trasitoire. j Pla - Zoe des ôles isigifiats D Zoe des ôles domiats Zoe de stabilité Zoe d'istabilité Fig.5 6 : Zoes des ôles domiats et isigifiats das le la - Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 85

86 Chaitre 6 : LIEU D'EVANS (Lieu des racies ou Lieu des ôles) 6- - Itroductio Au chaitre récédet, ous avos démotré l'imortace des ôles et zéros de la foctio de trasfert e boucle fermée des systèmes asservis liéaires sur les erformaces dyamiques du système. Les racies de l'équatio caractéristique, qui sot les ôles de la FTBF, détermiet la stabilité relative et absolue des systèmes liéaires. Ceedat, il faut se raeler que les roriétés trasitoires du système déedet égalemet des zéros de la FTBF. Pour les systèmes asservis liéaires, u oit d'étude imortat est la recherche et l'ivestigatio des trajectoires des racies (lieu des racies) de l'équatio caractéristique lorsque certais aramètres du système variet. Si le système a u gai de boucle variable, la ositio des ôles de la FTBF déed de la valeur du gai choisi. Il deviet, alors, imortat que le coceteur sache commet se délacet les ôles de la FTBF, das le la, lorsque le gai varie. Du oit de vue de la sythèse, our certais systèmes, u simle ajustemet du gai eut délacer les ôles de la FTBF vers les ositios désirées. Le roblème de sythèse deviet ue simle sélectio de valeurs aroriées du gai. Si l'ajustemet du gai seul e doe as les résultats escomtés, il deviet écessaire d'ajouter u correcteur (ou comesateur) au système. Les ôles de la FTBF sot les racies de l'équatio caractéristique. Trouver les racies d'ue équatio caractéristique d'u ordre suérieur à 3 est laborieux et écessite l'utilisatio d'u ordiateur. Ceedat, trouver les racies de cette équatio 'a as de ses e soi, car lorsque le gai de la FTBO varie, l'équatio caractéristique chage et les calculs doivet être réétés. Ue méthode simle our trouver les racies de l'équatio caractéristique a été déveloée ar W.R. Evas (vers 95), et utilisée largemet das le domaie de la commade. Cette méthode, aelée la méthode du lieu des racies, est l'ue de celles qui ermettet de tracer les racies de l'équatio caractéristique our toutes les valeurs d'u aramètre du système. Les racies corresodat à ue valeur articulière de ce aramètre euvet alors être localisées sur le grahe résultat. Il est à oter que ce aramètre est, gééralemet, le gai, mais tout autre aramètre de la FTBO eut être utilisé. Sauf idicatios, ous suoseros que le gai de la FTBO est le aramètre à varier de à l'ifii. E utilisat la méthode du lieu des racies, le coceteur eut rédire les coséqueces, sur la ositio des ôles de la FTBF, de la variatio du gai ou de l'additio de ôles et/ou de zéros de la FTBO. Cette méthode idique, égalemet, la cotributio de chaque ôle et zéro de la FTBO sur la ositio des ôles de la FTBF, et ar coséquet, idique de quelle maière ces ôles et zéros euvet être modifiés our que les erformaces requises our le système e BF soiet atteites. Cette méthode est vraimet efficace our trouver raidemet des résultats aroximatifs. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 86

87 6- - Proriétés de base du lieu des racies Coditio sur l'agle et coditio sur le module Cosidéros le système de la figure 6. E() - _ G() S() H() Fig. 6 : Système asservi La FTBF est : S() E() = G() G().H() (6 ) L'équatio caractéristique est : G().H() = G().H() = (6 ) Nous suoseros que G().H() est u raort de olyôme e. Puisque G().H() est ue quatité comlexe, l'équatio (6 ) eut être décomosée e : Ue coditio d'agle : G().H() = 8 (i ) (i=,,,... ) (6 3) Ue coditio de module : G().H() = (6 4) Les valeurs de qui satisfot, à la fois, la coditio d'agle et la coditio de module sot les racies de l'équatio caractéristique, ou les ôles de la boucle fermée. Das beaucou de cas, G().H() fait iterveir le aramètre "gai ", et l'équatio caractéristique eut être écrite sous la forme : ( z)( z)... ( zm) ( )( )... ( ) = (6 5) Le lieu des racies our le système est alors le lieu des ôles lorsque le gai est varié de zéro à l'ifii. Il à oter que our etamer le tracé du lieu ar la méthode du lieu des racies ous devos coaître la ositio des ôles et zéros de G().H(). Il faut se raeler que les agles des quatités comlexes résultat des ôles et zéros de la boucle ouverte relativemet à u oit test sot mesurés das le ses horaire. Par exemle, si G().H() est doée ar : G().H() = ( z) ( )( )( )( ) Alors l'agle de G().H() est : 3 4 où et 3 sot des ôles comlexes cojugués. G().H() = 3 4 où,,, 3, et 4 sot mesurés das le ses horaire comme idiqué sur les figures 6 (a) et 6 (b). Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 87

88 Le module de G().H() our ce système est : G().H() =.B A.A.A 3.A 4 où B, A, A, A 3, et A 4 sot les modules des quatités comlexes ( z), ( ), ( ), ( 3) et ( 4) resectivemet, comme idiqué sur la figure 6 (a). A oter que, du fait que les ôles comlexes cojugués et les zéros comlexes cojugués, s'il y e a, sot toujours localisés symétriquemet ar raort à l'axe réel, le lieu des racies est toujours symétrique ar raort à cet axe. Il suffit, ar coséquet, de costruire la moitié suérieure du lieu, uis de comléter la moitié iférieure e rojetat le tracé relativemet à l'axe réel. Poit test B A z A A A3 - - j O : zéro : ôle 4 Poit test z (b) j (a) Fig. 6 : Mesure des agles etre des ôles et zéros e B et u oit test Exemle Avat de réseter la méthode de costructio du lieu d'evas, étudios d'abord l exemle d'u système du secod ordre (Fig. 6 3) : E - _ ( ) S Fig. 6 3 : Système du ème ordre FTBO() = G().H() = ( ) avec G() = ( ) et H() = FTBF() = S() E() = G() G().H() = L'équatio caractéristique est : = Calculos le lieu des racies de cette équatio lorsque le gai varie de à. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 88

89 Afi d'illustrer le lieu des racies de l'équatio caractéristique our cet exemle, ous allos, e remier lieu, calculer aalytiquemet les racies de cette équatio e foctio de et, esuite, faire varier de à. Il est à oter que cette maière de faire 'est as celle usuelle our le tracé du lieu d'evas. Celui-ci est obteu e aliquat u certai ombre de règles, résetées ultérieuremet. Il est évidet que si la solutio aalytique est facile à trouver, l'alicatio de la méthode du lieu d'evas 'est as écessaire : = Les racies sot réelles our : ¼, = Les racies sot comlexes our : ¼, = 4 j 4 Le lieu des racies, avec comme aramètre le gai, a la forme de la figure (6 4) = 7 4 Imag j = = ¼ ½ = Réel = 7 4 j Fig. 6 4 : Lieu des racies de la FTBF avec comme aramètre de réglage. Le tracé termié et état à l'échelle, ous ouvos immédiatemet détermier la valeur de our ue racie (ou ôle) doée (ex : our = 7 4, alors, = j ). De cette aalyse, il ressort que : Les ôles e BF corresodats à = sot les mêmes que ceux e BO. Lorsque augmete de à ¼, les ôles se délacet vers le oit ( ½, ). Das ce cas, tous les ôles (deux ôles) e BF so t réels. Ceci corresod à u système aériodique (la réose temorelle 'est as oscillatoire). Pour = ¼, les ôles e BF se rejoiget (ôles doubles). Ceci corresod à u système amorti critique. Lorsque déasse ¼, les ôles e BF devieet comlexes cojugués, quittet l'axe réel, et bie que leurs arties réelles restet costates, ces ôles e BF se délacet le log de la lige = ½. Pour > ¼, le système deviet oscillatoire amorti. Si cotiue à augmeter, les ôles comlexes cojugués tedrot vers ( ½ j), le système risque, alors, de deveir istable. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 89

90 Il reste à motrer que tous oit M (fig. 6 5) sur le lieu d'evas satisfait la coditio sur l'agle. Cette coditio est doé ar : Alors : ( ) ( ) = () = 8 (i ) (i =,,,... ) or : = et = AM et : () = et = BM = = ( ) = 8 (uisque M se trouve sur la médiae) M Imag = B ½ = A Réel Fig. 6 5 : Agles et modules etre ôles e BO et u oit test M. Si le oit M se trouve sur l'axe réel etre et, alors ( ) =. Cette artie de l'axe réel 'aartiet as au lieu. De même, si M se trouve sur l'axe réel etre et, alors ( ) = * 8 = 36. Cette artie de l'axe réel 'aartiet as au lieu. Si, ar cotre, M se trouve sur l'axe réel etre et, alors ( ) = 8. Cette artie de l'axe réel aartiet au lieu uisqu'elle satisfait la coditio d'agle. Il est évidet que si u oit 'aartiet as au lieu, alors ( ) 8 (i ). Doc, tous les oits qui 'aartieet as au lieu e satisfot as la coditio d'agle et e euvet as être les ôles e BF, quelque soit la valeur du gai. Si les ôles e BF sot sécifiés sur le lieu, la valeur corresodate du gai est alors détermiée à artir de la coditio sur le module. Par exemle, si les ôles e BF sélectioés sot ( ½ j ), la valeur corresodate de est alors : FTBO() = ( ) j = = ( ) = (- ½ j)(- ½ j ) = 7 4 j Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 9

91 A artir du lieu des racies, o eut maiteat étudier les effets d'u chagemet de la valeur de sur le comortemet de la réose trasitoire du système de d ordre : L'augmetatio de fait baisser le coefficiet d'amortissemet ( = cos ), ce qui augmete le déassemet de réose. Imag j - Réel Fig. 6 6 : Pôle comlexe d'u système du d ordre L'augmetatio de, fait augmeter la ulsatio rore o amortie et la ulsatio rore amortie =. Si deviet suérieur à la valeur critique (celle corresodat à u système amorti critique our lequel = ), l'augmetatio du gai 'affecte lus la artie réelle des ôles e BF. Du lieu, il est clair que tous les ôles e BF sot situés das le demi-la gauche du la comlexe. Quelque soit l'augmetatio de, le système reste stable. U système du d ordre est doc toujours stable. Ceedat, il e faut as oublier que cette stabilité 'est que théorique, et qu'u système dot la marge de hase est faible est ratiquemet istable, et doc iutilisable. Par ailleurs, il est à oter que si le gai deviet très imortat, les effets des costates de tems égligées se fot setir, et le système, suosé du d ordre mais e réalité d'u ordre lus élevé, eut deveir istable Règles de tracé du lieu d'evas Gééralités Si l'équatio caractéristique est de degré, elle à racies, qui euvet être réelles ou comlexes. Par coséquet, le lieu comred braches, chacue d'elles corresodat à ue racie de l'équatio caractéristique. Puisque les racies réelles sot rerésetées ar des oits de l'axe réel, les braches corresodat aux racies réelles serot des ortios de l'axe réel. Les braches corresodat aux racies imagiaires euvet être lus ou mois comliquées. Puisque les coefficiets de G().H() sot réels, les racies imagiaires sot grouées ar coules, et les braches du lieu corresodat aux racies sot symétriques ar raort à l'axe réel. Le lieu d'evas tout etier est, ar coséquet, symétrique ar raort à l'axe réel Règles de tracé du lieu d'evas Pour u système comlexe avec lusieurs ôles et zéros de la BO, costruire le lieu des racies eut araître comliqué, mais e fait cela 'est guère lus difficile si les règles de tracé sot correctemet aliquées. E se basat sur des oits et des asymtotes articuliers, et e calculat les agles de déart à artir des ôles comlexes et les agles d'arrivée au zéros comlexes, la costructio du lieu eut se faire sas difficultés. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 9

92 Si o cosidère le système asservi de la figure (6 ), l'équatio caractéristique est : G().H() = E remier lieu, il faut réarrager cette équatio de faço que le aramètre à itérêt aaraisse comme facteur multilicatif (ici le gai ) : ( z)( z )... ( zm ) = ( > ) (6 6) ( )( )... ( ). Localiser les ôles et zéros de G().H() das le la. Les braches du lieu d'evas artet des ôles e BO et arrivet aux zéros (zéros fiis ou zéros à l'ifii). Les oits de déart du lieu ( = ) sot les ôles de la FTBO() = G().H() Les oits d'arrivée du lieu ( ) sot les zéros de la FTBO. Soiet : = ombre de ôles fiis de G().H() m = ombre de zéros fiis de G().H() (avec m our u système réel) O dit que si m, la FTBO comorte alors ( m) zéros ifiis imlicites. Si ous comtabilisos l'esemble des zéros fiis et ifiis : (ombre de ôles e BO = ombre de zéros e BO).. Le ombre de braches ifiies (ou directios asymtotiques) est égal à ( m). 3. Les braches asymtotiques résetet des déviatios i telles que : i = 8(i ) m (i =,,,.) (6 7) i = corresod à l'asymtote avec la lus faible déviatio ar raort à l'axe réel. Bie que i est suosé évoluer jusqu'à, l'agle de déviatio se réète, et le ombre de braches est égal à m. 4. Les braches asymtotiques se rejoiget, sur l'axe réel, au oit d'abscisse xi tel que : xi = ôles de G().H() - zéros de G().H() (6 8) m 5. Les braches de lieu sur l'axe réel sot détermiées ar les lies etre les ôles et zéros de la BO. Pour cela, ositioer u oit test etre chaque ôle et zéro sur l'axe réel, uis calculer le ombre de ôles et zéros réels à droite de ce oit test. Si ce ombre est imair, ce oit test aartiet au lieu. S'il est air, le oit test 'aartiet as au lieu. Par coséquet, la artie du lieu sur l'axe réel est formée de segmets alterés. 6. Poits de séaratio et de recotre du lieu sur l'axe réel : Les oits de séaratio sot les oits qui corresodet aux valeurs critiques de our lesquelles deux racies réelles se cofodet e ue seule (double) avat de se séarer à agles droits e deux racies comlexes cojuguées Les oits de recotre sot les oits qui corresodet aux valeurs critiques de our lesquelles deux racies comlexes cojuguées se cofodet e ue seule (double) avat de se séarer e deux racies réelles. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 9

93 Par coséquet : Si le lieu lie ôles adjacets de la FTBO sur l'axe réel, il existe alors, au mois, u oit de séaratio etre ces ôles (fig. 6 7a).. De même, si le lieu lie zéros adjacets de la FTBO (u des zéros eut se trouver à ) sur l'axe réel, il existe alors, toujours, au mois u oit de recotre etre ces zéros (fig. 6 7b). Si le lieu lie u ôle de la FTBO et u zéro (fii ou ifii) de la FTBO sur l'axe réel, soit qu'il 'existe i oit de séaratio i oit de recotre, soit qu'ils existet tous les deux (fig. 6 7c). = = = O O = O = (a) (b) (c) Fig. 6 7 : Quelques cas de figures de oits de séaratio et de recotre sur l'axe réel Les oits de séaratio et de recotre ot our abscisses qui euvet être calculés : soit ar : i z i = (6 9) (avec i, zi resectivemet les ôles et zéros de la BO) Das ce cas, la relatio (6 9) e doe que les oits de séaratio ou de recotre qui e sot as issus de ôles ou zéros multiles. soit e écrivat que : G().H() =.G().H() = (équatio caractéristique) () = - G ().H () uis e calculat : d() d = (6 ) c'est à dire : d d G ().H ( ) = 7. Agle de déart (resec. agle d'arrivée) du lieu des racies à artir de ôles comlexes (resec. zéros comlexes) : Afi de tracer le lieu avec la meilleure récisio ossible, ous devos détermier les directios du lieu aux aletours des ôles ou zéros comlexes. L'agle de déart (resec. agle d'arrivée) du lieu à artir des ôles comlexes (resec. sur les zéros comlexes) eut être détermié e substituat de 8 la somme algébrique des agles de tous les vecteurs etre tous les autres ôles et zéros, et le ôle comlexe (resec. zéro comlexe) coceré (fig. 6 8). Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 93

94 Agle de déart d'u ôle comlexe = 8 (somme des agles des vecteurs etre le ôle comlexe coceré et les autres ôles) (somme des agles des vecteurs etre le ôle comlexe coceré et les zéros) Agle d'arrivée d'u zéro comlexe = 8 (somme des agles des vecteurs etre le zéro comlexe coceré et les autres zéros) (somme des agles des vecteurs etre le zéro comlexe coceré et les ôles) Agle de déart Imag O Réel Fig. 6 8 : Agle de déart du lieu à artir de ôles comlexes 8. Itersectio du lieu avec l'axe imagiaire : Les oits d'itersectio du lieu avec l'axe j euvet être détermiés facilemet soit e utilisat le critère de stabilité de Routh, soit e osat = j das l'équatio caractéristique, e égalat les arties imagiaire et réelle de cette équatio à zéro, et e calculat et. Les coules de valeurs (, ) trouvés doet les fréqueces et les gais our lesquelles le lieu coue l'axe imagiaire. 9. Détermiatio des ôles de la Boucle Fermée : Tous oit du lieu d'evas est u ôle e BF si la valeur du gai e ce oit vérifie la coditio sur le module. Iversemet la coditio sur le module ermet de détermier la valeur du gai e tous oit articulier du lieu. (le lieu eut être gradué e foctio de, si écessaire). La valeur de corresodat à 'imorte quel oit du lieu eut être obteu e utilisat la coditio sur le module, c'est à dire : = roduit des modules des vecteurs etre roduit des modules des vecteurs etre et les ôles et les zéros Cette valeur eut être évaluée soit grahiquemet, soit aalytiquemet. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 94

95 Exemle Soit à détermier le lieu des racies du système dot la FTBO() = ( )( 5) Poits de déart du lieu = ôles de la FTBO : =, =, = 5 = 3 Poits d'arrivée du lieu = zéros de la FTBO: aucu m = Nombre de braches asymtotiques = m = 3 Directios asymtotiques i = i = 8(i ) (i =,,,.) m 8(i ) (i =,,,.) 3 i = 6, 6, 8 Itersectio des asymtotes sur l'axe réel x i = x i = ôles de FTBO() ( 5) 3 7 = 3 - m,33 zéros de FTBO() Root Locus 8 6 Imag Axis 4 = = 4, = 7 = = - xi = , = Real Axis Fig. 6 9 : Lieu d'evas du système de l'exemle Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 95

96 Poits de séaratio (ou de recotre) sur le l'axe réel : E aliquat (6 9), o obtiet : 5 = =,88 et = 3,79 De même, E aliquat (6 ), o obtiet : () = ( )( 5) d () = (3 4 ) = =,88 et = 3,79 d La valeur = 3,79 'aartiet as au lieu, elle est doc à exclure. Valeur du gai au oit () : La coditio sur le module doe la valeur de. FTBO() = = 4 Itersectio du lieu avec l'axe imagiaire Si o e désire avoir que la valeur du gai lorsque le lieu recotre l'axe imagiaire, o eut aliquer tout simlemet le critère de stabilité de Routh. E aliquat ce critère o trouve que le système est stable our < < 7. La valeur limite = 7, corresod doc au oit recherché. Si o veut calculer égalemet les ôles au oit d'itersectio, o art de l'équatio caractéristique et o remlace ar j. Les deux équatios obteues (relatives à la artie imagiaire et réelle) doet les aramètres et. O trouve : = 7, =, = j Exemle Soit à détermier le lieu des racies du système dot G() = ( ) 3 et H() = FTBO() = ( ) 3 Poits de déart du lieu = ôles de la FTBO: = j, = j = Poits d'arrivée du lieu = zéros de la FTBO: = m = Nombre de braches asymtotiques = m = Directios asymtotiques i = i = 8(i ) m 8(i ) (i =,,,.) (i =,,,.) i = 8 Ue ortio du lieu des racies se trouve sur l axe réel : (etre et ) Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 96

97 O Imag Réel Fig. 6 : Détermiatio du lieu sur l axe réel Poits de séaratio (ou de recotre) sur le lieu E aliquat (6 9), o obtiet : j j = ( ) j j ( 3)( ) ( 3) = 4 = = 3,73 et =,7 E aliquat (6 ), o obtiet : () = 3 d ( )( ) ( () = d ( ) 3) = 4 = = 3,73 et =,7 La valeur =,7 'aartiet as au lieu, elle est doc à exclure. Valeur du gai au oit = 3,73 La coditio sur le module doe la valeur de. FTBO() = = 5,46 Agle de déart à artir des ôles comlexes cojugués de la FTBO : La résece de la aire de ôles comlexes cojugués de la FTBO requiert la détermiatio de l agle de déart à artir de ces ôles. La coaissace de cet agle est imortate uisque le lieu des racies, aux aletours d u ôle comlexe, doe l iformatio sur la maière avec laquelle le lieu reat aissace du ôle comlexe migre vers l axe réel ou s éted vers l asymtote. E se référat à la figure 6, si ous choisissos u oit test et que ous le délacios das les aletours immédiats du ôle = comlexe de la FTBO, ous trouvos que la somme des cotributios agulaires du ôle = et du zéro = z vis à vis du oit test eut être cosidéré comme restat ichagée. Si le oit test aartiet au lieu des racies, alors la somme de,, et doit être égale à 8 (i ), avec i =,,,.. : ( ) = 8 (k ) = 8 8 (P roche de ) Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 97

98 L agle de déart est alors : = 8 9 arctg ( ) = = 45 Poit test P Imag O z Réel Fig. 6 : Agle de déart du lieu à artir du ôle comlexe Puisque le lieu est symétrique ar raort à l axe réel, l agle de déart à artir du ôle = est égalemet égale à 45. Tracé du lieu d Evas (voir fig. 6 ) 3 Root Locus 45 = Imag Axis = = Real Axis Fig. 6 : Lieu d'evas du système de l'exemle Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 98

99 6-4 - Sesibilité du lieu d'evas aux variatios des Cofiguratios ôles zeros Il est à oter que quelques fois u léger chagemet das la cofiguratio ôle zéro eut causer des chagemets sigificatifs sur l'allure du lieu des racies. La figure 6 3 motre ar exemle qu'ue modificatio de la valeur du zéro (de = 3 à gauche à =.5 à droite) doe des allures de lieu comlètemet différetes. 5 5 Fig. 6 3 : Sesibilité du lieu Simlificatio d'u ôle de G() ar u zéro de H() Il est imortat de sigaler que si le déomiateur de G() et le umérateur de H() ot des facteurs commus, les ôles et zéros corresodats de la FTBO s'élimierot etre eux, réduisat de ce fait le degré de l'équatio caractéristique de ou lus. Cosidéros, ar exemle, le système de la figure 6 4(a). E modifiat le schéma foctioel de la fig. 6 4(a) e celui de la fig. 6 4(b), uis e celui de la fig. 6 4(c) (les braches de retour sot e arallèle, leurs effets se rajoutet), il est clair que G() et H() ot u facteur commu ( ). E() ( )( ) (a) S() E() ( )( ) S() (b) G() E() ( )( ) S() E() ( ) S() (c) (d) H() Fig. 6 4 : Système asservi résetat des réductios ôles zéros Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 99

100 La FTBF() = S() / E() est : S ( ) E ( ) G ( G ( ) ) H ( ) ( ( )( ) ( ) )( ) ( ) ( ) L'équatio caractéristique est doc : [() ]() = A cause de la réductio des termes () aaraissat das G() et H(), ous auros ceedat : G()H() = ( ) ( )( ) = ( ) ( ) L'équatio caractéristique réduite est : () = Le lieu d'evas de G()H() e motrera as toutes les racies de l'équatio caractéristique, mais seulemet celles de l'équatio réduite. Pour obteir l'esemble des racies de la FTBF, ous devos rajouter le ôle réduit de G()H() aux ôles de la FTBF obteus à artir de G()H(). Ce qu'il faut reteir c'est que le ôle réduit de G()H() est u ôle e BF du système, comme cela est motré sur la fig. V-4(d) Quelques asects imortats de la costructio du lieu des racies U des asects imortats de la techique du lieu des racies est que our la majorité des systèmes asservis, de comlexité modérée, l'aalyste ou le costructeur eut obteir des iformatios vitales sur les erformaces du système e costruisat uiquemet u tracé raide du lieu e utilisat quelques ues de ses roriétés. Il est, ar coséquet, imortat de comredre, du oit de vue de la sythèse des systèmes, les effets sur le lieu de l'additio ou du délacemet de ôles et zéros de la FTBO das le la de Lalace Effets de l'additio de ôles à G().H() Ajouter u ôle à G()H() a our effet de ousser le lieu des racies vers le demi-la droit du la de Lalace. Les figures 6 5 doet quelques exemles des effets de l'additio de ôles à la FTBO sur le lieu d'evas. Il est clair que les ôles rajoutés euvet avoir u effet déstabilisat sur le système. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..)

101 ( ) ( )( ) ( )( )( 3) -5 5 ( )( 4 j)( 4 j) Fig. 6 5 : Effets, sur le lieu d'evas, de l'additio de ôles à la FTBO Effets de l'additio de zéros à G().H() Ajouter des zéros à G()H() a, gééralemet, our effet de courber et d'attirer le lieu des racies vers le demi-la gauche du la de Lalace. Les figures 6 6 doet quelques exemles des effets de l'additio de zéros à la FTBO sur le lieu d'evas. Il est à remarquer que la stabilité relative est accrue ar l'additio de zéros à la FTBO. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..)

102 ( ) ( ) - ( 3 j)( 3 j) ( ) ( 3) ( )( ) Fig. 6 6 : Effets, sur le lieu d'evas, de l'additio de zéros à la FTBO Coclusio Das ce chaitre, ous avos itroduit la techique du lieu d'evas our les systèmes asservis liéaires. Cette techique costitue ue méthode grahique d'ivestigatio des racies de l'équatio caractéristique des systèmes liéaires lorsque u ou lusieurs aramètres variet. Au cours du rochai chaitre cosacré à la correctio des systèmes asservis, cette méthode sera largemet utilisée. Ceedat, il faut se raeler que les racies de l'équatio caractéristique doet ue idicatio exacte de la stabilité absolue des systèmes liéaires mais e doet qu'ue iformatio qualitative sur la relative stabilité, uisque les zéros de la FTBF, s'il y e a, jouet égalemet u rôle imortat relativemet aux erformaces dyamiques du système. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..)

103 Chaitre 7 : Correctio des systèmes asservis liéaires 7- - Itroductio Nécessité de correctio das les systèmes asservis Nous avos vu, das les chaitres récédets relatifs à l'aalyse des systèmes asservis, que, our satisfaire aux sécificatios de stabilité et de récisio, o est ameé à formuler des coditios sur la FTBO :. Stabilité : le degré de stabilité est défii ar : la marge de gai : la stabilité est d'autat meilleure que : le gai de la FTBO est lus faible, doc, que la bade assate e BO est lus faible. la marge de hase : la stabilité est d'autat meilleure que : le déhasage de la FTBO est lus faible.. Précisio : so étude se décomose e deux arties : Précisio statique : l'aulatio de l'erreur e régime ermaet écessite la résece, das la FTBO, d'ue ou lusieurs itégratios selo l'etrée caoique imosée. Précisio dyamique : elle est d'autat meilleure que le gai de la FTBO est lus élevé, c'est-àdire que la bade assate est lus large. Pour simlifier à l'extrême, o eut reteir, e résumé que la récisio et la stabilité sot quatifiées, das le diagramme de Bode de la FTBO, de la maière suivate (fig. 7 ) : FTBO FTBO Précisio Basses fréqueces c : ulsatio de couure - 8 Stabilité Hautes fréqueces Fig. 7 : Quatificatio de la stabilité et de la récisio sur le diagramme de Bode Il deviet clair que : our améliorer la récisio, il faut ouvoir augmeter le gai de la FTBO la stabilité dimiue si ce même gai deviet tro élevé. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 3

104 Il semble doc difficile d'obteir u système, à la fois, récis (grad gai) et stable (faible gai). Ce remier dilemme stabilité récisio imose doc l'emloi de systèmes comesateurs, correcteurs, ou ecore régulateurs dot le rôle sera de relever le gai das ue certaie zoe de fréquece et de la dimiuer ailleurs. Le correcteur ou régulateur va ermettre de satisfaire les cotraites suivates : trouver u comromis etre la stabilité et la récisio, si besoi, redre stable e boucle fermée u système qui serait istable e boucle ouverte, si besoi, et c'est e gééral le cas, itroduire u itégrateur das la boucle our obteir ue erreur statique ulle ( = ). Mais, il existe d'autres icomatibilités qui écessitet égalemet l'emloi de correcteurs : U bo asservissemet doit être isesible aux erturbatios et, e même tems, il doit réodre raidemet aux variatios des diverses gradeurs d'etrée. Ces deux coditios sot icomatibles uisque : la réose raide écessite ue large bade assate, tadis que l'isesibilité aux erturbatios exige ue bade étroite. Le rôle des correcteurs, qui euvet être électriques, mécaiques, ou hydrauliques, est doc de déformer le diagramme asymtotique ou la courbe de Nyquist our leur doer des marges de gai et de hase caables d'assurer la stabilité tout e coservat aux basses fréqueces u gai suffisammet grad our que la récisio soit boe. De tels "filtres" ourrot égalemet surimer l'ifluece de certaies erturbatios sas limiter la bade assate globale Stratégie de correctio (ou comesatio) des systèmes asservis Les outils d'aalyse étudiés das les chaitres récédets coduiset tous au même objectif : la sythèse de systèmes asservis corrigés ou comesés, et ar coséquet, la sythèse de correcteurs (ou comesateurs). u(t) etrée de commade Processus commadé s(t) Variable commadée Fig. 7 : Processus commadé E artat de sécificatios sur le comortemet fial d'u système commadé, tel celui reréseté ar le schéma bloc de la figure 7-, l'établissemet d'u système de correctio exige le suivi des 3 étaes suivates:. Détermier ce que devrait réaliser le système et la maière d'y aboutir (sécificatios du cahier des charges). Détermier la cofiguratio du correcteur e relatio avec la maière avec laquelle il est coecté au système corrigé. 3. Détermier les valeurs des aramètres du correcteur de maière à atteidre les objectifs. 7-..a - Cahier des charges O utilise toujours u cahier des charges our décrire ce que doit réaliser le système. Esuite, sur la base de ce cahier des charges, o décide de la maière d'y arveir. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 4

105 Ces sécificatios sot uiques our chaque alicatio et icluet toujours des exigeces sur la stabilité relative du système, la récisio statique (erreur), la réose trasitoire, et sur les caractéristiques de la réose fréquetielle. Pour certaies alicatios, il eut y avoir des sécificatios sulémetaires sur la sesibilité aux variatios des aramètres (robustesse, isesibilité aux bruits, etc. ). La sythèse des systèmes de correctio liéaire eut être réalisée soit das le domaie temorel, soit das celui fréquetiel. Par exemle, la récisio statique est toujours sécifiée our ue etrée échelo, rame ou accélératio, et la démarche classique suivie our réodre aux cotraites imosées se fait das le domaie temorel. D'autres sécificatios, telles que le déassemet, le tems de motée, et le tems d'établissemet sot toutes défiies our ue etrée échelo uitaire, et sot, ar coséquet, utilisées sécifiquemet das le domaie temorel. La stabilité relative est égalemet mesurée e terme de marge de hase, marge de gai et résoace. Celles-ci sot des sécificatios du domaie tyiquemet fréquetiel et sot rises e charge ar les outils tels que le diagramme de Bode, les lieux de Nyquist et / ou de Black Nichols. Pour meer à bie la cocetio du correcteur das le domaie temorel ou fréquetiel, il est ratique de garder à l'esrit que la sythèse das le domaie temorel se fait gééralemet avec l'aide du la de Lalace et du lieu d'evas. La sythèse das le domaie fréquetiel est basée sur la maiulatio du gai et de la hase de la foctio de trasfert de la boucle jusqu'à atteidre les sécificatios voulues. Voici quelques ricies et règles de base : Les ôles comlexes cojugués de la FTBF coduiset à ue réose idicielle oscillatoire. Si tous les ôles du système sot réels, la réose idicielle est très amortie. Ceedat, les zéros de la FTBF euvet causer des déassemets imortats même si le système est très amorti. La réose d'u système est domiée ar les ôles les lus roches de l'origie du la de Lalace. Les trasitoires dues aux ôles éloigés de l'origie et à gauche du la s'attéuet raidemet. Plus éloigés à gauche das le la sot les ôles domiats du système, lus vite réodra le système et lus imortate sera la bade assate. Lorsqu'u ôle et u zéro de la foctio de trasfert d'u système ot, lus ou mois, tedace à se simlifier etre eux, la zoe de réose du système associée à ce ôle aura u faible module. Les sécificatios des domaies temorel et fréquetiel sot étroitemet liées etre elles. Le tems de motée et la bade assate sot iversemet roortioels. La marge de hase, la marge de gai, la résoace, et l'amortissemet sot iversemet roortioels. Nous avos motré que our les systèmes du secod ordre, il existait des relatios aalytiques simles etre certaies de ces sécificatios temorelles et fréquetielles. Ceedat, our les systèmes d'u ordre lus élevé, la corrélatio etre les sécificatios das ces deux domaies est lus difficile à établir. 7-..b - Cofiguratios de correctio E gééral, la dyamique d'u rocessus commadé eut être rerésetée ar le schéma foctioel de la figure 7. L'objectif est que la variable commadée, rerésetée ar la sortie s(t), ait u comortemet désiré sur u itervalle de tems doé. Il s'agit alors de détermier le sigal de commade u(t) qui, das cet itervalle, garatisse la sortie s(t) désirée. Plusieurs cofiguratios de base sot ossibles, et sot différetes les ues des autres selo la ositio relative du correcteur ar raort au système commadé. Ue fois la cofiguratio de correctio choisie, il e restera lus qu'à calculer les élémets du correcteur our réodre au cahier des charges. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 5

106 Nous allos, brièvemet, asser e revue les cofiguratios de correctio les lus utilisées : Correctio cascade ou série : O eut réaliser la comesatio e isérat, das ue chaîe, u correcteur directemet e cascade avec les autres élémets (fig. 7 3). e(t) (t) Correcteur u(t) Processus s(t) Fig. 7 3 : Correctio e cascade ou série Correctio e réactio ou arallèle : O eut lacer ces correcteurs e arallèle sur u élémet d'ue chaîe ; das ce cas, c'est u correcteur e réactio qui costitue alors ue boucle secodaire (fig. 7 4). e(t) (t) u(t) Processus r Correcteur s(t) Fig. 7 4 : Correctio e réactio ou arallèle D'autres cofiguratios sot égalemet très utilisées, telles que : Correctio série réactio : Le correcteur série A est utilisée cojoitemet avec u correcteur e réactio B (fig. 7 5). e(t) Correcteur A (t) u(t) Processus r Correcteur B s(t) Fig. 7 5 : Correctio série réactio Correctio e aticiatio :. Das la fig. 7 6 a, le correcteur aticiatif GCA est lacé e série avec le système e boucle fermée qui disose lui-même d'u correcteur GC das sa chaîe directe.. Das la fig. 7 6 b, Le correcteur aticiatif GCA est lacé e arallèle avec la chaîe directe. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 6

107 Pour la correctio e aticiatio, le correcteur GCA est à l'extérieur de la boucle système. Il 'affecte as les racies de l'équatio caractéristique du système origial. Les ôles et les zéros de GCA euvet être choisis de maière à ajouter ou élimier les ôles ou zéros de la foctio de trasfert e boucle fermée. e(t) Correcteur GCA (t) Correcteur GC u(t) Processus r s(t) (a) Correcteur GCA e(t) Correcteur GC u(t) Processus r s(t) (b) Fig. 7 6 (a) et (b) : Correctio e aticiatio Les cofiguratios de correctio des figures 7 3 et 7 4 sot toutes à u seul degré de liberté e ce ses qu'elles e disoset que d'u seul correcteur das chaque système, bie que ces correcteurs uisset avoir lusieurs aramètres à faire varier. L'icovéiet avec la correctio à u seul degré de liberté est que les critères de erformaces réalisables sot limités. Par exemle, si les racies de l'équatio caractéristique sot sélectioées de maière à roduire ue certaie valeur d'amortissemet, le déassemet obteu our ue réose idicielle eut ecore être excessif à cause des zéros de la foctio de trasfert e boucle fermée (voir chaitre 5). Les cofiguratios des figures 7 5, 7 6 a, et 7 6 b sot toutes à deux degrés de liberté. 7-..c - Correcteurs de base Arès avoir oter our ue cofiguratio de correctio, le coceteur doit choisir le tye de correcteur qui, ue fois les valeurs de ses élémets détermiées, réodra aux sécificatios du cahier des charges. Mais même là, il existe ue multitude de correcteurs disoibles. E ratique, o choisira le lus simle. Plus le correcteur est comlexe, lus so coût est élevé, mois fiable il est, et lus difficile il est à réaliser. Le choix d'u correcteur sécifique our ue alicatio sécifique est toujours basé sur l'exériece du coceteur, et quelquefois sur l'ituitio. Le correcteur choisi, la tâche suivate cosiste à détermier les valeurs de ses aramètres. Ce sot les coefficiets d'ue ou lusieurs foctios de trasfert comosat ce correcteur. L'aroche de base est l'utilisatio des outils d'aalyse discutés das le chaitre 5 (Performaces des asservissemets) our détermier commet les valeurs de chaque aramètre idividuel ifluet sur le comortemet global du système, et ar coséquet sur ses erformaces. A artir de ces iformatios, les aramètres du correcteur sot sélectioés tels que toutes les sécificatios soiet atteites. Bie que, das beaucou de cas, cette rocédure doe directemet les résultats escomtés, il faut très souvet la rééter lusieurs fois car certais aramètres iteragisset etre eux, et ifluet sur le comortemet global. Par exemle, ue valeur articulière d'u aramètre eut être choisie de sorte que le déassemet soit satisfait, mais e essayat de varier la valeur d'u autre aramètre our obteir le tems de motée exigé, le déassemet 'est lus accetable. Il deviet clair que, lus il y a de sécificatios, lus il y a de aramètres du correcteur, et lus comliquée deviet la cocetio. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 7

108 Les correcteurs idustriels les lus utilisés euvet être classés, selo leurs actios de correctio, de la maière suivate : Correcteur à actio roortioelle (P) Correcteur à actio itégrale (I) Correcteur à actios roortioelle et itégrale (PI) Correcteur à actio dérivée (D) Correcteur à actios roortioelle et dérivée (PD) Correcteur à actios roortioelle, itégrale et dérivée (PID) La majorité de ces systèmes utiliset l'électricité ou u fluide sous ressio tel que l'huile ou l'air comme source d'éergie. Ils sot égalemet classés e foctio du tye d'éergie utilisée das l'oératio (eumatique, hydraulique, ou électrique) et choisis selo la ature du système à commader (ou à asservir) et selo les coditios d'oératio (cosidératios de sécurité, de coût, de fiabilité, de récisio, de oids, et de dimesio) Correctio e cascade ou série Pricies gééraux Si, théoriquemet, la lace du correcteur das le schéma global de ricie imorte eu uisqu'il modifie globalemet la foctio de trasfert e boucle ouverte, ratiquemet, o e eut as le mettre 'imorte où. E effet, à l'extrémité de la chaîe d'actio, o recotre les orgaes de forte uissace. Doc, our des raisos d'écoomie, il serait ioortu de lacer u correcteur à cet edroit. D'autre art, ar la chaîe de retour trasitet des sigaux d'iformatio roveat gééralemet d'orgaes de mesure. Doc, il sera ossible de lacer u correcteur das cette chaîe. Il e devra ceedat as tro modifier la sortie. Par coséquet, e gééral, les correcteurs e cascade se motet soit à la sortie du comarateur das la chaîe directe (avat amlificatio), soit das la chaîe de retour. Il e faut as erdre de vue que les correcteurs que ous allos itroduire e sot que des réalisatios imarfaites. E effet, comte teu des erformaces à atteidre, o devra faire la sythèse d'u système cou mathématiquemet. Or, das bie des cas, sa réalisatio ratique est imossible ; o doit se coteter de système ayat des caractéristiques arochat celles du modèle das ue zoe de fréquece doée. Pour les autres domaies, le comortemet du système réel eut-être très différet de celui du modèle. O devra doc teir comte de ces caractéristiques lorsqu'o isérera le correcteur das la chaîe. Pour détermier le tye de correcteur à utiliser et la valeur des aramètres à adoter, o eut utiliser lusieurs méthodes : soit cosidérer les réoses temorelles et aalyser les erformaces statiques et dyamiques du système avat et arès comesatio. Soit, à artir de la courbe de Nyquist du système comesé et ar comaraiso avec celle que l'o doit obteir, e déduire la structure et les aramètres du comesateur, soit rocéder de la même maière, mais avec le diagramme asymtotique de Bode, soit utiliser le lieu d'evas, le correcteur itroduisat de ouveaux ôles et racies. Das la majorité des exemles utilisés jusque là, le correcteur a été u simle amlificateur avec u gai costat. Ce tye d'actio de commade est cou sous le om de correctio roortioelle, uisque le sigal de commade u(t) à la sortie du correcteur est simlemet roortioel au sigal à so etrée (t). Il est égalemet ossible d'utiliser la dérivée ou l'itégrale du sigal d'etrée (t), e additio avec l'actio roortioelle. Par coséquet, ous ouvos cosidérer, lus gééralemet, le correcteur comme état u esemble de comosats tels que des comarateurs (additioeurs ou soustracteurs), des amlificateurs, des attéuateurs, des dérivateurs et des itégrateurs. La tâche du coceteur est alors de Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 8

109 détermier lesquels de ces comosats sera utilisé, das quelles roortios, et la maière avec laquelle ils sot coectés. Par exemle, l'u des correcteurs les lus cous et les lus utilisés e ratique est le correcteur PID. Les actios itégrale et dérivée du PID ot des imlicatios idividuelles de erformace et leur utilisatio écessite ue boe comréhesio des effets de chaque élémet de base. D, PD. Pour maîtriser raidemet ce correcteur PID, cosidéros, séarémet, chacue des actios P, I, PI, Correcteur à actio roortioelle (P) 7-..a - Pricie La relatio etre la sortie u(t) et le sigal d'erreur (t) est : u(t) =. (t) (7 ) c'est à dire, U() () = (7 ) avec aelé "gai roortioel" Quelques soiet le mécaisme et la source d'éergie utilisés, le correcteur roortioel est essetiellemet u amlificateur à gai variable. So schéma foctioel est celui de la fig e(t) (t) u(t) Fig. 7 7 : Correctio P. La figure 7 8 doe la réose idicielle du correcteur P. (t) échelo uitaire u(t) échelo de valeur Fig. 7 8 : Etrée et sortie du correcteur P. La figure 7 9 doe le diagramme de Bode du correcteur P. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 9

110 Bode Diagram Phase (deg) M agitude (abs) Frequecy (rad/sec) Fig. 7 9 : Diagramme de Bode du Correcteur P. (reréseté our =) 7-..b - Effet L actio roortioelle P crée u sigal de commade u(t) roortioel au sigal d erreur (t). Elle agit doc ricialemet sur le gai du système asservi et ermet d améliorer otablemet la récisio. L actio roortioelle : etraîe ue augmetatio du gai, d où ue dimiutio de l erreur statique (amélioratio de la récisio), mais augmete la bade assate du système, ce qui améliore la raidité du système et, augmete l istabilité du système. Le correcteur roortioel P 'est gééralemet as utilisé seul. O verra que tout correcteur ossède au mois l actio roortioelle. 7-..c - Réalisatio ratique Ue réalisatio ratique de ce correcteur e utilisat des circuits assifs et actifs est motrée sur la figure 7. R R4 R R3 U Fig. 7 : Réalisatio du correcteur P avec amlificateurs oératioels. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..)

111 Gc() = U() () = R R R R 4 3 = avec = R / R si R4 = R3 Le circuit de la figure 7 utilise amlificateurs (le secod servat d'iverseur, avec u gai de valeur e reat R4 = R3). 7-..d - Exemle La figure 7 motre le schéma foctioel d u exemle de correctio Proortioelle. e(t) (t) u (t) ( )(.5) s(t) Fig. 7 : Exemle de correctio P. Pour différetes valeurs de : les réoses idicielles s(t) de la FTBF du système corrigé sot reortées sur la figure 7, les diagrammes de Bode et de Nyquist de la FTBO du système corrigé sot motrées, resectivemet, sur les figures 7 3 et Ste Resose. =9 (d%=46.4 ; T r=.95 s ; T s=.7 s) =9 (d%=3.7 ; T r=.454 s ; T s=.77 s) Cosige Am litude.8.6 =7/3 (d%=.6 ; T r=.4 s ; T s=.4 s).4. = (d%=.84 ; T r=.56 s ; T s=.83 s) T im e (sec) Fig. 7 : Correctio P. Réoses idicielles our différetes valeurs de Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..)

112 Bode Diagram Gai = Phase (deg) M agitude (abs) =9 =9 =7/3 = -8 - Frequecy (rad/sec) Fig. 7 3 : Correctio P. Diagrammes de Bode de la FTBO, our différetes valeurs de Nyquist Diagram Im agiary Axis 5 = =7/3 =9 = Real Axis Fig. 7 4 : Correctio P. Lieux de Nyquist de la FTBO, our différetes valeurs de O costate que l'augmetatio de, etraîe : ue amélioratio de l erreur statique, ue décroissace du tems de motée, ue faible amélioratio du tems d établissemet, mais égalemet ue dimiutio de la marge de hase et ue augmetatio du déassemet (augmetatio de l istabilité du système). Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..)

113 La figure 7 5 rerésete le lieu d'evas du système corrigé. Elle motre que les ôles e boucle fermée sot réels jusqu'à = /8, et qu'à artir de cette valeur, ils devieet comlexes cojugués, doat lieu à des réoses oscillatoires lus ou mois amorties. Root Locus Im ag Axis Real Axis Fig. 7 5 : Correctio P. Lieu d'evas, avec variatio cotiue du gai Correcteur à actio itégrale (I) 7-.3.a - Pricie La relatio etre la sortie u(t) et le sigal d'erreur (t) est : du(t) i (t) (7 3) dt ou ecore t u(t) i (t). dt (7 4) c'est à dire, U() () = i = T i avec i aelé " gai itégral " Ti aelée " costate de tems d itégratio " (7 5) So schéma foctioel est celui de la fig e(t) (t) i u(t) Fig. 7 6 : Correctio I. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 3

114 La figure 7 7 doe la réose idicielle du correcteur Itégrale. (t) échelo uitaire etrée ulle u(t) Ti Fig. 7 7 : Etrée et sortie du correcteur I. La figure 7 8 doe le diagramme de Bode du correcteur. Bode Diagram Phase (deg) M agitude (abs) Frequecy (rad/sec) Fig. 7 8 : Diagramme de Bode du Correcteur I. (reréseté our i=) 7-.3.b - Effet L itérêt ricial de ce correcteur est d ajouter das la chaîe de commade ue itégratio. Nous savos que la résece d ue itégratio das la FTBO augmete la classe du système et réduit ou aule, selo le tye d'etrée, l'erreur statique du système. L actio itégrale ure : améliore la récisio e réduisat ou aulat l erreur statique, mais itroduit u déhasage de 9 qui risque de déstabiliser le système (dimiutio de la marge de hase). Le correcteur à actio exclusivemet Itégrale est ratiquemet jamais utilisé, e raiso de sa leteur et de so effet déstabilisat. Il est, e gééral, associé au correcteur Proortioel. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 4

115 7-.3.c - Réalisatio ratique Ue réalisatio ratique de ce correcteur e utilisat des circuits assifs et actifs est motrée sur la figure 7 9. C R R R U Fig. 7 9 : Réalisatio du correcteur I avec amlificateurs oératioels. Gc() = U() () = R C = i avec i = R C Le circuit de la figure 7 9 utilise amlificateurs (le secod servat d'iverseur avec u gai de valeur uitaire) Correcteur à actios roortioelle et itégrale (PI) 7-.4.a - Pricie La relatio etre la sortie u(t) et le sigal d'erreur (t) est : u(t) =.(t) i. t (t). dt (7 6) c'est à dire, U() () i i (7 7) ou ecore, U() () i (7 8) T avec "gai roortioel ", i "gai itégral ", Ti = "costate de tems d itégratio ", i T = = Ti "dosage de corrélatio d itégrale " i So schéma foctioel est celui de la fig. 7. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 5

116 e(t) (t) i u(t) Fig. 7 : Correctio PI. La figure 7 doe la réose idicielle du correcteur PI. (t) échelo uitaire u(t) PI P seulemet T Ti Fig. 7 : Etrée et sortie du correcteur PI. La figure 7 doe le diagramme de Bode du correcteur PI. Bode Diagram Phase (deg) M agitude (abs) -45 (-) i / () Frequecy (rad/sec) Fig. 7 : Diagramme de Bode du Correcteur PI. (reréseté our =, i=) Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 6

117 7-.4.b - Effet La réose idicielle motre qu u correcteur PI assure ue trasmissio istataée du sigal d erreur, suivi d ue itégratio de ce sigal. Ce correcteur sera utilisé chaque fois qu ue erreur ermaete doit être aulée ou miimisée, c'est à dire ue amélioratio de la récisio du système. E effet, il itroduit ue augmetatio du gai global du système aux basses fréqueces. Par ailleurs, le correcteur PI a u effet déstabilisat e raiso du ôle à l origie (déhasage sulémetaire etre et 9 ). Mais, Le zéro sulémetaire itroduit ted à miimiser cette istabilité. Il est recommadé de lacer le zéro i du correcteur aux basses fréqueces de sorte que le déhasage sulémetaire itroduit ar le correcteur 'affecte as beaucou le déhasage global du système corrigé. Ceedat, s'il est très roche de l'origie, so effet sera comesé ar le ôle à l'origie. sera choisi de maière à modifier, évetuellemet, la fréquece de couure du système corrigé et doc sa marge de hase. Très souvet, le zéro i est choisi de maière à comeser la costate de tems domiate du système iitial de sorte que la boucle fermée gage e raidité. et i sot tous deux réglables. i ajuste l'actio itégrale, tadis que affecte à la fois les actios itégrale et roortioelle c - Réalisatios ratiques Ue remière réalisatio de ce correcteur e utilisat des circuits assifs et actifs est motrée sur la figure 7 3. R C R R R U Fig. 7 3 : Réalisatio du correcteur PI avec amlificateurs oératioels. Gc() = U() () = R R RC = i avec = R / R et i = R C L'avatage du circuit de la figure 7 3 est qu'il 'utilise que amlificateurs (le secod servat d'iverseur avec u gai de valeur ). Ceedat, ce circuit e ermet as ue sélectio idéedate de et i, uisque ceux-ci déedet tous les deux de R. Ue deuxième réalisatio, avec 3 amlificateurs, cette fois-ci, est celle de la fig Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 7

118 R R R Ci R U Ri Fig. 7 4 : Réalisatio du correcteur PI avec 3 amlificateurs oératioels. Gc() = U() () = R R RiCi = i avec = R / R et i = R i C i Pour ce circuit, et i euvet être réglés séarémet. Ceedat, our u tel circuit, i est iversemet roortioel à la valeur du codesateur. Malheureusemet, e gééral, les correctios PI exiget de faibles valeurs de i. Cela coduit à de larges valeurs de Ci, ce qui 'est as très ratique d - Exemle La figure 7 5 motre le schéma foctioel d u exemle de correctio PI. e(t) (t) i u(t) ( )(.5 ) s(t) Fig. 7 5 : Exemle de correctio PI. Nous fixos = 5, et ous varios la valeur de i. Les figures 7 6, 7 7 et 7 8 doet les réoses idicielles s(t) our, resectivemet, i = à.5, i =.5 à 5, et i = 5 à 5. Les figures 7 9, 7 3 et 7 3 doet, resectivemet, le diagramme de Bode, le lieu de Black- Nichols, et le lieu de Nyquist de la FTBO corrigée. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 8

119 .4. Ste Resose ( = 5 = costat) i / =.5 (d%=9.5 ; T r=.7 s ; T s=.5 s) i / =.3 (d%=.6 ; T r=.745 s ; T s=.8 s) Am litude.8.6 i / =. (d%=9.4 ; T r=.776 s ; T s=5.79 s) i / =. (d%=5.4 ; T r=.87 s ; T s=3. s).4 i / = (correctio P, d%=. ; T r=.646 s ; T s=.5 s, ) T im e (sec) Fig. 7 6 : Exemle de Correctio PI. Réoses idicielles our i = à.5. = 5 (costat).4. Ste Resose ( = 5 = costat) i / = (d%=35. ; T r=.63 s ; T s=.5 s) i / =.8 (d%=9. ; T r=.654 s ; T s=.48 s) i / =.6 (d%=.8 ; T r=.683 s ; T s=.48 s) Am litude.8.6 i / =.5 (d%=9.5 ; T r=.7 s ; T s=.5 s) T im e (sec) Fig. 7 7 : Exemle de Correctio PI. Réoses idicielles our i =.5 à 5. = 5 (costat) Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 9

120 .8.6 Ste Resose ( = 5 = costat) i / =3 (d%=8.3 ; T r=.58 s ; T s=8. s) i / = (d%=6.5 ; T r=.554 s ; T s=5.33 s) i / =.6 (d%=5. ; T r=.579 s ; T s=4.33 s).4. Am litude i / = (d%=35. ; T r=.63 s ; T s=.5 s) T im e (se c) Fig. 7 8 : Exemle de Correctio PI. Réoses idicielles our i = 5 à 5. = 5 (costat) Phas e (deg) Magitude (abs) Bode Diagram = 5 = cos tat 5 Correctio PI i / =3 i / = Correctio P ( =5, i=) -5 i / = -45 i / =. i / = i / = Frequecy (rad/s ec) Fig. 7 9 : Exemle de Correctio PI. Diagrammes de Bode de la FTBO, our différetes valeurs de i = 5 (costat) Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..)

121 Nichols Chart = 5 = costat i / =.7 i / = i / = Oe-Loo Gai (abs) - i / =.6 i / =3 i / =.5 i / =. i / = Oe-Loo Phase (deg) Fig. 7 3 : Correctio PI. Lieux de Black de la FTBO, our différetes valeurs de i = 5 (costat) Nyquist Diagram = 5 = costat Im agiary Axis i / =.7 i / = - i / = i / =. i / =.6-4 i / =3 i / =.3-6 i / = Real Axis Fig. 7 3 : Correctio PI. Lieux de Nyquist de la FTBO, our différetes valeurs de i = 5 (costat) Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..)

122 O costate que l'augmetatio de i, etraîe : ue amélioratio de la récisio ar aulatio de l erreur statique, ue décroissace du tems de motée, mais égalemet ue augmetatio du tems d établissemet (correctio lete), ue augmetatio du déassemet et ue dimiutio de la marge de hase (augmetatio de l istabilité du système). Das le cas de l'exemle étudié, le système iitial est comosé de ôles ( et ). Le correcteur PI a u zéro qu'il est référable de ositioer le lus roche ossible du ôle à l'origie. E effet : si le zéro est exactemet à l origie i, il comese le ôle qui s'y trouve. Cela reviet à faire ue correctio de tye roortioel e faisat varier. L'erreur statique est, alors, o ulle our ue etrée échelo. Le système 'a que ôles e boucle fermée. d'ue maière géérale, lus le zéro se délace vers la gauche du la comlexe, mois imortate est la marge de hase du système corrigé (l'aort égatif de la hase du correcteur est de lus e lus imortat), lus imortate sot les oscillatios de la sortie, et lus de tems met le système our s'amortir Correcteur à actio dérivée (D) 7-.5.a - Pricie La relatio etre la sortie u(t) et le sigal d'erreur (t) est : d(t) u(t) = d (7 9) dt U() c'est à dire, = d. = Td. (7 ) () avec d aelé " gai dérivé ", Td aelée " costate de tems de dérivatio " So schéma foctioel est celui de la fig. 7. e(t) (t) d u(t) Fig. 7 : Correctio à actio dérivée ure (D) Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..)

123 La figure 7 doe les réoses à u échelo et à ue rame du correcteur D. (t) échelo uitaire u(t) Imulsio ifiie et de courte durée (t) u(t) Fig. 7 : Etrée et sortie du correcteur à actio dérivée (D) La figure 7 doe le diagramme de Bode du correcteur D. Bode Diagram Phase (deg) M agitude (abs) Frequecy (rad/sec) Fig. 7 : Diagramme de Bode du Correcteur D. (reréseté our d=) 7-.5.b - Effet La réose idicielle motre qu u correcteur à actio exclusivemet dérivée e ermet as la trasmissio d u sigal. L actio dérivée e eut doc être utilisée seule. O fait ael à elle lorsque le sigal de commade u doit être articulièremet efficace. E effet, ce correcteur ermet de faire iterveir la dérivée du sigal d erreur ; il sera d autat lus actif que la variatio de (t) est raide. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 3

124 L actio dérivée ure : améliore la stabilité du système ar l'itroductio d'u déhasage sulémetaire de 9 (augmetatio de la marge de hase), mais fait dimiuer la récisio du système, et amlifie les bruits de hautes fréqueces. Le correcteur à actio exclusivemet dérivée est ratiquemet jamais utilisé. Il est e gééral associé au correcteur Proortioel c - Réalisatio ratique Ue réalisatio ratique de ce correcteur e utilisat des circuits assifs et actifs est motrée sur la figure 7 3. Rd Cd R R U Fig. 7 3 : Réalisatio du correcteur D avec amlificateurs oératioels Gc() = U() () = Rd Cd = d avec d = Rd Cd ). Le circuit de la figure 7 3 utilise amlificateurs (le secod servat d'iverseur avec u gai de valeur Correcteur à actios roortioelle et dérivée (PD) 7-.6.a - Pricie La relatio etre la sortie u(t) et le sigal d'erreur (t) d(t) u(t) =.(t) d. dt c'est à dire, U() () d (7 ) (7 ) ou ecore, U() d = ( Td ) () (7 3) avec "gai roortioel ", d "gai dérivé " Td = d " costate de tems de dérivatio " Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 4

125 So schéma foctioel est celui de la fig e(t) (t) d u(t) Fig. 7 4 : Correctio PD La figure 7 5 doe les réoses à u échelo et à ue rame. (t) échelo uitaire u(t) u(t) PD (t) rame uitaire Td P seulemet Fig. 7 5 : Etrée et sortie du correcteur PD La figure 7 6 doe le diagramme de Bode du correcteur PD. Bode Diagram Phase (deg) Magitude (abs) 9 45 () / d () - - Frequecy (rad/sec) Fig. 7 6 : Diagramme de Bode du Correcteur PD. (reréseté our =, d=) Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 5

126 7-.6.b - Effet La réose idicielle motre qu u correcteur à actio roortioelle et dérivée (PD) assure ue trasmissio istataée du sigal d'erreur (t) augmeté de sa dérivée d(t)/dt. O verra qu'u tel correcteur est à utiliser à chaque fois que le système corrigé doit être lus raide. La correctio dérivée eut être vue autremet : Puisque d(t)/dt rerésete la ete de (t), la correctio PD est essetiellemet ue commade aticiative. Coaissat la ete, le correcteur eut aticier la directio de l'erreur et l'utilise our mieux cotrôler le rocessus. Normalemet, das les systèmes liéaires, si la ete de (t) ou s(t) est due à u échelo d'etrée imortat, il aaraît u déassemet coséquet. La commade dérivée mesure la ete istataée de (t), rédit u grad déassemet, et effectue la correctio écessaire avat que le déassemet 'aaraisse. Ituitivemet, la commade dérivée 'affecte l'erreur statique du système que si cette erreur varie avec le tems. Si l'erreur statique est costate, sa dérivée, ar raort au tems, est ulle, l'élémet de dérivatio du correcteur e roduit aucue etrée our le rocessus. Mais si l'erreur statique croît avec le tems, u(t) est de ouveau déveloé roortioellemet à d(t)/dt, ce qui réduit l'amlitude de l'erreur. L'équatio 7 3 motre égalemet clairemet que le correcteur PD 'altère as la classe du système, l'erreur statique d'u système à retour uitaire déedat directemet de cette classe. L'itérêt ricial de la correctio dérivée est so effet stabilisat. E régime dyamique, elle s'oose aux grades variatios de l'erreur (doc aux oscillatios), et ermet doc de stabiliser le système et d'améliorer le tems de réose. et Td sot tous deux réglables. Td ajuste l'actio dérivée, tadis que affecte à la fois les actios dérivée et roortioelle. L'avace de hase roduite ar ce correcteur eut être utilisée our améliorer la marge de hase du système asservi. Malheureusemet, so gai ousse la fréquece de couure vers les hautes fréqueces. Aisi, l'utilisatio du correcteur PD cosiste à lacer la fréquece de cassure du correcteur, = / D, de sorte que l'augmetatio effective de la marge de hase ait lieu à la ouvelle fréquece de couure. Pour u système doé, il existe tout u domaie de valeurs otimales / D ouvat améliorer l'amortissemet du système. Ue autre cosidératio ratique etrat das la sélectio des valeurs de P et D est l'imlatatio hysique du correcteur PD. Par ailleurs, comte teu de ses caractéristiques fréquetielles de filtre asse haut, le correcteur PD accroît, das la majorité des cas, la bade assate du système et réduit le tems de motée de la réose idicielle. L'icovéiet ratique de cet effet filtre asse haut, est l'accetuatio des bruits de hautes fréqueces roveat de l'etrée. Récaitulatif des effets de l'actio de correctio PD : Amélioratio de l'amortissemet et réductio du déassemet. Réductio du tems de motée et du tems d'établissemet. Augmetatio de la bade assate. Amélioratio de la marge de hase et de la marge de gai. Possibilité d'accetuatio des bruits aux hautes fréqueces. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 6

127 7-.6.c - Réalisatios ratiques Ue remière réalisatio de ce correcteur e utilisat des circuits assifs et actifs est motrée sur la figure 7 7. R R R C R U Fig. 7 7 : Réalisatio du correcteur PD avec amlificateurs oératioels Gc() = U() () = R R C = d avec = R / R et d = R C R L'avatage du circuit de la figure 7 7 est qu'il 'utilise que amlificateurs (le secod servat d'iverseur avec u gai de valeur ). Ceedat, ce circuit e ermet as ue sélectio idéedate de et d, uisque ceux-ci déedet tous les deux de R. D'autre art, ue valeur imortate de d exigerait ue large valeur de C, ce qui 'est as très ratique. Ue deuxième réalisatio, avec 3 amlificateurs cette fois-ci, est celle de la fig R R R R Rd R U Cd Fig. 7 8 : Réalisatio du correcteur PD avec 3 amlificateurs oératioels Gc() = U() () = R Rd Cd = d avec = R / R et d = Rd Cd R Pour ce circuit, et d euvet être réglés séarémet. Les valeurs imortates de d sot obteues e jouat sur Rd et e maiteat Cd das des roortios raisoables. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 7

128 7-.6.d - Exemle La figure 7 9 motre le schéma foctioel d u exemle de correctio PD. e(t) (t) d u(t) ( )(.5) s(t) Fig. 7 9 : Exemle de correctio PD Nous fixos =. Pour différetes valeurs de i, la réose idicielle s(t) est reortée sur la figure 7 3. = (costat).4 d=. Cosige. d= d= Sortie corrigée.8.6 d= Fig. 7 3 : Exemle de Correctio PD. Réoses idicielles our différetes valeurs de d. = (costat) O costate que l'augmetatio de d, etraîe : ue dimiutio aréciable du déassemet (stabilisatio du système), ue amélioratio du tems d'établissemet, mais égalemet ue ersistace de l'erreur statique, et eu d'ifluece sur le tems de motée. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 8

129 Correcteur à actios roortioelle, itégrale et dérivée (PID) 7-.7.a - Pricie Le correcteur PID combie les actios des 3 correcteurs P, I et D. La relatio etre la sortie u(t) et le sigal d'erreur (t) est : u(t) =.(t) i t (t). dt d(t) d dt (7 4) c'est à dire, U() = () i d (7 5) ou ecore, U() = () d i (7 6) U() = () i d = Td (7 7) T i avec "gai roortioel ", i "gai itégral ", d "gai dérivé " Td = d " costate de tems de dérivatio " Ti = " costate de tems d'itégratio " i So schéma foctioel est celui de la fig e(t) (t) i d u(t) Fig. 7 3 : Correctio à actios roortioelle, itégrale et dérivée (PID) Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 9

130 La figure 7 3 doe les réoses à u échelo et à ue rame. u(t) (t) échelo uitaire (t) rame uitaire u(t) PID PD P seulemet Fig. 7 3 : Etrée et sortie du correcteur à actios roortioelle, itégrale et dérivée (PID) 7-.7.b - Effet La réose idicielle motre qu'u correcteur PID assure ue trasmissio istataée du sigal d'erreur (t) augmeté de so itégrale et de sa dérivée. Ce correcteur, facile à réaliser, ermet d'auler le sigal d'erreur statique et d'avoir ue réose relativemet raide et bie amortie. E effet, le correcteur PID, fait croître la classe du système d'ue uité et itroduit zéros qui euvet être utilisés our améliorer la réose trasitoire (eq. 7 6). La méthode du lieu d'evas eut être mise à rofit our localiser ces zéros das le but de satisfaire u cahier des charges sur les régimes statique et dyamique. Nous avos vu qu'u correcteur P ( ) aorte de la raidité au système e réduisat le tems de motée. il réduit égalemet l'erreur statique, mais e l'élimie as. L'actio itégrale ( i) aura our effet d'élimier l'erreur statique. Elle ramèe doc de la récisio, mais dégrade la réose trasitoire. L'actio dérivée (d) améliore la stabilité du système, réduit les déassemets et améliore le régime trasitoire. Les effets de chaque correcteur (, i regroués sur le tableau 7 : et d) sur la réose e boucle fermée du système sot Tems de motée Déassemet Tems d'établissemet Erreur statique Si croît Dimiue Augmete (Peu de chagemets) Dimiue Si i croît Dimiue Augmete Augmete Elimiée Si d croît (Peu de chagemets) Dimiue Dimiue (Peu de chagemets) Tableau 7 : Effets des correcteurs P, I, et D sur les régimes statique et dyamique du système e boucle fermée. Il est à oter que ces corrélatios e sot as exactemet récises, car, i et d sot déedats les us des autres. E fait, le chagemet de l'ue de ces variables eut modifier l'effet de l'autre. Le tableau récédet 'est à utiliser que comme référece lorsqu'il s'agit de détermier les valeurs de, i et d. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 3

131 Il existe des méthodes aalytiques ermettat de calculer les comosates du correcteur PID, mais elles sot assez comlexes et sot eu utilisées. Des méthodes emiriques existet et ermettet de faciliter amlemet la détermiatio du correcteurs PID (méthode de Ziegler -Nichols, méthode de Chie-Hroes- Reswick,...). Certaies d'etre-elles serot étudiées e TP et TD. Des méthodes ratiques de réglages ermettet d'obteir de bos résultats. Elles sot basées sur la coaissace des effets que rocure chaque correcteur sur la réose du système bouclé (tableau 7 ). Par ailleurs, ces méthodes fot beaucou iterveir l'exériece de l'oérateur das ce domaie. Il 'y a as de réglage uique ermettat d'atteidre le cahier des charges, mais il est écessaire de suivre quelques règles d'ajustemet de ces correcteurs :. Obteir la réose e boucle ouverte et détermier ce qui est écessaire d'améliorer.. Rajouter u correcteur P our améliorer la raidité du système : modifier our obteir le tems de motée voulu. 3. Rajouter u correcteur I our élimier l'erreur statique : modifier i our améliorer les erformaces e régime statique. 4. Rajouter u correcteur D our réduire les déassemets et améliorer le tems d'établissemet : modifier d our améliorer les caractéristiques e régime trasitoire. 5. Ajuster, i et d jusqu'à obteir les erformaces voulues. Fialemet, il faut se raeler qu'il 'est as obligatoire d'isérer les 3 correcteurs das u même système si cela 'est as écessaire. Si u correcteur PI doe des erformaces satisfaisates our la sortie, il 'est alors as écessaire de rajouter u correcteur D au système. Costruire le correcteur aussi simlemet que ossible c - Réalisatios ratiques Ue remière réalisatio de ce correcteur, e utilisat des circuits assifs et actifs, est motrée sur la figure R C R R C R U Fig : Réalisatio du correcteur PID avec amlificateurs oératioels Gc() = U() () = R R R C R C R C Gc() = U() () = R R C C R C = R C i d avec = R R C C, i = R C et d = R C Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 3

132 L'avatage du circuit de la figure 7 33 est qu'il 'utilise que amlificateurs (le secod servat d'iverseur avec u gai de valeur ). Ceedat, ce circuit e ermet as ue sélectio idéedate de, i et d. Ue deuxième réalisatio, avec 3 amlificateurs cette fois-ci, est celle de la fig R R R Rd R Cd R U Ci Ri R Fig : Réalisatio du correcteur PID avec 3 amlificateurs oératioels Gc() = U() () = R R RiCi Rd Cd = d i avec = R / R, d = Rd Cd et i = Ri Ci Pour ce circuit,, i et d euvet être réglés séarémet d - Exemle La figure 7 35 motre le schéma foctioel d'u exemle de correctio PID. e(t) (t) Gc() u(t) ( )(.5 ) s(t) Fig : Exemle de correctio PID Avec G() = ( )(.5 ) système à corriger et Gc() : Correcteur Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 3

133 La figure 7 36 doe la réose idicielle du système seul (FTBO sas correcteur). Le tems de motée est de l'ordre de 3.7 s FTBO sas correcteur Fig : Réose idicielle de la FTBO sas le correcteur La figure 7 37 doe la réose idicielle du système seul (FTBF sas correcteur et à retour uitaire). FTBF Sas correcteur Erreur (t) Erreur (t) et Sortie s(t) Cosige. Sortie s(t) Fig : Réoses idicielles de la FTBF et de l'erreur (t) sas le correcteur Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 33

134 Le système asservi étudié est très let (le tems de motée est de l'ordre de.83 s), et très eu récis (l'erreur statique est de 5%). A titre d'exemle, ous ous roosos d'améliorer les erformaces du système étudié, coformémet au cahier de charge suivat : Tems de motée : mois de.5 s Déassemet : mois de % Tems d'établissemet : mois de s Erreur statique ulle. Pour améliorer, tout d'abord, la raidité du système, ous iséros u correcteur P, et ous faisos varier le aramètre. Gc() = U() () = La figure 7 38 doe la réose du système corrigé our différetes valeurs de. Correctio P ( variable).4. = = 3 = 8 Cosige Sortie s(t) = Fig : Réoses idicielles du système corrigé ar u correcteur P Le tems de motée s'améliore avec l'augmetatio de, mais le déassemet croît fortemet. Pour =, le tems de motée est de l'ordre de.86 s, le déassemet vaut 47.4 %. L'erreur statique a été réduite mais 'a as été aulée. Tout e maiteat cette valeur de =, rajoutos, cette fois-ci, u correcteur itégral I our élimier cette erreur statique de la réose idicielle. Nous varieros esuite le aramètre i our voir so effet sur les erformaces du système. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 34

135 Gc() = U() () = i La figure 7 39 doe la réose du système corrigé our = et différetes valeurs de i Correctio PI i = 3 i = i = ( =, i variable). Sortie s(t) Tems (s) Fig : Réoses idicielles du système corrigé ar u correcteur PI L'erreur statique a été aulée, mais le tems d'établissemet a augmeté. Le tems de motée s'est légèremet amélioré avec l'augmetatio de i, mais le déassemet cotiue de croître. Pour = et i = 3, le tems de motée est de l'ordre de.69 s, le déassemet asse à eviro 69.5 %. Nous maiteos les valeurs de = et i = 3 et ous rajoutos l'actio dérivée D our améliorer le déassemet et doer lus de stabilité au système. Nous varieros esuite le aramètre d our voir so effet sur les erformaces du système. Gc() = U() () = d i La figure 7 4 doe la réose du système corrigé our =, i = 3 et différetes valeurs de d. Le tems de motée 'a as beaucou chagé (etre.5 et.6 s our d etre et 5), mais le déassemet s'est ettemet écrasé. Le tems d'établissemet a égalemet été réduit. Si ous ous cotetos de d =, la courbe est très écrasée (déassemet très faible), mais le tems de motée est de l'ordre de.55 s. O ourrait alors augmeter our améliorer, de ouveau, ce tems de motée. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 35

136 .5 Correctio PID ( =, i = 3, d variable) d = d = Sortie s(t) d = Tems (s) Fig. 7 4 : Réoses idicielles du système corrigé ar u correcteur PID Tems (s) La figure 7 4 doe la réose du système corrigé our, i = 3, d = et différetes valeurs de à artir de la valeur..4. = 8 = 4 Correctio PID ( >, i = 3, d = ) Sortie s(t).8.6 = Tems (s) Fig. 7 4 : Réoses idicielles du système corrigé ar u correcteur PID Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 36

137 Le tems de motée et le tems d'établissemet ot ecore dimiué, mais le déassemet a augmeté. Si ous ous cotetos de = 8, le tems de motée est assé à eviro.5 s et le déassemet à 9.3%. O ourrait alors augmeter d our améliorer ce derier. La figure 7 4 doe la réose du système corrigé our, = 8, i = 3 et différetes valeurs de d à artir de la valeur..4 Correctio PID ( = 8, i = 3, d > ). d = Sortie s(t).8.6 d = Tems (s) Fig. 7 4 : Réoses idicielles du système corrigé ar u correcteur PID Si ous ous cotetos de d = 5, le tems de motée a eu chagé (eviro. s) mais il 'y a resque lus de déassemet. Avec ces derières valeurs des aramètres du correcteur PID utilisé, ous réodos aux sécificatios imosées. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 37

138 Aexe A : TRANSFORMEES DE LAPLACE L'aalyse temorelle des circuits liéaires e régime trasitoire écessite la résolutio d'équatios différetielles. Pour cela, ous allos itroduire u outil mathématique uissat, la trasformatio de Lalace. Cette trasformatio ermet d'associer, à toute foctio f(t), ue foctio F() d'ue variable comlexe =j. Elle ermet de remlacer les oératios aalytiques de dérivatio et d'itégratio ar des oératios algébriques. Cette roriété facilite la résolutio des équatios différetielles. A. - Trasformée Directe de Lalace A.. - Défiitio de la Trasformée de Lalace Par défiitio, f(t) état ue foctio réelle du tems (ulle our t < ), o aelle Trasformée de Lalace de cette foctio, otée L {f(t)}, la foctio de la variable comlexe F() telle que : F() = L { f(t)} = t e f(t)dt our t avec : f(t) = our t < : comlexe idéedat du tems F() = L {f(t)} : trasformée de Lalace ou image de f(t) f(t) : origiale ou foctio objet de F(). A...a - Exemle La figure A rerésete la foctio échelo uitaire u(t) ou Heaviside : u(t) = u(t) Fig. A : Foctio échelo uitaire t our t < our t L {u(t)} = U() = U() = e t u(t)dt = e t dt = t e Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 38

139 A...b - Exemle Soit à calculer L {f ' (t)} coaissat L {f(t)}. O a : L {f(t)} = F() = e t f(t)dt E utilisat l'itégratio ar artie, o aura : u = f(t) dv = e t dt du = f ' (t)dt v = e t Or : (uv)' = u'v uv' uv' = uv u'v t F() = e f(t)dt = t e f (t) e t f '(t)dt F() = f() L {f ' (t)} L {f ' t)} = F() f() Si la coditio iitiale est ulle (f() = ), alors : L {f ' t)} = F() De même, si toutes les coditios iitiales sot ulles (f() = f ' () = f " () =... = ), alors : L {f t)} = F() Das ce cas là, l'équatio différetielle (our u système liéaire) liat l'etrée e(t) à la sortie s(t), d d d d a s(t)... a s(t) a s(t) bk e(t)... b e(t) b e(t) dt dt k dt dt k s'écrit, e utilisat la trasformée de Lalace, : a S()... a S() a S() bk E()... b E() b E() k S() = b a k k... b... a E() avec S() = L {s(t)} et E() = L {e(t)} A.. - Proriétés Usuelles de la trasformée de Lalace A...a - Liéarité Si et sot costats, o a : L { f (t) f (t)} = L {f (t)} L {f (t)} Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 39

140 car : t t e { f (t) f (t)} dt = e f (t) dt e t f (t) dt e articulier : L {f(t) j g(t)} = L {f(t)} j L {g(t)} et L {k f(t)} = k L {f(t)} A...b - Dérivatio (Voir exemle, ci-dessus) L {f ' (t)} = F() f () f () rerésete la valeur de f (t) lorsque t our t <. ar valeur ositive uisque f (t) 'est as défiie D'ue maière géérale, o eut écrire : L { d dt r = (r --) f (t)} = F() - f () r = -r avec f (r) d () dt (r) f(t) (r) t Exemle : L { L { d dt d dt 3 3 f (t)} = F() - f () - f '() 3 f (t)} = F() f() - f '() - f ''() A...c - Itégratio t Soit à calculer L { f (t) dt } = L { P (t) }, P (t) désigat ue rimitive de f (t) our t >. O a : L { P (t) } = e t P(t)dt E utilisat l'itégratio ar artie, o aura : u = P(t) dv = e t dt du = P ' (t)dt v = e t (uv)' = u'v uv' uv' = uv u'v L { P (t) } = t e P (t) e t P '(t)dt P() t = e f (t)dt L { P (t) } = L { f (t) } P( ) E gééral : L { t t t... f (t) dt } = L { f (t) } e suosat ulles toutes les rimitives de f(t) quad t ar valeurs ositives. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 4

141 A...d - Chagemet d'échelle U chagemet de l échelle des tems se traduit ar le chagemet de la variable "t kt ou t k/t " das la foctio f. Soit à calculer alors : L {f (kt)} coaissat L {f (t)} O a : L {f (kt)} = e t f (kt)dt Posos : kt = u du = k dt dt = k du k Doc : L {f (kt)} = e u k f(u)du = F k k D'où : L {f (kt)} = F k k De même que : L {f ( t k )} = k F k A..3 - Théorèmes relatifs à la Trasformée de Lalace A..3.a - Théorème du retard - Traslatio Soit à calculer L {f (t )}, c est-à-dire la trasformée de f (t) quad o fait u chagemet d origie des tems (Fig. A ). f(t) g(t) = f(t - ) t t Fig. A : Chagemet d'origie des tems O a : L {f (t)} = F() = t e f (t)dt our t L {f (t )} = L {g (t)} = G() G() = e t g (t)dt t = e f (t )dt our t Car, ar défiitio : f(t) = our t < ou ecore : f(t ) = g(t) = our t < Effectuos le chagemet de variable x = t : (x ) x G() = e f (x)dx = e e f (x)dx = e L {f (x)} = e F() L {f (t )} = e L {f (t)} our t Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 4

142 A..3.b - Trasformée d'ue foctio ériodique Utilisos la roriété récédete our calculer la trasformée de Lalace d'ue foctio ériodique à artir de t =. Cosidéros ue foctio ériodique de ériode T our t > et ulle our t < (Fig. A 3). f(t) T T 3T Fig. A 3 : Foctio ériodique de ériode T t La foctio f(t) eut être vue comme ue somme de foctios défiies chacue sur ue ériode : f(t) = f(t) f(t) f3(t) = k fk (t) La foctio f(t) se cofod avec la foctio f(t) sur la remière ériode [, T] et est ulle à l'extérieur (Fig. A 4) : f(t) T T 3T Fig. A 4 : défiitio de la Foctio f(t) t La foctio f(t) est défiie sur la secode ériode [T, T] (Fig. A 5) : f(t) T T 3T Fig. A 5 : défiitio de la Foctio f(t) t Elle se déduit de la foctio f(t) ar u décalage d'ue ériode : f(t) = f(t T) Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 4

143 De même our f3(t) (Fig. A 6) : f3(t) T T 3T Fig. A 6 : défiitio de la Foctio f3(t) t ce qui eut être gééraliser à : f3(t) = f(t T) fk(t) = f(t kt) Nous ouvos doc ecore écrire : f(t) = f (t kt) k Calculos la trasformée de Lalace de cette exressio : L {f (t)} = L k f (t kt) = k L { f(t kt) } L {f (t)} = k kt e F () où : F() = L {f(t)} Nous ouvos doc écrire : L {f (t)} = F() k kt e = F () T e car : x = x x.= k k x A..3.c - Théorème de la valeur iitiale Soit à démoter que : f ( ) = lim { F() } O a : L {f (t)} = F() = e t f (t)dt L { dt d f (t)} = L {f ' (t)} = t e f '(t)dt = F() f ( ) quad :, e t, doc = F() f ( ) Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 43

144 f ( ) = lim { F() } A..3.d - Théorème de la valeur fiale Soit à démoter que : f () = lim { F() } O a : L {f (t)} = F() = e t f (t)dt d L { f (t)} = t dt e f '(t)dt = F() f ( ) Si ( ), Alors ( e ). d où f '(t)dt = lim { F() f ( ) } Or : f '(t)dt = t lim t f '( )d = lim { f (t) f t ( ) } Doc : lim { F() f ( ) } = lim { f (t) f ( ) } t lim f ( t ) = lim t { F() } Ce résultat est valable que si { F() } a aucu ôle (racie du déomiateur) das le demi la droit du la comlexe et aucu ôle sur l'axe imagiaire, à l'excetio du ôle simle à l'origie. A..3.e - Théorème de Duhamel (ou de Borel ) - Itégrale de covolutio Soit à démotrer que : ().F () = L { (t ).f ( ) d F t f } = L { f(t) * f(t) } : roduit de covolutio Posos : f 3 (t) = f(t ).f ( ) d Par défiitio, o a : L { f 3 (t)} = e t f(t ).f ( ) d dt E iversat l ordre des itégratios, o eut écrire : L { f 3 E osat u = t, il viet : (t)} = f( ) d t f(t )e dt L { f 3 (t)} = f ( ) d (u ) f(u)e du L { f 3 (t)} = f ( ) e d u f(u)e du D'où : L { f 3 (t)} = F ().F () = F ().F () Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 44

145 D'autre art, ous avos : f3 (t) = f(t ).f ( ) d Qui eut être écrite : f3 (t) = f (t ).f ( ) t d f t (t ).f ( ) d Et uisque : f (t ) = our t < Alors : f3 (t) = f (t ).f ( ) d où : t d F ().F () = L t f(t ).f( ) d A..3.f - Foctio amortie Soit f (t) telle que L {f (t)} = F(), quelle est alors L { e t f (t) }? O a : L { e t f (t) } = e t f (t)e t dt ( )t = f (t)e dt = F ( ) L { e t f (t) } = F ( ) A..3.g - Multilicatio ar t Cosidéros la dérivée ar raort à de f (t) : df() d d d f(t)e t dt Comme la variable 'aaraît que das l'exoetielle, ous avos : Soit ecore : df() d t de f(t) d dt t.f(t).e t dt L { t.f (t) } = df() d Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 45

146 A. - Trasformée Iverse de Lalace O eut exrimer la Trasformée iverse, e utilisat les itégrales de Fourrier et de Meli-Fourrier. Si F() est la Trasformée de Lalace d ue foctio f(t), o a : f(t) = L - { F() } = j c j t cj e.f(). d (t ) où c est ue costate, aelée abscisse de covergece. Cette méthode est difficile à utiliser et o réfère gééralemet : * soit recourir aux tables de Trasformées de Lalace. Das ce cas, F() est immédiatemet recoaissable das la table, * soit, lorsque la foctio F() 'aaraît as das la table, décomoser F() e fractios artielles et écrire F() e termes de foctios simles de our lesquels la Trasformée de Lalace est toujours coue. A oter que cette maière simle de trouver la Trasformée iverse est basée sur le fait qu il existe ue corresodace uique etre la foctio temorelle et sa Trasformée iverse de Lalace du fait de la cotiuité de la foctio temorelle. Soit F() = L {f(t)} Si F() eut être décomosée e termes disticts : F() = F() F()... F() et Si les trasformées iverses sot disoibles, Alors L - { F() } = L - { F() } L - { F() }... L - { F() } = f(t) f(t)... f(t) Remarque : Das le domaie de la Théorie du cotrôle, F() est fréquemmet mise sous la forme : F() = B() A() avec A() et B() des olyômes e, et degré B() degré A() Cette méthode e s alique que si les racies du olyôme du déomiateur sot coues, autremet dit, que si le déomiateur est factorisable : F() = B() A() =. ( z)( z )...( zm ) ( )( )...( ) où,,..., et z, z,..., zm euvet être des quatités réelles ou comlexes. Mais our chaque comlexe ou z, il aaraît u comlexe cojugué de ou z, resectivemet. Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 46

147 A.. - Si F() e cotiet que des ôles disticts F() eut, alors, être décomosée e ue somme de fractios artielles : F() = B() A() = a a... a avec ai = B() ( i ) A() ai : costate aelée " résidu au ôle = i " i A...a - Exemle Trouver la Trasformée Iverse de F() = 3 ( )( ) ôles disticts : =, = F() = a a a a 3 ( ) ( )( ) 3 ( ) ( )( ) F() = f(t) = L - { F() } = L - { } L - { } f(t) = e t t t e t t f(t) = e ( e ) t Remarque : B() Das le cas où le degré de B() > degré de A() das F() =, il faut alors diviser le A() umérateur ar déomiateur, esuite aliquer la méthode des fractios artielles. A...b - Exemle Soit : G() = ( )( ) E divisat le umérateur ar le déomiateur, o obtiet : G() = 3 ( )( ) = F() ( voir F() das l'exemle récédet ) G() =.. F() d g(t) = L - { G() } = (t).(t) L - { F() } t dt g(t) = L - { G() } = d (t).(t) e t ( e t ) t dt avec (t) : imulsio uitaire et L { (t) } = Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 47

148 A.. - Si F() cotiet des ôles comlexes cojugués Soiet et les ôles comlexes cojugués, alors : F() = B() A() = ( )( ) a a Avec et = les résidus aux ôles et : B() ( A() )( ) ou A...a - Exemle Trouver la Trasformée Iverse de F() = ( ) O a : = our =,5 j,866 Doc : F() = (,5 j,866)(,5 j,866) a = Avec :,5 j,866,5 j,866 (,5 j,866) =,5 j,866,5 j,866 (,5 j,866,75) (,5 j,866) =,5 j,866 E égalat les arties réelles et imagiaires des membres de l'équatio récédete, o obtiet : = = d'où : = et = Détermios esuite la valeur de a : a = F(). = = Doc F() s'écrit : F() = = (,5 j,866)(,5 j,866) = (,5) (,866),5 = (,5) (,866) (,5),5 (,866) Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 48

149 Ce qui doe our f(t) (voir table des Trasformées de Lalace) : f(t) = L - { F() } =,5t, 5,5t e cos (,866 t ), 866 e si (,866 t) (t ) A..3 - Si F() cotiet des ôles multiles Soit le ôle multile de F(), r état l'idice de multilicité de ce ôle. F() = Alors F() s'écrit : B ( A ( ) ) r ( r r A() = ) ( )( )...( ) F() = B() A() = b ( r r ) b ( r r ) b... ( ) a r r a r r... a avec : a k = B() ( k ) A() (k = r, r,..., ) k et : b B() A() r r! ( ) b b b d B() d A() r r (! ) j d B() r r j ( j! j ) d A() r d B() r ( (r )! r ) d A() Remarque : L - ( ) = t e ( )! t A..3.a - Exemle F() = 3 ( ) 3 F() = b3 3 ( ) b ( ) b ( ) 3 B() 3 b ( ) A() 3 d B() 3 d b ( ) ( 3) d A() d d B() 3 d b ( ) ( )! d A() d Doc : f(t) = L - { F() } = L - ( ) 3 L - ( ) L - ( ) = ( t ) t e ( t ) Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 49

150 Aexe B : Table des Priciales Trasformées de Lalace et leurs roriétés Table des Trasformées de Lalace f (t) (t ) F () = L { f(t) } Imulsio uitaire d(t) Echelo uitaire u(t) t! t at e a at te () a at t e! () a e at a () a at bt e e b a ()() a b si() wt w w cos() wt w t.si() wt w () w t.cos() wt w () w -at e.si() wt w () a w -at e.cos() wt a () a w ( : etier ositif) Proriétés des Trasformées de Lalace f (t) ( t ) F () = L { f(t) } f () t e t f () t dt l f()() t l f t lf ()() lf df () t dt d f () t dt d f () t dt t t t...(). f t dt (avec coditios iitiales ulles) f () kt F()() f F()()() f f r r -r F(). F(). F k k f () t k. F k k at e f () t F a f () t t t e. F our t t t f().() t t f t dt F. F t.() f t d F () d f(t) foctio ériodique de ériode T. f (t) foctio défiie sur la ère ériode de f(t). F() F () T e f () lim F () Si les limites existet d ( r - -) dt f () ( r - -) f lim F Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 5

151 BIBLIOGRAPHIE. Asservissemets liéaires. Tome et Tome F. Milsat. Editios Eyrolles. 4ème Editio Cours d Asservissemets liéaires Ecole Natioale d Electricité et de Mécaique. Istitut Natioal Polytechique de Lorraie Régulatio et asservissemet. P. Guyeot, T. Has. Editios Eyrolles. ème Editio Automatique de base. P. Siarry. Editios Ellises Moder cotrol system. Theory ad alicatio. S. M. Shiers. Addiso-Wesley Publishig Comay Théorie et calcul des asservissemets liéaires. J. Ch. Gille, P. Decaule, M. Pélegri. Editios Duod Cours d'automatique. Tome (asservissemet régulatio, commade aalogique). M. Rivoire, J-L. Ferrier. Editios Eyrolles Moder Cotrol Egieerig. Ogata Third Editio. Pretice-Hall ic Feedback Cotrol Systems Ch. L. Phillis, R. D. Harbor Fourth Editio, Pretice Hall ic... Feedback Cotrol Systems J. Va De Vegte Third Editio, Pretice Hall ic Automatic Cotrol Systems B. C. uo Seveth Editio, Pretice Hall ic System Dyamics. Ogata Secod Editio, Pretice Hall ic Modelig ad Aalysis of Dyamic Systems Ch. M. Close, D.. Frederick, J. C. Newell Third Editio, Joh Wiley & Sos ic. 4. Advaced Moder Cotrol System. Theory ad Desig S. M. Shiers A Wiley-Itersciece Publicatio Modelig, Aalysis ad Cotrol of Dyamic Systems W. J. Palm III Secod Editio, Joh Wiley & Sos ic. 999 Cours d'asservissemets liéaires cotius (3-4) Licece et Master «Automatisme Idustriel» (Prof. FELLAH M..) 5