Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire

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1 Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa relatio foctioelle. Appredre à utiliser la relatio foctioelle pour trasformer ue écriture ou pour résoudre des équatios. Sommaire. Pré-requis. Premières otios sur la foctio logarithme épérie 3. Courbes des foctios ep et l 4. Dérivée et tableau de variatio de la foctio l 5. Sythèse de la séquece 6. Eercices de sythèse Séquece 5 MA0

2 Pré-requis A La foctio epoetielle Eercice Vrai / Fau Pour chacue des propositios suivates, dites si elle est vraie ou fausse. Das le cas où elle est fausse, proposez ue modificatio qui la rede vraie. a) La foctio epoetielle est le prologemet cotiu de la suite géométrique de premier terme u 0 = 0 et de raiso. b) La foctio défiie sur ] 0 ; + [ par f( )= e est à valeurs das R + et trasforme ue somme e u produit. c) L équatio ep( ) = 0 admet ue uique solutio strictemet positive. d) La dérivée de la foctio epoetielle est strictemet croissate sur ; 0. e) La foctio epoetielle est dérivable doc cotiue. f) La dérivée de la foctio f : e est e doc f est ue foctio strictemet croissate ; par coséquet, il eiste u seul ombre réel 0 0 tel que f( 0 ) = 0. g) Pour tout ] ; 0 [, e e = h) O a e e =.. i) La dérivée de e est e j) Ue équatio de la tagete à la courbe de la foctio epoetielle au poit d abscisse est y = e ( ). k) Le tableau de variatios de la foctio epoetielle est : + ep ( ) + ep( ) 0 Séquece 5 MA0 3

3 Solutio a) Fau. O peut corriger comme ceci :«La foctio epoetielle est le prologemet cotiu de la suite géométrique de premier terme u 0 = et de raiso e.» b) Vrai. O peut aussi défiir la foctio f sur R tout etier, la propriété éocée est ecore vraie puisque la foctio epoetielle trasforme chaque somme e u produit. c) Fau. Pour tout réel, e > 0 doc l équatio e = 0 a pas de solutio das R ; a fortiori, elle e a pas qui soit strictemet positive. O peut corriger comme ceci : «L équatio ep( ) = 73, admet ue uique solutio strictemet positive» ou remplacer,73 par importe quel ombre réel strictemet positif. d) Vrai. La dérivée de la foctio epoetielle est la foctio epoetielle ellemême, qui est bie strictemet croissate sur R doc sur ;0 aussi. e) Vrai. Toute foctio dérivable est cotiue. La foctio epoetielle qui est dérivable (par défiitio) échappe pas à cette règle. f) Vrai. O peut même ajouter que 0 = 0. g) Vrai. L égalité e e = est même vraie pour tout réel h) Vrai. E effet, o calcule séparémet e e e = = puis e = e = e. Toutefois, das le cas gééral de ombres réels et y ( ) quelcoques, o a : e y + y e y = + y (comme ici, où = 3 sauf das les cas «eceptioels» où et y = 3 o vérifie que + y = = y). i) Fau. E posatu( ) =, o a e e u e u u e ( ) ( ) ( ). 9 = ( ) = = O peut corriger comme ceci : «La dérivée de e est e». j) Vrai. E effet, o sait qu ue équatio de la tagete à la courbe de la foctio epoetielle au poit d abscisse est y e = e ( ) ce qui est la même chose que y = e ( ). k) Fau. Il suffit d échager les valeurs et 0 doées pour et ep( ) pour corriger l erreur. Précisémet, le tableau de variatios de la foctio epoetielle est : 0 + ep ( ) + ep( ) 4 Séquece 5 MA0

4 Premières A otios sur la foctio logarithme épérie Objectifs du chapitre Défiir la foctio logarithme épérie. Etudier ses propriétés algébriques, sa courbe et ses lies avec la foctio epoetielle. B Activité C Pour débuter Retour sur la foctio epoetielle O fie u ombre réel a compris etre 0 et 0. A l aide du tableau de variatios de la foctio epoetielle et de sa courbe détermier le ombre de solutio de l équatio ep( ) = a das R. O distiguera plusieurs cas e foctio de la valeur de a. Cours y. Défiitio y = e Au cours de l activité ous avos vu que l équatio ep( ) = a possédait zéro ou ue solutio das R selo que a 0 ou bie que a > 0. Si a 0 alors : O a y = a la courbe représetat la foctio ep et la droite d équatio y = a ot pas de poit d itersectio car ep( ) > 0 pour tout de R. Il y a zéro solutio à l équatio ep( ) = a das R. Séquece 5 MA0 5

5 y y = e a y = a O α Si a > 0 alors : la courbe représetat la foctio ep et la droite d équatio y = a ot u seul poit d itersectio. L équatio ep( ) = a a ue uique solutio (otée α ) das R. Das ce e cas où a > 0, partat d u ombre a strictemet positif, o peut lui associer u ombre α. O peut schématiser cette opératio par : a α e gardat à l esprit que c est possible seulemet lorsque a > 0. Nous allos maiteat doer u om à cette opératio. Défiitio O appelle foctio logarithme épérie la foctio qui à tout ombre réel a strictemet positif associe l uique solutio réelle de l équatio ep( ) = a. Cette foctio est otée l (comme logarithme épérie et se lit e épelat les lettres «L, N») et o a : l: 0 ; + R a l( a) avec ep( l( a )) = a autremet dit e l( a ) = a. 6 Séquece 5 MA0

6 Remarque Etat doé u ombre réel a strictemet positif, l( a ) est la solutio de l équatio e = a. l( a ) s écrit souvet la (sas les parethèses) mais se lit quad même «L, N DE A». Aisi l se lit «L, N DE». Ce ombre qui est le logarithme épérie de est caractérisé par e l =. Eemple La solutio de l équatio e = e est = (car e = e) mais aussi = le (par défiitio de l e ) ; o a doc l e =. Illustratio la + ep( ) a L idée ici est de lire le tableau précédet e partat de a ( e lige), qu o doit choisir strictemet positif et d arriver à la ( re lige). O peut aussi illustrer cette lecture sur la courbe de la foctio epoetielle : y y = e a y = a O I a Pour la lecture, o part de a situé sur l ae des ordoées (et a > 0) pour obteir la situé sur l ae des abscisses. Séquece 5 MA0 7

7 . Coséqueces immédiates de la défiitio a) Sige de l a O choisit a > 0. D après le tableau suivat, si a < alors l a < 0. la 0 + ep( ) a D après le tableau suivat, si a > alors l a > 0. 0 la + ep( ) a Si a =, o obtiet l égalité (à coaitre) l = 0. b. Lies etre les foctios ep et l Nous avos vu que e l( a ) = a, lorsque a > 0. O choisit a R. Comme e a > 0, o a le droit de calculer l( e a ). Quel est le résultat? a D ue part o a : e = e = a. La solutio de l équatio e = e a est doc a. D autre part, par défiitio de la foctio l, la solutio de l équatio e = A a est la doc la solutio de l équatio e = e est l( e a a ) (o a posé A = e ). Coclusio : l( e a ) = a. Résumos : Propriété Pour tout réel a strictemet positif, e l a = a. b Pour tout réel b, l e = b. 8 Séquece 5 MA0

8 O dit que les foctios ep et l sot réciproques. Ceci sigifie que partat d u ombre a, e appliquat d abord l ue des foctios puis sa réciproque, o retrouve le ombre a I y... l ep 0 e = e e e e 3 e y... e Remarque Sur l itervalle [ 0 ; + [, les foctios et sot aussi réciproques. Quat à la foctio sur l itervalle ] 0 ; + [, elle est égale à sa réciproque. Eercice Simplifier l( e 7 ) et e l 5. Solutio l( e 7 ) = 7 puisque pour tout réel a, l e a = a. Et e l5 = 5 l5 e = =. l5 e 5 puisque 3. Propriétés algébriques a) Logarithme épérie d u produit Soit a et b deu réels strictemet positifs. l( Par défiitio de la foctio l, o a : e ab ) l l = ab ; e a = a ; e b = b. l( ab) la lb Par coséquet, o a e = e e soit ecore e l( ab ) e l a+ l b = car la foctio ep trasforme ue somme e u produit (c est-à-dire que pour tous + y réels et y, e = y e e ). l( ab) la+ lb O a aisi démotré que : e = e et par suite : l( ab) = la + l b. Séquece 5 MA0 9

9 Résumos : Théorème Pour tous réels a et b strictemet positifs, l( ab) = la + l b. La foctio l trasforme u produit e ue somme. Remarque Nous avos vu à la séquece 4 que la foctio ep trasforme ue somme e u produit. Par coséquet, il est pas étoat que la foctio l, réciproque de la foctio ep, trasforme elle, u produit e ue somme. Tout comme la propriété de trasformer chaque somme e u produit s appelle la relatio foctioelle de la foctio epoetielle, la propriété de trasformer chaque produit e somme s appelle la relatio foctioelle de la foctio logarithme épérie. Eercice Solutio Simplifier l( a ) et l a lorsque a > 0 puis pour N, simplifier l( a ). Le théorème précédet avec a= b s écrit l( a a) = la+ la c est-à-dire, a = l a. Et plus gééralemet, pour N, I(a ) = la. Avec a= b = c (où c > 0), elle s écrit : l( c c) = l c + l c soit lc = l c ou l c = l c. De la propriété : pour N, l(a ) = la découle le résultat suivat : Propriété Si ( u ) est ue suite géométrique alors la suite ( v ) défiie par v = l u est arithmétique. La foctio logarithme épérie trasforme les suites géométriques e suites arithmétiques. b) Logarithme épérie d u quotiet Soit a u réel strictemet positif. Comme = a, l l( ) l l. a = a = a + a a 0 = la + l, ou ecore l = l a. a a Mais o a vu que l = 0, doc 0 Séquece 5 MA0

10 Propriété : Logarithme épérie d u iverse Pour tout réel a > 0, I = l a a Coséquece Pour tout réel a > 0, pour tout etier relatif, la = la. a l l a la l b = b = + puisque la foctio l trasforme u produit e b ue somme. a l = lb (logarithme épérie d u iverse), o coclut que : l = la l b. b b Remarque Propriété : Logarithme épérie d u quotiet Pour tous réels a a> 0 et b > 0, l = la l b. b Il est importat de s habituer à utiliser la propriété précédete das les deu ses : pour regrouper la somme (ou la différece) de deu logarithmes épéries : la lb = l. a b pour séparer le logarithme épérie d u produit (ou d u a quotiet) : l = la l b. b D Eercices d appretissage Eercice Eprimer les ombres suivats à l aide de l ou de l3 (ou des deu) : 4 l 4; l 6; l 4; l (( 4) ) ; l 54; l ; l( 36 ) ; 7 l 9 8. Eercice Eprimer à l aide de l 3, les ombres suivats : l63 l 7 ; l( 7 3) ; l l 49. Eercice 3 Simplifier A= + + B = l( 0 ) l( 0 ) ; l + l5 5l 5. 5 Séquece 5 MA0

11 Eercice 4 Simplifier les écritures suivates C = 5l D = l 3 ; l 4 5 l l 3 4 Eercice 5 Simplifier l4 l6 l3 l l l + l E = e ; F = e ; G = e ; H = e ; I = l. 5 e Eercice 6 Vrai / Fau a) l< < l 3. b) L esemble des solutios de l iéquatio l 05, l est = ] ; ] c) Si = l3+ l4 alors l =. 5 7 d) Si = e e alors l = 35. e) Si a= l l 4, 9 et b= l( 5, ) alors a< b. Séquece 5 MA0

12 3 Courbes A des foctios ep et l Objectifs du chapitre Savoir tracer la courbe de la foctio l (à partir de la courbe de ep). B Pour débuter Activité La symétrie orthogoale par rapport à la première bissectrice Soit ( O, I, J ) u repère orthoormé du pla. O ote la droite d équatio y = das le repère ( O, I, J ). Cette droite s appelle la première bissectrice du repère (la deuième bissectrice du repère état covetioellemet la droite d équatio y = ). Das le repère ( OIJ,, ) : Tracer la droite puis placer les poits suivats : A( ; 3 ) ; B( ; 5 ) ; C( 4; ) ; D( ; ) ; E (5 ; ) ; F( 3; ) et G( ; 4 ). Costruire le symétrique B du poit B par rapport à la droite. De même placer les symétriques C ; D ; E ; F et G par rapport à la droite, des poits C; D; E; F et G. Compléter le tableau suivat : Poit M A B C D E F G H I Coordoées de M ( ; 3 ) ( ; 5 ) ( 4; ) ( ; ) (5; ) ( 3; ) ( ; 4 ) Poit M symétrique de M A B C D E F G H I Coordoées de M ( 5; 3 ) ( e ; π ) Séquece 5 MA0 3

13 À l aide du tableau précédet, compléter la cojecture suivate : «Si u poit M a pour coordoées ( a ; b ) alors le symétrique de M par rapport à la première bissectrice a pour coordoées (... ;...)». C Cours Soit ( OIJ,, ) u repère orthoormé du pla. O ote la première bissectrice du repère (cf. activité ) c'est-à-dire la droite d équatio y =. Soit M( y ; ) u poit du pla. O cosidère le poit M ( y; ) symétrique de M par rapport à la droite. O ote ep la courbe de la foctio epoetielle et l la courbe de la foctio logarithme épérie. Nous allos établir que le poit M est sur ep si et seulemet si le poit M est sur l. Comme ceci sera vrai pour u poit M pris quelcoque (au hasard, si vous préférez) sur ep, ce sera vrai pour tous les poits M de ep. O pourra par coséquet e coclure que la courbe l est la symétrique (par rapport à ) de la courbe ep Voyos maiteat pourquoi M et M sot symétriques par rapport à. Par défiitio M ep y = e ly ly e = e cary > 0 docy = e ly = Par défiitio M l = Doc M ep M l. l y (attetio, les coordoées de M sot ( y; ) doc les rôles de et y sot iversés par rapport à ce qu ils sot d habitude). Comme ous avos vu à l activité qu échager l abscisse et l ordoée d u poit reviet à predre le symétrique orthogoal de ce poit par rapport à la première bissectrice du repère, o peut coclure que les poits M et M sot symétriques l u de l autre, par rapport à la droite. 4 Séquece 5 MA0

14 A savoir y = e = l y avecy 0 ; + et R. Pour obteir le tracé de la courbe de la foctio logarithme épérie, il suffit doc de tracer la courbe symétrique par rapport à de la courbe de la foctio epoetielle. O part doc de ep : y = ep() Puis, o costruit les symétriques (ce qui reviet à échager les coordoées) de chaque poit M de ep. Vous pouvez effectuer vous-même cette costructio avec le logiciel Geogebra puis reproduire le tracé obteu e complétat le graphique suivat : Séquece 5 MA0 5

15 y = ep() M = (.6, 5.05) M = (5.05,.6) O obtiet le tracé suivat : y = ep() M = (.84, 6,3) M = (6.3,.84) 6 Séquece 5 MA0

16 Nous reviedros sur la courbe de la foctio l lors de l étude des variatios de la foctio l. D Eercices d appretissage Eercice 7 Compléter les poitillés das les phrases suivates : ( ) a) A e ;... l. ( ) l. b) B... ; y c) C( y ; ) l Dy ( ; )... d) l = 5 =... le e) e e =... Eercice 8 a) Quelle est l image de 0,5 par la foctio l? b) Quel est l atécédet de 0, 5 par la foctio l? c) Quel ombre a pour image,7 par la foctio ep? d) Résoudre l = 0. e) Résoudre l =. Séquece 5 MA0 7

17 4 Dérivée et tableau de variatio de la foctio l A Objectifs du chapitre Coaître la dérivée de la foctio l. Calculer la dérivée d ue epressio formée à l aide (etre autres) de la foctio l. Coaitre le ses de variatio de la foctio l. Résoudre ue équatio de la forme = k sur ] 0 ; + [ lorsque k > 0 et N. B Pour débuter Activité 3 Le ses de variatio de la foctio réciproque O cosidère les foctios f et g défiies pour tout réel positif par f( )= et g ( ) =. a) Motrer que les foctios f et g sot réciproques. O rappelle que ceci sigifie l ue des deu choses équivaletes suivates : ou bie : partat d u ombre a, e appliquat d abord la foctio f puis la foctio g, o retrouve le ombre a. ou bie : les courbes f et g sot symétriques (orthogoales) par rapport à la première bissectrice du repère (orthoormé). b) Quel est le ses de variatio de la foctio f? Quel est celui de la foctio g? Cas gééral : O cosidère deu foctios u et v réciproques. a) O suppose, ici, u strictemet croissate. Que pesez-vous du ses de variatio de v? (o pourra dessier la courbe u puis la courbe v, symétrique de u par rapport à le première bissectrice du repère). A l aide de la défiitio d ue foctio strictemet croissate, démotrer la cojecture précédete (peser à la cotraposée). b) O suppose, ici, u strictemet décroissate. Que pesez-vous du ses de variatio de v? Démotrer la cojecture faite au a). 8 Séquece 5 MA0

18 Activité 4 Quelle dérivée pour la foctio l? Faisos u rétrospectif sommaire pour bie mesurer ce qui est e jeu ici : A partir des suites géométriques de raiso q > 0 que ous avos prologées au ombres réels, ous avos défii les foctios epoetielles q. Parmi celles-ci, l ue d etre elles est égale à sa dérivée, c est la foctio epoetielle e. Esuite, ous ous sommes itéressés à la foctio réciproque de la foctio epoetielle que ous avos appelé foctio logarithme épérie. Nous avos déjà remarqué qu elle possède la «jolie» propriété de trasformer u produit e somme. Nous cherchos maiteat à calculer la dérivée de la foctio logarithme épérie. Que va-t-o obteir? Vous allez le découvrir maiteat Coformémet au programme, o admet que la foctio l est dérivable sur 0; +. l( ) O cosidère la foctio f défiie sur 0; + par f( ) = e. A l aide d ue propriété sur les foctios ep et l, doer ue epressio plus simple de f( ). E déduire la dérivée de f. A l aide de la formule doat la dérivée de de f ( ) comportat l ( ). Déduire l epressio de l ( ) des questios et. e u ( ) doer ue epressio C Cours. Foctio dérivée de la foctio l Théorème La foctio l est dérivable sur 0; +. Pour tout réel de 0; + o a : l ( ) =. Séquece 5 MA0 9

19 Remarque Le premier poit de ce théorème sigifie que l ( ) eiste pour tout > 0. Ce résultat est admis. Le secod poit doe la valeur de l ( ). La dérivée de la foctio logarithme épérie est doc la foctio iverse. Ue justificatio de ce résultat a été doée à l activité 4. Comme ous l avos déjà sigalé : toute foctio dérivable est cotiue. Il e résulte le corollaire (c est u résultat qui découle logiquemet d u autre) suivat : Corollaire La foctio l est cotiue sur ] 0 ; + [. Remarque Ce résultat sigifie ituitivemet qu o peut tracer la courbe de la foctio l sas lever le crayo (ce qui est cohéret avec l allure de la courbe de la foctio l doé au chapitre précédet). Le fait que la foctio l soit e plus dérivable sigifie ituitivemet que la courbe «a pas de coi». Pour bie compredre o peut citer la foctio valeur absolue qui est cotiue sur R tout etier, mais qui est pas dérivable e = 0 ce qui se traduit sur sa courbe par u «coi» : Séquece 5 MA0

20 . Ses de variatio de la foctio l E ous appuyat sur u dessi, ous avos cojecturé à l activité 3 que le ses de variatio d ue foctio et le ses de variatio de sa foctio réciproque étaiet les mêmes. Ce résultat appliqué à la foctio epoetielle et à sa réciproque la foctio logarithme épérie permet de cojecturer que la foctio logarithme épérie est strictemet croissate sur ] 0. + [. Nous allos justifier ce résultat e doat ue autre eplicatio. Propriété La foctio l est strictemet croissate sur ] 0 ; + [. So tableau de variatio est : 0 e + l() 0 Sa courbe est doée ci-dessous : y = I e Séquece 5 MA0

21 Démostratio Nous veos de voir que la foctio l est dérivable sur ] 0 ; + [ et que pour tout réel > 0, l'( ) =. Or, pour tout réel > 0, > 0 ; doc l ( ) > 0 pour tout réel > 0. Ceci permet de coclure à l aide d u théorème vue e classe de première faisat le lie etre le ses de variatio d ue foctio dérivable et le sige de sa dérivée, que la foctio l est strictemet croissate sur ]0 ; + [. Les propriétés suivates découlet des précédetes. Propriété Pour tous réels a et b strictemet positifs, o a : la= lb a= b la< l b a< b. Pour tout réel et pour tout réel a > 0, o a : e = a =l a. La foctio l coserve l ordre sur ] 0 ; + [. l a= 0 a=. l a= a= e. 3. Dérivée de la foctio l(u()) Théorème Soit u ue foctio dérivable et strictemet positive sur u itervalle I. La foctio f défiie sur I parf( ) = l( u( )) est dérivable sur I et pour tout réel de I, o a : u f = ( ) ( ) u ( ). Remarque Lorsque u est simplemet la foctio défiie paru( ) =, dot la dérivée est u ( ) =, à l aide du théorème précédet o retrouve la dérivée de la foctio f défiie par f( ) = l (c est-à-dire la foctio logarithme épérie) puisque, das ce cas : f ( ) = =. u ( ) Séquece 5 MA0

22 4. Résolutio d ue équatio du type = k avec etier aturel et k > 0 O choisit u réel k strictemet positif et u etier aturel. O s itéresse au solutios évetuelles ] 0 ; + [ de l équatio = k. L équatio = k est équivalete à l( ) = lk d après la propriété suivate (cf. paragraphe ) : «Pour tous réels a et b strictemet positifs, o a : la= lb a= b». Si = 0 : l équatio = k est équivalete à = k ; par coséquet, si k =, = R et si k, = Ø. Si > 0 : comme o sait aussi que l( ) = l, l équatio = k est ecore lk équivaletc à l =, d où e teat compte de e l =, l équatio = k lk est ecore équivalete à = e. Par coséquet, = e lk. Propriété Si k est u réel strictemet positif et si est u etier aturel o ul alors l équatio = k admet ue uique solutio das ] 0 ; + [ et cette solutio est : = e lk. Remarque Plus que ce résultat fial, ce qu il faut reteir c est la suite d équivaleces (décrites précédemmet) qui permettet d aboutir au résultat. A chaque fois qu ue situatio se présete où vous devez résoudre sur ] 0 ; + [ ue équatio de la forme = k ; vous devez savoir reproduire le raisoemet précédet. Graphiquemet, ce résultat s eplique par le fait que toutes les courbes des foctios (défiies sur ] 0 ; + [) pour les valeurs de das N e coupet chacue des droites d équatio y = k (où k > 0) qu e u seul poit. lk L abscisse de ce poit d itersectio est = e. Séquece 5 MA0 3

23 7 4 3 y = 3,58 l3,58 e 7 e l3,58 D Eercices d appretissage Eercice 9 Détermier ue équatio de la tagete à la courbe de la foctio l au poit d abscisse. E déduire ue valeur approchée de l au voisiage de. Doer ue valeur approchée de l,. Eercice 0 Résolutio d équatios avec l et ep Résoudre das R les équatios : a) l( 5 + ) = l3 b) l( + ) = 0 c) l( 3 + 5, ) = l5 l d) l( 5) + l( 3) = l3+ l5 e) e = 7 f) e = 4 Séquece 5 MA0

24 Eercice Résolutio d iéquatios avec l et ep Résoudre das R les iéquatios : a) l > l3 b) l( + ) l3 c) l d) e 6 < e e) l( ) 0. Eercice Applicatio de la foctio l au suites géométriques a) O sait que lim =+ (cf. suite géométrique de raiso strictemet supérieure à ). Ceci sigifie qu o peut redre aussi grad qu o veut + pourvu que soit assez grad. Détermier le plus petit etier pour lequel 3 5. b) O sait que lim 09, = 0 (cf. suite géométrique de raiso positive et strictemet iférieure à ). Ceci sigifie qu o peut redre 09, aussi petit qu o veut + pourvu que soit assez grad. Détermier le plus petit etier pour lequel 09, 000,. Eercice 3 Dériver les foctios suivates : a) f défiie sur ] 4 ; + [ parf( ) = l( +4 ). b) g défiie sur ] ; 0 [ par gu ( ) = l( 3 u). c) h défiie sur ] ; 0 [ par ht () = l( 7t + 3). Eercice 4 Soit f la foctio défiie sur [ 4; 6 ] parf( ) = e. a) Calculer f ( ) et étudier so sige. b) Dresser le tableau de variatios de f. Eercice 5 Motrer que l équatio l = e admet ue uique solutio à préciser. Eercice 6 Etudier les variatios de la foctio f défiie sur [ ; + [ par f( ) = l. O admettra que la dérivée de est. Séquece 5 MA0 5

25 5 Sythèse de la séquece Défiitio de la foctio logarithme épérie La foctio logarithme épérie (l e abrégé) est défiie sur ] 0 ; + [ de la maière suivate. Le logarithme épérie d u ombre réel a de ] 0 ; + [ (la e abrégé) est caractérisé par e l a = a. Variatios et courbe La foctio l est cotiue et strictemet croissate sur ] 0. + [. So tableau de variatio est : 0 e + l() 0 La courbe de la foctio l est : y = I e 6 Séquece 5 MA0

26 Propriétés algébriques Pour tous réels a et b strictemet positifs, l( ab) = la + lb a l la lb b = e l( a ) = a. l( ) = 0 l(e)= a Pour tous réels a et b, b =e Dérivées a lb = b > 0 La foctio l est dérivable sur ] 0 ; + [ et pour tout de ] 0 ; + [, l ( ) =. Si u( ) est ue foctio dérivable et strictemet positive sur u itervalle I alors l( u( )) est dérivable sur l itervalle I et pour tout de I, l ( ) ( ( )) = u u u ( ). Formulaire de dérivatio Foctio f Itervalle où f est dérivable Dérivée f f k k costate ( )= ( ) f ( ) = 0 f( ) a b a, b costates f ( ) = a R f( )= f ( ) = = + ( ) f( )= 3 f ( ) = 3 f( )= ] 0 ; + [ f ( ) = f( )= ou bie ] 0 ; + [ ou bie ] ; 0[ f = ( ) f( )= e R f ( ) = e f( ) = l( ) ] 0 ; + [ f ( ) = Séquece 5 MA0 7

27 Résolutio d ue équatio de la forme = k avec das N et k > 0 Pour > 0, la phrase «est solutio das ]0; + [ de l équatio = k» s écrit = k de maière équivalete (et abrégée) > 0. Et, pour > 0, o a les équivaleces suivates : = k > 0 lk l( ) = lk l = lk l = = e lk 8 Séquece 5 MA0

28 6 Eercices de sythèse Eercice I Le but de l eercice est d étudier la foctio f défiie sur l itervalle [ ; 3 ] par l f( ) =. O ote la courbe de la foctio f das u repère ( O; I, J). Partie I O cosidère la foctio u défiie sur l itervalle [ ; 3 ] paru( ) = + l. Calculer u ( ). Dresser le tableau de variatios de la foctio u sur l itervalle[ ; 3 ]. Démotrer que l équatio u( )= 0 admet ue uique solutio a das l itervalle [ ; 3 ]. E doer u ecadremet d amplitude 0,. A l aide des questios et dresser le tableau de siges de la foctio u. Partie II a) O ote f la dérivée de f. u ( ) Motrer que pout tout de [ ; 3 ], f'( ) = où u est la foctio défiie das la partie I. A l aide de la questio I.., détermier selo les valeurs de le sige de f ( ). b) Dresser le tableau de variatios de f. a + c) Motrer que f( a)=, sachat que le ombre a vérifieu( a) = 0. a O ote A le poit de coordoées ( ;. ) a) Motrer que la tagete à au poit d abscisse e est parallèle à la droite ( OA ). b) Tracer, la droite ( OA ) et la tagete. c) Placer le poit B de coordoées ( a ; f( a) ) et tracer la tagete à la courbe au poit B. Séquece 5 MA0 9

29 Eercice II (d après bac) Cet eercice est u questioaire à choi multiples. Pour chacue des questios suivates, trois réposes sot proposées, ue seule répose est eacte. e Soit f ue foctio défiie sur ] ; 0[ ] 0 ; + [ par f( ) = + +. e O admet que la foctio f est dérivable sur ] ; 0[ ] 0 ; + [. O désige par la courbe de la foctio f das u repère orthoormé. Le tableau de variatios de la foctio f est doé ci-dessous. l 0 l variatios de f l+3 Das l itervalle ] 0 ; + [ l équatio f( )= e admet : aucue solutio ue uique solutio deu solutios La tagete à la courbe au poit d abscisse l( 5, ) admet u coefficiet directeur : strictemet positif strictemet égatif ul f ( l( )) est égal à : l( ) + 3 l 4 l( ) + Eercice III O cosidère la suite ( u ) défiie par so er terme u 0 = 6 et par la relatio de récurrece : Pour tout etier aturel, u+ = u O pose v = u 4. a) Motrer que la suite ( v ) est ue suite géométrique dot o précisera la raiso et le er terme. b) Motrer quev = 4. E déduire l epressio de u e foctio de. c) Détermier la limite de la suite ( v ), puis celle de la suite ( u ). 30 Séquece 5 MA0

30 O pose a = l v. a) Motrer que ( a ) est ue suite arithmétique de raiso l. b) Détermier l epressio de a e foctio de. c) Détermier la valeur de pour laquelle a est égal à 3l. Eercice IV (d après bac) U laboratoire pharmaceutique fabrique u médicamet qu il commercialise sous forme liquide. Sa capacité jouralière de productio est comprise etre 5 et 500 litres, et o suppose que toute la productio est commercialisée. Das tout l eercice, les coûts et recettes sot eprimés e milliers d euros, les quatités e cetaies de litres. Si désige la quatité jouralière produite, o appelle CT ( ), pour variat de 05, à 5, le coût total de productio correspodat. La courbe Γ suivate est la représetatio graphique de la foctio C T sur l itervalle [ 05, ; 5 ]. La tagete à Γ au poit A( ; ) est horizotale. Partie A a) O admet que la recetter( ) (e milliers d euros) résultat de la vete de cetaies de litres de médicamet, est défiie sur [ 05, ; 5 ] par R( ) = 5,. Quelle est la recette (e euros) pour 00 litres de médicamet vedus? b) Tracer, sur le graphique suivat, le segmet représetat graphiquemet la foctior. Lectures graphiques Les questios a, b, c, suivates serot résolues à l aide de lectures graphiques seulemet. O fera apparaitre les traits de costructio sur le graphique suivat. Toute trace de recherche même o aboutie sera prise e compte. Séquece 5 MA0 3

31 y Coût total (e milliers d euros) A 0 Volume du médicamet produit ( e cetaies de litres) a) Détermier des valeurs approimatives des bores de la «plage de retabilité» c est-à-dire de l itervalle correspodat au quatités commercialisées dégageat u bééfice positif. b) Doer ue valeur approimative du bééfice e euros réalisé par le laboratoire lorsque 00 litres de médicamet sot commercialisés. c) Pour quelle quatité de médicamet commercialisée le bééfice paraît-il maimal? À combie peut-o évaluer le bééfice maimal obteu? 3 Séquece 5 MA0

32 Partie B Das la suite de l eercice, o admet que la foctio coût total C T est défiie sur l itervalle [ 05, ; 5 ] par CT ( ) = l( ). Justifier que le bééfice, e milliers d euros, réalisé par le laboratoire pour cetaies de litres commercialisés, est doé par : B ( ) = 5, + l( ). Calculer B( ), et comparer au résultat obteu à la questio b) de la partie A. O suppose que la foctio B est dérivable sur l itervalle [ 05, ; 5 ] et o ote B sa foctio dérivée. Motrer que B ( ) = l( ) + 3, 5. O doe ci-dessous le tableau de variatio de la foctio B, dérivée de la foctio B, sur l itervalle [ 05, ; 5 ]. 0,5 5 B (),5 y y O précise les ecadremets : 0, < y < 03, et 39, < y < 38,. a) Démotrer que l équatio B ( ) = 0 admet ue solutio uiqueα das l itervalle[ 05, ; 5 ]. b) Dresser le tableau précisat le sige de B ( ) pour apparteat à l itervalle [ 05, ; 5 ]. E déduire le tableau de variatios de la foctio B sur l itervalle[ 05, ; 5 ]. a) Pour quelle quatité de médicamet commercialisée le bééfice est-il maimal? (O doera ue valeur approchée de cette quatité e litres). Doer alors ue valeur approchée e euros de ce bééfice maimal. b) Ces résultats sot-ils cohérets avec ceu obteus graphiquemet à la questio c) de la partie A? Séquece 5 MA0 33